Apostila 5 PROBABILIDADE

Prévia do material em texto

Professor Carlos Henrique
PROBABILIDADE
EVENTO: É um resultado proveniente de um experimento aleatório.
 Por exemplo: o resultado 5 em um lançamento de um dado. 
ESPAÇO AMOSTRAL: É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
 Lançamento de um dado : {1,2,3,4,5,6}
 
PROBABILIDADE: É a razão entre o número de casos favoráveis à ocorrência do evento e número total de casos do experimento aleatório. O número de total de casos é o número de elementos do espaço amostral. Na prática, não usaremos no nosso trabalho tal definição tão formal, diremos simplesmente que probabilidade é a razão entre o que queremos e o total.
P = 
 Lançamento de um dado:
 
 P(3) = 1/6 P(par) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%
 P(x>4) = 2/6 = 1/3
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se a probabilidade da intersecção for igual a zero.
P (A 
 B) = 0
 Exemplo: Alex Meirelles e CH estão brigados. Esternoclidomastóideo (amigo dos dois) os convida para uma festa na casa do mesmo. Alex diz que se CH for, ele não vai, CH diz que se Alex for, ele não vai. Então os eventos Alex ir à festa e CH ir à festa são eventos mutuamente exclusivos. 
EVENTOS INDEPENDENTES: Dois eventos são ditos independentes se a ocorrência ou não de um, não afeta a ocorrência do outro.
Exemplo: Voltemos ao exemplo anterior. Se Esternoclidomastóideo tiver uma amiga chamada Ângela e Alex não conhece Ângela e esta não conhece Alex (resumindo: um não sabe da existência do outro), é razoável supor que os eventos Ângela ir à festa e Alex ir à festa sejam eventos independentes.
Como isso pode ser expresso matematicamente ? A expressão matemática para eventos independentes é:
P (A
B) = P(A) x P(B)
Se os eventos não são independentes, eles são ditos EVENTOS CONDICIONAIS e neste caso:
P (A
B) 
 P(A) x P(B)
Em qualquer caso vale a relação: P(
PROBABILIDADE CONDICIONAL: Qual é a probabilidade de um evento sabendo-se que um outro evento já ocorreu ?
	P(B|A) = 
 Onde A é a condição, ou seja o fato ocorrido.
Você lerá da seguinte maneira: a probabilidade de B ocorrer sabendo-se que A ocorreu.
REGRA DE BAYES:
(MPU - ESAF) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham:
1) 40% das vezes a sopa é feita por João;
2) 40% das vezes por José 
3) 20% das vezes por Maria
4) João salga demais a sopa 10% das vezes,
5) José o faz em 5% das vezes 
6) Maria 20% das vezes.
Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a
a) 0,15.		
b) 0,25.		
c) 0,30.		
d) 0,20.		
e) 0,40.
O total são todos os caminhos que levam à sopa salgada, enquanto que o “quero” é o caminho do José. Assim:
�
P = 
= 
= 
GABARITO: D
�
QUESTÕES DE CONCURSO DE PROBABILIDADE
(ANEEL) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana guardou todas essas blusas – e apenas essas – em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retirou, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a:
a) 4/5;
b) 7/10,
c) 3/5;
d) 3/10;
e) 2/3
			4P
	MÃE
			5B
			4P
PAI
			2B
			 2B
VITOR
	 3P
TOTAL = 20 blusas
GABARITO: D
(ATA – ESAF – 2009) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?
20%
27%
25%
23%
50%
 		
80%
	Podemos concluir, portanto, que a probabilidade de termos um número par é 
P(2) + P(4) + P(6)
16% + 16% + 20%
	52%
P(PAR e PAR)
 ↓ ↓
 0,52 . 0,52
	
0,2704
 27,04%
GABARITO: B
(Fiscal do Trabalho- 2006 –ESAF) Beatriz, que é muito rica, possui 5 sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos e Quintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveu sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre os sorteados é igual a:
a) 0,8		b) 0,375		c) 0,05		d) 0,6		e) 0,75
Total = 
Quero:
	
6 possibilidades
GABARITO: D
Um grupo é constituído de 6 homens e 4 mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam homens?
a) ½		
b) 1/3		
c) ¼		
d) 2/3		
e) 3/5
 
 
 3 pessoas
total = 
quero: 2H 1M ou 3H
 
 
GABARITO: D
(MPOG – 2008) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a:
a) 1/10		
b) 8/5		
c) 11/120		
d) 11/720		
e) 41/360
 3 bolas
Quero: 3 bolas prestas ou 3 bolas brancas
Não é possível tirar três bolas vermelhas, pois só temos duas.
Quero:
quero = 10 + 1 =11
GABARITO: C
(ANA – ESAF – 2009) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?
a) 11,53%
b) 4,24%
c) 4,50%
d) 5,15%
e) 3,96%
�
	
	quero 		3 azuis	 ou	3 vermelhas ou 3 amarelas
			 
	 + 
 +	
		 10 + 4 + 4
 
 18
	
GABARITO: E
(MPU) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a:
a) 0,25			
b) 0,35		
c) 0,45		
d) 0,15		
e) 0,65
P(óleo) = 28%
P(pneus) = 11%
P(óleo e pneus) = 4%
P(óleo 
 pneus) = P(óleo) + P (pneus) – P(óleo 
 pneus) 
P(óleo 
 pneus) = 28% + 11% - 4% = 35%
Logo, a probabilidade de Lígia não verificar o óleo e nem a pressão dos pneus é 100% - 35% = 65%
Gabarito: E
(TFC – CGU – 2008) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a:
a) 0,04
b) 0,40
c) 0,50
d) 0,45
e) 0,95
P(Ricardo) = 40%
P(Fernando) = 10%
P(Ricardo e Fernando) = 5%
P (Ricardo ou Fernando) = P(Ricardo) + P(Fernando) – P(Ricardo e Fernando)
P(Ricardo 
 Fernando) = P(Ricardo) + P(Fernando) – P(Ricardo 
 Fernando)
P(Ricardo ou Fernando) = 40% + 10% - 5% = 45%
GABARITO: D
(ESAF – AFC/CGU – Área Estatística e Cálculos Atuariais-2008) A e B são eventos independentes se:
P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
P(A ∩ B)= P(A) / P(B)
P(A ∩ B) = P(A) - P(B)
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Esta é uma questão “digrátis”.
Dois eventos são independentes se
P(A∩B) = P(A) . P(B)
GABARITO: D
(ESAF – Estatístico MPOG-2006) Se E1 e E2 são dois eventos independentes, então:
a probabilidade de E1 é igual à probabilidade de E2
E1 e E2 são mutuamente exclusivos
A probabilidade de E1 é maior do que a probabilidade de E2
A probabilidade de E2 é maior do que a probabilidade de E1
A ocorrência, ou não, de E1 não afeta a probabilidade de ocorrência de E2
Questão meramente teórica.
Dois eventos são ditos independentes se a ocorrência, ou não, de um não afeta a probabilidade da ocorrência do outro.
(FCC – Analista Judiciário – Especialidade Estatística – TRT-2ª. Região-2008) A probabilidade de que Antonio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos é igual a:
30%
36%
56%
38%
44%
A probabilidade de Antônio estar vivo é 0,8, logo a probabilidade de ele estar morto é 0,2.  
       A probabilidade de Paulo estar vivo é 0,7, logo a probabilidade de ele estar morto é 0,3. 
 
   Qual é a probabilidade de somente um estar vivo ?
 
