Guia de Transição- Matemática 1

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Governador 
João Doria 
Secretário da Educação 
Rossieli Soares 
Secretário Executivo 
Haroldo Corrêa Rocha 
Chefe de Gabinete 
Renata Hauenstein 
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB 
Caetano Siqueira 
Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gestão da Educação Básica 
– DEGEB 
Herbert Gomes da Silva 
Centro do Ensino Fundamental dos Anos Finais, do Ensino Médio e da Educa-
ção Profissional – CEFAF 
Ana Joaquina Simões Sallares de Mattos Carvalho 
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Professoras e professores, 
 
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo considera fundamental as 
ações colaborativas na rede de ensino para a consolidação de políticas educacionais 
voltadas à qualidade da aprendizagem dos alunos. A colaboração dos professores na 
construção de materiais de apoio articula o Currículo proposto com a prática pedagó-
gica, onde a aprendizagem ocorre nos espaços escolares. Esse é o desafio para 2019. 
A Educação Paulista, nos últimos anos, passou da universalização da Educa-
ção Básica, etapa praticamente vencida, para a construção de uma escola de quali-
dade, em que os gestores, os professores e os alunos, sujeitos do processo educativo, 
e que levam o ensino à aprendizagem profícua, possam encontrar espaço efetivo para 
o desenvolvimento pessoal e coletivo, na perspectiva democrático-participativa. 
Nesse sentido, desde 2008, foi implementado o Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, com o apoio dos materiais didáticos do Programa São Paulo Faz Escola. 
Após dez anos da implantação do Currículo os materiais de apoio foram impor-
tantes, no sentido de fornecer subsídios necessários para orientações e ações peda-
gógicas em sala de aula que, pelo histórico, sempre se resguardaram na convergência 
das políticas públicas educacionais em prol da aprendizagem à luz das diretrizes do 
Currículo Oficial do Estado de São Paulo. 
Em 2019, um ano de transição, os materiais de apoio devem ser reconstruídos 
à luz da Base Nacional Comum Curricular - BNCC e do Currículo Paulista, que repre-
senta um novo período educacional, marcado pelo regime de colaboração entre o Es-
tado e os Municípios. 
 Reafirmando os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-
los em seu trabalho, atribuindo significado e assegurando a construção colaborativa, 
apresentamos o Guia de Transição do São Paulo faz Escola, que tem como objetivo 
orientar diversas práticas e metodologias em sala de aula, que sirvam como ponto de 
partida para a construção dos novos materiais em 2020, com a participação de todos. 
Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com as equipes 
curriculares da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica, apresentam sugestões 
que podem ser adequadas, redefinidas e reorientadas a partir da prática pedagógica, 
e, importante ressaltar, que para sua implementação na sala de aula, teremos como 
protagonistas os professores e os alunos. 
Juntos podemos redefinir o papel da escola, fortalecendo-a como uma institui-
ção pública acessível, inclusiva, democrática e participativa, com a responsabilidade 
de promover a permanência e o bom desempenho de toda a sua população estudantil. 
Contamos com o engajamento e a participação de todas e todos! 
 
Caetano Siqueira 
Coordenador da CGEB 
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Apresentação 
 
 
 
 
O Guia de Transição é um documento que transpassa o Currículo Oficial do 
Estado de São Paulo, a Base Nacional Comum Curricular - BNCC e o Currículo Pau-
lista, fundamentando as ações para a implementação de novos materiais de apoio ao 
professor do Ensino Fundamental Anos Finais e do Ensino Médio. O conjunto do guia, 
em dois volumes, é composto por 4 cadernos de orientações para o professor, por 
área de conhecimento. 
Espera-se que esses materiais de cada componente possam ser adaptados e 
reeditados pelo professor conforme o desenvolvimento das atividades realizadas com 
seus alunos. 
Em cada caderno do guia, são apresentadas orientações pedagógicas, meto-
dológicas e de recursos didáticos, conjunto de competências e habilidades a serem 
desenvolvidas no percurso escolar, incluindo em seus tópicos a avaliação e a recupe-
ração. Além de apoiar a prática docente, oferecem fundamentos importantes para as 
ações de acompanhamento pedagógico e de formação continuada, que contam com 
a mediação dos Professores Coordenadores, dos Supervisores de Ensino, dos Dire-
tores do Núcleo Pedagógico e dos Professores Coordenadores do Núcleo Pedagó-
gico, alinhando-se ao planejamento escolar 2019. 
É importante ressaltar que as orientações e atividades foram construídas pela 
rede estadual, o que faz que a sua implementação se apoie na experiência docente. 
 
 
 
Equipes Curriculares da CGEB 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
1. Introdução .................................................................................................................................................. 8 
2. A área de Matemática ............................................................................................................................. 8 
3. O currículo de Matemática .................................................................................................................... 9 
3.1 – Fundamentos para o ensino da Matemática .......................................................................... 9 
3.2 – A Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental. .................................................. 11 
3.3 – Organização dos conteúdos básicos....................................................................................... 11 
3.4 – As unidades temáticas da BNCC dos anos finais do Ensino Fundamental .................... 12 
3.5 – Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental, segundo a 
BNCC. ........................................................................................................................................................ 15 
4- Organização das grades curriculares. ............................................................................................... 17 
4.1. Grade Curricular do 6º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) .................................. 18 
4.1.1 Sistema de Numeração Decimal ........................................................................... 19 
4.1.2 Múltiplos e Divisores de um Número Natural ................................................... 22 
4.1.3 Operações com Números Naturais ...................................................................... 26 
4.1.4 Formas Geométricas ................................................................................................ 27 
4.2 Grade Curricular do 7º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) ................................... 29 
4.2.1 Múltiplos e Divisores ............................................................................................... 29 
4.2.2 As grandezas direta e inversamente proporcionais ......................................... 31 
4.2.3 Transformações geométricas ................................................................................ 36 
4.2.4 Medidas ...................................................................................................................... 38 
4.3 Grade Curricular do 8º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) ................................... 39 
4.3.1 Princípio Multiplicativo da Contagem e Potenciação/Radiciação ................ 40 
4.3.2 Porcentagens ............................................................................................................. 43 
4.3.3 Construções geométricas ....................................................................................... 45 
4.3.4 Princípio multiplicativo da contagem e soma de probabilidades................. 51 
4.3.5 Elementos de pesquisa amostral .......................................................................... 54 
4.4 Grade Curricular do 9º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) ................................... 56 
4.4.1 Dos naturais aos reais .............................................................................................. 56 
4.4.3 Ideia de variação e funções .................................................................................... 62 
4.4.4 Construção e análise de gráficos .......................................................................... 64 
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5 Resumo das habilidades a serem desenvolvidas no 1º bimestre ............................................... 67 
6- Ensino Médio ......................................................................................................................................... 71 
6.2 Concepções da Matemática no Ensino Médio nos documentos oficiais .......................... 71 
6.3 Competências Específicas de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio – 
BNCC – Ensino Médio ........................................................................................................................... 73 
7. Grades curriculares – Ensino Médio ................................................................................................. 75 
7.1 Currículo Oficial / BNCC – Competência Específica 1 – (1º Bimestre) ............................... 76 
7.1.1 – Aprofundamento dos estudos sobre as funções do 1º e 2º graus............ 77 
7.1.3 Potências e ordens de grandezas ......................................................................... 80 
7.1.5 Isometrias no plano cartesiano ............................................................................. 82 
7.2. Currículo Oficial / BNCC – Competência Específica 2 - (1º Bimestre) ............................... 83 
7.2.1 Geometria espacial métrica ................................................................................... 84 
7.3 Currículo Oficial / BNCC – Competência Específica 3 – (1º Bimestre) ............................... 86 
7.3.1 Equações simultâneas ou sistemas de equações ............................................. 86 
7.3.5 Semelhança de triângulos e relações métricas. ................................................ 89 
7.3.8 Revisitando o conceito de razão ........................................................................... 93 
7.4 Currículo Oficial /BNCC – Competência Específica 4 (1º Bimestre) ................................... 96 
7.4.1 Representação gráfica de funções polinomiais de grau 1 .............................. 96 
7.4.6 Utilização de linguagem de programação para a potencialização do 
aprendizado ....................................................................................................................................... 98 
7.4.7 Projeções e vistas ortogonais .............................................................................. 103 
7.4.8 Revisitando a construção de tabelas e gráficos na estatística..................... 108 
7.5 Currículo Oficial / BNCC – Competência Específica 5 .......................................................... 110 
7.5.1 Utilização de tabelas para a representação de uma função polinomial de 
grau 1 ................................................................................................................................................. 110 
7.5.2 Utilização de tabelas para representação de função polinomial de grau 2.
 ............................................................................................................................................................. 114 
7.5.3 Ladrilhamento de planos ...................................................................................... 118 
8 Resumo das habilidades a serem desenvolvidas no 1º bimestre ............................................. 119 
9 Referências Bibliográficas ................................................................................................................... 122 
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10 Créditos ............................................................................................................................................... 123 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Introdução 
Este documento tem como objetivo revisitar o Currículo Oficial do Estado de São Paulo, 
referente a área de Matemática e suas tecnologias, destacando nos tópicos iniciais seus pon-
tos, a fim de proporcionar uma possível reflexão sobre a área e o respectivo componente cur-
ricular. 
Posteriormente, será apresentado um panorama referente às habilidades constantes 
no Currículo Oficial, de cada segmento dos Anos Finais do Ensino Fundamental e sua interli-
gação com as habilidades do Currículo Paulista, seguidas de algumas orientações curriculares. 
2. A área de Matemática 
A opção pela constituição da Matemática como uma área específica do conhecimento 
neste Currículo está baseada em três razões principais: 
A primeira leva em consideração que ela apresenta um universo próprio, muito rico de 
ideias e objetos específicos, como os números e as operações, as formas geométricas e as 
relações entre eles. Tais ideias e objetos são fundamentais para a expressão pessoal, a com-
preensão dos fenômenos, a construção de representações significativas e argumentações 
consistentes nos mais variados contextos. 
Outra razão é que a Matemática compõe com a língua materna um par fundamental, 
mas complementar. 
Naturalmente, existem diferenças fundamentais entre os significados de precisão na 
Língua e na Matemática e os alunos devem ser conduzidos a apreciar a beleza presente tanto 
na exatidão dos cálculos quanto no rigor expressivo do texto poético. 
Finalmente, uma terceira razão é que a matemática propicia a compreensão, utilização 
e criação das tecnologias digitais de informação e comunicação. Lembra-se, entretanto, que 
a apresentação da Matemática como uma área específica não busca uma amplificação de suas 
supostas peculiaridades, nem como um tema particularmente relevante, mas sim busca-se 
criar as condições para uma exploração mais adequada das possibilidades de a Matemática 
9 
 
servir às outras áreas, na tarefa de transformação da informação em conhecimento em todas 
as suas formas de manifestação. 
3. O currículo de Matemática 
3.1 – Fundamentos para o ensino da Matemática 
O Currículo do Estado de São Paulo aponta como objetivo principal mapear o vasto 
conhecimento acumulado pela humanidade em áreas e disciplinas, articulando-as de tal modo 
que não haja uma delimitação rígida de fronteiras entre as disciplinas. 
Defende, ainda que em cada componente curricular, os conteúdos devem ser organi-
zados de modo a possibilitar que os alunos adentrem ao complexo universo do conhecimento, 
em busca do desenvolvimento das competências básicas, as quais se constituirão eixos norte-
adores educacionais. 
E, como todos os adultos lidam com números, medidas, formas, operações; leem e 
interpretam textos e gráficos, vivenciam relações de ordem e de equivalência; argumentam e 
tiram conclusões a partir de informações, é consenso que a Matemática possibilita o desen-
volvimento de competências que os indivíduos necessitam em suas ações. 
Ações estas referidas à contextos práticos. Mas, tão importante quanto referir o que 
se aprende a contextos práticos é ter a capacidade de abstrair, a realidade factual, imaginar 
contextos ficcionais, situações inventadas que proponham soluções novas para problemas 
efetivamente existentes. Limitar-se aos fatos, ao que já está feito,pode conduzir ao mero 
fatalismo. Sem tal abertura para o mundo da imaginação, do que ainda não existe enquanto 
contexto, estaríamos condenados a apenas reproduzir o que já existe, consolidando um con-
servadorismo, no sentido mais pobre da expressão. 
Ainda que o desenvolvimento de tal capacidade de abstração esteja presente nos con-
teúdos de todas as disciplinas, ela encontra-se especialmente associada aos objetos e aos con-
teúdos de Matemática. 
Além disso a Matemática e a língua materna têm sido as disciplinas básicas na cons-
trução dos currículos escolares, em todas as épocas e culturas, havendo um razoável consenso 
ao fato de que sem o desenvolvimento adequado de tal eixo linguístico/lógico matemático a 
formação pessoal não se completa. 
 
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Enfim, o Currículo do Estado de São Paulo, considerado em toda sua plenitude ao longo 
da escolarização básica, vislumbra articular as ações educacionais em três eixos de tal modo 
que possibilite o desenvolvimento de: 
 o eixo expressão/compreensão: a capacidade de expressão do eu, por meio das diver-
sas linguagens, e a capacidade de compreensão do outro, do não eu, do que me comple-
menta, o que inclui desde a leitura de um texto, de uma tabela, de um gráfico, até a com-
preensão de fenômenos históricos, sociais, econômicos, naturais etc.; 
 o eixo argumentação/decisão: a capacidade de argumentação, de análise e de articu-
lação das informações e relações disponíveis, tendo em vista a viabilização da comunica-
ção, da ação comum, a construção de consensos e a capacidade de elaboração de sínteses 
de leituras e de argumentações, tendo em vista a tomada de decisões, a proposição e a 
realização de ações efetivas; 
 o eixo contextualização/abstração: a capacidade de contextualização dos conteúdos 
estudados na escola, de enraizamento na realidade imediata, nos universos de significa-
ções, sobretudo no mundo do trabalho, e a capacidade de abstração, de imaginação, de 
consideração de novas perspectivas, de virtualidades, de potencialidades para se conceber 
o que ainda não existe. 
No primeiro eixo, ao lado da língua materna, a Matemática compõe um par comple-
mentar como meio de expressão e de compreensão da realidade. 
No eixo argumentação/decisão, o papel da Matemática, também fica evidente, como 
instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico e na obtenção de condições neces-
sárias para análise racional. 
No que se refere ao terceiro eixo de competências, a Matemática é uma instância bas-
tante adequada, ou mesmo privilegiada, para se aprender a lidar com os elementos do par 
conceito/abstrato. Mesmo sendo considerados especialmente abstratos, os objetos matemá-
ticos são os exemplos mais facilmente imagináveis para se compreender a permanente arti-
culação entre as abstrações e a realidade concreta. 
Tais eixos podem abrir horizontes e perspectivas de transformação da realidade, con-
tribuindo para a imaginação de relações e situações que transcendem os contextos já existen-
tes. 
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 3.2 – A Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental. 
O Currículo defende que a Matemática assim como a língua materna, com a qual inte-
rage continuamente precisam articular-se permanentemente com todas as formas de expres-
são, especialmente com as que são associadas às tecnologias informáticas. 
Além disso, nos lembra que os conteúdos devam ser considerados um meio para o 
desenvolvimento de competências citadas anteriormente: expressão/compreensão; argu-
mentação/decisão e contextualização/abstração e que entre estes conteúdos encontram-se 
as ideias fundamentais a serem exploradas, pois elas constituem a razão do estudo das disci-
plinas. 
A proporcionalidade, por exemplo, é considerada uma ideia fundamental na Matemá-
tica, assim como as ideias de equivalência, ordem e aproximação, uma vez que estão presen-
tes nos mais diversos conteúdos ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental: no estudo 
das frações, na semelhança de triângulos, nas funções do 1º grau, nas equações, nos estudos 
de área e volume, na construção dos algoritmos, na realização de cálculo do dia a dia e assim 
por diante. 
 
 
 
 
 
3.3 – Organização dos conteúdos básicos. 
Os conteúdos disciplinares de Matemática, nos Anos Finais do Ensino Fundamental, 
encontram-se distribuídos em três grandes blocos temáticos: NÚMEROS, GEOMETRIA e RE-
LAÇÕES. 
O trabalho com o bloco de conteúdo denominado Números tem por objetivo principal 
um enriquecimento do escopo da linguagem numérica, inicialmente restrita a situações e pro-
blemas envolvendo a contagem e a medida. As sucessivas ampliações dos campos numéricos 
por meio de situações significativas que problematizem essa necessidade constituem o cami-
nho natural para tal aprofundamento. 
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Neste bloco, estão contemplados o estudo das representações algébricas, bem como 
das operações correspondentes, ou seja, a iniciação à Álgebra que se dá a partir do 7º ano do 
Ensino Fundamental, incluindo a generalização de padrões geométricos e numéricos e o es-
tudo das equações, potencializando o simbolismo algébrico na constituição de uma linguagem 
cada vez mais rica e abrangente. 
Em Geometria, nos Anos Finais do Ensino Fundamental, a preocupação inicial é o re-
conhecimento, a representação e a classificação das formas planas e espaciais, preferencial-
mente trabalhadas em contextos concretos com os estudantes do 6º e 7º anos e a ênfase na 
construção de raciocínio lógico dedutivo nos trabalhos dos 8º e 9º anos do Ensino Fundamen-
tal. Um aspecto importante a ser destacado na apresentação da Geometria, tanto nos Anos 
Finais do Ensino Fundamental, é o fato de que o conhecimento geométrico apresenta quatro 
faces, que se relacionam permanentemente na caracterização do espaço: a percepção, a con-
cepção, a construção e a representação. Não são fases, que se sucedem linear e periodica-
mente, mas faces, que se tocam mutuamente, contribuindo para uma compreensão mais rica 
da natureza do espaço em que vivemos. 
Quanto às Relações, o ponto de partida natural é o estudo das medidas; medir é com-
parar uma grandeza com um padrão e expressar o resultado da comparação por meio de um 
número. 
O estudo das medidas e das relações entre elas, ou seja, das relações métricas, parece 
especialmente adequado para favorecer a aproximação entre as diversas disciplinas, ou seja, 
a interdisciplinaridade, e mesmo a consideração de questões mais amplas do que as de natu-
reza disciplinar, que ingressam no terreno da transdisciplinaridade. 
Uma vez que a ideia de número nasce tanto da contagem quanto da medida e que o 
estudo da Geometria certamente envolve relações métricas, as interconexões entre os três 
blocos temáticos: Números, Geometria, Relações, ocorrem quase que naturalmente. 
3.4 – As unidades temáticas da BNCC dos anos finais do Ensino Fundamental 
Diferentemente da proposta apresentada no Currículo de Matemática da Rede Esta-
dual de Ensino, a Base Nacional, propõe cinco unidades temáticas, correlacionadas que ori-
entam a formulação de habilidades a ser desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental. Cada 
uma delas pode receber ênfase diferente a depender do ano de escolarização, a saber, Nú-
meros, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e Estatística. 
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Na unidade temática Números, cuja finalidade é desenvolver o pensamento numérico, 
somos lembrados, também que: 
...No processo da construção da noção de número os alunos precisam desen-
volver entre outras, as ideias de aproximação proporcionalidade, equivalên-
cia e ordem, noções fundamentais da Matemática. (MEC, 2017, p. 266) 
Os autores, entendem que para a construção da noção de número, é importanteque 
sejam propostas situações significativas com sucessivas ampliações dos campos numéricos, 
nas quais devam ser enfatizados os registros, a correta utilização de uma proposta de ensino, 
seus significados e as respetivas operações nos campos numéricos. 
Algumas características essenciais para o desenvolvimento desta unidade temática, 
ainda são destacadas, como a “interdisciplinaridade interna” com outros temas: 
...Cabe ainda destacar que o desenvolvimento do pensamento numérico não 
se completa, evidentemente, apenas com objetos de estudos na unidade Nú-
meros. Esse pensamento é ampliado e aprofundado quando se discutem si-
tuações que envolvem conteúdo das demais unidades temáticas: Álgebra, 
Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. (MEC, 2017, 
p. 267) 
Na unidade temática Álgebra, os autores propõem a iniciação do raciocínio algébrico 
nos anos iniciais do Ensino Fundamental, com as ideias de regularidade, generalização de pa-
drões e propriedades da igualdade, salientando que nesta fase não se propõe o uso de letras. 
Para os Anos Finais, os estudos deste tema devem retomar, aprofundar e ampliar o 
que foi trabalhado nos anos iniciais, de tal modo que ao final do Ensino Fundamental, os es-
tudantes devam compreender os diferentes significados das variáveis numéricas em uma ex-
pressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a regularidade de 
uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sequência algébrica e esta-
belecer as conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. Lembrando que: 
As técnicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano car-
tesiano, devem ser desenvolvidas como uma maneira de representar e resol-
ver determinados tipos de problema, e não como objetos de estudo em si 
mesmos. (MEC, 2017, p. 269) 
Um fator em que se pode atrelar algum aspecto computacional no tema Álgebra, seria 
a importância dos algoritmos que podem ser utilizados nas aulas de Matemática. Salienta-se 
que um algoritmo é uma sequência finita de procedimentos que permite resolver um deter-
14 
 
