Lista de exercicios de geometria euclidina 1

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Lista de exercícios de geometria euclidiana 
 
1-Um subconjunto do plano se diz convexo se o segmento ligando 
quaisquer dois de seus pontos está contido totalmente nele. Seja U um 
subconjunto do plano. Dizemos que U é estrelado relativamente a um 
ponto P quando para todo A em U segue que PA está em U. Mostre que 
conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer um de seus 
pontos . 
2- Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos então 
mostre que é convexo. 
3- Mostre que a união de todas as retas que passam por um ponto A é o 
plano. 
4-Sejam AB e CD segmentos e E um ponto tais que 𝐴𝐵 ∩ 𝐶𝐷 = {𝐸}. 
Mostre que a reta que contém AB não pode conter CD. 
5- Se C pertence a 𝑆𝐴𝐵 e 𝐶 ≠ 𝐴,mostre que 𝑆𝐴𝐵 = 𝑆𝐴𝐶 ,que 𝐵𝐶 ⊂ 𝑆𝐴𝐵 
e que 𝐴 ∉ 𝐵𝐶. 
6- Pode existir dois segmentos distintos com dois pontos em comum? 
7- Por que o conjunto de todos os pontos de um plano não pode ser uma 
reta? Pode o conjunto vazio ser uma reta no plano? 
8- Dados A,B e C pontos na reta .Faça um desenho representando-os 
,sabendo que | 𝐴𝐵̿̿ ̿̿ ̿| = 3 , | 𝐴𝐶̿̿̿̿̿| = 2 𝑒 | 𝐵𝐶̿̿ ̿̿̿| = 5 . 
9- Quatro pontos 𝐴, 𝐷, 𝑉, 𝐼 são pontos sobre uma reta onde os quatro 
possuem coordenadas inteiras e consecutivas. Sabe-se que além disso,V 
está entre I e A e que A,B e C pontos na reta .Faça um desenho 
representando-os ,sabendo que | 𝐷𝐴̿̿ ̿̿ ̿| < | 𝐷𝑉̿̿ ̿̿ ̿|. Faça uma figura indicando 
as possíveis posições dos pontos. 
10- Decida se existem três pontos A,B e C sobre uma reta onde | 𝐴𝐵̿̿ ̿̿̿| =
5, | 𝐵𝐶̿̿ ̿̿̿| = 6 e | 𝐴𝐶̿̿̿̿̿| = 7. 
11- Quatro pontos A,B,C e D são colineares. O ponto B está entre A e C, e 
o ponto C está entre B e D. Demonstre que o ponto C está entre A e D. 
12- Decida se existem pontos A,B,C colineares tais que | 𝐴𝐵̿̿ ̿̿ ̿| = 5, | 𝐵𝐶̿̿ ̿̿̿| =
3 e |𝐶𝐴̿̿ ̿̿ | = 1 . 
13-Sejam A,B,C e D pontos colineares distintos entre si tais que | 𝐴𝐵̿̿ ̿̿̿| =
5, | 𝐴𝐶̿̿̿̿̿| = 7 , |𝐶𝐷̿̿ ̿̿ | = 4. | 𝐴𝐷̿̿ ̿̿ ̿| = 11 . Verifique se as afirmações são 
verdadeiras ou falsas: 
a-Os pontos podem ser colocados na ordem: A- B-C-D. 
b- É possível botar A,B,C e D numa ordem onde | 𝐵𝐶̿̿ ̿̿̿| = 2 . 
c- É possível botar A,B,C e D numa ordem onde | 𝐵𝐶̿̿ ̿̿̿| = 5 . 
d- 𝑆𝑒 | 𝐵𝐶̿̿ ̿̿̿| = 12 então A está entre B e C? 
e- - 𝑆𝑒 | 𝐵𝐷̿̿ ̿̿ ̿| = 6 então C está entre B e D? 
 
12-São dados três pontos A, B e C com B entre A e C. Sejam M e N os 
pontos médios de AB e BC respectivamente . Mostre que | 𝑀𝑁̿̿ ̿̿ ̿̿ | =
| 𝐴𝐵̿̿ ̿̿ ̿|+|𝐵𝐶| 
2
 . 
 
13--São dados três pontos A,B e C com C entre A e B. Sejam M e N os 
pontos médios de AB e BC respectivamente . Mostre que | 𝑀𝑁̿̿ ̿̿ ̿̿ | =
| 𝐴𝐵̿̿ ̿̿ ̿|−|𝐵𝐶| 
2
 . 
14- Considere uma reta m. Associe a cada ponto um número real como é 
garantido pelo axioma . Seja A um ponto desta reta que tem coordenada a 
. Mostre que as duas semi-retas 𝐿1 e 𝐿2 determinada por A em m 
podem ser descritas como 𝐿1 = {𝐵 ∈ 𝑚; 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐵 é ≥
𝑎} 𝑒 𝐿2 = {𝐵 ∈ 𝑚; 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐵 é ≥ 𝑎} . 
 
15- Seja m uma reta e H a união de todos os discos de raio 1 e centro em 
pontos de m. Seja 𝐻′ o conjunto de todos os pontos A satisfazendo a 
propriedade de que existe um ponto P (A) ∈ 𝑚 tal que a distância de A a 
P(A) é menor do que 1. Mostre que H=𝐻′. 
16- Sejam M , A e B pontos distintos situados sobre uma mesma reta . Se 
𝑎 =
| 𝑀𝐴̿̿ ̿̿ ̿|
| 𝑀𝐵̿̿ ̿̿ ̿̿ |
 dizemos que M divide AB na razão a. Dado qualquer número real 
positivo a mostre que existe um único ponto M∈ 𝐴𝐵 tal que M divide AB 
na razão a. 
17-Dado qualquer número real positivo 𝑎 ≠ 1. Mostre que existe um 
único M na reta determinada por A e B que não pertence ao segmento 
AB e que AB divide na razão a. 
18- Um conjunto M de pontos é limitado se existe um círculo centrado em 
C de raio R onde todos os pontos estão nesse círculo. Prove que qualquer 
conjunto de pontos finitos é limitado. Prove também que segmentos são 
limitados. 
19 -Mostre que dado um ponto P e um conjunto limitado M, existe um 
disco com centro em P que contém M. 
20-Prove que retas são conjuntos ilimitados , ou seja, nenhuma reta estará 
dentro de um círculo de raio R.