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Cálculo Diferencial e Integral I –Notas de Aula - Profs. Claudete Cargnin, Thelma Vecchi, 
Angela Mognon e Michele Barros
CAPÍTULO 3
FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL
1. INTRODUÇÃO
Imaginemos que queiramos descobrir quanto gastamos com 
refrigerantes na cantina da universidade em um determinado período. 
Claramente percebemos que o valor gasto depende da quantidade de 
refrigerantes comprados, ou seja, o valor gasto é uma função do número de 
refrigerantes comprados. Se cada refrigerante custar R$ 2,50, a tabela 
seguinte nos dá o valor gasto em função do número comprado. Veja:
Tabela 1: valor gasto em função do número de refrigerantes comprados
Número refrigerantes 
comprados 1 2 3 4 5 20 ... x
valor gasto 2,50
5,0
0
7,5
0
10,0
0
12,5
0
50,0
0
...
.
2,5
0x
Observe que para descobrir o valor gasto sempre multiplicamos o 
número de refrigerantes comprados pelo valor de cada refrigerante. Quando 
escrevemos uma sentença matemática para representar essa relação, 
estamos determinando um “modelo matemático”. Em particular, nesse item 
trataremos dos modelos chamados de funções matemáticas. 
São várias as situações que usamos essa relação, porém, dificilmente 
nos damos conta que estamos determinando um modelo matemático, que 
estamos trabalhando com uma função. 
Pense: em que outras situações você precisa fazer o tipo 
de raciocínio usado no exemplo dado? Isso é sempre 
feito da mesma forma?
A palavra função geralmente é usada para exprimir a ideia de que um 
fato pode ser determinado, conhecido, a partir de outro (o valor gasto foi 
conhecido a partir do número de refrigerantes comprados, o tempo que 
você leva para chegar à universidade, a pé, depende da velocidade da 
caminhada, entre outros exemplos). O conceito de função nos permite 
descrever relações que existem em aplicações, como, por exemplo, 
relacionar a temperatura de uma compostagem com o número de dias em 
que ela começou a ser realizada.
2. DEFINIÇÃO E NOMENCLATURAS
1
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DEFINIÇÃO 1: Se uma variável y depende de uma variável x , de tal 
forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y , 
então dizemos que y é uma função de x.
DEFINIÇÃO 2: Uma função f é uma lei que faz corresponder, a cada 
elemento x de um conjunto A, exatamente um elemento chamado 
f (x ) em um conjunto B.
É comum indicarmos uma função da seguinte forma: 
 f : A→B
x⊢ y= f (x )
Quando escrito dessa maneira, estamos dizendo que x∈ A 
(domínio) e y∈ B (contradomínio). f (x ) representa a regra de 
associação (função) entre x e y .
DEFINIÇÃO 3: Uma função f : A→B , onde A e B são subconjuntos 
não vazios de , é chamada função real de uma variável real.
Em geral, consideramos funções em que os conjuntos A e B são 
conjuntos de números reais. O conjunto A é chamado domínio da função 
f , e denotado por D( f ) . O número f (x ) é o valor de f em x, é a 
imagem de x pela função f , e deve ser lido como “f de x”. O conjunto 
de todos os valores possíveis para f (x ) forma o conjunto imagem da 
função f, denotado por ℑ( f ) . O símbolo que representa um número 
arbitrário no domínio de uma função é chamado de variável 
independente, e o que representa um número qualquer no conjunto 
imagem (ou conjunto de variação de f ) é chamado de variável 
2
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dependente. O gráfico de uma função 
f : A→B é o conjunto G f ={( x , y )∨ x∈ Ae y∈ B }
Exemplo 1: Considere a área de um círculo: A=π r 2 . Como a área é 
calculada a partir do comprimento do raio, dizemos que a variável raio ( r
) é independente enquanto a área A é dependente, pois usa o valor do 
raio para ser calculada. Para esse exemplo, temos:
D( f ) .= +¿R¿ e 
+¿
ℑ ( f )=R¿ .
Gráfico de f :
Exemplo 2: O custo C de enviar uma carta pelo correio depende do seu 
peso w. O correio tem uma fórmula para calcular C em função de 
w. Aqui, w é a variável independente e C é a variável dependente.
Exemplo 3: Ao abrir uma torneira de água quente, a temperatura T da 
água depende do tempo decorrido desde a abertura. Esboce um gráfico de 
T como uma função do tempo t decorrido.
Solução:A temperatura da água no começo está próxima da temperatura 
ambiente, pois ela estava nos canos. Quando começa a sair a água quente 
da caixa d’água, T aumenta rapidamente, e na próxima fase fica constante 
até a caixa se esvaziar. A partir daí T decresce até a temperatura em que a 
água é fornecida. Graficamente, representamos essa análise assim: T
t
EXERCÍCIOS:
1. Os dados na tabela seguinte são de um experimento sobre a 
lactonização do ácido hidroxivalérico a 25 ℃ . É dada a concentração 
C (t) desse ácido (em mols por litro) após t minutos. Use esses 
dados para esboçar um gráfico aproximado da função concentração e o 
gráfico para estimar a concentração após 5 minutos.
t 0 2 4 6 8
C (t) 0,0800 0,0570 0,0408 0,0295 0,0210
3
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2. Use a equação y=x 2−6x+8 para responder as questões:
a) Para quais valores de x , y=0 ?
b) Para quais valores de x , y=−10 ?
c) Para quais valores de x , y≥ 0 ?
d) Terá y um valor mínimo? Um valor máximo? Se assim for, 
determine-os. 
3. Uma construtora deseja cercar um terreno de 1000 metros quadrados 
para sua sede, em três de seus lados, deixando o quarto lado para a 
construção. Seu objetivo como engenheiro supervisor é projetar isto, de 
forma a usar o mínimo de muro. Proceda, então, da seguinte forma:
a) Sejam x e y as dimensões do terreno e L o comprimento da 
cerca requerido para cercar aquelas dimensões. Como a área é de 
1000 metros quadrados, devemos ter xy=1000 . Ache uma fórmula 
para L em termos de x e y e então expresse L em termos 
só de x usando a equação da área.
b) Há restrições sobre os valores de x ? Explique.
c) Faça um gráfico de L por x em um intervalo razoável e use o 
gráfico para estimar o valor de x que resulte no menor valor para 
L .
d) Estime o menor valor de L .
4. Dada a função f ( x )=7x−3 , com D=R , obtenha:
a) f (2) b) f (6) c) f (0) d) 
f (−1) e) f (√2)
f) f ( 27 ) g) f (a+b)
5. Dada a função f ( x )=2x−3 , obtenha
a) f ( 2 ) b) f (−4 ) c) o valor de x tal que f ( x )=49
6. Dada a função f ( x )=x2−4x+10 , obtenha os valores de x cuja 
imagem seja 7.
7. Dada a função f ( x )=mx+3 , determine m sabendo que f (1 )=6
3. FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO.
Uma função pode ser representada de quatro maneiras, a saber:
• Verbalmente, descrevendo-a em palavras;
• Numericamente, por meio de tabelas;
• Visualmente, por meio de gráficos;
4
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• Algebricamente, utilizando-se uma fórmula explícita.
Exemplo: Seja dada a seguinte descrição em palavras de uma função: 
P (t) e a população brasileira no instante t . A tabela de valores da 
população brasileira (tabela 2) fornece uma representação conveniente 
dessa função. Ao plotarmos esses pontos, obtemos a representação 
apresentada na figura 1, que nos é bastante útil pela inferência que 
podemos fazer a respeito da população brasileira. Naturalmente, é 
impossível calcular uma fórmula exata para a população brasileira P (t) , 
porém é possível encontrar uma solução aproximadapara ela, que nos 
permite estimar populações em momentos em que não temos disponíveis 
dados do censo. A figura 2 representa a população brasileira para o período 
de 1900 a 2000, bem como o modelo matemático aproximado 
correspondente.
Tabela 2: população 
Brasileira
Ano População
1583 57000
1600 100000
1700 300000
1800 3660000
1872 9930478
1890 14333915
1900 17438434
1920 30635605
1940 41236315
1950 51944397
1960 70191370
1970 93139037
1980 119002706
1991 146825475
2000 166112500
Figura 2: modelo matemático aproximado para a população brasileira no 
período de 1900 a 2000.
