modelagem e controle de sistemas AS II

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Modelagem e Controle 
de Sistemas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Claudia Barros dos Santos
Revisão Textual:
Prof. Esp. Claudio Pereira do Nascimento
Funções de Transferência
• Sistemas Submetidos a Distúrbios;
• Representação de Sistemas no Espaço de Estados.
 · Eliminar todas as dúvidas relativas a simplificar um diagrama de blo-
cos, escrevendo sua função de transferência de malha fechada. Além 
disso, vamos estudar a função de transferência de sistemas com per-
turbação. Para finalizar, vamos verificar que existe outra maneira de 
representar sistemas, é a representação no espaço de estados.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Funções de Transferência
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você 
também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Funções de Transferência
Sistemas Submetidos a Distúrbios
Observe bem a imagem da figura abaixo, tem-se um diagrama de blocos 
com duas entradas, R(s) e D(s), onde D(s) é considerado um distúrbio ou uma 
perturbação a mais no sistema.
Distúrbio D(s)
G1(s)
R(s) C(s)
H(s)
G2(s)
Figura 1
Quando ocorre distúrbio num sistema linear e invariante no tempo, podemos 
analisar a saída em relação a cada entrada separadamente, visto que não haverá 
interferência de uma na outra. Ou seja, poderemos resolver a equação de saída, 
como CD(s) + CR(s), ou seja, a somatória de C(s) em relação ao distúrbio D(s) com 
C(s) em relação à entrada de referência R(s). 
Vamos escrever a função de transferência de malha fechada para o sistema 
com distúrbio da imagem acima. No entanto, nesse momento vamos utilizar uma 
técnica útil para escrever as equações de interesse.
A técnica consiste em escrever sinais parciais ao longo do caminho. Observe a 
imagem do exercício, já com esses sinais redesenhados (no destaque vermelho):
D
G1
R C
H
G2
Figura 2
Vamos observar que embora não esteja na imagem acima, todas as funções são 
função de s, como mostra a imagem original do exercício. As equações de interesse 
serão as seguintes:
C = G2 (D + G1E) Equação I
8
9
Não se esqueça que o nosso objetivo é encontrar C como função de R e C 
como função de D. Analisando a equação I, a pergunta é, o que é o sinal E? Po-
demos escrever:
E = R − M Equação II
Por fim, podemos escrever que o sinal M será:
M = HC Equação III
Para organizar as nossas equações, vamos reescrever a Equação I, agora 
substituindo as incógnitas E e M, então teremos:
C = G2{D + G1[R − (HC)]}
Enfim, todas as incógnitas da equação acima são desejáveis na solução. Logo, 
vamos aplicar a propriedade distributiva e em seguida isolar a variável C(s):
C = G2D + G2G1R – G2G1HC
C(1+G1G2H) = G2D + G1G2R
C
G
G G H
D
G G
G G H
R=
+
+
+
2
1 2
1 2
1 21 1
Observe a solução na linha acima, considere um caso em que o produto G1G2 é 
muito maior que 1. A parcela que contém o termo D será muito próxima de zero 
e o efeito de distúrbio será suprimido. Logo, você já sabe que tipo de manipulação 
realizar no sistema para obter uma otimização. No entanto, essa manipulação tem 
limite, visto que, para o termo que contém R, a função C será dependente de 1/H, 
