02 Matematica

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Câmara de Cubatão-SP 
 
Teoria dos Conjuntos ........................................................................................................................... 1 
Conjuntos dos números Reais (R): operações, propriedades e problemas ........................................ 12 
Cálculos Algébricos ........................................................................................................................... 18 
Grandezas Proporcionais - Regra de Três Simples e Composta ....................................................... 21 
Porcentagem e Juro Simples ............................................................................................................. 35 
Sistema Monetário Brasileiro ............................................................................................................. 44 
Equação do Primeiro e Segundo Graus - problemas ......................................................................... 51 
Sistema Decimal de Medidas (comprimento, superfície, volume, massa, capacidade e tempo) - 
transformação de unidades e resolução de problemas ........................................................................... 65 
Geometria: ponto, reta, plano ............................................................................................................ 74 
Ângulos .............................................................................................................................................. 81 
Polígonos ........................................................................................................................................... 89 
Triângulos .......................................................................................................................................... 95 
Quadriláteros ................................................................................................................................... 114 
Circunferência, círculo e seus elementos respectivos ...................................................................... 119 
Figuras geométricas planas (perímetros e áreas) ............................................................................ 125 
Sólidos geométricos (figuras espaciais): seus elementos e volumes ............................................... 135 
Funções do 1º e 2º graus ................................................................................................................. 147 
Sequências, Progressões Aritméticas e Geométricas ...................................................................... 169 
Resolução de problemas ................................................................................................................. 179 
 
 
Candidatos ao Concurso Público, 
O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
desempenho na prova. 
As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
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- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores@maxieduca.com.br 
 
CONJUNTOS 
 
Conjunto1 é uma reunião ou agrupamento, que poderá ser de pessoas, seres, objetos, classes…, dos 
quais possuem a mesma característica e nos dá ideia de coleção. 
 
Noções Primitivas 
Na teoria dos conjuntos, três noções são aceitas sem definições: 
- Conjunto; 
- Elemento; 
- E a pertinência entre um elemento e um conjunto. 
 
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de 
conjuntos pois possuem elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um 
livro. 
 
Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto. 
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras 
minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. 
A relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. 
 
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈A. 
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. 
 
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x

A. 
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. 
 
Como representar um conjunto 
1) Pela designação de seus elementos 
Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. 
 
Exemplos: 
{a, e, i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais 
{1, 2, 5,10} indica o conjunto formado pelos divisores naturais de 10. 
 
2) Pela sua característica 
Escrevemos o conjunto enunciando uma propriedade ou característica comum de seus elementos. 
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: 
{x, | (tal que) x tem a propriedade P}. 
 
Exemplos: 
- {x| x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u}. 
- {x | x são os divisores naturais de 10} é o mesmo que {1, 2, 5,10}. 
 
 
 
 
1GONÇALVES, Antônio R. - Matemática para Cursos de Graduação – Contexto e Aplicações 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
Teoria dos Conjuntos 
 
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3) Pelo diagrama de Venn-Euler 
Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma figura em forma de elipse, chamada diagrama 
de Venn. 
 
 
Exemplos: 
- Conjunto das vogais 
 
- Conjunto dos divisores naturais de 10 
 
Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos A e B são ditos iguais (ou idênticos) se todos os seus elementos são iguais, e 
escrevemos A = B. Caso haja algum que não o seja, dizemos que estes conjuntos são distintos e 
escrevemos A ≠ B. 
 
Exemplos: 
a) A = {3, 5, 7} e B = {x| x é primo e 3 ≤ x ≤ 7}, então A = B. 
 
b) B = {6, 9,10} e C = {10, 6, 9}, então B = C, note que a ordem dos elementos não altera a igualdade 
dos conjuntos. 
 
Tipos de Conjuntos 
- Conjunto Universo 
Reunião de todos os conjuntos que estamos trabalhando. 
 
Exemplo: 
Quando falamos de números naturais, temos como Conjunto Universo os números inteiros positivos. 
 
- Conjunto Vazio 
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se por 
0 ou, simplesmente { }. 
 
Exemplo: 
A = {x| x é natural e menor que 0}. 
 
- Conjunto Unitário 
Conjunto caracterizado por possuir apenas um único elemento. 
 
Exemplos: 
- Conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 4. A = {3}. 
- Conjunto dos números inteiros negativos compreendidos entre -5 e -7. B = {- 6}. 
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. 3 
 - Conjuntos Finitos e Infinitos 
Finito: quando podemos enumerar todos os seus elementos. 
Exemplo: Conjuntos dos Estados da Região Sudeste, S= {Rio de Janeiro, São Paulo, Espirito Santo, 
Minas Gerais}. 
Infinito: contrário do finito. 
Exemplo: Conjunto dos números inteiros, Z = {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. A reticências representa o 
infinito. 
 
Relação de Pertinência 
A pertinência é representada pelo símbolo ∈ (pertence) ou 

 não pertence). Ele relaciona elemento 
com conjunto. 
 
Exemplo: 
Seja o conjunto B = {1, 3, 5, 7} 
 1∈ B, 3 ∈ B, 5 ∈ B 
 2 

B, 6 

 B , 9 

 B 
 
Subconjuntos 
Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um outro conjunto B, dizemos 
que A é subconjunto de B. 
Podemos dizer ainda que subconjunto é quando formamos vários conjuntos menores com as mesmas 
caraterísticas de um conjunto maior. 
 
Exemplos: 
- B = {2, 4} ⊂ A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 2 ∈ {2, 3, 4, 5, 6} e 4 ∈ {2, 3, 4, 5 ,6} 
 
 
- C = {2, 7, 4} 

 A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 7 

 {2, 3, 4, 5, 6} 
- D = {2, 3} ⊂ E = {2, 3}, pois 2 ∈ {2, 3} e 3 ∈ {2, 3} 
 
 
DICAS: 
1) Todo conjunto A é subconjunto dele próprio; 
2) O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto; 
3) O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. 
 
Exemplo: Pegando o conjunto B acima, temos as partes de B: 
B= {{ },{2},{4},B} 
Podemos concluir com essa propriedade que: Se B tem n elementos, então B possui 2n 
subconjuntos e, portanto, P(B) possui 2n elementos. 
Se quiséssemos saber quantos subconjuntos tem o conjunto A = {2, 3, 4, 5, 6}, basta calcularmos 
aplicando o fórmula: 
Números de elementos(n)= 5 → 2n = 25 = 32 subconjuntos, incluindo o vazio e ele próprio. 
 
 
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. 4 
Relação de inclusão 
Deve ser usada para estabelecer a relação entre conjuntos com conjuntos, verificando se um conjunto 
é subconjunto ou não de outro conjunto. 
Representamos as relações de inclusão pelos seguintes símbolos: 
 
⊂→Está contido ⊃→Contém 
⊄→Não está contido ⊅→Não contém 
 
Exemplo: 
Seja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4} 
Dizemos que B ⊂ A ou que A ⊃ B 
 
Operações com Conjuntos 
- União de conjuntos 
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem 
a A ou a B. Representa-se por A U B. 
Simbolicamente: A U B = {x | x∈A ou x∈B} 
 
Exemplos: 
- {2, 3} U {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6} 
- {2, 3, 4} U {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} 
- {2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 
- {a, b} U 

 = {a, b} 
 
- Intersecção de conjuntos 
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, 
simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A∩B. Simbolicamente: A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
Exemplos: 
- {2, 3, 4} ∩ {3, 5} = {3} 
- {1, 2, 3} ∩{2, 3, 4} = {2, 3} 
- {2, 3} ∩{1, 2, 3, 5} = {2, 3} 
- {2, 4} ∩{3, 5, 7} = 

 
 
Observação: Se A∩B =

, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
- Propriedades dos conjuntos disjuntos 
1) A U (A ∩ B) = A 
2) A ∩ (A U B) = A 
3) Distributiva da reunião em relação à intersecção: A U (B U C) = (A U B) ∩ (A U C) 
4) Distributiva da intersecção em relação à união: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) 
 
 
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. 5 
- Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre 
os respectivos números de elementos. 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas 
vezes. 
Observações: 
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim 
a relação dada será verdadeira. 
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma 
eficiência. 
 
Observe o diagrama e comprove: 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
- Propriedades da União e Intersecção de Conjuntos 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 
1) Idempotente: A U A = A e A ∩ A= A 
2) Elemento Neutro: A U Ø = A e A ∩ U = A 
3) Comutativa: A U B = B U A e A ∩ B = B ∩ A 
4) Associativa: A U (B U C) = (A U B) U C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
 
- Diferença 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A 
e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Para determinar a diferença entre conjuntos, basta 
observamos o que o conjunto A tem de diferente de B. 
Simbolicamente: A – B = {x | x ∈ A e x 

 B} 
 
 
Exemplos: 
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}  A – B = {1, 3} e B – A =
 
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}  A – B = {1} e B – A = {4} 
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5}  A – B = {0, 2, 4} e B – A = {1, 3, 5} 
 
Note que A – B ≠ B - A 
 
 
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. 6 
- Complementar 
Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A (B é subconjunto de A), chama-se complementar de B 
em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. 
 
Dizemos complementar de B em relação a A. 
 
 
Exemplos: 
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 
a) A = {2, 3, 4} 
A
 = {0, 1, 5, 6} 
b) B = {3, 4, 5, 6 } 
B
= {0, 1, 2} 
c) C = 

C
= S 
 
Resolução de Problemas Utilizando Conjuntos 
Muitos dos problemas constituem- se de perguntas, tarefas a serem executadas. Nos utilizaremos 
dessas informações e dos conhecimentos aprendidos em relação as operações de conjuntos para 
resolvê-los. 
 
Exemplos: 
1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos, A e B, obteve-se os seguintes 
resultados. Noventa e duas disseram que gostam do partido A, oitenta pessoas disseram que gostam do 
partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. Quantas pessoas responderam 
à pesquisa? 
Resolução pela Fórmula 
» n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
» n(A U B) = 92 + 80 – 35 
» n(A U B) = 137 
 
Resolução pelo diagrama: 
- Se 92 pessoas responderam gostar do partido A e 35 delas responderam que gostam de ambos, 
então o número de pessoas que gostam somente do partido A é: 92 – 35 = 57. 
- Se 80 pessoas responderam gostar do partido B e 35 delas responderam gostar dos dois partidos, 
então o número de operários que gostam somente do partido B é: 80 – 35 = 45. 
- Se 57 gostam somente do partido A, 45 responderam que gostam somente do partido B e 35 
responderam que gostam dos dois partidos políticos, então o número de pessoas que responderam à 
pesquisa foi: 57 + 35 + 45 = 137. 
 
 
2) Num grupo de motoristas, há 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem 
automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há no grupo? 
(A) 16 motoristas 
(B) 32 motoristas 
(C) 48 motoristas 
(D) 36 motoristas 
 
 
 
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. 7 
Resolução: 
 
Os que dirigem automóveis e motocicleta: 8 
Os que dirigem apenas automóvel: 28 – 8 = 20 
Os que dirigem apenas motocicleta: 12 – 8 = 4 
A quantidade de motoristas é o somatório: 20 + 8 + 4 = 32 motoristas. 
Resposta: B 
 
3) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos 
estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da 
cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles que utilizam as duas empresas? 
(A) 20% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 33% 
(E) 35% 
Resolução: 
 
70 – 50 = 20. 
20% utilizam as duas empresas. 
Resposta: A. 
 
Questões 
 
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Dos 43 vereadores de uma cidade, 
13 dele não se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento Básico. Sete dos 
vereadores se inscreveramnas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas 
comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e 
Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número 
de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a 
(A) 15. 
(B) 21. 
(C) 18. 
(D) 27. 
(E) 16. 
 
02. (EBSERH/HU-UFS/SE - Tecnólogo em Radiologia - AOCP) Em uma pequena cidade, circulam 
apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma pesquisa realizada com os moradores dessa 
cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, 
quantos por centos não leem nenhum dos dois jornais? 
(A) 15% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 29% 
(E) 35% 
 
03. (TRT 19ª – Técnico Judiciário – FCC) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar documentos 
15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para atender ao público. 
Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes de arquivar 
documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de classificar 
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. 8 
processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 técnicos. Considerando que 
todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente, eles somam um total de 
(A) 58. 
(B) 65. 
(C) 76. 
(D) 53. 
(E) 95. 
 
04. (Metrô/SP – Oficial Logística –Almoxarifado I – FCC) O diagrama indica a distribuição de atletas 
da delegação de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe-se que esse país 
conquistou medalhas apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da delegação 
desse país que ganhou uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do mesmo tipo (ouro, 
prata, bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país ganharam, 
cada um, apenas uma medalha de ouro. 
 
A análise adequada do diagrama permite concluir corretamente que o número de medalhas 
conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de 
(A) 15. 
(B) 29. 
(C) 52. 
(D) 46. 
(E) 40. 
 
05. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância em Saúde NM – AOCP) Qual é o número de elementos 
que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, menores que 31? 
(A) 9 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 12 
(E) 13 
 
06. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância Em Saúde NM – AOCP) Considere dois conjuntos A e 
B, sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a alternativa que apresenta o 
conjunto B. 
(A) {1;2;3} 
(B) {0;3} 
(C) {0;1;2;3;5} 
(D) {3;5} 
(E) {0;3;5} 
 
07. (Pref. de Inês – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa biblioteca são lidos 
apenas dois livros, K e Z. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. Sabendo-se que 
todo frequentador é leitor de pelo menos um dos livros, a opção que corresponde ao percentual de 
frequentadores que leem ambos, é representado: 
(A) 26% 
(B) 40% 
(C) 34% 
(D) 78% 
(E) 38% 
 
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08. (Metrô/SP – Engenheiro Segurança do Trabalho – FCC) Uma pesquisa, com 200 pessoas, 
investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou-se que 92 
pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam as 
linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total 
de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente 
que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a 
(A) 50. 
(B) 26. 
(C) 56. 
(D) 10. 
(E) 18. 
 
09. (Pref. de Inês – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa recepção, foram 
servidos os salgados pastel e casulo. Nessa, estavam presentes 10 pessoas, das quais 5 comeram pastel, 
7 comeram casulo e 3 comeram as duas. Quantas pessoas não comeram nenhum dos dois salgados? 
(A) 0 
(B) 5 
(C) 1 
(D) 3 
(E) 2 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Em uma 
pesquisa realizada com alunos de uma universidade pública sobre a utilização de operadoras de celular, 
constatou-se que 300 alunos utilizam a operadora A, 270 utilizam a operadora B, 150 utilizam as duas 
operadoras (A e B) e 80 utilizam outras operadoras distintas de A e B. 
Quantas pessoas foram consultadas? 
(A) 420 
(B) 650 
(C) 500 
(D) 720 
(E) 800 
 
Gabarito 
 
01. C / 02. D / 03. B / 04. D / 05. B / 06. E / 07. B / 08. E / 09. C / 10. C 
 
Comentários 
 
01. Resposta C 
De acordo com os dados temos: 
7 vereadores se inscreveram nas 3. 
APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma fazer 
nos conjuntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três) 
APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico. 
São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, pois 13 dos 43 não se inscreveram. 
Portanto, 30 – 7 – 12 – 8 = 3 
Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores. 
 
Em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18 
 
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. 10 
02. Resposta D 
 
26 + 7 + 38 + x = 100 
x = 100 - 71 
x = 29% 
 
03. Resposta B 
Técnicos arquivam e classificam: 15 
Arquivam e atendem: 46 – 15 = 31 
Classificam e atendem: 4 
Classificam: 15 + 4 = 19 como são 27 faltam 8 
Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capazes de classificar processos, logo apenas 11 - 
4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público. 
Somando todos os valores obtidos no diagrama teremos: 31 + 15 + 7 + 4 + 8 = 65 técnicos. 
 
04. Resposta D 
O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas. 
No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três 
medalhas multiplica-se por 3. 
Intersecções: 
6 ∙ 2 = 12 
1 ∙ 2 = 2 
4 ∙ 2 = 8 
3 ∙ 3 = 9 
Somando as outras: 
2 + 5 + 8 + 12 + 2 + 8 + 9 = 46 
 
05. Resposta B 
Se nos basearmos na tabuada do 3, teremos o seguinte conjunto 
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
10 elementos. 
 
06. Resposta E 
A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B. 
A – B são os elementos que tem em A e não em B. 
Então de A  B, tiramos que B = {0; 3; 5}. 
 
 
 
 
 
 
 
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. 11 
07. Resposta B 
 
 
80 – x + x + 60 – x = 100 
- x = 100 - 140 
x = 40% 
 
08. Resposta E 
 
 
92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200 
92 - [80 - x] + 94 - [98 - x] + 110 - [102 - x] + 38 + 42 – x + 60 – x + 26 = 200 
92 – 80 +x + 94 – 98 +x + 110 – 102 + x + 166 -2x = 200 
x + 462 – 280 = 200  x + 182 = 200  x = 200-182  x = 18 
 
09. Resposta C 
 
 
2 + 3 + 4 + x = 10 
x = 10 - 9 
x = 1 
 
10. Resposta C 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 12 
300 – 150 = 150 
270 – 150 = 120 
Assim: 150 + 120 + 150 + 80 = 500(total). 
 
 
 
O conjunto dos números reais2 R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não será irracional, e vice-versa). 
 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+= {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Ordenação dos números reais 
 
A representação dos números reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números reais 
positivos, são maiores que zero e os negativos, menores que zero. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: 
Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤ 5 ↔ 5 - ( - 15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
 
 
 
 
2IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
Conjuntos dos números Reais (R): operações, propriedades e problemas 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 13 
Intervalos reais 
 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
 
> ;< ou ] ; [ 
 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ou [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
 
 
 
Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em 
sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito, em haver e etc. Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
 
Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o 
sinal. 
 
Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com números relativos 
 
1) Adição e subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e divisão de números relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 14 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número 
real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) I, II e III são falsas. 
(D) apenas II e III são falsas. 
 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto 
que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, 
Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. 
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 de um quilômetro, 
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 
(A) 
2
3
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 15 
(B) 
3
4
 
 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
 
06. (TJ/SP - Auxiliar de Saúde Judiciário - Auxiliar em Saúde Bucal – VUNESP) Para numerar as 
páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para 
numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O 
total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o 
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. 
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o 
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi 
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, 
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta 
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional 
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 16 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x –15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Alternativa: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
03. Alternativa: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Alternativa: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Alternativa: E. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 17 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Alternativa: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Alternativa: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
08. Alternativa: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
09. Alternativa: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 35. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número 66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
10. Alternativa: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
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. 18 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
 
 
Cálculo algébrico é aquele onde não se trabalha a resolução de problemas e sim onde diferenciamos, 
um monômio, binômio, trinômio, polinômio, e suas referidas operações elementares (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). 
 
Expressões Algébricas: São aquelas que contêm números e letras. 
Ex.: 2ax² + bx 
 
Variáveis: São as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de 
princípio não possuem um valor definido. 
 
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por 
números e efetuamos suas operações. 
 
Ex: Sendo x = 1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: 
x² + y → 1² + 2 = 3; Portando o valor numérico da expressão é 3. 
 
Monômio: Os números e letras estão ligados apenas por produtos. 
Ex.: 4x 
 
Binômio: São as operações de adição e subtração entre dois monômios. 
Ex.: 4x + 5x 
 
Trinômio: São operações de adição e subtração entre três monômios. 
Ex.: 3x² + 3x + 4 
 
Polinômio: É a soma ou subtração de monômios. 
Ex.: 4x + 2y 
 
Termos semelhantes: São aqueles que possuem partes literais iguais (variáveis). 
Ex.: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z  são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal. 
 
Adição e Subtração de expressões algébricas 
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos 
semelhantes. 
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 
 2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z 
 
Convém lembrar-se dos jogos de sinais. 
 
Na expressão: 
 
 
 
 
Cálculos Algébricos 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 19 
Multiplicação e Divisão de expressões algébricas 
Devemos usar a propriedade distributiva. Exemplos: 
 
2) (a + b).(x + y) = ax + ay + bx + by 
3) x (x² + y) = x³ + xy 
 
 Obs.: Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
 Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes. Exemplos: 
1) 4x² ÷ 2x = 2x 
2) (6x³ - 8x) ÷ 2x = 3x² - 4 
3) = 
 
Resolução: 
 
 
Potenciação de monômios 
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da potenciação: 
 
I- (a . b)m = am . bm 
II- (am)n = am . n 
 
Veja alguns exemplos: 
(-5x2b6)2 aplicando a propriedade 
 
(-5)2 . (x2)2 . (b6)2 = 25 . x4 . b12 = 25x4b12 
 
Radiciação de monômios 
Na radiciação de monômios retiramos a raiz do coeficiente numérico e também de cada um de seus 
fatores, em resumo isso equivale a dividirmos cada expoente dos fatores pelo índice da raiz. 
 
Exemplo 
A raiz de √9𝑥4𝑦6𝑧2 
√9𝑥4𝑦6𝑧2 → √9. √𝑥4. √𝑦6. √𝑧2 → 3. 𝑥4:2. 𝑦6:2. 𝑧2:2 → 3𝑥2𝑦3𝑧 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Terra de Areia/RS – Agente Administrativo – OBJETIVA) Assinalar a alternativa que 
apresenta o resultado do polinômio abaixo: 
2x(5x + 7y) + 9x(2y) 
(A) 10x + 14xy + 18yx 
(B) 6x² + 21xy 
(C) 10x² + 32xy 
(D) 10x² + 9y 
(E) 22x + 9y 
 
02. (Pref. de Cipotânea/MG – Auxiliar Administrativo – REIS&REIS) Subtraia os polinômios 
abaixo: 
(-12ab + 6a) – (-13ab + 5a) = 
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. 20 
(A) 2ab + a 
(B) a + b 
(C) ab + a 
(D) ab + 2a 
(E) -14ab 
 
03. (Pref. de Trindade/GO – Auxiliar Administrativo – FUNRIO) Um aluno dividiu o polinômio 
(x2 − 5x + 6) pelo binômio (x − 3) e obteve, corretamente, resto igual zero e quociente (ax + b). O 
valor de (a − b) é igual a: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
04. Se A = x² - 2x + 3 e B = 3x² - 8x + 5, então o valor de 2A – 3B é: 
(A) -7x² + 20x -9 
(B) -7x² + 20x -15 
(C) -9x² + 10x -9 
(D) x² + 20x -9 
(E) 4x² - 10x + 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
2x (5x + 7y) + 9x(2y) 
10x² + 14xy + 18xy 
10x² + 32xy 
 
02. Resposta: C. 
(-12ab + 6a) – (-13ab + 5a) 
= -12ab + 6a +13ab - 5a 
= ab + a 
 
03. Resposta: D. 
 
O Polinômio "x² -5x +6" é dividido por "x - 3" gerando o resultado de "x - 2", o termo que acompanha 
o "x" será o "a" e o que está sozinho será o "b", então: 
Se o quociente é (ax+b), temos que o quociente da nossa questão é x-2, como a questão pede (a-b), 
que será a=1 e b= -2 --> (1 - (-2)) = 1+2 = 3 
 
04. Resposta: A. 
Se A = x² - 2x + 3 e B = 3x² - 8x + 5 
Então, 
2A = 2.( x² - 2x + 3) = 2x² - 4x + 6 
3B = 3.(3x² - 8x + 5) = 9x² - 24x + 15. 
Assim 2A – 3B = 
2x² - 4x + 6 – (9x² - 24x + 15) 
2x² - 4x + 6 –9x² + 24x – 15 = 
-7x² + 20x -9 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 21 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamenteou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples3. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
 
3MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
Grandezas Proporcionais - Regra de Três Simples e Composta 
 
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. 22 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
2) Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375 corresponde 22 minutos (0,375 x 60 minutos), então o percurso será feito em 4 horas e 
22 minutos aproximadamente. 
 
3) Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 23 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte 
e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por 
quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 24 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala 
era 1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 25 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 
75 anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de 
vida que ele jáviveu é 
(A) 
4
7
 
 
(B) 
5
6
 
 
(C) 
4
5
 
 
(D) 
3
4
 
 
(E) 
2
3
 
 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 26 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C. 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C. 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C. 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples: 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 27 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A. 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A. 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D. 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
 
08. Resposta: B. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E. 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C. 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 28 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D. 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C. 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B. 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C. 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
15. Resposta: E. 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta4. 
 
Exemplos: 
1) Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
4MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 29 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, 
o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
(máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das 
outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas 






300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
2) Uma empreiteira contratou210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 
meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será 
indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 30 
 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
 
Questões 
 
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O trabalho de varrição de 6.000 m² 
de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as 
mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o 
tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
02. (Pref. Corbélia/PR – Contador – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 
8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse 
constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma 
área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi 
afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes 
levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo 
ritmo de trabalho, será: 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
04. (TRF 3ª – Técnico Judiciário – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias em 
1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade 
que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – FCC) Para inaugurar no prazo a 
estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, de mesma 
capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a 
obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 31 
mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por 
dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam trabalhando, para que a obra seja 
concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes 
trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo 
modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? 
(A) 14 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 
trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. 
Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias 
que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora 
a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
10. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis 
clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência 
e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 
45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 32 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x. 
m² varredores horas 
6000--------------18-------------- 5 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80-------- x 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
 
03. Resposta: B. 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamento esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 8---------------9-------------- 27 
 10----------------8----------------x 
 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 
 
04. Resposta: C. 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
 Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
 Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma, invertendo os valores de” máquina”. 
 Máquina cópias tempo 
 7----------------80----------75 segundos 
 1--------------3360--------- x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
 → x.7.80= 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 33 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A. 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 
 Operários  horas dias 
 x -------------- 6 -------------- 42 
 128 ------------ 8 -------------- 24 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
06. Resposta: E. 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 10 -------------- 10 ------------ 8 
 2000 -------------- 16 -------------- x -------------- 6 
 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
10
𝑥
=
80000
192000
 
 
80. 𝑥 = 192.10 
 
𝑥 = 
1920
80
 
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamente proporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 34 
5
𝑥
= 
5
4
 .
13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
 
08. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 
 
09. Resposta: B. 
Funcionários horas dias 
 10 ----------------- 8 ----------- 27 
 8 ------------------ 9 ----------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 10 ----------------- 8 ----------- x 
 8 ------------------ 9 ----------- 27 
 
𝑥
27
=
10
8
∙
8
9
 
 
 72𝑥 = 2160 
 
 𝑥 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
10. Resposta: B. 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 caixas clientes minutos 
 5 ----------------- 6 ----------- 10 
 2 ----------------- 45 ----------- x 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 35 
 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem5. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um 
"todo" se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
, = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
, = 12,5% 
 
Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 
 
2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes 
na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
5IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
Porcentagem e Juro Simples 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 36 
Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre 
o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
Aumento e Desconto Percentuais 
 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
2 - Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200100
).V = (1+2).V = 3.V 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 37 
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo 
é aumentada de: 
(A)35% 
(B)30% 
(C)3,5% 
(D)3,8% 
(E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Resposta E 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era 
o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 38 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um 
desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
comprou um produto e pagou R$ 108,00, já inclusos 20% de juros. Se tivesse comprado o produto, com 
25% de desconto, então, Marcos pagaria o valor de: 
(A) R$ 67,50 
(B) R$ 90,00 
(C) R$ 75,00 
(D) R$ 72,50 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – VUNESP) 
O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários, sendo que 15% deles são 
estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% estagiários. Em 
relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é igual a 
(A) 1/5. 
(B) 1/6. 
(C) 2/5. 
(D) 2/9. 
(E) 3/5. 
 
03. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Quando 
calculamos 15% de 1.130, obtemos, como resultado 
(A) 150 
(B) 159,50; 
(C) 165,60; 
(D) 169,50. 
 
04. (ALMG – Analista de Sistemas – FUMARC) O Relatório Setorial do Banco do Brasil publicado 
em 02/07/2013 informou: 
[...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o 
último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, 
o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte 
dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a 
cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda 
aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam 
cenário mais positivo para o combustível. 
Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013. 
 
Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que 
o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 39 
(A) 42,72 
(B) 43,86 
(C) 44,48 
(D) 54,03 
 
05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Um vendedor recebe comissões mensais da 
seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 10.000,00 vendidos, 
e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 
36.000,00, quanto será a comissão do vendedor? 
(A) R$ 2.120,00 
(B) R$ 2.140,00 
(C) R$ 2.160,00 
(D) R$ 2.180,00 
(E) R$ 2.220,00 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 40 
10. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do 
valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
Como o produto já está acrescido de 20%juros sobre o seu preço original, temos que: 
100% + 20% = 120% 
Precisamos encontrar o preço original (100%) da mercadoria para podermos aplicarmos o desconto. 
Utilizaremos uma regra de 3 simples para encontrarmos: 
R$ % 
108 ---- 120 
 X ----- 100 
120x = 108.100 → 120x = 10800 → x = 10800/120 → x = 90,00 
O produto sem o juros, preço original, vale R$ 90,00 e representa 100%. Logo se receber um desconto 
de 25%, significa ele pagará 75% (100 – 25 = 75%) → 90. 0,75 = 67,50 
Então Marcos pagou R$ 67,50. 
 
02. Resposta: B. 
* Dep. Contabilidade: 
15
100
. 20 =
30
10
= 3 → 3 (estagiários) 
 
* Dep. R.H.: 
20
100
. 10 =
200
100
= 2 → 2 (estagiários) 
 
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
 
 
03. Resposta: D. 
15% de 1130 = 1130.0,15 ou 1130.15/100 → 169,50 
 
04. Resposta: C. 
1,2% de 45,03 = 
1,2
100
 . 45,03 = 0,54 
Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 
45,03 – 0,54 = 44,49 
 
05. Resposta: B. 
 Cartão de crédito: 10/100. (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 8/100. (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
06. Resposta: E. 
5% de 10000 = 5 / 100. 10000 = 500 
6% de 10000 = 6 / 100. 10000 = 600 
7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100. 16000 = 1120 
Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 
 
07. Resposta: E. 
 Preço de revenda: 1500 + 40 / 100. 1500 = 1500 + 600 = 2100 
 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 41 
08. Resposta: A. 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
09. Resposta: A. 
2,40 . 12 = 28,80 
Segunda embalagem: 28,80. 0,75 = 21,60 
As duas embalagens: 28,80 + 21,60 = 50,40 
Revenda: 3,5. 24 = 84,00 
Lucro: R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 
 
10. Resposta: B. 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
JUROS SIMPLES6 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
Resposta 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
6 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 42 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
Exemplo 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 43 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
Questões 
 
01. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
02. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
 
03. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
04. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa 
deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta 
pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 
3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela 
resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante 
sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante 
desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então 
a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i= 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
 
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. 44 
02. Resposta: B. 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
03. Resposta: C. 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
04. Resposta: C. 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
 
 
 
O primeiro dinheiro do Brasil foi à moeda-mercadoria. Durante muito tempo, o comércio foi feito por 
meio da troca de mercadorias, mesmo após a introdução da moeda de metal. 
As primeiras moedas metálicas (de ouro, prata e cobre) chegaram com o início da colonização 
portuguesa. A unidade monetária de Portugal, o Real, foi usada no Brasil durante todo o período colonial. 
Assim, tudo se contava em réis (plural popular de real) com moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. 
O Real (R) vigorou até 07 de outubro de 1833. De acordo com a Lei nº 59, de 08 de outubro de 1833, 
entrou em vigor o Mil-Réis (Rs), múltiplo do real, como unidade monetária, adotada até 31 de outubro de 
1942, aqui iremos estudar o Sistema Monetário Brasileiro. 
No século XX, o Brasil adotou nove sistemas monetários ou nove moedas diferentes (mil-réis, cruzeiro, 
cruzeiro novo, cruzeiro, cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real, real), por este motivo estaremos 
abordando o sistema monetário brasileiro. 
Por meio do Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942, uma nova unidade monetária, o cruzeiro 
– Cr$ veio substituir o mil-réis, na base de Cr$ 1,00 por mil-réis. 
A denominação “cruzeiro” origina-se das moedas de ouro (pesadas em gramas ao título de 900 
milésimos de metal e 100 milésimos de liga adequada), emitidas na forma do Decreto nº 5.108, de 18 de 
dezembro de 1926, no regime do ouro como padrão monetário. 
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro novo – 
NCr$, na base de NCr$ 1,00 por Cr$ 1.000. A partir de 15 de maio de 1970 e até 27 de fevereiro de 1986, 
a unidade monetária foi novamente o cruzeiro (Cr$). 
Sistema Monetário Brasileiro 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 45 
Em 27 de fevereiro de 1986, Dílson Funaro, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Cruzado (Decreto-
Lei nº 2.283, de 27 de fevereiro de 1986): o cruzeiro – Cr$ se transformou em cruzado – Cz$, na base de 
Cz$ 1,00 por Cr$ 1.000 (vigorou de 28 de fevereiro de 1986 a 15 de janeiro de 1989). Em novembro do 
mesmo ano, o Plano Cruzado II tentou novamente a estabilização da moeda. Em junho de 1987, Luiz 
Carlos Brésser Pereira, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Brésser: um Plano Cruzado “requentado” 
avaliou Mário Henrique Simonsen. 
Em 15 de janeiro de 1989, Maílson da Nóbrega, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Verão (Medida 
Provisória nº 32, de 15 de janeiro de 1989): o cruzado – Cz$ se transformou em cruzado novo – NCz$, 
na base de NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou de 16 de janeiro de 1989 a 15 de março de 1990). 
Em 15 de março de 1990, Zélia Cardoso de Mello, ministra da Fazenda, anunciou o Plano Collor 
(Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990): o cruzado novo – NCz$ se transformou em cruzeiro 
– Cr$, na base de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de 16 de março de 1990 a 28 de julho de 1993). Em 
janeiro de 1991, a inflação já passava de 20% ao mês, e o Plano Collor II tentou novamente a estabilização 
da moeda. 
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de1993, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro real – 
CR$, na base de CR$ 1,00 por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 29 de julho de 1993 a 29 de junho de 1994). 
Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Real: 
o cruzeiro real – CR$ se transformou em real – R$, na base de R$ 1,00 por CR$ 2.750,00 (Medida 
Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994, convertida na Lei nº 9.069, de 29 de junho de 1995). 
O artigo 10, I, da Lei nº 4.595, de 31 de dezembro de 1964, delegou ao Banco Central do Brasil 
competência para emitir papel-moeda e moeda metálica, competência exclusiva consagrada pelo artigo 
164 da Constituição Federal de 1988. 
Antes da criação do BCB, a Superintendência da Moeda e do Crédito (SUMOC), o Banco do Brasil e 
o Tesouro Nacional desempenhavam o papel de autoridade monetária. 
A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por finalidade exercer o controle monetário. 
A SUMOC fixava os percentuais de reservas obrigatórias dos bancos comerciais, as taxas do redesconto 
e da assistência financeira de liquidez, bem como os juros. Além disso, supervisionava a atuação dos 
bancos comerciais, orientava a política cambial e representava o País junto a organismos internacionais. 
O Banco do Brasil executava as funções de banco do governo, e o Tesouro Nacional era o órgão 
emissor de papel-moeda. 
 