minado problema, decompondo um procedimento complexo em partes mais simples, relaci-
onando-as e ordenando-as, e pode ser representado graficamente por um fluxograma, enfim 
os autores destacam que: 
... A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a linguagem algé-
brica, sobretudo em relação ao conceito de variável. Outra habilidade rela-
tiva à Álgebra que mantém estreita relação com o pensamento computacio-
nal é a identificação de padrões para se estabelecer generalizações, proprie-
dades e algoritmos. (MEC, 2017, p. 269) 
O ensino de Geometria nos anos finais, também como em outros temas consolida e 
amplia as aprendizagens da etapa anterior de estudos, as expectativas referentes aos anos 
finais, enfatizam o desenvolvimento do conhecimento geométrico relativos à Geometria 
plana, nas quais os estudantes, aprofundam os procedimentos relativos às transformações, 
ampliações/reduções de figuras planas, e que saibam aplicar esses e outros conhecimentos 
para realizar demonstrações simples. Assim, conforme a opinião dos autores: 
Assim a Geometria não pode ficar reduzida a mera aplicação de fórmulas de 
cálculo de área e de volume nem a aplicações numéricas imediatas de teore-
mas sobre relações de proporcionalidade em situações relativas a feixes de 
retas paralelas cortadas por retas secantes ou do teorema de Pitágoras. 
(MEC, 2017, p. 270) 
E finalmente, o mais importante, o ensino da Geometria deverá proporcionar o de-
senvolvimento do raciocínio hipotético dedutivo. 
No que se refere ao eixo Grandezas e Medidas, o documento enfatiza que o reconhe-
cimento das grandezas associadas às figuras geométricas auxilie os estudantes a resolver pro-
blemas envolvendo essas grandezas com o uso de unidades de medida padronizadas mais 
usuais. Além disso espera-se o estabelecimento de relações entre tais grandezas com as gran-
dezas não geométricas, como; densidade, velocidade, energia, potência, entre outras e final-
mente desenvolver a formulação de expressões de cálculo de áreas de figuras planas e volume 
de poliedros, especialmente os prismas. 
Por último, temos o tema Probabilidade e estatística, a expectativa é que os alunos 
saibam planejar e construir relatórios de pesquisas estatísticas descritivas, incluindo medidas 
de tendência central e construção de tabelas e diversos tipos de gráfico. 
Encerrando este tópico, cabe ressaltar que a escolha destas unidades temáticas, não é 
uma regra a ser seguida para o desenho dos currículos, pois esta divisão serve tão somente 
para facilitar a compreensão dos conjuntos de habilidades e de como elas se inter-relacionam 
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no componente curricular propriamente dito e com outras áreas de conhecimento, conside-
rando a dualidade ferramenta-objeto, da aplicação da Matemática. 
Desta forma, a Equipe Curricular de Matemática, entende que os eixos temáticos: Nú-
meros, Geometria e Relações, correspondem e inserem perfeitamente as cinco unidades te-
máticas destacadas anteriormente, cuja tipologia e nomenclatura será adotada neste guia de 
transição. 
3.5 – Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental, se-
gundo a BNCC. 
A BNCC, entende que o desenvolvimento dos processos matemáticos, potencializam o 
desenvolvimento de competências fundamentais para o letramento matemático (raciocínio, 
representação, comunicação e argumentação) e para o desenvolvimento do pensamento 
computacional e assim, garantir o desenvolvimento de competências específicas, destacadas 
a seguir, conforme registro no documento oficial. 
 Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preo-
cupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e tecnológicos e para 
alicerçar descobertas e construções, inclusive no mundo do trabalho. 
 Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir 
argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender 
e atuar no mundo. 
 Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da 
Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas 
do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar 
conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de 
soluções. 
 Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas 
práticas sociais e culturais de modo a investigar, organizar, representar e comunicar infor-
mações relevantes, para interpretá-las e avalia-las crítica e eticamente, produzindo argu-
mentos convincentes. 
 Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponí-
veis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conheci-
mento, validando estratégias e resultados. 
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 Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imagina-
das, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respos-
tas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, 
esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever al-
goritmos, como fluxogramas, e dados). 
 Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência so-
cial, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a 
diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer 
natureza. 
 Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no plane-
jamento e desenvolvimentode pesquisas para responder a questionamentos e na busca 
de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discus-
são de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e apren-
dendo com eles. 
Paralelamente, no Currículo Oficial, são indicadas as competências gerais em todas as 
áreas, especificamente no ensino da Matemática, as ideias centrais permeiam em todos os 
tópicos, e estas ideias sugerem centros de interesse como: equivalência, proporcionalidade, 
medida, aproximação, problematização, otimização, entre outras, nas quais buscam construir 
uma ponte que conduza dos conteúdos às competências pessoais: 
 capacidade de expressão, que pode ser avaliada por meio da produção de registros de 
relatórios, de trabalhos orais e/ou escritos. 
 capacidade de compreensão, de elaboração de resumos, de sínteses, de mapas, da 
explicação de algoritmos etc.; 
 capacidade de argumentação, de construção de análises; justificativas de procedimen-
tos, demonstrações etc.; 
 capacidade propositiva, de ir além dos diagnósticos e intervir na realidade de modo 
responsável e solidário; 
 capacidade de contextualizar, de estabelecer relações entre os conceitos e teorias es-
tudados e as situações que lhes dão vida e consistência; 
 capacidade de abstrair, de imaginar situações fictícias, de projetar situações ainda não 
existentes. 
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4- Organização das grades curriculares. 
Tendo em mente as ponderações anteriores, apresentamos uma grade curricular para 
a transição do material de apoio do Currículo do Estado de São Paulo, contendo os temas, a 
descrição das habilidades do Currículo Oficial de Matemática e sua respectiva relação com o 
Currículo Paulista, além de algumas orientações pedagógicas, para os quatro anos finais do 
Ensino Fundamental. 
A lista dos conteúdos curriculares e habilidades, em Matemática, não é rígida e inflexí-
vel. O que se pretende é a articulação entre os temas (álgebra, geometria, grandezas e medi-
das, números e probabilidade e estatística), tendo em vista os princípios que fundamentam o 
Currículo Oficial: a busca de uma formação voltada para as competências pessoais, a aborda-
gem dos conteúdos que valorize a cultura e o mundo do trabalho, a caracterização da escola 
como uma organização viva, que busca o ensino, mas que também aprende com as circuns-
tâncias. 
Enfim, ao fixar os conteúdos disciplinares/objetos de conhecimento, é preciso ter em 
mente que a expectativa de todo o ensino é que a aprendizagem efetivamente ocorra. As dis-
ciplinas curriculares não são um fim em si mesmas, o que se espera dos conteúdos é que eles 
realmente possam ser mobilizados, tendo em vista o desenvolvimento de competências pes-
soais, tais como a capacidade de expressão, de compreensão, de argumentação etc. 
Desta forma, os quadros apresentados destacam as habilidades a serem desenvolvidas 
pelos estudantes em cada unidade tem. Tais habilidades traduzem, de modo operacional, as 
ações que os alunos devem ser capazes de realizar, ao final de um determinado estágio de 
aprendizagem, após serem apresentados aos conteúdos curriculares listados. 
18 
 
4.1. Grade Curricular do 6º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) 
Tabela 1 - Números - 6º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Números 
 
 Números na-
turais. 
 
o Característi-
cas do Sis-
tema de Nu-
meração De-
cimal, bases e 
valor posicio-
nal. 
 
 
 
 
 
  Números 
 
 Sistema de 
numeração 
decimal: ca-
racterísticas, 
leitura, es-
crita e com-
paração de 
números na-
turais e de 
números ra-
cionais re-
presentados 
na forma de-
cimal. 
(EF06MA02) Reconhecer 
o sistema de numeração 
decimal como fruto de 
um processo histórico, 
percebendo semelhanças 
e diferenças com outros 
sistemas de numeração, 
de modo a sistematizar 
suas principais caracterís-
ticas (base, valor posicio-
nal e função do zero), uti-
lizando, inclusive, a com-
posição e decomposição 
de números naturais e 
números racionais em 
sua representação deci-
mal. 
 
19 
 
4.1.1 Sistema de Numeração Decimal 
O desenvolvimento desta habilidade deve ser tratado inicialmente por meio de uma 
retomada de conceitos que foram ou não adquiridos na etapa anterior de estudos, prevale-
cendo assim o caráter diagnóstico da habilidade em questão. 
Para uma sondagem inicial sugere-se a diagnose1 da capacidade cognitiva do estu-
dante em se realizar agrupamentos, desta forma sugerimos a utilização das atividades deno-
minadas: “Contando de diferentes maneiras” da Situação de Aprendizagem 1, vol. 1, 6º Ano, 
p. 10 a 13, ed. 2014-2017, e finalizando o tópico com a atividade: “Aprendendo com a experi-
mentação” p. 13 a 15, deste mesmo volume. 
Lembrando que neste momento não será necessária a revisita dos procedimentos re-
lativos ao quadro de valor-posição, pois, esta atividade trata de uma sondagem dos conheci-
mentos básicos dos alunos. 
Para aprofundamento dos saberes relativos a este tema disponibilizamos o link do ar-
tigo: “Sentido de número na infância: uma interconexão dinâmica entre conceitos e procedi-
mentos” – Barbosa H. H. J. (2007), disponível em: http://www.sci-
elo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf, acesso em 04/05/2018. 
Considerações sobre a avaliação 
Ao final do trabalho com a habilidade descrita, espera-se que os alunos tenham ampli-
ado o seu conhecimento do sistema de numeração decimal que servirá de base para a conti-
nuidade de seus estudos em cada unidade temática. 
Desta forma, elencamos os conceitos essenciais descritos para a habilidade mencio-
nada: 
 Compreender o funcionamento dos processos de contagem em diferentes bases, com 
ênfase na base dez; 
 Saber decompor um número natural nas unidades das diversas ordens, de acordo com 
o seu valor posicional. 
 
1 Descrição ou identificação da razão do problema numa certa circunstância. 
20 
 
Orientação para recuperação 
Caso as expectativas mínimas de aprendizagem não tenham sido plenamente atingidas 
pela maioria dos estudantes, o professor poderá utilizar uma das aulas, para sistematizar no-
vamente os tópicos relativos à habilidade, utilizando, por exemplo, a atividade denominada: 
Aprendendo com a experimentação, descrita na atividade 1 do Material de Apoio ao Currículo 
do Estado de São Paulo (2014), 6º ano, Vol. 1, p. 13 e 14. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo +2 bem 
como as Aventuras do Currículo +3 e as atividades Currículo +4, relativos ao conteúdo proposto 
nesta seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (Acesso em 06/12/2018) 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ 
(Acesso em 06/12/2018) 
Atividades Currículo ++: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso em 
06/12/2018) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2 - Números - 6º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Números e 
operações. 
 
 Números 
naturais. 
Conhecer as caracte-
rísticas e proprieda-
des dos números na-
turais: significado 
dos números primos, 
 Números 
 
 Fluxograma 
para deter-
(EF06MA04A) Reconhecer um 
fluxograma a partir da sua es-
trutura e de seus elementos. 
(EF06MA04B) Ler e interpretar 
um fluxograma, reconhecendo2 Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
3 Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ 
4 Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
21 
 
 
 Múltiplo e 
divisores, 
Números 
Primos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de múltiplos e diviso-
res. 
minar a pari-
dade de um 
número na-
tural. 
 Múltiplos e 
divisores de 
um número 
natural. 
 Números pri-
mos e com-
postos. 
 
 
 
seus benefícios para a compre-
ensão de um dado contexto. 
(EF06MA04C) Construir algo-
ritmo em linguagem natural e 
representá-lo por fluxograma 
que indique a resolução de um 
problema simples (por exem-
plo, se um número natural 
qualquer é par). 
(EF06MA05) Classificar núme-
ros naturais em primos e com-
postos, estabelecer relações 
entre números, expressas pe-
los termos “é múltiplo de”, “é 
divisor de”, “é fator de”, e es-
tabelecer, por meio de investi-
gações, critérios de divisibili-
dade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 
100 e 1000. 
(EF06MA06) Resolver e elabo-
rar problemas que envolvam 
as ideias de múltiplo e de divi-
sor, múltiplos e divisores. 
 
22 
 
4.1.2 Múltiplos e Divisores de um Número Natural 
Números Naturais e suas características 
A associação mais imediata dos números naturais é com a ideia de contagem, ou seja, 
um número natural serve para representar determinada quantidade, um conceito que está 
implicitamente ligado ao princípio de cardinalidade e além disso, os números naturais são uti-
lizados para ordenar e identificar elementos de um conjunto. 
No estudo dos números naturais é importante o conhecimento de seus principais sub-
conjuntos: números pares, ímpares, primos, múltiplos e divisores. Existem diferentes manei-
ras de se explorar os conteúdos indicados, destacamos aqui a possibilidade para explorar a 
ideia de múltiplo através da observação/identificação de padrões em sequências numéricas. 
Partindo do pressuposto de que os alunos já conhecem as sequências dos números 
naturais (0, 1, 2, 3,...), dos números pares (0, 2, 4,...) e dos números ímpares (1, 3, 5,...), eles 
podem ser apresentados a sequências numéricas diferentes, em que tenham de descobrir o 
padrão de formação. Por exemplo, as sequências aditivas específicas, que se iniciem a partir 
do número 0, tal como (0, 6, 12, 18, 24, 30,...), que nada mais são do que a sequência dos 
múltiplos de um número natural. 
Da sequência dos múltiplos de um número natural, podemos ampliar para outros tó-
picos/conceitos fundamentais incluindo múltiplos comuns de dois números naturais, que im-
plica também na obtenção do menor (mínimo) múltiplo comum. 
Um conceito que está estritamente ligado à ideia de múltiplo é o divisor de um deter-
minado número, ou seja, se um número a é múltiplo de um número b, então b é divisor de a, 
sendo b≠0. 
Desta noção básica, surge a questão da divisibilidade de um número por outro e, con-
sequentemente, na comparação entre os divisores de dois números surge a questão de se 
estabelecer o maior (máximo) divisor comum entre eles. 
Por último, os critérios de divisibilidade permitem a iniciação dos estudos referentes à 
formação do conceito de número primo e de um processo em que irá subsidiar os assuntos 
posteriores, a decomposição de um número qualquer em fatores primos. 
23 
 
As atividades referentes a este assunto podem ser inicializadas destacando a explora-
ção da identificação de sequências numéricas, com o intuito de se identificar o seu padrão de 
formação, por meio de sequências aditivas e multiplicativas. Por exemplo, a partir de uma 
sequência de cinco números, estabelecer outros números desta sequência (vide atividade 1 
Situação de Aprendizagem 2: “Explorando os Números Naturais”, vol. 1, 6º Ano, p. 25 e 26, 
ed. 2014-2017). Da mesma forma, podemos iniciar o estudo da sequência dos múltiplos e dos 
múltiplos comuns, utilizando as atividades 4, 5 e 6 do caderno citado anteriormente, p. 27 e 
28, assim como sugerimos os exercícios 7 e 8, p. 30 e 31, para as atividades de divisores. 
Considerações sobre a avaliação 
No decorrer dos trabalhos referentes à habilidade descrita, a expectativa é a de que os 
alunos tenham ampliado seu conhecimento com relação aos principais conteúdos relaciona-
dos aos números naturais: múltiplos e divisores de um número natural, mínimo múltiplo co-
mum e máximo divisor comum, divisibilidade, números primos e decomposição em fatores. 
Alguns desses conteúdos possivelmente foram desenvolvidos nos anos iniciais do Ensino Fun-
damental, já no 6º ano tais conhecimentos serão aprofundados e consolidados, de forma a 
viabilizar a posterior ampliação do campo numérico com a introdução das operações com nú-
meros fracionários. 
A avaliação da aprendizagem deve ser realizada de forma contínua pelo professor, por 
meio de situações-problema ou atividades nas quais verifique os conceitos fundamentais a 
seguir: 
 Reconhecer regularidades em sequências numéricas aditivas e multiplicativas; 
 Resolver situações-problema envolvendo os conceitos de múltiplo e divisor comum. 
Orientação para Recuperação 
Caso as expectativas mínimas de aprendizagem não tenham sido plenamente atingidas 
pelos estudantes, o professor poderá utilizar algumas aulas para retomar os conteúdos estu-
dados, ou no início de cada aula revisitar alguns conceitos desta habilidade, procurando mos-
trar as articulações entre eles. Neste caso, referenciar que as ideias de múltiplos e divisores 
estão diretamente ligadas, pois um número somente é divisível por outro se o primeiro for 
múltiplo do segundo. Outra possibilidade é destacar que a decomposição de um número em 
24 
 
fatores envolve dois conceitos estudados: os números primos e a potenciação. Após esta re-
tomada, é possível propor aos alunos que refaçam algumas atividades já realizadas ou a pro-
posição de outras atividades, por exemplo, o jogo “Brincando com Divisores e Múltiplos” (dis-
ponível em: http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-
mat/jogos-no-ensino-de-matematica/6-ao-9-ano/). Nesse percurso, pode-se observar o mo-
vimento da aprendizagem dos alunos com relação às expectativas de aprendizagem já defini-
das. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo +5 bem 
como as Aventuras do Currículo +6 e as atividades Currículo +7, relativos ao conteúdo proposto 
nesta seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (Acesso em 06/12/2018) 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ 
(Acesso em 06/12/2018) 
Atividades Currículo ++: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso em 
06/12/2018) 
 
 
 
 
 
Tabela 3 - Números - 6º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números e ope-
rações. 
 
 Números natu-
rais. 
 
o Operações bási-
cas (+, –, ∙, ÷) 
Saber realizar 
operações com 
números naturais 
de modo significa-
tivo (adição, sub-
tração, multiplica-
ção, divisão, po-
tenciação). 
 Números 
 
 Operações 
(adição, 
subtração, 
multiplica-
ção, divisão 
e potencia-
ção). 
(EF06MA03) Solucionar e pro-
por problemas que envolvam 
cálculos (mentais ou escritos, 
exatos ou aproximados) com 
números naturais, por meio de 
estratégias pessoais, com 
compreensão dos processos 
neles envolvidos com e sem 
uso de calculadora. 
 
5 Plataforma Currículo+: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
6 Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ 
7 Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
25 
 
o Introdução às 
potências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aproxima-
ção de nú-
meros para 
múltiplos 
de potên-
cias de 10. 
 
 
 
 Álgebra 
 
 Proprieda-
des da 
igualdade 
(EF06MA12) Fazer estimativas 
de quantidades e aproximar 
números para múltiplos da po-
tência de 10 mais próxima. 
(EF06MA14) Reconhecer que a 
relação de igualdade matemá-
tica não se altera ao adicionar, 
subtrair, multiplicar ou dividir 
os seus dois membros por um 
mesmo número e utilizar essa 
noção para determinar valores 
desconhecidos na resolução 
de problemas. 
 
 
26 
 
4.1.3 Operações com Números Naturais 
Para que o aluno realize operações com números naturais de modo significativo é ne-
cessário enfatizar o trabalho com situações-problema, que envolvam as estruturas aditivas 
e/ou multiplicativas e possam ser resolvidos por meio de diferentes estratégias, ao invés de 
utilizar regras para a resolução ou possíveis algoritmos operacionais. 
Considerações sobre avaliação 
Quanto aos conceitos estabelecidos para a habilidade, esperamos que os alunos te-
nham ampliado o seu conhecimento do sistema de numeração decimal e também sobre as 
quatro operações aritméticas básicas, nas quais podemos destacar os seguintes conceitos es-
senciais: 
 Resolver situações-problema envolvendo as quatro operações básicas e as relações de 
igualdade; 
 Desenvolver procedimentos de cálculo mental (exato ou aproximado). 
Considerações sobre recuperação 
Com relação às operações básicas, deve-se retomar com os alunos o significado das 
quatro operações por meio de situações-problema. Compreender a ideia associada a cada 
operação é de fundamental importância para a resolução de problemas, relativos ao campo 
aditivo e/ou multiplicativo, que propiciam condições para que os alunos ampliem seus conhe-
cimentos. 
 Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as Aventuras do Currículo +, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (acesso em 06/12/2018) 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ 
(acesso em 06/12/2018) 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (acesso em 
06/12/2018) 
 
27 
 
Tabela 4 - Geometria - 6º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Geome-
tria 
 
 Formas 
geométri-
cas. 
 
o Formas 
planas. 
 
o Formas 
espaciais. 
 
 
 
 Geometria. 
 Plano carte-
siano: asso-
ciação dos 
vértices de 
um polígono 
a pares orde-
nados. 
 
(EF06MA16) Associar pares 
ordenados de números a pon-
tos do plano cartesiano do 1º 
quadrante, em situações 
como a localização dos vérti-
ces de um polígono. 
 
