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FÍSICA GERAL
Professor Dr. Gilson Junior Schiavon 
Professor Dr. Michel Corci Batista
Professor Me. Danilo Corci Batista
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação 
a Distância; BATISTA, Michel Corci; SCHIAVON, Gilson Junior; 
BATISTA, Danilo Corci. 
 
 Física Geral. Michel Corci Batista; Gilson Junior Schiavon; 
Danilo Corci Batista. 
 Maringá-Pr.: Unicesumar, 2018. 
 247 p.
“Graduação - EaD”.
 
1. Física. 2. Geral . 3. Engenharia 4. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-1001-5
CDD - 22 ed. 530
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Impresso por: 
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de Administração
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de EAD
William Victor Kendrick de Matos Silva
Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Direção Executiva de Ensino
Janes Fidélis Tomelin
Direção Operacional de Ensino
Kátia Coelho
Direção de Planejamento de Ensino
Fabrício Lazilha
Direção de Operações
Chrystiano Minco�
Direção de Polos Próprios
James Prestes
Direção de Desenvolvimento
Dayane Almeida 
Direção de Relacionamento
Alessandra Baron
Head de Produção de Conteúdos
Celso Luiz Braga de Souza Filho
Gerência de Produção de Conteúdo
Diogo Ribeiro Garcia
Gerência de Projetos Especiais
Daniel Fuverki Hey
Supervisão do Núcleo de Produção 
de Materiais
Nádila Toledo
Supervisão Operacional de Ensino
Luiz Arthur Sanglard
Coordenador de Conteúdo
Márcia Pappa
Designer Educacional
Ana Claudia Salvadego
Bárbara Neves
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Arte Capa
Arthur Cantareli Silva
Editoração
Ana Eliza Martins
Qualidade Textual
Cintia Prezoto Ferreira
Ilustração
Marcelo Goto
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quando 
investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou 
profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos 
inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu-
nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de 
alcançar um nível de desenvolvimento compatível com 
os desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica 
e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con-
tribuindo no processo educacional, complementando 
sua formação profissional, desenvolvendo competên-
cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em 
situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal 
objetivo “provocar uma aproximação entre você e o 
conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento 
da autonomia em busca dos conhecimentos necessá-
rios para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. 
Ou seja, acesse regularmente o Studeo, que é o seu 
Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns 
e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das dis-
cussões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe 
de professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
A
U
TO
RE
S
Professor Dr. Michel Corci Batista
Possui graduação em Física pela Universidade Estadual de Maringá (2005), 
mestrado em Educação Para a Ciência e a Matemática (2009) e doutorado 
em Educação para a Ciência e a Matemática (2016), ambos pela Universidade 
Estadual de Maringá. Atualmente é professor do departamento de Física da 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus de Campo 
Mourão. Tem experiência na área de Física, com ênfase em ENSINO DE 
FÍSICA, atuando, principalmente, nos seguintes temas: ensino de ciências e 
astronomia, formação de professores e recursos metodológicos para o ensino 
de ciência e astronomia.
<http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4221035J0>
Professor Dr. Gilson Junior Schiavon
Possui Curso Técnico em Eletrônica (Graham Bell-2000), Graduação em Física 
pela Universidade Estadual de Maringá (UEM-2004), Mestrado em Engenharia 
Elétrica na Área de Eletrônica de Potência pela Universidade Estadual 
de Londrina (UEL-2007) e Doutorado na Área de Modelagem, Controle e 
Automação de Processos pela Universidade Estadual de Maringá (UEM-
2012). Atualmente é Professor Adjunto em Regime de Dedicação Exclusiva 
da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus Campo Mourão 
(UTFPR-CM) no Curso de Engenharia Eletrônica, Professor permanente do 
Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física (PPGEF-MNPEF-SBF) e do 
Mestrado Profissional em Inovações Tecnológicas (PPGIT), atuando também 
nos Cursos de Formação Pedagógica (PARFOR e PROFOP). Tem experiência na 
área de Ensino de Física, Circuitos elétricos e em Eletrônica analógica e digital.
<http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4210528J8>
Professor Me. Danilo Corci Batista
Possui graduação em Matemática pelo Centro Universitário Leonardo Da 
Vinci (2013) e mestrado em Ensino de Física pela Universidade Tecnológica 
Federal do Paraná, campus de Campo Mourão (2016). Tem experiência na 
área de Ensino de Física, atuando como professor de Física em todos os níveis 
de ensino.
<http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4897761P6>
SEJA BEM-VINDO(A)!
A Física é uma das ciências que estuda a natureza.Tudo o que acontece na natu-
reza chama-se fenômeno natural, mesmo que seja simples, e ele é o alicerce para 
qualquer curso de engenharia. Essa obra visa apresentar a você, estudante, de for-
ma coerente e organizada, os conceitos essenciais da Física. Buscamos desenvolver 
habilidades para leitura de textos, compreensão de dados, decodificação de enun-
ciados, de tabelas e de gráficos.
Os assuntos propostos como elementos curriculares estão bem encadeados, permitin-
do que você tenha, ao final do estudo, uma adequada carga de conhecimento e infor-
mações. Optamos, nesta obra, por uma organização cujo conteúdo é apresentado de 
maneira linear e progressiva, de acordo com os diferentes livros de Física Geral encon-
trados na literatura.
Este livro está dividido em cinco unidades que equivalem aos grandes setores da Físi-
ca. A primeira Unidade é denominada Mecânica I, a segunda é Mecânica II, a terceira é 
apresentada como Calorimetria e Fluidos, a quarta é Óptica Geométrica e Oscilações e a 
quinta e última unidade é Eletricidade e Magnetismo.
Na Unidade I (Mecânica I), estudaremos o Sistema Internacional de Unidades (SI) e a 
relação de conversão entre unidades em geral. Também será introduzido o conceito de 
Movimento sem nos preocuparmos com as suas causas (Cinemática Escalar), depois fa-
remos uma breve discussão sobre vetores que lhe auxiliarão no estudo da Cinemática 
Vetorial e, posteriormente, em outros ramos da Física.
Na Unidade II (Mecânica II), você estudará os movimentos, mas agora procurando res-
ponder por que eles acontecem. Para isso, apresentaremos as leis da físicas que regem 
os movimentos dentro da Terra, conhecidas como leis de Newton, bem como as princi-
pais forças da mecânica (força peso, normal, de atrito e elástica). Também será aborda-
do, nessa Unidade, o conceito de trabalho e energia e sua conservação, uma introdução 
à dinâmica impulsiva e os tipos de colisões (elástica, inelástica e perfeitamente elástica), 
depois abordaremos o tema Rotações e, por fim, Centro de Massa.
Em seguida, na Unidade III (Calorimetria e Fluidos), você estudará tópicos relacio-
nados com temperatura e calor, suas aplicações, estudará, ainda, fluidos, ou seja, 
conceitos relacionados à pressão hidrostática e suas aplicações e ao princípio do 
empuxo. Já na Unidade IV, introduziremos um ramo da Física denominado Óptica 
Geométrica e Oscilações, em que serão discutidos os fenômenos ópticos, como re-
flexão e refração bem como suas aplicações, os espelhos planos, os espelhos esféri-
cos e as lentes esféricas. Também será abordado, nessa Unidade, Pêndulo Simples e 
Movimento Harmônico Simples.
Por fim, na Unidade V, discutiremos a Eletricidade e o Magnetismo em que o conheci-
mento acerca deste assunto será construído desde o conceito de Carga Elétrica até as 
Equações de Maxwell, que unem a eletricidade e o magnetismo, recebendo, então, o 
nome de Eletromagnetismo.
APRESENTAÇÃO
FÍSICA GERAL
Todas as unidades foram constituídas de tópicos, com seus textos teóricos, leituras e 
materiais complementares. Em todas existe uma seção de Atividade de Estudo, com 
algumas questões propostas, relativas às atividades discutidas durante as aulas. É 
apresentado, em cada unidade, o elemento “Saiba Mais”, que exige dos alunos pes-
quisas relacionadas aos conhecimentos adicionais sobre o tema, desenvolvendo a 
habilidade de pesquisa e a capacidade argumentativa.
Há, finalmente, o elemento “Reflita” que se constitui de uma frase, pergunta ou cita-
ção relacionada ao conteúdo, mas que não esteja no corpo do conteúdo, levando o 
aluno a uma reflexão sobre o assunto e o estimulando a buscar outras informações 
sobre o tema. Ao término deste livro, são dadas as respostas das atividades de estu-
do, exceto dos elementos “Saiba Mais” e “Reflita”, pois eles visam promover a pesqui-
sa e propor desafios adicionais.
Bons estudos!
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
MECÂNICA I
15 Introdução
16 Sistema Internacional de Unidades 
22 Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) 
25 Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) 
32 Vetores 
40 Cinemática Vetorial 
46 Considerações Finais 
52 REFERÊNCIAS 
53 GABARITO 
UNIDADE II
MECÂNICA II
59 Introdução
60 Leis de Newton e suas Aplicações 
70 Trabalho de uma Força 
79 Energia Mecânica - Sistemas Conservativos e Dissipativos 
81 Momento Linear E Colisões 
86 Rotação e Centro de Massa 
SUMÁRIO
10
94 Considerações Finais 
99 Referências 
100 Gabarito 
UNIDADE III
CALORIMETRIA E FLUIDOS
105 Introdução
106 Temperatura 
113 Calor 
119 Hidrostática 
127 Considerações Finais 
133 Referências 
134 Gabarito 
UNIDADE IV
ÓPTICA GEOMÉTRICA E OSCILAÇÕES
139 Introdução
140 Reflexão da Luz e Espelho Plano 
146 Espelhos Esféricos 
153 Refração da Luz 
158 Lentes 
SUMÁRIO
11
167 Oscilações Mecânicas 
171 Considerações Finais 
177 Referências 
178 Gabarito 
UNIDADE V
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
183 Introdução 
184 Eletrostática 
210 Eletrodinâmica 
223 Eletromagnetismo 
239 Considerações Finais 
245 Referências 
246 Gabarito 
247 CONCLUSÃO
U
N
ID
A
D
E I
Professor Dr. Michel Corci Batista
Professor Dr. Gilson Junior Schiavon
Professor Me. Danilo Corci Batista
MECÂNICA I
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Conhecer o sistema Internacional de Unidades e estudar a conversão 
de unidades de medida.
 ■ Reconhecer as principais características do Movimento Retilíneo 
Uniforme, realizar a análise gráfica do Movimento Retilíneo Uniforme 
e classificar o movimento em progressivo ou retrógrado.
 ■ Descrever o comportamento da aceleração e da velocidade, durante 
o Movimento Retilíneo Uniforme Variado, bem como descrever o 
movimento vertical sob a ação exclusiva da gravidade.
 ■ Diferenciar grandezas escalares e vetoriais, estudar as propriedades 
gerais de vetores e compreender a análise vetorial.
 ■ Estudar o movimento em duas e três dimensões.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Sistema Internacional de Unidades 
 ■ Movimento Retilíneo Uniforme
 ■ Movimento Retilíneo Uniforme Variado 
 ■ Vetores
 ■ Cinemática Vetorial
Introdução
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INTRODUÇÃO
A Física está intimamente ligada à Engenharia, seja Engenharia de Produção, 
seja Elétrica ou Mecânica entre outras. São os princípios físicos que susten-
tam as aplicações em cada área do conhecimento. Assim, para começarmos 
a estudar esta ciência, primeiramente, devemos nos perguntar: é possível ter 
uma velocidade negativa? É possível o mesmo movimento ser representado 
por duas trajetórias diferentes? Quando soltamos dois corpos de massas dife-
rentes do alto de um edifício, qual deles toca o solo primeiro? Essas e outras 
questões serão discutidas aqui.
Essa unidade estuda os movimentos, mas sem se preocupar com as suas cau-
sas ou origens, pois estamos interessados apenas em modelar matematicamente 
os movimentos, descrever sua geometria e apresentar uma linguagem matemá-
tica nova. No primeiro tópico, intitulado Sistema Internacional de Unidades (SI), 
apresentaremos as unidades de medidas utilizadas na Física e suas relações de 
conversões, discutiremos por que é importante um padrão para unidades de 
medida dentro da Física ou da Engenharia.
No próximo tópico, será feito o estudo de um movimento específico na Física, 
o Retilíneo Uniforme e, em seguida, no tópico 3, apresentaremos o Movimento 
Retilíneo Uniformemente Variado e ainda introduziremos alguns conceitos 
matemáticos para termos ferramentasque nos farão compreender melhor os 
movimentos e estudos posteriores. Em seguida, veremos o tema Vetores cuja 
finalidade é aprender a diferenciar as grandezas escalares das grandezas veto-
riais e compreender como se utiliza as operações vetoriais e suas propriedades.
No último tópico dessa unidade, discutiremos o tema Cinemática Vetorial, 
em que apresentaremos as grandezas até agora estudadas, mas dentro do con-
texto da análise vetorial. Para encerrar, veremos o lançamento oblíquo que junta 
em uma mesma análise: vetores, movimento retilíneo uniforme e movimento 
retilíneo uniformemente variado.
MECÂNICA I
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E16
SISTEMA INTERNACIONAL DE 
UNIDADES
Você já deve ter percebido que, em Física, 
tudo o que calculamos tem a chamada uni-
dade de medida. Mas, afinal, o que é essa 
unidade de medida?
Para responder tal questionamento, preci-
samos entender o que significa medir algo, o 
que, em Física, pode ser entendida como com-
parar, de preferência, com um padrão. Nesse 
sentido, o Sistema Internacional de Unidades 
(SI) foi criado com a intenção de padronizar 
o sistema de medidas, facilitando, assim, a 
comparação entre valores. O SI envolve sete 
grandezas físicas chamadas grandezas fun-
damentais, e cada uma possui uma unidade 
também chamada fundamental. Essas gran-
dezas e suas respectivas unidades de medida 
estão apresentadas no Quadro 1:
GRANDEZA FÍSICA UNIDADE DE MEDIDA SÍMBOLO
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundos s
Corrente elétrica ampère A
Temperatura kelvin K
Massa molecular mol mol
Intensidade luminosa candela cd
Quadro 1 - Grandezas fundamentais e suas unidades de medida
Fonte: os autores (2017).
Sistema Internacional de Unidades
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A partir dessas sete unidades fundamentais, ou seja, de referência, é possível 
obter outras que recebem o nome de unidades derivadas. As unidades funda-
mentais da mecânica (parte da Física que estuda os movimentos) são: metro (m), 
quilograma (kg) e segundo (s), por isso, o sistema internacional em mecânica 
também pode ser chamado de sistema mks. As unidades derivadas são a com-
binação das unidades fundamentais, por exemplo: a grandeza física velocidade 
possui unidade de medida m/s e a grandeza física aceleração m/s2, ambas com-
binam as unidades fundamentais. 
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
Em Física temos o Sistema Internacional de unidades, mas também temos os 
chamados sistemas convencionais. No Brasil, uma unidade muito utilizada para 
distância é o quilômetro, e uma unidade muito utilizada para tempo é hora. Assim, 
quando vamos resolver um problema em Física o primeiro passo é transformar 
as unidades dadas no enunciado para as unidades do SI.
Para realizar tais transformações podemos utilizar o recurso da regra de três, 
desde que conheçamos algumas relações básicas de conversão. As relações bási-
cas de conversão são apresentadas no quadro 2:
Comprimento 1 quilometro (km) = 1000 metros (m)
1 milha (mi) = 1,609 metro (m)
Massa 1 tonelada (t) = 1000 quilograma (kg)
1 quilograma (kg) = 1000 gramas (g)
Tempo 1 dia = 24 horas (h)
1 hora (h) = 60 minutos (min.)
1 minuto (min.) = 60 segundos (s)
Quadro 2 - Equivalência entre as unidades do sistema mks
Fonte: os autores (2017).
MECÂNICA I
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E18
Exemplo: “A velocidade máxima permitida nas pistas marginais da Rodovia 
Castello Branco na região de Osasco e Barueri, na Grande São Paulo, foi reduzida 
a 0 h desde sábado (28). Segundo a CCR Via Oeste, concessionária responsável 
pela via, o limite de 120 km/h será diminuído para 100 km/h, como medida de 
segurança" (G1, 2012, on-line)1.
Transformação da nova velocidade máxima permitida pela via para o Sistema 
Internacional de unidades.
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ESTUDO DOS MOVIMENTOS
Um ponto material encontra-se em movimento desde que sua posição varie com 
o passar do tempo em relação a um dado referencial. Esse movimento pode ser 
classificado de acordo com a trajetória descrita pelo ponto material em movimento 
retilíneo e movimento curvilíneo, cada qual com suas respectivas características.
A luz viaja pelo vácuo com a velocidade constante de 300000 km/s, e a dis-
tância percorrida pela luz em um ano é chamada de ano-luz. Procure saber 
quanto vale essa distância.
Fonte: os autores (2017).
origem posição
inicial
posição
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tempo
�inal
tempo
inicial t t0
x xx = 00
Sistema Internacional de Unidades
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Para se estudar um movimento, devemos, a princípio, introduzir na trajetória 
duas origens: a dos espaços e a dos tempos. A origem dos espaços é o ponto arbi-
trário da trajetória a partir do qual são medidos os espaços percorridos. Nem 
sempre o ponto material encontra-se inicialmente sobre a origem, mas quando 
isso acontece chamamos a posição onde o ponto material encontra-se de posi-
ção inicial. Já a origem do tempo é o ponto arbitrário a partir do qual iniciamos 
a contagem do tempo, como a Figura 1 mostra:
Figura 1 - Esquema didático mostrando a origem do espaço e do tempo
Fonte: os autores (2017).
 Um dos conceitos mais importantes para o estudo da Física é o de referen-
cial, pois todo ponto material em movimento descreve uma trajetória em 
relação a um referencial.
MECÂNICA I
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E20
VELOCIDADE
Chama-se velocidade escalar média (vm) entre dois instantes a variação do espaço 
ocorrida, em média, por unidade de tempo.
Em que: x é a posição final do ponto material, x0 é a posição inicial do ponto 
material, t é tempo no instante final e t0 é tempo no instante inicial. Lembrando 
que o tempo será sempre uma grandeza escalar positiva. No SI, a velocidade é 
expressa em 
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 (lê-se: metros por segundo).
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Velocidade instantânea
A definição de velocidade instantânea, ou simplesmente velocidade, é similar a 
de velocidade média. A diferença está no fato de que Δt é tomado como sendo 
infinitamente pequeno, isto é, o intervalo de tempo reduz-se a um instante de 
tempo. Logo, a velocidade média torna-se a velocidade naquele instante:
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 é a derivada da função posição em relação a variável tempo. 
REGRA BÁSICA DE DERIVAÇÃO
Cada função matemática tem a sua derivada específica. Para o estudo da 
Cinemática tem grande importância a derivada de uma função polinomial, a 
qual é calculada de acordo com a técnica descrita a seguir.
Sistema Internacional de Unidades
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Observação: a derivada de uma constante é zero.
EXEMPLO 1: Um móvel desloca-se segundo a função horária da posição:
x = 4.t3 + 2.t2 + 1
Encontre a velocidade desse móvel no instante 2 s.
RESOLUÇÃO: Devemos, inicialmente, escrever a derivada:
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Aplicando a regra de derivação, temos:
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substituindo o instante 2 s, temos a resposta para o problema:
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MECÂNICA I
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E22
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
Imagine uma viagem partindo da cidade A até a cidade B cuja velocidade média 
representa o que aconteceu entre o início e o fim dela. Já a velocidade instantânea, 
em dado momento, representa o que aconteceu naquele momento. Colecionando 
as velocidades instantâneas de cada um dos momentos, temos uma informação 
completa de como variou a velocidade ao longo de toda a viagem.
Quando um ponto material em trajetória retilínea movimenta-se com veloci-
dade constante em relação a determinado referencial, seu Movimento é chamado 
retilíneo e uniforme (MRU). No MRU, não há diferença entre velocidade escalar 
média e velocidade instantânea, ou seja, em cada instante a velocidade escalar 
média é igual a velocidade instantânea. É importante ressaltar que a principal 
característica desse movimento é a velocidade manter-se constante em módulo, 
direção e sentido.
Outra característica importante desse movimento é que ele acontece sem a 
ação de uma aceleração, ou seja, nele, a aceleração é nula, e a única grandeza que 
varia com o tempo é a posição. Assim, o estudo do Movimento Retilíneo Uniforme 
de um ponto material resume-se ao estudo da variação da posição desse ponto 
material com o tempo. Portanto, a equação que define esse tipo de movimento é:
θ
x
x0
0 t
θ
x
x0
0 t
Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
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23
 x = x0 + v.t
Onde x0 é a posição inicial dada em metros, e v é a velocidade (constante) dada 
em m/s.
Obs.: Na origem: x0 = 0
CARACTERÍSTICAS DO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
a) Espaço em função do tempo
Figura 2 - Gráfico de posição versus tempo para MRU
Fonte: os autores (2017).
A velocidade escalar é numericamente igual ao coeficiente angular da reta:
v = tgӨ
Velocidade é constante (em módulo, direção e sentido).
Classificação do movimento retilíneo uniforme 
 ■ Velocidade positiva (v > 0): movimento progressivo, ou seja, o móvel des-
loca-se no mesmo sentido da trajetória.
 ■ Velocidade negativa (v < 0): movimento retrógrado, ou seja, o móvel des-
loca-se no sentido contrário da trajetória.
a
t
a = 0
v
t
Área
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IU N I D A D E24
b) Velocidade Escalar em Função do Tempo
Figura 3 - Gráfico de velocidade versus tempo para MRU
Fonte: os autores (2017).
A área hachurada é numericamente igual ao deslocamento escalar.
� 
�� � �������� 
c) Aceleração Escalar em Função do Tempo
Figura 4 - Gráfico de aceleração versus tempo para MRU
Fonte: os autores (2017).
Observação:
A trajetória não é determinada pelos gráficos. Esses apenas representam as 
funções do movimento.
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
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25
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 
(MRUV)
Assim como o movimento retilíneo uniforme, esse movimento possui três carac-
terísticas essenciais para a sua descrição. A primeira advém da própria definição 
do movimento. O MRUV pode ser definido como o movimento de um móvel 
em relação a um referencial, ao longo de uma reta, na qual sua aceleração é sem-
pre constante. Dizemos, então, que a velocidade do móvel sofre variações iguais 
em intervalos de tempo iguais. 
Chama-se aceleração escalar média (am) entre dois instantes a variação da 
velocidade ocorrida, em média, por unidade de tempo:
�� �
�
�
�
� � ��
� � ��
 
�
��
 Em que: v é a velocidade final do ponto material, v0 é a velocidade inicial do ponto 
material, t é tempo no instante final e t0 é tempo no instante inicial. Lembrando 
que o tempo será sempre uma grandeza escalar positiva. No SI, a aceleração é 
expressa em 
�� �
�
�
�
� � ��
� � ��
 
�
��
 (lê-se: metros por segundo ao quadrado).
MECÂNICA I
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IU N I D A D E26
A definição de aceleração instantânea, ou simplesmente aceleração, é similar a 
de aceleração média. A diferença está no fato de que Δt é tomado como sendo 
infinitamente pequeno, isto é, o intervalo de tempo reduz-se a um instante de 
tempo. Logo, a aceleração média torna-se a aceleração naquele instante:
� � �������
��
��
�
��
��
 
Onde � � �������
��
��
�
��
��
 é a derivada da função velocidade em relação a variável tempo.
Podemos verificar o comportamento da aceleração em relação ao tempo por 
meio da Figura 5:
Figura 5 - Gráfico de aceleração versus tempo para MRUV
Fonte: os autores (2017).
 ■ No MRUV, a aceleração é função constante com o tempo, podendo ser 
positiva ou negativa.
 ■ No gráfico, a área hachurada é numericamente igual à variação de velo-
cidade Δv no intervalo de tempo considerado.
Δv = área
A segunda característica do movimento retilíneo uniformemente variado é a veloci-
dade. Nesse movimento, a velocidade do móvel sofre variações iguais em intervalos 
de tempo iguais, ou seja, ela varia de maneira linear (como uma função do primeiro 
grau). Essa relação pode ser deduzida a partir da propriedade gráfica da aceleração:
Δv = área
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
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27
Como a área hachurada representa um retângulo temos:
Δv = b.h
Δv = t.a
v - v0 = a.tv = v0 + a.t
O MRUV pode ser classificado como progressivo ou retrógrado, acelerado ou 
retardado. Fique atento, pois um erro comum é classificar o movimento como 
acelerado apenas porque apresenta aceleração positiva.
a) Movimento Progressivo: O móvel desloca-se no mesmo sentido da 
trajetória.
V > 0
b) Movimento Retrógrado: O móvel desloca-se no sentido contrário da 
trajetória.
V < 0
c) Movimento Acelerado: Quando o módulo da velocidade ∠V ∠ aumenta, 
ou seja, o produto da velocidade com a aceleração é positivo.
V . a > 0
d) Movimento Retardado: Quando o módulo da velocidade ∠ V ∠ dimi-
nui, ou seja, o produto da velocidade com a aceleração é negativo.
V . a < 0
A terceira característica do movimento retilíneo uniformemente variado é 
a posição. Nele, a posição do móvel sofre variações proporcionais ao qua-
drado do tempo, ou seja, ela varia como uma função do segundo grau. O 
gráfico da velocidade pelo tempo (Figura 6) nos permite demonstrar essa 
característica da posição.
Δx = área
v
v
v0
0 tt
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IU N I D A D E28
Figura 6 - Gráfico de velocidade versus tempo para MRUV
Fonte: os autores (2017).
Como a área formada abaixo da linha do gráfico é correspondente a um tra-
pézio, podemos fazer:
�� � ���� 
�� � �� � ���
�
�
 
�� � ��� � ���
�
�
 
� � �� � �� � 
�� � ��� � �� � �� ���
�
�
 
�� � ��� �� � �� ���
�
�
 
�� � ��� ����
�
�
���� ���
�
�
 
� 
 �� � ����� � � ��� �
���
�
�
 
� � �� � �� �
�
�
� �� 
Mas: 
�� � ���� 
�� � �� � ���
�
�
 
�� � ��� � ���
�
�
 
� � �� � �� � 
�� � ��� � �� � �� ���
�
�
 
�� � ��� �� � �� ���
�
�
 
�� � ��� ����
�
�
� ��� ���
�
�
 
� 
 �� � ����� � � ��� �
���
�
�
 
� � �� � �� �
�
�
� �� 
�� � ���� 
�� � �� � ���
�
�
 
�� � ��� � ���
�
�
 
� � �� � �� � 
�� � ��� � �� � �� ���
�
�
 
�� � ��� �� � �� ���
�
�
 
�� � ��� ����
�
�
� ��� ���
�
�
 
� 
 �� � ����� � � ��� �
���
�
�
 
� � �� � �� �
�
�
� �� 
A partir dessa área, também se pode demonstrar outras duas importantes rela-
ções para o estudo do MRUV.
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
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 ■ Relação 1
��
��
�
�� � �
�
 
�
�
� ��
�
� �� �� �� 
 ■ Relação 2
��
��
�
�� � �
�
 
�
�
� ��
�
� �� �� �� 
A representação gráfica da posição em função do tempo pode ser expressa por:
x
x0 a > 0
v = 0
0 Tempo
Espaço
Figura 7 - Gráfico de posição versus tempo para MRUV
Fonte: os autores (2017).
Percebe-se que o gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola, 
assim, sempre que a parábola estiver com a concavidade para cima, como 
no gráfico mostrado, a aceleração do movimento será positiva, e quando a 
parábola estiver com a concavidade para baixo, a aceleração do movimento 
representado será negativa.
Uma aplicação do MRUV é a queda livre, uma particularidade do MRUV. 
Quando um objeto é lançado verticalmente para cima ou para baixo, (eliminando 
a resistência do ar sobre o objeto) observa-se que o objeto sofre uma aceleração 
constante para baixo, conhecida como aceleração em queda livre (cujo módulo 
é, aproximadamente, g = 9,81m/s2). Nos exercícios propostos neste livro, uti-
lizaremos apenas g = 9,8 m/s2 ou, ainda, o valor de 10 m/s2 quando solicitado 
no enunciado do exercício.
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IU N I D A D E30
Um cuidado que devemos ter com objetos em queda livre é a escolha do nosso 
referencial, pois dependendo da nossa escolha, o valor da aceleração em queda 
livre poderá ser negativa ou positiva. Por exemplo, se orientarmos nosso referen-
cial para cima, a aceleração de queda livre será negativa, mas seu sentido continua 
para baixo. Contudo, se orientarmos nosso referencial para baixo, a aceleração 
em queda livre será positiva, mas seu sentido continua para baixo. Para nossos 
estudos, orientaremos nosso referencial para baixo, assim, utilizaremos o valor 
da aceleração da gravidade positivo.
No movimento de queda livre, desconsideramos toda e qualquer resistên-
cia do ar e fazemos a velocidade inicial do corpo igual a zero, ou seja, na queda 
livre um corpo é abandonado sempre do repouso (com velocidade nula). Assim, 
podemos utilizar as equações do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, 
aplicando a aceleração da gravidade e determinar:
 ■ Tempo de queda
������ � ���� 
����� � ���� 
� � �� ��� 
 ■ Velocidade ao chegar ao solo
������ � ���� 
����� � ���� 
� � �� ��� ■ Aceleração da gravidade local
������ � ���� 
����� � ���� 
� � �� ��� 
É muito importante ressaltar que Galileu já havia discutido a queda dos corpos 
antes mesmo de o conceito de aceleração da gravidade ser introduzido, poste-
riormente, por Newton. Para explicar o movimento de queda dos corpos, Galileu 
fez vários experimentos com plano inclinado e, com os resultados, publicou um 
livro intitulado "Duas Novas Ciências" em que apresenta dois teoremas:
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
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TEOREMA I – PROPOSIÇÃO I
O tempo no qual um determinado espaço é percorrido por um mó-
vel que parte do repouso com um movimento uniformemente acele-
rado é igual ao tempo no qual aquele mesmo espaço seria percorrido 
pelo mesmo móvel uniforme, cujo grau de velocidade seja a metade do 
maior e último grau de velocidade alcançado no movimento uniforme-
mente acelerado (Araújo Filho, 1998, p. 65).
[...]
TEOREMA II – PROPOSIÇÃO II
Se um móvel, partindo do repouso, cai com movimento uniformemente 
acelerado, os espaços por ele percorridos em qualquer tempo estão entre 
si na razão dupla dos tempos, a saber, como os quadrados dos mesmos 
tempos (Araújo Filho, 1998, p. 66, grifo do autor).
Podemos, então, entender que a distância percorrida em intervalos de tempos 
iguais sucessivos é proporcional à soma dos números ímpares sucessivos.
NÚMEROS DE INTERVALOS DE TEMPOS 
IGUAIS
TOTAL DE UNIDADES DE DISTÂNCIA 
PERCORRIDA
0 0
1 0 + 1 = 1
2 0 + 1 + 3 = 4
3 0 + 1 + 3 + 5 = 9
4 0 + 1 + 3 + 5 + 7 = 16
5 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
6 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Qual a influência da massa no movimento de queda livre?
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IU N I D A D E32
Fonte: Brasil Escola (2017, on-line)2. 
VETORES
Todas as quantidades físicas utilizadas na engenharia são medidas usando esca-
lares ou vetores.
ESCALAR
Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa bem definida 
apenas por sua intensidade ou módulo. Exemplos de grandezas escalares: 
massa, comprimento, tempo, temperatura, energia, trabalho, potencial elé-
trico entre outros.
VETOR
Um vetor é qualquer quantidade física que necessita de orientação, ou seja, para 
ficar bem definido, além da intensidade, ele requer uma direção e um sentido. 
Exemplos de grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade, aceleração, força, 
momento linear, campo elétrica entre outros.
As grandezas vetoriais são representadas graficamente por vetores, ou 
seja, por um segmento de reta orientado cujo sentido é fornecido pela seta 
em uma das suas extremidades, e o seu comprimento está relacionado à 
Vetores
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intensidade (também chamada de módulo) da grandeza que ele representa. 
A direção do vetor é dada normalmente pela inclinação do vetor em rela-
ção ao eixo fixo.
ALGUMAS PROPRIEDADES IMPORTANTES DOS VETORES
 ■ Vetores possuem a mesma direção, se forem paralelos ou pertencerem 
a mesma linha.
 ■ Vetores possuem o mesmo sentido, se tiverem a mesma direção e a mesma 
orientação. 
 ■ Vetores iguais: possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo 
sentido.
A
B
 ■ Um vetor é o oposto de outro quando tiver o mesmo módulo, mesma 
direção e sentido contrário.
A
-A
 ■ Produto de um escalar por um vetor
�� � �� ��� ,
Onde n é um número que pode ser positivo ou negativo. Nesse caso, �� � �� ��� 
é um vetor que possui módulo n vezes maior que �� � �� ��� .
Se n for positivo, o vetor �� � �� ��� terá o mesmo sentido do vetor �� � �� ��� .
Se n for negativo, o vetor �� � �� ��� terá sentido oposto ao do vetor �� � �� ��� .
C A
D B
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IU N I D A D E34
OPERAÇÕES COM VETORES
As operações com vetores não seguem as mesmas regras da aritmética comum, 
utilizada para as grandezas escalares. Para efetuarmos somas e subtrações veto-riais, podemos utilizar duas regras básicas, a do polígono e a do paralelogramo.
REGRA DO POLÍGONO
A regra do polígono é muito útil quando precisamos somar três ou mais vetores 
e consiste em colocar a origem de um vetor coincidente com a extremidade do 
outro vetor. Faz-se isso para a quantidade total de vetores que se deseja somar. 
O vetor chamado resultante é o que une as duas extremidades para fechar o 
polígono, sempre partindo do primeiro vetor, como na Figura 8.
Exemplo: encontre o vetor resultante.
Iniciaremos com o vetor C, mas poderíamos iniciar com qualquer um deles. Veja 
como se utiliza a regra do polígono:
Um número poderá modificar o módulo e/ou o sentido de um vetor, nunca 
sua direção.
A
D
C
R
B
A
D
C
R
B
x
y
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Figura 8 - Polígono formado pela soma vetorial
Fonte: os autores (2017).
Note que, após terminarmos, ocorre a formação de um polígono, e o módulo do 
vetor resultante pode ser determinado de acordo com a Figura 9:
Figura 9 - Triângulo retângulo formado para determinação do vetor resultante
Fonte: os autores (2017).
��������� � ��� � �� 
REGRA DO PARALELOGRAMO
A regra do paralelogramo deve ser aplicada com grupo(s) de dois vetores. Consiste 
em transladar um dos vetores até que a origem coincida com a origem do outro 
vetor e, por fim, construir um paralelogramo. O vetor resultante será dado pela 
diagonal do paralelogramo (veja a figura 10). Observação: transladar um vetor 
significa movimentá-lo sem que as suas características (intensidade, direção e 
sentido) sejam alteradas.
RA
B
α
A B
y
Ay
Ax
θ
x
A
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IU N I D A D E36
Exemplo: encontre o vetor resultante.
Vamos transladar o vetor �� � �� ��� de forma que sua origem coincida com a origem 
do vetor �� � �� ��� :
Figura 10 - Representação da operação de adição pela regra do paralelogramo
Fonte: os autores (2017).
Neste caso, para determinarmos o módulo do vetor resultante utilizamos a lei 
dos cossenos:
�����
�
� ����
�
� �����
�
� �� ����� ������ ��� 
É importante lembrar que um vetor também pode ser escrito em função das suas 
componentes, que são as projeções do vetor em um eixo do sistema de coorde-
nadas retangulares. Veja a Figura 11:
Figura 11 - Representação das coordenadas de um vetor
Fonte: os autores (2017).
î
z
y
x
ĵ
k
Vetores
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37
�� � ����� ��� 
�� � ����� ��� 
��� ��� ��� 
�� � �
����� 
�� � ���
��� 
��� � �����
� 
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver problemas em 
três dimensões (também podem ser utilizados para duas dimensões), são enor-
memente simplificadas se os vetores forem, primeiro, representados na forma 
de um vetor cartesiano. 
VETORES NO ESPAÇO (R3)
No espaço, consideraremos a base canônica {
�� � ����� ��� 
�� � ����� ��� 
��� ��� ��� 
�� � �
����� 
�� � ���
��� 
��� � �����
� 
} como aquela que determi-
nará o sistema cartesiano ortogonal Oxyz.
Onde:
�� � ����� ��� 
�� � ����� ��� 
��� ��� ��� 
�� � �
����� 
�� � ���
��� 
��� � �����
� 
São três vetores unitários e, simultaneamente, perpendiculares entre si.
Figura 12 - Representação dos vetores unitários em R3
Fonte: os autores (2017).
z
y
x
AX
AZ
AY
A
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IU N I D A D E38
Um vetor pode ser escrito em componentes retangulares e no espaço R3 da 
seguinte forma:
Figura 13 - Representação do vetor e suas componentes em 
Fonte: os autores (2017).
�� � ������ � ������ � ������ 
���� � ���������� � ��������� � ��������� 
���� 
 ���� � � 
���� 
 ���� � � 
����
 ���� � � 
É sempre possível obter o módulo do vetor A, desde que ele seja expresso sob a 
forma de um vetor cartesiano. �� � ������ � ������ � ������ 
���� � ���������� � ��������� � ��������� 
���� 
 ���� � � 
���� 
 ���� � � 
����
 ���� � � 
onde:
�� � ������ � ������ � ������ 
���� � ���������� � ��������� � ��������� 
���� 
 ���� � � 
���� 
 ���� � � 
����
 ���� � � 
Também podemos multiplicar um vetor por outro vetor, e esta operação pode 
ser realizada de duas maneiras: mediante o produto escalar e por meio do pro-
duto vetorial. O produto escalar tem como resultado um número, e a definição 
matemática para esta operação pode ser definida por:
Sejam �� � ������ � ������ � ������ 
��� � ������ � ������ � ������ 
e 
�� � ������ � ������ � ������ 
��� � ������ � ������ � ������ dois vetores que 
formam um ângulo Ө entre si. Define-se o produto escalar como:
��� ��� � ������ ������ ��� 
�������� 
�� 
�������� � ������ ������ ��� 
Vetores
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Observe que esse produto é indicado por um ponto. Não pode ser usado o sinal 
x, pois este será utilizado para o produto vetorial apresentado em seguida. 
O produto vetorial entre dois vetores �� � �� ��� e �� � �� ��� é indicado como 
��� ��� � ������ ������ ��� 
�������� 
�� 
�������� � ������ ������ ��� 
 e o 
resultado obtido será outro vetor (
��� ��� � ������ ������ ��� 
�������� 
�� 
�������� � ������ ������ ��� 
), perpendicular aos vetores �� � �� ��� e �� � �� ��� . A defi-
nição matemática para o produto vetorial é dada por:
Sejam �� � ������ � ������ � ������ 
��� � ������ � ������ � ������ 
e 
�� � ������ � ������ � ������ 
��� � ������ � ������ � ������ dois vetores que 
formam um ângulo Ө entre si. Define-se o produto escalar como:
��� ��� � ������ ������ ��� 
�������� 
�� 
�������� � ������ ������ ��� 
Entretanto, o produto vetorial de um vetor unitário por ele mesmo é nulo, pois 
eles são vetores paralelos, portanto:
���� � ���� � � ���� � ���� � � ����� ���� � � 
���� � ���� � ���� ���� � ���� � ���� ����� ���� � ���� 
���� � ���� � ����� ����� ���� � ����� ���� � ���� � ����� 
O vetor resultante (
��� ��� � ������ ������ ��� 
�������� 
�� 
�������� � ������ ������ ��� 
) do produto vetorial entre �� � �� ��� e �� � �� ��� é ortogonal a estes veto-
res, e isto define a direção do vetor resultante. Já o sentido do vetor resultante é 
dado pela regra da mão direita, como na Figura 14:
Figura 14 - Representação do produto vetorial pela regra da mão direita
Fonte: os autores (2017).
O significado geométrico do produto vetorial é que o módulo do vetor re-
sultante é numericamente igual à área do paralelogramo definido pelos 
dois vetores do produto vetorial.
Fonte: os autores (2017).
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CINEMÁTICA VETORIAL
No início do estudo da Cinemática, definimos as grandezas velocidade e acele-
ração, mas, para isso, consideramos o movimento de uma partícula apenas em 
uma dimensão, por isso, as tratamos como escalares. No caso de um movimento 
bidimensional ou tridimensional, devemos considerar essas grandezas como 
vetores e usar a notação vetorial. 
Se uma partícula sofre um deslocamento ∆𝑟𝑟 ∆𝑡𝑡 �⃗⃗�𝑉𝑚𝑚é𝑑𝑑 
 
 em um intervalo de tempo 
∆𝑟𝑟 ∆𝑡𝑡 �⃗⃗�𝑉𝑚𝑚é𝑑𝑑,sua velocidade média ∆𝑟𝑟 ∆𝑡𝑡 �⃗⃗�𝑉𝑚𝑚é𝑑𝑑 
 
