Apostila de Matrizes Determinantes e Sistemas 2008

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Apostila de Matrizes, Determinantes e Sistemas
1ª Edição 2008
Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna
�
Capítulo 1 - Matrizes
1.1 Definição
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.
	Nome
	Peso(kg)
	Idade(anos)
	Altura(m)
	Ricardo
	70
	23
	1,70
	José
	60
	42
	1,60
	João
	55
	21
	1,65
	Pedro
	50
	18
	1,72
	Augusto
	66
	30
	1,68
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.
 ou	
Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes.
Exemplos:
: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)
: matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
1.2 Representação Algébrica
Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:
Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m
aij = i – linha
 j – coluna
a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito)
	(na tabela significa a idade de Pedro 18)
Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j.
Resolução: A representação genérica da matriz é:
	
�� EMBED Equation.3 
1.3 Matriz Quadrada
Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada.
Exemplo:
é uma matriz quadrada de ordem 2
Observações:
1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula.
2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada diagonal secundária.
Resolva:
1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que 
Resp.: 
2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por 
Resp.: 
3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por 
Resp.: 
 
1.4 Matriz unidade ou matriz identidade
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz unidade por In.
Exemplo:
		
1.5 Matriz tranposta
Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.
Exemplo: 
 a sua transposta é 
1.6 Igualdade de Matrizes
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais.
			
	
	
			 
Exemplo: Dadas as matrizes
, calcular x e y para que A =B.
Resolução:
 
Resolva:
1) Determine x e y, sabendo que 
Resp: x = 5 e y = -1
2) Determine a, b, x e y, sabendo que 
Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5
	3) Dada as matrizes 
, calcule x, y e z para que B = At.
Resp: x = 
 , y = 8 e z = 2
4) Sejam 
calcule a, b e c para que A=B.
Resp: a = - 3 , b = c = - 4
1.7 Operações com matrizes
Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes.
Exemplo:
 
Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz – A cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A
Exemplo:
Propriedades da Adição:
Comutativa: A + B = B + A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C
Elemento Neutro: A + 0 = A
Elemento Oposto: A + (-A) = 0
Exemplo: Dadas as matrizes 
, calcule:
a) 
b) 
Exemplo: Dadas as matrizes 
, calcular a matriz X tal que 
 
O segundo membro da equação é uma matriz nula de ordem 3 x 1.
Se 
Resolva:
1) Dada a matriz 
, obtenha a matriz X tal que 
Resp: 
2) Sendo A = (aij)1x3 tal que 
e B = (bij)1x3 tal que 
, calcule A+B.
Resp: 
3) Ache m, n, p e q, de modo que: 
Resp:
4) Calcule a matriz X, sabendo que 
Resp: 
Multiplicação de um número real por uma matriz:
Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por todos os elementos da matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo.
 A = (aij)	
K = número real
K por A
B = (bij), onde, bij = K.aij
i 
{1, 2, ... , m}
j 
{1, 2, ... , n}
Exemplo:
1. 
	
a) 
 
 
 
b) 
Resolva:
1) Para 
	
Resolva
Resp:
2) Para 
	
Resolva 
Resp: 
3) Resolva o sistema 
, sendo 
.
	
Resp: 
Multiplicação de Matrizes
Não é uma operação tão simples como as anteriores; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Vejamos a seguinte situação.
Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo do Brasil era formado também pela escócia, Marrocos e Noruega. Os resultados estão registrados abaixo em uma matriz A, de ordem 4 x 3.
	País
	Vitória
	Empate
	Derrota
	Brasil
	2
	0
	1
	Escócia
	0
	1
	2
	Marrocos
	1
	1
	1
	Noruega
	1
	2
	0
Então: 
A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1
	Número de Pontos
	Vitória
	3
	Empate 
	1
	Derrota
	0
Então: 
Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos feitos por cada país. Essa pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por AB (produto de A por B).Veja como é obtida a classificação:
		
Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes:
Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.
Exemplo 1:
 e 
A matriz existe se n = p ( o número de coluna de A é igual o número de linha da B.)
Exemplo 2:
Dada as matrizes:
	
	
Calcule:
A.B = 
B.A = 
A.C = 
C.A = 
Observação: 1ªPropriedade Comutativa A.B=B.A, não é valida na multiplicação de matrizes.
Exemplo 3:
	
Calcule:
A.B = 
Observação: Se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula.
Exemplo 4:
	
	
A.B = 
A.C = 
	
Observação: A.B = A.C , B
C. – na álgebra a.b = a.c
b = c
3ª Propriedade: o cancelamento do produto de matrizes não é válido.
Propriedades: 
- Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C
- Associativa: A.(B.C) = (A.B).C
- Elemento neutro: A.In = A
Resolva:
1) Efetue:
a) 
Resp: 
b) 
Resp: [17]
c) 
Resp: 
2) Dada a matriz 
, calcule A2.
Resp: 
3) Sabendo que 
, calcule MN-NM.
Resp: 
Matriz Transposta
Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se At) a matriz n x m cujas linhas são ordenadamente, as colunas de A.
Exemplos
Propriedades da Transposta:
	(K real)
	( no produto de A.B, inverte a ordem)
Resolva:
1) Sendo A = 
e B = 
, mostre que 
.
Matriz simétrica
Quando A = At dizemos que A é matriz simétrica.
Exemplo:
Matriz anti-simétrica
Quando A = - At dizemos queA é matriz anti-simétrica.
Exemplo:
Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não-singular.
Exemplo: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = 
.
Resolução: Pela definição temos,
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas,
Então X = 
, para AX = I2.
A seguir verificamos se XA = I2.
Então 
é a matriz inversa de 
.
A-1 = 
1) Determine a inversa das matrizes:
a) 
Resp: 
b) 
Resp: 
Equações matriciais do tipo AX = B ou XA = B, para A inversível.
Seja A uma matriz tal que exista A-1. Sabendo que AX = B, vamos demonstrar que X = A-1B.
O mesmo também é válido para 
1) Sabendo que 
a) verifique se 
b) determine X tal que AX = B
Resp: a) sim b) 
Não deixe de resolver a lista de exercícios de matrizes!!!
Lista de Exercícios de Matrizes
Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por: 
Resposta: 
Sendo 
, 
 e 
, calcule:
N – P + M
2M – 3N – P
N – 2(M – P)
Resposta: a) 
	 b) 
	 c) 
Calcule a matriz X, sabendo que 
, 
 e 
.
Resposta: 
Dadas as matrizes 
 e 
, determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a matriz identidade.
Resposta: a = 1 e b = 0
Dadas as matrizes
 e 
. Calcule:
A²
A³
A²B
A² + 3B
Resposta: a) 
	 b) 
	 c) 
	 d) 
Dadas as matrizes 
 e 
, calcule AB +
Resposta: 
Resolva a equação:
Resposta: V = {(2,3),(2,-3)}
Sendo 
, 
 e 
, determine os valores de a e b, tais que 
.
Resposta: a = 24 e b = -11
Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2: 
