2° Semestre Probabilidade

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE 
Disciplina: Bioestatística 
Professor: Wilson Alves de Oliveira 
Curso: Enfermagem 
 
 
 
2 PROBABILIDADE 
 
INTRODUÇÃO 
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS: Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, 
repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não saibamos 
qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, conseguimos descrever o 
conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. 
 
Exemplos: a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. 
 b) Lançar um dado e observar o nº da face de cima. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL: Chamamos de espaço amostral, e indicamos por S ou Ω, um 
conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
 
Exemplos: a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. 
 
 S = { K, C}, onde K representa cara e C coroa. 
 
 b) Lançar um dado e observar o nº da face de cima. 
 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
EVENTO: Um evento é um conjunto de resultados do experimento; em termos de 
conjunto, é um subconjunto de S. Em geral indicamos um evento por uma letra maiúscula 
do alfabeto: A, B, ... , X, Y, Z. 
Os eventos que possuem um único elemento são chamados eventos elementares. 
 
Exemplo: Um dado é lançado e observa-se o nº da face de cima. 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Eis alguns eventos: A: Ocorrência de nº impar. A = {1, 3, 5}; 
 B: Ocorrência de nº primo. B = {2, 3, 5}; 
 C: Ocorrência de nº menor que 4. C = {1, 2, 3}; 
 D: Ocorrência de nº menor que 7. 
 D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S (evento certo) 
 
 E: Ocorrência de nº maior ou igual a 7. 
 E = ∅ (evento impossível) 
 
Usando as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos. Assim: 
 
 
2
 
A ∪ B é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem; 
A ∩ B é o evento que ocorre, se A e B ocorrem; 
 AC é o evento que ocorre se A não ocorre. (AC evento complementar de A). 
 
Obs: Se A ∩ B = ∅ , A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos. São exaustivos 
se A ∪ B = S. 
 
 
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
Historicamente, a teoria da probabilidade começou com o estudo de jogos de azar, 
como a roleta e as cartas. 
Probabilidade é o número que resulta da divisão do número de casos favoráveis a 
um evento pelo número total de casos possíveis. 
 
 
p
f
XP =)( , onde: P(X): probabilidade de ocorrer o evento X; 
 f : nº de casos favoráveis à ocorrência de X; 
 p: nº de casos possíveis. 
 
Exemplo 1: No lançamento de uma moeda honesta, qual a probabilidade de sair “cara”? 
 
Probabilidade de sair “cara” 
possíveis) casos de total(Nº
jogada)numa sair podecara"" evento o que vezesde (Nº
= 
 
Então, probabilidade de cara 
2
1
= 
 
Exemplo 2: Vamos agora testar a definição com um dado honesto. Então, numa única 
jogada, qual a probabilidade de sair face 5? 
 
 P(face 5) 
6
1
==
p
f 
 
Exemplo 3: Qual a probabilidade de face impar numa única jogada? 
 P(face ímpar) =
2
1
6
3
==
p
f
 
 
A fórmula P(X) = f / p permite outras conclusões; 
 
f não pode ser maior que p , mas pode ser igual f ≤ p; 
f pode ser zero. 
 
Vamos examinar agora um problema um “pouquinho” mais complicado. 
 
 
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3
 
Exemplo 4: Jogando 2 dados “honestos” simultaneamente, qual a probabilidade de sair: 
a) soma 9? 
b) soma par? 
c) soma menor que 5? 
d) soma maior que 10? 
 
Vamos montar primeiro uma tabela que nos possibilite visualizar os vários pares de faces. 
 
 Dado 2 
Dado 1 
1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6 7 
2 3 4 5 6 7 8 
3 4 5 6 7 8 9 
4 5 6 7 8 9 10 
5 6 7 8 9 10 11 
6 7 8 9 10 11 12 
 
Sejam os eventos: A = soma 9; 
 B = soma par; 
 C = soma menor que 5; 
 D = soma maior que 10. 
Então, 
a) P(A) = 
NCF
NCP
= 
4
36
1
9
= ; 
 
b) P(B) = 
18
36
1
2
= ; 
 
c) P(C) = 
6
36
1
6
= ; 
 
d) P(D) = 
3
36
1
12
= . 
 