 é dada por: 
Cinemática Vetorial
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 �⃗�𝑉 𝑚𝑚é𝑑𝑑 =
∆𝑟𝑟 
∆𝑡𝑡
=
∆𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂+∆𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂+∆𝑧𝑧�̂�𝑘
∆𝑡𝑡
= 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂ + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂ + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑧𝑧�̂�𝑘 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑⃗⃗⃗⃗ 
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
 𝑖𝑖 ̂ +
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
 𝑗𝑗 ̂ +
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
�̂�𝑘 = 𝑣𝑣𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂ + 𝑣𝑣𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂ + 𝑣𝑣𝑧𝑧�̂�𝑘 
𝑎𝑎 =
∆𝑣𝑣 
∆𝑑𝑑
=
𝑣𝑣 − 𝑣𝑣 0
𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0
 
 
Da mesma forma, podemos definir vetorialmente a velocidade instantânea: �⃗�𝑉
 
𝑚𝑚é𝑑𝑑 =
∆𝑟𝑟 
∆𝑡𝑡
=
∆𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂+∆𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂+∆𝑧𝑧�̂�𝑘
∆𝑡𝑡
= 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂ + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂ + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑧𝑧�̂�𝑘 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑⃗⃗⃗⃗ 
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
 𝑖𝑖 ̂ +
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
 𝑗𝑗 ̂ +
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
�̂�𝑘 = 𝑣𝑣𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂ + 𝑣𝑣𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂ + 𝑣𝑣𝑧𝑧�̂�𝑘 
𝑎𝑎 =
∆𝑣𝑣 
∆𝑑𝑑
=
𝑣𝑣 − 𝑣𝑣 0
𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0
 
 
De uma maneira parecida, podemos definir a aceleração vetorial média. Esta é 
definida como o vetor variação de velocidade dividido pelo tempo. Assim como 
o deslocamento e a velocidade, a aceleração também é uma grandeza vetorial, ou 
seja, para ficar bem definida, necessita de módulo, direção e sentido.
 �⃗�𝑉 𝑚𝑚é𝑑𝑑 =
∆𝑟𝑟 
∆𝑡𝑡
=
∆𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂+∆𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂+∆𝑧𝑧�̂�𝑘
∆𝑡𝑡
= 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂ + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂ + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑧𝑧�̂�𝑘 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑⃗⃗⃗⃗ 
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
 𝑖𝑖 ̂ +
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
 𝑗𝑗 ̂ +
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
�̂�𝑘 = 𝑣𝑣𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂ + 𝑣𝑣𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂ + 𝑣𝑣𝑧𝑧�̂�𝑘 
𝑎𝑎 =
∆𝑣𝑣 
∆𝑑𝑑
=
𝑣𝑣 − 𝑣𝑣 0
𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0
 
 
Da mesma forma, podemos definir vetorialmente a aceleração instantânea:
�� �
�������
��
� ������ � ������ � ���� 
A aceleração altera o vetor velocidade. Quando a aceleração altera o módulo 
da velocidade, nós a chamamos de tangencial; já quando ela altera o sentido do 
vetor velocidade, chamamos de aceleração centrípeta.
 ■ Aceleração tangencial: é tangente à trajetória e possui a mesma direção 
da velocidade. Seu módulo é determinado por:
 �⃗�𝑉 𝑚𝑚é𝑑𝑑 =
∆𝑟𝑟 
∆𝑡𝑡
=
∆𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂+∆𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂+∆𝑧𝑧�̂�𝑘
∆𝑡𝑡
= 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂ + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂ + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑧𝑧�̂�𝑘 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑⃗⃗⃗⃗ 
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
 𝑖𝑖 ̂ +
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
 𝑗𝑗 ̂ +
𝑑𝑑𝑑𝑑
∆𝑑𝑑
�̂�𝑘 = 𝑣𝑣𝑥𝑥 𝑖𝑖 ̂ + 𝑣𝑣𝑦𝑦 𝑗𝑗 ̂ + 𝑣𝑣𝑧𝑧�̂�𝑘 
𝑎𝑎 =
∆𝑣𝑣 
∆𝑑𝑑
=
𝑣𝑣 − 𝑣𝑣 0
𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0
 
 ■ Aceleração centrípeta: está sempre voltada para o centro da trajetória, 
sendo, desta forma, perpendicular à trajetória e à velocidade. Seu módulo 
é determinado por:
V�
Racp = 
a = acp + at → → →
a = � acp + at 
MECÂNICA I
Reprodução proibida. A
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IU N I D A D E42
A aceleração vetorial é a soma vetorial da aceleração tangencial com a acelera-
ção centrípeta: V�
Racp = 
a = acp + at → → →
a = � acp + at 
Seu módulo é determinado por:
V�
Racp = 
a = acp + at → → →
a = � acp + at 
LANÇAMENTO OBLÍQUO
O Lançamento Oblíquo ocorre quando um corpo é lançado com certa velocidade 
inicial (v0), inclinada de um determinado ângulo (Ө) em relação à horizontal. 
Este lançamento pode ocorrer a partir do solo (considerando o mesmo como 
nível de referência) ou de uma posição acima do nível de referência, como do 
alto de um edifício. São exemplos de lançamentos: uma bala de canhão, um joga-
dor de futebol cobrando um tiro de meta ou um jogador de basquete lançando 
uma bola diretamente ao cesto, entre outros.
Quando uma partícula realiza um movimento circular uniforme (MCU), é 
muito comum confundirmo-nos com relação à velocidade. Como ela apre-
senta sempre o mesmo valor numérico (módulo), dizemos que ela é cons-
tante, e esse é um erro perigoso, pois velocidade é uma grandeza vetorial, e 
como toda grandeza vetorial possui módulo, direção e sentido, assim, devi-
do à ação da aceleração centrípeta varia em direção e sentido.
Fonte: os autores (2017).
Cinemática Vetorial
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Figura 14 - Componentes do vetor velocidade
Fonte: o autor (2017).
O movimento de uma partícula, durante um lançamento oblíquo, pode ser 
descrito por dois movimentos mais simples e que já foram estudados anterior-
mente: o Movimento Retilíneo Uniforme (na direção horizontal) e o Movimento 
Retilíneo Uniformemente Variado (na direção vertical). 
Como no início do movimento a velocidade inicial está inclinada de um 
ângulo Ө com a horizontal, devemos, primeiro, descobrir quanto vale essa velo-
cidade inicial em x e em y, só assim poderemos descrever adequadamente os 
dois movimentos que juntos compõem o lançamento. Então, para se utilizar as 
velocidades iniciais na horizontal (vox) e na vertical (voy), deve-se efetuar o seu 
cálculo com base nos conhecimentos de vetores:
vox = vo cos
voy = vo sen
Com este cálculo efetuado, pode-se utilizar as equações do M.R.U e, no eixo x, 
para se determinar o alcance (A) faz-se:
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣0𝑥𝑥. 𝑡𝑡 
Onde t é o tempo total do movimento.
 
MECÂNICA I
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IU N I D A D E44
Já no eixo y, devido à aceleração da gravidade, utilizamos o movimento com 
aceleração constante. Assim: 
𝑣𝑣𝑦𝑦 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦 + 𝑔𝑔. 𝑡𝑡 
ℎ = 𝑣𝑣0𝑦𝑦. 𝑡𝑡 +
1
2
. 𝑔𝑔. 𝑡𝑡2 
𝑣𝑣𝑦𝑦
2 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦
2 + 2. 𝑔𝑔. ℎ 
Importante: 
 ■ No ponto de altura máxima, apenas a componente vertical da velocidade 
é nula (vy) , não o sendo a velocidade do corpo.
 ■ Por uma questão de referencial adotado, consideraremos g negativo.
Dessa forma, podemos determinar o tempo de subida do corpo.
𝑣𝑣𝑦𝑦 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦 + 𝑔𝑔. 𝑡𝑡 
0 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦 − 𝑔𝑔. 𝑡𝑡 
𝑔𝑔. 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦 
𝑡𝑡 =
𝑣𝑣0𝑦𝑦
𝑔𝑔
 
𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =
𝑣𝑣0𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑔𝑔
 
 
Temos que o tempo de subida é igual ao tempo de descida. Dessa forma, o tempo 
total do movimento será:
𝑡𝑡 = 2. 𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =
2. 𝑣𝑣0𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑔𝑔
 
 
Como sabemos, na horizontal a aceleração é nula, então, com esse tempo total 
de movimento podemos determinar o alcance do corpo.
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣0𝑥𝑥. 𝑡𝑡 
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣0𝑥𝑥. 2. 𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
2. 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑔𝑔
 
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 =
𝑣𝑣𝑜𝑜
2
𝑔𝑔
. 2. 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 =
𝑣𝑣𝑜𝑜
2
𝑔𝑔
. 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 2 
 
 
 
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∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣0𝑥𝑥. 𝑡𝑡 
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣0𝑥𝑥. 2. 𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
2. 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑔𝑔
 
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 =
𝑣𝑣𝑜𝑜
2
𝑔𝑔
. 2. 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 
∆𝑆𝑆 = 𝐴𝐴 =
𝑣𝑣𝑜𝑜
2
𝑔𝑔
. 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 2 
 
 
 
Importante:
 ■ Perceba que o alcance máximo é atingido quando o ângulo de lança-
mento é 45º.
 ■ Para ângulos complementares, o alcance é o mesmo.
Podemos, ainda, determinar a altura máxima alcançada pelo corpo durante o 
movimento oblíquo e devemos lembrar que no ponto dealtura máxima. Assim:
𝑣𝑣𝑦𝑦
2 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦
2 + 2. 𝑔𝑔. ℎ 
02 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦
2 − 2. 𝑔𝑔. ℎ𝑚𝑚á𝑥𝑥 
2. 𝑔𝑔. ℎ𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦
2 
ℎ𝑚𝑚á𝑥𝑥 =
𝑣𝑣0𝑦𝑦
2
2. 𝑔𝑔
 
ℎ𝑚𝑚á𝑥𝑥 =
(𝑣𝑣𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)
2
2. 𝑔𝑔
 
 
 
 
Quando lançamos dois corpos idênticos e de mesma massa, com a mesma 
velocidade inicial, um sob um ângulo de 30º, o outro sob um ângulo de 60º, 
qual atinge maior alcance?
MECÂNICA I
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IU N I D A D E46
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, procuramos apresentar os conceitos básicos para o desenvolvi-
mento da cinemática escalar do ponto material e as principais características do 
Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) e do Movimento Retilíneo Uniforme 
Variado (MRUV). Esses movimentos são descritos pelas relações entre posição, 
velocidade, aceleração e tempo, fazendo um tratamento apenas matemático, no 
qual é possível fazer previsões para os movimentos. 
Introduzimos, ainda, o conceito de vetores bem como todas as operações 
possíveis com eles. Isso serviu de base para discutirmos a cinemática vetorial, 
i.e., o movimento em duas ou três dimensões. Vimos o que é vetor posição e des-
locamento, vetor velocidade e aceleração e também estudamos o movimento de 
projéteis (ou lançamento oblíquo). Em todos os tópicos dessa unidade, procu-
ramos elaborar atividades que desenvolvessem algumas habilidades, tais como: 
compreender causa e efeito dos fenômenos, compreender propriedades físicas, 
entender e usar informações escritas na linguagem científica, como nos símbo-
los, nos gráficos e nas relações matemáticas.
Nos três elementos dessa unidade, “Reflita”, “Saiba Mais” e “Leitura 
Complementar”, procuramos explorar os trabalhos de Galileu Galilei, pois foi 
ele quem conseguiu descrever os movimentos que estudamos hoje. No elemento 
“Reflita”, ressaltamos a ideia principal para a queda dos corpos, de que o tempo 
de queda de um corpo não depende de sua massa, como afirmava Aristóteles. 
No elemento “Saiba Mais”, apresentamos a proporção de Galileu, a de que, em 
intervalos de tempos iguais, um corpo percorre distâncias sucessivas à soma dos 
números ímpares e, em “Leitura Complementar”, disponibilizamos um pequeno 
texto sobre os experimentos de Galileu.
Desejamos que, com as discussões abordadas nessa unidade, tenhamos 
contribuído para o seu conhecimento introdutório sobre Física e que, a partir 
deste, você consiga compreender a importância desta ciência e sua relação com 
a engenharia.
Obrigado e sucesso!
47 
1. Um engenheiro resolveu visitar sua família, no final de semana, em uma cida-
de do interior. No retorno, quando chegou à rodoviária, percebeu que estava 
atrasado e que o ônibus havia saído da rodoviária há 5 minutos. O engenheiro, 
então, pegou um táxi para alcançá-lo. O ônibus e o táxi descrevem a mesma tra-
jetória, e seus movimentos são uniformes. A velocidade escalar do ônibus é de 
60km/h , e a do táxi é de 90km/h. Calcule o intervalo de tempo, em minutos, 
necessário para táxi alcançar o ônibus.
a) 5 min.
b) 10 min.
c) 15 min.
d) 20 min.
e) 25 min.
2. A posição (S) de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada, em fun-
ção do tempo (t), pela equação:
S = 2 + 3t2 + 4t3
em unidades do SI. Considerando estes dados, analise as afirmativas seguintes:
I. O deslocamento da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2 s é 44 m.
II. A velocidade média entre os instantes t = 1 s e t = 2 s é 64 m/s.
III. A velocidade instantânea em t = 2 s é igual a 60 m/s.
IV. A equação que descreve a posição da partícula no intervalo de tempo repre-
senta o movimento de uma partícula em queda livre.
Assinale a alternativa que indica as proposições verdadeiras:
a) I.
b) I e II.
c) I e III.
d) I, III e IV.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
3. Imagine que no chão de fábrica de uma indústria, uma esteira movimenta-se em 
linha reta, segundo a função horária do espaço dada por:
S = 1.t2 - 4
Válida em unidades do SI para t > 0.
No instante em que a esteira passa pela origem dos espaços, sua velocidade 
escalar e sua aceleração escalar serão, respectivamente, iguais a:
48 
a) 0 e 0.
b) 4m/s e 0.
c) 4m/s e 2m/s2.
d) 2m/s e 2m/s2.
e) 4m/s e 4m/s2.
4. Em uma indústria, há duas esteiras para o transporte de caixas dos produtos A 
e B. A esteira do produto A possui velocidade de 1km/h, e do produto B de 0,8 
km/h. Se a caixa do produto A e B mantiverem, durante 1 minuto, suas velocida-
des, ao final desse tempo, a distância entre elas será, aproximadamente, de:
5. Considere os vetores ��� ���� ������� 
�� � ��� � �� � �� 
 da figura a seguir. Sabe-se que cada quadrinho 
mede uma unidade. Nesse caso, o módulo do vetor soma (vetor resultante)
��� ���� ������� 
�� � ��� � �� � �� será aproximadamente: 
a) 0,5.
b) 1,41.
c) 1,73.
d) 2,0.
e) 2,21.
6. Com relação à velocidade e à aceleração de um corpo, é correto afirmar que:
a) A aceleração é nula sempre que o módulo da velocidade é constante.
b) Um corpo pode estar acelerado mesmo que o módulo de sua velocidade seja 
constante.
c) A aceleração centrípeta é nula no movimento circular.
d) Sempre existe uma aceleração tangencial no movimento circular.
e) A velocidade é diretamente proporcional à aceleração, em qualquer movi-
mento acelerado.
49 
Galileu fez o experimento do plano inclinado?
Em setembro de 2002, a revista britânica 
Physics World divulgou o resultado de uma 
pesquisa realizada entre seus leitores para 
apontar os mais belos experimentos físi-
cos de todos os tempos. Entre os dez mais 
votados, encontramos dois experimentos 
atribuídos ao italiano Galileu Galilei (1564- 
1642): o experimento da queda de corpos 
(segundo colocado) e o experimento do 
plano inclinado (oitavo colocado).
O interessante é que não há um consenso 
entre os historiadores da ciência quanto 
à veracidade da realização destes experi-
mentos. Koyré (1991, p. 197), ao comentar 
a experiência de Pisa, diz que: “Os histo-
riadores que se ocuparam de Galileu – e 
os historiadores de ciência em geral – atri-
buem às experiências de Pisa uma grande 
importância”. Habitualmente, nelas veem 
um momento decisivo da vida de Gali-
leu: o momento em que ele se pronuncia 
abertamente contra o aristotelismo e ini-
cia seu ataque público contra a escolástica. 
Nelas veem, também, um momento deci-
sivo da história do pensamento científico: 
o momento em que, justamente graças às 
suas experiências sobre a queda dos cor-
pos, Galileu desfere um golpe mortal na 
física aristotélica e assenta os fundamen-
tos da nova dinâmica.
Depois de citar alguns historiadores que 
descreveram a experiência de Pisa como 
se realmente tivesse sido realizada por 
Galileu, o autor conclui que todos estes 
relatos “[...] são pura e simplesmente por 
eles inventados, pois a única fonte autên-
tica de que dispomos, o Racconto istorico, 
de Vincenzo Viviani, não contém uma 
única palavra a respeito” (Koyré, 1991, 
p. 200). Alexandre Koyré alega que este 
relato foi modificado e ampliado pelos 
sucessores de Viviani, o que pode ser ver-
dade, mas não estamos de acordo com 
a afirmação de que na narração de Vin-
cenzo Viviani não havia uma única palavra 
a respeito da experiência de Pisa. No tre-
cho do texto de Viviani, destacado pelo 
próprio Koyré, é evidente a referência 
à experiência:[...] Foi então que, para 
grande indignação de todos os filóso-
fos, ele demonstrou – com o auxílio de 
experiências, provas e raciocínios exatos 
– a falsidade de numerosíssimas conclu-
sões de Aristóteles sobre a natureza do 
movimento, conclusões que, até então, 
eram tidas como perfeitamente claras 
e indubitáveis. Assim, entre outras, a de 
que as velocidades de móveis da mesma 
matéria, masdesigualmente pesados e 
movendo-se através do mesmo meio, não 
obedecem a proporção de seus pesos, 
como é declarado por Aristóteles, mas se 
movem, todos, com a mesma velocidade. 
O que demonstrou em repetidas experiên-
cias, feitas no alto do campanário de Pisa, 
na presença de todos os outros professo-
res e filósofos e de toda a Universidade [...] 
(Koyré, 1991, p. 201, grifo do autor).
Isto mostra a parcialidade do autor ao 
analisar o fato que, em seguida, mostra 
descrédito ao relato de Viviani. Apesar 
de este ter sido o biógrafo de Galileu, 
convivendo com ele nos últimos anos de 
sua vida, como não há registro em qual-
quer outra fonte do relato acima (Cohen, 
1988), as dúvidas de Koyré, neste caso, 
têm fundamento.
50 
A polêmica continua com os experimen-
tos do plano inclinado. Para muitos, Galileu 
obteve racionalmente a relação de que a 
distância percorrida por um corpo é pro-
porcional ao quadrado do tempo de queda, 
como descreve detalhadamente na sua 
famosa obra Discursos e demonstrações 
matemáticas acerca de duas novas ciências 
a respeito da mecânica e dos movimen-
tos locais (1638). Se esses experimentos 
existiram, serviram apenas como uma 
comprovação. Outros acreditam que os 
esquemas teóricos sobre este tipo de movi-
mento surgiram após vários experimentos 
com bolas e planos inclinados. Deste modo, 
temos duas visões sobre o cientista Galileu, 
uma racionalista e outra empirista.
O principal argumento dos que acreditam 
em um Galileu racionalista é de que os 
resultados encontrados são muito preci-
sos para os precários meios experimentais 
utilizados. Ou seja, “[...] a própria perfei-
ção de seus resultados é uma rigorosa 
prova de sua inexatidão” (Koyré, 1991, 
p. 275). Para estes, Galileu fazia uso fre-
quente das “experiências de pensamento”, 
encarnando a herança do platonismo. 
Em contrapartida, os adeptos do Galileu 
empirista reconstituíram a experiência do 
plano inclinado o mais fiel possível à des-
crição original para provar a veracidade 
dos resultados afirmados por Galileu.
Fonte: Neves et al. (2008, on-line)3.
Material Complementar
MATERIAL COMPLEMENTAR
Física para cientistas e engenheiros - v. 1 - 6. ed.
Paul A. Tipler e Gene Mosca 
Editora: LTC
Sinopse: o livro “Física para Cientistas e Engenheiros” possui os principais 
conceitos físicos estudados neste tópico (sistemas de unidades, forças, 
leis de Newton etc.), assim como outros conceitos que serão abordados, 
posteriormente, neste livro (Fluidos, Termodinâmica, Oscilações etc.). 
Comentário: neste livro, você encontrará diversos exemplos e exercícios 
propostos para melhor compreensão dos assuntos estudados.
Para você aprimorar os conceitos sobre Grandezas Físicas e Unidades de Medidas, há aqui a 
sugestão do link: <https://www.youtube.com/watch?v=UXebcjhaDes>. Lembrando que esses 
assuntos foram estudados no tópico Sistema Intencional de Unidades (SI) desse livro. 
Quanto ao Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), assunto estudado no 
tópico Cinemática Escalar, desta Unidade, indicamos o link: <https://www.youtube.com/
watch?v=eetZHXDSQnc>.
Você ainda poderá encontrar uma discussão sobre as Grandezas Escalares e Vetoriais, abordadas 
no tópico Cinemática Vetorial, deste livro, acessando o link: <https://www.youtube.com/
watch?v=32ZEURe4LNs>.
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
ARAÚJO FILHO, W. D. Galileu e a queda de corpos: conteúdo veiculado nos livros 
didáticos do 2ºgrau: uma abordagem crítica. São Paulo. 143f. Dissertação (Mestrado 
em Ensino de Ciências) – Instituto de Física e Faculdade de Educação, Universidade 
de São Paulo.
COHEN, I. B. O Nascimento de Uma Nova Física. Lisboa: Gradiva, 1988. 
KOYRÉ, A. Estudos de história do pensamento científico. Rio de Janeiro: Forense 
Universitária, 1991. 
REFERÊNCIAS ON-LINE
1Em:<http://g1.globo.com/sao-paulo/noticia/2012/01/limite-de-velocidade-e-re-
duzido-na-rodovia-castello-branco-em-sp.html>. Acesso em: 5 nov. 2017.
2Em:<http://brasilescola.uol.com.br/fisica/grandezas-vetoriais-escalares.htm>. 
Acesso em: 5 nov. 2017.
3Em:<http://reec.uvigo.es/volumenes/volumen7/ART11_Vol7_N1.pdf>. Acesso 
em: 5 nov. 2017.
52
GABARITO
53
1. 
Quando o táxi parte o ônibus já se deslocou por 5 minutos, como a velocidade 
do ônibus é de 60km em 1 hora, ou 60km em 60 minutos, podemos dizer que em 
5 minutos o ônibus se deslocou 5km.
Utilizando o conceito de velocidade relativa, temos:
𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
∆𝑆𝑆
∆𝑡𝑡
 
𝑣𝑣𝑟𝑟á𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑣𝑣ô𝑛𝑛𝑟𝑟𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =
∆𝑆𝑆
∆𝑡𝑡
 
90 − 60 =
5
∆𝑡𝑡
 
∆𝑡𝑡 =
5
30
=
1
6
ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 
1 ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 
 
1
6
ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 
𝑥𝑥 =
1
6
. 60 = 10 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑜𝑜𝑚𝑚 
 
 
𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
∆𝑆𝑆
∆𝑡𝑡
 
𝑣𝑣𝑟𝑟á𝑥𝑥𝑟𝑟 − 𝑣𝑣ô𝑛𝑛𝑟𝑟𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =
∆𝑆𝑆
∆𝑡𝑡
 
90 − 60 =
5
∆𝑡𝑡
 
∆𝑡𝑡 =
5
30
=
1
6
ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 
1 ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 60 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 
 
1
6
ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 
𝑥𝑥 =
1
6
. 60 = 10 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑜𝑜𝑚𝑚 
 
2. 
I. ∆𝑆𝑆 = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆0 
∆𝑆𝑆 = (2 + 3. 22 + 4. 23) − (2 − 3. 02 + 4. 03) 
∆𝑆𝑆 = (2 + 12 + 32) − (2) 
∆𝑆𝑆 = 44𝑚𝑚 
𝑣𝑣 =
∆𝑆𝑆
∆𝑡𝑡
=
44
2
= 22𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆0 + 𝑣𝑣0𝑡𝑡 +
𝑔𝑔
2
𝑡𝑡2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 6𝑡𝑡 + 12𝑡𝑡2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 6(2) + 12(2)2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 12 + 48 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 60𝑚𝑚/𝑠𝑠 
II. 
∆𝑆𝑆 = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆0 
∆𝑆𝑆 = (2 + 3. 22 + 4. 23) − (2 − 3. 02 + 4. 03) 
∆𝑆𝑆 = (2 + 12 + 32) − (2) 
∆𝑆𝑆 = 44𝑚𝑚 
𝑣𝑣 =
∆𝑆𝑆
∆𝑡𝑡
=
44
2
= 22𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆0 + 𝑣𝑣0𝑡𝑡 +
𝑔𝑔
2
𝑡𝑡2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 6𝑡𝑡 + 12𝑡𝑡2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 6(2) + 12(2)2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 12 + 48 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 60𝑚𝑚/𝑠𝑠 
GABARITO
GABARITO
III. 
∆𝑆𝑆 = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆0 
∆𝑆𝑆 = (2 + 3. 22 + 4. 23) − (2 − 3. 02 + 4. 03) 
∆𝑆𝑆 = (2 + 12 + 32) − (2) 
∆𝑆𝑆 = 44𝑚𝑚 
𝑣𝑣 =
∆𝑆𝑆
∆𝑡𝑡
=
44
2
= 22𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆0 + 𝑣𝑣0𝑡𝑡 +
𝑔𝑔
2
𝑡𝑡2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 6𝑡𝑡 + 12𝑡𝑡2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 6(2) + 12(2)2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 12 + 48 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 60𝑚𝑚/𝑠𝑠 
IV. Não, pois a função que descreve o movimento de queda livre é uma função 
do segundo grau e não do terceiro.
∆𝑆𝑆 = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆0 
∆𝑆𝑆 = (2 + 3. 22 + 4. 23) − (2 − 3. 02 + 4. 03) 
∆𝑆𝑆 = (2 + 12 + 32) − (2) 
∆𝑆𝑆 = 44𝑚𝑚 
𝑣𝑣 =
∆𝑆𝑆
∆𝑡𝑡
=
44
2
= 22𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆0 + 𝑣𝑣0𝑡𝑡 +
𝑔𝑔
2
𝑡𝑡2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 6𝑡𝑡 + 12𝑡𝑡2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 6(2) + 12(2)2 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 12 + 48 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 60𝑚𝑚/𝑠𝑠 
3. Na origem dos espaçõs S = 0
0 = 𝑡𝑡2 − 4 
𝑡𝑡2 = 4 
𝑡𝑡 = 2𝑠𝑠 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 2𝑡𝑡 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 2.2 = 4𝑚𝑚/𝑠𝑠 
𝑎𝑎 =
𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 2 𝑚𝑚/𝑠𝑠2 
 
Como o exercício quer saber a velocidade e a aceleração no instante 2s, fazemos:
0 = 𝑡𝑡2 − 4 
𝑡𝑡2 = 4 
𝑡𝑡 = 2𝑠𝑠 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 2𝑡𝑡 
𝑣𝑣 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 2.2 = 4𝑚𝑚/𝑠𝑠 
𝑎𝑎 =
𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 2 𝑚𝑚/𝑠𝑠2 
 4. 
∆𝑡𝑡 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
1
60
ℎ 
𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 𝑘𝑘𝑚𝑚/ℎ ; 
∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑣𝑣. ∆𝑡𝑡 ; 
∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1.
1
60
 ; 
∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ 0,0167 𝑘𝑘𝑚𝑚 
16,7 𝑚𝑚 
𝑣𝑣𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 0,8 𝑘𝑘𝑚𝑚/ℎ ; 
∆𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑣𝑣. ∆𝑡𝑡 ; 
∆𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 0,8.
1
60
 ; 
∆𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ≅0,0133 𝑘𝑘𝑚𝑚 
13,3 𝑚𝑚 
∆𝑡𝑡 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
1
60
ℎ 
𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 𝑘𝑘𝑚𝑚/ℎ ; 
∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑣𝑣. ∆𝑡𝑡 ; 
∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1.
1
60
 ; 
∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ 0,0167 𝑘𝑘𝑚𝑚 
16,7 𝑚𝑚 
𝑣𝑣𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 0,8 𝑘𝑘𝑚𝑚/ℎ ; 
∆𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑣𝑣. ∆𝑡𝑡 ; 
∆𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 0,8.
1
60
 ; 
∆𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ≅ 0,0133 𝑘𝑘𝑚𝑚 
13,3 𝑚𝑚 
𝑑𝑑 = 16,7 − 13,3 ≅ 3,1 𝑚𝑚 
GABARITO
55
5. �⃗�𝑎 = 3𝑖𝑖 + 0𝑗𝑗 
�⃗⃗�𝑏 = 0𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗 
𝑐𝑐 = −2𝑖𝑖 + 0𝑗𝑗 
𝑑𝑑 = 0𝑖𝑖 − 1𝑗𝑗 
�⃗⃗�𝑅 = 1𝑖𝑖 + 1𝑗𝑗 
|�⃗⃗�𝑅| = √(𝑅𝑅𝑥𝑥)2 + (𝑅𝑅𝑦𝑦)2 
|�⃗⃗�𝑅| = √(1)2 + (1)2 
|�⃗⃗�𝑅| = 1,41 
 
 
 
O módulo é determinado por:
�⃗�𝑎 = 3𝑖𝑖 + 0𝑗𝑗 
�⃗⃗�𝑏 = 0𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗 
𝑐𝑐 = −2𝑖𝑖 + 0𝑗𝑗 
𝑑𝑑 = 0𝑖𝑖 − 1𝑗𝑗 
�⃗⃗�𝑅 = 1𝑖𝑖 + 1𝑗𝑗 
|�⃗⃗�𝑅| = √(𝑅𝑅𝑥𝑥)2 + (𝑅𝑅𝑦𝑦)2 
|�⃗⃗�𝑅| = √(1)2 + (1)2 
|�⃗⃗�𝑅| = 1,41 
 
 
 
6. B.
U
N
ID
A
D
E II
Professor Dr. Michel Corci Batista
Professor Dr. Gilson Junior Schiavon
Professor Me. Danilo Corci Batista
MECÂNICA II
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Estudar as três leis de Newton e começar a aplicá-las na resolução de 
problemas envolvendo corpos em repouso e em movimento.
 ■ Compreender o conceito de trabalho.
 ■ Estudar os tipos de energia bem como suas transformações.
 ■ Estudar os tipos de colisões.
 ■ Estudar os princípios básicos das rotações e centro de massa.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Leis de Newton e suas aplicações
 ■ Trabalho de uma força
 ■ Energia Mecânica - Sistemas Conservativos e Dissipativos
 ■ Momento Linear e Colisões
 ■ Rotação e Centro de Massa
Introdução
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59
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, continuamos trabalhando com a área da Física conhecida como 
mecânica, no entanto o tema de estudo, agora, não será mais a cinemática, mas 
sim a Dinâmica Newtoniana. Essa é a parte da Física que estuda os movimentos, 
considerando as causas que os produzem e os modificam. Para isso, abordare-
mos os principais tipos de forças da mecânica e introduziremos as chamadas 
leis de Newton (lei da inércia, lei fundamental da dinâmica e lei da ação-reação) 
bem como suas aplicações.
No estudo da Dinâmica, será necessário o entendimento do conceito de 
massa, força, energia e outros. Para tanto, essa unidade é composta por cinco 
tópicos que procuram apresentar os conceitos essenciais para a compreensão 
dessa área da Física.
O primeiro tópico discute o conceito de força, as leis de Newton e suas apli-
cações; o segundo amplia a discussão e apresenta a definição de trabalho de uma 
força relacionando-o com o cotidiano; no terceiro, estudaremos os conceitos e as 
leis que regem os princípios da conservação e dissipação de energia bem como 
suas transformações, e ainda estudaremos como transferir energia por meio do 
trabalho, relacionando este tópico com o anterior. No quarto tópico, faremos o 
estudo de uma grandeza física conhecida como momento linear ou quantidade 
de movimento. Este estudo servirá de base para discutirmos o tema colisões. Para 
o entendimento dos tipos de colisões (elástica, parcialmente elástica e inelástica) 
faremos uma relação com a unidade anterior utilizando o conceito de energia.
Para concluirmos os estudos dessa unidade, discutiremos o movimento 
de rotação, evidenciando os conceitos de momento de inércia, energia ciné-
tica de rotação, momento angular e torque. Faremos, aqui, a comparação entre 
o movimento de translação e o movimento de rotação, buscando estabelecer 
uma correlação entre eles. Por fim, estudaremos o conceito de centro de massa.
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E60
LEIS DE NEWTON E 
SUAS APLICAÇÕES
Esta é a parte da Física que está pre-
ocupada em responder por que os 
movimentos acontecem. Até agora, 
apenas descrevemos, algebricamente, 
os movimentos, mas sem preocupação 
com as suas causas. Newton, ao escre-
ver seu livro “Princípios Matemáticos 
da Filosofia Natural” deu-nos condi-
ções, por meio de leis físicas, para 
entender por que os movimentos 
acontecem. Para iniciarmos o estudo da Dinâmica, precisamos definir o con-
ceito de força, que, muitas vezes, se confunde com outras grandezas físicas.
FORÇA
Força é o resultado da interação entre dois corpos, também pode ser entendida 
como um agente físico capaz de deformar um corpo, ou alterar a sua velocidade 
vetorial, ou as duas coisas, simultaneamente.
PRIMEIRA LEI DE NEWTON - PRINCÍPIO DA INÉRCIA
Quando a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre um corpo é nula, 
dizemos que se esse corpo encontra-se em repouso e tenderá a permanecer em 
repouso, já se esse corpo estiver em movimento com velocidade constante, ele 
continuará em movimento, em linha reta e com velocidade constante.
Leis de Newton e suas Aplicações
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REFERENCIAIS INERCIAIS
Uma pergunta importante que devemos nos fazer para a compreensão da 
primeira lei é: o corpo está em repouso em relação a quê? Ou em movi-
mento com velocidade constante em relação a quê? Ou seja, precisamos 
definir um referencial.
Um referencial onde a 1ª Lei de Newton é válida diz-se referencial de 
inércia ou simplesmente referencial inercial, e esse é um referencial para 
todo e qualquer corpo sujeito a uma força resultante nula, ou seja, um refe-
rencial inercial é aquele que não possui aceleração. Qualquer referencial 
acelerado (�⃗�𝑎 ≠ 0⃗⃗ ) relativamente a um referencial inercial denomina-se refe-
rencial não inercial.
Todo o corpo permanece no seu estado de repouso ou de movimento uni-
forme retilíneo, a não ser que seja compelido a mudar esse estado devido à 
ação de forças aplicadas.
Um sistema de referencial fixo à superfície da Terra pode ser considerado, 
com boa aproximação, um sistema de referencial inercial.
Fonte: Tipler e Mosca (2006).
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E62
SEGUNDA LEI DE NEWTON: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA 
DINÂMICA
Se a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo for diferente de 
zero, surge no corpo, então, uma aceleração, diretamente proporcional à força 
resultante e inversamente proporcional à massa do corpo.
A direção e o sentido da aceleração são os mesmos da força resultante,
�⃗�𝑎 =
�⃗�𝐹𝑅𝑅
𝑚𝑚
 
