Hayt capitulo 02

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Capítulo 2
Lei de Coulomb e Intensidade de 
Campo Elétrico
Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico
2.1 Lei Experimental de Coulomb
O eletromagnetismo é uma das quatro forças 
fundamentais da natureza, junto com as forças 
nucleares ( força fraca e forte), força gravitacional.
𝐹 = 𝑘.
𝑄1. 𝑄2
𝑅2
Q1, Q2 quantidades positivas ou negativas de cargas, 
R é a separação entre cargas
k constante de proporcionalidade do meio.
𝑘 =
1
4𝜋𝜖0
A constante 
𝜖0 é chamada de permissividade do espaço livre e 
possui unidades em farads por metro.
𝜖0 = 8,854 × 10
−12 F/ m
A lei de Coulomb é agora
𝐹 =
𝑄1. 𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅2
O coulomb é uma unidade de carga extremamente 
grande, pois a menor quantidade de carga conhecida 
é aquela de um elétron (negativa) ou próton 
(positiva), dada por 1,602 × 10−19 C em unidades do 
SI.
Se duas cargas forem positivas, ou de mesmo sinal o 
vetor de Força F2 em Q2 estará na mesma direção e 
sentido do vetor R 12.
Figura 2.1
Figura 2.2
𝑭𝟏𝟐 =
𝑄1. 𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅12
2 . 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟏𝟐 =
𝑹𝟏𝟐
𝑅12
=
𝑹𝟎𝟐 − 𝑹𝟎𝟏
𝑹𝟎𝟐 − 𝑹𝟎𝟏
Exemplo 2.1
Vamos ilustrar o uso da forma vetorial da lei de 
Coulomb posicionando uma carga 
Q1 = 3 x 10 - 4 C em M (1,2,3) e uma carga 
Q2 = - 10 - 4 C em N(2,0,5), no vácuo. 
Determine a força exercida em Q2 por Q1.
R01=[1;2;3]
R02=[2;0;5]
R12=[1;-2;2]
𝑭𝟏𝟐 =
𝑄1. 𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅12
2 . 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟏𝟐 =
𝑹𝟏𝟐
𝑅12
=
𝑹𝟎𝟐 − 𝑹𝟎𝟏
𝑹𝟎𝟐 − 𝑹𝟎𝟏
1. Encontre r 1-Vetor da origem até a carga 1
2. Encontre r 2-Vetor da origem até a carga 2
3. Encontre R 12 – Vetor da carga 1 até a carga 2
R 12 = r 2 – r 1
4. Calcule o módulo de R 12
5. Encontre a 12 – vetor unitário de R 12
6. Substitua os valores nas equações.
𝑭𝟏𝟐 =
𝑄1. 𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅12
2 . 𝒂𝟏𝟐
Solução:
F 2 = [-9,99; 19,97; -19,97] N
𝑭 𝟐 =
−9,9864
19,9728
−19,9728
N 
F 2 = -9,9864 ax +19,9728 ay -19,9728 az
O módulo de F 2 = 29,9591 N
A força expressa pela lei de Coulomb é uma 
força mútua.
F1 = - F2 – Uma atração.
A lei de Coulomb é linear. 
A força em uma carga na presença de várias
outras cargas será a soma das forças naquela
carga em decorrência de uma das outras cargas
que agem sozinhas.
Exercício Proposto Classe 1:
Uma carga QA = -20μCn, está posicionada em A (-
6,4,7) e uma carga QB = 50μC está em B (5,8,-2) no 
espaço livre. 
Se as distâncias são dadas em metros, encontre o 
vetor força exercido em QA por QB.
R0A= [ - 6; 4;7 ]
R0B= [ 5; 8; -2 ]
RAB= [11; 4; -9]
Solução:
FB = -30,7575 ax -11,1845ay +25,1652 az mN;
Módulo de F2 = 41,2844 mN
Exercício Proposto Classe 2:
Escreva um programa em MATLAB que calcule a
solução do problema do Exemplo 1.1
2.2 Intensidade de Campo Elétrico.
A força por unidade de carga é a intensidade do 
campo elétrico
𝑬𝟏 =
𝑭𝟏
𝑄2
=
𝑄1
4𝜋𝜖0𝑅1𝑡
2 𝒂 𝟏𝒕 ( V/m )
Exercício Proposto: Escreva a expressão para o
campo elétrico para uma carga pontual na
origem, em coordenadas esféricas. Como fica a
expressão para fora da origem ?
Se considerarmos uma carga que não esteja na origem do
nosso sistema de coordenadas, o campo não mais
possuirá simetria esférica, e aí podemos utilizar, o sistema
de coordenadas cartesianas. Para uma carga posicionada
em Q,
R’0q = r’ = [x’; y’; z’]
Se desejamos encontrar o campo em um ponto genérico 
P, R0p = r = [x; y; z]
O vetor R que sai do ponto da fonte da carga Q (x’, y’, z’) 
até o ponto de observação P(x, y, z),
Rqp = R = r – r’ = R0p - R’0q = [x;y;z] - [x’;y’;z’]
𝐸 𝑅 =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑅𝑞𝑝
2
𝑅𝑞𝑝
𝑅𝑞𝑝
Poderemos alternativamente usar a nomenclatura clássica,
r’ vetor localizador da carga
r vetor do ponto de observação
R vetor da carga ao ponto de observação
R = r – r’
Como as forças de Coulomb são lineares, a intensidade de
campo elétrico que tem como fonte duas cargas pontuais,
Q1 em r1 e Q2 em r2, podem ser adicionadas por adição
vetorial.
