Calculo Numerico UNISA

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Cálculo Numérico
Mauro Noriaki Takeda 
Aparecido Edilson Morcelli
Revisada por Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli (janeiro/2013)
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Cálculo Numérico, par-
te integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autônomo 
que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma 
apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS .............................................................................................. 7
1.1 Introdução ..........................................................................................................................................................................7
1.2 Erros ......................................................................................................................................................................................8
1.3 Definição de Erro Absoluto e Erro Relativo ............................................................................................................8
1.4 Conversão de Bases ........................................................................................................................................................9
1.5 Conversão de Número Decimal para Binário .....................................................................................................10
1.6 Erros de Arredondamento ........................................................................................................................................11
1.7 Erros de Truncamento .................................................................................................................................................12
1.8 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................14
1.9 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................14
2 SISTEMAS LINEARES ......................................................................................................................... 15
2.1 Equação Linear ..............................................................................................................................................................15
2.2 Solução de uma Equação Linear.............................................................................................................................16
2.3 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................16
2.4 Sistema de Equações Lineares .................................................................................................................................17
2.5 Classificação dos Sistemas Lineares quanto ao Número de Soluções .....................................................17
2.6 Sistema Linear Homogêneo .....................................................................................................................................18
2.7 Forma Matricial de um Sistema Linear .................................................................................................................19
2.8 Método de Gauss ..........................................................................................................................................................20
2.9 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................20
2.10 Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss .........................................................................................30
2.11 Exercício Resolvido ....................................................................................................................................................30
2.12 Método de Jordan .....................................................................................................................................................35
2.13 Exercício Resolvido ....................................................................................................................................................36
2.14 Método Iterativo .........................................................................................................................................................48
2.15 Método de Jacobi ......................................................................................................................................................49
2.16 Exercício Resolvido ....................................................................................................................................................51
2.17 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................58
2.18 Atividades Propostas ................................................................................................................................................58
3 ZERO DA FUNÇÃO .............................................................................................................................. 61
3.1 Introdução .......................................................................................................................................................................61
3.2 Isolamento de Raízes ...................................................................................................................................................62
3.3 Método Gráfico ..............................................................................................................................................................62
3.4 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................63
3.5 Refinamento ...................................................................................................................................................................64
3.6 Método da Bisseção .....................................................................................................................................................64
3.7 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................65
3.8 Método de Newton-Raphson ..................................................................................................................................73
3.9 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................753.10 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................78
3.11 Atividades Propostas ................................................................................................................................................78
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 79
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 81
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 93
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5
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Esta apostila destina-se a estudantes de graduação para os cursos de Engenharia Ambiental, Enge-
nharia de Produção ou afins, para o acompanhamento do conteúdo de Cálculo Numérico, nos cursos a 
distância.
Nela, você lerá a respeito de assuntos referentes a noções básicas sobre erros, zeros reais de equa-
ções algébricas e transcendentes, e resolução de sistemas de equações lineares.
Com o intuito de simplificar a exposição dos tópicos abordados, procurou-se, por meio de uma lin-
guagem simples, clara e direta, expor o conteúdo de forma sucinta e objetiva. Em todos os capítulos, são 
apresentadas questões resolvidas, para auxiliar na compreensão do conteúdo teórico e orientar a resolu-
ção das atividades propostas. Para complementar a teoria e auxiliar na fixação do conteúdo apresentado, 
são propostas, ao final de cada tópico abordado, várias atividades com grau de dificuldade crescente.
Espera-se que você tenha facilidade na compreensão do texto apresentado, bem como na realiza-
ção das atividades propostas.
Finalmente, desejamos que faça um excelente módulo, estude bastante e aprofunde seu conheci-
mento consultando as referências indicadas no final da apostila.
Mauro Noriaki Takeda
Aparecido Edilson Morcelli
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Caro(a) aluno(a),
Você já deve ter percebido que, ao efetuar 
cálculos para a solução de um mesmo problema, 
os resultados obtidos, às vezes, diferem entre si. Já 
parou para pensar sobre o assunto? É sobre esse 
assunto e outros que vamos tratar agora, fazendo 
uso do cálculo numérico.
O cálculo numérico oferece alguns métodos 
numéricos para a obtenção de soluções aproxi-
madas de problemas que surgem nas mais diver-
sas áreas. Trata-se do desenvolvimento dos mé-
todos operacionais para a resolução aproximada 
de problemas que podem ser representados por 
um modelo matemático. Além disso, estuda pro-
cessos numéricos (algoritmos) para a solução de 
problemas, com a implementação desses algorit-
mos em computadores, visando à maior rapidez 
na execução do algoritmo.
Com a popularização dos computadores 
a um custo baixo e com alta capacidade de pro-
cessamento, praticamente todas as atividades de 
Engenharia têm utilizado cada vez mais os méto-
dos e técnicas computacionais na resolução de 
problemas reais. Esses métodos são aplicados na 
resolução de problemas que não têm solução 
analítica ou exata e precisam ser resolvidos nu-
mericamente.
Os fenômenos que ocorrem na natureza 
podem ser descritos por meio de modelos mate-
máticos.
NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS1
1.1 Introdução
DicionárioDicionário
Solução analítica: resultado de um problema ou de 
uma equação por meio da análise matemática.
Fenômeno 
Físico
Modelo 
Matemático
Solução
Modelo 
Computacional
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Ao tentar obter a solução para um problema 
por meio de um modelo matemático, incorremos 
em erros na fase de modelagem e de resolução. 
Na fase de modelagem, geralmente, o erro decor-
re da simplificação do fenômeno, que não tem 
uma descrição completa, ao criar o modelo ma-
temático para descrever o fenômeno. Na fase de 
resolução, decorre da necessidade da utilização 
de instrumentos de cálculo que necessitam, em 
algumas situações, de aproximações, como, por 
exemplo, o valor de π a ser utilizado: 3,14; 3,1415 
ou 3,14159265358979323846264338327. Esses er-
ros tendem a se propagar ao longo da resolução 
do problema e determinam o erro no resultado 
final obtido.
Esse conceito de propagação de erros é 
muito importante, pois, além de determinar o 
erro no resultado final obtido, também indica a 
sensibilidade de um determinado método numé-
rico.
1.2 Erros
1.3 Definição de Erro Absoluto e Erro Relativo
Erro Absoluto
É o módulo da diferença entre um valor verdadeiro de um número e seu valor aproximado.
erro absoluto = |valor verdadeiro - valor aproximado|
aproximadoverdadeiroxA xxE -=
Representando xxverdadeiro = e xxaproximado = , podemos escrever o erro absoluto como:
xxE xA -=
Erro Relativo
O erro relativo é o erro absoluto dividido pelo valor verdadeiro:
x
E
E xAxR =
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9
x
xx
E xR
-
=
Frequentemente, o erro relativo é expresso também como erro percentual, chamado taxa de erro. 
Para isso, basta multiplicar o erro relativo por 100:
erro percentual = erro relativo x 100
100EpercentualErro xR ⋅=
100
x
xx
percentualErro ⋅
-
=
1.4 Conversão de Bases
No nosso dia a dia, utilizamos o sistema de 
numeração decimal, que é adotado em todas as 
operações matemáticas. Esse sistema, como o 
nome sugere, é de base 10, podendo todos os 
múltiplos e submúltiplos ser expressos como uma 
combinação linear de potências de 10. Exemplos:
2 1 0125 100 20 5 1 10 2 10 5 10= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅
1 0 1 0
1 2
2 2 2
25 2 10 5 10 2 10 5 100,25 2 10 5 10
100 10 10 10
- -⋅ + ⋅ ⋅ ⋅= = = + = ⋅ + ⋅
0 15, 2 5 0,2 5 10 2 10-= + = ⋅ + ⋅
Apesar de utilizarmos o sistema de numera-
ção decimal no cotidiano, esse tipo de representa-
ção numérica é inadequado para a representação 
da informação em calculadoras ou computado-
res. Um número é representado, internamente, na 
máquina de calcular ou no computador, por meio 
do sistema binário, ou seja, na base 2, por meio 
dos algarismos 0 e 1. Uma sequência de impulsos 
elétricos indica dois estados: desligado – tensão 
baixa (0) – ou ligado – tensão alta (1).
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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10
Para transformar um número inteiro na base 
decimal em um número binário, devemos aplicar 
o método das divisões sucessivas, que consiste 
em dividir o número por 2, a seguir divide-se o 
quociente obtido por 2 e assim sucessivamente, 
até que o último quociente encontrado seja igual 
1.5 Conversão de Número Decimal para Binário
a 1. O número binário inteiro será, então, forma-
do pela concatenação do último quociente com 
os restos das divisões lidos no sentido inverso ao 
que foram obtidos.
Iremos utilizar os índices 10 e 2 para indicar 
a base em que está representado o número:
Para transformar um número fracionário na 
base 10 em base 2, aplicamos o método das mul-
tiplicações sucessivas. Ele consiste nas seguintes 
etapas:
a) multiplicamos o número fracionário 
por 2;
b) desse resultado, a parte inteira é o pri-
meiro dígito do número fracionário 
na base 2 e a parte fracionária é nova-
mente multiplicada por 2. O processo 
repete-se até que a parte fracionária do 
último produto seja igual a zero.� ��
 
 
 
 
 
 
 
0,12510 = 0,0012 
 
 
 
 
 
 ��� �������������� 
 
Atenção 
Nem todos os números reais na base decimal podem ser representados no sistema binário. 
 
Saiba mais 
Nas calculadoras e nos computadores, quando não é possível representar na base binária o 
número real inserido, utiliza-seo número real mais próximo que se consegue representar. 
 
1.6 Erros de Arredondamento 
 
Como vimos, nem todos os números reais têm representação no sistema de 
base 2. Ao utilizar as calculadoras e os computadores, incorremos nos chamados erros de 
arredondamento. 
0, 125 0, 250 0, 500 
x 2 x 2 x 2 
0, 250 0, 500 1, 000 
0, 3 0, 6 0, 2 0, 4 0, 8 0, 6 Os produtos 
começam a se 
repetir. 
x 2 x 2 x 2 x 2 X 2 x 2 
0, 6 1, 2 0, 4 0, 8 1, 6 1, 2 
� ��� ������������� �˜�˜ � 
 
Apesar de utilizarmos o sistema de numeração decimal no cotidiano, esse tipo 
de representação numérica é inadequado para a representação da informação em 
calculadoras ou computadores. Um número é representado, internamente, na máquina de 
calcular ou no computador, por meio do sistema binário, ou seja, na base 2, por meio dos 
algarismos 0 e 1. Uma sequência de impulsos elétricos indica dois estados: desligado – 
tensão baixa (0) – ou ligado – tensão alta (1). 
 
1.5 Conversão de Número Decimal para Binário 
 
Para transformar um número inteiro na base decimal em um número binário, 
devemos aplicar o método das divisões sucessivas, que consiste em dividir o número por 2, 
a seguir divide-se o quociente obtido por 2 e assim sucessivamente, até que o último 
quociente encontrado seja igual a 1. O número binário inteiro será, então, formado pela 
concatenação do último quociente com os restos das divisões lidos no sentido inverso ao 
que foram obtidos. 
Iremos utilizar os índices 10 e 2 para indicar a base em que está representado o 
número: 
 ��� ������ 
 
 
 
 
Para transformar um número fracionário na base 10 em base 2, aplicamos o 
método das multiplicações sucessivas. Ele consiste nas seguintes etapas: 
 
a) multiplicamos o número fracionário por 2; 
b) desse resultado, a parte inteira é o primeiro dígito do número fracionário na 
base 2 e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2. O processo repete-se até que 
a parte fracionária do último produto seja igual a zero. 
12 2 
6 2
2
0 
3
0 
1
1
Base 2 Base 10
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Como vimos, nem todos os números reais têm representação no sistema de base 2. Ao utilizar as 
calculadoras e os computadores, incorremos nos chamados erros de arredondamento.
De maneira geral, podemos representar um número x em qualquer base β por:
exp31 2
2 3
t
t
d dd dx β
β β β β
 
= ± + + + ⋅ 
 

Em que:
ƒƒ di são números inteiros contidos no intervalo 0 ≤ di ≤ β - 1, com i = 1, 2, ..., t;
ƒƒ exp é o expoente de β e assume valores entre LI ≤ exp ≤ LS, sendo LI e LS os limites inferior e 
superior, respectivamente, para a variação do expoente;
ƒƒ 31 2
2 3
t
t
d dd d
β β β β
 
+ + + 
 
 é chamada mantissa, sendo a parte do número que representa seus 
dígitos significativos;
ƒƒ é chamada mantissa, sendo a parte do número que representa seus dígitos significativos; 
ƒƒ t é o número de dígitos do sistema de representação, também chamado precisão da máquina.
Quando representamos um número dessa forma, a mantissa é um número entre 0 e 1, e dizemos 
que os números estão normalizados. Por exemplo, no sistema decimal, temos β = 10; desse modo, pode-
mos escrever:

3 3
10 2 3
1 2 5125 10 0,125 10
10 10 10 mantissa
mantissa
 = + + ⋅ = ⋅  
AtençãoAtenção
Nem todos os números reais na base decimal po-
dem ser representados no sistema binário.
Saiba maisSaiba mais
Nas calculadoras e nos computadores, quando não 
é possível representar na base binária o número real 
inserido, utiliza-se o número real mais próximo que se 
consegue representar.
1.6 Erros de Arredondamento
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12
No sistema binário, temos β = 2; desse modo, podemos escrever:
4 4
10 2 2 3 4
1 1 0 012 1100 0,1100 2 2
2 2 2 2
mantissa
 = = ⋅ = + + + ⋅  
1.7 Erros de Truncamento
O erro de truncamento é um erro proveniente da utilização de processos que, na teoria, são infini-
tos ou muito grandes para a determinação de um valor, sendo truncados devido ao método de aproxi-
mação empregado para o cálculo de uma função exata.
Esses processos infinitos aparecem muito em 
funções matemáticas, como exponenciação, logarit-
mos e funções trigonométricas.
A função seno pode ser calculada pela série:
( )
3 5 7
3! 5! 7!
x x xsen x x= - + - +
A função ex pode ser calculada pela série:
2 3
0
1
2! 3! !
i
x
i
x x xe x
i
∞
-
= + + + + = ∑
A função ln(1+x) pode ser calculada pela série:
AtençãoAtenção
Truncar um número na casa di é desconsiderar as 
casas di+j, com (j = 1, 2, ..., ∞).
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Exemplo
Calcule o valor numérico de e (número de Euler), empregando a série truncada de 4ª ordem.
Resolução:
Neste caso, o expoente x deve ser igual a 1; portanto, temos:
2 3 4
1
2! 3! 4!
x x x xe x= + + + +
2 3 4
1 1 1 11 1
2! 3! 4!
e = + + + +
1 1 11 1
2 6 24
e = + + + +
1 1 0,5 0,166667 0,041667e = + + + +
2,708334e =
O valor exato do número de Euler com sete algarismos significativos é igual a 2,718282; portanto, 
o erro de truncamento será:
erro absoluto = |valor verdadeiro - valor aproximado|
xA
E x x= -
2,718282 2,708334
xA
E = -
0,009948
xA
E =
Ou em erro percentual:
100
x x
Erro percentual
x
-
= ⋅
0,009948 100
2,718282
Erro percentual = ⋅
0,003660 100Erro percentual = ⋅
0,3660 %Erro percentual =
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14
O limite para diminuir o erro de truncamento 
é até chegar à ordem do erro de arredondamento. A 
partir daí, não tem sentido continuar a diminuir o erro 
de truncamento, pois o erro de arredondamento será 
predominante.
Os objetos de nosso estudo, neste capítulo, são 
os erros de arredondamento e de truncamento.
AtençãoAtenção
Eliminar os erros na resolução de problemas por 
meio de métodos numéricos é praticamente im-
possível, mas o que pode ser feito é minimizar os 
efeitos da propagação desses erros. 
1.8 Resumo do Capítulo
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, estudamos noções básicas sobre erros, conversão de bases, tipos de erro que ocor-
rem e de que maneira eles afetam os resultados numéricos por meio da sua propagação, iniciando pelo 
tratamento dos erros, definição de erro absoluto e erro relativo, conversão de bases, conversão de nú-
mero decimal para binário, erros de arredondamento, erros de truncamento, além de exemplos comen-
tados.
1. Converta 5910 para a base 2.
2. Determine o valor de x na igualdade 0,187510 = x2.
3. Determine o valor de x na igualdade 11000112 = x10.
4. Escreva o número decimal 36,189 como uma combinação linear de potências de 10.
5. Represente o número 31,41510 na base β = 10.
6. Calcule o valor numérico de 
6
sen π  
 
, empregando a série ( )
3 5 7
3! 5! 7!
x x xsen x x= - + - + , 
truncada de 2ª ordem.
1.9 Atividades Propostas
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15
Caro(a) aluno(a),
Você já ouviu falar em equação linear? 
Toda equação da forma a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 é denominada equação linear, na qual:
ƒƒ x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
ƒƒ a11, a12, a13, ..., a1n são os coeficientes;
ƒƒ b1 é o termo independente.
Você deve ficar atento(a), pois, numa equação linear, os expoentes das incógnitas são todos iguais 
a 1 e cada termo da equação tem uma única incógnita, ou seja, equações do tipo:
ƒƒ 2x1 – 3x2 + 7x3 = 17;
ƒƒ 4x – 2y + z + 3t = 9. 
Equações que apresentam termos daforma 21x , x
.y, x não são lineares, ou seja, equações do tipo:
ƒƒ 21 22 3 10x x- =
ƒƒ 2x ∙ y + z – t = 3.
SISTEMAS LINEARES2
2.1 Equação Linear
;
Saiba maisSaiba mais
Quando o termo independente b1 é igual a zero, a 
equação linear é chamada equação linear homogê-
nea, ou seja, equações do tipo:
•	 3x – 2y = 0; 
•	 2x1 + x2 – 5x3 = 0. 
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Agora, vamos analisar a solução de uma 
equação linear. Você deve prestar muita atenção 
em cada passo que vamos dar agora.
A ênupla (α1, α2, α3, ..., αn) é uma solução da 
equação linear a n incógnitas, a11x1 + a12x2 + a13x3 + 
... + a1nxn = b1, se, colocados, respectivamente, no 
lugar das incógnitas x1, x2, x3, ..., xn, ou seja, a11α1 
+ a12α2 + a13α3 + ... + a1nαn = b1, tornar a sentença 
verdadeira.
2.2 Solução de uma Equação Linear
1. Dada a equação linear 2x1 – 3x2 + 7x3 = 17, encontre uma de suas soluções.
Resolução:
Atribuindo valores arbitrários a x1 e x2, obtém-se o valor de x3. Atribuindo os valores x1 = 1 e x2 = 2, 
determina-se o valor de x3.
DicionárioDicionário
Ênupla: conjunto que contém n quantidades, com 
n inteiro.
2.3 Exercício Resolvido� ��
Atribuindo valores arbitrários a x1 e x2, obtém-se o valor de x3. Atribuindo os 
valores x1 = 1 e x2 = 2, determina-se o valor de x3. 
 ��[����� � �˜�˜ ��[��� � �� ����[� � �� ��[� � ���[� �[� 
Portanto, uma solução é a tripla ordenada (1, 2, 3). 
 