 
 
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. 46 
 
 
Como surgiram as moedas 
Por muito tempo, os objetos de metal foram mercadorias muito apreciadas. Como sua produção exigia, 
além do domínio das técnicas de fundição, o conhecimento dos locais onde o metal poderia ser 
encontrado, essa tarefa, naturalmente, não estava ao alcance de todas as pessoas. A valorização, cada 
vez maior, destes instrumentos levou à sua utilização como moeda, e ao aparecimento de réplicas de 
objetos metálicos, em pequenas dimensões, que circulavam como dinheiro. 
Surgem, então, no século VII a.C., as primeiras moedas com características das atuais: são pequenas 
peças de metal, com peso e valor definidos e com a impressão do cunho oficial, isto é, a marca de quem 
as emitiu, e lhes garante seu valor. Moedas de prata foram cunhadas na Grécia. A princípio, essas peças 
eram fabricadas por processos manuais muito rudimentares e não eram exatamente iguais, como as de 
hoje, que são peças absolutamente iguais umas às outras. 
 
Moedas utilizadas no Brasil (Real) 
As moedas utilizadas oficialmente no Brasil, e que compõem o Sistema Monetário Brasileiro são: 
 
 
É interessante notar que a moeda de 1 centavo (R$ 0,01) foi desativada em 2004. 
 
 
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. 47 
Cédulas utilizadas no Brasil (Real) 
 
1ª Família do Real 
 
 
As notas apresentadas no 
anverso e verso. Atualmente 
não circula mais a cédula de 
R$ 1,00, dando lugar a de R$ 
2,00. 
 
As notas da Primeira Família 
continuam valendo e podem 
ser usadas normalmente. Aos 
poucos, serão substituídas 
por suas versões mais 
recentes: a Segunda Famíliado Real. 
 
2ª Família do Real 
 
 
Por que mudar as notas? 
O Real está consolidado como uma moeda forte, utilizado cada vez mais nas transações cotidianas e 
como reserva de valor. Com o avanço das tecnologias digitais nos últimos anos, é necessário dotar as 
nossas cédulas de recursos gráficos e elementos antifalsificação mais modernos, capazes de continuar 
garantindo a segurança do dinheiro brasileiro no futuro. 
 
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. 48 
 
 
Glossário 
 
Banco Central (BC ou Bacen) - Autoridade monetária do País responsável pela execução da política 
financeira do governo. Cuida ainda da emissão de moedas, fiscaliza e controla a atividade de todos os 
bancos no País. 
 
Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) - Órgão internacional que visa ajudar países 
subdesenvolvidos e em desenvolvimento na América Latina. A organização foi criada em 1959 e está 
sediada em Washington, nos Estados Unidos. 
 
Banco Mundial - Nome pelo qual o Banco Internacional de Reconstrução e Desenvolvimento (BIRD) 
é conhecido. Órgão internacional ligado a ONU, a instituição foi criada para ajudar países 
subdesenvolvidos e em desenvolvimento. 
 
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES) - Empresa pública federal 
vinculada ao Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior que tem como objetivo 
financiar empreendimentos para o desenvolvimento do Brasil. 
 
Casa da Moeda do Brasil (CMB) - é uma empresa pública vinculada ao Ministério da Fazenda. 
Fundada em 8 de março de 1694, acumula mais de 300 anos de existência. Foi criada no Brasil Colônia 
pelos governantes portugueses para fabricar moedas com o ouro proveniente das minerações. Na época, 
a extração de ouro era muito expressiva no Brasil e o crescimento do comércio começava a causar um 
caos monetário devido à falta de um suprimento local de moedas. A Casa da Moeda possui, atualmente, 
três fábricas: de cédulas, moedas e gráfica geral. 
 
Questões 
 
01. O carro do pai de Tiago gasta R$ 1,00 em gasolina a cada 1min. Para levar Tiago à escola, seu 
pai sai de casa às 13h45min e chega lá às 13h55min. Sabendo que o pai dele só tem moedas de R$ 0,50 
no bolso, quantas moedas ele deverá gastar com a gasolina deste percurso? 
(A) 5 moedas 
(B) 10 moedas 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 49 
(C) 15 moedas 
(D) 20 moedas 
 
02. Lita comprou um sorvete por R$ 1,55. Que moedas ela utilizou para realizar essa compra? 
(A) 1 moeda de 1 real, 1 moeda de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos 
(B) 1 moeda de 1 real, 1 moeda de 25 centavos e 2 moedas de 10 centavos 
(C) 1 moeda de 1 real, 2 moedas de 25 centavos e 1 moeda de 5 centavos 
(D) 1 moeda de 1 real, 2 moedas de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos 
 
03. Durante o ano inteiro, Aliene poupou em seu cofrinho 20 moedas de 1 real, 11 moedas de 50 
centavos, 19 moedas de 25 centavos, 15 moedas de 10 centavos e 12 moedas de 5 centavos. Quantos 
reais ela terá quando for abrir o cofrinho? 
(A) R$ 32,25 
(B) R$ 32,35 
(C) R$ 33,25 
(D) R$ 33,35 
 
04. Tadeu foi ao cinema do shopping. Antes de entrar para assistir ao filme ele foi comprar pipoca. O 
saco de pipoca custa R$ 2,50 e ele tinha três moedas de R$ 1,00. Quanto ele recebeu de troco? 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
05. Joana ganhou de seu avô R$ 5,00 em moedas diversas do real. Qual das respostas abaixo 
representa este valor? 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
06. (UNESP – Campus de Araraquara – FCL - Assistente Operacional II – Jardinagem – VUNESP) 
Possuo 20 moedas na carteira. Sabe-se que 1/4 delas são de 1 real e 4/8 de todas as moedas são de 50 
centavos. Se as restantes são de 25 centavos, o valor que possuo em moedas na carteira é 
(A) R$ 11,50. 
(B) R$ 11,25. 
(C) R$ 10,75. 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 50 
(D) R$ 10,25. 
(E) R$ 10,00. 
 
07. (Pref. de Campos dos Goytacazes) A distância da cidade A à cidade B é de km 473. Fazendo-
se esse percurso num automóvel que consome 1 litro de gasolina a cada km 11 e sabendo-se que o litro 
desse combustível é comprado a R$ 2,50, gastar-se-á com combustível nessa viagem a quantia de: 
(A) R$ 112,50 
(B) R$ 110,50 
(C) R$ 109,50 
(D) R$ 107,50 
(E) R$ 106,50 
 
08. (SABESP – APRENDIZ – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema 
de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito 
e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina 
e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e 
os pagamentos na seguinte tabela: 
 
 Valor Gasto Valor Creditado 
1ª semana R$ 27,00 R$ 40,00 
2ª semana R$ 33,00 R$ 30,00 
3ª semana R$ 42,00 R$ 35,00 
4ª semana R$ 25,00 R$ 15,00 
 
No final do mês, Enzo observou que tinha 
(A) crédito de R$ 7,00. 
(B) débito de R$ 7,00. 
(C) crédito de R$ 5,00. 
(D) débito de R$ 5,00. 
(E) empatado suas despesas e seus créditos. 
 
09. (Pref. Imarui/SC – Auxiliar de Serviços Gerais - Pref. Imarui) José, funcionário público, recebe 
salário bruto de R$ 2000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 
35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? 
(A) R$ 1800,00 
(B) R$ 1765,00 
(C) R$ 1675,00 
(D) R$ 1665,00 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Como a cada 1 min é gasto R$ 1,00, e o pai dele gastou 10 min, 1,00.10= 10,00. Como o pai só tem 
moedas de 0,50 centavos, logo: 10,00:0,5 = 20 moedas. Podemos também pensar da seguinte maneira: 
Como 10,00 = 10 moedas e com moedas de 0,50 , precisamos de 2 moedas para fazer um total de 
1,00, logo precisaríamos do dobro de moedas para chegar a 10,00. 
 
02. Resposta: C. 
R$ 1,55 = 1 moeda de 1 real + 2 moedas de 25 centavos= 0,50 + 1 moeda de 0,05 centavos = 
1+0,50+0,05 = 1,55. 
 
03. Resposta: B. 
20 x 1,00 = 20,00 
11 x 0,50 = 5,50 
19 x 0,25 = 4,75 
15 x 0,10 = 1,50 
12 x 0,05 = 0,60 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 51 
04. Resposta: A. 
3 x 1,00 = 3,00 – 2,50 da pipoca = 0,50. A única opção que tem o valor correto é a A, 2 moedas de 
0,25 = 0,50. 
 
05. Resposta: D. 
Vamos somar cada um valor das alternativas para acharmos a correta: 
Alternativa Moeda R$ 1,00 Moeda R$ 0,50 Moeda R$ 0,25 Total 
A 2 x 1 = 2,00 3 x 0,50 = 1,50 0 3,50 
B 1 x 1 = 1,00 3 x 0,50 = 1,50 4x 0,25 = 1,00 3,50 
C 2 x 1 = 2,00 2 x 0,50 = 1,00 3 x 0,25 = 0,75 3,75 
D 3 x 1 = 3,00 3 x 0,50 = 1,50 2 x 0,25 = 0,50 5,00 
 
06. Resposta: B. 
1
4
 . 20 = 5 (são de 1 real) 
 
4
8
 . 20 =
1
2
 . 20 = 10 (são de 50 centavos) 
 
Restantes são de 25 centavos: 20 – 5 – 10 = 5 
Assim, o total é: 5.1,00 + 10 . 0,50 + 5 . 0,25 
T = 5 + 5 + 1,25 = R$ 11,25 
 
07. Resposta: B. 
Vamos dividir a km total 473, pela quantidade de km percorridos por 1 litro de gasolina: 473/11 = 43 
litros serão gastos para percorrer essa km total. 
Se cada litro custa R$ 2,50  43 x 2,50 = 107,50 reais serão gastos. 
 
08. Resposta: B. 
Crédito: 40+30+35+15=120 
Débito: 27+33+42+25=127 
120-127=-7 
Ele tem um débito de R$ 7,00. 
 
09. Resposta: B. 
2000-200=1800-35=1765 
O salário líquido de José é R$1765,00. 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,..). 
Observe a figura: 
 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
Equação do Primeiro e Segundo Graus- problemas 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 52 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a ≠ 0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples, 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = - b → x = - b/a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1. 
2º membro composto pelo termo x e +7. 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos: 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações, os cálculos necessários e isolamos 
o x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 53 
Registro: 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais 
termos do outro lado; 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente 
entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de 
cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a quantia 
dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 54 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
06. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE Americana/SP – Analista Administrativo – SHDIAS) Em uma praça, Graziela estava 
conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte 
forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Dois amigos foram a uma pizzaria. O 
mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 da 
quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, 
a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 55 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 3 
exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos 
é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, 
que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais 
velho será, em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Alternativa: D 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 56 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Alternativa: E 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista.Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Alternativa: A 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Alternativa: B 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Alternativa: A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Alternativa: B 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
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. 57 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Alternativa: C 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Alternativa: E 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Alternativa: C 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
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. 58 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita7, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação. 
 
Equação completa e incompleta 
 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
- 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
 
 
7somatematica.com.br 
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações. 9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 
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. 59 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita 
Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita 
 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 60 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P = 0 
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. 61 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 
P = 2.7 = 14 
Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 
Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmosdois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
 
02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 
1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau 
dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² 
– mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 62 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o 
discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as 
raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
 
(C) 1. 
 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 
= 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 63 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 64 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 65 
S = P 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
 
 
SISTEMA DE MEDIDAS 
 
Sistema de Medidas Decimais: Área, volume, comprimento, capacidade, massa 
 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 ha. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos 
as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temosa lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
Sistema Decimal de Medidas (comprimento, superfície, volume, massa, 
capacidade e tempo) - transformação de unidades e resolução de problemas 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 66 
 
 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3 e 1m³ = 1000l. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
 
 
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades 
 
 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 67 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
 
Questões 
 
 
01. (SESAP-RN – Administrador – COMPERVE/2018) Uma criança desenvolveu uma infecção cujo 
tratamento deve ser feito com antibióticos. O antibiótico utilizado no tratamento tem recomendação diária 
de 1,5 mg por um quilograma de massa corpórea, devendo ser administrado três vezes ao dia, em doses 
iguais. Se a criança tem massa equivalente a 12 kg, cada dose administrada deve ser de 
(A) 7,5 mg. 
(B) 9,0 mg. 
(C) 4,5 mg. 
(D) 6,0 mg. 
 
02. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra 
preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra 
passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na 
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
03. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no 
início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
04. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 
4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um 
país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para 
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais 
próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
 
05. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será 
totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma 
perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 68 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 
30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas 
peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
07. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Um veículo tem capacidade para 
transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
 
08. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Observe que 1,5mg é a dose diária para cada quilograma da criança, como ele é aplicado 3x ao dia, 
teremos 0,5mg por aplicação, a criança possui 12kg, assim a quantidade de remédio por aplicação será 
de: 
0,5 . 12 = 6,0mg 
 
02. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
03. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 69 
04. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
05. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
06. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
07. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg  2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
08. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS (TEMPO E ÂNGULO) 
 
 
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido. 
A unidade utilizada como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. 
 
1h → 60 minutos → 3 600 segundos 
 
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60. 
 
Exemplo: 
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos, quantos minutos indica 0,3 horas? 
 
1 hora 60 minutos 
0,3 x 
 
Efetuando temos: 0,3 . 60 = 1. x → x = 18 minutos. Concluímos que 0,3horas = 18 minutos. 
 
Adição e Subtração de Medida de tempo 
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos 
os exemplos: 
 
A) 1 h 50 min + 30 min 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DASILVA VENTURA
 
. 70 
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, então 
acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos: 
 
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. 
 
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min 
 
 
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) das 2 
para a coluna minutos. 
 
 
Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80: 
 
 
 
Logo o valor encontrado é de 50 min. 
 
 
Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. 
Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então: 
 
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’) 
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”) 
 
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema de tempo – hora, 
minuto e segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes: 
 
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. 71 
1h 32min 24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia. 
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo. 
 
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto – segundo são similares a cálculos no sistema 
grau – minuto – segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas. 
 
Questões 
 
01. (SESAP – RN – Técnico em Enfermagem – COMPERVE/2018) Uma profissional de enfermagem 
deve administrar 250 ml de soro fisiológico em um paciente durante 90 minutos. Para obter a vazão 
correta do soro em gotas por minuto, ela deverá utilizar a fórmula de gotejamento, dividindo o volume do 
soro em mililitros pelo triplo do tempo em horas. De acordo com essa fórmula, a quantidade de gotas por 
minuto dever ser de, aproximadamente, 
(A) 28. 
(B) 42. 
(C) 56. 
(D) 70. 
 
02. (Pref. Camaçari/BA – Téc. Vigilância Em Saúde NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 minutos 
para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a mesma prova. 
Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? 
(A) 67 minutos. 
(B) 75 minutos. 
(C) 88 minutos. 
(D) 91 minutos. 
(E) 94 minutos. 
 
03. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, 
aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática. 
 
 
O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou. 
 
 
 
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi 
(A) 4h e 48min. 
(B) 5h e 12min. 
(C) 5h e 28min. 
(D) 5h e 42min. 
(E) 6h e 08min. 
 
 
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04. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um 
pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de secagem 
rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar a 
aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser 
aplicada a partir das 15h 40min.” 
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís 
iniciou o serviço? 
(A) 12h 25 min 
(B) 12h 35 min 
(C) 12h 45 min 
(D) 13h 15 min 
(E) 13h 25 min 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
Para resolver esta questão temos que estar atentos ao enunciado, pois é dividir a quantidade em ml 
pelo tempo em horas, então 90min = 1,5hora. 
Logo, 250 : 1,5 = 55,555... que é aproximadamente 56. 
 
02. Resposta: C. 
 
Como 1h tem 60 minutos. 
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 
 
03. Resposta: D. 
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 = 
 = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min 
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 
 
04. Resposta: B. 
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min 
 
UNIDADES DE MEDIDA – VELOCIDADE 
 
A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado 
tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca. 
Segundo o S.I (Sistema Internacional de medidas) as unidades mais utilizadas para se medir a 
velocidade é Km/h (Quilômetro por hora) e o m/s (metro por segundo). 
 
Quando ouvimos que carro se desloca a uma velocidade de 20 km/h, isto significa que ele percorre 20 
km em 1 hora. 
Muitas questões pedem para que passemos de km/h para m/s, para efetuarmos essa transformação, 
basta utilizarmos o que segue na figura abaixo: 
 
 
 
Exemplo: 
Um carro se desloca de Florianópolis – SC a Curitiba – PR. Sabendo que a distância entre as duas 
cidades é de 300 km e que o percurso iniciou as 7 horas e terminou ao meio dia, calcule a velocidade 
média do carro durante a viagem, em m/s. 
 
