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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
NOTAS DE AULA
MAT236 – MÉTODOS ESTATÍSTICOS
2ª UNIDADE
2017.2
1
Esta apostila foi elaborada em 2004.1 pelas professoras
Giovana Silva, Lia Moraes, Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone
Revisada em 2010.2
Monitora: Tatiana Felix da Matta
Revisada em 2013.1 pelas professoras:
Gecynalda Gomes e Silvia Regina
Revisada em 2014.1 pela professora:
Silvia Regina
Revisada em 2017.2 pelas professoras:
Giovana Silva e Verônica Lima
2
5. INTRODUÇÃO
A Estatística constitui-se num conjunto de técnicas e métodos científicos que tratam da
coleta, análise e interpretação de informações numéricas, cujo objetivo principal é auxiliar na
tomada de decisões ou tirar conclusões em situações de incerteza, a partir de informações
numéricas.
A Teoria Estatística moderna se divide em dois grandes campos:
Estatística Descritiva - consiste num conjunto de métodos que ensinam a reduzir uma
quantidade de dados bastante numerosa por um número pequeno de medidas, substitutas e
representantes daquela massa de dados.
Estatística Indutiva ou Inferência Estatística - consiste em inferir (deduzir ou tirar
conclusões a respeito das) propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo
de generalização, que é característico do método indutivo, está associado a uma margem de
incerteza. A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se fundamentam
na Teoria das Probabilidades.
Na maioria das vezes não podemos investigar o fenômeno que estamos interessados em
estudar em todos os elementos da população por diversos fatores. Para resolver o problema
devemos trabalhar com um subconjunto da população, chamado de AMOSTRA. A inferência
estatística procura com base nos dados amostrais tirar conclusões sobre a população. Considere o
exemplo abaixo para ilustrar as definições dadas.
O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho estatístico:
População
Amostra
Técnicas de Amostragem
Análise
Descritiva
Conclusões
sobre as
características
da população
Informações contidas
nos dados
Inferência
Estatística
3
5.1. População e amostra
População - Conjunto de indivíduos, objetos ou informações que apresentam pelo
menos uma característica comum, cujo comportamento interessa-nos analisar. Ou, em outras
palavras, conjunto de todas as medidas, observações relativas ao estudo de determinado
fenômeno.
i) Deseja-se conhecer o consumo total de energia elétrica em MWH nas residências da
cidade de Salvador no ano de 1998.
População ou universo: todas as residências que estavam ligadas a rede elétrica em Salvador,
em 1998.
Características: X = consumo anual de energia elétrica em MWH.
ii) Deseja-se saber se nas indústrias situadas no Estado da Bahia, em 1997, existia algum tipo
de controle ambiental.
População ou universo: indústrias situadas no Estado da Bahia em1997.
Característica: X = existência ou não de algum tipo de controle ambiental na indústria.
iii) Estudo sobre a precipitação pluviométrica na Região Nordeste no ano 1997.
População ou universo: área referente à Região Nordeste.
Característica: X = precipitação pluviométrica.
Populações finitas e infinitas: Quanto ao número de elementos, as populações podem ser
classificadas em finita ou infinita, dependendo do número de elementos que a compõe.
Exemplos :
i) População finita: empresas do Pólo Petroquímico de Camaçari.
ii) População infinita: as pressões atmosféricas ocorridas nos diversos pontos do Continente
em determinado momento.
Em geral, como os universos são grandes, investigar todos os elementos populacionais para
determinarmos a característica necessita muito tempo, e/ou o custo é elevado, e/ou o processo de
investigação leva a destruição do elemento observado, ou, como no caso de populações infinitas,
é impossível observar a totalidade da população. Assim, estudar parte da população constitui-se
um aspecto fundamental da Estatística.
Amostra: É qualquer subconjunto da população.
4
Tipos de variáveis
As características da população que nos interessa analisar recebem o nome de variáveis.
As características ou variáveis podem ser divididas em dois tipos: qualitativas e quantitativas.
Variáveis qualitativas - quando o resultado da observação é apresentado na forma de
qualidade ou atributo. Exemplos: sexo; estado civil; grau de escolaridade; etc.
Variáveis quantitativas - quando o resultado da observação é um número, decorrente de
um processo de mensuração ou contagem. Exemplos: número de filhos; salário mensal; altura;
peso; idade; tamanho da família; etc.
As variáveis qualitativas são divididas em dois tipos: nominal, para a qual não existe
nenhuma ordenação nas possíveis respostas da referida variável, e ordinal, para a qual existe uma
ordenação. Por exemplo,
Qualitativa
Nominal (sexo, cor dos olhos, tipos de defeitos...)
Ordinal (classe social, grau de instrução, porte de empresa...)
As variáveis quantitativas são divididas em: discretas, que assumem valores em um conjunto
finito ou enumerável de números, contínuas, que assumem valores em um intervalo números reais.
Quantitativa
Contínua (peso, altura, vida útil de bateria...)
Discreta (número de filhos, número de carros, número de defeitos...)
Para resumir as informações levantadas durante uma pesquisa usaremos a técnica e a
representação mais apropriada, a depender do tipo de variável que estamos analisando.
6. APRESENTAÇÃO DOS DADOS
Esta seção apresenta alguns procedimentos que podem ser utilizados para organizar e
descrever um conjunto de dados, tanto em uma população como em uma amostra.
O conjunto de informações disponíveis, após a tabulação do questionário ou pesquisa de
campo, é denominado de tabela de dados brutos. Apesar de conter muita informação, a tabela
de dados brutos pode não ser prática para respondermos às questões de interesse.
Exemplo: Banco de dados (dados brutos)
Foi realizada uma pesquisa por amostragem junto às indústrias de matérias plásticas nas
principais regiões metropolitanas do Brasil e investigou-se as seguintes variáveis: constituição
jurídica; porte; número total de empregados em 1999; faturamento anual em 1998 e 1999; tempo
5
de existência; região metropolitana; e setor de atividade. As observações referentes às 106
empresas amostradas encontram-se no arquivo Empresa.xls.
Dado um conjunto de dados o modo de condensação ou apresentação das informações
pode ser na forma de tabelas de frequências ou de gráficos que facilitam a visualização do
fenômeno, permitem a comparação com outros elementos ou, ainda, fazer previsões.
6.1. Tabela ou Distribuição de Frequências
O fenômeno considerado é uma variável qualitativa ou quantitativa (discreta ou contínua)
e seus valores observados são descritos considerando o número de vezes que ocorreram na tabela
de dados brutos (frequência).
Algumas definições:
Frequência simples absoluta (fi): é o número de ocorrências ou repetições de um valor
individual ou um intervalo de valores.Frequência simples relativa (fri): é a razão entre a frequência simples absoluta e o número total
de dados (soma de todas as frequências simples absolutas).
Agora vamos exemplificar distribuições de frequência para cada tipo de variável.
a) Variável qualitativa Nominal ou Ordinal
As variáveis qualitativas obtidas em uma pesquisa podem ser organizadas em formas de
tabelas para facilitar a visualização e análise dos dados.
Exemplo 6.1: Considere a planilha de dados empresa.xls. Para a variável ―porte de empresa‖
construa uma tabela:
Tabela 6.1: Porte das indústrias de matérias plásticas nas principais regiões metropolitanas do Brasil –
1999
Porte da Indústria Números de indústrias % (100xfri )
Grande 23 21,7
Média 70 66,0
Pequena 13 12,3
Total geral 106 100,0
Fonte: Dados fictícios
6
b) Variável Quantitativa Discreta
Exemplo 6.2: Foi observado o número de defeitos apresentados por uma máquina industrial
durante o período de 30 dias. Os resultados foram os seguintes:
1 1 1 0 1 1
0 2 1 3 1 0
1 1 1 2 0 1
1 1 4 1 0 3
2 2 1 1 0 1
Tabela 6.2: Número de defeitos em uma máquina industrial durante o período de 30 dias.
Número de defeitos Quantidade (fi) % (100xfri)
0 6 20,0
1 17 56,7
2 4 13,3
3 2 6,67
4 1 3,33
Total 30 100,0
Fonte: Dados fictícios
c) Variável Quantitativa Contínua
Para certo conjunto de dados, vamos adotar a seguinte nomenclatura:
1. Máximo (max): maior valor do conjunto.
2. Mínimo (min): menor valor do conjunto.
3. Amplitude total (AT): é a diferença entre o valor máximo e mínimo.
AT = MAX – MIN
4. Classe: é cada um dos intervalos em que se subdivide a amplitude total.
Representação: k = número de classes
5. Limite superior ( lsup): é a cota superior para os valores da classe.
6. Limite inferior ( linf): é a cota inferior para os valores da classe.
7. Amplitude do intervalo de classe (hi): é o comprimento da classe, definida como a diferença
entre o limite superior e inferior.
8. Ponto médio (Xi): é a média entre os limites superior e inferior da classe i.
Determinação do número de classes e amplitude do intervalo de classes:
Não existem regras gerais, universalmente aceitas, para a determinação do número de
classes. Existem, no entanto, algumas regras propostas por diferentes autores, que dão ideia
aproximada do número de classes em função do número de dados.
Um dos métodos utilizado é chamado de regra de Sturges ou regra do logaritmo. Ele estabelece
que ,log3,31 10 nk
7
em que k é o número de classes e n é o número de dados. Outra maneira para obter o número de
classes é
Mesmo conhecendo alguns métodos para a determinação do k, deve-se saber que a
escolha dependerá antes da natureza dos dados, da unidade de medida, da experiência e do bom
senso de quem fará a organização dos dados da pesquisa.
Uma vez encontrado o número de classes, determina-se a amplitude do intervalo de
classes através da fórmula:
Exemplo 6.3: (Werkema, vol.2) Os dados abaixo representam o rendimento em porcentagem de
uma reação para fabricação de uma substância química, em 80 bateladas produzidas por uma
indústria. A empresa decidiu construir uma tabela de frequência para obter um resumo do
conjunto de dados.
70,7 71,8 73,9 74,4 75,9 76,0 76,6 76,7 77,4 78,0 78,1 78,1 78,2
78,4 78,4 78,4 78,5 78,5 78,5 78,9 79,0 79,1 79,3 79,3 79,5 79,5
79,7 79,8 79,9 79,9 80,1 80,2 80,4 80,4 80,5 80,7 80,7 80,7 80,9
81,3 81,4 81,6 81,8 81,9 82,0 82,0 82,1 82,3 82,5 82,7 82,9 83,0
83,0 83,2 83,4 83,5 83,6 83,6 83,7 83,8 84,3 84,5 84,5 84,5 84,6
85,2 85,5 85,5 85,7 86,4 86,5 86,8 86,8 86,8 87,1 87,1 87,1 87,3
88,5 90,0
Procedimento para construir uma tabela de distribuição de frequências com intervalos de classes.
Solução: Neste caso, n = 80 k = (80)1/2 9
A amplitude total será dada por AT = 90 – 70,7 = 19,3.
Assim, a amplitude de cada intervalo de classe será: h 2,2
Dessa forma, a tabela de distribuição de frequências para dados agrupados em classes fica da
seguinte maneira:
.nk
.
k
AT
h
8
Tabela 6.3: Rendimento, em porcentagem, de uma reação para fabricação de uma substância
química.
Rendimento Número de
substância (fi)
% (100xfri)
70,5 |— 72,7 2 2,50
72,7 |— 74,9 2 2,50
74,9 |— 77,1 4 5,00
77,1 |— 79,3 14 17,50
79,3 |— 81,5 19 23,75
81,5 |— 83,7 17 21,25
83,7 |— 85,9 11 13,75
85,9 |— 88,1 9 11,25
88,1 |— 90,3 2 2,50
Total 80 100,00
Fonte: Dados fictícios
6.1.1. Tabela de Múltipla Entrada
Em alguns casos é necessário apresentar mais de uma variável em uma única tabela.
Quando são utilizadas apenas duas variáveis tem-se uma tabela de dupla entrada.
Tabela 6.4: Porte das indústrias de matérias plásticas por região metropolitana do Brasil – 1999.
Região
Metropolitana
Porte da empresa
Total
Grande Média Pequena
Belo Horizonte 2 9 3 14
Curitiba 1 4 0 5
Porto Alegre 0 7 1 8
Rio de Janeiro 3 13 2 18
Salvador 8 18 4 30
São Paulo 9 19 3 31
Total 23 70 13 106
Fonte: Dados fictícios.
6.2. Representação Gráfica
Serão apresentados alguns tipos de gráfico: setor ou pizza, barra, colunas, Pareto e
histograma.
1) Gráfico em barras
Utilizado para representação de variáveis qualitativas e quantitativas discretas
9
Exemplo 6.4:
Tabela 6.5: Tipo de fraude nos cartões de crédito da Mastercard Internacional no
Brasil – 2000.
Tipo de fraude Quantidade
Cartão roubado 243
Cartão falsificado 85
Pedido por correio/telefone 52
Outros 46
Fonte: Triola, Mario F.
Figura 6.1: Tipo de fraude nos cartões de crédito da Mastercard Internacional no Brasil – 2000.
Fonte: Triola, Mario F.
2) Gráfico em colunas
Utilizado para representação de variáveis qualitativas e quantitativas discretas.
Exemplo 6.5:
Tabela 6.6: Número de crianças de baixa renda, segundo o bairro de residência, que
participaram do ensino de música na Escola XYZ, em Salvador – 1998.
Bairro Número de crianças
Paripe 11
Periperi 39
Plataforma 45
Praia Grande 25
Total 120
Fonte: Escola de Música XYZ, Salvador.
0 50 100 150 200 250 300
Cartão roubado
Cartão falsificado
Pedido por correio/telefone
Outros
Quantidade
T
ip
o
d
e
fr
a
u
d
e
10
Figura 6.2: Número de crianças de baixa renda, segundo o bairro de residência, que participaram
do ensino de música na Escola XYZ, em Salvador – 2008.
Fonte: Escola de Música XYZ, Salvador
Exemplo 6.6: Tabela 2.7: Estudantes da Universidade XYZ Segundo área de estudo e ano de
ingresso.
Área
Ano
Total
1998 1999 2000
Exatas 120 156 68 344
Humanas 72 85 112 269
Biológicas 169 145 73 387
Fonte: Dados Fictícios
Figura 6.3: Estudantes da Universidade XYZ Segundo área de estudo e ano de ingresso.
Fonte: Dados Fictícios
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Paripe Periperi Plataforma Práia GrandeN
ú
m
er
o
d
e
c
ri
a
n
ça
s
Bairro
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1998 1999 2000
Q
u
a
n
ti
d
a
d
e
Ano
Exatas
HumanasBiológicas
11
Exemplo 6.7: Gráfico para o exemplo 6.2
Figura 6.4: Número de defeitos em uma máquina industrial durante o período de 30 dias.
3) Gráfico de Pareto
O gráfico de Pareto é composto por colunas e por uma curva representando a percentagem
acumulada. As barras estão disponíveis em ordem decrescente, tornando evidente a priorização
de temas. Este gráfico é muito utilizado na área de Controle de Qualidade.
Exemplo 6.8: (Werkema, vol. 2): Uma indústria fabricante de lentes tem como objetivo resolver
o seguinte problema: aumento do número de lentes defeituosas produzidas pela empresa a partir
de fevereiro de 1995. A empresa classificou uma amostra de lentes fabricadas durante uma
semana de produção de acordo com os tipos de defeitos detectados. O resultado está na tabela a
seguir:
Tabela 6.8: Defeitos encontrados em uma amostra de lentes fabricadas durante uma semana de
produção de uma indústria em 1200 lentes inspecionada.
Tipo de Defeito Quantidade
Arranhão 12
Trinca 41
Revestimento Inadequado 55
Muito Fina ou Muito Grossa 11
Não Acabada 05
Outros 03
Total 127
Fonte: Dados fictícios
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4
Q
u
a
n
ti
d
a
d
e
Número de defeito
12
Uma maneira de representarmos graficamente estes dados é através do gráfico de Pareto,
para que seja possível identificar com mais facilidade o defeito que apareceu com maior
frequência. Para construirmos o gráfico de Pareto é necessário obtermos a planilha de dados
mostrada na tabela a seguir.
Tabela 6.9: Planilha de dados para construção de gráfico de Pareto.
Tipo de defeito
Quantidade de
defeito
Total acumulado
Percentagem do
total geral (%)
Percentagem
acumulada
Revest. Inadeq. 55 55 43,3 43,3
Trinca 41 96 32,3 75,6
Arranhão 12 108 9,4 85,0
Fina ou Grossa 11 119 8,7 93,7
Não- Acabada 5 124 3,9 97,6
Outros 3 127 2,4 100,0
Total 127 / 100 /
Fonte: Dados fictícios
Na Tabela 6.9 os tipos de defeitos foram listados em ordem decrescente de quantidade na
coluna 1, a quantidade de defeitos aparece na coluna 2 e o total acumulado está na coluna 3. Nas
colunas 4 e 5 estão as percentagens totais e as percentagens acumuladas respectivamente. As
barras do gráfico de Pareto foram construídas a partir dos dados da coluna 2 e a curva acumulada
conhecida como curva de Pareto, foi traçada a partir dos números da coluna 5.
Figura 6.5: Gráfico de Pareto para os defeitos de lentes encontrados em uma amostra de lentes
fabricadas durante uma semana de produção de uma indústria em 1200 lentes inspecionada.
Fonte: Dados fictícios
13
Observando a Figura 6.5, foi imediato para indústria perceber que os dois tipos de defeitos
mais frequentes, ―Revestimento inadequado‖ e ―trinca‖, representavam 75,6% dos defeitos
detectados nas lentes produzidas pela empresa. Portanto, ―Revestimento inadequado‖ e ―trinca‖
foram considerados os defeitos mais importantes, que devem ser eliminados em primeiro lugar
esse tipo de defeito é chamado de poucos defeitos vitais, enquanto que os outros representam
apenas os muitos defeitos triviais, pois representam a minoria das observações.
4) Gráfico em linhas ou curvas
Utilizado para descrever séries temporais que são dados observados em instantes ordenados do
tempo.
Exemplo 6.9:
Tabela 6.10: Índice de Produto Industrial Brasil – 1979.
Meses IPI
Janeiro 18.633
Fevereiro 17.497
Março 19.470
Abril 18.884
Maio 20.308
Junho 20.146
Julho 20.258
Agosto 21.614
Setembro 19.717
Outubro 22.133
Novembro 20.503
Dezembro 18.800
Fonte: FIBGE
Figura 6.6: Índice de Produto Industrial Brasil – 1979.
