Cálculo Numérico - Ajuste de Curvas

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6 AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS QUADRADOS 
 
6.1 Introdução 
 
 O ajuste de curvas é muito utilizado para, a partir de dados conhecidos, fazerem-se 
extrapolações. Por exemplo, conhecem-se os dados de consumo anual de carga elétrica de 
uma cidade. A partir destes dados conhecidos, podem-se fazer projeções para o futuro e 
com isso, fazer-se um planejamento para que a cidade seja suprida de forma adequada nos 
anos subsequentes. A idéia é ajustar uma curva que melhor se ajusta aos dados disponíveis. 
Conhecida a equação da curva, podem-se determinar valores fora do intervalo conhecido. 
Os dados conhecidos podem ser tabelados e obtidos por meio de experimentos. 
Como exemplo, sejam os dados da Tabela 1. 
 
 Tabela 1 – Pontos a serem ajustados 
x
 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 
)(xf
 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 
 
A partir dos dados disponíveis, pode-se desejar saber uma estimativa do valor da função 
)(xf
 em 
9x
. Porém, pode-se construir um diagrama de dispersão, que é a representação 
em gráfico dos dados disponíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Representação dos pontos da tabela 1 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x) 
x 
 2 
O objetivo é encontrar uma função 
)(x
 que seja uma boa aproximação para os 
valores tabelados de 
)(xf
 e que nos permita extrapolar com certa margem de segurança. 
 
6.2 Formulação Matemática 
 
Definição: A aproximação por mínimos quadrados consiste em encontrar a função que 
“melhor ajusta”, ao conjunto de pontos, minimizando o erro restante do ajustamento, ou 
seja, pretende-se minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores tabelados 
e os valores obtidos pela aproximação. O método dos mínimos quadrados consiste em: 
 
 Ajuste Linear; 
 Ajuste quadrático. 
 
De modo geral consideramos as variáveis ou grandezas 
x
 e
y
 que definem 
fenômenos a analisar, sujeitas a um conjunto de 
n
 medidas ou experimentos. 
 
 
      1 1 2 2, , , ;...; ,n nA x y x y x y
 (1.1) 
 
Conjunto A formado por pares ordenados. Seja a função 
1: kf R R 
, 
   1 2; , ,..., ny x f x   
, onde 
1 2, ,..., n  
são parâmetros desconhecidos. 
A relação que existe entre a variável independente 
x
 e
y
e dada através da 
função 
f
, que depende do 
x
 e aparecem 
k
 parâmetros, que irão caracterizar a forma da 
função 
f
são parâmetros desconhecidos. O processo é encontrar esses parâmetros que irá 
dar origem a poder encontrar 
f
: 
O método dos mínimos quadrados consiste em determinar esses parâmetros de 
modo que minimize o valor de: 
 
   
2
1 2 1 2
1
, ,..., ; , ,...,
n
k n i
i
S F x y     

   
 (1.2) 
 
 3 
A função 
S
 que depende de 
k
 parâmetros. O método consiste em minimizar a 
soma dos quadrados de: 
 
 1 2; , ,...,i n iF x y    
 (1.3) 
 
entre os diversos valores de 
iy
 observados e os valores ajustados 
   1 2; , ,...,i ny x F x   
. Os valores
iy
são chamados desvios ou erros do processo de 
aproximação. Os erros são a diferença que existe de cada ponto ao valor da função 
f
 curva 
queremos considerar a menor distância de cada pontinho para o ponto da curva, e fazendo a 
soma de todas as distâncias, estaremos minimizando o erro. 
Seja o diagrama de dispersão anterior. A partir de uma análise do diagrama de 
dispersão deve-se definir uma curva para ser ajustada aos dados. No caso, ajusta-se os 
dados por uma reta dada pela função 
xx 21)(  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ajuste Linear 
 
Suponhamos que as grandezas 
x
 e
y
, cujas medidas são dadas por Eq. (1.2) se 
relacionam linearmente. O ajuste linear é definido pela equação da reta: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f (x) 
x 
f i (x)=alfa1+(alfa2)x 
 4 
 
 
   ; ,y x F x a b ax b  
 (1.4) 
É denominado linear, se a função 
3: .f R R
 Devido os erros de medida, os 
valores 
 ,i ix y
 não necessariamente satisfazem exatamente à Eq. (1.4), isto é: 
 
 
i iy ax b 
 (1.5) 
Para que a expressão se torne uma igualdade devemos levar em conta os erros 
ou desvios 
 
 cometidos na medida. Assim: 
 
 
i i iy ax b   
 (1.6) 
 
Portanto, 
i
 também depende de 
a
 e 
b
: porque a função 
f
 depende de 
a
 e 
b
: 
 
