resp D P1 1 2017

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CAMPUS BACANGA – UFMA 
1ª Avaliação 
Disciplina: Dinâmica Curso: BICT / Núcleo Tecnológico da Engenharia Mecânica 
Professor: Vilson S. Pereira São Luís, 20 de abril de 2017. 
Aluno: Nota: 
No de matrícula: Turno: Valor: 10 pontos 
 
1. A caixa desce deslizando pela rampa helicoidal que é 
definida por r = 0,5 m, θ = 0,5 t3 rad e z = 2-0,2t2 m, onde 
t é dado em segundos. Determine os vetores e as 
intensidades da velocidade (v) e aceleração (a) da caixa 
no instante θ = 2π rad. (2,5 pontos) 
 
 
Figura 1 
 
 
2. Se o coeficiente de atrito estático entre a superfície 
cônica e o bloco de massa m é µe = 0,2, determine a 
velocidade angular constante mínima dθ/dt de maneira 
que o bloco (Figura 2) não escorregue para baixo. (2,5 
pontos) 
 
 
 
Figura 2 
 
 
3. O anel liso de 10 kg é ligado à mola que tem um 
comprimento não estendido de 1,2 m. Se ele é solto do 
repouso na posição A, determine a sua velocidade quando 
ele alcança o ponto B. (2,5 pontos) 
 
Figura 3 
 
 
4. Um bloco de 15 kg move-se inicialmente por uma 
superfície horizontal lisa, com uma velocidade escalar de 
v1 = 1,8 m/s, para a esquerda. Se sobre ele age uma força 
F, que varia do modo representado na Figura 4, 
determine a velocidade vetorial do bloco em t = 15 s. (2,5 
pontos) 
 
Figura 4 
 
Obs:As letras em negrito representam vetores, considere a gravidade, 
g = 9,81 m/s2. 
Sistema de orientação para aplicação de esforças. 
 
 
 
 
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 
 
Cinemática 
Movimento retilíneo 
Velocidade Aceleração 
𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ = �̇� 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ = �̇� 
𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠 𝑜𝑢 �̇� 𝑑�̇� = �̈� 𝑑𝑠 
 
Movimento curvilíneo 
Velocidade Aceleração 
�⃗� = 𝑑𝑟 𝑑𝑡⁄ = �̇� �⃗� = 𝑑�⃗� 𝑑𝑡⁄ = �̇⃗� 
𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠 𝑜𝑢 �̇� 𝑑�̇� = �̈� 𝑑𝑠 
Coordenadas Retangulares (x-y-z) 
Posição Velocidade Aceleração 
𝑟 = 𝑥 𝚤 + 𝑦 𝚥 + 𝑧 𝑘ሬ⃗ �̇⃗� = �̇� 𝚤 + �̇� 𝚥 + �̇� 𝑘ሬ⃗ �̇⃗� = �̈� 𝚤 + �̈� 𝚥 + �̈� 𝑘ሬ⃗ 
Coordenadas Normal e Tangencial (n-t) 
Velocidade Aceleração 
�⃗� = 𝑣 𝑒௧ = 𝜌�̇�𝑒௧ �⃗� = (𝑣ଶ 𝜌⁄ ) 𝑒௡ + �̇� 𝑒௧ 
Movimento Circular 
𝑣 = 𝑟�̇� 𝑎௡ = 𝑣
ଶ 𝑟⁄ = 𝑟�̇�ଶ = 𝑣�̇� 
𝑎௧ = �̇� = 𝑟�̈� 
Coordenadas Polares (r-θ) 
Posição Velocidade Aceleração 
𝑟 = 𝑟 𝑒௥ �⃗� = �̇� 𝑒௥ + 𝑟�̇� 𝑒ఏ 
�⃗�
= ൫�̈� − 𝑟�̇�ଶ൯ 𝑒௥
+ ൫𝑟�̈� + 2�̇��̇�൯ 𝑒ఏ 
Coordenadas Cilíndricas (r-θ-z) 
Posição Velocidade Aceleração 
𝑅ሬ⃗ = 𝑟 𝑒௥ + 𝑧 𝑘ሬ⃗ 
�⃗�
= �̇� 𝑒௥ + 𝑟�̇� 𝑒௥
+ �̇� 𝑘ሬ⃗ 
�⃗�
= ൫�̈� − 𝑟�̇�ଶ൯ 𝑒௥
+ ൫𝑟�̈� + 2�̇��̇�൯ 𝑒ఏ
+ �̈� 𝑘ሬ⃗ 
 