Fonte: FIBGE
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
16.000
18.000
20.000
22.000
24.000
Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
IP
I
Meses
14
5) Gráfico em setores
Exemplo 6.10:
Tabela 2.11: Percentual de funcionários da Companhia Milsa segundo região de procedência
Procedência Percentual
Interior 33,30
Capital 30,60
Outro 36,10
Fonte: Bussab e Morettin (2002)
Figura 6.7: Percentual de funcionários da Companhia Milsa segundo região de procedência.
Fonte: Bussab e Morettin (2002)
6) Histograma
Quando os dados estão agrupados em intervalos de classes, o gráfico mais apropriado é
o histograma. No caso de classes de mesma amplitude, é construído um retângulo para cada
classe, com base igual à amplitude do intervalo classe e altura proporcional a frequência da
classe. Neste caso,
altura ~ frequência (absoluta ou relativa)
Quando temos classes com amplitudes diferentes, devemos construir um retângulo para
cada classe, com base igual à amplitude do intervalo de classe e altura dada por:
classe da amplitude
frequência
d
15
Note que, neste caso, a área do retângulo é igual a frequência da classe. A altura d definida acima
é chamada de densidade de frequência.
Exemplo 6.11: Histograma para a distribuição de frequência do exemplo 6.3.
Figura 6.8: Rendimento, em porcentagem, de uma Reação para Produção de uma Substância
Química.
Fonte: Dados fictícios
Exercício: As especificações estabelecem um limite inferior para o rendimento igual a 78%. A
partir de um histograma, você acredita que o processo está satisfazendo a especificação?
Justifique.
6.2.1. Cuidados na representação gráfica
Fonte: Dados fictícios
Há vários problemas com este gráfico. Ele impressiona mais pela tecnologia utilizada do
que pela informação que passa para o leitor. Os dados não são tridimensionais. As grades do
fundo mais o efeito tridimensional distraem a visão e dificultam comparações entre trimestre e
regiões. Uma forma de melhorar o gráfico é dar-lhe a dimensão correta. As linhas de grade.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
primeiro segundo terceiro quarto
Distribuição das vendas do produto X por trimestre
segundo as zonas.
Leste
Oeste
Norte
16
Não utilize faixas horizontais, verticais ou similares, que só atrapalham a visão do leitor. Faça
mais de um gráfico até encontrar um que seja informativo, claro, e que não possua objetos
desnecessários.
Não apresente gráficos supérfluos. Se retirarmos a figura abaixo, toda a informação
poderá ser transmitida textualmente, com uma simples frase: ―20% das respostas foram
positivas e 80% negativas‖.
Observe que o efeito 3-D dificulta o julgamento das porcentagens relativas a cada
categoria da variável. A retirada do efeito 3-D ajudará o leitor a julgar melhor as proporções
relativas observadas em cada amostra.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
primeiro segundo terceiro quarto
Distribuição das vendas do produto X por trimestre segundo as zonas
Leste
Oeste
Norte
Sim
20%
Não
80%
17
7. MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL
As distribuições de frequências e os gráficos fornecem mais informações sobre o
comportamento de uma variável do que a própria série original de dados. Mas, queremosresumir ainda mais esses dados. Com esse objetivo usaremos métodos da Estatística Descritiva
que ensinam a reduzir a informação contida em uma grande quantidade de dados a um
pequeno número de medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados. Vamos
agora estudar as medidas da Estatística Descritiva, agrupadas em medidas de posição (ou de
locação ou de localização) central: média, mediana e moda.
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Uma fábrica de azulejos nos últimos meses passou a receber reclamações de seus clientes.
A maioria das reclamações era relativa aos seguintes problemas:
Os azulejos, ao serem manuseados, quebravam-se facilmente.
O assentamento dos azulejos, quando era utilizada argamassa, não produzia um resultado
uniforme em relação ao nível da parede.
Em vista dessa situação, a indústria decidiu formar um grupo de trabalho para resolver
esses problemas. Na etapa de identificação do problema, o grupo de trabalho concluiu que a
produção de azulejos com espessura não adequada poderia estar provocando as reclamações
dos clientes. Esta conclusão resultou do conhecimento dos seguintes fatos:
Azulejos com espessura muito fina quebram-se facilmente.
A falta de uniformidade na espessura dos azulejos provoca dificuldades durante o seu
assentamento.
Para avaliar se estavam ocorrendo problemas com a espessura dos azulejos produzidos, o
grupo decidiu retirar uma amostra aleatória dos azulejos fabricados pela empresa, medir a
espessura destes azulejos e comparar os resultados obtidos com as especificações. Como a
empresa empregava duas turmas de trabalho (turmas A e B) e poderia haver diferença na
qualidade dos azulejos produzidos por cada turma, foi utilizada uma estratificação, sendo então
retirada uma amostra de 80 azulejos produzidos pela turma A e 80 fabricados pela turma B. Os
dados coletados, já ordenados, estão na Tabela 7.1.
Ao observarmos o conjunto de dados já fazemos alguma ideia sobre o comportamento das
duas turmas de trabalho, em termos da espessura dos azulejos que produzem. Entretanto,
claramente necessitamos calcular algumas medidas que resumam a informação contida nos
dados. Vamos começar tentando responder: Qual o valor típico da turma A? E da turma B? A
primeira ideia para obter um valor típico é a de calcular uma média.
18
Tabela 7.1: Medidas da Espessura (mm) de 160 Azulejos do Estoque (dados ordenados).
TURMA A TURMA B
2,3 3,1 3,8 4,5 4,9 5,6 5,8 6,2
2,4 3,1 3,9 4,5 4,9 5,6 5,8 6,2
2,4 3,3 3,9 4,5 5,0 5,6 5,8 6,3
2,4 3,3 3,9 4,5 5,1 5,7 5,8 6,3
2,6 3,4 4,0 4,5 5,1 5,7 5,9 6,4
2,7 3,4 4,0 4,6 5,1 5,7 5,9 6,4
2,7 3,5 4,0 4,6 5,3 5,7 5,9 6,4
2,8 3,5 4,0 4,7 5,3 5,7 5,9 6,4
2,8 3,5 4,0 4,7 5,3 5,7 5,9 6,4
2,8 3,5 4,1 4,9 5,3 5,7 5,9 6,5
2,9 3,5 4,1 4,9 5,3 5,7 6,0 6,5
2,9 3,5 4,1 5,1 5,3 5,7 6,0 6,5
2,9 3,6 4,2 5,2 5,3 5,7 6,0 6,5
3,0 3,6 4,2 5,4 5,4 5,7 6,1 6,6
3,0 3,7 4,2 5,4 5,4 5,7 6,1 6,7
3,0 3,7 4,3 5,5 5,4 5,7 6,1 6,7
3,1 3,7 4,3 5,6 5,4 5,8 6,1 6,7
3,1 3,7 4,3 5,6 5,4 5,8 6,1 6,8
3,1 3,8 4,4 5,7 5,5 5,8 6,2 6,9
3,1 3,8 4,4 5,9 5,5 5,8 6,2 7,0
Fonte: Dados fictícios
7.1. Média aritmética simples
A média aritmética simples de n números
nxxx ,...,, 21
é um valor
x
tal que
xnx...xxx...xx n 21
logo temos que,
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n
121
...
Podemos pensar na média aritmética como o valor ―típico‖ do conjunto de dados e é
considerada a principal medida de posição central. Algumas das razões que fazem com que seja a
medida de posição mais recomendada são:
É definida rigorosamente e pode ser interpretada sem ambigüidades;
Leva em consideração todas as observações efetuadas;
Calcula-se com facilidade.
Entretanto, esta medida apresenta alguns inconvenientes como o fato de ser muito sensível a
valores extremos, isto é, a valores excessivamente pequenos ou excessivamente grandes, em
relação às demais observações do conjunto de dados.
19
Exemplo 7.1 Estamos interessados em conhecer o salário médio mensal de certa empresa com
cinco funcionários. Temos o seguinte conjunto de salários mensais, em reais: 123 - 145 - 210 -
225 - 2.500. Podemos observar que quatro dos cinco salários apresentam valores entre 123 e 225
reais, porém a média salarial de 640,6 reais é bastante distinta desse conjunto pela influência do
salário de 2.500 que puxou o valor médio para cima.
Em algumas situações, os números que queremos sintetizar têm graus de importância
diferentes. Utiliza-se então uma média ponderada. Vamos ver a seguir a definição da média
aritmética ponderada.
A média aritmética ponderada dos números
nxxx ,...,, 21
, n com pesos p1, p2, ..., pn é
definida por
n
i
i
n
i
ii
p
p
.px
x
1
1
, ou simplesmente por
p
x.p
x p
.
Obs.: Quando os dados estão agrupados por frequências (absolutas ou relativas) os ponderadores
serão as frequências.
Exemplo 7.2: Em um grupo de pessoas, 70% são adultos e 30% são crianças. O peso médio dos
adultos é 70 kg e o peso médio das crianças é 40 kg. Qual o peso médio do grupo?
Solução: É a média aritmética ponderada dos dois subgrupos. A resposta é
kg61
3070
30407070
,,
,,
xp
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Para responder à questão do valor típico da espessura dos azulejos produzidos pelas
Turmas A e B calculamos então as médias aritméticas, pois o desejado é obter a espessura média
M tal que se a espessura de cada azulejo fosse sempre igual a M a soma total seria a mesma.
Resumindo em uma tabela as médias aritméticas (em mm), temos:
Tabela 7.2: Valor da média aritmética por turma para dados da espessura dos azulejos
Turma Média aritmética
A 3,8575
B 5,8725
20
Observando as médias aritméticas das amostras observadas, parece existir diferença, em termos
médios, entre as espessuras dos azulejos que estão sendo continuamente produzidos pelas turmas
A e B.
7.2. Moda
A moda é outra medida de locação, mas diferentemente da média, não utiliza em seu cálculo
todos os valores do conjunto de dados analisado.
A moda é o valor que ocorre com maior frequência no conjunto de dados.
Notação: Mo = moda
Exemplo 7.3:
a) X = {2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7} Mo = 5
b) Y = {10, 12, 17, 21, 32} Mo = não existe, a distribuição é amodal.
c) Z = {2, 2, 5, 5, 7, 7} Mo = não existe
d) W = {10, 12, 12, 12, 13, 13, 15, 18, 18, 18, 21} A distribuição apresenta dois valores
modais: 12 e 18 (distribuição bimodal).
Obs: A moda é a única medida de posição central que pode ser usada em tabelas com
variáveis qualitativas.
Quando o conjunto de dados apresenta mais de uma moda damos o nome de distribuição
plurimodal.
A moda é uma medida mais adequada ao caso de dados agrupados. Quando a distribuição de
frequências está organizada por classes de valores, devemos identificar a classe modal (classe em
que observamos a maior frequência). O ponto médio da classe modal será o valor estimado para a
moda que é denominada moda bruta.
2
i
nfi
h
lMo
em que: linf = limite inferior da classe modal;
hi = amplitude da classe modal;
No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre tem utilidade como elemento
representativo ou sintetizador do conjunto. Consideremos por exemplo o seguinte conjunto de
dados:
21
Tabela 7.3: Quantidade de operários das empresas de telemarketing na cidade de Salvador - 2010.
Quantidade de operários Quantidadede empresas
7 1
11 1
15 1
17 2
19 1
21 1
25 3
Fonte: Dados fictícios
De acordo com a definição a moda é 25, entretanto este valor não é representativo do
conjunto de dados e, portanto a moda não é uma boa medida de locação neste caso.
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Para obtermos a moda bruta é necessário construir uma distribuição de frequência.
(número de classes definido arbitrariamente)
Tabela 7.4: Espessura (em mm) dos azulejos fabricados pela Turma A
Espessura Número de azulejos
2,25 2,75 7
2,75 3,25 15
3,25 3,75 16
3,75 4,25 17
4,25 4,75 14
4,75 5,25 4
5,25 5,75 6
5,75 6,25 1
Fonte: Dados fictícios
Tabela 7.5: Espessura (em mm) dos azulejos fabricados pela Turma B.
Espessura Número de azulejos
4,75 5,25 6
5,25 5,75 30
5,75 6,25 26
6,25 6,75 15
6,75 7,25 3
Fonte: Dados fictícios
22
Resumindo em uma tabela os valores modais (em mm), temos:
Tabela 7.6: Valor da moda por turma para dados da espessura dos azulejos.
Turma Moda
A 4,0
B 5,5
7.3. Mediana
Definição: Chamamos de mediana o elemento do conjunto que ocupa a posição central na
distribuição ordenada (crescente ou decrescente). Isto é, divide a distribuição em duas partes
iguais de modo que 50% dos valores observados são inferiores ao valor mediano e 50%
superiores a esse valor. A notação usada será Md = mediana.
Notação: X(i)= elemento que ocupa a i-ésima posição da série ordenada.
n =número de elementos da série.
1)
2
XX
Md
1
2
n
2
n
, n é par
2)
2
1n
XMd
, n é ímpar
A mediana é uma medida de posição resistente, pois é pouco afetada por mudanças de pequena
porção dos dados, ao contrário da média aritmética que é sensível a valores atípicos.
Exemplo 7.4: Comparação entre a média aritmética e a mediana para os conjuntos de salários
(em reais) dados.
X = { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510}
X
= 345,7; Md
X
= 300.
Y = { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2.300}
Y
= 601,0; Md
Y
= 300.
Podemos observar que no caso do conjunto Y a média não sintetiza adequadamente o conjunto
de dados, pois apenas um valor é superior a ela.
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
As mesmas comparações feitas para a média podem ser feitas para a mediana para o nosso
conjunto de dados. Resumindo em uma mesma tabela as médias e as medianas (em mm), temos:
23
Tabela 7.7: Medidas- resumo por turma para dados da espessura dos azulejos
Turma Média aritmética Mediana
A 3,857 3,8
B 5,865 5,8
Fonte: Dados fictícios
Para ambas as turmas, a média aritmética e a mediana apresentam valores semelhantes. A
mediana indica que 50% dos azulejos produzidos pela turma A estão com espessura inferior a
3,8mm e 50% dos produzidos pela turma B apresentam espessuras superior a 5,8mm.
7.4. Indicações para utilização das três principais medidas de
posição central
Vimos que as três principais medidas de posição - a média aritmética, a mediana e a moda -
têm o mesmo objetivo: determinar um valor típico do conjunto de dados. Surge, então, a seguinte
questão: quando deveremos utilizar cada uma dessas medidas?
De maneira geral, a moda é a menos empregada e a mais difícil de calcular satisfatoriamente.
No entanto, é adequada para caracterizar situações onde estejam em causa os casos ou valores
mais usuais. Por exemplo, em estudos de mercado, o empresário pode estar interessado nas
medidas que mais se vendem.
Correntemente, a escolha é feita entre a média e a mediana, dependendo da natureza do
problema a ser estudado e de outros fatores. Vejamos.
A mediana tem vantagem: é mais resistente do que a média, isto é, a alteração drástica de um
só valor do conjunto de dados reflete substancialmente no valor da média e não irá refletir no
valor da mediana.
A média tem vantagens: quando a curva de frequências tem forma de sino, mais ou menos
simétrica, com abas decaindo rapidamente (valores erráticos muito improváveis), a média é mais
eficiente do que a mediana; a média é uma função linear das observações, propriedade que
também pode pesar na sua adoção.
Por fim, uma vantagem da mediana e da moda em relação à média aritmética é que esta
última não pode ser calculada quando ocorrem classes de frequências com limites indefinidos
(classes abertas). Entretanto, nesta situação, a moda e a mediana podem ser encontradas sem
qualquer dificuldade.
24
8. SEPARATRIZES
As separatrizes são medidas que permitem calcularmos valores da variável que dividem ou
separam a distribuição em partes iguais. Temos três tipos de separatrizes, também chamadas de
quantis: os quartis; os decis; e os percentis.
As medidas de posição denominadas quartis, decis e percentis têm construção análoga a da
mediana. Enquanto a mediana separa a distribuição em duas partes iguais, a característica
principal de cada uma dessas medidas é:
Quartis: dividem a distribuição em quatro partes iguais;
Decis: dividem em dez partes iguais;
Percentis: dividem em cem partes iguais.
Notações: Q
i
= quartil de ordem i; D
i
= decil de ordem i e Pi = percentil de ordem i
Observações:
i) Temos a seguinte igualdade: C50 = D5 = Q2 = Md
ii) O cálculo para os decis e os percentis é análogo ao dos quartis.
iii) O intervalo interquartil ou interquartílico, definido por (Q1; Q3), contém 50% do total de
observações localizadas mais ao centro da distribuição.
As Figuras a seguir ilustram uma distribuição simétrica e distribuições assimétricas,
respectivamente.
Figura 7.1: Distribuição Simétrica.
Fonte: Bussab e Morettin (2002)
Figura 7.2: Distribuições Assimétricas.
Fonte: Bussab e Morettin (2002)
25
Cálculo dos percentis
A posição do percentil de ordem i no conjunto de dados ordenado será definida como:
100
n
.iPosi
, em que Posi = posição do percentil de ordem i; e n = número de elementos da série
1) Se Posi = valor inteiro, então o percentil é definido como a média dos valores que ocupam a
posição Posi e Posi + 1.
2) Se Posi = valor não inteiro, então o percentil é definido como o valor que ocupa a posição u
+ 1 , em que u = inteiro mais próximo que seja menor que Posi .
Exemplo 8.1: Calcule Q1 para o seguinte conjunto de dados:
21 23 18 25 24 28
Resolução: Lembrar que Q1 corresponde ao percentil de ordem 25.
1. Ordenar os valores: 18 21 23 24 25 28
2. Pos 25 = 25 (6/100) = 1,5 (valor não inteiro) u = 1 e portanto o Q1 é o valor que ocupa a 2
ª
posição na série ordenada. Portanto, Q1 = 21
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Verificar por meio dos quartis o tipo de assimetria para os dados de espessura de azulejos.