logo o produto G1G2 não terá mais efeito sobre o resultado.
Representação de Sistemas
no Espaço de Estados
Com a necessidade de representar tarefas complexas com muita precisão, os 
sistemas têm cada vez mais possibilidades de ter múltiplas entradas e múltiplas 
saídas, tornando as variáveis mais complexas e com múltiplas dimensões. Daí a 
necessidade da representação do sistema no espaço de estados. Essa representação 
com múltiplas dimensões é feita por vetores.
O significado de estado está relacionado ao menor conjunto de variáveis (variáveis 
de estado) que determina completamente o comportamento do sistema para t>t0. 
De modo que, as condições iniciais são essenciais para definir esse estado.
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UNIDADE Funções de Transferência
Assim, como o significado de variáveis de estado é o menor conjunto de variáveis 
capaz de determinar o estado de um sistema dinâmico. São n variáveis, do tipo 
x1, x2, ..., xn necessárias para descrever o comportamento total de um sistema 
dinâmico. Essas variáveis são representadas por vetores.
Vamos fazer uma breve introdução sobre essa representação, visto que, para 
compreensão total deste tema é necessário que o aluno conheças as transformadas 
de Laplace, tema da nossa próxima unidade de estudos.
Nesse tipo de representação, estão presentes as variáveis de entrada, as variáveis 
de saída e as variáveis de estado. Leia com atenção a seguinte informação: Todo 
sistema dinâmico deve conter elementos que “memorizem” as variáveis de entrada 
para t > = t1, ou seja, dados iniciais conhecidos. Os integradores, num sistema 
de tempo contínuo, são capazes de memorizar essas variáveis, pois servem como 
dispositivos de memória, a saída desses integradores pode ser considerada como 
as variáveis que definem o estado interno desse sistema. Logo, as saídas desses 
integradores podem ser escolhidas como variáveis de estado de um sistema. O 
número de integradores no sistema é igual ao número de variáveis de estado. 
No geral, considere um sistema (invariante no tempo), onde existem múltiplas 
entradas ur (t) e múltiplas saídas ym(t), e, portanto, n integradores. As n saídas desses 
integradores podem ser definidas como variáveis de estado x1, x2, ..., xn (t). Para 
encontrar soluções para esse sistema, devemos nos perguntar, qual é a solução 
para uma integral? Você já tem a resposta em mente? Se sim, podemos escrever 
que o sistema será descrito por:
x˙ 1 (t)=f1 (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t)
x˙ 2 (t)=f2 (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t)
.
.
.
x˙ n (t)=fn (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t)
As saídas do sistema são dadas por:
y1 (t)=g1 (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t)
y2 (t)=g2 (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t)
.
.
.
ym (t)=gm (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t)
10
11
E sendo cada uma das variáveis vetores, do tipo
x f x u t= =
( )x
x
x
f x x x u u u t
f x x
n
n r
1
2
1 1 2 1 2
2 1 2, ( , , )
, ,... , ; , ,... ;
, ,.
e
... , ; , ,... ;
, ,... , ; , ,... ;
x u u u t
f x x x u u u t
n r
n n r
1 2
1 2 1 2
( )
( )