4.1.4 Formas Geométricas 
No 6º ano do Ensino Fundamental, no estudo de Geometria, é necessário que os alunos 
reorganizem, aprofundem e ampliem os conhecimentos relativos ao espaço, anteriormente 
desenvolvidos, para resolver problemas mais complexos de localização ou de forma. Segundo 
os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), o processo de ensino de Matemática deve visar 
o desenvolvimento do pensamento geométrico, por meio de situações de aprendizagem que 
levem o aluno a: 
 Resolver situações-problema de localização e deslocamento de pontos no espaço, re-
conhecendo as noções de direção e sentido, de ângulo, de paralelismo e de perpendicula-
rismo, elementos fundamentais para a constituição de sistema de coordenadas cartesia-
nas; 
Considerações sobre a avaliação 
Especificamente com relação aos temas geométricos explorados, espera-se que, ao fi-
nal das atividades, os alunos estejam aptos a: 
 Identificar visualmente, em figuras planas, paralelismo, perpendicularismo, seme-
lhança, congruência e simetria; 
28 
 
 Saber utilizar de forma apropriada o vocabulário geométrico mais preciso; 
 Saber agrupar figuras de acordo com determinado critério estabelecido; 
 Identificar elementos de um sólido geométrico (arestas, vértices, faces); 
 Representar um sólido por meio das vistas e planificações; 
 Identificar a forma de um sólido pela sua planificação; 
 Classificar sólidos de acordo com critérios estabelecidos. 
Orientações para a recuperação 
O estudo do espaço e das formas deve privilegiar a observação e a compreensão de 
relações e a utilização das noções geométricas para resolver problemas, em detrimento da 
simples memorização de fatos de um vocabulário específico, isso não significa, contudo que 
não deva ter preocupação em levar os alunos a fazer uso de um vocabulário mais preciso. 
O professor poderá diversificar a abordagem dos temas por meio de novos exercícios 
ou de novas situações-problema, ancorado na utilização de livros didáticos, ou materiais que 
já foram produzidos anteriormente. Além disso, poderá utilizar também materiais manipula-
tivos referentes ao tratamento dos conceitos geométricos. 
É possível também utilizar malhas como suporte para as representações das formas 
tridimensionais. O trabalho com a manipulação de sólidos ou formas tridimensionais já cons-
truídos, em que os alunos identificam os elementos e a relação entre estes, ou seja, as arestas, 
os vértices e as faces, também é uma estratégia possível para a recuperação das aprendiza-
gens. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao proposto nesta seção, seguem os links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (Acesso em 06/12/2018) 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
(Acesso em 06/12/2018) 
Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso em 
06/12/2018) 
 
 
29 
 
4.2 Grade Curricular do 7º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) 
Tabela 5 - Números - 7º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Números 
 
 Números 
Naturais 
 
o Múltiplos e 
divisores 
 
 
  Números 
 
 Múltiplos e 
divisores. 
 
 
 
 
(EF07MA01) Resolver e 
elaborar problemas com 
números naturais, envol-
vendo as noções de divisor 
e de múltiplo, podendo in-
cluir máximo divisor co-
mum ou mínimo múltiplo 
comum, por meio de estra-
tégias diversas, sem a apli-
cação de algoritmos. 
 
4.2.1 Múltiplos e Divisores 
Apesar desta temática ser apresentada no 6º ano do Ensino Fundamental, aqui no 7º 
ano, a revisita, supõe um aprofundamento, lembrando-se que a construção de múltiplo de 
um número natural e de múltiplo comum refere-se à observação de regularidades em sequên-
cias numéricas, seguidas principalmente de situações-problema que retratem a utilização 
deste conceito, e não apenas a relevância em processos operatórios e o estabelecimento de 
certos algoritmos. 
Considerações sobre a avaliação 
No decorrer dos trabalhos referentes à habilidade descrita, a expectativa é a de que os 
alunos tenham ampliado seu conhecimento com relação aos principais conteúdosrelaciona-
dos aos números naturais: múltiplos e divisores de um número natural, mínimo múltiplo co-
mum e máximo divisor comum, divisibilidade, números primos e decomposição em fatores. 
Alguns desses conteúdos possivelmente foram desenvolvidos nos anos iniciais do Ensino Fun-
damental, já no 7º ano tais conhecimentos serão aprofundados e consolidados, de forma a 
viabilizar a posterior ampliação do campo numérico com a introdução das operações dos nú-
meros fracionários. 
30 
 
Desta forma a avaliação de aprendizagem desses conteúdos deve ser realizada de 
forma contínua pelo professor, por meio de situações-problema ou atividades nas quais veri-
fiquem os conceitos fundamentais descritos a seguir: 
 Reconhecer regularidades em sequências numéricas aditivas e multiplicativas; 
 Resolver situações-problema envolvendo o conceito de múltiplo comum. 
Orientação para recuperação 
Caso as expectativas mínimas de aprendizagem não tenham sido plenamente atingidas 
pela maioria dos estudantes, o professor poderá utilizar algumas aulas para sistematizar os 
conteúdos estudados, ou no início de cada aula revisitar alguns conceitos desta habilidade, 
procurando mostrar as articulações entre eles, neste caso, referenciar que as ideias de múlti-
plos e divisor estão diretamente ligadas, pois um número somente é divisível por outro se o 
primeiro for múltiplo do segundo. Outra possibilidade é destacar que a decomposição de um 
número em fatores envolve dois conceitos estudados: os números primos e a potenciação. 
Após esta sistematização, é possível propor aos alunos que refaçam algumas atividades já re-
alizadas ou a proposição de outra atividade, um jogo por exemplo. Nesse percurso, pode-se 
observar o movimento de aprendizagem dos alunos com relação às expectativas de aprendi-
zagem já definidas. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (acesso em 07/11/2018) 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
(acesso em 07/11/2018) 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (acesso em 
07/11/2018) 
 
Tabela 6 - Álgebra - 7º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
31 
 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Relações 
 
 Proporcio-
nalidade. 
 
o Variações 
de grande-
zas direta 
ou inver-
samente 
proporcio-
nais. 
 
 Saber reconhecer 
situações que envol-
vem proporcionalidade 
em diferentes contex-
tos, compreendendo a 
ideia de grandezas di-
reta e inversamente 
proporcionais. 
 Saber resolver 
problemas variados, 
envolvendo grandeza 
direta e inversamente 
proporcionais. 
 
 Álgebra 
 
 Problemas 
envolvendo 
grandezas 
diretamente 
proporcio-
nais e gran-
dezas inver-
samente 
proporcio-
nais. 
 
 
 
 
(EF07MA17) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema que envolvam varia-
ção de proporcionalidade 
direta e de proporcionali-
dade inversa entre duas 
grandezas, utilizando sen-
tença algébrica para ex-
pressar a relação entre 
elas. 
 
4.2.2 As grandezas direta e inversamente proporcionais 
O objetivo principal no desenvolvimento das habilidades indicadas, é a ampliação das 
noções de variação direta e inversamente proporcionais entre grandezas, aprimorando a ca-
pacidade de resolver problemas e fazer previsões em situações que envolvam proporcionali-
dade. 
Para tal desenvolvimento, torna-se necessário a verificar se o aluno já reconhece a 
existência de uma proporcionalidade em uma certa situação-problema, cuja noção já vem 
sendo desenvolvida em etapas anteriores, como no estudo das frações equivalentes ou dos 
múltiplos de um número natural. Entendemos que a noção de proporcionalidade envolve tam-
bém a capacidade de identificar as situações em que ela não está presente. 
A ideia da existência de um fator constante que relaciona duas grandezas, chamada de 
razão de proporcionalidade, é dada como o número que expressa a relação de proporciona-
lidade entre duas grandezas. 
Consideramos importante destacar as formas de representação de uma razão, desde 
a forma fracionária até a porcentagem e também os tipos comuns como a escala, usada em 
32 
 
mapas, a velocidade de um objeto, a densidade, o PIB per capita etc. A probabilidade é apre-
sentada como uma razão específica que expressa a relação entre o número de possibilidades 
de ocorrência de um evento particular e o número total de possibilidades de um espaço amos-
tral determinado. Podemos utilizar ainda a escrita algébrica para a resolução de situações-
problema que envolvam a proporcionalidade entre duas grandezas. Sabe-se que é comum o 
uso do recurso de “regra de três” para a resolução de problemas de proporcionalidade. Con-
tudo, este recurso deve ser o último tópico a ser desenvolvido, por dois motivos: 1) Com o uso 
de tabelas, o encaminhamento para discussão dos significados fique bem estabelecido; 2) falta 
o recurso de equações para resolver problemas de proporcionalidade por regra de três. 
Por fim, é importante que o professor considere não apenas a aquisição do conceito 
matemático estudado, no caso a proporcionalidade, mas todas as dimensões envolvidas na 
resolução dessas atividades como a competência leitora, que é fundamental para a interpre-
tação dos enunciados das situações problemas. Ou ainda, a capacidade de expressão, seja na 
língua materna, seja na matemática usada para dar as respostas dos problemas. Além disso, 
deve-se valorizar também a capacidade de argumentação, envolvida na escolha de determi-
nado caminho na resolução de um problema. 
 
33 
 
Considerações sobre a avaliação 
Ao final do processo espera-se que os alunos saibam verificar as situações que envol-
vam algum tipo de proporcionalidade direta e inversa e também quantificar a variação das 
grandezas, verificando a existência ou não da proporcionalidade, sejam elas diretas ou inver-
samente proporcionais. Do mesmo modo, espera-se que eles consigam distinguir as situações 
em que as grandezas variam entre e finalmente saibam resolver problemas envolvendo duas 
ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. A avaliação da aprendizagem estará 
relacionada a análise dos registros dos alunos concernentes à organização da resolução e a 
capacidade de identificar as informações pertinentes, os processos operatórios, obedecendo 
principalmente os princípios de proporcionalidade. 
Por fim, é importante, também que o professor considere não apenas a aquisição do 
conceito matemático estudado, no caso a proporcionalidade, mas todas as dimensões envol-
vidas na resolução dessas atividades, como a competência leitora, que é fundamental para a 
interpretação dos enunciados das situações-problema. Ou, ainda, a capacidade de expressão, 
seja na língua materna, seja na matemática usada para os registros das estratégias utilizadas 
para a resolução, e finalmente, valorizar também a capacidade de argumentação, envolvida 
na escolha de determinado caminho na resolução de um problema. 
Orientação para a recuperação 
Para o processo de recuperação das aprendizagens, destaca-se a correta identificação 
da natureza da dificuldade apresentada pelos alunos: se está relacionada a alguma defasagem 
anterior, ou está ligada à especificidade de um determinado conceito ou procedimento ope-
ratório. A discussão de uma atividade exemplar, que articule os diferentesconceitos, pode ser 
proveitosa, consistindo em uma boa estratégia de recuperação. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
34 
 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
35 
 
Tabela 7 - Geometria - 7º ano 
 Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Geometria 
 
 Simetria 
 
o transla-
ção, rota-
ção e re-
flexão. 
 
 Compreender e 
identificar simetria 
axial e de rotação nas fi-
guras geométricas e 
nos objetos do dia a dia 
 Geometria 
 
 Transforma-
ções geomé-
tricas de po-
lígonos no 
plano carte-
siano: multi-
plicação das 
coordenadas 
por um nú-
mero inteiro 
e obtenção 
de simétri-
cos em rela-
ção aos eixos 
e à origem. 
 Simetrias de 
translação, 
rotação e re-
flexão. 
 
 
 
 
(EF07MA19) Localizar no 
plano cartesiano pontos 
(coordenadas) que repre-
sentam os vértices de um 
polígono e realizar trans-
formações desses polígo-
nos, decorrentes da multi-
plicação das coordenadas 
de seus vértices por um 
número inteiro. 
(EF07MA20) Reconhecer e 
representar, no plano car-
tesiano, o simétrico de fi-
guras em relação aos eixos 
e à origem. 
(EF07MA21) Reconhecer e 
construir figuras obtidas 
por simetrias de transla-
ção, rotação e reflexão, 
usando instrumentos de 
desenho ou softwares de 
geometria dinâmica e vin-
cular esse estudo a repre-
sentação planas de obras 
de arte, elementos arqui-
tetônicos, entre outros. 
 
36 
 
4.2.3 Transformações geométricas 
Seja na natureza ou nos objetos e construções criados pelo homem, nosso mundo é 
repleto de simetria. A palavra simetria é usada na linguagem coloquial em dois sentidos. Um 
deles indica algo em boas proporções, equilibrado e harmonioso, muitas vezes associado a 
ideia de beleza. O segundo é aquele que aproxima simetria da ideia de equilíbrio, ou seja, da 
ideia de que há elementos idênticos dos dois lados de um referencial por exemplo, à esquerda 
e à direita de uma linha reta. Neste sentido, a ideia de reflexão desempenha papel importante 
porque a ela associamos o “espelhamento” perfeito e sem distorção. 
Há diversas possibilidades de tratar o assunto, tanto o estudo de ângulos e simetrias 
explorando objetos do dia a dia, como em figuras, malhas geométricas e explorando softwares 
de geometria dinâmica. 
Sugerimos por exemplo, a Situação de Aprendizagem 6, disponibilizada no material de 
apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Vol. 1, 7º ano, pg. 58 a 66 e também indicamos um 
artigo que trata de um dos expoentes das artes gráficas, Maurits Cornelis Escher, na qual fre-
quentemente utilizou a simetria para compor seus trabalhos: http://www.ipv.pt/mille-
nium/Millenium42/4.pdf, acesso em 12/11/2018. 
Considerações sobre a avaliação 
Com os conteúdos referentes à habilidade, espera-se que o aluno familiarize com a 
simetria axial e rotacional, bem como as principais transformações do plano (reflexão, rotação 
e translação). Vale lembrar que as transformações do plano serão aprofundadas posterior-
mente, o objetivo neste momento da aprendizagem é estabelecer o primeiro contato com a 
percepção visual de simetrias e movimentos no plano. 
Sugerimos, se possível, a apresentação de uma vasta diversidade de situações em que 
o aluno possa identificar simetrias, favorecendo a ampliação de repertório para a análise, in-
terpretação e apreciação de figuras e imagens. 
Orientação para a Recuperação 
37 
 
Com relação à recuperação das aprendizagens referente os conteúdos de transforma-
ções no plano, o professor pode diversificar o refinamento da observação em diferentes ob-
jetos, obras de arte, construções arquitetônicas, mosaicos etc. Além desse aspecto relacio-
nado à estética, o conhecimento de simetria também constitui uma valiosa ferramenta para 
a investigação de algumas propriedades geométricas. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
 
38 
 
Tabela 8 - Grandezas e medidas - 7º ano 
 Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números / 
Relações 
 
o Medidas. 
  Grandezas 
e medidas 
 
 Problemas 
envol-
vendo me-
dições. 
 
 
 
(EF07MA29) Resolver e ela-
borar situações-problema 
que envolvam medidas de 
grandezas inseridos em con-
textos oriundos de situações 
cotidianas ou de outras 
áreas do conhecimento, re-
conhecendo que toda me-
dida empírica é aproximada. 
 
4.2.4 Medidas 
Quando se realiza uma medição, necessariamente realizamos uma comparação entre 
duas grandezas de mesma natureza, obtendo-se como resultado um valor numérico. Assim, 
podemos medir o comprimento, a massa; o volume de um objeto comparando-o com outros. 
Neste sentido, a estimativa é uma parte importante do conhecimento matemático e é 
desejável que o aluno saiba observar objetos e estimar suas dimensões e outras grandezas 
como massa, volume, área etc. Como o resultado de uma medida pode ser expresso de dife-
rentes maneiras, devemos ser capazes de realizar mudanças de unidades de modo a apre-
sentá-lo da forma mais adequada. 
Considerações sobre a avaliação 
Ao final do desenvolvimento deste tema, espera-se que os alunos tenham compreen-
dido as principais características do sistema métrico decimal e das unidades de medida do 
Sistema Internacional para comprimento, massa e volume. 
As expectativas mínimas de aprendizagem em relação a esses conteúdos são as seguin-
tes: 
 Compreender a necessidade da adoção de unidades padronizadas para estabelecer 
medidas precisas e mais universais; 
39 
 
 Conhecer os múltiplos e submúltiplos do metro, do grama e do litro; 
 Saber fazer estimativas sobre as dimensões de um objeto pela escolha de uma unidade 
adequada (quilômetro, metro, centímetro etc.); 
 Efetuar transformações de unidades para expressar uma medida adequadamente. 
Orientação para a Recuperação 
Quanto à recuperação das aprendizagens, recomenda-se trabalhar com situações-pro-
blema envolvendo unidades de medidas conhecidas. Os livros didáticos costumam trazer ati-
vidades com o cálculo de medidas de comprimento, massa e volume de objetos do cotidiano. 
Além disso, o professor pode solicitar atividades de pesquisa na qual os alunos procurem des-
cobrir as unidades de medidas de massa ou volume encontrados em embalagens de alimentos 
e bebidas, existentes em seu cotidiano. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
 
 
4.3 Grade Curricular do 8º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) 
Tabela 9 - Números - 8º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Números 
 
o Potencia-
ção e radi-
ciação 
  Números. 
 
(EF08MA03) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema de contagem cuja 
40 
 
 
 Princípio 
multiplica-
tivo da 
contagem. 
 
 Proprieda-
des para 
expoentes 
inteiros. 
 Proprieda-
des para 
expoentes 
fracioná-
rios. 
 O princípio 
multiplica-
tivo da con-
tagem. 
 
 Potenciação 
e radiciação. 
 
 
 
resolução envolve a aplica-
ção do princípio multiplica-
tivo. 
(EF08MA02) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema usando a relação 
entre potenciação e radici-
ação, para representar 
uma raiz como potência de 
expoente fracionário. 
 
4.3.1 Princípio Multiplicativo da Contagem e Potenciação/Radiciação 
Da mesma forma que, dentre as várias maneiras de se pensar a multiplicação como a 
soma de parcelas repetidas, podemos entender este raciocínio para a potenciação como o 
produto de fatores repetidos, na qual podemos em alguns casos específicos reportar ao Prin-
cípio Fundamental da Contagem, ou simplesmente Princípio Multiplicativo, que é definido da 
seguinte maneira: “Se eventos A1, A2, A3 ... An puderem ocorrer respectivamente, a1, a2, a3 ... 
e se A1, A2, A3 ... An, forem todos eventos independentes entre si, então a quantidade de ma-
neiras distintas em que os n eventos ocorrem simultaneamente, isto é, ao mesmo tempo, é 
dada pelo produto: 
a1 ∙ a2 ∙ a3 ∙ ⋯ ∙an 
Um caso prototípico desta aplicação pode ser apresentado da seguinte maneira: 
“SEJA UM RETÂNGULO DIVIDIDO EM QUATRO COLUNAS, QUE DEVEM SER COLORIDAS DISTINTAMENTE POR 
TRÊS CORES, SENDO QUE, CADA COLUNA DEVE SER COLORIDA COM UMA DAS TRÊS CORES, MAS AS CORES NÃO PO-
DEM SER ADJACENTES UMA DAS OUTRAS OU SEJA, DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES É POSSÍVEL PINTAR ESTE 
RETÂNGULO? 
 Ao estabelecer os procedimentos constata-se que o cálculo poderá ser estabelecido 
da seguinte maneira: 
41 
 
3 ∙ 23 = 24 
No que diz respeito ao estudo das potências, no 6º ano, os alunos foram apresentados 
ao assunto por meio das potências de base inteira e expoente natural. No 8º ano, a ideia de 
potência deverá ser ampliada pelo uso de expoentes naturais e pela discussão das principais 
propriedades operatórias das potências. 
Sem perder a generalidade do assunto, a radiciação pode ser entendida como a ope-
ração inversa da potenciação. 
Considerações sobre a avaliação 
O objetivo específico da apresentação deste tópico refere-se à exclusividade da apre-
sentação do Princípio Multiplicativo da Contagem e sua ligação com o conceito de potência 
de um número, neste sentido é importante que o trabalho referente a este assunto seja ava-
liado com base em problemas contextualizados. Tais problemas podem ser tanto os utilizados 
em sala de aula e criados pelos alunos. 
 
Orientação para a recuperação 
De modo geral, a avaliação de aprendizagem dever ser um processo contínuo, reali-
zado durante toda a etapa de aprendizagem do aluno, sendo assim o professor deve estar 
atento para eventuais dificuldades que são comuns no trato com os alunos. Essa observação 
é fundamental para que se fundamente e aplique atividades de recuperação nas quais ajudem 
o aluno a acompanhar melhor o curso e obter sucesso na realização das atividades. 
Destaca-se também a correta identificação da natureza da dificuldade apresentada pe-
los alunos: se está relacionada a alguma defasagem anterior ou se está ligada à especificidade 
de um determinado conceito ou procedimento operatório. A discussão de uma atividade 
exemplar, que articule os diferentes conceitos, pode ser bastante proveitosa, consistindo em 
uma boa estratégia de recuperação das aprendizagens. 
 Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
42 
 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
43 
 
Tabela 10 - Números - 8º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Números 
 
o Porcenta-
gem. 
 