�⃗�𝐹𝑅𝑅 = 𝑚𝑚. �⃗�𝑎 
�⃗�𝐹1 = �⃗�𝐹2 e 𝑚𝑚1 > 𝑚𝑚2 
�⃗�𝑎1 < �⃗�𝑎2 
 
que pode ser escrita da seguinte forma:
�⃗�𝑎 =
�⃗�𝐹𝑅𝑅
𝑚𝑚
 
�⃗�𝐹𝑅𝑅 = 𝑚𝑚. �⃗�𝑎 
�⃗�𝐹1 = �⃗�𝐹2 e 𝑚𝑚1 > 𝑚𝑚2 
�⃗�𝑎1 < �⃗�𝑎2 
 
Onde m é a denominada massa inercial medida em kg e caracteriza o corpo do ponto 
de vista mecânico. É independente da forma do corpo, da sua constituição, da sua 
velocidade e apenas dependente da quantidade de matéria que o constitui. 
�⃗�𝑎 =
�⃗�𝐹𝑅𝑅
𝑚𝑚
 
�⃗�𝐹𝑅𝑅 = 𝑚𝑚. �⃗�𝑎 
�⃗�𝐹1 = �⃗�𝐹2 e 𝑚𝑚1 > 𝑚𝑚2 
�⃗�𝑎1 < �⃗�𝑎2 
 
 é a 
força resultante medida em N e �⃗�𝑎 = �⃗�𝐹𝑅𝑅
𝑚𝑚
 
�⃗�𝐹𝑅𝑅 = 𝑚𝑚. �⃗�𝑎 
�⃗�𝐹1 = �⃗�𝐹2 e 𝑚𝑚1 > 𝑚𝑚2 
�⃗�𝑎1 < �⃗�𝑎2 
 
 é a aceleração do corpo medida em m/s2.
Assim, se:
�⃗�𝑎 =
�⃗�𝐹𝑅𝑅
𝑚𝑚
 
�⃗�𝐹𝑅𝑅 = 𝑚𝑚. �⃗�𝑎 
�⃗�𝐹1 = �⃗�𝐹2 e 𝑚𝑚1 > 𝑚𝑚2 
�⃗�𝑎1 < �⃗�𝑎2 
 
então,�⃗�𝑎 =
�⃗�𝐹𝑅𝑅
𝑚𝑚
 
�⃗�𝐹𝑅𝑅 = 𝑚𝑚. �⃗�𝑎 
�⃗�𝐹1 = �⃗�𝐹2 e 𝑚𝑚1 > 𝑚𝑚2 
�⃗�𝑎1 < �⃗�𝑎2 
 
e se diz que o corpo 1 possui maior inércia ao movimento, pois possui maior 
massa inercial. A massa é uma propriedade do corpo que lhe permite resistir a 
qualquer variação na sua velocidade.
A variação de movimento é proporcional à força motriz aplicada e se dá na 
direção da reta, segundo a qual a força está aplicada.
Fonte: Newton (2004).
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63
FORÇA PESO
A força peso a que um corpo está sujeito é consequência do campo gravitacio-
nal criado pela Terra.
Todo corpo dotado de massa cria em torno de si um campo gravitacional. Quanto 
maior a massa do corpo maior o campo gravitacional associado a ele. Assim, 
o campo gravitacional da Terra pode ser determinado, levando em considera-
ção sua massa. Qualquer ponto material (corpo com dimensões desprezíveis, se 
comparado à Terra) dentro do campo gravitacional terrestre será atraído para o 
centro da Terra. Essa força de atração entre a Terra e o ponto material é deno-
minada força gravitacional, que chamamos também de força peso e que pode 
ser determinada por:
�⃗�𝑃 = 𝑚𝑚. 𝑔𝑔 
Onde, m é a massa do corpo medida em kg e �⃗�𝑃 = 𝑚𝑚. 𝑔𝑔 o vetor aceleração da gravidade 
medido em m/s2. 
Assim, podemos escrever:
Importante
• A massa (m) é uma propriedade intrínseca do corpo e é a mesma em qualquer 
local do universo em que esteja o corpo, isto é, a massa não varia com o local.
• A aceleração da gravidade varia de uma posição para outra, ou seja, cada locali-
dade possui um valor de g. 
• O peso de um corpo não é uma característica do corpo, pois varia de uma 
região para outra, proporcionalmente ao valor da gravidade local. 
TERCEIRA LEI DE NEWTON - PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO
De acordo com Newton, as forças sempre acontecem aos pares, assim, na 
interação entre dois corpos, as forças trocadas entre eles formam um par de 
forças ação e reação. Se o corpo B exerce uma força sobre o corpo A, então, o 
corpo A exerce sobre o corpo B uma força de mesma intensidade, de mesma 
direção e de sentido oposto. 
FBA FAB B
A
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E64
Figura 1 - Representação da lei da ação e reação
Fonte: os autores.
�⃗�𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ç𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓 𝐴𝐴 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵 
�⃗�𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ç𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓 𝐵𝐵 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴 
�⃗�𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 = −�⃗�𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴 
Importante
 ■ O par de ação e reação ocorrem em corpos diferentes, por isso jamais se 
anulam.
FORÇA NORMAL
Chamamos de normal a força de reação da superfície sobre o corpo, que é sem-
pre perpendicular à superfície. 
Importante: Força peso e força normal não formam um par de ação e reação.
A toda ação sempre se opõe uma reação igual, ou as ações mútuas de dois 
corpos são sempre iguais e dirigidas às partes contrárias.
Fonte: Newton (2004 ).
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Figura 2 - Representação da força normal
Fonte: Idelfranio ([2017], on-line)1.
FORÇA ELÁSTICA
Quando efetuamos uma força sobre uma mola, seu comprimento é alterado, ou seja, 
quando a mola é comprimida ou distendida, surge uma força elástica restauradora con-
trária à deformação. A lei de Hooke afirma que essa força é diretamente proporcional 
à variação sofrida no comprimento da mola, em relação à sua posição de equilíbrio. 
A constante de proporcionalidade da lei de Hooke é a constante elástica da mola.
F = - k.x
Onde F é a força elástica, k é a constante elástica característica da mola e x é a 
deformação sofrida pela mola em relação, à sua posição de equilíbrio (x = 0).
Figura 3 - Representação da força elástica em uma mola
Fonte: Os fundamentos da Física (2016, on-line)2.
θ θ
θ
x
y
α
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E66
PLANO INCLINADO
Quando colocamos um corpo sobre uma superfície inclinada de um ângulo Ө 
qualquer e sem atrito, o corpo fica sujeito à ação de apenas duas forças, a força 
peso ( �⃗�𝑃 
�⃗⃗�𝑁 
�⃗�𝑃 𝑥𝑥 
𝐹𝐹 𝑅𝑅 
�⃗�𝑃 𝑦𝑦 
 
 
 
), que é a interação à distância entre o corpo e a Terra e a força normal 
(
�⃗�𝑃 
�⃗⃗�𝑁 
�⃗�𝑃 𝑥𝑥 
𝐹𝐹 𝑅𝑅 
�⃗�𝑃 𝑦𝑦 
 
 
 
), que é resultado da interação de contato com à superfície, Figura 4 (a).
 (a) (b)
Figura 4 - (a) Representação das forças peso e normal; (b) Representação das componentes da força peso
Fonte: os autores.
De acordo com a Figura 4 (b) podemos perceber que a componente do peso 
�⃗�𝑃 
�⃗⃗�𝑁 
�⃗�𝑃 𝑥𝑥 
𝐹𝐹 𝑅𝑅 
�⃗�𝑃 𝑦𝑦 
 
 
 
 
possui o mesmo módulo que a força normal 
�⃗�𝑃 
�⃗⃗�𝑁 
�⃗�𝑃 𝑥𝑥 
𝐹𝐹 𝑅𝑅 
�⃗�𝑃 𝑦𝑦 
 
 
 
, mas atua no sentido contrário 
por isso podem se cancelar. Desse modo a força resultante 
�⃗�𝑃 
�⃗⃗�𝑁 
�⃗�𝑃 𝑥𝑥 
𝐹𝐹 𝑅𝑅 
�⃗�𝑃 𝑦𝑦 
 
 
 
, que atua sobre o 
corpo, é uma das componentes do peso, a chamada 
�⃗�𝑃 
�⃗⃗�𝑁 
�⃗�𝑃 𝑥𝑥 
𝐹𝐹 𝑅𝑅 
�⃗�𝑃 𝑦𝑦 
 
 
 
, que encontra-se na mesma 
direção da aceleração movimento. Temos que:
Px = P . senӨ
N = Py = P . cosӨ
FORÇA DE ATRITO
Força de atrito é uma força que se opõe ao movimento ou à tendência de movi-
mento. A força de atrito pode ser estática, de destaque (estática máxima) e 
dinâmica ou cinética. A expressão matemática que permite determinar a força 
de atrito é dada por:
força de destaque = ƒat estático-máxima
repouso movimento
dinâmico ou
cinético
estático
45º
ƒat estático
ƒmotriz (N)
ƒat (N)
ƒat dinâmico
Leis de Newton e suas Aplicações
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f at = µ.N
f at = módulo da força de atrito (N)µ = coeficiente de atrito
N = módulo da normal (N)
O coeficiente de atrito depende do estado de aspereza das superfícies de contato, 
ou seja, quanto mais áspera for a superfície, maior é o seu coeficiente de atrito. O 
coeficiente de atrito também pode variar com o estado de movimento do corpo, 
se o corpo estiver tendendo ao movimento, mas ainda estiver em repouso, damos 
o nome de coeficiente de atrito estático (µEstático), a partir do momento em que 
o corpo entra em movimento, ou seja, começa a se deslocar, damos o nome de 
coeficiente de atrito dinâmico (µDinâmico), isso fica evidente com a figura 5, onde 
podemos observar como varia a força de atrito com o aumento da força motriz.
Figura 5 - Representação do comportamento da força de atrito com a força motriz
Fonte: os autores.
Se a força de atrito é medida em newton no S.I. e força normal também é 
medida em newton então qual é a unidade do coeficiente de atrito?
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E68
É importante ressaltar que a força de atrito dinâmico é menor que a força de atrito 
estático máxima, o que se deve ao fato de o contato entre o corpo e a superfíciede apoio diminuir com o aumento da velocidade do corpo. Em alguns casos os 
atritos: estático e dinâmico podem ser considerados iguais. 
Daí temos: µEstático ≥ µDinâmico
FORÇA CENTRÍPETA
Diferentemente das forças que estudamos até agora, a força centrípeta não é uma 
força de contato ou uma força de campo, pois, de acordo com Newton, as for-
ças na natureza sempre acontecem aos pares, e nesse caso a força centrípeta não 
tem o seu par de ação e reação. Isso se dá, porque a força centrípeta é a força 
resultante que atua sobre o corpo quando este está em uma trajetória curvilínea, 
ou seja, a força centrípeta é a soma vetorial de todas as forças que agem sobre o 
corpo quando este encontra-se em uma trajetória curva.
Quando estudamos o movimento retilíneo uniforme variado, a força resul-
tante era responsável por alterar o módulo do vetor velocidade, agora, num 
movimento circular, por exemplo, é a força centrípeta que altera a direção e o 
sentido da velocidade �⃗�𝑣 
 
 
 
 do móvel.
Assim, podemos dizer que força centrípeta é uma força resultante (FC = FR) 
cujo sentido aponta para o centro c da curva, ou seja, quando uma partícula rea-
liza um Movimento Circular Uniforme (MCU), a resultante das forças que atuam 
nesse móvel é radial centrípeta, logo, tem a direção do raio da curva e sentido 
para o centro, como apresenta a figura 6.
v
Fc
R
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 6 - Representação da força centrípeta em uma partícula que descreve um MCU
Fonte: os autores.
O módulo da força centrípeta pode ser determinado por:
𝐹𝐹𝐶𝐶 =
𝑚𝑚. 𝑦𝑦2
𝑅𝑅
 
 
 
 
Onde:
m = massa (kg)
v = velocidade (m/s)
R = raio da trajetória (m)
 
 
 
F
dθ
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TRABALHO DE UMA FORÇA 
TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE
Trabalho é uma grandeza escalar que mede a variação de energia sofrida por 
um corpo. Imagine um corpo de massa M que, ao ser puxado por uma força 
constante de módulo F, sofre um deslocamento de módulo d, como apresen-
tado na Figura 7:
Figura 7 - Representação do deslocamento sofrido por um corpo puxado por uma força F 
Fonte: os autores.
O trabalho realizado por esta força pode ser calculado pela expressão matemá-
tica a seguir:
P = m . g
d = h
m
Trabalho de uma Força 
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71
𝑤𝑤 = �⃗�𝐹. 𝑑𝑑 = |𝐹𝐹|. |𝑑𝑑|. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 
 
 
onde:
Ө = o ângulo formado entre o vetor força e o vetor deslocamento;
w = o trabalho da força;
F = a força constante exercida sobre o corpo;
d = o deslocamento sofrido pelo bloco.
Unidade no Sistema Internacional - [Joule] = [N]. [m]
Importante: O trabalho é nulo, quando o corpo não recebe e nem libera ener-
gia por meio da ação da força.
w = 0| F | = 0 | d | = 0 | cos Ө = 0
TRABALHO DA FORÇA PESO
Nas proximidades da terra, a força peso pode ser considerada uma força cons-
tante e por isso o seu trabalho pode ser calculado pelo modelo estudado acima, 
como veremos a seguir:
Figura 8 - Representação do deslocamento vertical sofrido por um corpo sob a ação exclusiva da força peso 
Fonte: os autores.
MECÂNICA II
Reprodução proibida. A
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IIU N I D A D E72
O primeiro passo é encontrarmos o ângulo formado entre os vetores força (Peso) 
e deslocamento (altura).
Para essa situação : Ө = 0o ecos 0o = +1
w = F.d.cosӨ
w = m.g.h (+ 1)
w = m.g.h
TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL
Imagine agora que a força que fazemos sobre um corpo para efetuar um deslo-
camento não seja mais contínua, mas que varie com a posição do corpo. Então 
sempre que a força variar com a posição, podemos calcular o trabalho da seguinte 
forma:
𝑤𝑤 = ∫ 𝐹𝐹(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
= Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 
 
A força resultante em função do espaço (que define a posição do móvel) pode 
ser representada por um gráfico de Força por deslocamento. 
Se o trabalho é uma grandeza escalar, quando ele será considerado nega-
tivo?
F (N)
F (x)
A
0 xA xB x (m)
Trabalho de uma Força 
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73
Figura 9 - Representação gráfica da força variável em função da posição 
Fonte: os autores.
Dado um diagrama do valor algébrico da força atuante em uma partícula em 
função da sua posição, a “área” compreendida entre o gráfico e o eixo das posi-
ções expressa o valor algébrico do trabalho da força.
𝑤𝑤 = ∫ 𝐹𝐹(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
= Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 
 POTÊNCIA 
A potência mede a rapidez com que uma força realiza trabalho. Podemos defi-
nir a potência para um intervalo de tempo e também para um instante único.
𝑃𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜 =
𝑤𝑤
∆𝑡𝑡
 
𝑃𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝐹𝐹. 𝑣𝑣. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 
�⃗�𝐹 
�⃗�𝑣 
 
O ângulo θ é o ângulo formado entre o vetor 
𝑃𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜 =
𝑤𝑤
∆𝑡𝑡
 
𝑃𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝐹𝐹. 𝑣𝑣. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 
�⃗�𝐹 
�⃗�𝑣 
 
 e o vetor 
𝑃𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜 =
𝑤𝑤
∆𝑡𝑡
 
𝑃𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝐹𝐹. 𝑣𝑣. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 
�⃗�𝐹 
�⃗�𝑣 
 
.
A unidade de potência no SI é o watt (símbolo: W)
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E74
ENERGIA CINÉTICA (k)
A energia cinética mede a capacidade que a força resultante aplicada a um corpo 
tem em realizar trabalho para colocá-lo em movimento.
𝑘𝑘 =
1
2
𝑚𝑚. 𝑣𝑣2 
Onde:
m = massa (kg);
v = velocidade da partícula (m/s);
k = energia cinética (joule - J).
Pelo modelo matemático podemos fazer algumas considerações importantes 
sobre a energia cinética:
 ■ Energia cinética é uma grandeza escalar positiva.
 ■ Energia cinética depende do referencial adotado.
Importante:
Imagine que uma partícula inicialmente em repouso sofra a ação de uma 
força resultante horizontal e constante até atingir uma velocidade final v após 
se deslocar de uma distância d.
1) Das componentes da força resultante F, somente a componente tangen-
cial realiza trabalho, pois a componente centrípeta é sempre normal à tra-
jetória.
2) Força peso é uma força conservativa.
Fonte: os autores.
m m
v0 = 0 vf = v
d
F
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Figura 10 - Representação esquemática de uma partícula sofrendo uma variação em sua velocidade devido 
a ação de uma força
Fonte: os autores.
Nesse caso a força e o deslocamento possuem a mesma direção e sentido, isso 
implica que Ө = 0o, logo o trabalho pode ser determinado por:
w = FR.s.cosӨ
Como a força é constante podemos utilizar um formalismo matemático mais 
simples, fazendo:
FR = m.a e cos 0o = 1
w = m.a.d.1
mas:
𝑣𝑣2 = 𝑣𝑣0
2 + 2. 𝑎𝑎. 𝑑𝑑 
𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣0
2
2
 
𝑤𝑤 = 𝑚𝑚. (
𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣0
2
2
) 
𝑤𝑤 =
1
2
𝑚𝑚. 𝑣𝑣2 −
1
2
𝑚𝑚. 𝑣𝑣0
2 
𝑤𝑤 = ∆𝑘𝑘 
logo:
𝑣𝑣2 = 𝑣𝑣0
2 + 2. 𝑎𝑎. 𝑑𝑑 
𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣0
2
2
 
𝑤𝑤 = 𝑚𝑚. (
𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣0
2
2) 
𝑤𝑤 =
1
2
𝑚𝑚. 𝑣𝑣2 −
1
2
𝑚𝑚. 𝑣𝑣0
2 
𝑤𝑤 = ∆𝑘𝑘 
Assim, podemos dizer que o trabalho da força resultante sobre a partícula 
mede a variação da sua energia cinética. Damos a isso o nome de teorema 
da energia cinética.
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E76
ENERGIA POTENCIAL (U)
A energia potencial é uma forma de energia que está associada à configuração de um 
sistema de objetos que exercem forças uns sobre os outros. Se a configuração muda, 
a energia potencial também pode mudar. De maneira mais simples, dizemos que a 
energia potencial depende da posição da partícula em relação a um dado referencial.
A energia potencial também pode ser entendida como a energia armazenada 
no sistema. Estudaremos basicamente dois tipos de sistemas, o sistema Corpo-
Terra, ao qual daremos o nome de energia potencial gravitacional e o sistema 
Massa-Mola, ao qual daremos o nome de energia potencial elástica.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL (UG)
A energia potencial gravitacional mede a capacidade que a força peso aplicada 
a um corpo tem em realizar trabalho. Nas proximidades da Terra a força gra-
vitacional pode ser aproximada para m.g. Tomando como referência para Uo 
ponto y = 0 ; U (0)=0:
𝑈𝑈(𝑦𝑦) = 0 −∫(−𝑚𝑚. 𝑔𝑔)𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑦𝑦
0
 
𝑈𝑈(𝑦𝑦) = 𝑚𝑚. 𝑔𝑔. 𝑦𝑦 
Imagine que a partícula esteja inicialmente em repouso na posição A sofrendo 
a ação da força peso. Vamos admitir também que o solo é o nosso referencial. A 
energia potencial gravitacional será igual ao trabalho que a força peso realizaria 
para levar este corpo de A para B.
Se a força que atua sobre a partícula não fosse constante seria possível de-
monstrar o teorema da energia cinética?
P = m . g
y = h
B
referência h = 0m
A
m
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Figura 11 - Representação de uma partícula a uma posição y em relação à referência 
Fonte: os autores.
U (y) = m.g.y
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA (Ep)
A energia potencial elástica mede a capacidade que a força elástica aplicada a 
uma mola tem em realizar trabalho. Para isso, é necessário lembrarmos da lei 
de Hooke para a força elástica:
F = - k.x
Para a configuração de referência: x0 = 0 temos:
𝑈𝑈𝑥𝑥 − 𝑈𝑈𝑥𝑥0 = −𝑤𝑤 = − ∫𝐹𝐹(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 0 −∫(−𝑘𝑘. 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐹𝐹𝑥𝑥𝐹𝐹) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = +
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = −
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
 
 
A energia potencial gravitacional pode ser positiva, negativa ou nula. Será po-
sitiva quando o corpo estiver acima do referencial, negativa quando o corpo 
estiver abaixo do referencial e nula quando o corpo estiver no referencial.
Fonte: os autores.
MECÂNICA II
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rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E78
𝑈𝑈𝑥𝑥 − 𝑈𝑈𝑥𝑥0 = −𝑤𝑤 = − ∫𝐹𝐹(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 0 −∫(−𝑘𝑘. 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐹𝐹𝑥𝑥𝐹𝐹) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = +
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = −
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
 
 
Devemos lembrar que a área do gráfico da força em função do deslocamento é 
numericamente igual ao trabalho e que a energia potencial elástica mede a capa-
cidade que a força elástica tem para realizar trabalho. Temos:
𝑈𝑈𝑥𝑥 − 𝑈𝑈𝑥𝑥0 = −𝑤𝑤 = − ∫𝐹𝐹(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 0 −∫(−𝑘𝑘. 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐹𝐹𝑥𝑥𝐹𝐹) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = +
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = −
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
 
 
Em que k é a constante elástica e x, a deformação do sistema.
Assim, é muito importante ressaltar que:
𝑈𝑈𝑥𝑥 − 𝑈𝑈𝑥𝑥0 = −𝑤𝑤 = − ∫𝐹𝐹(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 0 −∫(−𝑘𝑘. 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐹𝐹𝑥𝑥𝐹𝐹) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = +
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = −
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
 
 
, quando a mola volta à sua posição de equilíbrio.
𝑈𝑈𝑥𝑥 − 𝑈𝑈𝑥𝑥0 = −𝑤𝑤 = − ∫𝐹𝐹(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 0 −∫(−𝑘𝑘. 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
0
 
𝑈𝑈(𝑥𝑥) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐹𝐹𝑥𝑥𝐹𝐹) =
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = +
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
𝑤𝑤 = −
1
2
𝑘𝑘. 𝑥𝑥2 
 