Para mais cargas,
𝑬 𝒓 =෍
𝑚=1
𝑛 𝑄𝑚
4𝜋𝜖0 𝑟 − 𝑟𝑚 2
𝒂𝒎
Uma abordagem sistemática para n cargas,
Cargas: Q1, Q2, Q3,...QN
Vetor onde se deseja calcular o Campo Elétrico: r = [x,y,z]
Vetores de localização das cargas: r’1, r’2, r’3, ... r’n.
Cálculo do campo elétrico
E1=
𝑞1(𝒓−𝒓′𝟏)
4𝜋𝜖0 𝑟−𝑟′1 3
;E2=
𝑞2(𝒓−𝒓′𝟐)
4𝜋𝜖0 𝑟−𝑟′2 3
;E3=
𝑞1(𝒓−𝒓′𝟐)
4𝜋𝜖0 𝑟−𝑟′2 3
;
E n = 
𝑞1(𝒓−𝒓′𝒏)
4𝜋𝜖0 𝑟−𝑟′𝑛 3
Et = E1+E2+E3+...+En.
Figura 2.2
Figura 2.3
Exemplo 2.2
Com o objetivo de ilustrar a aplicação da equação, vamos 
encontrar E em P (1,1,1) causada por quatro cargas: 
idênticas de 3nC posicionadas em 
P1( 1,1,0 ),
P2(-1,1,0 ),
P3(-1,-1,0) e 
P4( 1,-1,0), 
conforme mostrado na Figura 2.4.
Problema Proposto: Escreva um script para MATLAB que 
solucione o problema do Exemplo 2.2.
Figura 2.4
Solução
E = 6.8299 ax +6.8299 ay +32.8299 az V/m
O módulo de E = 34.2213 V/m 
Exercício Proposto Classe 3:
Uma carga de - 0,3μC está posicionada em
A(25, -30,15) ( em cm), e uma segunda carga de 0,25μ
esta em B(-10,8,12) cm. Calcule E em (a) origem..
Solução:
E = 92.4708ax -77.6647ay -94.3683az kV/m
O módulo E = 153.258 kV/m 
A densidade volumétrica de carga, ρ v ( r ), possui 
unidade de coulombs por metro cúbico ( C / m3 ).
∆𝑄 = 𝜌𝑣∆𝑣, em um pequeno volume;
𝜌𝑣 = lim
∆𝑣→0
∆𝑄
∆𝑣
A carga total dentro de um volume finito, de um plano 
de carga e filamento de carga.
𝑄 =׮𝜌𝑣𝑑𝑣; 𝑄 =׮𝜌𝑠𝑑𝑆; 𝑄 =׮𝜌𝐿𝑑𝐿
Exemplo 2.2*
Para o cálculo da carga total é necessário uma integral 
volumétrica, para encontrar a carga total contida em um 
feixe de elétrons de 4 m de comprimento, e de raio ρ = 
a=3 m, mostrado na Figura 2.5.
ρ v = 
𝜌
(𝜌2+25)
3
2
(nC / m3) 
Figura 2.5 ‘
ρ
ρ v ( ρ )
ρ
𝑄 =ම
𝜌
(𝜌2 + 25)
. 𝜌. 𝑑𝜌. 𝑑𝜑. 𝑑𝑧
A solução é obtida desenvolvendo a integral, consul-
tando tabelas, ou usando integração numérica
න
𝜌 𝑑𝜌
(𝜌2 + 25)
=
−1
𝜌2 + 25
න
𝜌2 𝑑𝜌
𝜌2 + 25
=
−𝜌
𝜌2 + 𝑎2
+ ln(𝜌 + 𝜌2 + 𝑎2 )
Solução:
Para h=4 m e a=3m,
Solução numérica=2*pi*4*(log(3+(sqrt((3^2)+25)))-
(3/(sqrt((3^2)+25)))-log(5))
Q total = 1.3654 (nC)
Exercício Proposto Classe 4:
Escreva um script de MATLAB para a solução de
integrais definidas.
Exercício Proposto Classe 5:
Proponha um problema de cálculo de carga total,
propondo uma densidade volumétrica de carga variável
ρ v no sistema de coordenadas cilíndrica ou esféricas, e
solucione.
Figura 2.5
Exercício Proposto Classe 5:
Exemplificando a solução de uma integral volumétrica, 
vamos encontrar a carga total contida em um feixe de 
elétrons de z=h=4 m de comprimento, e de raio ρ=a=2 
m, mostrado na Figura 2.6
𝜌𝑣 𝜌 =
2𝑒𝜌
𝜌
nC/m3
Exercício Proposto Classe 5:
Solução:
Q total = 321.1490 (nC)
2.4 Campo de um anel de carga. Exercício Proposto.
Vamos agora o cálculo do campo elétrico para cargas
não pontuais. Vimos anteriormente, cargas em um
ponto, depois, cargas em volume. Desta vez, veremos a
carga contida em uma linha, um filamento.
