Tabela Transformada em Z

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APSI - Processamento de Sinal 1 
 
 
 
J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2001 
 
Tabela de Transformadas em z 
x(n) ⇔ X(z) ∑∞
−∞=
−=
n
nznx )( em Rx 
 
Regra Sequência Transformada Região de convergência 
Dirac δ(n) 1 ∀z 
Heaviside u(n) z/(z-1) |z| > 1 
Impulso 
rectangular u(n+L)- u(n-L+1) 1
)1(
1 −
+−
−
−
z
zz LL ∀z 
Exponencial an u(n) z/(z-a) |z| > a 
Exponencial 
simétrica a
|n| )1)(( azaz
z
−− |z| > a 
Linearidade a x(n) + b y(n) a X(z) + b Y(z) ⊃ Rx ∩ Ry 
Translação no 
tempo x(n – n0) X(z)z
-n0 Rx ± 0 ou ∞ 
Escalamento )(nxa n X(z/a) |a| Rx 
Diferenciação 
em z nx(n) dz
zdXz )(− Rx ± 0 ou ∞ 
Conjugação x*(n) X* (z*) Rx 
Inversão no 
tempo x(-n) X(1/z) 1/ Rx 
 
APSI - Processamento de Sinal 2 
 
 
 
J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2001 
 
Convolução )()( nynx ⊗ X(z)Y(z) ⊃ Rx ∩ Ry 
Correlação )()( nynx −⊗ )()( 1−zYzX ⊃ Rx ∩ Ry 
Multiplicação )()( nynx ∫ − λλλλπ d
zYX
j
1)()(
2
1 Pelo menos (*) 
rxl ryl<|z|< rxuryu 
Parseval ∑∞
−∞=n
nynx )()( * ∫ − ννννπ dYXj 1** )/1()(2
1
 
Valor inicial x(n) causal )(lim)0( zXx z ∞→= 
Valor final x(n) causal )()1(lim)( 1
zXzx
z
−=∞ → 
Soma ∑
=
= n
i
ixny
0
)()( )(
1
)( zX
z
zzY −= |z|>max{1, Rx} 
Priodicidade 
xp(n) periódica, 
xp(n) = xp(n+N) )(1
)( zX
z
zzX N
N
p −= 
|z|>1 
(*) rxl : raio mínimo de Rx 
rxu : raio máximo de Rx 
 
 
 
APSI - Processamento de Sinal 3 
 
 
 
J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2001 
 
Tabela de Transformadas em z para Sinais Causais 
x(n) u(n) ⇔ X(z) ∑∞
=
−=
0
)(
n
nznx em pelo menos rxl <|z|≤ rxu 
 
Sequência Transformada 
e-an z/(z-e-a) 
n z/(z-1)2 
nk ( )k
k
kk
dz
zzdz )1/()1( −− 
n(k)=n(n-1)… (n-k+1) 1)1(
! +− kz
zk 
(-1)k(n-1)(n-2)…(n-k)x(n-k) Xk(z) 
cn /n! ec/z 
cn /n! , n ímpar sinh(c/z) 
cn /n! , n par cosh(c/z) 
 (ln c)n /n! c1/z 
nknac
n
k −


, n≤ k k
k
z
caz )( + 
nc
n
kn


 + 1
1
)( +
+
− k
k
cz
z 
 
APSI - Processamento de Sinal 4 
 
 
 
J.P. Marques de Sá - Fac. Eng. Univ. do Porto, Portugal 2001 
 
sin(an) 
1)cos(2
)sin(
2 +− azz
az 
cos(an) 
1)cos(2
))cos((
2 +−
−
azz
azz 
sin(an+ϕ) 
1)cos(2
)sin()sin(
2
2
+−
−+
azz
azz ϕϕ 
sinh(an) 
1)cosh(2
)sinh(
2 +− azz
az 
cos(an) 
1)cosh(2
))cosh((
2 +−
−
azz
azz 
1/n, n>0 
1
ln −z
z 
n
e an−−1 , a>0 
1
ln −
−+
−
z
eza
a