 
, quando a mola for alongada ou comprimida.
Forças conservativas são aquelas que não modificam a energia mecânica 
do sistema. É possível estabelecer uma classificação para os diversos tipos 
de forças por meio dos efeitos provocados por cada uma sobre a energia 
mecânica dos corpos. Por exemplo, a força peso tem a propriedade de trans-
formar a energia potencial gravitacional em energia cinética. A força de uma 
mola pode transformar a energia elástica em energia cinética. Esses dois ti-
pos de forças mencionadas, a gravitacional e a elástica, são exemplos de 
forças conservativas, pois tais forças não modificam a energia mecânica do 
sistema. Assim, podemos escrever que para forças conservativas:
w = -ΔU
Fonte: Brasil Escola (2017, on-line)3.
Energia Mecânica - Sistemas Conservativos e Dissipativos
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ENERGIA MECÂNICA - SISTEMAS CONSERVATIVOS E 
DISSIPATIVOS
A energia mecânica (E) é aquela energia encontrada em corpos em movi-
mento (energia cinética → K) e/ou armazenada em sistemas físicos (energia 
potencial → U). Podemos ter, ainda, a junção das duas situações e, então, dize-
mos que energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial em cada 
posição do sistema estudado. 
E = K + U
SISTEMAS CONSERVATIVOS
Devido à ausência do atrito, a energia mecânica permanece constante em qual-
quer ponto do sistema. Para compreendermos melhor essa ideia podemos fazer:
ΔU = -w
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E80
Mas, w = ΔK
𝑈𝑈𝑥𝑥 − 𝑈𝑈𝑥𝑥0 = −𝑤𝑤 
−(𝑈𝑈𝑓𝑓 − 𝑈𝑈𝑖𝑖) =
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑓𝑓
2 −
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑖𝑖
2 
𝑈𝑈𝑖𝑖 − 𝑈𝑈𝑓𝑓 =
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑓𝑓
2 −
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑖𝑖
2 
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑖𝑖
2 + 𝑈𝑈𝑖𝑖 =
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑓𝑓
2 + 𝑈𝑈𝑓𝑓 
1
2
𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 
𝐸𝐸 = 𝐾𝐾 + 𝑈𝑈 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 
SISTEMAS DISSIPATIVOS
Devido à força de atrito, parte da energia mecânica inicial do sistema transfor-
ma-se em calor (energia térmica), durante o movimento.
Eminicial > Emfinal
(Ecinicial + Epinicial) - wfat = Ecinicial - Epfinal
| wfat | = Edissipada= Eminicial - Emfinal
| wfat | = - ΔEMecânica 
Momento Linear E Colisões
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81
MOMENTO LINEAR E COLISÕES
Define-se quantidade de movimento ou momento linear de um corpo como 
sendo o produto de sua massa m pela sua velocidade 
| p | =m . | v | → →
| I | = | F | . Δt→ →
→| v | 
→| I | 
. O momento linear é 
uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e sentido da velocidade, e 
seu módulopode ser determinado por:
| p | =m . | v | → →
| I | = | F | . Δt→ →
→| v | 
→| I | A unidade do módulo do momento linear no SI é o kg.m/s.
IMPULSO DE UMA FORÇA CONSTANTE (
| p | =m . | v | → →
| I | = | F | . Δt→ →
→| v | 
→| I | )
É uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e sentido da força, e seu 
módulo pode ser determinado por:
| p | =m . | v | → →
| I | = | F | . Δt→ →
→| v | 
→| I | 
A unidade de intensidade do impulso no SI é o N.s.
IMPULSO DE UMA FORÇA VARIÁVEL
Imagina que a força que fazemos sobre um corpo para efetuar um deslocamento 
não seja mais constante, mas que varie com o tempo. Então, sempre que a força 
variar com tempo podemos calcular o impulso. Essa força variável também pode 
ser representada por um gráfico. Veja a Figura 12:
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E82
F (N)
F (t)
A
0 t0 tf t (s)
Figura 12 - Representação gráfica da força em função do tempo 
Fonte: os autores.
O módulo do impulso pode ser determinado por:
| I | = Δp→ →
I = F (t)dt = Área (Fxt)
t f
0t
∫
F = 0 → p = constante→ →R externa
p = p→inicial
→
final
m .V + m . V = m . V + m . V
1 12 21i 1f 2f2i
TEOREMA DO IMPULSO
Pelo teorema do impulso, podemos relacionar impulso e momento linear e cons-
tatar que elas são de mesma dimensão. 
| I | = Δp→ →
I = F (t)dt = Área (Fxt)
t f
0t
∫
F = 0 → p = constante→ →R externa
p = p→inicial
→
final
m .V + m . V = m . V + m . V
1 12 21i 1f 2f2i
SISTEMA MECANICAMENTE ISOLADO
Um sistema é isolado quando a força resultante externa aplicada a ele for nula. 
Neste caso, como a força é nula, o impulso será nulo, e a quantidade de movimento 
manterá-se constante (princípio da conservação da quantidade de movimento).| I | = Δp
→ →
I = F (t)dt = Área (Fxt)
t f
0t
∫
F = 0 → p = constante→ →R externa
p = p→inicial
→
final
m .V + m . V = m . V + m . V
1 12 21i 1f 2f2i
Momento Linear E Colisões
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COLISÕES
Em Física, podemos ter três tipos de colisões: as perfeitamente elásticas, as par-
cialmente elásticas e as inelásticas. Em uma colisão mecânica, podemos verificar 
duas fases distintas: a de deformação e a de restituição. A primeira tem início 
no instante em que os corpos entram em contato, passando a se deformar mutu-
amente, e termina quando um corpo para em relação ao outro. Nesse instante, 
tem início a segunda fase que, por sua vez, termina quando os corpos se sepa-
ram. A diferença entre uma colisão e outra está na fase de restituição, pois ela não 
ocorre em todas as colisões. A partir de agora, estudaremos cada tipo de colisão.
COLISÕES ELÁSTICAS
Imagine uma colisão frontal simples de dois corpos de massas diferentes. Se a ener-
gia cinética do sistema (corpo 1 + corpo 2) mantiver-se constante, antes e depois da 
colisão, podemos chamar esta colisão de elástica. O Momento Linear desse sistema 
(corpo 1 + corpo 2) é sempre conservado em uma colisão, seja ela elástica ou não.
Consideremos dois corpos, um de massa m1 e com velocidade v1 e outro de 
massa m2 com velocidade v2, sendo v1 > v2 , movendo-se em linha reta, conforme 
diagrama apresentado na Figura 13-a. Após um intervalo de tempo, os dois cor-
pos colidirão e isso provocará uma alteração na velocidade dos corpos, passando 
o corpo 1 a ter velocidade v1' e o corpo 2, v2', conforme diagrama apresentado na 
figura a seguir 13-b. Consideremos um referencial inercial para as grandezas veto-
riais velocidade e momento linear, com o sentido para a direita sendo positivo.
m1
v1
(a) (b)
Antes da colisão Depois da colisão
m2
v2
m1
v1’
m2
v2’
Figura 13 - Representação gráfica da força em função do tempo 
Fonte: os autores.
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E84
Aplicando o princípio da conservação do momento linear para o sistema (corpo 
1 + corpo 2), antes da colisão e após a colisão temos:
p = p→inicial
→
final
m .v + m . v = m . v ’ + m . v ’
1 12 21 1 22
K = Kinicial final
v
e = afastamentovaproximação
v ’ - v ’
e = v - v 
2 1
1 2
m .v + m . v = m . v’ + m . v’
1
1
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1
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2
2
2
21
2
1
2
1
2
Se a colisão for elástica, a energia cinética se conserva, logo:
p = p→inicial
→
final
m .v + m . v = m . v ’ + m . v ’
1 12 21 1 22
K = Kinicial final
v
e = afastamentovaproximação
v ’ - v ’
e = v - v 
2 1
1 2
m .v + m . v = m . v’ + m . v’
1
1
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1
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2
2
2
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2
1
2
1
2
COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO
Como vimos anteriormente, existem duas fases durante uma colisão: a deforma-
ção e a restituição. Considere os dois corpos 1 e 2 que foram usados de exemplo 
anteriormente. Observe que antes da colisão existe uma velocidade relativa de 
aproximação e, após, temos uma velocidade relativa de afastamento. O coeficiente 
de restituição é definido como sendo a divisão entre a velocidade de afastamento 
pela velocidade de aproximação.
p = p→inicial
→
final
m .v + m . v = m . v ’ + m . v ’
1 12 21 1 22
K = Kinicial final
v
e = afastamentovaproximação
v ’ - v ’
e = v - v 
2 1
1 2
m .v + m . v = m . v’ + m . v’
1
1
2 12 21
2
1
2
2
2
2
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2
1
2
1
2
Para a colisão elástica, o coeficiente de restituição é máximo e = 1
COLISÕES PARCIALMENTE ELÁSTICAS
Nas colisões parcialmente elásticas, os corpos têm uma velocidade relativa não 
nula após a colisão, dessa forma, o coeficiente de restituição para uma colisão 
parcialmente elástica admite valores entre 0 e 1.
Momento Linear E Colisões
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p = p→inicial
→
final
m .v + m . v = m . v ’ + m . v ’
1 12 21 1 22
v ’ - v ’
e = v - v 
2 1
1 2
v ’ - v ’
e = v - v 
2 1
1 2
v ’ - v ’
0 = v - v 
2 1
1 2
0 ˂ e < 1 
v ’ - v ’0 . (v - v ) = 2 11 2
v ’ - v ’0 = 2 1
v ’ = v ’21
O momento linear é sempre conservado em uma colisão, sendo a colisão elástica, 
ou não. Assim, aplicando o princípio da conservação do momento linear, temos:
p = p→inicial
→
final
m .v + m . v = m . v ’ + m . v ’
1 12 21 1 22
v ’ - v ’
e = v - v 
2 1
1 2
v ’ - v ’
e = v - v 
2 1
1 2
v ’ - v ’
0 = v - v 
2 1
1 2
0 ˂ e < 1 
v ’ - v ’0 . (v - v ) = 2 11 2
v ’ - v ’0 = 2 1
v ’ = v ’21
COLISÕES INELÁSTICAS
Uma colisão inelástica é aquela na qual a energia cinética do sistema (corpo 1 + 
corpo 2) não é conservada. Como a energia cinética não é conservada, parte da 
energia é transformada em calor ou energia potencial de deformação. Para a coli-
são elástica, o coeficiente de restituição é e = 1, isso implica que, após a colisão, os 
corpos permanecem juntos, ou seja, a velocidade final é igual para os dois corpos 
que compõem o sistema. 
p = p→inicial
→
final
m .v + m . v = m . v ’ + m . v ’
1 12 21 1 22
v ’ - v ’
e = v - v 
2 1
1 2
v ’ - v ’
e = v - v 
2 1
1 2
v ’ - v ’
0 = v - v 
2 1
1 2
0 ˂ e < 1 
v ’ - v ’0 . (v - v ) = 2 11 2
v ’ - v ’0 = 2 1
v ’ = v ’21
Aplicando o Princípio da conservação do momento linear, o momento linear 
antes e depois da colisão podeser escrito como:
p = p→inicial
→
final
m .v + m . v = m . v ’ + m . v ’1 12 21 1 22
m .v + m . v = (m + m ) . v ’1 12 21 2
v ’ = v ’ = v ’21
MECÂNICA II
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E86
ROTAÇÃO E CENTRO DE MASSA
Até o presente momento, estudamos o movimento de translação, no qual a par-
tícula sofria um deslocamento ao receber uma força resultante não nula. A partir 
de agora, nossa partícula efetuará um movimento de rotação, ou seja, ela girará 
ao redor de um eixo fixo. As grandezas utilizadas no movimento de rotação são 
equivalentes às grandezas utilizadas no movimento de translação, considerando, 
é claro, o raio de giro. A relação entre as grandezas lineares e angulares, em cine-
mática, estão apresentadas no Quadro 1:
LINEAR ANGULAR RELAÇÃO ENTRE ELAS
Posição S (m) θ (rad) S = θ . R
Velocidade V (m/s) ω (rad/s) V = ω . R
Aceleração a (m/s2) σ (rad/s2) a = σ . R
Quadro 1 - Relação entre as grandezas lineares e angulares em cinemática
Fonte: os autores.
Rotação e Centro de Massa
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87
A posição angular de uma partícula em um certo instante é o ângulo marcado 
no sentido do movimento, a partir do raio de referência até o raio que passa pela 
partícula. A posição angular (θ) é igual a posição linear (S) dividida pelo raio 
(R) do movimento
� = SR
� = Δ
Δt
� = Δ�
Δt
� = vR
� = aR
S = S + v .t + a.t → = + � .t + � .t
0
2
0
2
0 0
1
2
1
2
v = v + a.t → � = � + �.t 
00
v = v + 2a.ΔS → � = � + 2�.Δ 
00
2 2 2 2
onde θ é dado em radianos.
A velocidade angular é o quociente do deslocamento angular (Δ) pelo inter-
valo de tempo (Δt), medida em rad/s.� = SR
� = Δ
Δt
� = Δ�
Δt
� = vR
� = aR
S = S + v .t + a.t → = + � .t + � .t
0
2
0
2
0 0
1
2
1
2
v = v + a.t → � = � + �.t 
00
v = v + 2a.ΔS → � = � + 2�.Δ 
00
2 2 2 2
E a relação entre as velocidades angular e escalar é dada por:
� = SR
� = Δ
Δt
� = Δ�
Δt
� = vR
� = aR
S = S + v .t + a.t → = + � .t + � .t
0
2
0
2
0 0
1
2
1
2
v = v + a.t → � = � + �.t 
00
v = v + 2a.ΔS → � = � + 2�.Δ 
00
2 2 2 2
A aceleração angular é o quociente da variação da velocidade angular (Δω) pelo 
intervalo de tempo (Δt), medida em rad/s2.
� = SR
� = Δ
Δt
� = Δ�
Δt
� = vR
� = aR
S = S + v .t + a.t → = + � .t + � .t
0
2
0
2
0 0
1
2
1
2
v = v + a.t → � = � + �.t 
00
v = v + 2a.ΔS → � = � + 2�.Δ 
00
2 2 2 2
E a relação entre as acelerações angular e escalar é dada por:
� = SR
� = Δ
Δt
� = Δ�
Δt
� = vR
� = aR
S = S + v .t + a.t → = + � .t + � .t
0
2
0
2
0 0
1
2
1
2
v = v + a.t → � = � + �.t 
00
v = v + 2a.ΔS → � = � + 2�.Δ 
00
2 2 2 2
Dessa forma, todas as relações utilizadas para o movimento de translação com 
aceleração constante podem ser escritas também para o movimento de rotação 
com aceleração angular constante.
� = SR
� = Δ
Δt
� = Δ�
Δt
� = vR
� = aR
S = S + v .t + a.t → = + � .t + � .t
0
2
0
2
0 0
1
2
1
2
v = v + a.t → � = � + �.t 
00
v = v + 2a.ΔS → � = � + 2�.Δ 
00
2 2 2 2
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E88
DINÂMICA DAS ROTAÇÕES
Imagina que um corpo maciço, homogêneo e rígido de raio r está girando com 
velocidade angular constante em torno de um eixo axial que passa pelo seu cen-
tro. A energia cinética total de rotação desse corpo será igual à soma das energias 
cinéticas de cada uma das partículas que o formam, isto é:
k = ∑ k = ∑ k = m.vii
i
n
i
n
21
2
k = ∑ m.R .�
i
n
2 21
2
k = .� ∑ m .R 
i
i i
n
2 21
2
K = I� 21
2
I = ∑ m .R 
i
i i
n
2
Mas v = ω . R
k = ∑ k = ∑ k = m.vii
i
n
i
n
21
2
k = ∑ m.R .�
i
n
2 21
2
k = .� ∑ m .R 
i
i i
n
2 21
2
K = I� 21
2
I = ∑ m .R 
i
i i
n
2
No entanto o termo 
k = ∑ k = ∑ k = m.vii
i
n
i
n
21
2
k = ∑ m.R .�
i
n
2 21
2
k = .� ∑ m .R 
i
i i
n
2 21
2
K = I� 21
2
I = ∑ m .R 
i
i i
n
2
 representa o momento de inércia do corpo rígido. 
Assim, a energia cinética de rotação do cilindro será dada por:
k = ∑ k = ∑ k = m.vii
i
n
i
n
21
2
k = ∑ m.R .�
i
n
2 21
2
k = .� ∑ m .R 
i
i i
n
2 21
2
K = I� 21
2
I = ∑ m .R 
i
i i
n
2Onde I simboliza o momento de inércia do corpo rígido, ou seja:
k = ∑ k = ∑ k = m.vii
i
n
i
n
21
2
k = ∑ m.R .�
i
n
2 21
2
k = .� ∑ m .R 
i
i i
n
2 21
2
K = I� 21
2
I = ∑ m .R 
i
i i
n
2
Onde mi é a massa de cada partícula, e Ri sua distância ao eixo de rotação. Assim, 
sua unidade de medida é expressa por: kg.m2.
Esse momento de inércia pode ser entendido como uma "dificuldade" (ou 
resistência) ao movimento de rotação. Essa dificuldade de girar, denominada 
momento de inércia, está relacionada à maneira como a massa do corpo está 
distribuída em torno do eixo de rotação.
Rotação e Centro de Massa
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89
Agora, calcularemos o momento de inércia do corpo rígido que gira em torno de 
um eixo axial que passa pelo seu centro. Como existem muitas partículas no corpo 
rígido, não é possível somar discretamente todas elas, então, trocamos o termo:
k = ∑ k = ∑ k = m.vii
i
n
i
n
21
2
k = ∑ m.R .�
i
n
2 21
2
k = .� ∑ m .R 
i
i i
n
2 21
2
K = I� 21
2
I = ∑ m .R 
i
i i
n
2
Pela integral, tal que:
I = ∫ R dm 
i
n
2
Para calcular o momento de inércia, é necessário conhecer a geometria do 
objeto bem como o eixo em torno do qual a rotação está sendo realizada. Para 
tal, quando se fizer necessário, recorreremos à Figura 14 .
Figura 14 - Equações que descrevem os momentos de inércia
Fonte: adaptado de Halliday, Walker e Resnick (2012, p. 263).
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E90
TORQUE
Quando uma força atua sobre um corpo (partícula), este não se move apenas na 
direção da força, geralmente, também gira em redor de algum ponto. Temos que:
Torque = braço da alavanca x força
τ = r x F = │r│.│F│.sen�→ → → → →
L = r x p → →
L = m.(r x p) → →
L = m.│r│.│v│. sen�→ →
Onde F é a força, e r sua distância ao eixo de rotação. Assim, sua unidade de 
medida do torque é expressa por: N.m.
Importante: O torque, τ , é perpendicular ao plano determinado por r e F.
MOMENTO ANGULAR
O momento angular relativo a um ponto O de uma partícula de massa m que se 
move com velocidade v (e, portanto, com o momento p = m.v) é definido pelo 
produto vetorial: τ = r x F = │r│.│F│.sen�
→ → → → →
L = r x p → →
L = m.(r x p) → →
L = m.│r│.│v│. sen�→ →
Importante: O momento angular, L, é perpendicular ao plano determinado por 
r e v, como mostra a Figura 15.
Rotação e Centro de Massa
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91
L
0
r
m θ
v
Figura 15: - Representação do momento angular L em relação ao plano determinado por r e v.
Fonte: os autores.
O momento angular também pode ser representado por:
L = I.ω
Existe uma relação direta entre momento angular e torque, e essa é dada por:
τ = 
dL
dt
r x F =→ → dLdt
Assim, a taxa de variação do momento angular de uma partícula é igual ao tor-
que sobre ela realizado.
É possível demonstrar que 
τ = 
dL
dt
r x F =→ → dLdt ?
MECÂNICA II
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IIU N I D A D E92
Quando consideramos um sistema de partículas, a variação do momento angu-
lar total é igual ao torque externo.
= τ
dL
dt
= 0
dL
dt
Se esse sistema estiver isolado, ou seja, se o torque externo for nulo, o momento 
angular total será uma constante.
= τ
dL
dt
= 0
dL
dt
Assim, podemos dizer que o momento angular da partícula é constante.
L = constante
Linicial = Lfinal
L1 + L2 = L1' + L2'
I1.ω1 + I2.ω2 = I1.ω1' + I2.ω2'
CENTRO DE MASSA
Mesmo quando um corpo gira, ou vibra, existe um ponto nesse corpo, chamado 
centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única 
partícula. Ainda que o sistema não seja um corpo rígido, mas um conjunto de 
partículas, pode ser definido para ele um centro de massa, como veremos adiante.
De modo geral, podemos pensar no centro de massa de um corpo como sendo o 
ponto em que poderíamos concentrar toda sua massa. Em objetos simétricos, o 
centro de massa coincide com o centro geométrico dos objetos, como na Figura 16:
Centro de gravidade é a mesma coisa que centro de massa?
Rotação e Centro de Massa
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93
Figura 16 - Centro de massa de objeto simétrico
Fonte: os autores.
SISTEMA DE PARTÍCULAS - UMA DIMENSÃO
Definiremos, inicialmente, a posição xCM do centro de massa para um sistema 
composto de duas partículas de massas m1 e m2 e que ocupam as posições x1 e 
x2, conforme representado na Figura 17:
m1
y
x1
x2
x
m2
Figura 17 - Representação das posições dos centros de massa de duas partículas em relação ao eixo x
Fonte: os autores.
x = 
m .x + m .x 
m + m 
21
2211
CM
x = 
m .x + m .x + m .x + ... m .x 
m + m + m + ... m 
2 3 n1
2 3 3 n n211
CM
y = 
m .y + m .y + m .y + ... m .y 
m + m + m + ... m 
2 3 n1
2 3 3 n n211
CM
Generalizando, para duas dimensões temos:
x = 
m .x + m .x 
m + m 
21
2211
CM
x = 
m .x + m .x + m .x + ... m .x 
m + m + m + ... m 
2 3 n1
2 3 3 n n211
CM
y = 
m .y + m .y + m .y + ... m .y 
m + m + m + ... m 
2 3 n1
2 3 3 n n211
CM
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IIU N I D A D E94
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta Unidade procurou dar continuidade à Unidade anterior, ou seja, continu-
amos discutindo os movimentos, mas agora procurando explicar suas origens, 
a parte da Física que procura explicar as origens dos movimentos é chamada de 
Dinâmica. Para isso, exploramos as principais forças da mecânica (força peso, 
força normal, força de tração, força de atrito e força elástica) e procuramos 
enunciar as três leis propostas por Newton (1ª Lei: Princípio da Inércia, 2ª Lei: 
Princípio Fundamental da Dinâmica e 3ª Lei: Princípio da Ação-Reação) que 
regem todos os movimentos no interior da Terra.
Aqui, você pôde conhecer melhor o conceito de energia e ainda compreen-
der como esta pode ser transformada, sendo conservada ou dissipada. Ainda, 
se ligado à ideia de energia, abordamos o termo “trabalho”, que está diretamente 
relacionado à energia cinética e potencial e novamente se faz presente em diversas 
atividades diárias. Fizemos, também, um estudo das colisões (elástica, parcial-
mente elásticas e inelásticas), verificando suas características principais.
Na sequência, você foi apresentado(a) à cinemática e à dinâmica das rota-
ções, em que foi possível comparar corpos que se movimentam em linha reta 
com corpos que giram. Nesse contexto, você, aluno(a), apropriou-se dos con-
ceitos de momento de inércia, energia cinética de rotação, momento angular e 
torque. Além de comparar os dois tipos de movimentos, foi possível estabelecer 
correlações entre eles, aprendendo ainda uma nova nomenclatura a fim de dife-
renciar cada tipo de movimento.
Por fim, estudamos centro de massa, equilíbrio e o centro de gravidade. Eles 
norteiam você, aluno(a), sobre como as forças podem agir em um corpo, mas, 
mesmo assim, o corpo mantém-se estático, e a como estudar um agrupamento 
de partículas individuais, mas que se movem em conjunto.
95 
1. “Um taxista de 64 anos morreu na manhã desta terça-feira (25), na BA-263, 
trecho do município de Itapetinga, no sudoeste da Bahia, após colidir de fren-
te com um caminhão o carro que dirigia. Segundo informações da 3ª Compa-
nhia do Batalhão de Polícia Rodoviária, o acidente ocorreu pouco antes das 
9h” (G1, 2016, on-line)4.
Dados:
Massa do carro = 800kg
Massa da carreta = 8000kg
Tomando como base as Leis de Newton e a notícia apresentada, assinale o que 
for correto:
e) No ato da colisão, o carro fica mais destruído que a carreta, porque a força 
que a carreta exerce sobre o carro é maior que a força que o carro exerce 
sobre a carreta.
f ) No ato da colisão, a carreta fica mais destruída que o carro, porque a força 
que o carro exerce sobre a carreta é maior que a força que a carreta exerce 
sobre o carro.
g) Se momentos antes da colisão os dois móveis mantinham velocidades cons-
tantes, podemos afirmar que a inércia do carro era maior que a da carreta.
h) Mesmo que o carro tenha sofrido um estrago muito maior que a carreta, po-
demos afirmar que a força exercida pelo carro sobre ela foi igual à força exer-
cida pela carreta sobre o carro.
i) A primeira Lei de Newton garante que, na ausência de forças externas, é im-
possível um corpo estar em movimento.
2. O esquema seguinte representa dois blocos: A e B , de massas 6 kg e 4 kg respec-
tivamente, inicialmente em repouso, ligados por um fio ideal. O coeficiente de 
atrito entre o plano horizontal e o bloco A vale 0,4 respectivamente. A aceleração 
da gravidade vale g = 10 m/s². Determine a tração no fio.
 A
B
96 
a) 1,6 N.
b) 16 N.
c) 24,2 N.
d) 28,6 N.
e) 33,6 N.
3. Sobre a energia mecânica e a conservação de energia, assinale o que for correto.
a) Denomina-se energia cinética a energia que um corpo possui, por este estar 
em movimento, e essa pode ser positiva ou negativa.
b) Pode-se denominar energia potencial gravitacional a energia armazenada 
em um sistema massa-mola.
c) A energia mecânica total de um corpo é conservada, mesmo com a ocorrên-
cia de atrito.
d) Energia é uma grandeza vetorial medida em joules.
e) O trabalho da força resultante sobre um corpo pode ser determinado pela 
variação da sua energia cinética.
4. Sabendo-se que a força é função do deslocamento, e é dada por: 
F = 3x2
Calcule o trabalho realizado por esta força quando o corpo é empurrado da 
posição 0 m até a posição 3m.
a) 9J.
b) 17J.
c) 27J.
d) 30 J.
e) 37J.
5. Uma caixa (A) de massa 500 g está parada ao final de uma esteira e é atingida por 
outra caixa (B) de massa 800 g e que vem pela esteira com velocidade de 1 m/s. 
Após o choque, as caixas movem-se juntas, e as forças de atrito são desprezíveis. 
A velocidadecomum, após o choque entre as caixas, em m/s é igual a:
a) 1.
b) 0,82.
c) 0,76.
d) 0,61.
e) 0.2.
97 
O Caso da maçã
Em 1687, Isaac Newton publicou seu 
livro Princípios Matemáticos da Filosofia 
Natural, no qual estabelece as categorias 
para o desenvolvimento de uma Filoso-
fia Natural mecanicista: As três leis da 
Mecânica, os conceitos de força, massa 
e o tratamento de trajetórias curvas. Na 
última parte do livro, ele formula a Lei da 
Gravitação Universal.
Uma lenda na História da Física é a da 
queda da maçã. Newton tentava enten-
der por que a Lua não se afasta da Terra. 
Em 1660, quando passeava em um jar-
dim, observou uma maçã caindo de uma 
árvore; isso o teria feito pensar que, talvez, 
o ''poder" responsável pela queda da maçã 
atuasse, também, na Lua, de modo que a 
Lua estaria continuamente ''caindo" para a 
Terra, o que a impediria de se afastar.
Segundo Isaac Bernard Cohen, na época 
da alegada queda da maçã Newton não 
estava preparado para descobrir a Gravi-
tação Universal, pois não possuía, ainda, 
as ferramentas conceituais que, de fato, o 
levaram a conceber a lei. A ''história" teria 
sido inventada pelo próprio Newton para 
fortalecer e tornar crível sua alegação de 
que a descoberta da Gravitação Univer-
sal ocorrera cerca de 20 anos antes de sua 
publicação, no Princípios; ele se envolveu 
em uma contenda com Robert Hooke pela 
paternidade da lei (1/r2) e, então, anteci-
pou a descoberta da Gravitação Universal 
para um período anterior a uma troca de 
cartas com Hooke. Essa troca de cartas está 
na origem do Princípios.
Em novembro de 1679, Hooke escreveu a 
Newton, convidando-o a comentar sobre 
um método de sua autoria para descrever 
movimentos curvilíneos. Newton respon-
deu a Hooke que esse método lhe era 
desconhecido. Hooke apresentou, ainda, 
a Newton um problema, que pode ser para-
fraseado como se segue: Se um corpo sofre 
uma atração em direção a um centro, que 
tipo de curva seria sua órbita, se a ''atra-
ção" varia inversamente com o quadrado 
da distância? Newton não lhe respondeu, 
mas apresentou um outro problema. 
Quando, em 1684, Edmund Halley, o 
famoso astrônomo, visitou Newton e lhe 
fez a mesma pergunta, Newton teria res-
pondido, imediatamente, que, segundo 
seus cálculos, era uma elipse, porém não 
achou os cálculos. Halley insistiu, então, que 
ele escrevesse seus cálculos; o resultado, 
após alguns pequenos tratados (verda-
deiros rascunhos do trabalho maior) foi o 
Princípios Matemáticos da Filosofia Natu-
ral. Com uma leitura cuidadosa do livro de 
Newton e de seus cadernos de notas, I.B. 
Cohen propõe que:
1. Newton chegou à Gravitação Universal 
por uma aplicação de sua Terceira Lei.
2. A Terceira Lei só foi formulada por ele, no 
último rascunho do Princípios, por volta de 
1685. Logo, a história da maçã é falsa, pois 
teria ocorrido 20 anos antes.
3. Foi aplicando o método de Hooke que 
Newton aprendeu a tratar trajetórias curvas.
Fonte: Dias; Santos e Souza (2004).
MATERIAL COMPLEMENTAR
Física I - Mecânica
Young & Freedman, Sears & Zemansky 
Editora: Pearson
Sinopse: essa obra discute os princípios fundamentais de mecânica 
(cinemática e dinâmica). Ela dialoga com o aluno de maneira muito didática, 
evidenciando as aplicações da física. Sua clareza e didática minuciosas, assim 
como a extensa gama de exercícios e exemplos explicativos, desenvolvem 
nos alunos habilidades de identi� cação, estabelecimento, execução e 
avaliação de problemas.
Neste link: <http://www.ghtc.usp.br/server/pdf/RAM-livro-Cibelle-Newton.pdf>, você encontrará 
um texto que discute a história da maçã, tão falada nas aulas de física.
Você pode aprender a aplicar as Leis de Newton para calcular a força normal, a aceleração de 
bloco e a força de atrito em um plano inclinado, acessando o link:<https://www.youtube.com/
watch?v=-y6loNvx6pQ&index=16&list=PLf1lowbdbFI AXKjlOS52cyrdsyUx_RuS>.
Neste link: <https://www.youtube.com/watch?v=d1u5PKPro-0>, você aprenderá a calcular a força 
entre duas caixas em contato uma com a outra.
Isaac Newton: A Gravidade do Gênio (The gravity of genius)
Ano: 2013
Sinopse: este fi lme relata a vida do cientista Isaac Newton e suas principais
descobertas na ciência.
Comentário: este documentário é sobre Isaac Newton, cientista que 
estudamos no tópico “Leis de Newton e suas aplicações”, neste livro. O 
documentário discorre sobre as principais ideias deste grande cientista e, 
principalmente, que o seu trabalho não se limitou apenas ao estudo da 
Mecânica.
REFERÊNCIAS
DIAS, M.C.; SANTOS, W.M.S.; SOUZA, M.T.M. A J. A Gravitação Universal. In:
Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 26, n. 3, p. 257-271, 2004.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; E. WALKER, J.Fundamentos da Física. V. 1. 4.ed.- Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2012.
NEWTON, Isaac, Princípios Matemáticos de la Filosofia Natural, trad. Eloy Rada, 
Madrid, Alianza Editorial, 2004.
TIPLER, P.A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros - Mecânica, Oscilações e 
Ondas, Termodinâmica. 5.ed. LTC, 2006.
REFERÊNCIAS ON-LINE
1Em: <http://idelfranio.blogspot.com.br/2010/08/0068-normal-nunca-e-reacao-
-forca-peso_29.html>. Acesso em: 7 nov. 2017.
2Em: <http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2016/10/cursos-do-blog-
-mecanica_10.html>. Acesso em: 7 nov. 2017.
3Em: <http://brasilescola.uol.com.br/fisica/forcas-conservativas-forcas-dissipativas.
htm>. Acesso em: 7 nov. 2017.
4Em: <http://g1.globo.com/bahia/noticia/2016/10/taxista-morre-apos-colisao-
-frontal-entre-carro-e-caminhao-na-bahia.html>. Acesso em: 7 nov. 2017.
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GABARITO
1. Alternativa D.
A terceira Lei de Newton explica que independentemente da massa, para toda 
força de ação existe uma força de reação de mesmo módulo, mesma direção e 
sentido contrário.
2. 
a) Represente as forças existentes no sistema.
FAT
A
T
T
PB = 40N
B
PA = 60N
FN = 60N
b) Calcule a aceleração dos blocos.
FAT = µ.N
FAT = 0,4 . 60
FAT = 24 N
Fr = mA.a T - FAT = 6.a
Fr = mB.a PB - T = 4.a
 T - 24 = 6.a
 40 - T = 4.a
 40 - 24 = 10.a
 16/10 = a
 a =1.,6 m/s2
c) Calcule a tração no fio.
40 - T = 4.a
40 - T = 4. 1,6
40 - T = 6,4
40 - 6,4 = T
T = 33,6 N
GABARITO
⎨
⎨
GABARITO
101
3. Alternativa E.
4. 
w = ∫ F(x)dxx2
x1
w = ∫ 3x dx3 20
w = � �3x2 + 1 
2+1 3
0
w = � �3x3 
2 3
0
w = (x )33 0
w = 3 - 033
w = 9j
5. 
antes depoisp = p 
m .v + m .v = m .v ’ + m .v ’A B B B BA A A
m .v = (m + m ).v’B B BA
m .v 
(m + m )
B B
BA
= v’
0,8 . (1) 
(0,5 + 0,8)
= v’
0,8
(1,3)
= v’
v’ = 0,61 m/s
U
N
ID
A
D
E III
Professor Dr. Michel Corci Batista
Professor Dr. Gilson Junior Schiavon
Professor Me. Danilo Corci Batista
CALORIMETRIA E FLUIDOS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Compreender o que é temperatura e estudar as escalas 
termométricas e as Conversões entre elas.
 ■ Construir o conceito científico a respeito de Calor e defini-lo. 
Compreender o conceito de Quantidade de Calor a partir da 
Capacidade Térmica, do Calor Específico e do Calor de Transformação.
 ■ Apropriar-se dos conceitos de densidade e pressão. Estudar os 
fenômenos que envolvem a hidrostática, englobando os princípios 
de Stevin, Pascal e Arquimedes.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Temperatura
 ■ Calor
 ■ Hidrostática
Introdução
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INTRODUÇÃO
Chegamos à terceira unidade e, nela, estudaremos três tópicos relacionados aduas diferentes áreas da Física: calorimetria e fluidos. O primeiro tópico apre-
senta o conceito de temperatura bem como sua medição por meio do termômetro. 
Discute, ainda, alguns sistemas de medida de temperatura utilizados pelo mundo, 
em seguida, dá condições para que o aluno seja capaz de converter um sistema 
de medida em outro. Relaciona, também, os diferentes sistemas de medida de 
temperatura com o sistema internacional de medidas, que denominamos Kelvin. 
Já o segundo tópico versa sobre calorimetria, ramo da Física que estuda os 
fenômenos relacionados ao calor. Quando dois corpos com temperaturas dife-
rentes são colocados em contato, temos o calor. Este deve ser entendido como 
a passagem de energia térmica de um corpo de maior temperatura para outro 
de menor temperatura até que ambos atinjam o equilíbrio térmico. Esta área 
da Física é responsável pelo desenvolvimento de equipamentos para conserva-
ção de temperatura. O elemento “Reflita” desta unidade apresenta a questão de 
bons e maus condutores de calor. Nesse tópico, avançamos nossos estudos para 
os estados físicos de agregação da matéria e apresentamos o conceito de transi-
ção de fase bem como a respectiva nomenclatura utilizada para ela.
Em seguida, temos o tópico 3, que discute o tema hidrostática. Quem nunca 
se deparou com uma situação de pneu furado? Imagine só como seria trocar os 
pneus sem um macaco hidráulico. Seria algo praticamente impossível. Graças ao 
princípio de Pascal, que estudaremos nesta unidade, foi possível desenvolver as 
prensas e o macaco hidráulico, que nada mais são que multiplicadores de força.
Os conceitos de hidrostática ainda estão presentes em várias outras situ-
ações cotidianas. Neste terceiro tópico, trabalharemos ainda os conceitos de 
densidade, pressão, princípio de Stevin, princípio de Pascal, empuxo (ou prin-
cípio de Arquimedes).
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TEMPERATURA
Para descrever fenômenos físicos, é necessário considerar certa porção da maté-
ria denominada sistema, que delimitado pelas suas fronteiras. O ambiente ou 
vizinhança do sistema é a região do espaço que interage com o sistema por meio 
das suas fronteiras.
Para estudar as propriedades de um sistema, devemos definir certas gran-
dezas macroscópicas que podem ser avaliadas mediante sensações fisiológicas 
diretas ou por meio de medidas mais sofisticadas. Por exemplo, quando tocamos 
numa garrafa de refrigerante retirada do congelador, ou numa panela exposta ao 
fogo, temos sensações nitidamente diferentes. Dizemos que a garrafa está fria e 
que a panela está quente . Para descrever essa sensação, podemos afirmar que 
a temperatura da panela é maior que a temperatura da garrafa. A temperatura 
de um sistema é uma grandeza macroscópica que indica o grau de agitação das 
moléculas que constituem o sistema.
Quando tocando dois corpos, podemos dizer qual dos dois possui a tem-
peratura mais elevada, entretanto nossas sensações não são suficientes para 
determinar, com precisão, a temperatura desse corpo. Para determinar a tem-
peratura de um corpo, utilizamos um dispositivo denominado termômetro. 
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Colocando-se dois corpos com temperaturas diferentes em contato, verificamos 
que depois de certo tempo, denominado tempo de relaxamento do sistema, a 
temperatura dos dois corpos se iguala. Quando os dois corpos passam a ter a 
mesma temperatura, dizemos que eles atingiram o equilíbrio térmico. Mas, para 
isso, o corpo de maior temperatura forneceu energia térmica (ou calor) para o 
corpo de menor temperatura.
Podemos, então, afirmar que a energia térmica (ou o calor) é uma quantidade 
de energia que se transfere de um corpo de maior temperatura para um corpo 
de menor temperatura. Assim, a transmissão de calor de um corpo para outro 
ocorre sempre que existe uma diferença de temperatura entre os dois corpos.
TERMÔMETROS E ESCALAS TERMOMÉTRICAS
Para avaliar a temperatura de um sistema, é necessário usar um dispositivo cha-
mado termômetro. A termometria é uma técnica baseada, essencialmente, na 
medida de alguma propriedade termoscópica. A propriedade termoscópica mais 
empregada na prática termométrica é o volume de uma substância. 
Para medir temperaturas compreendidas entre - 39°C e 359°C, podemos uti-
lizar um termômetro de líquido que funciona com base na dilatação volumétrica 
de um líquido, chamado de substância termométrica. Essa substância termomé-
trica deve preencher os quatro seguintes requisitos:
 ■ Deve ser bom condutor de calor, o que recomenda os metais.
 ■ Deve se dilatar muito, o que recomenda um fluído.
 ■ Deve se dilatar com regularidade.
 ■ Deve sofrer mudanças de estado físico em temperaturas bem afastadas.
O que diz a Lei Zero da Termodinâmica?
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Um termômetro, normalmente, é constituído por um bulbo de vidro conectado 
a um tubo capilar também de vidro, com um raio muito pequeno (da ordem de 
1 mm). Na Figura 1, indicamos o esquema básico de um termômetro de líquido. 
Um dos líquidos (substância termométrica) mais empregados na construção de 
termômetros é o mercúrio, porque:
 ■ é metal;
 ■ é líquido;
 ■ tem coeficiente de dilatação praticamente constante;
 ■ solidifica-se a -39 ºC e ferve a 359 ºC.
O coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é quase 7 vezes maior do que 
o coeficiente de dilatação volumétrica do vidro, por isso, a dilatação volumétrica 
do líquido no bulbo inferior produz um grande deslocamento do mercúrio ao 
longo do tubo capilar. À medida que a temperatura aumenta, maior quantidade 
de mercúrio penetra no tubo capilar.
O uso do termômetro de mercúrio, conforme descrito, baseia-se no prin-
cípio de equilíbrio térmico. Quando colocamos o termômetro em contato com 
um corpo, ocorre uma troca de calor entre o corpo e o termômetro até que o 
sistema atinja o equilíbrio térmico. Neste equilíbrio térmico, a temperatura do 
termômetro é igual à temperatura do corpo.
Figura 1 - Termômetro de líquido
Fonte: os autores (2017).
Para graduar um termômetro, é necessário usar temperaturas de referência que 
correspondam ao equilíbrio térmico de certos sistemas especiais. Em geral, a 
temperatura de referência mais fácil de ser reproduzida em laboratório corres-
ponde a uma transição de fase ou mudança de estado físico. Sendo assim, os 
pontos fixos mais utilizados para a calibração de um termômetro e para a fixa-
ção de uma escala termométrica, normalmente, são os seguintes: 
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1. ponto de fusão ou ponto de gelo;
2. ponto de ebulição ou ponto de vapor.
Para graduar no termômetro uma escala termométrica, faz-se necessário 
adotar duas temperaturas fixas como referência (ponto de gelo e ponto de 
vapor); a seguir basta dividir em N intervalos iguais à distância entre estes 
dois pontos fixos. Cada intervalo corresponde a um grau da escala conside-
rada. Os dois pontos fixos mais utilizados na prática são: o ponto de fusão 
do gelo (0 ºC) e o ponto de vaporização da água (100 ºC), ambos relativos 
a uma pressão externa constante e igual a 1 atm. Na Figura 2, indicamos 
estes pontos de referência dos termômetros usuais. Escolhemos, arbitraria-
mente, um número N1 para o ponto de fusão do gelo e um número N2 para 
o pontode vaporização da água. Dividimos o intervalo (N2 - N1) em N par-
tes iguais. Sendo assim, um grau, numa determinada escala termométrica 
linear, é numericamente dado por:
Ponto de vapor (N2)
Ponto de gelo (N1)
N intervalos iguais
Figura 2 - Graduação de um Termômetro de líquido
Fonte: os autores (2017).
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Os pontos fixos são constantes e fornecem sempre as mesmas temperaturas 
quando as condições externas são mantidas constantes. Contudo a escala termo-
métrica é arbitrária. O intervalo entre os dois pontos fixos pode ser dividido num 
número N arbitrário de partes iguais. Por exemplo, na escala Celsius a distância 
entre os dois pontos fixos indicados na Figura 2 é dividida em 100 partes iguais, 
na escala Kelvin essa distância também é dividida em 100 partes iguais, na escala 
Réaumur é dividida em 80 partes iguais, na escala Fahrenheit, é dividida em 180 
partes iguais, na escala Rankine, também é dividida em 180 intervalos iguais etc. 
Neste livro, utilizaremos, basicamente, as escalas: Celsius, Fahrenheit e Kelvin. 
A escala Celsius, que utilizamos no Brasil, é a mais utilizada no mundo, e é definida 
atribuindo-se ao ponto de gelo e ao ponto de vapor da água, respectivamente, os 
valores de 0 ºC e 100 ºC para uma pressão de 1atm. A escala Fahrenheit é utilizada, 
principalmente, nos países de língua inglesa, e assinala 32 ºF para o ponto de gelo 
da água e 212 ºF para o ponto de vapor da água, como apresentado na Figura 3:
N = 100 divisões
Escala Celsius Escala Fahrenheit
TF TF
0ºC
100ºC
32ºF
212ºF
N = 180 divisões
Figura 3 - Relação entre as escalas termométricas Celsius e Fahrenheit
Fonte: os autores (2017).
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Na escala Celsius, temos 100 divisões iguais entre os pontos fixos, cada divisão 
recebe o nome de grau Celsius. Na escala Fahrenheit, temos 180 divisões iguais 
entre os pontos fixos, cada divisão recebe o nome de grau Fahrenheit. Os inter-
valos de temperaturas correspondentes nas duas escalas são proporcionais, assim, 
as escalas podem ser relacionadas da seguinte forma:
=
T - 0 100 - 0
212 - 32T - 32
C
F
=
T T - 32 
95
C F
. (T - 32)T = 5
9C F
Essa equação de conversão, normalmente, é escrita da seguinte maneira: 
=
T - 0 100 - 0
212 - 32T - 32
C
F
=
T T - 32 
95
C F
. (T - 32)T = 5
9C F
A escala Kelvin foi definida, variando-se, experimentalmente, a pressão de um 
gás e mantendo seu volume constante. Por meio de uma extrapolação, Kelvin 
concluiu que quando a pressão do gás atinge o valor zero, ou seja, anula-se, o gás 
apresenta a menor temperatura possível. Até chegar a essa conclusão, ele reali-
zou muitas experiências com diferentes gases, sempre a volume constante. Os 
resultados encontrados para a variação da pressão em função da temperatura 
em Celsius foram plotados em um gráfico, apresentado na Figura 4: 
Pressão do gás
-273,15 T(ºC)
Figura 4 - Pressão versus temperatura para experimentos com gases de pressões diferentes em um 
termômetro de gás a volume constante
Fonte: os autores (2017).
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Pelo prolongamento do gráfico, Kelvin sempre encontrava o valor de -273,15 
ºC, valor esse que denominou de zero absoluto. Para facilitar os cálculos, apro-
ximamos esse valor para - 273 ºC.
A escala Kelvin, também denominada escala absoluta, tem sua origem no 
zero absoluto. O símbolo da escala Kelvin é K, e se lê apenas Kelvin.
Por que um termômetro clínico é um termômetro de máxima?
 
 
 
 
 
 
 