y g u=
( )
( )
( )
=
( )
y t
y t
y t
x t
f x x x u u u t
f
n
n r
1
2
1 1 2 1 2
e ( , , )
, ,... , ; , ,... ;
22 1 2 1 2
1 2 1 2
x x x u u u t
f x x x u u u
n r
n n r
, ,... , ; , ,... ;
, ,... , ; , ,... ;
( )

tt
t
u
u
ur( )
( ) =e u
1
2

x˙ (t) = f(x,u,t) e y(t) = g(x,u,t)
Logo, as soluções são x˙ (t) = Ax˙ (t) + Bu(t) e y(t) = Cx(t) + Du(t)
Para ilustrar com mais exatidão, observe o diagrama de blocos abaixo:
A (t)
D (t)
B (t) C (t)
y (t)x (t)u (t) x (t)
∫ dt
Figura 3
A imagem acima mostra um diagrama de blocos de um sistema de controle 
linear de tempo contínuo, no espaço de estados. Agora, interprete-o de acordo 
com a análise teórica que fizemos. Durante a interpretação, olhe para o diagrama 
de blocos quantas vezes forem necessárias para compreender de onde vem as 
soluções propostas.
Representação de Sistemas Dinâmicos na Forma do Espaço dos Estados: https://goo.gl/wqkoN6
Ex
pl
or
Para ilustrar, nosso primeiro exemplo virá de um sistema mecânico.
Caso você não compreenda alguma equação proposta neste exemplo, lembre-se que a 
solução de problemas mecânicos, no geral, advém da aplicação da 2ª Lei de Newton. Ex
pl
or
11
UNIDADE Funções de Transferência
m
u(t)
y(t)
b
k
Figura 4
Vamos iniciar a análise: u t
→
( ) é uma força externa que desequilibra (ou provoca) 
o sistema e y t
→
( ) é a saída do sistema.
Se recorrermos a segunda lei de Newton, ou Lei da dinâmica para o sistema 
acima, sabemos que a força resultante em uma mola (representada no sistema por 
k) é ky, assim como a força resultante em uma massa (representada no sistema por 
m) é . Já em um elemento de viscosidade (representado no sistema por b), a força 
será . Portanto, a equação que soluciona este sistema pode ser escrita por:
mÿ + by˙ + ky = u Equação IV
Observe que este resultado representa um sistema de 2ª ordem, logo, esse 
sistema contém dois integradores.
Sejam x1(t) = y(t) e x2(t) = y˙ (y) as variáveis de estado; então:
x˙ 1 = x2 (visto que, x1(t) = y(t))
E x˙ 1 = ÿ2
Ora, são dois integradores, duas variáveis de estado (já a temos, nas duas linhas 
acima). Vamos resolver este sistema utilizando a Equação IV. 
mÿ + my˙ + ky = u
ÿ
m
by ky
m
u= − −( ) +1 1
12
13
Sendo assim, vamos reescrever a equação acima em função das variáveis de 
estado x1 e x2:
x
m
kx bx
m
u2 1 2
1 1
= − −( ) +
A equação de estado será dada por:
x
x k
m
b
m
x
x
m
u1
2
1
2
0 1 0
1





 = − −













 +








 (Equação de Estado)
E
y
x
x
= [ ]




1 0
1
2 (Equação de Saída)
Com este resultado, ainda poderemos compreender o formato padrão desse 
sistema. Conforme citamos acima, na teoria,
x˙ (t) = Ax˙ (t) + Bu(t) e y(t) = Cx(t) + Du(t)
Então, podemos dizer que A =
− −








0 1
k
m
b
m
, B =








0
1
m
, C = [1 0] e D = 0.
Este sistema pode ser ilustrado com o seguinte diagrama de blocos:
u
m
1 x2x2 x1=y
m
b
∫ ∫
m
k
Figura 5
Pode-se afirmar que existe relação entre equações no espaço de estado e função 
de transferência, no entanto, para estabelecê-la é necessário que o aluno esteja a 
par das transformadas de Laplace, nosso objeto de estudo da próxima Unidade. 
E por que conhecer as transformadas de Laplace nos será tão útil? Você deve ter 
notado que no primeiro tema desta unidade exploramos um sistema submetido a 
um distúrbio qualquer D(s), note D é função de uma variável complexa s. A trans-
formada de Laplace, assim como a antitransformada nos darão habilidades para 
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UNIDADE Funções de Transferência
transformar uma função definida numa variável complexa s, para uma variável 
mais usual como o tempo t, por exemplo, e vice-versa.
Felizmente existe um software que auxilia o engenheiro na transformação da 
função de transferência para o espaço de estados ou o inverso, o Matlab, ampla-
mente utilizado em projetos de sistemas e na solução de problemas.
Representação de Sistemas no Espaço de Estados: https://goo.gl/y3qjcp
Ex
pl
or
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Física I: Mecânica
Física I: Mecânica. Young & Freedman et al. 14. ed, - São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2016.
 Vídeos
Erro em estado estacionário: Referência e Distúrbio (ELT009, ELT013)
https://youtu.be/HrPDM78H3Hk
 Leitura
Introdução os Sistemas de Controle
Indicação de páginas: 1 a 22.
https://goo.gl/7dNX8D
Representação de Sistemas Dinâmicos na Forma do Espaço dos Estados
https://goo.gl/2sF5iu
Apontamentos de MATLAB Control System Toolbox
Recomendação: Capítulo 1 e 2.
https://goo.gl/BGjYCf
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UNIDADE Funções de Transferência
Referências
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Pren-
tice Hall, 2010.
KUO, B. C. Automatic Control Systems. 2. ed. Englewood Cliffs: Prentice-
-Hall International, 1982.
PHILLIPS, C. L.; HARBOR, R. D. Sistemas de Controle e Realimentação. v. 1. 
São Paulo: Makron Books do Brasil, 1996.
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