Medidas Turma A Turma B
Q1 3,10 5,55
Md 3,80 5,80
Q3 4,45 6,20
Md – Q1 0,70 0,25
Q3 – Md 0,65 0,40
Assimetria Negativa Positiva
9. MEDIDAS DE DISPERSÃO
Exemplo 9.1: Duas máquinas foram reguladas para encher cada pacote de café com 500g. Com o
objetivo de verificar a regulagem dessas máquinas, um fiscal de área anotou o peso dos 5
primeiros pacotes produzidos por cada máquina e calculou o peso médio dos pacotes. Os
resultados encontram-seabaixo:
Máquinas
Peso dos pacotes Peso médio
1° 2° 3° 4° 5°
A 500 497 498 500 495 498
B 490 500 505 510 495 500
26
Observando apenas o peso médio dos pacotes, poderíamos concluir que a máquina B
apresentou melhor desempenho do que A. Porém, quando observamos cada informação
separadamente, verificamos que o peso dos pacotes vindos da máquina A variou entre 495 e
500g, enquanto que o da B variou entre 490 e 510g. Isto quer dizer que a máquina A enche os
pacotes mais uniformemente que a máquina B.
As medidas de dispersão servem para avaliar o grau de variabilidade dos valores de um
conjunto de dados. Estas medidas permitem estabelecer comparações entre fenômenos de mesma
natureza ou de natureza distinta e, em geral, essa variabilidade é observada em torno de uma
medida de posição central. Essas medidas podem ser absolutas ou relativas.
9.1. Amplitude total ( medida de dispersão absoluta)
Definição: A amplitude total de um conjunto de números é a diferença entre os valores
extremos do conjunto.
Notação: AT = Amplitude Total
Exemplo 9.2: Calcular as amplitudes totais do exemplo anterior e identificar qual a máquina que
apresentou a menor dispersão no peso dos pacotes de café.
Resolução: A : AT = 500 - 495 = 5 gramas;
B: AT = 510 - 490 = 20 gramas;
A máquina A apresentou uma menor variabilidade nos pesos dos pacotes de café.
Observações:
1º) A amplitude total é a medida mais simples de dispersão.
2º) A desvantagem desta medida de dispersão é que leva em conta apenas os valores mínimo e
máximo do conjunto. Se ocorrer qualquer variação no interior do conjunto de dados, a
amplitude total não nos dá qualquer indicação dessa mudança.
3º) A amplitude total também sofre a influência de um valor "atípico" na distribuição (um valor
muito elevado ou muito baixo em relação ao conjunto).
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Vamos observar no nosso conjunto de dados as médias aritméticas e as amplitudes totais (ranges)
para termos uma primeira ideia sobre a variabilidade das espessuras dos azulejos para as
diferentes turmas.
Tabela 9.1: Medidas-resumo para dados da espessura dos azulejos.
Turma Média aritmética Amplitude total
A 3,8575 3,6
B 5,8725 2,1
Podemos observar que a amplitude total para a turma B é menor que a da turma A.
27
9.2. Desvio-padrão amostral (medida de dispersão absoluta)
Vejamos a seguinte ilustração: Cinco pessoas são levadas a um laboratório para medir suas
respectivas taxas de colesterol. O laboratório sugere utilizar dois métodos diferentes de medição
para efeitos de controle. Os resultados são dados abaixo:
X
=200
* * * * *
177 193 195 209 226
* * * * *
192 196 201204 207
Pode-se observar que em média os métodos de medição do colesterol são iguais porém, se
analisarmos melhor os dados percebemos que no método A os valores estão mais afastados da
média do que no método B. Este fato, nos leva a pensar numa medida que possa avaliar a
dispersão dos dados em torno de sua média. Tal medida é conhecida como desvio padrão e
veremos sua definição a seguir.
Notação: s = desvio-padrão
Definição: Sejam
x x xn1 2, ,...,
, n valores que a variável X assume. O desvio padrão amostral é
definido como:
1
1
2
n
xx
S
n
i
i
Exercício: Calcule o desvio padrão para as taxas de colesterol: método A e método B.
SA = 18,43909 SB= 6,041523
Exemplo de aplicação: (Azulejos)
Da mesma maneira que trabalhamos com a amplitude total, vamos observar no nosso
conjunto de dados as médias aritméticas e os desvios padrões (S) para termos uma primeira idéia
sobre a variabilidade nas espessuras dos azulejos produzidos pelas turmas A e B.
Tabela 9.2: Medidas-Resumo para dados da espessura dos azulejos.
Turma Média Aritmética Desvio Padrão
A 3,8575 0,8706
B 5,8725 0,4802
Método A
Método B
28
Podemos observar que a Turma B apresenta maior média que a da turma A e além disso a sua
variabilidade é menor. Parece que esta turma atinge mais os objetivos, ou seja, uniformidade na
espessura (menor dispersão) e azulejos com espessura mais grossa.
9.3. Variância (medida de dispersão absoluta)
Definição: A variância é o quadrado do desvio padrão.
Notação: s
2
Observações:
i) O desvio padrão tem a unidade de medida igual a unidade de medida original da variável,
enquanto que a variância apresentará a unidade de medida elevada ao quadrado.
ii) Ao trabalharmos com os dados de toda a população calculamos a variância e o desvio padrão
populacional dividindo por N (tamanho da população) e não por N-1.
9.4. Coeficiente de variação de Pearson (medida de dispersão
relativa)
Quando se deseja comparar a variabilidade de duas ou mais distribuições, mesmo quando
essas se referem a diferentes fenômenos e sejam expressas em unidades de medida distintas,
podemos utilizar o coeficiente de variação de Pearson (medida de dispersão relativa).
Notação: CV = coeficiente de variação de Pearson ou apenas coeficiente de variação.
Definição: O coeficiente de variação para um conjunto de n observações é definido como o
quociente entre o desvio padrão e a média aritmética da distribuição.
CV
S
X
,
em que S = desvio padrão amostral. Observe que esta é uma medida adimensional. Normalmente
é expressa em porcentagem.
Exemplo de aplicação:(Azulejos)
Considerando o exemplo anterior para calcularmos o coeficiente de variação:
Tabela 9.3: Medidas-Resumo para dados da espessura dos azulejos.
Turma Média Aritmética Desvio Padrão Coeficiente de Variação (%)
A 3,8575 0,8706 22,57
B 5,8650 0,4855 08,28
Os azulejos produzidos pela turma B são mais homogêneos quanto a espessura.
29
10. Box-plot
O Box-plot é um método alternativo para representar os dados e está ilustrado na Figura 10.1.
O Box-plot fornece informações sobre as seguintes características de um conjunto de dados:
locação, dispersão, assimetria e outliers (observações discrepantes).
O centro da distribuição é indicado pela linha da mediana. A dispersão é representada pela
altura do retângulo (Q3-Q1), o qual contém 50% dos valores do conjunto de dados. A posição da
linha mediana no retângulo informa sobre a assimetria da distribuição. Uma distribuição
simétrica teria mediana no centro do retângulo. Se a mediana é próxima de Q1 então os dados são
positivamente assimétricos. Se a mediana é próxima de Q3 os dados são negativamente
assimétricos.
Os valores fora de Q1–1,5(Q3-Q1), denotado por limite inferior, e Q3+1,5(Q3-Q1),
denotado por limite superior, geralmente são chamados de pontos exteriores e devem ser
investigados como possíveis outliers ou valores atípicos. Pontos exteriores não são
necessariamente outliers, mas um outlier usualmente aparece no gráfico como um ponto exterior.
Exercício de aplicação: (Azulejos) Observemos os Box plots para as turmas A e B. Temos que
para turma A, o limite inferior é Q1–1,5(Q3-Q1)= 3,1-1,5(4,45-3,1)= 1,075 e o limite superior é
Q3+1,5(Q3-Q1)= 4,45+1,5(4,45-3,1)=6,475. E para a turma B, o limite inferior é 5,55-1,5(6,2-
Mediana
Quartil 3
Quartil 1
Ponto exterior
Máximo
Figura 10.1 Box-plot30
5,55)=4,575 e o superior é 6,2+1,5(6,2-5,55)=7,175. Então, não há pontos exteriores. Os Box-
plots correspondentes as turmas A e B estão na Figura 6.2. Podemos perceber que a distribuição
da espessura dos azulejos fabricados pela turma A aparentemente apresenta assimetria negativa.
Enquanto que para a turma B observa-se assimetria positiva.
Figura 10.2: Box-plot para as espessuras (mm) dos azulejos por turma
Observações sobre a construção e interpretação de Box-plots:
1. Quando a distribuição dos dados é simétrica, a linha que representa a mediana estará
localizada mais ou menos no centro do retângulo e as duas linhas que partem das
extremidades do retângulo terão aproximadamente os mesmos comprimentos.
2. De modo geral, quando a distribuição dos dados é assimétrica à direita, a linha que representa
a mediana estará mais próxima de Q1 do que de Q3. Isto acontece porque a metade inferior
dos dados está dispersa em uma faixa de comprimento menor que o comprimento da região
ocupada pela metade superior do conjunto de dados.
3. Quando a distribuição dos dados é assimétrica à esquerda, a linha que representa a mediana
estará mais próxima de Q3 do que de Q1. Isto acontece porque a metade superior dos dados
está dispersa em uma faixa de comprimento menor que o comprimento da região ocupada
pela metade inferior do conjunto de dados.
4. O Box-plot também pode ser desenhado na posição vertical.
5. Os Box-plots são muito úteis para a comparação de dois ou mais conjuntos de dados.
31
Exercício de aplicação: (Azulejos). Utilizando agora todos os novos conhecimentos que você
adquiriu, responda:
a) Sabendo que os limites de especificação para a espessura dos azulejos são (5,0 1,5) mm,
você considera que a espessura não adequada dos azulejos pode estar provocando as
reclamações dos clientes? Por que?
b) forma do histograma construído para todos os dados considerados em conjunto está
indicando que pode haver diferença na qualidade dos azulejos produzidos em diferentes
níveis dos fatores de manufatura do processo de fabricação dos azulejos? Por quê?
c) Você considera que as duas turmas trabalham do mesmo modo ou existe diferença entre a
qualidade dos azulejos produzidos pelas duas turmas? Justifique sua resposta.
d) O problema de quebra dos azulejos parece ser comum aos azulejos produzidos por ambas as
turmas de trabalho da empresa ou parece estar associado a uma turma específica? Por que?
e) O problema de falta de uniformidade no assentamento dos azulejos parece ser comum aos
azulejos fabricados por ambas as turmas de trabalho da empresa ou parece estar associado a
uma turma específica? Por que?
5ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Classifique cada uma das variáveis abaixo em qualitativa (nominal/ordinal) ou quantitativa
(discreta/contínua):
a) Ocorrência de hipertensão arterial em grávidas com mais de 35 anos (sim ou não são possíveis
respostas para esta variável).
b) Intenção de voto para presidente (possíveis respostas são os nomes dos candidatos, além de
―indeciso‖).
c) Perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre, em quilos.
d) Intensidade da perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre (leve, moderada, forte).
e) Grau de satisfação da população brasileira com relação ao trabalho de seu presidente (valores de 0 a 5,
com 0 indicando totalmente insatisfeito e 5 totalmente satisfeito). R.: a)Qualitativa Nominal, b) Qualitativa
Nominal, c)Quantitativa Contínua, d)Qualitativa Ordinal, e) Qualitativa Ordinal
2) Um questionário foi aplicado aos dez funcionários do setor de contabilidade de uma empresa
fornecendo os dados apresentados na tabela.
a) Classifique cada uma das variáveis;
b) Faça uma representação gráfica para a variável curso;
c) Faça uma tabela para a variável curso por sexo.
32
Funcionário Sexo
Curso
(completo)
Idade Salário (R$)
Anos de
empresa
1 masculino superior 34 1100,00 5
2 feminino superior 43 1450,00 8
3 feminino médio 31 960,00 6
4 masculino médio 37 960,00 8
5 masculino médio 24 600,00 3
6 feminino médio 25 600,00 2
7 masculino médio 27 600,00 5
8 feminino médio 22 450,00 2
9 masculino fundamental 21 450,00 3
10 feminino fundamental 26 450,00 3
R.:a)sexo- qualitativa nominal curso- qualitativa ordinal idade- quantitativa continua salario- quantitativa continua anos
de empresa- quantitativa continua
b)grafico colunas , barras , setor
c) Tabela: Funcionários do setor de contabilidade de uma empresa por sexo e grau de instrução.
Grau de Instrução
Sexo
Fundamental Medio Superior Total
Feminino
Masculino
1
1
3
3
1
1
5
5
Total 2 6 2 10
Fonte: exercicio
3) Uma empresa do ramo automobilístico apresentou nos últimos anos os seguintes dados:
Ano Veículos Vendidos Gastos com propaganda (R$) Renda per capita
(US$)
1990 116002 1713 429
1991 154972 2835 455
1992 178179 3585 482
1993 233011 5566 514
1994 295725 7251 556
1995 343533 8146 596
1996 379370 9148 632
Fonte: Dados fictícios
a) represente graficamente cada série separadamente;
b) analisando essa tabela e os gráficos construídos pode-se concluir que os gastos com propaganda foram
compensados com o aumento da quantidade de veículos vendidos? Justifique. R.: a) Gráfico em colunas ou
barras ou linhas. b) sim. Quanto mais gasto com propaganda, maior foi o número de carros vendindos e teve aumento na
renda.
4) Uma indústria automobilística verificou que, nos últimos meses, ocorreu um aumento no número de
reclamações sobre a ocorrência de defeitos no suporte da lanterna traseira de um modelo de automóvel
por ela fabricado. A empresa desejava eliminar esta situação indesejável e para isto iniciou estudos
para melhorar resultados. Na etapa de identificação do problema, os técnicos da indústria
classificaram o número total de peças defeituosas encontradas em uma amostra de peças produzidas
durante uma semana de trabalho, segundo os tipos de defeitos que foram detectados. Os dados obtidos
são apresentados na tabela abaixo.
33
Defeitos encontrados em uma amostra de suportes da lanterna traseira de um modelo de automóvel
durante uma semana de produção de uma indústria.
Tipo de defeito
Quantidade de
defeitos
Moldagem solta 14
Solda quebrada 01
Centro da moldagem deslocado 04
Lateral da moldagem deslocada 24
Moldagem arranhada 01
Moldagem dentada 44
Plástico arranhado 07
Limpeza incompleta 79
Orifício deslocado 01
Pino deslocado 05
Total 180
a) Construa um gráfico adequado para esta série.
b) Identifique os tipos de defeitos que os técnicos da empresa deveriam priorizar, com o objetivo de
melhorar os resultados que vinham sendo obtidos pela indústria. Justifique sua resposta.
R.:a)grafico em colunas ou barras ou pareto (preferência). b)limpeza incompleta, moldagem dentada. Prioridade para os que
apresentam maior ocorrência.
5) De acordo com uma pesquisa, vê-se que dos 36 empregados da seção de orçamentos da Cia. Milsa, 12
têm o primeiro grau de educação, 18 o segundo e 6 possuem título universitário. Apresente esta
distribuição em uma tabela (com as proporções) e em um gráfico.
R.:Tabela: Grau de instrução empregados da seção de orçamentos da cia. Milsa.
Grau de instrução
Frequência simples
absoluta
Frequência simples
relativa
1 grau
2 grau
3 grau
12
18
6
0,33
0,50
0,17
Total 36 1,00
Fonte: exerciciob) grafico barra ou coluna
6) Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados, tendo, para isso,
realizado um levantamento abrangendo um período de 36 meses, onde foi observado o número de
operários acidentados para cada mês. Os dados correspondentes são:
1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6
6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10
a) Construa uma distribuição de freqüência adequada;
b) Represente graficamente a distribuição do item a;
c) Em qual porcentagem de meses houve, exatamente, seis acidentes?
d) Em qual porcentagem de meses houve até quatro acidentes?
34
R.:Tabela: Nº de acidentes ocorridos, por mês, com empregados da empresa no periodo de trinta e seis meses.
Nº de acidentes Números de meses (fi) fri
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
5
7
6
5
3
2
1
0,028
0,055
0,111
0,139
0,195
0,167
0,139
0,083
0,055
0,028
Total 36 1,00
Fonte: exercicio
b) colunas c)1/6 d)1/3
7) Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obtendo-
se os resultados abaixo:
08 11 08 12 14 13 11 14 14 05 06 10
14 13 06 12 07 05 08 08 10 16 10 12
12 08 11 06 07 12 07 10 14 05 12 07
09 12 11 09 14 08 14 08 12 10 12 13
07 15
a) Construa uma distribuição de freqüência adequada;
b) Represente a distribuição graficamente;
c) Calcule o número médio de erros de impressão por primeira página;
d) Calcule a mediana;
e) Determine a moda.
R.:Tabela: Número de erros de impressão da primeira página do jornal.
Nº de erros Números de páginas(fi) %
(100xfri)
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
3
5
7
2
5
4
9
3
7
1
1
6
6
10
14
4
10
8
18
6
14
2
2
Total 50 100
Fonte: exercicio
b) grafico barras ou colunas. c)10,24 d)10,5 e)12
8) A distribuição de freqüências do salário anual dos moradores do bairro A que têm alguma forma de
rendimento é apresentada na tabela abaixo:
a) Construa um histograma da distribuição e identifique o tipo de assimetria;
b) A média é uma boa medida para representar estes dados? Justifique sua resposta.
35
Faixa Salarial (x10 S.M.) fi
0 2 10.000
2 4 3.900
4 6 2.000
6 8 1.100
8 10 800
10 12 700
12 14 2.000
R.:a) positiva ou à direita b) não. Devido a assimetria.
9) Os dados abaixo se referem ao diâmetro, em polegadas, de uma amostra de 40 rolamentos de esferas
produzidas por uma companhia:
0,738 0,729 0,743 0,740 0,736 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737 0,728 0,737
0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735 0,745 0,736 0,742 0,740
0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732 0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734
0,738 0,739 0,727 0,735
a) construa uma tabela de distribuição de frequência por intervalos de classe;
b) represente graficamente a distribuição do item a.
R.:a) n= 40 k= 6,32 AT = 0,021 h=0,004
Tabela: Diâmetro (mm) de rolamentos de esferas produzidas por uma companhia.
