Linguagem algébrica tradução do enunciado do problema do português para a equação, dedução de formulas

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Matemática e suas 
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 7º Ano
Linguagem algébrica: tradução do enunciado do problema – 
do português para a equação, dedução de fórmulas
MATEMÁTICA, 7º Ano
Linguagem algébrica: tradução do enunciado do problema - do Português para a equação, dedução de formulas. 
Um dos objetivos do Ensino Fundamental é:
	“Utilizar as diferentes linguagens , verbal, musical, matemática, gráfica, plástica e corporal , como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias, interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação.”(PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 7,1998).
	“Um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática é a resolução de problemas que tem como um dos princípios: a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las.” (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 40,1998).
	“Um dos objetivos da matemática para o terceiro ciclo do pensamento algébrico é reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções.” (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 64,1998)
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João chamou seu amigo Tiago para brincar de escrever de maneira mais curta, ou seja, resumida, frases em linguagem corrente.
BRINCADEIRA ENTRE AMIGOS
Logo, Tiago perguntou: - Mas como vamos fazer isso? Vamos diminuir o número de palavras?
João responde: - Vamos utilizar os seguintes símbolos matemáticos:
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João completa dizendo: - Caso nas frases apareçam números desconhecidos, representaremos por qualquer letra do nosso alfabeto: a, b, c, d, ..., x, y, z.
Símbolosmatemáticos
Algarismos
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sinais de operação
+ - . : √
Sinais de comparação
= > < ǂ ≥ ≤
Sinais de agrupamento
( ) [ ] { }
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João diz: - Vou escrever em uma tabela as frases em linguagem corrente, e você, Tiago, as reescreve utilizando os símbolos matemáticos. 
Linguagem corrente
Frase utilizando símbolos
Quatro mais seis é igual a dez.
Duas vezes sete é iguala catorze.
Onzeé maior que oito.
Um número qualquer menos nove.
O triplo de um número mais 2 é igual a dezessete.
A diferença entre dois números é maior ou igual a seis.
4
+
6
=
10
2
.
7
=
14
11
>
8
x
-
9
3b
+
2
=
17
c
-
d
≥
6
Treinar mais: http://www.pam.lusopt.info/linguagem/linguagem.htm
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- Parabéns, Tiago! Disse João, orgulhoso. 
Agora, observe outras expressões matemáticas, ou seja, frases escritas utilizando símbolos matemáticos.
5 + 4
2³ . 7
8 : (2 + 4)
x + x 
3.(a + b)
2c + 5
 b - 3
 2
3x + y
x + y
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João questiona: - Tiago, como eu sei que você é um excelente observador, quero saber se algo lhe chamou a atenção nas expressões apresentadas. É, João, já ia comentar com você que havia observado algo muito interessante.
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O que chamou a atenção de Tiago?
Reposta de Tiago:
Algumas expressões eram compostas por NÚMEROS e sinais de operação (algumas apresentavam ainda sinais de agrupamento):
Outras expressões eram compostas por NÚMEROS, LETRAS e sinais de operação (algumas apresentavam ainda sinais de agrupamento):
5 + 4
2³ . 7
8 : (2 + 4)
3.(a + b)
3x + y
2c + 5
E havia expressões com LETRAS e sinais de operação:
 b - 3
 2
x + x 
x + y
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João resume:
Expressões que contêm números e letras são chamadas de EXPRESSÕES ALGÉBRICAS OU LITERAIS.
Expressões que contêm NÚMEROS são chamadas de EXPRESSÕES NUMÉRICAS OU ARITMÉTICAS.
Procurar no dicionário o significado das palavras literal, algébrico, aritmética.
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Tiago fala para João, entusiasmado:
Lembrei-me de algumas expressões vistas anteriormente e acabo de observar algo que me parece interessante.
c – d ≥ 6
3b + 2 = 17
11 > 8
4 + 6 = 10
Posso dizer que essas expressões são verdadeiras.
Já essas não posso classificar como verdadeiras nem falsas.
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Muito bem!!! - Disse João, orgulhoso do amigo. E esclareceu:
- Uma expressão matemática que podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA.
EXEMPLOS:
11 > 8
4 + 6 = 10
2 . 7 = 15
SENTENÇAS VERDADEIRAS
SENTENÇA FALSA
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- Uma expressão matemática que NÃO podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA.