   ,i i ia b y ax b   
 (1.7) 
 
A soma dos quadrados dos desvios é dado por: 
 
 
   
2
1
,
n
i i
i
S a b y ax b

  
 (1.8) 
 
Aplicando o método dos mínimos quadrados, temos que os melhores para 
a
 
e
b
 e, portanto a melhor reta são aquelas que minimizam 
 ,S a b
. 
Uma solução é encontrar 
a
 e 
b
, tais que 
 ,F a b
 seja mínimo. Minimizando 
 ,F a b
, está-se minimizando os desvios quadráticos. Em função deste procedimento, é 
que se adota o nome de ajuste de curvas por mínimos quadrados. 
A condição necessária para que 
 ,F a b
 seja um mínimo de 
 a,bF
 é que as 
derivadas parciais de 
 a,bF
 em relação a 
a
 e 
b
 sejam zero. 
Como se 
 ,S a b
é a função de duas quantidades 
a
 e
b
 tem-se: 
 5 
 
 
   
2
1
,
n
i i
i
S a b y ax b

    
 (1.9) 
 
Escrevemos essas condições necessárias de mínimo como: 
 
 
0 e 0
S S
a b
 
 
 
 (1.10) 
 
Ou seja, são conhecidos para que aconteça o mínimo: 
 
 
 2
1
2 0,
n
i i i i
i
S
x y ax bx
a 

    


 (1.11) 
 
 
 
1
2 0,
n
i i
i
S
y ax b
b 

    


 (1.12) 
Podemos resolver as Eqs. (1.11) e (1.12) por Cramer para obter 
a
 e 
b
. 
 
 
1 1 1
2
2
1 1
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
x y n x y
a
x n x
  
 
     
     
     
   
   
   
  
 
 (1.13) 
 
 
2
1 1 1 1
2
2
1 1
n n n n
i i i i i
i i i i
n n
i i
i i
x y x x y
b
x n x
   
 
       
       
       
   
   
   
   
 
 (1.14) 
 
Ou rearranjando as Eqs.(1.11) e (1.12) chega-se: 
 
 6 
 1 1 1
2
1 1 1
0
0
m m m
k k
k k k
m m m
k k k k
k k k
y b ax
y x bx ax
  
  

  


   

  
  
 (1.15) 
 
Isolando as variáveis dos termos constantes, tem-se: 
 
 
1 1
2
1 1 1
 + )
m m
k k
k k
m m m
k k k k
k k k
mb x a y
x b x a x y
 
  
  
  
  

           
 
  
 (1.16) 
 
Observe que resulta num sistema de equações lineares. Essas equações são 
conhecidas como equações normais. A solução das equações normais, 
 ,F a b
 apresenta 
seu menor valor. Solucionando para os valores numéricos do exemplo da Tabela 1, tem-se: 
 
54,127)8,5()0,8()1,6()8,6()8,3()1,5()2,5()4,3()0,2()3,1()(
5,149)0,8()8,6()1,5()4,3()3,1()(
9,228,51,68,32,50,2)(
6,240,88,61,54,33,1
5
1
222
5
1
222
5
1
5
1












k
k
k
k
k
k
k
k
k
xfx
x
xf
x
 
 
Substituindo na equação normal, tem-se: 
 
5 24,6 22,9
24,6 149,5 127,54
b
a
    
     
     
 
 
 7 
A solução deste sistema linear resulta em: 
   , 2,01 0,522
T T
soluçãox a b 
. A 
reta que melhor aproxima 
 f x
 pelo método dos mínimos quadrados é dada por: 
 
 
  2,01 0,522f x x 
 (1.17) 
 
Ajuste quadrático 
 
Definição: Suponhamos que as grandezas 
x
 e
y
, cujas medidas são dadas por Eq. (1.2) um 
ajuste de curvas é denominado quadrático se a função que relaciona as grandezas é definido 
por: 
 
 
    2; , ,y x F x a b c a bx cx   
 (1.18) 
 
 
A função 
4:f R R
definindo a parábola. Aplicando o método dos mínimos 
quadrados, determinamos os parâmetros 
, a b e c
 minimizando a função: 
 
 
   
2 2
2
1 1
, , ; , ,
n n
i i i i
i i
S a b c y F x a b c y a bx cx
 
           
 (1.19) 
 
As condições necessárias de mínimo são dadas pela seguinte condição: 
 
 
0 ; 0 e 0
S S S
a b c
  
  
  
 (1.20) 
 
 
Resultando em: 
 
