APOSTILA DE RESISTÊNCIA AULA 02

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APOSTILA DE RESISTÊNCIA 
DO MATERIAIS I 
“APRENDENDO E GOSTANDO DE APRENDER” 
 
 
 
 
 
PROFESSOR MSc. LUIZ HENRIQUE MOREIRA DE CARVALHO 
 
 
DISCIPLINA DE DP-2018-1 
 
 
 
ALFABETO GREGO 
 
 
 
 
AULA 01: 
Capítulo 1 – Generalidades: 
1.1 – Objetivos da Resistência dos Materiais: 
 
É a ciência que estuda as tensões e deformações que ocorrem nos sólidos, 
provenientes de forças externas a eles aplicadas. A Resistência dos Materiais 
também é conhecida como Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos. 
Sólido: é um estado da matéria que tem volume e forma definidos. 
Fluido: Substância liquida ou gasosa que não tem resistência ao cisalhamento. Os 
fluidos tomam a forma do recipiente em que está colocado. 
 
1.2- Histórico da Resistência dos Materiais: 
 
Madeira: Pela sua disponibilidade e propriedades foi um dos primeiros materiais 
utilizados pelo homem para construir. As primeiras pontes surgiram de forma 
natural pela queda de árvores sobre os rios ou vales. 
Ferro fundido: A fabricação do ferro fundido teve início na Ásia por volta de 1.500 
a. C. O ferro fundido oxida com facilidade. 
Aço: Liga de ferro e carbono sendo o teor de carbono variando de 0,008% a 
2,11%. Se o teor de carbono da liga for maior do que 2,11% e menor do que 
6,67% a liga é chamada ferro fundido. 
Os gregos Aristóteles e Arquimedes estabeleceram os princípios da estática. Os 
romanos foram grandes construtores de templos, estradas e pontes. Usavam 
frequentemente, arcos nas construções. Os egípcios tinham algumas regras 
empíricas (baseadas na experiência) para construir templos e pirâmides. 
Muito do conhecimento dos gregos, romanos e egípcios para análise de estruturas 
foi perdido durante a idade média. Leonardo da Vinci estudou a resistência de 
colunas experimentalmente. Galileu Galilei foi o primeiro cientista a estudar a 
flexão de vigas. É considerado o pai do método experimental e da Resistência dos 
Materiais. 
 
 
1.3 – Definições: 
 
a) Material dúctil: É um material que apresenta grandes deformações antes de se 
romper e a resistência à tração é considerada igual à compressão. Ex.: aço doce 
(aço de construção), alumínio. 
b) Material frágil: É um material que rompe bruscamente, sem aviso prévio, com 
pequena deformação. A resistência à tração é diferente da resistência à 
compressão. Ex.: aço para ferramentas, vidro, concreto, giz. 
c) Corpo rígido: corpo que não se deforma quando solicitado por forças ou 
momentos. 
d) Deslocamento de corpo rígido: deslocamento sem deformação. 
e) Barra - placa – bloco: 
 
 
Barra: quando as duas dimensões da seção transversal são pequenas quando 
comparadas com o comprimento longitudinal (L>> h ; L>> b). Exemplo: vigas. 
Placa: quando uma dimensão (a espessura) é muito menor do que as outras duas 
dimensões (L b ; L>> h). Exemplos: lajes e cascas. 
Bloco: quando: L h b. 
 
f) Eixo da barra: uma barra pode ser representada pelo seu eixo que é o conjunto 
de pontos dos centróides das seções transversais. 
 
 
 
g) Barra prismática: barra de eixo reto e seção transversal constante. 
 
1.4 - Estrutura: É a parte mais resistente de uma construção e tem a função de 
resistir às cargas aplicadas. Em um edifício a estrutura é constituída pelas vigas, 
pilares, lajes e fundação. Para o dimensionamento da estrutura deve-se levar em 
consideração a economia e a segurança. 
 
1.5 – Hipótese fundamental: a estrutura está em equilíbrio estático. 
 
 
-Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um ponto material no 
espaço: 
 
 
 
 
-Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no 
espaço: 
 
 
1.6 – Apoios: 
 
 
Uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade, sendo três translações e 
três rotações. A função dos apoios é retirar graus de liberdade, surgindo reações 
nas direções dos movimentos impedidos. 
 
 
 
1.7 – Estaticidade e estabilidade de estruturas planas carregadas no próprio 
plano: 
 
Para estruturas planas carregadas no próprio plano (plano xOy) as condições 
necessárias e suficientes para o equilíbrio são três: 
 
onde “o”, na expressão do somatório de momentos, é qualquer ponto do plano da 
estrutura. 
Para as estruturas planas carregadas no próprio plano três casos podem ocorrer 
com relação à estabilidade e estacidade: 
1o caso: O número de reações de apoio é menor que o número de equações de 
equilíbrio 
da estática (3). A estrutura é chamada hipostática e o equilíbrio é instável. 
 