 
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CALOR 
Como já vimos, calor é o nome dado para quantidade de energia que se trans-
fere de um corpo para o outro, devido à diferença de temperatura entre eles.
Assim, as unidades de calor devem ser, necessariamente, unidades de energia. 
No Sistema Internacional (SI), a unidade de calor é o Joule (j), contudo, na prá-
tica, usa-se muito a unidade caloria (cal).
A caloria pode ser definida da seguinte forma: uma caloria é a quantidade 
de calor que se deve fornecer a 1 grama de água pura para elevar sua tempe-
ratura de 14,5 ºC para 15,5 ºC sob pressão de 1 atmosfera.
Experiências realizadas por Joule e por outros cientistas da época mostram 
que:
1 caloria = 4,18 joules
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IIIU N I D A D E114
CAPACIDADE TÉRMICA E CALOR ESPECÍFICO
A capacidade térmica (C) de um corpo indica a quantidade de calor que esse 
corpo deve receber, ou ceder, para que sua temperatura varie uma unidade, ou 
seja, a capacidade térmica é uma característica do corpo.
Define-se capacidade térmica (C) como sendo:
C = Q
ΔT
C = Qm.ΔT
c = Cm
Onde Q é a quantidade de calor medida em cal, Δt é variação de temperatura 
medida em ºC, e C é a capacidade térmica medida em cal/ ºC.
Se dividirmos o valor da capacidade térmica (C) de um determinado corpo 
pela sua massa (m), encontraremos o calor específico da substância que compõe 
esse corpo. Assim, podemos dizer que o calor específico (c) indica a quantidade 
de calor que cada unidade de massa do corpo precisa receber ou ceder para que 
sua temperatura varie uma unidade.
Define-se calor específico (c) como sendo:C =
Q
ΔT
C = Qm.ΔT
c = Cm
Onde Q é a quantidade de calor medida em cal, m é a massa em g, Δt é varia-
ção de temperatura medida em ºC e c é calor específico medido em EQUAÇÃO.
O Quadro 1 apresenta valores do calor específico para alguns materiais:
Quadro 1 - Calor específico à temperatura ambiente de algumas substâncias
SUBSTÂNCIA CALOR ESPECÍFICO EM cal/g.ºC
Água 1,00
Álcool 0,59
Alumínio 0,219
Cobre 0,093
Prata 0,056
Ferro 0,119
Chumbo 0,031
Fonte: os autores (2017).
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É importante ressaltar que o calor específico é uma característica da substân-
cia, portanto, não se pode ter duas substâncias com o mesmo calor específico, 
enquanto a capacidade térmica é uma característica do corpo. Sendo assim, 
pode-se ter dois corpos com a mesma capacidade térmica. 
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA CALORIMETRIA
Consideraremos dois corpos, A e B, com temperaturas TA > TB. Haverá, então, 
passagem de energia térmica do corpo A para o corpo B, até que os dois corpos 
atinjam o equilíbrio térmico. A quantidade de calor trocada entre os corpos A e 
B pode ser calculada com a seguinte expressão:
Q = m.c.ΔT
Em que:
Q é a quantidade de calor sensível (cal), m é a massa do corpo (g), c é o calor 
específico (cal/g °C) e ΔT é a variação de temperatura (°C)
Se:
Q > 0 (calor recebido pelo corpo)
Q < 0 (calor cedido pelo corpo)
PRINCÍPIO DAS TROCAS DE CALOR
Se dois corpos com diferentes temperaturas, ao serem postos em contato, tro-
cam calor até atingirem o equilíbrio térmico, podemos determinar, agora, a 
temperatura de equilíbrio do sistema (YOUNG; FREEDMAN, 2015). Durante 
uma troca de calor entre dois corpos, o corpo de maior temperatura sempre 
fornece calor, e o corpo de menor temperatura semprerecebe calor, até que 
as temperaturas se igualem. O princípio das trocas de calor diz que toda a 
quantidade de calor fornecida por um corpo deve ser integralmente rece-
bida pelo outro corpo, assim:
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IIIU N I D A D E116
�Qrecebido� = �Qfornecido�+ Qr = - Qf + Qr + Qf = 0
�Q = 0
TRANSIÇÃO DE FASE
O termo estado indica uma situação em que um dado sistema encontra-se em 
equilíbrio térmico e mecânico, em todas as partes do interior do sistema. No 
caso de uma substância, podemos dizer que ela pode se encontrar num deter-
minado estado de agregação para uma dada temperatura e pressão de equilíbrio. 
Dizemos, então, que as substâncias, normalmente, apresentam-se em três estados 
de agregação: o sólido, o líquido e o gasoso. Contudo, como a palavra estado é 
de uso muito genérico e se aplica para qualquer sistema físico, é preferível utili-
zar a palavra fase para designar o estado de agregação. A fase de uma substância 
é caracterizada pela homogeneidade e pela constância das propriedades físicas 
ao longo de todo o volume ocupado pela substância.
Uma transição de fase ou mudança de estado físico constitui-se pelo pro-
cesso de alteração de dada fase de uma substância para outra fase da mesma 
substância. Classificamos a substância água como sendo um líquido, e o gelo 
como um sólido, a diferença entre os dois estados encontra-se na força de coesão 
entre as moléculas que constituem a substância, no caso do sólido, essa força é 
Para tirar uma travessa quente do forno, João protegeu suas mãos com um 
pano molhado. Ele alegou que a água ajudaria a esfriar a travessa e protege-
ria melhor suas mãos. Ele estava certo?
(Regina Pinto de Carvalho).
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mais intensa, e as moléculas estão ligadas pelo que chamamos de estrutura cris-
talina, já no estado líquido as moléculas não apresentam estrutura cristalina. A 
mudança da fase sólida para a fase líquida de uma substância chama-se fusão, e 
a mudança da fase líquida para a fase sólida, solidificação.
Existe, ainda, um terceiro estado da água, que além de não possuir estru-
tura cristalina a força de coesão entre as moléculas é pequena, esse é o estado é 
chamado de gasoso e invisível, que podemos, aqui, denominar vapor de água. 
A mudança da fase líquida para a fase gasosa de uma substância chama-se 
vaporização, e a mudança da fase gasosa para a fase líquida, liquefação ou con-
densação, como mostrado na Figura 5. A passagem direta da fase gasosa para a 
sólida, chama-se sublimação. Um exemplo é o vapor de água que se solidifica na 
geada, ou a naftalina que passa da fase sólida para a fase gasosa. É muito impor-
tante ressaltar que, para uma substância pura, durante a transição de fase para 
uma determinada pressão, a temperatura mantém-se constante.
Sólido GasosoLíquido
Fusão
Solidificação
Vaporização
Condensação
Figura 5 - Esquema didático para mudança de fase
Fonte: os autores (2017).
Para cada substância existe uma dada temperatura e pressão para as quais 
certa fase da substância encontra-se em equilíbrio térmico com outra fase 
da mesma substância. Por exemplo, sob pressão de uma atmosfera, o gelo e a 
água líquida permanecem em equilíbrio para uma temperatura de 0 °C. Este 
conjunto de valores (p = 1 atm e T = 273 K) denomina-se ponto de fusão do 
gelo ou ponto de solidificação da água.
CALORIMETRIA E FLUIDOS
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IIIU N I D A D E118
CALOR LATENTE DE UMA TRANSIÇÃO DE FASE
Quando uma substância muda de fase, o calor trocado com o ambiente é dire-
tamente proporcional à massa da substância que muda de estado de agregação, 
ou seja, a quantidade de calor trocada e a massa da substância permanecem 
constantes durante a transição de fase. A essa quantidade de calor por unidade 
de massa da substância dá-se o nome de calor latente da transição de fase, aqui 
designado pela letra.
Assim:
L = Qm
Pela definição de calor latente da transição de fase temos que:
Q = m.L
Onde m é a massa total da substância (g), L é calor latente da transição de fase 
(cal/g) e Q a quantidade de calor trocada com o ambiente (cal).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidrostática
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HIDROSTÁTICA
Hidrostática é a parte da Física que estuda o equilíbrio dos fluidos.
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
As principais propriedades são a densidade e a pressão exercida por um fluido 
sobre uma determinada superfície. Considere uma substância pura cuja densi-
dade é definida pela equação: 
ρ = mV
Onde � é a densidade da substância, e m é a massa total de uma porção da subs-
tância que ocupa um volume total V. Estamos usando a palavra densidade como 
sinônimo de massa específica.
A densidade de uma substância pura é constante ao longo de todas as 
regiões do espaço ocupado por ela. Contudo existem situações em que a den-
sidade da substância não é constante, podendo variar ao longo do volume do 
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IIIU N I D A D E120
sistema. Por exemplo, a densidade do ar atmosférico diminui com a altura em 
relação ao nível do mar. Para esses casos devemos utilizar a seguinte expressão:
p = FA
ρ = lim Δm
ΔVΔV→0
Onde Δm é uma quantidade de massa do sistema que ocupa um pequeno 
volume ΔV.
Suponhamos, agora, que um fluido esteja em contato com uma parede sólida 
plana de área A. No equilíbrio, como não existem forças tangenciais ao longo do 
fluido, concluímos que as forças distribuídas ao longo da parede são perpendi-
culares à área A em cada um de seus pontos. Seja F o módulo da força resultante 
exercida pelo líquido sobre a parede. A pressão p exercida pelo líquido sobre a 
parede é dada por:
p = FA
ρ = lim Δm
ΔVΔV→0
Onde p é a pressão ao longo da área. No Sistema Internacional, a unidade de 
pressão é a unidade de força (N) por unidade de área (m2), ou seja, a unidade 
de pressão no SI é N/m2.
 Um fluido pode ser um líquido ou um gás. Um líquido possui densidade 
cerca de 1000 vezes maior que a densidade de um gás. A substância mais 
comum para nós é a água e sua densidade é de 1g/cm3.
Fonte: os autores.
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PRESSÃO HIDROSTÁTICA
Considere um líquido no interior de um recipiente fechado, como na Figura 6.
Pexterna = 0
h
Figura 6 - Líquido no interior de um recipiente fechado
Fonte: os autores
Suponha que não exista nenhum gás na região superior do recipiente, entre a super-
fície livre do líquido e o topo do recipiente, ou seja, sobre a superfície livre do líquido 
não atua nenhuma pressão. Neste caso, a pressão exercida pelo líquido no fundo 
do recipiente é igual ao peso do líquido dividido pela área da base do recipiente.
p = FA
ρ = mV
p = m.gA
p = ρ.V.gA
Existem outras unidades de medida para a grandeza pressão. As relações 
entre as unidades mais utilizadas nesse livro são:1atm = 1.105 N/m2 = 1.105 Pa = 76cmHg
Perceba que 1.N/m2 = 1.Pa
Fonte: os autores.
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IIIU N I D AD E122
Mas devemos lembrar que: 
p = FA
ρ = mV
p = m.gA
p = ρ.V.gA
 assim: ρ.V = m
p = FA
ρ = mV
p = m.gA
p = ρ.V.gA
Porém o volume do líquido no interior do recipiente vale: V = A.h
p = ρ.A.h.gA
p = ρ.g.h
Onde ρ é a densidade do líquido em kg/m3, g é a aceleração da gravidade local 
em m/s2, e h é altura da coluna de líquido sobre o ponto que se deseja determi-
nar a pressão em m.
É importante ressaltar que a densidade do líquido e a aceleração da gravi-
dade local são valores constantes, por isso, a pressão em um ponto qualquer no 
interior de um fluido depende, unicamente, da altura da coluna de líquido exis-
tente acima do ponto.
Pressão atmosférica: a atmosfera terrestre é composta por vários gases que 
exercem pressão sobre a superfície da Terra. O físico italiano Evangelista Tor-
ricelli (1608-1647) idealizou uma experiência para que pudesse determinar 
a pressão atmosférica ao nível do mar: 1atm = 76cmHg
A pressão atmosférica diminui com a altitude.
Fonte: os autores.
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Considere agora um recipiente aberto, como na Figura 7.
Pext
h
Figura 7 - Líquido no interior de um recipiente aberto
Fonte: os autores
Seja h a altura da coluna de líquido e pext a pressão externa sobre o líquido. 
Normalmente, a pressão externa é a própria pressão atmosférica. Neste caso, a 
pressão total sobre a base do recipiente é dada por:
p = pext + ρ.g.h
Como a pressão externa também é constante, a relação apresentada mos-
tra que a pressão de um fluido aumenta linearmente com a profundidade do 
ponto considerado.
Princípio de Stevin: “A diferença de pressão entre dois pontos no interior de 
um líquido é diretamente proporcional ao desnível vertical entre eles, em 
relação à superfície livre de um líquido” (SOFÍSICA, [2017],on-line)1.
Δp = ρ.g.Δh
Para saber mais, acesse: <http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/
EstaticaeHidrostatica/teoremadestevin.php>.
Fonte: os autores.
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IIIU N I D A D E124
Princípio de Pascal
Ao físico e matemático, Blaise Pascal, devemos o teorema enunciado a seguir, 
que encontra várias aplicações práticas:
[…]um incremento de pressão comunicado a um ponto qualquer de 
um líquido incompressível em equilíbrio transmite-se integralmente 
a todos os demais pontos do líquido, bem como as paredes do recipien-
te (PASCAL, [2017],on-line)1.
A aplicação mais comum para o princípio de Pascal é a prensa hidráulica. 
Esse é um dispositivo muito utilizado no dia a dia, cuja finalidade é a mul-
tiplicação de forças.
Em sua versão mais simples, a prensa hidráulica é um tubo em forma de U, 
cujos ramos tem áreas de secção transversal diferentes. Esse tubo em forma de 
U é preenchido normalmente com um líquido viscoso (em geral, óleo) aprisio-
nados por dois pistões, conforme indica a Figura 8:
Figura 8 - Esquema simplificado da prensa hidráulica
Fonte: Shutterstock - ID 478591558.
Ao exercermos uma força de módulo no pistão 1 (de área 1), provocamos um 
incremento de pressão nos pontos do líquido imediatamente abaixo do pistão 1. 
Esse incremento de pressão é transmitido integralmente por todos os pontos do 
fluido, até atingir os pontos do líquido imediatamente abaixo do pistão 2, esses 
pontos por sua vez exercem uma força sobre o pistão 2. 
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Assim, podemos escrever:
Pistão 1: Δp = F1
1A
Δp = F2
2A
F1
1A
=
F2
2A
F2
1F
= = ( )A2
1A
R2
2
1R
 Pistão 2: Δp = F1
1A
Δp = F2
2A
F1
1A
=
F2
2A
F2
1F
= = ( )A2
1A
R2
2
1R
Logo:
Δp = Δp
Δp = F1
1A
Δp = F2
2A
F1
1A
=
F2
2A
F2
1F
= = ( )A2
1A
R2
2
1RSupondo que os pistões 1 e 2 sejam circulares, de raios R1 e R2, temos
A1 = π. R12 e A2 = π. R22
Logo:
Δp = F1
1A
Δp = F2
2A
F1
1A
=
F2
2A
F2
1F
= = ( )A2
1A
R2
2
1R
Empuxo
Ao estudarmos empuxo, estamos discutindo o princípio de Arquimedes, para o 
estudo de um fluido em equilíbrio. Quando um corpo encontra-se imerso, total ou 
parcialmente em um fluido em equilíbrio sob a ação da gravidade, este fluido exerce 
uma força resultante sobre o corpo, denominada força de empuxo, cuja direção é 
vertical e o sentido é para cima. A intensidade dessa força é igual ao módulo do 
peso do fluido deslocado pelo corpo e recebe o nome de empuxo (E). Esse empuxo 
pode ser maior, menor ou igual ao peso do corpo, como apresentado na Figura 9.
O número EQUAÇÃO define a vantagem mecânica da prensa hidráulica, que 
é o fator de multiplicação da força oferecido pela máquina.
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IIIU N I D A D E126
E > P E < P E = P
 
(a) (b) (c)
Figura 9 - Comparação entre a força de empuxo e a força peso
Fonte: os autores (2017).
A intensidade da força de empuxo pode ser determinada a partir de sua defi-
nição física: "força de empuxo é igual ao módulo do peso do fluido deslocado 
pelo corpo", assim:
E = Pfuido deslocado
E = m.g
E = ρ.V.g
Onde:
ρ = densidade do fluido (kg/m3);
V = volume do corpo que está imerso no fluido (m3);
g = aceleração da gravidade local (m/s2);
E = força de empuxo (N).
Sempre que o corpo fica sujeito a uma força de empuxo o seu "peso" muda, é 
como levantar algo ou alguém dentro de uma piscina, temos a sensação que o 
corpo levantado está mais leve, na verdade não foi o peso do corpo que mudou, 
mas sim a força de empuxo que está atuando para cima que permitiu essa sen-
sação. Chamamos esse falso peso do corpo de peso aparente e o mesmo pode 
ser determinado fazendo:
Paparente = P - E
Considerações Finais
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
No primeiro tópico dessa unidade procuramos apresentar os conceitos bási-
cos de termometria, ou seja, conceitos e princípios relacionados ao estudo 
da temperatura, a escalas termométricas e principalmente a conversão de 
escalas termométricas.
No segundo tópico tentamos, numa linguagem simples, apresentar o estudo 
da calorimetria, essa é a parte da física que estuda os fenômenos relacionados 
com o calor, energia térmica em trânsito, procurando definir os conceitos de calor 
específico, capacidade térmica e calor latente, que são fundamentais para o enten-
dimento e a compreensão dos fenômenos que envolvem o calor, como trocas de 
calor e mudança de estado físico da matéria. No terceiro e último tópico dessa 
unidade, apresentamos três conceitos básicos de um ramo da física chamado de 
hidrostática, parte da física que estuda os fluidos em equilíbrio. Inicialmente, 
exploramos os conceitos de densidade e pressão, que serviram de base para 
apresentarmos o princípio de Stevin, que trata da pressão total do fluido sobre 
o corpo, este inicia-se com a temática pressão total sobre o corpo. Em seguida 
discutimos o princípio de Pascal, que é a base teórica para a compreensão dos 
elevadores hidráulicos utilizados em indústrias e oficinas mecânicas e, por fim, 
apresentamos o conceito de empuxo, bem como o princípio de Arquimedes, que 
se constituem como um dos alicercesdesse ramo da física com inúmeras apli-
cações tecnológicas. Deve-se destacar que nos três tópicos dessa unidade 
procuramos elaborar atividades que desenvolvessem algumas habilidades, tais 
como: compreender causa e efeito dos fenômenos, compreender propriedades 
físicas, entender e usar informações escritas na linguagem científica, como nos 
símbolos, nos gráficos e nas relações matemáticas.
Dessa forma, entende-se que essa unidade permitiu ao aluno atingir os obje-
tivos iniciais.
128 
1. Um termômetro está graduado numa escala X tal que 60 °X corresponde a 100 
°C e - 40 °X corresponde a 0 °C. Uma temperatura de 60 °C corresponde a que 
temperatura lida no termômetro de escala X?
d) 20 °X. 
e) 25 °X.
f ) 18 °X .
g) 28 °X .
h) 30 °X.
2. Em uma indústria, o engenheiro de produção criou uma escala X para controlar a 
temperatura de uma máquina. O gráfico seguinte representa a relação entre a tem-
peratura medida numa escala X e a mesma temperatura medida na escala Celsius.
Pelo gráfico, pode-se concluir que a temperatura de 20°C é equivalente a 
temperatura de:
30
25
20
15
10
05
-05 20
10
30 t(ºC)
t(ºX)
-10
a) 5,0°X. 
b) 7,5°X. 
c) 10°X.
d) 12,5°X. 
e) 15°X.
3. Tem-se 20g de gelo a -20°C. A quantidade de calor que se deve fornecer ao gelo 
para que ele se transforme em 20g de água a 40°C:
Dados: Calor específico sensível do gelo = 0,50cal/g°C
Calor específico sensível da água = 1,0cal/g°C
Calor específico latente de fusão do gelo = 80cal/g
129 
Assinale a resposta correta:
a) 1000 cal. 
b) 1200 cal. 
c) 2600 cal. 
d) 3000 cal. 
e) 4800 cal.
4. O gráfico representa a temperatura de uma amostra, de massa 100g, de uma 
substância, em função da quantidade de calor por ela absorvida. O calor especí-
fico sensível dessa substância, em cal/g°C, é:
80
θ(C)
20
0 1200 Q(cal)
a) 0,10.
b) 0,20.
c) 0,40.
d) 0,60.
e) 0,80.
5. O organismo humano pode ser submetido, sem consequências danosas, a uma 
pressão de, no máximo, 4.105N/m2 por segundo. Nestas condições, qual a al-
tura máxima de profundidade recomendada a um mergulhador? 
Adote Patm = 105N/m2
a) 10 m.
b) 20 m.
c) 30 m.
d) 40 m.
e) 50 m.
130 
A Pressão Atmosférica
Na primeira metade do século XVII, já eram 
conhecidas e fabricadas as chamadas “bom-
bas de aspiração”, usadas para retirar água 
dos poços. A explicação para o funciona-
mento de tais bombas era que a natureza 
possuía uma propriedade chamada “hor-
ror ao vácuo”. Um líquido, ao ser sugado 
através de um tubo, imediatamente, sobe 
para preencher o espaço deixado pelo ar 
que foi retirado de dentro do tubo, pois a 
natureza não admite o vácuo.
As bombas de aspiração que existiam nada 
mais eram do que pistões que subiam e 
forçavam a água a subir também para ocu-
par o vazio deixado em sua subida. Essa 
ideia era predominante até que o Duque de 
Toscana resolveu, em um projeto ousado, 
irrigar seus jardins, retirando a água de um 
poço de aproximadamente 15 metros de 
profundidade. Começaram, então, a surgir 
dificuldades. Por mais que se aperfeiçoas-
sem as bombas, a água não subia além de, 
aproximadamente, 10 metros.
Galileu Galilei estudou o problema, mas se 
deu por vencido. Contudo Evangelista Tor-
ricelli, um de seus discípulos, pensou sobre 
o enigma. A ideia do horror ao vazio levava 
a crer que a matéria - a água, neste caso - 
era dotada de uma espécie de sabedoria e 
até de vontade. Torricelli, refletindo sobre 
o problema, chegou à hipótese de que a 
água era empurrada pela força do ar sobre a 
superfície livre da água, no fundo do poço.
A atmosfera exerce uma força sobre a 
superfície da água, no máximo, para con-
trabalançar o peso de uma coluna de 10 
metros de altura de água, como demons-
trava o acontecido nos poços de Florença. 
Surge, então, uma hipótese: que aconte-
ceria se em lugar de bombear água fosse 
preciso bombear mercúrio? O mercúrio é, 
aproximadamente, quase 14 vezes mais 
denso do que a água, portanto, ao nível do 
mar, uma coluna de 10 metros de água tem 
o mesmo peso que uma coluna de mesmo 
diâmetro de 76 cm de mercúrio.
As reflexões de Torricelli chegam a Vincenzo 
Viviani, outro discípulo dileto de Galileu, 
que realizou a experiência, hoje, conhecida 
pelo nome de Experiência de Torricelli, e 
que provocou o desmoronamento da teo-
ria do “horror ao vácuo”.
A experiência de Torricelli ficou famosa, 
pois a partir dela surgiu a ideia de que a 
atmosfera não seria infinita e proporcio-
nou um meio simples de medir a pressão 
atmosférica. Em homenagem a Torricelli, 
utiliza-se, ainda hoje, a unidade de pressão 
Tor, abreviatura de Torricelli, que equivale 
a 1 mm de coluna de mercúrio.
O problema do poço do Duque de Toscana 
não foi solucionado por Torricelli, mas pro-
porcionou uma importante reformulação 
das ideias: a bomba que se utilizava era uma 
bomba do tipo aspirante. Uma das expe-
riências bem sucedidas de se comprovar 
a existência da pressão atmosférica, que 
ficou mundialmente famosa, foi realizada 
por Otto von Guericke, na cidade de Mag-
deburg, Alemanha, e ficou conhecida como 
“Os hemisférios de Magdeburgo”.
Em 1654, Guericke construiu dois hemis-
férios metálicos que se encaixavam 
131 
perfeitamente. Ao remover parte do ar do 
interior da esfera com o auxílio de uma 
potente bomba pneumática, os hemis-
férios mantinham-se unidos, não sendo 
possível separá-los nem com o esforço de 
diversos cavalos. Foi graças aos estudos 
de Torricelli, com os quais teve contato, 
que Guericke conseguiu relacionar todos 
esses fenômenos com a pressão exercida 
pela atmosfera. A explicação é simples, caso 
parte do ar do interior dos hemisférios seja 
retirada, a pressão interna exercida pelo ar, 
na parede interna da esfera, ficará menor 
que a externa (atmosférica), dificultando 
muito a separação dos hemisférios.
Com o experimento idealizado por Torri-
celli, surge, então, a ideia de que a pressão 
atmosférica existe e possui valor bem defi-
nido: 76 cm de Hg ao nível do mar.
Fonte: Sales (2012).
MATERIAL COMPLEMENTAR
Física 2: Física Térmica, Óptica
Grupo de Reelaboração do Ensino de Física - GREF (USP) 
Editora: Edusp
Sinopse: este livro apresenta no início de cada tópico um levantamento sobre 
a ligação da Física com as experiências vivenciadas pelo aluno no seu dia a dia 
com relação aos elementos, máquinas e processos da Física Térmica e Óptica. 
Sendo assim, o ensino da Física não � ca apenas nas equações matemáticas.
Comentário: este livro aborda os conceitos de Física Térmica de forma 
conceitual e a partir de situações do dia a dia.
Para entender um pouco mais sobre a diferença entre calor e temperatura, acesse o link: <https://
www.youtube.com/watch?v=g5OVYvnNO6E>.
O método de conversões nas escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin, assim como em escalas 
desconhecidas podem ser estudadas, acessando o link: <https://www.youtube.com/
watch?v=6xEf-vh2I5g>.
REFERÊNCIAS
CARVALHO, R. P. Física do dia a dia. V. 2. São Paulo: Ed. Autêntica, 2013.
SALES V. C. H. Ensino de hidrostática através de atividades investigativas. Ma-
terial instrucional associado à Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa 
de Pós-Graduação em Ensino de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro, 
2012, p. 1-30.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. In: Sears & Zemansky. Física II - Termodinâmica e 
Ondas. 14. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
REFERÊNCIA ON-LINE
1Em: <http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/EstaticaeHidrostatica/teo-
remadestevin.php>. Acesso em: 7 nov. 2017.
133
GABARITOGABARITO
1. Alternativa A.
100 100
ºXºC
TxTc
-400
=
T - (-40)x
60 - (-40)
T - 0c
100 - 0
=
T + 40x
100
T c
100
60 - 40 = T x
T = 20° X x2. Alternativa C. 
Como o gráfico é uma reta, podemos utilizar semelhança de triângulos para resolver.
30
t (ºX)
t (ºC)
25
20
15
10
10 10
20
30
y
5
-5
0
-10
3020
=
30
20
y
10
y = 15
Como para baixo do eixo já temos 5 unidades, para cima do eixo teremos que ter 
10 unidades, portanto a temperatra é de 10oX.
GABARITO
135
3. Alternativa C
Gelo a -20ºC Gelo a 0ºC Água a 0ºC Água a 40ºC
∆T = 20ºC ∆T = 0ºC ∆T = 40ºC
Q = m.c.ΔT
Q = 20.0,5.20
Q = 200cal
Q = m.L
Q = 20.80
Q = 1600cal
Q = m.c.ΔT
Q = 20.1.40
Q = 800cal
QTOTAL = 200 + 1600 + 800
QTOTAL = 2600cal
4. Alternativa B.
c = 1200
6000
c = 0,2cal/g.°C
1200 = 100.c.60 
Q = m.c.ΔT
5. Alternativa C.
= h 3.10
10
5
4
h = 30m
4.10 = 1.10 + 10 .10.h5 5 3
4.10 - 1.10 = + 10 .h5 5 4
P = P + Pt atm liq
U
N
ID
A
D
E IV
Professor Dr. Michel Corci Batista
Professor Dr. Gilson Junior Schiavon
Professor Me. Danilo Corci Batista
ÓPTICA GEOMÉTRICA E 
OSCILAÇÕES
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Estudar a reflexão da luz e compreender as características da imagem 
formada por um espelho plano.
 ■ Determinar a distância focal de um espelho côncavo e formar, 
geometricamente, uma imagem em um espelho esférico.
 ■ Compreender o fenômeno da refração da luz e aplicar a lei de Snell 
- Descartes.
 ■ Determinar a distância focal de uma lente esférica e formar, 
geometricamente, uma imagem em uma lente esférica.
 ■ Compreender as principais características de um movimento 
harmônico simples.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Reflexão da luz e espelho plano
 ■ Espelhos esféricos 
 ■ Refração da luz
 ■ Lentes 
 ■ Oscilações mecânicas
Introdução
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139
INTRODUÇÃO
O olho é conhecido como janela da alma, e é por meio dele que vemos os objetos. 
O seu funcionamento é uma resposta à ação da luz visível nesse órgão. Por luz 
visível entende-se a faixa de radiação eletromagnética correspondente a compri-
mentos de onda (λ) de 4 x 10-7 m a aproximadamente 6,7 x 10-7 m ou frequências 
(f) de 7,5 x 1014 Hz a 4,5 x 1014 Hz. Este intervalo de frequência contém as fre-
quências correspondentes às cores que vão desde o violeta ao vermelho. 
O termo luz também é utilizado para designar a radiação eletromagnética 
fora da faixa visível. A luz ultravioleta é a radiação eletromagnética com frequ-
ência maior que 7,5 x 1014 Hz; e a luz infravermelha é a radiação com frequência 
menor que 4,5 x 1014 Hz. Nesta unidade, trataremos de dois assuntos distin-
tos: o primeiro refere-se ao ramo da Física dedicado ao estudo da luz e de suas 
propriedades nos meios em que se propaga, e o segundo refere-se ao tema osci-
lações (Movimento Harmônico Simples). 
Para compreender esse assunto, preparamos os quatro primeiros tópicos 
dessa Unidade. O primeiro discute as leis da reflexão e uma primeira aplicação, 
o espelho plano; o segundo amplia a discussão e apresenta os espelhos esféricos, 
estes divididos em côncavos e convexos. Neste tópico discutimos as caracterís-
ticas da imagem formada, seja por meio dos raios notáveis, seja por meio do 
estudo analítico. O tópico 3 é composto por uma discussão sobre outro impor-
tante fenômeno físico, a refração. O objetivo desse tópico é dar condições para 
compreensão do fenômeno da refração da luz e aplicar a lei de Snell - Descartes 
em situações físicas criadas. O quarto tópico encerra a discussão sobre luz, apre-
sentando as lentes esféricas, estas divididas em convergentes e divergentes em 
que discutimos as características da imagem formada, seja por meio dos raios 
notáveis, seja por meio do estudo analítico.
O quinto e último tópico dessa unidade apresenta o Movimento Harmônico 
simples, que compõe o ramo da Física denominado Oscilações Mecânicas.
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IVU N I D A D E140
REFLEXÃO DA LUZ E ESPELHO PLANO
Reflexão: após a incidência, o raio de luz retorna ao meio de origem. Reflexão 
regular é perfeita, ou seja, os raios refletidos mantêm o mesmo ângulo em rela-
ção à superfície quando comparados aos raios incidentes. Já a reflexão difusa 
é desordenada, causando uma diferença nos ângulos de incidência e reflexão.
LEIS DA REFLEXÃO
I
N
i
meio A
meio B
r
R
Figura 1 - Representação dos ângulos de incidência e reflexão
Fonte: os autores. 
Reflexão da Luz e Espelho Plano
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141
Na figura:
N = reta perpendicular a superfície refletora (reta normal)
I = raio incidente
R = raio refletido
i = ângulo de incidência (ângulo entre o raio incidente e a normal)
r = ângulo de reflexão ( ângulo entre o raio refletido e a normal)
1ª Lei: O raio incidente, o raio refletido e a reta normal são coplanares (perten-
cem ao mesmo plano).
2ª Lei: O ângulo de incidência (i) é igual ao ângulo de reflexão(r).
î = ȓ
Espelho Plano: é um sistema óptico formado por uma superfície refletora plana e 
perfeitamente polida. Graficamente representamos o espelho plano como indica 
a figura a seguir:
Observador
Superfície
re�etora
Superfície
opaca
Figura 2 - Representação gráfica de um espelho plano
Fonte: os autores. 
FORMAÇÃO DA IMAGEM EM UM ESPELHO PLANO
Os raios de luz enviados pelo objeto incidem sobre o espelho, são refletidos e 
atingem os olhos do observador. Como a mente humana não está preparada 
para “desentortar” raios de luz, para ela tudo se passa como se esses raios fos-
sem enviados por um ponto (P’) que se encontra atrás do espelho 
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IVU N I D A D E142
p
p,
Observador
Figura 3 - Representação gráfica da formação de imagem em um espelho plano
Fonte: os autores.
Para se formar uma imagem, é importante saber que no espelho plano, objeto e 
imagem são simétricos em relação ao espelho. 
C
C´
B
B´
A
A´
a
a
b
b
c
c
Figura 4 - Representação gráfica da simetria entre o ponto objeto e o ponto imagem
Fonte: os autores.
No espelho plano objeto e imagem são sempre de naturezas opostas. Assim, 
se o objeto é real a imagem é virtual e se o objeto é virtual a imagem é real.
Fonte: os autores.
Reflexão da Luz e Espelho Plano
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143
CARACTERÍSTICAS DA IMAGEM
No caso de um objeto extenso, para cada ponto do objeto obtém-se um 
ponto imagem que, reunidos, formarão a imagem do objeto. Cada ponto 
da imagem é formado pelo cruzamento do prolongamento de pelo menos 
dois raios refletidos. 
b
a
c
d
e
b
a
c
d
e
B
A
D
E
B´
A´
D´
E´
Figura 5 - Representação gráfica da imagem formada em um espelho plano
Fonte: os autores.
Utilizando a simetria vista anteriormente e a segunda lei da reflexão obtemos as 
características da imagem de um objeto no espelho plano.
 ■ A imagem formada pelo cruzamento do prolongamento dos raios refle-
tidos é chamada de virtual (Imagem formada atrás do espelho);
 ■ A imagem é direita em relação ao objeto;
 ■ A imagem é igual ao objeto (Objeto e imagem possuem amesma dimensão);
 ■ Enantiomorfa (Imagem invertida lateralmente). Note que apesar de ima-
gem ser idêntica ao objeto, ela geralmente não lhe é superponível. Diz-se 
que a imagem é enantiomorfa.
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IVU N I D A D E144
CAMPO VISUAL DE UM ESPELHO PLANO 
Campo visual é a região do espaço que pode ser vista pelo observador devido à 
reflexão da luz no espelho, esse depende das dimensões do espelho e da posição do 
observador.
Para determinar o campo visual, procede-se da seguinte forma: verifica-se onde 
o observador se encontra, em seguida faz-se a imagem do observador. As retas 
que saem da imagem do observador e passam pelas extremidades do espelho 
determinam o campo visual do espelho.
d
d
A
Campo
visual
B
0
0´
Figura 6 - Representação gráfica do campo visual em um espelho plano
Fonte: os autores. 
As retas que passam por O’ e pelas extremidades do espelho (pontos A e B) deter-
minam o campo visual.
ASSOCIAÇÃO DE ESPELHOS PLANOS
Colocando-se um objeto entre dois espelhos planos, a luz enviada por este objeto 
sofrerá múltiplas reflexões antes de emergir do sistema.
As imagens fornecidas por um espelho servem como objeto para o outro e, 
em vez de uma, teremos várias imagens.
Reflexão da Luz e Espelho Plano
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145
Figura 7 - Representação de uma associação de espelhos planos
Fonte: os autores.
Com a presença de um único objeto real dentre uma associação de espelhos pla-
nos, podemos obter um número variado de imagens.
n = – 1360
�
n = Número de imagens para um objeto real
α = Ângulo entre os espelhos
Espelhos são superfícies polidas que refletem luz. Um espelho plano forma 
imagens virtuais. Um espelho esférico , como o espelho externo dos auto-
móveis fornece imagens reduzidas dos objetos. O espelho parabólico é usa-
do nos refletores dos faróis dos automóveis. As antenas parabólicas ou ante-
nas de microondas são usadas para transmitir ou receber sinais de telefonia, 
tv, transmissão de dados por computadores etc. Outros aparelhos que usam 
lentes e espelhos são periscópios, permitem-nos enxergar objetos fora do 
alcance de nossa visão e usam espelhos. Telescópios usam espelhos e lentes 
e, hoje, há até o Hubble, telescópio colocado no espaço.
Fonte: Cola da web ([2017], on-line)1.
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IVU N I D A D E146
Fonte: Wikimedia Commons ([2017], on-line)2.
ESPELHOS ESFÉRICOS
Espelhos cuja superfície refletora é uma calota esférica podem ser chamados de 
côncavos, quando a face refletora está voltada para dentro; e convexos, quando a 
face refletora está voltada para o lado oposto ao centro, ou seja, a calota é polida 
por fora, como mostra a Figura 8:
Côncavo Convexo
Figura 8 - Representação da reflexão da luz em espelhos esféricos
Fonte: os autores. 
Espelhos Esféricos
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ELEMENTOS DOS ESPELHOS ESFÉRICOS
C V
ES
α
ƒ
EP
Figura 9 - Representação de uma calota esférica 
Fonte: os autores.
 ■ Centro de Curvatura (C): é o centro da superfície esférica.
 ■ Raio de Curvatura (R): é o raio da superfície esférica.
 ■ Vértice (V): é o polo da calota esférica.
 ■ Distância Focal (f): é a distância do foco ao vértice; distância focal f é a 
metade do raio de curvatura.
 ■ Eixo Principal (EP): é a reta definida pelo centro de curvatura e pelo 
vértice.
 ■ Eixo Secundário (ES): é qualquer reta que passa pelo centro de curva-
tura, mas não passa pelo vértice. 
 ■ Ângulo de Abertura (α): é o ângulo plano determinado pelos eixos 
secundários que passam por pontos diametralmente opostos do con-
torno do espelho.
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IVU N I D A D E148
RAIOS NOTÁVEIS PARA OS ESPELHOS ESFÉRICOS
As características da imagem formada em um espelho esférico são determina-
das a partir dos raios que saem do objeto e incidem no espelho. Para se formar 
uma imagem, precisamos, no mínimo, de dois raios notáveis. A seguir veremos 
quatro raios notáveis para formação geométrica de imagens:
C CF FV V
Figura 10 - Raio que incide paralelo reflete pelo foco
Fonte: os autores.
V VF FC C
Figura 11 - Raio que incide pelo foco reflete paralelo
Fonte: os autores.
C CF FV V
Figura 12 - Raio que incide pelo centro de curvatura reflete sobre si mesmo e sem desvios
Fonte: os autores.
Espelhos Esféricos
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C F V CFV
Figura 13 - Raio que incide no vértice reflete simétrico em relação ao eixo principal
Fonte: os autores.
FORMAÇÃO DE IMAGENS
Para a formação de uma imagem, precisamos de, pelo menos, dois raios notáveis. 
As imagens formadas podem ser classificadas em imagens reais e imagens virtuais.
 ■ Imagem real: é formada pelo cruzamento de dois raios refletidos do espe-
lho esférico. Essa se forma na frente do espelho.
 ■ Imagem virtual: é formada pelo cruzamento do prolongamento dos raios 
refletidos no espelho esférico. Essa se forma atrás do espelho.
ESPELHOS CÔNCAVO E CONVEXO - CARACTERÍSTICAS DA 
IMAGEM
Sempre se parte da extremidade do objeto que não está apoiada no eixo principal. 
Em nosso caso, faremos tudo a partir da ponta da seta. Traçamos um raio notável 
que passa pela ponta da seta e chega até o espelho, observando a regra dos raios 
notáveis traçamos o raio refletido. Em seguida, fazemos a mesma coisa para outro 
raio notável, e onde os raios refletidos se cruzarem tem-se a imagem formada. Caso 
os raios refletidos não se cruzem, com uma régua prolongamos esses raios refle-
tidos para o lado de trás do espelho e, então, verificamos onde esses se cruzaram.
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IVU N I D A D E150
Espelho Côncavo:
C F V
O
I
Figura 14 - Imagem real, invertida e menor
Fonte: os autores.
C F V
O
I
Figura 15 - Imagem real, invertida e do mesmo tamanho do objeto
Fonte: os autores.
C F V
O
I
FIgura 16 - Imagem real, invertida e maior
Fonte: os autores.
C F V
O
I ∞
Figura 17 - Imagem imprópria
Fonte: os autores.
Espelhos Esféricos
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C F V
O
I
Figura 18 - Imagem virtual, direita e maior
Fonte: os autores.
Espelho Convexo
F
O
I
CV
Figura 19 - Imagem virtual, direita e menor 
Fonte: os autores.
ESTUDO ANALÍTICO DOS ESPELHOS ESFÉRICOS
C
p
p´
F V
O
i
Figura 20 - Representação analítica de um espelho esférico côncavo 
Fonte: os autores. 
ÓPTICA GEOMÉTRICA E OSCILAÇÕES
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IVU N I D A D E152
Onde: 
C = centro de curvatura
f = distância focal
p = distância do objeto ao espelho
p’ = distância da imagem ao espelho 
o = altura do objeto
i = altura da imagem
EQUAÇÃO DE GAUSS1
= =f
1
p
1
p’
A = = –o
i
p
p’Aumento Linear
1
= =f
1
p
1
p’
A = = –o
i
p
p’
É possível tirar algumas conclusões a respeito da Figura 20, essas estão direta-
mente ligadas aos sinais das variáveis.
Sinais 
f > 0 → Espelho Côncavo
f < 0 → Espelho Convexo
p’ > 0 → Imagem Real
p’ < 0 → Imagem Virtual
i > 0 → Imagem Direita
i < 0 → Imagem Invertida
Refração da Luz
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REFRAÇÃO DA LUZ
Refração da luz é a passagem da luz de 
um meio para o outro. O conjunto de dois 
meios e a superfície que os separa é deno-
minado dioptro. A velocidade da onda 
luminosa (luz) depende da densidade do 
meio. Quanto maior a densidade de um 
meio, menor a velocidade de propagação 
da onda nele. O fenômeno da refração 
sempre ocorre acompanhado da reflexão.
Índice de Refração Absoluto: 
Característica do meio. Indica o grau de 
dificuldade encontrado pela luz, ao atra-
vessar um determinado meio.
n = v
c
Passando maquiagem ou fazendo a barba
Já usou um espelho esférico quando está passando maquiagem, fazendo 
a barba ou até espremendo espinhas? Aconselho você a usar um espelho 
côncavo quando for fazer qualquer uma dessas coisas. Os espelhos, geral-
mente de mão, que são destinados para essas atividades vão lhe dar uma 
imagem virtual, direita e maior, ou seja, você conseguirá melhores detalhes 
de uma pequena porção do seu rosto.
Fonte: Descomplica (2016, on-line)3.
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IVU N I D A D E154
LEIS DA REFRAÇÃO
i
RI
P
RR
Meio A
Meio B
N
Figura 21 - Representação gráfica da refração 
Fonte: os autores.
Onde:
RI= raio incidente
RR= raio refratado ou refrato
N = reta normal (perpendicular) à superfície no ponto de incidência 
î = ângulo de incidência
ȓ = ângulo de refração
1ª Lei: O raio refratado está contido no plano definido pelo raio incidente e pela 
reta normal.
2ª Lei (Também conhecida como Lei de Snell-Descartes): Para certa luz mono-
cromática e para dois meios dados, há uma relação constante entre o seno do 
ângulo de incidência e o seno de ângulo de refração, que depende, apenas, dos 
meios nos quais a luz se propaga.
= = constantesen ȓ
sen î
n
n2
1
Essa relação é, comumente, apresentada como:
n1.sen î = n2.sen ȓ
Refração da Luz
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155
Observações:
 ■ Se o raio passa de um meio menos refringente para um mais refringente, 
sua velocidade diminui, e ele se aproxima da normal.
 ■ Se o raio passa de um meio mais refringente para um menos refringente, 
sua velocidade aumenta, e ele se afasta da normal.
ÂNGULO LIMITE
Ângulo Limite é o menor ângulo de incidência da luz em uma superfície de 
separação, entre dois meios, a partir do qual ela é totalmente refletida. Isso só 
será possível se a luz passar do meio mais refringente para o menos refringente.
(2)
(1)
O
L
^
n2 < n1
Figura 22 - Representação gráfica do ângulo limite
Fonte: os autores.
Princípio de Huygens: Todos os pontos de uma frente de onda podem ser 
considerados como fontes de onda secundárias que se espalham para fora, 
com uma velocidade igual à velocidade de propagação da onda. 
Fonte: os autores.
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IVU N I D A D E156
Aplicando-se a lei da refração, temos:
n .sen θ = n . senθ2 21 1
n .sen L = n . sen90°^1 2
n
n2
1
sen L = ^
REFLEXÃO TOTAL INTERNA
Condições para que ocorra a reflexão total:
1ª O raio deve se propagar do meio mais refringente para o menos refrin-
gente.
2ª O ângulo de incidência deve superar o ângulo limite.
N
Neste caso tivemos
uma re�exão total
n
+
r = 0º
i = 0º
N
i > L
N
i = L
N
i < L
Figura 23 - Representação gráfica da reflexão total
Fonte: os autores.
São exemplos de aplicações da reflexão interna total: a fibra óptica e a miragem.
Refração da Luz
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Por que um diamante brilha tanto?
Está lembrado do ângulo crítico (ou Limite)? Quanto maior o índice de re-
fração de um material transparente, menor o ângulo crítico. Depois que um 
feixe de luz entra em um material de grande índice de refração, só sai se in-
cidir, internamente, com um ângulo menor que o ângulo crítico. O diamante 
tem um índice de refração n = 2,40. Com esse valor do índice de refração, o 
ângulo crítico do diamante (em relação ao ar) é pouco maior que 24°. Uma 
vez dentro do diamante, a luz só sai se incidir na superfície interna com um 
ângulo menor que esse. De 24° até 90° a luz reflete de volta.
A lapidação, isto é, a forma como a pedra é cortada, com muitas faces em 
ângulos variados, ajuda a intensificar esse efeito. Mas, se for um mero vidro, 
com seu modesto índice de refração 1,50, não há lapidação que consiga re-
produzir o brilho de um diamante. Hoje em dia, com luz artificial inundando 
o ambiente, o brilho de um diamante não é tão impressionante como era à 
luz dos candelabros dos tempos românticos. Uma pena.
Fonte: Seara da Ciência ([2017], on-line)4.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÓPTICA GEOMÉTRICA E OSCILAÇÕES
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IVU N I D A D E158
LENTES
Lente é um elemento óptico, que se utiliza do fenômeno da refração para con-
vergir ou divergir os raios luminosos. O modelo tradicional de lente compõe-se 
de duas superfícies refratárias, que podem ser de vidro polido ou, até mesmo, de 
acrílico. Ao menos uma das superfícies deve ser côncava ou convexa.
CLASSIFICAÇÃO DAS LENTES
Para apresentarmos a classificação das lentes, é importante, antes, ressaltar que 
elas estão imersas no ar, assim, o índice de refração da lente é maior que o índice 
de refração do meio.
nLente > nmeio
Caso a lente esteja em um meio cujo índice de refração é maior que o da lente , 
esta representação muda.
Lentes
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Lente Convergente
Quando raios incidindo paralelos ao eixo principal emergem (refratam) juntan-
do-se em um único ponto.
1 2 1
Figura 24 - Raios de luz em uma lente convergente
Fonte: os autores.
Lente Divergente: 
Quando raios incidindo paralelos ao eixo principal, emergem (refratam), afas-
tando-se uns dos outros. 
11 2
Figura 25 - Raios de luz em uma lente divergente
Fonte: os autores.
Obs: Para que as lentes convergente e divergentes atuem como tais, obrigato-
riamente, o índice de refração da lente deve ser maior que o índice de refração 
do meio que a contém.
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IVU N I D A D E160
REPRESENTAÇÃO GAUSSIANA PARA UMA LENTE DELGADA
Convergente Divergente
Figura 26 - Representação simplificada das lentes convergentes e divergentes
Fonte: os autores.
FOCOS DE UMA LENTE f :
Se o feixe luminoso incidir numa lente paralelamente ao eixoprincipal, ele se 
refrata convergindo para um ponto fi ou divergindo de um ponto fi, do eixo prin-
cipal, denominado foco principal imagem da lente.
Eixo principal Eixo principal
Convergente Divergente
ƒi
ƒi
Figura 27 - Representação do foco imagem nas lentes convergente e divergente
Fonte: os autores.
Se o feixe luminoso incidir numa lente passando por um ponto do eixo princi-
pal, ele se refrata, paralelamente, ao eixo principal. Esse ponto do eixo principal 
que coincide com o vértice do pincel cônico é chamado de foco principal objeto 
da lente (fo).
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Eixo principal
Convergente Divergente
ƒ0ƒ0
Figura 28 - Representação do foco objeto nas lentes convergente e divergente 
Fonte: os autores.
Portanto, uma lente esférica apresenta dois focos principais: fi e fo.
ƒ0
Luz
ƒi ƒ0ƒi
Luz
Figura 29 - Representação dos focos objeto e imagem nas lentes convergente e divergente 
Fonte: os autores.
No caso de uma lente delgada, o centro óptico é encontrado pela intersecção da 
lente com o eixo principal. Assim, o raio de luz que passa pelo centro óptico, ao 
ser refratado, não sofre desvio angular nem lateral. Qualquer reta que passe pelo 
centro óptico é denominada de eixo secundário.
O Eixo principal
Eixo secundário
Eixo secundário
O
Figura 30 - Representação do eixo secundário nas lentes convergente e divergente
Fonte: os autores.
ÓPTICA GEOMÉTRICA E OSCILAÇÕES
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IVU N I D A D E162
PONTOS ANTIPRINCIPAIS
A uma distância igual ao dobro da distância da focal do eixo óptico da lente sobre 
o eixo principal, encontram-se dois pontos notáveis de uma lente esférica: são 
os pontos antiprincipais. A figura ilustra uma lente convergente:
A F O A’F’
Figura 31 - Representação dos pontos antiprincipais 
Fonte: os autores.
RAIOS NOTÁVEIS
 ■ Se um raio de luz incidir, paralelamente ao eixo principal, ele refratará 
passando por fi;
 ■ Se um raio de luz incidir passando por O, ele emerge sem sofrer desvio;
 ■ Se um raio de luz incidir passando por F(o), ele emerge, paralelamente, 
ao eixo principal. 
A F O A’F’ A’ F’ O AF
Figura 32 - Representação dos raios notáveis nas lentes convergente e divergente
Fonte: os autores.
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FORMAÇÃO DE IMAGEM
Para formarmos uma imagem, é necessário utilizarmos pelo menos dois dos três 
raios notáveis visto anteriormente.
LENTE CONVERGENTE 
O
A F O
F’ A’
i
Figura 33 - Imagem real, invertida e menor
Fonte: os autores.
O
A F O
F’ A’
i
Figura 34 - Imagem real, invertida e do mesmo tamanho do objeto
Fonte: os autores.
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IVU N I D A D E164
O
A F O
F’ A’
i
Figura 35 - Imagem real, invertida e maior
Fonte: os autores. 
O
A F O
F’ A’
Figura 36 - Imagem imprópria
Fonte: os autores.
O
i
A F O
F’ A’
Figura 37 - Imagem virtual, direita e maior
Fonte: os autores.
Lentes
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165
LENTE DIVERGENTE
O
i
A F O F’ A’
Figura 38 - Imagem virtual, direita e menor
Fonte: os autores.
ESTUDO ANALÍTICO DAS LENTES
A F O
F’
p’
p
A’
Figura 39 - Representação analítica de uma lente
Fonte: os autores. 
Onde: 
f = distância focal
p = distância do objeto a lente
p’ = distância da imagem a lente 
o = altura do objeto
i = altura da imagem
ÓPTICA GEOMÉTRICA E OSCILAÇÕES
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IVU N I D A D E166
Equação de Gauss
1
= =f
1
p
1
p’
A = = –o
i
p
p’
Aumento Linear
1
= =f
1
p
1
p’
A = = –o
i
p
p’
É possível tirar algumas conclusões a respeito da imagem:
Sinais 
f > 0 → Lente Convergente
f < 0 → Lente Divergente
p’ > 0 → Imagem Real
p’ < 0 → Imagem Virtual
i > 0 → Imagem Direita
i < 0 → Imagem Invertida
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Oscilações Mecânicas
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OSCILAÇÕES MECÂNICAS
O Movimento Harmônico Simples (MHS) é um movimento oscilatório e esse 
nada mais é do que a projeção do Movimento Circular Uniforme no plano. 
Assim como o Movimento Circular Uniforme, o Harmônico Simples é um 
movimento periódico de um corpo que oscila em torno de uma posição de 
equilíbrio cuja força restauradora é proporcional ao deslocamento e ele man-
tém sua amplitude constante.
Sempre que um movimento é dito periódico é porque acontece em inter-
valos de tempos regulares (iguais), esses movimentos geralmente são descritos 
por funções seno e cosseno.
A equação a seguir determina a posição de um objeto que descreve um 
Movimento Harmônico simples em função do tempo.
x(t) = A.cos (�t + �0)
Onde:
x(t) : posição do corpo em qualquer instante (m);
A : amplitude do movimento (elongação máxima - m);
� : pulsação do movimento (velocidade angular - rad/s);
�0 : fase inicial (rad).
ÓPTICA GEOMÉTRICA E OSCILAÇÕES
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IVU N I D A D E168
De posse da posição do objeto, basta que a derivemos para obter a velocidade 
e a aceleração.
v = = - A.�.sen (�t + � ) dt
dx
0
a = = - A.� .cos (�t - � ) dt
dv
0
2
a = - � .x 2Logo:
a = - �2.x
Se observarmos que a força restauradora sobre um corpo que descreve um 
Movimento Harmônico Simples é a única força que atua sobre ele, podemos 
chamá-la de força resultante, assim:
F = - k.xR
m.a = - k.x
2m.(-� .x) = - k.x
m.(� ) = k2
� = �mk
PERÍODO DO OSCILADOR HARMÔNICO MASSA-MOLA 
Devemos inicialmente lembrar que período é o tempo necessário para o fenô-
meno acontecer apenas uma vez, nesse caso específico, período é o tempo de 
uma oscilação completa.
Do Movimento Circular Uniforme temos:
� = T
2pi
�mk = T2pi
T = 2pi.�mk
Oscilações Mecânicas
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ENERGIA NO MHS
Na Unidade II, estudamos detalhadamente o conceito de energia. Agora, vamos 
apenas aplicá-los para o MHS. Um sistema submetido a uma força F(x) = - k.x 
tem energia cinética dada por:
K = m.v 1
2
2
K = m.[- A.�.sen(�t + � )] 1
2
2
0
K = m.A .� .sen (�t + � ) 1
2
2 2 2
0
K = m.A . .sen (�t + � ) 1
2
2 2
0
k
m
K = m.A .sen (�t + � ) 1
2
2 2
E terá energia potencial dada por:
U = k.x 1
2
2
U = k.[A.�.cos(�t + � )] 1
2
2
0
U = k.A .� .cos (�t + � ) 1
2
2 2 2
0
Assim, a energia mecânica (total) do corpo que realiza Movimento Harmônico 
Simples será dada por:
E = K + U M
E = k.A .sen (�t + � ) + k.A .cos (�t + � ) 1
2
2 2 22
0 0
1
2M
E = k.A .[sen (�t + � ) + cos (�t + �)] 1
2
2 2 2
0 0M
sen (�t + � ) + cos (�t + � ) = 1 2 2 00
E = k.A 1
2
2
M
E = m.� .A = constante 1
2
2 2
M
ÓPTICA GEOMÉTRICA E OSCILAÇÕES
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IVU N I D A D E170
A descrição feita pode ser representada pela figura:
EM =
-A A
x
k . A2 = constante
1
2
U = k . A2 . cos2 (ωt + θ0) 
1
2
K = k . A2 . sen2 (ωt + θ0) 
1
2
Figura 40 - Representação gráfica das energias cinética e potencial
Fonte: os autores.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerações Finais
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171
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta Unidade IV, você aprendeu mais sobre dois importantes ramos da 
física: óptica geométrica e oscilações mecânicas, ambos os temas têm grande 
apelo tecnológico.
No primeiro tópico fizemos uma discussão sobre o fenômeno da reflexão da 
luz e uma aplicação do fenômeno, os espelhos planos. Neste tópico, esperamos 
que o aluno tenha compreendido os conceitos básicos de óptica geométrica, 
como o comportamento ondulatório da luz, a propagação retilínea da luz e o 
fenômeno da reflexão da luz. Para complementar e aprofundar o tema, apre-
sentamos o elemento “Saiba Mais” e neste apresentamos aos alunos algumas 
aplicações tecnológicas dos conceitos estudados. 
O tópico 2 discutiu espelhos esféricos e suas características, permitindo 
ao aluno uma compreensão do principal elemento de um espelho esférico, a 
distância focal do espelho, da mesma forma, solicitamos ao final do tópico 
uma pesquisa sobre as aplicações desses espelhos. No tópico 3, ainda de óptica 
geométrica, apresentamos o conceito de refração da luz e, no tópico 4, dis-
cutimos uma aplicação do tópico 3, as lentes delgadas em que o aluno pode 
compreender as características de cada tipo de lente, bem como as caracte-
rísticas das imagens formadas.
No quinto e último tópico, o aluno teve a oportunidade de estudar o tema 
Oscilações Mecânicas e conhecer as principais características de um movimento 
periódico. Aqui, apresentamos com detalhes um movimento conhecido como 
Movimento Harmônico Simples, composto por um sistema massa-mola. O 
aluno também teve a chance de aplicar um pouco do cálculo estudado visto que 
as funções horárias de posição e velocidade são funções do tipo cosseno e seno.
Como leitura complementar deste capítulo, apresentamos ao aluno a super-
posição de Movimentos Harmônicos Simples na mesma direção, visando o 
aprofundamento do tópico estudado.
172 
1. As imagens geradas em um espelho plano possuem características especiais. 
Dentre as características indicadas a seguir, identifique aquela que não per-
tence ao espelho plano: 
f ) São simétricas em relação ao objeto. 
g) Possuem natureza oposta a do objeto. 
h) São enantiomorfas. 
i) São invertidas em relação ao objeto. 
j) São direitas em relação ao objeto.
2. Um diretor de cinema deseja obter uma cena com 15 bailarinas espanholas. Para 
tanto, ele dispõe de 3 bailarinas e 2 espelhos planos. Para a obtenção de tal cena, 
os espelhos devem ser dispostos, formando entre si um ângulo igual a: 
a) 600. 
b) 900. 
c) 300. 
d) 750. 
e) 720.
3. Um espelho esférico é colocado a uma certa distância de um objeto luminoso, 
conforme indica a figura a seguir. Identifique e assinale qual das alternativas 
a seguir melhor descreve a imagem formada:
F C
a) Invertida e virtual. 
b) Invertida e maior. 
c) Direita e real. 
d) Direita e virtual. 
e) Invertida e menor. 
173 
4. Com uma lente delgada, projeta-se em um anteparo a imagem de uma vela de 
5 cm de altura. Sabendo-se que as distâncias da vela e do anteparo são, respec-
tivamente, 80 cm e 240 cm, assim a distância focal da lente e o tamanho da 
imagem são, respectivamente: 
a) 15 cm e 60 cm. 
b) 60 cm e 15 cm. 
c) 15 cm e 40 cm. 
d) 60 cm e 80 cm.
e) 240 cm e 80 cm. 
5. A figura a seguir representa um sistema mola-massa. Inicialmente, a massa en-
contra-se na posição x = A e a mola, distendida. O sistema é liberado, passa a os-
cilar entre as posições x = A e x = – A e passa pela posição de equilíbrio x = 0, exe-
cutando um movimento harmônico que obedece a seguinte equação horária:
x(t) = 0,2.cos(0,5π.t + π), no SI
Com base nestas informações descritas anteriormente, nos conceitos básicos de 
movimento harmônico simples e desprezando a força de atrito entre a massa e a 
superfície de apoio, analise as afirmativas a seguir: 
-A 0
x
M
A
 