 8 
 
2
1 1 1
2 3
1 1 1 1
2 3 4 2
1 1 1 1
 + ) 
 
 
m m m
k k k
k k k
m m m m
k k k k k
k k k k
m m m m
k k k k k
k k k k
ma x b x c y
x a x b x c x y
x a x b x c x y
  
   
   
    
     
   
     
       
     
     
       
     
  
   
   
 (1.21) 
 
A curva a ser ajustada não necessariamente precisa ser uma reta. Uma maneira 
de se definir que tipo de função deve ser feita a partir da análise do diagrama de 
dispersão (dados). Seja o exemplo dado pelo diagrama de dispersão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o diagrama sugere o ajuste através de uma parábola. 
Exemplo: Seja os valores da função apresentados na Tabela 2. Através do Método de 
Mínimos Quadrados determine a equação da curva que melhor ajuste os pontos dados. 
 
Tabela 2 – Dados a serem ajustados 
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 
 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f (x) 
x 
 9 
Representando os pontos através do seu diagrama de dispersão tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se observar que uma boa possibilidade é ajustar os pontos a uma parábola 
passando pela origem. 
Portanto, procura-se a função 
2)( xx  
que melhor represente f(x). Para a 
notação utilizada, 
2)( xxg 
. 
 
A partir das equações do método, tem-se: 
 
)()()]([
11
1
11
1
2
k
k
k
k
k xgxfxg 


 
 
Substituindo: 
 
k
k
k
k
k xxfx  

11
1
11
1
22 )(][ 
 
 
como 



11
1
22 8464,2][
k
kx
 e 
8756,5)(
11
1


k
k
k xxf
, tem-se a equação linear: 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f (x) 
x 
 10 
 
0642,28756,58464,2   
 
A equação 
20642,2)( xx 
 é a parabola que melhor aproxima a função 
tabelada através do Método de Mínimos Quadrados. 
 
Exemplo: Aproximar a função Tabela 3 representada no exemplo anterior por uma função 
do tipo: 
2
321)( xxx  
 
Tabela 3 – Dados a serem ajustados 
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 
 
 
Deve-se montar o sistema linear 
bA 
, onde: 
 
3,...,13,...,1)()(
11
1
 

jeiparaxgxgaa kj
k
kijiij
; 
3,...,1)()(
11
1


iparaxgxfb ki
k
ki
. 
 
Para a função 
)(x
 proposta, tem-se: 
2
321 )(,)(,1)( xxgexxgxg 
 
 
Chega-se portanto a: 
 
111
11
1
2
11 
k
a
 



11
1
2112 1
k
kxaa
 



11
1
2
3113 1
k
kxaa
 
 11 



11
1
2
22
k
kxa
 



11
1
2
3223
k
kk xxaa
 
 



11
1
22
33
k
kk xxa
 



11
1
1 )(
k
kxfb
 



11
1
2 )(
k
kk xfxb
 



11
1
2
3 )(
k
kk xfxb
 
 
Para facilitar os cálculos, pode-se construir a tabela: 
 
Valores Tabelados 
 
 
 

 
 
 
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 -0,35 
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 9,115 
2x
 1,0 0,5625 0,36 0,25 0,09 0,0 0,04 0,16 0,25 0,49 1 4,2025 
3x
 -1,0 -0,4218 -0,216 -0,125 -0,027 0,0 0,008 0,064 0,125 0,343 1 -0,2498 
4x
 1,0 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0,0 0,0016 0,0256 0,0625 0,240
1 
1 2,8464 
kk xxf )(
 -2,05 -0,8647 -0,270 -0,200 -0,150 0,0 0,04 0,24 0,256 0,84 2,05 -0,1087 
2)( kk xxf
 2,05 0,6486 0,162 0,100 0,045 0,0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756 
 
Com os valores calculados, chega-se ao sistema linear: 
 


































8756,5
1087,0
115,9
8464,22498,02025,4
2498,02025,435,0
2025,435,011
3
2
1



 
 
Resultando em: 
 
 12 











9377,1
0970,0
0914,0

 
 
A equação da parábola ajustada é dada por: 
 
29377,10970,00914,0)( xxx  
 
 
Exemplo: Ajuste os dados apresentados na Tabela 4, utilizando o Método dos Mínimos 
Quadrados por: 
a) Uma reta 
( )x b ax  
. 
b) Uma parábola do tipo 
2( )x c bx ax   
. 
c) Como você compararia as duas curvas com relação aos dados. 
Tabela 4 – Dados a serem ajustados. 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 
 
O diagrama de dispersão é dado pela figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f (x) 
x 
 13 
Constrói-se a tabela: 
 
