Mecanica_aplicada 02

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MECÂNICA
APLICADA
Centro de Formação Profissional – CFP/MM
SABARÁ
2005
Presidente da FIEMG
Robson Braga de Andrade
Gestor do SENAI
Petrônio Machado Zica
Diretor Regional do SENAI e
Superintendente de Conhecimento e Tecnologia
Alexandre Magno Leão dos Santos
Gerente de Educação e Tecnologia
Edmar Fernando de Alcântara
Elaboração
Equipe Técnica do SENAI
Unidade Operacional
CFP MICHEL MICHELS
Sumário
APRESENTAÇÃO ............................................................................................................... 5
1. INTRODUÇÃO À FÍSICA.................................................................................................. 6
1.1. Física e seu método ............................................................................... 6
1.2. Medidas e Unidades ............................................................................... 7
1.3. Potências de Dez .................................................................................... 9
2. MOVIMENTO...................................................................................................................12
2.1. Referecial .............................................................................................. 13
2.2. Ponto Material e Trajetória .................................................................... 13
2.3. Localização de um móvel....................................................................... 13
2.4 Deslocamento ....................................................................................... 14
3. MOVIMENTO UNIFORME ............................................................................................. 16
3.1 Velocidade Média .................................................................................... 16
3.2 Velocidade Instantânea ........................................................................... 16
3.3 Movimento com velocidade constante .................................................... 16
3.4 Equação horária e gráficos do M.U. ........................................................ 17
4. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO................................................................. 19
4.1 Aceleração Média .....................................................................................19
4.2 Aceleração Instantânea ............................................................................19
4.3 Movimento com aceleração constante .................................................... 20
4.4 Equação da velocidade e gráficos .......................................................... 20
4.5 Equação Horária do M.U.V. ..................................................................... 21
5. VETORES......................................................................................................................... 24
 1ª PARTE
3.1 Grandezas Escalares ............................................................................. 24
3.2 Grandezas Vetoriais ................................................................................ 24
3.3 Vetores ...................................................................................................25
3.4 Adição de dois vetores ............................................................................26
5.5 Adição com mais de dois vetores ............................................................ 27
5.6 Subtração de Vetores .............................................................................. 27
 5.7 Multiplicação de um número por um vetor ................................................... 28
5.8 Projeção de um vetor .............................................................................. 29
 2ª parte
5.9 Vetor deslocamento ................................................................................ 29
5.10 Vetor velocidade ..................................................................................... 30
5.11 Vetor aceleração...................................................................................... 30
6. FORÇA E MOVIMENTO ................................................................................................... 31
6.1 Força ....................................................................................................... 31
6.2 Inércia ...................................................................................................... 32
6.3 Primeira Lei de Newton ............................................................................ 33
6.4 Segunda Lei de Newton ........................................................................... 35
6.5 Unidades de massa e força ...................................................................... 37
6.6 Terceira Lei de Newton ............................................................................ 37
7 TRABALHO E ENERGIA .................................................................................................. 39
7.1 Trabalho realizado por força constante .................................................. 39
7.2 Cálculo do Trabalho pelo gráfico ............................................................ 40
7.3 Energia Cinética ..................................................................................... 42
7.4 Teorema da Energia Cinética ................................................................ 43
7.5 Energia Potencial Mecânica .................................................................. 44
7.5.1 Energia Potencial da Gravidade .............................................................45
7.5.2 Energia Potencial Elástica ..................................................................... 45
7.6 Energia Mecânica e sua conservação ................................................... 47
7.6.1 Energia Mecânica de um corpo sujeito à ação de seu peso ................. 47
7.6.2 Energia Mecânica de um sistema sujeito à ação da Força Elástica ..... 48
7.7 Potência ................................................................................................. 49
8 IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO ................................................................. 51
8.1 Impulso ................................................................................................... 51
8.2 Quantidade de movimento ..................................................................... 51
8.3 Teorema do Impulso .............................................................................. 52
8.4 Conservação da Quantidade de movimento .......................................... 52
8.5 Conservação de Q de um só corpo ........................................................ 53
8.5.1 Conservação de Q de 2 corpos .............................................................. 53
9 MOVIMENTO CIRCULAR E FORÇA CENTRÍPETA ........................................................ 56
9.1 Movimento Circular e Uniforme .............................................................. 56
9.1.1 Período e Freqüência ............................................................................. 56
9.1.2 Velocidade Angular ................................................................................ 56
9.3 Aceleração Centrípeta e Tangencial ...................................................... 58
9.4 Força Centrípeta .................................................................................... 59
10 EQUILÍBRIO DOS SÓLIDOS ...................................................................................... 62
10.1 Equação de forças concorrentes ..............................................................62
10.2 Momento de Força ....................................................................................65
11 REFERÊNFIA BIBLIOGRÁFICA ................................................................................. 67
Mecânica Aplicada
____________________________________________________________o sistema
em consideração.
8.5 Conservação de Q de um só corpo
Quando o sistema é constituído de um só corpo e a resultante das forças
aplicadas sobre ele for nula, a quantidade de movimento do corpo não varia, isto
é, se conserva.
Justificação:
I = F . �t
 { I = 0
Se F = 0
Como I = Q � Q = 0, isto é:
 Q´ - Q = 0 ou Q’ = Q
De Q’ = Q � mv = mv = v´ = v
Isto significa que se F (resultante) = 0, o corpo permanece em repouso ou
em M.R.U. Portanto, a conclusão de que Q´= Q é equivalente à primeira Lei de
Newton (princípio da Inércia).
8.5.1 Conservação de Q de dois corpos
As figuras representam dois corpos, A e B, antes da colisão, na colisão e
após a colisão, sobre uma superfície plana e horizontal.
De um modo geral, as forças internas são aquelas exercidas entre os corpos de
um mesmo sistema, enquanto que forças externas são exercidas por agentes
não pertencentes ao sistema.
Mecânica Aplicada
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Como os pesos dos corpos são anulados pelas reações normais do plano e
supondo desprezíveis os atritos, as únicas forças aplicadas neles durante a
colisão são as forças F e –F de ação e reação que são internas ao sistema de
corpos A e B. Se não existem forças externas, ou elas são desprezíveis em
relação às forças internas, a quantidade de movimento do sistema se conserva,
porque:
I = F (resultante) . t
{ I = 0
Se F = 0
Como I = �Q � �Q = 0, isto é: Q´ = Q
Onde: Q = QA + QB e Q’ = Q´A + Q´B
De um modo geral, para um sistema constituído por um ou mais corpos,
podemos afirmar o seguinte, conhecido como Princípio da Conservação da
Quantidade de Movimento.
 Aplicações
1) Sobre uma superfície plana, onde o atrito desprezível, um menino de 20 Kg dá
um empurrão num de 80 kg. Se a velocidade adquirida pelo homem é de
1,5m/s, qual será a velocidade adquirida pelo menino?
Resolução:
Os pesos dos dois são anulados pela reação normal do plano e sendo a
superfície de atrito desprezível, a resultante das forças externas ao sistema
(homem + menino) é nula, logo, os movimentos adquiridos são conseqüências
das forças internas F e –F de ação e reação. A quantidade de movimento se
conserva, portanto:
Q1 + Q2 + Q´1 + Q” 2
Quando a resultante das forças externas a um sistema é nula, a sua quantidade
de movimento total permanece constante.
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Q 1 e Q´1 = quantidade de movimento do menino antes e depois do empurrão.
Q2 e Q´2 = quantidade de movimento do homem antes e depois do empurrão.
Antes eles estavam em repouso, logo:
Q 1 = m 1 v 1 = ___________ (2)
Q 2 = m2 v2 = ___________ (3)
Depois do empurrão:
Q´1 = m1 v1 = 20 . v´1 (4)
Q 2 = m2 v´2 = ___________ (5)
Substituindo (2), (3), (4) e (5) em (1), temos:
0 + 0 = _________________
Resolvendo, temos:
v´1 = __________________
O sinal negativo indica que o menino se move no sentido contrário ao do homem.
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9 Movimento Circular e Força Centrípeta
 9.1 Movimento Circular e Uniforme
Devido à importância que este tipo de movimento oferece ao estudo dos
movimentos vibratórios e ondulatórios (ondas), faremos um estudo do mesmo,
sem, entretanto, entrar em detalhes matemáticos.
9.1.1 Período e Freqüência
Em um movimento circular e uniforme ( movimento em trajetória circular
com velocidade constante, em módulo) denomina-se período e indica-se com
letra T, o tempo gasto por um móvel para dar uma volta (ou ciclo) completa,
enquanto que o número de voltas dadas na unidade de tempo denomina-se
freqüência e indica-se com letra f ou N.
Exemplos:
1º) Se um móvel realiza 6 voltas em 1 s, a sua freqüência será 6 voltas/s ou 6
ciclos/s.
2º) Se ele realiza 500 voltas em 1 minuto, a sua freqüência será 500 voltas/min ou
500 rotações/min (abrevia-se 500 r.p.m.).