V. O movimento harmônico simples pode ser descrito como a projeção do mo-
vimento circular uniforme no plano.
VI. A posição x = A é a elongação máxima da mola e vale 0,2 m.
VII. O período desse movimento harmônico simples é 0,5π s.
 Assinale a alternativa correta:
a) Apenas a afirmativa I é correta.
b) As afirmativas I e II são corretas.
c) As afirmativas I e III são corretas.
d) Todas as afirmativas estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão incorretas.
174 
Superposição de Movimentos Harmônicos de Mesma Direção
Se tivermos uma massa m presa a uma mola e aplicarmos nela duas forças independen-
tes nessa massa, no sentido de deformar a mola, dever-se-ia esperar pelo princípio de 
independência das ações das forças, que o deslocamento resultante fosse a soma dos 
movimentos provocados por cada uma delas, isoladamente.
Sejam os movimentos:
x1 = Acos(�1t)
x2 = Acos(�2t)
E suponhamos que as fases iniciais sejam iguais a zero. 
Considerando as amplitudes máximas iguais para os dois movimentos, então:
x = x1 + x2
x = A[cos(�1t) + cos(�2t)]
Lembramos, aqui, a igualdade trigonométrica:
cos(a) + cos(b) = 2cos( ).cos( )a - b
2
a + b
2
x = 2.A .[cos .cos ( )] (� - � )
2
1 2
t (� + � )
2
1 2
t
x = A’[cos ](� + � )
2
1 2
t
�’ =(� + � )
2
1 2
A’ = 2Acos( )t � - � 
2
1 2
� ≈ � , cos( )t ≌ 1 e A’ = 2A 1 2
� - � 
2
1 2
x = 2Acos (�’t) 
Aplicando a igualdade trigonométrica na função apresentada, temos:
x = A[cos(�1t) + cos(�2t)]cos(a) + cos(b) = 2cos( ).cos( )a - b2 a + b2
x = 2.A .[cos .cos ( )] (� - � )
2
1 2
t (� + � )
2
1 2
t
x = A’[cos ](� + � )
2
1 2
t
�’ =(� + � )
2
1 2
A’ = 2Acos( )t � - � 
2
1 2
� ≈ � , cos( )t ≌ 1 e A’ = 2A 1 2
� - � 
2
1 2
x = 2Acos (�’t) 
Que pode ser escrita como:
cos(a) + cos(b) = 2cos( ).cos( )a - b
2
a + b
2
x = 2.A .[cos .cos ( )] (� - � )
2
1 2
t (� + � )
2
1 2
t
x = A’[cos ](� + � )
2
1 2
t
�’ =(� + � )
2
1 2
A’ = 2Acos( )t � - � 
2
1 2
� ≈ � , cos( )t ≌ 1 e A’ = 2A 1 2
� - � 
2
1 2
x = 2Acos (�’t) 
Isto é, um Movimento Harmônico de frequência angular:
cos(a) + cos(b) = 2cos( ).cos( )a - b
2
a + b
2
x = 2.A .[cos .cos ( )] (� - � )
2
1 2
t (� + � )
2
1 2
t
x = A’[cos ](� + � )
2
1 2
t
�’ =(� + � )
2
1 2
A’ = 2Acos( )t � - � 
2
1 2
� ≈ � , cos( )t ≌ 1 e A’ = 2A 1 2
� - � 
2
1 2
x = 2Acos (�’t) 
Que é a média aritmética das frequências aplicadas, e a amplitudeserá:
cos(a) + cos(b) = 2cos( ).cos( )a - b
2
a + b
2
x = 2.A .[cos .cos ( )] (� - � )
2
1 2
t (� + � )
2
1 2
t
x = A’[cos ](� + � )
2
1 2
t
�’ =(� + � )
2
1 2
A’ = 2Acos( )t � - � 
2
1 2
� ≈ � , cos( )t ≌ 1 e A’ = 2A 1 2
� - � 
2
1 2
x = 2Acos (�’t) 
175 
Se, 
cos(a) + cos(b) = 2cos( ).cos( )a - b
2
a + b
2
x = 2.A .[cos .cos ( )] (� - � )
2
1 2
t (� + � )
2
1 2
t
x = A’[cos ](� + � )
2
1 2
t
�’ =(� + � )
2
1 2
A’ = 2Acos( )t � - � 
2
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� ≈ � , cos( )t ≌ 1 e A’ = 2A 1 2
� - � 
2
1 2
x = 2Acos (�’t) 
O movimento resultante tem uma frequência que é a média das frequências dos movimen-
tos componentes e a sua amplitude lentamente de 0 a . Nesse caso, temos o movimento 
conhecido como modulado, e suas variações de amplitude chamam-se batimentos.
Fonte: os autores.
MATERIAL COMPLEMENTAR
Física 2: Física Térmica, Óptica
Grupo de Reelaboração do Ensino de Física - GREF (USP) 
Editora: Edusp orem ipsum
Sinopse: este livro apresenta, no início de cada tópico, um levantamento sobre 
a ligação da Física com as experiências vivenciadas pelo aluno no seu dia a dia 
em relação aos elementos, máquinas e processos da Física Térmica e Óptica. 
Sendo assim, o ensino da física não � ca apenas nas equações matemáticas.
Comentário: este livro aborda os conceitos de óptica de forma conceitual e a 
partir de situações do dia a dia.
Neste link, disponível em: <https://periodicos.ufsc.br/index.php/fi sica/article/view/
2175-7941.2011v28n1p123/1870>, será apresentado “o tratado sobre a luz de 
Huygens”, um texto com fundamentação na História da Ciência.
REFERÊNCIAS
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. In: Sears & Zemansky. Física IV - Ótica e Física Mo-
derna. 14. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
REFERÊNCIAS ON-LINE
1Em: <https://www.coladaweb.com/fisica/optica/aplicacoes-da-optica-na-vida-co-
tidiana>. Acesso em: 8 nov. 2017.
2Em: <https://commons.wikimedia.org/w/index.php?search=Odeillo&title=Spe-
cial:Search&go=Go&searchToken=122u4fporsagh5e80glv014y7#/media/File:Four_
solaire_odeillo.jpg>. Acesso em: 8 nov. 2017.
3Em: <https://descomplica.com.br/blog/fisica/lista-espelhos-esfericos/>. Acesso 
em: 8 nov. 2017.
4Em: <http://www.seara.ufc.br/tintim/fisica/refracao/refracao6.htm>. Acesso em: 8 
nov. 2017.
177
GABARITO
1. Alternativa D.
Um espelho plano produz uma imagem virtual, direto em relação ao objeto, do 
mesmo tamanho em relação ao objeto e enantiomofa (reversa)
2. Alternativa E.
n = � 1(360)
α
4 = � 1(360)
α
5 = (360)
α
α = (360)
5
α = 72° 
3 bailarinas = 12 imagens
1 bailarina = n imagens
n = 4 imagens n = � 1(360)
α
4 = � 1(360)
α
5 = (360)
α
α = (360)
5
α = 72° 
3. Alternativa E.
Quando um objeto é colocado antes do centro de curvatura de um espelho esfé-
rico côncavo, a imagem fornecida por ele é: real, invertida e menor.
4. Alternativa B.
Imagem projetada = imagem real ----- lente convergente
o = 5cm p = 80cm p’ = 240cm
f = ?
i = ?
= 
– 240
80
i
5
= 
– p’
p
i
o
i = - 15cm 
f = 60cm 
= +p – p’
1 1 1
f
= +
80 240
1 1 1
f = 
– 240
80
i
5
= 
– p’
p
i
o
i = - 15cm 
f = 60cm 
= +p – p’
1 1 1
f
= +
80 240
1 1 1
f
O sinal negativo diz que a imagem é invertida.
GABARITOGABARITO
GABARITO
179
5. Alternativa B.
Definição: o movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular 
uniforme no plano.
Assim temos que:
T = 4s 
= T 
2pi
0,5pi
ω = = 0,5pi 
2pi
T
0A = 0,2m , ω = 0,5pi e θ = pi 
x(t) = 0,2.cos (0,5pi.t + pi)
0x(t) = A.cos (ω.t + θ )
U
N
ID
A
D
E V
Professor Dr. Michel Corci Batista
Professor Dr. Gilson Junior Schiavon
Professor Me. Danilo Corci Batista
ELETRICIDADE E 
MAGNETISMO
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Relembrar os conceitos que envolvem a carga elétrica em repouso, 
ou seja, da eletrostática.
 ■ Relembrar os conceitos que envolvem a carga elétrica em 
movimento, ou seja, da eletrodinâmica.
 ■ Estudar as relações entre campos elétricos e magnéticos, ou seja, do 
eletromagnetismo. 
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Eletrostática
 ■ Eletrodinâmica
 ■ Eletromagnetismo
Introdução
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183
INTRODUÇÃO
Podemos dividir todo o conteúdo da unidade V em apenas três grandes tópicos, 
sendo estes a Eletrostática, a Eletrodinâmica e o Eletromagnetismo. É impor-
tante ressaltar que cada assunto destes daria um livro completo, o que justifica 
o fato desta unidade reunir apenas os conceitos mais importantes. No estudo da 
eletrostática, analisamos os efeitos e interações das cargas elétricas estáticas, ou 
seja, paradas. Na eletrodinâmica analisamos os efeitos das cargas elétricas em 
movimento e, como sabemos, a corrente elétrica é nada mais nada menos do 
que um fluxo ordenado de elétrons. No estudo do eletromagnetismo, analisamos 
os campos magnéticos gerados por correntes elétricas e as correntes induzidas 
geradas por campos magnéticos.
O eletromagnetismo é um dos grandes pilares da física. Foi a partir do ele-
tromagnetismo e da indução magnética que os primeiros motores puderam ser 
desenvolvidos, alavancando a era industrial. O eletromagnetismo uniu os fenô-
menos elétricos e magnéticos presentes na natureza.
No decorrer desta unidade, estudaremos grandezas básicas da carga elé-
trica e iremos evoluindo, entendendo como elas interagem entre si. Em seguida, 
começaremos a definir outras grandezas físicas de suma importância, como o 
campo elétrico, a força elétrica, o potencial elétrico e também como se realizam 
os seus cálculos. Revisaremos os conceitos de capacitância, corrente elétrica e as 
leis básicas que regem os circuitos elétricos, como as leis de Ohm e de Kirchhoff.
Encerraremos nosso estudo com o eletromagnetismo, estudando os cam-
pos, as forças e a indução magnética, com o objetivo de fechar a unidade com as 
equações de Maxwell, que são as equações fundamentais do eletromagnetismo.
Alguns pré-requisitos básicos são imprescindíveis para o estudo da unidade 
V, tais como cálculo integral e diferencial e uma boa noção de vetores. Isso garan-
tirá um aprendizado eficaz e até mesmo prazeroso.
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VU N I D A D E184
ELETROSTÁTICA
A figura apresenta uma bola de plasma, ou seja, refere-se a uma montagem que 
reúne eletrônica e descarga elétrica em gases rarefeitos. A eletrostática é um ramo 
da eletricidade que estuda as propriedades e o comportamento de cargas elé-
tricas em repouso. A eletricidade, por sua vez, é uma área de estudo bem mais 
ampla dentro da Física.
CARGA ELÉTRICA
A matéria é constituída por átomos, e esses, por sua vez, são formados, basica-
mente, por três partículas, sendo elas: os prótons, os elétrons e os nêutrons. Em 
um átomo, é possível distinguirmos duas regiões, um núcleo central onde estão 
localizados os prótons e os nêutrons e a eletrosfera, região que envolve o núcleo 
e onde estão localizados os elétrons. A Figura 1 apresenta ummodelo simplifi-
cado de um átomo:
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Figura 1 - Modelo simplificado de um átomo, prótons e nêutrons no núcleo, e elétrons movendo-se ao redor 
do núcleo, na eletrosfera
Fonte: Shutterstock - ID 176251925.
Um fato muito interessante, demonstrado na Figura 2, acontece quando você 
coloca um próton perto de outro, eles se repelem e, quanto mais próximos, mais 
intensa é a força de repulsão. Isto vale também para elétrons, porém, quando se 
coloca elétrons e prótons juntos, eles se atraem e, quanto mais próximos, mais 
intensa fica essa força de atração. Então podemos dizer que:
“Cargas de mesmos sinais se repelem e de sinais opostos se atraem”.
Figura 2 - Princípio de atração e repulsão entre cargas elétricas
Fonte: Os autores.
Por outro lado, os nêutrons não apresentam nenhuma manifestação de atrair ou 
repelir outras partículas. A propriedade de interação entre prótons e elétrons não 
manifestada pelos nêutrons foi denominada carga elétrica.
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VU N I D A D E186
Quando um corpo, que é constituído de vários átomos, tiver mais elétrons que 
prótons, dizemos que o corpo está carregado, eletricamente, com uma carga 
negativa, ou simplesmente carregado negativamente, e se estiver perto de outro 
corpo também carregado negativamente, eles vão se repelir. No entanto, se o 
corpo tiver mais prótons do que elétrons, dizemos que está carregado, eletrica-
mente, com carga positiva.
É possível verificar, experimentalmente, que os prótons e os elétrons pos-
suem a mesma quantidade de eletricidade, diferenciada apenas pelo sinal. Esta 
quantidade foi denominada “carga elétrica elementar (EQUAÇAO)”, esses valo-
res estão representados no Quadro 1:
Quadro 1 - Valor da carga elétrica de um elétron e um próton 
SUBPARTÍCULA REPRESENTAÇÃO VALOR
Carga elétrica do elétron - e -1,6.10-19 C
Carga elétrica do próton + e +1,6.10-19 C
Fonte: os autores.
A unidade de carga elétrica no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o 
Coulomb (C). A grandeza física “carga elétrica” é também denominada no (SI) 
de “quantidade de eletricidade”. Na maioria das vezes, os corpos, na natureza, 
possuem quantidades iguais de elétrons e prótons, por isso, dizemos que eles 
têm carga nula e acabamos não observando um fenômeno de repulsão ou atra-
ção. Retirando ou acrescentando elétrons na eletrosfera de alguns átomos que 
constituem um corpo neutro, é possível deixá-lo eletrizado.
“Um corpo está eletrizado quando o número total de prótons que possui é 
diferente do número total de elétrons.”
Geralmente, a quantidade de carga de um corpo é muito pequena, assim, uti-
lizamos prefixos ou, simplesmente, submúltiplos do Coulomb para facilitar a 
representação, conforme apresentado no Quadro 2:
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Quadro 2 - Prefixos utilizados para a carga elétrica
PREFIXO VALOR
mili (m) 1.10-3
micro (µ) 1.10-6
nano (n) 1.10-9
pico (p) 1.10-12
Fonte: os autores.
Imaginemos que “n” é o número de cargas elétricas em excesso de um corpo. 
Para determinarmos este número, basta fazermos a diferença entre o número de 
elétrons e o de prótons e tomá-la em valor absoluto, como segue:
n = |ne - np| (1) 
A quantidade de eletricidade ou carga elétrica (Q) de um corpo pode ser calcu-
lada por meio da equação 2.
Q = ± n.e (2)
Os sinais (+) ou (-) são utilizados se o corpo estiver carregado, positiva ou 
negativamente.
Eletrizar um corpo neutro consiste em acrescentar-lhe ou lhe retirar alguns 
elétrons. Existem três modos elementares para eletrizar um corpo neutro: 
atrito, contato e indução.
Fonte: os autores.
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VU N I D A D E188
CONDUTORES E ISOLANTES
Os materiais podem ser classificados de acordo com a facilidade com a qual as 
cargas elétricas movem-se no seu interior. Nos condutores, como o cobre dos 
fios elétricos, o corpo humano e a água de torneira, as cargas elétricas movem-
-se com facilidade. Nos isolantes, como os plásticos do isolamento dos fios, a 
borracha, o vidro e a água destilada, as cargas não se movem. Os semiconduto-
res, como o silício e o germânio, conduzem eletricidade melhor que os isolantes, 
mas não tão bem como os condutores.
LEI DE COULOMB
Até aqui já entendemos que corpos eletricamente carregados atuam com uma 
força sobre o outro, dependendo da carga, mas é possível se conhecer a intensi-
dade da força por meio da Lei de Coulomb cuja intensidade da força entre duas 
cargas puntiformes depende:
1. do módulo das cargas elétricas (Q1 e Q2);
2. da distância que as separam (d);
3. do meio ambiente onde se encontram as cargas puntiformes.
Com relação ao terceiro item, vamos, inicialmente, supor que seja o vácuo. Uma 
carga puntiforme trata-se de uma carga cujas dimensões do corpo não impor-
tam no problema, ou seja, é tratada como uma partícula. A noção de partícula, 
Os supercondutores são condutores perfeitos, materiais nos quais as cargas 
se movem sem encontrar nenhuma resistência.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
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o aluno deve ter trazido da mecânica, que, relembrando, quer dizer que o for-
mato, as dimensões do corpo, não importam para a resolução do problema.
A intensidade da força eletrostática, que é medida em Newton (N) entre duas car-
gas puntiformes é diretamente proporcional ao produto dos módulos das cargas 
elétricas (em Coulomb) e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
(em metros) que as separam, conforme representado na Figura 3:
Figura 3 - Figura demonstrativa da lei de Coulomb
Fonte: Os autores.
Essa é uma força eletrostática e tem essa definição, pois é calculada para car-
gas estáticas e pode ser traduzida, matematicamente, pela equação 3, conhecida 
como Lei de Coulomb.
F = k ȓ (3)Q Q r0 2
1 2→
F = (4)1 
4pi� 2
1 2|Q ||Q |
r0
k = (5)0
1 
4pi�0
A letra K0 é a constante eletrostática do vácuo que tem o valor de k0 = 8,99.109 
N.m2/C2, as letras Q1 e Q2 são as cargas envolvidas no problema e r é distância 
entre elas. É mais fácil, porém, escrever a equação (3) assim:F = k ȓ (3)
Q Q 
r0 2
1 2→
F = (4)1 
4pi� 2
1 2|Q ||Q |
r0
k = (5)0
1 
4pi�0
Comparando as equações (3) e (4), podemos concluir que:
F = k ȓ (3)Q Q r0 2
1 2→
F = (4)1 
4pi� 2
1 2|Q ||Q |
r0
k = (5)0
1 
4pi�0
A equação (4) dá-nos somente o módulo da força das cargas, isso facilita, e 
muito, os cálculos, pois você deixa para avaliar a direção e o sentido da força 
depois (ou até antes).
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VU N I D A D E190
SUPERPOSIÇÃO DE FORÇAS ELETROSTÁTICAS
Bem, até agora, vimos somente a força que existe entre duas cargas, mas o acon-
teceria se tivéssemos um sistema de cargas?
Figura 4 - Superposição de 9 cargas interagindocom a carga 1
Fonte: Os autores.
A resposta a essa questão é: as cargas vão interagir aos pares, então, para 
saber qual será a força que agirá sobre uma carga qualquer quando estiver 
perto de várias outras cargas, basta calcular a superposição destas forças 
sobre tal carga.
CAMPO ELÉTRICO
No tópico anterior, estudamos a força elétrica que age entre duas partículas ele-
trizadas. Agora, estudaremos o mecanismo dessa força, para isso, introduziremos 
o conceito de campo elétrico.
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Considere a Figura 5, onde temos uma esfera A de dimensões desprezíveis, 
que foi previamente eletrizada com uma quantidade de carga elétrica +Q. 
Experimentalmente, verificamos que o espaço que envolve a esfera foi, de alguma 
forma, modificado, devido à presença de suas cargas elétricas. Para constatar-
mos esta modificação, podemos aproximar uma carga de prova positiva (+q) no 
ponto P e veremos que, em qualquer local que se coloque a carga de prova nessa 
região, surgirá sobre a carga de prova uma força elétrica de repulsão. Podemos 
dizer, então, que em torno da esfera A estabeleceu-se um campo elétrico.
+Q
A
++++ +
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
r
+q
P
Haste
isolante
F
Figura 5 - Esfera eletrizada e carga de prova
Fonte: adaptada de Mundo Educação ([2017), on-line)1.
O campo elétrico associado ao ponto P não depende da carga de prova (q) que 
ali foi colocada.
Campo elétrico criado por uma carga puntiforme
Vamos agora considerar um campo elétrico gerado por uma carga puntiforme 
Q. Em um ponto genérico P desse campo a equação de definição do vetor campo 
elétrico é:
E = (6)F Q
Na Figura 6, podemos observar que em torno de uma carga positiva (Q>0), o 
campo elétrico será sempre de afastamento, enquanto em torno de uma carga 
negativa (Q<0), o campo elétrico será sempre de aproximação.
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VU N I D A D E192
Figura 6 - Campo elétrico formado por uma (a) carga positiva e (b) uma carga negativa
Fonte: Halliday , Resnick e Walker (2016).
Na Figura 7, temos um par de cargas, sendo uma positiva e outra negativa, 
mais conhecida como dipolo elétrico, nela é possível observarmos que as 
linhas de campo saem da carga positiva e entram na carga negativa. Ainda 
é possível ver um ponto P, onde se tem o vetor campo elétrico. Esse campo 
elétrico E é uma grandeza vetorial, e é calculado no ponto, ou seja, ele muda 
de ponto para ponto.
(tangente)
Dipolo elétrico
P
P
E+
E
E-
Figura 7 - Linhas do campo elétrico
Fonte: adaptada de RC Unesp ([2017], on-line)2. 
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A Figura 8 mostra-nos uma carga de prova negativa q0 (uma carga muito pequena) 
perto de uma carga positiva Q, por exemplo, a carga de prova q0 sentirá uma 
força de atração, podemos perceber, neste caso, que os vetores força elétrica e 
campo elétrico possuem sentidos opostos.
Figura 8: O campo elétrico e a força eletrostática sobre uma carga de prova.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
Substituindo a equação (4) na equação (6), temos que:
E = k = (7)1 
4pi�2r 00
|Q|
2r
|Q|
Em que ε0 é a permissividade elétrica do vácuo. Entendido isso, existem outras 
situações em que é possível calcular o campo elétrico analiticamente (sem a neces-
sidade de um computador). São eles: o campo elétrico de um dipolo elétrico, 
campo elétrico de um anel circular carregado e campo elétrico de um disco tam-
bém carregado. As suas equações de campo elétrico estão resumidas no Quadro 3:
Quadro 3 - Vários tipos de campos elétricos para algumas geometrias diferentes
CAMPOS ELÉTRICOS EQUAÇÕES
Dipolo Elétrico
E = 1 pz2piε0 3
E = qz
4piε (z + R ) 0 2 2 2
3
E = (1 - ) zσ
2ε √z + R 0 22
p → Momento dipolar
z → Distância até o dipolo
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CAMPOS ELÉTRICOS EQUAÇÕES
Anel Carregado
E = 1 pz2piε0 3
E = qz
4piε (z + R ) 0 2 2 2
3
E = (1 - ) zσ
2ε √z + R 0 22
z → Distância até o anel
R → Raio do anel
Disco Carregado
E = 1 pz2piε0 3
E = qz
4piε (z + R ) 0 2 2 2
3
E = (1 - ) zσ
2ε √z + R 0 22
σ → Densidade de carga superficial
z → Distância até o disco
R → Raio do disco
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
É bom lembrar que, dependendo de como está distribuída a carga em certo 
objeto ou em uma região do espaço, o campo elétrico será sempre dependente 
desta geometria.
LEI DE GAUSS
Os físicos (assim como os cientistas em geral), muitas vezes se deparam com 
problemas que, aos seus olhos, são muito difíceis, mas há algo que um cientista 
experiente pode sempre contar para resolver a maioria dos problemas: a simetria. 
Isso é algo que realmente os ajuda. Para poupar trabalho, em certas distribui-
ções de cargas simétricas, vamos usar a chamada Lei de Gauss, descoberta pelo 
matemático e físico Carl Friedrich Gauss. 
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Bem, do que se trata essa Lei de Gauss? Essa lei considera colocar uma superfí-
cie fechada ao redor da carga, o nome dessa superfície é Superfície Gaussiana, 
e relacionar o campo elétrico na superfície gaussiana à carga total envolvida.
Assim, se queremos calcular o campo elétrico de uma distribuição esfericamente 
distribuída, fazemos uma superfície gaussiana esférica ao redor dessa carga e cal-
culamos o fluxo que passa através da superfície, como na Figura 9:
Figura 9 - Esquema de uma gaussiana em uma distribuição esférica de carga 
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
A palavra fluxo usada anteriormente refere-se ao campo elétrico que passa por 
uma área, no nosso caso a superfície gaussiana representada pela letra A, na 
Figura 10:
Figura 10 - Representação de um fluxo de campo elétrico sobre uma área qualquer
Fonte: adaptada de Resumo Escolar ([2017], on-line)3.
Na Figura 10, temos um fluxo de campo que pode ser escrito, matematicamente, 
da seguinte forma:
� = E . A → � = EAcosθ (8) → →
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VU N I D A D E196
Onde cos θ, é o cosseno do ângulo entre os vetores � = E . A → � = EAcosθ (8) → → e � = ∫ E . dA (9) → →
� = (10) Qenvε₀
∮ E . dA = (11) Qenvε₀
→→
. Escrevendo na forma 
integral, o fluxo total fica:
� = ∫ E . dA (9) → →
� = (10) Qenvε₀
∮ E . dA = (11) Qenvε₀
→→
Como pode ser visto, dividimos a superfície da Figura 9 em pequenos pedaços 
de área que chamamos � = ∫ E . dA (9) → →
� = (10) Qenvε₀
∮ E . dA = (11) Qenvε₀
→→
. Esse vetor � = ∫ E . dA (9) → →
� = (10) Qenvε₀
∮ E . dA = (11) Qenvε₀
→→
 é perpendicular à superfície gaus-
siana. Então, é possível calcular o fluxo do vetor campo elétrico � = E . A → � =EAcosθ (8) → → que atravessa 
a área � = ∫ E . dA (9) → →
� = (10) Qenvε₀
∮ E . dA = (11) Qenvε₀
→→
. Bem, agora, chegamos na Lei de Gauss da eletricidade, que é escrita 
da seguinte forma: � = ∫ E . dA (9) 
→ →
� = (10) Qenvε₀
∮ E . dA = (11) Qenvε₀
→→
Substituindo a equação (9) na (10), a Lei de Gauss torna-se:
� = ∫ E . dA (9) → →
� = (10) Qenvε₀
∮ E . dA = (11) Qenvε₀
→→
Essa é a Lei de Gauss para campos elétricos. Ela nos diz que o fluxo de um 
campo elétrico em uma superfície fechada é igual à carga envolvida (Qenv), 
dividida por uma constante de permissividade elétrica no vácuo (ε0), onde 
ε0 = 8,85.10-12 N.m2/C2.
Agora, calcularemos o campo elétrico por meio da Lei de Gauss. Para uma 
distribuição de carga esférica, consideremos a Figura 9 quando o campo elétrico 
passa pela superfície, esses dois vetores estão paralelos um ao outro, em todos 
os pontos da superfície.
A carga do lado de fora de uma superfície gaussiana contribui para o fluxo 
total por meio da superfície fechada?
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Então, a integral da equação (11) fica:
� E . dA = → � Eda cosθ = Qenvε₀
Qenv
ε₀
→→
E � dA = → E4pir� = → E = (12) Qenvε₀
Qenv Qenv
ε₀
1
r�4piε0
Como neste caso, θ = 0, e isolando o campo elétrico, temos:
� E . dA = → � Eda cosθ = Qenvε₀
Qenv
ε₀
→→
E � dA = → E4pir� = → E = (12) Qenvε₀
Qenv Qenv
ε₀
1
r�4piε0
Chegamos ao campo elétrico encontrado na Lei de Coulomb, visto no tópico 
anterior. Na integral ∮da o valor do elemento de área (da) é 4πr2 que corres-
ponde à área da superfície de uma esfera.
POTENCIAL ELÉTRICO
O potencial elétrico é uma medida do nível de energia potencial elétrica. Suponha 
que exista uma carga de prova q nas redondezas de uma carga elétrica positiva 
no ponto i e que consigamos deslocá-la até o ponto f, como na Figura 11:
q0
Figura 11 - Deslocamento de uma carga de prova sob um campo elétrico
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
Como aplicar a lei de Gauss em superfícies com simetria cilíndrica?
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
VU N I D A D E198
A primeira pergunta que podemos fazer é, qual é o trabalho realizado para des-
locar essa carga de prova nesse campo elétrico de carga positiva do ponto i até o 
ponto f? Para isso, teremos que assumir que o campo elétrico é um campo con-
servativo uma vez que a força elétrica é conservativa. Isso significa que o trabalho 
realizado nesse campo não depende da trajetória que a carga fez, mas somente da 
posição final e inicial dessa carga. Assim, o trabalho associado ao deslocamento 
da carga de prova sob um campo elétrico de carga positiva (poderia ser negativa 
também) é a diferença das energias potenciais de cada ponto, ou seja, energia 
potencial do ponto final menos a energia potencial de ponto inicial, assim, temos:
W = - (Uf - Ui) → W = - ΔU (13)
O sinal negativo na equação (13) representa a energia gasta para realizar o traba-
lho. A letra W representa o trabalho (vem do inglês work), e a letra U a energia 
potencial associada ao ponto. Lembre-se de que a energia potencial depende do 
seu referencial adotado. É mais conveniente colocar a origem do nosso sistema 
de referência na carga que produz o campo elétrico que estamos estudando.
A energia potencial elétrica de uma partícula carregada em um campo elé-
trico depende da carga e da posição no espaço. Entretanto a energia potencial por 
unidade de carga em um campo elétrico possui um valor único em cada ponto do 
espaço. A essa grandeza escalar damos o nome de potencial elétrico. Essa gran-
deza é uma característica somente do campo elétrico, no qual a carga de prova 
está imersa, ou seja, não depende da carga de prova, somente do campo investi-
gado. O potencial elétrico pode ser expresso da seguinte maneira:
ΔV = = - → ΔV = Vf - Vi (15) ΔUq
Uf
q
Ui
q
 V = (14) Uq
Quando calculamos a diferença de energia potencial elétrica por unidade de carga, 
temos o que é chamado de diferença de potencial (DDP) ou tensão, dada por:
ΔV = = - → ΔV = Vf - Vi (15) ΔUq
Uf
q
Ui
q
 V = (14) Uq
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A unidade de potencial elétrico é joule por coulomb ou volt no SI:
1 volt = 1 joule por coulomb → 1 V = 1J/c
O potencial elétrico é sempre associado a um ponto do campo elétrico. Assim, 
se considerarmos um ponto B desse campo, o potencial elétrico será VB, se con-
siderarmos um ponto C, o potencial elétrico nesse ponto será VC, e assim por 
diante, conforme mostrado na Figura 12:
Q
B
A P
C
( )VC
( )VB
( )VP
( )VA
Figura 12 - Potencial elétrico em vários pontos ao redor de uma carga
Fonte: os autores.
SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS
Podemos afirmar que pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico 
formam uma superfície equipotencial, que pode ser uma superfície imaginária ou 
uma superfície real. Em um campo elétrico criado por cargas puntiformes, as super-
fícies equipotenciais desse campo são esféricas com centro na carga e formam um 
ângulo de 90⁰ com as linhas de campo elétrico, conforme apresentado na Figura 13:
A cada ponto do campo elétrico produzido por um objeto, é possível asso-
ciar um potencial elétrico V, uma grandeza escalar que pode ser positiva ou 
negativa, dependendo do sinal da carga do objeto.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
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V
V
Q
V
C
C
B
B
A
A
+
Figura 13 - Superfícies equipotenciais criadas por uma carga puntiforme
Fonte: Os fundamentos da Física (2016, on-line)4.
Num campo elétrico uniforme, como no caso de placas paralelas, conforme apre-
sentado na Figura 14, as superfícies equipotenciais são paralelas entre si.
Figura 14 - Superfícies equipotenciais no caso de placas paralelas
Fonte: Os autores.
Como são dispostas as superfícies equipotenciais criadas por um dipolo elétrico?
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201
CÁLCULO DO POTENCIAL A PARTIR DE UM CAMPO ELÉTRICO
Conseguimos calcular a diferença de potencial entre dois pontos i e f em uma 
região do espaço onde existe um campo elétrico se o vetor campo elétrico for 
conhecido em todos os pontos de uma trajetória que ligue esses pontos. Já sabe-
mos segundo a mecânica que o trabalho de uma força qualquer pode ser calculado 
da seguinte forma:
 ΔV = ΔUq
 ΔV = � � E . ds (19) 
 f
 i
→ →
 ΔU = � � F . ds → = �� E . ds (18) 
 f
 i
 f
 i
→ → → →ΔU
q
F = qE→→
 ΔU = � � F . ds (17) 
 f
 i
→ →
W = � F . ds (16) 
 f
 i
→ →
E que sobre uma força conservativa o mesmo trabalho pode ser calculado pela 
diferença de energia potencial. Assim, igualandoas equações (13) e (16), resulta:
 ΔV = ΔUq
 ΔV = � � E . ds (19) 
 f
 i
→ →
 ΔU = � � F . ds → = �� E . ds (18) 
 f
 i
 f
 i
→ → → →ΔU
q
F = qE→→
 ΔU = � � F . ds (17) 
 f
 i
→ →
W = � F . ds (16) 
 f
 i
→ →
Sabemos também que a força elétrica é 
 ΔV = ΔUq
 ΔV = � � E . ds (19) 
 f
 i
→ →
 ΔU = � � F . ds → = �� E . ds (18) 
 f
 i
 f
 i
→ → → →ΔU
q
F = qE→→
 ΔU = � � F . ds (17) 
 f
 i
→ →
W = � F . ds (16) 
 f
 i
→ →
, com isso, podemos substituir a 
força na equação (17), resultando em:
 ΔV = ΔUq
 ΔV = � � E . ds (19) 
 f
 i
→ →
 ΔU = � � F . ds → = �� E . ds (18) 
 f
 i
 f
 i
→ → → →ΔU
q
F = qE→→
 ΔU = � � F . ds (17) 
 f
 i
→ →
W = � F . ds (16) 
 f
 i
→ →
Da equação (14) sabemos que 
ΔV = = - → ΔV = Vf - Vi (15) ΔUq
Uf
q
Ui
q
 V = (14) Uq , considerando as variações, podemos 
escrever ΔV = ΔUq
 ΔV = � � E . ds (19) 
 f
 i
→ →
 ΔU = � � F . ds → = �� E . ds (18) 
 f
 i
 f
 i
→ → → →ΔU
q
F = qE→→
 ΔU = � � F . ds (17) 
 f
 i
→ →
W = � F . ds (16) 
 f
 i
→ →
, que substituindo em (18), teremos: ΔV = 
ΔU
q
 ΔV = � � E . ds (19) 