PROPRIEDADES 
 
Dado um espaço amostral S, a probabilidade de um evento A, P(A), é uma função 
definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes 
axiomas: 
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1; 
b) P(S) = 1; 
c) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos (A ∩ B = ∅ ), então 
 P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 
 
Se A1 , A2 , ... , An é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos, então 
a) P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An). 
 
 
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4
 
Teorema 1: Seja S um espaço amostral e seja ∅ o evento impossível, então, P(∅) = 0. 
 
Teorema 2: Se AC é o complemento de um evento A, então, P(AC) = 1 - P(A). 
 
Teorema 3: Seja S um espaço amostral e sejam A e B dois eventos tais que A ⊂ B, então, 
P(A) ≤ P(B). 
 
Teorema 4: Seja S um espaço amostral e sejam A e B dois eventos quaisquer, então, 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). 
 
Teorema 5: Seja S um espaço amostral e sejam A, B e C, três eventos quaisquer, então, 
 
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C). 
 
Exemplo 1: Um grupo de 100 estudantes fez exame em física e em matemática. Suponha 
que 60 passaram em matemática, 30 em física e 20 em ambas. Se um estudante é escolhido 
ao acaso deste grupo, qual é a probabilidade dele ter passado em matemática ou em física 
ou em ambas? 
 
Considere os eventos: A = {o estudante passa em matemática}; 
 B = {o estudante passa em física}. 
 
Estamos interessados em calcular a probabilidade de P(A ∪ B). 
 
100
60
)( =AP ; 
100
30
)( =BP ; 
100
20
)( =∩ BAP . 
 
Assim, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B); 
 
 
10
7
100
70
100
20
100
30
100
60
)( ==−+=∪ BAP . 
 
Exemplo 2: Um hospital tem 1000 funcionários. Destes: 
 200 trabalham no setor A; 
 180 trabalham no setor B; 
 200 trabalham no setor C; 
 50 trabalham no setor A e B; 
 50 trabalham no setor B e C; 
 100 trabalham no setor A e C e 
 20 trabalham no setor A, B e C. 
Um funcionário deste hospital é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade dele trabalhar 
no setor A, no setor B ou no setor C? 
 
Sejam os eventos: A = {Funcionário selecionado trabalha no setor A}; 
 B = {Funcionário selecionado trabalha no setor B }; 
 C = {Funcionário selecionado trabalha no setor C }. 
 
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5
 
 
1000
200
)( =AP ; 
1000
180
)( =BP ; 
1000
200
)( =CP ; 
1000
50
)( =∩ BAP ; 
 
1000
100
)( =∩CAP ; 
1000
50
)( =∩CBP e 
1000
20
)( =∩∩ CBAP . 
 
Então: 
5
2
10
4
1000
400
1000
205010050200180200
)( ===
+−−−++
=∪∪ CBAP . 
 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
1 Distribuição Binomial 
 
Considere n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada 
tentativa admite apenas dois resultados: sucesso(p) e fracasso(q). Seja X: número de 
sucessos em n tentativas. A função distribuição da variável aleatória binomial é dada por: 
 
knk pp
k
n
kXP −−





== )1()( , K = 0, 1, 2, ... , n. 
 
A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, sendo indicada 
pela notação X: B(n , p). 
 
Se X: B(n , p) → E(X) = µ = np e VAR(X)= σ2 = npq. 
 
Exemplo. Em uma família com quatro crianças, qual a distribuição de probabilidades para 
a variável número de meninas? 
X: nº de meninas → X: 0, 1, 2, 3, 4 → p = 1/2; 
 
( ) )4(
16
1
16
1
1)1(
2
1
2
1
0
4
)0(
40
===




=

















== XPXP ; 
 
 )3(
16
4
8
1
2
1
)4(
2
1
2
1
1
4
)1(
31
===










=

















== XPXP ; 
 
 
16
6
4
1
4
1
)6(
2
1
2
1
2
4
)2(
22
=










=

















==XP . 
 
2 Distribuição de Poisson 
 
Considere a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo. 
Seja X o número de sucessos no intervalo. Então: 
 P(X = k) = 
!k
e kλλ−
, onde λ é a média. 
 