Na tabela temos a população brasileira para diversos momentos, no 
entanto, se estivéssemos interessados em estimá-la para o ano de 1975, 
por exemplo, precisaríamos de algum modo, já que esse valor não consta na 
tabela. Com o uso do modelo matemático, podemos obter essa informação, 
bastando para isso considerar x=1975 e calcular o valor de 
y=2.10−12 .e0,023∗1975=¿ 106.870.253 pessoas.
5Figura 1: População 
Brasileira
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4. FUNÇÃO x RELAÇÃO
Observe que a definição de função compreende apenas as relações entre 
dois conjuntos de tal forma que a cada elemento de um conjunto 
corresponde um único elemento do outro conjunto. No entanto, são várias 
as situações em que um mesmo número está associado a mais de um 
elemento. Veja, como exemplo, a circunferência. Para facilitar o 
entendimento, tomemos a circunferência centrada em C(0,0) e raio 2. Cada 
número ¿x∈ ¿−2,2¿ tem duas imagens ( y correspondentes aos valores 
x ), dadas por y=√4−x2 e y=−√4−x2 . Logo, a equação de uma 
circunferência não representa uma função. No entanto, cada uma das 
equações das semi-circunferências representa uma função. 
Diante disso, percebemos que para verificarmos se numa determinada 
situação temos ou não uma função, precisamos verificar se os valores da 
variável independente (aqui geralmente denotado por x ) estão 
associados a um único valor da variável dependente (aqui geralmente 
chamado de y ). Isso é feito por meio do “teste da reta vertical”.
Teste da reta vertical: Uma curva no plano xy é o gráfico de uma 
função de x se e somente se nenhuma reta vertical corta a curva 
mais de uma vez.
Exemplo: Abaixo está representada a circunferência nomeada no item 4. 
Ao traçar retas verticais por todo o eixo x , percebemos que essas retas 
não “encontram” a circunferência ou a “encontram” em dois pontos, o que 
quer dizer que existem números reais que não tem correspondentes, ou tem 
dois correspondentes, para essa circunferência. Isso contradiz a definição de 
função. (Explique o por quê)
Pergunta: dos gráficos abaixo, qual (ais) não representam função 
real de variável real? Justifique sua resposta.
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a) b) 
c) d) 
 
5. DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
O domínio de uma função é o conjunto de números reais possíveis para a 
variável independente. A conta de água representa uma função matemática 
cujo domínio é o conjunto dos números naturais, pois o valor pago na fatura 
depende da quantidade de metros cúbicos de água consumidos, e nessa 
metragem é considerada apenas a quantidade inteira de metros cúbicos de 
água.
Quando uma determinada função é representada graficamente, 
podemos analisar o domínio da função por meio da projeção do gráfico 
7
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sobre o eixo x. Da mesma forma podemos dizer quem é o conjunto 
imagem projetando os pontos do gráfico sobre o eixo y.
Exemplo: Determinar os conjuntos domínio e imagem da função 
representada no gráfico seguinte:
Quando uma função é representada apenas pela sua lei de formação, 
sua expressão algébrica, o domínio da função é determinado por meio da 
análise das restrições da função. 
Observe os exemplos:
Determinar o domínio das seguintes funções:
a) f ( x )= 32− x
b) f ( x )=√2x−5
c) f ( x )=4√ x2−1
d) f ( x )=2x +√1− x+
4x
√2x+5
Solução:
a) Sabemos que uma divisão só pode ser efetuada quando o 
denominador da fração for um número não nulo, assim, para 
determinar o domínio dessa função, precisamos impor a condição de 
que o denominador seja diferente de zero e resolver a inequação 
escrita, isto é:
2−x ≠0 ⇒ x ≠ 2
Logo, D ( f )= {x ∈ R∨ x ≠2 }=R− {2 }
b) No universo dos números reais, só é possível calcular a raiz quadrada 
de números positivos ou do zero. Assim, nesse caso, a solução da 
inequação dada por radicando maior ou igual a zero, é o domínio 
da função. Isto é:
8
y
D ( f )=¿−∞ ,10¿¿
¿
−1,+∞¿
Imf =¿
3
-1 10 x
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2x−5≥ 0⇒ x ≥ 5
2
Logo, 
¿
5
2
,+∞¿
D ( f )={x∈ R∨x ≥ 52 }=¿
c) Da mesma forma que o item b) devemos resolver a inequação: 
radicando maior ou igual a zero. Isto é, 
x2−1≥ 0⇒ x≤−1ou x≥ 1
Logo, 
¿
1,+∞ ¿
D ( f )= {x ∈ R∨ x≤−1ou x≥ 1 }=¿−∞ ,−1¿¿∪ ¿
(Este procedimento é adotado sempre que tivermos que determinar o 
domínio de uma função escrita com uma raiz de índice par).
d) Aqui são apresentadas as situações tratadas nos itens a e b. Para 
cada “parte” da função f (x ) , devemos encontrar as restrições, ou 
seja, aqueles números que se substituídos no lugar do x resultam em 
uma divisão por zero ou numa raiz de índice par e radicando 
negativo. Ou seja,
f 1 ( x )=
2
x
⟹ x ≠0
(1)
f 2 ( x )=√1−x ⟹1− x≥ 0⟹ x ≤1
(2)
f 3 ( x )=
4x
√2x+5
⟹ 2x+5>0⟹ x>−5
2 (3)
O domínio da função é o conjunto de todos os números reais que satisfazem 
as condições de f 1 ( x ) , f 2 ( x ) e f 3 ( x ) , simultaneamente, isto 
é, resta ainda determinar a interseção das restrições em 
(1), (2) e (3).
9
0
1
−5
2
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Logo, 
D ( f )={x∈ R∨x ≥− 52 e x≤ 1e x ≠0}=¿−52 ,0[∪ ]0,1¿¿
EXERCÍCIO:
8. Determine o domínio das seguintes funções:
a) f ( x )=x3
b) g ( x )= 1
( x−1 ) ( x−3 )
c) f ( x )=√ x2−5x+6
d) f ( x )= x
2−4
x−2
e) y=2+√ x−1
6. CARACTERÍSTICAS DE UMA FUNÇÃO
Definição 3 (função injetora): Uma função f : A→B é dita injetora 
quando, para quaisquer x1 , x2 ∈ A , com x1≠ x2 tem-se f ( x1 )≠ f ( x2 ) . 
Em outras palavras, diz-se que f : A→B é injetora se f ( x1 )= f (x2 ) , com 
x1 , x2 ∈ A , então x1≠ x2 .
Exemplo 1: a função f ( x )=x2 com D ( f )=R não é injetora, pois para 
x1=−2e x2=2 , ou seja x1≠ x2 , encontramos f ( x1 )=4= f (x2 ) , o 
que contraria a definição.
Exemplo 2: a função f ( x )=x com D ( f )=R é injetora pois 
∀ x1 , x2 ∈ A , com x1≠ x2 tem-se f ( x1 )≠ f ( x2 ) .
Definição 4 (função sobrejetora): Uma função f : A→B é dita 
sobrejetora quando, ∀ y∈ B , existe x∈ A tal que f ( x )= y . Em outras 
palavras, Imf =B .
10
Intersecção
10−5
2
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Exemplo 3: a função 
+¿
+¿→R¿
f :R¿
 com f ( x )=x2 é sobrejetora pois 
+¿ .
Imf =R¿
 
Exemplo 4: Uma função f : A→B , com A= {1,2,3 } e B={3,4 ,5,6 } , e 
f ( x )=x+2 não é sobrejetora pois, 
f (1 )=1+2=3∈ B
f ( 2 )=2+2=4 ∈ B
f (3 )=3+2=5∈ B
Isto é, Imf ={3,4 ,5 }≠ B
Definição 5 (função bijetora): Uma funçãof : A→B é uma função 
bijetora quando é injetora e sobrejetora.
Exemplo 5: a função 
+¿
+¿→R¿
f :R¿
 com f ( x )=x2 é bijetora. Verifique!!
Definição 6 (função inversa): Seja f : A→B uma função bijetora. 
Sendo sobrejetora, tem-se que Imf =B , o que significa dizer que 
∀ y∈ B existe pelo menos um x∈ A tal que f ( x )= y , e esse x é 
único, porque f é injetora. Podemos então definir uma função 
f −1:B→ A que associa a cada y∈ B o único x∈ A tal que f ( x )= y
.
