Séries e Transformadas de Fourier

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FÍSICA:ONDULATÓRIA E ÓPTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
Neste módulo, você estudará as séries e transformadas de Fourier. Jean 
Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) foi um renomado matemático e físico francês 
que fez contribuições significativas nos campos da calorimetria e do cálculo. Em 
sua homenagem, seu nome foi atribuído às séries e transformadas utilizadas em 
sinais elétricos de regime contínuo, amplamente empregadas na engenharia 
elétrica. 
Fourier descobriu que qualquer função, seja ela periódica ou não, pode ser 
representada por uma soma infinita de funções senoidais e cossenoidais. A 
transformada de Fourier, que é um caso particular da transformada de Laplace, 
converte uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência angular, 
gerando o espectro de frequências do sinal. Hoje, a transformada de Fourier é 
aplicada em diversas áreas, especialmente no processamento de sinais. 
 
Bons estudos! 
 
AULA 04 – 
INTRODUÇÃO À 
APLICAÇÃO DE SÉRIES 
E TRANSFORMADA DE 
FOURIER 
 
 
 
4 CARACTERIZAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER 
Sinais periódicos complexos podem ser decompostos em uma série 
trigonométrica de Fourier, sendo uma soma de senos e cossenos com diferentes 
amplitudes, fases e frequências. Esta decomposição simplifica o estudo do conteúdo 
do sinal (LATHI,2006). 
Os sinais complexos são uma composição de senos e cossenos (Figura 1), 
conforme a expressão matemática a seguir: 
À expressão é dado o nome de série trigonométrica de Fourier. 
Onde: 
O coeficiente a0 é o valor médio da função f(t) no intervalo de 0 a T; 
an e bn são os coeficientes da série de Fourier; 
ω0 é a velocidade angular em radianos/segundos da função f(t) e equivale a 
2 ∙ π ∙ f0, com f0 a frequência em Hz; 
T é o intervalo da função f(t). 
 
Figura 1 - Forma de onda senoidal periódica e harmônica e forma de onda 
complexa 
 
 
Fonte: https://shre.ink/DiPE 
O valor médio de uma função (Vm) é assim definido conforme a teoria do cálculo 
(STEWART, 2011): 
 
Os coeficientes na forma de integral ficam: 
Características da transformada de Fourier 
Conforme Roland, Albert e Toussaint (2011), a característica fundamental de 
uma série de Fourier é a periodicidade dos sinais que a compõem. Para sinais 
aperiódicos, é necessária a utilização da transformada de Fourier para identificar as 
frequências que fazem parte do sinal elétrico. 
Então, segundo Haykin e Venn (2001), sendo f uma função integrável, a 
 
 
transformada de Fourier relacionará as funções no domínio do tempo com as funções 
no domínio da frequência, podendo ser escrita da seguinte maneira: 
 
A Figura 2 ilustra as características de alguns dos principais sinais elétricos no 
domínio do tempo transformados para o domínio da frequência. 
Figura 2 - Sinais no domínio do tempo e da frequência 
Fonte: https://shre.ink/DZmS 
Observe as curvas da Figura 2. A transformada de Fourier se destaca por sua 
capacidade de converter um sinal periódico no tempo em um espectro de frequência 
único (como no caso da onda cossenoidal) e um sinal aperiódico em uma faixa 
contínua de frequências uniformes. 
Assim como ocorre com as transformadas e antitransformadas de Laplace, a 
operação inversa da transformada de Fourier é a antitransformada de Fourier, que 
pode ser descrita pela seguinte expressão: 
 
 
 