 
  Números. 
 
 Porcenta-
gens 
 
 
 
 
(EF08MA04) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema, envolvendo cálculo 
de porcentagens, incluindo 
o uso de tecnologias digi-
tais. 
 
 
 
4.3.2 Porcentagens 
Um dos significados de uma fração se refere à razão entre duas grandezas, na qual se 
dá o sentido de medida, pois, a ideia fundamental relativa às frações é a de comparação entre 
duas grandezas, que pode ser interpretada como a de dividirmos uma unidade em partes 
iguais (unidades), e verificarmos quantas partes caberão naquele que se quer medir. O signi-
ficado de fração como medida pode favorecer o entendimento do conceito de razão, utiliza-
dos em vários contextos, como: probabilidade de um evento, porcentagens, escalas, etc. 
Consequentemente, esta ideia vale para o conceito de porcentagem, pois, podemos 
pensar no significado de fração como razão, podendo iniciar o conceito de porcentagem, com 
a relação existente entre uma dada quantidade ao denominador 100, e como quociente 
quando estabelecemos um valor a esta medida. 
Outro, fator a ser considerado é a correspondência da porcentagem a um dado opera-
dor multiplicativo, por exemplo 3% de 20. 
 
44 
 
Considerações sobre a avaliação 
Salientamos que para a avaliação da aprendizagem deste tópico, o professor procure 
diagnosticar o conhecimento não apenas do conceito de porcentagem, mas que o aluno seja 
capaz de compreender o conceito de razão na Matemática, sabendo aplicá-lo e reconhecê-lo 
em diferentes situações. Sendo assim, as expectativas de aprendizagem para tal conceito são: 
 saber calcular a razão entre duas grandezas de mesma natureza ou de naturezas dis-
tintas; 
 conhecer, interpretar e operar os principais tipos de razão: a escala em mapas e plan-
tas, a porcentagem como relação parte/todo, a velocidade, a probabilidade etc. 
Orientação para Recuperação 
De modo geral, a avaliação de aprendizagem dever ser um processo contínuo, reali-
zado durante toda a etapa de aprendizagem do aluno, sendo assim o professor deve estar 
atento para eventuais dificuldades que são comuns no trato com os alunos. Essa observação 
é fundamental para que se fundamente e aplique atividades de recuperação nas quais ajudem 
o aluno a acompanhar melhor o curso e obter sucesso na realização das atividades. 
Destaca-se também a correta identificação da natureza da dificuldade apresentada pe-
los alunos: se está relacionada a alguma defasagem anterior ou se está ligada à especificidade 
de um determinado conceito ou procedimento operatório. A discussão de uma atividade 
exemplar, que articule os diferentes conceitos, pode ser bastante proveitosa, consistindo em 
uma boa estratégia de recuperação das aprendizagens. 
 Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo+ bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
Tabela 11 - Geometria - 8º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
45 
 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Geometria 
 
o Ângulos. 
  Geometria 
 Constru-
ções geo-
métricas: 
ângulos de 
90º, 60º, 
45º e 30º e 
polígonos 
regulares. 
 
 Mediatriz e 
bissetriz 
como luga-
res geomé-
tricos e 
problemas. 
(EF08MA15) Construir, utili-
zando instrumentos de de-
senho ou softwares de geo-
metria dinâmica, mediatriz, 
bissetriz, ângulos de 90º, 
60º, 45º e 30º e polígonos 
regulares. 
 
 
(EF08MA16) Descrever, por 
escrito e por meio de um flu-
xograma, um algoritmo para 
a construção de um hexá-
gono regular de qualquer 
área, a partir da medida do 
ângulo central e da utiliza-
ção de esquadros e compas-
sos. 
 
(EF08MA17) Aplicar os con-
ceitos de mediatriz e bisse-
triz como lugares geométri-
cos na resolução de proble-
mas. 
 
 
 
 
4.3.3 Construções geométricas 
Formalmente chamamos de ângulo a figura formada por duas semirretas com mesma 
origem. Existem muitas maneiras distintas de representar um ângulo, e a introdução ao seu 
estudo não deve se preocupar, no primeiro momento, essencialmente com a formalização 
matemática de seu conceito, mas sim com a construção do seu significado. A ideia de ângulo 
associada a um giro pode ser o ponto de partida para o trabalho, por exemplo, 
1
2
 giro, 
1
4
 de giro, 
3
4
 de giro etc. 
46 
 
Ressaltamos que a apresentação do transferidor como instrumento para medir e cons-
truir ângulos deve ser feita de forma cuidadosa, especialmente pelo fato de que o aluno cos-
tuma enfrentar dificuldades para utilizá-lo de maneira apropriada. Parte das dificuldades dos 
alunos está relacionada ao fato de que a unidade grau é bem pequena, ou seja, ela não pode 
ser manipulada fisicamente. 
Com relação ao uso de instrumentos geométricos, o estudo de ângulos oferece, além 
do transferidor, uma rica oportunidade para o manuseio de esquadros e compasso. As cons-
truções dos ângulos de medidas 30º, 45º, 60º e 90º, podem ser feitas também com o com-
passo, a régua e os esquadros. Outras construções como 15º, 22º, 30º, 75, 105º, 120º, 135º 
etc., podem ser feitas com o uso simultâneo de dois esquadros, e algumas delas também com 
o uso de compasso e régua por meio da construção da bissetriz. Nos casos em que a constru-
ção pode ser feita com diferentes instrumentos geométricos, é importante que o aluno per-
ceba que o uso do compasso é preferível ao dos demais instrumentos, pois, na maior parte 
dos casos, o compasso usado corretamente, permite melhor precisão do desenho. 
Atrelado a utilização dos instrumentos geométricos seria importante também a trans-
posição destes procedimentos para um ambiente de geometria dinâmica, com o pressuposto 
de que o aluno valide todas as construções no concreto em um ambiente computacional. 
Algoritmo para construção de um hexágono regular 
 
1º Passo: Trace um segmento de reta. 
 
 
 
 
2º Passo: Obter o ponto médio do segmento AD 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Passo 1 
Figura 2 - Passo 2 
47 
 
3º Passo: Com a ponta do compasso em O, traçar a circunferência com diâmetro AD̅̅ ̅̅ e raio OD̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º Passo: Com a ponta seca do compasso em O, traçar a circunferência com diâmetro AD̅̅ ̅̅ e 
raio OA̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
5º Passo: Marcar os pontos de interseção das circunferências e nomeie por B e F; 
 
 
 
Figura 3 - Passo 3 
Figura 4 - Passo 4 
48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6º Passo: Com a ponta seca do compasso em O, traçar a circunferência com diâmetro AD̅̅ ̅̅ e 
raio OD̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7º Passo: Marcar os pontos de interseção das circunferências e nomeie por C e E; 
 
 
Figura 6 - Passo 6 
49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8º Passo: Trace o polígono formado pelos pontos: A, B, C, D, E e F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulos: 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 - Passo 8 
Figura 9 - Hexágono 
50 
 
 
 
 
Considerações sobre a avaliação 
A habilidade em referência tem como foco central aos procedimentos referentes à 
construção de ângulos, neste sentido é importante que o professor esteja atento à utilização 
de transferidores e compassos, especialmente ao uso correto do transferidor, já que os alunos 
costumam cometer erros no ajuste do centro do transferidor com o vértice do ângulo, e na 
leitura correta das indicações marcadas nesse instrumento. Sugere-se que a avaliação de 
aprendizagem dessa etapa que o professor proponha atividades de construção e medidas de 
ângulos, utilizando diversos instrumentos, bem como, o transferidor, o compasso, a régua e 
também a utilização de recursos de geometria dinâmica, caso a Unidade Escolar disponha de 
um ambiente propício na utilização desse recurso. 
Orientação para a Recuperação 
Neste caso, a recuperação da aprendizagem estará ligada à retomada da construção 
considerando o entendimento de uma etapa anterior, por exemplo, a construção de um ân-
gulo de 15º, e assim procurar estabelecer as etapas que permitem a construção do ân-
gulo de 75º, desta forma haverá uma ligação entre os algoritmos/fluxogramas, estabe-
lecidos pelo professor. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
51 
 
 
Tabela 12 - Probabilidade e estatística - 8º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto 
de conheci-
mento 
Habilidades 
 Números/ 
Relações 
 
o Raciocínios 
combinató-
rio aditivos 
e multipli-
cativos. 
 
o Probabili-
dades em 
eventos 
distintos. 
  Probabili-
dade e es-
tatística. 
 
 Princípio 
multiplica-
tivo da con-
tagem. 
 
 Soma das 
probabili-
dades de 
todos os 
elementos 
de um es-
paço amos-
tral. 
 
(EF08MA22) Calcular a pro-
babilidade de eventos, com 
base na construção do es-
paço amostral, utilizando o 
princípio multiplicativo, e 
reconhecer que a soma das 
probabilidades de todos os 
elementos do espaço amos-
tral é igual a 1. 
 
 
4.3.4 Princípio multiplicativo da contagem e soma de probabilidades 
Entendemos que ao inserir o conceito de probabilidade na análise combinatória, que 
pressupõe o tratamento dos problemas que envolvem a contagem de casos em situações de 
agrupamentos de determinados números de elementos, como calcular por exemplo, quantos 
grupos diferentes 
A infinidade de problemas envolvendo agrupamentos se contrapõe aos pouquíssimos 
recursos algébricos e aritméticos necessários para sua resolução. De fato 100%, desses casos 
são resolvidos porintermédio de uma ou mais operações elementares entre números natu-
rais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Elas exigem a mobilização de estratégias de 
raciocínio sempre envolvendo uma das ideias principais da operação de multiplicação, a saber, 
o raciocínio combinatório, implícito no raciocínio multiplicativo. 
52 
 
Considerações sobre a avaliação 
Como relatado anteriormente o conceito definido para este tópico refere-se a ao de-
senvolvimento das características do campo multiplicativo, desta forma a avaliação dos co-
nhecimentos relativos a este assunto devem remeter primeiramente aos esquemas mentais 
ao referido campo numérico, e posteriormente verificar se há problemas na questão da ope-
racionalização neste mesmo campo. 
Orientações para a recuperação 
De maneira geral, quando se trata de recuperação de conceitos não formalizados, a 
variedade de situações e atividades de que o professor dispõe é muito importante, inclusive 
as situações que necessitam de justificativas para determinada ação. Neste sentido considera-
se também que o professor selecione atividades de livros didáticos, inclusive o adotado pela 
Unidade Escolar, e materiais de apoio da SEE/SP , pois a recuperação da aprendizagem é um 
processo contínuo, e não pontual. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
 
 
 
Tabela 13 - Probabilidade e estatística - 8º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Números/ 
Relações 
 
  Probabili-
dade e esta-
tística. 
 
(EF08MA26) Selecionar ra-
zões, de diferentes nature-
zas (física, ética ou econô-
mica), que justificam a rea-
53 
 
o Elementos 
de amos-
tragem 
 Pesquisa 
censitária ou 
amostral. 
 
 Planeja-
mento e exe-
cução de 
pesquisa 
amostral. 
 
 
lização de pesquisas amos-
trais e não censitárias, e re-
conhecer que a seleção da 
amostra pode ser feita de 
diferentes maneiras 
(amostra casual simples, 
sistemática e estratifi-
cada). 
(EF08MA27) Planejar e 
executar pesquisa amos-
tral, selecionando uma téc-
nica de amostragem ade-
quada, e escrever relatório 
que contenha os gráficos 
apropriados para repre-
sentar os conjuntos de da-
dos, destacando aspectos 
como as medidas de ten-
dência central, a ampli-
tude e as conclusões. 
 
54 
 
4.3.5 Elementos de pesquisa amostral 
Para o desenvolvimento da habilidade descrita, vale ressaltar a importância do ques-
tionário de pesquisa. Um questionário mal elaborado é capaz de comprometer definitiva-
mente uma pesquisa de estatística e, portanto, investir certo tempo na reflexão sobre o as-
sunto contribui para ampliação de horizontes do estudante com relação ao alcance e às for-
mulações próprias dessa área de conhecimento. 
Um fator relevante também é a elaboração do relatório de pesquisa, pois é neste ins-
trumento que os alunos aplicam os conceitos referentes à estatística descritiva, bem como a 
mobilização constante da competência leitora e escritora, um dos pilares do conhecimento de 
modo geral, e da competência matemática, em particular. 
Consideramos como pressupostos básicos para a aprendizagem dos conteúdos refe-
rentes a este tema: 
 a organização de registros em tabelas e gráficos; 
 o uso dos dados para produção de texto consistente e coerente (nos relatórios do tra-
balho proposto os alunos terão que argumentar sobre os resultados obtidos na pesquisa); 
 o cálculo da média, moda e mediana de um conjunto de dados; 
 saber escolher a melhor medida representativa da centralidade de um conjunto de 
dados, bem como compreender as vantagens e os limites de cada uma das medidas. 
Considerações sobre a avaliação 
A avaliação neste caso, deverá ser informal, ou seja, uma etapa importante da apren-
dizagem escolar é aquela cujo objetivo é colocar o indivíduo diante de uma avaliação crítica 
sobre a própria produção e participação no trabalho coletivo. Nesse aspecto, o professor de-
verá sempre incentivar o espírito de cooperação entre os integrantes (caso a pesquisa seja 
realizada em grupos) e a avaliação crítica da produção, o que pode ser estimulado por meio 
da autoavaliação, na qual o estudante atribui uma nota para si e justifica essa atribuição. 
Orientação para a Recuperação 
55 
 
Caso o desenvolvimento de alguns dos conteúdos descritos no decorrer das aulas a 
respeito do assunto em referência, é primordial que no decorrer dos trabalhos o professor 
identifique a dificuldade e em cada grupo, discuta com os alunos o respectivo conteúdo, para 
que assim, o trabalho de pesquisa possa prosseguir normalmente. 
 Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
 
56 
 
4.4 Grade Curricular do 9º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) 
Tabela 14 - Números - 9º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
o Números 
 
o Conjuntos 
numéricos; 
o Números 
irracionais; 
o Números 
Reais; 
o Potencia-
ção e radi-
ciação em 
ℝ; 
o Notação ci-
entífica. 
 
 
 
 
 
 
 Compreender a 
necessidade das suces-
sivas ampliações dos 
conjuntos numéricos, 
culminando com os nú-
meros irracionais. 
 Saber representar 
os números reais na 
reta numerada. 
 Incorporar a ideia 
básica de que os núme-
ros irracionais somente 
podem ser utilizados 
em contextos práticos 
por meio de suas apro-
ximações racionais, sa-
bendo calcular a aproxi-
mação racional de um 
número irracional. 
 Saber realizar de 
modo significativo as 
operações de radicia-
ção e de potenciação 
com números reais. 
 Compreender o 
significado e saber utili-
zar a notação científica 
na representação de 
números muito grandes 
ou muito pequenos. 
 Números 
 
 Necessidade 
dos números 
reais para 
medir qual-
quer seg-
mento de 
reta. 
 Números ir-
racionais re-
conheci-
mento e lo-
calização de 
alguns na 
reta numé-
rica. 
 Potências 
com expoen-
tes negati-
vos e fracio-
nários. 
 Números re-
ais: notação 
científica e 
problemas. 
(EF09MA01) Reconhecer 
que uma vez fixada uma 
unidade de comprimento, 
existem segmentos de reta 
cujo comprimento não é 
expresso por número raci-
onal (como as medidas de 
diagonais de um polígono 
e alturas de um triângulo, 
quando se toma a medida 
de cada lado como uni-
dade.) 
(EF09MA02) Reconhecer 
um número irracional 
como um número real cuja 
representação decimal é 
infinita e não periódica, e 
estimar a localização de al-
guns deles na reta numé-
rica. 
(EF09MA03) Efetuar cálcu-
los com números reais, in-
clusive potências com ex-
poentes fracionários. 
(EF09MA04) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema com números reais, 
inclusiveem notação cien-
tífica, envolvendo diferen-
tes operações. 
4.4.1 Dos naturais aos reais 
✓ Os conjuntos numéricos 
Ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental os alunos tiveram contato com dife-
rentes conjuntos de números: naturais, frações, decimais, negativos, etc. O 9º ano é o mo-
mento ideal para se fazer uma síntese desses números, retomando seus significados e organi-
57 
 
zando uma classificação. Antes de classificar os conjuntos numéricos sugerimos que se traba-
lhe a noção de conjunto e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada à resolução de situ-
ações-problema e à representação por diagramas, e menos à linguagem simbólica, que será 
possivelmente desenvolvida ao longo do Ensino Médio. 
Nesse sentido, o estudo dos conjuntos passou a ser menos centrado na linguagem for-
mal e mais voltado para o desenvolvimento do pensamento lógico e a resolução de situações-
problema. 
Os números constituem um dos eixos centrais da Matemática. Aparentemente, a ideia 
de número pode parecer simples e natural. Se pensarmos em termos de contagem de objetos, 
os números chamados naturais são suficientes para expressar resultados e efetuar determi-
nadas operações. 
Contudo, ao longo da história, as transformações socioculturais da humanidade cria-
ram diferentes necessidades de representação, implicando a criação de outras formas de re-
presentação numérica; frações, decimais, números negativos, irracionais e imaginários. Cada 
tipo de número criado pelo homem ampliou não só a capacidade de representação, mas tam-
bém as possibilidades de solução para diferentes problemas. 
Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tiveram contato com muitas formas de 
representação numérica. Com os números naturais, puderam representar quantidades intei-
ras, registrar contagens, ordenar objetos e conjuntos, realizar operações. Os números racio-
nais aparecem em seguida, primeiro na forma de fração e, depois, como número decimal. As 
frações surgem para representar quantidades não inteiras, o resultado de medidas, a relação 
entre a parte e o todo de determinado objeto ou conjunto. 
Os números negativos são estudados no 7º ano, contradizendo a ideia de que os nú-
meros só podem representar quantidades ou medidas. Finalmente, no 9º ano surgem os nú-
meros irracionais que representam as medidas de segmentos incomensuráveis, uma vez que 
elas não podem ser representadas na forma de uma fração entre dois inteiros. 
✓ Conjuntos numéricos e operações dos naturais aos racionais. 
No conjunto dos números naturais sempre podemos realizar as duas operações fun-
damentais: a adição e a multiplicação, ou seja, quaisquer que sejam a e b pertencentes ao 
58 
 
conjunto dos naturais, o resultado de a + b e de a ∙ b será também um natural. Dizemos então 
que o conjunto dos naturais é fechado para a adição e a multiplicação. 
Contudo, o mesmo não ocorre em relação às operações inversas. No domínio dos na-
turais, nem sempre é possível realizar a subtração ou a divisão entre dois números. Por exem-
plo, o resultado 2 – 5 ou 5 ÷ 2 não é um número natural. A subtração a – b só pode ser 
realizada no conjunto dos números naturais se a for maior ou igual a b. 
A introdução dos números negativos permitiu a ampliação do campo numérico para 
incluir a operação de subtração sem restrições. No conjunto dos números inteiros, além da 
adição e multiplicação, qualquer subtração realizada resulta em um número inteiro. Contudo, 
no domínio dos inteiros, a divisão b ÷ a só pode resultar em um número inteiro se a for um 
fator de b. 
Assim de forma semelhante ao que aconteceu com a subtração, a criação dos números 
fracionários, na forma 
b
a
 (a e b inteiros, com a≠0), removeu os obstáculos para a operação de 
divisão, com exceção da divisão por zero. 
Esse domínio ampliado gerou o conjunto dos números racionais, que é fechado para 
adição, multiplicação, subtração e divisão. 
Assim, a ampliação do campo numérico dos naturais para os racionais possibilitou a 
criação de um conjunto cujos resultados das quatro operações aritméticas básicas podem ser 
obtidos sem restrições. 
✓ Dos racionais aos irracionais. 
Como vimos, os números racionais permitem expressar o resultado de um processo de 
medida. 
Quando for possível expressar a medida de um segmento com base em outro por meio 
de uma fração ou número inteiro, dizemos que os segmentos são comensuráveis. Em termos 
práticos, os números racionais podem expressar a medida de quaisquer segmentos comensu-
ráveis. 
Em termos teóricos, contudo, a questão deve ser ampliada. Nem toda medida pode 
ser expressa na forma de uma razão entre números inteiros. A descoberta da existência dos 
segmentos incomensuráveis foi um dos fatos mais surpreendentes da história da Matemática. 
59 
 
Um dos exemplos mais conhecidos de incomensurabilidade é a medida da diagonal do qua-
drado em relação ao lado, que foi atribuída aos pitagóricos, na Grécia Antiga8. 
A existência de segmentos incomensuráveis implicou a criação de um conjunto com-
plementar aos números racionais e que foi denominado irracionais. Entre os números irraci-
onais, encontram-se as raízes não exatas, como √3, √5, √12, √5
5
 etc., e números como Pi () 
ou Fi (𝜙), chamados transcendentais ou transcendentes. De modo geral, todos os irracionais 
possuem uma representação decimal infinita e não periódica. 
A reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais deu ori-
gem ao conjunto dos números reais. Os números reais possuem uma propriedade importante, 
que será amplamente utilizada no prosseguimento dos estudos. Para cada número real, é pos-
sível associar um único ponto de uma reta numérica. Assim, a reta real constitui um modelo 
para representação de todos os números reais, sejam eles racionais ou irracionais. 
Finalmente, é importante discutir com os alunos que, diferentemente do conjunto dos 
racionais, os irracionais não são fechados em relação às operações de adição e multiplicação. 
Por exemplo, embora √3 + √5 seja irracional, o resultado de √3+(–√3) é zero, que é 
racional. Do mesmo modo, √3 ∙ √3 = √9 = 3, que também é racional. O conjunto dos irracio-
nais também não é fechado para subtração e para divisão. Oportunizar momentos em que o 
aluno possa elaborar situações de própria autoria ou adaptações referentes ao tema. 
Considerações sobre a avaliação 
Ao final do desenvolvimento das habilidades descritas no quadro, espera-se que os 
alunos conheçam as principais características associadas aos conjuntos numéricos, desde os 
números naturais até os reais e que saibam usar diagramas para representar situações-pro-
blema envolvendo relações entre as partes e o todo de um conjunto. Em relação aos conjuntos 
numéricos, destacamos dois aspectos importantes. O primeiro é a ampliação dos conjuntos 
numéricos dos naturais aos racionais com base nas quatro operações básicas. E o segundo é 
a passagem dos racionais para os irracionais, compondo o conjunto dos números reais. Estes 
 
8 No Material de Apoio ao Currículo, Caderno do Professor, 9º ano, Vol. 2, pg. 25, consta um 
detalhamento da situação apresentada. 
60 
 
dois aspectos devem ser bem trabalhados, pois constituirão uma base para o prosseguimento 
dos estudos no Ensino Médio, principalmente no que se refere às funções. 
Orientação para a Recuperação 
Caso alguns alunos demonstrem dificuldade para compreender o significado dos con-
juntos numéricos, recomendamos que se retome um pouco da história dos números, mos-
trando como esse tipo de representação evoluiu ao longo da história em função das necessi-
dades do homem: o surgimento dos números naturais como uma formade representar a con-
tagem de objetos ou ordenação; a necessidade de medida provocando o surgimento dos nú-
meros fracionários (racionais); o desenvolvimento do comércio e das finanças, que demandou 
a utilização de números negativos para registrar dívidas entre outros. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
Propor situações desafiadoras que extrapolem o conjunto numérico. Exemplo dos na-
turais propor: 5-7. Também situações problema do cotidiano. Exemplo extrato bancário, saldo 
de gol de campeonato de futebol, entre outros. 
 