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. 73 
A velocidade média é dada por: 
𝑉𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
=
∆𝑆𝑓 − ∆𝑆𝑖
∆𝑡𝑓 − ∆𝑡𝑖
 
 
Ou seja, a variação da distância ΔS (final menos inicial) dividido por Δt, variação do tempo (final menos 
inicial). 
Montando de acordo com as informações do enunciado temos: 
ΔS = 300 Km 
Δt = 12 – 7 = 5 horas de percurso. 
Então: 
𝑉𝑚 =
300
5
= 60𝑘𝑚/ℎ 
 
Transformando para m/s teremos apenas que dividir por 3,6: 
60 : 3,6 = 16,67 m/s 
 
Questões 
 
01. (CPTM/SP – Técnico de Manutenção – RBO/2017) Com velocidade média de 70 km/h, Natália 
foi de trem da cidade A para a cidade B em 50 minutos. Se o percurso de volta foi feito em 40 minutos, a 
velocidade média na volta, em km/h, foi de aproximadamente 
(A) 80,0 
(B) 84,0 
(C) 85,5 
(D) 87,5 
(E) 92,5 
 
02. (PM/SC – Soldado – IESES) Dois automóveis percorreram a distância entre as cidades A e B. 
Ambos saíram da cidade A e não realizaram paradas durante as viagens. O primeiro partiu às 9 horas e 
o segundo às 10 horas, chegando juntos na cidade B às 14 horas. Se a velocidade média do primeiro foi 
de 50 km/h, qual é a velocidade média do segundo automóvel? 
(A) 72,5Km/h 
(B) 60km/h 
(C) 65 km/h 
(D) 62,5 km/h 
(E) 125 km/h 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Trajeto de IDA: 50m min = 5/6hora 
Vm = 70 = x/(5/6) 
70 = 6x/5 
X = 350/6 km 
Trajeto de VOLTA: 40 min = 40/60 = 2/3 
Vm = (350/6)/(2/3) = 350.3/6.2 = 87,5 km/h 
 
02. Resposta: D. 
Primeiro automóvel: 
Vm = variação espaço/variação tempo 
50 = x/5 
X = 250 km 
Segundo Automóvel: 
Vm = 250/4 = 62,5 km/h 
 
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. 74 
 
 
Ao estudo das figuras em um só plano chamamos de Geometria Plana. 
A Geometria estuda, basicamente, os três princípios fundamentais (ou também chamados de “entes 
primitivos”) que são: Ponto, Reta e Plano. Estes três princípios não tem definição e nem dimensão 
(tamanho). 
 
Para representar um ponto usamos. e para dar nome usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Exemplo: . A (ponto A). 
 
Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome usamos letras minúsculas do nosso alfabeto 
ou dois pontos por onde esta reta passa. 
Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵 ⃡ ). 
 
 
Para representar um plano usamos uma figura chamada paralelogramo e para dar nome usamos letras 
minúsculas do alfabeto grego (α, β, π, θ,...). 
Exemplo: 
 
 
Semiplano: toda reta de um plano que o divide em outras duas porções as quais denominamos de 
semiplano. Observe a figura: 
 
 
 
Partes de uma reta 
Estudamos, particularmente, duas partes de uma reta: 
 
- Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um ponto e é infinita. 
Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵 ), tem origem em A e passa por B. 
 
 
- Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) da reta. 
Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ).Observação: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
- Retas concorrentes: duas retas são concorrentes quando se interceptam em um ponto. Observe 
que a figura abaixo as retas c e d se interceptam no ponto B. 
 
Geometria: ponto, reta, plano 
 
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. 75 
 
 
- Retas paralelas: são retas que por mais que se prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma 
distância e nunca se cruzam. O ângulo de inclinação de duas ou mais retas paralelas em relação a outra 
é sempre igual. Indicamos retas paralelas a e b por a // b. 
 
 
 
- Retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos 
os pontos em comum. 
 
 
 
- Retas perpendiculares: são retas concorrentes que se cruzam num ponto formando entre si ângulos 
de 90º ou seja ângulos retos. 
 
 
 
PARALELISMO 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal 
 
Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum. 
Vamos observar a figura abaixo: 
 
 
 
 
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. 76 
Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado) 
 
 
A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°. 
 
A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180° 
 
Ângulos colaterais externos: 
 
 
A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180° 
 
 
 
A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180° 
 
Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes) 
 
 
Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais) 
 
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. 77 
 
Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos alternos externos: 
 
 
Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos correspondentes: são ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na 
região interna e o outro na região externa. 
 
 
Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais) 
 
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. 78 
 
os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Questões 
 
01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
(A) 10° 
(B) 20° 
(C) 30° 
(D) 40° 
(E) 50° 
 
02. O valor de x na figura seguinte, em graus, é: 
 
(A) 32° 
(B) 32° 30’ 
(C) 33° 
(D) 33° 30’ 
(E) 34° 
 
03. Na figura abaixo, sabendo que o ângulo  é reto, o valor de 𝛼 é: 
 
(A) 20° 
(B) 30° 
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. 79 
(C) 40° 
(D) 50° 
(E) 60° 
 
04. Qual é o valor de x na figura abaixo? 
 
 
(A) 100° 
(B) 60° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 110° 
 
05. Na figura seguinte, o valor de x é: 
 
(A) 20° 
(B) 22° 
(C) 24° 
(D) 26° 
(E) 28° 
 
06. (Pref. de Curitiba – Docência I – NC-UFPR) Sabendo que as retas r e s da figura ao lado são 
paralelas, o valor, em graus, de α - β é: 
 
(A) 12 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 30 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Na figura, os ângulos assinalados são correspondentes, portanto são iguais. 
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. 80 
 
 
x + 2x + 30° = 180° 
3x = 180°- 30° 
3x = 150° 
x = 150° : 3 
x = 50° 
 
02. Resposta: B. 
Na figura dada os ângulos 47° e 2x – 18° são correspondentes e, portanto tem a mesma medida, 
então: 
2x – 18° = 47° → 2x = 47° + 18° → 2x = 65° → x = 65°: 2 
 
x = 32° 30’ 
 
03. Resposta: C. 
Precisamos traçar uma terceira reta pelo vértice A paralela às outras duas. 
 
 
 
Os ângulos são dois a dois iguais, portanto 𝛼 = 40° 
 
04. Resposta: A. 
Aqui também precisamos traçar um terceira reta pelo vértice. 
 
x = 80° + 20° → x = 100° 
Obs.: neste tipo de figura, o ângulo do meio sempre será a soma dos outros dois. 
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. 81 
05. Resposta: D. 
Os ângulos assinalados na figura, x + 20° e 4x + 30°, são colaterais internos, portanto a soma dos dois 
é igual a 180°. 
 
x + 20° + 4x + 30° = 180° → 5x + 50° = 180° → 5x = 180° - 30° → 5x = 130° 
x = 130° : 5 → x = 26° 
 
06. Resposta: D. 
O ângulo oposto a 138º vale 138º também, para saber o valor de α é só subtrair 138-54 = 84º. 
O ângulo oposto a 54º vale 54º também. Só subtrair agora α - β = 
84-54=30º. 
 
 
 
Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. 
 
Elementos de um ângulo 
 
- LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 . 
-VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. 
 
 
 
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Central 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por 
vértices consecutivos do polígono. 
Ângulos 
 
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. 82 
 
 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são 
tangentes a ela. 
 
 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. 
 
 
 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Raso: 
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semirretas opostas. 
 
 
 
Ângulo Reto: 
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
 
 
 
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. 83 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90
0
. 
 
 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360
0
. 
 
 
 
 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois 
ângulos é 180º. 
 
 
Então, se x e y são dois ângulos, temos: 
- se x + y = 90° → x e y são Complementares. 
- se x + y = 180° → e y são Suplementares. 
- se x + y = 360° → x e y são Replementares. 
 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. 
 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as 
respectivas semirretas opostas aos lados do outro. 
 
 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. 
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. 84 
 
- Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares de ângulos consecutivos. 
- Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
Unidades de medida de ângulos: 
Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 
1/400 da circunferência denominamos de grado. 
 
Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 
da circunferência denominamos de grau. 
- o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) 
e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). 
 
Exemplos: 
01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
 
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. 85 
03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
Resoluções 
01. Respostas:a) 55˚ 
b) 74˚ 
c) 33˚ 
 
02. Resposta: 130. 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
 
 
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. 86 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130°. 
 
03. Respostas: 
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
 
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° 
8x = 160° 
x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° 
 
c) Sabemos que a figura tem 90°. 
 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° 
4x = 40° 
x = 40°/4 
x = 10° 
 
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. 
Então, 138° + x = 180° 
x = 180° - 138° 
x = 42° 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
 
Questões 
 
01. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 
(A) 375’’. 
(B) 22.500”. 
(C) 3.615’’ 
(D) 2.950’’ 
(E) 25.000’’ 
 
02. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
(A) 60° 
(B) 90° 
(C) 45° 
(D) 120° 
(E) 135° 
 
03. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Qual é o complemento 
desse ângulo? 
(A) 60° 
(B) 30° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 150° 
 
 
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. 87 
04. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual a medida desses 
dois ângulos? 
(A) 35° e 55° 
(B) 40° e 50° 
(C) 20° e 70° 
(D) 45° e 45° 
(E) 40° e 55° 
 
05. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Qual é p valor 
do ângulo y? 
 
(A) 45° 
(B) 90° 
(C) 135° 
(D) 120° 
(E) 155° 
 
06. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. 
 
 
 
(A) 11º; 159º. 
(B) 12º; 158º. 
(C) 10º; 160º. 
(D) 15º; 155º. 
(E) 16º; 150º. 
 
07. Determine o valor de a na figura seguinte: 
 
 
(A) 135° 
(B) 40° 
(C) 90° 
(D) 100° 
(E) 45° 
 
Comentários 
01. Resposta: B. 
Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”, temos: 
6°.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 
360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 
375’.60 = 22.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). 
Portanto 6° 15’ equivale a 22.500”. 
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. 88 
 
02. Resposta: A. 
- sendo x o ângulo, o seu suplemento é 180° - x, então pelo enunciado temos a seguinte equação: 
x =
180°−x
2
 (multiplicando em “cruz”) 
 
2x = 180° - x 
2x + x = 180° 
3x = 180° 
x = 180° : 3 = 60° 
 
03. Resposta: B. 
- sendo x o ângulo, o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x. Então, temos: 
90° - x = 
180°−x
4
 (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 
4.(90° - x) = 180° - x (aplicando a distributiva) 
360° - 4x = 180° - x 
360° - 180° = - x + 4x 
180° = 3x 
x = 180° : 3 = 60º 
- o ângulo x mede 60º, o seu complemento é 90° - 60° = 30° 
 
04. Resposta: A. 
- do enunciado temos a seguintes figura: 
 
 
Então: 
x + x + 20° = 90° 
2x = 90° - 20° 
2x = 70° 
x = 70° : 2 = 35° 
- os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° 
 
05. Resposta: C. 
Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
Então vale lembrar que: 
x + y = 180 então y = 180 – x. 
 
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z 
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. 
Calcule y. 
x = y / 6 + z / 2 
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z 
Então: 
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x 
6x – 2x = 180° 
4x = 180° 
x=180°/4 
x=45º 
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x 
y=180º - 45° 
y=135°. 
 
 
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. 89 
06. Resposta: A. 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 
3m - 12º = m + 10º 
3m - m = 10º + 12º 
2m = 22º 
m = 22º/2 
m = 11º 
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. 
(m + 10º) + n = 180º 
(11º + 10º) + n = 180º 
21º + n = 180º 
n = 180º - 21º 
n = 159º 
 
07. Resposta: E. 
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais. 
 
 
 
Um polígono8 é uma figura geométrica fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e não 
colineares. 
 
Elementos de um polígono 
 
 
Um polígono possui os seguintes elementos: 
 
- Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ , DE̅̅ ̅̅ e AE̅̅̅̅ . 
 
- Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos: A, B, C, D e E. 
 
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅ , BD̅̅ ̅̅ , CE̅̅̅̅ e BE̅̅̅̅ . 
 
- Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos (assinalados em azul na figura): 
, , , , . 
 
- Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo 
(assinalados em vermelho na figura): , , , , . 
 
Classificação: os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela 
abaixo. 
Fórmulas: na relação de fórmulas abaixo temos a letra n que representa o número de lados ou de 
ângulos ou de vértices de um polígono. 
1 – Diagonais de um vértice: dv = n – 3. 
 
2 - Total de diagonais: 𝐝 =
(𝐧−𝟑).𝐧
𝟐
. 
 
3 – Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°. 
 
4 – Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma 
constante, isto é, Se = 360°. 
 
8 DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da Matemática – Vol. 09 – Geometria Plana – 7ª edição – Editora Atual 
www.somatematica.com.br 
Polígonos 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 90 
Polígonos Regulares: um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes 
(iguais) e todos os ângulos congruentes. Exemplo: o quadrado tem os 4 lados iguais e os 4 ângulos de 
90°, por isso é um polígono regular. E para polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das 
quatro acima: 
 
1 – Ângulo interno: 𝐚𝐢 =
(𝐧−𝟐).𝟏𝟖𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐢 =
𝐒𝐢
𝐧
. 
 
2 - Ângulo externo: 𝐚𝐞 =
𝟑𝟔𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐞 =
𝐒𝐞
𝐧
. 
 
Semelhança de Polígonos: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes 
são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. 
Vejamos: 
Fonte: http://www.somatematica.com.br 
1) Os ângulos correspondentes são congruentes: 
 
 
2) Os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
 𝑜𝑢 
 
3,8
5,7
=
4
6
=
2,4
3,6
=
2
3
 
 
Podemos dizer que os polígonos são semelhantes. Mas a semelhança só 
será válida se ambas condições existirem simultaneamente. 
 
 A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de 
semelhança, ou seja: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
= 𝑘 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =
2
3
 
 
Questões 
 
01. A soma dos ângulos internos de um heptágono é: 
(A) 360° 
(B) 540° 
(C) 1400° 
(D) 900° 
(E) 180° 
 
02. Qual é o número de diagonais de um icoságono? 
(A) 20 
(B) 70 
(C) 160 
(D) 170 
(E) 200 
 
03. O valor de x na figura abaixo é: 
(A) 80° 
(B) 90° 
(C) 100° 
(D) 70° 
(E) 50° 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA. 91 
04. Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número 
de diagonais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia: 
(A) Triangular 
(B) Quadrangular 
(C) Pentagonal 
(D) Hexagonal 
(E) Decagonal 
 
05. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. 
O número de lados e diagonais desse polígono, respectivamente, são: 
(A) 54 e 12 
(B) 18 e 60 
(C) 12 e 54 
(D) 60 e 18 
(E) 15 e 30 
 
06. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°. Quantos lados tem esse 
polígono? 
(A) 20 
(B) 24 
(C) 26 
(D) 30 
(E) 32 
 
07. ( Pref. de Cerrito/SC – Técnico em Enfermagem – IESES/2017) Um eneágono tem um de seus 
lados com 125 cm, como todos os lados são iguais o seu perímetro será de: 
(A) 625cm. 
(B) 750cm. 
(C) 1.500cm. 
(D) 1.125 cm. 
(E) 900 cm. 
 
Comentários 
01. Resposta: D. 
Heptágono (7 lados) → n = 7 
Si = (n – 2).180° 
Si = (7 – 2).180° 
Si = 5.180° = 900° 
 
02. Resposta: D. 
Icoságono (20 lados) → n = 20 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(20−3).20
2
= 17.10 
 
d = 170 
 
03. Resposta: A. 
A soma dos ângulos internos do pentágono é: 
Si = (n – 2).180º 
Si = (5 – 2).180º 
Si = 3.180º → Si = 540º 
540º = x + 3x / 2 + x + 15º + 2x – 20º + x + 25º 
540º = 5x + 3x / 2 + 20º 
520º = 10x + 3x / 2 
1040º = 13x 
X = 1040º / 13 → x = 80º 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 92 
04. Resposta: C. 
Sendo d o números de diagonais e n o número de lados, devemos ter: 
d = n 
 
(𝑛−3).𝑛
2
= 𝑛 (passando o 2 multiplicando) 
 
(n – 3).n = 2n 
n – 3 = 2 
n = 2 + 3 
n = 5 → pentagonal 
 
05. Resposta: C. 
Do enunciado, temos: 
Si = 5.Se 
(n – 2).180º = 5.360° 
(n – 2).180° = 1800° 
n – 2 = 
1800
180
 
n – 2 = 10 
n = 10 + 2 = 12 lados 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(12−3).12
2
 
 
d = 9.6 = 54 diagonais 
 
06. Resposta: B. 
Temos que ae = 15° 
 
𝑎𝑒 =
360°
𝑛
 
 
15° =
360°
𝑛
 
 
15n = 360 
n = 360 : 15 
n = 24 lados 
 
07. Resposta: D. 
Um eneágono possui 9 lado, portanto 9x125 = 1.125cm. 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Todo polígono regular9 pode ser inscrito em uma circunferência. E temos fórmulas para calcular o lado 
e o apótema desse triângulo em função do raio da circunferência. Apótema e um segmento que sai do 
centro das figuras regulares e divide o lado em duas partes iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da Matemática – Vol. 09 – Geometria Plana – 7ª edição – Editora Atual 
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. 93 
I) Triângulo Equilátero: 
 
 
- Lado: l = r√3 
- Apótema: a =
r
2
 
 
II) Quadrado: 
 
- Lado: l = r√2 
- Apótema: a =
r√2
2
 
 
III) Hexágono Regular 
 
 
 
- Lado: l = r 
- Apótema: a =
r√3
2
 
 
Questões 
 
01. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm, vale, em 
centímetros: 
(A) 4 
(B) 4√3 
(C) 8 
(D) 8√2 
(E) 12 
 
02. O apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 cm, o raio dessa 
circunferência é: 
(A) 15 cm 
(B) 10 cm 
(C) 8 cm 
(D) 20 cm 
(E) 25 cm 
 
03. O apótema de um quadrado mede 6 dm. A medida do raio da circunferência em que esse quadrado 
está inscrito, em dm, vale: 
(A) 4√2 dm 
(B) 5√2 dm 
(C) 6√2 dm 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 94 
(D) 7√2 dm 
(E) 8√2 dm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Basta substituir r = 8 na fórmula do hexágono 
𝑎 =
𝑟√3
2
 →𝑎 =
8√3
2
= 4√3 cm 
 
02. Resposta: D. 
Basta substituir a = 10 na fórmula do triangulo equilátero. 
𝑎 =
𝑟
2
 → 10 =
𝑟
2
 → r = 2.10 → r = 20 cm 
 
03. Resposta: C. 
Sendo a = 6, temos: 
𝑎 =
𝑟√2
2
 
 
6 =
𝑟√2
2
 → 𝑟√2 = 2.6 → 𝑟√2 = 12 (√2 passa dividindo) 
r = 
12
√2
 (temos que racionalizar, multiplicando em cima e em baixo por √2) 
 
𝑟 =
12.√2
√2.√2
 → 𝑟 =
12√2
2
 → 𝑟 = 6√2 dm 
 
RAZÃO ENTRE ÁREAS 
 
Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes 
 
Vamos chamar de S1 a área do triângulo ABC = S1 e de S2 a do triângulo A’B’C’ = S2 
 
Δ ABC ~ Δ A’B’C’ → 
𝑏1
𝑏2
=
ℎ1
ℎ2
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Sabemos que a área do triângulo é dada por 𝑆 = 
𝑏.ℎ
2
 
 
Aplicando as razões temos que: 
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1. ℎ1
2
𝑏2. ℎ2
2
=
𝑏1
𝑏2
.
ℎ1
ℎ2
= 𝑘. 𝑘 = 𝑘2 →
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é 
igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
Razão entre áreas de dois polígonos semelhantes 
 
Área de ABCDE ... MN = S1 Área de A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 
 
ABCDE ... MN = S1 ~ A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 → ΔABC ~ ΔA’B’C’ e ΔACD ~ ΔAMN → 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
= ⋯ =
𝑀𝑁
𝑀′𝑁′
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Fazendo: 
 
Área ΔABC = t1, Área ΔACD = t2, ..., Área ΔAMN = tn-2 
 
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. 95 
Área ΔA’B’C’ = T1, Área ΔA’C’D’ = T2, ..., Área ΔA’M’N’ = Tn-2 
 
Anteriormente vimos que: 
𝑡𝑖
𝑇𝑖
= 𝑘2 → 𝑡𝑖 = 𝑘
2𝑇𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 − 2 
 
Então: 
𝑆1
𝑆2
=
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ + 𝑡𝑛−2
𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + ⋯ + 𝑇𝑛−2
→
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é 
igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
Observação: A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso, vale 
 
 
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao 
quadrado da razão de semelhança. 
 