Diametro rolamentos Números de rolamentos(fi) %
(100xfri)
0,724 0,728
0,728 0,732
0,732 0,736
0,736 0,740
0,740 0,744
0,744 0,748
4
6
11
12
6
1
10
15
27,5
30
15
2,5
Total 40 100,0
Fonte: exercicio
b) histograma
10) Coloque V(verdadeiro) e F(falso) e justifique:
a) ( ) 50% dos dados de qualquer amostra situam-se acima da média;
b) ( ) Numa turma de 50 alunos onde todos tiraram a nota máxima, o desvio padrão é zero;
c) ( ) Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros,
utilizamos a média;
d) ( ) Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um
conjunto de dados, a média aritmética fica adicionada (ou subtraída) dessa constante.
e) ( ) Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de
um conjunto de dados, a média aritmética fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
f) ( ) Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um
conjunto de dados, o desvio padrão fica adicionado (ou subtraído) dessa constante.
36
g) ( ) Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de
um conjunto de dados, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.
R.: F,V,F,V,V,F,V
11) Na companhia A, a média dos salários é 10.000 unidades e o 750 percentil é 5.000. Justifique.
a) Se você se apresentasse como candidato a essa firma e se o seu salário fosse escolhido ao acaso entre
todos os possíveis salários, o que seria mais provável: ganhar mais ou menos que 5.000 unidades?
b) Suponha que na companhia B a média dos salários é 7.000 unidades e a variância é praticamente zero,
e lá o seu salário também seria escolhido ao acaso. Em qual companhia você se apresentaria para
procurar emprego?R.: a) ganhar menos. b) B
12) Uma indústria de alimentos estava interessada em analisar seu processo de produção de determinado
alimento. Existem nesta indústria duas máquinas responsáveis pelo controle do processo de
desidratação do alimento. Um importante item de controle do processo é a umidade do produto final,
que segundo as especificações, deve estar na faixa de 8,0% a 12%. Foi detectado incapacidade do
processo em atender às especificações. A equipe técnica suspeitava de que podia haver diferenças na
forma de funcionamento das duas máquinas de desidratação. Com o objetivo de observar o
funcionamento das máquinas foram feitas medidas do teor de umidade do produto final, estratificadas
por máquina de desidratação. Os resultados estão apresentados a seguir:
Máquina 1
11,7 11,8 12,1 10,7 11,7 10,9 10,7 11,6 12,5 10,7 11,5 11,1
11,2 11,2 11,8 11,2 11,0 11,7 11,1 11,3 11,0 12,2 10,7 12,2
11,9 11,1 11,4 10,7 11,2 11,6 11,0 10,9 11,2 11,2 11,3 12,1
10,9 11,7 11,3 11,5
Máquina 2
11,4 11,5 11,5 10,4 11,0 9,9 10,5 10,8 11,4 11,5 10,9 10,2
11,1 11,0 10,2 11,2 11,9 10,8 11,2 11,0 10,2 11,5
10,9
10,9 10,1
11,2 10,7 11,8 11,1 10,4 11,8 11,9 10,7 10,8 10,8 10,4 10,8
11,2 10,8 10,6
Para cada máquina, calcule a média, a mediana, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o intervalo
interquartil da variável teor de umidade e construa o histograma e box-plot. A partir das medidas
descritivas e dos histogramas e box-plots, compare o desempenho das duas máquinas comentando os
aspectos de posição e variabilidade dos dados.
R.:
Maquina 1 Maquina 2
Média=11,365
Mediana=11,25
Desvio Padrão=0,4715
CV=0,0415
Quartil 1: 11,0
Quartil 3: 11,7
Média=10,95
Mediana=10,9
Desvio Padrão=0,5109
CV=0,0467
Quartil 1: 10,7
Quartil 3: 11,3
13) As instituições de poupança e investimento podem comercializar um tipo de seguro de vida
conhecido como seguro de vida das instituições de poupança e investimento( savings bank life
37
insurance – SBLI). O processo de aprovação consiste na subscrição, que inclui a revisão da proposta;
verificação das informações médicas ou exames adicionais; e o estágio de compilação da apólice,durante o qual as páginas da apólice são geradas e enviadas ao banco para que sejam então remetidas.
A capacidade de entregar as apólices aprovadas ao cliente em tempo hábil é crítica para a instituição
no que diz respeito à eficácia desse serviço. Durante um período correspondente a um mês, foi
selecionada uma amostra aleatória de 27 apólices aprovadas, e foram registrados os seguintes dados
sobre o total de tempo, em dias, para o processamento.
73 19 16 64 28 28 31 90 60 56
31 56 22 18 45 48 17 17 17 91
92 63 50 51 69 16 17
a) Calcule a mediana, o primeiro quartil e o terceiro quartil.
b) Construa o box-plot. Os dados são assimétricos? Em caso afirmativo, qual a direção da
assimetria?
c) O que você diria a um cliente que entrasse na instituição para adquirir esse tipo de apólice
de seguro e perguntasse quanto tempo leva o processo de aprovação.
R: a)Média=43,89, mediana=45, 1º quartil=18 e 3º quartil=63. b)A distribuição dos dados é assimétrica à direita uma vez que existem algumas
poucas apólices que demandam um período de tempo excepcionalmente longo para ser aprovadas. d) A média aritmética do processo de
aprovação é 43,89 dias, cinquenta por cento das apólices são aprovadas em menos de 45 dias e cinquenta por cento das apólices são aprovadas
entre 18 e 63 dias.
14) Uma agência bancária, localizada em uma área residencial, está preocupada com o horário de
pico durante o almoço, das 12h às 13h. O tempo de espera, em minutos, coletados a partir de
uma amostra aleatória de 15 clientes durante esse horário, está apresentado a seguir:
9,66 5,90 8,02 5,79 8,73 3,82 8,01 8,35 10,49 6,68
5,64 4,08 6,17 9,91 5,47
Assim que um cliente entra na agência durante o horário de almoço, ele pergunta ao
gerente da agência quanto tempo deve esperar até ser atendido. O gerente responde:
―Quase certamente não mais de cinco minutos‖. Avalie a exatidão dessa afirmativa.
R: A média aritmética e a mediana são, ambas, maiores do que cinco minutos. A distribuição é assimétrica à direita, significando que
existem alguns valores muito grandes. Além disso, 13 entre os 15 clientes de bancos selecionados (ou 86,7%) tiveram tempos de espera
superiores a 5 minutos. Portanto, o cliente, está propenso a passar um tempo de espera superior a 5 minutos. O gerente superestimou os
registros dos serviços prestados pelo banco ao responder ao cliente.
15) Você está indeciso em comparar uma televisão e decide avaliar algumas informações
estatísticas, fornecidas pelo fabricante, sobre a duração (em horas) do tubo e imagem. Com
que marca você ficaria?
Marca da TV GA FB HW
Média 8.000 8.200 8.000
Mediana 8.000 9.000 7.000
Desvio padrão 600 1.500 2.500
38
R:As médias são similares. A mediana da FB é mais alta, que é um fator positivo. Por outro lado, HW tem a menor mediana e, portanto, essa
marca deve ser desconsiderada. Notemos que o desvio padrão de FB é duas vezes e meia maior do que o de GA. Como GA tem mediana não
muito baixa e pouca variabilidade, parecer ser a melhor opção. Portanto, é recomendado comparar a marca GA.
16) Um estudante está procurando um estágio para o próximo ano. As companhias A e B têm
programas de estágios e oferecem uma remuneração por 20 horas semanais com as seguintes
características (em salários mínimos). Qual companhia é mais adequada?
Companhia A B
Média 2,5 2,0
Mediana 1,7 1,9
Moda 1,5 1,9
R: A companhia A tem 50% dos seus estagiários recebendo até 1,7 salários minimos e o valor com maior frequência de ocorrência é
1,5. Como amédia é 2,5 deve haver alguns poucos estagiários com salário bem mais alto, ou seja, valor alto com frequência pequena de
ocorrência. A companhia B tem as três medidas bem próximas indicando uma razoável simetria entre os salários altos e baixos. A
opção do estudante dependerá de sua qualificação. Se o estudante for bem qualificado, deve preferir a companhia A, pois terá mais
chance de obter um dos altos salários. Se tiver qualificação próxima ou abaixo dos outros estudantes, deve preferir a B qua parece ter
uma política mais homogênea de salários.
11. Noções de Inferência Estatística
11.1. Introdução
O objetivo principal da inferência estatística é fazer afirmações sobre características de uma
população, baseando-se em resultados de uma amostra.
Na inferência estatística a incerteza está sempre presente. No entanto, se o experimento foi
feito de acordo com certos princípios, essa incerteza pode ser medida.
Uma função da estatística é fornecer um conjunto de técnicas para fazer inferências e medir o
grau de incerteza destas inferências. Esta incerteza é medida em termos de probabilidades.
Exemplo 1:
Flores brancas
Sementes
(10.000.000)
(POPULAÇÃO) Flores vermelhas
Suponha que em um celeiro existam 10 milhões de sementes de flores que podem
produzir flores brancas ou flores vermelhas. Deseja-se a seguinte informação: que proporção,
dessas 10 milhões de sementes, produzirá flores brancas?
Não é de interesse plantar todas as sementes para verificar a cor das flores produzidas. Vamos
plantar algumas poucas e com base nas cores dessas poucas, fazer alguma afirmação sobre a
proporção (das 10 milhões) que produzirá flores brancas. Não podemos fazer esta generalização
39
com certeza, mas podemos fazer uma afirmação probabilística, se selecionarmos as sementes
que pertencerão à amostra de forma adequada.
Suponha que foi retirada uma amostra aleatória (ao acaso) composta de 200 sementes da
população acima. Observou-se que dessas sementes 120 eram de flores brancas e 80 de flores
vermelhas. A proporção de flores brancas encontrada na amostra foi então de 60% .
Como poderíamos utilizar o resultado de uma amostra para estimar a verdadeira
proporção de sementes de flores brancas?
Analisando o problema em questão com auxílio da teoria das probabilidades, pode-se
encontrar um intervalo em torno da proporção observada na amostra (60%) e afirmar com
bastante segurança que a proporção populacional de sementes de flores brancas estará contida
neste intervalo. Por exemplo, no problema acima, se admitíssemos uma chance de erro de 5%,
com o tamanho de amostra utilizado (n=200), a teoria estatística permite afirmar que a proporção
populacional de flores brancas está entre 53% e 67%. Se os métodos estatísticos forem
corretamente utilizados podemos garantir que é de apenas 5% a probabilidade de estarmos
fornecendo um intervalo que não contenha a verdadeira proporção populacional. Mais tarde
veremos como calcular este tipo de intervalo.
11.2. Estatísticas, Parâmetros e Estimadores
Alguns conceitos básicos são necessários para o desenvolvimento da Inferência Estatística:
Parâmetro: qualquer valor calculado com base em todos os elementos da população.
Estatística: qualquer valor calculado com base (apenas) nos elementos da amostra.
Estimador: uma estatística destinada a estimar um parâmetro populacional.
Estimativa: é o valor numérico do estimador com base nas observações amostrais.
Alguns exemplos de estatísticas que são também estimadores:
n
X...XX
X n
21
(média amostral)
(variância amostral)
Símbolos mais comuns
Estimador Parâmetro
Média
X
Variância S2 2
Proporções
pˆ
p ou
40
11.3. Introdução à Amostragem
Usualmente é impraticável observar toda uma população, seja pelo alto custo, seja por
dificuldades diversas. Examina-se então uma amostra da população. Se essa amostra for
bastante representativa, os resultados obtidos poderão ser generalizados para toda a população.
Uma amostra muito grande pode implicarem custos desnecessários enquanto que uma
amostra pequena pode tornar a pesquisa inconclusiva. Assim, deve-se procurar dentro das
restrições impostas pelo orçamento, desenhar uma amostra que atinja os objetivos,
produzindo estimativas com menor imprecisão possível.
A experiência com amostragem é fato corrente no cotidiano. Basta lembrar como um
cozinheiro verifica o tempero de um prato que está preparando, como alguém testa a
temperatura de um prato de sopa, ou ainda como um médico detecta as condições de um
paciente através de exames de sangue. Porém, o uso inadequado de um procedimento amostral
pode levar a um viés de interpretação do resultado. Por exemplo, não mexer bem a sopa antes
de retirar uma colher para experimentar, pode levar a sub-avaliação da temperatura do prato
todo, com consequências desagradáveis para o experimentador.
O uso de amostras que produzam resultados confiáveis e livres de vieses é o ideal. Assim, a
maneira de se obter a amostra é tão importante que constitui uma especialidade dentro da
Estatística, conhecida como Amostragem. Os vários procedimentos de se escolher uma amostra
podem ser agrupados em dois grandes grupos: os chamados planos probabilísticos e planos
não-probabilísticos. O primeiro grupo reúne todas as técnicas que usam mecanismos aleatórios
de seleção dos elementos da amostra, atribuindo a cada um deles uma probabilidade, conhecida a
priori, de pertencer à amostra. No segundo grupo estão os demais procedimentos, tais como:
amostras intencionais, onde os elementos são selecionados com auxílio de especialistas, e
amostras de voluntários, como ocorre em alguns testes sobre novos remédios.
Ambos os procedimentos têm suas vantagens e desvantagens. Os estatísticos preferem
trabalhar com as amostras probabilísticas pois, têm toda teoria de probabilidade e de inferência
estatística para dar suporte às conclusões. Dessa forma, é possível medir a precisão dos
resultados, baseando-se na informação contida da própria amostra. Planos de amostragem
probabilísticos podem ser exemplificados pela amostragem aleatória simples e pela amostragem
estratificada.
Amostragem Aleatória Simples
Quando o sistema de referência (lista ou descrição das unidades da população) é
―perfeito‖, isto é, quando ele lista uma a uma todas as unidades da população, é possível então
usar um procedimento onde cada unidade é sorteada diretamente, com igual probabilidade de
41
pertencer a amostra. A melhor maneira para definir este plano é descrevendo o processo de
sorteio, que seria o seguinte: - ―da relação de unidades do sistema de referência sorteie, com igual
probabilidade o primeiro elemento da amostra, repita o processo para o segundo, e assim
sucessivamente até sortear o último elemento programado para a amostra‖. As amostras assim
obtidas definem o plano de Amostragem Aleatória Simples que pode ser concebido com ou sem
reposição.
Amostragem Estratificada
Informações adicionais podem aprimorar um desenho amostral. Por exemplo, em uma
pesquisa sobre renda familiar média, conhece-se de antemão as regiões da cidade onde
predominam moradias de diferentes classes de renda. Este conhecimento pode ser usado para
definir sub-populações homogêneas segundo a renda, e aí então sortear amostras dentro de cada
uma dessas regiões. Este procedimento é conhecido como a divisão da população em estratos, e
consequentemente, definem os planos de Amostragem Estratificada.
11.4. Erros amostrais e Não-amostrais
O uso de um levantamento amostral introduz um tipo de erro, que pode ser resumido na
diferença entre o valor de certa característica na amostra e o parâmetro de interesse na população.
Esta diferença pode ocorrer apenas devido à particular amostra selecionada, ou então devido a
fatores externos ao plano amostral. Quando o erro é devido à amostra selecionada é chamado de
erro amostral e quando é devido à fatores independentes do plano amostral (erros de medida,
digitação, etc) é chamado de erro não-amostral.
Considera-se um erro amostral aquele desvio que aparece porque o pesquisador não
levantou a população toda. Cada amostra possível de um plano acarreta em um desvio. Vejamos
o esquema que se segue que considera a média como a característica de interesse. Vamos denotar
por e
X a média populacional e a média amostral da variável, respectivamente.
No caso da média, o estudo do erro amostral consiste basicamente em estudar o
comportamento da diferença (X - ) quando X percorre todas as possíveis amostras que
poderiam ser formadas através do plano amostral escolhido. Conhecendo-se a distribuição
amostral de X pode-se avaliar sua média e seu desvio padrão. Neste caso particular o desvio
padrão recebe o nome de erro padrão de X .
42
População ou Amostras possíveis
Universo de tamanho n
1 A1 =>
1X
2
3
A2 => 2X
.
. ………………… |
X
- | = E = erro
.
Ai =>
iX
N
…………………
Ak => kX
11.5. Distribuições Amostrais
Diferentes amostras extraídas da população irão originar valores distintos para a estatística
considerada. Por este motivo, dizemos que as estatísticas são variáveis aleatórias, já que seu valor
não pode ser predito com certeza antes da amostra ter sido extraída. Além disso, as estatísticas,
como funções de variáveis aleatórias, são também variáveis aleatórias, e, portanto, têm uma
distribuição de probabilidade, esperança e variância.
A distribuição de probabilidade de uma estatística quando consideramos todas as amostras
possíveis de tamanho n é denominada de distribuição amostral.
11.5.1. Distribuição Amostral da Média
A distribuição amostral da média
X
, de amostras aleatórias simples de tamanho n,
extraída de uma população que tem média e desvio padrão , tem as seguintes características:
E(
X
) =
V(
X
) = 2/n
Caso a população tenha distribuição normal com média e desvio padrão , a
distribuição amostral da média
X
, é normal com média e desvio padrão /
n
.
43
A distribuição amostral da média
X
, de amostras aleatórias simples de tamanho n
extraída de uma população não-normal, com média e desvio padrão , é aproximadamente
normal com média e desvio padrão /
n
, quando n é suficientemente grande. Este resultado
é uma aplicação de um importante teorema de probabilidade, chamado Teorema Central do
Limite. Para a utilização deste resultado, é usual considerar que o tamanho n da amostra é
suficientemente grande quando n é pelo menos 30.
Exercícios:
1) A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal,
com média e desvio padrão de 10g.
a) Em quanto deve ser regulado o peso médio para que apenas 10% dos pacotes tenham
menos do que 500g. R.:512,8 g
b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes
escolhidos ao acaso seja inferior a 2 Kg? R.:0,0052
2) No exemplo anterior, e após a máquina estar regulada, programou-se uma carta de controle.
De hora em hora, será retirada uma amostra de 4 pacotes, e estes serão pesados. Se a média da
amostra for inferior a 495g ou superior a 520g para-se a produção para reajustar a máquina,
isto é reajustar o peso médio.
a) Qual a probabilidade de ser feita uma parada desnecessária? R.: 0,0749
b) Se o peso médio da máquina desregulou-se para 500g, qual a probabilidade de continuar-se a
produção fora dos padrões desejados? R.: 0,8413
3) Para uma população com desvio padrão igual a 10, qual devese o tamanho da amostra para
que a diferença da média amostral para a média populacional, em valor absoluto, seja menor
que 1, com probabilidade igual a 0.99 ? R.: 666
11.5.2. Distribuição Amostral da Proporção
Considere que a proporção de elementos numa população com determinada característica
é p. Assim, para cada elemento da população podemos definir uma variável X, tal que
X =
ticacaracterís daportador é não elemento o se 0,
ticacaracterís daportador é elemento o se ,1
Isto é, X ~Bernoulli(p) = Binomial (1; p) , e portanto E(X) = p e V(X) = p(1-p).