61 
 
Tabela 15 - Álgebra - 9º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de 
conhecimento 
Habilidades 
 Números / 
Relações 
 
 
 
o Noções bási-
cas sobre fun-
ção 
 
o A ideia de va-
riação 
 
 
 
 
 
 
 
 Compreender a 
noção de função como 
relação de interdepen-
dência entre grande-
zas. 
 
 Saber expressar 
e utilizar em contextos 
práticos as relações de 
proporcionalidade di-
reta entre duas gran-
dezas por meio de fun-
ções de 1º grau. 
 
 Saber expressar 
e utilizar em contextos 
práticos as relações de 
proporcionalidade di-
reta entre uma gran-
deza e o quadrado de 
outra por meio de 
uma função de 2º 
grau. 
 
 
 Álgebra 
 
 Funções: re-
presenta-
ções numé-
rica, algé-
brica e grá-
fica. 
 
 Razões entre 
grandezas 
de espécies 
diferentes. 
 
 Grandezas 
diretamente 
proporcio-
nais e gran-
dezas inver-
samente 
proporcio-
nais. 
(EF09MA06) Compreen-
der as funções como rela-
ções de dependência uní-
voca entre duas variáveis 
e suas representações 
numérica, algébrica e 
gráfica e utilizar esse con-
ceito para analisar situa-
ções que envolvam rela-
ções funcionais entre 
duas variáveis. 
(EF09MA07) Resolver si-
tuações-problema que 
envolvam a razão entre 
duas grandezas de espé-
cies diferentes, como ve-
locidade e densidade de-
mográfica. 
(EF09MA08) Resolver e 
elaborar situações-pro-
blema que envolvam re-
lações de proporcionali-
dade direta e inversa en-
tre duas ou mais grande-
zas, inclusive escalas, di-
visão em partes proporci-
onais e taxa de variação, 
em contextos sociocultu-
rais, ambientais e de ou-
tras áreas. 
 
 
62 
 
4.4.3 Ideia de variação e funções 
Inicialmente, o professor pode diferenciar “x” na equação como incógnita e “x” na fun-
ção como variável. 
Iniciando os trabalhos referentes aos conceitos básicos de função, é importante a apre-
sentação de situações envolvendo a variação de duas grandezas em que seja necessária a 
identificação dessa variação em relação à proporcionalidade, ou seja, pretende-se explorar o 
significado das expressões ”x e y são diretamente proporcionais” “x e y são inversamente 
proporcionais” e “x e y não são proporcionais”, incluindo, quando for o caso, a tradução des-
ses significados em linguagem algébrica: y = k x, sendo k constante (y é diretamente 
proporcional a x); e xy = k, sendo k constante (y é inversamente proporcional a x). 
Às vezes, duas grandezas x e y variam de tal modo que a proporcionalidade direta não 
ocorre entre y e x, mas quando y varia a partir de certo valor h e x. Nesses casos, temos: 
 
y – h
x
= k ou y – h = k x, ou seja, y = k x + h (k e h constantes). 
Portanto: y – h é diretamente proporcional a x. 
A continuidade desse trabalho ocorre por meio da exploração de situações-problema 
envolvendo a variação de grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcio-
nais sobretudo por meio de suas representações gráficas. 
Com relação às funções polinomiais de 2º grau y = ax2+ b x + c, exploram a proporcio-
nalidade entre uma grandeza e o quadrado da outra, que serão aprofundadas no Ensino Mé-
dio. 
Para a complementação do estudo sugere-se a leitura e construção de gráfico cartesi-
ano que representa a variação de duas grandezas, de modo que uma seja, por exemplo, dire-
tamente proporcional ao quadrado da outra. 
Por fim, tão importante como o conceito de função, é importante retomar o conceito 
de razão, neste caso, este importante fundamento matemático será abordado sobre o ponto 
de vista das razões de grandezas distintas, como velocidade, escalas e entre outros. Oportu-
nizar momentos em que o aluno possa elaborar situações de própria autoria ou adaptações 
referentes ao tema. 
63 
 
Considerações sobre a avaliação 
Ao final do desenvolvimento deste conceito matemático é fundamental que os alunos 
reconheçam situações contextualizadas que podem ser modeladas por meio de uma expres-
são que relacione duas grandezas e que analisem se essa relação é direta, inversamente pro-
porcional ou nem direta nem inversamente proporcional. A familiarização com o conceito de 
função está associada, particularmente, às observações das variações e das relações de inter-
dependência na expressão algébrica ou na construção de tabelas. 
Podemos observar que não foram enfatizadas a linguagem formal para o tratamento 
de funções. Vale lembrar que uma abordagem mais sistematizada sobre funções será apro-
fundado no Ensino Médio. 
Orientação para a Recuperação 
Caso haja um desempenho insatisfatório nas atividades referentes ao conteúdo apre-
sentado, sugerimos que sejam exploradas outras situações. Sugerimos a utilização do livro 
didático adotado, como referência. Muitas vezes, a representação gráfica tende a ilustrar me-
lhor os conceitos trabalhados, permitindo ao aluno melhor compreensão dos conceitos. Por-
tanto, cabe ao professor apresentar a análise gráfica concomitantemente ou escolher as es-
tratégias que já vem adotando, quando tratar do tema. 
Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
Tabela 16 - Probabilidade e estatística - 9º ano 
Currículo Oficial – SEE-SP Currículo Paulista 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Tema/objeto de co-
nhecimento 
Habilidades 
 Números / 
Relações 
 
 Estatística 
descritiva. 
  Probabilidade e 
estatística. 
 
 Análise de gráficos 
divulgados pela 
 (EF09MA22) Esco-
lher e construir o 
gráfico mais ade-
quado (colunas, se-
tores, linhas), com 
64 
 
 
o Gráficos esta-
tísticos: inter-
pretação de 
dados estatís-
ticos. 
 
mídia: elementos 
que podem induzir 
a erros de leitura 
ou de interpreta-
ção. 
 
 Leitura, interpre-
tação e represen-
tação de dados de 
pesquisa expres-
sos em tabelas de 
dupla entrada, 
gráficos de coluna 
simples e agrupa-
das, gráficos de 
barras e de setores 
e gráficos pictóri-
cos. 
ou sem uso de pla-
nilhas eletrônicas, 
para apresentar um 
determinado con-
junto de dados, 
destacando aspec-
tos como as medi-
das de tendência 
central. 
(EF09MA21) Anali-
sar e identificar, em 
gráficos divulgados 
pela mídia, os ele-mentos que podem 
induzir, às vezes 
propositadamente, 
erros de leitura, 
como escalas ina-
propriadas, legen-
das não explicita-
das corretamente, 
omissão de infor-
mações importan-
tes (fontes e datas), 
entre outros. 
4.4.4 Construção e análise de gráficos 
Partindo-se do pressuposto de que não é suficiente apenas o aluno aprimorar a com-
petência da construção de gráficos e tabelas, seja qual for a tipologia a ser adotada, mas tam-
bém que ele desenvolva o senso crítico de poder analisar os resultados indicados por meio de 
tais representações. 
Neste sentido, a análise e posterior detecção de irregularidades é uma tarefa impor-
tante, na leitura de dados estatísticos, que podem ser encaminhadas pelo professor, apresen-
tando instrumentos estatísticos (gráficos, tabelas, relatórios, etc.). 
Dessa forma, diante de uma questão proposta, seja no âmbito da sociedade ou da na-
tureza, inicia-se o trabalho de pesquisa mediante o levantamento de dados e registro das si-
tuações percebidas concretamente de forma sistemática, que podem ser de natureza qualita-
tiva ou quantitativa. Sugerimos pesquisas por meio das mídias, objetos digitais como também 
jornais, revistas, entre outros. 
65 
 
Considerações sobre a avaliação 
Os conteúdos que se podem desenvolver por intermédio das habilidades descritas, 
compõe um conjunto de elementos de estatística descritiva que, de certa forma, têm sido 
abordados desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Os tópicos e as atividades propostas, 
constituem, um aprofundamento importante e necessário. No entanto, é preciso deixar claro 
que, se os conteúdos são praticamente os mesmos, assim como as habilidades e competências 
requeridas, a profundidade dos temas abordados exige saltos consideráveis na análise e in-
terpretação, quando comparados aos temas abordados nas etapas anteriores. Por esse mo-
tivo, alguns alunos poderão sentir mais dificuldade do que outros na resolução das atividades 
propostas. 
O professor poderá utilizar gráficos pré-selecionados para compor a avaliação do pro-
cesso. Recomenda-se, nesse caso, que os alunos possam, em algum momento de avaliação, 
expressar suas opiniões em relação aos temas de reconhecida importância, assim potenciali-
zam o raciocínio crítico. 
Orientação para a Recuperação 
Para aqueles alunos que ainda sentirem dificuldades na interpretação e na construção 
de gráficos, sugerimos que o professor os estimule a se confrontar com outras situações, não 
se trata aqui, de repetir temas já abordados, e sim, buscar novas situações que, embora cons-
tituídas pelos mesmos conceitos, explorem contextos diferentes daqueles em que se basea-
ram as atividades anteriores. 
Nesse sentido, propomos ao professor que indique a seus alunos a pesquisa de novos 
gráficos, cujos significados das variáveis eles conheçam. 
 Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor po-
derá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem 
como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os 
links: 
Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 
Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ 
Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 
Sugerimos o uso de malhas quadriculadas para a construção de gráficos. 
66 
 
 
67 
 
5 Resumo das habilidades a serem desenvolvidas no 1º bimestre 
Tabela 17 - 6º ano - 1º Bimestre 
6º ano do Ensino Fundamental 
Tema Habilidade 
Números (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal como fruto de 
um processo histórico, percebendo semelhanças e diferenças com outros 
sistemas de numeração, de modo a sistematizar suas principais caracterís-
ticas (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a com-
posição e decomposição de números naturais e números racionais em sua 
representação decimal. 
(EF06MA03) Solucionar e propor problemas que envolvam cálculos (men-
tais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio 
de estratégias pessoais, com compreensão dos processos neles envolvidos 
com e sem uso de calculadora. 
(EF06MA04A) Reconhecer um fluxograma a partir da sua estrutura e de 
seus elementos. 
(EF06MA04B) Ler e interpretar um fluxograma, reconhecendo seus benefí-
cios para a compreensão de um dado contexto. 
(EF06MA04C) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo 
por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por 
exemplo, se um número natural qualquer é par). 
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabe-
lecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é 
divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios 
de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. 
(EF06MA06) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam as 
ideias de múltiplo e de divisor, reconhecendo os números primos, múltiplos 
e divisores. 
Álgebra (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se al-
tera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por 
um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desco-
nhecidos na resolução de problemas. 
Geometria (EF06MA16) Associar, representar pares ordenados de números a pontos 
do plano cartesiano do 1º quadrante, em situações como a localização dos 
vértices de um polígono. 
 
 
 
68 
 
Tabela 18 - 7º ano - 1º Bimestre 
7º ano do Ensino Fundamental 
Tema Habilidade 
Números (EF07MA01) Resolver e elaborar situações-problema com números natu-
rais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir má-
ximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias 
diversas, sem a aplicação de algoritmos. 
Álgebra (EF07MA17) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam varia-
ção de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas 
grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre 
elas. 
Geometria (EF07MA19) Localizar no plano cartesiano pontos (coordenadas) que repre-
sentam os vértices de um polígono e realizar transformações desses polígo-
nos, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um 
número inteiro. 
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de 
figuras em relação aos eixos e à origem. 
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de trans-
lação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de 
geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de 
obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros. 
Grandezas e 
medidas 
(EF07MA29) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam medi-
das de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas 
ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida em-
pírica é aproximada. 
 
69 
 
Tabela 19 - 8º ano 1º bimestre 
8º ano do Ensino Fundamental 
Tema Habilidade 
Números (EF08MA02) Resolver e elaborar situações-problema usando a relação en-
tre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de 
expoente fracionário. 
(EF08MA03) Resolver e elaborar situações-problema de contagem cuja re-
solução envolve a aplicação do princípio multiplicativo. 
(EF08MA04) Resolver e elaborar situações-problema, envolvendo cálculo 
de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais. 
Geometria (EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares 
de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e 
polígonos regulares. 
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de umfluxograma, um algo-
ritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir 
da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso. 
(EF08MA17) Conhecer e aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como 
lugares geométricos na resolução de problemas. 
Probabili-
dade e esta-
tística 
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção 
do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que 
a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é 
igual a 1. 
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou eco-
nômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitá-
rias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes 
maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). 
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma téc-
nica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráfi-
cos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando as-
pectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões. 
70 
 
Tabela 20 - 9º ano - 1º Bimestre 
9º ano do Ensino Fundamental 
Tema Habilidade 
Números (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de compri-
mento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por 
número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas 
de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). 
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja 
representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de 
alguns deles na reta numérica. 
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com 
expoentes fracionários. 
(EF09MA04) Resolver e elaborar situações-problema com números reais, 
inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. 
Álgebra (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência uní-
voca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e grá-
fica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações 
funcionais entre duas variáveis. 
(EF09MA07) Resolver situações-problema que envolvam a razão entre duas 
grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográ-
fica. 
(EF09MA07) Resolver situações-problema que envolvam a razão entre duas 
grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográ-
fica. 
Probabili-
dade e esta-
tística 
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os 
elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, 
como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omis-
são de informações importantes (fontes e datas), entre outros. 
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, 
linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um de-
terminado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de 
tendência central. 
71 
 
6- Ensino Médio 
6.1 Introdução 
O objetivo da inserção dos apontamentos relativos grade curricular do Ensino Médio 
neste documento, com a respectiva equivalência das habilidades do Currículo Oficial, e as 
competências específicas da área de Matemática, da BNCC, torna-se meramente um informa-
tivo, visto que neste momento de escrita do material, não temos nenhuma oficialização da 
BNCC do Ensino Médio, desta forma, não podemos inseri-las no Currículo Paulista. 
Então, os comentários pedagógicos, estarão restritos ao conceito, da habilidade que 
está ligada a uma determinada competência específica, porém apresentaremos em linhas ge-
rais, as fundamentações teóricas em que cada documento oficial apresenta, ou seja, o Currí-
culo Oficial do Estado de São Paulo, e a BNCC, para a área de Matemática, especificamente no 
Ensino Médio. 
Por último, pode-se afirmar que a Grade Curricular do Ensino Médio, por enquanto, é 
a que consta no Documento Oficial do Estado de São Paulo, não considerando a utilização do 
Material de Apoio ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo. 
 
6.2 Concepções da Matemática no Ensino Médio nos documentos oficiais 
Primeiramente relataremos, sobre os principais apontamentos no Currículo do Estado 
de São Paulo, cujo pressuposto básico remete à representação dos dados disponíveis e um 
tratamento adequado para das informações disponíveis de acordo com o mapeamento do 
que é relevante para a construção do conhecimento, em determinada ocasião. 
Então, nos três temas (Números, Geometria e Relações), entende-se que para o Ensino 
Médio exista uma ampliação e aprofundamento dos conceitos e conteúdos da Matemática, 
considerando sempre a exploração das ideias fundamentais de cada tema/conteúdo, estabe-
lecendo caminhos que interliguem os conteúdos às competências gerais de cada tema. No 
caso da Matemática, proporcionalidade, equivalência, ordem, aproximação, problematização, 
otimização, entre outras, são exemplos de tais ideias fundamentais, a serem exploradas nos 
diversos conteúdos estudados. 
72 
 
A BNCC da área de Matemática, para o Ensino Médio, propõe também a ampliação e 
o aprofundamento das aprendizagens essenciais desenvolvidas nos anos finais do Ensino Fun-
damental, e que para o estágio seguinte, possibilite ao estudante construir uma visão mais 
integrada da Matemática, ainda na perspectiva de sua ampliação à realidade. 
Enfatizando as considerações acima propostas, os autores destacam as principais 
ações para a etapa do ensino médio, da seguinte forma: 
Tais considerações colocam a área de Matemática e suas tecnologias diante 
da responsabilidade de aproveitar todo o potencial já constituído por esses 
estudantes, para promover ações que estimulem e provoquem seus proces-
sos de reflexão e de abstração, que deem sustentação a modos de pensar 
criativos, analíticos, indutivos, dedutivos e sistêmicos e que favoreçam a to-
mada de decisões orientadas pela ética e o bem comum. (BRASIL, 2018, p. 
518) 
No texto ainda encontra-se uma descrição minuciosa sobre as habilidades relativas aos 
processos de investigação, de construções de modelos e de resoluções de problemas, desta 
forma, os estudantes mobilizam seus próprios modos de raciocinar, representar, argumentar, 
comunicar e, com base em discussões e validações conjuntas, aprender conceitos e desenvol-
ver representações e procedimentos cada vez mais sofisticados9. 
O documento apresenta também uma justificativa referenciando a interligação das 
cinco unidades temáticas apresentadas nos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental com 
as ideias fundamentais para o desenvolvimento do pensamento matemático, compostos em 
pares, da seguinte maneira: variação e constância; certeza e incerteza; movimento e posição; 
relações e inter-relações.10 
 
9 Nota: Não detalharemos as habilidades mencionadas, caso o leitor queira obter informações 
procure em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/06/BNCC_EnsinoMe-
dio_embaixa_site_110518.pdf , pg. 519 
10 Nota: Não detalharemos as ideias fundamentais mencionadas, caso o leitor queira obter in-
formações veja no mesmo documento acima, nas páginas 520 e 521. 
 
73 
 
No tocante às habilidades específicas para o Ensino Médio, os autores referenciam o 
letramento matemático11, como potencializador das habilidades propostas para o Ensino Mé-
dio e a oferta de ferramentas para compreender a realidade e propor as ações de intervenção 
para o Ensino Médio. 
E finalmente, considerando os pressupostos apresentados e levando em conta as com-
petências gerais da Educação Básica e juntamente com as da área para o Ensino Fundamental, 
o documentoapresenta as competências específicas de Matemática e suas Tecnologias para 
o Ensino Médio, conforme descrição a seguir: 
6.3 Competências Específicas de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino 
Médio – BNCC – Ensino Médio 
 Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações 
em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natu-
reza e Humanas, ou ainda questões econômicas ou tecnológicas, divulgados por dife-
rentes meios, de modo a consolidar uma formação científica geral. 
 Articular conhecimentos matemáticos ao propor e/ou participar de ações para investi-
gar desafios do mundo contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente respon-
sáveis, com base na análise de problemas de urgência social, como os voltados a situa-
ções de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo do trabalho, 
entre outros recorrendo a conceitos, procedimentos e linguagens próprios da Matemá-
tica. 
 Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos, em seus campos – Arit-
mética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística, para in-
terpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a 
plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a cons-
truir argumentação consistente. 
 