2.4 Sistema de Equações Lineares 
 
Agora, vamos, juntos, definir um sistema de equações lineares. 
Denomina-se sistema de equações lineares ou sistema linear um conjunto de 
duas ou mais equações lineares, ou seja, formado apenas por equações do tipo a11x1 + a12x2 
+ a13x3 + ... + a1nxn = b1, na qual Q������� D��D�D�D "  IR são os coeficientes e Q��� [��[�[�[ " são as incógnitas. 
Um sistema linear de n equações a n incógnitas é representado da seguinte 
maneira: 
Portanto, uma solução é a tripla ordenada (1, 2, 3).
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17
Agora, vamos, juntos, definir um sistema de 
equações lineares.
Denomina-se sistema de equações lineares 
ou sistema linear um conjunto de duas ou mais 
equações lineares, ou seja, formado apenas por 
2.4 Sistema de Equações Lineares
equações do tipo a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = 
b1, na qual a11, a12, a13, ..., a1n ∈ IR são os coeficientes 
e x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas.
Um sistema linear de n equações a n incóg-
nitas é representado da seguinte maneira:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
n n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
S a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
 + + + + = + + + + =


+ + + + =





Ou:
1
, 1, 2, 3, ,
n
ij j i
j
S a x b i n
=
= ⋅ = =∑ 
Se uma ênupla ordenada de números reais 
(α1, α2, α3, ..., αn) tornar verdadeiras todas as equa-
ções do sistema linear de n incógnitas, ela é uma 
solução do sistema linear. Professor, agora eu já 
sei o que é uma ênupla! Agora entendi! Resolver 
um sistema linear significa determinar o conjunto 
de todas as soluções desse sistema.
2.5 Classificação dos Sistemas Lineares quanto ao Número de Soluções
Agora, estamos diante de um grande desa-
fio. Como classificar um sistema linear quanto ao 
número de soluções? Um sistema linear pode ser 
classificado, quanto ao número de soluções, em 
compatível (ou possível) e incompatível (ou impos-
sível).
Um sistema linear compatível (ou possível), 
quando tem uma única solução, é chamado siste-
ma compatível e determinando (ou sistema possí-
vel e determinado). No sistema linear 3
1
x y
x y
+ =
 - = -
, 
pode-se observar, no gráfico, que há 
ponto de interseção das retas, que 
corresponde a uma única solução do sistema, ou 
seja, o par ordenado (1, 2).� ��
 
 
Um sistema linear compatível (ou possível), quando tem várias soluções, é 
chamado sistema compatível e indeterminando (ou sistema possível e indeterminado). No 
sistema linear °¯°®­ � � �\�[� �\[ , pode-se observar, no gráfico, que as retas são coincidentes e 
que há infinitos pontos de interseção, que correspondem às várias soluções do sistema. 
 
 
 
 
 
 
Um sistema linear é incompatível (ou impossível) quando não tem solução, ou 
seja, não há uma ênupla ordenada de números reais (α1, α2, α3, ..., αn) que torne verdadeiras 
todas as equações do sistema linear simultaneamente. No sistema linear °¯°®­ � � �\[ �\[ , 
pode-se observar, no gráfico, que as retas são paralelas entre si; portanto, não há pontos 
de interseção entre elas, ou seja, o sistema linear é incompatível. 
 
��� �� ���� [�\����� [�±�\� ����[���\� ���
�� �� [�\��� �[���\� ����Ł���[����\� ����
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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18
Um sistema linear compatível (ou possível), 
quando tem várias soluções, é chamado sistema 
compatível e indeterminando (ou sistema possível e 
indeterminado). No sistema linear 3
2 2 6
x y
x y
+ =
 + =
, 
pode-se observar, no gráfico, que as 
retas são coincidentes e que há infi-
nitos pontos de interseção, que correspondem às 
várias soluções do sistema.
� ��
 
 
Um sistema linear compatível (ou possível), quando tem várias soluções, é 
chamado sistema compatível e indeterminando (ou sistema possível e indeterminado). No 
sistema linear °¯°®­ � � �\�[� �\[ , pode-se observar, no gráfico, que as retas são coincidentes e 
que há infinitos pontos de interseção, que correspondem às várias soluções do sistema. 
 
 
 
 
 
 
Um sistema linear é incompatível (ou impossível) quando não tem solução, ou 
seja, não há uma ênupla ordenada de números reais (α1, α2, α3, ..., αn) que torne verdadeiras 
todas as equações do sistema linear simultaneamente. No sistema linear °¯°®­ � � �\[ �\[ , 
pode-se observar, no gráfico, que as retas são paralelas entre si; portanto, não há pontos 
de interseção entre elas, ou seja, o sistema linear é incompatível. 
 
��� �� ���� [�\����� [�±�\� ����[���\� ���
�� �� [�\��� �[���\� ����Ł���[����\� ����
AtençãoAtenção
Um sistema linear pode ser classificado, quan-
to ao número de soluções, em compatível e de-
terminando (ou sistema possível e determinado), 
compatível e indeterminando (ou sistema possível 
e indeterminado) e incompatível (ou impossível). 
� ��
 
 
Atenção 
Um sistema linear pode ser classificado, quanto ao número de soluções, em compatível e 
determinando (ou sistema possível e determinado), compatível e indeterminando (ou sistema 
possível e indeterminado) e incompatível (ou impossível). 
 
2.6 Sistema Linear Homogêneo 
 
Você já ouviu falar em sistema linear homogêneo? Um sistema linear é dito 
homogêneo quando bi = 0, ou seja, os termos independentes de todas as equações são 
iguais a zero. 
 °°°¯°°°®­ ���� ���� ���� ���� �[D[D[D[D �[D[D[D[D �[D[D[D[D �[D[D[D[D6 QQQ��Q��Q��Q QQ���������� QQ���������� QQ���������� "# """ 
 
Todo sistema linear homogêneo é compatível, pois admite como solução a 
ênupla (0, 0, 0, ..., 0), que é chamada solução trivial. Se o sistema linear homogêneo admitir 
�� �� [�\��� �[���\� �����[���\� ������
Um sistema linear é incompatível (ou impos-
sível) quando não tem solução, ou seja, não há 
uma ênupla ordenada de números reais (α1, α2, 
α3, ..., αn) que torne verdadeiras todas as equações 
do sistema linear simultaneamente. No sistema li-
near 
3
2
x y
x y
+ =
 + =
, pode-se observar, no gráfico, que 
as retas são paralelas entre si; portanto, não há 
pontos de interseção entre elas, ou seja, o sistemalinear é incompatível.
2.6 Sistema Linear Homogêneo
Você já ouviu falar em sistema linear ho-
mogêneo? Um sistema linear é dito homogêneo 
quando bi = 0, ou seja, os termos independentes 
de todas as equações são iguais a zero.
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
1 1 2 2 3 3
0
0
0
0
n n
n n
n n
n n n nn n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
S a x a x a x a x
a x a x a x a x
+ + + + =
 + + + + = + + + + =


+ + + + =





Todo sistema linear homogêneo é compa-
tível, pois admite como solução a ênupla (0, 0, 0, 
..., 0), que é chamada solução trivial. Se o sistema 
linear homogêneo admitir outra solução na qual 
as incógnitas não sejam todas nulas, a solução é 
denominada solução não trivial.
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19
Agora, você deve prestar muita atenção 
quanto à forma de escrever um sistema linear 
na forma matricial. Sabemos que você já está 
preparado(a) para esse desafio. Para facilitar o en-
tendimento, vamos partir de um sistema linear de 
m equações e n incógnitas:
2.7 Forma Matricial de um Sistema Linear
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m mn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
S a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
 + + + + = + + + + =


+ + + + =




� ��
Efetuando o produto da matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas 
(ou matriz dos coeficientes) pela matriz coluna constituída pelas incógnitas e igualando o 
resultado com a matriz coluna constituída pelos termos independentes, obtém-se o 
sistema inicial S. 
O sistema °¯°®­ � � �\�[� �\�[� pode ser representado, na forma matricial, por meio 
da igualdade: 
 N N WHVLQGHSHQGHQWHUPRVGRVYHWRULQFyJQLWDVGDVYHWRUHVFRHILFLHQWGRVPDWUL] ��\[�� �� »»¼º««¬ª »»¼º««¬ª˜»»¼º««¬ª 
	� 
 
2.8 Método de Gauss 
 
Você já deve ter estudado vários métodos de resolução de sistemas lineares, 
como o método da adição, o método da substituição e a regra de Cramer. Dando 
continuidade a esse assunto, serão abordados outros métodos de resolução de sistema 
linear normal de n equações a n incógnitas, com n ≥ 2. 
Iniciaremos falando do método de triangulação de Gauss. Este método consiste 
em transformar o sistema linear original em um sistema linear triangular, com matriz dos 
coeficientes triangulares superiores que seja equivalente ao sistema dado, isto é, que 
tenha a mesma solução, mediante permutações e combinações lineares de linhas. 
Para transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente, usam-se 
operações que não alteram a solução de um sistema linear, tais como: 
 ƒ multiplicar ou dividir todos os elementos de uma equação por um número 
diferente de zero; ƒ permutar duas equações; 
� ��
outra solução na qual as incógnitas não sejam todas nulas, a solução é denominada 
solução não trivial. 
 
2.7 Forma Matricial de um Sistema Linear 
 
Agora, você deve prestar muita atenção quanto à forma de escrever um 
sistema linear na forma matricial. Sabemos que você já está preparado(a) para esse desafio. 
Para facilitar o entendimento, vamos partir de um sistema linear de m equações e n 
incógnitas: 
 °°°¯°°°®­ ���� ���� ���� ���� QQPQ��P��P��P �QQ���������� �QQ���������� �QQ���������� E[D[D[D[D E[D[D[D[D E[D[D[D[D E[D[D[D[D6 "# """ 
 
Um sistema linear de m equações e n incógnitas pode ser representado 
utilizando matrizes por meio da seguinte igualdade: 
 
	�#
	�#���� 
���� 	� " ### "" WHVLQGHSHQGHQWHUPRVSHORV DFRQVWLWXtGFROXQDPDWUL]Q��LQFyJQLWDVSHODV DFRQVWLWXtGFROXQDPDWUL] Q��LQFyJQLWDVGDVHVFRHILFLHQW SHORVDFRQVWLWXtGPDWUL] PQ�P�P Q����� Q����� EEE[[[DDD DDD DDD »»»»»¼º«««««¬ª »»»»»¼º«««««¬ª˜»»»»»¼º«««««¬ª 
Um sistema linear de m equações e n incóg-
nitas pode ser representado utilizando matrizes 
por meio da seguinte igualdade:
Efetuando o produto da matriz constituída 
pelos coeficientes das incógnitas (ou matriz dos 
coeficientes) pela matriz coluna constituída pelas 
incógnitas e igualando o resultado com a matriz 
coluna constituída pelos termos independentes, 
obtém-se o sistema inicial S.
O sistema 
2 3 6
4 5 7
x y
x y
+ =
 + = pode ser represen-
tado, na forma matricial, por meio da igualdade:
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Você já deve ter estudado vários métodos 
de resolução de sistemas lineares, como o méto-
do da adição, o método da substituição e a regra 
de Cramer. Dando continuidade a esse assunto, 
serão abordados outros métodos de resolução de 
sistema linear normal de n equações a n incógni-
tas, com n ≥ 2.
Iniciaremos falando do método de triangu-
lação de Gauss. Este método consiste em trans-
formar o sistema linear original em um sistema 
linear triangular, com matriz dos coeficientes 
triangulares superiores que seja equivalente ao 
sistema dado, isto é, que tenha a mesma solução, 
mediante permutações e combinações lineares 
de linhas.
Para transformar o sistema dado num sis-
tema triangular equivalente, usam-se operações 
que não alteram a solução de um sistema linear, 
tais como:
ƒƒ multiplicar ou dividir todos os elemen-
tos de uma equação por um número di-
ferente de zero;
ƒƒ permutar duas equações;
ƒƒ substituir uma equação pela soma al-
gébrica dela com um múltiplo de outra 
qualquer do sistema.
2.8 Método de Gauss
2.9 Exercício Resolvido
1. Resolva, pelo método de Gauss, o sistema linear: 
Resolução:
Representam-se os elementos da matriz dos coeficientes e da matriz dos termos independentes 
no dispositivo prático a seguir, que torna mais compacta a triangulação da matriz dos coeficientes. Os 
coeficientes e o termo independente da equação 1 estão dispostos na linha 1 (L1); os da equação 2, na 
linha 2 (L2); e os da equação 3, na linha 3 (L3).
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
2 3 4
4 3 2
1
x y z
x y z
x y z
+ - =
 - + =
 - + =
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21
Escolhe-se o elemento a11 da matriz dos coeficientes como pivô (2).
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
Em seguida, calcula-se o multiplicador m1, que será -=1m .
21
11
a
a
, que é utilizado para eliminar a 
incógnita x na equação 2, ou seja, tornar o coeficiente de x nulo (igual a zero).
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
Para eliminar a incógnita x na equação 2, fazendo o coeficiente de x igual a zero, deve-se substituir 
a equação 2 (L2) por outra equação transformada ( )
'
2L , obtida por meio da seguinte combinação linear: 
multiplica-se m1 pela equação 1 (linha pivotal) e soma-se a equação 2, ou seja, 
'
2 1 1 2L m L L= ⋅ + .
Para obter 
'
2L , deve-se efetuar o seguinte procedimento:
Copia-se a primeira equação L1 abaixo da última equação do sistema L3.
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
 
2
2
4m1 -=-=
 
2
2
4m1 -=-=
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22
Em seguida, calcula-se o novo coeficiente 
'
21a , efetuando m1.a11 + a21, ou seja, 
'
21 2 2 4a = - ⋅ + , ob-
tendo 
'
21 0a = , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo coeficiente na equação transformada 
'
2L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L 0
Em seguida, calcula-se o novo coeficiente'
22a , efetuando m1.a12 + a22, ou seja, ( )
'
22 2 3 3a = - ⋅ + - , 
obtendo 
'
22 9a = - , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo coeficiente na equação transfor-
mada 
'
2L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L 0 -9
Em seguida, calcula-se o novo coeficiente '23a , efetuando m1.a13 + a23, ou seja, ( )
'
23 2 1 1a = - ⋅ - +
obtendo '23 3a = , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo coeficiente na equação transformada 
'
2L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3
 
2
2
4m1 -=-=
 
2
2
4m1 -=-=
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23
Em seguida, calcula-se o novo termo independente '2b , efetuando m1.b1 + b2, ou seja, 
242b'2 +⋅-= , obtendo 6b
'
2 -= , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo termo indepen-
dente na equação transformada '2L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
Após obter a nova equação '2L transformada, é necessário obter a nova equação 
'
3L transformada, 
devendo o coeficiente da incógnita x ser igual a zero também, como na equação '2L . Para obter a equa-
ção 3 transformada, deve-se calcular um novo multiplicador m2, que será 312
11
am
a
= - .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
Para eliminar a incógnita x na equação 3, fazendo o coeficiente de x igual a zero, deve-se substituir 
a equação 3 (L3) por outra equação transformada ( )'3L , obtida por meio da seguinte combinação linear: 
multiplica-se m2 pela equação 1 (linha pivotal) e soma-se a equação 3, ou seja, 312
'
3 LLmL +⋅= .
Para obter '3L , deve-se efetuar o seguinte procedimento:
Calcula-se o novo coeficiente '31a , efetuando m2.a11 + a31, ou seja, 
'
31 0,5 2 1a = - ⋅ + , obtendo 
'
31 0a = , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo coeficiente na equação transformada '3L .
2
2
4m1 -=-=
 
 
5,0
2
1m2 -=-=
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24
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0
Em seguida, calcula-se o novo coeficiente '32a , efetuando m1.a12 + a32, ou seja, ( )
'
32 0,5 3 1a = - ⋅ + -
obtendo '32 2,5a = - , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo coeficiente na equação transfor-
mada '3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5
Em seguida, calcula-se o novo coeficiente '33a , efetuando m1.a13 + a33, ou seja, ( )
'
33 0,5 1 1a = - ⋅ - +
obtendo '33 1,5a = , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo coeficiente na equação transfor-
mada '3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5 1,5
 
5,0
2
1m2 -=-=
 
5,0
2
1m2 -=-=
 
5,0
2
1m2 -=-=
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25
Em seguida, calcula-se o novo termo independente '3b , efetuando m2.b1  +  b3, ou seja, 
145,0b'3 +⋅-= , obtendo 1b
'
3 -= , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo termo inde-
pendente na equação transformada '3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5 1,5 -1
Após obter a nova equação '3L transformada, é necessário eliminar a incógnita y na equação 
'
3L , 
fazendo o coeficiente de y igual a zero. Escolhe-se um novo pivô, sendo ele o elemento 
'
22a (-9) da equa-
ção '2L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5 1,5 -1
 
5,0
2
1m2 -=-=
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26
Em seguida, calcula-se o multiplicador '1m , que será -=
'
1m .
32
22
'
'
a
a , utilizado para eliminar a incóg-
nita y na equação '3L , ou seja, tornar o coeficiente de y nulo (igual a zero).
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5 1,5 -1
Para eliminar a incógnita y na equação '3L , fazendo o coeficiente de y igual a zero, deve-se substi-
tuir a equação '3L por outra equação transformada ( )''3L , obtida por meio da seguinte combinação linear: 
multiplica-se '1m pela linha 
'
2L (linha pivotal) e soma-se a linha 3, ou seja, 
'
3
'
2
'
1
''
3 LLmL +⋅= .
Para obter '3L , deve-se efetuar o seguinte procedimento:
Copiam-se a primeira equação L1 e a segunda equação transformada 
'
2L abaixo da última equação 
'
3L do dispositivo.
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5 1,5 -1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
 ( )
( ) 277778,09
5,2m'1 -=-
-
-=
 