44
Seja X1 , X2 , ... , Xn uma amostra aleatória simples retirada dessa população, e seja
n
in X
1
S
o total de elementos portadores da característica na amostra. Tem-se que
Sn ~ Binomial (n,p).
Defina como
pˆ
a proporção de elementos portadores da característica na amostra, isto é,
X
n
X
n
i
1n
n
S
pˆ
.
Utilizando o Teorema Central do Limite, tem-se que a distribuição amostral de
pˆ
é
aproximadamente
n
p)p(1
p,N
, quando n é suficientemente grande (np ≥ 5 e n(1-p) ≥ 5 ).
Exercícios
1) Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% de
itens defeituosos na produção. A cada 60 minutos sorteia-se uma amostra de 50 peças, e,
havendo mais de 15% de defeituosos, pára-se a produção para verificações. Qual a
probabilidade de uma parada desnecessária? Resp.: 0,119
2) Suponha que uma indústria farmacêutica deseja saber quantos voluntários se deva aplicar uma
vacina, de modo que a proporção de indivíduos imunizados na amostra difira de menos de 2%
da proporção verdadeira de imunizados na população, com probabilidade de 90%. Qual
tamanho da amostra a escolher? Resp: 1702
11.5.3. Distribuição Amostral de S2
Considere uma amostra aleatória de tamanho n que é retirada de uma população normal
com média e variância , e seja S2 a variância amostral. Então a estatística 𝑛 − 1 𝑆2/𝜎2 tem
distribuição qui-quadrado com =n-1 graus de liberdade. A variável aleatória Z tem função de
densidade dada por:
riocasocontrá 0,
0z ,
2z-
e z 12
2Γ2 2
1
f(z)
diz-se que Z segue uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade, denotada por A
média e a variância para a distribuição são, respectivamente, e 2.
A distribuição qui-quadrado é contínua e assimétrica e como a distribuição normal
padronizada também é tabelada. A tabela completa é fornecida no final da apostila. A seguir
45
apresentamos um pequeno extrato desta tabela a qual fornece os valores de χα
2 para vários graus
de liberdade sendo 𝑃 𝜒𝑣
2 ≥ 𝜒𝛼 ,𝑣
2 = 𝛼. Por exemplo, 𝑃 𝜒10
2 ≥ 𝜒0,05;10
2 = 𝜒10
2 ≥
18,31 = 0,05.
Exercícios
1) Para uma distribuição qui-quadrado, determine:
a) 𝜒0,025;10
2 b) 𝜒0,01;7
2 c) 𝜒0,05;24
2 R.: 20,48; 18,48 e 36,42
2) Determine a probabilidade de que uma amostra aleatória de 25 observações, de uma população
normal com variância 2 = 6, terá uma variância amostral S2:
a) maior que 9,1; R.: 0,05
b) entre 3,642 e 10,745. R.: 0,94
11.5.4. Outra distribuição amostral
Em muitas situações, o conhecimento do valor de não é razoável Frequentemente, uma
estimativa para é fornecida pela amostra. Suponha que X1, ..., Xn seja uma amostra aleatória de
uma população normal, com média e variância 2, e sejam 𝑋 eS2 a média e a variância
amostrais, respectivamente. Então 𝑇 = (𝑋 − µ)/(𝑆/ 𝑛) segue uma distribuição t ou t de Student,
com 𝑣 = 𝑛 − 1 graus de liberdade. A função de densidade de T é dada por
𝑓 𝑡 =
𝑣 + 1 /2
𝑣/2 𝜋𝑣
1 +
𝑡2
𝑣
−(𝑣+1)/2
, −∞ < 𝑡 < ∞
46
A média e a variância da distribuição t são 0 e 𝑣/(𝑣 + 2) para 𝑣 < 2, respectivamente.
Figura 1: Gráficos da função densidade da distribuição t de Student para alguns valores
de graus de liberdade.
A distribuição t de Student é contínua e simétrica com média igual a zero. Sua aparência é
bastante parecida com a normal padrão, veja Figura 1. Ambas as distribuições tem forma de sino,
mas a distribuição t tem mais probabilidade nos extremos. A qualificação ―com n-1 graus de
liberdade‖ é necessária, porque para cada valor diferente do tamanho da amostra n existe uma
distribuição t de Student específica. O número de graus de liberdade (gl) é o parâmetro da
distribuição t de Student.
Assim como a distribuição normal padrão a distribuição t de Student também é tabelada.
A tabela completa é fornecida no final da apostila. A seguir apresentamos um pequeno extrato
desta tabela, a qual fornece os valores de 𝑡𝛼 ;𝑣 para vários graus de liberdade sendo 𝑃 𝑇 ≥
𝑡𝛼 ;𝑣 = 𝛼. Por exemplo, 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡0,05;10 = 𝑃 𝑇 ≥ 1,812 = 0,05.
A tabela completa é fornecida no final da apostila
Graus de
liberdade
Probabilidade de T ser maior
que determinado valor
Pontos Percentuais da Distribuição t
47
Exercícios
1) Para uma distribuição T, determine:
a) P(T<2,365) quando = 7 b) P(-1,356<T<2,179) quando = 12; R.: 0,975 e 0,875
2) Um engenheiro químico afirma que a média populacional do rendimento de certo lote do
processo é 500 gramas por mililitro de matéria-prima. Para verificar essa afirmação, ele amostra
25 lotes a cada mês. Se o valor t calculado ficar entre −𝑡0,05;24 e 𝑡0,05;24 ele fica satisfeito com
sua afirmação. A que conclusão ele deveria chegar em relação a uma amostra que tem média 518
gramas por mililitro e desvio padrão 40 gramas? Assuma que a distribuição dos rendimentos é
aproximadamente normal. R.: O valor de t=((518-500)/(40/5))=2,25. Este valor está fora do intervalo [-1,711; 1,711].
12. Estimação
Os parâmetros em geral são desconhecidos. A inferência estatística consiste em, através
de uma amostra, ―estimar‖ os valores dos parâmetros, ou também testar se algumas hipóteses são
válidas sobre determinados parâmetros. Estes são os problemas da inferência paramétrica
conhecidos como problemas de estimação e testes de hipóteses, respectivamente.
Exemplos:
Problemas de estimação
1) Estimar a proporção de peças defeituosas num lote.
2) Estimar o peso médio de um determinado produto de uma linha de produção.
Problemas de testes de hipóteses
1) Testar a afirmação de que o peso médio de um determinado produto de uma linha de
produção é 500 g.
2) Testar a afirmação de que a proporção de peças defeituosas é menor que 4% do lote.
Exemplo 12.1: Queremos investigar a duração de vida de um novo tipo de lâmpada, pois
acreditamos que ela tenha duração maior do que as fabricadas atualmente.
Cem lâmpadas são deixadas acesas até queimarem. A duração em horas de cada lâmpada
(T) é registrada.
POPULAÇÃO: todas as lâmpadas fabricadas ou que venham a ser fabricadas por esta
fábrica.
AMOSTRA: cem lâmpadas selecionadas.
48
Em geral, neste tipo de problema é adotada a função de densidade exponencial para
duração T ~ exp ().
Objetivo: Fazer inferência sobre Vale lembrar que E(T) =
Existem dois tipos de estimação de um parâmetro populacional: estimação pontual e a
estimação intervalar.
12.1. Estimação Pontual
Procura encontrar um valor numérico único que esteja bastante próximo do verdadeiro
valor do parâmetro. Uma forma de obterestimadores pontuais é através do método da máxima
verossimilhança.
Método de Máxima Verossimilhança
Suponha que X seja uma variável aleatória com distribuição de probabilidade f(x, θ), em
que θ é o parâmetro desconhecido que desejamos estimar. Considere x1, x2, ..., xn os valores
observados em uma amostra aleatória, ou seja, estas observações são independentes e são
provenientes de uma mesma distribuição de probabilidade. Então, a função de verossimilhança
da amostra é
L(θ) = f(x1, θ) f(x2, θ)... f(xn, θ).
O estimador de máxima verossimilhança (EMV) de θ, 𝜃 , é o valor de θ que maximiza
L(θ). Isto é, o EMV de θ fornece o valor do parâmetro para o qual a amostra observada é mais
provável de ter sido gerada.
Tabela 12.1: Estimadores de Máxima Verossimilhança de algumas distribuições de
probabilidade.
Distribuição Estimador de Máxima Verossimilhança
X ~ Bin(n,p)
n = tamanho da
amostra
n
1i
ix
n
1
Xpˆ
X ~ Poisson()
n
1i
ix
n
1
Xˆ
X ~ Exp()
n
1i
ix
n
1
Xˆ
X ~ N(2)
μ = X =
1
n
xi
n
i=1 e 𝜎
2 =
𝑥𝑖−𝑥
2𝑛
𝑖=1
𝑛
49
Algumas vezes o método de máxima verossimilhança não nos fornece fórmulas explícitas para
estimar os parâmetros da distribuição. Este é o caso da distribuição de Weibull a qual necessita de
procedimentos numéricos iterativos para estimação dos seus parâmetros.
Existem outros métodos de estimação, tais como, método dos mínimos quadrados e dos
momentos. Assim, é necessário definir propriedades desejáveis para os estimadores de maneira
que se possa escolher qual estimador pontual de um determinado parâmetro é o melhor a ser
usado. Este assunto não será abordado nesta apostila.
Muito provavelmente uma estimativa pontual não coincide exatamente com o valor verdadeiro do
parâmetro que está sendo estimado e, além disto, esta estimativa não traz associada a ela uma
medida de sua precisão. Deste modo, a estimação intervalar pode ser usada.
12.2. Estimação Intervalar
Procura determinar um intervalo que abranja o valor do parâmetro, com certa margem de
segurança. Este procedimento permite julgar a magnitude do erro que podemos estar cometendo.
Como mencionado anteriormente, os estimadores pontuais especificam um único valor
para o estimador e este procedimento não permite julgar qual a possível magnitude do erro. Daí
surge à idéia de construirmos os intervalos de confiança. De um modo geral, nos basearemos na
amostra para construir um intervalo que com alto grau (ou nível) de confiança contenha o
verdadeiro valor do parâmetro.
Grau de confiança é a probabilidade do intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do
parâmetro. É também chamado de nível de confiança e geralmente expresso em porcentagem.
Formalizando um pouco, se denotarmos o parâmetro de interesse por , desejamos obter
um intervalo com limite inferior I e limite superior S tal que
P(I < < S) = 1 - ,
em que é um valor pequeno, ou seja 1- é próximo de 1. Os limites deste intervalo são
variáveis aleatórias pois dependem da amostra selecionada. Um intervalo deste tipo é
denominado intervalo de 1-(100)% confiança para o parâmetro .
50
Valores de mais comumente usados são:
= 0,10 1 – = 0,90 ou 90%
= 0,05 1 – = 0,95 ou 95%
= 0,01 1 – = 0,99 ou 99%
A precisão com que se conhece depende da amplitude deste intervalo dada por S – I.
Quanto menor esta amplitude melhor determinado estará o valor do parâmetro.
Para esclarecer o conceito de intervalo de confiança, suponha que retiremos um grande
número de amostras de tamanho n (fixo) da população em estudo e para cada amostra,
construamos um intervalo. Os limites dos intervalos resultantes variarão de amostra para amostra.
Por exemplo, ao desejar um intervalo de confiança de 90% para estimar a média de uma
população, uma pessoa pode retirar uma amostra que dê um intervalo entre 48,5 e 51,5. Por outro
lado, uma segunda pessoa, baseada em outra amostra retirada da mesma população, calculou o
intervalo entre 47,9 e 52,9, aparentemente gerando uma dúvida sobre qual dos intervalos contém
o verdadeiro valor da média. Ocorre que se 100 desses intervalos fossem calculados a partir de
100 amostras diferentes, deve-se esperar que em torno de 90 desses intervalos contenham o valor
da verdadeira média, embora não se saiba quais são estes intervalos, uma vez que a média é
desconhecida. Na prática trabalhamos em geral com apenas uma amostra e obtemos um único
intervalo.
A figura a seguir ilustra bem o conceito de intervalo de confiança.
O verdadeiro valor do parâmetro estará contido em 1-(100)% desses intervalos. Observe que
algumas estimativas intervalares incluem e outras não incluem o verdadeiro valor do parâmetro
da população. Quando se retira uma amostra e se calcula um intervalo de confiança, não se sabe
na verdade, se o parâmetro da população se encontra naquele intervalo calculado. O importante é
saber que se está utilizando um método com 1-(100)% de probabilidade de sucesso. Os
51
intervalos de confiança são construídos a partir da distribuição amostral de uma estatística. A
seguir são descritos alguns intervalos.
12.2.1. Intervalo de Confiança para a Média de uma População
A média é uma importante característica da população. Vejamos como obter intervalos
de confiança para este parâmetro populacional. Temos que distinguir algumas situações que
podem surgir na prática:
1. Amostras pequenas (n < 30)
População Normal
População não Normal
2. Amostras grandes (n 30)
População Normal
População não Normal
Para pequenas amostras os procedimentos estatísticos de inferência paramétrica exigem
que se verifique a normalidade da população e outras distribuições de probabilidade (por
exemplo a distribuição t de Student) devem ser estudadas a fim de utilizar os procedimentos
adequados. Além disso, se a normalidade não for aceitável, no caso de amostras pequenas,
devemos utilizar procedimentos alternativos, por exemplo, inferência não-paramétrica.
Para amostras suficientemente grandes os procedimentos simplificam bastante e
mesmo sem conhecermos a distribuição da população, as inferências podem ser feitas com
base na distribuição normal mesmo que a população não seja normal.
Amostras pequenas
1) Distribuição normal, 2 = o
2 (conhecido)
Esta situação é um tanto quanto rara na prática, pois embora a hipótese de normalidade
seja razoável em muitos casos, dificilmente se conhece a variância de uma população quando sua
média é desconhecida. Algumas vezes o conhecimento de 𝜎 pode provir de dados históricos
sobre a população de interesse ou de resultados obtidos em estudos similares ao que está sendo
realizado.
Sabemos que 𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
segue uma distribuição normal padrão. Assim,
1
/ 2222
z
n
X
zPzZzP
52
Neste caso o Intervalo de Confiança de 1-(100)% para é dado por:
n
zX
n
zX oo
22
,
Ilustração do nível de confiança de 95%.
Exemplo 12.2: Um pesquisador está estudando a resistência média de um determinado material.
Ele sabe que esta variável é normalmente distribuída com desvio padrão de 2 unidades.
Utilizando os valores 4,9; 7,0; 8,1; 4,5; 5,6; 6,8; 7,2; 5,7; 6,2 unidades obtidos de uma amostra de
tamanho 9, determine o intervalo de confiançapara a resistência média com um nível de
confiança de 95%.
Temos que
2,6X
, n=9, e para obtermos um intervalo de 95% de confiança
zSubstituindo estes valores na fórmula acima, obtemos
[6,222 – 1,96
9
2
; 6,222 + 1,96
9
2
] = [4,915 , 7,529]
Então podemos afirmar com 95% de confiança que a resistência média () do material está entre
4,915 e 7,529 unidades.
2) Distribuição normal, 2 desconhecido
Neste caso, utilizamos que a distribuição amostral da estatística 𝑇 = (𝑋 − µ)/(𝑠/ 𝑛) é a
distribuição t com n-1 graus de liberdade. O intervalo de confiança para a média µ é obtido de
53
1
1,
2
1,
2
1,
2
1,
2
nnnn
t
nS
X
tPtTtP
Neste caso o Intervalo de Confiança de 1-(100)% para é dado por:
n
s
tX
n
s
tX
nn 1,
2
1,
2
;
Exemplo 12.3: O consumo diário de alimentos observado em certa amostra da população é, em
calorias (x100), igual a: 10; 11; 11; 12; 13; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 14; 15; 15; 16; 16. Construir
um intervalo de confiança para a média com um nível de confiança de 90%.
Solução:
n
s
tX
n
s
tX
nn 1,
2
1,
2
;
4
7404,1
4
7404,1
Com 90% podemos afirmar que o consumo médio de calorias, na população da qual essa amostra
foi retirada, está entre 12,543 e 14,073.
Amostras Grandes - População normal ou não-normal
Se n é suficientemente grande (em geral, n > 30), mesmo sem conhecermos a
distribuição da população, os limites do Intervalo de Confiança para a média () poderão ser
calculados com base na distribuição Normal padrão. Da mesma forma podemos utilizar o desvio
padrão amostral s no lugar de (desvio-padrão populacional). Neste caso o Intervalo de
Confiança para a média é dado por:
n
s
zX
n
s
zX
22
;
Exemplo 12.4: Resistência à tração de 31 corpos de prova (ordenados).
131; 132; 134; 135; 136; 135; 138; 139; 140; 142; 143; 144; 144; 145; 146; 146; 147; 147; 148;
149; 150; 150; 151; 151; 152; 152; 153; 153; 154; 160; 160.
Estabelecer um intervalo de confiança de 95% para a média populacional.
54
Solução:
Temos que,
X
= 145,39 e s = 7,75
Como o tamanho da amostra já pode ser considerado suficientemente grande para uma
aproximação normal, o intervalo de confiança para a média populacional é:
n
s
zX
n
s
zX
22
;
=
31
75,7
31
75,7
Podemos então afirmar que com nível de confiança de aproximadamente de 95% a resistência
média do concreto está entre 142,66 e 148,12 kg/cm2.
Exemplo 12.5 (Werkema, 1996): Um dos principais produtos de uma empresa siderúrgica é a
folha-de-flandes com têmpera T4 RC, que é uma folha de aço de baixo teor de carbono, revestida
em ambas as faces com uma camada de estanho, empregada principalmente na fabricação de
recipientes utilizados para o acondicionamento de alimentos.
Os limites de especificação para a dureza final das folhas-de-flandres são:
LIE = 58,0 HR e LSE = 64,0 HR,
em que LIE e LSE representam os limites inferior e superior de especificação, respectivamente, e
HR representa a unidade de dureza definida como índice de dureza Rockwell.