Como unidade de freqüência usa-se também o hertz (símbolo Hz), em
homenagem ao físico alemão Heinrich Rudolf Hertz (1857 – 1894), o pioneiro na
emissão das ondas eletromagnéticas (ondas de rádio, TV, radar, luz, raio X, etc.).
O período T e a freqüência f podem ser relacionados conforme:
1 ciclo = f ciclos
 Ts 1s
� f . T = 1 ou f = 1
 T
9.1.2 Velocidade angular
Em uma circunferência de centro O e raio R, consideremos um ângulo
central que intercepta um arco de comprimento s. Na trigonometria, estas
grandezas são relacionadas conforme:
1Hz = 1 ciclo/s
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 ∂ = s (∂ em radianos)
 R
Lembretes: 2πrd = 360º
A velocidade com que o ângulo ∂ é descrito pelo raio denomina-se
velocidade angular (símbolo ω).
Se o movimento é uniforme e o ângulo é descrito no intervalo de tempo de
zero a t, a velocidade angular pode ser definida por:
ω = ∂ unidade de ω (leia ômega): rd/s
 t
Como ∂ = s e s = v . t � ∂ = v . t que substituindo em ω = ∂, temos:
 R R t
 v . t
 ω = _R_ = v , isto é:
 t R
Quando o móvel dá uma volta completa, vem:
∂ = 2πrd e t = T (período)
então: ω = ∂ tornará ω = 2π
 t T
ou, lembrando que 1 = f � 2πf
 T
Observação: velocidade escalar é o mesmo que velocidade v.
ω = v
 R
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9.3 Aceleração Centrípeta e Tangencial
No final do capítulo sobre vetores, vimos que a velocidade em cada
instante é um vetor tangente em cada ponto da trajetória do móvel. E que a
aceleração vetorial entre dois instantes t1 e t2 é dada por:
a = �v
 �t
sendo: �v = v2 – v1 e t = t2 – t1
Quando o módulo da velocidade varia, o vetor �v é, em cada ponto da
trajetória, secante à mesma, portanto, a aceleração em cada ponto da trajetória
também é secante à mesma (veja figura 1).
Decompondo esta aceleração nas direções tangente e normal (ou
perpendicular) à trajetória (figura 2), obtemos as acelerações denominadas:
aceleração tangencial (at) e aceleração centrípeta (ac).
Observações:
a) a aceleração centrípeta é também denominada aceleração normal ou radial.
b) O módulo da aceleração tangencial é o mesmo que a aceleração escalar, a
qual já foi estudada no capítulo sobre M.U.V.
IatI a (escalar)
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Cuidado para não confundir a (escalar) com a (vetorial).
c) a aceleração tangencial surge em conseqüência da variação do módulo da
velocidade; enquanto que a aceleração centrípeta surge em consequência da
variação da direção da velocidade, como no movimento curvilíneo.
Responda:
1) Existe aceleração centrípeta, no movimento retilíneo?
2) Um movimento cujo módulo da velocidade não varia, possui aceleração
tangencial?
3) Num movimento curvilíneo com velocidade constante em módulo, pode-se
dizer que a aceleração vetorial coincide com a aceleração centrípeta?
4) No movimento retilíneo, a aceleração vetorial coincide com a aceleração
tangencial?
No movimento circular e uniforme, o módulo da velocidade é constante,
portanto a aceleração escalar é nula.
Como at = a (escalar) � at deste movimento é nula. Então aúnica aceleração do
movimento é a aceleração centrípeta.
Demonstra-se que o módulo da aceleração centrípeta é dado por:
9.4 Força Centrípeta
O vetor velocidade (ou velocidade vetorial) de um móvel é tangente em
cada ponto da sua trajetória). Portanto, num movimento curvilíneo, a direção do
vetor velocidade está sempre sofrendo mudança.
ac = V²
 R
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(A trajetória v, F, Fc e Ft estão no mesmo plano)
O agente causador da mudança de que direção é a força F, a qual pode
ser decomposta em duas componentes: uma tangente e outra perpendicular à
trajetória (veja a figura). A componente tangencial denomina-se força tangencial
(Ft) e a componente perpendicular denomina-se força centrípeta, normal ou radial
(Fc). Nessas condições, pode-se verificar o seguinte:
a) A força tangencial Ft tem a mesma direção da velocidade, portanto, ela não
varia a direção desta, mas varia o seu módulo (30 km/h, 40 km/h, 60 km/h...)
b) A força centrípeta Fc é a que causa a variação da direção da velocidade.
De acordo com a segunda lei de Newton:
F = m . a Ft = m . at
Fc = m . ac
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Atenção: No movimento circular e uniforme, IatI = 0, logo, só existe Fc.
Exemplos:
1) um corpo de 5 kg preso na extremidade de um fio de 0,5 m de comprimento
executa movimento circular com velocidade com velocidade constante de 6
m/s, sobre um plano horizontal sem atrito. Calcule a força sem atrito. Calcule a
força centrípeta que no corpo.
Neste exemplo N = P, logo, a resultante na direção do raio é a força FFcc.
Fc = m . ac e como ac = v² , temos:
 R
Fc = m . v² = 5 . 6² = 360 N
2) Quando um satélite descreve uma órbita circular em torno de um planete com
velocidade constante, a única força que agem nele é o seu peso. Como o peso
é justamente a força centrípeta que mantém o satélite em órbita, temos:
P = Fc
Como P = mg e Fc = m . v², temos:
 R
mg = m . v² � v = V g . R
 R
A força centrípeta é a resultante de todas as forças que agem
no corpo, na direção do raio.
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10 Equilíbrio dos Sólidos
10.1 Equilíbrio de forças concorrentes
Um conjunto de forças são denominadas concorrentes quando as suas
linhas de ação passam num mesmo ponto. Exemplo:
LLiinnhhaa ddee aaççããoo ddee ffoorrççaa éé aa rreettaa qquuee ccoonnttéémm oo sseeggmmeennttoo oorriieennttaaddoo ((fflleecchhaa
qquuee rreepprreesseennttaa aa ffoorrççaa..
DDee aaccoorrddoo ccoomm aa sseegguunnddaa lleeii ddee NNeewwttoonn:: FF == mmaa
SSee FF == 00 �� aa == 00
EE,, ssee aa == 00 �� aa vveelloocciiddaaddee ddoo ccoorrppoo éé nnuullaa ((ccoorrppoo eemm rreeppoouussoo)) oouu éé
ccoonnssttaannttee ((eemm mmóódduulloo,, ddiirreeççããoo ee sseennttiiddoo))..
PPoorrttaannttoo,, uumm ccoorrppoo eemm eeqquuiillííbbrriioo,, ssoobb aa aaççããoo eexxcclluussiivvaa ddee ffoorrççaass
ccoonnccoorrrreenntteess,, ppooddee eessttaarr eemm rreeppoouussoo oouu eemm mmoovviimmeennttoo rreettiillíínneeoo ee uunniiffoorrmmee..
AA ppaarrttee ddaa MMeeccâânniiccaa qquuee eessttuuddaa oo eeqquuiillííbbrriioo ddooss ccoorrppooss ddeennoommiinnaa--ssee
EEssttááttiiccaa..
PPaarraa eeqquuiilliibbrraarr uumm ppoonnttoo ssoobb aa aaççããoo ddee uummaa ffoorrççaa FF11 ddeevveemmooss aapplliiccaarr
uummaa ffoorrççaa FF22 ddee iinntteennssiiddaaddee iigguuaall àà rreessuullttaannttee ddee FF11,, ccoonnffoorrmmee aa ffiigguurraa:: FF22 == --FF11
UUmm ccoorrppoo ssoobb aa aaççããoo eexxcclluussiivvaa ddee ffoorrççaass ccoonnccoorrrreenntteess eessttáá eemm
eeqquuiillííbbrriioo qquuaannddoo aa ssuuaa rreessuullttaannttee éé nnuullaa..
Mecânica Aplicada
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PPaarraa eeqquuiilliibbrraarr uumm ppoonnttoo ssoobb aa aaççããoo ddee ffoorrççaass FF11 ee FF22,, ddeevveemmooss aapplliiccaarr aa
ffoorrççaa FF33 ddee iinntteennssiiddaaddee iigguuaall àà rreessuullttaannttee RR ddee FF11 ee FF22,, ccoonnffoorrmmee aa ffiigguurraa::
QQuuaannddoo aass ffoorrççaass FF11 ee FF22 eessttããoo aapplliiccaaddaass eemm ppoonnttooss ddiissttiinnttooss ddee uumm
ssóólliiddoo,, ppaarraa eeqquuiilliibbrráá--lloo,, ddeevveemmooss ddeessllooccaarr eessttaass ffoorrççaass aattrraavvééss ddaass ssuuaass lliinnhhaass
ddee aaççããoo ee pprroocceeddeerr ccoommoo nnoo ccaassoo aanntteerriioorr..
UUttiilliizzaannddoo rréégguuaa oouu eessqquuaaddrroo ccoomm mmuuiittoo ccuuiiddaaddoo,, vvooccêê ppooddee vveerriiffiiccaarr qquuee
qquuaallqquueerr uummaa ddaass ffoorrççaass éé aa rreessuullttaannttee ddaass oouuttrraass dduuaass..