Resposta: x = 0, y = 0 e z = 0 ou x = 3, y = 6, z = 9 
Dada a matriz 
, tal que 
, determine:
A²
Resposta: a) 
	 b) 
 c) 
Testes:
A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A afirmação falsa é:
A + B existe se, e somente se, n = p.
 implica m = n
A.B existe se, e somente se, n = p
 existe se, e somente se, n = p.
 sempre existe.
Resposta: letra C
Seja 
 a matriz real quadrada de ordem 2, definida por 
. Então:
	b) 
 c) 
 d) 
 e) n.d.a.
Resposta: letra A 
Dadas as matrizes 
 e 
, então a matriz -2AB é igual a:
 b) 
 c)
 d)
 e)
Resposta: letra E
Considere as matrizes:
, 4 x 7 onde 
, 7 x 9 onde 
, tal que C = AB.
O elemento 
:
a) é -112.
b) é -18.
c) é -9.
d) é 112.
e) não existe.
Resposta: letra E
Dadas as matrizes 
e 
, para A.B temos:
 b) 
 c)
 d)
 e)
Resposta: letra B
O produto M.N da matriz 
pela matriz 
;
não se define.
É a matriz identidade de ordem 3
É uma matriz de uma linha e uma coluna.
É uma matriz quadrada de ordem 3.
Não é uma matriz quadrada.
Resposta: letra D
A inversa da matriz 
 é:
 b) 
 c) Inexistente. d)
 e)
Resposta: letra B
Se 
, então:
x = 5 e y = -7
x = -7 e y = -5
x = -5 e y = -7
x = -7 e y = 5
x = 7 e y = -5
Resposta: letra B
Sendo 
 e 
, então a matriz X, tal que 
, é igual a:
 b)
 c)
 d)
 e)
Resposta: letra D
Se A e B são matrizes tais que: 
 e 
, então a matriz 
 será nula para:
x = 0
x = -1
x = -2
x = -3
x = -4
Resposta: letra E
A Matriz 
, na qual x é um número real, é inversível se, e somente se:
 b) 
 c)
 d)
 e)
Resposta: letra E
A solução da equação matricial 
 é a matriz:
 b) 
 c)
 d)
 e)
Resposta: letra B
Considere as seguintes matrizes: 
, 
, 
 e 
. O valor de x para que se tenha: A + BC = D é:
1
-1
2
-2
Resposta: letra C
As matrizes abaixo comutam, 
 e 
. O valor de a é:
1
0
2
-1
3
Resposta: letra A
�
Capítulo 2 - Determinantes
2.1 Definição
Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada.
2.2 Determinate de uma matriz quadrada de 2ª ordem
Dada a matriz de 2ª ordem 
, chama-se determinante associado a matriz A (ou determinante de 2ª ordem) o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Então, determinante de 
Indica-se 
Observação: Dada a matriz A de ordem 1, define-se como determinante de A o seu próprio elemento, isto é:
Exemplo: 
Resolva:
Resolva a equação: 
Resp: 
Resolva a equação: 
Resp: 
Resolva a inequação: 
Resp: 
4) Sendo 
, calcule det(AB).
Resp: -12
2.3 Menor Complementar
O menor complementar 
 do elemento 
 da matriz quadrada A, é o determinante que se obtém de A, eliminando–se dela a linha “i” e a coluna “j”, ou seja, eliminando a linha e a coluna que contém o elemento 
considerado.
Exemplo: 
Dada a matriz
, calcular D11, D12, D13, D21, e D32.
Resolução:		
	
