Roteiro 3

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1
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto 
 
Interpolação Polinomial 
Seja um conjunto de dados {xi, f(xi)} tal como na tabela abaixo: 
xi 0 1.5 3.0 4.5 6.0 
f(xi) 0.001 0.016 0.028 0.046 0.057 
 
 O problema é estimar o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, 
como por exemplo, x = 2.0, uma vez que não se conhece f(x). 
 Portanto, interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi, f(xi)}, significa 
simplesmente, calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x). 
 A interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x) que passe por todos 
os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi, f(xi)}, isto é: 
p(x0) = f(x0) 
p(x1)=f(x1) 
p(x2)=f(x2) (1) 
... 
p(xn)=f(xn) 
(note que a contagem começa em zero, portanto temos n+1 pontos na expressão acima). 
 
 O polinômio p(x) é chamado de polinômio interpolador. É possível se demonstrar 
que existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) 
pontos do conjunto {xi, f(xi)} (ver o livro texto Cálculo Numérico para uma demonstração 
dessa proposição). 
 
Forma de Lagrange 
Seja um conjunto de n+1 dados {xi, f(xi)}. Um polinômio interpolador p(x) que satisfaça a 
condição (1), isto é, passe por todos os pontos, é: 
)()()()()()()( 1100 nn xfxLxfxLxfxLxp  (2) 
onde os Lk(x) são polinômios tais que: 
 2
 L xk i ki  (3) 
sendo que: 






ikse
ikse
ki
,1
,0
 (4) 
 Portanto, 
)()(
)(0)(0)(1)(
)()()()()()()(
00
100
01010000
xfxp
xfxfxfxp
xfxLxfxLxfxLxp
n
nn



 
e, 
p x L x f x L x f x L x f x
p x f x f x f x
p x f x
n n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 1
1 1
0 1 0
      
      

 
ou seja: 
p x f xi i( ) ( ) 
o que mostra que o polinômio interpolador p(x) passa exatamente sobre os pontos {xi, f(xi)} da 
tabela dada. 
 Falta encontrar os polinômios Lk(x), que satisfaçam (3). Uma função que satisfaz a 
condição (3) é: 
         
         nkkikkikkk
nkk
k
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL





1110
1110)( 
que é fácil verificar, pois: 
 
 
L x e
L x se i k
k k
k i

 
1
0 ,
 
 De maneira compacta, podemos escrever o polinômio interpolador na Forma de 
Lagrange, como: 
     p x L x f xn i i
i
n
 


0
 (5) 
e, 
 
 
 








n
ij
j
ji
n
ij
j
j
i
xx
xx
xL
0
0
 
 3
Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas (n = 1) 
 xi x0 x1 
f(xi) f(x0) f(x1) 
 
De (5): 



1
0
1100 )().()().()().()(
i
ii xfxLxfxLxfxLxp (6) 
As funções Li(x) devem satisfazer (3), ou seja: 
L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 (7) 
 
 É fácil verificar que, as seguintes funções, satisfazem (7): 
10
1
0 )(
xx
xx
xL


 
01
0
1 )(
xx
xx
xL


 (8) 
 De (8) em (6) : 
     1
01
0
0
10
1 xf
xx
xx
xf
xx
xx
xp 















 
 
Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas (n=2) 
 
xi x0 x1 x2 
 f(xi) f(x0) f(x1) f(x2) 
 
De (5): 
         221100
2
0
xfLxfLxfLxfLxp
i
ii  

 (9) 
onde: 
L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L2 (x0) =0 
L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 L2 (x1) =0 
L0 (x2) =0 L1 (x2) =0 L2 (x2) =1 
 
Por construção: 
   
   2010
21
0
xxxx
xxxx
L


 
   
   2101
20
1
xxxx
xxxx
L


 
   
   1202
10
2
xxxx
xxxx
L


 
 4
 Portanto: 
   
   
 
   
   
 
   
   
 2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21)( xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xp 








 
 
Exemplo: Ajuste uma reta aos seguintes pontos: 
 x 2 4 
f(x) 3,1 5,6 
     1
01
0
0
10
1 xf
xx
xx
xf
xx
xx
xp 