Exemplo: Seja f :R→Rcom f ( x)=2x+1 . Esta função associa a cada 
número real o número 2x+1 . A função inversa associa o número 2x+1 
ao número x . A função inversa é dada por: f −1 ( x )= x−12
Graficamente, as funções f ( x ) e f −1 ( x ) são simétricas em relação à 
bissetriz dos quadrantes ímpares. Observe o gráfico a seguir:
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Definição 7 (função crescente): Uma função f é chamada de 
crescente em um intervalo I se f ( x1 )< f ( x2 ) sempre que x1<x2 em 
I.
Definição 8 (função decrescente): Uma função f é chamada de 
decrescente em um intervalo I se f ( x1 )> f ( x2 ) sempre que x1<x2 
em I.
Observe parte do gráfico da função f ( x )=13 x
3−5
2
x2+6x+1
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O gráfico nos permite ver que essa função é crescente para valores menores 
que 2 ou maiores que 3, e decrescente para valores entre 2 e 3. 
Normalmente escrevemos:
A função é crescente em 
¿
3,+∞ ¿
¿−∞ ,2¿¿∪ ¿
 e
A função é decrescente em [2,3 ]
No ponto de abscissa 2 temos um ponto de máximo relativo da função; no 
ponto de abscissa 3 temos um ponto de mínimo relativo da função.
7. SIMETRIAS
Definição 9 (função par): se uma função f satisfizer f (−x )= f (x) 
para todo x em seu domínio, então f é chamada função par.
Exemplo: Seja f ( x )=x2 . Esta é uma função par, pois:
 ∀ x∈ R , temos: f (−x )=(−x )2=x 2= f (x ) .
Observe a simetria, em relação ao eixo y , no gráfico dessa função.
Definição 10 (função ímpar): se uma função f satisfizer 
f (−x )=− f ( x) para todo x em seu domínio, então f é chamada 
função ímpar.
Exemplo: Seja f ( x )=x3 . Esta é uma função ímpar, pois:
 ∀ x∈ R , temos: f (−x )=(−x )3=−x3=− f (x )
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Pesquise outras funções pares/ímpares... e discuta com seus 
colegas: 
a) Em que nos ajuda saber que uma função é par ou ímpar?
b) Como posso reconhecer se uma função é par ou ímpar 
apenas olhando o gráfico?
EXERCÍCIOS: 
9. Determine se as funções seguintes são par, ímpar, ou nenhuma desses 
dois.
a) f ( x )=x5+5 b) g ( x )=1−x4 c) h ( x )=2x−x2
10.Determine a função inversa das seguintes funções:
a) f ( x )=2x−3
b) g ( x )= x2 para x ≥0 .
_____________________________________________________________________________
8. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Da mesma forma que os números podem ser adicionados, subtraídos, 
multiplicados e divididos, produzindo outros números, estas mesmas 
operações podem ser realizadas com as funções, produzindo outras 
funções.
Duas funções f e g podem ser adicionadas, subtraídas, 
multiplicadas e divididas de forma natural para formar novas funções 
f +g , f−g , f ∙ g e fg .
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DEFINIÇÃO: Dadas as funções f e g definimos:
• ( f +g ) ( x )= f ( x )+g ( x )
• ( f −g ) ( x )= f ( x )−g ( x )
• ( f ∙ g ) ( x )= f ( x ) ∙ g ( x )
• ( fg )( x )= f ( x)g (x )
Para as funções f +g , f−g e fg , definimos o domínio como sendo a 
intersecção dos domínios de f e g , e para a função fg , definimos o 
domínio como sendo a intersecção dos domínios de f e g , mas com os 
pontos onde g ( x )=0 excluídos, para evitar a divisão por zero.
Exemplo:
Sejam as funções: f ( x )=x2 e g ( x )= x+1 :
Temos:
( f +g ) ( x )= f ( x )+g ( x )= x2 + x+1
( f −g ) ( x )= f ( x )−g ( x )= x2−¿ x−1
( fg ) ( x )= f ( x ) , g ( x )= (x2 ) ∙ ( x+1 )=x3+x2 
( fg )( x )= f ( x)g (x )= x
2
x+1
 
Aqui temos: 
D ( f )=D (g )=D ( f +g )=D ( f −g )=D ( fg )=R e D( fg )=R− {1 }
8.1COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
DEFINIÇÃO: Dadas as funções f e g , a composição de f e g , denotada 
por f ∘ g , é a função definida por ( f ∘ g ) ( x )= f ( g ( x ) )
O domínio de f ∘ g é, por definição, formado por todos os x no 
domínio de g para o qual g ( x) está no domínio de f
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Exemplo 1: Se f ( x )=x2+3 e g ( x )=√x , então:
• ( f ∘ g ) ( x )= f ( g ( x ) )= f (√ x )=(√x )2+3=x+3 . 
o Como 
¿
0,+∞ ¿
D (g )=¿
 e ¿D ( f )=¿−∞ ,+∞¿ , então o D ( f ∘ g ) 
consiste de todo 
¿
0,+∞ ¿
x∈ ¿
 tais que g ( x )=√x está em 
¿
¿−∞ ,+∞¿ ; assim, 
¿
0,+∞ ¿
D ( f ∘ g )=¿
 . Logo, 
( f ∘ g ) ( x )=x+3 com x ≥0 .
• (g ∘ f ) ( x )=g ( f ( x ) )=g ( x2+3 )=√x2+3 .
o ¿Como ( f )=¿−∞ ,+∞¿ , 
¿
0,+∞ ¿
D (g )=¿
, então o D ( g ∘ f ) consiste 
de todo ¿x∈ ¿−∞ ,+∞ ¿ , tais que f ( x )=x
2+3 está em 
¿
0,+∞ ¿
¿
. Assim, ¿D (g ∘ f )=¿−∞ ,+∞¿ . Logo, 
(g ∘ f ) ( x )=√ x2+3
Exemplo 2: Muitos problemas em matemática são abordados pela 
decomposição de funções em uma composição de uma ou mais funções 
mais simples. Por exemplo, considere a função h ( x )=( x+1 )2 . Para calcular 
h ( x ) para um dado valor, primeiro temos de fazer x+1 e depois 
fazemos o quadrado do resultado, não é isso? Essas duas operações são 
executadas pelas funções: f ( x )=x+1 e g ( x )= x2 . Podemos expressar 
h ( x ) em função de f e g fazendo: 
h ( x )=( x+1 )2=( f ( x ) )2=g ( f ( x ) )=(g ∘ f ) ( x )
Expresse h ( x )=( x−4 )5 como a composição de duas funções.
Confira o resultado com seus colegas.... Na dúvida... consulte a 
professora!
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EXERCÍCIOS:
11.Sejam f ( x )=x3+5 , g ( x )= x2−2 e h ( x )=2x+4 . Determine a 
expressão de cada função:
a) f +g
b) f −g
c) fg
d) fg
e) f −gh
f) fgh
12.Expresse f como uma composição de duas funções (ou seja, 
determine g e tal que f =g ∘ h )
a) f ( x )=( x−2 )2
b) f ( x )=√3x−5
c) f ( x )=sen(3x)
_____________________________________________________________________________
Respostas dos Exercícios: (Seção Função real de variável real)
1) 0,035 mol/litro
2) a) 2,4 b)nenhum c) x ≤ 2 ;4≤ x d) ymin=−1 , nenhum 
máximo.
3) a) L=x+ 2000x b) x>0; x deve ser menor que a largura do prédio, 
que não foi dada; d) 89,44
4). a) 11 b) -39 c) -3 d) -10 e) 7√2−3 f) -1 g) 7a 
+ 7b – 3
5) a) -1 b) -11 c) 26
6) 1 e 3
7) m = 3
17
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8. A) b) {x∈ R∨x ≠1e x ≠3 } c) 
¿
3,+∞ ¿
¿−∞ ,2¿¿∪ ¿
d) R− {2 } e) 
¿
1,+∞ ¿
¿
9) a) Impar, b) Par c) nenhuma
10) a) f −1 ( x )= x+32 b) g
−1 ( x )=√ x
11. A) x3+x2+3 b) x3− x2+7 c) x5−2 x3+5 x2−10 d) 
x3+5
x2−2
e) x
3−x2+7
2x+4
f) x
5−2 x3+5 x2−10
2x+4
12. a) h ( x )=x−2 e g ( x )= x2 b) h ( x )=3x−5e g ( x )=√ x 
 c) h ( x )=3xe g ( x )=senx
18
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9. TIPOS DE FUNÇÃO
A relação entre duas grandezas, representada por uma função, pode 
se apresentar de diferentes formas. De acordo com o padrão estabelecido 
nas relações, é feito um agrupamento, em que as características 
semelhantes nomeiam o grupo. Dessa forma, temos uma subdivisão no 
tema “função”, dadas pelas similaridades das relações em estudo. Alguns 
tipos de função são: funções polinomiais, racionais, transcendentais 
(exponencial e logarítmica), trigonométricas, entre outras. A seguir, serão 
trabalhados alguns tipos de função.