Movimento Relativo 
Posição Velocidade Aceleração 
𝑟஺ = 𝑟஻ + 𝑟஺/஻ �⃗�஺ = �⃗�஻ + �⃗�஺/஻ �⃗�஺ = �⃗�஻ + �⃗�஺/஻ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinética 
Força, Massa e Aceleração 
Equação do Movimento 
෍ �⃗� = 𝑚 �⃗� 
Eq. do Movimento - Movimento curvilíneo 
Coordenadas Retangulares (x-y-z) 
Σ𝐹௫ = 𝑚 𝑎௫ Σ𝐹௬ = 𝑚 𝑎௬ Σ𝐹௭ = 𝑚 𝑎௭ 
Coordenadas Normal e Tangencial (n-t) 
Σ𝐹௡ = 𝑚 𝑎௡ Σ𝐹௧ = 𝑚 𝑎௧ Σ𝐹௭ = 0 (normal ao plano) 
Coordenadas Polar (r-θ) 
Σ𝐹௥ = 𝑚 𝑎௥ Σ𝐹ఏ = 𝑚 𝑎ఏ Σ𝐹௭ = 0 (normal ao plano) 
Coordenadas Cilíndricas (r-θ-z) 
Σ𝐹௥ = 𝑚 𝑎௥ Σ𝐹ఏ = 𝑚 𝑎ఏ Σ𝐹௭ = 𝑚𝑎௭ 
 
Trabalho e Energia 
Equação de Trabalho e Energia 
𝑇ଵ + 𝑉ଵ + 𝑈ଵିଶ = 𝑇ଶ + 𝑉ଶ 
 
Energias e Trabalho 
Energia Cinética Energia Potencial Trabalho 
𝑇 =
1
2
𝑚𝑣ଶ 
𝑉 = 𝑉௚ + 𝑉௘ 
𝑉௚ = ±𝑚𝑔ℎ 
𝑉௘ =
1
2
𝑘 𝑠ଶ 
𝑈ଵିଶ = න �⃗� ∙ 𝑑𝑟
ଶ
ଵ
 
 
Potência Eficiência 
𝑃 =
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= �⃗� ∙ �⃗� 𝑒௠ =
𝑃௦௔íௗ௔
𝑃௘௡௧௥௔ௗ௔
 
 
Impulso e Quantidade de Movimento 
Movimento Linear 
Equação da 
Quantidade de 
Movimento 
Equação do Impulso e 
Quantidade de 
Movimento 
Princípio da 
Conservação da 
Quantidade de 
Movimento 
�⃗� = 𝑚�⃗� �⃗�ଵ + න Σ�⃗� 𝑑𝑡
௧మ
௧భ
= �⃗�ଶ �⃗�ଵ = �⃗�ଶ 
 
Movimento Angular 
Equação da 
Quantidade de 
Movimento 
Equação do Impulso e 
Quantidade de 
Movimento 
Princípio da 
Conservação da 
Quantidade de 
Movimento 
𝐻ሬሬ⃗ ை = 𝑟 × 𝑚�⃗� 
= 𝑚 ቮ
𝚤 𝚥 𝑘ሬ⃗
𝑥 𝑦 𝑧
𝑣௫ 𝑣௬ 𝑣௭
ቮ 
൫𝐻ሬሬ⃗ ை൯ଵ + න Σ𝑀
ሬሬ⃗ ை 𝑑𝑡
௧మ
௧భ
= ൫𝐻ሬሬ⃗ ை൯ଶ 
൫𝐻ሬሬ⃗ ை൯ଵ = ൫𝐻
ሬሬ⃗ ை൯ଶ