OObbsseerrvvaaççããoo:: aaoo iinnvvééss ddee EEqquuiillííbbrriioo ddee ffoorrççaass ccoonnccoorrrreenntteess ddiizz ttaammbbéémm
EEqquuiillííbbrriioo ddoo ppoonnttoo ((rreeffeerree--ssee aaoo ppoonnttoo ddee ccoonnccoorrrrêênncciiaa ddaass ffoorrççaass))..
AAggoorraa,, vveejjaammooss aallgguunnss eexxeemmppllooss ddee ccoorrppooss eemm eeqquuiillííbbrriioo ssoobb aa aaççããoo ddee ffoorrççaass
ccoonnccoorrrreenntteess..
11ºº EExxeemmpplloo:: OO ccoorrppoo eessttaannddoo eemm eeqquuiillííbbrriioo,, aa rreessuullttaannttee ((vveettoorr ssoommaa)) ddee TT11,, TT22 ee
PP éé nnuullaa..
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PP == ppeessoo ddoo ccoorrppoo
TT11 ee TT22 ssããoo aass ffoorrççaass ddee ttrraaççããoo.. DDee aaccoorrddoo ccoomm oo PPrriinnccííppiioo ddee AAççããoo ee RReeaaççããoo,, ssee
oo ccoorrppoo eexxeerrccee aa ffoorrççaa PP ssoobbrree ooss ffiiooss,, eesstteess rreeaaggeemm ccoomm ffoorrççaass TT11 ee TT22..
22ºº eexxeemmpplloo::
PP == ppeessoo ddaa bbaarrrraa..
TT == ffoorrççaass ddee ttrraaççããoo eexxeerrcciiddaa ppeelloo ffiioo ssoobbrree aa bbaarrrraa
FF == ffoorrççaa qquuee aaggee nnaa aarrttiiccuullaaççããoo qquuee lliiggaa aa bbaarrrraa ccoomm aa ppaarreeddee
33ºº eexxeemmpplloo
NNeessttee ccaassoo ddeesspprreezzaammooss oo ppeessoo ddaa bbaarrrraa..
CCoommoo nnoo ccaassoo aanntteerriioorr,, aa bbaarrrraa eessttaannddoo eemm eeqquuiillííbbrriioo,, aa ffoorrççaa FF ddeevvee ccoonnccoorrrreerr
ccoomm TT ee PP..
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10.2 Momento de uma força
Na prática acontecem muitos fatos relacionados com a grandeza física chamada
momento. Por exemplo:
a) É mais fácil virar um parafuso usando chave comprida do que curta.
b) Numa gangorra, uma criança pode equilibrar um adulto.
Dada uma força F aplicada num ponto A e um ponto 0, denomina-se momento da
força F em relação ao ponto 0, ao produto da intensidade da força pela distância
do ponto 0 à linha de ação da força.
No exemplo da gangorra, se:
a) P1 e P1 são os pesos do adulto e da criança
M = F . d
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b) d1 e d2 são as distâncias doponto de apoio da tábua até os pontos onde estão
o adulto e a criança, temos:
Momento de P1: M1 = P1d1
Momento de P2: M2 = P2d2
A tábua estará em equilíbrio quando:
P1d1 = P2d2 ou P1d1 - P2d2 = 0
De acordo com o Princípio de Ação e Reação no ponto de apoio da tábua deve
existir uma força N, tal que N = P1 + P2 e sentido contrário ao dos pesos P1 e P2.
Portanto, a tábua estará em equilíbrio quando:
Um corpo pode estar animado só de movimento de translação ou só de
movimento de rotação ou ambos simultaneamente, como a Terra.
A condição (FORÇA RESULTANTE = 0) elimina a possibilidade deo corpo
realizar movimento de translação com aceleração, logo, o corpo deve estar em
repouso ou em movimento de translação uniforme.
A condição (MOMENTO RESULTANTE = 0) elimina a possibilidade de o
corpo realizar movimento de rotação com aceleração, logo, o corpo deve estar em
repouso ou em movimento de rotação uniforme.
Força resultante = N – (P1 + P2) = 0
Momento resultante = P1d1 - P2d2 = 0
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Referências Bibliográficas
Ueno Yamatoto. ESTUDOS DE FÍSICA. Editora Moderna.____________________________________________________________
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Apresentação
“Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do
conhecimento. “
Peter Drucker
O ingresso na sociedade da informação exige mudanças profundas em todos os
perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produção,
coleta, disseminação e uso da informação.
O SENAI, maior rede privada de educação profissional do país,sabe disso , e
,consciente do seu papel formativo , educa o trabalhador sob a égide do conceito
da competência:” formar o profissional com responsabilidade no processo produtivo,
com iniciativa na resolução de problemas, com conhecimentos técnicos aprofundados,
flexibilidade e criatividade, empreendedorismo e consciência da necessidade de
educação continuada.”
Vivemos numa sociedade da informação. O conhecimento , na sua área
tecnológica, amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante atualização se
faz necessária. Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliográfico, da sua infovia,
da conexão de suas escolas à rede mundial de informações – internet- é tão
importante quanto zelar pela produção de material didático.
Isto porque, nos embates diários,instrutores e alunos , nas diversas oficinas e
laboratórios do SENAI, fazem com que as informações, contidas nos materiais
didáticos, tomem sentido e se concretizem em múltiplos conhecimentos.
O SENAI deseja , por meio dos diversos materiais didáticos, aguçar a sua
curiosidade, responder às suas demandas de informações e construir links entre
os diversos conhecimentos, tão importantes para sua formação continuada !
Gerência de Educação e Tecnologia
Mecânica Aplicada
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1. INTRODUÇÃO À FÍSICA
Ao iniciarmos este curso, não pretendemos que você nos responda de
imediato o que é Física ou tente conceituá-la, pois esta não é uma tarefa muito
fácil. A resposta virá, gradualmente aperfeiçoada, somente na medida em que
você for assimilando os diversos tópicos da Física, acompanhados de aulas com
experimentações e leituras de boas obras científicas.
No momento, aconselhamos a leitura e a resolução de algumas questões
do assunto que se segue, e esperamos que o contínuo aprimoramento do seu
conhecimento seja proporcional à conscientização da seriedade e rigor de uma
atividade científica, seu objetivo e sua função na sociedade.
1.1 Física e seu método
Os sábios da antiga Grécia investigaram os fenômenos da natureza, como
o movimento dos corpos terrestres e celestes, baseando-se na intuição e nas
argumentações filosóficas, pois, não conheciam métodos experimentais que
pudessem explicar os fatos corretamente. Desde esse tempo até o início do
século XIX, a Física, que em grego significa natureza, fazia parte de um ramo de
conhecimento mais amplo chamado Filosofia Natural.
1)Valendo-se somente do raciocínio (sem efetuar experiências) ditado pela
intuição, verifique o seguinte:
“Dois corpos de mesmo material, sendo um de 1 Kg e outro de 2kg,
quando abandonados simultaneamente da mesma altura e no mesmo local, o
mais pesado cai com mais rapidez duas vezes maior que o outro e, portanto,
para atingir o solo, gastará metade do tempo do mais leve”. Esta afirmação é falsa
ou verdadeira?
Agora, para dirimir as dúvidas, faça experiências abandonando, ao mesmo
tempo, dois corpos de massas diferentes; por exemplo, dois gizes, sendo o
tamanho de um deles o dobro do outro. Qual a sua conclusão? Eles chegam ao
solo quase juntos, independentes da sua massa? A sua intuição estava certa
errada? Você pode confiar nela?
A partir do século XVII, sábios notáveis como Galileu (1564-1624) e Isaac
Newton (1642-1727) deram grande impulso à Física através da introdução, por
Galileu, de métodos experimentais na ciência, considerados uma das conquistas
mais importantes do pensamento humano.
2) Com respeito à queda dos corpos, dependendo do seu grau de
interesse, poderia dar um passo na sua indagação formulando as seguintes
perguntas: “ Será que a presença do ar influi no tempo de queda? Como seria o
resultado se repetíssemos a experiência no vácuo?”
No momento, muito mais do que a exatidão da sua resposta, é importante
que se desenvolva em você o hábito de observar, indagar, analisar e interpretar
os fatos.
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3) Tente dar um empurrão num corpo apoiado sobre um plano horizontal.
Por que após percorrer certa distância ele pára? Se polirmos a superfície cada
vez mais, o corpo irá cada vez mais longe? Qual a sua conclusão? Sim ou não?
Valendo-se do raciocínio, você consegue generalizar (ou estender) a sua
conclusão para uma situação ideal (aquilo que é impossível na prática), afirmando
que o corpo, uma vez colocado em movimento sobre uma superfície horizontal,
plana e lisa, nunca irá parar se nada dificultar o seu deslocamento.
As teorias científicas são freqüentemente estabelecidas com base nas
condições ideais onde, por exemplo, se imagina uma superfície 100% lisa ou um
ambiente totalmente vazio (100% vácuo). E, a partir destas idealizações, partem
para situações mais complexas.