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A variável X assim definida tem distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é muito 
usada na distribuição: 
a) do número de carros que passam por um cruzamento, por minuto, durante uma certa 
hora do dia; 
b) do números de erros tipográficos, por página, em um material impresso; 
c) do número de defeitos de uma peça produzida; 
d) do número de telefonemas que chegam, por hora, em uma central telefônica; 
e) do número de colônias de bactérias, em uma cultura por 0,01 mm2, numa plaqueta de 
microscópio; 
f) do número de mortes por ataque do coração, por ano, numa cidade. 
 
Esperança (Média): E(X) = λ; 
Variância: VAR(X) = λ. 
 
Exemplo: Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade 
de que: 
a) num minuto não haja nenhum chamado; 
b) em dois minutos haja 2 chamados. 
 
a) X: nº de chamadas por minuto → λ = 5, 
 P(X = 0) = 
( )
!0
5 05−e
 = e−5 = 0,006738; 
 
b) dois minutos → λ = 10, 
 P(X = 2) = 
!2
)10( 210−e
 = 0,002270. 
 
Distribuição normal 
 
 Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de probabilidade se a 
sua função densidade de probabilidade é dada por: 
 
f(x) = ∞<<∞−





 −−
xparae
X
,
2
1
2
2
1
σ
µ
πσ
; 
 
Graficamente: 
 µ - σ µ µ + σ X
 
 
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As principais características dessa função são: 
a) O ponto de máximo de f(x) é o ponto X = µ; 
b) Os pontos de inflexão da função são: X = µ + σ e X = µ - σ; 
c) A curva é simétrica com relação a µ; 
d) E(X) = µ e VAR(X) = σ2. 
 
Demonstra-se que f x dx( ) =
−∞
∞
∫ 1 . 
 
Para calcular a probabilidade P(a ≤ X ≤ b), deve-se fazer: 
 
 P(a ≤ X ≤ b) = f x dx
a
b
( )∫ , que apresenta um grau relativo de dificuldade. 
 
É utilizada a seguinte notação: X: N(µ , 2σ ), (X tem distribuição normal com média µ e 
variância 2σ ). 
Seja X: N(µ , σ2), define-se: Z = 
X − µ
σ
. 
Demonstra-se que Z também tem distribuição normal. Z é chamada de variável normal 
reduzida. 
 
Pode ser mostrado que E(Z) = 0 e VAR(Z) = 1 . 
 
Logo, se X: N(µ , 2σ ) → Z: N(0, 1). 
 
A função densidade de probabilidade de Z é: 
 f(z) = ∞<<∞−
−
zparae
Z
,
2
1
2
2
π
. 
 
Exemplo de relação entre X e Z: 
 
Seja X: N(20, 4). Achar os valores reduzidos correspondentes a X1 = 14, X2 = 16, 
X3 = 18, X4 = 20, X5 = 22, X6 = 24 e X7 = 26. 
 
Se X: N(20, 4) 
µ
σ
=
=



20
2
 e Z = 
X X−
=
−µ
σ
20
2
; 
 
a) X1 = 14; Z1
14 20
2
3=
−
= − ∴ = −Z1 3; 
 
b) X2 = 16; Z2
16 20
2
2=
−
= − ∴ = −Z2 2 ; 
 
c) X3 = 18; Z3
18 20
2
1=
−
= − ∴ = −Z3 1; 
 
 
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8
 
d) X4 = 20; 0
2
2020
4 =
−
=Z ∴ =Z4 0; 
 
e) X5 = 22; Z5
22 20
2
1=
−
= ∴ =Z5 1; 
 
f) X6 = 24; Z6
24 20
2
2=
−
= ∴ =Z6 2 ; 
 
g) X7 = 26; Z7
26 20
2
3=
−
= ∴ =Z7 3. 
 
Concluí-se que a variável Z indica quantos desvios padrões a variável X está 
afastada da média. Como as curvas são simétricas em relação às médias, 
 
 P(µ - σ ≤ X ≤ µ) = P(µ ≤ X ≤ µ + σ); 
 
 P(-1 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ 1). 
 
