Exercícios de Eletromagnetismo

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Fundamentos do Eletromagnetismo
Profs. Augusto Otávio, Fábio Rodrigo, José Roberto, Irami Buarque.
Nome:
CPF: Turma: Data: 26/julho/2024
2°chamada do 2°Exercício Escolar
Orientações:
• Leia atentamente todas as questões antes de começar a prova.
• Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta.
• As resoluções das questões devem ser comentadas e justificadas.
• A prova pode ser feita a lápis e as respostas de caneta.
• É permitido o uso de calculadora.
1º) (2,50 pontos) Um segmento de fio conduzindo corrente tem um elemento de corrente I⃗L, onde I = 3, 0A e
L⃗ = 5, 0cmî + 9, 0cmĵ. O segmento está em uma região com um campo magnético uniforme B⃗ = 2, 0Tî. Determine
a força no segmento do fio.
Resolução da 1ª) questão
I = 3, 0A
L⃗ = 5cmî + 9cmĵ
B⃗ = 2Tî
F⃗ = I⃗LXB⃗
A força será da pelo produto vetorial F⃗ = 3(5 · 10−2 · î + 9 · 10−2 ĵ) X 2Tî. Segue então
F⃗ =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
0, 15 0, 27 0
2 0 0
∣∣∣∣∣∣∣ = −54 · 10−2 N k̂
2º ) (2,50 pontos) Em um circuito RL temos E = 50V, R = 10Ω e L = 4H. O circuito é ligado em t = 0. Determine
a energia armazenada no indutor quando a d.d.p no resistor for igual a d.d.p no indutor.
Resolução da 2ª) questão
E = 50V R = 10 Ω L = 4 H
A d.d.p no resistor é ; VR = R · I
Sendo I =
E
R
· (1 − e
−t
τL ) aonde τL =
L
R
é constante de tempo. Substituindo I em VR, temos
VR = R · E
R
(1 − e
−t
τL )
VR =
E
R
(1 − e
−t
τL )
A d.d.p no indutor é VL = L · dI
dt
, aonde
dI
dt
=
E
R
· d
dt
(1 − e
−t
τL ).
dI
dt
=
E
R
· R
L
· e
−t
τL =
E
L
· e
−t
τL
VL(t) = L
E
L
· e
−t
τL = E · e
−t
τL
De acordo com o enunciado do problema devemos ter : VR = VL
E(1 − e
−t
τL ) = E e
−t
τL
e
−t
τL + e
−t
τL = 1
2 · e
−t
τL = 1
e
−t
τL =
1
2
Tomando o logaritmo de ambos os membros:
ln e
−t
τL = ln
1
2
−t
τL
· ln e = ln
1
2
τL =
−t
ln 1
2
t = −τL · ln 1/2
t = − 4
10
· −0, 69 = 0, 28s
A energia armazenada no indutor é U =
1
2
L · I2, onde I =
E
R
(1 − e
−t
τL ). Substituindo os valores:
I =
50
10
(1 − e
−0,28
0,4 )
I = 5 · (1 − e−0,69)
I = 2, 5A a corrente em t = 0, 28s.
A energia armazenada é : U=
1
2
· 4 · (2, 5)2 = 12, 5 J
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3º) (2,50 pontos) A figura 1 mostra um plano xy que corta perpendicularmente dois fios longos paralelos, separa-
dos por uma distância 2d, cada um deles conduzindo uma corrente elétrica de intensidade I, porém em sentidos
contrários. A distância entre o fio 1 e ponto P1 é 2d e a distância entre o fio 2 e ponto P3 é d.Pede-se:
a) (0,5 ponto) faça uma figura no plano xy, representando todas as distâncias e todos os vetores do problema;
b) (0,5 ponto)usando a Lei de Ampère, calcule a expressão para o módulo do campo magnético B criado por uma
corrente elétrica em um fio, com intensidade (i), em um ponto a uma distância (r) do fio;
c) (1,5 ponto) determine o vetor resultante B⃗, devido aos fios 1 e 2, nos pontos P1, P2 e P3.