 
Questão 
 
01. (TJ/RS – Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Considere um triângulo retângulo de catetos 
medindo 3m e 5m. Um segundo triângulo retângulo, semelhante ao primeiro, cuja área é o dobro da área 
do primeiro, terá como medidas dos catetos, em metros: 
(A) 3 e 10. 
(B) 3√2 e 5√2. 
(C) 3√2 e 10√2. 
(D) 5 e 6. 
(E) 6 e 10. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A razão entre as Áreas =e igual ao quadrado da razão entre os lados. 
O triângulo de catetos 3 e 5 possui área igual a 7,5. Já o outro triângulo possui o dobro de área, 
conforme o enunciado. Assim sendo teremos: 
A1/A2 = 7,5/15 = ½ 
½ = 3²/x² 
X = 3√2 
E A1/A2 = 7,5/15 = ½ 
½ = 5²/y² 
Y= 5√2. 
 
 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os 
catetos. 
 
Triângulos 
 
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. 96 
 
 
No exemplo ao lado: 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
 
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Exemplos 
 
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos 
o fragmento abaixo: 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma 
Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca 
trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. 
“Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – 
Trinta Anos de Mim Mesmo). 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras,deveria dar a 
seguinte resposta: 
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: D. 
 
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 
5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e 
finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de 
partida? 
(A) 3 milhas a sudoeste. 
(B) 3 milhas a sudeste. 
(C) 4 milhas ao sul. 
(D) 5 milhas ao norte. 
(E) 5 milhas a nordeste. 
 
Resposta: 
 
 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16 
x2 = 25 
x = √25 = 5 
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. 97 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida 
do outro cateto? 
(A) 10 
(B) 11 
(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
Resposta: 
 
132 = x2 + 52 
169 = x2 + 25 
169 – 25 = x2 
x2 = 144 
x = √144 = 12 cm 
 
04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a: 
(A) 𝑙√2 
(B) 𝑙√3 
(C) 𝑙√5 
(D) 𝑙√6 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: 
 
 
𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 
𝑑2 = 2𝑙2 
𝑑 = √2𝑙2 
𝑑 = 𝑙√2 
 
05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa 
altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo 
a uma distância de 3 m da base dele, conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o poste? 
 
(A) 4 m 
(B) 4,5 m 
(C) 5 m 
(D) 5,5 m 
(E) 6 m 
 
 
 
 
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. 98 
Resposta: 
 
(9 – x)2 = x2 + 33 
92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9 
81 – 18x = 9 
81 – 9 = 18x 
72 = 18x 
x =
72
18
 
x = 4 m 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Jacundá/PA – Psicólogo – INAZ) Em fase treino, um maratonista parte de um ponto 
inicial A percorrendo 2 km em linha reta até o ponto B, girando 90° para a esquerda e percorre mais 1,5 
km parando no ponto C. Se o maratonista percorresse em linha reta do ponto A até o ponto C, percorreria: 
(A) 3500 m 
(B) 500 m 
(C) 2500 m 
(D) 3000 m 
(E) 1800 m 
 
02. (IBGE – Agente de Pesquisas e Mapeamento – CESGRANRIO) Na Figura a seguir, PQ mede 6 
cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm. 
 
A distância entre os pontos P e T, em cm, mede: 
(A) 17 
(B) 21 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 19 
 
03. (UNIFESP – Técnico de Segurança do Trabalho – VUNESP) Um muro com 3,2 m de altura está 
sendo escorado por uma barra de ferro, de comprimento AB, conforme mostra a figura. 
 
 
O comprimento, em metros, da barra de ferro 
(A) 3,2. 
(B) 3,0. 
(C) 2,8. 
(D) 2,6. 
(E) 2,4. 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 99 
04. (Pref. de Marilândia/ES – Auxiliar Administrativo – IDECAN) Tales desenhou um triângulo 
retângulo com as seguintes medidas, todas dadas em centímetros. 
 
Qual é o perímetro deste triângulo? 
(A) 6 cm 
(B) 9 cm 
(C) 12 cm 
(D) 15 cm 
(E) 18 cm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
AC representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são 2Km = 2000 m e 1,5Km = 1500m. 
AC² = 2² + 1,5² 
AC² = 4 + 2,25 
AC = 2,5Km = 2500 m. 
 
02. Resposta: A. 
Observe que PQ = 6 e RS= 9 e também são retas paralelas então podemos somar elas como se 
puxasse a reta RS pra cima formando uma reta só. Total 15cm. Ortogonalmente a reta QR fecha um 
triângulo retângulo com essa reta que fechamos juntando PQ e RS. Assim, ficamos com um triângulo 
retângulo com catetos 15 e 8. Aplicando Pitágoras, teremos a medida da hipotenusa que é a reta PT = 
17cm, que representa a distância ente P e T. 
 
03. Resposta: B. 
Observe que a altura do solo até o ponto B é dada por 3,2 -0,80 = 2,4m, agora basta utilizar o Teorema 
de Pitágoras para resolvermos esta questão: 
AB² = 1,8² + 2,4² 
AB² = 3,24 + 5,76 = 9 
AB = 3m. 
 
04. Resposta: C. 
Basta resolver pelo teorema de Pitágoras e depois resolver a equação que será formada. 
(x+1)² = (x-1)² + x² 
x² + 2x + 1 = x² - 2x +1 + x² 
x²-4x = 0 
x(x-4) = 0 
x = 0 (não convém utilizarmos pois o lado de um triângulo não pode ser nulo) 
ou x – 4 = 0 
x = 4. 
Assim os lados são: 
3, 4, 5, logo o perímetro será a soma de todos os lados: 3+ 4 + 5 = 12. 
 
TEOREMA DE TALES 
 
- Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas e paralelas entre si. 
- Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas de um feixe de paralelas. 
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. 100 
- Teorema de Tales10: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão 
entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos 
segmentos correspondentes da outra. 
 
 
r//s//t//u (// → símbolo de paralelas); a e b são retas transversais. Então, temos que os segmentos 
correspondentes são proporcionais. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐹𝐺̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐺𝐻̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅
= ⋯. 
 
Teorema da bissetriz interna 
 
“Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos 
proporcionais ao outros dois lados do triângulo”. 
 
 
Teorema da bissetriz externa 
 
Se a bissetriz BE de um ângulo externo de um triângulo ABC, não isósceles, intercepta a reta suporte 
do lado oposto, então a bissetriz determina nessa reta dois segmentos proporcionais (AE̅̅̅̅ e CE̅̅̅̅ ) aos lados 
adjacentes (AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ ) ao ângulo interno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10SOUZA, Joamir Roberto; PATARO, Patricia Moreno – Vontade de Saber Matemática 6º Ano – FTD – 2ª edição – São Paulo: 2012 
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. 101 
Questões 
 
01. (Pref. de Fortaleza – Matemática – Pref. de Fortaleza) Na figura abaixo, as retas são 
paralelas. Sabendo que o valor de x é: 
 
(A) 3 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 5 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
03. Calcular o valor de x na figura abaixo. 
 
 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 4 
(D) 3 
(E) 2 
 
 
 
 
 
 
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04. Os valores de x e y, respectivamente, na figura seguinte é: 
 
 
(A) 30 e 8 
(B) 8 e 30 
(C) 20 e 10 
(D) 10 e 20 
(E) 5 e 25 
 
05. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
 06. (PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB̅̅ ̅̅ = 21 e AC̅̅̅̅ = 20. BD̅̅ ̅̅ é a bissetriz 
do ângulo AB̂C. Quanto mede AD̅̅ ̅̅ ? 
(A) 42/5 
(B) 21/10 
(C) 20/21 
(D) 9 
(E) 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
5/10 = (5-x)/3x 
15x = 50 - 10x 
25x = 50 
x = 2 
 
02. Resposta: B. 
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
=
5
6
 
6.(2x – 3) = 5(x + 2) 
12x – 18 = 5x + 10 
12x – 5x = 10 + 18 
7x = 28 
x = 28 : 7 = 4 
 
03. Resposta: A. 
10
30
=
𝑥
18
 
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30x = 10.18 
30x = 180 
x = 180 : 30 = 6 
 
04. Resposta: A. 
𝑥
45
=
20
30
 
3x = 45.2 
3x = 90 
x = 90 : 3 = 30 
𝑦
30
=
12
45
 
45y = 12.30 
45y = 360 
y = 360 : 45 = 8 
 
05. Resposta: D. 
𝑥−3
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
 
(x – 3). (x + 2) = x.(x – 2) 
x2 + 2x – 3x – 6 = x2 – 2x 
-x– 6 = - 2x 
-x + 2x = 6 → x = 6 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos um triângulo retângulo em A, o vértice A é do ângulo reto. B e C pode ser em 
qualquer posição. E primeiro temos que determinar a hipotenusa. 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
y2 = 212 + 202 
y2 = 441 + 400 
y2 = 841 
𝑦 = √841 
y = 29 
Pelo teorema da bissetriz interna: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
 
 
21
𝑥
=
29
20 − 𝑥
 
 
29. 𝑥 = 21(20 − 𝑥) 
29𝑥 = 420 − 21𝑥 
29𝑥 + 21𝑥 = 420 
50𝑥 = 420 
𝑥 =
420
50
=
42
5
 
 
 
 
 
 
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. 104 
TRIÂNGULOS 
 
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. É o único 
polígono que não tem diagonais. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, 
lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. 
 
1. Vértices: A, B e C. 
2. Lados: AB̅̅ ̅̅ ,BC̅̅̅̅ e AC̅̅̅̅ . 
3. Ângulos internos: a, b e c. 
 
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao 
vértice formando um ângulo reto. BH̅̅ ̅̅ é uma altura do triângulo. 
 
 
 
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM̅̅ ̅̅ é uma mediana. 
 
 
 
Bissetriz: É a semirreta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B̂ está dividido ao meio 
e neste caso Ê = Ô. 
 
 
 
Ângulo Interno: Todo triângulo possui três ângulos internos, na figura são Â, B̂ e Ĉ 
 
 
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente a 
este lado, na figura são D̂, Ê e F̂ (na cor em destaque). 
 
Classificação 
O triângulo pode ser classificado de duas maneiras: 
 
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. 105 
1- Quanto aos lados: 
 
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(BC̅̅̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e os três ângulos 
iguais. 
 
 
Triângulo Isósceles: Tem dois lados com medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e dois ângulos iguais. 
 
 
 
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes, m(AB̅̅ ̅̅ ) ≠ m(AC̅̅̅̅ ) ≠ m(BC̅̅̅̅ ) e os três 
ângulos diferentes. 
 
 
2 - Quanto aos ângulos: 
 
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são 
menores do que 90º. 
 
 
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do 
que 90º. 
 
 
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90° graus). 
 
 
Propriedade dos ângulos 
 
1- Ângulos Internos: a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. 
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. 106 
 
 
a + b + c = 180º 
 
2- Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC onde as letras minúsculas representam os 
ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. Temos que em todo triângulo 
cada ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos apostos. 
 
 
 
 = b̂ + ĉ; B̂ = â + ĉ e Ĉ = â + b̂ 
 
Semelhança de triângulos 
Dois triângulos são semelhantes se tiverem, entre si, os lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos congruentes (iguais). 
 
Dados os triângulos acima, onde: 
AB̅̅ ̅̅
DE̅̅ ̅̅
=
BC̅̅̅̅
EF̅̅̅̅
=
AC̅̅̅̅
DF̅̅̅̅
 
 
e  = D̂ B̂ = Ê Ĉ = F̂, então os triângulos ABC e DEF são semelhantes e escrevemos ABC~DEF. 
 
Critérios de semelhança 
1- Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem, entre si, dois ângulos correspondentes 
congruentes iguais, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
Nas figuras ao lado: Â = D̂ e Ĉ = F̂ 
 
então: ABC ~ DEF 
 
2- Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
Nas figuras ao lado: 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅̅̅
=
BC̅̅̅̅
FG̅̅̅̅
→
6
3
=
8
4
= 2 
então: ABC ~ EFG 
 
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. 107 
3- Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, 
então os triângulos são semelhantes. 
 
 
Nas figuras ao lado: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝑅𝑇̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝑅𝑆̅̅̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝑆𝑇̅̅̅̅
→
3
1,5
=
5
2,5
=
4
2
= 2 
 
então: ABC ~ RST 
 
 
Observação: temos três critérios de semelhança, porém o mais utilizado para resolução de exercícios, 
isto é, para provar que dois triângulos são semelhantes, basta provar que eles tem dois ângulos 
correspondentes congruentes (iguais). 
 
Casos de congruência 
 
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes. 
 
2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes. 
 
3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente. 
 
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo 
oposto ao lado. 
 
 
 
 
 
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. 108 
Questões 
 
01. (PC/PR – Perito Criminal – IBFC/2017) Com relação à semelhança de triângulos, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três ângulos ordenadamente 
congruentes. 
II. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os lados homólogos proporcionais. 
III. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três ângulos ordenadamente 
congruentes e os lados homólogos proporcionais. 
Nessas condições, está correto o que se afirma em: 
(A) I e II, apenas 
(B) II e III, apenas 
(C) I e III, apenas 
(D) I, II e III 
(E) II, apenas 
 
02. Na figura abaixo AB̅̅ ̅̅ = AC̅̅̅̅ , CB̅̅̅̅ = CD̅̅̅̅ , a medida do ângulo DĈB é: 
 
(A) 34° 
(B) 72° 
(C) 36° 
(D) 45° 
(E) 30° 
 
03. Na figura seguinte, o ângulo AD̂C é reto. O valor em graus do ângulo CB̂D é igual a: 
 
(A) 120° 
(B) 110° 
(C) 105° 
(D) 100° 
(E) 95° 
 
04. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto 
mede o lado do quadrado? 
 
(A) 0,70 
(B) 0,75 
(C) 0,80 
(D) 0,85 
(E) 0,90 
 
 
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. 109 
05. Em uma cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, 
que estacionou a aproximadamente 50 m do solo. Um helicóptero do Exército, situado a 
aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura seguinte. 
A sombra projetada pelo disco no solo tinha em torno de 16 m de diâmetro. 
 
Sendo assim, pode-se concluir que a medida, em metros, do raio desse disco-voador é 
aproximadamente: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Todas as afirmações estão corretas pois em todos os casos os triângulos são semelhantes. 
 
02. Resposta: C. 
Na figura dada, temos três triângulos: ABC, ACD e BCD. Do enunciado AB = AC, o triângulo ABC 
tem dois lados iguais, então ele é isósceles e tem dois ângulos iguais: 
AĈB = AB̂C = x. A soma dos três ângulos é igual a 180°. 
36° + x + x = 180° 
2x = 180° - 36° 
2x = 144 
x = 144 : 2 
x = 72 
Logo: AĈB = AB̂C = 72° 
Também temos que CB = CD, o triângulo BCD é isósceles: 
CB̂D = CD̂B = 72°, sendo y o ângulo DĈB, a soma é igual a 180°. 
72° + 72° + y = 180° 
144° + y = 180° 
y = 180° - 144° 
y = 36º 
 
03. Resposta: D. 
Na figura temos três triângulos. Do enunciado o ângulo AD̂C = 90° (reto). 
O ângulo BD̂C = 30° → AD̂B = 60º. 
 
