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<p>Universidade Federal do Oeste da Bahia - UFOB</p><p>Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias</p><p>Álgebra Linear 1</p><p>Docentes responsáveis: Luryane F. de Souza.</p><p>Bases e Dimensão</p><p>1. Escreva os vetores v como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 dados a seguir:</p><p>• v = (1,−2, 5) de R3; onde v1 = (1, 1, 1); v2 = (1, 2, 3); v3 = (2,−1, 1).</p><p>• v = (2,−5, 3) de R3; onde v1 = (1,−2, 3); v2 = (2,−4,−1); v3 = (1,−5, 7).</p><p>• v = t2 + 4t− 3 de P3(t); onde v1 = t2 + 4t− 3; v2 = 2t2 − 3t; v3 = t+ 1.</p><p>• v =</p><p>[</p><p>4 7</p><p>7 9</p><p>]</p><p>de M2(R); onde v1 =</p><p>[</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>]</p><p>; v2</p><p>[</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>]</p><p>; v3 =</p><p>[</p><p>1 1</p><p>4 5</p><p>]</p><p>.</p><p>2. Sobre Espaços Gerados, responda os seguintes itens:</p><p>a) Mostre que os vetores u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3) e u3 = (1, 5, 8) geram R3</p><p>b) Determine os valores x, y, z para que u = (x, y, z) de R3 pertença a W = [u1, u2, u3], onde</p><p>u1 = (1, 2, 0), u2 = (−1, 1, 2) e u3 = (3, 0,−4).</p><p>c) Mostre que o espaço vetorial V = P (R) dos polinômios p(t) reais não pode ser gerado por</p><p>um número finito de polinômios.</p><p>3. Considere o subespaço vetorial de M2(R) dado por:</p><p>U =</p><p>{(</p><p>x y</p><p>z t</p><p>)</p><p>, tal que x− y − z = 0</p><p>}</p><p>Determine um sistema de geradores para U .</p><p>4. Considere o subespaço vetorial de R4 dado por:</p><p>U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y + z + t = 0 e − x+ 2y + z − t = 0}.</p><p>Determine um sistema de geradores para U .</p><p>5. Mostre que os polinômios 1, 1− t, (1− t2) e (1− t3) geram P3(R).</p><p>6. Sejam U = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 2y = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R : x + z = 0 e x − 2y = 0}</p><p>subespaços de R3. Determine geradores para U,W e U ∩W.</p><p>7. Encontre o conjunto solução S ⊂ R3 do sistema linear homogêneo</p><p>2x+ 4y + z = 0</p><p>x+ y + 2z = 0</p><p>x+ 3y − z = 0</p><p>Mostre que S é um subespaço do R3. Dado o subespaço U = {(x, y, z) ∈ R3/x − y + z = 0},</p><p>determine um sistema de geradores para o subespaço S ∩ U .</p><p>8. Verifique quais dos subconjuntos são linearmente independentes no espaço vetorial real dado:</p><p>a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 2, 5)} no espaço R3.</p><p>b) {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 2,−1)} no espaço R3</p><p>c) {(1, 1, 0), (0, 0, 0), (0, 1,−1)} no espaço R3</p><p>d) {1, x− 1, x2 + 2x+ 1, x2} no espaço P4(R)</p><p>e) {x(x− 1), x3, 2x3 − x2, x} no espaço P4(R)</p><p>9. Considere V um espaço vetorial sobre o corpo K. Mostre que:</p><p>a) Se dois vetores elementos de V são linearmente dependentes, então um é múltiplo escalar</p><p>do outro.</p><p>b) Sejam u, v e w vetores L.I. Mostre que u+ v, u− v e u− 2v + w são L.I.</p><p>c) Sejam u, v e w vetores L.I. Mostre que u, u+ v e u+ v + w são L.I.</p><p>d) Sejam u = (1+ i, 2i) e w = (1, 1 + i) de C2, mostre que são linearmente dependentes sobre</p><p>o corpo complexo C mas linearmente independentes sobre o corpo real R.</p><p>10. Determine para que valores de k os vetores u = (k − 3, 5, 4k), v = (k, 0, 2k), w = (3,−5,−2k)</p><p>de R3 são L.I.</p><p>11. Dado o espaço vetorial V , determine uma base e dimensão de cada um dos subespaços de V a</p><p>seguir:</p><p>a) V = R4 e W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y = 0 e x+ 2y + t = 0}.</p><p>b) V = R3, U = {(x, y, z) : x = 0}</p><p>c) V = R3, T = {(x, y, z) : y − 2z = 0}</p><p>d) V = R3, W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)]</p><p>e) U ∩ T, T +W e U +W + T.