( )
( ) 277778,09
5,2m'1 -=-
-
-=
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27
Em seguida, calcula-se o novo coeficiente ''31a , efetuando 
' ' '
1 21 31m a a⋅ + , ou seja, 
''
31 0, 277778 0 0a = - ⋅ + , obtendo 
''
31 0a = , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo coefi-
ciente na equação transformada ''3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5 1,5 -1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
''
3L
0
Em seguida, calcula-se o novo coeficiente ''32a , efetuando 
' ' '
1 22 32m a a⋅ + , ou seja, 
( ) ( )''32 0, 277778 9 2,5a = - ⋅ - + - , obtendo ''32 0a = , e coloca-se o valor obtido no lugar do respectivo 
coeficiente na equação transformada ''3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5 1,5 -1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
''
3L
0 0
( )
( ) 277778,09
5,2m'1 -=-
-
-=
 ( )
( ) 277778,09
5,2m'1 -=-
-
-=
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28
Em seguida, calcula-se o novo coeficiente ''33a , efetuando 
' ' '
1 23 33m a a⋅ + , ou seja, 
''
33 0, 277778 3 1,5a = - ⋅ + , obtendo 
''
33 0,666667a = , e coloca-se o valor obtido no lugar do respecti-
vo coeficiente na equação transformada ''3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5 1,5 -1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
''
3L
0 0 0,666667
Em seguida, calcula-se o novo termo independente ''3b , efetuando 
'
3
'
2
'
1 bbm +⋅ , ou seja, 
( ) ( )16277778,0b ''3 -+-⋅-= , obtendo 666667,0b ''3 = , e coloca-se o valor obtido no lugar do 
respectivo termo independente na equação transformada ''3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 4
L2 4 -3 1 2
L3 1 -1 1 1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
'
3L
0 -2,5 1,5 -1
L1 2 3 -1 4
'
2L
0 -9 3 -6
''
3L
0 0 0,666667 0,666667( )
( ) 277778,09
5,2m'1 -=-
-
-=
 ( )
( ) 277778,09
5,2m'1 -=-
-
-=
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29
O sistema triangular obtido após as transformações elementares tem como equações as linhas L1, '
2L , e 
''
3L , ou seja:
2 3 4
9 3 6
0,666667 0,666667
x y z
y z
z
+ - =
 - + = -
 =
, que é equivalente ao sistema dado.
A partir da equação 3 ( ''3L ), determina-se o valor de z, isto é:
0,666667z = 0,666667
666667,0
666667,0z =
z = 1
Resolvendo por substituição retroativa o valor de z = 1 na equação 2 ( '2L ), obtém-se o valor de y.
9y + 3z = 6
9y + 3.1 = 6
9y = 6 –3
9y = 9
y = 1
Substituindo os valores de y = 1 e z = 1 na equação 1 (L1), obtém-se o valor de x.
2x + 3y – z = 4
2x + 3.1 – 1 = 4
2x = 4 – 2
2x = 2
x = 1
A solução do sistema linear dado é [ ]1 1 1
tX = .
AtençãoAtenção
•	 Evite arredondamentos na fase de eliminação (por exemplo: multiplicador) se os resultados não forem exatos. 
Utilize, pelo menos, seis casas decimais, como no exercício resolvido anteriormente, diminuindo os efeitos de 
arredondamento na fase de eliminação e na fase de substituições retroativas, que podem levar a resultados in-
corretos;
•	 Caso o elemento a ser escolhido como pivô seja igual a zero, faça a permutação (troca) da linha a que pertence 
o elemento por outra qualquer abaixo dela cujo elemento a ser o pivô seja diferente de zero. Feita a permutação, 
continua-se normalmente o processo de resolução do sistema linear pelo método de triangulação de Gauss.
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30
Seja a matriz quadrada não singular de ordem n , 
sua matriz inversa A-1 pode ser obtida por meio da apli-
cação do método de Gauss para sistemas lineares.
2.10 Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
 


   

2.11 Exercício Resolvido
1. Calcule a matriz inversa da matriz 












021
212
201
.
Resolução:
O dispositivo (tabela) para resolução da matriz inversa aplicando o método de Gauss é semelhante 
ao utilizado na solução de sistemas lineares. Constrói-se o dispositivo com a matriz que se deseja inverter 
e, na coluna dos termos independentes, coloca-se a matriz identidade, cuja primeira coluna será chama-
da I1; segunda, I2; e terceira; I3.
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3
L1 1 0 2 1 0 0
L2 2 1 2 0 1 0
L3 1 2 0 0 0 1
Repete-se a primeira linha abaixo da última linha da matriz (L3).
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3
L1 1 0 2 1 0 0
L2 2 1 2 0 1 0
L3 1 2 0 0 0 1
L1 1 0 2 1 0 0
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31
Calcula-se o multiplicador m1, que será 
21
1
11
am
a
= - , ou seja, 1
2
1
m = - , 1 2m = - .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3
L1 2
1
2m1 -=-=
1 0 2 1 0 0
L2 2 1 2 0 1 0
L3 1 2 0 0 0 1
L1 1 0 2 1 0 0
Para determinar a nova linha 2 ( '2L ), efetua-se 211
'
2 LLmL +⋅= , conforme visto no item 2.9, 
obtendo os valores:
Substituindo nas respectivas posições, tem-se o dispositivo:
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3
L1 2
1
2m1 -=-=
1 0 2 1 0 0
L2 2 1 2 0 1 0
L3 1 2 0 0 0 1
L1 1 0 2 1 0 0
'
2L
0 1 -2 -2 1 0
� ��
 
Para determinar a nova linha 2 ( 
�/ ), efetua-se ���
� //P/ �˜ , conforme 
visto no item 2.9, obtendo os valores: 
 ����D
�� �˜� ����D
�� �˜� ����D
�� � �˜� ����D
�� � �˜� ����D
�� �˜� ����D
�� �˜� 
 
Substituindo nas respectivas posições, tem-se o dispositivo: 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3 
L1 ���P� � � 1 0 2 1 0 0 
L2 2 1 2 0 1 0 
L3 1 2 0 0 0 1 
L1 1 0 2 1 0 0 
�/ 0 1 -2 -2 1 0 
 
Calcula-se o multiplicador m2, que será ����� DDP � , ou seja, ��P� � , �P� � . 
 
 
 
 
 
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32
Calcula-se o multiplicador m2, que será 
31
2
11
am
a
= - , ou seja, 2
1
1
m = - , 2 1m = - .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3
L1 1 0 2 1 0 0
L2 1
1
1m2 -=-=
2 1 2 0 1 0
L3 1 2 0 0 0 1
L1 1 0 2 1 0 0
'
2L
0 1 -2 -2 1 0
Para determinar a nova linha 3 ( '3L ), efetua-se 312
'
3 LLmL +⋅= , conforme visto no item 2.9, 
obtendo os valores:
Substituindo nas respectivas posições, tem-se o dispositivo:
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3
L1 1 0 2 1 0 0
L2 1
1
1m2 -=-=
2 1 2 0 1 0
L3 1 2 0 0 0 1
L1 1 0 2 1 0 0
'
2L
0 1 -2 -2 1 0
'
3L
0 2 -2 -1 0 1
� ��
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3 
L1 1 0 2 1 0 0 
L2 ���P� � � 2 1 2 0 1 0 
L3 1 2 0 0 0 1 
L1 1 0 2 1 0 0 
�/ 0 1 -2 -2 1 0 
 
Para determinar a nova linha 3 ( 
�/ ), efetua-se ���
� //P/ �˜ , conforme 
visto no item 2.9, obtendo os valores: 
 ����D
�� �˜� ����D
�� �˜� ����D
�� � �˜� ����D
�� � �˜� ����D
�� �˜� ����D
�� �˜� 
 
Substituindo nas respectivas posições, tem-se o dispositivo: 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3 
L1 1 0 2 1 0 0 
L2 ���P� � � 2 1 2 0 1 0 
L3 1 2 0 0 0 1 
L1 1 0 2 1 0 0 
�/ 0 1 -2 -2 1 0 
�/ 0 2 -2 -1 0 1 
 
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33
Repetem-se as linhas L1 e 
'
2L abaixo da linha 
'
3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3
L1 1 0 2 1 0 0
L2 2 1 2 0 1 0
L3 1 2 0 0 0 1
L1 1 0 2 1 0 0
'
2L
0 1 -2 -2 1 0
'
3L
0 2 -2 -1 0 1
L1 1 0 2 1 0 0
'
2L
0 1 -2 -2 1 0
Calcula-se o multiplicador '1m , que será 
'
' 32
1 '
22
am
a
= - , ou seja, '1
2
1
m = - , '1 2m = - .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3
L1 1 0 2 1 0 0
L2 2 1 2 0 1 0
L3 1 2 0 0 0 1
L1 1 0 2 1 0 0
'
2L 2
1
2m'1 -=-=
0 1 -2 -2 1 0
'
3L
0 2 -2 -1 0 1
L1 1 0 2 1 0 0
'
2L
0 1 -2 -2 1 0
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34
Para determinar a nova linha 3 ( ''3L ), efetua-se 
'
3
'
2
'
1
''
3 LLmL +⋅= , conforme visto no item 2.9, 
obtendo os valores:
Substituindo nas respectivas posições, tem-se o dispositivo:
Monta-se o sistema triangular equivalente a AX = I1, ou seja, os termos independentes pertencem 
à coluna I1 da linha correspondente, e determinam-se os valores de x1, x2 e x3, isto é:
� ��
Para determinar a nova linha 3 ( 
�/ ), efetua-se 
�
�
�
� //P/ �˜ , conforme 
visto no item 2.9, obtendo os valores: 
 ����D 
�� �˜� ����D 
�� �˜� � � � � ����D 
�� ���˜� � � � � ����D 
�� ���˜� ����D 
�� � �˜� ����D 
�� �˜� 
 
Substituindo nas respectivas posições, tem-se o dispositivo: 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes I1 I2 I3 
L1 1 0 2 1 0 0 
L2 2 1 2 0 1 0 
L3 1 2 0 0 0 1 
L1 1 0 2 1 0 0 
�/ ���P
� � � 0 1 -2 -2 1 0 
�/ 0 2 -2 -1 0 1 
L1 1 0 2 1 0 0 
�/ 0 1 -2 -2 1 0 
�/ 0 0 2 3 -2 1 
 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AX = I1, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I1 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de x1, x2 e x3, isto é: 
� ��
Para determinar a nova linha 3 ( 
�/ ), efetua-se 
�
�
�
� //P/ �˜ , conforme 
visto no item 2.9, obtendo os valores: 
 ����D 
�� �˜� ����D 
�� �˜� � � � � ����D 
�� ���˜� � � � � ����D 
�� ���˜� ����D 
�� � �˜� ����D 
�� �˜� 
 
Substituindo nas respectivas posições, tem-se o dispositivo: 
 
Linha Multiplicador Matriz doscoeficientes I1 I2 I3 
L1 1 0 2 1 0 0 
L2 2 1 2 0 1 0 
L3 1 2 0 0 0 1 
L1 1 0 2 1 0 0 
�/ ���P
� � � 0 1 -2 -2 1 0 
�/ 0 2 -2 -1 0 1 
L1 1 0 2 1 0 0 
�/ 0 1 -2 -2 1 0 
�/ 0 0 2 3 -2 1 
 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AX = I1, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I1 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de x1, x2 e x3, isto é: � ��°°¯°°®­ � � �� �[� �[�[ �[�[�[ ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: x1 = 2, x2 = 1 e x3 = 
1,5. 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AY = I2, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I2 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de y1, y2 e y3, isto é: 
 °°¯°°®­ � � �� �\� �\�\ �\�\�\ ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: y1 = 2, y2 = 1 e y3 = 
1. 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AZ = I3, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I3 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de z1, z2 e z3, isto é: 
 °°¯°°®­ � �� �]� �]�] �]�]�] ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: z1 = 1, z2 = 1 e z3 = 
0,5. 
A matriz inversa de A é dada por: 
 »»»»¼º««««¬ª � ��� ��� ���� ]\[ ]\[ ]\[$ 
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35
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: x1 = 2, x2 = 1 e x3 = 1,5.
Monta-se o sistema triangular equivalente a AY = I2, ou seja, os termos independentes pertencem à 
coluna I2 da linha correspondente, e determinam-se os valores de y1, y2 e y3, isto é:
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: y1 = 2, y2 = 1 e y3 = 1.
Monta-se o sistema triangular equivalente a AZ = I3, ou seja, os termos independentes pertencem à 
coluna I3 da linha correspondente, e determinam-se os valores de z1, z2 e z3, isto é:
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: z1 = 1, z2 = 1 e z3 = 0,5.
A matriz inversa de A é dada por:
Portanto, a matriz inversa da matriz A dada no problema é:
� ��°°¯°°®­ � � �� �[� �[�[ �[�[�[ ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: x1 = 2, x2 = 1 e x3 = 
1,5. 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AY = I2, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I2 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de y1, y2 e y3, isto é: 
 °°¯°°®­ � � �� �\� �\�\ �\�\�\ ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: y1 = 2, y2 = 1 e y3 = 
1. 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AZ = I3, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I3 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de z1, z2 e z3, isto é: 
 °°¯°°®­ � �� �]� �]�] �]�]�] ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: z1 = 1, z2 = 1 e z3 = 
0,5. 
A matriz inversa de A é dada por: 
 »»»»¼º««««¬ª � ��� ��� ���� ]\[ ]\[ ]\[$ 
� ��°°¯°°®­ � � �� �[� �[�[ �[�[�[ ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: x1 = 2, x2 = 1 e x3 = 
1,5. 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AY = I2, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I2 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de y1, y2 e y3, isto é: 
 °°¯°°®­ � � �� �\� �\�\ �\�\�\ ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: y1 = 2, y2 = 1 e y3 = 
1. 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AZ = I3, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I3 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de z1, z2 e z3, isto é: 
 °°¯°°®­ � �� �]� �]�] �]�]�] ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: z1 = 1, z2 = 1 e z3 = 
0,5. 
A matriz inversa de A é dada por: 
 »»»»¼º««««¬ª � ��� ��� ���� ]\[ ]\[ ]\[$ 
� ��°°¯°°®­ � � �� �[� �[�[ �[�[�[ ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: x1 = 2, x2 = 1 e x3 = 
1,5. 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AY = I2, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I2 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de y1, y2 e y3, isto é: 
 °°¯°°®­ � � �� �\� �\�\ �\�\�\ ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: y1 = 2, y2 = 1 e y3 = 
1. 
Monta-se o sistema triangular equivalente a AZ = I3, ou seja, os termos 
independentes pertencem à coluna I3 da linha correspondente, e determinam-se os 
valores de z1, z2 e z3, isto é: 
 °°¯°°®­ � �� �]� �]�] �]�]�] ��� ��� 
 
Efetuando as substituições retroativas, obtêm-se os valores: z1 = 1, z2 = 1 e z3 = 
0,5. 
A matriz inversa de A é dada por: 
 »»»»¼º««««¬ª � ��� ��� ���� ]\[ ]\[ ]\[$ � ��
Portanto, a matriz inversa da matriz A dada no problema é: 
 »»»»¼º««««¬ª �� �� � ������� ��� ���$ � 
 
2.12 Método de Jordan 
 
Você aprendeu a resolver um sistema linear pelo método de Gauss. Agora, 
vamos utilizar o método de Jordan para a resolução de um sistema linear. 
Resolver um sistema linear utilizando o método de Jordan consiste em efetuar 
transformações elementares sobre as equações do sistema linear dado, de modo a obter 
um sistema diagonal equivalente. 
 
Saiba mais 
Você, aluno(a), deve observar que um sistema diagonal é aquele em que os coeficientes 
das equações formam a matriz diagonal, que é a matriz quadrada em que todos os 
elementos que não estão na diagonal principal são nulos, ou seja, matrizes do tipo: 
 ¸¸¸¹·¨¨¨©§� ��� ��� ���) »»»»¼º««««¬ª ���� ���� ���� ����* 
 
2.13 Exercício Resolvido 
 
1. Resolva o sistema linear °°¯°°®­ � �� �� �� �[[�[� �[�[�[� �[[�[� ��� ��� ��� pelo método de Jordan. 
Resolução: 
2.12 Método de Jordan
Você aprendeu a resolver um sistema linear 
pelo método de Gauss. Agora, vamos utilizar o 
método de Jordan para a resolução de um siste-
ma linear.
Resolver um sistema linear utilizando o mé-
todo de Jordan consiste em efetuar transforma-
ções elementares sobre as equações do sistema 
linear dado, de modo a obter um sistema diago-
nal equivalente.
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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36
1. Resolva o sistema linear 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5
4 4 3 3
2 3 1
x x x
x x x
x x x
+ - =
 + - =
 - + = -
 pelo método de Jordan.
Resolução:
Representam-se os elementos da matriz dos coeficientes e da matriz dos termos independentes no 
dispositivo prático a seguir, de modo análogo ao utilizado no método de Gauss.
Saiba maisSaiba mais
Você, aluno(a), deve observar que um sistema diago-
nal é aquele em que os coeficientes das equações for-
mam a matriz diagonal, que é a matriz quadrada em 
que todos os elementos que não estão na diagonal 
principal são nulos, ou seja, matrizes do tipo:









-
=
300
020
005
F












=
4000
0300
0000
0002
G
2.13 Exercício Resolvido� ��
Representam-se os elementos da matriz dos coeficientes e da matriz dos 
termos independentes no dispositivo prático a seguir, de modo análogo ao utilizado no 
método de Gauss. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
 
 
 
Repete-se a linha L1 abaixo da linha L3, que será chamada 
�/ . 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 
Escolhe-se como pivô o elemento a11 da matriz dos coeficientes. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 
� ��Representam-se os elementos da matriz dos coeficientes e da matriz dos 
termos independentes no dispositivo prático a seguir, de modo análogo ao utilizado no 
método de Gauss. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
 
 
 
Repete-se a linha L1 abaixo da linha L3, que será chamada 
�/ . 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 
Escolhe-se como pivô o elemento a11 da matriz dos coeficientes. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 
� ��
Representam-se os elementos da matriz dos coeficientes e da matriz dos 
termos independentes no dispositivo prático a seguir, de modo análogo ao utilizado no 
método de Gauss. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
 
 
 
Repete-se a linha L1 abaixo da linha L3, que será chamada 
�/ . 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 
Escolhe-se como pivô o elemento a11 da matriz dos coeficientes. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 
Cálculo Numérico
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37
A seguir, determina-se o multiplicador m1 para tornar o coeficiente a21 da incógnita x1 nula, ou seja, 
21
1
11
4 2
2
am
a
= - = - = - .
� ��
Representam-se os elementos da matriz dos coeficientes e da matriz dos 
termos independentes no dispositivo prático a seguir, de modo análogo ao utilizado no 
método de Gauss. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
 
 
 
Repete-se a linha L1 abaixo da linha L3, que será chamada 
�/ . 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 
Escolhe-se como pivô o elemento a11 da matriz dos coeficientes. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 
� ��
Representam-se os elementos da matriz dos coeficientes e da matriz dos 
termos independentes no dispositivo prático a seguir, de modo análogo ao utilizado no 
método de Gauss. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
 
 
 
Repete-se a linha L1 abaixo da linha L3, que será chamada 
�/ . 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 
Escolhe-se como pivô o elemento a11 da matriz dos coeficientes. 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
 � ��
A seguir, determina-se o multiplicador m1 para tornar o coeficiente a21 da 
incógnita x1 nula, ou seja, ���DDP ����� � � � . 
 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 ���DDP ����� � � � 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
 
 
A seguir, efetua-se a transformação, de modo análogo ao utilizado no método 
de Gauss: multiplica-se m1 pela linha L1 (linha pivotal) e soma-se a linha L2, obtendo a linha 
�/ transformada, ���
� //P/ �˜ . 
Os novos coeficientes da linha 
�/ serão: 
 ������D
�� �� �˜� ������D
�� � �� �˜� � � ������D
�� � � ��˜� �������E
� � �� �˜� 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes 
L1 ���DDP ����� � � � 2 3 -1 5 
L2 4 4 -3 3 
L3 2 -3 1 -1 
�/ 2 3 -1 5 
�/ 0 -2 -1 -7 
 