11 Na BNCC, o letramento matemático está assim definido: competências e habilidades de raci-
ocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabe-
lecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de con-
textos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. O letramento 
deve também assegurar que todos estudantes reconheçam que os conhecimentos matemáticos 
são fundamentais para compreender e atuar no mundo e para que também percebam o caráter 
de jogo intelectual da Matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio 
lógico e crítico, estimula a investigação e que pode também ser prazeroso (fruição). 
74 
 
 Compreender e utilizar com flexibilidade a fluidez, diferentes registros de representa-
ção matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de 
solução e comunicação de resultados de problemas de modo a favorecer a construção 
e o desenvolvimento do raciocínio matemático. 
 Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades 
matemáticas, empregando recursos e estratégias como observação de padrões, expe-
rimentações e tecnologias digitais, identificando a necessidade, ou não, de uma de-
monstração cada vez mais formal na validação das referidas conjecturas. 
 
75 
 
7. Grades curriculares – Ensino Médio 
O material que apresentaremos a seguir, tem como objetivo, a apresentação de tabe-
las com intuito de mostrar uma possível equivalência das habilidades descritas no Currículo 
Oficial da área de Matemática, do ensino médio e das habilidades que compõe cada uma das 
competências descritas na BNCC do Ensino Médio. 
Porém, antes de iniciarmos o estudo, cabe algumas considerações a respeito da no-
menclatura utilizada na BNCC, do código alfanumérico que identifica a habilidade. 
Desta forma, apresentamos a seguir a ilustração contida no documento oficial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se disto, seguiremos com a apresentação das tabelas, referentes ao 1º bimes-
tre do ano letivo de maneira análoga do conteúdo apresentado nos anos finais do Ensino Fun-
damental. 
 
Figura 10 - Código alfanumérico - Habilidades BNCC - Ensino Médio 
76 
 
7.1 Currículo Oficial / BNCC – Competência Específica 1 – (1º Bimestre) 
Tabela 21 - Competência específica 1 - Álgebra 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Espe-
cífica 
Habilidade 
 Relações 
 
 Funções 
 
o Relação 
entre duas 
grandezas; 
 
o Proporcio-
nalidades: 
direta, in-
versa, di-
reta com o 
quadrado. 
 
o Função de 
1º grau. 
 
o Função de 
2º grau. 
 
o Qualidade 
das fun-
ções 
 
 Saber reconhecer 
relações de proporcionali-
dade direta, inversa, di-
reta com o quadrado, en-
tre outras, represen-
tando-as por meio de fun-
ções. 
 Compreender a 
construção do gráfico de 
funções de 1º grau, sa-
bendo caracterizar o cres-
cimento, o decrescimento 
e a taxa de variação. 
 Compreender a 
construção do gráfico de 
funções de 2º grau como 
expressões de proporcio-
nalidade entre uma gran-
deza e o quadrado de ou-
tra, sabendo caracterizar 
os intervalos de cresci-
mento e decrescimento, 
os sinais da função e os va-
lores extremos (pontos de 
máximo ou de mínimo). 
 Saber utilizar em di-
ferentes contextos as fun-
ções de 1º e de 2º graus, 
explorando especial-
mente problemas de má-
ximos e mínimos 
 Compreender o sig-
nificado da taxa de varia-
ção unitária (variação de 
f(x) por unidade a mais de 
x), utilizando-a para carac-
terizar o crescimento, o 
1. Utilizar estraté-
gias, conceitos e 
procedimentos 
matemáticos 
para interpretar 
situações em di-
versos contex-
tos, sejam ativi-
dades cotidia-
nas, sejam fatos 
das Ciências da 
Natureza e Hu-
manas, ou ainda 
questões econô-
micas ou tecno-
lógicas, divulga-
dos por diferen-
tes meios, de 
modo a consoli-
dar uma forma-
ção científica ge-
ral. 
 
(EM13MAT101) In-
terpretar situações 
econômicas, sociais 
e das Ciências da Na-
tureza que envol-
vem a variação de 
duas grandezas, pela 
análise dos gráficos 
das funções repre-
sentadas e das taxas 
de variação com ou 
sem apoio de tecno-
logias digitais. 
77 
 
decrescimento e a conca-
vidade de gráficos 
 
 
7.1.1 – Aprofundamento dos estudos sobre as funções do 1º e 2º graus. 
As três primeiras habilidades apresentadas na segunda coluna da esquerda para a di-
reita, retomam a noção de função, que traduz uma relação de interdependência entre duas 
grandezas, explorando-se especialmente as funções de 1º grau e de 2º grau, bem como suas 
aplicações em diferentes contextos. Tais assuntos já foram apresentados aos alunos em algum 
momento dos anos iniciais do Ensino Fundamental. No 7º ano, por exemplo, foram exploradas 
situações envolvendo a proporcionalidade direta e inversa entre grandezas, e que conduzem 
a relações do tipo y = kx, ou, então, y= k 
x
, de tal forma que k é uma constante não nula. No 
9º ano, foram estudadas as funções y=ax + b e y = ax2+ bx + c, com a ≠ 0, além da representa-
ção destas em gráficos. 
Para o desenvolvimento da habilidade descrita na coluna da competência específica 1, 
no Ensino Médio, a apresentação será mais sistematizada, de tal forma que, mesmo que o 
professor estiver tratando desse assunto pela primeira vez, o aluno provavelmente não terá 
grandes dificuldades em acompanhar as atividades propostas. 
Podemos afirmar que as funções são capazes de traduzir matematicamente todos os 
processos que envolvem relações de proporcionalidade direta (gráficos lineares), ou relações 
em que uma grandeza é proporcional ao quadrado de outra (gráficos com a forma de uma 
parábola). Muitos exercícios envolvendo situações concretas em que a consideração das gran-
dezas envolvidas conduz a uma função de 1º grau ou de 2º grau serão contemplados, com 
especial destaque para problemas de otimização, ou seja, problemas que envolvem a obten-
ção do máximo ou do mínimo de uma função, em determinado contexto. 
De um modo geral, o estudo das funções contribuem para o desenvolvimento de im-
portantes competências básicas, como: 
 o recurso à linguagem dasfunções para representar interdependências conduz a um 
aumento na capacidade de expressão, favorecendo a construção de um discurso mais efi-
caz para enfrentar problemas em diferentes contextos; 
78 
 
 a capacidade de compreensão de uma variada gama de fenômenos é ampliada, uma 
vez que muitas situações de interdependência estão naturalmente associadas a modela-
gens que conduzem a explicações dos referidos fenômenos; 
 o reconhecimento das funções envolvidas em um fenômeno possibilita a sistematiza-
ção de propostas de intervenção consciente sobre a realidade representada. 
A última habilidade, possibilita apresentar de modo mais sistematizado as caracterís-
ticas das funções já estudadas em séries anteriores, ampliando-se as possibilidades de cons-
trução de gráficos e da compreensão das formas básicas de crescimento ou decrescimento. 
Com isso a possibilidades de construção de gráficos e da compreensão das formas básicas de 
crescimento ou decrescimento. Com isso, a possibilidade de utilização de funções para a com-
preensão das formas básicas de crescimento ou decrescimento. Com isso, a possibilidade de 
utilização de funções para compreensão de fenômenos da realidade será ampliada, e os alu-
nos poderão analisar com mais nitidez a riqueza da linguagem das funções. 
No Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Caderno do Professor, os 
conteúdos referentes às habilidades descritas, podem ser encontradas nas seguintes situa-
ções de aprendizagem: 
Situação de Aprendizagem 5 – Funções como relações de interdependência: Múltiplos exem-
plos, Vol. 1 – 1ª série do Ensino Médio, pg. 55 a 64. 
Situação de Aprendizagem 6 – Funções polinomiais de 1º grau: Significado, gráficos, cresci-
mento, decrescimento e taxas, Vol. 1 – 1ª série do Ensino Médio, pg. 65 a 74. 
Situação de Aprendizagem 7: Funções Polinomiais de 2º grau: significado, gráficos, intersec-
ções com os eixos, vértices e sinais. Vol. 1, 1ª série do Ensino Médio, pg. 74 a 96. 
Situação de Aprendizagem 8: Problemas envolvendo funções de 2º grau em múltiplos contex-
tos, problemas de máximos e mínimos. Vol. 1, 1ª série do Ensino Médio, pg. 96 a 103. 
Situação de Aprendizagem 2: A reta, a inclinação constante e a proporcionalidade. Vol. 1, 3ª 
série do Ensino Médio, pg. 22 a 32 e Situação de Aprendizagem 3: máximos e mínimos. Vol. 1, 
3ª série do Ensino Médio, pg. 33 a 42. 
Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas conside-
rações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável 
ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas. 
79 
 
 
80 
 
Tabela 22 - Competência específica 1 - Números 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Espe-
cífica 
Habilidade 
 Números 
 
o Potencia-
ção 
 Proprie-
dades 
para ex-
poentes 
inteiros. 
 
o Ordem de 
grande-
zas. 
 Notação 
científica 
 
 
 Compreender a utili-
dade do uso da linguagem 
das potências para repre-
sentar números muito 
grandes e muito peque-
nos. (8º ano) 
 
 Compreender o sig-
nificado e saber utilizar a 
notação científica na re-
presentação de números 
muito grandes ou muitos 
pequenos. (9º ano) 
 
 
1- Utilizar estraté-
gias, conceitos e pro-
cedimentos mate-
máticos para inter-
pretar situações em 
diversos contextos, 
sejam atividades co-
tidianas, sejam fatos 
das Ciências da Natu-
reza e Humanas, ou 
ainda questões eco-
nômicas ou tecnoló-
gicas, divulgados por 
diferentes meios, de 
modo a consolidar 
uma formação cien-
tífica geral. 
 
(EM13MAT103) 
Interpretar e com-
preender o emprego 
de unidades de me-
dida de diferentes 
grandezas, inclusive 
de novas unidades, 
como as de armaze-
namento de dados e 
de distâncias astro-
nômicas e microscó-
picas, ligadas aos 
avanços tecnológi-
cos, amplamente 
divulgadas na socie-
dade. 
 
 7.1.3 Potências e ordens de grandezas 
Geralmente a habilidade descrita na Competência específica da BNCC, é desenvolvida 
durante os anos finais do Ensino Fundamental, cujo desenvolvimento teórico está inserido no 
estudo das potências, particularmente, no registro de números muito grandes ou pequenos 
em situações práticas. 
Vale a pena observar que, apesar da praticidade relacionada ao uso de potências para 
a representação de números muito grandes, quando temos a possibilidade de nos referir a 
um número dessa natureza por palavras, a compreensão do significado concreto da ordem de 
grandeza será favorecida. Por exemplo, dizer que o número de habitantes estimado da Terra 
em 2017 foi de 7,53 ∙109 pessoas é muito menos esclarecedor do que falar em 7 bilhões e 530 
milhões de pessoas (7.530.000.000). Desta forma, as atividades que estabelecem a correspon-
dência entre o uso de potências e as palavras da nossa língua que as representam devem 
sempre ser incentivados. 
81 
 
Para complementar o conteúdo acima, existem duas situações de aprendizagens, do 
Material de Apoio ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, que desenvolvem toda esta 
contextualização, a saber: 
Situação de Aprendizagem 3: Do googol ao angstron, um caminho para as potências, Vol. 1, 
8º ano, pg. 27 a 35. 
Situação de Aprendizagem 4: As potências e a memória do computador, Vol. 1, 8º ano, pg. 35 
a 43. 
Para o aprofundamento os conteúdos acima estabelecidos, podemos citar o estudo da 
notação científica e o conceito de ordens de grandezas, sugerimos também a Situação de 
Aprendizagem 4: Potências, Notação Científica e Ordem de Grandeza, Vol. 1, 9º ano, pg. 50 a 
58. 
Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas conside-
rações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável 
ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas. 
 
82 
 
7.1.5 Isometrias no plano cartesiano 
Mesmo que não exista uma habilidade específica no Currículo oficial, podemos desta-
car que existe uma Situação de Aprendizagem, na qual faz referência ao assunto de transfor-
mações geométricas, que poderá ser encontrado na Situação de Aprendizagem 2, Vol.2, 8º 
ano, pg. 24 a 43. 
No desenvolvimento teórico das aulas, se caso a Unidade Escolar dispor de uma sala 
com computadores, sugerimos a utilização de softwares de geometria dinâmica, que facilitará 
o trabalho do professor ao demonstrar as transformações geométricas no plano cartesiano. 
A título de ilustrar os conteúdos acima descritos, indicamos os links nos quais desen-
volvem o assunto proposto, o primeiro apresenta uma aula sobre isometrias e simetrias, o 
segundo link, apresenta as isometrias utilizando um software de geometria dinâmica, con-
forme segue: 
http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-de-atividades-isometrias/ (Acesso em 06/11/2018) 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=43137 (Acesso em 
06/11/2018) 
Outro material que poderá subsidiar o professor nessas aulas seria a vídeo aula: Ofe-
renda musical de Bach, contida na plataforma: Matemática Multimídia/Unicamp, cujo vídeo 
pode ser acessado pelo link: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1143 (Acesso em 
06/11/2018), na página, está disponível uma ficha na qual apresenta todos os subsídios teóri-
cos e metodológicos sobre a vídeo aula. 
 
83 
 
7.2. Currículo Oficial / BNCC – Competência Específica 2 - (1º Bimestre) 
Tabela 23 - Competência específica 2 - Geometria 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Espe-
cífica 
Habilidade 
 Geome-
tria 
 
 
o Transfor-
mações 
no plano. 
 Saber identificar pro-
priedades características, 
calcular relações métricas 
fundamentais(compri-
mentos, áreas e volumes) 
de sólidos como o prisma e 
o cilindro, utilizando-as 
em diferentes contextos. 
(2ª série E.M.) 
 Saber identificar pro-
priedades características, 
calcular relações métricas 
fundamentais (compri-
mentos, áreas e volumes) 
de sólidos como a pirâ-
mide e o cone, utilizando-
as em diferentes contex-
tos. (2ª série E.M.) 
 Saber identificar 
propriedades característi-
cas, calcular relações mé-
tricas fundamentais (com-
primentos, áreas e volu-
mes) da esfera e de suas 
partes, utilizando-as em 
diferentes contextos. (2ª 
série E.M.) 
2- Articular conheci-
mentos matemáticos 
ao propor e/ou parti-
cipar de ações para 
investigar desafios 
do mundo contem-
porâneo e tomar de-
cisões éticas e social-
mente responsáveis, 
com base na análise 
de problemas de ur-
gência social, como 
os voltados a situa-
ções de saúde, sus-
tentabilidade, das 
implicações da tec-
nologia no mundo do 
trabalho, entre ou-
tros, recorrendo a 
conceitos, procedi-
mentos e linguagens 
próprios da Matemá-
tica. 
(EM13MAT201) 
Propor ações comu-
nitárias, como as vol-
tadas aos locais de 
moradia dos estu-
dantes dentre ou-
tras, envolvendo cál-
culos das medidas de 
área, de volume, de 
capacidade ou de 
massa, adequados às 
demandas da região. 
 
84 
 
 
7.2.1 Geometria espacial métrica 
Os conteúdos apresentados, tanto nas habilidades do Currículo Oficial, como na Com-
petências Especifica 2, mencionam a Geometria métrica espacial, que poderá ser apresentada 
de forma crescente, combinando vários conceitos matemáticos, sendo, em alguns casos, apre-
sentados projetos e propostas interdisciplinares. Nela, algumas das formas mais comuns pre-
sentes na natureza e na produção humana são estudadas. Para isso, é necessário que sejam 
relembradas as propriedades fundamentais das figuras planas, afinal, são elas que compõem 
as bases, as faces e as seções das figuras espaciais. Sabe-se que uma das dificuldades que os 
alunos enfrentam no estudo da geometria espacial é a representação e a interpretação de 
figuras tridimensionais desenhadas no plano; assim a proposição de atividades de manipula-
ção e exploração dos sólidos geométricos seria muito oportuna nesse momento. Convém res-
saltar que, algumas relações métricas são construídas em meio à solução de problemas exem-
plares, ou seja, aqueles que são comuns em todo material didático-pedagógico, desta forma 
o professor pode combinar esses exercícios com aqueles que já fazem parte de sua experiên-
cia no ensino deste tema. 
Todas as habilidades referenciadas na segunda coluna estão contidas em Situações de 
Aprendizagens do Volume 2 da 2ª série do Ensino Médio, conforme segue: 
Situação de Aprendizagem 5: Prismas: Uma forma de ocupar o Espaço; pg. 61 a 71. 
Situação de Aprendizagem 6: Cilindros: Uma mudança de base; pg. 72 a 82. 
Situação de Aprendizagem 7: O movimento de ascensão: Pirâmides e Prismas; pg. 83 a 95. 
Situação de Aprendizagem 8: Esfera conhecendo a forma do Mundo; pg. 95 a 109. 
Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas conside-
rações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável 
ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas. 
 
Para complementar este assunto apresentamos duas vídeos aulas contidas na plata-
forma M3 – Matemática Multimídia: 
Criador e Criatura, disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1078 (acesso em 
06/11/2018) 
85 
 
Matemática das esferas: disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1272 (acesso em 
06/11/2018) 
 
86 
 
7.3 Currículo Oficial / BNCC – Competência Específica 3 – (1º Bimestre) 
Tabela 24 - Competência específica 3 - Álgebra 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Espe-
cífica 
Habilidade 
 
 Relações 
 
 
 Gráficos 
de funções 
do 1º grau. 
 
 Sistemas 
de equa-
ções. 
 
 
 Saber resolver siste-
mas lineares de duas 
equações e duas incógni-
tas pelos métodos da adi-
ção e da substituição, sa-
bendo escolher de forma 
criteriosa o caminho mais 
adequado em cada situa-
ção. (8º ano) 
 Compreender e 
usar o plano cartesiano 
para a representação de 
pares ordenados, bem 
como para a representa-
ção das soluções de um 
sistema de equações li-
neares. (8º ano) 
 Saber resolver e dis-
cutir sistemas de equa-
ções lineares pelo método 
de escalonamento de ma-
trizes. (2ª série E.M.) 
 Reconhecer situa-
ções-problema que envol-
vam sistemas de equações 
lineares (até a 4ª ordem), 
sabendo equacioná-los e 
resolvê-los. (8º ano) 
 
 
3- Utilizar estraté-
gias, conceitos e pro-
cedimentos mate-
máticos, em seus 
campos – Aritmé-
tica, Álgebra, Gran-
dezas e Medidas, 
Geometria, Probabi-
lidade e Estatística, 
para interpretar, 
construir modelos e 
resolver problemas 
em diversos contex-
tos, analisando a 
plausibilidade dos 
resultados e a ade-
quação das soluções 
propostas, de modo 
a construir argumen-
tação consistente. 
 
(EM13MAT301) Re-
solver e elaborar 
problemas do cotidi-
ano, da Matemática 
e de outras áreas do 
conhecimento, que 
envolvem equações 
lineares simultâ-
neas, usando técni-
cas algébricas e grá-
ficas, incluindo ou 
não tecnologias digi-
tais. 
7.3.1 Equações simultâneas ou sistemas de equações 
Uma das características principais descrita na competência específica é a utilização de 
procedimentos matemáticos aliados aos conceitos para a resolução de sistemas lineares. 
87 
 
Desta forma, resgatamos os procedimentos, estabelecidos no 8º ano, para a resolução 
de um sistema de duas equações e duas incógnitas pelos métodos da adição e substituição, 
. Também é conveniente abordar a resolução gráfica de um sistema de equações no plano 
cartesiano. 
Para ampliar os estudos referentes aos sistemas lineares, apresentamos os conceitos 
de matrizes e determinantes que serão utilizados na abordagem dos métodos do escalona-
mento de matrizes e da regra de Cramer. 
Os assuntos acima citados podem ser encontrados no Material de Apoio ao Currículo 
Oficial do Estado de São Paulo, nas respectivas Situações de Aprendizagem: 
Situação de Aprendizagem 3: Sistemas de Equações Lineares, Vol. 2, 8º ano, p. 45 a 61. 
Situação de Aprendizagem 4: Equações com soluções inteiras e suas aplicações, Vol. 2, 8º ano, 
p. 61 a 70. 
Situação de Aprendizagem 7: Sistemas lineares em situações-problema, Vol. 1, 2ª Série do 
Ensino Médio, p. 78 a 84. 
Situação de Aprendizagem 8: Resolução de sistemas lineares: Escalonamento x Cramer, Vol. 
1, 2ª série do Ensino Médio, p. 85 a 105. 
Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas conside-
rações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável 
ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas. 
Além das situações de aprendizagem, sugerimos alguns recursos audiovisuais, da plataforma 
Matemática Multimídia: 
✓ A mancha: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1133 (acesso em 27/11/2018) 
✓ Gasolina ou álcool: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1101 (acesso em 27/11/2018) 
✓ O guardador de águas: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1112 (acesso em 27/11/2018) 
Que a força esteja com você: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1166 (acesso em 
27/11/2018) 
 
88 
 
Tabela 25 - Competência específica 3 - Geometria 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência 
Específica 
Habilidade 
 
 Geo-
metria 
 
 Teorema 
de Tales. 
 