Valores Tabelados 

 
kx
 1 2 3 4 5 6 7 8 36 
)( kxf
 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 9,2 
2
kx
 1 4 9 16 25 36 49 64 204 
3
kx
 1 8 27 64 125 216 343 512 1296 
4
kx
 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 8772 
)( kk xfx
 0,5 1,2 2,7 3,2 6,0 9,0 11,9 16,0 50,5 
)(
2
kk xfx
 0,5 2,4 8,1 12,8 30,0 54 83,3 128 319,1 
 
a) 
xx 21)(  
 
 xxgxg  )(,1)( 21
 
81
8
1
2
11 
k
a
 
361
8
1
2112  
k
kxaa
 
204
8
1
2
22 
k
kxa
 
2,9)(1
8
1
1 
k
kxfb
 
5,50)(
8
1
2 
k
kk xfxb
 
 
 


















5,50
2,9
20436
368
2
1

 







21667,0
175,0

 
 
A equação da reta ajustada é dada por: 
xx 21667,0175,0)( 
 
 
 
 
 14 
b) 
2
1 2 3( )x x x     
 

 
2
321 )(,)(,1)( xxgexxgxg 
 
81
8
1
2
11 
k
a
 
361
8
1
2112  
k
kxaa
 
2041
8
1
2
3113  
k
kxaa
 
204
8
1
2
22 
k
kxa
 
1296
8
1
2
3223  
k
kk xxaa
 
8772
8
1
22
33 
k
kk xxa
 
2,9)(
8
1
1 
k
kxfb
 
5,50)(
8
1
2 
k
kk xfxb
 



8
1
2
3 1,319)(
k
kk xfxb
 
 
Resultando no sistema linear:






























1,319
5,50
2,9
87721296204
129620436
204368
3
2
1



 











01548,0
07738,0
40714,0

 
 
A equação da parábola ajustada é dada por: 
 
201548,007738,040714,0)( xxx  
 
 
 15 
c) Para a verificação do melhor ajuste, pode-se calcular a soma dos desvios quadráticos: 
 
Para a reta : 
08833,0
8
1
2 
k
kd
 
Para a parábola :
04809,0
8
1
2 
k
kd
 
Portanto, neste caso a parábola se ajusta melhor aos pontos tabelados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Ajuste linear para o modelo exponencial 
 
Supondo que os dados se comportam de um tipo exponencial é definido por uma 
função do tipo: 
 
 
  ; 0 xf x e  
 (1.22) 
 
Queremos encontrar essa aproximação aplicando o método dos mínimos quadrados. 
Para ser possível vamos fazer uma mudança de variável, 
  lnf x f
 com o objetivo de 
transformar a equação que define a Eq. (1.22) na forma de uma equação da reta resulta: 
 
 
  ln lnf x f x   
 (1.23) 
 
 
Desta forma, podemos fazer um ajuste linear para o modelo exponencial, pela 
facilidade de trabalhar em Eq. (1.23), tomando 
a 
 e 
lnb 
 a equação da reta ajustada 
ou equação auxiliar é: 
 
 
 ; ,y ax b f x a b  
 (1.24) 
 
 17 
 
 
2 1 2
5 19,5 7,481 5 19,5 7,481
3,9*
19,5 91,75 35,201 19,5 91,75 35,201
5 19,5 7,481 6,0251 19,5*(0,3837643) 7,481
0,3837643; 0,000480
0 15,7 6,0251 15,7 5
L L L


 
      
          
       
    
      
   
 
De modo geral, depois de encontrarmos os valores 
 a e b
 aplica-se a exponencial de 
ambos os lados e obtém o ajuste com 
0,3837643; 0,000480   . 
 
       
 
ln ln ln ln
0,3837643
 : ln
0,9995
y x x b b
y ax b
e e e e obs b e e e
y x e
     
 
       

 
 
 
 
Ajuste linear para o método Geométrico 
 
O modelo geométrico é definido através de um modelo geométrico: 
 
 
  ; 0, 0y x x    
 (1.25) 
 18 
 
Levando os dois lados da equação com o logaritmo neperiano na Eq. (1.25) o 
problema resulta em: 
 
 
ln ln lny x  
 (1.26) 
 
Fazendo uma mudança de variável: 
 
 
ln ; lnY y X x 
 (1.27) 
 
Obtemos: 
 
; ln ,Y a bX onde a b     (1.28) 
 
 
 19 
 
Novamente, o problema recai em encontrar os valores de 
a
 e 
b
 como feito no 
ajuste linear, dados 
3,90 20,2a e b 
. 
 
Portanto, 
 
 
3,90 20,2Y X 
 (1.29) 
 
Sendo 
lna 
, temos que 
3,907 ~ 49,749ae e   . Assim, obtemos: 
 
 
20.249,749y x
 (1.30)