A partir do século XVII até o fim do século passado, gerações de cientistas
dedicaram suas atenções ao estabelecimento das teorias de movimentos dos
corpos, calor, som,. Luz, eletricidade e magnetismo.
4) Quais são algumas das aplicações das teorias da Física citadas acima,
desenvolvidas até o final do século passado?
Utilizando métodos de investigação cada vez mais aprimorados e
convenientes para a sua finalidade, a partir do início deste século, os
conhecimentos adquiridos no passado têm sido unificados e refinados, servindo
de base para as incessantes descobertas científicas e para o estabelecimento de
novas teorias, principalmente no domínio da estrutura da matéria.
Manipulando complexos instrumentos de medição e análise, muitas vezes
acoplados a um sistema de computadores, muitos físicos trabalham nas
universidades, institutos de pesquisa mantidos pelos governos, centros de
pesquisa das indústrias e outras organizações, todas elas realizando pesquisas
nos diversos ramos em que a Física se subdividiu, tais como a física nuclear,
física o estado sólido, física dos reatores, física espacial, astrofísica, biofísica,
geofísica, oceanografia física, física das partículas elementares e física dos
plasmas.
5) Tente citar algumas das aplicações decorrentes do progresso da Física
deste século.
1.2) Medidas e unidades
1) Baseando-se somente na observação:
a) As retas r e s da figura são paralelas?
b) Os segmentos AB e BC têm comprimentos iguais?
c) As distâncias EF e GH são iguais?
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2) Agora, utilize uma régua e responda à questão anterior.
Você estava absolutamente certo ou foi ludibriado por ilusões ópticas?
Por meio dos nossos sentidos como a visão, audição e tato, colhemos
informações de muita coisa a respeito do mundo ao nosso redor.
Percebemos, por exemplo, os diferentes comprimentos, volumes, massas
e temperaturas de objetos, bem como as diferentes durações de um fenômeno;
conseguimos, também distinguir sons de vários tipos e luzes de intensidades e
cores diferentes.
Nas atividades científicas, onde o objetivo é ampliar o conhecimento
acerca do universo que nos rodeia, através da explicação de um número cada vez
maior de fenômenos que nele ocorrem, são exigidas realizações de medições
precisas das grandezas envolvidas nos mesmos.
Consideremos um fenômeno físico como a queda de um corpo e
suponhamos que queremos determinar a relação entre a distância percorrida e o
correspondentetempo gasto. Para isto, é necessário efetuar a medição destas
duas grandezas, distância e tempo, envolvidas no fenômeno em observação.
3) A figura representa duas Escalas E1, E2 e um segmento AB, cujo
comprimento se deseja medir.
A) Pela escala E1, quanto você acha que vale o comprimento AB em
cm? É possível estimar o valor da 2ª casa decimal (2º número após a vírgula)?
B) Utilizando a escala E2, estime o valor de comprimento AB em cm.
C) Qual das escalas oferece leitura mais precisa?
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Na questão anterior, se você obteve 2,7 cm pela primeira escala, o
algarismo 2 é correto, enquanto que a primeira casa decimal 7 é duvidosa, pois
esta foi estimada, tanto é que poderia ser também 6 ou 8. Pela segunda escala,
se você obteve 2,78 cm, os algarismo 2 e 7 são corretos, enquanto que 8 é
duvidoso, pois foi estimado, da mesma forma poderia ser 5,6,7 ou 9.
4) Você acaba de verificar que a precisão de uma medida depende do
instrumento de medição e do indivíduo que está medindo. Mas, o que quer dizer
medir uma grandeza?
Para medir um comprimento, você não vai cometer o erro de tomar como
unidade de medida o m2 ou kg, que são de espécies diferentes de unidade de
comprimento. Além disso, a escolha da unidade de medida é feita arbitrariamente;
por exemplo, para se medir um comprimento, você poderia tomar como unidade
de medida o metro, a jarda, a polegada, a milha ou uma outra.
5) Quando se diz “a duração de um fenômeno é igual a 8s”, isto significa
que o fenômeno dura 8 vezes mais que o tempo de 1s?
6) O que quer dizer massa de um objeto é igual a 12 kg?
1.3 Potências de Dez
Os cientistas trabalham em medidas desde as muito pequenas até
as muito grandes. Exemplos:
Velocidade da luz no vácuo = 300 000 000 m/s
Volume da Terra = 1 000 000 000 000 000 000 000 m3
Massa do elétron = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 Kg
Neste item você vai aprender a expressar tais números, difíceis de
ler e escrever, em forma mais simples usando a potência de dez.
1º caso: expoente > ou = 0
1 = 10 0
10 = 101
100 = 10 2
Medir uma grandeza significa compará-la com uma
outra da mesma espécie tomada como unidade e
escolhida arbitrariamente.
No intuito de facilitar o intercâmbio mundial de informações
científicas, em1960, pela 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas
realizada em Paris, foi adotado o Sistema Internacional de Unidades
(abrevia-se SI), onde as unidades fundamentais adotadas são metro,
quilograma, segundo, ampère (intensidade de corrente elétrica), Kelvin
(temperatura absoluta) e a candela (intensidade luminosa).
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10
1000 = 10 3
286= 2,86 . 100 = 2,86 . 10 2
3600 = 3,6 . 1000 = 3,6 . 10 3
327,6 = 3,276 . 100 = 3,276 . 10 2
Regra: Quando a vírgula é deslocada para a esquerda, o expoente de 10 é
positivo e é igual ao número de casas deslocadas.
Ex.: 2 386,5 . 10 3 (3 casas deslocadas para a esquerda)
1) Escreva os seguintes números na forma de potência de 10:
a) 1 000 000 =
b) 27 806 = 27,806 .
c) 3002,86 = 30,0286 .
2) Escreva na forma decimal
a) 26 . 10 4 =
b) 0,14 . 10 3 =
c) 0,0715 . 10 5 =
2º caso: expoenteé denominado móvel. As
sucessivas posições ocupadas por um móvel descrevem uma linha a qual
chamaremos de trajetória.
Já vimos que o fato de um corpo estar ou não em movimento depende do
referencial.
Será que a trajetória de um móvel também depende do referencial?
2.4 Localização de um móvel
Quando se diz: “às 9 horas o carro passou pelo quilômetor 60 de uma
estrada”, isto significa que naquele instante o carro se localizava a 60 Km do
marco zero (Km 0) da estrada. Assim, os marcos quilométricos das estradas
servem para localizar ou dar a posição de um móvel.
A afirmação “o carro está passando pelo quilômetro 120”, sempre indica
que até aquele instante ele percorreu 120 Km? O carro poderia estar cruzando a
estrada no quilômetro 120?
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Os espaços podem ser negativos?
Na trajetória da figura o ponto O é a origem dos espaços (marco zero) e A,
B, C, ... são pontos cujos espaços são positivos. Na Física, às vezes, é
conveniente considerar também os pontos situados no outro lado da origem,
como os pontos A’, B’, C’ ... serão negativos.
A seta na extremidade da trajetória indica que naquele sentido os espaços
(ou posições) são crescentes.
2.5 Deslocamento
Se s1 é o espaço de um móvel num certo instante T1 e s2 é o espado no
instatne posterior t2, chama-se deslocamento escalar ou simplesmente
deslocamento a seguinte diferença
�s = s2 – s1
A letra grega � (delta) está indicando variação de s.
O comprimento da estrada entre o marco zero e um marco quilométrico qualquer
é, normalmente, chamado espaço, distância, abscissa, posição e é indicado com
letras s, d, x ou uma outra letra.
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Exercício:
1) Ás 2 h um veículo passa pela posição s = 50 km; às 3 h passa pela
posição s = 150 km e às 4 h, passa pela posição s = 120 km. Calcule o
deslocamento do veículo entre os instantes:
a) 2 h e 3 h
b) 3 h e 4 h
c) 2 h e 4 h
 2) Dê a interpretação física de �s 
 t
Se no intervalo de tempo 0 (zero) a t o espaço do móvel varia de s0 a s,
temos:
�t = t – 0 = t e �s = s – s0 que substituindo em V = �s resulta:
 �t
v = s – s0 => s - s0 = vt
 t
s0 = espaço do móvel no instante t = 0. Denomina-se espaço inicial
V = �s
 �t
logo: s= vt
Logo: s = s0 + vt
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(abscissa inicial ou também posição inicial).
As expressões s = vt e s = s0 + vt são denominadas Equações Horárias ou
Funções Horárias e relacionam a posição do móvel com o tempo.
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4 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
4.1 Aceleração Média
A velocidade de um carro pode ser variada através do acelerador ou do
freio.
Se em 10 segundo a velocidade de um carro sofreu variação de 0 a 100
km/h, isto significa que a velocidade de um carro sofreu variação de 0 a 100 km/h
em cada 1 segundo.
Se v1 e v2 são as velocidade de um móvel nos instantes t1 e t2, a
aceleração média (símbolo am) entre t1 e t2 é definida por:
Sendo �v = v2 – v1 e �t = t2 – t1
Observação: a definição vale para qualquer tipo de movimento.