Nos últimos meses ocorreu um aumento da produção de folhas-de-flandres com dureza final fora
da faixa de especificação. A empresa concentrou sua atenção no processo de RECOZIMENTO
CONTÍNUO (RC), por ser este o principal processo responsável pela dureza das folhas-de-
flandres. Como foi verificado que o processo estava sob controle estatístico, a indústria decidiu
estimar a dureza média das folhas-de-flandres (), a variabilidade das medidas de dureza (), a
proporção de folhas-de-flandres com dureza fora da faixa de especificação. Com este objetivo,
foram coletados 50 observações da dureza das folhas-de-flandres produzidas pela empresa, que
estão listadas abaixo:
Medidas de dureza (HR) das folhas-de-flandres fabricadas pela indústria siderúrgica
61,0 61,0 60,3 60,2 58,7 60,0 60,0 60,9 61,2 59,1
60,0 59,3 59,8 60,1 58,6 59,6 60,5 60,5 60,2 60,5
60,5 60,1 60,7 60,3 60,8 59,9 60,1 60,2 60,6 61,0
60,0 61,1 59,8 60,1 60,8 60,7 60,0 59,8 59,0 60,0
60,2 60,8 61,6 59,8 60,4 60,2 59,7 60,3 60,4 60,2
Dureza média das folhas-de-flandres:
n
1i
ix
n
1
x
= 60,212 HR
55
Desvio padrão: S = 0,6107 HR
Proporção amostral de folhas-de-flandres com dureza fora da faixa de especificação
(58,0 – 64,0 HR):
00,0pˆ
A equipe de trabalho da empresa suspeita que a dureza média da folha-de-flandres (),
resultante do processo de recozimento contínuo, é diferente do valor nominal da especificação
(61,0 HR).
A equipe técnica da indústria passou a ter a seguinte dúvida: a obtenção do resultado
61,0 60,2 x
já era suficiente para que se pudesse concluir, com bastante segurança, que o
processo de recozimento contínuo estava centrado abaixo do valor nominal da especificação ?
Essa dúvida pode ser solucionada por meio da construção de um intervalo de confiança para a
dureza média () das folhas-de-flandres produzidas pelo processo:
60,21 1,96 x
50
61,0
[60,04 ; 60,38] HR
O intervalo de confiança não contém o valor nominal da especificação (61,0 HR). Portanto, a
equipe técnica da indústria pode concluir, com 95% de confiança, que o processo estava centrado
abaixo do valor nominal e então, deve-se passar a estudar o processo de recozimento contínuo
para descobrir as causas deste deslocamento.
12.2.2. Intervalo de Confiança para uma Proporção Populacional
Em muitas situações pode ser de interesse construir um intervalo de confiança para a
proporção de elementos da população que possuem alguma característica de interesse (p).
Seja X o no de elementos de uma amostra de tamanho n que apresenta a característica de
interesse. Já vimos que um estimador de p é :
n
X
p ˆ
Se o tamanho da amostra for suficientemente grande, é possível construir um intervalo
de (1-)100% de confiança para p, baseado em 𝑍 =
𝑝 − 𝑝
𝑝(1−𝑝)/𝑛
que segue uma distribuição
normal padrão. Portanto, temos que
1
)1(
)(
2/2/
22
z
pp
ppn
zPzZzP
56
Como o valor de p não é conhecido, uma solução é substituir 𝑝(1 − 𝑝) por 𝑝 (1 −
𝑝 ). Assim, o intervalo de confiança de 1-(100)% para a proporção populacional p é dado por:
n
)pˆ1(pˆ
zpˆ;
n
)pˆ1(pˆ
zpˆ
22
.
Exemplo 12.6: Examinam-se 98 animais, encontrando-se 53 infectados com determinado vírus.
Construir um intervalo de 95% de confiança para a proporção p de animai infectados.
Solução:
n = 98 (pode ser considerada grande)
541,0
98
53
ˆ p
459,0)ˆ1( p
= 0,05 e
96,1
2
z
12.2.3. Intervalo de Confiança para a Variância e o Desvio Padrão
de uma População Normal
Suponha que a população de interesse tenha distribuição normal com média µ e variância
𝜎2 e que desta população foi extraída uma amostra aleatória de tamanho n. A partir do resultado
que a distribuição amostral da estatística é a distribuiçãoqui-quadrado com n-1
graus de liberdade. Temos que,
.
Neste contexto, um intervalo de confiança para 𝜎2 de 100(1-α)% de confiança é
O intervalo de confiança para o desvio padrão é obtido extraindo a raiz quadrada dos limites
de confiança do intervalo para a variância.
57
Exemplo 12.7: Voltando ao exemplo 12.5. Construa um intervalo de confiança para o desvio
padrão da dureza de folhas-de-flandres. Suponha que a dureza siga uma distribuição normal.
(α=5%)
Solução: Intervalo de confiança para a variância
HR2.
Então, é o intervalo de confiança para o desvio padrão. Assim, podemos
afirmar com 95% de confiança que o desvio padrão da dureza está entre e HR.
Observação: No gerenciamento de processos são muito comuns as situações em que desejamos
comparar dois grupos de interesse, mantendo o controle dos riscos associados ao estabelecimento
de conclusões incorretas. Consideremos por exemplo uma indústria que opera duas linhas de
produção. Muito provavelmente os técnicos da empresa terão interesse em comparar as duas
linhas, com o objetivo de verificar se estão trabalhando de forma similar. As comparações de dois
grupos geralmente podem ser traduzidas, na linguagem estatística, em comparações de duas
médias, duas variâncias ou duas proporções. Este assunto não será abordado nesta apostila.
13. Noções de Testes de Hipóteses
Outro tipo de problema da Inferência Estatística é o de testar se uma conjectura sobre
determinada característica de uma ou mais populações é, ou não, apoiada pela evidência obtida de
dados amostrais.
Conjectura hipótese estatística
Regra de decisão teste de hipóteses
Alguns exemplos:
1. Testar se um novo tipo de fertilizante é melhor que o fertilizante padrão.
2. Testar se um método de preservar alimentos é melhor que outro, no que diz respeito à
retenção de vitaminas.
3. Determinar qual de dois tratamentos é mais eficiente (problema de duas amostras).
4. Testar se um novo método de fabricação de lâmpadas aumentará o tempo médio de vida
das lâmpadas.
Consideremos o exemplo das lâmpadas. Suponha que no processo padrão o tempo de
vida médio é conhecido e igual a 1600 horas.
58
Objetivo: testar se o novo processo de fabricação é melhor do que o processo padrão.
Modelo:
Duas populações de lâmpadas:
POP1 – lâmpadas fabricadas pelo processo padrão;
POP2 – lâmpadas fabricadas pelo novo processo.
Informação anterior: Tempo de vida médio das lâmpadas fabricadas pelo processo padrão é de
1600 horas.
Pergunta: O tempo de vida médio das lâmpadas fabricadas pelo novo processo é maior que 1600
horas?
Procedimento:
1. Estabelecer duas hipóteses:
H0) o novo processo não é melhor que o padrão;
H1) o novo processo é melhor que o padrão.
2. Selecionar lâmpadas fabricadas pelo procedimento novo, medir seus tempos de vida e
calcular o tempo de vida médio,
X
, observado na amostra.
3. Suponha que foi selecionada uma amostra de 100 lâmpadas que apresentou
1630x
horas
e S=120 horas. O resultado parece indicar que o novo procedimento é melhor.
Calculando-se o intervalo de confiança de 95% para o tempo de vida médio do processo novo
obteve-se:
(1606,48; 1653,52)
Ou seja, temos evidência de que o novo processo é melhor, uma vez que a média do processo
padrão, 1600, não é um valor possível para a média do novo processo ( o valor de 1600 horas não
está contido no intervalo). Logo, tomaríamos a decisão de rejeitar a hipótese H0.
Obs: Note que os testes de hipóteses são muito relacionados com o problema de estimação por
intervalo.
13.1. Hipótese nula e hipótese alternativa
Em geral devemos decidir entre duas hipóteses. Denominaremos essas hipóteses de
H0 hipótese nula
H1 hipótese alternativa
59
No exemplo das lâmpadas se é a média do tempo de vida das lâmpadas fabricadas pelo novo
processo, então:
H0) 1600
H1) > 1600
13.2. Erro tipo I e Erro tipo II
Qualquer que seja a decisão tomada em um teste de hipóteses, estamos sujeitos a cometer
dois tipos de erro, que são descritos na tabela a seguir:
Conclusão do teste
Situação da população
H0 verdadeira H0 falsa
Não rejeitar H0 Correto Erro tipo II
Rejeitar H0 Erro tipo I Correto
Em linguagem matemática,
𝛼 ≥ 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐼 = 𝑃 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑟 𝐻0 |𝐻0 é 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 ,
𝛽 = 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐼𝐼 = 𝑃 𝑁ã𝑜 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑟 𝐻0 |𝐻0 é 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎 .
Voltando ao exemplo das lâmpadas, o erro tipo I seria aprovar o novo processo de
fabricação quando na realidade ele não é superior e o erro tipo II seria rejeitar o novo processo
de fabricação quando é, de fato, melhor.
Suponha agora que o pesquisador decide adotar a seguinte regra de decisão:
Rejeitar Ho se
X
for maior que 1620.
Quando H0 é verdadeira,
𝛼 ≥ 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐼 = 𝑃 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑟 𝐻0 |𝐻0 é 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 = 𝑃 𝑋 > 1620 𝜇 ≤ 1600).
Por exemplo, considere µ = 1580. Logo,
𝑃 𝑋 > 1620 𝜇 = 1580) = 𝑃 (𝑋 − 1580)/12 > (1620 − 1580)/12 = 𝑃 𝑇 > 3,33 =
0,0006, em que T possui distribuição t de Student com 99 graus de liberdade.
Observe na Figura 13.1 que essa probabilidade atinge o valor máximo para µ = 1600.
60
Figura 13.1: Probabilidade do erro tipo I para o exemplo das lâmpadas.
A probabilidade do erro tipo II pode ser calculada como
𝛽 = 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐼𝐼 = 𝑃 𝑁ã𝑜 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑟 𝐻0 |𝐻0 é 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎 = 𝑃 𝑋 ≤ 1620 𝜇 > 1600),
a qual pode ser calculada de maneira similar a probabilidade do erro tipo I.
É fundamental que, em cada caso, se saiba qual são os erros possíveis e que se decida a priori
qual é o mais sério. Não é possível controlar ambos os erros ao mesmo tempo. Quando
diminuímos muita a probabilidade de erro tipo I, aumentamos a probabilidade do erro tipo II e
vice-versa. Assim, a decisão de rejeitar H0 é equivalente à opinião ―H0 é falsa‖ e a decisão de
aceitar H0 não é equivalente à opinião ―H0 é verdadeira‖. Neste caso a opinião adequada é a de
que os dados não contêm evidência suficientemente forte contra H0.
13.3. Nível de significância e Poder
O valor de é fixado pelo pesquisador. Esta probabilidade recebe o nome de nível de
significância do teste. Usualmente, esses valores são fixados em 5%, 1% ou 0,1%. O valor 1- é
chamado poder do teste. O poder do teste é a capacidade deste de detectar que H0 é falsa quando
de fato esta hipótese é falsa. No caso das lâmpadas, o poder do teste seria a probabilidade deste
aceitar o novo processo de fabricação (rejeitar H0) quando este for realmente melhor, isto é,
1 − 𝛽 = 𝑃 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑟 𝐻0 |𝐻0 é 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎 = 𝑃 𝑋 > 1620 𝜇 > 1600). A Figura 13.2 ilustra o
poder do teste para o exemplo das lâmpadas.
61
Figura 13.2: Poder do teste para o exemplo das lâmpadas.
13.4. Estatística de teste e região crítica
A decisão entre as hipóteses é tomada com base nos dados de uma amostra extraída da
população. No exemplo das lâmpadas, vimos que o pesquisador decidiu adotar a seguinte regra
de decisão:
Rejeitar Ho se
X
for maior que 1620
Neste caso,
X
está sendo usada como estatística de teste e a região crítica ou região de rejeição
corresponde aos valores que forem maiores que 1620, isto é, [1620, ∞).
13.5. Nível Descritivo ou p-valor
O procedimento descrito anteriormente é conhecido como procedimento clássico de testes
de hipóteses.Um outro procedimento que vem sendo muito adotado consiste em
apresentar o p-valor do teste. A diferença básica entre esses dois procedimentos é que,
trabalhando-se com o p-valor não é necessário construir a região crítica. Vejamos o seguinte
exemplo:
Suponha que no caso das lâmpadas foi obtido
X
= 1590 para uma amostra de 100 lâmpadas. O
pesquisador calcula a seguinte probabilidade:
𝑃 𝑋 > 1590 𝜇 = 1600) = 𝑃 (𝑋 − 1600)/12 > (1590 − 1600)/12 =
𝑃 𝑇 > −0,83 = 0,80.
62
O valor desta probabilidade é chamado de p-valor e neste exemplo, indica a probabilidade
de uma população com média 1600 gerar uma amostra de tamanho 100 que tenha média igual ou
maior que o resultado observado. Caso esta probabilidade seja muito pequena devemos suspeitar
da veracidade da hipótese nula e portanto ―rejeitar‖ que ≤ 1600.
Procedimento para a decisão com o p-valor
1. Escolher o máximo valor tolerável para a probabilidade do erro do tipo I ().
2. Se o p-valor for menor que o adotado, então deve-se rejeitar a hipótese nula .
A saída dos pacotes estatísticos apresenta o p-valor.
Resumo:
Regra de decisão
p-valor > não rejeitar
p-valor rejeitar
13.6. Testes de Hipóteses para Média Populacional
A média de uma população é uma de suas características mais importantes e frequentemente
temos que tomar decisões a seu respeito. Vamos denotar um valor fixo qualquer por 0.
Consideremos as diversas hipóteses que podem ocorrer num teste de hipóteses para médias:
Hipóteses unilaterais
ou versus H1)
ou versus H1)
Hipótese Bilateral
versus H1)
Distribuição normal, 2 desconhecido
Neste caso, como vimos em Intervalo de Confiança precisamos usar o desvio padrão amostral S
para estimar , e utilizaremos a distribuição t de Student para encontrar a região crítica do teste
ou calcular o p-valor. A estatística de teste é:
n
S
μX 0
63
Vejamos as regras de decisão para cada tipo de hipótese considerada:
1.u versus H1)
Rejeitar H0 se
1-nα,
0 t
n
s
μx
ou versus H1)
Rejeitar H0 se
1-nα,
0 t
n
s
μx
versus H1)
Rejeitar H0 se
1;
2
0 t
n
s
μx
n
Exemplo 13.2: O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos.
Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma
amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da
amostra foi 85 minutos, e o desvio padrão foi 12 minutos. Estes resultados trazem evidências
estatísticas da melhora desejada? Apresente as suposições teóricas usadas para resolver problema.
Solução: As hipóteses a serem testadas são
versus H1)
Vejamos as estatísticas descritivas da amostra: média 85 e desvio padrão 12.
Temos que = 0,05 e n = 16. Portanto
1,t n
= 1,753. A região crítica é
Rejeitar H0 se
1,
0 t
n
s
μx
n
Vamos substituir os valores:
Rejeitar H0 se
-1,753
16
12
00185
64
Como o valor observado foi -5 e pertence à região crítica, a decisão deve ser de rejeitar H0, e
concluímos que existe evidência de que o tempo médio de execução é menor que 100 minutos.
Suposição: Variável tempo segue distribuição Normal.
Tamanho da amostra é suficientemente grande
Assim como vimos no caso dos Intervalos de Confiança, podemos utilizar a distribuição
normal para encontrar a região crítica do teste ou calcular o p-valor. Vejamos as regras de decisão
para cada tipo de hipótese considerada:
u versus H1)
Rejeitar H0 se
α
0 z
n
S
μ
X
ou versus H1)
Rejeitar H0 se
α
0 z
n
S
μX
versus H1)
Rejeitar H0 se
2
0 z
n
S
μ
X
Exemplo 13.3: Uma rede de pizzarias deseja testar com nível de 5% de significância se o teor
médio de gordura em peças de salame produzidas por determinada indústria de alimentos é igual
a 15%. De um grande lote retirou uma amostra de 50 peças de salame e os resultados estão a
seguir:
19,8 23,4 13,6 6,6 13,7 5,2 14,3 13,3 12,2 14,3 8,5 15,8 16,0
18,3 28,7 11,6 16,4 14,4 26,2 17,0 6,5 10,0 24,5 34,9 19,1 6,9
19,5 11,0 8,9 10,6 9,5 14,0 6,0 18,0 10,8 16,7 18,4 10,1 12,3
6,5 25,4 15,3 12,1 13,1 7,7 17,4 10,7 24,1 14,0 21,4
As hipóteses a serem testadas são
65
versus H1)
Vejamos as estatísticas descritivas da amostra:
Teor de Gordura
Média 14,894
Desvio padrão 6,3871
Temos que = 0,05 e portanto
2
z
= 1,96. A região crítica é
Rejeitar H0 se
2
0 z
n
S
μX
Vamos substituir os valores:
Rejeitar H0 se
2
z
50
6,3871
15894,14
Assim, rejeitaremos H0 se
2
z1174,0
Como o valor observado foi 0,1174, que não pertence à região crítica, a decisão deve ser de não
rejeitar H0, e concluímos que não existe evidência de que o teor de gordura nas peças de salame
produzidas pela indústria seja diferente de 15%.
Usando um pacote estatístico:
Variável n Média Erro padrão t p-valor
Teor de Gordura 50 14,894 0,903 -0,12 0,91
Exemplo 13.4: Iremos utilizar teste de hipótese para solucionar a dúvida da equipe técnica da
indústria siderúrgica: pode-se concluir, com bastante segurança, que o processo de recozimento
contínuo estava centrado abaixo do valor nominal da especificação (61,0 HR)? Essa dúvida pode
ser solucionada por meio da realização de teste de hipótese para a dureza média () das folhas-
de-flandres produzidas pelo processo:
As hipóteses a serem testadas são
≥versus H1)
66
Temos que = 0,05 e portanto
z
= 1,65. A região crítica é
Rejeitar H0 se
α
0 z
n
S
μX
Vamos substituir os valores:
z
50
0,611
16212,06
Assim, rejeitaremos H0 se
z12,9
Como o valor observado foi -9,12, que pertence à região crítica, a decisão deve ser de rejeitar H0,
e concluímos que existe evidência de que a dureza média nas peças produzidas pela indústria seja
inferior a 61.