 
A seguir, efetua-se a transformação, de modo análogo ao utilizado no método de Gauss: multiplica-se 
m1 pela linha L1 (linha pivotal) e soma-se a linha L2, obtendo a linha 
'
2L transformada, 211
'
2 LLmL +⋅= .
Os novos coeficientes da linha '2L serão:
'
21 2 2 4 4 4 0a = - ⋅ + = - + =
'
22 2 3 4 6 4 2a = - ⋅ + = - + = -
( )'23 2 1 3 2 3 1a = - ⋅ - - = - = -
'
2 2 5 3 10 3 7b = - ⋅ + = - + = -
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38
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1
2
2
4
a
a
m
11
21
1 -=-=-=
2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
A seguir, determina-se o multiplicador m2 para tornar o coeficiente a31 da incógnita x1 nula, ou seja, 
31
2
11
2 1
2
am
a
= - = - = - .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2
1
2
2
a
a
m
11
31
2 -=-=-=
4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
A seguir, multiplica-se m2 pela linha L1 (linha pivotal) e soma-se a linha L3, obtendo a linha 
'
3L trans-
formada, 311
'
3 LLmL +⋅= .
Os novos coeficientes da linha '3L serão:
'
31 1 2 2 2 2 0a = - ⋅ + = - + =
( )'32 1 3 3 3 3 6a = - ⋅ + - = - - = -
( )'33 1 1 1 1 1 2a = - ⋅ - + = + =
( )'3 1 5 1 5 1 6b = - ⋅ + - = - - = -
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39
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2
31
2
11
2 1
2
am
a
= - = - = -
4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
Escolhe-se como novo pivô o elemento '22a da matriz dos coeficientes, formado pelas linhas 
'
1L
, '2L e 
'
3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
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40
A seguir, determina-se o multiplicador '1m para tornar o coeficiente 
'
12a da incógnita x2 nula, ou 
seja, 
( )
'
' 12
1 '
22
3 1,5
2
am
a
= - = - =
-
.
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
( )
'
' 12
1 '
22
3 1,5
2
am
a
= - = - =
-
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
A seguir, efetua-se a transformação, de modo análogo ao utilizado no método de Gauss: multi-
plica-se '1m pela linha 
'
2L (linha pivotal) e soma-se a linha 
'
1L , obtendo a linha 
''
1L transformada, 
'
1
'
2
'
1
''
1 LLmL +⋅= .
Os novos coeficientes da linha ''1L serão:
''
11 1,5 0 2 0 2 2a = ⋅ + = + =
( )''12 1,5 2 3 3 3 0a = ⋅ - + = - + =
( ) ( )''13 1,5 1 1 1,5 1 2,5a = ⋅ - + - = - - = -
( )''1 1,5 7 5 10,5 5 5,5b = ⋅ - + = - + = -
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41
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
( )
'
' 12
1 '
22
3 1,5
2
am
a
= - = - =
-
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L
2 0 -2,5 -5,5
A seguir, repete-se a linha '2L (linha do pivô) abaixo da linha 
''
1L , que será chamada linha 
''
2L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
( )
'
' 12
1 '
22
3 1,5
2
am
a
= - = - =-
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L
2 0 -2,5 -5,5
''
2L
0 -2 -1 -7
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A seguir, determina-se o multiplicador '2m para tornar o coeficiente 
'
32a da incógnita x2 nula, ou 
seja, ( )
( )
'
' 32
2 '
22
6
3
2
am
a
-
= - = - = -
-
.
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L ( )
( )
'
' 32
2 '
22
6
3
2
am
a
-
= - = - = -
-
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L
2 0 -2,5 -5,5
''
2L
0 -2 -1 -7
A seguir, multiplica-se '2m pela linha 
'
2L (linha pivotal) e soma-se a linha 
'
3L , obtendo a linha 
''
3L 
transformada, '3
'
2
'
1
''
3 LLmL +⋅= .
Os novos coeficientes da linha ''3L serão:
''
31 3 0 0 0 0 0a = - ⋅ + = + =
( ) ( )''32 3 2 6 6 6 0a = - ⋅ - + - = - =
( )''33 3 1 2 3 2 5a = - ⋅ - + = + =
( ) ( )''3 3 7 6 21 6 15b = - ⋅ - + - = - =
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43
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L ( )
( )
'
' 32
2 '
22
6
3
2
am
a
-
= - = - = -
-
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L
2 0 -2,5 -5,5
''
2L
0 -2 -1 -7
''
3L
0 0 5 15
Escolhe-se como novo pivô o elemento ''33a da matriz dos coeficientes, formado pelas linhas ''1L , 
''
2L e 
''
3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L
2 0 -2,5 -5,5
''
2L
0 -2 -1 -7
''
3L
0 0 5 15
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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A seguir, determina-se o multiplicador ''1m para tornar o coeficiente 
''
13a da incógnita x3 nula, ou 
seja, 
( )'''' 13
1 ''
33
2,5
0,5
5
am
a
-
= - = - = .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L ( )'''' 13
1 ''
33
2,5
0,5
5
am
a
-
= - = - =
2 0 -2,5 -5,5
''
2L
0 -2 -1 -7
''
3L
0 0 5 15
A seguir, multiplica-se ''1m pela linha 
''
3L (linha do pivô) e soma-se a linha 
''
1L , obtendo a linha 
'''
1L 
transformada, ''1
''
3
''
1
'''
1 LLmL +⋅= .
Os novos coeficientes da linha '''1L serão:
'''
11 0,5 0 2 0 2 2a = ⋅ + = + =
'''
12 0,5 0 0 0 0 0a = ⋅ + = + =
( )'''13 0,5 5 2,5 2,5 2,5 0a = ⋅ + - = - =
( )'''1 0,5 15 5,5 7,5 5,5 2b = ⋅ + - = - =
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45
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L ( )'''' 13
1 ''
33
2,5
0,5
5
am
a
-
= - = - =
2 0 -2,5 -5,5
''
2L
0 -2 -1 -7
''
3L
0 0 5 15
'''
1L
2 0 0 2
A seguir, determina-se o multiplicador ''2m para tornar o coeficiente 
''
23a da incógnita x3 nula, ou 
seja, 
( )'''' 23
2 ''
33
1
0,2
5
am
a
-
= - = - = .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L
2 0 -2,5 -5,5
''
2L ( )'''' 23
2 ''
33
1
0,2
5
am
a
-
= - = - =
0 -2 -1 -7
''
3L
0 0 5 15
'''
1L
2 0 0 2
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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46
A seguir, multiplica-se ''2m pela linha 
''
3L (linha do pivô) e soma-se a linha 
''
2L , obtendo a linha 
'''
2L 
transformada, ''2
''
3
''
2
'''
2 LLmL +⋅= .
Os novos coeficientes da linha '''2L serão:
'''
21 0, 2 0 0 0 0 0a = ⋅ + = + =
( )'''22 0, 2 0 2 0 2 2a = ⋅ + - = - = -
( )'''23 0, 2 5 1 1 1 0a = ⋅ + - = - =
( )'''2 0, 2 15 7 3 7 4b = ⋅ + - = - = -
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L
2 0 -2,5 -5,5
''
2L ( )'''' 23
2 ''
33
1
0,2
5
am
a
-
= - = - =
0 -2 -1 -7
''
3L
0 0 5 15
'''
1L
2 0 0 2
'''
2L
0 -2 0 -4
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47
A seguir, repete-se a linha ''3L (linha do pivô) abaixo da linha 
'''
2L , que será chamada linha 
'''
3L .
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes
L1 2 3 -1 5
L2 4 4 -3 3
L3 2 -3 1 -1
'
1L
2 3 -1 5
'
2L
0 -2 -1 -7
'
3L
0 -6 2 -6
''
1L
2 0 -2,5 -5,5
''
2L
0 -2 -1 -7
''
3L
0 0 5 15
'''
1L
2 0 0 2
'''
2L
0 -2 0 -4
'''
3L
0 0 5 15
O sistema equivalente ao sistema dado, obtido após as transformações elementares, tem como 
equações as linhas '''1L , 
'''
2L e 
'''
3L ; portanto:
Da equação obtida por meio da linha '''1L , temos:
2x2 1 =
2
2x1 =
1x1 =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0 0 2
0 2 0 4
0 0 5 15
x x x
x x x
x x x
+ + =
 - + = -
 + + =
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48
Da equação obtida por meio da linha '''2L , temos:
4x2 2 -=-
2
4x2 -
-
=
2x2 =
Da equação obtida por meio da linha '''3L , temos:
35 15x =
3
15
5
x =
3 3x =
A solução do sistema linear dado é 
t
321X 


= .
2.14 Método Iterativo
A solução X de um sistema linear pode ser 
obtida utilizando um método iterativo, que con-
siste em calcular uma sequência X(1), X(2), X(3), ..., X(k), 
de aproximação de X, sendo dada uma aproxima-
ção inicial X(0). 
Esse método é vantajoso para sistema linear 
esparso, ou seja, quando a matriz dos coeficientes 
possui uma grande quantidade de elementos nu-
los (zeros).
O processo iterativo possui uma proprieda-
de muito importante, que é a “autocorreção”, isto 
é, um erro cometido durante os cálculos não influi 
no resultado final, uma vez que a aproximação er-
rada é tomada como um novo componente do 
vetor inicial.
O método iterativo propõe que, partindo 
de X(0) (vetor de aproximação inicial tomado arbi-
trariamente), construam-se consecutivamente os 
vetores:
DicionárioDicionário
Iterativo: é o procedimento que se baseia no uso 
ou aplicação da iteração, que é a resolução de um 
problema por meio de um algoritmo ou de uma 
equação, mediante uma sequência finita de ope-
rações, em que o objeto de cada uma é o resulta-
do da que a precede.
AtençãoAtenção
O método iterativo só é vantajoso para sistema 
linear esparso, ou seja, quando a matriz dos coefi-
cientes possui uma grande quantidade de zeros.
Cálculo Numérico
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49
( ) ( )1 0X FX G= + (primeira aproximação)
( ) ( )2 1X FX G= + (segunda aproximação)
= +   (k-ésima aproximação)
De modo geral, a aproximação (k + 1) é calculada por ( ) ( )1k kX FX G+ = + , em que:
com k = 0, 1, 2, ...
O processo iterativo é repetido até que um dos critérios de parada seja satisfeito:
ƒƒ
( ) ( ) ε≤-+
≤≤
k
i
1k
i
ni1
xxmáx , ε é a tolerância e determina a precisão das soluções;
ƒƒ k > M, M é o número máximo de iterações a serem efetuadas.
� ��
 
Atenção 
O método iterativo só é vantajoso para sistema linear esparso, ou seja, quando a matriz 
dos coeficientes possui uma grande quantidade de zeros. 
 
O processo iterativopossui uma propriedade muito importante, que é a 
“autocorreção”, isto é, um erro cometido durante os cálculos não influi no resultado final, 
uma vez que a aproximação errada é tomada como um novo componente do vetor inicial. 
O método iterativo propõe que, partindo de X(0) (vetor de aproximação inicial 
tomado arbitrariamente), construam-se consecutivamente os vetores: 
 � � � � *);; �� � (primeira aproximação) � � � � *);; �� � (segunda aproximação) ### � (k-ésima aproximação) 
 
De modo geral, a aproximação (k + 1) é calculada por � � � � *);; N�N � � , em 
que: 
 »»»»»¼º«««««¬ª Q��[[[; # , »»»»»»»»»¼º«««««««««¬ª ��� ��� ��� �DDDDDD DDDD�DD DDDDDD�) QQ�QQQ�QQQ�Q ��Q��������� ��Q��������� " ##### "" e »»»»»»»»»¼º«««««««««¬ª QQQ������DEDEDE* # 
com k = 0, 1, 2, ... 
 
O processo iterativo é repetido até que um dos critérios de parada seja 
satisfeito: 
 ƒ � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ , H é a tolerância e determina a precisão das 
soluções; 
2.15 Método de Jacobi
� ��
 
Atenção 
O método iterativo só é vantajoso para sistema linear esparso, ou seja, quando a matriz 
dos coeficientes possui uma grande quantidade de zeros. 
 
O processo iterativo possui uma propriedade muito importante, que é a 
“autocorreção”, isto é, um erro cometido durante os cálculos não influi no resultado final, 
uma vez que a aproximação errada é tomada como um novo componente do vetor inicial. 
O método iterativo propõe que, partindo de X(0) (vetor de aproximação inicial 
tomado arbitrariamente), construam-se consecutivamente os vetores: 
 � � � � *);; �� � (primeira aproximação) � � � � *);; �� � (segunda aproximação) ### � (k-ésima aproximação) 
 
De modo geral, a aproximação (k + 1) é calculada por � � � � *);; N�N � � , em 
que: 
 »»»»»¼º«««««¬ª Q��[[[; # , »»»»»»»»»¼º«««««««««¬ª ��� ��� ��� �DDDDDD DDDD�DD DDDDDD�) QQ�QQQ�QQQ�Q ��Q��������� ��Q��������� " ##### "" e »»»»»»»»»¼º«««««««««¬ª QQQ������DEDEDE* # 
com k = 0, 1, 2, ... 
 
O processo iterativo é repetido até que um dos critérios de parada seja 
satisfeito: 
 ƒ � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ , H é a tolerância e determina a precisão das 
soluções; 
Observe que podemos utilizar o método de Jacobi para a solução de um sistema linear dado.
Considere o sistema linear:
� ��ƒ k > M, M é o número máximo de iterações a serem efetuadas. 
 
2.15 Método de Jacobi 
 
Observe que podemos utilizar o método de Jacobi para a solução de um 
sistema linear dado. 
Considere o sistema linear: 
 °°°¯°°°®­ ���� ���� ���� ���� QQQQ��Q��Q��Q �QQ���������� �QQ���������� �QQ���������� E[D[D[D[D E[D[D[D[D E[D[D[D[D E[D[D[D[D "# """ 
 
Isolando a incógnita x1 na primeira equação do sistema linear �QQ���������� E[D[D[D[D ���� " , temos: 
 QQ����������� [D[D[DE[D ���� " �� QQ��������� D [D[D[DE[ ���� " 
 
Isolando a incógnita x2 na segunda equação do sistema linear �QQ���������� E[D[D[D[D ���� " , temos: 
 QQ����������� [D[D[DE[D ���� " �� QQ��������� D [D[D[DE[ ���� " 
 
Isolando a incógnita x3 na terceira equação do sistema linear �QQ���������� E[D[D[D[D ���� " , temos: 
 
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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50
Isolando a incógnita x1 na primeira equação do sistema linear 11 1 12 2 13 3 1 1n na x a x a x a x b+ + + + = , 
temos:
11 1 1 12 2 13 3 1n na x b a x a x a x= - - - -
1 12 2 13 3 1
1
11
n nb a x a x a xx
a
- - - -
=

Isolando a incógnita x2 na segunda equação do sistema linear 21 1 22 2 23 3 2 2n na x a x a x a x b+ + + + = , 
temos:
22 2 2 21 1 23 3 2n na x b a x a x a x= - - - -
2 21 1 23 3 2
2
22
n nb a x a x a xx
a
- - - -
=

Isolando a incógnita x3 na terceira equação do sistema linear 31 1 32 2 33 3 3 3n na x a x a x a x b+ + + + = , 
temos:
33 3 3 31 1 32 2 3n na x b a x a x a x= - - - -
3 31 1 32 2 3
3
33
n nb a x a x a xx
a
- - - -
=

E assim sucessivamente, de forma que, isolando a incógnita xn na n-ésima equação do sistema li-
near 1 1 2 2 3 3n n n nn n na x a x a x a x b+ + + + = , temos:
1 1 2 2 3 3 , 1 1nn n n n n n n n na x b a x a x a x a x- -= - - - - -
1 1 2 2 3 3 , 1 1n n n n n n n
n
nn
b a x a x a x a x
x
a
- -- - - - -=

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51
Assim, tem-se o sistema:
Observe que o elemento aii deve ser diferente de zero (aii ≠ 0), para qualquer i. Caso o elemento aii 
seja igual a zero (aii = 0), devem-se permutar as equações antes de explicitar as incógnitas, para que isso 
não ocorra.
� ��QQ����������� [D[D[DE[D ���� " �� QQ��������� D [D[D[DE[ ���� " 
E assim sucessivamente, de forma que, isolando a incógnita xn na n-ésima 
equação do sistema linear QQQQ��Q��Q��Q E[D[D[D[D ���� " , temos: 
 �Q�Q�Q��Q��Q��QQQQQ [D[D[D[DE[D ������� " QQ �Q�Q�Q��Q��Q��QQQ D [D[D[D[DE[ ������� " 
 
Assim, tem-se o sistema: 
 °°°°°°¯°°°°°°®­ ����� ���� ���� ���� ��QQ �Q�Q�Q��Q��Q��QQQ �� QQ��������� �� QQ��������� �� QQ��������� D [D[D[D[DE[ D [D[D[DE[ D [D[D[DE[ D [D[D[DE[ "### """ 
 
Observe que o elemento aii deve ser diferente de zero (aii ≠ 0), para qualquer i. 
Caso o elemento aii seja igual a zero (aii = 0), devem-se permutar as equações antes de 
explicitar as incógnitas, para que isso não ocorra. 
 
2.16 Exercício Resolvido 
 
2.16 Exercício Resolvido
1. Resolva o sistema linear 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10 2 7
5 8
2 3 10 6
x x x
x x x
x x x
+ + =
 + + = -
 + + = pelo método de Jacobi, utilizando 
como aproximação inicial ( ) [ ]0 0,7 1,6 0,6 tX = - e critério de parada com tolerância 
25 10ε -≤ ⋅ ou M > 5.
Resolução:
Isolando as incógnitas x1 na primeira equação, x2 na segunda equação e x3 na terceira equação, 
têm-se as equações de iteração:
� ��
1. Resolva o sistema linear °°¯°°®­ �� � �� �� �[��[�[� �[[�[ �[[�[�� ��� ��� ��� pelo método de Jacobi, utilizando 
como aproximação inicial � � > @W� ���������; � e critério de parada com tolerância ���� �˜dH ou M > 5. 
Resolução: 
Isolando as incógnitas x1 na primeira equação, x2 na segunda equação e x3 na 
terceira equação, têm-se as equações de iteração: 
 � � � �� � � �� � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� ��� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[6 N�N��N� N�N��N� N�N��N� 
Para k = 0, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as 
seguintes equações de iteração: 
 � � � � � �� � � � � �� � � � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[ ������ ������ ������ 
 
O vetor inicial é � � > @W� ���������; � , ou seja, � � ���[ �� , � � ���[ �� � e � � ���[ �� . Substituindo os valores iniciais de � ���[ e � ���[ na primeira equação do sistema 
linear, temos: 
 
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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52
Para k = 0, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as seguintes equações 
de iteração:
O vetor inicial é ( ) [ ]t0 6,06,17,0X -= , ou seja, ( ) 7,0x 01 = , 
( ) 6,1x 02 -= e 
( ) 6,0x 03 = . Subs-
tituindo os valores iniciais de ( )02x e 
( )0
3x na primeira equação do sistema linear, temos:
Substituindo os valores iniciais de ( )01x e 
( )0
3x na segunda equação do sistema linear, temos:
� ��
1. Resolva o sistema linear °°¯°°®­ �� � �� �� �[��[�[� �[[�[ �[[�[�� ��� ��� ��� pelo método de Jacobi, utilizando 
como aproximação inicial � � > @W� ���������; � e critério de parada com tolerância ���� �˜dH ou M > 5. 
Resolução: 
Isolando as incógnitas x1 na primeira equação, x2 na segunda equação e x3 na 
terceira equação, têm-se as equações de iteração: 
 � � � �� � � �� � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� ��� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[6 N�N��N� N�N��N� N�N��N� 
Para k = 0, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as 
seguintesequações de iteração: 
 � � � � � �� � � � � �� � � � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[ ������ ������ ������ 
 
O vetor inicial é � � > @W� ���������; � , ou seja, � � ���[ �� , � � ���[ �� � e � � ���[ �� . Substituindo os valores iniciais de � ���[ e � ���[ na primeira equação do sistema 
linear, temos: 
 
� ��� � � � � ��� [[��[ ������ �� � � � ��� ��������[ �� ��˜� � � �� �������[ �� �� � � �����[ �� � � ����[ �� 
 
Substituindo os valores iniciais de � ���[ e � ���[ na segunda equação do sistema 
linear, temos: � � � � � �� [[�[ ������ ��� � � � �������[ �� ��� � � � ���[ �� � � � ����[ �� � 
 