Exercício
1) No exemplo anterior, onde em 10 s a velocidade do carro varia de 0
a 100 km/h, a aceleração média será:
am = �v = 100km/h = 10 km . 1 = 10 km
 �t 10 s h s h .s
(leia-se 10 km por hora por segundo)
Se em 5 s a velocidade de um carro varia de 40 km/h a 120 km/h, temos:
�t = 5 s
�v = ________
am = �v = ___________ = ____ km
 �t h . s
Isto significa que, em cada segundo, a velocidade aumenta numa média de
16 km/h.
4.2 Aceleração Instantânea
Aceleração instantânea (símbolo a ) de um móvel é a aceleração em cada
ponto de sua trajetória.
am = �v
 �t
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Quando a aceleração instantânea de um móvel permanecer constante em
relação ao tempo, ela será igual à sua aceleração média e vice-versa.
4.3 Movimento com aceleração constante
A figura representa os sucessivos instantes e as velocidades de um móvel:
De um modo geral, o movimento cujo valor absoluto da velocidade cresce
com o tempo, é ditoacelerado, caso contrário, será retardado. Isto é:
IvI crescente -> movimento acelerado
IvI decrescente -> movimento retardado
O movimento vertical dos corpos no vácuo, sob ação exclusiva da
gravidade, pode ser considerado uniformemente variado quando o deslocamento
não é muito grande. A aceleração é denominada aceleração da gravidade
(símbolo g) e seu valor médio na Terra é de 9,8 m/s2 .
Observação: salvo afirmações em contrário, neste texto, aceleração
constante significa valor da aceleração constante.
4.4 Equação da velocidade e gráficos
Se no intervalo de tempo 0 (zero) a t a velocidade de um corpo em M.U.V.
varia de vo a v, temos:
�t = t – 0 = t e �v = v – v0
que substitui em a = �v, resulta:
 �t
a = v – v0 � v – v0 = at
Um corpo executa movimento uniformemente variado (abrevia-se M.U.V)
quando a sua aceleração se mantém constante (≠0) no decorrer do
tempo qualquer, qualquer que seja a forma da trajetória descrita.
Am = a = �v
 �t
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v = v0 + at (equação da velocidade ou função da velocidade)
v0 = velocidade no instante t = 0; denomina-se velocidade inicial.
N.B. Na fórmula s = so + vt do M.U., fazendo s = v e v = a, obtém-se a
fórmula
V = vo + at do M.U.V.. Isto significa que os itens 1,2,3,4 do capítulo anterior
(M.U.) são semelhantes aos itens 1,2,3 e 4 deste capítulo (M.U.V.), bastando,
para isto, trocar algumas palavras e unidades do M.U.
M.U � M.U.V.
Espaço � velocidade
Velocidade � aceleração
Metro � m/s
m/s � m/s²
equação horária � equação da velocidade
4.5 Equação Horária do M.U.V.
1) A área compreendida entre o gráfico da velocidade em função do tempo
e o eixo dos tempos fornece o deslocamento �s.
Para cada um dos gráficos de (v,t) dados, calcule o �s entre 0 e 6
segundos.
2) Se o número de retângulos for aumentando de modo que os degraus
forem desaparecendo, teremos um trapézio cuja área vai fornecer o �s.
3) De um modo geral, qualquer que seja o tipo do movimento, a “área”
compreendida entre o gráfico de (v,t) e o eixo t fornece �s.
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4) Os gráficos abaixo representam a variação da velocidade de um móvel
em função do tempo. Para cada gráfico, calcule o deslocamento (ou o espaço
percorrido) �s entre 0 e 4 segundos.
Resolução
a) 1º gráfico:
área do trapézio =(B + b) h
 2
Como B = 9, b =3 e h = _______ lembrete: Área = ����s
Temos �s = __________
b) 2º gráfico:
Área do triângulo: b .h � �s =
 2
c) 3º gráfico:
Este gráfico mostra que de 0 a 4 segundos a velocidade está diminuindo
de 9 m/s a 0; portanto o movimento é
� Acelerado � retardado
Área do triângulo = b . h � �s =
 2
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Agora vamos deduzir uma expressão que forneça o espaço em função do
tempo t para M.U.V. Para isto, consideremos o gráfico abaixo e determinemos o
deslocamento �s.
Área do trapézio = (B + b) h
 2
Na figura: B = v, b = v0 , h = t
Como área �s, vem:
�s = (v + v0 )t
 2
Substituindo v por v0 + at, temos:
�s = (v0 + at + v0) t = (2v0 + at) t = 2 v0t + at² = 2 v0t + at² = v0t + 1a t²
 2 2 2 2 2
Se enquanto o tempo varia de 0 a t, o espaço (ou posição) varia de s0 a s,
temos que, substituído na expressão anterior, resulta:
(equação horária do M.U.V.)
Observação: em geral, o tempo é contado a partir do marco zero (origem
dos espaços) e, portanto, neste caso, so = 0 e, consequentemente,
�s = v0t + 1a t²
 2
S = so + v0t + 1 a t²
 2
�s = s – 0 = s = v0t + 1 a t²
 2
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5 VETORES
1ª parte
5.1 Grandezas escalares
Ao afirmarmos que o resultado da medida da área de uma superfície é 7
m², estará faltando ainda algo para caracterizar esta grandeza? Em outras
palavras, devemos pensar por exemplo, “em que direção” ou “para que lado” a
medida é de 7 m²?
A resposta é não, pois só o número (7) e a unidade de medida (m²)
caracterizam perfeitamente a grandeza área.
Grandezas que ficam perfeitamente caracterizadas por um número e uma
unidade convenientemente de medida denominam-se grandezas escalares.
Exemplos: massa, área, volume, densidade, temperatura, energia e outras.
5.2 Grandezas vetoriais
O móvel pode se deslocar em diversos sentidos, por exemplo, para cima,
para baixo, para a esquerda, para a direita, para o norte, para o sudeste etc. Se o
móvel foi do ponto P a Q, o deslocamento será representado por um segmento
orientado com origem no ponto p e extremidade no ponto Q.
 Q
P
1) No exemplo anterior, se em linha reta o móvel gasta 6 segundos para ir
de P a Q, a velocidade será _____ m/s.
Esta velocidade também será representada por um segmento orientado de
comprimento 6 vezes menor do que PQ e com a mesma orientação.
2) Em uma linha vertical existem dois sentidos de movimento: para cima e
para ______.
3) Quando afirmamos que um ponto material se move verticalmente para
cima com a velocidade de 5 m/s², significa que a velocidade é caracterizada por:
a) número 5
b) Unidade de medida m/s
c) Direção vertical
d) Sentido __________
4) Um avião voa para o Nordeste com velocidade de 800 km/h. Esta
velocidade é caracterizada por:
e) número ______
f) Unidade de medida _____
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g) Direção formando o ângulo de 45º com
h) o sentido Leste e Norte.
i) Sentido __________
Exemplos: Velocidade, aceleração, força e outras.
5.3 Vetores
As grandezas vetoriais são representadas; graficamente, por segmentos
orientados, que chamaremos de vetor.
Os vetores são indicados, simbolicamente, por letras minúsculas ou
maiúsculas, sobre as quais se coloca uma seta.
 � � � �
Exemplos: x, V, F, �
 � � � �
X v
F �
Um vetor de origem no ponto A e extremidade no ponto B também pode
ser indicado por AB
 A B
Os módulos dos vetores são indicados por:
� � � � �
IxI, IVI, I FI, I � I e IABI
Ou simplesmente: x, V, F, � e AB
 � �
Grandezas que, além do número e da unidade de medida, exigem para a
sua perfeita caracterização o conhecimento de direção e sentido
denominam-se grandezas vetoriais.
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Exemplos: IvI = 10 m/s ou v = 10 m/s IgI = 9,8 m/s² ou g =
9,8 m/s²
Vetores contidos na mesma reta ou em retas paralelas têm a mesma
direção, mas podem ter sentidos iguais ou contrários.
5.4 Adição de dois vetores
Dados os vetores a e b, o vetor soma (ou resultante) s é obtido da seguinte
maneira:
Aplicação
Se um avião, que se desloca para leste com velocidade V1=800 km/h, for
atingido por um vento sul de velocidade v2 = 70 km/h, a velocidade resultante v
do avião será obtida efetuando-se a adeição dos vetores v1 e v2. Pelo teorema de
Pitágoras:
V² = v1² + v2²
V = V (800)² + (70²)
V = 803 km/h
Vetores de mesma direção, mesmo sentido e módulosão iguais entre si.
1º) Desloca-se, paralelamente a si mesmo, os dois vetores ou qualquer
um deles até que a origem de um deles coincida com a extremidade do
outro.
2º) O vetor que vai da origem de um à extremidade do outro, conforme o
esquema, é, por definição, o vetor soma s.
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5.5 Adição de mais de dois vetores
Dados os vetores a, b e c, o vetor soma s é determinado da seguinte
maneira:
1º) Obter o vetor soma s1 = a + b
2º) Obter o vetor soma s = s1 + c
 s é o vetor soma de a, b e c
De fato, substituindo s1 = a + b em s = s1 + c, temos
S = a + b + c
a, b e c são chamados componentes de s.