 f
 i
→ →
 ΔU = � � F . ds → = �� E . ds (18) 
 f
 i
 f
 i
→ → → →ΔU
q
F = qE→→
 ΔU = � � F . ds (17) 
 f
 i
→ →
W = � F . ds (16) 
 f
 i
→ →
Por meio da equação (19), onde ΔV = Vf - Vi , é possível calcular o potencial elé-
trico a partir do campo elétrico. Lembramos que esta integral é uma integral de 
linha e 
 ΔV = ΔUq
 ΔV = � � E . ds (19) 
 f
 i
→ →
 ΔU = � � F . ds → = �� E . ds (18) 
 f
 i
 f
 i
→ → → →ΔU
q
F = qE→→
 ΔU = � � F . ds (17) 
 f
 i
→ →
W = � F . ds (16) 
 f
 i
→ →
 é um pequeno deslocamento de uma carga de prova do ponto i até o 
ponto f sob o campo elétrico.
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
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VU N I D A D E202
POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA CARGA PONTUAL
Agora, usaremos a equação (19) para estudar o potencial gerado por uma carga 
puntiforme. Imaginemos a situação descrita na Figura 15:
Figura 15 - Esquema de estudo para o cálculo do potencial produzido por uma carga puntiforme
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
O campo elétrico de uma carga puntiforme já é conhecido e dado pela equação 
(12), substituindo esse campo na equação (19) teremos:
 ΔV = � � . ds (20) 
 f
 i
→1 Q
r4piε0 2
Se o campo elétrico é uniforme, como podemos reescrever a equação (19)? 
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203
Na Figura 15, a posição inicial da carga de prova q0 é no ponto P, e ela se afasta 
para muito longe. Assim, podemos dizer que ela vai ao “infinito” para denotar uma 
grande distância. Como a trajetória é radial, trocaremos o termo por , 
uma vez que esse é mais usado em coordenadas esféricas. Resolvendo a equa-
ção (20), teremos:
ΔV = � � dr → V � V = � � � � → V � V = (21) f i f i
 ∞
 R
→1
r� 1∞ 1R R
Q
4piε₀
Q Q
4piε₀
Q
4piε₀
0 � V = → V = � (22) i i 1 R
Q
4piε₀1 R
Q
4piε₀
O potencial no ponto inicial é Vi = V(R) e no ponto final é Vf = V(∞) = 0. Como 
o potencial final é zero, pois no infinito ele zera pelo fato de o potencial ser inver-
samente proporcional à distância, então, o potencial no ponto inicial é dado por:
ΔV = � � dr → V � V = � � � � → V � V = (21) f i f i
 ∞
 R
→1
r� 1∞ 1R R
Q
4piε₀
Q Q
4piε₀
Q
4piε₀
0 � V = → V = � (22) i i 1 R
Q
4piε₀1 R
Q
4piε₀
Isto significa que o potencial de uma carga puntiforme é proporcional à carga 
que o cria e inversamente proporcional ao raio (distância) da carga.
Potencial produzido por um grupo de cargas pontuais
No caso de uma distribuição de cargas pontuais (puntiformes), quando calculamos 
as forças ou campos elétricos, somente bastava fazer uma somatória (superposição) 
das forças agindo sobre tal carga ou uma superposição dos campos elétricos em tal 
ponto. No caso do potencial elétrico, não é diferente. O potencial elétrico de uma 
distribuição de cargas pontuais em um determinado ponto, é a somatória de todos 
os potenciais em relação a esse ponto. Para n cargas, o potencial total é dado por:
O vetor campo elétrico aponta “sempre” do maior potencial para o menor 
potencial.
Fonte: os autores
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VU N I D A D E204
Em que Qi é carga i-ésima e ri é o raio i-ésimo da distribuição. É bom lembrar 
que esse somatório é uma soma algébrica, não vetorial, como no caso da força 
e campo elétrico.
CAPACITÂNCIA E CAPACITORES
Estudaremos neste tópico, um dos dispositivos eletrônicos mais importantes, o 
qual tem seu princípio de funcionamento baseado em um fenômeno eletrostá-
tico, a capacitância, que é um conceito relacionado à capacidade de um condutor 
em armazenar cargas elétricas, onde esta capacidade depende de suas dimen-
sões e do material com que é feito. 
Os elementos básicos de qualquer capacitor são dois condutores isolados ele-
tricamente entre si, que recebem o nome de placas, independentemente de sua 
forma. A Figura 16 apresenta a representação de um capacitor de placas paralelas.
Como podemos calcular o potencial gerado por um disco carregado em um 
ponto P qualquer do espaço?
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205
Figura 16 - Capacitor de placas paralelas
Fonte: adaptada de UFRGS ([2017], on-line)5.
Note que em um capacitor carregado, as placas contêm a mesma quantidade de 
carga, em módulo e sinais opostos. As placas de um capacitor são superfícies equi-
potenciais, e existe uma diferença de potencial entre elas, a qual é representada 
por V. A carga (Q) e diferença de potencial (V) de um capacitor são proporcio-
nais, e podemos escrever a seguinte relação entre elas:
V = C.V → C = (24) V
Q
Onde C é uma constante de proporcionalidade conhecida como capacitância do 
capacitor. A unidade de capacitância no sistema internacional de unidades (SI) 
é o Farad (F), onde 1F = 1C/1V. Porém, 1 F e muito grande, por isso, utilizamos 
constantemente os submúltiplos do Farad, conforme apresentado no Quadro 4:
Quadro 4 - Submúltiplos utilizados para a capacitância
SUBMÚLTIPLO VALOR
milifarad (mF) 1.10-3 F
microfarad (µF) 1.10-6 F
nanofarad (nF) 1.10-9 F
picofarad (pF) 1.10-12 F
Fonte: os autores.
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
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VU N I D A D E206
O valor da capacitância (C) depende da geometria das placas do capacitor. No 
caso de um capacitor de placas paralelas, sabendo que neste caso o campo elé-
trico é constante e a áreaé A, temos, a partir da Lei de Gauss, que:
ε₀ � E . da = Q → Q = ε₀ EA (25) → →
ΔV = � E . ds → V = � Eds → V = E �ds → V = Ed (26) → →
f d
i
+
– 0
ε₀ EA
EdC = → C = → C = ε₀ (27) V
Q
d
A
Agora, podemos calcular o potencial entre as placas, como segue:ε₀ � E . da = Q → Q = ε₀ EA (25) → →
ΔV = � E . ds → V = � Eds → V = E �ds → V = Ed (26) → →
f d
i
+
– 0
ε₀ EA
EdC = → C = → C = ε₀ (27) V
Q
d
A
Onde d é a distância entre as placas. Substituindo as equações (25) e (26) na 
equação (24), temos:
ε₀ � E . da = Q → Q = ε₀ EA (25) → →
ΔV = � E . ds → V = � Eds → V = E �ds → V = Ed (26) → →
f d
i
+
– 0
ε₀ EA
EdC = → C = → C = ε₀ (27) V
Q
d
A
Assim, por meio da equação (27), podemos concluir que a capacitância de um 
capacitor de placas paralelas é proporcional à área do capacitor e, inversamente 
proporcional à distância entre as placas.
Como talvez você tenha percebido, a capacitância de um capacitor envolve duas 
coisas, a permissividade elétrica e a geometria do capacitor. A permissividade elé-
trica é o meio pelo qual as duas placas estão isoladas uma da outra. Nós somente 
vimos o caso de vácuo, mas pode ocorrer (a maioria dos casos) em que há um 
material isolante entre as duas placas, que é chamado de dielétrico. Esse dielétrico 
multiplica a capacitância por um fator k, que chamamos de constante dielétrica.
Como podemos calcular as capacitâncias de capacitores com geometrias 
cilíndrica e esférica?
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207
Associação de capacitores
Sabemos que os capacitores são de fundamental importância para os circuitos 
elétricos, pois podem armazenar cargas elétricas ou energia na forma eletros-
tática. Os capacitores podem ser polarizados ou não polarizados, assim como 
podem ter valores fixos ou variáveis. Na Figura 17, podemos ver alguns símbo-
los utilizados em circuitos elétricos.
Figura 17 - Simbologia de capacitores
Fonte: Luthieria ([2017],on-line)6.
Para se ter uma ideia da importância dos capacitores, podemos relembrar 
o fato de que eles são os responsáveis pela sintonia das estações de rádios.
Fonte: os autores.
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
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VU N I D A D E208
Comercialmente, existe uma infinidade de valores de capacitores para se com-
prar. Entretanto, muitas vezes, ao projetarmos um circuito com capacitores, 
chegamos a um valor não comercial. Nestes casos, podemos associar capacito-
res em paralelo ou em série, ou ainda fazer um arranjo misto, para se conseguir 
o valor de capacitância desejado.
Capacitores em paralelo
Na associação de capacitores em paralelo, para obtermos o valor da capa-
citância equivalente, os valores das capacitâncias devem ser somados. 
Consideremos a Figura 18:
Figura 18 - Circuito com capacitores em paralelo
Fonte: os autores.
A seguir, são apresentadas as equações relacionadas à associação de capacito-
res em paralelo:
C = C₁ + C₂ + C₃ + ... + C =�C (29) 
 n
 j
 j=1
 eq n
Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ + ... + Q =�Q (30) 
 n
 j
 j=1
 n
V = V₁ + V₂ + V₃ = ... = V (28) n
Eletrostática
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209
Capacitores em série
Na associação de capacitores em série, o valor da capacitância equivalente, será 
menor que o valor do menor capacitor da associação. Consideremos a Figura 19:
Figura 19 - Circuito com capacitores em série
Fonte: os autores.
Em seguida, são apresentadas as equações relacionadas à associação de capaci-
tores em paralelo:
V = V₁ + V₂ + V₃ + ... + V =�V (31) 
 n
 j
 j=1
 n
Q = Q₁ = Q₂ = Q₃ = ... = Q (33) n
= + + + ... + =� (32) 
 n
 j=1 n j eq C₁
1
C
1
C₂
1
C₃
1
C
1
C
1
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
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VU N I D A D E210
ELETRODINÂMICA
A figura apresenta um circuito simples, composto por 
uma pilha, uma chave liga/desliga e uma lâmpada. A 
eletrodinâmica é um ramo da eletricidade que 
estuda o comportamento de cargas elétricas 
em movimento, ou seja, corrente elétrica, que 
é responsável pelo funcionamento da lâmpada.
CORRENTE ELÉTRICA
Como sabemos, por definição, a corrente elétrica 
é nada mais que um fluxo ordenado de elétrons. 
Para que haja uma corrente elétrica por meio de um condutor, é preciso estabele-
cer uma diferença de potencial entre suas extremidades. Assim, campos elétricos 
são criados no interior do material e exercem uma força sobre os elétrons de 
condução, resultando em movimento, preferencialmente, em um sentido, pro-
duzindo uma corrente, conforme apresentado na Figura 20:
Figura 20 - Representação de um fluxo ordenado de elétrons
Fonte: Halliday, Resnick e Walker ( 2016).
Conseguimos calcular o valor da corrente, simplesmente dividindo a quantidade 
de carga que passa por uma seção transversal de um condutor em um determi-
nado intervalo de tempo, como segue:
i(t) = (34) dt
dq
�dq = � idt → q = � idt (34) 
 t t
 0 0
J = (35) A
i
i = � J . dA (36) → →
Eletrodinâmica
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211
Observamos na equação (34), que a unidade de corrente elétrica é Coulomb por 
segundos, ou seja, C/s a qual denominamos de Ampère (A). É possível, ainda, 
calcularmos a carga que passa pelo plano em um intervalo de tempo de 0 a t, 
aplicando a integral na equação (34), da seguinte forma:i(t) = (34) dt
dq
�dq = � idt → q = � idt (34) 
 t t
 0 0
J = (35) A
i
i = � J . dA (36) → →
Por convenção, utilizamos como sentido da corrente, como sendo do maior 
potencial para o menor potencial e denominamos de “sentido convencional”, 
em análise de circuitos.
INSTRUMENTOS DE MEDIDAS: VOLTÍMETRO E AMPERÍMETRO
Os instrumentos de medidas têm a função de mensurar grandezas físicas, onde 
os valores medidos podem ser de forma analógica ou digital. A resolução é a 
menor medida que o instrumento pode distinguir com certeza e, como nenhum 
instrumento de medida é perfeito, os fabricantes informam a margem de erro 
prevista para o seu produto, que é denominada tolerância.
Quando medimos a quantidade de corrente por área do condutor, obtemos 
o que chamamos de densidade de corrente (J), que pode ser expressa da 
seguinte forma:
i(t) = (34) dt
dq
�dq = � idt → q = � idt (34) 
 t t
 0 0
J = (35) A
i
i = � J . dA (36) → →Entretanto, é muito mais comum escrever a seguinte equação:
i(t) = (34) dt
dq
�dq = � idt → q = � idt (34) 
 t t
 0 0
J = (35) A
i
i = � J . dA (36) → →
Onde i, é a corrente total que atravessa a seção reta de um condutor.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
VU N I D A D E212
O voltímetro é um instrumento utilizado para medir a tensão elétrica, ou simples-
mente diferença de potencial entre dois pontos. Este dispositivo, deve ser conectadoem paralelo com o componente submetido a ddp de interesse, conforme apresen-
tado na figura 21. Idealmente, os voltímetros possuem uma resistência interna 
infinita, desta forma, não alteram as características do circuito analisado.
R
+
-
V V
I
Figura 21- Ligação de um voltímetro
Fonte: Markus e Otávio (2004).
O amperímetro é um instrumento utilizado para medir a corrente elétrica que atra-
vessa um condutor ou dispositivo eletrônico. Um amperímetro deve ser conectado 
em série com o condutor ou dispositivo que está consumindo a corrente de interesse, 
conforme apresentado na Figura 22. Idealmente os amperímetros possuem uma resis-
tência interna nula, desta forma, não alteram as características do circuito analisado:
V
+ -
A
I
R
Figura 22 - Ligação de um amperímetro
Fonte: Markus e Otávio (2004).
Os voltímetros e amperímetros podem medir tensões e correntes, respectivamente, 
contínuas ou alternadas, dependendo das especificações dos aparelhos. Existem ainda, 
os multímetros, que são instrumentos que fazem medidas de várias grandezas em 
um único aparelho, tais como tensão, corrente, resistência, capacitância, entre outros.
Eletrodinâmica
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RESISTÊNCIA ELÉTRICA
Podemos definir resistência elétrica como sendo a oposição que um material oferece 
à passagem de uma corrente elétrica. Quando aplicamos a mesma diferença de poten-
cial às extremidades de componentes diferentes, os resultados (corrente elétrica) são 
diferentes. A característica que determina a diferença é chamada de resistência elé-
trica. Conseguimos calcular o valor da resistência elétrica de um circuito, aplicando 
a seguinte equação:
R = (37)i
V
A unidade de medida de resistência elétrica no sistema internacional de unidades 
(SI) é o Volt por Ampère (V/A) a qual denominamos de Ohm (Ω), em homena-
gem ao Físico alemão George Simon Ohm.
PRIMEIRA LEI DE OHM
Agora, analisaremos o comportamento de um resistor submetido a uma dife-
rença de potencial variável, conforme apresentado na Figura 23:
V
+
+
-
-
A
I
R V
Figura 23 - Análise da primeira lei de Ohm
Fonte: Markus e Otávio (2004).
O circuito da Figura 23 mostra uma fonte variável ligada a uma resistência. Um 
amperímetro e um voltímetro foram adicionados ao circuito para monitorarmos 
os valores da corrente e da tensão aplicadas. Para cada valor de tensão aplicada 
à resistência (V1, V2, ..., Vn), obtemos um valor de corrente (i1, i2, ..., in). Fazendo 
a relação entre V e i para cada caso, graficamente, obtemos a Figura 24:
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
VU N I D A D E214
V
Vn
V2
V1
I1 I2 In
I
R
Figura 24 - Gráfico da Primeira Lei de Ohm
Fonte: Markus e Otávio (2004).
A característica linear que observamos no gráfico da Figura 24, é o que chamamos 
de comportamento ôhmico, e esse valor constante equivale à resistência elétrica 
(R) do circuito. A relação entre estas grandezas (tensão, corrente e resistência) é 
denominada Primeira Lei de Ohm e pode ser expressa, matematicamente, por:
V = R.i (38)
Quando um resistor apresenta um comportamento não linear, dizemos que este 
é um resistor não-ôhmico.
Denominamos de condutância outra característica dos materiais que, ao 
contrário da resistência, expressa a facilidade com que a corrente elétrica 
pode atravessá-los.
Fonte: os autores.
Eletrodinâmica
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215
Segunda Lei de Ohm
A Segunda Lei de Ohm estabelece uma relação entre a resistência de um material 
com a sua natureza e dimensões. Os materiais diferenciam-se por suas resistivida-
des, comprimento e área da seção transversal. Podemos enunciar esta lei da seguinte 
forma: “A resistência de um material é diretamente proporcional à sua resistividade 
e ao seu comprimento, e inversamente proporcional à área de sua seção transversal”.
Matematicamente, temos a Segunda Lei de Ohm:
R = ρ (39) A
1
ρ = (40) J
E
Onde R é a resistência (Ω), ρ é a resistividade (Ω.m), l é o comprimento (m) e A é 
a área da seção transversal do condutor (m2), conforme apresentado na Figura 25:
L
Figura 25 - Aplicação da segunda lei de Ohm
Fonte: adaptada de Mundo Educação ([2017], on-line)7.
Assim, podemos concluir que a resistência é uma característica de um disposi-
tivo em um circuito e a resistividade é uma característica intrínseca do material. 
A resistividade pode ser expressa em função do campo elétrico (E) e da densi-
dade de corrente (J), como segue:R = ρ (39) A
1
ρ = (40) J
E
Quais são os valores das resistividades elétricas da prata, cobre, alumínio e 
tungstênio a uma temperatura de 20⁰C? A resistividade elétrica do material 
depende da temperatura?
Os autores.
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
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VU N I D A D E216
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
É muito comum, em um circuito elétrico, encontrarmos resistores ligados em série, 
em paralelo ou, ainda, em uma associação mista. A associação é um recurso que 
possibilita conseguirmos um valor de resistência que não seja comercial, assim 
como para projetarmos divisores de tensão e divisores de corrente.
Associação em série
Em uma associação em série, os resistores estão ligados um após o outro, de forma 
que a corrente que atravessa cada um seja a mesma e igual a fornecida pela fonte. 
Por outro lado, a tensão total da fonte é dividida entre os resistores, proporcio-
nalmente aos seus valores de resistência, conforme apresentado na Figura 26:
V
I R1
R2
Rn
V1
V2
Vn
V
I R1
R2
Rn
V1
V2
Vn
Figura 26 - Associação de resistores em série
Fonte: Markus e Otávio (2004).
A seguir, são apresentadas as equações relacionadas à associação de resistores 
em série:
V = V₁ + V₂ + V₃ + ... + V =�V (41) 
 n
 j
 j=1
 n
R = R₁ + R₂ + R₃ + ... + R =�R (42) 
 n
 j
 j=1
 n eq
i = i = i = ... = i (43) R1 Rn R2
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Associação em Paralelo
Em uma associação em paralelo, os resistores estão ligados lado a lado, de forma 
que a tensão em cada um seja a mesma e igual a fornecida pela fonte. Por outro 
lado, a corrente total da fonte é dividida entre os resistores, proporcionalmente 
aos seus valores de resistência, conforme apresentado na Figura 27:
Figura 27 - Associação de resistores em paralelo
Fonte: Markus e Otávio (2004).
A seguir, são apresentadas as equações relacionadas à associação de resistores 
em paralelo:
= + + + ... + =� (45) 
 n
 j=1 n j eq R₁
1
R
1
R₂
1
R₃
1
R
1
R
1
i = i₁ + i₂ + i₃ + ... + i =�i (46) 
 n
 j
 j=1
 n
V = V = V = ... = V (44) R1 Rn R2
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
VU N I D A D E218
CÁLCULO DA POTÊNCIA
Já sabemos que: V = dq
dU i = dt
dq
dU = Vdq → dU = Vidt → = Vi → P = Vi (47) dt
dU
P = Ri� (48)
Ptotal = Vtotal . itotal (50)
Ptotal = PR1 + PR2 + ... + PRn (51)
P = (49)RV�
 e V = dq
dU i = dt
dq
dU = Vdq → dU = Vidt → = Vi → P = Vi (47) dt
dU
P = Ri� (48)
Ptotal = Vtotal . itotal (50)
Ptotal = PR1 + PR2 + ... + PRn (51)
P = (49)R
V�
 então, podemos escrever que a potência é 
dada por: V = dq
dU i = dt
dq
dU = Vdq → dU = Vidt → = Vi → P = Vi (47) dt
dU
P = Ri� (48)
Ptotal = Vtotal . itotal (50)
Ptotal = PR1 + PR2 + ... + PRn (51)
P = (49)R
V�
Podemos, ainda, substituir os termos da equação (47) pela primeira lei de Ohm (eq. 
38), o que resulta em mais 2 expressões para o cálculo da potência, como segue:
V = dq
dU i = dt
dq
dU = Vdq → dU = Vidt → = Vi → P = Vi (47) dt
dU
P = Ri� (48)
Ptotal = Vtotal . itotal (50)
Ptotal = PR1 + PR2 + ... + PRn (51)
P = (49)R
V�
Em um circuito resistivo, a potência fornecida pela fonte é igual à potência dis-
sipada pela resistência equivalente (Req). Então, podemos escrever:
V = dq
dU i = dt
dq
dU = Vdq → dU = Vidt → = Vi → P = Vi (47) dt
dU
P = Ri� (48)
Ptotal = Vtotal . itotal (50)
Ptotal = PR1 + PR2 + ... + PRn (51)
P = (49)R
V�
Os resistores de maiores potências, por serem maiores fisicamente, possi-
bilitam a gravação de seus valores nominais e tolerância em seus corpos, 
diferentemente dos resistores de baixa potência, que são muito pequenos, 
tornando inviável esta gravação. Assim, gravam-se nesses resistores anéis 
coloridos que, a partir de um código de cores preestabelecido, representam 
seus valores nominais e suas tolerâncias. Existem resistores de 4, 5 e 6 anéis.
Fonte: os autores.
Eletrodinâmica
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219
LEIS DE KIRCHHOFF
As leis de Kirchhoff auxiliam a resolução e análise de circuitos elétricos e 
são aplicadas em circuitos de corrente contínua e alternada. Para aplicarmos 
essas leis, temos que relembrar alguns conceitos importantes, tais como os 
ramos, os nós e as malhas.
Ramo: qualquer parte de um circuito composta por um ou mais dispositivos 
ligados em série, como no exemplo da Figura 28.
R7
R6R4
V1 RAMO
R5 V2
Figura 28 - Exemplo de um ramo
Fonte: Markus e Otávio (2004).
Nó: qualquer ponto de um circuito no qual há a conexão de três ou mais ramos, 
ou seja, onde há divisão de corrente, como no exemplo da Figura 29:
R7
R6R4
V1
R5 V2
Nó Nó
Figura 29 - Exemplos de nós
Fonte: Markus e Otávio (2004).
Malha: qualquer parte de um circuito cujos ramos formam um caminho fechado 
para a corrente, como no exemplo da Figura 30:
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
VU N I D A D E220
R1 R4
R2
Malha
Interna Malha
Interna
Malha Externa
V2
R3
V1
Figura 30 - Exemplo de malhas
Fonte: Markus e Otávio (2004).
LEI DE KIRCHHOFF PARA AS CORRENTES
Podemos chamá-la de Lei dos Nós, ou, simplesmente LKC. Ela nos diz que: “a 
soma algébrica das correntes em um nó é igual a zero”. Podemos definir, arbi-
trariamente, que as correntes que chegam ao nó são positivas, e as que saem do 
nó são negativas, como apresentado na Figura 31:
I2
I1 R1
V1
I4
R4
V3
V2
R2
I3 R3
Figura 31 - Lei dos nós
Fonte: Markus e Otávio (2004).
Eletrodinâmica
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221
Equacionando o nó da Figura 31, temos:+ i1 + i2 - i3 - i4 = 0 (51)
Podemos, ainda, definir a lei dos nós de outra forma, sendo: “a soma das cor-
rentes que chegam em um nó é igual à soma das correntes que saem desse nó”, 
matematicamente, temos:
i1 + i2 = i3 + i4 (52)
LEI DE KIRCHHOFF PARA AS TENSÕES
Podemos chamá-la de Lei das malhas, ou simplesmente LKT. Ela nos diz que: “a soma 
algébrica das tensões em uma malha é igual a zero”. Podemos escolher um sentido arbi-
trário para a corrente e considerar as tensões que elevam o potencial como positivas e 
as que causam quedas de potencial como negativas, como apresentado na Figura 32:
V2
Arbitrária
I
V3
V1
R3
Vr2
Vr1 R1
R2
Vr3
Figura 32 - Lei das Malhas
Fonte: Markus e Otávio (2004).
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
VU N I D A D E222
Equacionando a malha da Figura 32, temos:+ V2 + V3 - Vr2 - Vr3 - V1 + Vr1 = 0 (53)
Podemos, ainda, definir a Lei das Malhas de outra forma, sendo: “a soma das 
tensões que elevam o potencial do circuito é igual a soma das tensões que cau-
sam queda de potencial”, matematicamente, temos:
V2 + V3 = Vr2 + Vr3 + V1 + Vr1 (54)
O que significa quando o resultado de uma corrente elétrica dá negativo 
ao final dos cálculos em um exercício em que utilizamos a Lei dos Nós para 
resolução?
Os autores.
Eletromagnetismo
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223
ELETROMAGNETISMO
A figura apresenta um experimento simples para constatação da geração de cor-
rente elétrica a partir da variação de um fluxo magnético, no interior de uma 
bobina. O eletromagnetismo é uma área da Física que estuda as relações entre 
a eletricidade e o magnetismo. Essa teoria tem como base o conceito de campo 
eletromagnético para explicar a relação entre essas duas forças, elétrica e magné-
tica. O campo magnético é gerado a partir dos movimentos de cargas elétricas, 
e o campo elétrico é resultado da variação do fluxo magnético.
CAMPO MAGNÉTICO
Conforme estudamos anteriormente, o campo elétrico é produzido por cargas 
elétricas, positivas e negativas. Embora a existência de cargas magnéticas seja 
prevista em algumas teorias, até hoje esses “monopolos magnéticos” não foram 
observados. Quando aproximamos um ímã do outro, observamos que esses se 
atraem, ou se repelem, dependendo do “lado” em que o imã está virado para o 
outro ímã. Isso acontece porque ímãs possuem duas polaridades, o polo sul e o 
polo norte, diferente do campo elétrico onde cada partícula tinha somente uma 
carga (positiva ou negativa).
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
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VU N I D A D E224
Essas atrações e repulsões, devido à força magnética, obedecem ao seguinte prin-
cípio: polos iguais se repelem, e polos diferentes se atraem, assim como o princípio 
das cargas elétricas. Por menor que seja, um ímã sempre terá dois polos. Uma 
forma de se produzir um campo magnético é por meio de uma corrente elétrica 
atravessando um fio, formando um “eletroímã”. Quando essa corrente elétrica 
atravessa o fio, este produz um campo magnético ao seu redor. 
Existe, ainda, uma característica importantíssima das partículas elementa-
res, que se trata de um campo magnético intrínseco, ou seja, ele simplesmente 
está presente nas partículas. A Figura 33 apresenta como são dispostas as linhas 
de campo magnético criadas por um ímã:
S N
Figura 33 - Linhas de campo magnético criadas por um ímã
Fonte: Shutterstock - ID 146523551.
Para definirmos o campo magnético, temos que nos lembrar, no caso de um 
campo elétrico, de que ele é determinado, colocando uma carga de prova com 
uma carga q em um ponto P desse campo e medindo a força elétrica que age 
sobre a carga de prova, em seguida, utilizamos a equação 
→B 
E = q
F→ E .
Se existisse um monopóliomagnético, poderíamos definir o campo magnético 
→B 
E = q
F→ E
 de forma análoga. Entretanto, temos que definir o campo magnético de outra 
maneira, ou seja, em termos da força magnética exercida sobre uma carga de 
prova carregada eletricamente e em movimento. Matematicamente, podemos 
expressar a seguinte equação vetorial:
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225
→ →F = qv × B (55) B
→F = |q|vBsenθ B
→v
Desta forma, a componente da força → →F = qv × B (55) B
→F = |q|vBsenθ B
→v
 na direção da velocidade 
→ →F = qv × B (55) B
→F = |q|vBsenθ B
→v é sempre 
zero, pois 
→ →F = qv × B (55) B
→F = |q|vBsenθ B
→v
. Isso significa também que 
→ →F = qv × B (55) B
→F = |q|vBsenθ B
→v
 não muda o módulo da 
velocidade da partícula, somente a direção (consequentemente, a trajetória). 
Para identificar a direção da força → →F = qv × B (55) B
→F = |q|vBsenθ B
→v
, faz-se o uso da regra da mão direita, em 
que você direciona a mão no sentido do campo magnético, primeiramente, depois 
fecha os dedos no sentido da velocidade da partícula, depois disso, o dedão 
aponta na direção da força, como mostra a Figura 34:
Figura 34 - Desenho representando a regra da mão direita
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
A unidade de campo magnético é o Tesla (T) no sistema internacional de uni-
dades (SI), mas também é usado o Gauss (G), onde 1T = 104 G.
A ordem de grandeza do campo magnético na superfície da Terra é de 10-4 
T, ou seja, 100 µT, ou, ainda, 1 G.
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
VU N I D A D E226
FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR UMA 
CORRENTE
Na Figura 35, podemos observar o comportamento de um fio quando ele é per-
corrido por uma corrente elétrica, em que, dependendo do sentido da corrente, 
o fio se encurva para um dos lados.
i = 0
(a)
B
i
(b)
B
i
i
(c)
B
i
Figura 35 - Um fio flexível percorrido por uma corrente
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
A força magnética pode ser calculada e depende do comprimento (L) do fio, da 
intensidade da corrente elétrica (i) e do campo magnético (→B 
E = q
F→ E
). Se o campo mag-
nético →B 
E = q
F→ E
 é perpendicular ao fio, podemos escrever que:
FB = iLB (56)
Se o campo magnético não é perpendicular ao fio, a força magnética pode ser 
generalizada por:
→ →→F = iL × B (57) B
Eletromagnetismo
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227
CAMPO MAGNÉTICO CRIADO POR UM FIO
Já vimos como é o campo magnético e discutimos como ele se forma (de forma 
intrínseca na matéria e por uma corrente elétrica). Agora, estudaremos como 
é o campo magnético ao redor de um fio e sua força. Primeiramente, observa-
mos a seguinte Figura 36:
Figura 36 - Esquema de um campo magnético formado em ponto P do espaço por uma corrente elétrica 
que percorre um fio qualquer
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
Como podemos ver na Figura 36, existe uma corrente i que percorre um 
pedaço de fio qualquer. O módulo do campo magnético produzido no ponto 
P por um elemento de corrente i →ds
ids senθ→dB = (58) μ₀ r�4pi
→dB →ds × ȓ 
→ ids × ȓ→dB = (59) μ₀ r�4pi
, é dado por:
→ds
ids senθ→dB = (58) μ₀ r�4pi
→dB →ds × ȓ 
→ ids × ȓ→dB = (59) μ₀ r�4pi
A orientação de →ds
ids senθ→dB = (58) μ₀ r�4pi
→dB →ds × ȓ 
→ ids × ȓ→dB = (59) μ₀ r�4pi
 é a do produto vetorial →ds
ids senθ→dB = (58) μ₀ r�4pi
→dB →ds × ȓ 
→ ids × ȓ→dB = (59) μ₀ r�4pi
, assim, podemos escrever a 
equação (58) na forma vetorial, a qual recebe o nome de Lei de Biot-Savart, como 
segue:
→ds
ids senθ→dB = (58) μ₀ r�4pi
→dB →ds × ȓ 
→ ids × ȓ→dB = (59) μ₀ r�4pi
Onde μ0 é a permeabilidade magnética do vácuo cujo valor é de μ0 = 4π10-7 T.m/A, 
e ds é um pequeno pedaço do fio onde se passa a corrente elétrica, gerando um 
pequeno campo magnético dB.
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
VU N I D A D E228
A Lei de Biot-Savart baseia-se em observações experimentais e é usada para 
calcular alguns campos magnéticos criados por algumas geometrias de fios. No 
Quadro 5, temos a equação do campo magnético produzido por uma corrente 
elétrica em algumas situações:
Quadro 5 - Equações de campo magnético para alguns casos específicos
Fio retilíneo longo B = (60) 
μ₀i
2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → →
Fio retilíneo semi-infinito
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → →
No centro de um arco de circunferência
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → →
No centro de uma circunferência completa