EXEMPLOS:
c – d ≥ 6
3b + 2 = 17
x + y ǂ 10
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A b.
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A x E A y.
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A c E A d.
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- Observe que as sentenças ou preposições matemáticas estabelecem uma relação de igualdade ou de desigualdade.
João completa, dizendo:
11 > 8
4 + 6 = 10
c – d ≥ 6
3b + 2 = 17
x + y ǂ 10
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João diz: - Tiago, observe outra coisa interessante. Considere a expressão:
O triplo de um número mais dois: 
3.x + 2
x
3. x + 2
Resultado
0
1
2
Complete a tabela
3
.
0
+
2
2
3 .1 + 2
3 .2 + 2
5
8
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João pergunta: - Tiago, o que você pode observar na tabela?
RESPOSTA:
Antes da resposta de Tiago, o que se pode observar na tabela?
De início, não sabemos qual é a letra x. Ela é uma incógnita, ou seja, representa um valor desconhecido. Em seguida, atribuímos ao x valores variados, resolvemos as operações indicadas e encontramos como resultado um número, ou seja, um valor numérico.
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É isso aí! Disse João, e explicou: 
 Na expressão algébrica dada, a letra x é chamada de INCÓGNITA ou VARIÁVEL. 
 Numa expressão algébrica, quando substituímos a incógnita por um número qualquer e resolvemos as operações indicadas, encontramos como resultado um número que é denominado VALOR NUMÉRICO dessa expressão.
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João pedepara Tiago dizer qual é a(s) incógnita(s) e o valor numérico de cada expressão algébrica a seguir.
EXPRESSÃOALGÉBRICA
INCÓGNITA(S)
VALOR
CÁLCULO
VALORNUMÉRICO
2c + 5
C = 3
3x+ y
x=2 e y=1
3.(a + b)
a=4 e b =5
b – 3
2
b= 15
c
x e y
a e b
b
2 . 3 + 5
3 . 2 + 1
3 . (4 + 5)
 15 – 3 
 2
11
7
27
6
Pesquisar na internet: História da álgebra: François Viète (1540-1603), René Descartes(1596-1650), copiar resumo no caderno e fazer um debate.
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João retoma o assunto sobre sentenças e diz:
- Tiago, você sabia que sentenças matemáticas abertas que expressam uma relação de igualdade recebem nome “especial”?
Qual? diz Tiago. 
 EQUAÇÃO, diz João!
No dicionário, procure outros significados da palavra Equação e escreva em seu caderno.
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João mostra exemplos de equações e suas respectivas incógnitas.
3x – 5 = 12
x – y = 10
3x = 12
r² + 1 = r + 13
x + 3 = 2x - 7
É uma equação de incógnita x.
x é a incógnita da equação. 
É uma equação com duas incógnitas: x e y.
É uma equação com uma incógnita: r.
É uma equação com uma incógnita: x.
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Não são equações:
4x + 5 > 12
5 + 5 = 10
x + y ǂ 10
c – d ≥ 6
Não expressa uma igualdade.
Não expressa uma igualdade.
Não expressa uma igualdade.
Não tem a incógnita e não é uma sentença aberta.
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Tiago observa : - João, percebo que em toda equação existe uma expressão à esquerda do sinal de igualdade (=) e outra à direita. Isso não é curioso?
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João: - PARABÉNS, TIAGO!!! E explica: Observe a equação 2x + 4 = 18. 
2x + 4 
= 
18 
Denomina-se 
 1º membro da equação 
Denomina-se
2º membro da equação 
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João diz: - Vejamos algumas interpretações de equações.
EQUAÇÃO
INTERPRETAÇÃO
2x = 16
3x – 7 = 23
a + 20 = 42
2z – 1 = z + 1
Qual é o número cujo dobro é igual a 16?
Qual é o número cujo triplo menos 7 dá 23?
Que número se deve adicionar a 20 para obter 42?
Qual é o número cujo antecessor de seu dobro é igual a seu sucessor?
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João continua, dizendo: - Geralmente, em uma equação, queremos saber o valor da incógnita.
Exemplos:
Qual é o número que multiplicado por 5 é igual a 35? 
Tradução do português para a equação:
Chamando o número desconhecido, isto é, a incógnita de a, temos:
5.a = 35 ou 5a = 35
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Resolvendo mentalmente o número é 7: 
5 
. 
7 
= 
35 
Logo, a = 7, ou seja, 
7 é a solução da equação 
5a = 35. 
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c² = 25 ou c.c = 25
2) Que número elevado ao quadrado é igual a 25?
Tradução do português para a equação:
Chamando a incógnita de c, temos:
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Resolvendo mentalmente: Pode ser dois números: +5 ou -5.
 
