Movimento Harmônico Simples (MHS)

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F 105 
Física da Fala e da 
Audição
Prof. Marcelo Knobel
Instituto de Física Gleb Wataghin (IFGW)
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
knobel@ifi.unicamp.br
 Cordas vocais
 Diapasão
 Instrumentos de cordas
 Ondas na água
 Ondas sonoras
 Ondas em cordas
“Variações temporais” “Variações espaciais”
Vibrações e Ondas
2
Oscilações
 Oscilar significa mover-se de um lado para 
outro, movimentar-se alternadamente em 
sentidos opostos, mover-se, tornando a 
passar (ao menos aproximadamente) pelas 
mesmas posições. 
 Assim, uma partícula que se movimenta para 
a frente e para trás ao redor de um ponto 
dado está em um movimento oscilatório.
 Periódico significa que se repete com 
intervalos regulares. 
 Assim, uma partícula que se movimenta de 
modo que, em intervalos de tempos iguais, 
o movimento se repete identicamente, está 
em um movimento periódico.
Oscilações Períodicas
3
Oscilações Períodicas
 Uma partícula que se movimenta para a frente e 
para trás, ao redor de um ponto fixo, e para a qual 
o movimento se repete identicamente em 
intervalos de tempo iguais, está em um movimento 
periódico oscilatório. 
 Movimento Harmônico Simples (MHS) é um tipo 
particular de movimento periódico oscilatório. 
Movimento Harmônico 
Simples (MHS)
 A partícula se move de modo que a intensidade da 
força que tende a levá-la ao ponto fixo cresce na 
mesma proporção em que aumenta o seu 
afastamento deste mesmo ponto fixo
 Condições necessárias para MHS:
 Posição de equilíbrio (permanece em repouso)
 Força restauradora linear (“empurra” o objeto para a 
sua posição de equilíbrio) 
4
 Movimento oscilatório que se repete 
periodicamente.
...resulta em ondas senoidais.
 Exemplos: 
 metrônomo
 massa em uma mola
 pêndulo
 moléculas de ar
Movimento Harmônico 
Simples (MHS)
MHS
Uma massa vibrante
conectada a uma mola
é deslocada da posição 
de equilíbrio, e depois 
solta. O deslocamento 
máximo é chamado 
amplitude da vibração. Um ciclo é uma vibração 
completa. O período é o tempo necessário para 
completar um ciclo completo. A frequência é a conta de 
quantos ciclos o sistema completa em 1s.
5
O gráfico de um Movimento Harmônico 
Simples é descrito por uma curva senoidal.
MHS
MHS
6
MHS e MCU
y = R cos q = R cos (wt)
 O que caracteriza o Movimento Circular 
Uniforme (MCU)?
velocidade angular constante  w constante
 Como relacionar o MHS com o MCU?
MHS pode ser representado como uma projeção do MCU
x
y
-R
R
0 q
1 1
2 2
3 3
4
4
5 5
6 6
2


Máximo 
deslocamento
Posição de 
equilíbrio
ciclo
 MHS a partir MCU (raio = A - amplitude)
 Ponto Q - MCU
 Ponto P - MHS
 Se os pontos P e Q coincidem no instante t=0:
 q = wt (caso linear, x = v.t)
w = velocidade angular do MCU
 Deslocamento (MHS):
MHS - Relações Matemáticas
cos /x Aq  cosx A q
tAtx wcos)( 
A: amplitude máxima do MHS
7
 Módulo da velocidade linear do Ponto Q (MCU):
 Velocidade do Ponto P (MHS)
MHS - Relações Matemáticas
qsenLvv 
(módulo)
ww ARvL 
tAtv wwsen)( 
0 < q <   senwt > 0, logo o vetor velocidade tem sentido 
oposto àquele escolhido para o eixo x
 < q < 2  senwt < 0, vetor velocidade mesmo sentido eixo x 
 Módulo da aceleração centrípeta do Ponto Q (MCU):
 Aceleração do Ponto P (MHS)
MHS - Relações Matemáticas
qcosCaa 
(módulo)
2
222
ww A
A
A
R
v
aC 
tAta ww cos)( 2
0 < q < /2  coswt > 0, logo o vetor aceleração tem sentido 
oposto àquele escolhido para o eixo x
/2 < q <   coswt < 0, vetor velocidade mesmo sentido eixo x 
8
 Resumo (MHS)
 Caso Particular (t=0  x=A): (pontos P e Q coincidem em t=0)
 Caso Geral (partícula numa posição genérica):
MHS - Relações Matemáticas
tAta ww cos)( 2tAtv wwsen)( tAtx wcos)( 
)cos()( 2 ww  tAta
)sen()( ww  tAtv
)cos()( w  tAtx
 = ângulo de fase inicial
Ângulo de fase inicial (MHS)
 y = A cos(wt + ) 

  q2
A
9
Solução do MHS
 y = A cos(wt - /2)
A
/2
  q2
= A sin(wt) !
Gráficos MHS
A
  
q
2/2 3/2/2
deslocamento - x
Aw
 
q2/2 3/2/2
velocidade - v
Aw2
 
q2/2 3/2/2
aceleração - a
10
Gráficos MHS
Posição x(t)
Velocidade v(t)
Aceleração a(t)
Definição do MHS
 Sabemos que em todo instante 
F = ma deve ser válido.
 Mas neste caso F = -kx
e ma = 
 Portanto: -kx = ma =
k
x
m
F = -kx
a2
2
d x
m
dt
2
2
d x k
x
dt m
  Equação diferencial para x(t) !
2
2
d x
m
dt
11
Definição do MHS
2
2
d x k
x
dt m
 
