Para resolver a equação \(x^2 - 4x + 5 = 0\), podemos usar a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Aqui, \(a = 1\), \(b = -4\) e \(c = 5\). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \] Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i \] Assim, as raízes são \(m = 2 + i\) (1º quadrante) e \(n = 2 - i\) (4º quadrante). Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{m}{n} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i \) - Vamos calcular \( \frac{m}{n} = \frac{2+i}{2-i} \). Multiplicando numerador e denominador por \(2+i\): \[ \frac{(2+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{4 + 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 + 4i}{5} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i \] Essa alternativa é verdadeira. b) \( m^2 + n^2 = 16 \) - Vamos calcular \( m^2 + n^2 \): \[ m^2 = (2+i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i \] \[ n^2 = (2-i)^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i \] \[ m^2 + n^2 = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6 \] Portanto, essa alternativa é falsa. c) \( (m+n)^2 = 6 \) - \( m+n = (2+i) + (2-i) = 4 \), então \( (m+n)^2 = 16 \), que é falso. d) \( \frac{1}{n} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i \) - Vamos calcular \( \frac{1}{n} = \frac{1}{2-i} \). Multiplicando por \(2+i\): \[ \frac{2+i}{(2-i)(2+i)} = \frac{2+i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i \] Portanto, essa alternativa é falsa. A única alternativa correta é a) \( \frac{m}{n} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i \).