Exercícios de Álgebra Linear

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UFF – GAN - Exercícios de Álgebra Linear – Profª Carla 
Lista 5 
 
1) a) Verifique se o vetor nulo do 2 pode ser escrito de forma única como 
combinação linear dos vetores (1, 2) e (-2, -4). 
 b) Se substituirmos o segundo vetor por (-1, 1), a decomposição do vetor nulo 
será única? 
2) Mostre que os vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram o  e 
escreva (5, 7, 3) como combinação linear de u, v e w. 
 
3) Encontre um conjunto de geradores para cada espaço abaixo: 
a) V = { (x, y, z) 3 | x – 3y + 2z = 0 } 
b) W =  3/2|)(2
2 cbaPcbxax  
 
4) Dê um sistema linear homogêneo cujo espaço solução W seja gerado por { (1, -
1, 0, 0), (1, 0, 1, 1), (0, 1, -1, 0)}. 
 
5) Considere os vetores u = (1, -3, 2) e v = ( 2, -1, 1) em  . 
a) Escreva (1, 7, -4) como combinação linear de u e v. 
b) Para que valor de  o vetor (1,  , 5) é combinação linear de u e v? 
c) Determine condições sobre a, b e c de modo que (a, b, c) seja combinação 
linear de u e v. 
 
6) Determine o subespaço W = [ (2, 1, 0), (1, -1, 2), (0, 3, -4)]. Dê a dimensão e 
uma base de W. 
 
7) Encontre uma base e a dimensão do espaço das soluções do sistema: 








0853
05
023
zyx
zyx
zyx
 
 
8) Mostre que se os vetores não nulos u, v e w são linearmente dependentes 
com {u, v} linearmente independente, então w é uma combinação linear de u e 
v. 
 
9) Para que valores de k o conjunto {(1, 0, k), (0, 1, 0), (k, 0, 1)} é base do  ? 
 
10) Determine m para que o conjunto { (2, -3, 2m), (1, 0, m+4), (-1, 3,m-2) } 
seja LI. 
 
11) Considere os subespaços vetoriais do 4 dados por: 
 0;0|),,,( 4
1  wyzyxwzyxW e  0|),,,( 4
2  wxwzyxW 
a) Determine uma base para (
21 WW  ) 
b) Determine uma base para ( 21 WW  ) 
 
12) Seja W um subespaço vetorial do n . Seja W = { Wwwvv n  ,0,| }. 
O conjunto W é conhecido como complemento ortogonal de W. 
a) Mostre que W é um subespaço vetorial de n . 
b) Mostre que  0 WW 
 
13) Seja B = { (1, 2, 3), (-4, 5, 6), (7, -8, 9)} base do  . Dado v = ( 5, -12, 3) 
determine 
Bv onde 
Bv é o vetor coordenado de v na base B ( ou seja , é o vetor 
formado pelos escalares que obtemos quando escrevemos v como combinação 
linear dos vetores da base B ). 
 
14) Determine o vetor v, sendo 
Bv =(-1, 2, 1), onde B é a base do exercício 13. 
 
RESPOSTAS 
 
1) a) não: (0,0) = 2a(1, 2) + a(-2, -4), para todo real a; b) sim 
2) (5, 7, 3) = 5u - 3v - 6w 
3) a) { (3, 1, 0), (-2, 0, 1)}; b) 






 1
3
,2
2
2 x
xx 
4) {x + y + z - 2t = 0 
5) a) -3u+2v; b)  =-8; c) –a + 3b + 5c = 0 
6) W = { (x, y, z) 3 | 2x – 4y – 3z = 0 }; dim W = 2; Uma base de W: { (3, 0, 2), 
(0, 3, -4)} 
7) Dimensão = 1; { (-7, 1, 2)} 
9) k 1 e k -1 
10) m 3 
11) a) {(1, 1, -2, 1)} ; b) { (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} 
13) (-2,0, 1) 
14) (-2, 0 18) 
 
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