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → →
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
LEI DE AMPÈRE
Como já vimos, conseguimos calcular o campo elétrico de qualquer distri-
buição de cargas aplicando diretamente a Lei de Gauss, às vezes, é necessário 
o uso de um computador em casos cuja forma da distribuição é muito com-
plicada (quase sem simetria nenhuma). Do mesmo modo, é possível calcular 
o campo magnético total associado a qualquer distribuição de correntes 
escrevendo o campo magnético, associado a um pequeno intervalo de ele-
mento de corrente elétrica e depois somando esses. Isso, no entanto, pode 
ser muito complicado, e o uso de computadores seria necessário. Mas se a 
distribuição de correntes possui alguma simetria, podemos usar a chamada 
Lei de Ampère para determinar o campo magnético total. Podemos expres-
sar tal lei da seguinte forma:
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → →
Eletromagnetismo
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229
O círculo na integral indica que ela trata-se de um caminho fechado, que é 
chamado de amperiana e podemos, também, ver que é uma integração de 
um produto escalar 
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → → . A corrente envolvida ienv, engloba todas as corren-
tes dentro da amperiana. A Figura 37 mostra um exemplo de amperiana com 
as correntes envolvidas:
i3
i2
ds
i1
θ
Sentido de
integração
Amperiana
B
Figura 37 - Esquema de uma amperiana
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
Para executarmos essa integração, não é necessário conhecer o sentidodo campo 
magnético em todos os pontos da amperiana, então, atribui-se um sentido arbi-
trário para 
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → → que coincida com o sentido de integração, como apresentado na 
Figura 38, e usamos a regra da mão direta para atribuirmos as correntes envol-
vidas, adotando um sentido positivo ou negativo. A regra da mão direta para 
correntes consiste em apontar os dedos no sentido de integração da amperiana, 
e o dedão aponta o sentido da corrente. Como na Figura 38:
Figura 38 - Esquema demonstrando o sentido de integração de uma amperiana
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
VU N I D A D E230
Finalmente, podemos concluir que a corrente envolvida, no caso da Figura 38, 
será ienv = i1 - i2.
CÁLCULO DO CAMPO MAGNÉTICO DE UM FIO LONGO 
RETILÍNEO PELA LEI DE AMPÈRE
Consideremos um fio longo retilíneo, percorrido por uma corrente i, com dire-
ção para fora do papel, conforme apresentado na Figura 39:
Superfície
do �o
Amperiana
ds
r
i
B
Figura 39 - Esquema demonstrando a direção e sentido do vetor campo magnético e o vetor deslocamento 
em uma amperiana
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
Como o fio possui uma simetria circular no seu diâmetro, é possível fazer uma ampe-
riana circular, como na Figura 39, utilizando a equação da Lei de Ampère, temos:
� B . ds = μ₀ienv → � B cosθds = μ₀i → B� ds = μ₀i → B(2pir) = μ₀i → B = (65) → → μ₀i2pir
Podemos ver que o resultado encontrado na equação (65) é o campo magné-
tico para um fio longo. Podemos resumir os passos da equação (65) da seguinte 
forma, como 
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → → é um produto escalar. Então, temos que 
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → →= Bcosθds, 
e como o ângulo θ entre 
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → → e 
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → → é zero, o cosseno é igual a 1, e a parte da inte-
gral onde se tem ∮
B = (60) μ₀i2piR
B = (61) μ₀i4piR
B = (62) μ₀i�4piR
B = (63) μ₀i2R
� B . ds = μ₀ienv (64) → → , o resultado é (2πr), que é o comprimento da circunferência 
que representa a amperiana.
Eletromagnetismo
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231
CAMPO MAGNÉTICO CRIADO POR UM SOLENOIDE (BOBINA)
Uma aplicação muito importante da lei de Ampère é sua utilização para o cálculo do 
campo magnético produzido por uma corrente ao atravessar um solenoide. Quando 
enrolamos um fio, como na Figura 40, dizemos que construímos uma bobina ou um 
solenoide. Se dermos uma única volta com um fio, dizemos que criamos uma espira. 
Então, uma bobina é um amontoado de espiras, que pode ser construída com núcleo 
de ferro ou ferrite, por exemplo, ou sem núcleo, neste caso dizemos que a bobina é 
com núcleo de ar. O material utilizado no núcleo altera a permeabilidade magnética.
Figura 40 - Solenoide com núcleo de ferro
Fonte: Ponto Ciência (2012, on-line)8.
E ainda, quando injetamos uma corrente elétrica na bobina, criamos no seu cen-
tro um campo magnético, como apresentado na figura 40. O campo magnético 
no centro de uma bobina/solenoide ideal é obtido a partir da lei de Ampère, e 
dado pela equação (66):
B = µ0in (66)
Onde n é o número de espiras da bobina.
Como é calculado o campo magnético no interior de um toróide?
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
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VU N I D A D E232
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Até agora, vimos que uma corrente elétrica cria um campo magnético, mas algo 
que é realmente surpreendente, é que o contrário também é verdadeiro, ou seja, 
um campo magnético variável também cria uma corrente elétrica. Que é o fenô-
meno físico que ocorre nos geradores das usinas hidrelétricas.
O campo elétrico criado por um campo magnético é chamado de campo elétrico 
induzido, descoberto por Michael Faraday e hoje esse fenômeno é chamado de Lei de 
Indução de Faraday. Vamos entender melhor esse fenômeno com ajuda da Figura 41:
Figura 41 - Exemplo de quando se insere um imã em uma bobina, este cria uma corrente elétrica, mostrada 
no galvanômetro da figura
Fonte: Shutterstock - ID 221191111.
Na Figura 41, temos um imã passando (entrando) no centro de uma espira, que 
também poderia ser um solenoide. Quando isso acontece, surge uma corrente elé-
trica no galvanômetro - quando o movimento do imã para no centro da bobina, 
a corrente elétrica desaparece, quando retiramos o imã do centro da bobina, a 
corrente surge novamente, porém com sentido contrário, e quando paramos o 
imã, de novo, a corrente novamente cessa. Ou seja, somente existe corrente elé-
trica quando há um movimento relativo entre o imã e a bobina, e quanto mais 
rápido for esse movimento, mais intensa é a corrente elétrica induzida. A Figura 
42 apresenta a indução a partir de uma corrente elétrica.
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Figura 42 - Exemplo de quando aproximamos um eletroímã a uma bobina, este cria uma corrente elétrica 
induzida na segunda bobina
Fonte: Shutterstock - ID 221807701.
Na Figura 42, temos o caso de uma bobina na frente da outra. Quando ligamos 
a bobina da esquerda a uma bateria, passa-se uma corrente pela bobina, que por 
vez, cria um campo magnético, esse campo induz na bobina da direita uma cor-
rente elétrica. Isso somente acontece quando ligamos a bobina, pois quando ela 
estiver ligada durante um tempo, com a corrente já em regime permanente, não 
produzirá na bobina da direita uma corrente elétrica. Bem, depois dessa descri-
ção da figura 42, podemos enunciar a Lei de indução de Faraday: “Uma força 
eletromotriz (tensão) é induzida em uma espira (ou bobina) quando variamos 
o fluxo de campo magnético que atravessa ela”.
Assim como no caso do fluxo elétrico, o fluxo de campo magnético é a quan-
tidade de linhas de campo magnético que atravessa uma área qualquer. Podemos 
representar o fluxo magnético da seguinte forma:
μ₀i
2pir
�B =� B . dA (67) → →
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
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VU N I D A D E234
Como podemos ver na equação (67), o integrando é um produto escalar 
μ₀i
2pir
�B =� B . dA (67) → →, 
ou seja, depende do ângulo θ entre o campo magnético 
μ₀i
2pir
�B =� B . dA (67) → → e o elemento de área 
μ₀i
2pir
�B =� B . dA (67) → →. A unidade de fluxo de magnético é o Weber (Wb). Agora que entendemos o 
que é o fluxo magnético e entendemos a lei de Indução de Faraday, podemos escre-
vê-la matematicamente da seguinte forma:
ε = – (68) d�Bdt
ε = – N (69) d�BdtOu seja, pela equação (68), o módulo da tensão produzida é igual ao negativo da 
taxa de variaçãotemporal do fluxo magnético. Essa equação é para uma espira. 
Se fossem mais espiras, no caso de uma bobina, por exemplo, multiplicaríamos 
essa equação (68) por N. Como apresentado na equação (69).ε = – (68) 
d�B
dt
ε = – N (69) d�Bdt
A LEI DE LENZ
Pouco depois de Faraday descobrir a lei de indução, Heinrich Friedrich Lenz 
propôs uma regra, hoje conhecida como lei de Lenz, para determinar o sentido 
da corrente induzida em uma espira, enunciada por: “A corrente induzida em 
uma espiral tem um sentido tal que o campo magnético produzido por ela se 
opõe ao campo magnético que a induz”.
Isso explica a razão do sinal negativo da força eletromotriz induzida da lei 
de Faraday. Agora, conseguimos reescrever a tensão (força eletromotriz) da lei 
de Faraday, em termos do campo elétrico da seguinte forma, assim fica:
Você já pensou alguma vez como funciona um transformador?
Eletromagnetismo
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ε = � E . ds (70) → →
d�B
dt� E . ds = – (71) 
→ →
A equação (70) nos permite ver a força eletromotriz de uma forma mais geral. 
Assim podemos substituir a (68) na (70), onde teremos:ε = � E . ds (70) → →
d�B
dt� E . ds = – (71) 
→ →
A equação (71) é uma forma mais geral de se escrever a Lei de Indução de Faraday 
em termos do campo elétrico.
EQUAÇÕES DE MAXWELL
Para finalizarmos a Unidade V, apresentaremos um tópico que reúne as bases 
do eletromagnetismo, que são as equações de Maxwell. Vimos até agora cam-
pos elétricos formados por cargas pontuais, campos magnéticos formados por 
ímãs e correntes elétricas e indução de corrente elétrica por meio de campos 
magnéticos. Antes de reunir as equações de Maxwell, vamos conhecer a lei de 
Gauss para campos magnéticos.
A LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS
Como vimos anteriormente, monopolos magnéticos não existem. A chamada 
lei de Gauss para campos magnéticos é apenas um modo formal para afirmar 
isto. Agora, consideremos a Figura 43.
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
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VU N I D A D E236
Superfície II Superfície I
B
N
S
Figura 43 - Superfícies gaussianas desenhadas nas linhas de campo magnético de um imã
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
Como podemos ver, as linhas de campo que entram na gaussiana também saem, 
e isso implica que você tem um fluxo de campo magnético nulo (zero). Como é 
possível ver pela Figura 43, as linhas de campo saem do norte e entram no sul, 
então, qualquer que seja a região em que desenhamos uma superfície gaussiana, 
o fluxo magnético sempre implicará em zero. Desta forma, podemos expressar, 
matematicamente, a lei de Gauss para campos magnéticos da seguinte forma:
�B = 0 → � B . dA = 0 (72) → →
Lembre-se de que uma superfície gaussiana sempre é fechada, por isso, a integral é 
desta forma. A equação (72) é chamada de Lei de Gauss para campos magnéticos e 
ela nos diz que a estrutura magnética mais simples que existe é o dipolo magnético, 
ou seja, não existem monopolos magnéticos, pelo menos nunca foram observados.
Eletromagnetismo
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CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS
Iniciamos este tópico fazendo a seguinte pergunta: a variação temporal de um 
fluxo de campo elétrico cria um campo magnético induzido? A resposta a essa 
pergunta é sim. O físico James Clerk Maxwell descobriu isso, e esse princípio 
pode ser escrito da seguinte forma:
� B . ds = μ₀ε₀ (73) dΦEdt
→ →
� B . ds = μ₀ε₀ + μ₀ienv (74) dΦEdt
→ →A equação (73) é chamada de Lei de Indução de Maxwell e como se pode ver, 
a variação de um fluxo de campo elétrico cria um campo magnético induzido 
de forma fechada. Entretanto, nós já vimos outra forma de se criar um campo 
magnético induzido que é por meio de uma corrente elétrica. Então, podemos 
melhorar a equação (73) adicionando a lei de Ampère, que ficaria da seguinte 
forma: � B . ds = μ₀ε₀ (73) 
dΦE
dt
→ →
� B . ds = μ₀ε₀ + μ₀ienv (74) dΦEdt
→ →
A equação (74) é chamada de lei de Ampère-Maxwell e explicita a possibilidade 
de se criar um campo magnético induzido, pela variação do fluxo elétrico, ou 
de uma corrente elétrica, ou simplesmente pelas duas formas.
RESUMO DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL
Podemos resumir o que aprendemos até agora em eletromagnetismo em quatro 
equações, chamadas de equações de Maxwell, como visto no Quadro 6. Por essas 
equações, é possível deduzir muitos dos fenômenos apresentados nessa Unidade 
V, sem mencionar que elas constituem a base fundamental do eletromagnetismo.
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
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VU N I D A D E238
Quadro 6 - Equações de Maxwell
NOME EQUAÇÃO
Lei de Gauss para 
a eletricidade
� B . ds = μ₀ε₀ + μ₀ienv dΦEdt
→ →
� E . ds = – dΦEdt
→ →
� E . dA = qenv/Eθ → →
� B . dA = 0→ →
Relaciona o fluxo elétrico às 
cargas elétricas envolvidas
Lei de Gauss para 
o magnetismo
� B . ds = μ₀ε₀ + μ₀ienv dΦEdt
→ →
� E . ds = – dΦEdt
→ →
� E . dA = qenv/Eθ → →
� B . dA = 0→ →
Relaciona o fluxo magné-
tico às cargas magnéticas 
envolvidas
Lei de Faraday
� B . ds = μ₀ε₀ + μ₀ienv dΦEdt
→ →
� E . ds = – dΦEdt
→ →
� E . dA = qenv/Eθ → →
� B . dA = 0→ →
Relaciona o campo elétrico 
induzido à variação do fluxo 
magnético
Lei de Ampère-
-Maxwell � B . ds = μ₀ε₀ + μ₀ienv 
dΦE
dt
→ →
� E . ds = – dΦEdt
→ →
� E . dA = qenv/Eθ → →
� B . dA = 0→ →
Relaciona o campo magné-
tico induzido à variação do 
fluxo elétrico e à corrente
Fonte: Halliday, Resnick e Walker (2016).
As equações do Quadro 6 são ditas também equações de Maxwell no vácuo, 
pois nestas não estão inseridos os termos referentes a materiais dielétricos ou 
magnéticos.
Já pensou como ficariam as equações de Maxwell quando representadas na 
forma diferencial?
Os autores.
Considerações Finais
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Na Unidade V, abordamos o conceito de carga elétrica, da força elétrica de inte-
ração entre elas e o campo elétrico que elas produzem. Para melhor entender o 
campo elétrico, estudamos a noção de fluxo elétrico que, dependendo da sime-
tria adotada, calcula-se de uma forma mais fácil o campo elétrico criado por uma 
distribuição de carga. Essa forma de se encontrar campos elétricos por meio do 
fluxo elétrico é chamada de Lei de Gauss para a eletricidade.
Depois, vimos o potencial elétrico e começamos abordando a energia poten-
cial elétrica e trabalho, assim, derivando a propriedade física do potencial elétrico. 
No decorrer da Unidade, foi estudada a grandeza física da capacitância (pro-
priedade do capacitor), que é muito importante para entendermos a física dos 
capacitores. Após, iniciamos a noção de corrente elétrica e, em seguida, fizemos 
o estudo dos circuitos elétricos com fonte e resistências, e resolvemos proble-
mas com ajuda das Leis de Kirchhoff. Para finalizar esta etapa, foram realizados 
cálculos de potência.
Ao término da parte de eletricidade, começamos o estudo de campos mag-
néticos. Estudamoso comportamento do campo magnético e sua força sobre 
uma carga elétrica, depois, como é possível gerar um campo magnético, devido 
a uma corrente elétrica. E, finalizando, fizemos o estudo da Lei de Indução de 
Faraday e a lei de Indução de Ampere-Maxwell, o que se observa nas relações 
entre campos magnéticos e campos elétricos. Ressaltamos mais uma vez que os 
fenômenos eletromagnéticos estão todos os dias nos cercando, pois estão pre-
sente em toda a matéria. É muito difícil, hoje em dia, não achar uma máquina 
ou dispositivo que não use eletricidade.
Esperamos que o conteúdo apresentado nessa unidade venha aprimorar o 
seu conhecimento e sua curiosidade acerca de natureza eletromagnética.
240 
1. Uma esfera metálica possui uma carga elétrica de Q = -9,6 μC, sabendo que a 
carga do elétron (ou do próton) é de e = ±1,6.10-19 C , pergunta-se:
f ) A esfera possui carga positiva ou negativa?
g) Quantos elétrons (ou prótons) ela tem a mais?
2. Se tem uma partícula carregada positivamente com uma carga de Q1 = 12 mC, 
e outra partícula, a uma distância de r = 4 cm , com uma carga negativa Q2 = -6 
μC. Responda as questões. (k = 9.109 N.m2/C2)
a) Qual é o módulo da força entre as cargas, direção delas e o sentido? 
b) Suponha que exista um ponto no meio entre as cargas, de quanto é o campo 
elétrico nesse ponto?
3. O que acontece com a intensidade da força elétrica quando dobramos o valor da 
distância entre as cargas?
4. O que acontece com a intensidade do campo elétrico quando dobramos o valor 
da distância em relação à carga geradora?
5. Demonstre como chegar ao campo elétrico de um anel carregado. Você 
deve chegar a este resultado:
E = 1 pz2piε0 3
E = qz
4piε (z + R ) 0 2 2 2
3
E = (1 - ) zσ
2ε √z + R 0 22
Em que z é à distância do centro do anel até o ponto P, e R é o raio do anel. Dica: 
Faça uma pesquisa para isso.
6. O que acontece com o valor do potencial elétrico quando a distância em relação 
à carga geradora dobra de valor?
7. Qual é o potencial elétrico de uma carga elétrica de Q = 8 μC, a uma distância r = 
6 mm? O que acontece com o potencial se você quadruplicar a distância?
8. Por um fio condutor metálico, passam cerca de 3,6.1019 elétrons durante um 
intervalo de 3 s. Calcule a intensidade da corrente elétrica.
9. Existe um fio metálico, o qual uma corrente elétrica de 5 A o percorre, um ponto 
P está a 3 cm do fio. Quanto é o módulo do campo magnético neste ponto?
241 
Um pouco da história do eletromagnetismo
Michael Faraday (1791-1867), físico inglês, 
descobriu onze anos depois de Oersted 
ter feito o casamento da eletricidade com 
o magnetismo, que a variação magné-
tica ao redor de um fio gera uma corrente 
neste. Com a descoberta de Oersted, mui-
tos motores foram construídos e outras 
maneiras de gerar movimento por meio 
da eletricidade foram inventadas.
Enquanto Faraday estudava essas novas 
formas de gerar movimento ele desco-
briu que ao se ter um campo magnético 
variável ao redor de um fio condutor, 
uma corrente era gerada neste fio. Ou 
seja, Faraday descobriu uma maneira de 
gerar eletricidade através do movimento. 
Mas Faraday não foi o único a fazer esta 
descoberta. Quase concomitantemente, 
Joseph Henry (1797-1878), professor ame-
ricano, descobriu a força eletro-motriz de 
auto-indução. Como Henry anunciou for-
malmente antes, foi ele o homenageado 
por esta descoberta.
Henry, porém, conhecido pelos seus tra-
balhos em eletromagnetismo, foi pioneiro 
em muitos outros domínios da eletrici-
dade e entre 1830 e 1831 inventou o que 
parece ter sido o primeiro telégrafo ele-
tromagnético prático. O interessante é 
observar que, em eletricidade, a partir do 
século XIX, a teoria andou praticamente 
de mãos dadas com as utilidades práticas. 
Poucos anos separaram os conhecimentos 
teóricos sobre eletricidade dos usos possí-
veis de tais conhecimentos. Pode-se dizer 
que, em muitos casos, o desenvolvimento 
comercial da eletricidade foi resultado de 
pesquisas científicas. 
Não que os cientistas que estudavam a eletri-
cidade fossem os mesmos que produziram, 
comercialmente, aparatos elétricos úteis à 
sociedade. Eles foram, por vezes, distintos, 
mas, devido ao alto grau de comunicação 
científica do século XIX, muitas pessoas 
entraram em contato com os novos sabe-
res no campo do eletromagnetismo.
Alguns descobrimentos no campo cientí-
fico foram de extrema importância para os 
avanços gerais da eletricidade e do magne-
tismo. Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) 
formulou, em 1847, duas leis, chama-
das “leis de Kirchhoff” sobre correntes e 
tensões elétricas, que permitiam a resolu-
ção, juntamente com a “Lei de Ohm”, dos 
mais variados circuitos, facilitando, prin-
cipalmente, e muito, o trabalho com a 
eletricidade. Embora em outros campos, 
até o século XIX, grande parte dos avanços 
tecnológicos tivesse sido consequência de 
descobrimentos empíricos levados a cabo 
por homens eminentemente práticos, no 
campo do conhecimento elétrico, o desen-
volvimento tecnológico foi derivado mais 
das pesquisas científicas. 
É possível estabelecer uma divisão nítida 
entre a ciência da eletricidade e a utilidade 
industrial dos conhecimentos científicos. 
Logo após o descobrimento de Faraday, ao 
cabo de pouco tempo já se vendia gerador 
eletromagnético para o público. Se pessoas 
como Faraday não tinham tino de transfor-
mar os conhecimentos eletromagnéticos 
nos seus usos práticos, não foi difícil para 
outros absorverem seus ensinamentos e 
construírem equipamentos úteis à socie-
dade da época.
Fonte: Vinicius Isola (2003, on-line)9.
MATERIAL COMPLEMENTAR
Fundamentos da Física, volume 3 - Eletromagnetismo
Halliday, Resnick e Walker 
Editora: LTC
Sinopse: sucesso há mais de quatro décadas em todo o mundo, 
Fundamentos de Física continua cumprindo o desa� o de apresentar 
a Física de maneira clara, unindo a teoria e os exercícios às aplicações 
práticas do mundo real. Novidades da 10ª edição: - Módulos e Objetivos 
de Aprendizado - Os capítulos vêm agora divididos em módulos 
conceituais, dedicados a temas básicos, com uma lista de objetivos 
do aprendizado para que o estudante identi� que, de antemão, todos 
os conceitos e as de� nições que verá naquele módulo. - Capítulos 
Reformulados: Para facilitar o aprendizado, alguns capítulos foram 
reformulados, como o que aborda a lei de Gauss e o potencial elétrico. 
Houve também a preocupação de estabelecer uma ligação mais clara e direta com os conceitos-
chave apresentados. - Novos Exemplos, Perguntas e Problemas: 250 novos problemas, 50 perguntas 
inéditas e 16 novos exemplos foram acrescentados a esta edição
Física III – Eletromagnetismo
Young & Freedman, Sears & Zemansky 
Editora: Pearson
Sinopse: desde sua primeira edição, esta tem sido uma obra de referência 
por causa de sua ênfase nos princípios fundamentais de Física e em 
como aplicá-los. Sua clareza e didática minuciosa, assim como a extensa 
gama de exercícios e exemplos explicativos, desenvolvem nos alunos 
habilidades de identi� cação, estabelecimento, execução e avaliação 
de problemas. Esta 14ª edição foi totalmente atualizada e revisada para 
oferecer um aprendizado mais e� caz por meio de uma abordagem mais 
explicativa aliada a uma quantidade maior de � guras, fotos e exercícios. 
Todo esse conteúdo segue uma estrutura estratégica de aprendizagem 
em que uma questão é proposta no início de cada capítulo, sendo 
respondida na seção � nal com base no tema que acabou de ser estudado. 
Por ser uma obra que trata dos temas essenciais da física, é fundamental para estudantes dos cursos 
de graduação em Matemática, Física e todos os ramos da Engenharia.
Material Complementar
MATERIAL COMPLEMENTAR
Física para Cientistas e Engenheiros (Volume2)
Paula Tipler e Gene Mosca 
Editora: LTC
Sinopse: a sexta edição do clássico Física para Cientistas e Engenheiros 
introduz uma nova abordagem estratégica de soluções de problemas, 
em que os exemplos têm como formato uma sequência consistente 
de situação, solução e checagem. Este formato conduz o estudante 
por meio dos passos envolvidos na análise do problema, suas soluções 
e veri� cação de resultados. Os exemplos incluem, com frequência, as 
úteis seções, indo além, e representam formas alternativas de resolver 
problemas, fatos de interesse, ou informação adicional relacionada 
com os conceitos apresentados. Quando apropriado, os exemplos são 
seguidos por problemas práticos para que o estudante possa avaliar seu 
domínio sobre os conceitos. Como novidades, a obra apresenta um tutorial 
matemático integrado e ferramentas amigáveis, exemplos conceituais e checagens conceituais que 
permitem uma melhor compreensão conceitual. Traz também alertas de armadilhas, identi� cadas por 
um ponto de exclamação, que ajudam a evitar concepções alternativas comuns. Os novos quadros 
Física em Foco discutem aplicações atuais da física e relacionam aplicações com os conceitos tratados 
no capítulo. Materiais suplementares para professores e estudantes estão disponíveis no site.
MATERIAL COMPLEMENTAR
Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=1bP8oEtgQkA>, você encontrará 
uma forma mais ilustrativa de entender a carga elétrica.
Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=bunZR7pW9m0>, você 
encontrará uma apresentação sobre a Lei de Coulomb.
Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=qRtq7b4OxkU>. você encontrará 
uma abordagem detalhada sobre o Campo Elétrico.
Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=SfvWGQ8722k>. você encontrará 
uma apresentação clássica sobre a Lei de Gauss.
 Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=jhV14XltMMs>,
 você encontrará tudo sobre a Capacitância.
Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=jyssHo42eaI>, você encontrará 
uma apresentação sobre Circuitos Elétricos como suas aplicações.
Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=qt1zEVh3nSs>, você encontrará 
uma abordagem criativa sobre Campos Magnéticos.
Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=n0Vm4pUCFQA>, você 
encontrará como calcular Campos Magnéticos produzidos por uma corrente elétrica.
Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=jve_6_nQ-ZM>, você encontrará 
aplicações da Lei de Ampère.
Neste link, disponível em:<https://www.youtube.com/watch?v=yuRWx62DV54>,
 você encontrará uma apresentação sobre a Lei de Indução de Faraday.
Neste link, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=9Q9-35CcHsw>, você encontrará 
uma abordagem sobre as Equações de Maxwell. 
REFERÊNCIAS
245
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física 3 - Eletromagnetis-
mo.10. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2016.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A.; SEARS, F.; ZEMANSKY, M. Física III - Eletromagnetis-
mo. 14. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2016.
REFERÊNCIAS ON-LINE
1Em:<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/campo-eletrico-gerado-por-u-
macarga-pontual.htm>. Acesso em: 8 nov. 2017.
2Em:<http://www.rc.unesp.br/showdefisica/99_Explor_Eletrizacao/paginas%20ht-
mls/Campo%20el%C3%A9trico.htm>. Acesso em: 8 nov. 2017.
3Em: <https://www.resumoescolar.com.br/fisica/fluxo-magnetico/>. Acesso em: 8 
nov. 2017.
4Em: <http://exemploeletrostatica.blogspot.com.br/>. Acesso em: 8 nov. 2017.
5Em: <http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_07/capaelec.htm>. Acesso 
em: 8 nov. 2017.
6Em: <http://luthieriaonline.blogspot.com.br/2014/04/capacitores.html>. Acesso 
em: 8 nov. 2017.
7Em:<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/segunda-lei-ohm.htm>. Acesso 
em: 8 nov. 2017.
8Em:<http://pontociencia.org.br/galeria/?content%2FFisica%2FEletromagnetis-
mo%2FCampo+mag+de+solenoide+%281%29.jpg>. Acesso em: 8 nov. 2017.
9Em:<http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/
F809_sem1_2003/992558ViniciusIsola-RMartins_F809_RF09_0.pdf>. Acesso em: 8 
nov. 2017. 
REFERÊNCIAS
GABARITO
1. a) negativa.
b) 6.1013 elétrons.
2. a) F = 40,5.104 N. As cargas se atraem na mesma linha de ação, e o sentido de 
cada uma é oposta da outra, pois uma sente uma força para direita e a outra uma 
força para esquerda.
b) E = 2,7.1011 N/C.
3. Diminui 4 vezes.
4. Diminui 4 vezes.
5. Procurar na Web ou em livros a demonstração.
6. Diminui 2 vezes.
7. V = 12.106 V.
8. i = 1,92 A.
9. B = 3,3.10-5 T.
GABARITO
CONCLUSÃO
247
Caro(a) aluno(a), é com imenso prazer que apresentamos a você este material de 
apoio ao seu estudo. Mesmo sucinto, contém os princípios básicos e fundamentais 
para sua formação, pois contém os principais conceitos de: Cinemática, Dinâmica, 
Calorimetria, Hidrostática, Óptica Geométrica, Oscilações, Eletrostática, Eletrodinâ-
mica e Eletromagnetismo. Com isso, abrangemos os mais importantes campos da 
Física Clássica, sempre dando condições para que você consiga, após a leitura, com-
preender melhor o universo que o rodeia.
A cada unidade, foi possível explorar a Física sob diferentes aspectos. Na unidade I, 
dividida em cinco tópicos, foi apresentado, inicialmente, o Sistema Internacional de 
Unidades (SI) que padroniza todos os sistemas de medidas. Assim, de posse deste 
conhecimento, pode-se realizar uma medida tanto no Brasil quanto em qualquer 
outro lugar do mundo. Ainda nessa Unidade, foi discutido o movimento retilíneo 
com e sem aceleração e apresentamos, ainda, uma ferramenta matemática (vetor) 
indispensável para diversos estudos em Física. Por fim, abordamos os conceitos de 
deslocamento, velocidade e aceleração com o enfoque vetorial.
Na Unidade II, foi oportunizado, em cinco tópicos, conhecimentos sobre as leis que 
regem os movimentos e o porquê de os movimentos acontecerem. Para isso, os as-
suntos centrais foram aplicações das leis newtonianas e de sistemas conservativos 
e dissipativos. A terceira Unidade apresentou três tópicos sobre os temas: tempera-
tura, calor e fluidos em que se pode reconhecer as leis básicas da Física, como as leis 
das trocas de calor e o princípio do empuxo de Arquimedes.
A Unidade IV apresentou, por meio das atividades distribuídas em cinco tópicos, 
assuntos, como reflexão e refração da luz, dois princípios fundamentais da óptica, e 
oscilações mecânicas do ponto material. A quinta e última Unidade discutiu concei-
tos fundamentais de eletricidade distribuídos em três tópicos, com o qual se tem a 
possibilidade de estudar os aspectos fundamentais da eletricidade.
Acreditamos que a apresentação dos assuntos em cada Unidade, de maneira li-
near e em consonância com a Física experimental, permitiu aos educandos uma 
boa carga de conhecimentos e informações sobre as diferentes áreas da Física. 
Da mesma forma, entendemos que os elementos “Saiba Mais”, “Reflita” e “Leitura 
Complementar” proporcionaram conhecimentos adicionais, provindos da leitura 
e da pesquisa individual.
Assim, concluímos nosso estudo na expectativa de termos contribuído para seu de-
senvolvimento pessoal e profissional.
Sucesso!
CONCLUSÃO