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. 110 
O ângulo CB̂D (x) é ângulo externo do triângulo ABD, então: 
x = 60º + 40° (propriedade do ângulo externo) 
x = 100° 
 
04. Resposta: B. 
Sendo x o lado do quadrado: 
 
 
Temos que provar que dois dos triângulos da figura são semelhantes. 
O ângulo BÂC é reto, o ângulo CF̂E é reto e o ângulo AĈB é comum aos triângulos ABC e CEF, logo 
estes dois triângulos são semelhantes. As medidas de seus lados correspondentes são proporcionais: 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AC̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅
CF̅̅ ̅̅
 
1
x
=
3
3−x
 (multiplicando em “cruz”) 
 
3x = 1.(3 – x) 
3x = 3 – x 
3x + x = 3 
4x = 3 
x = ¾ 
x = 0,75 
 
05. Resposta: A. 
Da figura dada, podemos observar os seguintes triângulos: 
 
Os triângulos ABC e ADE são isósceles. A altura divide as bases em duas partes iguais. E esses dois 
triângulos são semelhantes, pois os dois ângulos das bases de cada um são congruentes. Então: 
CG̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AG̅̅ ̅̅
AF̅̅ ̅̅
 
 
8
r
=
80
30
 
 
8r = 8.3 
r = 3 m 
 
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
 
Em um triângulo qualquer nós temos alguns elementos chamados de cevianas. Estes elementos são: 
- Altura: segmento que sai do vértice e forma um ângulo de 90° com o lado oposto a esse vértice. 
- Mediana: segmento que sai do vértice e vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice, isto é, 
divide o lado oposto em duas partes iguais. 
- Bissetriz do ângulo interno: semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais. 
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. 111 
- Mediatriz: reta que passa pelo ponto médio do lado formando um ângulo de 90° 
 
 
 
E todo triângulo tem três desses elementos, isto é, o triângulo tem três alturas, três medianas, três 
bissetrizes e três mediatrizes. Os pontos de intersecção desses elementos são chamados de pontos 
notáveis do triângulo. 
 
- Baricentro: é o ponto de intersecção das três medianas de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
E divide as medianas na razão de 2:1. É ponto de gravidade do triângulo. 
 
 
- Incentro: é o ponto de intersecção das três bissetrizes de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
É o centro da circunferência circunscrita (está dentro do triângulo tangenciando seus três lados). 
 
 
- Circuncentro: é o ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo. É o centro da 
circunferência circunscrita (está por fora do triângulo passando por seus três vértices). No triângulo 
acutângulo o circuncentro é um ponto interno, no triângulo obtusângulo é um ponto externo e no triângulo 
retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
 
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. 112 
- Ortocentro: é o ponto de intersecção das três alturas de um triângulo. No triângulo acutângulo é um 
ponto interno, no triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto e no triângulo obtusângulo é um ponto 
externo. 
 
 
Um triângulo cujos vértices são os “pés” das alturas de um outro triângulo chama-se triângulo órtico 
do primeiro triângulo. 
 
Observações: 
1) Num triângulo isósceles (dois lados iguais) os quatro pontos notáveis são colineares (estão numa 
alinhados). 
2) Num triângulo equilátero (três lados iguais) os quatro pontos notáveis são coincidentes, isto é, um 
só ponto já é o Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro. 
3) As iniciais dos quatro pontos formam a palavra BICO. 
 
Questões 
 
01. Assinale a afirmação falsa: 
(A) Os pontos notáveis de um triângulo equilátero são coincidentes. 
(B) O encentro de qualquer triângulo é sempre um ponto interno. 
(C) O ortocentro de um triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto. 
(D) O circuncentro de um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
(E) O baricentro de qualquer triângulo é o ponto médio de cada mediana. 
 
02. (UC-MG) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro O e raio 2 
cm. AD̅̅ ̅̅ é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE̅̅̅̅ , em centímetros, é: 
 
 
(A) 2√3 
(B) 2√5 
(C) 3 
(D) 5 
(E) √26 
 
03. Qual das afirmações a seguir é verdadeira? 
(A) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo acutângulo. 
(B) O baricentro pode ser um ponto de um dos lados do triângulo e isto ocorre no triângulo escaleno. 
(C) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(D) O baricentro pode ser um ponto dos vértices do triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(E) O baricentro sempre será um ponto interior ao triângulo. 
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. 113 
04. Na figura a seguir, H é o ortocentro do triângulo ABC, AĈH = 30° e BĈH = 40°. Determine as 
medidas dos ângulos de vértices A e B. 
(A) A = 30° e B = 50° 
(B) A = 60° e B = 50° 
(C) A = 40° e B = 50° 
(D) A = 30° e B = 60° 
(E) A = 50° e B = 60° 
 
 
05. O ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo é o: 
(A) Baricentro 
(B) Incentro 
(C) Circuncentro 
(D) Ortocentro 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
O baricentro divide as medianas na razão de 2 para 1, logo não é ponto médio. 
 
02. Resposta: A. 
Do enunciado temos que O é o circuncentro (centro da circunferência inscrita) então O também é 
baricentro (no triângulo equilátero os 4 pontos notáveis são coincidentes), logo pela propriedade do 
baricentro temos que AO̅̅ ̅̅ é o dobro de OD̅̅ ̅̅ . Se OD̅̅ ̅̅ = 2 (raio da circunferência) → AO̅̅ ̅̅ = 4 cm. 
O ponto E é ponto de tangência, logo o raio traçado no ponto de tangência forma ângulo reto (90°) e 
OE̅̅ ̅̅ = 2 cm. Portanto o triângulo AEO é retângulo, basta aplicar o Teorema de Pitágoras e sendo AE̅̅̅̅ = x: 
(AO̅̅ ̅̅ )2 = (AE̅̅̅̅ )2 + (OE̅̅ ̅̅ )2 
42 = x2 + 22 
16 − 4 = x2 
x2 = 12 
x = √12 
x = 2√3 cm 
 
03. Resposta: E. 
O baricentro é sempre interno, pois as 3 medianas de um triângulo são segmentos internos. 
 
04. Respostas: B. 
Ortocentro é ponto de intersecção das alturas de um triângulo, então se prolongarmos o segmento CH 
até a base formará um ângulo de 90° (reto). Formando dois triângulos retângulos ACD e BCD, de acordo 
com a figura abaixo: 
 
 
A soma do ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. 
No triângulo ACD: A + 90° + 30° = 180° → A = 180° - 90° - 30° = 60° 
No triângulo BCD: B + 90° + 40° = 180° → B = 180° - 90° - 40° = 50° 
 
05. Resposta: C. 
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Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades: 
- Tem 4 lados. 
- Tem 2 diagonais. 
- A soma dos ângulos internos Si = 360º 
- A soma dos ângulos externos Se = 360º 
 
Observação: é o único polígono em que Si = Se 
 
 
 
No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos: 
- Os vértices são os pontos: A, B, C e D. 
- Os ângulos internos são A, B, C e D. 
- Os lados são os segmentos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ . 
 
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos 
e como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma 
dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus. 
 
 
 
Quadriláteros Notáveis: 
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos. 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ é paralelo a CD̅̅̅̅ 
 
Os trapézios podem ser: 
- Retângulo: dois ângulos retos. 
- Isósceles: lados não paralelos congruentes (iguais). 
- Escaleno: os quatro lados diferentes. 
 
Quadriláteros 
 
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. 115 
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos 
opostos são congruentes e os ladosapostos também são congruentes. 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ //CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ //BC̅̅̅̅ 
- AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ = BC̅̅̅̅ (lados opostos iguais) 
- Â = Ĉ e B̂ = D̂ (ângulos opostos iguais) 
- AC̅̅̅̅ ≠ BD̅̅ ̅̅ (duas diagonais diferentes) 
 
Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais: 
 
- Losango: 4 lados congruentes 
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus) 
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos. 
 
 
 
Observações: 
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais) 
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são 
bissetrizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio). 
 
Fórmulas da área dos quadriláteros: 
1 - Trapézio: A =
(B+b).h
2
, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida 
da altura. 
2 - Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura. 
3 - Retângulo: A = b.h 
4 - Losango: A =
D.d
2
, onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor. 
5 - Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado. 
 
Exemplos 
 
01. Determine a medida dos ângulos indicados: 
a) 
 
b) 
 
 
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c) 
 
Resolução 
01. Respostas: a = 70º; b = 162º e c = 18º. 
a) x + 105° + 98º + 87º = 360º 
x + 290° = 360° 
x = 360° - 290° 
x = 70º 
 
b) x + 80° + 82° = 180° 
x + 162° = 180° 
x = 180º - 162º 
x = 18° 
18º + 90º + y + 90º = 360° 
y + 198° = 360° 
y = 360º - 198° 
y = 162º 
 
c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º 
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2 
10a = 720º 
a = 720° / 10 
a = 72° 
 72° + b + 90° = 180° 
b + 162° = 180° 
b = 180° - 162° 
b = 18°. 
 
Questões 
 
01. Com relação aos quadriláteros, assinale a alternativa incorreta: 
(A) Todo quadrado é um trapézio. 
(B) Todo retângulo é um paralelogramo. 
(C) Todo quadrado é um losango. 
(D) Todo trapézio é um paralelogramo. 
(E) Todo losango é um paralelogramo. 
 
02. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles, onde AD = 4, CD = 1, A = 60° e a altura vale 2√3. A área 
desse trapézio é 
 
(A) 4. 
(B) (4√3)/3. 
(C) 5√3. 
(D) 6√3. 
(E) 7. 
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. 117 
03. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos 
desse trapézio. Determine a medida de a, b, c. 
 
(A) a = 63°, b = 117° e c = 63° 
(B) a = 117°, b = 63° e c = 117° 
(C) a = 63°, b = 63° e c = 117° 
(D) a = 117°, b = 117° e c = 63° 
(E) a = b = c = 63° 
 
04. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da 
base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, as medidas de x e y são, respectivamente: 
(A) 3 e 8 
(B) 5 e 6 
(C) 4 e 7 
(D) 6 e 5 
(E) 8 e 3 
 
05. (Câmara de Sumaré – Escriturário – VUNESP/2017) A figura, com dimensões indicadas em 
centímetros, mostra um painel informativo ABCD, de formato retangular, no qual se destaca a região 
retangular R, onde x > y. 
 
Sabendo-se que a razão entre as medidas dos lados correspondentes do retângulo ABCD e da região 
R é igual a 5/2, é correto afirmar que as medidas, em centímetros, dos lados da região R, indicadas por 
x e y na figura, são, respectivamente, 
(A) 80 e 64. 
(B) 80 e 62. 
(C) 62 e 80. 
(D) 60 e 80. 
(E) 60 e 78. 
 
06. (UEM – Técnico Administrativo – UEM/2017) Rui fez um canteiro retangular de 12,5 m de 
comprimento por 6 m de largura. Então a área deste canteiro, em m², é igual a 
(A) 18,5. 
(B) 37. 
(C) 72. 
(D) 74. 
(E) 75. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Trata-se de uma pergunta teórica. 
a) V → o quadrado tem dois lados paralelos, portanto é um trapézio. 
b) V → o retângulo tem os lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
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. 118 
c) V → o quadrado tem os lados opostos paralelos e os 4 lados congruentes, portanto é um losango. 
d) F 
e) V → o losango tem lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
 
02. Resposta: D. 
De acordo com e enunciado, temos: 
 
 
- sen60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
√3
2
=
ℎ
4
 → 2h = 4√3 → h = 2√3 
 
- cos60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
1
2
=
𝑥
4
 → 2x = 4 → x = 2 
 
- base maior AB = x + 1 + x = 2 + 1 + 2 = 5 
 
- base menor CD = 1 
 
A = 
(𝐵+𝑏).ℎ
2
 → A = 
(5+1).2√3
2
 → A = 6√3 
 
03. Resposta: C. 
Em um trapézio isósceles como o da figura, os ângulos da base são congruentes e os ângulos 
superiores também são congruentes. E a soma de uma superior mais um da base é igual a 180°. 
c = 117° 
a + 117° = 180° 
a = 180° - 117° 
a = 63° 
b = 63° 
 
04. Resposta: E. 
 
x + y = 11 
x - y = 5 
_________ 
2x + 0 = 16 
2x = 16/2 
x = 8 
x + y = 11 
8 + y = 11 
y = 11 – 8 
y = 3 
 
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. 119 
05. Resposta: A. 
 Pelo critério de razões temos: 
200/x = 5/2 
5x = 400 
x = 400/5 
x = 80 
160/y = 5/2 
5y= 320 
y = 320/5 
y = 64 
 
06. Resposta: E. 
A área de um retângulo é comprimento x largura, então: 
12,5 x 6 = 75,0 
 
 
 
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão 
localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez 
seja a curva mais importante no contexto das aplicações. 
 
 
 
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é 
menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O 
círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico 
acima, a circunferência é a linha de cor verde escuro que envolve a região verde claro, enquanto o círculo 
é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência. 
 
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo 
 
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na 
circunferência. 
 
 
 
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo. 
 
Raio, Corda e Diâmetro 
 
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no 
centro da circunferência (ou do círculo) e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na 
figura abaixo, os segmentos de reta OA̅̅ ̅̅ , OB̅̅ ̅̅ e OC̅̅̅̅ são raios. 
 
Circunferência, círculo e seus elementos respectivos 
 
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. 120 
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à 
circunferência (ou seja, um segmento que une dois pontos de uma circunferência). Na figura abaixo, os 
segmentos de reta AC̅̅̅̅ e DE̅̅ ̅̅ são cordas. 
 
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da 
circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura abaixo, o 
segmento de reta AC̅̅̅̅ é um diâmetro. 
 
 
 
Posições relativas de uma reta e uma circunferência 
 
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em 
dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. 
 
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência 
em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura 
ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à 
circunferência.Reta externa (ou exterior): é uma reta que não tem ponto em comum com a circunferência. Na figura 
abaixo a reta t é externa. 
 
 
Propriedades das secantes e tangentes 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta 
secante s. 
 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B, a perpendicular às retas que passam pelo centro O da circunferência, passa também pelo 
ponto médio da corda AB. 
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. 121 
 
 
Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta 
perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. 
 
 
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
 
Posições relativas de duas circunferências 
 
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é 
denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. 
 
 
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em 
dois semiplanos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semiplano, 
temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão 
em semiplanos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. 
 
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os 
pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus 
pontos são pontos externos à outra. 
 
 
 
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro, mas com raios 
diferentes são circunferências concêntricas. 
 
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à 
outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. 
 
 
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da 
reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado 
da reta tangente comum. 
 
 
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. 122 
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. 
 
 
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e 
B, então esses segmentos AP e BP são congruentes. 
 
 
ÂNGULOS (OU ARCOS) NA CIRCURFERÊNCIA 
 
Ângulo central: é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Este ângulo 
determina um arco na circunferência, e a medida do ângulo central e do arco são iguais. 
 
 
 
O ângulo central determina na circunferência um arco 𝐴�̂� e sua medida é igual a esse arco. 
 
α = AB̂ 
Ângulo Inscrito: é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência. 
 
 
 
O ângulo inscrito determina na circunferência um arco 𝐴�̂� e sua medida é igual à metade do arco. 
α =
AB̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Interno: é formado por duas cordas da circunferência. 
 
 
 
O ângulo excêntrico interno determina na circunferência dois arcos AB e CD e sua medida é igual à 
metade da soma dos dois arcos. 
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. 123 
α =
AB̂ + CD̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Externo: é formado por duas retas secantes à circunferência. 
 
O ângulo excêntrico externo determina na circunferência dois arcos 𝐴�̂� e 𝐶�̂� e sua medida é igual à 
metade da diferença dos dois arcos. 
 
 α =
AB̂ − CD̂
2
 
 
Questões 
 
01. O valor de x na figura abaixo é: 
 
 
(A) 90° 
(B) 92° 
(C) 96° 
(D) 98° 
(E) 100° 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de y? 
 
(A) 30° 
(B) 45° 
(C) 60° 
(D) 35° 
(E) 25° 
 
03. Na figura seguinte, a medida do ângulo x, em graus, é: 
 
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. 124 
(A) 80° 
(B) 82° 
(C) 84° 
(D) 86° 
(E) 90° 
 
04. A medida do arco x na figura abaixo é: 
 
(A) 15° 
(B) 20° 
(C) 25° 
(D) 30° 
(E) 45° 
 
05. Uma reta é tangente a uma circunferência quando: 
(A) tem dois pontos em comum. 
(B) tem três pontos em comum. 
(C) não tem ponto em comum. 
(D) tem um único ponto em comum. 
(E) nda 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
O ângulo dado na figura (46°) é um ângulo inscrito, portanto é igual à metade do arco x: 
 
 46° =
𝑥
2
 
 
 x = 46°.2 
 x = 92° 
 
02. Resposta: D. 
O ângulo da figura é um ângulo excêntrico externo, portanto é igual à metade da diferença dos dois 
arcos dados. 
 
 𝑦 =
110°−40°
2
 
 
 𝑦 =
70°
2
= 35° 
 
03. Resposta: C. 
O ângulo x é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 𝑥 =
108°+60°
2
 
 𝑥 =
168°
2
= 84° 
 
04. Resposta: A. 
O ângulo de 55 é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 
 55° =
95°+𝑥
2
 
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. 125 
 55°. 2 = 95° + 𝑥 
 110° − 95° = 𝑥 
 𝑥 = 15° 
 
05. Resposta: D. 
Questão teórica 
 
 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
 
 
Área é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
 
Figuras geométricas planas (perímetros e áreas) 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 126 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
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. 127 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200.04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 128 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 129 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
 
Comentários 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 d2 = l2 + l2 
 (2√7)
2
= 2l2 
 4.7 = 2l2 
 2l2 = 28 
 l2 =
28
2
 
 A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
 S =
x2+302−2.30.x+x2
16
 
 S =
x2+900−60x+x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 130 
 xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
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. 131 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
 
08. Resposta: D. 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 132 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada 
um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência temcomprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (PETROBRÁS - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 133 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 134 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
(A) 6 π - 6√3 cm² 
(B) 2. (2 π - 3√3) cm² 
(C) 3. (4 π - 3√3) cm² 
(D) 3. (1 π - 3√3) cm² 
(E) 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 135 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→ 𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: E. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
 
 
Sólidos Geométricos11 são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por 
um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera, dessas figuras 
podemos encontrar o seu volume, pois são figuras geométricas espaciais. 
 