2
2
2
d x
x
dt
w 
k
m
w 
Tentemos a solução x = Acos(wt) 
 sin
dx
v A t
dt
w w  
 
2
2 2
2
cos
d x
a A t x
dt
w w w    
definamos
ω: velocidade angular
Período e Freqüência (MHS)
 O período (T) é o tempo necessário para 
completar um ciclo:
x(t) = x(t +T), 
e lembrando cos  = cos ( +2), temos:
A cos (wt) = A cos [w(t+T)]
A cos (wt) = A cos [wt+ wT)], tomando = wt 
wT=2 
w
2
T

f
T
1

fw 2
m
k
f
2
1


m
k
w
 Freqüência Natural de Oscilação
12
MHS
A freqüência é maior para uma mola mais rígida (valor 
maior de K) e diminui com aumento da massa da partícula 
m
k
f
2
1

Resumo MHS
 A solução mais geral é x = A cos(wt + )
onde A = amplitude 
w = frequência angular
 = fase 
 Para uma massa em uma mola:
A frequência não depende da amplitude!!
 Isso na realidade é geral para qualquer MHS !
 A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio, 
onde a força resultante é nula!
k
m
w 
13
Energia no pto. de equilibrio é cinética!
Energia Mecânica de um OHS é
Proporcional ao quadrado de sua Amplitude!
Energia no MHS
 Energia Mecânica Total: 2 21 1
2 2
E mv kx 
Energia
Cinética
Energia
Potencial
Elástica
Quando x=A ou x=-A (extremos):
2 2 21 1 1(0) ( )
2 2 2
E m k A kA  
x=-A
x=A
x=0
F=-kx
Quando x=0 (ponto de equilibrio):
2 2 2
0 0
1 1 1
(0)
2 2 2
E mv k mv  
Energia no MHS
 Energia Mecânica Total é constante:
)(sen
2
1
2
1 2222 ww  tAmmvEC )(cos
2
1
2
1 222 w  tkAkxEP
)](sen)([cos
2
1
2
1 2222 ww  ttkAkxETotal
2
2
1
kAETotal 
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Energia no MHS
Exercícios
1) Um bloco de massa 200g é preso a uma mola (massa desprezível) com 
constante elástica igual a 5N/m de modo que possa oscilar livremente na 
horizontal numa superfície sem atrito. O bloco é deslocado 5cm da sua 
posição de equilíbrio e é solto. 
a) Qual é o período desse movimento?
b) Determine a velocidade máxima do bloco;
c) Qual é a aceleração máxima do bloco?
d) Escreva as expressões para o deslocamento, velocidade e aceleração em 
função do tempo
 T=1,26s
 vmax=0,25m/s
 amax=1,25m/s
2
x(t) = 0,05 cos(5t)
v(t) = - 0,25 sen(5t)
a(t) = - 1,25 cos(5t)
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O Pêndulo Simples
 Um pêndulo é feito ao 
suspender uma massa m na 
extremidade de um fio de 
comprimento. 
 Encontre a frequência de 
oscilação para pequenas 
amplitudes.
q L
m
mg
z
Pêndulo Simples: Período
q L
d m
mg
z
FT
mg cosqmg senq
x
sinF mg mgq q   
Usando x=Lq, temos (força resultante):
Força tangencial (restauradora)
2
2
2
2
.
dt
d
mL
dt
xd
mamF
q

(sen q  q para pequenos q
qw
q
q
q
2
2
2
2
2

dt
d
mg
dt
d
mL
Igual ao caso da mola!
L
g
w 
Que é idêntica à Equação 
diferencial do MHS !
q = q0 cos(wt + )
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Pêndulo Simples: Período
q L
d m
mg
z
FT
mg cosqmg senq
x
1 1
2
g
f
T L
 Somente válido para q pequeno!
2
2
2
d
dt
q
w q  w  g
L
onde
g
L
T 
w

2
2

Período e freqüência dependem apenas do comprimento do fio e da 
aceleração da gravidade (não depende da massa!)
Pêndulos
 O período não depende 
da massa! 
 O período depende 
apenas do comprimento 
do pêndulo.
2T l g 
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Energia no Pêndulo Simples
0pE 
q
L
d=Lsenθ
m
z
cosL q
2 2
(1 cos )
L L d
L q
  

2
2
k p
mv
E E E mgh   
2 2
0 sin (1 cos )E mv mgLq q  
Exercício (Pêndulo Simples)
Um homem entra em uma torre alta e precisa saber a sua altura. Ele 
observa que um pêndulo longo se estende do teto até quase o chão e o 
seu período é 12,0s. 
a) Qual é a altura da torre? (adote g=9,8m/s2)
b) Se o pêndulo descrito neste exemplo for levado à Lua, onde a 
aceleração da gravidade é de 1,67m/s2, qual será o perído lá?
a)  35,7 m
b)  29,1 s
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Oscilador Harmônico 
Amortecido
F kx bv  
bvR 
Força Resistiva
ma
2
2
dt
xd
m
dt
dx
bkx 
)cos()()( )2/(   wtAetx tmb
Para força resistiva pequena: 
mkb 4
(oscilador sub-amortecido) 
o Energia mecânica do sistema diminui no tempo
Oscilador Harmônico 
Amortecido
 A freqüência angular (w) de vibração do sistema 
amortecido:
2
0
2
2







m
b
ww
w0 freqüência natural de oscilação 
m
k
0w
Na prática, ambos w0 e f0 são descritos como freqüencia natural
a) Amortecimento sub-crítico (bsub/2m < w0)
b) Amortecimento crítico (bc/2m = w0)
c) Amortecimento super-crítico (bsup/2m > w0)
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Oscilações Forçadas
 Força externa aplicada em intervalos de tempo 
regulares (força periódica) pode compensar a 
energia dissipada pelo amortecimento  F(t), de tal 
forma a manter a amplitude de oscilação
Ex: F(t)=F0 sen(wt+) 
2
2
0 sen
dt
xd
m
dt
dx
bkxwtF 
Se a freqüência da força propulsora coincide (ou está muito 
próxima) da freqüência natural da oscilação, ocorre: 
Ressonância  (w  w0)
)cos()(  wtBtx
Ressonância
o Aumento da amplitude de oscilação quando a freqüência 
da força propulsora está próxima da freqüência natural 
de oscilação 
 resposta máxima a uma força propulsora periódica
Ressonância
20
Ressonância
Exemplo Dramático de Ressonância
o Condição: força aplicada em fase 
com o movimento (e mesma 
freqüência angular), ou seja, força e 
movimento estão em ressonância
o Na ausência de um amortecimento 
adequado, o sistema poderá se 
romper por excesso de amplitude
• As tensões internas ultrapassam os valores 
limites de resistência do material
Exemplos de Ressonância
Desastre na Tacoma Narrows Bridge, 1940
21
Exemplos de Ressonância
Oscilações em células ciliadas...
As vibrações dos líquidos dentro da cóclea produz 
vibrações nas células ciliadas que convertem o 
som em sinais elétricos
Oscilação e Vibração...
 Movimento Oscilatório Períodico (oscilação simples) 
 apresenta uma freqüência única
 Movimento Vibratório (movimento complexo de 
oscilações diferentes)
 Produto da somatória das diferentes freqüências que o 
compõem
 Oscilações e Vibrações Audíveis  faixa de 
freqüência sensível do sistema auditivo
Oscilações simples audíveis - TOM (Tom Puro)
 Vibrações audíveis - SOM (superposição de vários tons 
puros)
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Oscilação e Vibração...
 RESUMO
Fenômenos 
Periódicos
Oscilatórios
Não-Oscilatórios
Oscilações Simples
Vibrações
Tom
Som
Forma de Onda 
(Descrição Matemática)
0 10 20 30
-10
-5
0
5
10
y 
(c
m
)
x (cm)
(a)
0 10 20 30
-10
-5
0
5
10
y 
(c
m
)
t (s)
(a)
“Variações temporais” “Variações espaciais”
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Descrição Matemática
 Supor que temos alguma 
função y = f(x):
x
y
f(x-a) tem a mesma forma, só que deslocada 
uma distância a à direita:
x
y
x=a0
0
Seja a=vt então f(x-vt) será 
descrita pela mesma forma, se 
movendo à direita com 
velocidade v. x
y
x=vt 0
v
Ainda matemática...
 Considere uma onda harmônica 
em x com comprimento de onda l.
 
2
cosy x A x

l
 
  
 
Se a amplitude for máxima em
x=0 essa onda tem a forma:
y
x
l
A
Mas, se ela está se movendo 
para a direita com velocidade 
v ela será descrita por:
y
x
v
   
2
, cosy x t A x vt

l
 
  
 
x
l

q
2

24
Mais matemática...
   
2
, cosy x t A x vt

l
 
  
 
Usando vista anteriormente:
2
k

l

Desse modo, vimos que uma simples onda 
harmônica se movendo com velocidade 
v na direção x é descrita pela equação:
Podemos escrever a equação como:    , cosy x t A kx tw 
(e como descrever uma onda se movendo na direção -x ?)













T
tx
Atxy
l
2cos),(
T
l
 
E definindo o número de Onda k:
Bem como que a freqüência angular (w): 
T
w
2

Resumo matemático
A formula 
descreve uma onda harmônica de 
amplitude A se movendo na 
direção +x. 
   , cosy x t A kx tw 
y
x
l
A
Cada ponto na onda oscila na direção y com 
movimento harmônico simples de frequência 
angular w.
2
k

l O comprimento de onda é:
v
k
w
A velocidade da onda é:
A quantidade k é chamada “número de onda”.