Substituindo os valores iniciais de � ���[ e � ���[ na terceira equação do sistema 
linear, temos: 
 � � � � � ��� [�[��[ ������ �� � � � ��� ���������[ �� �˜�˜� � � �� �������[ �� �� � � �����[ �� 
� ��� � � � � ��� [[��[ ������ �� � � � ��� ��������[ �� ��˜� � � �� �������[ �� �� � � �����[ �� � � ����[ �� 
 
Substituindo os valores iniciais de � ���[ e � ���[ na segunda equação do sistema 
linear, temos: � � � � � �� [[�[ ������ ��� � � � �������[ �� ��� � � � ���[ �� � � � ����[ �� � 
 
Substituindo os valores iniciais de � ���[ e � ���[ na terceira equação do sistema 
linear, temos: 
 � � � � � ��� [�[��[ ������ �� � � � ��� ���������[ �� �˜�˜� � � �� �������[ �� �� � � �����[ �� 
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Substituindo os valores iniciais de ( )01x e 
( )0
2x na terceira equação do sistema linear, temos:
É necessário verificar se o critério de parada ( ) ( ) ε≤-+
≤≤
k
i
1k
i
ni1
xxmáx foi satisfeito. Para isso, de-
ve-se efetuar ( ) ( )0i
1
i xx - para i = 1, 2 e 3, ou seja:
� ��� � � � � ��� [[��[ ������ �� � � � ��� ��������[ �� ��˜� � � �� �������[ �� �� � � �����[ �� � � ����[ �� 
 
Substituindo os valores iniciais de � ���[ e � ���[ na segunda equação do sistema 
linear, temos: � � � � � �� [[�[ ������ ��� � � � �������[ �� ��� � � � ���[ �� � � � ����[ �� � 
 
Substituindo os valores iniciais de � ���[ e � ���[ na terceira equação do sistema 
linear, temos: 
 � � � � � ��� [�[��[ ������ �� � � � ��� ���������[ �� �˜�˜� � � �� �������[ �� �� � � �����[ �� � ��� � ����[ �� 
É necessário verificar se o critério de parada � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ foi 
satisfeito. Para isso, deve-se efetuar � � � ��L�L [[ � para i = 1, 2 e 3, ou seja: 
 � � � ����� [[ � = ����������� � � � � ����� [[ � = � � ������������������ �� ��� � � � ����� [[ � = ����������� � 
 
O maior deles é 0,34, ou seja, � � � � ����[[ NL�NLQL�Pi[ ��dd . Como ���� �˜dH ou ����dH , o critério de parada não foi satisfeito, pois 0,34 > 0,05. 
Outro critério de parada é verificar se k é maior do que o número máximo de 
iterações proposto. Como k = 0 e M > 5, esse critério também não foi satisfeito, pois k deve 
ser maior que M. 
Como os critérios de parada não foram satisfeitos, deve-se prosseguir com as 
iterações. 
Para k = 1, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as 
seguintes equações de iteração: 
 � � � � � �� � � � � �� � � � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[ ������ ������ ������ 
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para � � ����[ �� � e � � ����[ �� na primeira equação de iteração do sistema linear, temos: 
� ��� � ����[ �� 
É necessário verificar se o critério de parada � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ foi 
satisfeito. Para isso, deve-se efetuar � � � ��L�L [[ � para i = 1, 2 e 3, ou seja: 
 � � � ����� [[ � = ����������� � � � � ����� [[ � = � � ������������������ �� ��� � � � ����� [[ � = ����������� � 
 
O maior deles é 0,34, ou seja, � � � � ����[[ NL�NLQL�Pi[ ��dd . Como ���� �˜dH ou ����dH , o critério de parada não foi satisfeito, pois 0,34 > 0,05. 
Outro critério de parada é verificar se k é maior do que o número máximo de 
iterações proposto. Como k = 0 e M > 5, esse critério também não foi satisfeito, pois k deve 
ser maior que M. 
Como os critérios de parada não foram satisfeitos, deve-se prosseguir com as 
iterações. 
Para k = 1, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as 
seguintes equações de iteração: 
 � � � � � �� � � � � �� � � � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[ ������ ������ ������ 
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para � � ����[ �� � e � � ����[ �� na primeira equação de iteração do sistema linear, temos: 
O maior deles é 0,34, ou seja, 
( ) ( )1
1
0,34k ki i
i n
x xmáx +
≤ ≤
- = . Como 25 10ε -≤ ⋅ ou 0,05ε ≤ , o cri-
tério de parada não foi satisfeito, pois 0,34 > 0,05.
Outro critério de parada é verificar se k é maior do que o número máximo de iterações proposto. 
Como k = 0 e M > 5, esse critério também não foi satisfeito, pois k deve ser maior que M.
Como os critérios de parada não foram satisfeitos, deve-se prosseguir com as iterações.
Para k = 1, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as seguintes equações 
de iteração:
� ��� � ����[ �� 
É necessário verificar se o critério de parada � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ foi 
satisfeito. Para isso, deve-se efetuar � � � ��L�L [[ � para i = 1, 2 e 3, ou seja: 
 � � � ����� [[ � = ����������� � � � � ����� [[ � = � � ������������������ �� ��� � � � ����� [[ � = ����������� � 
 
O maior deles é 0,34, ou seja, � � � � ����[[ NL�NLQL�Pi[ ��dd . Como ���� �˜dH ou ����dH , o critério de parada não foi satisfeito, pois 0,34 > 0,05. 
Outro critério de parada é verificar se k é maior do que o número máximo de 
iterações proposto. Como k = 0 e M > 5, esse critério também não foi satisfeito, pois k deve 
ser maior que M. 
Como os critérios de parada não foram satisfeitos, deve-se prosseguir com as 
iterações. 
Para k = 1, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as 
seguintes equações de iteração: 
 � � � � � �� � � � � �� � � � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[ ������ ������ ������ 
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para � � ����[ �� � e � � ����[ �� na primeira equação de iteração do sistema linear, temos: 
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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54
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para ( )12 1,86x = - e 
( )1
3 0,94x = na 
primeira equação de iteração do sistema linear, temos:
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para ( )11 0,96x = e 
( )1
1 0,96x = na se-
gunda equação de iteração do sistema linear, temos:
� ��
 � � � � � ��� [[��[ ������ �� � � � ��� ����������[ �� ��˜� � � �� ���������[ �� �� � � ������[ �� � � �����[ �� 
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para � � ����[ �� e � � ����[ �� na segunda equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � �� [[�[ ������ ��� � � � ���������[ �� ��� � � � ���������[ �� ��� � � � ���[ �� � � � ����[ �� � 
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para � � ����[ �� e � � ����[ �� � na terceira equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � ��� [�[��[ ������ �� � � � ��� �����������[ �� �˜�˜� � � �� ���������[ �� �� 
� ��
 � � � � � ��� [[��[ ������ �� � � � ��� ����������[ �� ��˜� � � �� ���������[ �� �� � � ������[ �� � � �����[ �� 
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para � � ����[ �� e � � ����[ �� na segunda equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � �� [[�[ ������ ��� � � � ���������[ �� ��� � � � ���������[ �� ��� � � � ���[ �� � � � ����[ �� � 
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para � � ����[ �� e � � ����[ �� � na terceira equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � ��� [�[��[������ �� � � � ��� �����������[ �� �˜�˜� � � �� ���������[ �� �� 
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55
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para ( )11 0,96x = e 
( )1
2 1,86x = - na 
terceira equação de iteração do sistema linear, temos:
É necessário verificar novamente se o critério de parada ( ) ( ) ε≤-+
≤≤
k
i
1k
i
ni1
xxmáx foi satisfeito. 
Para isso, deve-se efetuar ( ) ( )1i
2
i xx - para i = 1, 2 e 3, ou seja:
� ��
 � � � � � ��� [[��[ ������ �� � � � ��� ����������[ �� ��˜� � � �� ���������[ �� �� � � ������[ �� � � �����[ �� 
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para � � ����[ �� e � � ����[ �� na segunda equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � �� [[�[ ������ ��� � � � ���������[ �� ��� � � � ���������[ �� ��� � � � ���[ �� � � � ����[ �� � 
Substituindo os valores encontrados na primeira iteração para � � ����[ �� e � � ����[ �� � na terceira equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � ��� [�[��[ ������ �� � � � ��� �����������[ �� �˜�˜� � � �� ���������[ �� �� � ��� � ������[ �� � � �����[ �� 
 
É necessário verificar novamente se o critério de parada � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ foi satisfeito. Para isso, deve-se efetuar � � � ��L�L [[ � para i = 1, 2 
e 3, ou seja: 
 � � � ����� [[ � = �������������� � � � � ����� [[ � = � � �������������������� �� ��� � � � ����� [[ � = �������������� � 
 
O maior deles é 0,12, ou seja, � � � � ����[[ NL�NLQL�Pi[ ��dd . Como ���� �˜dH ou ����dH , o critério de parada não foi satisfeito, pois 0,12 > 0,05. 
Outro critério de parada é verificar se k é maior do que o número máximo de 
iterações proposto. Como k = 1 e M > 5, esse critério também não foi satisfeito, pois k deve 
ser maior que M. 
Como os critérios de parada não foram satisfeitos, deve-se prosseguir com as 
iterações. 
Para k = 2, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as 
seguintes equações de iteração: 
 � � � � � �� � � � � �� � � � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[ ������ ������ ������ 
� ��� � ������[ �� � � �����[ �� 
 
É necessário verificar novamente se o critério de parada � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ foi satisfeito. Para isso, deve-se efetuar � � � ��L�L [[ � para i = 1, 2 
e 3, ou seja: 
 � � � ����� [[ � = �������������� � � � � ����� [[ � = � � �������������������� �� ��� � � � ����� [[ � = �������������� � 
 
O maior deles é 0,12, ou seja, � � � � ����[[ NL�NLQL�Pi[ ��dd . Como ���� �˜dH ou ����dH , o critério de parada não foi satisfeito, pois 0,12 > 0,05. 
Outro critério de parada é verificar se k é maior do que o número máximo de 
iterações proposto. Como k = 1 e M > 5, esse critério também não foi satisfeito, pois k deve 
ser maior que M. 
Como os critérios de parada não foram satisfeitos, deve-se prosseguir com as 
iterações. 
Para k = 2, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as 
seguintes equações de iteração: 
 � � � � � �� � � � � �� � � � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[ ������ ������ ������ 
O maior deles é 0,12, ou seja, 
( ) ( )1
1
0,12k ki i
i n
x xmáx +
≤ ≤
- = . Como 25 10ε -≤ ⋅ ou 0,05ε ≤ , o 
critério de parada não foi satisfeito, pois 0,12 > 0,05.
Outro critério de parada é verificar se k é maior do que o número máximo de iterações proposto. 
Como k = 1 e M > 5, esse critério também não foi satisfeito, pois k deve ser maior que M.
Como os critérios de parada não foram satisfeitos, deve-se prosseguir com as iterações.
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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56
Para k = 2, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as seguintes equações 
de iteração:
� ��� � ������[ �� � � �����[ �� 
 
É necessário verificar novamente se o critério de parada � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ foi satisfeito. Para isso, deve-se efetuar � � � ��L�L [[ � para i = 1, 2 
e 3, ou seja: 
 � � � ����� [[ � = �������������� � � � � ����� [[ � = � � �������������������� �� ��� � � � ����� [[ � = �������������� � 
 
O maior deles é 0,12, ou seja, � � � � ����[[ NL�NLQL�Pi[ ��dd . Como ���� �˜dH ou ����dH , o critério de parada não foi satisfeito, pois 0,12 > 0,05. 
Outro critério de parada é verificar se k é maior do que o número máximo de 
iterações proposto. Como k = 1 e M > 5, esse critério também não foi satisfeito, pois k deve 
ser maior que M. 
Como os critérios de parada não foram satisfeitos, deve-se prosseguir com as 
iterações. 
Para k = 2, substituindo o valor de k em (k +1) e k no sistema linear S, têm-se as 
seguintes equações de iteração: 
 � � � � � �� � � � � �� � � � � �°°°°¯°°°°®­ �� ��� �� �� [�[��[ � [[�[ �� [[��[ ������ ������ ������ 
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para ( )22 1,98x = - e 
( )2
3 0,966x = na 
primeira equação de iteração do sistema linear, temos:
� ��
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para � � ����[ �� � e � � �����[ �� na primeira equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � ��� [[��[ ������ �� � � � ��� �����������[ �� ��˜� � � �� ����������[ �� �� � � �������[ �� � � ������[ �� 
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para � � �����[ �� e � � �����[ �� na segunda equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � �� [[�[ ������ ��� � � � �����������[ �� ��� � � ������[ �� � � � ������[ �� � 
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para � � �����[ �� e � � ����[ �� � na terceira equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � ��� [�[��[ ������ �� � � � ��� ������������[ �� �˜�˜� 
� ��
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para � � ����[ �� � e � � �����[ �� na primeira equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � ��� [[��[ ������ �� � � � ��� �����������[ �� ��˜� � � �� ����������[ �� �� � � �������[ �� � � ������[ �� 
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para � � �����[ �� e � � �����[ �� na segunda equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � �� [[�[ ������ ��� � � � �����������[ �� ��� � � ������[ �� � � � ������[ �� � 
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para � � �����[ �� e � � ����[ �� � na terceira equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � ��� [�[��[ ������ �� � � � ��� ������������[ �� �˜�˜� 
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para ( ) 978,0x 21 = e 
( ) 966,0x 23 = na 
segunda equação de iteração do sistema linear, temos:
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Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para ( )21 0,978x = e 
( )2
2 1,98x = - na 
terceira equação de iteração do sistema linear, temos:
� ��
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para � � ����[ �� � e � � �����[ �� na primeira equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � ��� [[��[ ������ �� � � � ��� �����������[ �� ��˜� � � �� ����������[ �� �� � � �������[ �� � � ������[ �� 
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para � � �����[ �� e � � �����[ �� na segunda equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � �� [[�[ ������ ��� � � � �����������[ �� ��� � � ������[ �� � � � ������[ �� � 
Substituindo os valores encontrados na segunda iteração para � � �����[ �� e � � ����[ �� � na terceira equação de iteração do sistema linear, temos: 
 � � � � � ��� [�[��[ ������ �� � � � ��� ������������[ �� �˜�˜� � ��� � �� ����������[ �� �� � � �������[ �� � � ������[ �� 
 
É necessário verificar novamente se o critério de parada � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ foi satisfeito. Para isso, deve-seefetuar � � � ��L�L [[ � para i = 1, 
2 e 3, ou seja: 
 � � � ����� [[ � = ����������������� � � � � ����� [[ � = �������������������������� �� ¹¸·©¨§��� � � � ����� [[ � = ����������������� � 
 
O maior deles é 0,0324, ou seja, � � � � ������[[ NL�NLQL�Pi[ ��dd . Como ���� �˜dH ou ����dH , o critério de parada foi satisfeito, pois 0,0324 < 0,05. 
Não há necessidade de verificar o outro critério de parada, uma vez que este 
critério foi satisfeito. É necessário que um dos critérios seja satisfeito para parar o processo 
de iterações. 
Portanto, a solução procurada é o vetor formado pelos resultados de � ���[ , � ���[ 
e � ���[ , ou seja, W������������������; »¼º«¬ª � . 
 
2.17 Resumo do Capítulo 
 
Caro(a) aluno(a), 
É necessário verificar novamente se o critério de parada 
( ) ( )1
1
k k
i i
i n
x xmáx ε+
≤ ≤
- ≤ foi satisfeito. 
Para isso, deve-se efetuar ( ) ( )3 2i ix x- para i = 1, 2 e 3, ou seja:
� ��� � �� ����������[ �� �� � � �������[ �� � � ������[ �� 
 
É necessário verificar novamente se o critério de parada � � � � Hd��dd NL�NLQL� [[Pi[ foi satisfeito. Para isso, deve-se efetuar � � � ��L�L [[ � para i = 1, 
2 e 3, ou seja: 
 � � � ����� [[ � = ����������������� � � � � ����� [[ � = �������������������������� �� ¹¸·©¨§��� � � � ����� [[ � = ����������������� � 
 
O maior deles é 0,0324, ou seja, � � � � ������[[ NL�NLQL�Pi[ ��dd . Como ���� �˜dH ou ����dH , o critério de parada foi satisfeito, pois 0,0324 < 0,05. 
Não há necessidade de verificar o outro critério de parada, uma vez que este 
critério foi satisfeito. É necessário que um dos critérios seja satisfeito para parar o processo 
de iterações. 
Portanto, a solução procurada é o vetor formado pelos resultados de � ���[ , � ���[ 
e � ���[ , ou seja, W������������������; »¼º«¬ª � . 
 
2.17 Resumo do Capítulo 
 
Caro(a) aluno(a), 
O maior deles é 0,0324, ou seja, 
( ) ( )1
1
0,0324k ki i
i n
x xmáx +
≤ ≤
- =
. Como 25 10ε -≤ ⋅ ou 
0,05ε ≤ , o critério de parada foi satisfeito, pois 0,0324 < 0,05.
Não há necessidade de verificar o outro critério de parada, uma vez que este critério foi satisfeito. É 
necessário que um dos critérios seja satisfeito para parar o processo de iterações.
Portanto, a solução procurada é o vetor formado pelos resultados de ( )31x , 
( )3
2x e 
( )3
3x , ou seja, 
[ ]0,9994 1,9888 0,9984 tX = - .
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58
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, estudamos alguns métodos de resolução de sistemas lineares: os métodos diretos 
de Gauss e de Jordan e o método iterativo de Jacobi. Também estudamos como obter a matriz inversa 
de uma matriz aplicando o método de Gauss para solução de sistemas lineares. Todos esses assuntos 
foram estudados exaustivamente, iniciando pela equação linear, solução de uma equação linear, sistema 
de equações lineares, classificação dos sistemas lineares quanto ao número de soluções, sistema linear 
homogêneo, forma matricial de um sistema linear, método de Gauss, cálculo da matriz inversa pelo mé-
todo de Gauss, método de Jordan, método iterativo, método de Jacobi, além de inúmeros exercícios 
resolvidos.
2.17 Resumo do Capítulo
2.18 Atividades Propostas
1. Identifique se as equações a seguir são lineares:
a) 0zy2x =+-
b) 4tz3yx 2 =-++
2. Dadas as equações lineares 8z3yx =+- e 3z2yx -=++ , verifique quais dos ternos 
ordenados são soluções das duas equações simultaneamente.
a) (0, 5- , 1).
b) (6, 1, 5- ).
c) (1, 1- , 2).
d) ( 5- , 4- , 3).
3. Resolva o sistema linear 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 3 5 16
2 3 11
2 10 9 7 40
3 5 8 2 29
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
 + + + =
 + + + =
 + + + =
 utilizando o método de Gauss. Uti-
lize seis casas decimais.
Cálculo Numérico
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4. Calcule, se existir, a inversa da matriz 












-=
310
025
101
E utilizando o método de Gauss.
5. Resolva o sistema linear 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4
2 0
1
x x x
x x x
x x x
+ + =
 - - =
 - - = -
 utilizando o método de Jordan (durante as 
eliminações, utilize seis algarismos depois da vírgula, caso os valores não sejam inteiros).
6. Resolva o sistema linear 
1 2
1 2
2 1
2 3
x x
x x
- =
 + = pelo método de Jacobi, com 
( ) [ ]0 0 0 tX = e critério 
de parada 110ε -≤ ou M > 5.
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61
Caro(a) aluno(a),
Você já estudou a resolução de equações 
do 1º grau isolando o valor da incógnita e do 2º 
grau utilizando a fórmula de Báskara. Nas Enge-
nharias e nas Ciências, em muitos casos, há ne-
cessidade de determinar um número r que torne 
igual a zero o valor da função f(x), ou seja, f(r) = 0. 
Esse número é chamado raiz da equação f(x) = 0 
ou zero da função f(x).
Na análise gráfica de f(x), o zero ou raiz de 
f(x) equivale à abscissa r do ponto em que o grá-
fico de f(x) corta ou tangencia o eixo horizontal. 
� ��
3 ZERO DA FUNÇÃO 
 
3.1 Introdução 
 
Caro(a) aluno(a), 
Você já estudou a resolução de equações do 1º grau isolando o valor da 
incógnita e do 2º grau utilizando a fórmula de Báskara. Nas Engenharias e nas Ciências, em 
muitos casos, há necessidade de determinar um número r que torne igual a zero o valor da 
função f(x), ou seja, f(r) = 0. Esse número é chamado raiz da equação f(x) = 0 ou zero da 
função f(x). 
 
