Campo elétrico estacionário

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<p>Campo elétrico estacionário</p><p>Prof. Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira</p><p>Descrição</p><p>Estudo da determinação na eletrostática de potenciais elétricos de</p><p>distribuições discretas e contínuas e da capacitância de algumas</p><p>configurações. Aplicação das equações de Laplace e Poisson.</p><p>Apresentação de materiais condutores e dielétricos.</p><p>Propósito</p><p>O conhecimento dos fenômenos físicos relacionados ao campo elétrico</p><p>estacionário, bem como dos cálculos de campos, potenciais e</p><p>capacitâncias, são necessários para o estudo do eletromagnetismo,</p><p>base de diversas disciplinas na área da Engenharia.</p><p>Preparação</p><p>Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos papel, caneta</p><p>e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu</p><p>smartphone/computador.</p><p>Objetivos</p><p>Módulo 1</p><p>Energia potencial e potencial elétrico</p><p>Aplicar cálculos para a determinação de potenciais e energia</p><p>potencial de distribuições de cargas na eletrostática.</p><p>Módulo 2</p><p>Condutores, dielétricos e capacitância</p><p>Reconhecer condutores, dielétricos e cálculos da determinação de</p><p>capacitâncias.</p><p>Módulo 3</p><p>As equações de Poisson e de Laplace</p><p>Aplicar as equações de Laplace e de Poisson na determinação de</p><p>distribuições de potenciais e campos elétricos.</p><p>Introdução</p><p>Antes de começar, confira os principais pontos que serão abordados</p><p>neste conteúdo. Vamos lá!</p><p>Orientação sobre unidade de medida</p><p></p><p>Em nosso material, unidades de medida e números são escritos</p><p>juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No</p><p>entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o</p><p>número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e</p><p>demais materiais escritos por você devem seguir o padrão</p><p>internacional de separação dos números e das unidades.</p><p>1 - Energia potencial e potencial elétrico</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar cálculos para a determinação de potenciais</p><p>e energia potencial de distribuições de cargas na eletrostática.</p><p>Vamos começar?</p><p>Energia e potencial elétrico</p><p>Confira os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.</p><p></p><p>Carga elétrica e campo elétrico</p><p>A observação de que objetos, ao serem atritados, adquiriam a</p><p>propriedade de atrair ou repelir outros corpos remonta à Grécia Antiga. A</p><p>essa capacidade de atração ou repulsão foi dado nome de carga</p><p>elétrica. Posteriormente, verificou-se que essa carga estava relacionada</p><p>à constituição atômica da matéria, isto é, à diferença entre a quantidade</p><p>de prótons e elétrons existentes.</p><p>Quando o número de prótons é maior que o de elétrons, o corpo</p><p>apresenta uma carga elétrica positiva. Quando o número de elétrons é</p><p>superior ao de prótons, ele adquire uma carga elétrica negativa.</p><p>Corpos que apresentam o mesmo número de elétrons e de prótons são</p><p>eletricamente neutros e não possuem cargas elétricas. Os que possuem</p><p>tais cargas são denominados corpos eletrizados.</p><p>Quando eletrizado, um corpo gera ao redor de si uma</p><p>“influência” chamada de campo elétrico. Quanto maior</p><p>o valor da carga elétrica, maior será o valor do campo</p><p>elétrico gerado.</p><p>Qualquer objeto carregado eletricamente que se encontre dentro de uma</p><p>região que possua um campo elétrico sofrerá a influência desse campo.</p><p>Essa influência é sentida pelo aparecimento de uma força elétrica que</p><p>age no objeto. Por isso, um corpo eletrizado atrai ou repele outro corpo</p><p>eletrizado, pois o campo elétrico gerado pelo primeiro age sobre o</p><p>segundo, gerando uma força elétrica.</p><p>A relação entre a força elétrica gerada por um campo elétrico é dada por</p><p>em que q é a carga elétrica do objeto que está recebendo a</p><p>influência e o campo elétrico que existe na região.</p><p>→F = q →E,</p><p>→E,</p><p>Uma analogia pode ser feita com o campo gravitacional. Qualquer</p><p>objeto que possua massa gera ao redor de si uma influência</p><p>denominada campo gravitacional.</p><p>Quando outro objeto que também possui massa entra na região de</p><p>influência do primeiro, sofre o efeito do campo gravitacional.</p><p>Sentido por meio de uma força gravitacional, tal efeito é proporcional ao</p><p>campo gravitacional existente e à massa do corpo que recebe a</p><p>influência.</p><p>A força de atração e repulsão entre dois objetos pontuais eletrizados foi</p><p>medida pelo físico francês Charles Coulomb (1736-1806). Trata-se de</p><p>um processo conhecido como Lei de Coulomb: o módulo da força</p><p>elétrica entre dois objetos é diretamente proporcional às cargas</p><p>elétricas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os</p><p>corpos.</p><p>Assim:</p><p>Em que:</p><p>ϵ é a permissividade elétrica do meio;</p><p>q1 e q2 , as cargas elétricas dos dois objetos; e</p><p>d, a distância entre eles.</p><p>Fel =</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>q1q2</p><p>d2</p><p>N</p><p>No vácuo, o valor da permissividade elétrica vale</p><p>ficando a constante de proporção</p><p>A direção da força elétrica será da linha que une os dois objetos,</p><p>enquanto o sentido dependerá do sinal das duas cargas. Se elas tiverem</p><p>o mesmo sinal, o sentido será de repulsão; se tiverem sinais diferentes,</p><p>ele será de atração.</p><p>Observe a imagem a seguir:</p><p>Forças elétricas entre duas cargas pontuais.</p><p>Usando a relação entre campo elétrico e força elétrica, assim como a Lei</p><p>de Coulomb, pode-se obter a intensidade do campo elétrico produzido</p><p>por uma carga pontual:</p><p>Em que:</p><p>q é a carga elétrica do objeto que gera o campo;</p><p>ϵ, a permissividade elétrica do meio; e</p><p>d , a distância até a carga geradora.</p><p>A direção do campo elétrico será a direção radial. Se a carga geradora</p><p>do campo for positiva, o campo terá o sentido de afastamento; se ela for</p><p>negativa, o sentido de aproximação.</p><p>(ϵ0)</p><p>8, 8510−12[ F/m],</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>= 9 × 109 [</p><p>Nm2</p><p>C2</p><p>].</p><p>E =</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>q</p><p>d2</p><p>N/C</p><p>Campo elétrico gerado por cargas pontuais.</p><p>A unidade de medida do campo elétrico será N/C ou V/m.</p><p>Um campo elétrico será considerado um campo elétrico estático ou</p><p>campo eletrostático quando for produzido por cargas elétricas</p><p>estáticas, isto é, nem o valor da carga elétrica nem a posição espacial</p><p>delas mudam com o tempo.</p><p>Resumindo</p><p>As cargas elétricas são constantes, e sua posição relativa não varia.</p><p>Energia potencial elétrica</p><p>O conceito de energia potencial não é novo. Nos estudos da Física, ele é</p><p>sempre associado à energia potencial em um campo físico dito</p><p>conservativo.</p><p>Nos campos conservativos, garantimos o princípio da conservação de</p><p>energia em um sistema isolado, associando um valor de energia</p><p>potencial a cada ponto do sistema.</p><p>conservativo</p><p>Campo conservativo é aquele em que o trabalho executado para levar um</p><p>objeto de um ponto a outro independe do caminho percorrido, dependendo</p><p>apenas do ponto inicial ao ponto final.</p><p>Outro campo conservativo que você já estudou na Física foi o da força</p><p>elástica de uma mola.</p><p>Acontece que o campo eletrostático também é um conservativo; com</p><p>isso, o fenômeno associado à eletrostática também pode ser descrito</p><p>por meio da energia potencial associada.</p><p>Exemplo</p><p>Ao colocarmos duas cargas pontuais positivas próximas entre si, vemos</p><p>que uma vai gerar um campo elétrico, o qual, por sua vez, produzirá uma</p><p>força elétrica de repulsão na outra. Se colocarmos as cargas nos pontos</p><p>e soltá-las, a força de repulsão fará com que elas adquiram velocidade e</p><p>se afastem uma da outra até o infinito.</p><p>Podemos analisar esse fenômeno da seguinte forma: as cargas</p><p>possuíam uma energia potencial elétrica armazenada pela existência do</p><p>campo elétrico na região. Além disso, por estarem paradas, elas não</p><p>possuíam energia cinética. Ao soltá-las, a energia potencial elétrica foi</p><p>se convertendo em energia cinética, o que conferia uma velocidade às</p><p>cargas enquanto elas se afastavam.</p><p>Calculemos essa energia potencial do sistema formado por duas cargas</p><p>pontuais. Para isso, vamos fixar uma das cargas q1 e deixar a carga q2</p><p>livre para se movimentar.</p><p>Dica</p><p>Não se esqueça de que a energia é dada pela variação do trabalho</p><p>realizado pela força – que, nesse caso, é a força elétrica. Desse modo, a</p><p>energia potencial elétrica será dada pelo trabalho que essa força</p><p>executar para levar a carga, que está livre, do ponto inicial até o infinito.</p><p>A energia será medida em Joules (J).</p><p>A energia potencial</p><p>do plano de carga;</p><p>assim, todos os pontos da base do cilindro terão o mesmo valor.</p><p>Veja:</p><p>De forma análoga:</p><p>Temos de calcular agora a carga elétrica armazenada no plano.</p><p>Essa carga estará na interseção entre o cilindro e o plano.</p><p>Substituindo na Lei de Gauss, temos:</p><p>→E ⋅ d →S = | →E||dS| cos 0 = EdS</p><p>∫∫◯</p><p>Superficie</p><p>→E ⋅ d →S = ∫∫◯</p><p>Base Sup</p><p>→E ⋅ d →S + ∫∫◯</p><p>Base Inf</p><p>→E ⋅ d →S</p><p>→E ⋅ d →S = ∫∫◯</p><p>Base Sup</p><p>EdS = E ∫∫◯</p><p>Base Sup</p><p>dS = E Area da Base</p><p>∮</p><p>Base Sup</p><p>→E ⋅ d →S = Eπr2</p><p>∫∫◯</p><p>Base Inf</p><p>→E ⋅ d →S = Eπr2</p><p>∫∫◯</p><p>Superficie</p><p>→E ⋅ d →S = ∫∫◯</p><p>Base Sup</p><p>→E ⋅ d →S + ∫∫◯</p><p>Base Inf</p><p>→E ⋅ d →S = 2Eπr2</p><p>QT =∬</p><p>plano</p><p>ρSdS = ρS∬</p><p>plano</p><p>dS = ρS Area Base Cilindr</p><p>Como o valor do campo não depende do tamanho do cilindro</p><p>escolhido, o campo gerado pelo plano de carga vai valer:</p><p>Questão 5</p><p>Uma superfície esférica de raio b no ar não apresenta carga em seu</p><p>interior, porém possui uma distribuição superficial de carga β</p><p>constante em sua casca externa. Por meio da equação de Laplace,</p><p>calcule a distribuição de potenciais dentro da esfera.</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.</p><p>∫∫◯</p><p>Superficie</p><p>→E ⋅ d →S =</p><p>QT</p><p>ϵ</p><p>2Eπr2 =</p><p>ρS</p><p>ϵ</p><p>πr2 → E =</p><p>ρS</p><p>2ϵ</p><p>→E =</p><p>ρS</p><p>2ϵ</p><p>ẑ</p><p>A φ(r) = 0</p><p>B φ(r) =</p><p>βb2</p><p>2ϵ0</p><p>C φ(r) =</p><p>βb2</p><p>ϵ0</p><p>D φ(r) =</p><p>βb</p><p>ϵ0</p><p>E φ(r) =</p><p>βb</p><p>2ϵ0</p><p>Questão 6</p><p>Duas grandes placas metálicas fazem entre si um ângulo</p><p>A placa mais à esquerda é mantida a 0V; a mais à</p><p>direita, a V = 100V. As placas estão isoladas. Determine a</p><p>distribuição de potencial elétrico na região do ar entre elas.</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.</p><p>θ =</p><p>π</p><p>3</p><p>.</p><p>A φ(ϕ) =</p><p>150</p><p>π</p><p>ϕ</p><p>B φ(ϕ) =</p><p>300</p><p>π</p><p>ϕ</p><p>C φ(ϕ) =</p><p>500</p><p>π</p><p>ϕ</p><p>D φ(ϕ) =</p><p>800</p><p>π</p><p>ϕ</p><p>E φ(ϕ) =</p><p>900</p><p>π</p><p>ϕ</p><p>Teoria na prática</p><p>Um capacitor de placas paralelas apresenta um dielétrico entre suas</p><p>placas com permissividade elétrica relativa igual a 2. Esse dielétrico</p><p>apresenta uma densidade volumétrica de cargas ρ. As duas placas</p><p>estão conectadas a uma fonte de tensão constante V0 e apresentam</p><p>uma distância d entre si.</p><p>Determine a distribuição do potencial elétrico e do campo elétrico</p><p>dentro do capacitor. Despreze o efeito das bordas das placas.</p><p>Considere a placa ligada no polo negativo da bateria localizada em x</p><p>= 0 e aquela ligada no polo positivo da bateria em x = d.</p><p>Capacitor de placas paralelas alimentado por uma fonte.</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>_black</p><p>Mostrar solução</p><p>Questão 1</p><p>Duas placas metálicas grandes e paralelas entre si encontram-se no</p><p>ar a uma distância de 1m uma da outra. Uma das placas, localizada</p><p>em y =0, tem um potencial elétrico zero; a outra, um potencial</p><p>elétrico de 50V. Resolva a equação de Laplace e aponte o valor do</p><p>potencial elétrico em um ponto que está a 0,3m da primeira placa.</p><p>Despreze o efeito das bordas das placas.</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>O potencial elétrico só dependerá da coordenada y:</p><p>Pela equação de Laplace, temos:</p><p>Em que k1 é uma constante real de integração.</p><p>A 5V</p><p>B 10V</p><p>C 15V</p><p>D 20V</p><p>E 30V</p><p>∇2φ =</p><p>∂ 2φ</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>=</p><p>∂ 2φ</p><p>∂y2</p><p>∇2φ = 0</p><p>∂ 2φ</p><p>∂y2</p><p>= 0 →</p><p>∂φ</p><p>∂y</p><p>= k1</p><p>∂φ</p><p>∂y</p><p>= k1 → φ = ∫ k1dy</p><p>φ(y) = k1y+ k2</p><p>Em que k1 e k2 são números reais.</p><p>Substituindo as condições de contorno, temos:</p><p>para</p><p>Para</p><p>Questão 2</p><p>Uma nuvem de carga cilíndrica de raio de 2m apresenta uma</p><p>densidade volumétrica de carga constante igual a 1C/m3. Essa</p><p>nuvem está no ar. Indique a distribuição de potencial elétrico dentro</p><p>da nuvem, considerando que só existe uma variação do potencial</p><p>com a distância ao eixo do cilindro. Considere como referência que</p><p>o potencial elétrico na casca dessa nuvem ( ρ=2 ) valha 10V.