Em síntese, o vetor soma s pode ser obtido sem traçar o s1 deslocando-
se os vetores paralelamente a si mesmo, de modo que as origens coincidam com
as extremidades.
O vetor soma s vai da origem do primeiro à extremidade do último.
Os vetores podem ser adicionados em qualquer ordem.
 5.6 Subtração de vetores
Vetores de mesma direção, mesmo módulo e sentidos contrário são
denominados opostos. Indica-se o oposto de um vetor x por –x.
Exemplos:
Dados os vetores a e b, o vetor diferença d = a – b é obtido fazendo-se a
adição de a com –b. De fato: d´ = a – b é o mesmo que d = a + (-b)
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- b = vetor oposto de b
O vetor diferença d´ = b – a é obtido fazendo-se a adição de b com – a.
De fato:
d = b – a é o mesmo que d´ = b + (-a)
5.7 Multiplicação de um número por um vetor
1) Dado o vetor x , obter os vetores:
2x, 4x, 1 x, -x, -3x e 3 x
2 
6 Dados os vetores A e B, represente os vetores:
a) X = 2 A + B b) Y = B – 2A c) z = A – 3 B
 2
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5.8 Projeção de um vetor:
A figura representa um feixe de raios de luz paralelos, projetando uma
flecha perpendicularmente a um eixo (reta orientada). Represente a sombra
projetada sobre o eixo.
2ª parte
5.9 Vetor deslocamento
Se um ponto material se desloca desde um ponto A até um ponto B
descrevendo trajetória qualquer, o vetor AB) origem em A e extremidade em B)
chama-se vetor deslocamento.
AB = vetor deslocamento
Observação: a curva AB é conhecida com o nome de deslocamento
escalar, cuja indicação se faz com o símbolo �s.
Dado um vetor AB e um eixo x, projetando os pontos A e B perpendicularmente
ao eixo x, obtém-se A´ B´ que é chamado componente ortogonal de AB em x.
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O deslocamento resultante de vários deslocamentos é obtido efetuando-se
a adição dos vetores deslocamentos.
5.10 Vetor velocidade
No início deste capítulo verificamos que a velocidade é uma grandeza
vetorial e, portanto, graficamente, é representada por um segmento orientado.
Se um veículo em alta velocidade, perde a direção num ponto P da curva
da figura, ele sairá da curva pela reta:
 � t � s
com velocidade que possuía no ponto P.
5.11 Vetor aceleração
Você aprendeu que, para M.U.V. ou M.U., a aceleração é dada por
 a = �v
 �t
No M.U. v = constante � �v = 0 � a = 0
No M.U.V. v = varia � �v ≠ 0 � a ≠ 0
Observação: para evitar confusão com outros tipos de aceleração, essa
aceleração a é chamada aceleração escalar ou aceleração tangencial.
Neste item veremos que, embora o módulo da velocidade permaneça
constante como é o caso do M.U., o móvel pode possuir aceleração, isto é, ele
pode estar acelerado.
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6 Força e Movimento
Até o presente, estudamos o movimento, analisando as relações entre as
grandezas como espaço (posição), velocidade, aceleração e tempo. Mostramos
também que a velocidade e a aceleração são grandezas vetoriais e, portanto, são
representadas, graficamente por segmentos orientados.
Neste capítulo daremos mais um passo estudando o movimento,
juntamente com as causas que o originam. Este estudo denomina-se Dinâmica.
A primeira contribuição à Dinâmica foi dada por Galileu (1564 – 1642), que
refutou as teorias filosóficas de Aristóteles as quais sustentavam, por exemplo,
que corpos pesados caíam mais rapidamente que os mais leves, sendo
necessária uma força constante para manter constante a velocidade de um corpo.
Isaac Newton (1642 – 1727), através dos trabalhos de Galileu, deu uma
formulação precisa às leis do movimento, estabelecendo uma base sólida à
Dinâmica.
6.1 Força
 A noção de força é intuitiva, estando relacionada com o puxão ou
empurrão dado em um corpo através de esforços musculares.
Esta noção de força foi gradativamente ampliada para outras causas de
movimento. Por exemplo, a atração de um corpo pela Terra é uma força chamada
força de gravidade ou peso; um ímã atrai um pedaço de ferro exercendo força
magnética; pedacinhos de papel podem ser atraídos por um pente atritado no
cabelo por forças chamadas elétricas, as superfícies de sólidos exercem forças de
atrito sobre os corpos que se movem sobre eles; um estilingue atira um pedra
pela ação da força elástica; um barco flutua devido à ação da força exercida pela
água chamada empuxo.
 Na figura, os segmentos orientados representam as forças F1 e F2 de
sentidos contrários, intensidades e direções iguais aplicados no mesmo corpo.
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a) Poderá haver deslocamento do corpo se ele está parado?
b) Neste caso, a intensidade da resultante das forças é obtida
adicionando-se ou subtraindo-se as suas intensidades?
c) Se as forças tivessem sentidos iguais, a intensidade da resultante
seria a soma ou a diferença das suas intensidades?
Acabamos de verificar que as forças de direções iguais se adicionam ou
se subtraem como vetores. Além disso, como é possível mostrar
experimentalmente que forças de direções diferentes também são adicionadas,
obedecendo á regra da adição de vetores, podemos dizer que:
6.2 Inércia
A figura 1 representa um corpo parado na posição vertical sobre um
carrinho em repouso. Quando o carrinho se movimenta para frente, o corpo tende
a inclinar-se para trás conforme a figura 2, porque insiste em manter o seu estado
de repouso, isto é, insiste em manter a nulidade da sua velocidade.
Exercício
1) A figura 5 representa uma bolinha pendurada através de um fio no teto
de um carro que se move em linha reta com velocidade constante. Se este carro
faz uma curva, o corpo insiste em manter a direção da velocidade que era reta
(conforme as figuras 6 e 7)
 Força é uma grandeza vetorial
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Nota: nas figuras 6 e 7, em relação ao motorista do carro, a bolinha está
se afastando para a lateral; portanto, para ele existe uma força agindo na bolinha.
Esta força chama-se força centrífuga inercial.
7 Quando um veículo faz uma curva com velocidade constante, os
passageiros tendem a se inclinar para frente, trás, ou lado?
O fato dos corpos insistirem em manter o módulo, a direção e o sentido da
velocidade é uma propriedade da matéria chamada inércia. (Propriedade da
matéria significa algo queé próprio ou característico da matéria)
Em outras palavras:
Observação: o módulo da velocidade pode ser nulo ou não. A insistência
(resistência ou teimosia) em manter o módulo, a direção e o sentido da velocidade
depende da massa do corpo. Exemplo:
a) nas mesmas condições, é mais difícil movimentar uma caixa cheia
do que vazia.
b) É mais difícil acelerar, frear ou fazer curva com um carro lotado do
que vazio.
Isto permite-nos dizer que a inércia depende da massa do corpo ou que a
inércia de um corpo pode ser avaliada pela sua massa.
6.3 Primeira Lei de Newton
É possível o movimento de um corpo em linha reta, com velocidade
constante, sem a ação da força? A concepção aristotélica (Aristóteles, 384 – 322
a.C.) do Universo, onde a idéia de que um movimento retilíneo com velocidade
constante só pode ser mantido pela ação de uma força constante, permaneceu
durante quase 2000 anos.
Foi somente no século XVII, através da introdução de métodos
experimentais na Física, que Galileu provou o contrário.
Inércia é a propriedade comum a todos os corpos materiais, mediante a qual
eles insistem em manter o módulo, a direção e o sentido da velocidade.
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As questões que se seguem estão baseadas nas experiências realizadas
por Galileu. Tente respondê-las e vejamos se você raciocina como o grande gênio
do passado.
1) A figura representa dois planos inclinados e um plano horizontal.
Quando um corpo desce o plano, a velocidade aumenta, e quando sobe, ela
diminui; logo, se o plano for horizontal, a velocidade não aumentará e, se não
existir qualquer tipo de atrito, ela não diminuirá. Você concorda com essa
afirmação?
Nota: na prática, é impossível eliminar o atrito totalmente; logo, quando
afirmamos “se não existir qualquer tipo de atrito”, estamos idealizando ou
imaginando uma experiência.
2) Se não existir nenhuma causa (força) que aumente ou diminua a
velocidade de um corpo, ela permanecerá constante?
3) Agora, vamos ligar os planos conforme as figuras abaixo e, partindo
da idealização de que se não existisse qualquer tipo de atrito o corpo
abandonado na posição A atingiria a posição B situada no mesmo nível de A
(veja a 1ª figura abaixo), responda:
a) Se diminuirmos a inclinação α (veja a 2ª figura), para atingir o
mesmo nível, o corpo percorrerá distância maior que a anterior?
b) Agora, diminuindo α até zero e considerando, teoricamente, que o
plano tem comprimento infinito e que não existe qualquer tipo de atrito, o corpo
se moverá eternamente em linha reta com velocidade constante?
As conclusões anteriores, devidas a Galileu e confirmadas por Newton,
constituem a primeira Lei de Newton ou Princípio de Inércia, cujo enunciado é
o seguinte:
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6.4 Segunda Lei de Newton
As intensidades das forças podem ser comparadas pelas deformações
produzidas em uma mola.
