Exercícios de Eletromagnetismo

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Fundamentos do Eletromagnetismo
Profs. Augusto Otávio, Fábio Rodrigo,Irami Buarque,José Roberto, Ricardo Ataíde.
Nome:
CPF: Turma:
Gabarito do Segundo Exercício Escolar de 2025.2
Orientações:
• Leia atentamente todas as questões antes de começar a prova.
• Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta.
• Todos os cálculos devem ser explicados e justificados passo a passo.
• É permitido o uso de calculadora.
• dado:
∫ dx
(x2 + a2)3/2 =
x
a2
√
x2 + a2
1º) (2,00 pontos) Considere um fio reto percorrido por corrente I, conforme ilustrado na Figura 1. Usando a lei de
Biot-Savart, determine o módulo do campo magnético produzido no ponto P.
Resolução da 1ª) questão
A contribuição do campo magnético devido a um elemento ds do fio é mostrada na figura 1. Todos os
elementos dB apontam para fora da página, na direção z.
Para a magnitude, calculamos:
|d⃗s × r̂| = dx sen θ
Pela Lei de Biot-Savart:
dB =
µ0 I
4π
dx · sen θ
r2
Utilizando as relações r2 = x2 + a2 e senθ =
a√
x2 + a2
, obtemos:
dB =
µ0 I
4π
adx
(x2 + a2)3/2
Continuação da resolução da 1ª) questão
Integrando de −b a b:
B =
∫
dB =
µ0 Ia
4π
∫ b
−b
dx
(x2 + a2)3/2
Usando o resultado da integral dada:
∫ dx
(x2 + a2)3/2 =
x
a2(x2 + a2)1/2
Temos:
B =
µ0 Ia
4π
[
x
a2(x2 + a2)1/2
]∣∣∣∣∣
b
−b
B =
µ0 Ia
4π
(
b
a2(b2 + a2)1/2 − −b
a2(b2 + a2)1/2
)
B =
µ0 Ia
4π
2b
(b2 + a2)
Para um fio infinito, tomando b → ∞:
B =
µ0 I
4πa
· 2 =
µ0 I
2πa
Portanto, o campo magnético a uma distância de um fio retilíneo infinito percorrido por corrente i é dado
por:
B =
µ0 I
2πa
Figura 1:
2º) (2,00 pontos) Um fio longo e retilíneo (figura
2), de raio a, conduz uma corrente de intensidade
I0, distribuída uniformemente pela sua seção trans-
versal.
a) (1,00 ponto) Usando a lei de Ampère, mos-
tre que o campo magnético dentro do fio é dado
por:
B =
µ0 · I0
2π
(
r
a2 ) (r ≤ a)
b) (0,50 ponto) Obtenha uma expressão para o mó-
dulo do campo magnético fora do fio (r > a);
c) (0,50 ponto) Faça o gráfico do módulo do campo
magnético em função da distância r ao eixo do fio.
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Resolução da 2ª) questão
a) Considere um circuito amperiano circular de raio(r ≤ a). Se I0 é a corrente que atravessa a área total (πa2
) da seção do fio, apenas uma fração da corrente atravessa a área delimitada pela curva amperiana de raio r,
(πr2 ). Assim, considerando que a densidade de corrente (J = I/A) é constante:
I
I0
=
A
A0
→ I =
πr2
πa2 I0 → I =
r2
a2 I0
A lei de Ampere fornece:
∮
B⃗ · d⃗l =
∮
B · dl = B
∮
dl = B · 2πr = µ0ienv → B(2πr) = µ0 I = µ0
r2
a2 I0
Portanto, o campo magnético dentro do fio é:
B(r) =
µ0 I0r
2πa2
b) Para pontos externos ao fio (r > a):
B
∮
dl = B · 2πr = µ0 I0 → B(r) =
µ0 I0
2πr
c) gráfico do campo B em função da distância:
Bint =
µ0 I0r
2πa2 ∝ r e Bext =
µ0 I0
2πr
∝
1
r
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3ª) (2,00 pontos) Uma espira retangular, de lados a e b se encontra no plano xy conforme figura 3. Na região existe
um campo magnético perpendicular ao plano da espira e para fora dela cujo módulo é B(x, t) = At3x, aonde A é
uma constante.
Determine:
a) (1,25 pontos) o módulo da força eletromotriz induzida na espira em função de A, a, b e t ;
b) (0,75 ponto) o sentido dela explicando o procedimento usado em sua determinação.
Resolução da 3ª) questão
a)O módulo da F.E.M induzida é |E | = | − dΦ
dt
|. Para determinarmos o fluxo vamos considerar um retângulo
situado a uma distância x do eixo y de área dA = adx conforme figura abaixo
O fluxo através do retângulo é dϕ = B⃗ · dA⃗ aonde B⃗ = At3xk̂ e dA⃗ = adxk̂. Segue:
dϕ = (At3xk̂) · (adx)k̂.dϕ = (Aat3xdx).
Integrando a equação acima,temos:
Φ(t) =
∫ b
0
Aat3xdx = Φ = Aat3
∫ b
0
xdx = Aat3 x2
2
∣∣∣∣b
0
⇒ Φ(t) = Aat3 b2
2
Portanto,
|E | =
∣∣∣∣− dΦ(t)
dt
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣− 3
2
ab2t2
∣∣∣∣ =
3
2
ab2t2
b) Como o fluxo de campo magnético está aumentando no tempo para fora do plano do papel, o sentido
força eletromotriz induzida, pela regra da mão direita, será horário.
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4º) (2,00 pontos) O circuito RLC da figura 4 possui resistências R1 = 4, 00 Ω, R2 = 8, 00 Ω , um indutor L = 1, 50 H
e capacitores C1 = 3, 00µF e C2 = 2, 00µF. Um gerador de frequência ajustável é ligado ao circuito e possui uma
amplitude de F.E.M igual a 20, 0V. Determine:
Figura 2:
a) (0,50 ponto) a frequência de ressonância ω0 do
circuito. Por que a impedância de um circuito RLC
na condição de ressonância é sempre igual a sua re-
sistência equivalente? Justifique sua resposta sem
realizar cálculos.
b) (0,50 ponto) (i) o que acontece com a frequên-
cia de ressonância se retirarmos um dos resistores
do circuito? (ii) e se adicionarmos mais um capaci-
tor em paralelo aos capacitores C1 e C2 no circuito?
Justifique suas respostas.
c) (1,00 ponto) na condição de ressonância , a fun-
ção i(t) que descreve a corrente em função do
tempo e a potencia média dissipada no circuito.
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Resolução da 4ª) questão
a) A frequência de ressonância ω0 de um circuito RLC é dada pela expressão:
ω0 =
1√
LC
(1)
onde L é a indutância equivalente , e C a capacitância equivalente do circuito. Sendo L = 1, 50 H e C =
C1 + C2 = 5, 00µF, a frequência de ressonância será
ω0 ∼ 116π rad/s
Na ressonância, qualquer circuito RLC terá sua reatância capacitiva XC igual à sua reatância indutiva XL.
Assim, a impedância Z
(√
R2 + (XL − XC)2
)
será igual à própria resistência equivalente do circuito. Em
outras palavras, o circuito terá um comportamento puramente resistivo na condição de ressonância.
b) (i) a frequência de ressonância será a mesma, dado ω0 não tem dependência com a resistência equivalente
do circuito, de acordo com a expressão (1). (ii) Se adicionarmos mais uma capacitância em paralelo às outras
, a capacitância equivalente irá aumentar , e portanto , de acordo com (1) , a frequência de ressonância ω0 irá
diminuir.
c) Em uma circuito RLC, i(t) = Isen(ωdt − ϕ). Na condição de ressonância,
ωd = ω0 e ϕ = tan−1
(
XL − XC
R
)
= 0
, pois XL = XC. Amplitude da corrente será máxima, e portanto, igual á Imax = Em/Z ∼ 7, 5 A, onde
Em = 20, 0V e Z = Req ∼ 2, 67 Ω. Assim,
i(t) = 7, 5sen(116πt)
A potencia média dissipada na ressonância será Pmed = I2
rmsReq. Sendo Irms = Imax/
√
2, segue:
Pmed =
I2
max
2
· Req =
7, 52
2
· 2, 67 ∼ 75, 1W
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