</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Dentro da nuvem, que é uma região com carga elétrica, utilizaremos</p><p>a equação de Poisson. Vamos considerar a densidade como e o</p><p>φ(y = 0) = k10 + k2 = k2</p><p>φ(y = 0) = 0 → k2 = 0</p><p>φ(y = 1) = k1 ⋅ 1 + k2 = k1 = 50</p><p>φ(y) = 50y 0 < y < 1</p><p>y = 0, 3 → φ(0, 3) = 50.0, 3 = 15 V.</p><p>A φ(ρ) =</p><p>1</p><p>4ϵ0</p><p>(4 − ρ2)+ 10</p><p>B φ(ρ) =</p><p>1</p><p>ϵ0</p><p>(2 − ρ2)+ 10</p><p>C φ(ρ) =</p><p>1</p><p>4ϵ0</p><p>(4 + ρ2)</p><p>D φ(ρ) =</p><p>1</p><p>4ϵ0</p><p>(2 − ρ2)+ 5</p><p>E φ(ρ) =</p><p>1</p><p>4ϵ0</p><p>(4 − ρ2)</p><p>λ</p><p> </p><p>raio do cilindro b:</p><p>Pela simetria, utilizaremos coordenadas cilíndricas. Já o potencial</p><p>dependerá apenas da coordenada .</p><p>Assim:</p><p>Usando uma condição de contorno, vemos que, para , se tem</p><p>.</p><p>A segunda condição de contorno: no eixo do cilindro, isto é, .</p><p>Em coordenadas cilíndricas dependendo apenas da coordenada ,</p><p>temos isto:</p><p>∇2φ = −</p><p>ρ</p><p>ϵ</p><p>= −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>ρ</p><p>∇2φ =</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>)+</p><p>1</p><p>ρ2</p><p>∂ 2φ</p><p>∂ϕ2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>=</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) = −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>→</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) = −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) = −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>ρ → ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>= ∫ −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>ρdρ = −</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ2 +</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>= −</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ+</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>φ(ρ) = ∫ (−</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ+</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>)dρ = −</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>ρ2 + k1 ln(ρ) + k</p><p>r = b</p><p>φ = 10</p><p>φ(ρ = b) = −</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2 + k1 ln(b) + k2</p><p>φ(ρ = b) = 10 → −</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2 + k1 ln(b) + k2 = 10</p><p>ρ = 0</p><p>→E = −∇φ</p><p>ρ</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>ρ̂+</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂+</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ =</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>ρ̂</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>=</p><p>d</p><p>dρ</p><p>(−</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>ρ2 + k1 ln(ρ) + k2) = −</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ+</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>Assim:</p><p>Somente com se obtém .</p><p>Assim:</p><p>Para .</p><p>Retornando à equação .</p><p>Como</p><p>Substituindo e .</p><p>Obtemos:</p><p>Considerações �nais</p><p>Apresentamos neste conteúdo o estudo do campo elétrico estacionário,</p><p>base para o entendimento do eletromagnetismo. Destrinchamos o</p><p>cálculo de potenciais elétricos e energia potencial elétrica de</p><p>distribuições discretas e contínuas de carga.</p><p>→E(ρ) = −∇φ = (</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ−</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>)ρ̂</p><p>k1 = 0 →E(ρ = 0) = 0</p><p>→E(ρ) =</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρρ̂</p><p>0 < ρ < b</p><p>− λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2 + k1 ln(b) + k2 = 10</p><p>k1 = 0 → k2 = λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2 + 10</p><p>φ(ρ) = −</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>ρ2 +</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2 + 10 =</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>(b2 − ρ2)+ 10</p><p>b = 2m λ = 1C/m3</p><p>φ(ρ) =</p><p>1</p><p>4ϵ0</p><p>(4 − ρ2)+ 10</p><p>Em seguida, analisamos a diferença entre os materiais condutores e</p><p>dielétricos, além de definirmos e calcularmos a capacitância de alguns</p><p>dispositivos. Por fim, estudamos a aplicação das equações de Laplace e</p><p>Poisson na determinação de distribuições de campos e potenciais</p><p>elétricos.</p><p>Referências</p><p>NOTAROS, B. M. Eletromagnetismo. São Paulo: Pearson, 2011. cap. 1-2.</p><p>p. 1-487.</p><p>PAUL, C. R. Eletromagnetismo para engenheiros com aplicações. Rio de</p><p>Janeiro: LTC, 2006. cap. 3. p. 54-85.</p><p>QUEVEDO, C. P.; QUEVEDO-LODI, C. Ondas eletromagnéticas. São Paulo:</p><p>Pearson, 2009. cap. 2-3. p. 32-96; 102-131.</p><p>SERWAY, R. S.; JEWETT, J. W. Princípios de Física – eletromagnetismo.</p><p>v. 3. São Paulo: Thomson, 2002. cap. 19-20. p. 676-765.</p><p>WENTWORTH, S. M. Fundamentos de eletromagnetismo. Rio de Janeiro:</p><p>LTC, 2006. cap. 2.1-2.13.</p><p>Explore +</p><p>Confira agora o que separamos especilamente para você!</p><p>Leia o artigo Campo eletrostático de uma carga em repouso num</p><p>campo gravitacional uniforme, por Mario goto, e compreenda um pouco</p><p>mais sobre a aplicação dos campos elétricos e da Lei de Gauss.</p><p>elétrica que uma carga q2 possui ao estar a uma</p><p>distância r0 de outra carga q1 é:</p><p>Resolvendo a integral, temos:</p><p>Lembre-se de que, no infinito não existe mais a influência</p><p>do campo, pois a distância será infinita; assim, o campo será nulo. Por</p><p>conta disso, considera-se que, no infinito, a energia potencial elétrica</p><p>será nula para um campo gerado por uma carga pontual.</p><p>Se as cargas tiverem o mesmo sinal, a energia potencial elétrica será</p><p>positiva. Dessa forma, a carga q2 sofrerá uma repulsão. Com o seu</p><p>Ep = ΔW = ∫ →Fel ⋅ d→r = ∫</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>q1q2</p><p>r2</p><p>dr =</p><p>q1q2</p><p>4πϵ</p><p>∫</p><p>1</p><p>r2</p><p>dr</p><p>Ep =</p><p>q1q2</p><p>4πϵ</p><p>[−</p><p>1</p><p>r</p><p>]</p><p>∞</p><p>r0</p><p>= −0 +</p><p>q1q2</p><p>4πϵr0</p><p>=</p><p>q1q2</p><p>4πϵr0</p><p>J</p><p>(r = ∞),</p><p>deslocamento, o valor de r aumentará; consequentemente, o valor da</p><p>energia potencial vai diminuir até o infinito.</p><p>Resumindo</p><p>A energia potencial armazenada será totalmente convertida em energia</p><p>cinética no infinito, em que a carga atingirá sua velocidade máxima.</p><p>Se as cargas tiverem sinais contrários, a energia potencial elétrica será</p><p>negativa. Dessa forma, a carga q2 sofrerá uma atração. Com o</p><p>deslocamento, o valor de r diminuirá. Consequentemente, a energia</p><p>potencial ficará cada vez mais negativa, diminuindo o seu valor, mas</p><p>aumentando a sua velocidade (energia cinética) até eles se chocarem.</p><p>Exemplo 1</p><p>Uma carga de – 5C está fixa no vácuo. Outra carga de – 10C é colocada</p><p>em um ponto a 1m de distância da primeira. Determine a energia</p><p>potencial elétrica armazenada no sistema e a velocidade que a carga</p><p>terá no infinito, considerando uma massa de 9g.</p><p>Usando a fórmula apresentada, verificamos que:</p><p>Quando a carga for solta, toda a energia potencial será</p><p>convertida em cinética no infinito. Assim:</p><p>Vamos avançar em nosso estudo!</p><p>Solução - exemplo 1 </p><p>Ep =</p><p>q1q2</p><p>4πϵr0</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>q1q2</p><p>r0</p><p>=</p><p>9 ⋅ 109 (−5)(−10)</p><p>1</p><p>= 45 ⋅ 1010 J</p><p>1</p><p>2</p><p>mv2 = Ep = 45 ⋅ 1010</p><p>v2 =</p><p>2.45 ⋅ 1010</p><p>9 ⋅ 10−3</p><p>= 1014</p><p>v =√1014 = 107 m/s</p><p>Potencial elétrico</p><p>O conceito de energia potencial estudado no tópico anterior depende do</p><p>valor das duas cargas envolvidas no fenômeno. Será interessante criar</p><p>um ente físico associado à energia potencial que dependa apenas da</p><p>carga geradora do campo elétrico denominada carga fonte. Esse ente</p><p>será o potencial elétrico.</p><p>Definiremos o potencial elétrico em um ponto como a energia</p><p>potencial elétrica do ponto dividida pela carga elétrica. A unidade do</p><p>potencial é J/C, que, por sua vez, é chamada de Volts (V).</p><p>Usando a fórmula da energia potencial e dividindo pela carga de prova</p><p>colocada no ponto, será possível obter o potencial elétrico gerado por</p><p>uma carga pontual q1 a uma distância r0 dela:</p><p>Dica</p><p>Repare que potencial elétrico é uma grandeza escalar e não vetorial,</p><p>tendo apenas módulo.</p><p>Também é possível interpretar o potencial como o trabalho realizado</p><p>pelo campo elétrico no deslocamento da partícula de prova do ponto</p><p>dado até o infinito. Veja:</p><p>Observe que se obteve a mesma fórmula.</p><p>Nas fórmulas dispostas acima, consideramos como</p><p>referência o potencial zero no infinito.</p><p>Veja mais exemplos para melhor compreensão do assunto:</p><p>Exemplo 2</p><p>φ</p><p>φ =</p><p>Ep</p><p>q2</p><p>=</p><p>q1</p><p>4π ∈ r0</p><p>V</p><p>φ = ∫</p><p>∞</p><p>r0</p><p>→E ⋅ d→r = ∫</p><p>∞</p><p>r0</p><p>q1</p><p>4πϵr2</p><p>dr =</p><p>q1</p><p>4πϵ</p><p>∫</p><p>∞</p><p>r0</p><p>1</p><p>r2</p><p>dr ∣</p><p>φ =</p><p>q1</p><p>4πϵ</p><p>[− 1</p><p>r</p><p>]</p><p>∞</p><p>r0</p><p>=</p><p>q1</p><p>4πϵr0</p><p>V</p><p>Vamos determinar o potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme</p><p>de 10C em um ponto localizado a 2m e em outro a 1m da carga fonte.</p><p>As cargas estão no vácuo. Considere como referencial o potencial zero</p><p>no infinito.</p><p> </p><p>Usando a fórmula apresentada para uma carga puntiforme,</p><p>temos o seguinte:</p><p>Nos problemas práticos, estamos mais interessados em saber a</p><p>diferença de potencial entre dois pontos que determinar o valor</p><p>absoluto do potencial. O valor absoluto em cada ponto depende</p><p>da referência escolhida, embora a diferença do potencial entre</p><p>dois pontos independa da referência.</p><p>A diferença de potencial entre dois pontos localizados a</p><p>r2 e r1 da carga fonte será obtida pela definição de potencial</p><p>elétrico. Observe:</p><p>Tal fórmula será mais bem apresentada se invertermos os</p><p>limites da integral:</p><p>Se considerarmos o ponto 1 como a referência do potencial,</p><p>teremos:</p><p>Solução - exemplo 2 </p><p>φ1 =</p><p>q</p><p>4πϵr0</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>q</p><p>r0</p><p>= 9 ⋅ 109 10</p><p>2</p><p>= 45 ⋅ 109 V</p><p>φ2 =</p><p>q</p><p>4πϵr0</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>q</p><p>r0</p><p>= 9 ⋅ 109 10</p><p>1</p><p>= 90 ⋅ 109 V</p><p>Δφ</p><p>Δφ = φ2 − φ1 = ∫</p><p>∞</p><p>r2</p><p>→E ⋅ d→r− ∫</p><p>∞</p><p>r1</p><p>→E ⋅ d→r = ∫</p><p>∞</p><p>r2</p><p>→E ⋅ d→r</p><p>Δφ = φ2 − φ1 = ∫</p><p>r1</p><p>r2</p><p>→E ⋅ d→r</p><p>Δφ = φ2 − φ1 = −∫</p><p>r2</p><p>r1</p><p>→E ⋅ d→r</p><p>φ2 = φref − ∫</p><p>r2</p><p>rref</p><p>→E ⋅ d→r</p><p> </p><p>Agora usaremos essa fórmula para o caso do potencial elétrico</p><p>gerado por uma carga puntiforme:</p><p>Observe que, se você considerar a referência padrão de potencial</p><p>zero no infinito, isto é, e a fórmula recai</p><p>para a deduzida anteriormente:</p><p>Exemplo 3</p><p>Aqui vamos determinar o potencial elétrico gerado por uma carga</p><p>pontual de 10C em um ponto localizado a 1m dela e que esteja no</p><p>vácuo. Considere que o potencial elétrico a uma distância de 2m da</p><p>carga fonte seja de</p><p>Repare que agora o referencial não é mais zero no infinito, não</p><p>sendo possível substituir a fórmula usada no exemplo anterior.</p><p>Devemos usar então:</p><p>Considerando o ponto 1 como referência, verifica-se que</p><p>e</p><p>Assim:</p><p>Δφ = φ2 − φ1 = −∫</p><p>r2</p><p>r1</p><p>→E ⋅ d→r = −∫</p><p>r2</p><p>r1</p><p>q1</p><p>4πϵr2</p><p>dr = −</p><p>q</p><p>4</p><p>Δφ = φ2 − φ1 = −</p><p>q1</p><p>4πϵ</p><p>[−</p><p>1</p><p>r</p><p>]</p><p>r2</p><p>r1</p><p>=</p><p>q1</p><p>4πϵ</p><p>[</p><p>1</p><p>r</p><p>]</p><p>r2</p><p>r1</p><p>=</p><p>q1</p><p>4πϵ</p><p>(</p><p>φ1 = 0 r1 = ∞,</p><p>φ2 =</p><p>q1</p><p>4πϵr2</p><p>.</p><p>5 ⋅ 109 V.</p><p>Solução - exemplo 3 </p><p>φ2 − φ1 =</p><p>q</p><p>4πϵ</p><p>( 1</p><p>r2</p><p>−</p><p>1</p><p>r1</p><p>)</p><p>r1 = 2 m φ1 = 5 ⋅ 109 V.</p><p>φ2 = φ1 +</p><p>q</p><p>4πϵ</p><p>(</p><p>1</p><p>r2</p><p>−</p><p>1</p><p>r1</p><p>) =</p><p>5 ⋅ 109 + 9 ⋅ 109 ⋅ 10( 1</p><p>1</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>φ2 = 5 ⋅ 109 + 9 ⋅ 109 ⋅ 10 ⋅</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>5 ⋅ 109 + 45 ⋅ 109 = 50 ⋅ 109 V</p><p>Compare os dois exemplos resolvidos. O exemplo 2 tinha a referência o</p><p>potencial igual a zero no infinito e o exemplo 3, o potencial igual a</p><p>em um ponto localizado a da fonte. Apesar da</p><p>mudança de referencial, a diferença de potencial entre o ponto 1 e o</p><p>ponto 2 não se alterou, ficando em Isso mostra que a</p><p>diferença de potenciais entre os pontos não depende da referência</p><p>escolhida.</p><p>Retomemos a relação entre diferença de potencial e campo elétrico:</p><p>Considere a carga fonte positiva; assim, o campo elétrico gerado será</p><p>um campo de afastamento. Vamos considerar o ponto 1 mais próximo</p><p>da carga fonte e o ponto 2 mais afastado.</p><p>Dessa forma, o campo elétrico aponta do ponto 1 para o 2, enquanto a</p><p>integral de linha no deslocamento de 1 para 2, isto é, é</p><p>positiva. Com isso, vemos que</p><p>Veja que o valor do potencial elétrico vai diminuindo</p><p>conforme nos afastamos da carga, ou seja, diminui no</p><p>sentido do campo elétrico.</p><p>Vamos repetir o mesmo raciocínio para uma carga fonte negativa. O</p><p>campo elétrico gerado será de aproximação, considerando o ponto 1</p><p>mais próximo da carga fonte e o 2, mais afastado.</p><p>Dessa maneira, o campo elétrico aponta do ponto 2 para o ponto 1. Já a</p><p>integral de linha no deslocamento de 1 para 2, ou seja, é</p><p>negativa. Com isso, vemos que</p><p>Para esse caso, então, o valor do potencial diminui conforme nos</p><p>aproximamos da carga, ficando cada vez mais negativo. Repare que o</p><p>comportamento foi mantido, com o potencial elétrico diminuindo no</p><p>sentido do campo elétrico. Dessa forma, podemos concluir que o campo</p><p>elétrico gerado sempre apontará do maior para o menor potencial</p><p>elétrico.</p><p>Comentário</p><p>As fórmulas vistas neste tópico nos permitem obter o potencial se</p><p>conhecermos o campo elétrico. A seguir, veremos como se consegue</p><p>obter esse campo conhecendo o potencial.</p><p>5 ⋅ 109 V 1 m</p><p>45 ⋅ 109 V.</p><p>φ2 − φ1 = −∫</p><p>r2</p><p>r1</p><p>→E ⋅ d→r</p><p>∫</p><p>r2</p><p>r1</p><p>→E. d→r,</p><p>φ2 < φ1.</p><p>∫</p><p>r2</p><p>r1</p><p>→E. d→r,</p><p>φ2 > φ1.</p><p>Relação entre potencial elétrico e</p><p>campo elétrico</p><p>Recapitulando, verificamos que:</p><p>Sabemos ainda que:</p><p>A derivada direcional em determinada direção poderia ser obtida por:</p><p>Em que é o operador gradiente da função e o vetor</p><p>unitário da direção desejada.</p><p>Assim:</p><p>Substituindo, temos:</p><p>Com isso, obtemos:</p><p>Comparando as duas integrais de linha, temos o seguinte:</p><p>φ− φref = −∫</p><p>r</p><p>rref</p><p>→E ⋅ d→r</p><p>φ− φref = ∫</p><p>r</p><p>rref</p><p>dφ</p><p>dφ</p><p>dr</p><p>= ∇φ ⋅ ûr</p><p>∇φ φ ûr,</p><p>dφ = ∇φ. ûrdr = ∇φ. d→r</p><p>φ− φref = ∫</p><p>r</p><p>rref</p><p>dφ = ∫</p><p>r</p><p>rref</p><p>∇φ ⋅</p><p>d→r</p><p>φ− φref = ∫</p><p>r</p><p>rref</p><p>∇φ ⋅ d→r = −∫</p><p>r</p><p>rref</p><p>→E ⋅ d→r = ∫</p><p>r</p><p>rref</p><p>(− →E) ⋅ d→r</p><p>→E = −∇φ</p><p>Obtendo o valor do potencial elétrico, será possível obter o campo</p><p>elétrico aplicando o valor do gradiente do potencial elétrico e</p><p>multiplicando por menos um.</p><p>Vejamos a fórmula do gradiente:</p><p>Coordenadas cartesianas</p><p> </p><p>Coordenadas cilíndricas</p><p> </p><p>Coordenadas esféricas</p><p> </p><p>Vamos a mais exemplos!</p><p>Exemplo 4</p><p>Determine o valor do campo elétrico gerado por uma carga pontual em</p><p>um ponto a uma distância da carga fonte. Sabe-se que o potencial</p><p>elétrico no ponto vale em que k é uma constante.</p><p>∂φ</p><p>∂x</p><p>x̂+</p><p>∂φ</p><p>∂y</p><p>ŷ+</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ ∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂x</p><p>x̂+</p><p>∂φ</p><p>∂y</p><p>ŷ+</p><p>ρ̂+</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂+</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ ∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>ρ̂+</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂</p><p>∂φ</p><p>∂θ</p><p>θ̂+</p><p>1</p><p>r sen θ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂ ∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>r̂+</p><p>1</p><p>r</p><p>∂φ</p><p>∂θ</p><p>θ̂+</p><p>r</p><p>φ = k</p><p>q</p><p>r′</p><p>Dado em coordenadas esféricas, o potencial elétrico depende</p><p>apenas da coordenada r:</p><p>Exemplo 5</p><p>Determine o valor do campo elétrico gerado por um anel de carga de</p><p>raio b em um ponto no eixo do anel a uma altura H do centro. Sabe-se</p><p>que o potencial elétrico, nesse ponto, vale em que</p><p>k é uma constante.</p><p> </p><p>Dado em coordenadas cilíndricas, o potencial elétrico depende</p><p>apenas da coordenada z:</p><p>Até o momento, trabalhamos com carga pontual. No entanto, vamos</p><p>obter a seguir os potenciais elétricos de distribuições de carga mais</p><p>complexas.</p><p>Solução - exemplo 4 </p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>r̂+</p><p>1</p><p>r</p><p>∂φ</p><p>∂θ</p><p>θ̂+</p><p>1</p><p>r sen θ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>r̂ =</p><p>d</p><p>dr</p><p>(k q</p><p>r</p><p>)r̂ = kq</p><p>d</p><p>dr</p><p>( 1</p><p>r</p><p>)r̂ = −kq</p><p>1</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>→E = −∇φ =</p><p>kq</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>φ =</p><p>k</p><p>√z2 + b2</p><p>,</p><p>Solução - exemplo 5 </p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>ρ̂+</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂+</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ =</p><p>d</p><p>dz</p><p>(</p><p>k</p><p>√z2 + b2</p><p>)ẑ = k</p><p>d</p><p>dz</p><p>(</p><p>1</p><p>√z2 + b2</p><p>)ẑ</p><p>→E = −∇φ =</p><p>kz</p><p>3√z2 + b2</p><p>ẑ</p><p>Potencial elétrico de uma</p><p>distribuição de carga</p><p>Estudada até aqui, a carga pontual constitui a base para se determinar o</p><p>potencial elétrico de qualquer distribuição de carga. Toda distribuição de</p><p>carga discreta ou contínua pode ser analisada como um conjunto de</p><p>cargas pontuais. Tendo isso em vista, podemos usar o princípio da</p><p>superposição para o cálculo do potencial elétrico.</p><p>O princípio da superposição atesta que o potencial elétrico gerado por</p><p>uma distribuição de cargas é dado pela soma dos potenciais elétricos</p><p>individualmente gerados por cada carga.</p><p>No caso de uma distribuição discreta, temos um conjunto de cargas</p><p>pontuais.</p><p>Dessa forma, o potencial elétrico resultante será dado por:</p><p>Em que: qi é o valor de cada carga elétrica individual e ri, a distância do</p><p>ponto à carga.</p><p>Exemplo 6</p><p>Em uma região do vácuo, uma carga elétrica de se encontra na</p><p>origem do sistema de coordenadas, enquanto outra carga de</p><p>está na posição Determine o potencial elétrico</p><p>resultante em um ponto localizado na coordenada</p><p>φ =</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>n</p><p>∑</p><p>i=1</p><p>qi</p><p>ri</p><p>5C</p><p>−5C</p><p>(x, y, z) = (4, 0, 0).</p><p>(x, y, z) = (0, 3, 0)</p><p>Posicionamento de cargas elétricas pontuais.</p><p>Usando o princípio da superposição, o valor do potencial em P</p><p>será a soma do potencial gerado pela carga de 5C mais aquele</p><p>gerado pela carga de – 5C. Determine também a energia</p><p>potencial elétrica quando se coloca uma carga de 1C nesse</p><p>ponto P.</p><p>Desse modo, temos:</p><p>A distância r1 é obtida diretamente pelo eixo e vale 3m. Já a</p><p>distância r2 se obtém usando um triângulo retângulo cujos</p><p>catetos valem 3m e 4 m.</p><p>Com isso, a distância r2 é dada por:</p><p>Assim, obtemos:</p><p>Vejamos mais um exemplo com base no anterior!</p><p>Exemplo 7</p><p>Solução - exemplo 6 </p><p>φ =</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>2</p><p>∑</p><p>i=1</p><p>qi</p><p>ri</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>( 5</p><p>r1</p><p>+</p><p>(−5)</p><p>r2</p><p>)</p><p>r2 =√32 + 42 = √25 = 5 m</p><p>φ =</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>(</p><p>5</p><p>3</p><p>+</p><p>(−5)</p><p>5</p><p>) = 9 ⋅ 109 (</p><p>5</p><p>3</p><p>− 1)</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>9 ⋅ 109 = 6 ⋅ 109 V</p><p>Vamos determinar o valor do trabalho para se trazer uma carga de 1C do</p><p>infinito até o ponto P para a distribuição de carga do exemplo anterior.</p><p>Repare que o valor do potencial elétrico do ponto independe da</p><p>carga colocada nesse ponto. O trabalho pedido é igual à energia</p><p>potencial quando se coloca uma carga de 1C no ponto P.</p><p>Para o caso de uma distribuição contínua de carga, considere</p><p>que essa distribuição seja dividida em cargas infinitesimais</p><p>pontuais representadas por dq.</p><p>Distribuição contínua de carga.</p><p>Desse modo, usando o teorema da superposição, o potencial</p><p>obtido será a soma dos potenciais individuais gerados por cada</p><p>elemento dq.</p><p>Cada elemento dq gera no ponto P um potencial elétrico:</p><p>O potencial resultante será a soma dos potenciais individuais:</p><p>Se a distribuição de carga tiver apenas uma dimensão, isto é, for</p><p>uma curva, obteremos o valor da carga por meio de uma</p><p>densidade linear de carga :</p><p>Solução - exemplo 7 </p><p>Ep = qφ = 1 ⋅ 6 ⋅ 109 = 6 ⋅ 109 J</p><p>dφ =</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>dq</p><p>r</p><p>φ = ∫ dφ = ∫</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>dq</p><p>r</p><p>(ρl)</p><p>dq = ρldl</p><p> </p><p>Se a distribuição de carga tiver duas dimensões, ou seja, for uma</p><p>área, conseguiremos o valor da carga por intermédio de uma</p><p>densidade superficial de carga :</p><p>Se a distribuição de carga tiver três dimensões, o valor da carga</p><p>será obtido graças a uma densidade volumétrica de carga</p><p>:</p><p>A fórmula para o potencial de uma distribuição contínua de</p><p>carga, portanto, será de:</p><p>A seguir, confira como se dá o cálculo do potencial elétrico de uma</p><p>distribuição de carga.</p><p>Cálculo de potencial elétrico de uma</p><p>distribuição de carga</p><p>Obtivemos, antes, a fórmula para a determinação do potencial elétrico</p><p>de qualquer distribuição de carga contínua. É óbvio que, quanto mais</p><p>complexa for a geometria da distribuição, mais difícil será obter o</p><p>potencial.</p><p>Agora apresentaremos um exemplo de uma distribuição de carga na</p><p>forma de um anel.</p><p>Exemplo 8</p><p>Determine o potencial gerado por um anel de carga de raio a e com</p><p>densidade de carga superficial ρ, em um ponto no eixo central do anel e</p><p>a uma distância H do centro do anel.</p><p>(ρS)</p><p>dq = ρSdS</p><p>(ρV )</p><p>dq = ρV dV</p><p>φ = ∫ 1</p><p>4πϵr</p><p>ρldl ou φ = ∫ 1</p><p>4πϵr</p><p>ρsdS ou φ = ∫ 1</p><p>4πϵr</p><p>ρ</p><p>Solução - exemplo 8 </p><p>Para facilitar nossa solução, colocaremos o anel localizado no</p><p>plano xy com seu centro na origem do sistema coordenado e o</p><p>eixo central do anel sobre o eixo z:</p><p>Anel carregado.</p><p>Sabemos que No caso do exemplo, a</p><p>densidade linear é uniforme: isso significa que essa densidade é</p><p>constante em toda linha e vale</p><p>Vamos dividir a linha em pedaços infinitesimais (dl). Repare que</p><p>estamos dividindo um anel, ou seja, uma circunferência; por isso,</p><p>cada pedacinho da circunferência será representado pelo valor</p><p>do raio vezes o pedacinho do ângulo.</p><p>Dessa forma, o valor de dl em relação às coordenadas do</p><p>sistema será dado por b.d Além disso, cada pedaço</p><p>infinitesimal terá uma carga infinitesimal dada por dq =</p><p>Substituindo, temos:</p><p>Em que r é a distância de cada elemento infinitesimal de carga</p><p>ao ponto P.</p><p>Observe que r será constante para todo elemento de carga ao</p><p>variar o ponto do anel. Ele pode ser obtido pelo triângulo que liga</p><p>os pontos O, P e o elemento de carga:</p><p>Para se percorrer todo anel, o ângulo deverá variar de 0</p><p>até Observe:</p><p>dφ =</p><p>1</p><p>4πϵr</p><p>ρldl.</p><p>ρ.</p><p>θ.</p><p>ρbdθ.</p><p>dφ =</p><p>1</p><p>4πϵr</p><p>ρldl =</p><p>1</p><p>4πϵr</p><p>ρbdθ</p><p>r2 = b2 +H 2 → r =√b2 +H 2</p><p>φ = ∫</p><p>ANEL</p><p>1</p><p>4πϵr</p><p>ρbdθ = ∫</p><p>ANEL</p><p>1</p><p>4πϵ√b2 +H 2</p><p>ρbdθ</p><p>o θ</p><p>2π.</p><p> </p><p>Vamos chamar de a carga total do anel. Assim:</p><p>Substituindo, acharemos a mesma fórmula, só que agora em</p><p>relação à carga total armazenada no anel:</p><p>No entanto:</p><p>Para uma distância H do eixo, temos:</p><p>Agora que você chegou até aqui, verifique seus conhecimentos através</p><p>das questões propostas.</p><p>φ = ∫</p><p>2π</p><p>0</p><p>1</p><p>4πϵ√b2 +H 2</p><p>ρbdθ =</p><p>ρb</p><p>4πϵ√b2 +H 2</p><p>∫</p><p>2π</p><p>0</p><p>dθ</p><p>φ =</p><p>ρb</p><p>4πϵ√b2 +H 2</p><p>2π =</p><p>ρb</p><p>2ϵ√b2 +H 2</p><p>Q</p><p>dq = ρdl = ρbdθ → Q = ∫</p><p>ANEL</p><p>dq = ∫</p><p>ANEL</p><p>ρbdθ</p><p>Q = ∫</p><p>2π</p><p>0</p><p>ρbdθ = 2πρb</p><p>φ =</p><p>ρb</p><p>2ϵ√b2 +H 2</p><p>=</p><p>2πρb</p><p>4πϵ√b2 +H 2</p><p>=</p><p>Q</p><p>4πϵ√b2 +H 2</p><p>→E = −∇φ</p><p>∇φ =</p><p>dφ</p><p>dρ</p><p>ρ̂+</p><p>1</p><p>r</p><p>dφ</p><p>dθ</p><p>ϕ̂+</p><p>dφ</p><p>dz</p><p>ẑ =</p><p>dφ</p><p>dz</p><p>ẑ =</p><p>d</p><p>dz</p><p>(</p><p>ρb</p><p>2ϵ</p><p>1</p><p>√b2 +</p><p>∇φ =</p><p>ρb</p><p>2ϵ</p><p>d</p><p>dz</p><p>( 1</p><p>√b2 + z2</p><p>)ẑ =</p><p>ρb</p><p>2ϵ</p><p>(−</p><p>1</p><p>2</p><p>2z</p><p>3√b2 + z2</p><p>)</p><p>∇φ = −</p><p>ρbz</p><p>2ϵ 3√b2 + z2</p><p>ẑ</p><p>→E = −∇φ =</p><p>ρbz</p><p>2ϵ 3√b2 + z2</p><p>ẑ</p><p>→E =</p><p>ρbH</p><p>2ϵ 3√b2 + z2</p><p>ẑ</p><p></p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Duas cargas pontuais Q1 = 2C e Q2 = – 2C se encontram a uma</p><p>distância no vácuo. Marque a alternativa correta em relação ao</p><p>fenômeno eletrostático gerado pelas cargas.</p><p>Parabéns!</p><p>A alternativa D está correta.</p><p>A carga Q1, por ser positiva, gera um campo elétrico de</p><p>afastamento; a Q2, por ser negativa, um campo elétrico de</p><p>aproximação. Como as cargas têm sinais diferentes, elas vão se</p><p>atrair.</p><p>Questão 2</p><p>A</p><p>A carga Q1 gera um campo elétrico de afastamento</p><p>e repele a carga Q2.</p><p>B</p><p>A carga Q1 gera um campo elétrico de aproximação</p><p>e atrai a carga Q2.</p><p>C</p><p>A carga Q2 gera um campo elétrico de afastamento</p><p>e repele a carga Q2.</p><p>D</p><p>A carga Q2 gera um campo elétrico de aproximação</p><p>e atrai a carga Q1.</p><p>E</p><p>A carga Q2 gera um campo elétrico de afastamento</p><p>e atrai a carga Q1.</p><p>Uma carga de 10C se encontra fixa no vácuo. Outra carga de 10C foi</p><p>colocada em um ponto a 2m da primeira. Determine a velocidade</p><p>que a carga que está livre terá no infinito após ser repelida pela</p><p>primeira. A carga livre tem massa de 100g.</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Calculando, temos:</p><p>Quando a carga for solta, toda a energia potencial será convertida</p><p>em cinética no infinito. Assim, verificamos que:</p><p>Questão 3</p><p>Uma região no vácuo apresenta um campo elétrico gerado por uma</p><p>carga pontual de 20C. Determine a diferença de potencial entre o</p><p>ponto A, que está a 2m da carga, e o ponto B, que se encontra a 4m.</p><p>A 3 ⋅ 106 m</p><p>s</p><p>B 4 ⋅ 106 m</p><p>s</p><p>C 5 ⋅ 106 m</p><p>s</p><p>D 6 ⋅ 106 m</p><p>s</p><p>E 7 ⋅ 106 m/s</p><p>EP =</p><p>q1q2</p><p>4πϵ0r</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>q1q2</p><p>r</p><p>= 9 ⋅ 109 10 ⋅ 10</p><p>2</p><p>= 45 ⋅ 1010 J</p><p>1</p><p>2</p><p>mv2 = Ep = 45 ⋅ 1010</p><p>v2 =</p><p>2.45 ⋅ 1010</p><p>100 ⋅ 10−3</p><p>= 9 ⋅ 1012</p><p>v =√9 ⋅ 1012 = 3 ⋅ 106 m/s</p><p> </p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>Devemos usar esta fórmula:</p><p>Questão 4</p><p>Indique o valor do campo elétrico gerado por um anel de carga de</p><p>raio 4m em um ponto no eixo do anel a uma altura a 8m do centro.</p><p>Sabe-se que o potencial elétrico gerado pelo anel em seu eixo</p><p>central vale , em que z é a distância medida</p><p>em metros ao centro do anel.</p><p>A 15 ⋅ 109V</p><p>B 45 ⋅ 109V</p><p>C 65 ⋅ 109V</p><p>D 85 ⋅ 109V</p><p>E 95 ⋅ 109V</p><p>φA − φB =</p><p>q</p><p>4πϵ0</p><p>( 1</p><p>r2</p><p>−</p><p>1</p><p>r1</p><p>)</p><p>φA − φB =</p><p>20</p><p>4πϵ0</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>4</p><p>) =</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>20</p><p>4</p><p>= 9 ⋅ 109 ⋅ 5 = 4</p><p>φ =</p><p>5 ⋅ 109</p><p>√z2 + 16</p><p>A</p><p>109</p><p>3√100</p><p>V</p><p>m</p><p>Ẑ</p><p>B</p><p>109</p><p>3√200</p><p>V</p><p>m</p><p>ẑ</p><p> </p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Calculando, temos:</p><p>Como desejamos encontrar o campo a uma distância z = 8m do</p><p>centro do anel, obtemos:</p><p>Questão 5</p><p>Duas cargas elétricas de 10C e – 10C de um dipolo elétrico no</p><p>vácuo estão respectivamente posicionadas sobre o eixo z de um</p><p>sistema de coordenadas nas posições 4m e – 4m. Calcule o</p><p>potencial elétrico em um ponto P localizado em 3m, no eixo y.</p><p>C</p><p>40 ⋅ 109</p><p>8√200</p><p>V</p><p>m</p><p>ẑ</p><p>D</p><p>40 ⋅ 109</p><p>3√100</p><p>V</p><p>m</p><p>Ẑ</p><p>E</p><p>80 ⋅ 109</p><p>3√100</p><p>V</p><p>m</p><p>Ẑ</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>ρ̂+</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂+</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ =</p><p>d</p><p>dz</p><p>( 5 ⋅ 109</p><p>√z2 + 16</p><p>)ẑ = 5 ⋅ 109 d</p><p>dz</p><p>( 1</p><p>√z2 + 16</p><p>→E = −∇φ =</p><p>5 ⋅ 109z</p><p>3√z2 + 16</p><p>ẑ</p><p>→E =</p><p>5 ⋅ 109.8</p><p>3√64 + 16</p><p>ẑ =</p><p>40 ⋅ 109</p><p>3√100</p><p>V</p><p>m</p><p>ẑ</p><p>A</p><p>1</p><p>2πϵ0</p><p>V</p><p>B −</p><p>1</p><p>2πϵ0</p><p>V</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>As cargas estão dispostas como na figura a seguir:</p><p>Cargas de um dipolo.</p><p>O potencial elétrico no ponto P será a soma dos potenciais elétricos</p><p>gerados por cada uma das duas cargas individualmente. Veja:</p><p>Tanto r1 quanto r2 podem ser obtidos por meio de um triângulo</p><p>retângulo de catetos 3 e 4. Assim:</p><p>Portanto:</p><p>C</p><p>1</p><p>πϵ0</p><p>V</p><p>D −</p><p>1</p><p>πϵ0</p><p>V</p><p>E  OV</p><p>φ1 =</p><p>q1</p><p>4πϵ0r1</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>10</p><p>r1</p><p>φ2 =</p><p>q2</p><p>4πϵ0r2</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>−10</p><p>r2</p><p>r1 = r3 =√32 + 42 = 5</p><p>φ1 =</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>10</p><p>5</p><p>=</p><p>1</p><p>2πϵ0</p><p>V</p><p>φ1 =</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>−10</p><p>5</p><p>= −</p><p>1</p><p>2πϵ0</p><p>V</p><p>Questão 6</p><p>Determine o potencial gerado por uma linha de carga de</p><p>comprimento 2a com densidade linear de carga uniforme ρ em um</p><p>ponto no centro da linha e a uma distância d dessa linha.</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.</p><p>φ = φ1 + φ2 = 0</p><p>A φ =</p><p>ρ</p><p>4πϵ</p><p>ln(</p><p>√d2 + a2 + a</p><p>d</p><p>)</p><p>B φ =</p><p>ρ</p><p>2πϵ</p><p>ln(</p><p>√d2 + a2 − a</p><p>d</p><p>)</p><p>C φ =</p><p>ρ</p><p>2πϵ</p><p>ln(</p><p>√d2 + a2 + a</p><p>d</p><p>)</p><p>D φ =</p><p>ρ</p><p>4πϵ</p><p>ln(</p><p>√d2 + a2a</p><p>d</p><p>)</p><p>E φ =</p><p>ρ</p><p>2πϵ</p><p>ln(</p><p>√d2 + a2 + a</p><p>d+ a</p><p>)</p><p>_black</p><p>Teoria na prática</p><p>Uma carga negativa de é satélite a uma carga</p><p>positiva de A órbita é circular com raio de</p><p>Determine a energia necessária para desfazer essa ligação iônica, ou</p><p>seja, a energia necessária para fazer com que a distância das cargas</p><p>seja infinita em repouso. O nome dessa energia é energia de</p><p>ionização.</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>No vácuo, quatro cargas elétricas se encontram nos quatros</p><p>vértices de um quadrado de de lado. As cargas</p><p>apresentam valores de 1C, 2C, 2C e – 1C. Determine o potencial</p><p>elétrico gerado por essa distribuição de carga no centro do</p><p>quadrado. Considere como referencial o potencial zero no infinito.</p><p>−2 ⋅ 10−19C</p><p>4 ⋅ 10−19C. 2μm.</p><p>Mostrar solução</p><p>√2m</p><p>A 72 ⋅ 109 V</p><p>B 45 ⋅ 109 V</p><p>C 36 ⋅ 109 V</p><p>D  18. 109 V</p><p>E 9 ⋅ 109 V</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Calculando:</p><p>Em que:</p><p>Todas as cargas possuem a mesma distância do centro. Tal valor</p><p>será a metade da diagonal do quadrado:</p><p>Então:</p><p>Assim:</p><p>Questão 2</p><p>Calcule o valor do campo elétrico gerado por uma carga pontual em</p><p>um ponto a uma distância de 10m da carga fonte usando a relação</p><p>entre o campo elétrico e o gradiente do potencial elétrico. Sabe-se</p><p>que o potencial elétrico no ponto vale em que r é a</p><p>distância da carga medida em metros.</p><p>φ = φ1 + φ2 + φ3 + φ4</p><p>φi =</p><p>qi</p><p>4πϵri</p><p>.</p><p>r =</p><p>L√2</p><p>2</p><p>=</p><p>√2√2</p><p>2</p><p>= 1m</p><p>φ1 =</p><p>q1</p><p>4πϵ0r</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>1</p><p>1</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>= 9 ⋅ 109 V</p><p>φ2 =</p><p>q2</p><p>4πϵ0r</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>2</p><p>4πϵ0</p><p>= 18 ⋅ 109 V</p><p>φ3 =</p><p>q3</p><p>4πϵ0r</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>2</p><p>4πϵ0</p><p>= 18 ⋅ 109 V</p><p>φ4 =</p><p>q4</p><p>4πϵ0r</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>−1</p><p>1</p><p>=</p><p>−1</p><p>4πϵ0</p><p>= −9 ⋅ 109 V</p><p>φ = 9 ⋅ 109 + 18 ⋅ 109 + 18 ⋅ 109 − 9 ⋅ 109 = 36 ⋅ 109 V</p><p>φ =</p><p>1010</p><p>r</p><p>V ,</p><p> </p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>Calculando:</p><p>Como a distância r = 10m, temos:</p><p>A  2. 106 V</p><p>m</p><p>r̂</p><p>B 108 V</p><p>m</p><p>r̂</p><p>C  2. 108 V</p><p>m</p><p>r̂</p><p>D 4 ⋅ 1010 V</p><p>m</p><p>r̂</p><p>E 8 ⋅ 1012 V</p><p>m</p><p>r̂</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>r̂+</p><p>1</p><p>r</p><p>∂φ</p><p>∂θ</p><p>θ̂+</p><p>1</p><p>r sen θ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>r̂ =</p><p>d</p><p>dr</p><p>( 1010</p><p>r</p><p>)r̂ = 1010 d</p><p>dr</p><p>( 1</p><p>r</p><p>)r̂ = −1010 1</p><p>r2</p><p>r</p><p>→E = −∇φ =</p><p>1010</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>→E =</p><p>1010</p><p>102</p><p>r̂ = 108 V</p><p>m</p><p>r̂</p><p>2 - Condutores, dielétricos e capacitância</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer condutores, dielétricos e cálculos da</p><p>determinação de capacitâncias..</p><p>Vamos começar?</p><p>Condutores, dieléticos e capacitância</p><p>Confira os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.</p><p>Condutores</p><p>Condutores são materiais que permitem a condução de uma carga</p><p>elétrica quando eles estão sujeitos à influência de um campo elétrico</p><p>externo. São exemplos de bons condutores o cobre, o alumínio e a prata.</p><p></p><p>A característica de um condutor é ter elétrons livres em sua estrutura.</p><p>Uma vez aplicado, o campo elétrico age sobre os elétrons livres, fazendo</p><p>com que eles entrem em movimento. O movimento dos elétrons é</p><p>denominado corrente elétrica.</p><p>Mas o que acontece com um condutor carregado?</p><p>Entenda melhor nos exemplos que vêm por aí!</p><p>Exemplo 1</p><p>Um condutor esférico de raio r0 é carregado com uma carga Q0. As</p><p>cargas elétricas Q0 estão na superfície do condutor esférico. Desse</p><p>modo, a densidade de carga em seu interior será nula.</p><p> Um condutor será considerado neutro quando</p><p>estiver eletricamente descarregado. Isso significa</p><p>apresentar o mesmo número de elétrons que de</p><p>prótons. Quando o número de elétrons (carga</p><p>negativa) é diferente do de prótons (carga positiva)</p><p>em um condutor, considera-se que ele esteja</p><p>carregado.</p><p> Um condutor carregado apresenta um número de</p><p>cargas elétricas excedentes. Tais cargas criam</p><p>campos elétricos internos que agem nas demais</p><p>cargas livres, fazendo com que elas se repilam</p><p>mutuamente.</p><p> Essas cargas livres vão se movimentar até alcançar</p><p>a superfície do condutor. Quando alcançam a</p><p>superfície, significa que o condutor alcançou o</p><p>equilíbrio eletroestático. O condutor carregado,</p><p>portanto, não terá no seu interior uma densidade</p><p>volumétrica de carga, porém terá na sua superfície</p><p>uma densidade superficial de carga.</p><p>Resumindo</p><p>Não há uma densidade volumétrica de cargas. Porém, na superfície, a</p><p>densidade superficial de carga será dada por:</p><p>Essa densidade superficial de carga gera um campo elétrico</p><p>imediatamente exterior ao condutor</p><p>que será perpendicular à superfície</p><p>e proporcional à distribuição das cargas da superfície.</p><p>As cargas excedentes dos condutores se acumulam em maior</p><p>quantidade próximo de suas extremidades, criando campos elétricos</p><p>maiores nesses pontos. Esse efeito é denominado de poder das pontas.</p><p>Uma utilização prática do poder das pontas é o uso das hastes</p><p>pontiagudas, por exemplo, a do para-raios.</p><p>Por não ter cargas excedentes no interior de um condutor em equilíbrio</p><p>eletrostático, o campo elétrico será nulo no interior. Pois:</p><p></p><p>Como não existe campo</p><p>elétrico, não há uma</p><p>diferença de potencial</p><p>entre os pontos.</p><p></p><p>Assim, o valor do</p><p>potencial elétrico dentro</p><p>do condutor é sempre</p><p>constante.</p><p>Exemplo 2</p><p>Aqui vamos determinar a distribuição do campo elétrico e do potencial</p><p>elétrico gerado pela esfera condutora de raio r0 com carga Q0 quando</p><p>colocada no ar.</p><p>Vamos relembrar como determinamos o campo elétrico gerado</p><p>por uma distribuição de carga esférica. Passamos uma esfera</p><p>auxiliar através do ponto analisado. Essa superfície esférica</p><p>auxiliar é chamada de superfície gaussiana.</p><p>Usando o conceito segundo o qual o fluxo elétrico a atravessar</p><p>uma superfície fechada vale a carga dentro dessa superfície, o</p><p>ρS =</p><p>q</p><p>Area</p><p>=</p><p>Q0</p><p>4πr2</p><p>0</p><p>C/m2</p><p></p><p>Solução - exemplo 2 </p><p>campo elétrico será dado pela seguinte fórmula:</p><p>Em que é a distância ao centro da esfera e o total de</p><p>carga existente dentro da superfície gaussiana.</p><p>Começaremos pelo interior da esfera: Ao traçarmos a</p><p>esfera auxiliar de raio tal esfera estará totalmente dentro da</p><p>esfera condutora.</p><p>Como não existem cargas elétricas no interior da esfera, Q_T é</p><p>nula; portanto, o campo elétrico nessa região é igual a zero.</p><p>Para a região fora da esfera condutora, r > r0. Nesse caso, o valor</p><p>da Q_T é dado pela carga distribuída na superfície da esfera</p><p>condutora.</p><p>Esfera maciça carregada à esquerda e curva gaussiana traçada fora de uma esfera</p><p>maciça à direita.</p><p>A carga total dentro da gaussiana vale Q0.</p><p>Assim:</p><p>Se considerarmos que a densidade de carga superficial da esfera</p><p>vale :</p><p>Observe que o campo elétrico normal à superfície sempre sofre</p><p>uma descontinuidade nos pontos entre duas regiões diferentes</p><p>em que existe uma densidade de carga superficial. No exemplo</p><p>apresentado, essa descontinuidade acontece para</p><p>→E =</p><p>QT</p><p>4πϵr2</p><p>r̂</p><p>r QT ,</p><p>r < r0.</p><p>r,</p><p>→E =</p><p>Q0</p><p>4πϵ0r2</p><p>r̂</p><p>ρS</p><p>→E =</p><p>Q0</p><p>4πϵ0r2</p><p>=</p><p>Q0</p><p>4πϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>=</p><p>ρs4πr2</p><p>0</p><p>4πϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>=</p><p>ρs</p><p>ϵ0</p><p>r2</p><p>0</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>r = r0.</p><p> </p><p> </p><p>Veja ainda que, bem próximo de dentro da esfera, o campo</p><p>elétrico é nulo. Bem próximo de fora da esfera, o campo</p><p>elétrico vale</p><p>Podemos agora calcular a distribuição dos potenciais elétricos:</p><p>Fora da esfera, r > r0, usaremos o referencial de que, no infinito, o</p><p>potencial elétrico será nulo:</p><p>Dentro da esfera, devemos lembrar que o potencial</p><p>elétrico não sofre descontinuidade; desse modo, o referencial</p><p>para essa região será o potencial elétrico obtido pela região</p><p>anterior para</p><p>O campo elétrico nessa região é nulo. Assim:</p><p>Como se deveria esperar, o potencial elétrico no interior do</p><p>condutor terá o mesmo valor em todos os pontos.</p><p>Vamos avançar falando de isolantes, também chamados de dielétricos.</p><p>Dielétricos</p><p>Dielétricos ou isolantes são materiais que, uma vez aplicados em um</p><p>campo elétrico externo, as cargas elétricas não se movimentarão.</p><p>r0,</p><p>r0,</p><p>Q0</p><p>4πϵ0r2</p><p>0</p><p>=</p><p>ρs</p><p>ϵ0</p><p>.</p><p>φ− φref = −∫</p><p>r</p><p>rref</p><p>→E ⋅ d→r</p><p>φ− 0 = −∫</p><p>r</p><p>∞</p><p>→E ⋅ d→r = −∫</p><p>r</p><p>∞</p><p>Q0</p><p>4πϵ0r2</p><p>r̂ ⋅ d→r = −∫</p><p>r</p><p>∞</p><p>Q</p><p>4πϵ</p><p>φ =</p><p>Q0</p><p>4πϵ0</p><p>[</p><p>1</p><p>r</p><p>]</p><p>r</p><p>∞</p><p>=</p><p>Q0</p><p>4πϵ0r</p><p>r < r0,</p><p>r = r0.</p><p>Para r = r0 → φref  =</p><p>Q0</p><p>4πϵ0r0</p><p>φ− φref = −∫</p><p>r</p><p>r0</p><p>→E ⋅ d→r = −∫</p><p>r</p><p>r0</p><p>0 ⋅ d→r = 0 → φ = φref =</p><p>Nesses materiais, os elétrons estão bastantes ligados aos seus núcleos.</p><p>São exemplos de isolantes o vidro, o quartzo e a borracha.</p><p>As cargas excedentes em um dielétrico não se deslocam pelo material.</p><p>Dessa forma, um dielétrico carregado tem uma densidade de carga em</p><p>seu interior diferente do condutor.</p><p>Exemplo 3</p><p>Um dielétrico esférico de raio r0 está carregado com uma carga Q0</p><p>uniformemente distribuída. As cargas elétricas Q0 estão no interior do</p><p>dielétrico espalhadas pelo seu volume, tendo, portanto, uma densidade</p><p>volumétrica de carga.</p><p>Como a distribuição é uniforme, a densidade volumétrica de carga será</p><p>dada por:</p><p>Repare que, quando a distribuição é uniforme, o valor de V é</p><p>constante.</p><p>Por não haver cargas livres, a força do campo elétrico</p><p>apenas alonga e orienta as moléculas, formando</p><p>dipolos elétricos. Serão dipolos, pois as cargas</p><p>negativas ficarão de um lado das moléculas e as</p><p>positivas, de outro, polarizadas pelo campo elétrico</p><p>externo. Tais cargas são denominadas cargas de</p><p>polarização.</p><p>A criação dos dipolos dentro do material isolante cria campos elétricos</p><p>internos; gerados pelas cargas de polarização, eles são contrários ao</p><p>campo elétrico externo, que age no material, diminuindo o efeito desse</p><p>campo externo. Essa redução do efeito eletrostático é medida graças à</p><p>caracterização da permissividade elétrica do material</p><p>Enquanto no vácuo se considera que a permissividade elétrica seja</p><p>nos demais materiais ela é definida uma permissividade elétrica</p><p>relativa A permissividade relativa é a grandeza que,</p><p>multiplicada pela permissividade elétrica do vácuo, determina a</p><p>permissividade do material.</p><p>ρV =</p><p>q</p><p>Volume</p><p>=</p><p>Q0</p><p>4</p><p>3 πr</p><p>3</p><p>0</p><p>C/m3</p><p>ρV</p><p>(ϵ).</p><p>ϵ0,</p><p>(ϵR).</p><p>ϵ = ϵRϵ0</p><p>Quanto maior a permissividade relativa, mais isolante será o material e</p><p>maior a polarização que ele sofre quando sujeito a um campo elétrico.</p><p>Exemplo 4</p><p>Sabemos que o campo gerado por uma carga puntiforme no ar vale:</p><p>Se essa carga for colocada na água, que possui o campo</p><p>gerado será:</p><p>Veja, portanto, que o campo gerado pela carga puntiforme polariza as</p><p>cargas da água ao seu redor, provocando um campo contrário. Isso faz</p><p>com que o campo na região fique reduzido em relação ao campo</p><p>elétrico no vácuo.</p><p>Podemos calcular o módulo do campo de polarização (P) gerado pelas</p><p>cargas de polarização da água:</p><p>Conseguimos escrever esse campo na seguinte forma:</p><p>Comparando a fórmula de P com E0, calcularemos a carga de</p><p>polarização induzida no material:</p><p>O sinal de menos se justifica pelo fato de o campo de polarização ter</p><p>sentido contrário em relação ao campo elétrico externo.</p><p>Comentário</p><p>A permissividade elétrica relativa do ar é quase um; assim, na maioria</p><p>das vezes, dizemos que essa permissividade é igual à do vácuo.</p><p>E0 =</p><p>q</p><p>4πϵ0r2</p><p>ϵR = 81,</p><p>Eágua  =</p><p>q</p><p>4πϵr2</p><p>=</p><p>q</p><p>4πϵRϵ0r2</p><p>=</p><p>q</p><p>4π ⋅ 81 ⋅ ϵ0r2</p><p>=</p><p>1</p><p>81</p><p>q</p><p>4πϵ0r2</p><p>=</p><p>1</p><p>81</p><p>E0</p><p>P = E0 − Eágua  = E0 −</p><p>1</p><p>81</p><p>E0 =</p><p>80</p><p>81</p><p>E0 =</p><p>80</p><p>81</p><p>q</p><p>4πϵ0r2</p><p>P =</p><p>(ϵR − 1)</p><p>ϵR</p><p>q</p><p>4πϵ0r2</p><p>=</p><p>q (ϵ− ϵ0)</p><p>4πϵr2</p><p>qp = −q (ϵ− ϵ0)</p><p>Apesar de o isolante não permitir o deslocamento de cargas em seu</p><p>interior, ao aumentarmos o valor do campo elétrico que age no isolante,</p><p>ele, a partir de certo valor, pode ser rompido, permitindo</p><p>temporariamente o deslocamento de cargas.</p><p>O maior valor de campo elétrico que um isolante suporta é denominado</p><p>rigidez dielétrica. Quanto maior a rigidez dielétrica de um meio, mais</p><p>isolante ele será.</p><p>Exemplo 5</p><p>Quando um campo elétrico no ar for maior que sua rigidez dielétrica, isto</p><p>é, esse campo será rompido e se tornará</p><p>temporariamente um condutor. Essa condução de elétrons formará os</p><p>raios que vemos nas tempestades.</p><p>No próximo exemplo vamos determinar a distribuição de campo elétrico</p><p>e de potencial elétrico para um dielétrico. Vamos lá!</p><p>Exemplo 6</p><p>Vamos calcular a distribuição do campo elétrico e do potencial elétrico</p><p>gerado pela esfera dielétrica de raio com permissividade elétrica</p><p>e carregada com uma distribuição volumétrica constante</p><p>Essa esfera se localiza no ar.</p><p>Seguiremos o mesmo procedimento empregado no caso do</p><p>condutor.</p><p>Para o interior da esfera, A esfera auxiliar estará</p><p>totalmente dentro da esfera central:</p><p>A carga será a carga que está dentro da esfera de raio r.</p><p>Assim:</p><p>Substituindo, temos:</p><p>3 ⋅ 106 V/m,</p><p>r0</p><p>ϵ ρ0.</p><p>Solução - exemplo 6 </p><p>r < r0.</p><p>→E =</p><p>QT</p><p>4πϵr2</p><p>r̂</p><p>QT</p><p>QT = ρ0. volume esfera auxiliar  = ρ0</p><p>4</p><p>3</p><p>πr3</p><p> </p><p> </p><p>Para</p><p>fora da esfera dielétrica, valor da será</p><p>toda a carga dentro da esfera dielétrica:</p><p>Curva gaussiana traçada dentro de uma esfera maciça à esquerda e curva gaussiana</p><p>traçada fora de uma esfera maciça à direita.</p><p>Determinemos a distribuição dos potenciais. Fora da esfera,</p><p>usaremos o referencial de que, no infinito, o potencial</p><p>será nulo:</p><p>Para dentro da esfera, O potencial elétrico não sofre</p><p>descontinuidade. Assim:</p><p>→E =</p><p>QT</p><p>4πϵr2</p><p>=</p><p>ρ0</p><p>4</p><p>3 πr</p><p>3</p><p>4πϵr2</p><p>=</p><p>ρ0</p><p>3ϵ</p><p>rr̂</p><p>r > r0.O QT</p><p>QT = ρ0. volume esfera  = ρ0</p><p>4</p><p>3</p><p>πr3</p><p>0</p><p>→E =</p><p>QT</p><p>4πϵr2</p><p>=</p><p>ρ0</p><p>4</p><p>3 πr</p><p>3</p><p>0</p><p>4πϵ0r2</p><p>=</p><p>ρ0r3</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>r > r0,</p><p>φ− 0 = −∫</p><p>r</p><p>∞</p><p>→E ⋅ d→r = −∫</p><p>r</p><p>∞</p><p>ρ0r3</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>r̂ ⋅ d→r = −∫</p><p>r</p><p>∞</p><p>ρ0r</p><p>3ϵ</p><p>φ =</p><p>ρ0r3</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>[ 1</p><p>r</p><p>]</p><p>r</p><p>∞</p><p>=</p><p>ρ0r3</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>1</p><p>r</p><p>r < r0.</p><p>Para r = r0 → φref =</p><p>ρ0r2</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>φ− φref = −∫</p><p>r</p><p>r0</p><p>→E ⋅ d→r = −∫</p><p>r</p><p>r0</p><p>ρ0</p><p>3ϵ</p><p>rr̂ ⋅ d→r = −∫</p><p>r</p><p>r0</p><p>ρ0</p><p>3ϵ</p><p>rd</p><p>φ = φref +</p><p>ρ0</p><p>3ϵ</p><p>[ 1</p><p>2</p><p>r2]</p><p>r</p><p>r0</p><p>=</p><p>ρ0r2</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>+</p><p>ρ0</p><p>6ϵ</p><p>(r2 − r2</p><p>0)</p><p>Como esperado, o potencial elétrico no interior do dielétrico não</p><p>será constante.</p><p>Capacitância</p><p>Trata-se da propriedade de um dispositivo formado por dois condutores</p><p>de armazenar carga elétrica.</p><p>Exemplo 7</p><p>Um sistema formado por dois corpos metálicos (condutores) imersos</p><p>em um meio dielétrico é denominado capacitor.</p><p>Considere uma diferença de potencial entre os dois condutores.</p><p>Essa diferença pode ser obtida ao se conectar cada um dos condutores</p><p>aos terminais de uma bateria.</p><p>A diferença de potencial fará com que os condutores fiquem carregados</p><p>por cargas elétricas iguais de sinais contrários Ao serem</p><p>soltos, os condutores da bateria permanecem com as cargas elétricas</p><p>Por isso, se diz que o capacitor tem a capacidade de armazenar cargas</p><p>elétricas, possuindo, portanto, capacitância. Apesar de a carga total ao</p><p>se somar as duas placas ser nula, considera-se que o capacitor esteja</p><p>armazenado com uma carga Q.</p><p>Saiba mais</p><p>Define-se a capacitância de um capacitor como a razão entre a carga</p><p>armazenada e a diferença de potencial aplicado nas placas. Em outras</p><p>palavras, trata-se de uma medida da quantidade de carga que pode ser</p><p>armazenada quando é aplicada determinada diferença de potencial.</p><p>Desse modo:</p><p>A unidade da capacitância será C/V, que é chamado de Faraday [F]. Na</p><p>prática, a capacitância dos capacitores usuais varia de</p><p>até</p><p>Saiba mais</p><p>Δφ</p><p>(Qe−Q).</p><p>Qe−Q.</p><p>C =</p><p>Q</p><p>Δφ</p><p>pF (10−12 F) μF (10−6 F).</p><p>Os capacitores que possuem essa relação linear entre a carga e o</p><p>potencial são denominados capacitores lineares. Há alguns que</p><p>possuem uma relação entre a carga e a tensão dependente do valor da</p><p>tensão: são os chamados capacitores não lineares. Neste módulo,</p><p>estudaremos apenas os lineares.</p><p>Por definição, a capacitância é uma grandeza sempre positiva. Seu valor</p><p>vai depender da geometria dos condutores envolvidos e do dielétrico no</p><p>qual eles estão imersos. Já a geometria significa o formato, o tamanho</p><p>e o posicionamento dos condutores.</p><p>Para carregar as placas com carga elétrica, é necessário transferir as</p><p>cargas de uma placa para a outra. No início, as placas estão</p><p>descarregadas, porém, conforme ocorre o deslocamento de uma carga</p><p>dq, um campo elétrico que começa aparecer entre as placas precisa ser</p><p>vencido. O trabalho necessário para carregar as placas com a carga Q</p><p>será a energia armazenada no capacitor.</p><p>Se lembrarmos que potencial é energia por unidade de carga, podemos</p><p>dizer que o trabalho (energia) para se transferir uma carga dq será dado</p><p>por:</p><p>Em que é a diferença de potencial entre as placas, a qual, por sua</p><p>vez, aumentará conforme deslocarmos mais carga.</p><p>Desse modo, a energia armazenada no capacitor será dada por:</p><p>Algumas conclusões podem ser tiradas em relação à capacitância de</p><p>um capacitor:</p><p></p><p>Quanto maior a permissividade elétrica do dielétrico, maior será a</p><p>capacitância do capacitor.</p><p></p><p>dW = φdq</p><p>φ</p><p>dW = φdq → w = ∫ φdq = ∫</p><p>q</p><p>C</p><p>dq =</p><p>1</p><p>2</p><p>Q2</p><p>C</p><p>E =</p><p>1</p><p>2</p><p>Q2</p><p>C</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>Cφ2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>Qφ</p><p>Quanto maior a área dos condutores (eletrodos), mais elevado será o</p><p>valor da capacitância obtido.</p><p></p><p>Quanto menor a distância entre os condutores, maior será a</p><p>capacitância do capacitor.</p><p>Cálculo de capacitância</p><p>Agora usaremos a definição dada anteriormente para determinarmos a</p><p>capacitância de algumas configurações.</p><p>Confira alguns exemplos.</p><p>Exemplo 8</p><p>Vamos determinar a capacitância de um capacitor de placas paralelas.</p><p>O capacitor de placas paralelas é um capacitor composto por duas</p><p>grandes placas paralelas de área A espaçadas por uma distância d. Já o</p><p>dielétrico entre as placas possui permissividade elétrica ϵ.</p><p>Quando se diz “grandes placas”, isso significa que sua dimensão</p><p>é muito maior que a distância entre elas; assim, despreza-se o</p><p>efeito da distorção do campo elétrico nas bordas das placas. Em</p><p>outras palavras, suponhamos que o campo elétrico em todos os</p><p>pontos do dielétrico seja uniforme.</p><p>Aplicamos uma diferença de potencial entre os</p><p>condutores. Eles ficaram com uma carga armazenada</p><p>Lembremos que o campo elétrico produzido por uma placa</p><p>condutora com densidade superficial de carga em uma</p><p>região com permissividade elétrica tem módulo:</p><p>Repare que esse valor independe da distância ao plano.</p><p>Solução - exemplo 8 </p><p>Δφ</p><p>Qe−Q.</p><p>ρs</p><p>ϵ</p><p>E =</p><p>ρS</p><p>2ϵ</p><p>O campo elétrico será perpendicular ao plano e terá um sentido</p><p>de:</p><p>Afastamento do plano quando a carga for positiva.</p><p>Aproximação do plano quando a carga for negativa</p><p>A placa da esquerda produz um campo E1 apontado para ela,</p><p>pois está carregada com uma carga negativa. A da direita produz</p><p>um campo E2 se afastando da placa, pois está carregada com</p><p>uma positiva.</p><p>Capacitor de placas paralelas.</p><p>Como o módulo da carga em cada placa é o mesmo, o valor de</p><p>E1 é igual ao de E2. Dessa maneira, o campo resultante (a soma</p><p>dos dois campos) será nulo fora do capacitor. Já dentro dele</p><p>existirá um campo a apontar da placa positiva para a negativa</p><p>cujo valor será de:</p><p>Em cada placa há uma carga Q e uma área A. Portanto:</p><p>Mas a diferença de potencial entre as placas pode ser obtida por</p><p>esta fórmula:</p><p>Podemos então calcular a capacitância:</p><p>E = E1 + E2 =</p><p>ρS</p><p>2ϵ</p><p>+</p><p>ρS</p><p>2ϵ</p><p>=</p><p>ρS</p><p>ϵ</p><p>ρS =</p><p>Q</p><p>A</p><p>→ E =</p><p>Q</p><p>Aϵ</p><p>Δφ = ∫</p><p>d</p><p>0</p><p>Edx = E ∫</p><p>d</p><p>0</p><p>dx = Ed</p><p>C =</p><p>Q</p><p>Δφ</p><p>=</p><p>Q</p><p>Ed</p><p>=</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Aϵ</p><p>d</p><p>=</p><p>Aϵ</p><p>d</p><p>F</p><p>Exemplo 9</p><p>Indique a capacitância de um capacitor esférico que consiste em dois</p><p>condutores esféricos concêntricos. Um condutor interno tem raio a e o</p><p>condutor externo, raio b. Entre os condutores existe um dielétrico com</p><p>permissividade ϵ.</p><p>Vamos considerar que o condutor interno fique carregado com a</p><p>carga Q e o externo, com a carga – Q. Por serem condutores, as</p><p>cargas elétricas vão ficar armazenadas nas suas superfícies.</p><p>Capacitor esférico.</p><p>Fora do capacitor, isto é, para r > b, não existirá campo elétrico. A</p><p>carga total será nula.</p><p>Entre os condutores, ou seja, a < r < b, o campo elétrico será</p><p>gerado pelo condutor interno carregado com carga Q. Radial,</p><p>esse campo terá o seguinte valor:</p><p>A diferença de potencial entre os condutores será determinada</p><p>por:</p><p>Pela definição:</p><p>Solução - exemplo 9 </p><p>→E =</p><p>Q</p><p>4πϵ0r2</p><p>r̂</p><p>Δφ = ∫</p><p>b</p><p>a</p><p>Q</p><p>4πϵ0r2</p><p>dr =</p><p>Q</p><p>4πϵ0</p><p>∫</p><p>b</p><p>a</p><p>1</p><p>r2</p><p>dr =</p><p>Q</p><p>4πϵ0</p><p>[− 1</p><p>r</p><p>]</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>Q</p><p>4πϵ0</p><p>( 1</p><p>a</p><p>−</p><p>1</p><p>b</p><p>) =</p><p>Q</p><p>4πϵ0</p><p>( b− a</p><p>ab</p><p>)</p><p>Agora vejamos o último exemplo sobre capacitância.</p><p>Exemplo 10</p><p>Vamos calcular a capacitância de um cabo coaxial de comprimento L.</p><p>Esse cabo é composto por dois condutores cilíndricos com raios</p><p>internos a e b, além de um dielétrico com permissividade elétrica ϵ.</p><p> </p><p>Vamos considerar que o condutor interno fique carregado com</p><p>uma carga e o externo, com uma carga Fora do</p><p>capacitor, isto é, para não existirá campo elétrico.</p><p>Entre os condutores, ou seja, o campo elétrico</p><p>será gerado pelo condutor cilíndrico interno carregado com carga</p><p>Q. Radial, esse campo terá valor:</p><p>A diferença de potencial entre os condutores será determinada</p><p>por:</p><p>Pela definição, temos</p><p>Agora que você chegou até aqui, verifique seus conhecimentos através</p><p>das questões propostas.</p><p>C =</p><p>Q</p><p>Δφ</p><p>=</p><p>Q</p><p>Q</p><p>4πϵ0</p><p>( b−a</p><p>ab</p><p>)</p><p>=</p><p>4πϵ0ab</p><p>b− a</p><p>F</p><p>Solução - exemplo 10 </p><p>Q −Q.</p><p>r > b,</p><p>a < r < b,</p><p>→E =</p><p>Q</p><p>2πϵ0Lρ</p><p>ρ̂</p><p>Δφ = ∫</p><p>b</p><p>a</p><p>Q</p><p>2πϵ0Lρ</p><p>dρ =</p><p>Q</p><p>2πϵ0L</p><p>∫</p><p>b</p><p>a</p><p>1</p><p>ρ</p><p>dρ =</p><p>Q</p><p>2πϵ0L</p><p>[ln(ρ)</p><p>C =</p><p>Q</p><p>Δφ</p><p>=</p><p>Q</p><p>Q</p><p>2πϵ0L</p><p>ln(b/a)</p><p>=</p><p>2πϵ0L</p><p>ln(b/a)</p><p></p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Marque a alternativa, que está corretamente relacionada: aos</p><p>condutores, ou aos dielétricos perfeitos</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Ao se aplicar um campo elétrico, as cargas livres entram em</p><p>movimento no condutor, porém, no dielétrico, elas são polarizadas</p><p>sem entrar em movimento. As cargas elétricas no dielétrico se</p><p>distribuem por todo o seu volume, mas, no condutor, em equilíbrio</p><p>eletrostático, permanecem apenas na sua superfície. Pelo poder</p><p>das pontas, elas se concentrarão mais próximo das extremidades.</p><p>Questão 2</p><p>A</p><p>No condutor, as cargas elétricas livres entram em</p><p>movimento quando sujeitas a um gradiente elétrico.</p><p>B</p><p>No dielétrico, as cargas excedentes estão</p><p>armazenadas na superfície.</p><p>C</p><p>No dielétrico, as cargas elétricas serão polarizadas</p><p>quando sujeitas a um campo elétrico.</p><p>D</p><p>No condutor, em equilíbrio eletrostático, existem</p><p>cargas elétricas no seu interior.</p><p>E</p><p>No condutor, em equilíbrio eletrostático, as cargas</p><p>elétricas se acumulam em maior quantidade no</p><p>centro do condutor.</p><p>Um condutor esférico em equilíbrio eletrostático apresenta raio de</p><p>2m e uma carga excedente de 2C. Determine a densidade de carga</p><p>armazenada no condutor.</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>Calculando, obtemos:</p><p>Questão 3</p><p>Considere a Terra e a atmosfera como um capacitor esférico, sendo</p><p>o planeta uma esfera interior e a atmosfera, uma esfera exterior de</p><p>raio de 4,8km. Calcule a capacitância obtida por esse capacitor</p><p>considerando o raio da Terra como 6,4 103km.</p><p>A</p><p>1</p><p>16π</p><p>c</p><p>m2</p><p>B</p><p>1</p><p>8π</p><p>C</p><p>m2</p><p>C</p><p>1</p><p>4π</p><p>C</p><p>m2</p><p>D</p><p>3</p><p>16π</p><p>C</p><p>m3</p><p>E</p><p>3</p><p>8π</p><p>c</p><p>m3</p><p>ρS =</p><p>q</p><p>Área</p><p>=</p><p>q</p><p>4πr2</p><p>0</p><p>=</p><p>2</p><p>4π22</p><p>=</p><p>1</p><p>8π</p><p>C/m2</p><p>A 0,95F</p><p>B 0,85F</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Usaremos a fórmula do capacitor esférico:</p><p>Raio da esfera interna: a = RT = 6,4 103km = 6,4 106m.</p><p>Raio da esfera externa: b = RT + h = 6,4 103km + 4,8km = (6,4</p><p>106+4800)m.</p><p>Com isso, obtemos o seguinte:</p><p>Questão 4</p><p>Determine a energia armazenada em um capacitor do tipo cabo</p><p>coaxial com comprimento de 8m. O capacitor possui um raio</p><p>interno de 2m e um externo de 4m. O dielétrico tem permissividade</p><p>elétrica relativa Sabe-se que a densidade de carga</p><p>armazenada no cilindro interior é de</p><p>C 0,75F</p><p>D 0,65F</p><p>E 0,55F</p><p>C =</p><p>4πϵ0ab</p><p>b− a</p><p>F</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>C =</p><p>4πϵ0ab</p><p>b− a</p><p>=</p><p>4πϵ0</p><p>h</p><p>RT (RT + h)</p><p>C =</p><p>1</p><p>9 ⋅ 109</p><p>6, 4106</p><p>4800</p><p>(6, 4106 + 4800) = 0, 95 F</p><p>ϵR = 2.</p><p>ρS =</p><p>2</p><p>π</p><p>C</p><p>m2</p><p>.</p><p>A ρS =</p><p>2</p><p>π</p><p>C</p><p>m2</p><p>B 256</p><p>ln 4</p><p>ϵ0</p><p>J</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Usaremos a fórmula do capacitor esférico:</p><p>A energia armazenada vale:</p><p>A carga na placa será obtida por meio da densidade superficial de</p><p>carga do cilindro interior:</p><p>Assim, obtemos:</p><p>Questão 5</p><p>Considere uma coroa esférica dielétrica de raio interno r1 e externo</p><p>r2 com permissividade elétrica ϵ. Localizada no ar, essa coroa está</p><p>C 256</p><p>1</p><p>πϵ0</p><p>J</p><p>D 64</p><p>ln 2</p><p>πϵ0</p><p>J</p><p>E 512</p><p>ln 4</p><p>πϵ0</p><p>J</p><p>C =</p><p>2πϵL</p><p>ln(b/a)</p><p>=</p><p>2πϵrϵ0L</p><p>ln(b/a)</p><p>C =</p><p>2π ⋅ 2 ⋅ ϵ0.8</p><p>ln(4/2)</p><p>=</p><p>32πϵ0</p><p>ln 2</p><p>E =</p><p>1</p><p>2</p><p>Q2</p><p>C</p><p>ρs =</p><p>Q</p><p>Area</p><p>=</p><p>Q</p><p>2πrL</p><p>=</p><p>Q</p><p>2πaL</p><p>Q = ρs2πaL =</p><p>2</p><p>π</p><p>2πaL = 4 ⋅ 2 ⋅ 8 = 64C</p><p>E =</p><p>1</p><p>2</p><p>Q2</p><p>C</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>642</p><p>32πϵ0</p><p>ln 2</p><p>= 64</p><p>ln 2</p><p>πϵ0</p><p>J</p><p>carregada uniformemente com uma carga Q. Aponte a equação do</p><p>campo elétrico para a região dentro da coroa esférica.</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.</p><p>Questão 6</p><p>Seja uma esfera condutora de raio r1 cercada por uma coroa</p><p>esférica condutora, de raio interno r2 e externo r3, concêntrica com</p><p>a esfera. A esfera condutora é carregada com uma carga elétrica Q.</p><p>A coroa esférica está carregada com uma carga elétrica 2Q.</p><p>Determine a expressão do potencial elétrico para uma distância</p><p>menor do que r1. Considere potencial elétrico nulo no infinito.</p><p>A →E =</p><p>Q</p><p>4πϵ</p><p>(r3 − r3</p><p>1)</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>B →E =</p><p>Q</p><p>4πϵ (r3</p><p>2 − r3</p><p>1)</p><p>1</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>C →E =</p><p>Q</p><p>4πϵ (r3</p><p>2 − r3</p><p>1)</p><p>(r3 − r3</p><p>1)</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>D →E =</p><p>Q</p><p>4πϵ (r3 − r3</p><p>1)</p><p>(r3</p><p>2 − r3</p><p>1)</p><p>r</p><p>r̂</p><p>E →E = 0</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.</p><p>Teoria na prática</p><p>Vamos determinar a capacitância gerada por nuvens em torno da</p><p>Terra modelando o planeta e a atmosfera como placas de um</p><p>capacitor. Considere que a camada de nuvens esteja em uma altura</p><p>de 2km e que possua uma extensão de 1km2. Determine também a</p><p>carga máxima que pode ser armazenada na nuvem para não romper</p><p>a rigidez dielétrica do ar.</p><p>A</p><p>Q</p><p>2πϵ0</p><p>(</p><p>1</p><p>r1</p><p>+</p><p>1</p><p>r2</p><p>+</p><p>1</p><p>r3</p><p>)</p><p>B</p><p>Q</p><p>πϵ0</p><p>(</p><p>1</p><p>r1</p><p>−</p><p>1</p><p>r2</p><p>+</p><p>1</p><p>r3</p><p>)</p><p>C</p><p>Q</p><p>4πϵ0</p><p>( 1</p><p>r1</p><p>−</p><p>1</p><p>r2</p><p>−</p><p>3</p><p>r3</p><p>)</p><p>D</p><p>Q</p><p>4πϵ0</p><p>( 1</p><p>r1</p><p>+</p><p>1</p><p>r2</p><p>+</p><p>3</p><p>r3</p><p>)</p><p>E</p><p>Q</p><p>4πϵ0</p><p>(</p><p>1</p><p>r1</p><p>−</p><p>1</p><p>r2</p><p>+</p><p>3</p><p>r3</p><p>)</p><p>_black</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>Uma carga pontual de 2C é colocado dentro de um dielétrico com</p><p>permissividade elétrica relativa de 50. Calcule o módulo do campo</p><p>de polarização a uma distância r da carga.</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>O campo gerado por uma carga puntiforme no ar vale:</p><p>Se essa carga for colocada no isolante, que possui o</p><p>campo gerado será:</p><p>Mostrar solução</p><p>A</p><p>9</p><p>100πϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>B</p><p>1</p><p>100πϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>C</p><p>39</p><p>50πϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>D</p><p>49</p><p>100πϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>E</p><p>49</p><p>50πϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>E0 =</p><p>q</p><p>4πϵ0r2</p><p>ϵR = 50,</p><p> </p><p>O módulo do campo de polarização (P) gerado pelas cargas de</p><p>polarização da água será de:</p><p>Questão 2</p><p>Determine a energia armazenada em um capacitor de placas</p><p>paralelas. As placas têm área de 1m2 e se encontram a uma</p><p>distância de 10cm entre si. O dielétrico é a ar. Já as placas estão</p><p>carregadas com uma densidade superficial</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>A fórmula do capacitor de placas paralelas é:</p><p>Eágua  =</p><p>q</p><p>4πϵr2</p><p>=</p><p>q</p><p>4πϵRϵ0r2</p><p>=</p><p>q</p><p>4π ⋅ 50 ⋅ ϵ0r2</p><p>=</p><p>1</p><p>50</p><p>q</p><p>4πϵ0r2</p><p>P = E0 − Eisolante  = E0 −</p><p>1</p><p>50</p><p>E0 =</p><p>49</p><p>50</p><p>E0 =</p><p>49</p><p>50</p><p>q</p><p>4πϵ0r2</p><p>P =</p><p>49</p><p>50</p><p>2</p><p>4πϵ0r2</p><p>=</p><p>49</p><p>100πϵ0</p><p>1</p><p>r2</p><p>ρS = 10</p><p>c</p><p>m2</p><p>.</p><p>A</p><p>1</p><p>ϵ0</p><p>J</p><p>B</p><p>2</p><p>ϵ0</p><p>J</p><p>C</p><p>5</p><p>ϵ0</p><p>J</p><p>D</p><p>15</p><p>ϵ0</p><p>J</p><p>E</p><p>25</p><p>ϵ0</p><p>J</p><p>A energia armazenada vale:</p><p>A carga na placa será obtida por meio da densidade superficial de</p><p>carga do cilindro interior:</p><p>Desse modo, obtemos:</p><p>3 - As equações de Poisson e de Laplace</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar as equações de Laplace e de Poisson na</p><p>determinação de distribuições de potenciais e campos elétricos.</p><p>Vamos começar?</p><p>C =</p><p>Aϵ</p><p>d</p><p>F =</p><p>1ϵ0</p><p>10 ⋅ 10−2</p><p>= 10ϵ0</p><p>E =</p><p>1</p><p>2</p><p>Q2</p><p>C</p><p>ρS =</p><p>Q</p><p>Area</p><p>=</p><p>Q</p><p>A</p><p>Q = ρS ⋅A = 10.1 = 10C</p><p>E =</p><p>1</p><p>2</p><p>Q2</p><p>C</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>102</p><p>10ϵ0</p><p>=</p><p>5</p><p>ϵ0</p><p>J</p><p>Equação de Poisson e Laplace</p><p>Confira os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.</p><p>Lei de Gauss</p><p>Para definirmos as equações de Poisson e de Laplace, precisaremos</p><p>partir de outras duas equações:</p><p>Lei de Gauss Elétrica (ou Lei de Gauss)</p><p>Relação entre o campo e o potencial elétrico</p><p>Já estudamos a relação entre campo elétrico e potencial elétrico. Dessa</p><p>forma, só teremos de apresentar a Lei de Gauss. Muito importante na</p><p>eletrostática, essa lei descreve a relação entre o fluxo elétrico, por meio</p><p>de uma superfície fechada, e a carga existente no interior dessa</p><p>superfície.</p><p>Por intermédio de uma superfície fechada, o fluxo elétrico é calculado</p><p>como:</p><p>A fonte geradora do fluxo elétrico é a carga elétrica. Quando é positiva,</p><p>essa carga gera campo elétrico de afastamento, isto é, as linhas de</p><p>campo nascem (divergem) na carga. Quando ela é negativa, gera um</p><p>campo elétrico de aproximação – em outras palavras, as linhas de</p><p>campo terminam (convergem) na carga.</p><p>Vamos partir do caso mais simples: uma carga elétrica pontual Q.</p><p>Já sabemos que o campo elétrico gerado é:</p><p></p><p>ΦE = ∫∫◯</p><p>Superficie</p><p>→E ⋅ d →S</p><p>Em que r é a distância até a carga.</p><p>Vamos envolver essa carga elétrica por uma esfera de raio r0 para</p><p>calcular o fluxo por meio dessa esfera:</p><p>Carga elétrica pontual envolvida por uma esfera de raio ro.</p><p>O campo elétrico gerado pela carga pontual, por ter uma direção radial,</p><p>será perpendicular à superfície da esfera. Sua intensidade, conforme</p><p>pode ser observado na fórmula, depende apenas da distância da carga.</p><p>Desse modo, todos</p><p>os pontos na casca da esfera terão o mesmo valor</p><p>do campo elétrico.</p><p>Assim:</p><p>Conseguimos provar que essa equação, determinada para uma carga</p><p>pontual e uma esfera de raio r0, pode ser extrapolada para qualquer:</p><p>Distribuição de carga.</p><p>Superfície fechada que envolve essa distribuição.</p><p>→E =</p><p>1</p><p>4πε</p><p>Q</p><p>r2</p><p>r̂</p><p>→E ⋅ d →S = | →E||dS| cos 0 = E0dS =</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>Q</p><p>r2</p><p>0</p><p>dS</p><p>ΦE = ∫∫◯</p><p>esfera</p><p>→E ⋅ d →S = ∫∫◯</p><p>esfera</p><p>1</p><p>4πϵ</p><p>Q</p><p>r2</p><p>0</p><p>dS</p><p>ΦB =</p><p>Q</p><p>4πϵr2</p><p>0</p><p>∫∫◯</p><p>esfera</p><p>dS =</p><p>Q</p><p>4πϵr2</p><p>0</p><p>.  Area esfera</p><p>ΦE =</p><p>Q</p><p>4πϵr2</p><p>0</p><p>⋅ 4πr2</p><p>0 =</p><p>Q</p><p>ϵ</p><p>Com isso, podemos concluir que o fluxo elétrico a atravessar qualquer</p><p>superfície fechada vale a quantidade de carga elétrica no interior da</p><p>superfície dividida pela permissividade elétrica do meio (ϵ).</p><p>Tal equação é denominada Lei de Gauss. Na sua forma integral, ela é</p><p>apresentada como:</p><p>Entenda melhor no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 1</p><p>Utilizando a Lei de Gauss, vamos determinar o campo elétrico produzido</p><p>por uma linha infinita de carga com densidade linear de carga em</p><p>um ponto distante da linha.</p><p>Pela simetria do problema, a melhor superfície gaussiana a ser</p><p>escolhida é um cilindro com eixo em cima da linha de carga e</p><p>raio da base r. Apesar de a linha ser infinita, analisaremos o</p><p>campo gerado inicialmente por um pedaço da linha de tamanho</p><p>L:</p><p>Cilindro representando a curva gaussiana.</p><p>Observe que o campo elétrico será radial; dessa forma, em todos</p><p>os pontos da superfície lateral do cilindro, o campo será</p><p>perpendicular à superfície. Por ser radial, não vai haver fluxo</p><p>elétrico pelas bases do cilindro, só tendo fluxo através da</p><p>superfície lateral.</p><p>ΦE =</p><p>QT</p><p>ϵ</p><p>ΦE = ∫∫◯</p><p>Superficie</p><p>→E ⋅ d →S =</p><p>QT</p><p>ϵ</p><p>ρL</p><p>r</p><p>Solução - exemplo 1 </p><p> </p><p>O valor do campo depende apenas da distância da linha de</p><p>carga. Por isso, todos os pontos da superfície lateral do cilindro</p><p>terão o mesmo valor de campo elétrico.</p><p>Assim:</p><p>Temos de calcular agora a carga elétrica armazenada no cilindro</p><p>de altura L:</p><p>Substituindo na Lei de Gauss, temos:</p><p>Como o valor do campo não depende do tamanho L, o campo</p><p>gerado pela linha infinita de carga também valerá:</p><p>Agora obteremos a forma diferencial da Lei de Gauss. A carga</p><p>elétrica no interior da superfície pode ser obtida por meio da</p><p>densidade volumétrica de carga:</p><p>Com isso:</p><p>→E ⋅ d →S = | →E||dS| cos 0 = EdS</p><p>∫∫◯</p><p>Superficie</p><p>→E ⋅ d →S = ∫∫◯</p><p>Lateral</p><p>→E ⋅ d →S = ∫∫◯</p><p>Lateral</p><p>EdS</p><p>∫∫◯</p><p>Lateral</p><p>EdS = E ∫∫◯</p><p>Lateral</p><p>dS = E.  Área Lateral Cil.  = E2πrL</p><p>QT = ∫</p><p>LINHA</p><p>ρLdl = ρL ∫</p><p>L</p><p>0</p><p>dl = ρLL</p><p>∫∫◯</p><p>Superficie</p><p>→E ⋅ d →S =</p><p>QT</p><p>ϵ</p><p>E2πrL =</p><p>ρLL</p><p>ϵ</p><p>→ E =</p><p>ρL</p><p>2πϵr</p><p>→E =</p><p>ρL</p><p>2πϵr</p><p>r̂</p><p>QT = ∫∫∫⨀</p><p>V</p><p>ρdV</p><p>Usando o teorema da divergência, temos:</p><p>Chegamos, assim, à Lei de Gauss na sua forma diferencial:</p><p>Vamos avançar em nosso estudo!</p><p>Laplaciano de um campo escalar</p><p>O gradiente de um campo escalar é representado por cujo</p><p>resultado é um campo vetorial, enquanto o divergente de um campo</p><p>vetorial é representado por cujo resultado é um campo</p><p>escalar.</p><p>Se combinarmos esses dois operadores diferenciais, teremos um novo</p><p>operador diferencial aplicado a um campo escalar Chamado de</p><p>Laplaciano, esse operador é representado por</p><p>Assim:</p><p>Podemos então dizer que o Laplaciano de um campo escalar é o</p><p>divergente do gradiente desse campo. Observe que, como a última</p><p>operação executada se trata de um divergente, o Laplaciano tem como</p><p>resultado um campo escalar.</p><p>Com as fórmulas do gradiente e do divergente em todos os sistemas de</p><p>coordenadas, pode-se obter as fórmulas do Laplaciano nos três</p><p>sistemas de coordenadas:</p><p>ΦE =</p><p>QT</p><p>ϵ</p><p>→ ∫∫◯</p><p>Superficie</p><p>→E ⋅ d →S =</p><p>1</p><p>ϵ</p><p>∫∫◯</p><p>V</p><p>ρdV</p><p>∫∫◯</p><p>Superficie</p><p>→E ⋅ d →S = ∫∫∫⨀</p><p>V</p><p>∇ ⋅ →EdV</p><p>∫∫∫⨀</p><p>V</p><p>∇ ⋅ →EdV = ∫∫∫⨀</p><p>V</p><p>ρ</p><p>ϵ</p><p>dV</p><p>∇ ⋅ →E =</p><p>ρ</p><p>ϵ</p><p>f ∇f,</p><p>→F ∇. →F ,</p><p>φ.</p><p>∇2φ.</p><p>∇2φ = ∇ ⋅ (∇φ)</p><p>Coordenadas cartesianas</p><p> </p><p>Coordenadas cilíndricas</p><p> </p><p>Coordenadas esféricas</p><p> </p><p>Vamos analisar um exemplo para fixarmos o conteúdo que acabamos</p><p>de estudar:</p><p>Exemplo 2</p><p>Determine o Laplaciano do campo escalar em coordenadas cilíndricas:</p><p>∂ 2φ</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2 ∇2φ =</p><p>∂ 2φ</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>)+</p><p>1</p><p>ρ2</p><p>∂ 2φ</p><p>∂ϕ2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2 ∇2φ =</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>)</p><p>φ</p><p>θ</p><p>)+</p><p>1</p><p>r2 sen2 θ</p><p>∂ 2φ</p><p>∂ϕ2 ∇2φ =</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ∂φ</p><p>∂r</p><p>)</p><p>φ =</p><p>3</p><p>2</p><p>ρ3 + 2.</p><p>Solução - exemplo 2 </p><p> </p><p>Aplicando a fórmula do Laplaciano em coordenadas cilíndricas e</p><p>observando que o campo só depende da coordenada</p><p>veremos que</p><p>Calculando:</p><p>Portanto, obtemos:</p><p>Equação de Poisson e de Laplace</p><p>Já deduzimos a equação da Lei de Gauss, veja:</p><p>Da mesma forma, já estudamos a relação entre campo elétrico e</p><p>potencial elétrico:</p><p>Se substituirmos a segunda equação na primeira, teremos o seguinte:</p><p>φ ρ,</p><p>∂ 2φ</p><p>∂ϕ2</p><p>=</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>= 0.</p><p>∇2φ =</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>)+</p><p>1</p><p>ρ2</p><p>∂ 2φ</p><p>∂ϕ2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>=</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>( 3</p><p>2</p><p>ρ3 + 2) =</p><p>9</p><p>2</p><p>ρ2</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) =</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ</p><p>9</p><p>2</p><p>ρ2) =</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(</p><p>9</p><p>2</p><p>ρ3) =</p><p>27</p><p>2</p><p>ρ2</p><p>∇2φ =</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) =</p><p>1</p><p>ρ</p><p>27</p><p>2</p><p>ρ2 =</p><p>27</p><p>2</p><p>ρ</p><p>∇ ⋅ →E =</p><p>ρ</p><p>ϵ</p><p>→E = −∇φ</p><p>∇ ⋅ →E = ∇ ⋅ (−∇φ) = −∇ ⋅ (∇φ) =</p><p>ρ</p><p>ϵ</p><p>No entanto:</p><p>Desse modo, obtemos uma equação denominada equação de Poisson:</p><p>Essa equação nos diz que o Laplaciano do potencial elétrico vale a</p><p>densidade dividida pela permissividade elétrica do meio. Tal equação é</p><p>utilizada para obter a distribuição de potenciais em uma região que</p><p>possui uma distribuição de cargas.</p><p>Quando estamos em um meio livre de cargas elétricas, isto é,</p><p>a equação de Poisson muda de nome. Chamada agora de equação de</p><p>Laplace, ela é representada por:</p><p>A equação de Laplace tem a mesma utilidade da equação de Poisson:</p><p>obter o valor dos potenciais elétricos em cada ponto de um meio, só que</p><p>em regiões onde não existe um distribuição de cargas.</p><p>Conforme veremos nos exemplos a serem resolvidos, além da utilização</p><p>da equação de Poisson ou de Laplace para se obter a equação dos</p><p>potenciais elétricos, é preciso conhecer o valor dos potenciais ou do</p><p>campo elétrico em alguns pontos dessa região. Tais condições são</p><p>denominadas condições de contorno do problema.</p><p>Como vamos resolver um Laplaciano composto por derivadas de</p><p>segunda ordem, necessitaremos sempre de duas condições de</p><p>contorno para a solução do problema. Essas condições serão tiradas da</p><p>geometria do problema e/ou do comportamento físico do potencial</p><p>elétrico e do campo elétrico.</p><p>Saiba mais</p><p>Em muitos casos práticos, as equações de Poisson e Laplace não</p><p>podem ser resolvidas com o auxílio de um método analítico. Elas devem</p><p>ser resolvidas apenas por métodos numéricos ou iterativos. Este</p><p>conteúdo, porém, não abordará tais métodos.</p><p>∇ ⋅ (∇φ) = ∇2φ</p><p>∇2φ = −</p><p>ρ</p><p>ϵ</p><p>ρ = 0,</p><p>∇2φ = 0</p><p>Cálculo da distribuição de potenciais</p><p>elétricos e campo elétrico</p><p>Agora apresentaremos alguns exemplos de como obter a distribuição de</p><p>potenciais elétricos e de campos elétricos.</p><p>Exemplo 3</p><p>Uma nuvem de carga cilíndrica de raio b apresenta uma densidade</p><p>volumétrica de carga constante igual a Essa nuvem está no ar.</p><p>Determine a distribuição de potencial elétrico e de campo elétrico dentro</p><p>e fora da nuvem, considerando que só haverá variação do potencial com</p><p>a distância ao eixo do cilindro. Considere como referência que o</p><p>potencial elétrico na casca dessa nuvem seja nulo.</p><p>Dentro da nuvem, que é uma região com carga elétrica,</p><p>utilizaremos a equação de Poisson:</p><p>Pela simetria, usaremos as coordenadas cilíndricas. O potencial</p><p>dependerá apenas da coordenada :</p><p>Em que k1 é uma constante real.</p><p>λ.</p><p>(ρ = b)</p><p>Solução - exemplo 3 (dentro da nuvem) </p><p>∇2φ = −</p><p>ρ</p><p>ϵ</p><p>= −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>ρ</p><p>∇2φ =</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>)+</p><p>1</p><p>ρ2</p><p>∂ 2φ</p><p>∂ϕ2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>=</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) 1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) = −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) = −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) = −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>ρ → ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>= ∫ −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>ρdρ = −</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ2 + k1 ∣</p><p> </p><p>Em que k2 também é uma constante real.</p><p>Usando uma condição de contorno, que, para se tem</p><p>:</p><p>A segunda condição de contorno não está explicita no</p><p>enunciado, mas sai de um comportamento físico do campo</p><p>elétrico. No eixo do cilindro, isto é, a distribuição de</p><p>carga ainda não se iniciou; assim, não há nenhuma carga. O</p><p>campo elétrico, portanto, deve ser nulo.</p><p>Entretanto:</p><p>Em coordenadas cilíndricas dependendo apenas da coordenada</p><p>temos:</p><p>Assim:</p><p>Assim:</p><p>Para</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>= −</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ+</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>φ(ρ) = ∫ (−</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ+</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>)dρ = −</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>ρ2 + k1 ln(ρ) + k</p><p>r = b,</p><p>φ = 0</p><p>φ(ρ = b) = −</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2 + k1 ln(b) + k2</p><p>φ(ρ = b) = 0 → −</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2 + k1 ln(b) + k2 = 0</p><p>ρ = 0,</p><p>→E = −∇φ</p><p>ρ,</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>ρ̂+</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂+</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ =</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>ρ̂</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>=</p><p>d</p><p>dρ</p><p>(−</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>ρ2 + k1 ln(ρ) + k2) = −</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ+</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>→E(ρ) = −∇φ = (</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρ−</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>)ρ̂</p><p>→E(ρ) =</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρρ̂</p><p>0 < ρ < b.</p><p>Retornando a equação:</p><p>Como</p><p>Fora da nuvem, devemos aplicar a equação de Laplace, pois não</p><p>temos carga.</p><p>Em que k1 é uma constante real.</p><p>Em que k2 também é uma constante real.</p><p>No entanto:</p><p>−</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2 + k1 ln(b) + k2 = 0</p><p>k1 = 0 → k2 =</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2.</p><p>φ(ρ) = −</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>ρ2 +</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>b2 =</p><p>λ</p><p>4ϵ0</p><p>(b2 − ρ2)</p><p>Solução - exemplo 3 (fora da nuvem) </p><p>∇2φ =</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>)</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) = 0</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) = 0 → ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>= k1</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>=</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>→ φ2 = ∫ k1</p><p>ρ</p><p>dρ = k1 ln(ρ) + k2</p><p>→E = −∇φ</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>ρ̂+</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂+</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ =</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>ρ̂</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>=</p><p>d</p><p>dρ</p><p>(k1 ln(ρ) + k2) =</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>→E2(ρ) = −∇φ = −</p><p>k1</p><p>ρ</p><p>ρ̂</p><p>Precisamos obter as condições de contorno. A primeira condição</p><p>será obtida pelo comportamento do campo elétrico. Como não</p><p>existe distribuição superficial de carga na casca da nuvem de</p><p>carga, o campo elétrico normal é contínuo.</p><p>Assim:</p><p>No exemplo anterior, obtivemos</p><p>Assim:</p><p>A segunda condição foi dada no enunciado: o potencial elétrico é</p><p>nulo para</p><p>Exemplo 4</p><p>Uma nuvem esférica de raio ro está uniformemente carregada com uma</p><p>densidade volumétrica de carga igual a Essa nuvem está no ar.</p><p>Determine a distribuição de potencial elétrico e de campo elétrico,</p><p>considerando que só haverá variação do potencial com a distância ao</p><p>centro da esfera. Considere como referência que o potencial elétrico no</p><p>infinito seja nulo.</p><p>Iniciaremos pelo cálculo do potencial e do campo na região fora</p><p>da esfera. Como não se tem carga, utiliza-se a equação de</p><p>Laplace com os potenciais em coordenadas esférica e</p><p>dependendo apenas de r.</p><p>Vejamos:</p><p>→E1(ρ = b) = →E2(ρ = b)</p><p>→E1(ρ) =</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>ρρ̂.</p><p>→E1(ρ = b) = λ</p><p>2ϵ0</p><p>bρ̂ e  →E2(ρ = b) = −</p><p>k1</p><p>b</p><p>ρ̂</p><p>λ</p><p>2ϵ0</p><p>b = − k1</p><p>b</p><p>→ k1 = − λb2</p><p>2ϵ0</p><p>→E2(ρ) = −</p><p>k1</p><p>b</p><p>ρ̂ = λb</p><p>2ϵ0</p><p>ρ̂</p><p>ρ = b.</p><p>φ2(ρ) = k1 ln(ρ) + k2 = −</p><p>λb2</p><p>2ϵ0</p><p>ln(ρ) + k2</p><p>φ2(ρ = b) = −</p><p>λb2</p><p>2ϵ0</p><p>ln(b) + k2 = 0 → k2 =</p><p>λb2</p><p>2ϵ0</p><p>ln(b)</p><p>φ2(ρ) = −</p><p>λb2</p><p>2ϵ0</p><p>ln(ρ) +</p><p>λb2</p><p>2ϵ0</p><p>ln(b) =</p><p>λb2</p><p>2ϵ0</p><p>ln( b</p><p>ρ</p><p>)</p><p>λ.</p><p>Solução - exemplo 4 (fora da esfera) </p><p> </p><p>Em que k1 e k2 são constantes reais.</p><p>A primeira condição de contorno é que, no infinito, o potencial é</p><p>nulo.</p><p>Assim:</p><p>Portanto:</p><p>Para determinarmos a segunda condição de contorno, vamos</p><p>considerar que, para um ponto distante, o potencial gerado pela</p><p>esfera se aproxima como o potencial elétrico gerado por uma</p><p>carga pontual com carga no valor da carga total armazenada</p><p>pela esfera. Essa carga pontual estaria no centro da esfera.</p><p>A carga total carregada na esfera será:</p><p>O potencial de uma carga pontual é dado por:</p><p>Igualando:</p><p>∇2φ = 0</p><p>∇2φ =</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ∂φ</p><p>∂r</p><p>)+</p><p>1</p><p>r2 sen θ</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>(sen θ</p><p>∂φ</p><p>∂θ</p><p>)+</p><p>r</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ∂φ</p><p>∂r</p><p>) = 0 →</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ∂φ</p><p>∂r</p><p>) =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>=</p><p>k1</p><p>r2</p><p>→ φ2 = ∫ k1</p><p>r2</p><p>dr = −</p><p>φ2(r) = −</p><p>k1</p><p>r</p><p>+ k2 → φ2(r → ∞) = k2 = 0</p><p>φ2(ρ) = −</p><p>k1</p><p>r</p><p>QT = λVesfera  = λ</p><p>4</p><p>3</p><p>πr3</p><p>0</p><p>φ =</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>QT</p><p>r</p><p>=</p><p>1</p><p>4πϵ0</p><p>λ</p><p>4</p><p>3 πr</p><p>3</p><p>0</p><p>r</p><p>=</p><p>λr3</p><p>0</p><p>3ϵ0r</p><p>φ2(ρ) = −</p><p>k1</p><p>r</p><p>=</p><p>λr3</p><p>0</p><p>3ϵ0r</p><p>→ k1 = −</p><p>λr3</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>φ2(r) =</p><p>λr3</p><p>0</p><p>3ϵ0r</p><p> </p><p>Obtendo o campo elétrico:</p><p>No interior da esfera, como se tem carga, utilizaremos a</p><p>equação de Poisson:</p><p>Por sua simetria, utilizaremos coordenadas esféricas,</p><p>dependendo apenas de Com isso, temos:</p><p>Em que k3 é uma constante real.</p><p>Em que k4 também é uma constante real.</p><p>Determinando o campo elétrico:</p><p>→E = −∇φ</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>r̂+</p><p>1</p><p>r</p><p>∂φ</p><p>∂θ</p><p>θ̂+</p><p>1</p><p>r sen θ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂ =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>r̂</p><p>→E2(r) = −</p><p>d</p><p>dr</p><p>(</p><p>λr3</p><p>0</p><p>3ϵ0r</p><p>)r̂ =</p><p>λr3</p><p>0</p><p>3ϵ0r2</p><p>r̂</p><p>Solução - exemplo 4 (interior da esfera) </p><p>∇2φ = −</p><p>ρ</p><p>ϵ</p><p>= −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>r.</p><p>∇2φ =</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ∂φ</p><p>∂r</p><p>)+</p><p>1</p><p>r2 sen θ</p><p>∂</p><p>∂θ</p><p>(sen θ</p><p>∂φ</p><p>∂θ</p><p>)+</p><p>r</p><p>1</p><p>r2</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ∂φ</p><p>∂r</p><p>) = −</p><p>λ</p><p>ϵ0</p><p>→</p><p>∂</p><p>∂r</p><p>(r2 ∂</p><p>∂</p><p>r2 ∂φ</p><p>∂r</p><p>= ∫ −</p><p>λr2</p><p>ϵ0</p><p>dr = −</p><p>λr3</p><p>3ϵ0</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>= −</p><p>λr</p><p>3ϵ0</p><p>+</p><p>k3</p><p>r2</p><p>φ1 = ∫ (−</p><p>λr</p><p>3ϵ0</p><p>+</p><p>k3</p><p>r2</p><p>)dr = −</p><p>λr2</p><p>6ϵ0</p><p>−</p><p>k3</p><p>r</p><p>+ k4</p><p>→E = −∇φ</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>r̂+</p><p>1</p><p>r</p><p>∂φ</p><p>∂θ</p><p>θ̂+</p><p>1</p><p>r sen θ</p><p>∂φ</p><p>∂ϕ</p><p>ϕ̂ =</p><p>∂φ</p><p>∂r</p><p>r̂</p><p>→E1(r) = −</p><p>d</p><p>dr</p><p>(−</p><p>λr2</p><p>6ϵ0</p><p>−</p><p>k3</p><p>r</p><p>+ k4)r̂ = ( λr</p><p>3ϵ0</p><p>−</p><p>k3</p><p>r2</p><p>)r̂</p><p>Para o campo deve ser nulo, pois, no centro, ainda não</p><p>se iniciou a distribuição de carga.</p><p>Assim:</p><p>Portanto, obtemos:</p><p>A segunda condição de contorno está relacionada à condição</p><p>que o potencial elétrico na passagem do interior para o exterior</p><p>da esfera tem de manter a continuidade.</p><p>Agora que você chegou até aqui, verifique seus conhecimentos através</p><p>das questões propostas.</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Determine o Laplaciano do seguinte campo escalar em</p><p>coordenadas cartesianas:</p><p>r = 0,</p><p>k3 = 0.</p><p>→E1(r) =</p><p>λr</p><p>3ϵ0</p><p>r̂</p><p>φ1 (r = r0) = φ2 (r = r0) =</p><p>λr3</p><p>0</p><p>3ϵ0r0</p><p>=</p><p>λr2</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>φ1(r) = −</p><p>λr2</p><p>6ϵ0</p><p>+ k4 → φ1 (r = r0) = −</p><p>λr2</p><p>0</p><p>6ϵ0</p><p>+ k4</p><p>−</p><p>λr2</p><p>0</p><p>6ϵ0</p><p>+ k4 =</p><p>λr2</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>→ k4 =</p><p>λr2</p><p>0</p><p>3ϵ0</p><p>+</p><p>λr2</p><p>0</p><p>6ϵ0</p><p>=</p><p>λr2</p><p>0</p><p>2ϵ0</p><p>φ1(r) = −</p><p>λr2</p><p>6ϵ0</p><p>+</p><p>λr2</p><p>0</p><p>2ϵ0</p><p></p><p>φ = y2 − 20y+ 15</p><p>A 8</p><p>B 6</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Como o potencial φ só depende da coordenada y,</p><p>Desse modo,</p><p>Questão 2</p><p>Determine o Laplaciano do seguinte campo escalar em</p><p>coordenadas cilíndricas:</p><p>C 4</p><p>D 2</p><p>E 1</p><p>∂ 2φ</p><p>∂x2</p><p>=</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>= 0.</p><p>∇2φ =</p><p>∂ 2φ</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>=</p><p>∂ 2φ</p><p>∂y2</p><p>∂φ</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(y2 − 20y+ 15) = 2x− 20</p><p>∂ 2φ</p><p>∂y2</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>( ∂φ</p><p>∂y</p><p>) =</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(2x− 20) = 2</p><p>∇2φ = 2.</p><p>φ = ρ3 + 2ρ2</p><p>A 9ρ− 88</p><p>B 9ρ+ 8</p><p>C ρ+ 88</p><p> </p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>Como o potencial φ só depende da coordenada ρ,</p><p>Dessa forma:</p><p>Questão 3</p><p>Duas placas metálicas grandes e paralelas encontram-se no ar a</p><p>uma distância de 2m uma da outra. Uma das placas, localizada em</p><p>z =0, possui potencial elétrico de 10V; a outra, potencial elétrico de</p><p>80V. Resolva a equação de Laplace e determine o valor do campo</p><p>elétrico em um ponto que está a 0,8m da primeira placa. Despreze o</p><p>efeito das bordas das placas.</p><p>D 9ρ− 6</p><p>E 3ρ− 15</p><p>∂ 2φ</p><p>∂ϕ2</p><p>=</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>= 0.</p><p>∇2φ =</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>)+</p><p>1</p><p>ρ2</p><p>∂ 2φ</p><p>∂ϕ2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>=</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂</p><p>∂</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ3 + 2ρ2) = 3ρ2 + 4ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ</p><p>∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) =</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ (3ρ2 + 4ρ)) =</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(3ρ3 + 4ρ2) = 9ρ</p><p>∇2φ =</p><p>1</p><p>ρ</p><p>∂</p><p>∂ρ</p><p>(ρ ∂φ</p><p>∂ρ</p><p>) =</p><p>1</p><p>ρ</p><p>(9ρ2 + 8ρ) = 9ρ+ 8</p><p>A 0V</p><p>B 15V</p><p>C – 15V</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>O potencial elétrico só dependerá de uma coordenada z:</p><p>Pela equação de Laplace, temos:</p><p>Em que k1 e k2 são números reais.</p><p>Substituindo as condições de contorno, temos:</p><p>O campo elétrico será:</p><p>Como potencial só dependerá da coordenada z, teremos:</p><p>D 35V</p><p>E – 35V</p><p>∇2φ =</p><p>∂ 2φ</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂y2</p><p>+</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>=</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>∇2φ = 0, 0 < z < 2</p><p>∂ 2φ</p><p>∂z2</p><p>= 0 →</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>= k1</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>= k1 → φ = ∫ k1dz</p><p>φ(z) = k1z+ k2</p><p>φ(z = 0) = k10 + k2 = k2</p><p>φ(z = 0) = 10 → k2 = 10</p><p>φ(z = 2) = k1 ⋅ 2 + k2 = 2k1 + 10 = 80 → k1 = 35</p><p>φ(z) = 35z+ 10 para 0 < z < 2</p><p>→E = −∇φ</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂x</p><p>x̂+</p><p>∂φ</p><p>∂y</p><p>ŷ+</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ =</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ</p><p>Questão 4</p><p>Utilizando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido por</p><p>um plano infinito de carga com densidade superficial de carga</p><p>em um ponto a uma distância d do plano.</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Pela simetria do problema, a melhor superfície a ser escolhida é um</p><p>cilindro, que atravessa o plano com bases a uma distância d do</p><p>plano.</p><p>Vamos analisar inicialmente o campo gerado apenas por um</p><p>pedaço do plano: uma circunferência de raio r que coincide com</p><p>a base do cilindro.</p><p>∇φ =</p><p>∂φ</p><p>∂x</p><p>x̂+</p><p>∂φ</p><p>∂y</p><p>ŷ+</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ =</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>ẑ</p><p>→E = −</p><p>∂φ</p><p>∂z</p><p>= −</p><p>d</p><p>dz</p><p>(35z+ 10)ẑ = −35ẑ para 0 < z < 2</p><p>ρS</p><p>A →E =</p><p>ρS</p><p>ϵ</p><p>ẑ</p><p>B →E =</p><p>ρS</p><p>2dϵ</p><p>Ẑ</p><p>C →E =</p><p>ρS</p><p>2ϵ</p><p>ẑ</p><p>D →E =</p><p>ρS</p><p>4dϵ</p><p>Ẑ</p><p>E →E =</p><p>ρS</p><p>4ϵ</p><p>Ẑ</p><p> </p><p>Plano infinito e a Lei de Gauss.</p><p>Observe que o campo elétrico, por sua distribuição de carga, será</p><p>perpendicular ao plano, sendo o campo perpendicular em todos os</p><p>pontos da base do cilindro. Além disso, não vai haver fluxo elétrico</p><p>pela superfície lateral do cilindro.</p><p>O valor do campo elétrico depende da distância</p>