 
     28.2455.16.5
24
2
1.3
42
4
















 xx
xx
xp 
  6.025.1  xxp 
 
Forma de Newton 
Para que possamos discutir a Forma de Newton temos que antes nos familiarizar com 
a construção da chamada “Tabela de Diferenças Divididas” 
 
Tabela de Diferenças Divididas 
Dada a tabela de valores: 
x x0 x1 x2 x3 
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) 
 
Pode-se construir a seguinte tabela: 
 
xi  ixf  1, ii xxf  21,,  iii xxxf  321 ,,,  iiii xxxxf 
x0  0xf 
  10 , xxf 
x1  1xf  210 ,, xxxf 
  21, xxf  3210 ,,, xxxxf 
x2  2xf  321 ,, xxxf 
  32 , xxf 
x3  3xf 
 5
em que: 
     
01
01
10 ,
xx
xfxf
xxf


 ,      
12
12
21,
xx
xfxf
xxf


 ,      
23
23
32 ,
xx
xfxf
xxf


 
     
02
1021
210
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf


 ,      
13
2132
321
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf


 
     
03
210321
3210
,,,,
,,,
xx
xxxfxxxf
xxxxf


 
 
Exemplo: Dados os seguintes valores: 
xi 0,1 0,4 0,7 1 1,2 
f(xi) 0,813 0,536 0,682 1,25 1,864 
a tabela de diferenças divididas é: 
xi  ixf  1, ii xxf  21,,  iii xxxf  321 ,,,  iiii xxxxf 
0,1 0,813 
 923,0
1,04,0
813,0536,0



 
0,4 0,536 
 
 350,2
1,07,0
 923,0487,0



 
487,0
4,07,0
536,0682,0



 008,0
1,01
350,2343,2



 
0,7 0,682 343,2
4,01
487,0893,1



 
893,1
7,01
682,025,1



 014,0
4,02,1
343,2354,2



 
1 1,250 354,2
7,02,1
893,107,3



 
07,3
12,1
25,1864,1



 
1,2 1,864 
 
 
 4321 ,,,,  iiiii xxxxxf = 02,0
1,02,1
) 008,0(014,0



 
 6
Forma de Newton para o Polinômio Interpolador 
Para calcular o polinômio interpolador da Forma de Newton, começaremos com o 
caso mais simples: encontrar um polinômio de grau 0, p0(x), que interpola f(x) no ponto x0. 
Vamos partir da diferença dividida f[x0,x], que é dada por: 
     
0
0
0,
xx
xfxf
xxf


 (10) 
Isolando-se f(x) da expressão acima, tem-se: 
       000 , xxxxfxfxf  (11) 
 Da própria definição de polinômio interpolador, sabe-se que: 
p0 (x) = f(x0) (12) 
 Portanto, a expressão (11) pode ser escrita como: 
       000 , xxxxfxpxf  (13) 
A expressão acima não pode ser usada diretamente, pois não podemos calcular o valor 
f[x0, x], já que não conhecemos o valor de f(x) em qualquer ponto x. Fora do ponto x0, sabe-se 
que o polinômio interpolador é apenas uma aproximação de f(x), caso contrário ter-se-ia uma 
resposta exata e não precisaríamos da interpolação. Em outras palavras, tem-se que: 
p0(x)  f(x), para x  x0 (14) 
 Portanto,da expressão (14), concluímos que    00 , xxxxf  é simplesmente a 
diferença entre o valor de f(x) (valor real da função) e o valor p0(x) que obtivemos com a 
interpolação. Em outras palavras, esse termo é o erro no processo de interpolação, isto é: 
         0000 , xxxxfxpxfxE  (15) 
 Pode ser feita a mesma coisa partindo de uma diferença dividida de ordem maior, ou 
seja f[x0,x1,x], que é dada por: 
       
     
         
   01
0100
10
1
01
0
0
1
010
0110
,
,,
,
,,
,,,,
xxxx
xxfxxxfxf
xxxf
xx
xxf
xx
xfxf
xx
xxfxxf
xxxfxxxf