IMPORTANTE: As funções são usadas, na prática, como modelos 
matemáticos que auxiliam na estimativa de valores de interesse, como por 
exemplo, o tempo necessário para se realizar uma compostagem, a 
resistência de um determinado material, enfim... A partir do conceito de 
função, outras medidas, com fins interpretativos, são calculadas. Mas isso 
será visto mais adiante... Por ora, estabeleça conexões entre os tipos de 
função apresentados e suas respectivas representações algébrica, gráfica e 
numérica. 
9.1Função Polinomial
Definição: Uma função polinomial de grau n é uma função da forma 
f ( x )=a0 x
n+a1 x
n−1+…+an−1 x
1+an com a0≠0 , onde a0 , a1 ,… an−1 , an 
são constantes e n é um número inteiro não negativo. 
Exemplo: as seguintes são funções polinomiais:
a) a função f ( x )=2x−3 é um função polinomial de 1º grau.
b) A função f ( x )=x2−1 é um função polinomial de 2º grau.
c) A função f ( x )=x5−2 x3+5 x2−3x+1 é um função polinomial de grau 
5.
Os gráficos das funções citadas são:
19
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f ( x )=2x−3 f ( x )=x2−1
f ( x )=x5−2 x3+5 x2−3x+1
Use o software geogebra para testar outras funções 
polinomiais, criadas por você, e descobrir se existe 
algum padrão para as funções chamadas de 
polinomiais. Escreva suas conclusões e discuta com 
seus colegas de classe.
Vamos relembrar alguns tipos de funções polinomiais já estudados no 
ensino médio:
9.1.1 Função constante
Definição: a função f :R→R que a todo x∈ R associa sempre 
o mesmo número real k é denominada função constante. Em 
outras palavras, função constante é toda função na forma 
f ( x )=k ,∀ x ∈ R .
Para a função constante, sempre temos: D ( f )=R , Imf =k , e o 
gráfico é sempre uma reta paralela ao eixo x , passando por 
y=k .
Exemplo: Seja f ( x )=2 :
20
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9.1.2 Função linear ou de 1º grau:
Definição: É toda função polinomial da forma f ( x )=ax+b , com 
a ≠0 . 
Nas funções lineares, temos: D ( f )=R , Imf =R e o gráfico é 
sempre uma reta. O coeficiente a é chamado coeficiente angular 
da reta, e é a inclinação da reta, b é o intercepto y .
Exemplo: Observe a função f ( x )=2x+1 .
Analise o gráfico acima e responda:
a) Qual a variação da função (quanto varia o valor de y ) para 
cada unidade de variação da variável independente (para cada 
variação de 1 unidade em x )?
b) Qual a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo 
vertical? 
c) Qual a abscissa do ponto de intersecção da reta com o eixo 
horizontal?
d) Associe os resultados dos itens a) e b) aos coeficientes da função. 
O que você percebeu?
e) Teste sua conjectura do item d) com outros valores para os 
coeficientes da função. 
f) O que você pode dizer em relação ao crescimento da função 
linear?
Exercício:
21
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Agora, tome a função f ( x )=−2x+1 .
a) Esboce o gráfico da função.
b) Qual a variação da função (quanto varia o valor de y ) para cada 
unidade de variação da variável independente (para cada variação de 
1 unidade em x )?
c) Qual a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo vertical?
d) Associe os resultados dos itens a) e b) aos coeficientes da função. O 
que você percebeu?
e) O que você pode dizer em relação ao crescimento da função?
É possível fazer alguma conjectura, com base nesses dois exemplos, acerca 
do crescimento e dos coeficientes da função linear? Se sim, escreva qual (ou 
quais).
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Teste sua conjectura com outras funções....
Uma característica peculiar das funções lineares é que elas crescem a 
uma taxa constante. Você deve ter percebido isso quando analisou a 
variação da função para cada unidade de variação de x . Agora, vejamos 
alguns exemplos de utilização dessas ideias...
Exemplo 1: 
a) À medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e se 
esfria. Se a temperatura do solo for de 20 ℃ e a temperatura a 
uma altura de 1km for de 10℃ , expresse a temperatura (em ) 
como uma função da altura (em km ), supondo que um modelo 
linear seja apropriado.
b) Faça um gráfico da função da parte a). O que representa a inclinação?
c) Qual a temperatura a 2,5 km de altura?
Solução:
a) sejam T a temperatura do ar seco e a altura. Como se supõe que 
o modelo linear seja apropriado, podemos escrever T=ah+b , com 
a , b∈ R ,a≠0 . O problema nos fornece os seguintes dados:
• Se a temperatura do solo for de 20 ℃ , isto é, para 
h=0,T=20 ou T (0 )=20
• a temperatura a uma altura de 1km for de 10℃ , isto é, 
para h=1,T=10 ou T (1 )=10
Agora basta encontrar os valores de a e b , usando os dados fornecidos 
e o modelo adotado, por meio da resolução do sistema linear:
{20=a.0+b10=a.1+b
22
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A solução do sistema é a=−10 e b=20 . Logo o modelo linear que 
associa altura e temperatura é T=−10h+20 .
a)
A inclinação a=−10℃ /km representa a taxa de variação da 
temperatura em relação à altura. Ou seja, a cada quilômetro de altura, a 
temperatura diminui 10℃ .
b) T (2,5 )=−10∗2,5+20=−5℃
Exemplo 2: A tabela seguinte fornece uma lista de níveis médios de dióxido 
de carbono na atmosfera medidos em partes por milhão no Observatório de 
Mauna Loa, de 1972 a 1990. Use os dados da tabela para encontrar um 
modelo para o nível de dióxido de carbono.
Ano 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990
Nível
De 
CO2
(ppm)
327,
3
330,
0
332,
0
335,
3
338,
5
341,
0
344,
3
347,
0
351,
3
354,
0
Solução:
Inicialmente, devemos plotar os dados num diagrama de dispersão.
Observe que os pontos parecem alinhados, o que nos sugere que o 
modelo linear é adequado para representar o nível de CO2 . A questão 
agora é: como calcular esse modelo?
Podemos escolher dois pontos aleatórios e calcular a equação da reta 
que passa por esses dois pontos. Lembre que estamos usando um modelo 
linear. Experimentemos usando os pontos (1974, 330) e (1986,347) .
Assim, sejam A o ano e N o nível de CO 2 . Então: N=aA+b 
• A inclinação da reta que passa pelos pontos (1974, 330) e 
(1986,347) . é dada por: a= 347−3301986−1974=
17
12
≅1,42
23
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• Fazendo A=1974 , N=330 e a=1,42 , encontramos 
b=2473,08 .
Logo, N=1,42 A−2473,08 .
Esse é um bom modelo? Se testarmos com outros dados da 
tabela veremos o quanto ele é, ou não, bom. Se os resultadosforem 
bastante próximos dos tabelados, é um bom modelo.
Na realidade, o melhor método para aproximar um modelo é o 
“método dos mínimos quadrados”, que você vai aprender quando fizer a 
disciplina de estatística. Usando a regressão linear, para os dados do 
exemplo 2, a melhor reta e modelo são os apresentados no gráfico seguinte. 
Teste!!!!!
Você também pode encontrar o modelo matemático usando o comando 
“regressão polinomial” no software geogebra... TENTE!
9.1.3 Função Quadrática ou de 2º grau
Definição: É toda função polinomial da forma f ( x )=a x2+bx+c , 
com a ≠0 .
Usando o software geogebra, atribua valores para os 
coeficientes a ,b e c , observe os gráficos 
apresentados e estabeleça conexões entre os 
coeficientes e a representação gráfica mostrada.Escreva 
suas conclusões. 
Nas funções quadráticas, temos: D ( f )=R , e o gráfico é sempre 
uma parábola, cuja concavidade pode ser voltada para cima (quando 
a>0 ) ou para baixo (quando a<0 ). Pelo formato da parábola, 
percebemos que toda função quadrática tem um ponto de máximo (quando 
a<0 ) ou de mínimo (quando a>0 ).