    Queremos que Antonio vivo e Paulo morto        OU     Paulo vivo e Antonio morto, certo ?
                                         0,8       x      0,3                    +              0,7       x         0,2
                                                      0,24                          +                          0,14
                                                                                    0,38 = 38%
                     GABARITO D
(Analista em Estatística – TRF-2ª. Região-2007) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Supondo que P(A) = 0,4 e P(A B) = 0,7 e P(B) = p. Os valores que fazem com que A e B sejam mutuamente exclusivos e A e B sejam independentes são, respectivamente:
0,3 e 0,4
0,6 e 0,2
0,5 e 0,2
0,4 e 0,2
0,3 e 0,5
São dois problemas : 
 
    1) Queremos o valor de p para que A e B sejam mutuamente exclusivos.  O que é isso ?   A definição de eventos mutuamente exclusivos é que possuam a probabilidade da interseção igual a zero.   
 
     P(A e B) = 0,    logo    P(A ou B) = P(A)   + P(B)
                                                     0,7    = 0,3    + p
 
                                                      logo p = 0,4.
 
 
    2) Queremos o valor de p para que A e B sejam independentes.   
 
     Eventos independentes:   P (A e B )   = P(A)  x P(B)  = 0,4p
 
 
    De maneira geral,   P(A ou B) = P(A)  + P(B)  - P(A e B)
                                                    0,7  = 0,4  + p - 0,4p
                                                      0,3 = 0,6p
                   
                                                         logo, p = 0,5.
 
                            GABARITO E
(ACE-TCU/ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é de:
a) 1/5		
b) 3/10		
c) 2/5		
d) 3/5		
e) 7/10
P(PAR) = 
 P(IMPAR)	 = 
P(CA) = 
 P(CO) = 
P(I e CO) = 0,4 . 0,5 = 0,2 = 20%
P(I ou CO) = P(Impar) + P(CO) – P(I E CO)
P(I ou CO) = 40% + 50% - 20% = 70%
GABARITO: E	
(MPOG) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a:
a) 4/25		
b) 10/25		
c) 12/25		
d) 3/5		
e) 4/5
P(Paulo) = 
		P(não Paulo) = 
P(Roberto) = 
		P(não Roberto) = 
P(somente Paulo) = 
P(Paulo e não Roberto) = 
 . 
 = 
GABARITO: C
(TFC – 2000 – ESAF) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é:
a) 12,5%		
b) 15,5%		
c) 22,5%		
d) 25,5%		
e) 30%
 P(Adalton) = 25%	P(não Adalton) = 75%
P(Cauan) = 40%		P(não Cauan) = 60%
P(Délius) = 50%		P(não Délius) = 50%
P(não seja convidado) = 
P(não Adalton E não Cauan E não Délius)
 0,75 . 0,6 . 0,5
 0,225 = 22,5%
GABARITO: C
(SEFAZ – RIO – 2008) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A ∩ B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos:
(A) mutuamente exclusivos.
(B) complementares.
(C) elementares.
(D) condicionais.
(E) independentes.
P(A) = 0,7		P(B) = 0,2
 P(A∩B) = 0,14
Eventos mutuamente exclusivos
P(A∩B) = 0
Eventos complementares
P(A∩B) = 0 E P(A) + P(B) = 1
O enunciado não satisfaz a nenhuma das duas condições.
	EVENTOS CONDICIONAIS
	P(A∩B) ≠ P(A) . P(B)
	EVENTOS INDEPENDENTES
	P(A∩B) = P(A) . P(B)
	
	Pelo enunciado
	P(A∩B) = P(A) . P(B)
 0,14 = 0,2 . 0,7
	Logo os eventos são independentes
GABARITO: E
(Analista em Estatística MPE/PE-2006) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 clientes (A e B). Registros anteriores indicam que, dos pedidos de certo processamento, cerca de 30% vêm de A e 70% de B. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabe-se que 2% dos pedidos feitos por A e 5% dos feitos por B apresentam erro. Selecionando um pedido ao acaso, a probabilidade dele ser proveniente de A, sabendo-se que apresentou erro, é:
5/41
6/41
3/5
2/35
1/35
A = 30%		erro = 2%
�erro = 5% 
B = 70%		
P(A/erro) = 
 