 
11IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da matemática elementar – Vol 10 – Geometria Espacial, Posição e Métrica – 5ª edição – Atual 
Editora 
www.brasilescola.com.br 
Sólidos geométricos (figuras espaciais): seus elementos e volumes 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 136 
I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. 
 
 
Elementos de um prisma: 
a) Base: pode ser qualquer polígono. 
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases. 
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. 
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais. 
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. 
f) Altura: distância entre as duas bases. 
 
 Classificação: 
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto à base: 
- Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°). 
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 Fórmulas: 
- Área da Base 
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo 
calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim 
por diante. 
- Área Lateral: 
Soma das áreas das faces laterais 
- Área Total: 
At=Al+2Ab 
- Volume: 
V = Abh 
 
 Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais, 
que são: 
 
a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares. 
 
 
Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = altura. 
 
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. 137 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) 
 
- Volume: V = a.b.c 
 
- Diagonal: D = √a2 + b2 + c2 
 
b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas. 
 
As três dimensões de um cubo: comprimento, largura e altura são iguais. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 6.a2 
 
- Volume: V = a3 
 
- Diagonal: D = a√3 
 
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. 
 
 Elementos de uma pirâmide: 
 
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas 
laterais, vértice e altura. Além destes,ela também tem um apótema lateral e um apótema da base. 
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um 
triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. 
 
 Classificação: 
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 
1- Quanto à base: 
- Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base. 
- Pirâmide Obliqua: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
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. 138 
Fórmulas: 
- Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base pode ser qualquer polígono não existe uma 
fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado 
calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. 
- Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 
 
- Área Total: At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- TRONCO DE PIRÂMIDE 
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a 
figura: 
 
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho. 
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as 
bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre 
si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco. 
 
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide. 
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. 
De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície 
lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, 
se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral. 
A área total do tronco de pirâmide é dada por: 
St = Sl + SB + Sb 
Onde: 
St → é a área total 
Sl → é a área da superfície lateral 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
Cálculo do volume do tronco de pirâmide. 
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume 
de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. 
Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do 
tronco é: 
 
Onde, 
V → é o volume do tronco 
h → é a altura do tronco 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
 
 
 
 
 
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. 139 
III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares. 
 
Elementos de um cilindro: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre as duas bases. 
d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral é formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele só pode ser classificado de acordo com 
a inclinação: 
- Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°). 
- Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = 2.π.r.h 
 
- Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab 
 
- Volume: V = π.r2.h ou V = Ab.h 
 
Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro. O retângulo obtido através 
desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo a área da secção meridiana 
é dada pela fórmula: ASM = 2r.h. 
 
 
 
Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um 
quadrado, para isto temos que: h = 2r. 
 
 
 
 
 
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. 140 
IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior. 
 
Elementos de um cone: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. 
d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral e formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só tem classificação quanto à inclinação. 
- Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base. 
- Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
 Fórmulas: 
- Área da base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = π.r.g 
 
- Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝜋. 𝑟2. ℎ ou 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo retângulo, então: g2 = h2 + r2. 
 
Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. O triângulo obtido através desse corte é 
chamado de secção meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da secção meridiana é 
dada pela fórmula: ASM = r.h. 
 
 
Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo 
equilátero, para isto temos que: g = 2r. 
 
TRONCO DE CONE 
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, 
teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. 
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. 141 
 
Elementos 
- A base do cone é a base maior do tronco, e a seção transversal é a base menor; 
- A distância entre os planos das bases é a altura do tronco. 
 
Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior 
que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a 
medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na 
composição do tronco de cone. 
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral 
(geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso 
da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso. 
 
 
Onde: 
h = altura 
g = geratriz 
 
Área da Superfície e Volume 
 
 
 
Exemplo: 
Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m. 
Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 142 
V) ESFERA 
 
 
 Elementos da esfera 
- Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da esfera. 
- Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera. 
- Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando círculos. 
- Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, determinando, assim, o maior círculo possível. 
 
 Fórmulas 
 
 
 
- na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r), a distância do centro ao paralelo ao centro 
da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, podemos aplicar o Teorema 
de Pitágoras: R2 = r2 + d2. 
- Área: A = 4.π.R2 
 
- Volume: V = 
4
3
. π. R3 
 
Fuso Esférico: 
 
Fórmula da área do fuso: 
𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 =
𝛼. 𝜋.𝑅2
90°
 
 
Cunha Esférica: 
 
 
Fórmula do volume da cunha: 
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 =
𝛼. 𝜋. 𝑅3
270°
 
 
 
 
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. 143 
Questões 
 
01. (IPSM – Analista de gestão Municipal – VUNESP/2018) Um tanque em formato de prisma reto 
retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está completamente cheio de água. Durante 3 
horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 
m3 é equivalente a 1000 litros. Após esse tempo, o número de litros de água que ainda permanecem no 
tanque é igual a 
(A) 980. 
(B) 1020. 
(C) 1460. 
(D) 1580. 
(E) 1610. 
 
02. (UFSM – Auxiliar em Administração – UFSM/2017) O número de furtos a bancos tem crescido 
muito nos últimos anos. Em um desses furtos, criminosos levaram 20 barras de ouro com dimensões 
dadas, em centímetros, pela figura a seguir. 
 
 
 
Se a densidade do ouro é de aproximadamente 19g/cm³, aproximadamente quantos quilogramas de 
ouro foram furtados? 
(A) 0,456 
(B) 9,120 
(C) 24,000 
(D) 45,600 
(E) 91,200 
 
03. (DEMAE – Técnico em Informática – CS-UFG/2017) Em um canteiro de obra, para calcular o 
volume de areia contida na caçamba de um caminhão, mede-se a altura da areia em cinco pontos 
estratégicos (indicados por M), a largura (L) e o comprimento (C) da base da caçamba, conforme ilustra 
a figura a seguir. 
 
O volume de areia na caçamba do caminhão é dado pelo produto da área da base da caçamba pela 
média aritmética das alturas da areia. Considere um caminhão carregado com 13,25 m³ de areia. A largura 
de sua caçamba é 2,4 m e o comprimento, 5,8 m. Assim, a média aritmética das alturas da areia na 
caçamba, em metros, é, aproximadamente, de: 
 
(A) 9,5 
(B) 2,3 
(C) 0,95 
(D) 0,23 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 144 
04. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em 
cm2, é: 
(A) 90π 
(B) 100π 
(C) 80π 
(D) 110π 
(E) 120π 
 
05. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse 
prisma é: 
(A) 288√3 cm3 
(B) 144√3 cm3 
(C) 200√3 cm3 
(D) 100√3 cm3 
(E) 300√3 cm3 
 
06. Um cubo tem aresta igual a 3 m, a área total e o volume desse cubo são, respectivamente, iguais 
a: 
(A) 27 m2 e 54 m3 
(B) 9 m2 e 18 m3 
(C) 54 m2 e 27 m3 
(D) 10 m2 e 20 m3 
 
07. Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. O volume dessa 
pirâmide, em cm3, é igual a: 
(A) 60 
(B) 60√3 
(C) 80 
(D) 80√3 
(E) 90√3 
 
08. (Pref. SEARA/SC – Adjunto Administrativo – IOPLAN) Um reservatório vertical de água com a 
forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 6 metros e profundidade de 10 metros tem a 
capacidade aproximada de, admitindo-se π=3,14: 
(A) 282,60 litros. 
(B) 28.260 litros. 
(C) 282.600,00 litros. 
(D) 28.600,00 litros. 
 
09. Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. A altura desse cone, em cm, é: 
(A) 6√3 
(B) 6√2 
(C) 8√2 
(D) 8√3 
(E) 8 
 
10. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases 
são iguais a 36 dm² e 144 dm² vale: 
(A) 330 cm³ 
(B) 720 dm³ 
(C) 330 m³ 
(D) 360 dm³ 
(E) 336 dm³ 
 
 
 
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. 145 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume do paralelepípedo, depois a quantidade de água que vaza 
para poder descobrir quanto de agua ainda resta, basta subtrair o volume pela quantidade de água que 
vazou. 
V= a . b . c 
V= 3,5 . 1,2 . 0,8 
V= 3,36 m³ 
1 m³__________ 1000 LITROS 
3,36__________ x 
x= 3.360 L 
 
Aqui precisamos descobrir quanto vazou de água 
3 H 15 MIN = 3*60 +15 = 180 +15= 195 MIN 
12L ----------- 1 MIN 
y ----------- 195 MIN 
y= 195 . 12 
y= 2.340 L 
x-y = 3.360 - 2.340= 1020 LITROS 
 
02. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume de 1 das barras e depois basta multiplicar por 20, logo: 
V = 8x3x1 = 24cm³ 
24x19 = 456 g (pois ele possui 19g por cada cm³) 
456 x 20 (foram furtadas) = 9120g, devemos lembrar que 1 kg equivale à 1000g. 
9120/1000 = 9,120kg. 
 
03. Resposta: C. 
Como ele quer saber a média aritmética das alturas basta substituirmos na fórmula: 
V = M . L . C 
13,25 = M . 2,4 . 5,8 = 
13,92M = 13,25 
M = 13,25/13,92 
M = 0,95m 
 
04. Resposta: B. 
Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm. 
h = 2r → h = 2.5 = 10 cm 
Al = 2.π.r.h 
Al = 2.π.5.10 → Al = 100π 
 
05. Resposta: A. 
O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do enunciado temos que a aresta da base é a 
= 4 cm e a altura h = 12 cm. 
A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular 
𝐴𝑏 =
6.𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
6.42√3
4
  𝐴𝑏 =
6.16√3
4
  𝐴𝑏 = 6.4√3  𝐴𝑏 = 24√3 cm
2 
 
V = 24√3.12 
V = 288√3 cm3 
 
06. Resposta: C. 
Do enunciado, o cubo tem aresta a = 3 m. 
At = 6.a2 V = a3 
At = 6.32 V = 33 
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. 146 
At = 6.9 V = 27 m3 
At = 54 m2 
 
07. Resposta: D. 
Do enunciado a base é um triângulo equilátero. E a fórmula da área do triângulo equilátero é 𝐴 =
𝑙2√3
4
. 
A aresta da base é a = 8 cm e h = 15 cm. 
 
Cálculo da área da base: 
𝐴𝑏 =
𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
82√3
4
=
64√3
4
 
 
𝐴𝑏 = 16√3 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
𝑉 =
1
3
. 16√3. 15 
 
𝑉 = 16√3. 5 
 
𝑉 = 80√3 
 
08. Resposta: C. 
Pelo enunciado sabemos a altura (h) = 10 m e o Diâmetro da base = 6 m, logo o Raio (R) = 3m. 
O volume é Ab.h , onde Ab = π .R² → Ab = 3,14. (3)² → Ab = 28,26 
V = Ab. H → V = 28,26. 10 = 282,6 m³ 
Como o resultado é expresso em litros, sabemos que 1 m³ = 1000 l, Logo 282,26 m³ = x litros 
282,26. 1000 = 282 600 litros 
 
09. Resposta: D. 
Em um cone equilátero temos que g = 2r. Do enunciado o raio é 8 cm, então a geratriz é g = 2.8 = 16 
cm. 
g2 = h2 + r2 
162 = h2 + 82 
256 = h2 + 64 
256 – 64 = h2 
h2 = 192 
h = √192 
h = √26. 3 
h = 23√3 
h = 8√3 cm 
 
10. Resposta: E. 
𝑉 =
ℎ𝑡
3
(𝐴𝐵 + √𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏) 
AB=144 dm² 
Ab=36 dm² 
𝑉 =
4
3
(144 + √144 ∙ 36 + 36) =
4
3
(144 + 72 + 36) =
4
3
252 = 336 𝑑𝑚3 
 
 
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. 147 
 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um determinado espaço. Além do mais, o 
plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação 
ao par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
 
Par Ordenado 
 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico cartesiano do par ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
Funções do 1º e 2º graus 
 
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. 148 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
 
Produto Cartesiano 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
a) Listagem dos elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) x n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 
 
b) Diagrama de flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
 
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. 149 
 
 
c) Plano cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
 
Noção de Relação 
 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
Noção de Função 
 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
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. 150 
 
 
 
Analisemos agora através dos gráficos: 
 
 
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. 151 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, é traçarmos retas 
paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x existem elementos com mais de uma 
correspondência, aí podemos dizer se é ou não uma função, conforme os exemplos acima. 
 
Elementos da função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A dos elementos x de A, 
dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ 
B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo: 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
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. 152 
 
 
Domínio de uma função real de variável real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos: 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
Questão 
 
01. Dado o conjunto A= {0, 1, 2, 3, 4}, e seja a função f: A→ R, da função f(x) = 2x + 3. O conjunto 
imagem desta função será? 
(A) Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
(B) Im = {0, 1, 2, 3, 4} 
(C) Im = {0, 5, 7, 9, 11} 
(D) Im = {5, 7, 9,11} 
(E) Im = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
Comentário 
 
01. Resposta A. 
Basta substituirmos o x da função f(x) = 2x + 3 pelos elementos de A. 
Então: 
f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 
f(1) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5 
f(2) = 2.2 + 3 = 4 + 3 = 7 
f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 
f(4) = 2.4 + 3 = 8 + 3 = 11 
Assim Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Função do 1º grau ou função afim ou polinomial do 1º grau recebe ou é conhecida por um desses 
nomes, sendo por definição12: Toda função f: R → R, definida por: 
 
12BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:19961495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 153 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma função 
 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
Vamos construir o gráfico no plano cartesiano 
 
 
Observe que a reta de uma função afim é sempre uma 
reta. 
E como a > 0 ela é função crescente, que veremos 
mais à frente 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
 
Observe que a < 0, logo é uma função decrescente 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
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. 154 
 
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
 
 
Função Injetora 
Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no 
contradomínio. 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao eixo x, 
notaremos que o mesmo cortará a reta formada pela 
função em um único ponto (o que representa uma 
imagem distinta), logo concluímos que se trata de 
uma função injetora. 
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. 155 
Função Sobrejetora 
Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. 
 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
Observe que todos os elementos do contradomínio 
tem um correspondente em x. Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
 
 
Observe que nem todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. Logo 
não é sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
 
Função Bijetora 
uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
Exemplo: 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
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. 156 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
 
Observe que medida que os valores de x aumentam, 
os valores de y ou f(x) também aumentam. 
 
 
Observe que medida que os valores de x aumentam, 
os valores de y ou f(x) diminuem. 
 
Através do gráfico da função notamos que: 
-Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 
90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
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. 157 
 
 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
Estudo do sinal da função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
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. 158 
 
Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
 
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. 159 
Questões 
 
01. (MPE/SP – Geógrafo – VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a 
venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
02. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 
por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa 
final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir 
a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2.50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP – Sargento CFS – CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
04. (BNDES – Técnico Administrativo – CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresentao consumo 
médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 160 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS – Técnico Ambiental Júnior – CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional – CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 
1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
07. (BRDE-RS - Adaptada) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 
𝑥
2
 + 
10000, e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para que a firma 
não tenha prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 33.000,00 
(C) R$ 35.000,00 
(D) R$ 38.000,00 
(E) R$ 40.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional – CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir 
pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional – CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax 
+ b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – UNEMAT) O planeta Terra já foi 
um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo 
ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
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. 161 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
02. Resposta: B 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 162 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
F(x) ≥ C(x) 
 
2
3
 𝑥 ≥ 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 ≥ 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000 x = 
10000
1
6
  x ≥ 60000, como ele quer o menor 
valor. 
Substituindo no faturamento as 60000 unidades temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Portanto o resultado final é de R$ 40.000,00. 
 
08. Resposta: C 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
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. 163 
10. Resposta: C 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau13, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2 
b é o coeficiente de x 
c é o termo independente 
 
Exemplos: 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 
 
Representação gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidadeestá voltada para baixo. 
 
 
 
Exemplo 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
 
13BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
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. 164 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y neste caso, no 0 (zero) 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -1/4 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a 
(positivo ou maior que zero / negativo ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função 
definida por um polinômio do 2º grau. 
 
 
 
Vértice da parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
 
 
 
Eixo de simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
 
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
 
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. 165 
 
 
Coordenadas do vértice da parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
 
 
Valor máximo e valor mínimo da função definida por um polinômio do 2º grau 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
 
Exemplo 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
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. 166 
 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = -4. Logo o valor de mínimo é -4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ -4}. 
 
Raízes ou zeros da função definida por um polinômio do 2º grau 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
ax2 + bx + c = 0 
 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
a
b
x
.2


 , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da variação do sinal da função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em dois pontos distintos, e temos duas raízes reais 
distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em um ponto e temos duas raízes iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não tangencia o eixo x em nenhum ponto e não temos raízes 
reais. 
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. 167 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença 
matemática que a define. 
 
 
Resolução: 
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= -4 e x2 = 0), podemos nos da forma fatorada temos: 
f (x) = a.[ x – (-4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (-2,4), temos: 
4 = a.(-2 + 4).(-2) → a = -1 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (-x – 4x).x → -x2 – 4x 
 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo 
ponto (2;3). 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = -(2)2 + (k + 4).2 – 5 → 3 = -4 + 2k + 8 – 5 → 2k + 8 – 9 = 3 → 2 k – 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 
→ k = 2. 
 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – Cadetes do Exército – Exército Brasileiro) Uma indústria produz mensalmente x 
lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e o custo mensal 
da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor 
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve 
vender para obter lucro máximo é igual a 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
03. (IPEM – Técnico em Metrologia e Qualidade – VUNESP) A figura ilustra um arco decorativo de 
parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
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. 168 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
04. (Polícia Militar/MG – Soldado – Polícia Militar) A interseção entre os gráficos das funções y = - 
2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
 
02. Resposta: D 
L(x)=3x²-12x-5x²+40x+40 
L(x)=-2x²+28x+40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
03. Resposta: B 
C=0,81, pois é exatamente a distância de V 
F(x)=-x²+0,81 
0=-x²+0,81 
X²=0,81 
X=0,9 
A distância AB é 0,9+0,9=1,8 
 
04. Resposta: A 
-2x+3=x²+5x-6 
X²+7x-9=0 
=49+36=85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
Y=-2.1,105+3=0,79 
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. 169 
Para x=-8,105 
Y=19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
 
 
SEQUÊNCIAS 
 
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de 
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado 
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos 
atenção ao estudo das sequências numéricas. 
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não 
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. 
 