24
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Para esboçar o gráfico de uma função quadrática normalmente 
usamos o ponto de máximo ou mínimo da função (chamado de vértice da 
parábola), que é dado por V (xV , yV ) onde xV=
−b
2a e yV=
−∆
4a , com 
∆=b2−4ac , além de outros, que podem ser, quando existirem, os zeros 
da função, dados pela solução da equação a x 2+bx+c=0 . (lembra que 
toda equação de 2º grau é resolvida pela fórmula de Bhaskara? 
x=−b± √b
2−4ac
2a
 )
Você lembra como chegar a x=−b± √b
2−4ac
2 a
 a partir 
da equação a x 2+bx+c=0 . Se sim, apresente! 
Se não, pesquise! Vai valer a pena...
Exemplo: Esboçar o gráfico da função. f ( x )=3 x2−2x+1
1) Iniciemos verificando se a função tem zeros (ou seja, x tais que 
f ( x )=0 ):
• ∆=b2−4ac=(−2 )2−4.3.1=4−12=−8
∆=b2−4ac=(−2 )2−4.3.1=4−12=−8
Como ∆<0 , a função não tem zeros reais, ou seja, a parábola não 
intercepta o eixo x . No entanto, a parábola existe e pode ser 
esboçada. 
2) Vamos encontrar o vértice da parábola:
xV=
−b
2a
=2
6
=1
3 e yV=
−∆
4a
=−−8
12
= 8
12
=4
3 ⟹V ( 13 , 43 )
25
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3) Precisamos de mais pontos para o esboço do gráfico. Como a 
parábola é simétrica em relação à reta xV=
1
3 , usamos alguns pontos 
maiores e outros menores que o 13 Montamos então a tabela:
X -1 0 13 1 2
y 6 1 43 2 9
O gráfico é dado a seguir: 
Na sua opinião, existe outra maneira de fazer essa 
representação gráfica? Se sim, qual/quais? Estabeleça 
vantagens e desvantagens para os métodos 
apresentados (o que foi dado aqui e o seu método), 
argumentando sobre seus pontos de vista!
Exercício:
Faça o gráfico das funções f ( x )=x2−5x+6 ; g ( x )=−2 x2+3x+1 ; 
h ( x )=( x−2 )2 e responda:
a) Como é possível saber se a função tem um, dois ou nenhum zero? 
Que cálculo nos dá essa informação?
26
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b) Quais as possibilidades para o gráfico de uma função quadrática? 
Enumere-as, apresentando as condições algébricas para tais 
representações.
9.1.4 Outras funções polinomiais: o gráfico de outras funções 
polinomiais (de grau maior que 2) será esboçado com a ajuda das 
derivadas, logo mais...
 
Função Racional
Definição: Uma função racional f (x ) é uma função dada pelo 
quociente entre dois polinômios p ( x ) e q (x ) . Isto é f ( x )= P (x )Q(x ) .
Exemplo: A função f ( x )= x−1x−2 é uma função racional. Seu gráfico é :
27
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Também deixaremos para voltar ao estudo dessas funções, 
especialmente o esboço de gráficos, após estudarmos “limites”, pois as 
assíntotas horizontais e verticais, que nos ajudam a esboçar esses gráficos, 
são estabelecidas a partir da noção de limites...
9.2 Função Potência :
Definição: São as funções da forma f ( x )=x K , onde K é uma 
constante.
EXERCÍCIO:
1) Considere K um número natural ímpar. Atribua pelo menos três 
valores a K , e esboce, para cada valor de K atribuído, o 
gráfico da função f ( x )=x K . É possível perceber alguma 
semelhança entre esses gráficos? Comente.
28
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2) Considere K um número natural par. Atribua pelo menos três 
valores a K , e esboce, para cada valor de K atribuído, o gráfico 
da função f ( x )=x K . É possível perceber alguma semelhança entre 
esses gráficos? Comente.
3) Considere K=1n onde n é um número natural par. Atribua pelo 
menos três valores a n , e esboce, para cada valor de n 
atribuído, o gráfico da função f ( x )=x K . É possível perceber alguma 
semelhança entre esses gráficos? Comente.
4) Considere K=1n onde n é um número natural ímpar. Atribua 
pelo menos três valores a n , e esboce, para cada valor de n 
atribuído, o gráfico da função f ( x )=x K . É possível perceber alguma 
semelhança entre esses gráficos? Comente.
5) Analise os resultados obtidos nos procedimentos de 1 a 4 e escreva 
suas conclusões.
9.3 Funções Algébricas
Uma função f é chamada de função algébrica se puder ser 
construída usando operações algébricas, (tais como adição, subtração, 
multiplicação, divisão e extração de raízes) começando por polinômios.
Exemplos: as funções f ( x )=√ x2+1 e g ( x )=
2x−3
3√ x2−1 são funções 
algébricas.
29
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Gráfico da função f ( x )=√ x2+1
Gráfico da função g ( x )=
2x−3
3√ x2−1
9.4 Funções Transcendentais
30
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São as funções não algébricas. O conjunto das funções 
transcendentais incluem as funções trigonométricas, trigonométricas 
inversas, exponencial e logarítmica, mas também inclui outras funções que 
não tem um nome específico. Relembraremos algumas dessas funções 
transcendentais:
9.4.1 Funções exponenciais:
Definição: são as funções da forma f ( x )=ax , com a>0e a≠1 , e 
x∈ R .
Para esse tipo de função teremos:
D ( f )=R e +¿
¿
Imf =R¿
As funções exponenciais são crescentes sempre que a base a for 
maior que 1, e decrescentes se 0<a<1 .
Exemplo: f ( x )=2x .
O esboço do gráfico é feito a partir de uma tabela de valores, onde se 
atribui a x valores positivos e negativos. O gráfico dessa função é: 
31
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Exercício: 
a) Esboce o gráfico das funções f ( x )=( 12 )
x
, g ( x )=( 12 )
x+1
 e 
h ( x )=( 12 )
x
+1 no mesmo plano cartesiano. 
b) Determine o conjunto imagem de cada uma das funções do item a).
c) Compare os resultados obtidos nos itens a) e b) e comente as 
diferenças.
APLICAÇÃO:
Modelo de Crescimento exponencial: Sempre que existir uma grandeza 
com valor inicial y0 e que cresça a uma taxa igual a k por unidade detempo, então, após um tempo x , medido na mesma unidade de k , o 
valor dessa grandeza y será dado por: y= y0 (1+k )
x . Quando k >0 o 
crescimento é positivo e quando k <0 o crescimento é negativo (tem um 
decrescimento).
32
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Reconhecemos que um conjunto de dados tem crescimento 
exponencial se ao dividirmos o valor da variável dependente y i pelo valor 
da variável independente imediatamente anterior, y i−1 , obtemos uma 
razão constante. Essa constante é o valor de k no modelo de crescimento 
exponencial.
Na área ambiental há modelos logísticos de crescimento populacional que 
usam a exponenciação. Pesquise!!!
9.4.2 Função logarítmica
Definição: são as funções da forma f ( x )=loga x , com 
a>0e a≠1 , e +¿
¿
x∈ R¿
Para esse tipo de função teremos:
+¿¿
D ( f )=R¿
 e Imf =R
As funções logarítmicas são crescentes sempre que a base a for 
maior que 1, e decrescentes se 0<a<1 .
Exemplo: f ( x )=log2 x
O esboço do gráfico é feito a partir de uma tabela de valores, onde se 
atribui a x valores positivos. O gráfico dessa função é: 
33
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Exercício: 
a) Esboce o gráfico das funções f ( x )=log 1
2
x , g ( x )= log 1
2
( x+1 ) e 
h ( x )=1+ log 1
2
x no mesmo plano cartesiano. 
b) Determine o domínio de cada uma das funções do item a).
c) Compare os resultados obtidos nos itens a) e b) e comente as 
diferenças.
Observação: As funções exponencial e logarítmica são funções inversas, ou 
seja, considerando uma mesma base, se plotarmos os gráficos dessas duas 
funções no mesmo plano cartesiano, eles serão simétricos em relação à 
bissetriz dos quadrantes ímpares.
34
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Gráficos das funções f ( x )=2x e f ( x )=log2 x
Funções trigonométricas
Dizemos que uma função f :R→R é periódica se, para qualquer 
x∈ R , tivermos f ( x+ p )= f (x ) , com p∈ R . O menor valor 
positivo de p de modo que se tenha f ( x+ p )= f (x ) com 
p∈ R , é chamado de período da função f .
Para maiores informações, consulte o livro Curso de Matemática, de Bianchini e Paccola, editora Moderna
Aqui, os ângulos serão usados 
sempre em radianos. (Lembre que 
180 °=πrad ). Todas as funções 
trigonométricas são periódicas.
As principais funções trigonométricas são:
35
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Função seno: é a função que associa a cada x real o valor de seno de 
x . Em símbolos, f :R→R tal que f ( x )=senx .
Para essa função: D ( f )=R , Imf =[−1,1 ] , período: 2π rad
Função Cosseno: é a função que associa a cada x real o valor de 
cosseno de x . Em símbolos, f :R→R tal que f ( x )=cosx .
Para essa função: D ( f )=R , Imf =[−1,1 ] , período: 2π rad
Função tangente: é a função que associa a cada x real o valor da 
tangente de x . Em símbolos, f :R1→R tal que f ( x )=tgx , em que
R1={x∈ R∨ x ≠ π2 +kπ , com k ∈ Z }
Função secante: é a função que associa a cada x real o valor da 
secante de x .
36
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D ( f )={x∈ R∨x ≠ π2 +kπ , comk ∈ Z }
Função cossecante: é a função que associa a cada x real o valor da 
cossecante de x .
D ( f )= {x ∈ R∨ x ≠ kπ , com k ∈ Z }
Função cotangente: é a função que associa a cada x real o valor da 
cotangente de x . 
D ( f )= {x ∈ R∨ x ≠ kπ , com k ∈ Z }
Para esboçar o gráfico de uma função trigonométrica, montamos uma 
tabela com os valores dos arcos limites de cada quadrante. Veja:
Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função f ( x )=sen ( x+π ) .
Arco (rad) = x+π x f ( x )=sen ( x+π ) .
0 −π sen0=0
π
2
−π
2
sen π
2
=1
π 0 senπ=0
3π
2
π
2
sen 3π
2
=−1
2π π sen2π=0
37
π
2
−π
2
π−π
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D ( f )=R , Imf =[−1,1 ] , período: 2π rad
Obs.: os valores de x são obtidos resolvendo a equação 
expressãodoarco=valor dado.
Exemplo: para arco=0 , temos: x+π=0 ⇒ x=−π . E assim 
sucessivamente...
Exemplo 2: f ( x )=cosx
D ( f )=R
38
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Imf =[−1,1 ]
período: 2π rad
Exemplo 3: f ( x )=tgx
D ( f )={x∈ R∨x ≠ π2 +kπ , com k ∈ Z }
Imf =R
Período = π rad
EXERCÍCIO:
a) Faça o gráfico das funções: f ( x )=sec ⁡( x) ; g ( x )=cos sec ⁡(x ) ; 
h ( x )=cotg ⁡( x) .
b) Determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções.
39
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Considere a função genérica: y=a+bsen ( kx+π ) .
Atribua valores para as constantes a ,b e k e observe as 
modificações no gráfico.
Qual o papel de cada coeficiente?
Escreva suas conclusões e discuta com seus colegas... 
9.4.3 Funções Trigonométricas inversas
9.4.3.1 Função arco seno:
A função seno não é bijetora, porém, ao restringir o domínio da função seno 
para o intervalo [−π2 , π2 ] ela se torna bijetora. Essa restrição é chamada 
de restrição principal e é a seguinte:
sen :[−π2 , π2 ]→ [−1,1 ]
Portanto, com essa restrição, a função seno admite inversa, que é a função: 
arcsen : [−1,1 ]→[−π2 , π2 ] de modo que x=arcseny⟺ y=senx
Gráfico:
40
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Nas calculadoras científicas essa função aparece como sen−1 x .
9.4.3.2 Função arco cosseno:
A restrição principal do cosseno é a função: 
cos: [0,π ]→ [−1,1 ]
que é bijetora. Logo, a função cosseno admite inversa, que é a função:
arccos : [−1,1 ]→ [0,π ] de modo que x=arccosy⟺ y=cosx
41
−π
2
π
2
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9.4.3.3 Função arco tangente:
A restrição principal da tangente é a função: 
→R
tg :¿−π
2
, π
2
¿
que é bijetora. Logo, a função tangente admite inversa, que é a função:
¿
arctg :R→¿−π
2
, π
2
¿ de modo que x=arctgy⟺ y=tgx
42
π
π
2
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EXERCÍCIO: Use a ideia de função inversa e esboce o gráfico das funções 
f ( x )=arcsecx , g ( x )=arccossecx e h ( x )=arccotgx .
9.4.4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
Certas combinações das funções exponenciais e x e e− x surgem 
frequentemente em matemática e recebem nomes especiais. Elas são 
análogas de muitas formas às funções trigonométricas, e tem a mesma 
relação com a hipérbole que as funções trigonométricas têm com o círculo. 
Por essa razão são chamadas de funções hiperbólicas, particularmente, 
seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e assim por diante.
Definições de Funções Hiperbólicas:
senhx= e
x−e−x
2
coshx= e
x+e−x
2
tgh x= senhx
coshx
cossech x= 1
senh x
sech x= 1
cosh x
cotgh x= coshx
senhx
Os gráficos das funções hiperbólicas são: 
43
Cálculo Diferencial e Integral I –Notas de Aula - Profs. Claudete Cargnin, Thelma Vecchi, 
Angela Mognon e Michele Barrosf ( x )=senhx 
f ( x )=coshx
44
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f ( x )=tghx
45
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Angela Mognon e Michele Barros
LISTA DE EXERCÍCIOS N. 2 - Funções
1. Determine o domínio das seguintes funções reais de variável real:
a) f ( x )=x2+2 x−1
b) f ( x )= 2 x5−3 x
c) g ( x )=√x−2
d) h ( x )= 4 x−3
√3 x+5
e) m ( x )=1x−√ x
2−4
2. Para cada uma das funções seguintes, determine se ela é par, ímpar, ou 
nenhum destes dois:
a) f ( x )=x5+5 b) g (m )=1−m4 c) h ( x )=2 x− x2
3. Qual o significado geométrico de uma função ser par ou ser ímpar?
4. O gráfico de uma função não-nula pode ser simétrico em relação ao eixo 
x? Justifique.
5. A figura seguinte mostra uma parte do gráfico de uma função f. 
Complete o gráfico supondo que:
a) f é uma função par b) f é uma função 
ímpar
 y
 0 x
46
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6. (ITA, 2009) Seja 
¿
f :R❑
→
R {0¿¿ uma função satisfazendo às condições: 
f ( x+ y )= f ( x ) . f ( y) , para todo x , y∈ R e f (x )≠1 , para todo 
¿
x∈ R{0¿¿ . Das afirmações:
I. f pode ser ímpar.
II. f ( 0 )=1
III. f é injetiva.
IV. f não é sobrejetiva, pois f ( x )>0 para todo x∈ R .
é (são) falsa (s) apenas
a) I e III b) II e III c) I e IV d) IV e) I
7. Determine as fórmulas para f +g , f−g , f .g , fg . f ∘ g , g ∘ f e 
estabeleça os domínios das funções dadas:
a) f ( x )=2 x+1 e g ( x )= x2−x
b) f ( x )=2−x2 e g ( x )= x3
c) f ( x )=x2 e g ( x )=√1− x
d) f ( x )= x+11−x e g ( x )=
x
1− x
8. Expresse f como uma composição de duas funções (ou seja, 
determine g e tal que f =g ∘ h )
d) f ( x )=( x−2 )2
e) f ( x )=√3 x−5
f) f ( x )=sen(3x )
9. Determine a função inversa das seguintes funções:
c) f ( x )=2 x−3
d) g ( x )= x2 para x ≥0 .
10.Dada a função f ( x )=7 x−3 , com D=R , obtenha:
b) f (2) b) f (6) c) f (0) d) 
f (−1) e) f (√2)
47
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f) f ( 27 ) g) f (a+b)
11.Dada a função f ( x )=2 x−3 , obtenha
b) f ( 2 ) b) f (−4 ) c) o valor de x tal que f ( x )=49
12.Dada a função f ( x )=x2−4x+10 , obtenha os valores de x cuja 
imagem seja 7.
13.Dada a função f ( x )=mx+3 , determine m sabendo que f (1 )=6
14.Dê três exemplos de funções cotidianas que possam ser descritas 
verbalmente. O que você pode dizer sobre o domínio e a variação de 
cada uma das funções? Se possível, esboce um gráfico de cada uma das 
funções.