 (16) 
Portanto, tem-se que: 
             xxxfxxxxxxfxxxfxf ,,, 10010100  (17) 
             xxxfxxxxxxfxxxfxf ,,, 10011000  (18) 
 Podemos verificar que o polinômio interpolador de ordem 1, p1(x), é dado por: 
       10001 , xxfxxxfxp  (19) 
 7
pois, 
         01000001 , xfxxfxxxfxp  (20) 
e 
                 1
01
01
0101001011 , xf
xx
xfxf
xxxfxxfxxxfxp 


 (21) 
que são as condições fundamentais para se encontrar tal polinômio. 
 Portanto, o erro cometido ao se aproximar f(x) por p1(x) é: 
       xxxfxxxxxE ,, 10101  (22) 
 Podemos continuar indefinidamente, até encontrarmos o polinômio interpolador de 
uma ordem n qualquer, aplicando sempre o mesmo raciocínio. A expressão geral para um 
polinômio interpolador de ordem n será então: 
             
       nn
n
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
,,,
,,,
10110
210101000



 (23) 
e o erro é dado por: 
         xxxxfxxxxxxxE nnn ,,,, 1010  (24) 
 
Exemplo: Dada a tabela, encontre o polinômio interpolador p(x) usando a forma de Newton. 
x 0,2 0,5 0,9 1,5 2,0 
f(x) 4,88 5,00 5,72 8,00 11,00 
 
 xi f(xi) f[xi , xi+1] f[xi , xi+1, xi+2] 
 
 0,2 4,88 
 4,0
2,05,0
88,400,5



 
 0,5 5,00 2
2,09,0
4,08,1



 
 8,1
5,09,0
00,572,5



 
 0,9 5,72 2
5,05,1
8,18,3



 
 8,3
9,05,1
72,500,8



 
 1,5 8,00 2
9,00,2
8,30,6



 
 
 2,0 11,00 0,6
5,10,2
00,800,11



 
0
0
 8
Usando (23): 
Note que usando a forma de Newton, p(xi) = f(xi) 
 
 
5.4 Exercícios 
 
1. Calcule o polinômio interpolador de Lagrange de grau no máximo 1 e 2 para as funções 
abaixo, com �� = 0, �� = 0,6 e �� = 0,9. Utilize o polinômio para aproximar o valor de 
�(0,45) e calcule o erro absoluto. 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
2. Seja ��(�) o polinômio interpolador de Lagrange do conjunto de dados {(0, 0), (0.5, y), 
(1, 3), (2, 2)}. O coeficiente de �� é 6. Calcule o valor de y. (resposta: y = 4.25) 
 
 
3. Resolva o exercício anterior com o polinômio interpolador de Newton. 
 
 
 
52)(
2,04,0208,04,088,4)(
2).1,02,05,0(08,04,088,4)(
2).5,0).(2,0(4,0).2,0(88,4)(
2
2
2




xxxp
xxxxxp
xxxxxp
xxxxp
 9
4. A seguinte tabela informa o número de carros que passam por um determinado pedágio 
em um determinado dia: 
Horário 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 
Número (em mil) 2.69 1.64 1.09 1.04 1.49 2.44 
 
a) Faça um gráfico de horário vs. número de carros para verificar qual a tendência da 
curva. 
b) Estime o número de carros que passariam pelo pedágio às 11:10, usando a forma de 
Lagrange para encontrar um polinômio interpolador p(x) que estima o número de 
carros em função do tempo. 
 
 
5. Na fabricação de determinadas cerâmicas é muito importante saber as condições de 
temperatura em que o produto foi assado no forno. Como não é possível medir a 
temperatura do forno a todo instante, ela é medida em intervalos periódicos de tempo e 
esses dados são interpolados para o instante em que cada peça foi “queimada” a fim de se 
conhecer a temperatura do forno nesse instante. Em um dia de funcionamento do forno, os 
seguintes dados foram coletados: 
Horário 7:00 10:00 13:00 16:00 19:00 21:00 
Temperatura (102 oC) 2.32 2.51 2.63 2.55 2.41 2.28 
a) Construa a tabela de diferenças divididas para esses pontos. 
b) Estime a temperatura do forno ás 14:30 usando a forma de Newton.