Exemplos: 
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma 
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. 
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência 
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. 
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos 
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 
= 9. 
 
1. Igualdade 
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões 
diferentes. 
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos 
termos, na mesma ordem. 
 
Exemplo 
 A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 
5; y = 8; z = 15; e t = 17. 
 
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem 
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 
 
2. Fórmula Termo Geral 
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada termo an em 
função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta fórmula que determina o valor do 
termo an é chamada fórmula do termo geral da sucessão. 
 
Exemplos: 
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = n2 – 2n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 
Sequências, Progressões Aritméticas e Geométricas 
 
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. 170 
- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = 3n + 2, com n ∈ N*. 
 
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 
 
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: 
 
an = 45 – 4n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 
 
3. Lei de Recorrências 
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma 
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de 
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. 
 
Exemplos: 
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: 
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4, em que n ∈ N*. 
 
Teremos: o primeiro termo já foi dado. 
- a1 = 3 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 
 
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que: 
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. 
 
- a1 = 12 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 
 
Observação 1 
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto 
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os 
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. 
 
Observação 2 
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas 
nem pela lei das recorrências, nem pela fórmula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como 
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma 
fórmula geral para seus termos. 
 
Observação 3 
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no 
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um 
número natural. 
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. 
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. 171 
Sequência de Fibonacci 
 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
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. 172 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an, .... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 
 
Exemplos: 
- (5, 9, 13, 17, 21, 25, ......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 
- (2, 9, 16, 23, 30, …) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 
- (23, 21, 19, 17, 15, …) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. 
 
Classificação: uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 
 
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1 + r 
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
n° termo é: 
 
 
 
 
 
 
 
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. 173 
Fórmula da soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Propriedades: 
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo 1: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ......) 
 
 
Exemplo 2: (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, ......) 
 
 
Como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, 
só existe termos médios se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos 
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 =
a3
a1
. 
Exemplo: 
 
 
P.G. – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an,... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯ … … … = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
Exemplos: 
- (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 
- (-36, -18, -9, 
−9
2
, 
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 
1
2
 
- (15, 5, 
5
3
, 
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 
1
3
 
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 
- (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 
- (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 
- (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada 
 
Classificação: uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 
 
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando 
a1 < 0 e 0 < q < 1. 
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. 174 
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou 
quando a1 < 0 e q > 1. 
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é 
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionária. 
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. 
 
Fórmula do termo geral 
 
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1.q 
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
n° termo é: 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) 
Vamos ver um exemplo: 
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …) de a1 = 2 e q = 
1
2
 se colocarmos na forma decimal, temos 
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ….) se efetuarmos a somas destes termos: 
2 + 1 = 3 
3 + 0,5 = 3,5 
3,5 + 0,25 = 3,75 
3,75 + 0,125 = 3,875 
3,875 + 0,0625 = 3,9375 
3,9375 + 0,03125 = 3,96875 
. 
. 
. 
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo 
limite. Então temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 
4. 
 
 
 
 
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. 175 
Produto da soma de n termos 
 
 
 
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 
1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 
2- No produto de n números negativos: 
 a) se n é par: o produto é positivo. 
 b) se n é ímpar: o produto é negativo. 
 
Propriedades 
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto 
destes extremos. 
 
Exemplos 1: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...) 
 
 
Exemplo 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) 
 
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. 
Porém, só existe termo médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do 
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 = √a3. a1. 
Exemplo: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51, ...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
 
02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o 
número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. 
Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é 
(A) –6,7. 
(B) 0,23. 
(C) –3,1. 
(D) –0,03. 
(E) –0,23. 
 
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. 176 
03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em 
que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a: 
(A) 58 
(B) 59 
(C) 60 
(D) 61 
(E) 62 
 
04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: 
(A) 3,1 
(B) 3,9 
(C) 3,99 
(D) 3, 999 
(E) 4 
 
05. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Observe a 
sequência: 
1; 2; 4; 8;... 
 
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? 
(A) 192 
(B)184 
(C) 160 
(D) 128 
(E) 64 
 
06. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) O primeiro e 
o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. A soma do 
segundo e quarto termos dessa sequência é igual a 
(A) 210. 
(B) 250. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 520. 
 
07. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se 
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 
grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser 
colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
(D) 2128. 
(E) 2256. 
 
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento 
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado 
na figura. 
 
 
 
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. 177 
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 39. 
(D) 40. 
(E) 42. 
 
09. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir: 
11; 15; 19; 23;... 
Qual é o sétimo termo desta sequência? 
(A) 27. 
(B) 31. 
(C) 35. 
(D) 37. 
(E) 39 
 
10. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita 
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo 
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um 
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
(A) 20. 
(B) 10. 
(C) 19. 
(D) 18. 
(E) 9. 
 
11. (MPE/AM – Agente de Apoio- Administrativo – FCC) Considere a sequência numérica formada 
pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são dados a 
seguir. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) 
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
 r = 48 – 45 = 3 
 𝑎1 = 45 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 
 
02. Resposta: D. 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09 
 𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12 
 𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - 
(10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - 
(8; 9; 10; 11; …). 
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: 
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 
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. 178 
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está 
intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: 
- Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; 
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. 
Daqui e de (1) obtemos que: 
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar 
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par 
Logo: 
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e 
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 
E, portanto: 
a30 + a55 = 22 + 37 = 59. 
 
04. Resposta: E. 
Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de 
razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim: 
S = 3 + S1 
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: 
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 
 
05. Resposta: C. 
Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2
𝑛−1 . 
Assim: 
 𝑎6 = 2
6−1 = 25 = 32 
 𝑎8 = 2
8−1 = 27 = 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
06. Resposta: E. 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
 100 = 4 ∙ 𝑞2 
 𝑞2 = 25 
 𝑞 = 5 
 𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 
 𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 
 𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 
 
07. Resposta: B. 
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 
A64 = ? 
a1 = 1 
q = 4 
n = 64 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 
 𝑎𝑛 = 1 ∙ 4
63 = (22)63 = 2126 
 
08. Resposta: D. 
Se estão em Progressão Geométrica, então: 
𝑟1
𝑟
= 
𝑟2
𝑟1
 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2. 
Assim: 𝑟1
2 = 144 
 𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 
 𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 
 𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 
 𝑟 + 𝑟2 = 40 
 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 179 
09. Resposta: C. 
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 
 
10. Resposta: A. 
 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 
 10𝑛 − 10 + 9 = 99 
 𝑛 = 10 
Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 
 99 = 90 + (𝑛 − 1) 
 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 
19+1=20 
 
11. Resposta: D. 
r = 4 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 
Portanto, o último algarismo é 6. 
 
 
 
PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
 
Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e 
divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, 
criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que 
podem ser descritas com utilização da álgebra. 
 
- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4; 
- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1); 
- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10; 
- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x + 2x; 
- A metade da soma de um número mais 15: 
(𝑥+15)
2
 
- A quarta parte de um número: 
𝑥
4
. 
 
Exemplos: 
1) A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os. 
1º número: x 
2º número: x + 2 
3º número: x + 4 
(x) + (x + 2) + (x + 4) = 96 
 
Resolução: 
x + x + 2 + x + 4 = 96 
3x = 96 – 4 – 2 
3x = 96 – 6 
3x = 90 
x = 
90
3
 
x = 30 
1º número: x = 30 
2º número: x + 2 = 30 + 2 = 32 
Resolução de problemas 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 180 
3º número: x + 4 = 30 + 4 = 34 
Os números são 30, 32 e 34. 
 
2) O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o: 
 
Resolução: 
3x + 4 = 52 
3x = 25 – 4 
3x = 21 
x = 
21
3
 
x = 7 
O número procurado é igual a 7. 
 
3) A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o 
triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um? 
 
Resolução: 
Atualmente 
Filho: x 
Pai: 4x 
Futuramente 
Filho: x + 5 
Pai: 4x + 5 
 
4x + 5 = 3 . (x + 5) 
4x + 5 = 3x + 15 
4x – 3x = 15 – 5 
X = 10 
Pai: 4x = 4 . 10 = 40 
O filho tem 10 anos e o pai tem 40. 
 
4) O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número? 
 
Resolução: 
2x + 3x = 20 
5x = 20 
x = 
20
5
 
x = 4 
O número corresponde a 4. 
 
5) Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 
pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara. 
 
Galinhas: G 
Coelhos: C 
G + C = 35 
 
Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então: 
2G + 4C = 100 
 
Sistema de equações 
Isolando C na 1ª equação: 
G + C = 35 
C = 35 – G 
 
Substituindo C na 2ª equação: 
2G + 4C = 100 
2G + 4 . (35 – G) = 100 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 181 
2G + 140 – 4G = 100 
2G – 4G = 100– 140 
- 2G = - 40 
G = 
40
2
 
G = 20 
 
Calculando C 
C = 35 – G 
C = 35 – 20 
C = 15 
 
Questões 
 
01. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Sobre 4 amigos, sabe-se 
que Clodoaldo é 5 centímetros mais alto que Mônica e 10 centímetros mais baixo que Andreia. Sabe-se 
também que Andreia é 3 centímetros mais alta que Doralice e que Doralice não é mais baixa que 
Clodoaldo. Se Doralice tem 1,70 metros, então é verdade que Mônica tem, de altura: 
(A) 1,52 metros. 
(B) 1,58 metros. 
(C) 1,54 metros. 
(D) 1,56 metros. 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) Em um condomínio, a caixa d’água do bloco A contém 10 000 litros a mais de água 
do que a caixa d’água do bloco B. Foram transferidos 2 000 litros de água da caixa d’água do bloco A 
para a do bloco B, ficando o bloco A com o dobro de água armazenada em relação ao bloco B. Após a 
transferência, a diferença das reservas de água entre as caixas dos blocos A e B, em litros, vale 
(A) 4 000. 
(B) 4 500. 
(C) 5 000. 
(D) 5 500. 
(E) 6 000. 
 
03. (IFNMG – Matemática - Gestão de Concursos) Uma linha de produção monta um equipamento 
em oito etapas bem definidas, sendo que cada etapa gasta exatamente 5 minutos em sua tarefa. O 
supervisor percebe, cinco horas e trinta e cinco minutos depois do início do funcionamento, que a linha 
parou de funcionar. Como a linha monta apenas um equipamento em cada processo de oito etapas, 
podemos afirmar que o problema foi na etapa: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 5 
(D) 7 
 
04. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado 
número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor 
que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, 
quantos bombons ao todo Joana possui? 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28 
 
05. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) Na biblioteca de um instituto de física, para cada 2 livros de matemática, existem 3 
de física. Se o total de livros dessas duas disciplinas na biblioteca é igual a 1 095, o número de livros de 
física excede o número de livros de matemática em 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 182 
(A) 219. 
(B) 405. 
(C) 622. 
(D) 812. 
(E) 1 015. 
 
06. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) (...) No maior aeroporto do Rio (Galeão), 
perde-se em média um objeto a cada hora e meia. É o dobro da taxa registrada no aeroporto Santos 
Dumont (...). 
KAZ, Roberto. Um mundo está perdido. Revista O Globo, Rio de Janeiro, 9 mar. 2014, p. 16. 
De acordo com as informações apresentadas, quantos objetos, em média, são perdidos no Aeroporto 
Santos Dumont a cada semana? 
(A) 8 
(B) 16 
(C) 28 
(D) 56 
(E) 112 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Em três meses, Fernando depositou, ao 
todo, R$ 1.176,00 em sua caderneta de poupança. Se, no segundo mês, ele depositou R$ 126,00 a mais 
do que no primeiro e, no terceiro mês, R$ 48,00 a menos do que no segundo, qual foi o valor depositado 
no segundo mês? 
(A) R$ 498,00 
(B) R$ 450,00 
(C) R$ 402,00 
(D) R$ 334,00 
(E) R$ 324,00 
 
08. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Caio é 15 cm mais alto do que Pedro. 
Pedro é 6 cm mais baixo que João. João é 7 cm mais alto do que Felipe. Qual é, em cm, a diferença entre 
as alturas de Caio e de Felipe? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 9 
(D) 14 
(E) 16 
 
09. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um atleta gasta 2 minutos e 15 segundos para dar 
uma volta completa em uma determinada pista de corrida. Após certo período de treinamento mais 
intenso, esse mesmo atleta fez essa volta completa em 
2
3
 do tempo anterior, o que significa que o novo 
tempo gasto por ele para dar uma volta completa nessa pista passou a ser de 
(A) 2 minutos e 05 segundos. 
(B) 1 minuto e 50 segundos. 
(C) 1 minuto e 45 segundos. 
(D) 1 minuto e 30 segundos. 
(E) 1 minuto e 05 segundos. 
 
10. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Uma loja 
de materiais elétricos testou um lote com 360 lâmpadas e constatou que a razão entre o número de 
lâmpadas queimadas e o número de lâmpadas boas era 2 / 7. Sabendo-se que, acidentalmente, 10 
lâmpadas boas quebraram e que lâmpadas queimadas ou quebradas não podem ser vendidas, então a 
razão entre o número de lâmpadas que não podem ser vendidas e o número de lâmpadas boas passou 
a ser de 
(A) 1 / 4. 
(B) 1 / 3. 
(C) 2 / 5. 
(D) 1 / 2. 
(E) 2 / 3. 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 183 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Escrevendo em forma de equações, temos: 
C = M + 0,05 (I) 
C = A – 0,10 (II) 
A = D + 0,03 (III) 
D não é mais baixa que C 
Se D = 1,70, então: 
(III) A = 1,70 + 0,03 = 1,73 
(II) C = 1,73 – 0,10 = 1,63 
(I) 1,63 = M + 0,05 
M = 1,63 – 0,05 = 1,58 m 
 
02. Resposta: E. 
Se chamarmos o reservatório B de x, temos: 
A = x + 10000 
B = x 
Foram retirados 2000L de A e passamos para B, logo: 
A = x + 8000 
B = x + 2000 
Agora ele disse que a é igual ao dobro de B, logo 
2B = A 
2(x + 2000) = x + 8000 
2x + 4000 = x + 8000 
2x – x = 8000 – 4000 
x = 4000. 
Logo: 
A = x + 8000 = 4000 + 8000 = 12000L 
B = x + 2000 = 4000 + 2000 = 6000L 
Como ele pediu a diferença, teremos: 
12000L – 6000L = 6000L 
Portanto, alternativa E. 
 
03. Resposta: B. 
Um equipamento leva 8.5 = 40 minutos para ser montado. 
5h35 = 60.5 + 35 = 335 minutos 
335min: 40min = 8 equipamentos + 15 minutos (resto) 
15min: 5min = 3 etapa. 
 
04. Resposta: E. 
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
05. Resposta: A. 
𝑀
𝐹
= 
2
3
 , ou seja, 3.M = 2.F (I) 
 
M + F = 1095, ou seja, M = 1095 – F (II) 
Vamos substituir a equação (II) na equação (I): 
3 . (1095 – F) = 2.F 
3285 – 3.F = 2.F 
5.F = 3285 
F = 3285 / 5 
F = 657 (física) 
Assim: M = 1095 - 657 = 438 (matemática) 
A diferença é: 657 – 438 = 219 
 
 
 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA
 
. 184 
06. Resposta: D. 
1h30 = 90min 
Galeão: 
1
90
 
Santos Dumont perde metade do que no Galeão. Assim: 
1
2
 .
1
90
= 
1
180
 , ou seja, 1 objeto a cada 180min = 3 horas 
1 semana = 7 dias = 7. 24h = 168h 
Assim, 168 / 3 = 56 objetos 
 
07. Resposta: B. 
Primeiro mês = x 
Segundo mês = x + 126 
Terceiro mês = x + 126 – 48 = x + 78 
Total = x + x + 126 + x + 78 = 1176 
3.x = 1176 – 204 
x = 972 / 3 
x = R$ 324,00 (1º mês) 
* No 2º mês: 324 + 126 = R$ 450,00 
 
08. Resposta: E. 
Caio = Pedro + 15cm 
Pedro = João – 6cm 
João = Felipe + 7cm, ou seja: Felipe = João – 7 
Caio – Felipe =? 
Pedro + 15 – (João – 7) = 
= João – 6 + 15 – João + 7 = 16 
 
09. Resposta: D. 
2min15seg = 120seg + 15seg = 135 seg. 
2
3
 de 135seg = 
2.135
3
=
270
3
= 90 seg = 1min30seg 
 
10. Resposta: B. 
Chamemos o número de lâmpadas queimadas de (Q) e o número de lâmpadas boas de (B). Assim: 
B + Q = 360, ou seja, B = 360 – Q (I) 
 
𝑄
𝐵
= 
2
7
 , ou seja, 7.Q = 2.B (II) 
 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
7.Q = 2. (360 – Q) 
7.Q = 720 – 2.Q 
7.Q + 2.Q = 720 
9.Q = 720 
Q = 720 / 9 
Q = 80 (queimadas) 
Como 10 lâmpadas boas quebraram, temos: 
Q’ = 80 + 10 = 90 e B’ = 360 – 90 = 270 
 
𝑄′
𝐵′
= 
90
270
= 
1
3
 (: 9 / 9) 
1495284 E-book gerado especialmente para RODINER DA SILVA VENTURA