15.Ponha cubos de gelo em um copo, preencha-o com água gelada e deixe-
o sobre uma mesa. Descreva como irá variar no tempo a temperatura da 
água. Esboce então um gráfico da temperatura da água como uma 
função do tempo decorrido.
16.Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio:
a) Um retângulo tem um perímetro de 20 metros. Expresse a área do 
retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados.
b) Um retângulo tem uma área de 16 m2 . Expresse o perímetro do 
retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados.
c) Expresse a área superficial de um cubo como uma função de seu 
volume.
17.Uma caixa sem a tampa deve ser construída de um pedaço retangular de 
papelão com dimensões 12 por 20 centímetros. Deve-se cortar 
quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, para formar a 
caixa. Expresse o volume V da caixa como uma função de x.
18.Um hotel tem 150 apartamentos. Seu consumo de água quente é 
bastante elevado. A função Q(t ) , representada abaixo, fornece o total 
de água quente consumida, em m3 , desde a meia-noite (zero horas), 
até a hora t . O gráfico apresentado corresponde a um determinado 
dia, mas se observa que, na temporada de férias, o consumo se repete, 
salvo pequenas variações.
48
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 0 5 10 15 20 24 ( horas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(m3) 
 
 
 
222 
200 
 
 
150 
 
130 
 
a) Qual é o consumo total de água ao longo do dia?
b) Qual a quantidade de água consumida entre as 5 horas e as 10 
horas.
c) O que se pode dizer sobre o consumo de água quente entre as 15 
e 20 horas?
d) Quantos metros cúbicos por hora estão se consumindo às 8 horas 
em ponto? Explique como fazer esse cálculo.
e) Em que momento do dia se consome água quente com maior 
rapidez? Justifique sua resposta.
19.As leis da física, muitas vezes, descrevem relações de proporcionalidade 
direta ou inversa entre grandezas. Para cada uma das leis abaixo, 
escreva a expressão matemática correspondente.
a. (Lei da gravitação universal) Matéria atrai matéria na razão direta 
das massas e na razão inversa do quadrado das distâncias.
b. (Gases perfeitos). A pressão exercida por uma determinada massa 
de um gás é diretamente proporcional à temperatura absoluta e 
inversamente proporcional ao volume ocupado pelo gás.
c. (Resistência elétrica) A resistência de um fio condutor é 
diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente 
proporcional à área de sua seção reta.
d. (dilatação térmica) A dilatação térmica sofrida por uma barra é 
diretamente proporcional ao comprimento da barra e à variação 
da temperatura.
49
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Angela Mognon e Michele Barros
20.Em uma escola há duas provas mensais, a primeira com peso 2 e a 
segunda com peso 3. Se o aluno não alcançar média 7 nessas provas, 
fará prova final. Sua média final será então a média entre a nota da 
prova final, com peso 2 e a média das provas mensais, com peso 3. João 
obteve 4 e 6 nas provas mensais. Se a média final para aprovação é 5, 
quanto ele precisa obter na prova final para ser aprovado?
21.Um supermercado está fazendo uma promoção na venda de alcatra: um 
desconto de 10% é dado nas compras de 3 quilos ou mais. Sabendo que 
o preço do quilo de alcatra é de R$ 15,00, pede-se:
a. O gráfico do total pago em função da quantidade comprada.
b. O gráfico do preço médio por quilo em função da quantidade 
comprada.
c. A determinação de quantos quilos foram comprados por um 
consumidor que pagou R$ 150,00.
22.Seja F a função que é o conjunto de todas as duplas ordenadas ( x , y ) , 
tal que y={3 x−2 se x<1x2 se1≤ x . Determine o domínio e a 
imagem de F e esboce um gráfico de F.
23.Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das 
funções f :R→R a seguir:
a) f ( x )={−3 se x≤−11 se−1< x≤ 24 se 2<x
b) g ( x )={x+3 se x ≠32 se x=3
c) h ( x )={ x+5 se x<−5√25−x2 se−5≤ x≤ 5x−5 se5<x
50
Cálculo Diferencial e Integral I –Notas de Aula - Profs. Claudete Cargnin, Thelma Vecchi, 
Angela Mognon e Michele Barros
d) f (m )=m2−m+3
e) g ( x )=−x2+7 x−12
f) f ( x )=2. 3x
g) f ( x )=3x+1
h) f ( t )={ 0, se t ≤−1√1−t 2 se−1<t<1t , se t ≥1
24.Determine o domínio, a imagem, o período e esboce o gráfico de cada 
uma das funções a seguir:
a) H ( x )=3 senx
b) f ( x )=−2. cos3 x
c) f ( x )=1−cos(2 x+ π2 )
Obs.: i) Diz-se que uma variável y é diretamente proporcional a uma 
variável x se y=kx , onde k é uma constante não-nula. Em geral, 
diz-se que uma variável y é diretamente proporcional à n-ésima potência 
de x (n>0) se y=k xn . A constante ké chamada constante de 
proporcionalidade. 
ii) Diz-se que uma variável y é inversamente proporcional a uma 
variável x se y= kx , onde k é uma constante não-nula.
iii) Diz-se que uma variável z é conjuntamente proporcional às 
variáveis x e y se z=kxy , onde k é uma constante não-nula.
25.O peso aproximado do cérebro de uma pessoa é diretamente 
proporcional ao seu peso corporal, e uma pessoa com 68 kg tem um 
cérebro com um peso aproximado de 1,8 kg. A) Expresse o número de 
quilos do peso aproximado do cérebro de uma pessoa como função de 
seu peso corporal. B) ache o peso aproximado do cérebro de uma pessoa 
cujo peso corporal é 80 kg.
51
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Angela Mognon e Michele Barros
26.A intensidade da luz de uma dada fonte é inversamente proporcional ao 
quadrado da distância dela. A) Expresse o número de velas na 
intensidade da luz como função da distância em metros da fonte, 
sabendo que a intensidade é 225 velas a uma distância de 5 m da fonte. 
B) ache a intensidade num ponto distante 12m da fonte. 
27.Obtenha a função de 1. Grau que passa pelos pontos (1,4) e (4,1).
Obs. Iv) de um modo geral, se tivermos uma grandeza com valor inicial 
y0 e que cresça a uma taxa igual a k por unidade de tempo, então, 
após um tempo x , medido na mesma unidade de k , o valor dessa 
grandeza y será dado por: y= y0 (1+k )
x .
28.O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7000 e cresce a 
uma taxa de 3% ao ano. A) qual o número de habitantes daqui a 8 anos? 
B) qual o número de habitantes daqui a 30 anos? C) Em quanto tempo a 
população dobrará? (Use log2=0,3010 e log(1,03)=0,0128.
29.Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que seu 
valor daqui a t anos será V=6561.(13 )
t
.
a. Qual seu valor hoje?
b. Qual seu valor daqui a 3 anos?
c. Faça o gráfico de V em função de t
30.Considere a curva de aprendizagem f (t )=10−B .e−kt . Sabendo que 
f (1 )=5 e f ( 2 )=6 , obtenha B e k . (Use ln1 ,25=0,22 )
31.Determine as constantes m e b na função linear f ( x )=mx+b , de 
modo que f ( 0 )=2 e f (3 )=−1.
32.Espera-se que as vendas anuais da Drogaria A sejam de S (t )=2,3+0,4 t 
milhões de dólares daqui a t anos, enquanto que as mesmas projeções 
indicam que as vendas anuais da Drogaria B serão dadas por 
S (t )=1,2+0,6 t milhões de dólares daqui a t anos. Quando as vendas 
anuais da Drogaria B ultrapassarão as vendas da Drogaria A?
33.Espera-se que o número d elares com televisores digitais cresça de 
acordo com a função f (t )=0,1714 t2+0,6657 t+0,7143 , (0≤ t ≤6 ) onde t 
é medido em anos, com t = 0 correspondendo ao início do ano 2000 e 
f (t) é medida em milhões de lares.
52
Cálculo Diferencial e Integral I –Notas de Aula - Profs. Claudete Cargnin, Thelma Vecchi, 
Angela Mognon e Michele Barros
a) Quantos lares tinham televisores digitais no início do ano 2000?
b) Quantos lares tinham televisores digitais no início do ano 2005?
34.Patrícia deseja ter um jardim retangular no seu quintal. Ela tem 80m 
de material com o qual deseja cercar seu jardim. Denotando por x a 
largura do jardim, encontre uma função f na variável x que 
forneça a área do jardim. Qual é o domínio da função? 