Dicionário 
Zero da função ou raiz da equação: valor da variável que torna nula uma função dessa 
variável. 
 
Na análise gráfica de f(x), o zero ou raiz de f(x) equivale à abscissa r do ponto 
em que o gráfico de f(x) corta ou tangencia o eixo horizontal. 
 
 
 
No gráfico, r1, r2 e r3 são raízes ou zeros de f(x). 
As equações algébricas de 1º e 2º graus, algumas de 3º e 4º graus e algumas 
equações transcendentes podem ter suas raízes determinadas com exatidão por meio de 
métodos analíticos (fórmulas). No entanto, uma equação como ��[�[ �� �� não é 
possível de resolver (ainda não foi descoberta uma fórmula) por meio de método analítico. 
 
Saiba mais 
No gráfico, r1, r2 e r3 são raízes ou zeros de 
f(x).
As equações algébricas de 1º e 2º graus, 
algumas de 3º e 4º graus e algumas equações 
transcendentes podem ter suas raízes determi-
nadas com exatidão por meio de métodos analí-
ticos (fórmulas). No entanto, uma equação como 
01x2x 25 =-+ não é possível de resolver 
(ainda não foi descoberta uma fórmula) por meio 
de método analítico.
Neste capítulo, estudaremos processos que 
permitem resolver equações de qualquer tipo a 
partir de aproximações. Esses métodos não forne-
cem raízes exatas, mas podemos melhorar o valor 
da raiz aproximada fazendo o refinamento até o 
grau de exatidão requerido.
ZERO DA FUNÇÃO3
3.1 Introdução
DicionárioDicionário
Zero da função ou raiz da equação: valor da variá-
vel que torna nula uma função dessa variável.
Saiba maisSaiba mais
Funções algébricas são funções que apresentam so-
mente operações algébricas, como f(x) = x2 – 3x + 2. 
Funções como ( )
2xln36xf +⋅= são chamadas 
funções transcendentes.
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A localização de intervalos que contêm a 
raiz é fundamentada no teorema da Álgebra para 
isolamento de raízes, que diz: “Se f(x) é uma fun-
ção contínua e assume valores de sinais opostos 
nos extremos do intervalo [a, b], ou seja, f(a) ∙ f(b) 
< 0, então existe pelo menos um valor r entre a e 
b que é zero de f(x)”.
É evidente que, se f(a) ∙ f(b) = 0, pelo menos 
um dos fatores f(a) e f(b) será uma raiz de f(x). 
3.2 Isolamentode Raízes
� ��
Funções algébricas são funções que apresentam somente operações algébricas, como f(x) 
= x2 – 3x + 2. Funções como � � �[OQ��[I �˜ são chamadas funções transcendentes. 
 
Neste capítulo, estudaremos processos que permitem resolver equações de 
qualquer tipo a partir de aproximações. Esses métodos não fornecem raízes exatas, mas 
podemos melhorar o valor da raiz aproximada fazendo o refinamento até o grau de 
exatidão requerido. 
 
3.2 Isolamento de Raízes 
 
A localização de intervalos que contêm a raiz é fundamentada no teorema da 
Álgebra para isolamento de raízes, que diz: “Se f(x) é uma função contínua e assume 
valores de sinais opostos nos extremos do intervalo [a, b], ou seja, f(a) ∙ f(b) < 0, então 
existe pelo menos um valor r entre a e b que é zero de f(x)”. 
É evidente que, se f(a) ∙ f(b) = 0, pelo menos um dos fatores f(a) e f(b) será uma 
raiz de f(x). 
 
Atenção 
Se f(a) ∙ f(b) > 0, não é garantida a não existência de raízes no intervalo [a, b]. 
 
 
 
3.3 Método Gráfico 
 
AtençãoAtenção
Se f(a) ∙ f(b) > 0, não é garantida a não existência 
de raízes no intervalo [a, b].
Você pode utilizar o método gráfico para 
obter os intervalos que contêm a raiz ou raízes.
Uma raiz real de uma equação f(x) = 0 é um 
ponto em que o gráfico de f(x) corta ou tangencia 
o eixo de x.
Para obter intervalos em que se localizam 
as raízes, podemos construir o gráfico da função 
e verificar em que ponto do eixo de x a função 
anula-se. Esse processo permite localizar mais 
rapidamente os intervalos que contêm as raízes. 
Nesse processo, procura-se obter um intervalo 
para cada raiz.
Após determinar o intervalo que contém a 
raiz, uma melhor aproximação é feita por proces-
so iterativo, usando a aproximação anterior até 
3.3 Método Gráfico
que se obtenha uma raiz com a aproximação ou 
precisão prefixada.
Outra maneira que temos de resolver o pro-
blema é substituir f(x) = 0 por uma equação g(x) 
– h(x) = 0 equivalente, ou seja, com as mesmas raí-
zes de f(x) = 0; portanto, f(x) = g(x) – h(x).
Construindo os gráficos de g(x) e h(x) em 
um mesmo sistema de eixos, as interseções dos 
dois gráficos fornecem as raízes de f(x).
Cálculo Numérico
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1. Determine, graficamente, os intervalos das raízes reais da função f(x) = 50x3 – 65x2 + 26x – 3.
Resolução:
Podemos separar a função f(x) em duas funções g(x) e h(x) de várias maneiras, lembrando que 
devemos inverter os sinais das parcelas de h(x) para que a igualdade f(x) = g(x) – h(x) seja verdadeira. 
Algumas delas são:
g(x) h(x)
50x3 65x2 - 26x + 3
50x3 – 65x2 - 26x + 3
50x3 – 65x2 + 26x 3
O que ocorre é que os gráficos ficarão diferentes, porém o ponto de interseção entre eles será o 
mesmo, fornecendo as raízes de f(x).
Escolhendo a última separação e construindo os respectivos gráficos no mesmo sistema cartesia-
no, obtemos os gráficos apresentados na figura:
3.4 Exercício Resolvido
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Como temos três pontos de interseção, temos três raízes reais, r1, r2 e r3, cujos intervalos a que per-
tencem podem ser determinados observando o eixo de x, ou seja:
10 0,25r< <
20, 25 0,75r< <
30,5 0,75r< <
Os valores obtidos graficamente devem ser utilizados apenas como uma aproximação inicial da 
raiz exata r.
3.5 Refinamento
Existem vários métodos de refinamento de 
raízes com os quais é possível determinar um va-
lor aproximado para as raízes de uma equação. 
Todos eles são por meio de métodos numéricos, 
que fornecem uma sequência xi de aproximações 
por meio de instruções que são executadas pas-
so a passo, tendo como base o resultado anterior 
(processos iterativos). O processo deve ser repeti-
do até que se atinja um valor próximo ao espera-
do ou cujo erro seja inferior a um valor determi-
nado.
Seja uma função f(x), com uma raiz r no in-
tervalo [a, b], a raiz r’ é aproximada com a precisão 
ε, geralmente, utilizando o critério:
ε≤- -1nn xx
Em seguida, compara-se o resultado com a 
tolerância ε prefixada.
3.6 Método da Bisseção
O método da bisseção consiste em locali-
zar a raiz em um intervalo [a, b], em que a função 
é crescente ou decrescente, e considerar a raiz 
aproximada o ponto médio desse intervalo, sen-
do f(a) ∙ f(b) < 0.
Dividindo o intervalo [a, b] ao meio, obtém-
-se xm, que é determinado por 
2
baxm
+
= .
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Se f(xm) = 0, então a raiz r = xm; caso contrá-
rio, se f(a) ∙ f(xm) < 0, a raiz r estará no subintervalo 
[a, xm]; ainda, se f(xm) ∙ f(b) < 0, a raiz r estará no 
subintervalo [xm, b].
O novo intervalo [a1, b1] que contém a raiz r 
é dividido ao meio e obtém-se o novo ponto mé-
dio 1mx . A repetição do processo fará com que, 
a cada iteração, o ponto médio do intervalo apro-
xime-se cada vez mais da raiz. Assim, o processo 
deverá ser continuado até que se obtenha uma 
aproximação para a raiz exata r com a tolerância 
ε desejada.
AtençãoAtenção
Se f(a) ∙ f(xm) > 0 e f(xm) ∙ f(b) > 0, o intervalo [a, b] 
não contém a raiz r. Neste caso, devemos retornar 
à iteração anterior e verificar se o intervalo esco-
lhido é o que contém a raiz.
3.7 Exercício Resolvido
1. Calcule a raiz positiva da equação f(x) = x2 – 5, com 0,10ε ≤ .
Resolução:
Inicialmente, por processo gráfico, vamos localizar os intervalos que contêm as raízes. Chamando 
g(x) = x2 e h(x) = 5 e construindo os respectivos gráficos em um mesmo sistema cartesiano, obtemos a 
figura:
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Podemos observar que temos uma raiz no intervalo -3 < r1 < -2 e outra no intervalo 2 < r1 < 3. Como 
o problema pede a raiz positiva, o intervalo de interesse é 2 < r1 < 3. Desse modo, os valores iniciais serão 
a = 2 e b = 3.
Vamos construir uma tabela para facilitar o processo iterativo e a verificação da tolerância.
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
2 3
Vamos calcular o valor de xm:
2
baxm
+
=
2
32xm
+
=
2
5xm =
5,2xm =
Vamos calcular os valores de f(a), f(b) e f(xm):
( ) 5xxf 2 -=
Para a = 2, temos:
( ) ( ) 522faf 2 -==
( ) ( ) 12faf -==
Para b = 3, temos:
( ) ( ) 533fbf 2 -==
( ) ( ) 43fbf ==
Para xm = 2,5, temos:
( ) ( ) ( )22,5 2,5 5mf x f= = -
( ) ( )2,5 1,25mf x f= =
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Completando a tabela, temos:
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
2 3 2,5 -1 4 1,25 -
Para determinar o intervalo em que se encontra a raiz, devemos efetuar:
( ) ( )mf a f x⋅
( ) ( )2 2,5 1 1,25f f⋅ = - ⋅
( ) ( ) 1,25mf a f x⋅ = -
E:
( ) ( )mf x f b⋅
( ) ( )2,5 3 1,25 4f f⋅ = ⋅
( ) ( ) 5mf x f b⋅ =
Como f(a) ∙ f(xm) < 0, a raiz encontra-se no intervalo [2; 2,5]. Desse modo, o valor de a permanece o 
mesmo e o valor de b passa a ser 2,5. A tabela será:
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
2 3 2,5 -1 4 1,25 -
2 2,5
Iniciando nova iteração, vamos calcular o valor de xm:
� ��
E: 
 � � � �EI[I P ˜ � � � � ������I���I ˜ ˜ � � � � �EI[I P ˜ 
 
Como f(a) ∙ f(xm) < 0, a raiz encontra-se no intervalo [2; 2,5]. Desse modo, o valor 
de a permanece o mesmo e o valor de b passa a ser 2,5. A tabela será: 
 
a b xm f(a) f(b) f(xm) H
2 3 2,5 -1 4 1,25 - 
2 2,5 
 
 
Iniciando nova iteração, vamos calcular o valor de xm: 
 � ED[P � � ����[P � ����[P ����[P 
 
Vamos calcular os valores de f(a), f(b) e f(xm): 
 � � �[[I � � 
 
Como o valor de a não alterou, temos: 
 � � � � ��IDI � 
 
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Vamos calcular os valores de f(a), f(b) e f(xm):( ) 5xxf 2 -=
Como o valor de a não alterou, temos:
( ) ( ) 12faf -==
Para b = 2,5 (observe que é o mesmo valor de xm da iteração anterior), temos:
( ) ( )2,5 1,25f b f= =
Para xm = 2,25, temos:
( ) ( ) ( )22, 25 2,25 5mf x f= = -
( ) ( )2,25 0,0625mf x f= =
A tolerância ε será:
1m mx xε -= -
2,25 2,5ε = -
0,25ε =
Completando a tabela, temos:
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
2 3 2,5 -1 4 1,25 -
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25
Devemos verificar se a tolerância ε ≤ 0,10 determinada no problema foi atingida, ou seja, 0,25 ≤ 
0,10?
Como não foi atingida, pois 0,25 > 0,10, devemos continuar o processo efetuando nova iteração, ou 
seja, determinar o novo intervalo em que se encontra a raiz, efetuando:
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E:
Como f(a) ∙ f(xm) < 0, a raiz encontra-se no intervalo [2; 2,25]. Desse modo, o valor de a permanece o 
mesmo e o valor de b passa a ser 2,25. A tabela será:
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
2 3 2,5 -1 4 1,25 -
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25
2 2,25
Calculando o valor de xm, temos:
Vamos calcular os valores de f(a), f(b) e f(xm):
( ) 5xxf 2 -=
� ��
Para b = 2,5 (observe que é o mesmo valor de xm da iteração anterior), temos: � � � � �������IEI 
 
Para xm = 2,25, temos: 
 � � � � � � ���������I[I �P � � � � � ����������I[I P 
 
A tolerância H será: 
 �PP [[ �� H ������� � H ���� H 
 
Completando a tabela, temos: 
 
a b xm f(a) f(b) f(xm) H
2 3 2,5 -1 4 1,25 - 
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25 
 
 
Devemos verificar se a tolerância ����dH determinada no problema foi 
atingida, ou seja, 0,25 ≤ 0,10? 
Como não foi atingida, pois 0,25 > 0,10, devemos continuar o processo 
efetuando nova iteração, ou seja, determinar o novo intervalo em que se encontra a raiz, 
efetuando: 
 � � � �P[IDI ˜ � � � � ����������I�I ˜� ˜ � � � � ������[IDI P � ˜ � �� 
E: 
 � � � �EI[I P ˜ � � � � ��������������I���I ˜ ˜ � � � � ��������EI[I P ˜ 
 
Como f(a) ∙ f(xm) < 0, a raiz encontra-se no intervalo [2; 2,25]. Desse modo, o 
valor de a permanece o mesmo e o valor de b passa a ser 2,25. A tabela será: 
 
a b xm f(a) f(b) f(xm) H
2 3 2,5 -1 4 1,25 - 
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25 
2 2,25 
 
 
Calculando o valor de xm, temos: 
 � ED[P � � �����[P � �����[P �����[P 
 
Vamos calcular os valores de f(a), f(b) e f(xm): 
 � � �[[I � � 
 
Como o valor de a não alterou, temos: 
 
� ��
 
E: 
 � � � �EI[I P ˜ � � � � ��������������I���I ˜ ˜ � � � � ��������EI[I P ˜ 
 
Como f(a) ∙ f(xm) < 0, a raiz encontra-se no intervalo [2; 2,25]. Desse modo, o 
valor de a permanece o mesmo e o valor de b passa a ser 2,25. A tabela será: 
 
a b xm f(a) f(b) f(xm) H
2 3 2,5 -1 4 1,25 - 
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25 
2 2,25 
 
 
Calculando o valor de xm, temos: 
 � ED[P � � �����[P � �����[P �����[P 
 
Vamos calcular os valores de f(a), f(b) e f(xm): 
 � � �[[I � � 
 
Como o valor de a não alterou, temos: 
 
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70
Como o valor de a não alterou, temos:
( ) ( ) 12faf -==
Para b = 2,25 (observe que é o mesmo valor de xm da iteração anterior), temos:
( ) ( )2,25 0,0625f b f= =
Para xm = 2,125, temos:
( ) ( ) ( )22,125 2,125 5mf x f= = -
( ) ( )2,125 -0,484375mf x f= =
A tolerância ε será:
1m mx xε -= -
2,125 2,25ε = -
0,125ε =
Completando a tabela, temos:
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
2 3 2,5 -1 4 1,25 -
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25
2 2,25 2,125 -1 0,0625 -0,484375 0,125
Devemos verificar se a tolerância ε ≤ 0,10 determinada no problema foi atingida, ou seja, 0,125 ≤ 
0,10?
Como não foi atingida, pois 0,125 > 0,10, devemos continuar o processo efetuando nova iteração, 
ou seja, determinar o novo intervalo em que se encontra a raiz, efetuando:
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71
E:
Como f(xm) ∙ f(b) < 0, a raiz encontra-se no intervalo [2,125; 2,25]. Desse modo, o valor de a passa a 
ser 2,125 e o valor de b permanece 2,25. A tabela será:
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
2 3 2,5 -1 4 1,25 -
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25
2 2,25 2,125 -1 0,0625 -0,484375 0,125
2,125 2,25
Calculando o valor de xm, temos:
Vamos calcular os valores de f(a), f(b) e f(xm):
( ) 5xxf 2 -=
� ��� � � �P[IDI ˜ � � � � � ���������������I�I �˜� ˜ � � � � ��������[IDI P ˜ 
 
E: 
 � � � �EI[I P ˜ � � � � ������������������I�����I ˜� ˜ � � � � �������������EI[I P ˜ 
 
Como f(xm) ∙ f(b) < 0, a raiz encontra-se no intervalo [2,125; 2,25]. Desse modo, o 
valor de a passa a ser 2,125 e o valor de b permanece 2,25. A tabela será: 
 
a b xm f(a) f(b) f(xm) H
2 3 2,5 -1 4 1,25 - 
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25 
2 2,25 2,125 -1 0,0625 -0,484375 0,125 
2,125 2,25 
 
 
Calculando o valor de xm, temos: 
 � ED[P � � ���������[P � ������[P ������[P 
 
Vamos calcular os valores de f(a), f(b) e f(xm): 
 
� ��� � � �P[IDI ˜ � � � � � ���������������I�I �˜� ˜ � � � � ��������[IDI P ˜ 
 
E: 
 � � � �EI[I P ˜ � � � � ������������������I�����I ˜� ˜ � � � � �������������EI[I P ˜ 
 
Como f(xm) ∙ f(b) < 0, a raiz encontra-se no intervalo [2,125; 2,25]. Desse modo, o 
valor de a passa a ser 2,125 e o valor de b permanece 2,25. A tabela será: 
 
a b xm f(a) f(b) f(xm) H
2 3 2,5 -1 4 1,25 - 
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25 
2 2,25 2,125 -1 0,0625 -0,484375 0,125 
2,125 2,25 
 
 
Calculando o valor de xm, temos: 
 � ED[P � � ���������[P � ������[P ������[P 
 
Vamos calcular os valores de f(a), f(b) e f(xm): 
 