Também concluí-se que se X: N(µ ; σ2) então, 
 
 P(X1 ≤ X ≤ X2) = P(Z1 ≤ Z ≤ Z2), onde 
 
 Z1 = 
X1 − µ
σ
 e Z2 = 
X 2 − µ
σ
. 
 
 
USO DA TABELA 
 
A vantagem de se usar a variável Z é que pode-se tabelar os valores da área, ou as 
probabilidades, pois para cada X dado, a área depende de µ e 2σ . A tabela usada fornece 
a área sob a curva normal padrão entre Z = 0 e qualquer valor positivo de Z. 
 
 
 0 Zα Z
 αα =≤≤ )0( ZZP
α
 
 
 
 
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Exemplo de uso da tabela: 
 
Seja X: N(100, 25). Calcular: 
a) P(100 ≤ X ≤ 106); c) P(112 ≤ X ≤ 116); 
b) P(89 ≤ X ≤ 107); d) P(X ≥ 108). 
 
a) P(100 ≤ X ≤ 106) = P(0 ≤ Z ≤ 1,2) = 0,384930; 
 
 * 2,1
5
100106
0
5
100100
21 =
−
==
−
= ZeZ ; 
 
b) P(89 ≤ X ≤ 107) = P(-2,2 ≤ Z ≤ 1,4) = P(-2,2 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1,4) = 
 
 = 0,486097 + 0,419243 = 0,90534; 
 
 * 4,1
5
100107
2,2
5
10089
21 =
−
=−=
−
= ZeZ ; 
 
c) P(112 ≤ X ≤ 116) = P(2,4 ≤ Z ≤ 3,2) = P(0 ≤ Z ≤ 3,2) – P(0 ≤ Z ≤ 2,4) = 
 
 = 0,499313 – 0,491803 = 0,007510; 
 
 * 2,3
5
100116
4,2
5
100112
21 =
−
==
−
= ZeZ ; 
 
d) P(X ≥ 108) = P(Z ≥ 1,6) = 0,5 – P(0 ≤ Z ≤ 1,6) = 0,5 – 0,445201 = 0,054799; 
 
 * Z1
108 100
5
1 6=
−
= , . 
 
Exemplo de Aplicação: Um fabricante de microscópios sabe, por longa experiência, que a 
duração dos aparelhos que produz tem distribuição normal com média 1200 dias e desvio 
padrão de 200 dias. Oferece uma garantia de 2 anos (730 dias). Produz, mensalmente, 2000 
aparelhos. Quantos espera trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente? 
 
X: duração dos aparelhos 



=
=
dias
dias
200
1200
σ
µ
; 
 
P(X ≤ 730) = P(Z ≤ - 2,35) = 0,5 - P(- 2,35 ≤ Z ≤ 0) = 0,5 - 0,490613 = 0,009387; 
 
 * 35,2
200
1200730
1 −=
−
=Z ; 
 
∴ Deverá trocar mensalmente: 2000(0,009387) = 18,77 ≅ 19 microscópios. 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 3 
 
1) Dê o espaço amostral dos seguintes experimentos: 
a) Lançamento simultâneo de duas moedas; 
b) Lançamento simultâneo de três moedas; 
 
2) Considere o experimento: lançamento de dois dados, um branco e outro verde, e observação da 
face superior. Determine : 
a) O espaço amostral; 
b) O evento A: Ocorrência de números iguais nos dois dados; 
c) O evento B: Ocorrência de números cuja soma seja 5; 
d) O evento C: Ocorrência de números cuja soma seja 12. 
 
3) Qual a probabilidade de se jogar um dado e obter o número 4 ou um número par? (1/2) 
 
4) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é 
escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: 
a) Não tenha defeitos graves; (5/8) 
b) Não tenha defeitos; (7/8) 
c) Seja boa ou tenha defeitos graves. (6/8) 
 
5) Uma urna contém 3bolas brancas, 2 vermelhas, 1 azul e 2 pretas. Retira-se uma bola da urna ao 
acaso. Qual é a probabilidade de sair uma bola de cor vermelha ou azul? (3/8) 
 
6) Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo O é 0,4, ser A é 0,3 e ser B é 
0,2. Suponha ainda que a probabilidade de Rh+ é de 0,9 e que o fator Rh independe do tipo 
sanguíneo. Nestas condições, qual é a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população 
ser: 
a) O, Rh+? (0,36) 
b) AB, Rh-? (0,01) 
 
7) Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000 famílias, 
assinam: 
A: 470, B: 420, C: 315, A e B: 110, A e C: 220, B e C: 140 e 75 assinam os três. Escolhendo-se 
ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela: 
a) assine o jornal A ou o B? (780/1000) 
b) assine o jornal A ou B ou o C? (810/1000) 
c) não assine nenhum dos três jornais? (190/1000) 
 
8) O quadro abaixo dá a distribuição das probabilidades dos quatro tipos sanguíneos, numa certa 
comunidade. 
Tipo sanguíneo A B AB O 
Probabilidade de ter o tipo especificado 0,2 
Probabilidade de não ter o tipo especificado 0.9 0,95 
 
Calcular a probabilidade de que 
a) um indivíduo, sorteado ao acaso nessa comunidade, tenha o tipo O; (0,65) 
b) dois indivíduos, sorteados ao acaso nessa comunidade, tenham tipo A e B, nessa ordem. (0,02) 
 
 
 
 
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11
 
9) Um exame é constituído de dez testes com 5 alternativas, onde apenas uma é correta. Quantos 
testes acerta, em média, um aluno que nada sabe sobre a matéria do exame? Qual é a variância da 
distribuição? (2 e 8/5) 
 
10) Admitindo-se que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais, calcular a probabilidade 
de um casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres. (15/64) 
 
11) A probabilidade de um casal heterozigoto para o gene da fenilcetonúria (Aa x Aa) ter um filho 
afetado (aa) é 1/4. Qual é a probabilidade de um, de três filhos de um casal nestas condições, 
apresentar a doença? (27/64) 
 
12) Se a probabilidade de um indivíduo ter sangue Rh- é 10%, qual a probabilidade de 5 indivíduos 
que se apresentam para exame do tipo de sangue: 
a) 0 com Rh- ; (0,59049) d) 3 com Rh- ; (0,00810) 
b) 1 com Rh- ; (0,32805) e) 4 com Rh- ; (0,00045) 
c) 2 com Rh- ; (0,07290) f) Todos Rh- ; (0,00001) 
 
13) Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250 m. 
Supondo-se a distribuição de Poisson para os defeitos, qual a prob. de que na produção de 1000 m; 
a) não haja defeito; (0,018316) 
b) aconteçam pelo menos três defeitos. (0,761896) 
 
14) De acordo com a Divisão de Estatística Vital do Departamento de Saúde dos U.S.A., a média 
anual de afogamentos acidentais neste país é de 3 por 100.000 indivíduos. Determinar a 
probabilidade que em uma cidade com 300.000 habitantes se verifiquem: 
a) nenhum afogamento; 0,000123 
b) menos de 3 afogamentos; 0,006232 
c) no máximo 2 afogamentos; 0,006232 
d) mais de 4 e menos de 8 afogamentos. 0,268933 
 
15) Sendo Z uma variável com distribuição normal padronizada, encontre as seguintes 
probabilidades. 
a) P(0 < Z < 1,96) (0,475) 
b) P(-0,5 < Z < 0,5) (0,382926) 
c) P(Z > -2) (0,977250) 
 
16) Em mulheres, a quantidade de hemoglobina por 100ml de sangue é uma variável aleatória com 
distribuição normal de média µ = 16g e desvio padrão σ = 1g. Qual a probabilidade de uma 
mulher apresentar: 
a) de 16 a 18g de hemoglobina por 100ml de sangue? 0,4772 
b) mais de 18g de hemoglobina por 100ml de sangue? 0,0228 
 
17) Suponha que a estatura de 500 recém-nascidos do sexo masculino é uma variável aleatória com 
distribuição aproximadamente normal de média 50 cm e desvio padrão 2,50 cm. Quantos recém-
nascidos do sexo masculino têm estatura: 
a) inferior a 48 cm? (105,93 ≅ 106) 
b) entre 45 e 55 cm? (477,25 ≅ 477) 
c) entre 42,5 e 57,5 cm? (498,65 ≅ 499) 
 
 
 
 Bioestatística – Prof. Wilson Alves de Oliveira