13.7. Teste para Proporções
Quando trabalhamos com grandes amostras vimos que a distribuição amostral das
proporções se aproxima da distribuição normal. Se p é a proporção populacional e p0 um valor
fixo. A estatística de teste é :
n
qp
ppˆ
00
0
Vamos considerar os seguintes testes:
1.pp ppversus H1) pp
Rejeitar H0 se
α
00
0 z
n
qp
ppˆ
2.ppu ppversus H1) pp
Rejeitar H0 se
α
00
0 z
n
qp
ppˆ
67
3.ppversus H1) pp
Rejeitar H0 se α/2
00
0 z
n
qp
ppˆ
Exemplo 13.5: A fábrica A de automóveis afirma que 60% dos consumidores compram carros
produzidos por ela. Uma fábrica concorrente deseja testar a veracidade desta afirmação. Para isso
decide realizar uma pesquisa por amostragem com 300 proprietários de veículos.
Solução: Hipóteses a serem testadas
H0) p = 0,60
H1) p < 0,60
p = proporção de consumidoresque compram carros produzidos pela fábrica A.
A hipótese alternativa foi definida desta forma, pois se espera uma proporção menor,
nunca maior. Observe que a hipótese alternativa não foi influenciada pelo resultado da pesquisa.
Vamos fixar = 5% e como a amostra é grande podemos utilizar aproximação normal e o
teste 2 dado acima.
Suponha agora que os resultados da pesquisa apontaram 165 proprietários de carros da
fábrica A, isto equivale a uma proporção amostral (
pˆ
) de 55% pois
pˆ
=
550
300
165
,
Portanto devemos rejeitar H0 se
α
00
0 z
n
qp
ppˆ
.
Como = 5%, z = 1,645 e
645,177,1
300
40,060,0
60,055,0
n
qp
ppˆ
00
0
logo rejeitamos H0 e concluímos que há evidências de que a proporção de consumidores da
fábrica A é inferior a 60% com 95% de confiança.
13.8. Teste de Hipóteses para a variância de uma População
Considere que uma amostra aleatória de tamanho n tenha sido extraída de uma população
com distribuição normal com média µ e variância σ2. O interesse é testar uma hipótese sobre a
variância σ2, que é estimada por:
68
Suponha as seguintes hipóteses do tipo bilateral
1.𝜎2 = 𝜎0
2 versus H1) 𝜎2 ≠ 𝜎0
2
A estatística de teste a ser usada é:
𝜒0
2 =
𝑛 − 1 𝑆2
𝜎0
2
em que 𝜒0
2 tem distribuição Qui-Quadrado com (n-1) graus de liberdade, supondo que a hipótese
nula seja verdadeira.
Para um nível de significância α, a regra de decisão é dada por:
Rejeitar se χ0
2 < χ 1− α/2; n−1
2 ou χ0
2 > χ α/2; n−1
2
Para a realização dos testes unilaterais é análogo ao que foi apresentado para o teste bilateral.
2.𝜎2 = 𝜎0
2 versus H1) 𝜎2 > 𝜎0
2
Rejeitar H0 se χ0
2 > χ α; n−1
2
3.𝜎2 = 𝜎0
2 versus H1) 𝜎2 < 𝜎0
2
Rejeitar H0 se χ0
2 < χ 1−α ; n−1
2
Exemplo 13.8: Uma linha de montagem produz peças cujos pesos, em gramas, obedecem ao
modelo normal com variância de 30 g
2
. Os equipamentos foram modernizados e, para verificar se
o processo continua sob controle, foi tomada uma amostra de 23 peças, que forneceu uma
variância de 40 g
2. Existem evidências indicando que a variância mudou, considerando α=5%?
As hipóteses a serem testadas são:
σ
= 30 g2versus H1) σ
30 g2.
Temos que,
χ0
2 =
22(40)
30
= 29,33.
Usando = 5% é obtido a partir da tabela da distribuição qui-quadradro os seguintes resultados:
χ
α
2
; n−1
2 = χ 2,5%; 22
2 = 36,78
69
χ
1−
α
2
; n−1
2 = χ 97,5%; 22
2 = 10,98
Portanto deve ser rejeitada se
χ0
2 < 10,98 ou χ0
2 > 36,78
Como o valor observado foi 29,33, que não pertence à região crítica, a decisão deve ser de não
rejeitar H0, e concluímos que não existem evidências de que a variância do peso das peças mudou
para um valor diferente de 30 g
2
.
6
a
LISTA DE EXERCICIOS
1) De sua opinião sobre os tipos de problemas que surgirão no seguinte plano de amostragem.
Para investigar a proporção de estudantes da UFU, favoráveis à mudança do início das
atividades das 7:10 h para as 8:00 h, decidiu-se entrevistar os 30 primeiros estudantes que
chegassem no bloco 4K, na segunda – feira. R: Não representa a população. Somente um dia, em um prédio e único
horário.
2) Com o objetivo de realizar uma pesquisa de mercado entre homens consumidores de cigarros,
residentes em Salvador, no mês de abril de 2010, foram consultados 200 homens casados,
com 40 anos ou mais, consumidores de cigarros com filtro, em Porto Alegre no mês de abril
de 2010.
a) Identifique a população e a amostra considerada. R: População: Homens fumantes residentes em Porto Alegre
e amostra: 200 homens casados, com 40 anos ou mais, consumidores de cigarros com filtro.
b) Comente sobre a representatividade da amostra considerada.R: Não representa a população, pois foi
pesquisados apenas homens casados com 40 anos ou mais.
3) Suponha que uma população apresenta grande variabilidade em relação a uma determinada
característica de interesse. Esta população é, então, dividida em 4 grupos homogêneos para a
característica de interesse, com tamanhos, respectivamente, N1 = 90, N2 =120; N3 = 60 e N4 =
480.
c) Determine qual a técnica de amostragem mais adequada a ser utilizada?
d) Pretende-se retirar uma amostra aleatória simples com reposição de 100 elementos da
população. Quantas amostras devem ser retiradas de cada grupo, supondo que será
retirada uma amostra proporcional ao tamanho dos grupos?
a)R: Amostragem estratificada b) n1=12, n2=16, n3=8 e n4=64
70
4) Nos itens apresentados adiante, identifique qual o tipo de amostragem mais adequado a ser
utilizado em cada situação.
a) Ao escalar um júri um tribunal de justiça decidiu selecionar aleatoriamente 4 pessoas
brancas, 3 morenas, e 4 negras.
b) Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador do Brasil, em cartões separados,
mistura e extraí 10 nomes.
c) Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que estão na fila de espera
para serem atendidas pelo sistema SUS, entrevistando uma a cada 10 pessoas da fila. R: a) :
Estratificada ; b) : Aleatória simples sem reposição, c) Amostragem sistemática.
5) Analise as situações descritas abaixo e decida se a pesquisa deve ser feita por amostragem ou
por censo, justificando sua resposta.
a) Numa linha de produção de empacotamento de café, observar o peso dos pacotes
produzidos.
b) Em uma sala de aula composta por 40 alunos, analisar suas idades.
c) Observar se a água de uma lagoa está contaminada.
d) Verificar a carga horária diária de trabalho dos 20 funcionários da cozinha de um
restaurante
e) Pesquisa de opinião eleitoral para um candidato a governador do estado da Bahia.
R.a)Amostragem, b)Censo, c)Amostragem, d)Censo, e)Amostragem
6) Para se ajustar uma máquina, a correia deve ter entre 60 e 62 cm de comprimento. Tendo em
vista o processo de fabricação, o comprimento destas correias pode ser considerado como
uma variável aleatória com distribuição normal, de média 60,7 e desvio padrão 0,8 cm. Um
grande revendedor dessas correias estabelece um controle de qualidade nos lotes que compra
da fábrica: ele sorteia 4 correias do lote e só aceita o lote se o comprimento médio estiver
dentro do tamanho aceito pela máquina. Calcule a probabilidade de aceitação do lote. R: 0,9594
7) Um processo de encher garrafas de vinho fornece 10% de garrafas com volume abaixo do
especificado. Extraída uma amostra aleatória de 400 garrafas enchidas por esse processo, qual
a probabilidade de a proporção amostral de garrafas com volume abaixo do especificado
esteja entre 9% e 11%? R: 0,4971
8) Para uma distribuição qui-quadrado, determine 𝜒𝛼 ;𝑣
2 , de modo que:
𝑃 𝜒2 > 𝜒𝛼 ;4
2 = 0,99
a) 𝑃 37,65 < 𝜒2 < 𝜒𝛼 ;25
2 =0,045 R: a) 0,297 b) 46,928
9) Dada uma amostra de tamanho 24 de uma distribuição normal, determine k de modo que:
a) P(-2,069<T<k)=0,965
b) P(k<T<2,807)=0,095
71
c) P(-k<T<k)=0,90
R: a) 2,5; b) 1,319; c) 1,7139
10) Se recolhesse 200 amostras de dimensão 40 a partir da mesma população, de modo que com
elas construísse 200 intervalos de confiança a 99%, quantos destes intervalos esperariam que
contivessem o verdadeiro valor da proporção de estudantes em análise? R:198
11) Interprete e comente as afirmações abaixo:
a) ―A média de salário inicial para recém–formados emEngenharia está entre 7 e 9 salários
mínimos, com confiança de 95% ‖
b) ―Quanto maior for o tamanho da amostra, maior é a probabilidade de a média amostral
está próxima da verdadeira média populacional‖.
R: a)O intervalo, acompanhado da confiança, é a forma correta de apresentar a informação. A verdadeira média está contida no intervalo
com 95% de confiança. Não confundir confiança com probabilidade. b) A afirmação está correta.
12) Num estudo de mercado foi encontrado o seguinte intervalo de confiança a 95% para a
proporção de pessoas receptivas a um novo tipo de espuma de banho a lançar em breve no
mercado: ]52%; 61%[ . Comente as seguintes afirmações, indicando se estas lhe parecem
corretas ou incorretas:
a) 95% das pessoas vão passar a usar a nova espuma de banho.
b) A probabilidade da nova espuma de banho alcançar uma quota de mercado de 50% é de
0.95.
c) A quota de mercado poderá ser, com 95% de confiança, de 56.5% (valor intermédio do
intervalo);
d) O resultado obtido indica apenas que é oportuno proceder ao lançamento da nova espuma
de banho.
R: a) incorreta; b) incorreta ; c) incorreta d) correta
13) Um provedor de acesso à Internet está monitorando a duração do tempo das conexões de seus
clientes, com o objetivo de dimensionar seus equipamentos. Mais especificamente, deseja
estimar a proporção P de usuários que demoram 60 minutos ou mais para realizarem suas
operações. Uma amostra aleatória de clientes que utilizam esse provedor foi coletada e o
tempo de utilização de cada um foi registrado, fornecendo as seguintes medidas desse tempo
(em minutos):
25 28 28 40 52 15 120 34 65 78 42 16 44
27 22 36 50 80 15 45 23 34 14 58 32 90
72
133 48 19 17 28 39 15 40 33 68 27 37 42
59 62 73 24 28 40 70 19 46 43 31 60
a) Dê uma estimativa pontual para proporção de usuários que demoram 60 minutos ou mais
para realizarem suas operações.
b) Construa uma estimativa intervalar com 95% de confiança para proporção de usuários
que demoram 60 minutos ou mais para realizarem suas operações. R: a) 0,22; b) [0,107; 0,334]
14) O consumo de combustível é uma variável aleatória com parâmetros dependendo do tipo de
veículo. Porém, precisamos de informações sobre o consumo médio. Para tal coletamos uma
amostra de 40 automóveis desse modelo e observamos o seu consumo.
a) Quem seria um estimador pontual do consumo médio para todos dos automóveis desse
modelo?
b) Se a amostra forneceu um consumo médio de 9,3 km/l e desvio padrão de 2 km/l.
Construa um intervalo de confiança de 94% para a média de consumo desses carros.
c) Se a amplitude de um intervalo de confiança, construído a partir dessa amostra, é de 1,5
km/l; qual teria sido o coeficiente de confiança.
R: a) Média amostral; b)[8,71; 9,89], c)98,22%
15) Uma empresa fabricante de pastilhas para freios efetua um teste para controle de qualidade de
seus produtos. Selecionou-se uma amostra de 600 pastilhas, das quais 18 apresentaram níveis
de desgaste acima do tolerado. Construa um intervalo de confiança para a proporção de
pastilhas com desgaste acima do tolerado, com um grau de confiança de 95%. R: [0,028%; 0,032%]
16) Um fabricante sabe que a vida útil das lâmpadas que fabrica tem distribuição
aproximadamente normal com desvio padrão de 200 horas. Para estimar a vida média das
lâmpadas, tomou uma amostra de 400 delas, obtendo vida média de 1.000 horas.
a) Construir um intervalo de confiança para ao nível de 1%;
b) Qual o valor do erro de estimação cometida em a?
c) Qual o tamanho da amostra necessária para se obter um erro de 5 horas, com 99% de
probabilidade de acerto?
R: a)[974,2 ; 1025,8 ] ; b) 25,8 hs; c) 10609
17) No total de 40 estabelecimentos que se dedicam ao mesmo ramo de comércio, foram obtidos
os seguintes dados, relativos aos gastos mensais, em unidades de R$ 1.000,00.
73
29 6 34 12 15 31 34 20 8 30 8 15 24 22 35 31 25 26 20 10
30 4 16 21 14 21 16 18 20 12 31 20 12 18 12 25 26 13 10 5
a) Calcule os parâmetros média e desvio padrão. R:Média=19,475 e Desvio padrão=8,756.
b) Selecione desta população uma amostra simples ao acaso de 30 elementos e calcule a
média e o desvio padrão amostral. R:Para selecionar a amostra utilize algum mecanismo aleatório (tabela de número
aleatório, excel, etc.). Não conseguindo fazer peça ajuda do professor.
18) De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retirou-se uma amostra aleatória de 400
válvulas, obtém-se o tempo de vida útil das válvulas, em horas. Os resultados estão adiante.
Tempo de vida útil das válvulas Número de válvulas
500 |-- 600 27
600 |-- 700 94
700 |-- 800 151
800 |-- 900 97
900 |-- 1000 31
Total 400
a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
b) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na estimativa 752,75
7,84? R: a) [739,5 ; 766,0] , b) 663
19) Uma unidade fabricante da Intel produziu 500.000 chips Pentium IV em certo período. São
selecionados, aleatoriamente, 400 chips para teste.
a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construir o
intervalo de confiança para a proporção de chips adequados. Use um nível de confiança
de 95%.
b) Verifique se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99% de confiança, com
erro máximo de 0,5%, para proporção de chips adequados. Caso contrário, qual deveria
ser o tamanho da amostra? R: a) [92,9%; 97,1%] b)12.599
20) Uma amostra de 28 peças forneceu os seguintes pesos:
250 265 267 269 271 275 277 281 283 284
287 289 291 293 293 298 301 303 306 307
307 309 311 315 319 322 324 328
Considere que a variável peso seja normalmente distribuída. Por meio da construção do Intervalo
de Confiança, responder se esta amostra satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser
300 Kg. Adote = 5%. R: a)[285,98; 301,51]
74
21) Suponha uma amostra aleatória de 10 contas correntes em uma grande loja de uma cadeia,
com um saldo devedor médio de 27,60 dólares. Admita que o desvio padrão de todos os
saldos é de 12,00 dólares.
a) Calcule o intervalo de 95% de confiança para a média de todos os saldos. Suponha
normalidade.
b) Explicar ao vice-presidente da firma o significado de sua resposta (a), em termos tão
simples quanto possíveis. R: a)[20,16 ; 35,04]
22) Uma empresa de embalagens que presta o serviço de envelopamento de revistas decidiu
reduzir a proporção de embalagens defeituosas produzidas. A empresa tomou como meta
reduzir para menos de 2% a proporção de embalagens defeituosas até o final do ano. Para
alcançar esta meta foram adotadas ações corretivas. Foram coletadas 2000 revistas
embaladas, para confirmar a efetividade das ações. Dentre estas revistas 50 foram
consideradas defeituosas. A meta de melhoria foi alcançada, ao nível de 1%? R: Não. Região crítica (-
∞;-2,33]
23) Uma companhia de seguros decidiu avaliar qual era a proporção de formulários de apólices de
seguro preenchidos incorretamente (p) pelos operadores responsáveis por esta tarefa. A
empresa considerava um resultado indesejável descobrir que p 5%, o que implicaria na
necessidade de ser iniciado um trabalho para melhorar o nível de qualidade que vinha sendo
alcançado. De uma amostra de 200 formulários examinados, foram encontrados 9 que
apresentavam erros no preenchimento. A partir deste resultado, os técnicos da empresa
desejam tomar uma decisão. Qual a decisão da empresa? ( = 5%). R: Iniciar um trabalho para melhorar o
nível de qualidade dos formulários de apólices. Região crítica (-∞;-1,645]24) Para avaliar a dureza de um material plástico recolheu-se uma amostra aleatória de oito
elementos. Os resultados obtidos foram:
𝑥𝑖 = 39,1
8
𝑖=1
𝑒 (𝑥𝑖 − 𝑥 )
2
8
𝑖=1
= 0,23
Supondo normalidade para a variável de estudo, responda os itens adiante.
a) Determine uma estimativa pontual para a média e para o desvio padrão da dureza do
material plástico.
b) Encontre um intervalo a 95% de confiança para a média.
c) Encontre um intervalo a 95% de confiança para o desvio padrão. R: a) 𝑥 = 4,89, s=0,181; b)[4,74;
5,04]; c)[0,12; 0,37]
75
25) A cadeia de hotéis American Resort dá um teste de aptidão aos candidatos a emprego, e
considera fácil uma questão do tipo múltipla escolha se ao menos 80% das respostas são
corretas. Uma amostra aleatória de 6503 respostas a determinada questão apresenta 84% de
respostas corretas. É admissível que a questão seja realmente fácil? Justifique (Use α= 5%). R:
[ 83,1% ; 84,9%] . Sim.