Um mesma mola sofre deformações x sob a ação da força F e deformação
2x pela ação da força F´, aplicada no mesmo ponto, na mesma direção e sentido
da anterior. Então, pode-se concluir que F’ é _____________ vezes mais intensa
que F.
As intensidades das forças também podem ser comparadas, medindo-se
as acelerações produzidas nos corpos, conforme veremos a seguir.
A segunda Lei de Newton estabelece a relação entre força, massa e
aceleração. Para verificarmos como estas grandezas estão relacionadas,
consideremos um corpo apoiado sobre um plano horizontal liso e vejamos os
seguintes fatos experimentais:
1º) A aceleração produzida no corpo é diretamente proporcional à
intensidade da força aplicada e possui a mesma direção e sentido desta força.
Isto é, se uma força F produz aceleração a, a força 2F produzirá
aceleração 2a, a força 3F produzirá aceleração 3a e assim por diante.
Observação: durante a experiência, a força é mantida constante e o atrito
é reduzido ao mínimo para que a aceleração medida seja produzida apenas por
esta força.
Um ponto material livre de ação das forças está em repouso ou em
movimento retilíneo e uniforme.
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2º) Aplicando forças iguais (em intensidade, direção e sentido) em corpos
de massas diferentes, verifica-se que a aceleração produzida é inversamente
proporcional à massa. Isto é, se uma força F produz aceleração a no corpo de
massa m, a mesma força produzirá aceleração a/2 no corpo de massa 2 m,
aceleração a/3 no corpo de massa 3 m e assim por diante.
A reunião das conclusões anteriores constitui a segunda lei de Newton,
assim enunciada:
Uma força aplicada em um corpo produz uma aceleração que tem:
a) a mesma direção e o mesmo sentido da força.
b) O módulo diretamente proporcional à intensidade da força e
inversamente proporcional à massa do corpo.
Simbolicamente: ou
 E em módulo
Quando o corpo está sob a ação de várias forças, F pode ser considerada
a resultante R dessas forças e a, a aceleração resultante.
R = m . a
Ou, em módulo, R = m . a
Quando o corpo está sob a ação da gravidade, a é a aceleração da
gravidade (indica-se g) e F, a força da gravidade ou simplesmente peso (indica-se
P). Portanto, neste caso, a segunda lei de Newton será escrita:
ou em módulo
a = F
 m
F = m . a
F = m . a
P = m . g
P = m . g
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6.5 Unidades de massa e força
A unidade de massa do Sistema Internacional (SI) é o quilograma (símbolo
Kg). O quilograma é a massa de um corpo padrão de platina-irídio, consrvado no
Instituto de Pesos e Medidas de Sèvres (Paris).
A unidade de força do SI é o newton (N), definido a partir da lei F = m . a
como sendo a intensidade de uma força que produz aceleração de 1 m/s²,
fazendo m = 1 kg e a = 1 m/s², temos:
6.6 Terceira Lei de Newton
Pode-se observar que:
a) quando se dispara uma arma de fogo, ela sofre um recuo.
b) Os foguetes se movem no sentido contrário ao do jato de gases
expelidos por ele.
c) Dando um empurrão no corpo, temos a tendência de ser jogados no
sentido contrário ao do empurrão.
d) Um barco se move no sentido contrário ao do remo contra a água.
Com base neste e em outros exemplos, o Princípio de Ação e Reação ou
terceira Lei de Newton pode ser enunciado assim:
Exemplos:
1º) Um corpo apoiado em um plano horizontal exerce força F sobre o
plano na direção vertical, e o plano exerce no corpo uma força N de sentido
oposto a F, chamada reação normal do plano.
N é chamada reação normal do plano.
Quando um corpo exerce uma força sobre o outro, este reage com uma força de
mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto.
 N = 1 kg . 1 m/s²
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Observação: N = - F significa que N e F têm o mesmo módulo, mesma
direção e sentidos opostos. Em módulo, escreve-se: N = F.
2º) Um corpo suspenso por um fio exerce força F de tração sobre o fio,
enquanto que o fio exerce no corpo uma força T de sentido oposto a F. (Como T =
F, a força T é também chamada de tração).
3º) os foguetes expelem gases exercendo força sobre eles e a força de
reação exercida pelos gases movimenta o foguete.
4º) As forças exercidas entre um ímã e um pedaço de ferro e entre a terra
e os corpos em geral são de ação e reação.
Atenção: Forças de ação e reação não são aplicadas no mesmo corpo;
portanto, elas não se anulam mutuamente.
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7 Trabalho e Energia
Quando movimentamos um corpo através do esforço muscular, estamos
gastando energia proveniente dos alimentos ingeridos. Neste caso o alimento é o
combustível que fornece energia ao corpo humano, considerado a máquina que
pode realizar a tarefa, ou melhor, o trabalho de mover um corpo.
Na Física, toda vez que um corpo é deslocado sob a ação da força
dizemos que a força ou o agente que exerceu a força realizou um trabalho.
7.1 Trabalho realizado por uma força constante
Se, sob a ação de uma força F constante (em módulo, direção e sentido),
um corpo sofre um deslocamento d no mesmo sentido da força, o trabalho
(abrevia-se W) realizado por esta força é definido da seguinte maneira:
 W = F . D ( com F > 0 e d > 0)
No SI, em homenagem ao físico inglês James Prescott Joule (1818 –
1889), o trabalho é medido em joules (símbolo J).
De acordo com a definição de trabalho, a sua unidade de medida é igual
ao produto das unidades de força e deslocamento. Portanto, no SI, temos:
De um modo geral, quando a força F forma ângulo com o sentido do
deslocamento, o trabalho realizado por F será:
1 J = 1 N . m
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W = F . d . cos O
(com F > 0 e d > 0)
Atenção: O é o ângulo entre a força e o sentido do deslocamento.
O trabalho realizado pelo peso independente da forma da trajetória; ela
depende somente do peso e do desnível entre as posições inicial e final.
Wp (A � B) = P Ih1 – h2I
Wp (B � A) = -P Ih1 – h2I
7.2 Cálculo do Trabalho pelo Gráfico
O trabalho realizado pela força F é:
W = F . d . cos 0 = Ft . d
 (Ft = força tangencial)
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Quando a força tangencial Ft é constante, o gráfico de Ft em função do
deslocamento d é uma reta paralela ao eixo dos deslocamentos . A parte
sombreada é um retângulo, cuja área é:
A = Ft . d (numericamente)
Como Ft . d = W, temos:
Observação: pode-se demonstrar que Área = W, mesmo quando o gráfico
é uma curva qualquer.
Exercício: Os gráficos abaixo representam a variação da força tangencial
aplicada num ponto de um corpo, em função do deslocamento deste ponto. Para
cada caso, calculo o trabalho para d = 6 m.
 Área = W
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7.3 Energia Cinética
Um corpo em movimento possui energia adquirida de “alguém que o
colocou em movimento realizando trabalho.
A energia gasta para realizar um trabalho durante o deslocamento de um corpo
é transferida a este corpo.
A energia que um corpo possui devido ao seu estado de
movimento chama-se energia cinética.
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Você agora sabe o que é energia cinética, mas isto não é o suficiente.
Para o estudo quantitativo de muitos fenômenos é importante que a energia
cinética seja expressa numa linguagem matemática (fórmula).
Considere um corpo de massa m sofrendo deslocamento d, enquanto a
sua velocidade varia de zero a v sob a a ação da força constante F, resultante das
outras forças, eventualmente aplicadas no corpo:
• O trabalho realizado por F será w = F . d (1)
• Pela segunda lei de Newton: F = m . a (2)
• Substituindo (2) em (1): w = m . a . d (3)
• Pela equação de Torricelli: v² = 2 ad � d = v² (4)
 2a
• Substituindo (4) em (3): W = mv²
 2
O trabalho W assim obtido mede a energia cinética aquirida pelo corpo. Logo,
podemos dizer que mv² é a energia cinética (abrevia-se Ec) do corpo, isto é:
 2
7.4 Teorema da Energia Cinética (T.E.C)
No item anterior verificamos que o trabalho realizado por uma força, que
varia a velocidade de um corpo desde zero até v, é dado por:
W = mv²
 2
Quando a velocidade do corpo varia de va para vb, a sua energia cinética
variará de mv² A para mv²B, devido ao trabalho realizado sobre o corpo. Isto nos
 2 2
permite enunciar o seguinte, conhecido como Teorema da Energia Cinética:
Ec = mv²
 2
O trabalho realizado pela resultante das forças aplicadas num
corpo mede a variação da sua energia cinética. Isto é, quando um
corpo se desloca de A para B, tem-se:
WAB = �Ec ou WAB = mv² A - mv²B
 2 2
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7.5 Energia Potencial Mecânica
A energia não se criam nem se perde, ela se transfere de um corpo a outro
ou se transforma. Por exemplo, quando aceleramos um corpo, estamos
transferindo energia a este corpo e a energia ganha pelo mesmo chama-se
energia cinética.