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Resolução da 3ª) questão
a) Representação no plano xy, das distâncias e dos vetores (B⃗1), (B⃗2) e ( ⃗Btotal ) , nos pontos indicados,
conforme a regra da mão direita:
b) Da lei circuital de ampère,
∮
B⃗ · d⃗s =µ0 Ienv=> B
∮
ds = B(2πr) = µ0 · I => B =
(µ0 I)
2πr
c) Campo resultante nos pontos P1, P2 e P3, criados pelos fios 1 e 2:
Distâncias (r1) e (r2), entre os fios 1 e 2, e os pontos, conforme a figura:
Ponto P1 - r1 = 2d e r2 = 4d; Pto P2 - r1 = d e r2 = d; P3 - r1 = 3d e r2 = d;
Usando B =
µ0 I
2πr
, com (B⃗total)=(B⃗1) + (B⃗2) e os sentidos da figura, com a regra da mão direita, vem:
Ponto 1: B⃗total = − (µ0 · I)
2πr1
ĵ +
(µ0 I)
2πr2
ĵ => B⃗total = − µ0 I
2π(2d)
ĵ +
µ0 I
2π(4d)
ĵ=>
B⃗(1)
total=-
µ0 I
4πd
ĵ +
µ0 · I
8πd
ĵ=>B⃗(1)
total = − (µ0 I)
8πd
ĵ.
Ponto 2: B⃗total =
(µ0 I)
(2πr1)
ĵ +
(µ0 I)
2πr2
ĵ => B⃗total =
µ0 I)
2π(d)
ĵ + (
µ0 I)
2π(d)
ĵ=> B⃗(2)
total =
µ0 I
πd
ĵ
Ponto 3: B⃗total =
(µ0 I)
(2πr1)
ĵ − (µ0 I)
2πr2
ĵ => B⃗total =
µ0 I)
2π(3d)
ĵ − (
µ0 I)
2π(d)
ĵ = (
µ0 I
6πd
− µ0 I
2πd
) ĵ =>B⃗(3)
total = − µ0 I
3πd
ĵ
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4ª)(2,50 pontos) O gráfico da figura 2 mostra a amplitude da corrente (I) em um circuito RLC em função da frequên-
cia de excitação ωd, indicando o valor da frequência de excitação para a qual amplitude da corrente atinge seu
valor máximo Imax = 12, 0A. Os valores do capacitor e da resistência são C = 1, 5µF e R= 200 Ω, respectivamente.
Determine:
a) (1,25 ponto) as funções E (t) e I(t) quando o circuito está sendo excitado com uma frequência ωd = 6x104 rad/s.
b)(0,50 ponto) Considere os valores da frequência de excitação ωd = 2, 0x104 e ωd = 2, 20x105 rad/s. Qual desses
valores de ωd torna o circuito mais indutivo? e mais capacitivo? justifique sua resposta com base no gráfico.
c) (0,75 ponto) as funções que representam as tensões no indutor e no capacitor em função do tempo (vL(t) e vc(t)) ,
quando o circuito está sendo excitado na frequência de ressonância .Por que a amplitude da tensão no indutor (VL)
é igual a amplitude da tensão no capacitor (VC) na condição ressonância? justifique sua resposta.
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Resolução da 4ª) questão
a) Em = Imax · R = 12, 0 · 200 = 2, 4k V
b)I =
Em
Z
=
Em√
R2 + (XL − XC)2
=
Em√
R2 + (ωdL − 1
ωdC )
2
I=
2, 4 · 103√
40000 + (6, 24 − 11, 111)2
=
2, 4 · 103
200, 06
= 11, 99A
I ∼ Imax
tanϕ =
XL − XC
R
=
6, 24 − 11, 111
200
= −0, 29
ϕ = −0, 28rad
E(t) = 2, 4 · 103sen(6 · 104 · t)
I(t) = 11, 99sen(6 · 104t + 0, 28)
b) De acordo com o gráfico, a frequência de ressonância é iguak a ω0 = 80 · 103rad/s. Para valores ωd ω0, XL > XC. O circuito será mais capacitivo que indutivo quando
XL XC. Assim, em ωd = 2, 0 · 104rad/s, o circuito será mais
capacitivo e em ωd = 2, 20 · 105rad/s, mais indutivo.
c) vL(t) = L
di
dt
; vc = q(t)/C =
∫
i(t)dt
C
Na ressonância, a constante de fase ϕ será igual a zero. Deste forma,
i(t) = Imax · sen(ω0t)
Segue então:
vL(t) = LImaxω0 · cos(ω0t) = ImaxXLcos(ω0t)
vC(t) = − Imax
ω0C
cos(ω0t) = ImaxXCcos(ω0t + π)
e assim,
vL(t) = 99, 9cos(80 · 103t)
vC(t) = 99, 9cos(80 · 103t + π)
Na ressonância, XL = XC. Além disso, VL = Imax · XL e VC = Imax · Xc. Temos então que
VL
Imax
=
VC
Imax
e portanto, VL = Vc na ressonância!
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