26) Uma lei estadual exige um valor médio superior a cinco ppm de oxigênio dissolvido na água,
cujo conteúdo seja suficiente para manter a vida aquática. Oito amostras aleatórias de água
foram retiradas de um rio e revelaram os seguintes índices de oxigênio dissolvidos:
4,9 5,1 4,9 5,0 5,0 4,7 5,8 5,2
a) Supondo que a população tenha distribuição normal, verifique se os níveis de oxigênio
dissolvidos na água são suficientes para manter a vida aquática. (Use α=5%)
b) Supondo que a população tenha distribuição normal, construa o intervalo com 95% de
confiança para o desvio padrão do oxigênio dissolvido no rio. R: a)Não. Região crítica [1,895, ∞); b)[0,22;
0,67]
27) Os Líderes estudantis de uma faculdade querem conduzir uma pesquisa para determinar a
proporção p de estudantes a favor de uma mudança no horário de aulas. Como é impossível
entrevistar todos os 2000 estudantes em um tempo razoável, decide-se fazer uma amostragem
aleatória simples dos estudantes:
a) Determinar o tamanho de amostra (número de estudantes a serem entrevistados)
necessário para estimar p com um erro máximo de 0,05 e nível de confiança de 95%.
Assumir que não há nenhuma informação a priori disponível para estimar p.
b) Os líderes estudantis também querem estimar a proporção de p de estudantes que sentem
que a representação estudantil atende adequadamente as suas necessidades. Com um erro
máximo de 7% e nível de confiança de 95%, determinar o tamanho de amostra para
estimar p. Utilizar a informação de uma pesquisa similar conduzida há alguns anos,
quando 60% dos estudantes acreditavam que estavam bem representados.
c) Qual o tamanho de amostra adequado para atingir ambos os objetivos da pesquisa? R: a)385;
b)189; c) Para atingir ambos os objetivos da pesquisa deverá considerar a maior amostra, que é a de 385 estudantes.
28) Um gerente de uma filial de uma cadeia de livrarias deseja estudar as características dos
clientes de sua loja, que se localiza perto do campus de uma Universidade Federal. Ele
decidiu concentrar seu estudo em duas variáveis: o valor gasto pelos clientes e se os clientes
estão interessados em adquirir vídeos educativos relacionados às áreas de interesses (vídeos
sobre economia, estatística, pesquisa operacional, etc.). Foi selecionada uma amostra aleatória
76
de 70 clientes e os resultados foram os seguintes: o valor gasto, em média, por cliente foi de
R$28,52 com desvio-padrão de R$11,39 e 28 clientes declararam interesse em adquirir os
vídeos.
a) Determine o intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro valor médio gasto por
cliente.
b) Determine o intervalo de confiança de 99% para a verdadeira proporção de clientes que
declararam interesse em adquirir os vídeos educativos.
c) Para o nível de confiança de 95%, qual deve ser o tamanho da amostra necessário para
que o erro cometido na estimação da proporção de clientes que declararam interesse em
adquirir vídeos educativos seja de, no máximo, 5%
d) Para um nível de confiança de 99%, qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro
cometido na estimação do valor médio gasto por cliente seja de, no máximo, R$4,00? R:
a)[25,85; 31,19]; b)[0,249; 0,551]; c)369; d)54
29) A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preocupada com o tempo
perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempo, tem sido da ordem de 60
h/homem por ano e desvio padrão de 20 h/homem. Tentou-se um programa de prevenção de
acidentes e após o mesmo, tomou-se uma amostra de 9 indústrias e mediu-se o número de
horas/homens perdidas por acidentes que foi 50 horas. Você diria, ao nível de 5%, que há
evidência de melhoria?(Suponha população normal) R: Não. Região crítica (-∞;-1,645]
30) O rótulo de uma caixa de sementes informa que a taxa de germinação é de 90%. Entretanto,
como a data de validade está vencida, acredita-se que a taxa de germinação seja inferior a este
número. Foi realizado um experimento e de 400 sementes, tomadas ao acaso, 350
germinaram. Qual a conclusão do teste ao nível de 1% de significância? R: A taxa de germinação não é
inferior a 90%. Região crítica (-∞; -2,33]
31) A força de compressão de concreto está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 12
amostras e obtém os seguintes dados:
2216 2237 2249 2204 2225 2301 2281 2263 2318 2255 2275 2295
Suponha normalidade para a população de estudo, responda os itens a seguir:
a) Construir o intervalo de 95% para a força média;
b) Construir o intervalo de 99% para a força média;
c) Ao nível de 5% de significância, verificar se a verdadeira média da força de compressão
difere de 2280.
d) Repetir o item c, usando α
77
e) Repetir o item c, porém verificando se a verdadeira média da força de compressão difere
de 2300.
f) Compare as conclusões obtidas usando Intervalo de Confiança e teste de hipóteses.
R:a) [2237,32 ; 2282,56] b) [ 2228,02; 2291,81 ] c) Não. A verdadeira média da força de compressão não difere de 2280, com 95% de
confiança. d) Não. A verdadeira média da força de compressão não difere de 2280, com 99% de confiança e) com 95% de confiança
difere de 2300.
32) Um jornal afirma que 40% dos seus leitores têm curso superior. Um jornal concorrente afirma
que essa proporção é menor. Para verificar sua suspeita, o concorrente sorteou 200 leitores
daquele jornal e observou os seguintes resultados:
a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
b) Quais os tipos de erros que podem cometidos ao testar as hipóteses estabelecidas no item a?
Explique cada um deles.
c) Para um nível de significância de 20%, qual foi a conclusão do concorrente? R: a) P=0,40 vs P<0,40;
b) Erro tipo I- Dizer que a proporção de leitores é menor do que 40% quando na verdade proporção é igual a 40%. Erro tipo II- Dizer que a
proporção de leitores é igual a 40% quando na verdade a proporção é menor. C)Rejeita a hipótese nula. Região crítica (-∞; -1,28].
33) Numa linha de produção é importante que o tempo gasto numa determinada operação não
varie muito de empregado para empregado. Em operários bem treinados a variabilidade fica
em 100 segundos
2
. A empresa colocou 11 novos funcionários para trabalhar na linha de
produção, supostamente bem treinados, e observou as seguintes informações, em segundos:
xi = 1.440,00
11
i=1
e (xi − x )
2
11
i=1
= 1.140,91
Testar se a tempo despendido por estes funcionários pode ser considerado mais variável do que
os demais funcionários. Suponha que a população seja normalmente distribuída e utilize 5% de
significância.Qual foi a conclusão? R: Não. Região crítica [18,3070; ∞)
34) Um representante de um grupo comunitário informa a uma construtora de shoppings que a
renda familiar média nessa área é igual a R$ 4500,00. Com base em estudos anteriores, a
renda familiar, para o tipo de área envolvida, pode ser assumida como tendo uma distribuição
normal. A construtora considera um fator importante para decidir a localização do shopping
que a renda familiar média da população da área não esteja abaixo do valor R$ 4500,00
Apresenta nível
superior
Número de
leitores
Sim 70
Não 130
Total 200
78
informado pelo representante. Para verificar a informação do representante, uma amostra de
26 residências selecionadas aleatoriamente foi obtida e a renda familiar média encontrada foi
igual a R$ 4150,00, com desvio padrão igual a R$ 1200,00.
a) Realize o teste e apresente qual a conclusão do construtor de shopping, ao nível de
significância de 10%. . R: a)Não construir o shopping. Região crítica [-∞; -1,316)
35) Um restaurante alega que a variância para a duração do intervalo entre um atendimento e
outro é inferior a 8,41 minutos
2
. Uma amostra aleatória de 23 intervalos de tempo até o
serviço tem uma variância de 4,41 minutos
2. Sendo α=10%, há evidência suficiente que
sustente a alegação do restaurante? Suponha que a população seja normalmente distribuída. R:
Rejeitae Ho , pois 𝑥2 = 0,95: 22 = 12,34 > 𝑥Cal =
2 11,54
36) Avaliou-se em 240 kg o desvio padrão das tensões de ruptura de certos cabos produzidos por
uma fábrica. Depois de ter sido introduzida uma mudança no processo de fabricação desses
cabos, as tensões de ruptura de uma amostra de 8 cabos apresentaram o desvio padrão de 300
kg. Verifique se houve aumento aparente da variância, ao nível de significância de 5%.
Suponha que a população seja normalmente distribuída. R: Não se Rejeita Ho, pois χ0
2 = 10,938 <
χ 5%; 7
2 = 14,07
37) Um estudo foi desenvolvido para avaliar o salário de empregados de nível médio na cidade de
Salvador. Foram sorteados e entrevistados 200 trabalhadores. Admita que o desvio padrão do
salário recebido pelos trabalhadores nessa cidade é de 0,80 salários mínimos.
a) Você conhece a distribuição do estimador de 𝑋 ? Se não, é possível fazer alguma
suposição?
b) Deseja-se testar se a média é igual a 3 salários mínimos ou é menor. Formule as hipóteses
adequadas.
c) Se a amostra forneceu média de 2,5 salários mínimos, qual seria a conclusão (Use
α=10%)?
R: a)Não conhecemos e supomos n grande para aplicar o Teorema Central do Limite; b) H0: µ=3 vs H1: µ <3. Rejeita H0, região crítica (-∞; -
1,28]
38) Um comprador, ao receber de um fornecedor um grande lote de peças, decidiu inspecionar
200 delas. Decidiu, também, que o lote será rejeitado se ficar convencido, ao nível de 5% de
significância, de que a proporção de peças defeituosas no lote é superior a 4%. Na amostra
selecionada observou-se 12 peças defeituosas.
79
A partir das informações do texto acima e da saída do programa computacional R defina as
hipóteses e tome a decisão (não rejeitar ou rejeitar o lote).
𝑷 z p-valor
Peças defeituosas 0,06 1,12 0,12
R: Não Rejeita H0. p-valor=0,12> α=0,05
39) Uma máquina de refrigerantes é considerada fora de controle se a variância dos conteúdos
exceder 1,15 decilitros
2
. Se uma amostra aleatória de 25 copos de bebidas dessa máquina
apresentou uma variância de 2,03 decilitros
2
. Assuma que a variável de estudo tenha
distribuição aproximadamente normal. Para um nível de significância de 10%, há evidências
de que a máquina está fora de controle?R: Rejeita Ho, pois
χ0
2 = 42,36 > χ 10%; 24
2 = 33,20
40) A fim de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente sanguínea, um
químico analista acrescentou certo componente à fórmula original, que acusava um tempo
médio de 43 minutos. O pesquisador obteve 36 observações através de um experimento com
a nova fórmula. A partir da saída do programa, o que analista pode concluir, ao nível de 5%
de significância, sobre a eficiência do novo componente? (Suponha que a população tenha
distribuição Normal).
Variável Média Desvio-padrão Z p-valor
Tempo 41,27 10,53 -0,99 0,16
R: Não Rejeita H0 p-valor=0,16> α=0,05
41) Para verificar as hipóteses de seu trabalho, um pesquisador fez vários testes estatísticos (um
para cada hipótese de pesquisa), adotando para cada teste o nível de significância de 5%.
Responda os seguintes itens adiante:
a) Num dado teste, o p-valor=0,0001. Qual deve ser a conclusão (decide-se pela hipótese
nula ou pela hipótese alternativa)? Qual o risco de o pesquisador estar tomando a decisão
incorreta?
b) Em outro teste, o p-valor=0,25. Qual deve ser a conclusão? Nesse caso, você consegue
avaliar o risco de o pesquisador estar tomando a decisão incorreta?
c) Em outros dois testes, os p-valores foram de 0,0001 e 0,01, respectivamente. Em qual dos
testes o pesquisador deve estar mais convicto na decisão de qual hipótese deve ser
escolhida? Por quê? R: a) Decide-se por H1, pois o p-valor é menor que o nível de significância adotado. Dada a evidência da
amostra, o risco dele estar tomando a decisão incorreta é de 0,0001; b) Decide-se por H0, pois p-valor é maior do que o nível de
significância adotado. Dada a evidência da amostra, quando se não rejeita H0 o p-valor não oferece qualquer informação sobre o risco
de se estar tomando a decisão incorreta; c) Quanto menor o p-valor existe maior evidência para a rejeição de H0.
80
42) Os seguintes dados vêm de um estudo que examina a eficácia da cotinina na saliva como um
indicador para a exposição à fumaça do tabaco. Em uma parte do estudo, sete indivíduos –
nenhum dos quais grandes fumantes e todos eles se abstiveram de fumar pelo menos uma
semana antes do estudo – foi solicitado fumar um único cigarro. Foram tomadas amostras da
saliva de todos os indivíduos 12 e 24 horas depois de terem fumado o cigarro. Os níveis de
cotinina obtidos são mostrados adiante*:
*DIGIUSTO, E. e ECKHARD, I. Some Properties of Saliva Continine Measurements in Indicating Exposure To Tobacco Smoking, American
Journal of Public Health, v. 76, out., 1986, p. 1245-1246.
A partir da saída de um programa computacional a seguir, teste a hipótese nula de que as médias
da população sejam idênticas ao nível de significância de 5%. O que você conclui?
Paired T-Test
N Mean StDev SE Mean
Doze 7 69.8571 42.2154 15.9559
VinteQuatro 7 30.4286 21.1176 7.9817
Difference 7 39.4286 31.3946 11.8660
95% CI for mean difference: (10.3934, 68.4637)
T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0):
T-Value = 3.32
P-Value = 0.016
43) Um assessor de um candidato a governador afirma que a proporção de votos favoráveis no
interior do Estado é maior que na capital. Com o objetivo de direcionar melhor sua campanha
pela televisão, o candidato encomendou uma pesquisa na capital e outra no interior do Estado,
obtendo os dados da tabela abaixo. Teste a afirmação, com =0,05.
Número de entrevistados Número de votos favoráveis
Capital 100 40
Interior 200 90
Test and CI for Two Proportions
Sample X N Sample p
1 40 100 0,400000
2 90 200 0,450000
Estimate for p(1) - p(2): -0,05
95% upper bound for p(1) - p(2): 0,0492039
Test for p(1) - p(2) = 0 (vs < 0): Z = -0,83 P-Value = 0,204
Indivíduo
Níveis de Cotinina (mmol/l)
Depois de 12 horas Depois de 24 horas
1 73 24
2 58 27
3 67 49
4 93 59
5 33 0
6 18 117 147 43
81
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1) MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e
Estatística. 6. ed., rev São Paulo, SP: EDUSP, 2005 392 p.
2) MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; HUBELE, Norma Faris. Estatística Aplicada à
Engenharia. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 335 p.
3) MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística Básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2006.
526 p.
4) WERKEMA, Maria Cristina Catarino. Como Estabelecer Conclusões com Confiança: entendendo inferência
estatística. Belo Horizonte, MG: UFMG. Escola de Engenharia, [1996]. 309 p. (Ferramentas da qualidade 4) .
82
Distribuição t de Student* com os valores de t tais que a probabilidade de a variável aleatória T ser
maior do que tc vale α, ou seja, Prob(T ≥ tc) = α
Graus de
Liberdade
Valores de α
0,4 0,25 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,0010 0,0005
1 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,309 636,619
2 0,289 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31,599
3 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12,924
4 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610
5 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,869
6 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959
7 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,408
8 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041
9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781
10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587
11 0,260 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437
12 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318
13 0,259 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221
14 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140
15 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073
16 0,258 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015
17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965
18 0,257 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3,922
19 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883
20 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850
21 0,257 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819
22 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792
23 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,768
24 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745
25 0,256 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725
26 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707
27 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690
28 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674
29 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659
30 0,256 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646
40 0,255 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551
60 0,254 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460
120 0,254 0,677 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160 3,373
∞ 0,253 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291
83
Distribuição de Qui-Quadradro* χ2 com os valores críticos de Qui-Quadradro tais que a probabilidade
de a variável aleatória χ2 ser maior do que χ2c vale α, ou seja, Prob(χ
2
≥ χ2c) = α.
* Tabela Gerada no Excel
Graus de
Liberdade
Valores de α
0,995 0,99 0,975 0,95 0,50 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005
1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88
2 0,01 0,02 0,05 0,10 1,39 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60
3 0,07 0,11 0,22 0,35 2,37 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84
4 0,21 0,30 0,48 0,71 3,36 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86
5 0,41 0,55 0,83 1,15 4,35 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75
6 0,68 0,87 1,24 1,64 5,35 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55
7 0,99 1,24 1,69 2,17 6,35 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28
8 1,34 1,65 2,18 2,73 7,34 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95
9 1,73 2,09 2,70 3,33 8,34 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59
10 2,16 2,56 3,25 3,94 9,34 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19
11 2,60 3,05 3,82 4,57 10,34 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76
12 3,07 3,57 4,40 5,23 11,34 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30
13 3,57 4,11 5,01 5,89 12,34 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82
14 4,07 4,66 5,63 6,57 13,34 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32
15 4,60 5,23 6,26 7,26 14,34 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80
16 5,14 5,81 6,91 7,96 15,34 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27
17 5,70 6,41 7,56 8,67 16,34 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72
18 6,26 7,01 8,23 9,39 17,34 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16
19 6,84 7,63 8,91 10,12 18,34 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58
20 7,43 8,26 9,59 10,85 19,34 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00
21 8,03 8,90 10,28 11,59 20,34 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40
22 8,64 9,54 10,98 12,34 21,34 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80
23 9,26 10,20 11,69 13,09 22,34 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18
24 9,89 10,86 12,40 13,85 23,34 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56
25 10,52 11,52 13,12 14,61 24,34 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93
26 11,16 12,20 13,84 15,38 25,34 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29
27 11,81 12,88 14,57 16,15 26,34 36,74 40,11 43,19 46,96 49,64
28 12,46 13,56 15,31 16,93 27,34 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99
29 13,12 14,26 16,05 17,71 28,34 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34
30 13,79 14,95 16,79 18,49 29,34 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67
40 20,71 22,16 24,43 26,51 39,34 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77
50 27,99 29,71 32,36 34,76 49,33 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49
60 35,53 37,48 40,48 43,19 59,33 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95
70 43,28 45,44 48,76 51,74 69,33 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21
80 51,17 53,54 57,15 60,39 79,33 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32
90 59,20 61,75 65,65 69,13 89,33 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30
100 67,33 70,06 74,22 77,93 99,33 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17
84
Distribuição Normal Padrão*: Valores de p tais que P(0 ≤ Z ≤ zc)=p
Z
Segunda decimal de zc
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,49400,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
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3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
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