 = 
GABARITO: B
(Especialista em Regulação-E52 – ANCINE-2008) Uma empresa fabrica câmeras cinematográficas em duas filiais, a filial SP e a filial RJ. Uma câmera é escolhida ao acaso, durante o processo de controle de qualidade. Verifica-se que a câmera apresenta defeito. Através de verificações anteriores, a empresa sabe que 1% é a taxa de defeito das câmeras fabricadas na filial SP e 3%, a taxa de defeito das câmeras fabricadas na filial RJ. Sabendo-se que a filial SP é responsável 30% da fabricação, a opção que dá a probabilidade de que a câmera escolhida tenha sido fabricada em SP é:
0,07
0,125
0,38
0,812
0,625
No Teorema de BAYES seguimos os caminhos possíveis (TOTAL). A questão afirma que a câmera estava com defeito (condição). Assim,
 
SP = 30%		defeito = 1%
�defeito = 3% 
RJ = 70%		
	P(SP/defeito) = 
 = 
 0,125 = 12,5%
GABARITO: B
(ESAF – AFC/CGU – Área Estatística e Cálculos Atuariais-2008) Uma população de indivíduos é constituída 80% por um tipo genético A e 20% por uma variação genética B. A probabilidade de um indivíduo do tipo A ter determinada doença é de 5%, enquanto a probabilidade de um indivíduo com a variação B ter a doença é de 40%. Dado que um indivíduo tem doença, qual a probabilidade de ele ser da variação genética B?
1/3
0,4
0,5
0,6
2/3
�
O indivíduo tem a doença (condição)
A = 80%		doença = 5%
�doença = 40% 
B = 20%		
	
P(B/doença) = 
GABARITO: E
(Especialista em Regulação-Especialidade EconomiaANP-2008) Três dados comuns, honestos, são lançados seqüencialmente. Se o resultado S1 do primeiro dado for igual a 3, a distribuição de probabilidades da soma dos três resultados, condicional a S1 = 3, terá moda igual a:
11
10
9
7
1/6
O dado 1 deu o resultado 3. A moda da soma de dois dados é um resultado conhecido e deve ser memorizado, vale 7. (6,1) (1,6) (5,2) (2,5) (3,4) (4,3).
Portanto a moda da soma dos três dados é 7 + 3 = 10.
Gabarito: B
Atenção: A moda do valor absoluto da diferença entre dois dados é 1.
salgada = 20%
salgada = 50%
salgada = 10%
Maria = 20%
José = 40%
João = 40%
3 bolas
2 Verdes
 4 Amarelas
 4 Vermelhas
 5 Azuis
15 bolas
�PAGE �
�PAGE �2�
_1320124596.unknown
_1320301541.unknown
_1320570122.unknown
_1320582272.unknown
_1320603021.unknown
_1320603515.unknown
_1320605104.unknown
_1320603473.unknown
_1320582310.unknown
_1320602981.unknown
_1320582252.unknown
_1320567633.unknown
_1320567767.unknown
_1320568226.unknown
_1320567208.unknown
_1320270383.unknown
_1320271003.unknown
_1320271141.unknown
_1320272943.unknown
_1320273181.unknown
_1320273220.unknown
_1320273420.unknown
_1320272970.unknown
_1320272883.unknown
_1320271080.unknown
_1320271105.unknown
_1320271039.unknown
_1320270913.unknown
_1320270969.unknown
_1320270401.unknown
_1320125568.unknown
_1320270299.unknown
_1320270338.unknown
_1320125669.unknown
_1320125525.unknown
_1320125559.unknown
_1320125444.unknown
_1320094930.unknown
_1320095346.unknown
_1320095594.unknown
_1320124504.unknown
_1320095549.unknown
_1320095072.unknown
_1320095155.unknown
_1320095017.unknown
_1320092939.unknown
_1320094406.unknown
_1320094821.unknown
_1320094324.unknown
_1320092644.unknown
_1320092917.unknown
_1320092238.unknown