A característica principal, tanto da transformada quanto da antitransformada de 
Fourier, é que a frequência complexa s terá apenas a componente complexa jω, 
diferindo-se da transformada de Laplace, em que a frequência complexa contempla a 
parte real σ. Assim, para Fourier: s = 𝜎 = jω com 𝜎 = 0. 
Séries e transformadas de Fourier em processamento de sinais 
A variação de informações conforme a passagem do tempo recebe o nome de 
sinal (NALON,2009). Já à manipulação de tais sinais para a obtenção de um resultado 
desejado dá-se o nome de processamento de sinais. O processamento do sinal é 
facilitado quando analisado no domínio da frequência angular. Para isso, é necessário 
aplicar a transformada de Fourier ao sinal no domínio do tempo. O método aplicado é 
o uso da tabela de transformadas ilustrada no Quadro 1. 
Quadro 1 - Funções no domínio do tempo e suas respectivas transformadas de 
Fourier 
x(t) X(ω) 
e –atu(t) 
 
eatu(–t) 
 
e–a|t| 
 
t ∙ e–atu(t) 
 
tn ∙ e–atu(t) 
 
𝛿(t) 1 
1 
ejω0t 
 
cos(ω0t) 
 
sen(ω0t) 
 
 
 
u(t) 
 
cos(ω0t) ∙ u(t) 
 
sen(ω0t) ∙ u(t) 
 
e –at ∙ cos(ω0t) ∙ u(t) 
 
e–at ∙ cos(ω0t) ∙ u(t) 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Lathi (2006). 
O exercício das propriedades das transformadas de Fourier denota um 
processamento de funções ou sinais, exemplificados a seguir (LATHI, 2006). 
Linearidade 
A transformada da soma de funções multiplicadas por coeficientes complexos 
é a mesma se tais coeficientes forem multiplicados por suas funções transformadas: 
 
Mudança de escala 
 
Modulação 
 
Translação no tempo 
 
Teorema de Plancherel 
 
 
 
 
Exemplo: 
Determinação da série de Fourier da função f(t) = t2 no intervalo de –π a π. 
Cálculo de a0: 
 
Substituindo o intervalo T = π e f(t) na expressão anterior, você tem: 
Cálculo do coeficiente αn: 
 
Substituindo o intervalo T = π e f(t) na expressão anterior, você tem: 
 
Integrando por partes: 
Chamando u = t2, du = 2t ∙ dt e dv = cos (nt). dt, v = 
Substituindo na equação original e utilizando a relação: 
 
 
 
 
Como sen(nπ) = 0 e sen (0) = 0, o primeiro termo entre parênteses é nulo, assim: 
Novamente é necessária a integração por partes. 
Chamando u = t e dv = sen(nt), você tem: 
Substituindo em an: 
 
Analisando o primeiro termo: – t ∙ cos(nt) para n par e diferente de zero e t = π, 
cos(nt) = 1, e para n ímpar cos(nt) = –1, você pode escrever: 
O segundo termo entre parênteses, –sen(nt)/n, será nulo, pois tanto sen(π) 
quando sen (0) é zero. 
Assim: 
Portanto: 
 
Cálculo de bn: 
 
Substituindo os valores de T e f(t): 
 
 
 
Como t2 é uma função par e sen(nt) uma função ímpar, o produto delas 
resultará numa função ímpar cuja integral é zero. Assim, o coeficiente bn = 0. Dessa 
forma, você finalmente pode escrever a série de Fourier de f(t) = t2, que será uma 
outra função g(t) periódica: 
 
Concluindo: a série g(t) é a extensão periódica da função f(t), representada a 
seguir no intervalo de –2π a +2π, porém seu domínio se estende desde –∞ até +∞ 
(Figura 3). 
Figura 3 - Representação do intervalo de –2π a +2π 
Fonte: https://shre.ink/DiPE 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
HAYKIN, S.; VENN, B. V. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
NALON, J. A. Introdução ao processamento digital de sinais. Rio de Janeiro: LTC, 
2009. 
ROLAND, E. T.; ALBERT, J. R.; TOUSSAINT, G. J. Análise e projeto de circuitos 
elétricos lineares. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	4 CARACTERIZAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER
	REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS