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Geração de Malhas – SME5827
Transformação de Coordenadas
Afonso Paiva
ICMC-USP
28 de agosto de 2013
Cálculo Vetorial Revisitado
Notação de Einstein
I Índices repetidos representam soma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn =
n∑
i=1
aixi ≡ aixi
I Os índices repetem no máximo duas vezes. Uma expressão do tipo
aiixi não tem sentido na notação de Einstein.
Exemplo (no quadro)
Substitua yi = aijxj na equação Q ≡ bijyixj =
∑
i
∑
j bijyixj .
Cálculo Vetorial Revisitado
Notação de Einstein
I Índices repetidos representam soma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn =
n∑
i=1
aixi ≡ aixi
I Os índices repetem no máximo duas vezes. Uma expressão do tipo
aiixi não tem sentido na notação de Einstein.
Exemplo (no quadro)
Substitua yi = aijxj na equação Q ≡ bijyixj =
∑
i
∑
j bijyixj .
Cálculo Vetorial Revisitado
Notação de Einstein
I Índices repetidos representam soma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn =
n∑
i=1
aixi ≡ aixi
I Os índices repetem no máximo duas vezes. Uma expressão do tipo
aiixi não tem sentido na notação de Einstein.
Exemplo (no quadro)
Substitua yi = aijxj na equação Q ≡ bijyixj =
∑
i
∑
j bijyixj .
Cálculo Vetorial Revisitado
Notação de Einstein
I Índices repetidos representam soma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn =
n∑
i=1
aixi ≡ aixi
I Os índices repetem no máximo duas vezes. Uma expressão do tipo
aiixi não tem sentido na notação de Einstein.
Exemplo (no quadro)
Substitua yi = aijxj na equação Q ≡ bijyixj =
∑
i
∑
j bijyixj .
Cálculo Vetorial Revisitado
Notação de Einstein
I Índices repetidos representam soma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn =
n∑
i=1
aixi ≡ aixi
I Os índices repetem no máximo duas vezes. Uma expressão do tipo
aiixi não tem sentido na notação de Einstein.
Exemplo (no quadro)
Substitua yi = aijxj na equação Q ≡ bijyixj =
∑
i
∑
j bijyixj .
Notação de Einstein
Exemplo (no quadro)
Escreva explicitamente todas as equações representadas pela expressão
yi = aijxj com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3.
I No exemplo anterior o índice não somado i é chamado de índice livre e
o índice repetido j é chamado de índice falso.
I Os índices falsos fazem a expressão crescer em número de termos e os
índices livres fazem crescer o número de expressões.
Exemplo (Álgebra Linear)
I produto escalar: se u = (ui ) e v = (vi ) então u · v = u>v = uivi
I multiplicação de matriz: se A ≡ [aij ]mp e B ≡ [bij ]pn então
AB ≡ [aikbkj ]mn
Notação de Einstein
Exemplo (no quadro)
Escreva explicitamente todas as equações representadas pela expressão
yi = aijxj com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3.
I No exemplo anterior o índice não somado i é chamado de índice livre e
o índice repetido j é chamado de índice falso.
I Os índices falsos fazem a expressão crescer em número de termos e os
índices livres fazem crescer o número de expressões.
Exemplo (Álgebra Linear)
I produto escalar: se u = (ui ) e v = (vi ) então u · v = u>v = uivi
I multiplicação de matriz: se A ≡ [aij ]mp e B ≡ [bij ]pn então
AB ≡ [aikbkj ]mn
Notação de Einstein
Exemplo (no quadro)
Escreva explicitamente todas as equações representadas pela expressão
yi = aijxj com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3.
I No exemplo anterior o índice não somado i é chamado de índice livre e
o índice repetido j é chamado de índice falso.
I Os índices falsos fazem a expressão crescer em número de termos e os
índices livres fazem crescer o número de expressões.
Exemplo (Álgebra Linear)
I produto escalar: se u = (ui ) e v = (vi ) então u · v = u>v = uivi
I multiplicação de matriz: se A ≡ [aij ]mp e B ≡ [bij ]pn então
AB ≡ [aikbkj ]mn
Notação de Einstein
Exemplo (no quadro)
Escreva explicitamente todas as equações representadas pela expressão
yi = aijxj com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3.
I No exemplo anterior o índice não somado i é chamado de índice livre e
o índice repetido j é chamado de índice falso.
I Os índices falsos fazem a expressão crescer em número de termos e os
índices livres fazem crescer o número de expressões.
Exemplo (Álgebra Linear)
I produto escalar: se u = (ui ) e v = (vi ) então u · v = u>v = uivi
I multiplicação de matriz: se A ≡ [aij ]mp e B ≡ [bij ]pn então
AB ≡ [aikbkj ]mn
Notação de Einstein
Exemplo (no quadro)
Mostre que Q ≡ aijsij = 0, se A é uma matriz anti-simétrica (aij = −aji ) e
S é uma matriz simétrica (sij = sji ).
Exemplo (Regra da Cadeia)
Sejam w = f (x1, x2, . . . , xn) e xi (u1, u2, . . . , um) com 1 ≤ i ≤ n funções
reais de classe C 1 , então
∂w
∂uj
=
∂f
∂xi
∂xi
∂uj
(1 ≤ j ≤ m)
Notação de Einstein
Exemplo (no quadro)
Mostre que Q ≡ aijsij = 0, se A é uma matriz anti-simétrica (aij = −aji ) e
S é uma matriz simétrica (sij = sji ).
Exemplo (Regra da Cadeia)
Sejam w = f (x1, x2, . . . , xn) e xi (u1, u2, . . . , um) com 1 ≤ i ≤ n funções
reais de classe C 1 , então
∂w
∂uj
=
∂f
∂xi
∂xi
∂uj
(1 ≤ j ≤ m)
Delta de Kronecker
Definição (Delta de Kronecker)
δij ≡ δij ≡ δij ≡
{
1 i = j
0 i 6= j
Propriedades
1. δij = δji
2. δikδkj = δkiδkj = δij
3. δjkaik = aij
4. ei · ej = δij (vetores da base canônica do Rn)
5. [δij ]nn = In (matriz identidade de ordem n)
6. [δii ]33 = 3
Exercício 1
Mostre que (x)i = x · ei = xi .
Delta de Kronecker
Definição (Delta de Kronecker)
δij ≡ δij ≡ δij ≡
{
1 i = j
0 i 6= j
Propriedades
1. δij = δji
2. δikδkj = δkiδkj = δij
3. δjkaik = aij
4. ei · ej = δij (vetores da base canônica do Rn)
5. [δij ]nn = In (matriz identidade de ordem n)
6. [δii ]33 = 3
Exercício 1
Mostre que (x)i = x · ei = xi .
Delta de Kronecker
Definição (Delta de Kronecker)
δij ≡ δij ≡ δij ≡
{
1 i = j
0 i 6= j
Propriedades
1. δij = δji
2. δikδkj = δkiδkj = δij
3. δjkaik = aij
4. ei · ej = δij (vetores da base canônica do Rn)
5. [δij ]nn = In (matriz identidade de ordem n)
6. [δii ]33 = 3
Exercício 1
Mostre que (x)i = x · ei = xi .
Delta de Kronecker
Definição (Delta de Kronecker)
δij ≡ δij ≡ δij ≡
{
1 i = j
0 i 6= j
Propriedades
1. δij = δji
2. δikδkj = δkiδkj = δij
3. δjkaik = aij
4. ei · ej = δij (vetores da base canônica do Rn)
5. [δij ]nn = In (matriz identidade de ordem n)
6. [δii ]33 = 3
Exercício 1
Mostre que (x)i = x · ei = xi .
Delta de Kronecker
Definição (Delta de Kronecker)
δij ≡ δij ≡ δij ≡
{
1 i = j
0 i 6= j
Propriedades
1. δij = δji
2. δikδkj = δkiδkj = δij
3. δjkaik = aij
4. ei · ej = δij (vetores da base canônica do Rn)
5. [δij ]nn = In (matriz identidade de ordem n)
6. [δii ]33 = 3
Exercício 1
Mostre que (x)i = x · ei = xi .
Delta de Kronecker
Definição (Delta de Kronecker)
δij ≡ δij ≡ δij ≡
{
1 i = j
0 i 6= j
Propriedades
1. δij = δji
2. δikδkj = δkiδkj = δij
3. δjkaik = aij
4. ei · ej = δij (vetores da base canônica do Rn)
5. [δij ]nn = In (matriz identidade de ordem n)
6. [δii ]33 = 3
Exercício 1
Mostre que (x)i = x · ei = xi .
Delta de Kronecker
Definição (Delta de Kronecker)
δij ≡ δij ≡ δij ≡
{
1 i = j
0 i 6= j
Propriedades
1. δij = δji
2. δikδkj = δkiδkj = δij
3. δjkaik = aij
4. ei · ej = δij (vetores da base canônica do Rn)
5. [δij ]nn = In (matriz identidade de ordem n)
6. [δii ]33 = 3
Exercício 1
Mostre que (x)i = x · ei = xi .
Delta de Kronecker
Definição (Delta de Kronecker)
δij ≡ δij ≡ δij ≡
{
1 i = j
0 i 6= j
Propriedades
1. δij = δji
2. δikδkj = δkiδkj = δij
3. δjkaik = aij
4. ei · ej = δij (vetores da base canônica do Rn)
5. [δij ]nn = In (matriz identidade de ordem n)
6. [δii ]33 = 3
Exercício 1
Mostre que (x)i = x · ei = xi .
Símbolo de Levi-Civita em 3D
Volume do Paralelepípedo
V = |(a× b) · c| =
∣∣∣∣∣∣det
 a1 b1 c1a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣
Definição (Símbolo de Levi-Civita)
εijk = (ei × ej) · ek
Se {e1, e2, e3} for uma base ortonormal doR3 temos
Símbolo de Levi-Civita em 3D
Volume do Paralelepípedo
V = |(a× b) · c| =
∣∣∣∣∣∣det
 a1 b1 c1a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣
Definição (Símbolo de Levi-Civita)
εijk = (ei × ej) · ek
Se {e1, e2, e3} for uma base ortonormal do R3 temos
Símbolo de Levi-Civita em 3D
Volume do Paralelepípedo
V = |(a× b) · c| =
∣∣∣∣∣∣det
 a1 b1 c1a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣
Definição (Símbolo de Levi-Civita)
εijk = (ei × ej) · ek
e1
e2
e3
Se {e1, e2, e3} for uma base ortonormal do R3 temos
Símbolo de Levi-Civita em 3D
Nesse caso εijk coincide com o tensor de permutação
eijk ≡ e ijk ≡

+1 se (i , j , k) for uma permutação par de (1, 2, 3)
−1 se (i , j , k) for uma permutação ímpar de (1, 2, 3)
0 caso contrário
Exemplo
ε123 = ε231 = ε312 = 1 ε132 = ε321 = ε213 = −1
ε113 = ε122 = ε333 = 0
Símbolo de Levi-Civita em 3D
Nesse caso εijk coincide com o tensor de permutação
eijk ≡ e ijk ≡

+1 se (i , j , k) for uma permutação par de (1, 2, 3)
−1 se (i , j , k) for uma permutação ímpar de (1, 2, 3)
0 caso contrário
Exemplo
ε123 = ε231 = ε312 = 1 ε132 = ε321 = ε213 = −1
ε113 = ε122 = ε333 = 0
Símbolo de Levi-Civita em 3D
Nesse caso εijk coincide com o tensor de permutação
eijk ≡ e ijk ≡

+1 se (i , j , k) for uma permutação par de (1, 2, 3)
−1 se (i , j , k) for uma permutação ímpar de (1, 2, 3)
0 caso contrário
Exemplo
ε123 = ε231 = ε312 = 1 ε132 = ε321 = ε213 = −1
ε113 = ε122 = ε333 = 0
Visualização do Símbolo de Levi-Civita em 3D
matriz 3× 3× 3 (tensor de ordem 3) onde i é a profundidade, j a linha e
k a coluna
Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D
1. ei × ej = εijk ek
2. x× y = εijk xiyjek
3. (x× y)m = εijm xiyj
4. εijkεlmn = det
 δil δim δinδjl δjm δjn
δkl δkm δkn

5. εijkεlmk = δilδjm − δimδjl
6. εijkεijl = 2δkl
7. εijkεijk = 6
Identidade de Lagrange (no quadro)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)
Exercício 2
Mostre que (a× b)× c = (a · c)b− (b · c)a e det([aij ]33) = εijka1ia2ja3k .
Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D
1. ei × ej = εijk ek
2. x× y = εijk xiyjek
3. (x× y)m = εijm xiyj
4. εijkεlmn = det
 δil δim δinδjl δjm δjn
δkl δkm δkn

5. εijkεlmk = δilδjm − δimδjl
6. εijkεijl = 2δkl
7. εijkεijk = 6
Identidade de Lagrange (no quadro)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)
Exercício 2
Mostre que (a× b)× c = (a · c)b− (b · c)a e det([aij ]33) = εijka1ia2ja3k .
Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D
1. ei × ej = εijk ek
2. x× y = εijk xiyjek
3. (x× y)m = εijm xiyj
4. εijkεlmn = det
 δil δim δinδjl δjm δjn
δkl δkm δkn

5. εijkεlmk = δilδjm − δimδjl
6. εijkεijl = 2δkl
7. εijkεijk = 6
Identidade de Lagrange (no quadro)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)
Exercício 2
Mostre que (a× b)× c = (a · c)b− (b · c)a e det([aij ]33) = εijka1ia2ja3k .
Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D
1. ei × ej = εijk ek
2. x× y = εijk xiyjek
3. (x× y)m = εijm xiyj
4. εijkεlmn = det
 δil δim δinδjl δjm δjn
δkl δkm δkn

5. εijkεlmk = δilδjm − δimδjl
6. εijkεijl = 2δkl
7. εijkεijk = 6
Identidade de Lagrange (no quadro)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)
Exercício 2
Mostre que (a× b)× c = (a · c)b− (b · c)a e det([aij ]33) = εijka1ia2ja3k .
Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D
1. ei × ej = εijk ek
2. x× y = εijk xiyjek
3. (x× y)m = εijm xiyj
4. εijkεlmn = det
 δil δim δinδjl δjm δjn
δkl δkm δkn

5. εijkεlmk = δilδjm − δimδjl
6. εijkεijl = 2δkl
7. εijkεijk = 6
Identidade de Lagrange (no quadro)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)
Exercício 2
Mostre que (a× b)× c = (a · c)b− (b · c)a e det([aij ]33) = εijka1ia2ja3k .
Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D
1. ei × ej = εijk ek
2. x× y = εijk xiyjek
3. (x× y)m = εijm xiyj
4. εijkεlmn = det
 δil δim δinδjl δjm δjn
δkl δkm δkn

5. εijkεlmk = δilδjm − δimδjl
6. εijkεijl = 2δkl
7. εijkεijk = 6
Identidade de Lagrange (no quadro)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)
Exercício 2
Mostre que (a× b)× c = (a · c)b− (b · c)a e det([aij ]33) = εijka1ia2ja3k .
Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D
1. ei × ej = εijk ek
2. x× y = εijk xiyjek
3. (x× y)m = εijm xiyj
4. εijkεlmn = det
 δil δim δinδjl δjm δjn
δkl δkm δkn

5. εijkεlmk = δilδjm − δimδjl
6. εijkεijl = 2δkl
7. εijkεijk = 6
Identidade de Lagrange (no quadro)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)
Exercício 2
Mostre que (a× b)× c = (a · c)b− (b · c)a e det([aij ]33) = εijka1ia2ja3k .
Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D
1. ei × ej = εijk ek
2. x× y = εijk xiyjek
3. (x× y)m = εijm xiyj
4. εijkεlmn = det
 δil δim δinδjl δjm δjn
δkl δkm δkn

5. εijkεlmk = δilδjm − δimδjl
6. εijkεijl = 2δkl
7. εijkεijk = 6
Identidade de Lagrange (no quadro)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)
Exercício 2
Mostre que (a× b)× c = (a · c)b− (b · c)a e det([aij ]33) = εijka1ia2ja3k .
Propriedades do Símbolo de Levi-Civita em 3D
1. ei × ej = εijk ek
2. x× y = εijk xiyjek
3. (x× y)m = εijm xiyj
4. εijkεlmn = det
 δil δim δinδjl δjm δjn
δkl δkm δkn

5. εijkεlmk = δilδjm − δimδjl
6. εijkεijl = 2δkl
7. εijkεijk = 6
Identidade de Lagrange (no quadro)
(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)
Exercício 2
Mostre que (a× b)× c = (a · c)b− (b · c)a e det([aij ]33) = εijka1ia2ja3k .
Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas
Notação
Vamos denotar funções escalares f (x) por f (xi ), funções vetoriais F(x) por
F(xi ) e o operador ∂/∂xi por ∂i .
Operações Diferenciais
I Gradiente: ∇ = ei∂i
I Gradiente de f : ∇f = ei∂i f
I Divergente de F: ∇ · F = ∂iFi
I Laplaciano de f : ∇2f = ∂i∂i f
I Laplaciano de F: ∇2F = ej∇2Fj = ej∂i∂iFj
I Rotacional de F: ∇× F = εijk∂iFjek
I k-ésima componente de ∇× F: (∇× F)k = εijk∂iFj
Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas
Notação
Vamos denotar funções escalares f (x) por f (xi ), funções vetoriais F(x) por
F(xi ) e o operador ∂/∂xi por ∂i .
Operações Diferenciais
I Gradiente: ∇ = ei∂i
I Gradiente de f : ∇f = ei∂i f
I Divergente de F: ∇ · F = ∂iFi
I Laplaciano de f : ∇2f = ∂i∂i f
I Laplaciano de F: ∇2F = ej∇2Fj = ej∂i∂iFj
I Rotacional de F: ∇× F = εijk∂iFjek
I k-ésima componente de ∇× F: (∇× F)k = εijk∂iFj
Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas
Notação
Vamos denotar funções escalares f (x) por f (xi ), funções vetoriais F(x) por
F(xi ) e o operador ∂/∂xi por ∂i .
Operações Diferenciais
I Gradiente: ∇ = ei∂i
I Gradiente de f : ∇f = ei∂i f
I Divergente de F: ∇ · F = ∂iFi
I Laplaciano de f : ∇2f = ∂i∂i f
I Laplaciano de F: ∇2F = ej∇2Fj = ej∂i∂iFj
I Rotacional de F: ∇× F = εijk∂iFjek
I k-ésima componente de ∇× F: (∇× F)k = εijk∂iFj
Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas
Notação
Vamos denotar funções escalares f (x) por f (xi ), funções vetoriais F(x) por
F(xi ) e o operador ∂/∂xi por ∂i .
Operações Diferenciais
I Gradiente: ∇ = ei∂i
I Gradiente de f : ∇f = ei∂i f
I Divergente de F: ∇ · F = ∂iFi
I Laplaciano de f : ∇2f = ∂i∂i f
I Laplaciano de F: ∇2F = ej∇2Fj = ej∂i∂iFj
I Rotacional de F: ∇× F = εijk∂iFjek
I k-ésima componente de ∇× F: (∇× F)k = εijk∂iFj
Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas
Notação
Vamos denotar funções escalares f (x) por f (xi ), funções vetoriais F(x) por
F(xi ) e o operador ∂/∂xi por ∂i .
Operações Diferenciais
I Gradiente: ∇ = ei∂i
I Gradiente de f : ∇f = ei∂i f
I Divergente de F: ∇ · F = ∂iFi
I Laplaciano de f : ∇2f = ∂i∂i f
I Laplaciano de F: ∇2F = ej∇2Fj = ej∂i∂iFj
I Rotacional de F: ∇× F = εijk∂iFjek
I k-ésima componente de ∇× F: (∇× F)k = εijk∂iFj
Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas
NotaçãoVamos denotar funções escalares f (x) por f (xi ), funções vetoriais F(x) por
F(xi ) e o operador ∂/∂xi por ∂i .
Operações Diferenciais
I Gradiente: ∇ = ei∂i
I Gradiente de f : ∇f = ei∂i f
I Divergente de F: ∇ · F = ∂iFi
I Laplaciano de f : ∇2f = ∂i∂i f
I Laplaciano de F: ∇2F = ej∇2Fj = ej∂i∂iFj
I Rotacional de F: ∇× F = εijk∂iFjek
I k-ésima componente de ∇× F: (∇× F)k = εijk∂iFj
Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas
Notação
Vamos denotar funções escalares f (x) por f (xi ), funções vetoriais F(x) por
F(xi ) e o operador ∂/∂xi por ∂i .
Operações Diferenciais
I Gradiente: ∇ = ei∂i
I Gradiente de f : ∇f = ei∂i f
I Divergente de F: ∇ · F = ∂iFi
I Laplaciano de f : ∇2f = ∂i∂i f
I Laplaciano de F: ∇2F = ej∇2Fj = ej∂i∂iFj
I Rotacional de F: ∇× F = εijk∂iFjek
I k-ésima componente de ∇× F: (∇× F)k = εijk∂iFj
Operações Diferenciais em Coordenadas Cartesianas
Notação
Vamos denotar funções escalares f (x) por f (xi ), funções vetoriais F(x) por
F(xi ) e o operador ∂/∂xi por ∂i .
Operações Diferenciais
I Gradiente: ∇ = ei∂i
I Gradiente de f : ∇f = ei∂i f
I Divergente de F: ∇ · F = ∂iFi
I Laplaciano de f : ∇2f = ∂i∂i f
I Laplaciano de F: ∇2F = ej∇2Fj = ej∂i∂iFj
I Rotacional de F: ∇× F = εijk∂iFjek
I k-ésima componente de ∇× F: (∇× F)k = εijk∂iFj
Identidades Vetoriais em R3
1. ∂jxi = δij
2. ∇ · x = 3
3. ∇(a · b× x) = a× b (a e b vetores constantes)
4. ∇ · (fA) = ∇f · A + f∇ · A
5. ∇× (fA) = ∇f × A + f∇× A
6. ∇×∇f = 0
Identidades Vetoriais em R3
1. ∂jxi = δij
2. ∇ · x = 3
3. ∇(a · b× x) = a× b (a e b vetores constantes)
4. ∇ · (fA) = ∇f · A + f∇ · A
5. ∇× (fA) = ∇f × A + f∇× A
6. ∇×∇f = 0
Identidades Vetoriais em R3
1. ∂jxi = δij
2. ∇ · x = 3
3. ∇(a · b× x) = a× b (a e b vetores constantes)
4. ∇ · (fA) = ∇f · A + f∇ · A
5. ∇× (fA) = ∇f × A + f∇× A
6. ∇×∇f = 0
Identidades Vetoriais em R3
1. ∂jxi = δij
2. ∇ · x = 3
3. ∇(a · b× x) = a× b (a e b vetores constantes)
4. ∇ · (fA) = ∇f · A + f∇ · A
5. ∇× (fA) = ∇f × A + f∇× A
6. ∇×∇f = 0
Identidades Vetoriais em R3
1. ∂jxi = δij
2. ∇ · x = 3
3. ∇(a · b× x) = a× b (a e b vetores constantes)
4. ∇ · (fA) = ∇f · A + f∇ · A
5. ∇× (fA) = ∇f × A + f∇× A
6. ∇×∇f = 0
Identidades Vetoriais em R3
1. ∂jxi = δij
2. ∇ · x = 3
3. ∇(a · b× x) = a× b (a e b vetores constantes)
4. ∇ · (fA) = ∇f · A + f∇ · A
5. ∇× (fA) = ∇f × A + f∇× A
6. ∇×∇f = 0
Identidades Vetoriais em R3
Exercício 3
Verifique as seguintes identidades:
1. ∂i r = xi/r (com r = ‖x‖2 = √xixi )
2. ∇ · (a× x) = 0 (a é um vetor constante)
3. ∇× (a× x) = 2a (a é um vetor constante)
4. ∇ · (A× B) = B · ∇ × A− A · ∇ × B
5. εijk(A× B)k = AiBj − AjBi
6. εijk(∇× B)k = ∂iBj − ∂jBi
7. ∇ · ∇ × F = 0
8. ∇× (A× B) = (B · ∇)A− B(∇ · A)− (A · ∇)B + A(∇ · B)
9. ∇(A · B) = (B · ∇)A + (A · ∇)B + B× (∇× A) + A× (∇× B)
10. ∇× (∇× A) = ∇(∇ · A)−∇2A
Transformação de Coordenadas
x 1
x2
y
1
y
2
F
x 10
x 20
F(x ,x )10
F(x ,x )1 20
2
Domínio Computacional Domínio Físico
Definição
Dados dois sistemas de coordenadas (x i ) e (yi ) no Rn. Uma função
F : Ω ⊂ Rn → Rn de classe C 2 com
F : yi = yi (x
1, x2, . . . , xn) i = 1, . . . , n .
é chamada de transformação de coordenada quando for bijetora.
Transformação de Coordenadas
x 1
x2
y
1
y
2
F
x 10
x 20
F(x ,x )10
F(x ,x )1 20
2
Domínio Computacional Domínio Físico
Definição
Dados dois sistemas de coordenadas (x i ) e (yi ) no Rn. Uma função
F : Ω ⊂ Rn → Rn de classe C 2 com
F : yi = yi (x
1, x2, . . . , xn) i = 1, . . . , n .
é chamada de transformação de coordenada quando for bijetora.
Coordenadas Curvílineas
Definição
Se (yi ) são coordenadas cartesianas, as coordenadas (x i ) são chamadas de
coordenadas curvílineas se G = F−1 : x i = x i (y1, . . . , yn) é uma aplicação
não linear. Quando G é uma transformação linear, (x i ) são chamadas de
coordenadas afim.
Coordenadas Curvílineas
Definição
Se (yi ) são coordenadas cartesianas, as coordenadas (x i ) são chamadas de
coordenadas curvílineas se G = F−1 : x i = x i (y1, . . . , yn) é uma aplicação
não linear. Quando G é uma transformação linear, (x i ) são chamadas de
coordenadas afim.
Exemplo: coordenadas polares
(x1, x2) = (r , θ) e (y1, y2) = (x , y)
F :
{
y1 = x
1 cos(x2)
y2 = x
1 sin(x2)
G :
{
x1 =
√
(y1)2 + (y2)2
x2 = arctan(y2/y1)
Coordenadas Curvílineas
Definição
Se (yi ) são coordenadas cartesianas, as coordenadas (x i ) são chamadas de
coordenadas curvílineas se G = F−1 : x i = x i (y1, . . . , yn) é uma aplicação
não linear. Quando G é uma transformação linear, (x i ) são chamadas de
coordenadas afim.
Exemplo: coordenadas cilíndricas
(x1, x2, x3) = (ρ, ϕ, z) e (y1, y2, y3) = (x , y , z)
F :

y1 = x
1 cos(x2)
y2 = x
1 sin(x2)
y3 = x
3
G :
 x
1 =
√
(y1)2 + (y2)2
x2 = arctan(y2/y1)
x3 = y3
Coordenadas Curvílineas
Definição
Se (yi ) são coordenadas cartesianas, as coordenadas (x i ) são chamadas de
coordenadas curvílineas se G = F−1 : x i = x i (y1, . . . , yn) é uma aplicação
não linear. Quando G é uma transformação linear, (x i ) são chamadas de
coordenadas afim.
Exemplo: coordenadas esféricas
(x1, x2, x3) = (ρ, ϕ, θ) e (y1, y2, y3) = (x , y , z)
F :

y1 = x
1 sin(x2) cos(x3)
y2 = x
1 sin(x2) sin(x3)
y3 = x
1 cos(x2)
G :

x1 =
√
(y1)2 + (y2)2 + (y3)2
x2 = arccos(y3/
√
(y1)2 + (y2)2 + (y3)2)
x3 = arctan(y2/y1)
O Jacobiano
I Quando a aplicação F admite inversa G = F−1?
Matriz Jacobiana
JF =

∂y1
∂x1
∂y1
∂x2
· · · ∂y1∂xn
∂y2
∂x1
∂y2
∂x2
· · · ∂y2∂xn
...
...
. . .
...
∂yn
∂x1
∂yn
∂x2
· · · ∂yn∂xn
 =
[
∂yi
∂x j
]
nn
o seu determinante JF ≡ det(JF ) é o Jacobiano da aplicação F .
Teorema da Função Inversa
Seja U ⊂ Rn um aberto, F : U → Rn uma aplicação de classe C 1 e a ∈ U .
Se F ′(a) é bijetora (isto é, JF 6= 0) e b = F (a), então
1. existem abertos U 3 a e V 3 b do Rn tal que F : U → V é bijetora.
2. G : V → U é de classe C 1, G = F−1.
Em suma, F é um difeomorfismo local de classe C 1. (Demonstração: livro
Análise no Espaço Rn, Elon Lages Lima, SBM.)
O Jacobiano
I Quando a aplicação F admite inversa G = F−1?
Matriz Jacobiana
JF =

∂y1
∂x1
∂y1
∂x2
· · · ∂y1∂xn
∂y2
∂x1
∂y2
∂x2
· · · ∂y2∂xn
...
...
. . .
...
∂yn
∂x1
∂yn
∂x2
· · · ∂yn∂xn
 =
[
∂yi
∂x j
]
nn
o seu determinante JF ≡ det(JF ) é o Jacobiano da aplicação F .
Teorema da Função Inversa
Seja U ⊂ Rn um aberto, F : U → Rn uma aplicação de classe C 1 e a ∈ U .
Se F ′(a) é bijetora (isto é, JF 6= 0) e b = F (a), então
1. existem abertos U 3 a e V 3 b do Rn tal que F : U → V é bijetora.
2. G : V → U é de classe C 1, G = F−1.
Em suma, F é um difeomorfismo local de classe C 1. (Demonstração: livro
Análise no Espaço Rn, Elon Lages Lima, SBM.)
O Jacobiano
I Quando a aplicação F admite inversa G = F−1?
Matriz Jacobiana
JF =

∂y1
∂x1
∂y1
∂x2
· · · ∂y1∂xn
∂y2
∂x1
∂y2
∂x2
· · · ∂y2∂xn
...
...
. . .
...
∂yn
∂x1
∂yn
∂x2
· · · ∂yn∂xn
 =
[
∂yi
∂x j
]
nn
o seu determinante JF ≡ det(JF ) é o Jacobiano da aplicação F .
Teorema da Função Inversa
Seja U ⊂ Rn um aberto, F : U → Rn uma aplicação de classe C 1 e a ∈ U .
Se F ′(a) é bijetora (isto é, JF 6= 0) e b = F (a), então
1. existem abertos U 3 a e V 3 b do Rn tal que F : U → V é bijetora.
2. G : V → U é de classe C 1, G = F−1.
Em suma, F é um difeomorfismo local de classe C 1. (Demonstração: livro
Análise no Espaço Rn, Elon Lages Lima, SBM.)
O Jacobiano
I Quando a aplicação F admite inversa G = F−1?
Matriz Jacobiana
JF =

∂y1
∂x1
∂y1
∂x2
· · · ∂y1∂xn
∂y2
∂x1
∂y2
∂x2
· · · ∂y2∂xn...
...
. . .
...
∂yn
∂x1
∂yn
∂x2
· · · ∂yn∂xn
 =
[
∂yi
∂x j
]
nn
o seu determinante JF ≡ det(JF ) é o Jacobiano da aplicação F .
Teorema da Função Inversa
Seja U ⊂ Rn um aberto, F : U → Rn uma aplicação de classe C 1 e a ∈ U .
Se F ′(a) é bijetora (isto é, JF 6= 0) e b = F (a), então
1. existem abertos U 3 a e V 3 b do Rn tal que F : U → V é bijetora.
2. G : V → U é de classe C 1, G = F−1.
Em suma, F é um difeomorfismo local de classe C 1. (Demonstração: livro
Análise no Espaço Rn, Elon Lages Lima, SBM.)
O Jacobiano
Exercício 4
Mostre que JG = (JF )−1 e conclua que JG = 1/JF .
Notação
Vamos adotar índices em subscrito para coordenadas cartesianas (yi ) e
índices em sobrescrito para coordenadas curvílineas (x i ).
Exemplo (no quadro)
Seja (y i ) coordenadas curvílineas em R2 definidas em termos das
coordenadas cartesianas (xi ):
G :
{
y1 = x1x2
y2 = (x2)
2
Determine as regiões do plano onde G admite mudança de coordenadas,
isto é, onde G é bijetora.
O Jacobiano
Exercício 4
Mostre que JG = (JF )−1 e conclua que JG = 1/JF .
Notação
Vamos adotar índices em subscrito para coordenadas cartesianas (yi ) e
índices em sobrescrito para coordenadas curvílineas (x i ).
Exemplo (no quadro)
Seja (y i ) coordenadas curvílineas em R2 definidas em termos das
coordenadas cartesianas (xi ):
G :
{
y1 = x1x2
y2 = (x2)
2
Determine as regiões do plano onde G admite mudança de coordenadas,
isto é, onde G é bijetora.
O Jacobiano
Exercício 4
Mostre que JG = (JF )−1 e conclua que JG = 1/JF .
Notação
Vamos adotar índices em subscrito para coordenadas cartesianas (yi ) e
índices em sobrescrito para coordenadas curvílineas (x i ).
Exemplo (no quadro)
Seja (y i ) coordenadas curvílineas em R2 definidas em termos das
coordenadas cartesianas (xi ):
G :
{
y1 = x1x2
y2 = (x2)
2
Determine as regiões do plano onde G admite mudança de coordenadas,
isto é, onde G é bijetora.