</p><p>12. Seja V = P3(R), o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3.</p><p>2</p><p>a) Mostre que B = {1, 2 + x, 3x− x2, x− x3} é base de V .</p><p>b) Escreva as coordenadas de p(x) = 1 + x+ x2 + x3 em relação à base B.</p><p>13. Encontre uma base de R4 que contenha os vetores (1, 2,−2, 1) e (1, 0,−2, 2).</p><p>14. Sejam U = {(x, y, z, w) ∈ R4 : w = −x− y} e W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = y = 2z} subespaços</p><p>de R4. Calcule dim U , dim W , dim (U ∩W ) e dim (U +W ).</p><p>15. Considere o subconjunto C = {(1, 0, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2)} do R3. Pede-se:</p><p>a) Mostre que C é uma base de R3.</p><p>b) Encontre a matriz de mudança da base canônica E para a base C.</p><p>c) Dado o vetor u = (1, 1, 1), determine suas coordenadas com relação à base C.</p><p>16. Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {(</p><p>√</p><p>3, 1), (</p><p>√</p><p>3,−1)} e β3 = {(2, 0), (0, 2)}</p><p>bases ordenadas de R2.</p><p>a) Encontre as matrizes de mudança de base [I]β1</p><p>β , [I]ββ1</p><p>, [I]ββ2</p><p>e [I]ββ3</p><p>.</p><p>b) Determine as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação a cada uma das bases β, β1, β2</p><p>e β3.</p><p>c) Se as coordenadas de um vetor v em relação à base β1 é dada por [v]β1 =</p><p>[</p><p>4</p><p>0</p><p>]</p><p>. Quais</p><p>seriam as coordenadas para esse mesmo vetor em relação às bases β, β2 e β3?</p><p>Bases e Dimensão</p><p>1)a) v = −6v1 + 3v2 + 2v3</p><p>1)b) v = 3</p><p>7</p><p>v1 +</p><p>13</p><p>21</p><p>v2 +</p><p>1</p><p>3</p><p>v3</p><p>1)c) v = 1v1 + 0v2 + 0v3</p><p>1)d) v não pode ser escrito como combinação de v1, v2, v3</p><p>2)a) x = −a+ 5b− 3c, y = 3a− 7b+ 4z; z = −a+ 2b− c</p><p>2)b) 4x− 2y + 3z = 0</p><p>3)</p><p>U =</p><p>{(</p><p>1 1</p><p>0 0</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>1 0</p><p>1 0</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>0 0</p><p>0 1</p><p>)}</p><p>4) U = [(−3,−2, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)]</p><p>6) U = [(2, 1, 0), (0, 0, 1)], W = [(2, 1,−2)], U ∩W = (2, 1,−2)</p><p>7) S ∩W = ⟨∅⟩</p><p>8)b</p><p>10) não existe valor de k ∈ R</p><p>11)a) dimW = 2, B = {(1, 1, 0,−3), (0, 0, 1, 0)}</p><p>3</p><p>b) dimW = 2, B = {(0, 1, 0), (0, 0, 1)}</p><p>c) dimW = 2, B = {(1, 0, 0), (0, 2, 1)}</p><p>d) dimW = 2, B = {(1, 1, 0), (0, 0, 2)}</p><p>e) dim(U ∩ T ) = 1 e B = {(0, 2, 1)} base de U ∩ T . dim(T + W ) = 3, cuja base é B′ =</p><p>{(2, 2, 1), (1, 0, 0), (0, 0, 2)}. dim(U + T +W ) = 3, cuja base B′′ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}</p><p>12) b)</p><p></p><p>−9</p><p>5</p><p>−1</p><p>−1</p><p></p><p>B</p><p>13)B = {(1, 2,−2, 1), (1, 0,−2, 2), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} é uma opção de base.</p><p>14)dimU = 3, dimW = 2, dim(U ∩W ) = 1, dim(U +W ) = 4</p><p>15)b)</p><p>[I]EC =</p><p></p><p>−2 −2 3</p><p>2 1 −2</p><p>−1 0 1</p><p></p><p>c)</p><p>[u]C =</p><p></p><p>−1</p><p>1</p><p>0</p><p></p><p>16a) [I]β1</p><p>β =</p><p>[</p><p>−1 1</p><p>1 1</p><p>]</p><p>, [I]ββ1</p><p>=</p><p>[</p><p>−1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>, [I]ββ2</p><p>=</p><p>[ √</p><p>3</p><p>6</p><p>1</p><p>2√</p><p>3</p><p>6</p><p>−1</p><p>2</p><p>]</p><p>, [I]ββ3</p><p>=</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>0 1</p><p>2</p><p>]</p><p>b)</p><p>[v]β =</p><p>[</p><p>3</p><p>−2</p><p>]</p><p>, [v]β1 =</p><p>[</p><p>−5</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>, [v]β2 =</p><p>[ √</p><p>3</p><p>2</p><p>− 1</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>+ 1</p><p>]</p><p>, [v]β3 =</p><p>[</p><p>3</p><p>2</p><p>−1</p><p>]</p><p>c)</p><p>[v]β =</p><p>[</p><p>−4</p><p>4</p><p>]</p><p>, [v]β2 =</p><p>[</p><p>−2</p><p>√</p><p>3</p><p>3</p><p>+ 2</p><p>−2</p><p>√</p><p>3</p><p>3</p><p>− 2</p><p>]</p><p>, [v]β3 =</p><p>[</p><p>−2</p><p>2</p><p>]</p><p>4</p>