35.Se você tivesse uma máquina que pudesse registrar a população 
mundial continuamente, você esperaria por um gráfico da população 
versus o tempo que fosse uma curva contínua (não interrompida)? 
Explique o que poderia causar interrupções na curva.
36.Suponha que um paciente de um hospital receba uma injeção de um 
antibiótico a cada 8 horas e que entre as injeções a concentração C de 
antibiótico na corrente sanguínea decresce à medida que ele é absorvido 
pelos tecidos. Como deveria ser o gráfico de C versus o tempo decorrido.
37.O gráfico de uma função do 1. Grau passa pelos pontos (0,3) e (6,0). 
Determine a função na forma f ( x )=ax+b . Classifique-a com relação ao 
seu crescimento.
38.Determine b e c para que o gráfico da função dada por 
y=x 2+bx+c passe pelos pontos:
a) A(0,6) e B(1,2) b) A(0, -12) e B(2, -10)
39.O gráfico abaixo refere-se à desintegração do tório-230 em função do 
tempo.
a) Determine a meia-vida do tório-230
b) Quantos anos são necessários para que a massa de uma amostra 
de tório-230 se reduza a 18 ?
53
Cálculo Diferencial e Integral I –Notas de Aula - Profs. Claudete Cargnin, Thelma Vecchi, 
Angela Mognon e Michele Barros
Escreva a função exponencial que descreve a desintegração do tório-230, 
segundo os dados apresentados.
40.O valor V de um carro, V= f (a) em milhares, é uma função da 
idade a do carro, em anos desde que foi comprado.
a) Interprete a afirmação f (5 )=6 .
b) Esboce um possível gráfico de V por a .
c) Explique o significado dos valores de intercepto vertical e 
horizontal em termos do valor do carro.
41.Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10m3 . O comprimento 
da base é o dobro da largura. O material da base custa R$10,00 por 
metro quadrado, enquanto que o material das laterais custa R$6,00 por 
metro quadrado. Expresse o custo total do material em função do 
tamanho da base.
42.Encontre o domínio das seguintes funções:
a) f ( x )=√ x+2 b) g ( x )=
1
x2−x
c) f ( x )=√ x+1
x
54
g
mil anos
Cálculo Diferencial e Integral I –Notas de Aula - Profs. Claudete Cargnin, Thelma Vecchi, 
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43.A relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit (F ) e Celsius 
(C ) é dada pela função linear F=95C+32 .
a) Esboce o gráfico dessa função;
b) O que representa nesse gráfico a inclinação? O que representa o 
intercepto F do gráfico?
44.Biólogos notaram que a taxa de cantos de grilo de uma certa espécie 
está relacionada com a temperatura de uma maneira que aparenta ser 
linear. Um grilo canta 113 vezes por minuto a 70 ℉ e 173 por minuto 
a 80℉ .
a) Encontre uma equação linear que modele a temperatura T 
como uma função do número de cantos por minuto N.
b) Qual é a inclinação do gráfico? O que ela representa?
c) Se os grilos estiverem cantando 150 vezes por minuto, estime a 
temperatura.
45.Como estão relacionados os gráficos de y=2senx e o de y=senx ?
46.Como estão relacionados os gráficos de y=1+√ x e o de y=√ x ?
47.Se f ( x )=x+4 e h ( x )=4x−1 , encontre uma função g tal que 
g ∘ f =h .
48.Para cada uma das funções, esboce o gráfico e determine o domínio:
a) f ( x )=√4−3 x2
b) g ( x )= 1x+1
c) h ( x )=1+senx
49.Determine se f é par, ímpar ou nenhum dos dois:
a) f ( x )=2 x5−3x 2+2
b) f ( x )=x3− x7
c) f ( x )=e− x
2
55
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d) f ( x )=1+senx
50.Encontre a função inversa de f ( x )= x+12x+1
51.A massa do coração de um mamífero é proporcional à massa do seu 
corpo.
a) Escreva uma fórmula para a massa do coração, H , como 
função da massa do corpo B .
b) Um humano com massa de corpo de 70 quilos tem massa de 
coração de 0,42 quilo. Use essa informação para achar a 
constante de proporcionalidade.
c) Avalie a massa do coração de um cavalo com massa de corpo de 
650 kg.
52.Seja y= f ( x)= x2+2 .
a) Ache o valor de y quando x é zero.
b) Quanto é f (3 ) ?
c) Quais valores de x dão a y o valor 11?
d) Existem valores de x que dêem a y o valor 1?
53.A figura em anexo mostra uma parte de um gráfico. Complete o gráfico 
de forma que todo ele seja simétrico em relação:
a) Ao eixo x b) ao eixo y c) à origem
 y
 x
54.Se f ( x )=2 x 2+3x−4 , encontre 
f ( 0) , f (2 ) ; f (√2 ) ; f (1+√2 ) ; f (−x ) , f ( x+1 ) ,2f ( x ) , f ( 2x ) .
55.Determine se o conjunto dado é uma função. Se for, qual o seu domínio?
a) {( x , y )∨ y=√ x−4 } b) {( x , y )∨ y=√ x2−4}
c) {( x , y )∨ y=√4−x2 } d) {( x , y )∨x2+ y2=4}
56
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e) {( x , y )∨ y=x2 } 
56.Dada a função f :R→R definida por f ( x )=2x−1 , determine, se 
existir:
a) f (3) b) f (−2) c) f (0) d) 
f (a+1)
e) f (x+1) f) f (2x ) g) 2f (x ) h) 
f (x+h)
i) f ( x )+ f (h) j) f ( x+h )− f ( x)
h , h≠ 0
 
57.Dada a função f : R− {1 }→R definida por f ( x )= xx−1 , determine, 
se existir:
a) f (3) b) f (−2) c) f (0) d) f ( 12 ) e) f (1)
58.Dada a função definida por g ( x )=√2x+3 determine o domínio de g 
e encontre, se existir:
a) g (−1) b) g (4) c) g (0) d) g (−3) e) 
g (−32 )
59.Dadas as funções f e g definidas abaixo, determine f +g , 
f −g , f ∙ g , fg e seus respectivos domínios:
a) f ( x )=x−5 ; g ( x )= x2−1 b) f ( x )= x+1x−1 ; g ( x )=
1
x 
c) f ( x )=√ x ; g ( x )= x2−1
60.Dadas as funções f e g definidas abaixo, mostre que f e g 
são funções inversas.
a) f ( x )=2x−3 e g ( x )= x+32
b) f ( x )= 1x+1 e g ( x )=
1− x
x
c) f ( x )=3√ x e g ( x )= x3
61.Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes 
funções:
a) f ( x )=3x−1 b) f ( x )=x2−1
c) f ( x )=√ x+1 d) f ( x )=∣4− x∣
e) g ( x )=∣x−2∣+4 f) f ( x )= x
2−4x+4
x−3
g) g ( x )={−2 se x≤ 32 se x>3 h) g ( x )={2x−1 se x ≠20 se x=2
57
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i) g ( x )={ x2−4 se x<32x−1 se x≥ 3 j) f ( x )={6x+7 se x<−23 se x=−24−x se x>−2
k) m ( x )={ x−2 se x<0x2 se0≤ x<23−x se x ≥ 2
62.É comum observarmos em casas de Xerox promoções do tipo: “até 100 
cópias: R$ 0,15 por cópia. Acima de 100 cópias (de um mesmo original): 
R$ 0,10 por cópia excedente”. Com base nessas informações determine:
a) O valor pago por 130 cópias de um mesmo original.
b) A lei que define a função preço p pago pela reprodução de x 
cópias de um mesmo original.
63.Um ônibus de 40 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa 
exigiu de cada passageiro R$ 20,00 mais R$ 2,00 por lugar vago. Qual o 
número de passageiros para que a rentabilidade da empresa seja 
máxima?
64.A resistência elétrica R (em ohms) para um fio de metal puro está 
relacionada com sua temperatura T (em ) pela fórmula 
R=R0 (1+aT ) , para constantes positivas a e R0 .
a) Para que temperatura se tem R=R0 ?
b) Supondo que a resistência seja 0 (zero) se T=−273 ℃ (zero 
absoluto), determine a .
c) Um fio de prata tem resistência de 1,27 ohms a 0 ℃ . A que 
temperatura a resistência é igual a 2 ohms?
65.Uma pessoa ingeriu 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio 
informava que sua meia vida (tempo necessário para que uma 
substância atinja metade do seu valor inicial) era de seis horas. Após 
doze horas da ingestão do remédio qual a quantidade do remédio ainda 
presente no organismo?
58