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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72
Para a = 2,125 (observe que é o mesmo valor de xm da iteração anterior), temos:
( ) ( )2,125 0,484375f a f= = -
Como o valor de b não alterou, temos:
( ) ( )2,25 0,0625f b f= =
Para xm = 2,1875, temos:
( ) ( ) ( )22,1875 2,1875 5mf x f= = -
( ) ( )2,1875 -0,21484375mf x f= =
A tolerância ε será:
1m mx xε -= -
2,1875 2,125ε = -
0,0625ε =
Completando a tabela, temos:
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
2 3 2,5 -1 4 1,25 -
2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25
2 2,25 2,125 -1 0,0625 -0,484375 0,125
2,125 2,25 2,1875 -0,484375 0,0625 -0,214844 0,0625
Devemos verificar se a tolerância ε ≤ 0,10 determinada no problema foi atingida, ou seja, 0,0625 ≤ 
0,10?
Como foi atingida, pois 0,0625 < 0,10, podemos parar o processo e determinar a raiz, que corres-
ponde ao último valor de xm, ou seja, xm = 2,1875.
O número de algarismos após a vírgula na representação da raiz deve ser igual ao número de al-
garismos após a vírgula exibido na previsão do erro (0,10). Dessa forma, a raiz da equação resolvida é r = 
2,19.
Cálculo Numérico
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73
O valor exato da raiz é 2,24; portanto, o erro relativo entre os dois resultados é:
2,19-2,24RE =
0,05RE = 
O erro é menor que a tolerância estipulada.
3.8 Método de Newton-Raphson
Considere uma função f(x) cujas raízes devem ser determinadas com a precisão menor ou igual a 
certo valor ε estipulado. O processo consiste em usar como raiz aproximada a raiz da equação da tangen-
te à curva f(x), ou seja, a interseção da tangente com o eixo de x.
Considere a função cujo gráfico está esboçado na figura:
O ponto b = x0 determina um ponto B0 sobre a curva y = f(x), cujo par ordenado é [x0, f(x0)]. Traçan-
do, a partir do ponto B0, uma reta tangente à curva y = f(x), esta intercepta o eixo de x no ponto x1. O pon-
to x1 determina um ponto B1 [x1, f(x1)]. Traçando, a partir do ponto B1, uma reta tangente à curva y = f(x), 
esta intercepta o eixo de x no pontox2, sendo esse ponto uma melhor aproximação da raiz. O processo 
deve ser repetido até que se encontre r = xn com a tolerância estipulada.
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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74
A partir do gráfico, você pode observar que:
Analogamente, temos:
( ) ( )1 1
1 2
f x
tg f x
x x
β ′= =
-
A equação resulta em:
( )
( )
1
2 1
1
f x
x x
f x
= -
′
Como cada raiz é função da raiz anterior, podemos escrever a equação sob forma geral, ou seja:
( )
( )1
n
n n
n
f x
x x
f x+
= -
′
, com 0,1, 2,n = 
O valor inicial x0 pode ser qualquer um dos extremos do intervalo que contém a raiz, ou seja, x0 = a 
ou x0 = b.
� ��
 
 
O ponto b = x0 determina um ponto B0 sobre a curva y = f(x), cujo par ordenado 
é [x0, f(x0)]. Traçando, a partir do ponto B0, uma reta tangente à curva y = f(x), esta 
intercepta o eixo de x no ponto x1. O ponto x1 determina um ponto B1 [x1, f(x1)]. Traçando, a 
partir do ponto B1, uma reta tangente à curva y = f(x), esta intercepta o eixo de x no ponto 
x2, sendo esse ponto uma melhor aproximação da raiz. O processo deve ser repetido até 
que se encontre r = xn com a tolerância estipulada. 
A partir do gráfico, você pode observar que: 
 � � � ���� � [I[[ [IWJ c � D � � � � � ����� [I[[[I �˜c � �� ����� [I [I[[ c � � �� ����� [I [I[[ c� 
 
Analogamente, temos: 
 
Saiba maisSaiba mais
Para a convergência do método de Newton-Raph-
son, é condição suficiente que f’(x) e f”(x) sejam não 
nulos e preservem o sinal em (a, b) e que x0 seja tal 
que f(x0) ∙ f”(x) > 0.
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75
1. Ache a raiz positiva de f(x) = x3 - 6, com 31,0 10ε -≤ ⋅ .
Resolução:
Inicialmente, vamos determinar graficamente os intervalos que contêm as raízes reais da função. 
Chamando g(x) = x3 e h(x) = 6 e construindo os gráficos no mesmo sistema cartesiano, temos:
O gráfico mostra a existência de uma raiz real no intervalo 1 < r < 2.
A função é:
( ) 6xxf 3 -=
Sua derivada é:
( ) 2x3xf ⋅=′
3.9 Exercício Resolvido
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76
Usando x0 = 2, temos:
( ) 32 2 6f = -
( )2 2f =
E:
( ) 22 3 2f ′ = ⋅
( )2 12f ′ =
Para n = 0, temos:
( )
( )1
n
n n
n
f x
x x
f x+
= -
′
( )
( )
0
0 1 0
0
f x
x x
f x+
= -
′
( )
( )
0
1 0
0
f x
x x
f x
= -
′
Substituindo os valores, temos:
1
22
12
x = -
1
24 2
12
x -=
1
22
12
x =
1 1,83333333x =
A tolerância ε é:
n1n xx -=ε +
01 xx -=ε
283333333,1 -=ε
0,16666667=ε
Devemos verificar se a tolerância solicitada foi alcançada, ou seja, 0,16666667 < 0,0010?
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77
Como não foi atingida a tolerância solicitada, devemos efetuar nova iteração para n = 1, que forne-
ce:
( ) 683333333,183333333,1f 3 -=
( ) 0,1620370083333333,1f =
E:
( ) 283333333,1383333333,1f ⋅=′
( ) 910,083333283333333,1f =′
Para n = 1, temos:
( )
( )1
1
12 xf
xfxx
′
-=
Substituindo os valores, temos:
2
0,162037001,83333333
10,08333329
x = -
2 1,83333333 0,01606979x = -
2 1,81726354x =
A tolerância ε é:
83333333,181726354,1 -=ε
0,01606979=ε
Devemos verificar se a tolerância solicitada foi alcançada, ou seja, 0,01606979 < 0,0010?
Como não foi atingida a tolerância solicitada, devemos efetuar nova iteração para n = 2, que forne-
ce:
( ) 61,817263541,81726354f 3 -=
( ) 0,001416111,81726354f =
E:
( ) 21,8172635431,81726354f ⋅=′
( ) 9,907340321,81726354f =′
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78
Para n = 2, temos:
( )
( )2
2
23 xf
xfxx
′
-=
Substituindo os valores, temos:
90734032,9
00141611,081726354,1x3 -=
14294000,081726354,1x3 -=
1,81712060x3 =
A tolerância ε é:
81726354,181712060,1 -=ε
0,00014294=ε
Devemos verificar se a tolerância solicitada foi alcançada, ou seja, 0,00014294 < 0,0010?
Como a tolerância solicitada foi atingida, podemos parar o processo. A raiz solicitada é r = 1,8171.
3.10 Resumo do Capítulo
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, estudamos o zero ou raiz da função. Iniciamos pelo método gráfico para determinar 
os intervalos que contêm as raízes reais de f(x); em seguida, estudamos o refinamento de raízes, que é 
determinar um valor aproximado para as raízes de uma equação, por meio de métodos numéricos, até 
que se atinja um valor próximo ao esperado ou cujo erro seja inferior a um valor determinado, utilizando 
o isolamento de raízes, o método gráfico, o refinamento, o método da bisseção, o método de Newton-
-Raphson, além de exercícios resolvidos.
3.11 Atividades Propostas
1. Localize graficamente os zeros da função f(x) = 1 − x ln(x).
2. Calcule a maior raiz da função f(x) = ex - 3x aplicando o método da bisseção, com erro de 10-3.
3. Use o método de Newton–Raphson para obter a menor raiz positiva da equação x4 – 3x2 – 10 
= 0, com ε ≤ 10-2.
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79
Caro(a) aluno(a),
Espera-se que, com esta apostila, você se envolva na disciplina; entenda e consiga definir os erros na 
fase de modelagem e na fase de resolução; determine os zeros reais de equações algébricas e transcen-
dentes; resolva problemas que envolvam sistemas de equações lineares; desenvolva o raciocínio lógico; 
e saiba utilizar e aplicar as equações pertinentes aos vários assuntos abordados e estudados na presente 
apostila no âmbito profissional e, consequentemente, na sociedade em que se encontra inserido(a).
CONSIDERAÇÕES FINAIS4
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81
Caro(a) aluno(a),
A seguir, você poderá utilizar a resolução comentada das atividades propostas.
Faça uma revisão do texto escrito e refaça os exercícios resolvidos. Acreditamos que você vai con-
seguir resolver facilmente as atividades propostas.
Tenha em mãos uma calculadora científica para facilitar os cálculos.
Tente resolver os exercícios antes e, posteriormente, consulte a resolução.
CAPíTULo 1
1. Efetuar divisões sucessivas do 59 por 2 e a leitura do quociente e dos restos na ordem inversa.
2. Trata-se de uma conversão para a base 2; portanto, deve-se efetuar a multiplicação até que a 
parte fracionária do último produto seja igual a zero.
20011,0
3. Trata-se de conversão da base binária para a base decimal; desse modo, escrevendo na base 
β = 2, temos:
RESPOSTAS COMENTADAS DAS 
ATIVIDADES PROPOSTAS
� ��
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
Caro(a) aluno(a), 
A seguir, você poderá utilizar a resolução comentada das atividades propostas. 
Faça uma revisão do texto escrito e refaça os exercícios resolvidos. Acreditamos 
que você vai conseguir resolver facilmente as atividades propostas. 
Tenha em mãos uma calculadora científica para facilitar os cálculos. 
Tente resolver os exercícios antes e, posteriormente, consulte a resolução. 
 
Capítulo 1 
 
1. Efetuar divisões sucessivas do 59 por 2 e a leitura do quociente e dos restos na ordem 
inversa. ���� = ������� 
 
2. Trata-se de uma conversão para a base 2; portanto, deve-se efetuar a multiplicação até 
que a parte fracionária do último produto seja igual a zero. ������� 
 
3. Trata-se de conversão da base binária para a base decimal; desse modo, escrevendo na 
base E = 2, temos: ��������� �������������������������������� ˜»»¼º««¬ª ������ ˜ ��������������������� ˜»»¼º««¬ª ������ ����� ��������� ˜»»¼º««¬ª ������ �������� ˜»»¼º««¬ª 
� ��
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
Caro(a) aluno(a), 
A seguir, você poderá utilizar a resolução comentada das atividades propostas.Faça uma revisão do texto escrito e refaça os exercícios resolvidos. Acreditamos 
que você vai conseguir resolver facilmente as atividades propostas. 
Tenha em mãos uma calculadora científica para facilitar os cálculos. 
Tente resolver os exercícios antes e, posteriormente, consulte a resolução. 
 
Capítulo 1 
 
1. Efetuar divisões sucessivas do 59 por 2 e a leitura do quociente e dos restos na ordem 
inversa. ���� = ������� 
 
2. Trata-se de uma conversão para a base 2; portanto, deve-se efetuar a multiplicação até 
que a parte fracionária do último produto seja igual a zero. ������� 
 
3. Trata-se de conversão da base binária para a base decimal; desse modo, escrevendo na 
base E = 2, temos: ��������� �������������������������������� ˜»»¼º««¬ª ������ ˜ ��������������������� ˜»»¼º««¬ª ������ ����� ��������� ˜»»¼º««¬ª ������ �������� ˜»»¼º««¬ª � ������ 
 
4. Escrevendo em potências de 10, temos: 
36,189 = ����� ��������������� ��� ˜�˜�˜�˜�˜ 
 
5. Temos base E = 10, logo: �������� �������������������������������� ˜»»¼º««¬ª ���� ˜ 
 
6. Como é truncada de 2ª ordem, a série será: 
 � � ��[[[VHQ �� �����VHQ �¹¸·©¨§ S�S ¹¸·©¨§ S ����VHQ �¸¸¹·¨¨©§ S�S ¸¸¹·¨¨©§ S 
 
Considerando ������ S , temos: ����������������VHQ �¹¸·©¨§� ¹¸·©¨§ S ��������VHQ ¹¸·©¨§ S 
 
Capítulo 2 
 
1. a) Linear. 
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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82
4. Escrevendo em potências de 10, temos:
5. Temos base β = 10, logo:
6. Como é truncada de 2ª ordem, a série será:
 
Considerando 1415,3=π , temos:
� ������ 
 
4. Escrevendo em potências de 10, temos: 
36,189 = ����� ��������������� ��� ˜�˜�˜�˜�˜ 
 
5. Temos base E = 10, logo: �������� �������������������������������� ˜»»¼º««¬ª ���� ˜ 
 
6. Como é truncada de 2ª ordem, a série será: 
 � � ��[[[VHQ �� �����VHQ �¹¸·©¨§ S�S ¹¸·©¨§ S ����VHQ �¸¸¹·¨¨©§ S�S ¸¸¹·¨¨©§ S 
 
Considerando ������ S , temos: ����������������VHQ �¹¸·©¨§� ¹¸·©¨§ S ��������VHQ ¹¸·©¨§ S 
 
Capítulo 2 
 
1. a) Linear. 
� ������ 
 
4. Escrevendo em potências de 10, temos: 
36,189 = ����� ��������������� ��� ˜�˜�˜�˜�˜ 
 
5. Temos base E = 10, logo: �������� �������������������������������� ˜»»¼º««¬ª ���� ˜ 
 
6. Como é truncada de 2ª ordem, a série será: 
 � � ��[[[VHQ �� �����VHQ �¹¸·©¨§ S�S ¹¸·©¨§ S ����VHQ �¸¸¹·¨¨©§ S�S ¸¸¹·¨¨©§ S 
 
Considerando ������ S , temos: ����������������VHQ �¹¸·©¨§� ¹¸·©¨§ S ��������VHQ ¹¸·©¨§ S 
 
Capítulo 2 
 
1. a) Linear. 
� ������ 
 
4. Escrevendo em potências de 10, temos: 
36,189 = ����� ��������������� ��� ˜�˜�˜�˜�˜ 
 
5. Temos base E = 10, logo: �������� �������������������������������� ˜»»¼º««¬ª ���� ˜ 
 
6. Como é truncada de 2ª ordem, a série será: 
 � � ��[[[VHQ �� �����VHQ �¹¸·©¨§ S�S ¹¸·©¨§ S ����VHQ �¸¸¹·¨¨©§ S�S ¸¸¹·¨¨©§ S 
 
Considerando ������ S , temos: ����������������VHQ �¹¸·©¨§� ¹¸·©¨§ S ��������VHQ ¹¸·©¨§ S 
 
Capítulo 2 
 
1. a) Linear. 
� ������ 
 
4. Escrevendo em potências de 10, temos: 
36,189 = ����� ��������������� ��� ˜�˜�˜�˜�˜ 
 
5. Temos base E = 10, logo: �������� �������������������������������� ˜»»¼º««¬ª ���� ˜ 
 
6. Como é truncada de 2ª ordem, a série será: 
 � � ��[[[VHQ �� �����VHQ �¹¸·©¨§ S�S ¹¸·©¨§ S ����VHQ �¸¸¹·¨¨©§ S�S ¸¸¹·¨¨©§ S 
 
Considerando ������ S , temos: ����������������VHQ �¹¸·©¨§� ¹¸·©¨§ S ��������VHQ ¹¸·©¨§ S 
 
Capítulo 2 
 
1. a) Linear. 
Cálculo Numérico
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83
CAPíTULo 2
1. 
a) Linear.
b) Não linear 
2. Substituindo os valores das incógnitas nas equações, podemos observar que são os ternos a e 
d.
3. 
� ��
 b) Não linear 
 
2. Substituindo os valores das incógnitas nas equações, podemos observar que são os 
ternos a e d. 
 
3. 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos indep. 
L1 2 4 3 5 16 
L2 -0,5 1 2 3 1 11 
L3 -1 2 10 9 7 40 
L4 -1,5 3 5 8 2 29 
L’1 2 4 3 5 16 
L’2 0 0 1,5 -1,5 3 
L’3 0 6 6 2 24 
L’4 0 -1 3,5 -5,5 5 
 
Como o pivô é zero, vamos permutar as linhas L’2 e L’4, ficando: 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos indep. 
L1 2 4 3 5 16 
L2 -0,5 1 2 3 1 11 
L3 -1 2 10 9 7 40 
L4 -1,5 3 5 8 2 29 
L’1 2 4 3 5 16 
L’4 0 -1 3,5 -5,5 5 
L’3 6 0 6 6 2 24 
L’2 0 0 0 1,5 -1,5 3 
L’’1 2 4 3 5 16 
L’’4 0 -1 3,5 -5,5 5 
L’’3 -1/18 0 0 27 -31 54 
L’2 0 0 1,5 -1,5 3 
L’’1 2 4 3 5 16 
L’’4 0 -1 3,5 -5,5 5 
L’’3 0 0 27 -31 54 
L’’2 0 0 0 0,222222 0 
 
O sistema triangular equivalente será: 
 
Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli
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84
O sistema triangular equivalente será:
A partir da equação 4, temos x4 = 0.
Substituindo o valor de x4 na equação 3, temos x3 = 2.
Substituindo os valores de x3 e x4 na equação 2, temos x2 = 2.
Substituindo os valores de x2, x3 e x4 na equação 1, temos x1 = 1.
O vetor solução será: 
t
0221x 


=
4. 
Linha Multiplicador Matriz I1 I2 I3
L1 1 0 1 1 0 0
L2 5 -5 2 0 0 1 0
L3 0 0 1 3 0 0 1
L’1 1 0 1 1 0 0
L’2 0 2 5 5 1 0
L’3 -0,5 0 1 3 0 0 1
L’’1 1 0 1 1 0 0
L’’2 0 2 5 5 1 0
L’’3 0 0 0,5 -2,5 -0,5 1
O sistema triangular equivalente a AX = I1 será:
O sistema resulta em x3 = -5, x2 = 15 e x1 = 6.
O sistema triangular equivalente a AY = I2 será:
� ��°°¯°°®­ ��� ��� ��� ��� �[��������[�[�[� ��[��[��[�[� �[�[���[[� ��[�[�[�[� ���� ���� ���� ���� 
 
A partir da equação 4, temos x4 = 0. 
Substituindo o valor de x4 na equação 3, temos x3 = 2. 
Substituindo os valores de x3 e x4 na equação 2, temos x2 = 2. 
Substituindo os valores de x2, x3 e x4 na equação 1, temos x1 = 1. 
O vetor solução será: 
W����[ »¼º«¬ª 
 
4. 
Linha Multiplicador Matriz I1 I2 I3 
L1 1 0 1 1 0 0 
L2 5 -5 2 0 0 1 0 
L3 0 0 1 3 0 0 1 
L’1 1 0 1 1 0 0 
L’2 0 2 5 5 1 0 
L’3 -0,5 0 1 3 0 0 1 
L’’1 1 0 1 1 0 0 
L’’2 0 2 5 5 1 0 
L’’3 0 0 0,5 -2,5 -0,5 1 
 
O sistema triangular equivalente a AX = I1 será: 
 °°¯°°®­ � �� �� �� ���[���[�[� �[�[��[� �[[�[ ��� �� ��� 
 
O sistema resulta em x3 = -5, x2 = 15 e x1 = 6. 
O sistema triangular equivalente a AY = I2 será: 
 