2.4 Campo de um anel de carga
r = z az;
r ‘ = ρ.a ρ;
R= r – r’; R = 𝑹 ; R= z az- ρ.a ρ;
𝑑𝑬 =
𝑑𝑄
4𝜋.𝜖0.𝑅3
.R; dQ =ρL.ρdφ
2.4 Campo de uma Linha de Cargas
Vamos agora o cálculo do campo elétrico para cargas
não pontuais. Vimos anteriormente, cargas em um
ponto, depois, cargas em volume. Desta vez, veremos a
carga contida em uma linha, um filamento.
Figura 2.6
2.4 Campo de uma Linha de Cargas de comprimento 2LA carga linear está uniformemente distribuída em um
filamento de comprimento 2L.
2.4 Campo de uma Linha de Cargas de comprimento 
infinito
A partir da expressão anterior obtenha a expressão para
a linha de carga de comprimento infinito.
Campo de uma Linha de Cargas deslocada da origem
Para linhas de carga paralela ao eixo z, no ponto 
P’(6,8,0), Encontre o campo elétrico no ponto de campo 
genérico P(x,y,0).
E = 
𝜌
2𝜋𝜖0𝜌
𝒂𝝆
Exercício Proposto Classe 3
Para linhas de carga paralela ao eixo z, no ponto 
P’(-2,3,ꝏ), Encontre o campo elétrico no ponto de 
campo genérico P(x,y,z).
Figura 2.7
Figura 2.8
Figura 2.9
Figura 2.10
Exercícios Propostos*:
1) Um filamento de carga em formato de anel circular 
de raio ρ= a está carregado com uma distribuição 
uniforme de carga ρ L = cte = C/m e está no plano xy
com seu eixo coincidindo com o eixo z=h. Obtenha o 
campo E ( 0,0,z = h).
Exercícios Propostos:
2) Uma esfera de raio r = 10 possui uma distribuição de 
carga ρ v (r)= 2.r (C/m3). Determine a carga total no 
interior da esfera.
Exercícios Propostos:
3) Determine a carga total, sobre a casca cilíndrica dada
por ρ = 3 m, e 0 < z < 4 m. Onde ρ s (ρ) = 5ρ.z2 nC/m2. 
Exercícios Propostos:
4) Determine a carga total em um volume, carregado 
com uma distribuição de carga ρ v (x,y,z) = 4 x.
No intervalo 0 <= x < =1;
0 <= y < =1;
0 <= z < =1;
Exercícios Propostos:
5) Determine a carga total em um plano z =0, carregado 
com uma distribuição de carga ρ s (x,y,z)=12.10 -3 [y] C / 
m2.
No intervalo -2 <= x < =2; 
-2 <= y < =2
Exercícios Propostos*:
6) Um disco circular está uniformemente carregado com 
ρ s = cte, C/m 2. Considere o disco no plano z = 0 com 
seu eixo ao longo eixo z.
(a) Obtenha o campo E ( 0,0,z = h).
Exercícios Propostos
7 ) A partir do resultado do campo elétrico obtido para 
um disco circular está uniformemente carregado com ρ 
s = cte, C/m 2, considerando o disco plano z = 0 com 
seu eixo ao longo eixo z. 
(a) Obtenha o campo E para um plano infinito de carga 
( 0,0,z = h).
𝑬 𝒛 =
𝜌 𝑠
2.𝜖0
. 𝒂 𝒛
Exercícios Propostos Classe:
8)Obtenha o campo elétrico devido a um filamento de
carga com densidade linear ρ L uniforme que se
estende ao longo do eixo z inteiro. O ponto P situa-se a
uma distância ρ, do centro do filamento de carga.
Exercícios Propostos:
9) Encontre o campo elétrico E no ponto (0,0,5) m 
devido a carga ρ s = 500π μC / m2, uniformemente 
distribuída sobre o disco circular a= 5 m, z =0.
Exercícios Propostos:
10) Uma linha carregada está localizada no eizo z, 
encontre o campo elétrico no ponto ρ = 4 m.
Exercícios Propostos:
11) Encontre a expressão para o campo elétrico devido 
a uma carga uniformemente distribuída em um plano 
infinito em z = 0.
Exercícios Propostos:
12) Um plano localizado em y = 3 ontem uma 
distribuição de densidade ρ s = 10 -8/6π C/m2. 
Determine E em todos os pontos.
Exercícios Propostos*:
13) Obtenha o campo elétrico devido a um filamento de
carga com densidade linear ρ L uniforme que se
estende ao longo do eixo z com comprimento 2L. O
ponto P situa-se a uma distância ρ, do centro do
filamento de carga.
Exercícios Propostos:
13) 
Exercícios Propostos:
13) 
Exercícios Propostos:
13) 
Exercícios Propostos:
13) 
Exercícios Propostos:
13)