 O conceito 
de seme-
lhança. 
 
 Seme-
lhança de 
triângulos. 
 
 Relações 
métricas. 
 
 
 
 
 Reconhecer e aplicaro 
teorema de Tales como uma 
forma de ocorrência da ideia 
de proporcionalidade, na so-
lução de problemas em dife-
rentes contextos. (8º ano) 
 
 Saber reconhecer a se-
melhança entre figuras pla-
nas, a partir da igualdade das 
medidas dos ângulos e da 
proporcionalidade entre as 
medidas lineares correspon-
dentes. (9º ano) 
 
 Saber identificar triân-
gulos semelhantes e resolver 
situações-problema envol-
vendo semelhança de triân-
gulos. (9º ano) 
 
 Compreender e saber 
aplicar as relações métricas 
dos triângulos retângulos, 
particularmente o teorema 
de Pitágoras, na resolução 
de problemas em diferentes 
contextos. (9º ano) 
3- Utilizar es-
tratégias, 
conceitos e 
procedimen-
tos matemá-
ticos, em 
seus campos 
– Aritmética, 
Álgebra, 
Grandezas e 
Medidas, Ge-
ometria, Pro-
babilidade e 
Estatística, 
para inter-
pretar, cons-
truir modelos 
e resolver 
problemas 
em diversos 
contextos, 
analisando a 
plausibili-
dade dos re-
sultados e a 
adequação 
das soluções 
propostas, de 
modo a cons-
truir argu-
mentação 
consistente. 
 
(EM13MAT308) Resolver 
e elaborar problemas em 
variados contextos, en-
volvendo 
triângulos nos quais se 
aplicam as relações mé-
tricas ou as noções de 
congruência e seme-
lhança. 
 
 
 
89 
 
7.3.5 Semelhança de triângulos e relações métricas. 
Em Geometria, o conceito referente a semelhança de triângulos, é considerado como 
ideia central, pois, muitas das demonstrações e cálculos, partem deste conceito. 
Convém ressaltar que os conceitos de semelhança e congruência não são sinônimos 
no trato da Geometria, pois semelhança remete a seguinte definição: 
“Duas figuras planas são consideradas semelhantes quando uma delas pode ser obtida 
a partir da ampliação ou de uma redução da outra” 
Ou 
Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F’ são semelhantes quando 
guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe uma correspondência biunívoca entre os 
pontos de F e os pontos de F’, tal que: 
XY
X'Y'
=
ZW
Z'W'
= r 
 onde X, Y, Z e W, são pontos de F e X’, Y’, Z’ e W’, pontos de F’, conforme mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com relação a congruência, especificamente entre dois triângulos, define-se que eles 
são congruentes quando os lados e ângulos do primeiro triângulo estão em correspondência 
com os lados e ângulos do segundo triângulo de tal forma que os lados em correspondência 
têm a mesma medida, assim como os ângulos. Portanto, para se determinar a congruência de 
Figura 11 - "Figuras semelhantes" 
90 
 
triângulos, é necessário analisar os três lados e os três ângulos de cada triângulo e comparar 
suas medidas. 
Desta forma é suficiente que se conheçam apenas três elementos, numa certa ordem 
para termos a congruência assegurada. É que dizem os critérios: LAL, ALA, LLL. 
Sabendo-se disto, que o estudo de semelhança entre triângulos, solicita outros concei-
tos fundamentais, um deles é o teorema de Tales, que por sua vez, está ligado a uma das ideias 
fundamentais da Matemática, a proporcionalidade. Desta forma o teorema de Tales é definido 
da seguinte maneira: 
“Se um feixe de retas paralelas, indicado pelas retas a, b e c, é interceptado por duas 
transversais, d e e, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais 
são proporcionais” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB
BC
=
DE
EF
 
 
No caso da semelhança entre duas figuras, como foi discutido anteriormente, implica 
em retomar a ideia de escala e, por consequência, a ideia de razão entre duas medidas de 
mesma natureza. Poderemos também estabelecer, entre figuras semelhantes, relações de 
proporcionalidade que exijam a realização de operações algébricas e a mobilização de estra-
tégias de raciocínio. 
Desta forma, ao pensarmos na razão 1:3, sabemos que cada medida do contorno da 
figura ampliada é três vezes maior do que a medida correspondente na figura original. Essa 
Figura 12 - Retas cortadas por transversais 
91 
 
ideia de razão de semelhança, não é o bastante para compreender a representação de figuras 
em escala. Então a análise das diversas situações de semelhança exige pensar não apenas na 
medida do contorno das figuras, mas também em suas medidas angulares, como no trata-
mento com semelhança de triângulos que é o nosso próximo assunto. 
Já sabemos que o triângulo é considerado como uma estrutura rígida, essa caracterís-
tica está diretamente relacionada ao fato de que a semelhança entre dois triângulos exige 
apenas a congruência dos ângulos correspondentes. Afinal, se as formas triangulares não se 
articulam, ou seja, são rígidas, não é possível alterar a medida de seus ângulos internos sem, 
por consequência, alterar a medida de, pelo menos, um de seus lados. Caso as medidas dos 
três lados sejam ampliadas ou reduzidas proporcionalmente, então as medidas angulares se-
rão preservadas. O triângulo é, portanto, o único tipo de polígono para o qual a semelhança é 
definida apenas a partir de uma condição: ângulos correspondentes congruentes. 
A proporcionalidade entre as medidas dos lados passa a ser, nesse caso, consequência, 
e não exigência, como ocorre para os demais polígonos. 
Sobre às relações métricas, especificamente no triângulo retângulo, assunto que já 
vem sendo abortado e desenvolvido deste o 9º ano, neste estudo foram trabalhadas duas 
vertentes: a semelhança de triângulos e a decomposição de figuras. 
O importante nesse caso, é que no processo de construção conceitual, o aluno per-
corra um caminho que parta da observação de regularidades e, após algumas etapas e aplica-
ções generalize propriedades a partir do raciocínio indutivo que mobiliza nesse trajeto. 
Todos os tópicos acima apresentados, podem ser encontrados no Material de Apoio 
ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, nas respectivas Situações de Aprendizagem, con-
forme segue: 
Situação de Aprendizagem 6: Teorema de Tales: Proporcionalidade na Geometria, Vol. 2, 8º 
ano do Ensino Fundamental, pg. 85 a 97. 
Situação de Aprendizagem 7: O teorema de Pitágoras: Padrões numéricos e geométricos, Vol. 
2, 8º ano do Ensino Fundamental, pg. 98 a 115. 
Situação de Aprendizagem 1: Semelhança entre figuras planas, Vol. 2, 9º ano do Ensino Fun-
damental, pg. 11 a 20. 
92 
 
Situação de Aprendizagem 2: Triângulos: Um caso especial de semelhança, Vol. 2, 9º ano do 
Ensino Fundamental, pg. 20 a 28. 
Situação de Aprendizagem 3: Relações Métricas nos triângulos retângulos – Teorema de Pi-
tágoras, Vol. 2, 9º ano do Ensino Fundamental, pg. 29 a 39. 
Situação de Aprendizagem 4: Razões trigonométricas dos ângulos agudos, Vol. 2, 9º ano do 
Ensino Fundamental, pg. 39 a 50. 
Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas conside-
rações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável 
ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas. 
Além das situações de aprendizagens, apresentadas, sugerimos outros materiais com 
recursos audiovisuais, contidos na plataforma Matemática Multimídia, a seguir: 
✓ Engenharia de Grego, disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1010, acesso 
em 29/11/2018. 
✓ Entrando pelo túnel, disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1096, acesso 
em 29/11/2018. 
✓ Montanhas geométricas (experimento), disponível em http://m3.ime.unicamp.br/re-
cursos/1021, acesso em 29/11/2018. 
✓ Montanhas geométricas (vídeos), disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recur-
sos/1384, acesso em 29/11/2018. 
✓ Um caminho para o curral, disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1384, 
acesso em 29/11/2018. 
 
93 
 
Tabela26 - Competência específica 3 - Álgebra 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Espe-
cífica 
Habilidade 
 
 Conceito 
de razão. 
 
 
 
 
 Reconhecer e sa-
ber utilizar o conceito 
de razão em diversos 
contextos (proporciona-
lidade, escala, veloci-
dade, porcentagem 
etc.), bem como na 
construção de gráficos 
de setores. (7º ano) 
3- Utilizar estraté-
gias, conceitos e pro-
cedimentos mate-
máticos, em seus 
campos – Aritmética, 
Álgebra, Grandezas e 
Medidas, Geometria, 
Probabilidade e Esta-
tística, para interpre-
tar, construir mode-
los e resolver proble-
mas em diversos 
contextos, anali-
sando a plausibili-
dade dos resultados 
e a adequação das 
soluções propostas, 
de modo a construir 
argumentação con-
sistente. 
 
(EM13MAT314) Re-
solver e elaborar pro-
blemas que envolvem 
grandezas compostas, 
determinadas pela ra-
zão ou pelo produto 
de duas outras, como 
velocidade, densidade 
demográfica, energia 
elétrica etc. 
 
7.3.8 Revisitando o conceito de razão 
O conceito de razão não pode ser tratado de forma isolada, sem antes abordar os fun-
damentos relativos ao ensino da proporcionalidade e também de suas habilidades coligadas. 
 
Passaremos então a tratar diretamente do conceito de razão de forma mais ampla a 
partir de situações-problema que envolvam diferentes tipos de razão, como a porcentagem, 
a escala em mapas e desenhos, a velocidade ou rapidez, a densidade. Incluímos ainda a pro-
babilidade como uma razão, que expressa a chance de ocorrência de um evento em determi-
nado espaço amostral, como no lançamento de moedas, dados, entre outros. 
94 
 
Um aspecto importante seria a consideração que a própria palavra “razão” assume no 
senso comum, ou seja, do entendimento que os alunos têm dessa palavra, para depois intro-
duzir o conceito específico que ela assume na Matemática. 
Porém, a razão pode não estar diretamente ligada a uma situação de proporcionali-
dade. Ela pode simplesmente representar a relação entre duas grandezas em determinado 
momento ou circunstância. Por exemplo, o número de gols por partida de um jogador em um 
determinado campeonato ou a relação entre o número de meninos e meninas em uma classe. 
Portanto, a razão é uma forma de comparação entre os valores de duas grandezas de mesma 
natureza ou de naturezas diferentes. 
Por último cabe destacar que na Geometria a noção de proporcionalidade e o conceito 
de razão é o que mais se destacam, visto a utilização da razão de proporcionalidade, nas am-
pliações e reduções de figuras, na relação existente entre retas paralelas cortadas por trans-
versais (Teorema de Tales), na determinação entre as partes de uma figura geométrica, como 
a razão entre a diagonal e o lado do quadrado ou a razão entre o comprimento da circunfe-
rência e seu diâmetro (𝜋) uma das características do campo numérico dos números irracionais. 
Todos os tópicos acima apresentados, podem ser encontrados no Material de Apoio 
ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, nas respectivas Situações de Aprendizagem, con-
forme segue: 
Situação de Aprendizagem 1: A noção de proporcionalidade, Vol. 2, 7º ano do Ensino Funda-
mental, pg. 12 a 22. 
Situação de Aprendizagem 2: Razão e proporção, Vol. 2, 7º ano do Ensino Fundamental, pg. 
22 a 36. 
Situação de Aprendizagem 3: Razões na Geometria, Vol. 3, 7º ano do Ensino Fundamental, 
pg. 36 a 49. 
Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas conside-
rações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável 
ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas. 
Além das situações de aprendizagens, apresentadas, sugerimos outros materiais com 
recursos audiovisuais, contidos na plataforma Matemática Multimídia, a seguir: 
95 
 
✓ Gasolina adulterada, disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1314, acesso 
em 30/11/2018. 
✓ Quantos peixes há no lago? Disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1373, 
acesso em 30/11/2018. 
✓ O método de Monte Carlo, Disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1371, 
acesso em 30/11/2018. 
 
 
96 
 
 
7.4 Currículo Oficial /BNCC – Competência Específica 4 (1º Bimestre) 
Tabela 27 - Competência específica 4 - Álgebra 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Espe-
cífica 
Habilidade 
 
 Relações. 
 
 Função de 
1º grau. 
 
 
 
 
 
 Compreender a 
construção do gráfico 
de funções de 1º grau, 
sabendo caracterizar o 
crescimento, o decresci-
mento e a taxa de varia-
ção. 
 
 
 
4- Compreender e 
utilizar, com flexibili-
dade e fluidez, dife-
rentes registros de 
representação mate-
máticos (algébrico, 
geométrico, estatís-
tico, computacional 
etc.), na busca de so-
lução e comunicação 
de resultados de pro-
blemas, de modo a 
favorecer a constru-
ção e o desenvolvi-
mento do raciocínio 
matemático. 
(EM13MAT401) Con-
verter representações 
algébricas de funções 
polinomiais de 1º grau 
para representações 
geométricas no plano 
cartesiano, distin-
guindo os casos nos 
quais o comporta-
mento é proporcional, 
recorrendo ou não a 
softwares ou aplicati-
vos de álgebra e geo-
metria dinâmica. 
 
7.4.1 Representação gráfica de funções polinomiais de grau 1 
Podemos constatar que para nós professores é muito natural associar uma função do 
tipo y = ax + b a uma reta contida no plano cartesiano, porém muitos alunos, não conseguem 
associar estes dois registros de representações, pois esses, são desenvolvidos de forma iso-
lada e independente, dando a ideia de que são conteúdos totalmente distintos, portanto, 
pode-se concluir que existe aqui uma mudança dessas de representações, ou seja, da algé-
brica para a geométrica. 
A mudança de registros de representações foi objeto de estudo de Raymond Duval. 
Em seus estudos, Duval apresenta análises acerca da articulação entre a representação algé-
brica da equação da reta (y=ax+b) e sua representação geométrica. O autor destaca que a 
razão para profundas dificuldades em ler e interpretar as representações gráficas parece estar 
associada à falta de conhecimento da correspondência entre a escrita algébrica e sua ligação 
com a representação geométrica. 
97 
 
Desta forma, na representação algébrica das funções polinomiais de grau 1, é neces-
sário que o aluno compreenda as seguintes características fundamentais: 
 quando y é diretamente proporcional a x e ambos os valores, de x e y, começam a ser 
medidos a partir do valor inicial zero, então y = ax, sendo a uma constante não nula; 
 quando há a proporcionalidade direta entre a variação de y medida a partir de certo 
valor inicial b e os valores de x, então y – b = ax, ou seja, y = ax + b; 
 de modo geral, em qualquer situação em que as variações de duas grandezas interde-
pendentes são diretamente proporcionais, chegamos a uma expressão do tipo f(x) = ax + 
b, ou seja, a uma função do 1º grau; 
 sendo f(x) = ax + b, então o coeficiente a sempre representa a variação no valor da 
função por unidade a mais de x, ou, em outras palavras, a taxa de variação de f(x) em rela-
ção a x. 
Estas características estarão relacionadas na representação geométrica da função e 
estarão relacionadas diretamente ao valor do coeficiente a, na qual estabelecerá o ângulo de 
inclinação da reta (coeficiente angular), conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 - Função do 1º grau 
98 
 
O tópico acima apresentado, pode ser encontrado no Material de Apoio ao Currículo 
Oficial do Estado de São Paulo, na respectiva Situação de Aprendizagem, conforme segue:Situação de Aprendizagem 6 – Funções Polinomiais de 1º grau: Significado, gráficos, cresci-
mento e decrescimento, Vol. 1, 1ª série do Ensino Médio, pg. 65 a 74. 
Além da referência citada acima, o professor poderá recorrer a outros materiais que 
abordem o assunto tratado. 
Na busca da aquisição da competência específica trazida pela BNCC, o professor deverá 
privilegiar a inserção de situações que favoreçam a construção e o desenvolvimento do racio-
cínio matemático. 
 
Tabela 28 - Competência específica 4 - Utilização de recursos computacionais 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Espe-
cífica 
Habilidade 
 4- Compreender e 
utilizar, com flexibi-
lidade e fluidez, di-
ferentes registros 
de representação 
matemáticos (algé-
brico, geométrico, 
estatístico, compu-
tacional etc.), na 
busca de solução e 
comunicação de re-
sultados de proble-
mas, de modo a fa-
vorecer a constru-
ção e o desenvolvi-
mento do raciocí-
nio matemático. 
(EM13MAT406) Utili-
zar os conceitos bási-
cos de uma linguagem 
de programação na 
implementação de al-
goritmos escritos em 
linguagem corrente 
e/ou matemática. 
 
7.4.6 Utilização de linguagem de programação para a potencialização do aprendizado 
Voltando para a habilidade descrita, cabe aqui algumas considerações a respeito do 
que seja uma provável caracterização da palavra algoritmo. 
99 
 
Subentende-se que algoritmo12 seja um conjunto de operações predefinidas a seguir 
de forma sistemática para a resolução de um determinado tipo de problema se pensarmos 
nas formas de cálculo da Matemática, a palavra algoritmo pode ser tratada como o conjunto 
ordenado e finito de passos para efetuar um cálculo e na informática ela é considerada como 
o conjunto de operações, sequenciais, lógicas e não ambíguas, que aplicadas a um conjunto 
de dados, permitem encontrar a solução para um problema num número finito de passos. 
Atualmente, o advento e o progresso da tecnologia, permitiram aos jovens possuírem 
o conhecimento do funcionamento dos vários recursos tecnológicos, móveis ou fixos, isto im-
plica que eles próprios elaborem certos aplicativos. Neste sentido, essa construção tem sua 
base nas lógicas de programação. Isto pode parecer novidade para muitos, mas a programa-
ção se transformou em uma parte básica na formação de muitos jovens, não pela sua relevân-
cia lógica, porém pela própria necessidade da funcionalidade ou não de determinado aplica-
tivo. 
Pode-se dizer que registrar por meio de códigos e designar funções lógicas, a progra-
mação é um aprendizado benéfico por outras áreas da formação do jovem. 
Como a Matemática, os conceitos de lógica e raciocínio são a base da programação de 
computadores. Escrever um código é se atentar a uma linguagem lógica e criar a partir de 
padrões que essa linguagem oferece. 
Desta forma, a programação está ligada ao pensamento matemático, talvez um pouco 
diferente do que é visto no cotidiano do aluno em sala de aula, a única relação, talvez esteja 
ligada pelo raciocínio e a capacidade de visualizar problemas de maneira lógica e padronizada. 
Um exemplo que pode ser perfeitamente utilizado em ambiente escolar é a linguagem 
de programação denominada “Logo”, na qual se comanda um cursor, normalmente represen-
tado por uma tartaruga, com o propósito de ensinar ao cursor novos procedimentos além dos 
que são próprios de tal linguagem, afim de criar desenhos ou programas. 
Como citado anteriormente a “tartaruga” na qual representa o cursor gráfico é progra-
mada por meio de quatro comandos básicos: 
 PARAFRENTE (PF) 
 PARATRÁS (PT) 
 
12 Fonte: Dicionário Infopédia da Língua Portuguesa, disponível em https://www.infopedia.pt/di-
cionarios/lingua-portuguesa, acesso em 30/11/2018 
100 
 
 PARADIREITA (PD) 
 PARAESQUERDA (PE) 
Ao utilizar esses comandos é necessário especificar o número de passos ou a medida 
do grau do giro. A maior parte dos comandos da linguagem Logo possui uma forma abreviada, 
como indicamos anteriormente. A tartaruga é definida por uma posição em relação a um sis-
tema de coordenadas cartesianas (x , y) cujo ponto (0,0) representa o centro da tela gráfica e 
por uma orientação em relação a um eixo imaginário cujo ponto inicial é 0. 
Os comandos PF e PT alteram a posição da tartaruga e os comandos PD e PE a sua 
orientação (ângulo). 
Os comandos PF, PT, PD, PE necessitam de parâmetros, nas quais orientam sua posição 
na tela, por exemplo (PF 90, PE 45), cujo comando pode ser entendido pela “tartaruga” como: 
ande para a frente 90 unidades e vire para a esquerda com um ângulo de 45º. 
A sequência a seguir ilustra a construção de um triângulo equilátero, utilizando o sof-
tware “SuperLogo”, na qual tem como base a linguagem Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 14 - Utilização do ambiente SuperLogo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 15 - Utilização do ambiente SuperLogo 
Comando: ul – ativa o traçado do desenho Comando: pd 90 – Solicita que a “tartaruga” 
gire 90º à direita. 
 
101 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 - Utilização do ambiente SuperLogo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 17 - Utilização do ambiente SuperLogo 
Comando: pf 200 – Solicita que a “tartaruga” 
caminhe 200 unidades para frente. 
Comando: pe 120 – Solicita que a “tarta-
ruga” gire 120º à esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 - Utilização do ambiente SuperLogo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 - Utilização do ambiente SuperLogo 
Comando: pf 200 – Solicita que a “tartaruga” 
caminhe 200 unidades para frente. 
Comando: pe 120 – Solicita que a “tarta-
ruga” gire 120º à esquerda. 
 
102 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 - Utilização do ambiente SuperLogo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 21 - Utilização do ambiente SuperLogo 
Comando: pf 200 – Solicita que a “tartaruga” 
caminhe 200 unidades para frente. 
Comando: repita– Solicita que a “tartaruga” 
repita 3 vezes pf 200 e pe 120 
 
Apresentamos também outras possibilidades de utilização de linguagens de programa-
ção, neste caso, apresentando outra abordagem, neste caso utilizando a linguagem de pro-
gramação VBA (Visual Basic Aplication), que atua como uma linguagem de programação à ser-
viço do usuário, permitindo a criação de macros e a automação de diversos processos nas 
planilhas e tabelas desenvolvidas no Excel, os links a seguir exemplificam a utilização desta 
linguagem de programação. 
https://www.techtudo.com.br/dicas-e-tutoriais/noticia/2016/03/o-que-e-e-como-usar-vba-
no-excel.html, acesso em 01/12/2018. 
http://www.macoratti.net/vb_eq2g.htm, acesso em 01/12/2018. 
 
 
103 
 
Tabela 29 - Competência específica 4 - Geometria 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Espe-
cífica 
Habilidade 
 4- Compreender e 
utilizar, com flexibi-
lidade e fluidez, di-
ferentes registros 
de representação 
matemáticos (algé-
brico, geométrico, 
estatístico, compu-
tacional etc.), na 
busca de solução e 
comunicação de re-
sultados de proble-
mas, de modo a fa-
vorecer a constru-
ção e o desenvolvi-
mento do raciocí-
nio matemático. 
(EM13MAT407) Inter-
pretar e construir vis-
tas ortogonais de uma 
figura espacial para re-
presentar formas tridi-
mensionais por meio 
de figuras planas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.4.7 Projeções e vistas ortogonais 
Para o desenvolvimento da habilidade descrita, é importante resgatar a ideia de pro-jeção ortogonal, que é definida como a extremidade (P’) do segmento de reta perpendicular 
ao plano cuja outra extremidade seja o ponto P, ou seja: 
104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, projeção ortogonal é uma representação num hiperplano de k dimensões de 
um objeto que tem n dimensões, considerando k < n. 
O estudo das projeções ortogonais compreendem as projeções em malhas isométricas 
e as vistas ortogonais, nas quais detalharemos a seguir: 
Projeção isométrica: é uma maneira específica de representar uma imagem tridimen-
sional. O uso do papel reticulado simplifica o aprendizado, como apresentaremos a seguir: 
 
Figura 22 - Projeção ortogonal 
105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prisma 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 - Prisma de base retangular 
 
Medidas Face frontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24 - Projeção isométrica - Medidas 
 
 
 
Figura 25 - Projeção isométrica - Face frontal 
106 
 
 
Face Lateral Face superior 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 - Projeção isométrica - Face lateral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 27 - Projeção isométrica - Face superior 
 
 
Vistas ortográficas 
Diedro é definido como o espaço entre dois semiplanos não contidos num mesmo 
plano com origem numa aresta comum, as figuras a seguir mostram a disposição dos diedros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para ilustrar uma projeção ortogonal no 1º diedro, segue a figura da projeção ortogo-
nal de um dado poliedro. 
 
 
 
 
 
Figura 28 - Diedros 
107 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para aprofundar os conhecimentos a respeito deste assunto sugerimos os materiais 
indicados nos links a seguir: 
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/27420/27420.PDF (acesso em 20/12/2018) 
http://www.simulacao.eesc.usp.br/dtm/curso1/aula_02.pdf (acesso em 20/12/2018) 
Na busca da aquisição da competência específica trazida pela BNCC, o professor deverá 
privilegiar a inserção de situações que favoreçam a construção e o desenvolvimento do racio-
cínio matemático. 
 
108 
 
Tabela 30 - Competência específica 4 - Probabilidade e estatística 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Espe-
cífica 
Habilidade 
 Núme-
ros/Rela-
ções. 
 
 Estatística 
 Gráficos 
 
 Saber construir e in-
terpretar tabelas e gráfi-
cos de frequências a par-
tir de dados obtidos em 
pesquisas por amostras 
estatísticas. 
4- Compreender e 
utilizar, com flexibi-
lidade e fluidez, di-
ferentes registros 
de representação 
matemáticos (algé-
brico, geométrico, 
estatístico, compu-
tacional etc.), na 
busca de solução e 
comunicação de re-
sultados de proble-
mas, de modo a fa-
vorecer a constru-
ção e o desenvolvi-
mento do raciocí-
nio matemático. 
(EM13MAT408) Cons-
truir e interpretar ta-
belas e gráficos de fre-
quências, com base 
em dados obtidos em 
pesquisas por amos-
tras estatísticas, inclu-
indo ou não o uso de 
softwares que inter-
relacionem estatística, 
geometria e álgebra. 
 
 
 
7.4.8 Revisitando a construção de tabelas e gráficos na estatística 
A construção de gráficos e tabelas insere-se no contexto que envolve a busca de co-
nhecimento e o esclarecimento acerca de certa questão da realidade que se tem interesse em 
compreender. Dessa maneira, diante de uma questão proposta, seja no âmbito da sociedade 
ou da natureza, damos início a um trabalho de pesquisa mediante o levantamento de dado e 
registro das situações percebidas concretamente de forma sistemática, que podem ser de na-
tureza qualitativa ou quantitativa. 
A construção de tabelas envolve um planejamento longo na qual devem estar previstas 
as condições da amostragem a ser realizada, suas variáveis, as categorias a serem inseridas e 
sua posterior contagem de dados e finalmente a organização destes para a correta confecção 
do gráfico. 
Para a construção dos gráficos é necessário verificar qual seria o gráfico ideal para a 
apresentação dos dados presentes na tabela, com o uso quase que corriqueiro, da facilidade 
das planilhas eletrônicas, a tarefa de construção de gráficos, ficou bem facilitada, porém a 
construção geométrica sem a utilização de recursos eletrônicos também é altamente positiva, 
109 
 
ficando de acordo com as possibilidades da Unidade Escolar, ou da disponibilidade do aluno 
em utilizar tais recursos eletrônicos. 
O tópico acima apresentado, pode ser encontrado no Material de Apoio ao Currículo 
Oficial do Estado de São Paulo, na respectiva Situação de Aprendizagem, conforme segue: 
Situação de Aprendizagem 4 – A apresentação de dados estatísticos: Gráficos e tabelas, Vol. 
2, 3ª série do Ensino Médio, pg. 51 a 63. 
Além da referência citada acima, o professor poderá recorrer a outros materiais que 
abordem o assunto tratado. 
 
110 
 
 
7.5 Currículo Oficial / BNCC – Competência Específica 5 
Tabela 31 - Competência específica 5 - Álgebra 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Especí-
fica 
Habilidade 
 Relações. 
 
 Tabelas e 
gráficos. 
 
 5- Investigar e estabele-
cer conjecturas a res-
peito de diferentes con-
ceitos e propriedades 
matemáticas, empre-
gando recursos e estra-
tégias como observação 
de padrões, experimen-
tações e tecnologias di-
gitais, identificando a 
necessidade, ou não, de 
uma demonstração 
cada vez mais formal na 
validação das referidas 
conjecturas. 
(EM13MAT501) In-
vestigar relações en-
tre números expres-
sos em tabelas para 
representá-los no 
plano cartesiano, 
identificando pa-
drões e criando 
conjecturas para ge-
neralizar e expressar 
algebricamente essa 
generalização, reco-
nhecendo quando 
essa representação é 
de função polinomial 
de 1º grau. 
 
7.5.1 Utilização de tabelas para a representação de uma função polinomial de grau 1 
Existem várias abordagens para a representação algébrica de uma função polinomial 
do 1º grau, uma delas remete a interpretação gráfica, na qual se verifica a razão de proporci-
onalidade (a) e o ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas, incluindo o caso em 
que a reta passa pela origem, associando a expressão: 
f(x) = ax + b, como mostra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
111 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) – b
x
= const. = a = tgα = inclinação da reta 
Porém existe uma abordagem, na qual realizamos um percurso que consiste em inter-
pretar uma dada situação-problema. Transcrevemos os dados em uma tabela de dupla en-
trada e encontramos a representação algébrica que representa todos os dados contidos na 
tabela, conforme mostram as duas situações-problema, a seguir: 
 A tabela a seguir mostra a relação entre o volume (V) em litros de gasolina e o preço 
(P) em Reais, a serem pagos no abastecimento de um automóvel. 
 
Tabela 32 - Valor pago por volume de gasolina consumido 
Relação entre valor pago por volume de gasolina consumido 
 Valor 
Volume (V) 0 10 15 20 25 30 
Preço (P) 0 45,00 67,50 90,00 112,50 135,00 
 
A partir da relação existente entre os valores da tabela, podemos constatar que: 
 A grandeza V é diretamente proporcional a P, pois na medida em que o volume consu-
mido aumenta o preço P, também aumenta. 
 Os valores iniciais partem de zero, portanto trata-se de uma função afim. 
 A constante de proporcionalidade é 4,5. 
 Quanto maior o valor do coeficiente de proporcionalidade, maior a inclinação da reta. 
A partir destas considerações,constata-se que a representação algébrica dos dados 
apresentados na tabela será: f(V)= 4,5V ou P = 4,5V. 
E sua representação gráfica será: 
 
Figura 30 - Representação gráfica: Função do 1º grau 
112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 31 - Representação gráfica de f(V) 
113 
 
 Um restaurante confeccionou a tabela a seguir que indica o valor a ser pago (D) por 
um cliente, de tal forma que a despesa é composta pelo consumo (C) mais 10% sobre esse 
valor, e ainda uma taxa fixa de 10,00 a título de couvert artístico. 
Tabela 33 - Valor das despesas de consumo em alimentação 
 Valor (R$) 
Consumo (C) 10,00 20,00 30,00 40,00 
Serviço (S) 1,00 2,00 3,00 4,00 
Taxa (T) 10,00 10,00 10,00 10,00 
Despesa 21,00 32,00 43,00 54,00 
A partir das informações da tabela, constata-se que a representação algébrica da fun-
ção polinomial será dada por: 
f(C) = 1,1C+10 ou D = 1,1C + 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 32 - Representação gráfica de f(C) 
114 
 
Tabela 34 - Competência específica 5 - Álgebra 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Especí-
fica 
Habilidade 
 Relações. 
 
 Tabelas e 
gráficos. 
 
 5- Investigar e estabele-
cer conjecturas a res-
peito de diferentes con-
ceitos e propriedades 
matemáticas, empre-
gando recursos e estra-
tégias como observação 
de padrões, experimen-
tações e tecnologias di-
gitais, identificando a 
necessidade, ou não, de 
uma demonstração 
cada vez mais formal na 
validação das referidas 
conjecturas. 
(EM13MAT502) In-
vestigar relações en-
tre números expres-
sos em tabelas para 
representá-los no 
plano cartesiano, 
identificando pa-
drões e criando con-
jecturas para genera-
lizar e expressar al-
gebricamente essa 
generalização, reco-
nhecendo quando 
essa representação é 
de função polinomial 
de 2º grau do tipo 
y = ax2. 
 
7.5.2 Utilização de tabelas para representação de função polinomial de grau 2. 
Aqui também recorreremos ao mesmo procedimento, destacado anteriormente, 
agora, para a representação algébrica de funções polinomiais do 2º grau utilizando-se as ta-
belas de dupla entrada, no caso da habilidade descrita considera apenas a função y = ax2, con-
forme mostra a sequência a seguir: 
 
115 
 
Tabela 35 - Função polinomial de grau 2 - Exemplo 1 
y=–2x2 ou f(x)= –2x2 
x x2 y=–2x2 (x , y) 
–2 4 –8 A (–2, –8) 
–1 1 –2 B (–1, –2) 
0 0 0 C ( 0, 0) 
1 1 –2 D (1,–2) 
2 4 –8 E (2,–8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 33 - Representação gráfica de f(x)=–2x2
 
116 
 
 
Tabela 36 - Função polinomial de grau 2 - Exemplo 2 
y=0,5x2 ou f(x)= 0,5x2 
x x2 y = 0,5x2 (x , y) 
–2 4 2 A (–2, 2) 
–1 1 0,5 B (–1; 0,5) 
0 0 0 C (0, 0) 
1 1 0,5 D (1; 0,5) 
2 4 2 E (2, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 34 - Representação gráfica de f(x) = 0,5x2
 
117 
 
Tabela 37 - Competência específica 5 - Geometria 
Currículo Oficial – SEE-SP BNCC 
Tema/ 
Conteúdo 
Habilidades 
Competência Especí-
fica 
Habilidade 
 Geome-
tria. 
 Soma dos 
ângulos in-
ternos. 
 Saber calcular a 
soma das medidas dos 
ângulos internos de 
um triângulo e esten-
der tal cálculo para po-
lígonos de n lados 
5- Investigar e estabele-
cer conjecturas a res-
peito de diferentes con-
ceitos e propriedades 
matemáticas, empre-
gando recursos e estra-
tégias como observação 
de padrões, experimen-
tações e tecnologias di-
gitais, identificando a 
necessidade, ou não, de 
uma demonstração 
cada vez mais formal na 
validação das referidas 
conjecturas. 
(EM13MAT505) Re-
solver problemas so-
bre ladrilhamento do 
plano, com ou sem 
apoio de aplicativos 
de geometria dinâ-
mica, para conjectu-
rar a respeito dos ti-
pos ou composição 
de polígonos que po-
dem ser utilizados, 
generalizando pa-
drões observados. 
 
 
 
118 
 
7.5.3 Ladrilhamento de planos 
Com base nos conceitos e habilidades desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental 
Anos Finais, podemos expandir esses conceitos com a utilização de ladrilhamento para deduzir 
as relações entre ângulos de um polígono, por meio da investigação e validação de conjectu-
ras. Inicialmente, discute-se a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono e, em 
seguida, por meio de construções de mosaicos com polígonos, são exploradas algumas rela-
ções geométricas entre ângulos. Nessa atividade, também é exercitada a habilidade de obser-
vação e generalização de regularidades e padrões, bem como as expressões numéricas de 
modo contextualizado. 
Todos os tópicos acima apresentados podem ser encontrados no Material de Apoio ao 
Currículo Oficial do Estado de São Paulo, nas respectivas Situações de Aprendizagem, con-
forme segue: 
Situação de Aprendizagem 7 – Polígonos e Ladrilhamento do Plano, Vol.1, 7º ano do Ensino 
Fundamental, pg. 66 a 72. 
Para o aprofundamento nos conceitos relativos a este assunto, sugerimos a leitura do 
artigo denominado “Ladrilhamentos” de Elvia Mureb Sallum, disponível em: http://clubes.ob-
mep.org.br/blog/wp-content/uploads/2015/10/monografia2.pdf (acesso em 21/12/2018). 
 
 
119 
 
 
8 Resumo das habilidades a serem desenvolvidas no 1º bimestre 
Tabela 38 - 1ª série E.M. - 1º Bimestre 
1ª Série do Ensino Médio13 
Competência 
específica 
Habilidades 
1 
(EM13MAT101) Interpretar situações econômicas, sociais e das Ciências 
da Natureza que envolvem a variação de duas grandezas, pela análise 
dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação com ou 
sem apoio de tecnologias digitais. 
2 
(EM13MAT201) Propor ações comunitárias, como as voltadas aos locais 
de moradia dos estudantes dentre outras, envolvendo cálculos das me-
didas de área, de volume, de capacidade ou de massa, adequados às de-
mandas da região. 
3 
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Mate-
mática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações li-
neares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, incluindo ou 
não tecnologias digitais. 
4 
(EM13MAT401) Converter representações algébricas de funções polino-
miais de 1º grau para representações geométricas no plano cartesiano, 
distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recor-
rendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâ-
mica. 
 
 
13 A distribuição de habilidades proposta no quadro é apenas uma sugestão, cabe ao professor 
validar ou não, conforme a realidade de seu corpo discente. 
120 
 
Tabela 39 - 2ª série E.M. - 1º Bimestre 
2ª Série do Ensino Médio14 
Competência 
específica 
Habilidades 
3 
(EM13MAT308) Resolver e elaborar problemas em variados contextos, 
envolvendo triângulos nos quais se aplicam as relações métricas ou as 
noções de congruência e semelhança. 
4 
(EM13MAT406) Utilizar os conceitos básicos de uma linguagem de pro-
gramação na implementação de algoritmos escritos em linguagem cor-
rente e/ou matemática. 
(EM13MAT407) Interpretar e construir vistas ortogonais de uma figura 
espacial para representar formas tridimensionais por meio de figuras 
planas. 
5 
(EM13MAT505) Resolver problemas sobre ladrilhamentos do plano, 
com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjectu-
rar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser uti-
lizados, generalizando padrões observados. 
 
14 A distribuição de habilidades proposta no quadro é apenas uma sugestão, cabeao professor 
validar ou não, conforme a realidade de seu corpo discente. 
121 
 
 
Tabela 40 - 3ª série E.M. - 1º bimestre 
3ª Série do Ensino Médio15 
Competência 
específica 
Habilidades 
1 
(EM13MAT103) Interpretar e compreender o emprego de unidades de 
medida de diferentes grandezas, inclusive de novas unidades, como as 
de armazenamento de dados e de distâncias astronômicas e microscópi-
cas, ligadas aos avanços tecnológicos, amplamente divulgadas na socie-
dade. 
3 
(EM13MAT314) Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas 
compostas, determinadas pela razão ou pelo produto de duas outras, 
como velocidade, densidade demográfica, energia elétrica etc. 
4 
(EM13MAT408) Construir e interpretar tabelas e gráficos de frequências, 
com base em dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas, in-
cluindo ou não o uso de softwares que inter-relacionem estatística, geo-
metria e álgebra. 
5 
(EM13MAT501) Investigar relações entre números expressos em tabelas 
para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando 
conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generali-
zação, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial 
de 1º grau. 
 
 
15 A distribuição de habilidades proposta no quadro é apenas uma sugestão, cabe ao professor 
validar ou não, conforme a realidade de seu corpo discente. 
122 
 
9 Referências Bibliográficas 
BRASIL., Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Base Nacional Comum Curri-
cular, Brasília, DF, 2017. 
________,Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Base Nacional Comum Cur-
ricular. Brasília, DF , 2018. 
________,Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curricu-
lares nacionais: MEC/SEF, 1997 
SÃO PAULO, Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas 
Tecnologias: SEE/SP, 2012 
_____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São 
Paulo, Matemática, Ensino Fundamental, 6º ano, SEE/SP, 2014. 
_____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São 
Paulo, Matemática, Ensino Fundamental, 7º ano, SEE/SP, 2014 
_____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São 
Paulo, Matemática, Ensino Fundamental, 8º ano, SEE/SP, 2014 
_____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São 
Paulo, Matemática, Ensino Fundamental, 9º ano, SEE/SP, 2014 
_____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São 
Paulo, Matemática, Ensino Médio, 1ª série, SEE/SP, 2014 
_____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São 
Paulo, Matemática, Ensino Médio, 2ª série, SEE/SP, 2014 
_____________,Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São 
Paulo, Matemática, Ensino Médio, 3ª série, SEE/SP, 2014 
 
 
123 
 
10 Créditos 
Autores 
Equipe Curricular de Matemática – CEFAF 
Ilana Brawerman, João dos Santos Vitalino, Maria Adriana Pagan, 
Otávio Yoshio Yamanaka, Vanderley Aparecido Cornatione 
 
Leitura crítica e revisão de conteúdo. 
Delizabeth Evanir Malavazzi, Edson dos Santos Pereira, Eliã Gimenez Costa, Erika Aparecida 
Navarro Rodrigues, Fernanda Machado Pinheiro, Inês Chiarelli Dias, Leandro Geronazzo, Li-
lian Ferolla de Abreu, Lilian Silva de Carvalho, Luciane Ramos Américo, Lúcio Mauro Carna-
úba, Malcon Pulvirenti Marques, Marcelo Balduíno, Maria Dênes Tavares da Silva, Osvaldo 
Joaquim dos Santos, Rodrigo Faria de Sá, Simoni Renata e Silva Perez, Sueli Aparecida Gobbo 
Araújo, Willian Casari de Souza 
 
Revisor de Texto 
Idê Moraes dos Santos