	
	
2.4 Cofator
Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem A = 
.
Chama-se Cofator do elemento 
 da matriz quadrada o número real que se obtém multiplicando-se 
pelo menor complementar de 
e que é representado por 
.
Exemplo: Dada a matriz 
, calcular:
a) A11			b) A13 			c) A32 
Resolva: Dada a matriz 
 determine A13 , A21 , A32 e A33.
Resp: A13 = 29, A21 = 15, A32 = 6 e A33 = 3.
2.5 Definição de Laplace
	O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem 
é o número que se obtém pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. Exemplo: 
Sendo 
uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A a partir de determinantes de ordem 2 e da definição de Laplace. Escolhendo os elementos da primeira linha temos:
Observação: Para se aplicar esse método é melhor escolher a linha ou coluna que tiver o maior número de zeros.
Resolva: Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace:
a) 
Resp: det A = 11
b) 
Resp: det A = -74
2.6 Regra de Sarrus (regra prática para calcular determinantes de ordem 3)
Seja a matriz 
, repetimos as duas primeiras colunas à direita e efetuamos as seis multiplicações em diagonal. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal. Os produtos obtidos da diagonal secundária mudam de sinal. O determinante é a soma dos valores obtidos.
Resolva:
a) Calcule o determinante da matriz 
Resp: det A = 15
b) Resolva a equação 
Resp: 
c) Dada as matrizes 
, determine x para que det A = det B
Resp: 
d) Resolva a equação 
Resp: 
e) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que: 
. Ache o valor do determinante de M.
Resp: 48
f) Calcule o determinante da matriz P2 , em que P é a matriz 
Resp: 64
�
2.7 Determinante de uma matriz quadrada de ordem n>3
Seja a matriz quadrada de ordem 4 A = 
, vamos calcular o determinante de A. Para tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, até chegarmos a um determinate de 3ª ordem, e depois empregaremos a regra de Sarrus. Assim, desenvolvendo o determinate acima, segundo os elementos da 1ª linha, temos:
Substituindo em (1) temos: 
Resolva: Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.
Resp: -180
2.8 Propriedade dosDeterminantes
1ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0.
Exemplo: 
2ª propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0
Exemplo: 
3ª propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, isto é , det A = 0
Exemplo: 
4ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k.
Exemplo: 
 5ª propriedade: Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é: 
Exemplo: 
6ª propriedade: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det A = det At.
Exemplo: 
7ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.
Exemplo: 
8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo: 
9ª propriedade: Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, então 
(teorema de Binet)
Exemplo: 
10ª propriedade: Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando uma matriz B, então det A=det B (Teorema de Jacobi).
Exemplo: 
Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha obtemos:
�
Exercícios de Revisão:
Dadas as matrizes 
 e 
, calcule:
det (A²)
det (B²)
det (A² + B²)						resp: a) 1 b) 4 c) 18
(Faap – SP) Resolva a inequação 
.
Resp: 
Determine a solução da equação 
			 Resp: {-2,2}
Sendo 
 e 
 , dê o valor de:
det (A). det(B)
det (A.B)								Resp: a) -10 b) -10
Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que: 
. Calcule k, de modo que o determinante da matriz A seja nulo. 		 Resp: k = 0
 (UFPR) Considere as matrizes 
 e 
e 
 . Sabendo que a matriz B é igual à matriz C. Calcule o determinante da matriz A.
Resp: 72
Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo 
, 
 e 
.								 Resp: zero
�
Teste:
(UEL – PR) A soma dos determinantes 
 é igual a zero.
quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.
se e somente se a = b.
se e somente se a = - b.
se e somente se a = 0.
se e somente se a = b = 1.
Resp: a)
(FMU – SP) O determinante da matriz 
 é igual a:
sen 2x 	b) 2		c) -2		d) 2 sen²x	e) cos 2x	
Resp: b)
(Mack – SP) A solução da equação 
1		b) 58		c) -58			d) 
		e) 2
Resp: d)
 (Mack – SP) Sendo A = (ai​j) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i², o determinante da matriz A é:
0		b) 11		c) 2		d) 3		e) 4 
Resp: d)
 (Fatec – SP) Determine x, de modo que 
.
x < -3 ou x > 2 b) -3 < x < 2 c) Não existe 
 d)Para todo
e) N.D.A.									 Resp: b)
(PUC – RS) A equação 
 tem como conjunto verdade:
{-6, 2} b) {-2, 6} c) {2, 6} d) {-6, 6} e) {-2, 2}
Resp: b)
 (PUC – SP) O determinante da matriz
vale:
-3		b) 6		c) 0		d) 1		e) -1
Resp: a)
 (FGV – SP) Seja a a raiz da equação 
; então o valor de a² é:
16		b) 4		c) 0		d) 1		e) 64
Resp: b)
(PUC – RS) A solução da equação 
 é:
{-11, 5} b) {-6, 3} c) {0, 3} d) {0, 6} e) {5, 11}
Resp: {0,3}
�
BIBLIOGRAFIA:
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999.
GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemática Fundamental. São Paulo: Editora FTD Ltda, 1994.
LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 1988.
MEDEIROS, Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2002.
WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 2a ed. 1986.
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