Um corpo em movimento possui energia cinética. E um corpo em repouso?
Também possui energia cinética?
Toda vez que um corpo tem condição de realizar trabalho, diz-se que ele
possui energia. Por exemplo, um corpo parado a certa altura do solo pode cair e
cravar uma estaca realizando, pois, um trabalho. A queda da água represada
numa barragem pode gerar energia elétrica (usina hidrelétrica). Um corpo elástico
como a mola, a borracha e o arco, quando deformado, pode lançar uma pedra
realizando um trabalho.
A energia potencial pode ser de dois tipos: energia potencial da gravidade
e energia potencial elástica.
Corpos sujeitos à ação da gravidade (peso ) possuem energia potencial
elástica.
A energia que um corpo possui devido a sua posição ou configuração chama-se
energia potencial mecânica.
 Energia potencial da gravidade
Energia potencial mecânica {
 Energia potencial elástica
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7.5.1 Energia Potencial da Gravidade
Exercício:
1) Dado um corpo em repouso num ponto M a uma altura h do solo,
pergunta-se:
a) no ponto M, o corpo possui energia cinética?
b) No ponto M, o corpo possui energia potencial?
c) Qual será a expressão do trabalho realizado pelo peso, quando o
corpo cai até o solo?
d) O trabalho que você acabou de determinar mede a energia potencial
do corpo no ponto M?
Energia Potencial (Ep) de um corpo situado a altura h do solo é igual a P .
h ou m .g .h, isto é:
Ou
7.5.2 Energia Potencial Elástica
Quando um corpo ou um agente produz deformação numa mola,
comprimindo ou distendendo, ela exerce uma força chamada força elástica
contra o corpo, sempre no sentido contrário ao da deformação.
Ep = P . h Ep = m .g .h
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Pode se demonstrar, experimentalmente, que a deformação x é
diretamente proporcional à força elástica F da mola. Matematicamente, este fato
pode ser expresso pela relação:
(Lei de Hooke)
Onde k é a constante de proporcionalidade, a qual recebe a
denominação de constante elástica da mola.
Durante a deformação da mola, gasta-se energia e realiza-se trabalho,
transferindo-se energia para a mola. A energia ganha pela mola chamas-se
energia potencial elástica, conforme você já aprendeu.
Como a área do gráfico da força em função dodeslocamento fornece o
trabalho realizado e o trabalho mede a energia, a energia potencial armazenada
na mola pode ser determinada a partir da área do gráfico da força elástica em
função da deformação:
Área (triângulo hachurado) = F . x
 2
Como a Área = E pot. elast. e F = K .x
Substituindo, temos: Ep = (kx) . x
F = K . x
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2
ou Ep = Kx² (Energia potencial elástica)
 2
7.6 Energia Mecânica e sua conservação
A energia mecânica é a soma da energia cinética com a potencial
mecânica.
7.6.1 Energia Mecânica de um corpo Sujeito à ação do Peso
Ec = mv² e Ep = ___________ �
 2
Em = Ec + Ep
Em =
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De um modo geral, pode-se dizer que:
Quando se diz: “o corpo move-se sob a ação do seu peso”, isto quer
dizer que, além do peso, não existe outra força facilitando ou dificultando o
movimento do corpo.
 As forças como a do atrito e da resistência do ar sempre agem no sentido
contrário ao movimento do corpo, portanto, dificultando o seu movimento.
7.6.2 Energia Mecânica
De um Sistema Sujeito à Ação da Força Elástica
Um sistema, formado por um corpo preso à extremidade de uma mola,
passa a oscilar quando damos um empurrão ou puxão, fornecendo energia ao
sistema. Na condição ideal, onde a única força que age no corpo é a força
elástica, a energia adquirida pelo sistema permanece no mesmo, indefinidamente,
mantendo-o sempre em oscilação. Nestas condições, o sistema (mola + corpo) é
denominado oscilador harmônico simples e o movimento é denominado
harmônico simples.
A energia mecânica de um corpo que se move sob a ação exclusiva do
seu peso se mantém constante, independente da forma da trajetória
descrita.
Um corpo que se move num meio como o ar ou sobre superfície
ásperas se aquece devido ao atrito. Neste caso, toda ou uma parte da
energia mecânica do corpo transforma-se em energia térmica.
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Num instante em que a velocidade do corpo é v e a deformação da mola é
x, a energia mecânica do sistema será:
Lembrete: Ec = mv² e Ep = kx²
 2 2
 A energia mecânica de um sistema, que se move sob a ação exclusiva da
força elástica, mantém-se constante, independente da forma da trajetória descrita.
Quando a energia mecânica de um sistema (um ou mais corpos) se
conserva, as forças que agem no sistema são denominadas forças conservativas
(exemplos: o peso e a força elástica).
As forças que agem num sistema, onde a energia mecânica não se
conserva, são denominadas forças dissipativas (exemplos: força de atrito e
resistência do ar).
7.7 Potência
A relação entre trabalho realizado por uma força e o intervalo de tempo
gasto para realizá-lo chama-se, por definição, potência (abrevia-se P) desta força
ou potência do sistema (máquina ou motor)
�E = variação de energia
No SI de unidades, em homenagem a James Watt (1763 – 1819), o
inventor da primeira máquina a vapor, a potência é medida em watt (símbolo W).
Ná fórmula P = w, fazendo w = 1 J e �t = 1 s
Temos:
Nota: além do watt, a potência é medida também em cv (cavalo-vapor) em
HP (“horse-power”).
Em = mv² + kx²
 2 2
P = w ou P = ��
�����������������
1W = 1 J
 1 s
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P = 735 N . 1 m = 735 J = 735 W
 1 s s
O quilowatt-hora (símbolo KWh) é a unidade de potência ou de energia?
Vejamos:
Como P = �E � �E = P . �t
 �t
Fazendo P = 1000W = 1 kW e �t = 1 hora
Tem-se: �E = 1kW . 1 hora = 1kWh
Conclusão: 1 kWh é a unidade de medida da energia (e do trabalho). Esta
unidade é muito usada para medir energia elétrica.
1 CV = 735 W 1 HP = 746 W
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8 Impulso e Quantidade de Movimento
8.1 Impulso
Quando você exerce força sobre um corpo, durante um intervalo de tempo
e depois abandona-o, está dando um impulso ao corpo.
O impulso de uma força constante F, que age num corpo durante um
intervalo de tempo �t, é por definição:
I = F . �t e em módulo I = F . �t
I tem a mesma direção e mesmo sentido de F.
Com a força sendo constante, o gráfico em função do tempo é uma reta
paralela ao eixo dos tempos, conforme:
A área sombreada é numericamente igual a 6, que é o valor do impulso
Isto é: “Área” = I (numericamente)
Quando a intensidade da força é variável, o gráfico é uma curva, e o
impulso em linha reta também pode ser calculado pela área compreendida entre o
gráfico e o eixo dos tempos.
A área compreendida entre o gráfico (F; t) e o eixo dos tempos fornece,
numericamente, o impulso num certo intervalo de tempo.
 Se Área = I e I F (média) . �t } F (média) = Área
 �t
6.2 Quantidade movimento
Se num determinado instante, um corpo de massa m possui velocidade v,
a sua quantidade de movimento é por definição:
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Q = m . v e em módulo: Q = m . v
Q tem mesma direção e mesmo sentido de v.
Observação:
• A quantidade do movimento é também denominada momentum.
• A quantidade do movimento é também indicada pela letra P.
8.3 Teorema do impulso
Quando várias forças agem num corpo de massa m, a relação entre a
resultante F e a aceleração a é, de acordo com a segunda Lei de Newton:
 F = m . a (1)
Substituindo (1) em I = F . ��, temos:
I = m . a . �t (2)
Sendo a = �v � �v = a . �t (3)
 �t
De (3) e (2) � I = m . �v
Ou I = �Q �Q = Qfinal – Qinicial
Este resultado, conhecido como Teorema de Impulso, é enunciado da seguinte
maneira:
Observação: sendo I = �Q, as unidades de I e Q são as mesmas, isto é, se a
força é medida em N e o tempo em s, as unidades de I e Q serão N . s ou Kg .
m/s.
8.4 Conservação da Quantidade de movimento
Neste item vamos mostrar que a quantidade de movimento de um corpo ou
sistema (conjunto) de corpos não varia, isto é, se conserva quando estão sujeitos
às ações de forças internas. Mas, antes vamos compreender o que são forças
internas e externas.
Se você empurra o seu amigo com um força F, de acordo com o Princípio
de Ação e Reação, você será empurrado com a força oposta –F. Considerando
O impulso da resultante das forças aplicadas num corpo, num certo intervalo de
tempo, mede a variação da sua quantidade de movimento no mesmo intervalo de
tempo.
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como sistema de corpo somente você e seu amigo, essas forças F e –F são ditas
internas. As forças de atrito que o chão exerce em vocês são forças externas,
porque o chão (Terra) não faz parte do sistema considerado. Se incluirmos o chão
no sistema, juntamente com F e –F, as forças de atrito também serão
consideradas internas.
Conclusão, as forças podem ser internas ou externas conforme