(+5) 
= 
+25 
. 
(+5)² 
= 
(+5) 
ou 
(-5) 
= 
+25 
. 
(-5)² 
= 
(-5) 
Logo, c = +5 ou c = -5, ou seja, são soluções da equação c² = 25.
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João conclui, dizendo: 
Todo número que, substituindo a incógnita, torna a equação uma sentença verdadeira é chamado de solução ou RAIZ dessa equação. 
7 é a RAIZ da equação 5a = 35. 
+5 e -5 são as RAÍZES da equação c² = 25.
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	Resolver uma equação é encontrar a(s) sua(s) raiz(es) e verificar se ela(s) satisfaz(em) as condições do problema que a equação representa. 
Dica de revisão do conteúdo apresentado: Vídeo aula do Novo Telecurso, Ensino Fundamental, Matemática, aula 51.
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João convida Tiago para resolver alguns problemas que envolvem os conhecimentos construídos sobre equação. (Consultar: I) Dicionário: significado de perímetro; II) Internet: símbolo utilizado nas unidades de medidas.)
Problema 1: 
a) Observe a figura: 6 cm 			
 			 6 cm
					
Qual é o perímetro desse quadrado? 
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SOLUÇÃO DADA POR TIAGO: 
No quadrado, perímetro é a soma dos lados. Chamando o perímetro do quadrado de P, temos:
P
=
6 cm
+
P
=
4 . 6 cm
6 cm
+
6 cm
+
6 cm
24 cm
=
Note que o perímetro do quadrado é igual a 4 vezes o seu lado.
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b) Considerando um quadrado de lado a : 
				 	 a
 				
 			 a
			
Qual é o perímetro desse quadrado? 
João: -“É isso aí Tiago!!!!! . Vamos Continuar.
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TIAGO RESPONDE ASSIM: Considerando P o perímetro do quadrado, temos:
 
P
=
a
+
a
+
a
+
a
P
=
4.a
4a
=
Note que o perímetro do quadrado é igual a 4 vezes o seu lado.
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Tiago diz a João:
- Observando as soluções desse problema, posso deduzir que para calcular o perímetro (P) de um quadrado de lado x, basta multiplicar um lado por 4, e para isso posso utilizar a fórmula: P = 4x. - PARABÉNS ,Tiago ! Disse João, orgulhoso. 
Verificar no dicionário o significado da palavra fórmula.
Continuando:
c) Considerando o quadrado do item anterior: 
				 	 a
 				
 			 a
		
Qual é a sua área? 
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SOLUÇÃO DESENVOLVIDA POR TIAGO: Indicando a área do quadrado por A , temos: 
A
=
a
.
a
=
a²
A
=
a²
Podemos deduzir que a área do quadrado é igual ao quadrado do lado:
Fórmula : A = a²
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Problema 2:
Observe o retângulo de dimensões b e c :
 c
 b
					
Qual é a área desse retângulo? 
Consulta ao dicionário: qual o significado da palavra dimensões?
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SOLUÇÃO APRESENTADA POR TIAGO: Representando a área do retângulo por A , temos:
 
A
=
b
.
c
=
bc
A
=
bc
Deduz-se que a área do retângulo é igual ao produto de suas dimensões:
Fórmula : A = b. c
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Finalizando,Tiago agradece a João por ter proporcionado essa aventura envolvendo linguagem algébrica: passar uma frase em linguagem corrente para a linguagem matemática, ou seja, traduzir um enunciado de um problema do Português para a equação, observar características, classificar e calcular valores numéricos de expressões algébricas, achar a(s) raíz(es) de uma equação e fazer deduções de algumas fórmulas.
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BIBLIOGRAFIA
-Behrens, Marilda Aparecida. O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.
-Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília : MEC /SEF, 1998.148 p.1
-Guelli, Oscar. Matemática: Uma aventura do pensamento. 6ª série, São Paulo, Ática, 8ª edição, 2001.
-Giovanni, José Ruy. Aprendendo Matemática. Novo, José Giovanni Ruy, Eduardo Parente, 6ª série, São Paulo, FTD, 2002. 
-Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática, 6ª série, São Paulo, Ática, 2005.
-Bonjorno, José Roberto. Matemática: fazendo a diferença. José Roberto Bonjorno, Regina Arenha Bonjorno, Ayrton Olivares, 1 edição, 6ª série, São Paulo, FTD, 2006.
-Bigode, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim, 6ª série, São Paulo, FTD, 2000.
Imanes, Luiz Mácio Pereira. Matemática. Imenes & Lellis, São Paulo, Scipione, 1997.
-www.somatematica.com.br
-Novo Telecurso, Ensino Fundamental, Matemática, aula 51.
-http://tvescola.mec.gov.br/