� ��°°¯°°®­ ��� ��� ��� ��� �[��������[�[�[� ��[��[��[�[� �[�[���[[� ��[�[�[�[� ���� ���� ���� ���� 
 
A partir da equação 4, temos x4 = 0. 
Substituindo o valor de x4 na equação 3, temos x3 = 2. 
Substituindo os valores de x3 e x4 na equação 2, temos x2 = 2. 
Substituindo os valores de x2, x3 e x4 na equação 1, temos x1 = 1. 
O vetor solução será: 
W����[ »¼º«¬ª 
 
4. 
Linha Multiplicador Matriz I1 I2 I3 
L1 1 0 1 1 0 0 
L2 5 -5 2 0 0 1 0 
L3 0 0 1 3 0 0 1 
L’1 1 0 1 1 0 0 
L’2 0 2 5 5 1 0 
L’3 -0,5 0 1 3 0 0 1 
L’’1 1 0 1 1 0 0 
L’’2 0 2 5 5 1 0 
L’’3 0 0 0,5 -2,5 -0,5 1 
 
O sistema triangular equivalente a AX = I1 será: 
 °°¯°°®­ � �� �� �� ���[���[�[� �[�[��[� �[[�[ ��� �� ��� 
 
O sistema resulta em x3 = -5, x2 = 15 e x1 = 6. 
O sistema triangular equivalente a AY = I2 será: 
 
� ��°°¯°°®­ � �� �� �� ���\���\�\� �\�\�\� �\\�\ ��� ��� ��� 
 
O sistema resulta em y3 = -1, y2 = 3 e y1 = 1. 
O sistema triangular equivalente a AZ = I3 será: 
 °°¯°°®­ �� �� �� �]���]�]� �]�]�]� �]]�] ��� ��� ��� 
 
O sistema resulta em z3 = 2, z2 = -5 e z1 = -2. 
Portanto, a matriz inversa será: 
 »»»»¼º««««¬ª �� �� � ��� ���� ���( � 
 
5. 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos indep. 
L1 1 1 2 4 
L2 -2 2 -1 -1 0 
L3 -1 1 -1 -1 -1 
L’1 1/3 1 1 2 4 
L’2 0 -3 -5 -8 
L’3 -2/3 0 -2 -3 -5 
L’’1 -1 1 0 1/3 4/3 
L’’2 15 0 -3 -5 -8 
L’’3 0 0 1/3 1/3 
L’’’1 1 0 0 1 
L’’’2 0 -3 0 -3 
L’’’3 0 0 1/3 1/3 
 
O sistema equivalente será: 
CálculoNumérico
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85
O sistema resulta em y3 = -1, y2 = 3 e y1 = 1.
O sistema triangular equivalente a AZ = I3 será:
O sistema resulta em z3 = 2, z2 = -5 e z1 = -2.
Portanto, a matriz inversa será:
5. 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos indep.
L1 1 1 2 4
L2 -2 2 -1 -1 0
L3 -1 1 -1 -1 -1
L’1 1/3 1 1 2 4
L’2 0 -3 -5 -8
L’3 -2/3 0 -2 -3 -5
L’’1 -1 1 0 1/3 4/3
L’’2 15 0 -3 -5 -8
L’’3 0 0 1/3 1/3
L’’’1 1 0 0 1
L’’’2 0 -3 0 -3
L’’’3 0 0 1/3 1/3
O sistema equivalente será:
O sistema resulta em x1 = 1, x2 = 1 e x3 = 1.
O vetor solução será 
t
111x 


= .
� ��°°¯°°®­ � �� �� �� ���\���\�\� �\�\�\� �\\�\ ��� ��� ��� 
 
O sistema resulta em y3 = -1, y2 = 3 e y1 = 1. 
O sistema triangular equivalente a AZ = I3 será: 
 °°¯°°®­ �� �� �� �]���]�]� �]�]�]� �]]�] ��� ��� ��� 
 
O sistema resulta em z3 = 2, z2 = -5 e z1 = -2. 
Portanto, a matriz inversa será: 
 »»»»¼º««««¬ª �� �� � ��� ���� ���( � 
 
5. 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos indep. 
L1 1 1 2 4 
L2 -2 2 -1 -1 0 
L3 -1 1 -1 -1 -1 
L’1 1/3 1 1 2 4 
L’2 0 -3 -5 -8 
L’3 -2/3 0 -2 -3 -5 
L’’1 -1 1 0 1/3 4/3 
L’’2 15 0 -3 -5 -8 
L’’3 0 0 1/3 1/3 
L’’’1 1 0 0 1 
L’’’2 0 -3 0 -3 
L’’’3 0 0 1/3 1/3 
 
O sistema equivalente será: 
� ��°°¯°°®­ � �� �� �� ���\���\�\� �\�\�\� �\\�\ ��� ��� ��� 
 
O sistema resulta em y3 = -1, y2 = 3 e y1 = 1. 
O sistema triangular equivalente a AZ = I3 será: 
 °°¯°°®­ �� �� �� �]���]�]� �]�]�]� �]]�] ��� ��� ��� 
 
O sistema resulta em z3 = 2, z2 = -5 e z1 = -2. 
Portanto, a matriz inversa será: 
 »»»»¼º««««¬ª �� �� � ��� ���� ���( � 
 
5. 
Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos indep. 
L1 1 1 2 4 
L2 -2 2 -1 -1 0 
L3 -1 1 -1 -1 -1 
L’1 1/3 1 1 2 4 
L’2 0 -3 -5 -8 
L’3 -2/3 0 -2 -3 -5 
L’’1 -1 1 0 1/3 4/3 
L’’2 15 0 -3 -5 -8 
L’’3 0 0 1/3 1/3 
L’’’1 1 0 0 1 
L’’’2 0 -3 0 -3 
L’’’3 0 0 1/3 1/3 
 
O sistema equivalente será: � ��
 °°¯°°®­ ¹¸·©¨§�� � �� �� ���[���[�[� �[�[�[� �[�[�[ ��� ��� ��� 
 
O sistema resulta em x1 = 1, x2 = 1 e x3 = 1. 
O vetor solução será 
W���[ »¼º«¬ª . 
 
6. °¯°®­ � � �[�[ �[[� �� �� 
 
Isolando x1 na primeira equação e x2 na segunda equação, temos as seguintes 
equações de iteração: 
 � � � �� � � �°°¯°°®­ � � �� �[�[ �[�[ N��N� N��N� 
 
Tomando o vetor inicial, temos: 
 � �� �°¯°®­ � � ������ ��[ ������ ��[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 
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6. 
Isolando x1 na primeira equação e x2 na segunda equação, temos as seguintes equações de itera-
ção:
Tomando o vetor inicial, temos:
( )
( )




==
-
=
==
+
=
=
5,1
2
3
2
03x
5,0
2
1
2
01x
0kPara
1
2
1
1
Tolerância:
5,005,0xx 01
1
1 =-=-
5,105,1xx 02
1
2 =-=-
Critério de parada: o maior deles é 1,5, então 1,5 ≤ 0,1? Não. k > M ou 0 > 5? Não.
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração.
Tolerância:




=+
=-
3x2x
1xx2
21
21
( )
( )
( )
( )







-
=
+
=
+
+
2
x3
x
2
x1
x
k
11k
2
k
21k
1� ���������[[ ���� � � �������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 1,5, então 1,5 ≤ 0,1? Não. k > M ou 0 > 5? 
Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 
 � �� �°¯°®­ � � ��������� ����[ ��������� ����[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 �����������[[ ���� � � �����������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,75, então 0,75 ≤ 0,1? Não. k > M ou 1 > 5? 
Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � ����������� �����[ ����������� �����[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 
� ���������[[ ���� � � �������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 1,5, então 1,5 ≤ 0,1? Não. k > M ou 0 > 5? 
Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 
 � �� �°¯°®­ � � ��������� ����[ ��������� ����[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 �����������[[ ���� � � �����������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,75, então 0,75 ≤ 0,1? Não. k > M ou 1 > 5? 
Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � ����������� �����[ ����������� �����[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 
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Critério de parada: o maior deles é 0,75, então 0,75 ≤ 0,1? Não. k > M ou 1 > 5? Não.
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração.
Tolerância:
Critério de parada: o maior deles é 0,375, então 0,375 ≤ 0,1? Não. k > M ou 2 > 5? Não.
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração.
Tolerância:
� ���������[[ ���� � � �������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 1,5, então 1,5 ≤ 0,1? Não. k > M ou 0 > 5? 
Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 
 � �� �°¯°®­ � � ��������� ����[ ��������� ����[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 �����������[[ ���� � � �����������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,75, então 0,75 ≤ 0,1? Não. k > M ou 1 > 5? 
Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � ����������� �����[ ����������� �����[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 
� �����������������[[ ���� � � ��������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,375, então 0,375 ≤ 0,1? Não. k > M ou 2 > 
5? Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � �������������������[ �������������������[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 �����������������[[ ���� � � �����������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,1875, então 0,1875 ≤ 0,1? Não. k > M ou 3 
> 5? Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � ����������������������[ ����������������������[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 
� �����������������[[ ���� � � ��������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,375, então 0,375 ≤ 0,1? Não. k > M ou 2 > 
5? Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � �������������������[ �������������������[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 �����������������[[ ���� � � �����������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,1875, então 0,1875 ≤ 0,1? Não. k > M ou 3 
> 5? Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � ����������������������[ ����������������������[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 
� �����������������[[ ���� � � ��������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,375, então 0,375 ≤ 0,1? Não. k > M ou 2 > 
5? Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � �������������������[ �������������������[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 �����������������[[ ���� � � �����������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,1875, então 0,1875 ≤ 0,1? Não. k > M ou 3 
> 5? Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � ����������������������[ ����������������������[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 
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� �����������������[[ ����� � ��������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,375, então 0,375 ≤ 0,1? Não. k > M ou 2 > 
5? Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � �������������������[ �������������������[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 �����������������[[ ���� � � �����������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,1875, então 0,1875 ≤ 0,1? Não. k > M ou 3 
> 5? Não. 
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração. 
 � �� �°¯°®­ � � ����������������������[ ����������������������[�N3DUD ���� 
 
Tolerância: 
 
� �����������������������[[ ���� � � ��������������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,09375, então 0,09375 ≤ 0,1? Sim. k > M ou 
4 > 5? Não. 
Como o critério de parada para tolerância foi satisfeito, podemos parar o 
processo. Portanto, o vetor solução será: W��������������; »¼º«¬ª 
 
Capítulo 3 
 
1. Vamos escolher como g(x) = 1 e h(x) = x ln(x). 
Como a função ln(x) é definida apenas para valores maiores que zero, ou seja, 
positivos, vamos atribuir valores próximos a zero, para garantir que, se houver alguma raiz 
no intervalo [0, 1], ela apareça no gráfico. Desse modo, atribuindo o valor x = 0,01 e 
calculando h(0,01), temos: 
 � � � �����OQ��������K ˜ � � ��������������K ˜ � � ������������K 
Calculando h(x) para os outros valores de x e completando a tabela, temos: 
 
x g(x) h(x) 
0,01 1 -0,046 
0,1 1 -0,23 
0,5 1 -0,347 
1 1 0 
2 1 1,3863 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,1875, então 0,1875 ≤ 0,1? Não. k > M ou 3 > 5? Não.
Como o critério de parada não foi satisfeito, devemos fazer nova iteração.
Tolerância:
Critério de parada: o maior deles é 0,09375, então 0,09375 ≤ 0,1? Sim. k > M ou 4 > 5? Não.
Como o critério de parada para tolerância foi satisfeito, podemos parar o processo. Portanto, o vetor 
solução será:
CAPíTULo 3
1. Vamos escolher como g(x) = 1 e h(x) = x ln(x).
Como a função ln(x) é definida apenas para valores maiores que zero, ou seja, positivos, vamos 
atribuir valores próximos a zero, para garantir que, se houver alguma raiz no intervalo [0, 1], ela 
apareça no gráfico. Desse modo, atribuindo o valor x = 0,01 e calculando h(0,01), temos:
Calculando h(x) para os outros valores de x e completando a tabela, temos:
x g(x) h(x)
0,01 1 -0,046
0,1 1 -0,23
0,5 1 -0,347
1 1 0
2 1 1,3863
� �����������������������[[ ���� � � ��������������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,09375, então 0,09375 ≤ 0,1? Sim. k > M ou 
4 > 5? Não. 
Como o critério de parada para tolerância foi satisfeito, podemos parar o 
processo. Portanto, o vetor solução será: W��������������; »¼º«¬ª 
 
Capítulo 3 
 
1. Vamos escolher como g(x) = 1 e h(x) = x ln(x). 
Como a função ln(x) é definida apenas para valores maiores que zero, ou seja, 
positivos, vamos atribuir valores próximos a zero, para garantir que, se houver alguma raiz 
no intervalo [0, 1], ela apareça no gráfico. Desse modo, atribuindo o valor x = 0,01 e 
calculando h(0,01), temos: 
 � � � �����OQ��������K ˜ � � ��������������K ˜ � � ������������K 
Calculando h(x) para os outros valores de x e completando a tabela, temos: 
 
x g(x) h(x) 
0,01 1 -0,046 
0,1 1 -0,23 
0,5 1 -0,347 
1 1 0 
2 1 1,3863 
 
� �����������������������[[ ���� � � ��������������������[[ ���� � � 
 
Critério de parada: o maior deles é 0,09375, então 0,09375 ≤ 0,1? Sim. k > M ou 
4 > 5? Não. 
Como o critério de parada para tolerância foi satisfeito, podemos parar o 
processo. Portanto, o vetor solução será: W��������������; »¼º«¬ª 
 
Capítulo 3 
 
1. Vamos escolher como g(x) = 1 e h(x) = x ln(x). 
Como a função ln(x) é definida apenas para valores maiores que zero, ou seja, 
positivos, vamos atribuir valores próximos a zero, para garantir que, se houver alguma raiz 
no intervalo [0, 1], ela apareça no gráfico. Desse modo, atribuindo o valor x = 0,01 e 
calculando h(0,01), temos: 
 � � � �����OQ��������K ˜ � � ��������������K ˜ � � ������������K 
Calculando h(x) para os outros valores de x e completando a tabela, temos: 
 
x g(x) h(x) 
0,01 1 -0,046 
0,1 1 -0,23 
0,5 1 -0,347 
1 1 0 
2 1 1,3863 
 
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89
Colocando os pontos no sistema cartesiano e construindo os respectivos gráficos, temos:
A interseção entre os gráficos está entre x = 1 e x = 2; portanto, há uma raiz real no intervalo [1, 2].
2. Fazendo g(x) = ex e h(x) = 3x, obtemos o gráfico:
A partir do gráfico, podemos observar que há duas raízes: uma no intervalo [0, 1] e outra no inter-
valo [1, 2]. Como é solicitada a maior raiz, devemos utilizar o intervalo [1, 2]. Desse modo, temos a 
= 1 e b = 2.
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90
Calculando xm = 1,5 e os respectivos valores de f(x), temos:
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
1 2 1,5 -0,28172 1,38906 -0,01831 -
             
Fazendo as iterações necessárias até chegar à tolerância determinada, temos:
a b xm f(a) f(b) f(xm) ε
1 2 1,5 -0,28172 1,38906 -0,01831 -
1,5 2 1,75 -0,01831 1,38906 0,50460 0,25
1,5 1,75 1,625 -0,01831 0,50460 0,20342 0,125
1,5 1,625 1,5625 -0,01831 0,20342 0,08323 0,0625
1,5 1,5625 1,53125 -0,01831 0,08323 0,03020 0,03125
1,5 1,53125 1,515625 -0,01831 0,03020 0,00539 0,015625
1,5 1,515625 1,5078125 -0,01831 0,00539 -0,00660 0,007813
1,5 1,515625 1,51171875 -0,00660 0,00539 -0,00064 0,003906
1,5 1,515625 1,51367188 -0,00064 0,00539 0,00237 0,001953
1,5 1,51367188 1,51269531 -0,00064 0,00237 0,00086 0,000977
A raiz solicitada é o último valor de xm = 1,51269531; portanto, a raiz será r = 1,513, com tolerância 
ε = 10-3.
3. Fazendo g(x) = x4 – 3x2 e h(x) = 10, obtemos o gráfico:
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A partir do gráfico, podemos observar que há uma raiz positiva no intervalo [2, 3].
Escolhendo x0 = 2 e fazendo as iterações necessárias, obtemos os seguintes resultados:
i xi f(xi) f ' (xi) ε
0 2 -6 12  
1 2,5 10,3125 31,875 0,5
2 2,176471 -1,771674 17,871158 0,323529
3 2,275607 1,280517 21,698262 0,099136
4 2,216592 -0,599525 19,372653 0,059015
5 2,247539 0,362659 20,574625 0,030947
6 2,229912 -0,191683 19,885301 0,017627
7 2,239552 0,109386 20,260722 0,009639
A raiz solicitada é o valor de x7 = 2,239552; portanto, a raiz será r = 2,24, com tolerância ε = 10
-2.
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93
BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). São Paulo: Harbra, 1987.
BEZERRA, M. J.; PUTNOKI, J. C. Matemática. São Paulo: Scipione, 1996.
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MIRSHAWKA, V. Cálculo numérico. São Paulo: Nobel, 1984.
RODRIGUES, M. B.; ARANHA, A. Z. Exercícios de matemática: matrizes, determinantes e sistemas 
lineares. São Paulo: Policarpo, 1994. v. 5.
RUGGIERO, M. A. G. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
1996.
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; SILVA, L. H. M. Cálculo numérico: características matemáticas e 
computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Prentice Hall, 2003.
TROTTA, F. Matemática por assunto: sistemas lineares, matrizes e determinantes. São Paulo: Scipione, 
1988. v. 5.
ZAMBONI, L. C.; MONEZI,O. J. Cálculo numérico para universitários. São Paulo: Páginas & Letras, 2002.
REFERÊNCIAS
	OLE_LINK1
	OLE_LINK3
	INTRODUÇÃO
	1
	NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
	1.2 Erros
	1.3 Definição de Erro Absoluto e Erro Relativo
	1.4 Conversão de Bases
	1.5 Conversão de Número Decimal para Binário
	1.6 Erros de Arredondamento
	1.7 Erros de Truncamento
	1.8 Resumo do Capítulo
	1.9 Atividades Propostas
	2
	SISTEMAS LINEARES
	2.2 Solução de uma Equação Linear
	2.3 Exercício Resolvido
	2.4 Sistema de Equações Lineares
	2.5 Classificação dos Sistemas Lineares quanto ao Número de Soluções
	2.6 Sistema Linear Homogêneo
	2.7 Forma Matricial de um Sistema Linear
	2.8 Método de Gauss
	2.9 Exercício Resolvido
	2.10 Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss
	2.11 Exercício Resolvido
	2.12 Método de Jordan
	2.13 Exercício Resolvido
	2.14 Método Iterativo
	2.15 Método de Jacobi
	2.16 Exercício Resolvido
	2.17 Resumo do Capítulo
	2.18 Atividades Propostas
	3
	ZERO DA FUNÇÃO
	3.2 Isolamento de Raízes
	3.3 Método Gráfico
	3.4 Exercício Resolvido
	3.5 Refinamento
	3.6 Método da Bisseção
	3.7 Exercício Resolvido
	3.8 Método de Newton-Raphson
	3.9 Exercício Resolvido
	3.10 Resumo do Capítulo
	3.11 Atividades Propostas
	4
	CONSIDERAÇÕES FINAIS
	RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
	REFERÊNCIAS