2o caso: O número de reações de apoio é igual ao número de equações de 
equilíbrio da estática (3). A estrutura é chamada isostática e o equilíbrio é estável. 
 
 
3o caso: O número de reações de apoio é maior que o número de equações de 
equilíbrio da estática (3). A estrutura é chamada hiperestática e o equilíbrio é 
estável. 
 
 
São três as equações de equilíbrio e a viga acima possui cinco reações de apoio, 
então, a viga é duas vezes hiperestática. 
As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se 
as reações de apoio das estruturas hiperestáticas. Além das três equações de 
equilíbrio são necessárias outras equações que são obtidas conhecendo-se como 
a estrutura se deforma (para impor condições de deslocamento e/ou de rotação). 
 
Observação: Casos particulares: 
 
 
 
 
 
A viga acima possui três reações, mas o equilíbrio é instável; a viga abaixo possui 
quatro reações e o equilíbrio também é instável. 
 
 
1.8 – Sistema de Unidades: 
 
Unidades básicas do Sistema Internacional 
 
m (metro): para comprimento 
quilograma (kg): para massa 
segundo (s): para tempo 
Unidades de força no SI (unidade derivada) 
1 N = 1 kg.m/s² 
Sistema inglês 
1 polegada = 1 in = | | 1 = 2,54 cm 
1 pé (foot) = 1 ft = | 1 = 12 in = 30,48 cm 
1 libra = 453,59 gramas 
 
1.9 – Esforços externos: 
 
São os esforços aplicados nas estruturas e podem ser: 
 
a) Concentrados: 
 
 
b) Distribuídos: 
 
 
 
Observação: a carga distribuída uniforme q (N/m) é calculada multiplicando-se o 
peso específico () pela área da seção transversal (A). 
 
 
 
c) Estático: quando aplicado lentamente (sem impacto) e o seu valor não varia com 
o tempo. Ex.: peso próprio de vigas. 
d) Dinâmico: quando aplicado com impacto e o seu valor varia com o tempo. Ex.: 
efeito do vento em edifícios altos, efeito das ondas do mar em uma plataforma, 
pontes. 
 
1.10- Esforços internos: Os esforços externos produzem esforços internos que são 
em 
número de quatro. 
Força normal (N) 
Força cortante (V) 
Momento fletor (M) 
Momento de torção ou torque (T) 
Força normal (N) → é a força normal (perpendicular) a uma área. A força normal 
pode ser de tração ou compressão. 
 
 
Fazendo-se um corte imaginário na barra tracionada, tem-se: 
 
 
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: N = N| 
N = esfoço externo e N| = esforço interno. 
 
 
Força cortante (V) → é a força que está contida em uma seção transversal. 
 
 
Momento fletor (M) → é o momento de uma força que produz flexão em uma 
barra. 
 
Fazendo-se um corte imaginário na barra solicitada por um momento fletor 
positivo: 
 
 
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: M = M| 
M = esfoço externo e M| = esforço interno 
Observação: Força vertical com o sentido para cima produz momento fletor 
positivo (traciona em baixo). Força vertical com o sentido para baixo produz 
momento fletor negativo (traciona em cima). 
 
 
 
Momento de torção ou torque (T) → é o momento de uma força que produz torção 
em uma barra. 
 
 
 
Não existe convenção de sinais para o momento de torção. 
 
 
AULA 02: 
 
 
2.1- Um conceito de cálculo estrutural: 
 
A ideia de cálculo estrutural podeser dividida em três frentes de trabalho não 
independentes: 
 
Fase 1 - Ante-projeto da estrutura: Nesta fase uma concepção inicial do projeto 
é criada. A estrutura pode ser um edifício, um navio, um avião, uma prótese 
óssea, uma ponte, etc. As dimensões das peças estruturais são arbitradas 
segundo critérios técnicos e empíricos. 
 
Fase 2 - Modelagem. Modelar um fenômeno físico é descrever seu 
comportamento através de equações matemáticas. Neste processo parte-se 
normalmente de um modelo que reúne as principais propriedades do fenômeno 
que se deseja modelar. No caso de estruturas, os modelos estruturais são 
constituídos de elementos estruturais. A partir do conhecimento do 
comportamento dos elementos estruturais e do carregamento envolvido são 
determinadas as deformações e tensões a que a estrutura está submetida. No 
caso de barras, uma boa parte desta tarefa pode ser realizada com o auxílio 
dos conhecimentos a serem obtidos nas disciplinas Resistência dos Materiais 
Análise Estrutural. Para outros tipos de elementos estruturais, devido á 
complexidade dos cálculos, serão necessários estudos mais aprofundados em 
mecânica dos sólidos e métodos numéricos que viabilizem a solução do 
problema. O método numérico mais conhecido na modelagem estrutural é o 
Método dos Elementos Finitos (MEF). 
 
 
Fase 3 - Dimensionamento das peças. Nesta fase é necessário o 
conhecimento de questões específicas de cada material que constitui a 
estrutura (aço, madeira, alumínio, compósito, concreto, etc...). Este 
conhecimento será adquirido em cursos específicos como Concreto I e II e 
Estruturas Metálicas. Nesta fase é possível que se tenha necessidade de 
retornar à Fase 1 pois os elementos estruturais podem ter sido sub ou super 
dimensionados. Neste caso parte-se para um processo recursivo até que o 
grau de refinamento requerido para o projeto seja alcançado. 
 
O cálculo de uma estrutura depende de três critérios: 
 
 • Estabilidade: Toda estrutura deverá atender às equações universais 
de equilíbrio estático. 
• Resistência: Toda estrutura deverá resistir às tensões internas 
geradas pelas ações solicitantes. 
• Rigidez: Além de resistir às tensões internas geradas pelas ações 
solicitantes, as estruturas não podem se deformar excessivamente. 
 
2.2- Pressupostos e hipóteses básicas da Resistência dos Materiais: 
 
A Resistência dos Materiais é uma ciência desenvolvida a partir de ensaios 
experimentais e de análises teóricas. Os ensaios ou testes experimentais, em 
laboratórios, visam determinar as características físicas dos materiais, tais 
como as propriedades de resistência e rigidez, usando corpos de prova de 
dimensões adequadas. 
As análises teóricas determinam o comportamento mecânico das peças em 
modelos matemáticos idealizados, que devem ter razoável correlação com a 
realidade. Algumas hipóteses e pressupostos são admitidos nestas deduções e 
são eles: 
 
1. Continuidade Física: 
A matéria apresenta uma estrutura contínua, ou seja, são desconsiderados 
todos os vazios e porosidades. 
 
2. Homogeneidade: 
O material apresenta as mesmas características mecânicas, elasticidade e de 
resistência em todos os pontos. 
 
3. Isotropia: 
O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas 
as direções. Ex: As madeiras apresentam, nas direções das fibras, 
características mecânicas e resistentes distintas daquelas em direção 
perpendicular e portanto não é considerada um material isótropo. 
 
4. Equilíbrio: 
Se uma estrutura está em equilíbrio, cada uma de suas partes também está em 
equilíbrio. 
 
5. Pequenas Deformações: 
As deformações são muito pequenas quando comparadas com as dimensões 
da estrutura. 
 
6. Saint-Venant: 
Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em 
pontos suficientemente afastados da região de aplicação das cargas. 
 
7. Seções planas: 
A seção transversal, após a deformação, permanece plana e normal à linha 
média (eixo deformado). 
 
8. Conservação das áreas: 
A seção transversal, após a deformação, conserva as suas dimensões 
primitivas. 
 
9. Lei de Hooke: 
A força aplicada é proporcional ao deslocamento. 
 
 
onde: F é a força aplicada; k é a constante elástica de rigidez e d é o 
deslocamento; 
 
10. Princípio da Superposição de efeitos: 
Os efeitos causados por um sistema de forças externas são a soma dos efeitos 
produzidos por cada força considerada agindo isoladamente e independente 
das outras. 
 
A fim de compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação 
das propriedades dos materiais, nos pressupostos ou nas simplificações, é 
previsto nas Normas Técnicas a adoção de coeficientes de segurança. 
Consiste em se majorar as cargas e se reduzir a resistência dos materiais. Os 
diversos critérios adotados para escolha dos coeficientes de segurança 
adequados são estudados ao longo do curso de Engenharia Civil. Adota-se 
neste texto um coeficiente de segurança único que reduz a capacidade de 
carga da estrutura. 
 
2.3- O Método das Seções e Esforços Internos: 
 
 
Seja uma barra de comprimento L, em equilíbrio sob a ações das forças 
externas (cargas e reações), quaisquer no espaço. Na figura 2.3 foi 
representado o caso particular de uma barra de eixo reto e seção constante, 
sujeita as forças mas os conceitos são válidos no caso geral. 
 
 
Fig. 2.3 
 
Devido a grande dificuldade de analisar a transmissão de forças, internamente, 
de cada molécula para suas vizinhas, será analisado a transmissão de 
esforços, internamente, de cada elemento de volume para seus vizinhos. Esse 
método de análise é válido somente para barras e é chamado de Métodos das 
seções. 
 
Exercícios: 
 
01) Calcular as reações de apoio e os esforços simples nas seções E e F da 
viga representada: 
 
 
 
02) Calcular as reações de apoio e os esforços simples nas seções E e F da 
viga representada: