Livro-Texto Unidade I (1)

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Autores: Profa. Valéria de Carvalho
 Prof. Éder Carlos Moreira 
Colaboradores: Prof. Mauricio Felippe Manzalli
 Profa. Ana Carolina Bueno Borges
 Profa. Marisa Rezende Bernardes 
Métodos Quantitativos 
em Economia
Professores conteudistas: Valéria de Carvalho / Éder Carlos Moreira
Valéria de Carvalho
Possui graduação em Ciências, com habilitação em Matemática pela Universidade de Bauru (1987), atual 
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. É mestre em Educação Matemática pela Universidade Estadual 
de Campinas (1999) e doutora em Educação Matemática também pela Universidade Estadual de Campinas (2007). 
Éder Carlos Moreira
É engenheiro geólogo pela Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP), mestre em Engenharia Civil pela 
Universidade de São Paulo (USP) e doutor em Metalogênese e Geoquímica pela Universidade Federal do Rio 
Grande do Sul. Teve como característica comum, em todos os seus trabalhos de doutorado, mestrado e graduação, a 
modelagem matemática de problemas relacionados à Engenharia.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C331c Carvalho, Valéria de.
Métodos quantitativos em economia. / Valéria de Carvalho, Éder 
Carlos Moreira. – São Paulo: Editora Sol, 2021.
260 p. il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Economia. 2. Matemática. 3. Equações diferenciais. I. Moreira, 
Éder Carlos. II. Título.
CDU 33:51 
U510.45 – 21
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcello Vannini
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Deise Alcantara Carreiro – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Andréia Andrade
 Michel Kahan
Sumário
Métodos Quantitativos em Economia
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VÁRIAS VARIÁVEIS E GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS .............................................................................................................................................9
1.1 Conceituando funções de várias variáveis ....................................................................................9
1.2 Conceituando e operando com funções de duas variáveis ................................................ 11
1.3 Domínio ou o campo de existência de uma função .............................................................. 17
1.4 Representação gráfica de uma função de duas variáveis e curvas de nível ................ 31
1.5 Aprofundando os estudos de funções de duas variáveis e das curvas de níveis ....... 40
1.6 Visualizando gráficos construídos no Winplot ........................................................................ 48
1.7 Voltando às curvas de nível ............................................................................................................. 51
1.8 Limite e continuidade de funções de duas variáveis ............................................................. 53
2 DERIVADAS PARCIAIS .................................................................................................................................... 61
2.1 Derivadas parciais ................................................................................................................................ 63
2.2 Cálculo das derivadas parciais ....................................................................................................... 64
2.3 Interpretação geométrica da derivada parcial ......................................................................... 64
2.4 A técnica das derivadas parciais .................................................................................................... 65
2.5 Generalização de derivadas parciais para funções de n variáveis .................................... 73
2.6 Regra da cadeia ..................................................................................................................................... 73
2.7 Diferencial total de uma função de duas ou mais variáveis .............................................. 76
3 APLICAÇÕES DE DERIVADAS PARCIAIS .................................................................................................. 87
3.1 Primeiros exemplos de aplicações ................................................................................................ 87
3.2 Plano tangente ..................................................................................................................................... 90
3.3 Derivadas de funções compostas .................................................................................................. 92
3.3.1 Primeira regra da cadeia ...................................................................................................................... 92
3.3.2 Segunda regra da cadeia ..................................................................................................................... 98
3.4 Derivada de uma função implícita de duas ou mais variáveis ........................................101
3.5 Derivadas de ordem superior.........................................................................................................102
3.6 Derivada direcional e vetor gradiente .......................................................................................108
3.6.1 Vetor gradiente .....................................................................................................................................108
3.6.2 Interpretação geométrica do vetor gradiente ..........................................................................108
3.6.3 Derivada direcional Duf (x,y) ...........................................................................................................109
3.6.4 Maximização da derivada direcional ............................................................................................ 110
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ..........................................................119
4.1 Conceituando pontos de máximo, de mínimo e de sela ....................................................119
4.2 Determinando pontos de máximo, de mínimo e de sela ...................................................120
4.3 Critérios para caracterização de um ponto de máximo ou de mínimo .......................124
4.4 Máximos e mínimos com restrições; Multiplicadores de Lagrange ...............................133
Unidade II
5 INTEGRAIS DUPLAS: RETOMANDO OS CONCEITOS E O CÁLCULO DE 
UMA INTEGRAL ..................................................................................................................................................150
5.1 Integral a duas variáveis ..................................................................................................................158
5.2 Integral dupla.......................................................................................................................................1605.3 Integral dupla em uma região retangular ................................................................................161
5.4 Escolha da ordem de integração ..................................................................................................163
6 INTEGRAIS DUPLAS: INTEGRAIS SOBRE REGIÕES NÃO RETANGULARES ...............................168
6.1 Integrais sobre regiões genéricas .................................................................................................168
6.2 Integrais duplas em coordenadas polares ................................................................................182
Unidade III
7 CONCEITOS, CLASSIFICAÇÃO E EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES 
DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .......................................................................................................................198
7.1 Conceitos básicos ...............................................................................................................................198
7.2 Classificação da equação diferencial quanto ao tipo de derivação ..............................199
7.2.1 Equação diferencial ordinária ......................................................................................................... 199
7.2.2 Equação diferencial parcial .............................................................................................................. 199
7.3 Ordem de uma equação diferencial ............................................................................................199
7.4 Classificação da equação diferencial quanto a sua linearidade .....................................200
7.5 A notação da equação diferencial ...............................................................................................201
7.6 Existência da solução de uma equação diferencial ..............................................................202
7.7 Existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ..........................................208
8 RESOLVENDO ALGUNS TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .......................................................217
8.1 Equações diferenciais de variáveis separáveis ........................................................................217
8.1.1 Introdução ...............................................................................................................................................217
8.1.2 Equações diferenciais de variáveis separáveis ......................................................................... 220
8.2 Equações diferenciais de primeira ordem ................................................................................230
8.2.1 Introdução .............................................................................................................................................. 230
8.2.2 A solução geral da equação diferencial de primeira ordem ................................................231
8.3 Aplicações: modelagem utilizando equações diferenciais de primeira ordem .............243
8.3.1 Crescimento e decaimento .............................................................................................................. 243
7
APRESENTAÇÃO
Nesta disciplina, ampliaremos vários dos conceitos já estudados de cálculo. Nosso estudo de 
cálculo diferencial de várias variáveis está apoiado em ideias e conceitos que desenvolvemos 
em funções de uma variável. Tomando os conceitos de funções de variáveis como ponto de 
partida, faremos a expansão lógica das operações com funções reais de uma variável para duas 
ou mais variáveis.
Funções de duas ou mais variáveis independentes aparecem nas ciências mais frequentemente 
que funções de uma variável. Elas estão presentes nos estudos de probabilidade estatística, na 
determinação de volumes de superfícies, na eletricidade, nas análises de produtividade (marginal de 
mão de obra e marginal de capital), em situações de otimização – determinação de máximos e 
mínimos –, na determinação de taxa de variação, na modelagem de situações reais, em métodos 
de mínimos quadrados, na determinação de volumes e áreas de superfícies, na física, no cálculo de 
massa, carga elétrica, centro de massa, momento de inércia, na avaliação da taxa a qual um 
poluente liberado no meio ambiente dispersa, na mensuração da intensidade dos ventos de um furação, 
no planejamento de chips para computador, na relação entre o preço de um produto e na procura 
do consumidor, entre outros.
O tema Equações Diferenciais lida com problemas de taxa de variação. Uma equação diferencial é 
uma equação que envolve derivadas, ou seja, é um problema que encerra relações de variáveis da forma: 
dx
dt
f t= ( ) .
Na equação anterior, pode-se observar x como deslocamento em função do tempo t e, assim, ler que 
a velocidade dx
dt
é função do tempo t.
Este livro-texto apresenta, no primeiro plano, a importância do conhecimento em equações 
diferenciais para sua formação profissional. Mostra ao estudante uma ferramenta matemática para a 
resolução de exercícios de equações diferenciais, em diversos campos do conhecimento.
Os objetivos específicos são reconhecer e identificar uma equação diferencial, utilizar um método 
de solução para a equação diferencial e visualizar problemas que envolvam taxas de variação de 
quantidades variáveis.
O conteúdo programático consiste em:
• classificação das equações diferenciais;
• equações diferenciais de primeira ordem – introdução;
• existência e unicidade de soluções de equações diferenciais;
• equações de variáveis separáveis;
• equações lineares de primeira ordem;
8
De forma sucinta, pode-se destacar que será realizado o estudo da classificação e da identificação de 
equações diferenciais e adotado um método de solução para cada tipo de equação diferencial. Exemplos 
práticos nos diversos campos do conhecimento serão apresentados para ilustrar os tópicos abordados.
INTRODUÇÃO
Vamos iniciar nosso estudo saboreando o que vem a ser uma função de duas variáveis, seu domínio, 
sua imagem, suas curvas de nível e a representação gráfica desse tipo de função. Na sequência, 
avaliaremos limites e continuidade e, apoiados nos conhecimentos de derivada de função de uma 
variável, aprenderemos a derivar funções de duas ou mais variáveis, estudaremos suas aplicações, a 
integração dupla e suas aplicações.
Nossa intenção é que, ao terminar esta disciplina, você tenha desenvolvido solidez de conceitos 
e conteúdos matemáticos. O presente livro-texto foi pensado e desenvolvido para facilitar seu 
engajamento num processo contínuo de aprimoramento profissional, atualizando seus conhecimentos, 
incorporando novas tecnologias e adaptando seu trabalho às novas demandas socioculturais. 
Ao cursar esta disciplina, você deve estar preocupado em se capacitar a identificar, interpretar 
e utilizar representações numéricas, algébricas e geométricas de funções com duas variáveis em 
situações-problema do cotidiano. Você deve procurar compreender e se familiarizar com técnicas e 
símbolos matemáticos que envolvem o estudo de funções com duas ou mais variáveis. Além de ficar 
plenamente capacitado a derivar e integrar funções com mais de uma variável e aplicar o conteúdo 
ensinado em resolução de problemas.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Unidade I
1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VÁRIAS VARIÁVEIS E GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
1.1 Conceituando funções de várias variáveis
Vamos iniciar nosso estudo saboreando o que vem a ser uma função de duas variáveis, seu domínio, 
sua imagem, suas curvas de nível e a representação gráfica desse tipo de função. 
Nesta unidade, abordaremos funções de duas variáveis sob quatro pontos de vista diferentes:
Quadro 1
Ponto de vista Por meio de
Verbal descrição literal;
Numérico tabela de valores das variáveis;
Algébrico fórmula relacionando as variáveis;
Visual gráfico (do domínio da função, no plano), gráfico da função (no espaço) ou curva de nível (no plano estará contido o domínio da função).
No mundonão generalizado1, social ou físico, a Matemática pode ser apresentada de forma verbal; 
por exemplo, o volume de uma caixa d’água residencial permanentemente possui 1.000 litros (ponto 
de vista numérico), ou o volume de uma caixa de formato cúbico de lado igual a um metro (ponto de 
vista verbal), ou V = l3 (ponto de vista algébrico), ou, finalmente, do ponto de vista gráfico, veja a seguir:
volume
(litros)
tempo
(horas)
1.000
Figura 1 
1 Nós que, usualmente, estudamos Matemática apreciamos contar, medir, descobrir padrões e depois generalizamos. 
Ou seja, muitas vezes partimos de situações reais, colocamo-nos a contar e medir os eventos e suas consequências em 
relação a determinados focos de interesse (variáveis), a matematizar, ou seja, levantar padrões e modelos matemáticos, 
formalizamos e generalizamos dentro de um determinado domínio (conjunto de validade dos padrões) e devolvemos à 
sociedade ciência simbólica, muitas vezes desvinculada de sua origem no mundo social ou físico.
10
Unidade I
Note que, em V = l3 ou V(l) = l3 (bastou uma variável para termos o volume bem definido), a expressão 
está matematizada e generalizada; mas ela ainda pode ser socialmente abstraída, ou seja, desconectada 
de sua origem social, basta escrever f(x) = 3. Acabamos de apresentar os quatro diferentes pontos de 
vista para a função de uma variável, note que o volume da caixa d’água não variou com o tempo. 
Se nossa caixa d’água fosse de formato cilíndrico, precisaríamos de duas variáveis para definir 
bem o volume. Sabemos que o volume do cilindro é a área da base (área de uma circunferência pr2) 
vezes a altura da caixa h, ou seja, depende de duas variáveis, do comprimento do raio e da altura, 
V = pr2 h ou V(r, h) = pr2 h.
r
h
Figura 2 – Caixa d’água cilíndrica de raio r e altura h
Outro exemplo do mundo social pode ser o caso de um fabricante constatando que o custo de 
produção C de um produto depende da quantidade de material usado, do salário-hora dos operários, do 
tipo de equipamento necessário para a produção do material, das despesas de manutenção, dos custos 
fixos e dos variáveis para manter a empresa funcionando. Desse modo, o custo C é uma função de sete 
variáveis, pois depende de referências de quantidade.
Refletindo rapidamente sobre outros exemplos, você irá perceber que já está habituado a pensar em 
mais de uma variável, só que não abordava esse tema sob o ponto de vista do cálculo diferencial. Vamos 
a alguns deles:
• a área do triângulo depende de duas variáveis – base e altura;
• a localização de objeto no espaço;
• a função lucro;
• a função quantidade de mercadoria produzida;
• na biomedicina
11
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
— no estudo de difusão;
— no fluxo de eletricidade por meio de tecidos;
— nas tensões ósseas;
— na interação de elementos sensórios na retina.
 Lembrete
Pode haver relações matemáticas que, se não restringirmos o domínio, 
não se caracterizarão como função.
Vamos recordar qual é a definição da função de uma variável:
Sejam A, B ⊂ R. Seja f uma relação matemática definida em A e com 
valores em B, f é uma função de A em B se f for uma regra que associa a 
cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B. A notação usual é: 
f : A → B tal que y = f(x).
O número x é chamado variável independente da função, e y variável 
dependente da função.
Vamos nos ater à definição, quebrando-a em dois trechos:
“Uma regra que associa a cada elemento X ∈ A”; isso significa que não 
podem “sobrar” elementos em A, ou seja, não pode ter elemento de A sem 
correspondente em B.
“Um único elemento Y ∈ B”, um elemento de A não pode ter dois 
correspondentes em B.
Adiante, vamos estender os conceitos e as definições estudados em cálculo de uma variável a duas 
ou mais variáveis. Logo, você vai precisar de uma base sólida em cálculo diferencial e integral de uma 
variável para ter um bom desempenho em cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Minha 
sugestão: se você não está tão seguro com os conteúdos passados de cálculo, vai ter de estudar, estudar 
e estudar... Faça dessa empreitada uma trajetória lúdica. Vamos aos estudos!
1.2 Conceituando e operando com funções de duas variáveis
Seja D um subconjunto (região) do espaço R². Chama-se uma função f de D toda relação que associa, 
a cada par (x,y) ∈ D, um, e apenas um, número real, representado pelo símbolo f(x,y). Isto é, D é domínio 
12
Unidade I
da função, f é a função e f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y), f(x,y) ∈ R, em que R é o “conjunto 
de chegada” da função f.
f: D → R, tal que z = f(x,y)
(x,y) → z = f(x,y).
x D y
z
(x0, y0) = (x0, y0, o)
f(x0, y0)z0
Figura 3 
Avaliando a figura, você pode perceber que o domínio da função representado no R² encontra-se no 
plano XOY, e a imagem z = f(x,y) é representada no eixo z.
 Lembrete
Vale lembrar que o ângulo entre os eixos é sempre de 90° e que, ao 
projetarmos uma figura espacial (do R³) no plano (R²), há uma deformação 
na imagem que visualizamos. 
De outro modo:
x
y z
D
f(x0, y0)
z0 = f(x0, y0)
(x0, y0)
Figura 4 
13
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Definição de função de várias variáveis:
A função f é uma função real se todos os valores que assume são números reais. Dizemos que f 
é uma função de variável vetorial se o seu domínio é um subconjunto de números reais no espaço 
n-dimensional, com n > 1, isto é, se 
 D ∈ Rn
Em duas variáveis, temos:
z= f(x,y)
argumentos imagem 
Exemplos de modelos de funções de mais de uma variável:
· = + − −
· = +
+
f x x x x x fun o polinomial
f x y
y x
x
( , )
( , ) ln
1 2 1
4
2
2
1
2
3 12
2
é çã
11
2




· = + +
é áfunção composta de duas i veis
f a b c a
var
( , , ) cos ( )π cc
b
função composta de tr s i veis
f r s t r t s função c
é ê á
é
var
( , , )· = −2 15 oomposta de tr s veisê iávar
• P R T V
nRT
V
( , , ) = para determinar a pressão de um gás
• F (m,a)= m.a para determinar a força necessária para mover um corpo com massa m, com uma 
aceleração a
Exemplos de valores de função de duas variáveis 
Quando nada for especificado no enunciado do exercício, significa que ele está sendo trabalhado no 
campo dos números reais:
Exemplo 1 
Dado f x y x xy y( , ) = − +3 23 2 determine f(-3,5)
O primeiro passo, quando se tem a função com duas variáveis e são dados os pontos, é substituir os 
pontos na função.
Lembre-se de que o primeiro ponto é em componente de x; nesse caso, o valor que será substituído 
na variável x é -3. O mesmo procedimento deve ser feito para a variável y, e neste exemplo y = 5.
14
Unidade I
Substituindo o ponto na função, temos:
f( , ) ( ) * ( ) * *− = − − − +3 5 3 3 3 5 2 53 2
O próximo passo é resolver as operações matemáticas. Observe a resolução a seguir:
f
f
( , ) * *
( , )
− = − + +
− = − + +
3 5 27 9 5 2 25
3 5 27 45 50
Resolvendo a soma da expressão, temos:
f( , )− =3 5 68
Exemplo 2
Dada a função f x y x y( , ) * ln( )= +2 2 2 determine:
a) f(0,1) 
Substituindo as variáveis da função pelos pontos dados, temos que f( , ) * ln( )0 1 2 0 12 2= +
f( , ) * ln( )0 1 2 0 1= +
f( , ) * ln0 1 2 1= , aqui é necessário lembrar que ln1 = 0; logo,
f( , ) *0 1 2 0=
f( , )0 1 0=
Zero é a imagem de f(0,1) pela função f x y x y( , ) * ln( )= +2 2 2
b) f e( , )0 2
 temos que f x y x y( , ) * ln( )= +2 2 2
Assim, 
f e e
f e e
f e e
( , ) * ln( ( ) )
( , ) * ln( )
( , ) * ln *
0 2 0
0 2 0
0 2 2
2 2 2 2
2 2 4
2 4
= +
= +
= = 44 2 4 1 8
0 82
* ln * *
( , )
e
f e
= =
=
15
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
 Lembrete
ln 0 não existe! Uma vez que não existe a ∈ R, com a > 0, tal que 
an = 0 , para n ∈ R, analogamente e n Rn ≠ ∀ ∈0, . 
ln , log ,e pois a
a= =1 1 se a > 0 e a ≠ 1, pois a a1 = , segue que 
ln loge e
e= = 1
 lne4 = 4lne, lembrando que log * logb
an
b
an= , com a b n R, , ∈ , a > 0, 
b > 0 e b ≠ 1.
Exemplo 3
Dado o ponto (0,2p) e f(x,y) = cos(x +y), determine f(0,2p).
Devemos substituir os pontos do exercício na função dada, temosque:
f( , ) cos( ) cos0 2 0 2 2 1π π π= + = =
Assim, f(0,2p) = 1, isto é, a imagem do ponto (0,2p) é 1.
 Lembrete
O ciclo trigonométrico tem raio igual a um, sendo que cosseno é a 
leitura da projeção de um ponto no eixo x, e seno é a leitura da projeção de 
um ponto feita no eixo y. 
0
-1
-1
1 x
cosx
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
eixo dos 
cossenos
Figura 5 
Avaliando as projeções feitas no ciclo trigonométrico, podemos dizer 
que cosseno é igual ao valor de x (-1 < x < 1), isto é, a primeira coordenada 
do par ordenado é o valor do cosseno e a segunda coordenada do par, o 
valor do seno.
16
Unidade I
Desejávamos calcular cos 2p, analisando o desenho, vimos que o par 
ordenado para o arco 2p corresponde ao ponto (1,0); o cosseno é o primeiro 
elemento do par; logo, cos 2p = 1.
Exemplo 4 
Dada f x y x xy( , ) = +3 2 , calcule f(2, 3).
f x y x xy
f
f
f
( , )
( , ) ( ) ( )( )
( , )
( , )
= +
− = − + −
− = − −
− = −
3
3
2
2 3 2 2 2 3
2 3 8 12
2 3 300
Exemplo 5
Dada f x y xy y( , ) = − 2 , calcule f(5, 3).
f x y xy y
f
f
f x y
( , )
( , ) *
( , )
( , )
= −
= −
= −
=
2
25 3 5 3 3
5 3 15 9
6
Exemplo 6
Dada f x y xy y( , ) = − 2 , calcule f(2, 3).
f x y xy y
f
f
f x y
( , )
( , ) *
( , )
( , )
= −
= −
= −
= − ∉ℜ
2
22 3 2 3 3
2 3 6 9
3
Note que −3 é um número complexo, e nosso campo de estudo de funções são os números 
reais, isto é, D = R², e contradomínio são os reais. O domínio do exemplo três não foi especificado; 
logo, devemos considerar como domínio o campo dos reais, ou seja, D = R². Porém, como acabamos de 
ver, o par (2,3) não tem imagem para a relação f x y xy y( , ) = − 2 , isso significa que f, assim definida 
para esse domínio, não satisfaz as condições básicas para ser uma função, ou seja, há pelo menos um 
elemento no domínio (2,3) para o qual f x y xy y( , ) = − 2 não tem correspondente. Para garantir que 
17
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
f x y xy y( , ) = − 2 seja uma função, teremos de restringir o domínio. Sabemos que não existe raiz 
quadrada de valor negativo. Teremos de retirar do domínio todo para ordenado que, ao aplicarmos 
a relação f x y xy y( , ) = − 2 , nos retorne um valor negativo e manter todos os que retornem valores 
positivos ou zero; uma vez que normalmente o domínio é o maior conjunto possível que satisfaça as 
condições da relação. Por essa razão, antes de sair calculando a imagem de uma relação, necessitamos 
determinar as condições em que a relação é viável. Em termos matemáticos, significa que devemos determinar 
o domínio da função.
1.3 Domínio ou o campo de existência de uma função
Para determinar o domínio ou o campo de existência de uma função, temos que refletir quais 
operações se verificam ou não quando trabalhamos com relações matemáticas. Sempre que o domínio 
de uma função não for definido, consideramos como domínio o maior conjunto possível; quando se 
tratar de uma variável, será os reais (toda a reta), quando se tratar de função, duas variáveis o plano 
todo (R²).
Atenção!
• Não existe divisão por zero.
• Não é possível, no campo dos números reais, extrairmos raiz de índice par de um número negativo.
• Quando estamos usando a função logaritmo ( ( ) log )f x b
x= , temos que estar atentos à base do 
logaritmo e ao logaritmando, pois:
— a base precisa ser maior que zero e diferente de um, ou seja, b e b> ≠0 1;
— logaritmando x tem que ser maior que zero, isto é, x > 0.
 Saiba mais
Para relembrar os conceitos e as definições sobre os logaritmos:
LOGARITMO. Matemática didática, [s. d.]. Disponível em: <http://www.
matematicadidatica.com.br/Logaritmo.aspx>. Acesso em: 2 set. 2013. 
MIRANDA, D. Logaritmo. Brasil Escola, Goiânia, [s. d.]. Disponível em: 
<http://www.brasilescola.com/matematica/logaritmo.htm>. Acesso em: 
2 set. 2013.
18
Unidade I
 Observação
A seguir, serão feitas análises de problemas com funções de duas ou 
mais variáveis e representação do domínio de cada função; para isso, é 
importante recordar algumas equações importantes:
1) Plano: f x y ax by c ou z ax by c( , ) = + + = + +
a) O plano z = x + y + 3 é uma superfície paralela ao plano XY, passando no ponto z = 3.
z
x y
f(x,y) = x = y + 3
Figura 6 
b) O plano f x y x y( , ) = − −8 2 2 intercepta os três eixos nos primeiros quadrantes e segue 
infinitamente, nas laterais, para cima e para baixo.
z
x
y
(0,0,8)
(0,4,0)
(4,0,0)
Figura 7 
2) Hipérbole 
a) x
a
y
b
2
2
2
2 1− =
Exemplo: x y
2 1
1 4
1− =
19
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
y
x
(-1,0) (1,0)
x
y
(-a,0) (a,0)
Figura 8 Figura 9 
b) 
y
a
x
b
2
2
2
2 1− =
 Exemplo: y x
2 2
4 1
1− =
y
(0,-2)
(0,2)
x
x
y
(0,b)
(0,-b)
Figura 10 Figura 11 
20
Unidade I
3) Circunferências 
a) Circunferência de centro (0,0) e raio r
r x y2 2 2= +
x
y
r
r
r
-r
-r
Figura 12 
b) Circunferência de centro ( , )x y0 0 e raio r
r y y x x2 0
2
0
2= − + −( ) ( )
 
x
y
r
X0
Y0
Figura 13 
4) Esferas ou superfície esférica
a) Esfera de centro (0,0,0) e raio r
r x y z2 2 2 2= + +
21
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
x
y
z
r
Figura 14 
b) Esfera de centro (X0, Y0, Z0) e raio r
r x x y y z z2 2 2 20 0 0= − + − + −( ) ( ) ( )
x
y
z
r
x0
z0
y0
Figura 15 
5) Superfícies cilíndricas
São constituídas por retas paralelas que passam por uma curva plana, chamadas geratrizes, e a curva 
plana é chamada diretriz.
22
Unidade I
a) Superfície cilíndrica parabólica
z
z = x^2 z
x x
y y
diretriz diretriz
geratriz
geratriz
Figura 16 
b) Cilindro circular reto
geratrizes
geratrizes
Figura 17 
6) Superfícies quádricas
Uma quádrica é um conjunto de pontos que respeitam uma equação do segundo grau, nas variáveis 
x, y e z. São as correspondentes espaciais das cônicas no plano. 
 Saiba mais
Para saber mais e fazer uma revisão sobre as cônicas, revisite a unidade 
6 do livro de Geometria Analítica e Álgebra Linear, da professora Isabel 
Espinosa (UNIP Interativa). 
23
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
a) O elisoide
x
y z
²
² ²+ + =
9 4
1
z
x
y
Figura 18 
b) Paraboloide elíptico z x y= +10 9² ² e paraboloide circular z x y= +4 4² ²
z z
x
x
y
y
Figura 19 Figura 20 
 
Exemplos de análise do domínio e determinação de valores da imagem de funções de 
duas variáveis
Exemplo 1 
Dada a função f x y
x y
x y
,( ) = +
+
3 2 :
a) determine o domínio de f e represente graficamente seu domínio;
24
Unidade I
b) calcule f 1 3,−( )
Resolução:
a) Como é possível dividir um polinômio por qualquer número real, exceto por zero, a função dada 
pode ser calculada para qualquer par ordenado (x,y), tal que x + y ≠ 0 ou y ≠ -x. Note que sempre 
podemos elevar um número real ao quadrado, multiplicá-lo por 3 e depois adicionar outro número real, 
que o resultado continua sendo um número real. Logo, não há restrição ao numerador da função.
Representação gráfica do domínio da função:
y = -x y
x
D
D
D
D
D
Figura 21 
Note que a reta y = -x não pertence ao domínio da função; por isso, ela foi desenhada tracejada. 
Para indicar que uma curva não pertence ao domínio da função, nós a representaremos com uma linha 
descontínua; caso contrário, ou seja, a curva pertença ao domínio da função, nós a representaremos 
como uma linha contínua.
Determinar que y ≠ -x é excluir do domínio todo par ordenado em que y e x possuem o mesmo 
módulo, mas com sinais opostos.
Para fazermos o gráfico da função, temos sempre que igualar a restrição a zero e avaliar que tipo de 
curva ela representa. Em nosso exemplo, y = x pertence à família de retas y = ax + b (a é o coeficiente 
angular e b é o linear, que indica onde o gráfico cruza o eixo y), b = 0, isto é, y = x é uma reta que 
pertence à família de retas que passam pela origem.
Se tiver dúvida sobre a inclinação, monte uma pequena tabela. Por ser equação de uma reta, basta 
verificar dois pontos.
Tabela 1 
x y = -x
0 0
1 -1
25
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Como não há qualquer outra restrição, destacamos todo o planoe representamos a curva y = -x com 
uma linha tracejada, para indicar que os pontos sobre ela não podem ser usados ao calcularmos f(x,y). 
Algebricamente, temos que o domínio da função pode ser representado da seguinte forma: 
D x y R y x= ∈ = −{ }( , ) /2 ou, simplesmente, D x y y x= = −{ }( , ) / .
b) Vamos, agora, calcular f(1-3):
temos que f x y
x y
x y
,( ) = +
+
3 2 ; logo,
f 1 3
3 1 3
1 3
3 3
1 3
0
2
0
2
,−( ) = ( ) + −( )
+ −( ) =
−
−
=
−
=
Exemplo 2 
Determinar o domínio da função f x y y x,( ) = − e representá-lo graficamente.
Resolução:
Sabemos que não existe raiz par de um número negativo2, raiz quadrada é uma raiz par; logo, 
o resultado da conta dentro da raiz tem que ser positivo ou zero; isto é, a condição de existência 
dessa função é y x− ≥ 0 ; portanto, seu domínio algebricamente é representado da seguinte forma: 
D x y R y x= ∈ ≥{ }( , ) /2 ou, simplesmente, D x y y x= ≥{ }( , ) / .
Representação geométrica do domínio da função
y = x
y
x
D
Figura 22 
Sabemos que y = x é a reta que coincide com a bissetriz do primeiro e terceiro quadrante do plano. 
Essa reta irá dividir o plano em duas regiões. Uma acima da reta, e outra abaixo. A reta é contínua, uma 
2 4 2= , mas não existe solução real para −4 . A solução é o número complexo 2i, o mesmo ocorre com
−81 , que não tem solução real; no campo dos complexos, a solução é o número 9i.
26
Unidade I
vez que o sinal de igual pertence ao domínio da função. Para saber que região do plano representa o 
domínio, podemos avaliar um ponto fora da região que limita a divisão do plano, ou seja, fora da reta 
y = x.
Escolhendo um ponto acima da reta, por exemplo, veja se (0,1) pertence ao domínio da função:
D y x⇒ ≥ , substituindo o ponto x = 0 e y = 1 em nossa expressão y x≥ = > 1 0≥ , esse fato constitui 
uma verdade; logo, ( , )0 1 ∈D. Esse ponto é uma amostra do que vai ocorrer com qualquer ponto acima da 
reta. Isso significa que o domínio a ser destacado na representação gráfica está acima da reta.
O que teria acontecido se tivéssemos escolhido um ponto no plano abaixo da reta? Testaremos, por 
exemplo, o ponto; vamos substituí-lo: x = 0 e y = 1 (0,1) na expressão do domínio y x≥ . Veja o que 
ocorre: y x≥ ⇒ ≥0 1, que é uma expressão falsa; logo, ( , )0 1 ∉D, isso significa que não posso destacar 
essa região como parte do domínio da função. 
 Observação
Foram escolhidos pontos sobre os eixos ordenados; pois, por um lado, 
eles são fáceis para verificação visual no plano e, por outro, sempre terão 
uma coordenada igual a zero, o que facilitará nossos cálculos. 
Exemplo 3
Determinar o domínio da função f x y y x( , ) = −3 e representá-lo graficamente.
Note que a raiz da função desse exemplo é ímpar, e sempre é possível determinar raiz de índice ímpar 
de um número real; por exemplo: − = −8 23 .
Desse modo, não há restrição a essa função e, como o domínio deve ser o maior possível, este é todo 
o plano R².
Representação gráfica do domínio da função:
y
x
D
D
D
D
Figura 23 
27
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Algebricamente, temos D R= 2 .
Exemplo 4
Determinar o domínio da função f x y
x
x y
( , ) =
−
2
2
 e representá-lo graficamente.
Sabemos que não existe divisão por zero.
Assim, devemos fazer 2x - y ≠ 0 => y ≠ 2x. 
A representação gráfica do domínio será: 
y
x
D
D
D
D
D
y = 2x
D
Figura 24 
Poderíamos representar o domínio dessa função num gráfico, pois no espaço ele ficaria representado 
da seguinte forma:
y
x
z
DD
D
y = 2x
Figura 25 
Note que, no espaço, a equação y = 2x deve ser representada por um plano, como o domínio pede 
y ≠ 2x, esse plano será vazado ou descontínuo.
28
Unidade I
Observe também que há grande diferença entre representações gráficas no plano e no espaço. 
Por um lado, a função y = 2x, quando representada no plano, é uma reta; por outro, função y = 2x, 
quando representada no espaço, é, como vimos, um plano. Mais adiante, após vermos a representação 
gráfica de funções de duas variáveis, voltaremos a essa reflexão sobre representação gráfica de modelos 
matemáticos.
Algebricamente, temos domínio D = {(x, y) ∈ R² / y ≠ 2x }.
Exemplos de aplicaçãoExemplos de aplicação
Exemplos que representam o domínio das funções D(f):
1: f x y x x( , ) = + +6 9 13 2 D(f) = 2
2: f x y
x
x y
( , ) = −
+ +
2
2 2
4
2 2 2
2 2 2 02 2x y+ + = , não tem solução; logo, D(f) = 2
Representação gráfica do domínio da função: 
x0
y
Figura 26 
Os exercícios 1 e 2 são representações de domínio de funções que não apresentam restrição quanto 
à função.
3: f x y
x y
x y
( , ) = +
+
2
3 3
2
2 2
3 3 02 2x y+ = . Como 3 02x ≥ e 3 02y ≥ , então: 
x x x x
y y y y
x y
2 2
2 2
2 2
0
3
0 0 0 0
0
3
0 0 0 0
3 3 0
≥ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ =
≥ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ =






+ = ⇔⇔ = =
= =
x e y
x e y
0 0
0 0
29
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Logo, D(f) = R2 0 0− { }, .
Representação gráfica do domínio da função: 
x0
y
Figura 27 
O domínio da função é toda a parte que não está no ponto (0,0), que é o único ponto de restrição 
da função. 
4: f x y
y x
( , ) =
−
3
D f x y R x y( ) , /= ( ) ∈ − ≠{ }2 0 , quer dizer, o domínio é todo o plano, exceto a bissetriz dos quadrantes 
ímpares, ou seja, primeiro e terceiro quadrantes.
Representação gráfica do domínio da função:
x0
y =
 x
y
Figura 28 
O domínio da função é toda a parte que não está no tracejado, pois ele representa a restrição 
do domínio.
5: f x y
y
x y
( , ) =
−2 2
D f x y x y( ) {( , ) ; }= ∈ >2 22
30
Unidade I
x0
y = 2x2
y
Figura 29 
O domínio da função é representado por toda área abaixo da curva y = 2x², que é a restrição 
da função. 
6: f x y
y x
y
( , ) ln( )= −
+1
D f x y
y x
y
( ) {( , ) ; }= ∈ −
+
>2
1
0
Equivalente a y x e y− > + >0 1 0
ou y x e y− < + <0 1 0 .
x0
y = -1
y = x
y
Figura 30 
O domínio dessa função é representado por toda a área do gráfico, exceto as restrições da função, 
representadas por retas tracejadas.
7: f x y arc x y
D f x y x y ou x y
( , ) sec( )
( ) {( , ) ;
= +
= ∈ + ≤ − + ≥
4 4
4 4 1 4 4 1
2 2
2 2 2 2 2
 }};
 ou melhor, como 4 4 12 2x y+ ≤ − , não ocorre para nenhum ( , ) ;x y ∈2
 D f x y x y ou x y( ) {( , ) ; * ( ) }= ∈ + ≥ + ≥2 2 2 2 24 1 1
4
.
31
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
x0
y
Figura 31 
O domínio da função é representado por toda a parte externa à circunferência. O interior da 
circunferência é a restrição da função.
8: f x y
x y
( , ) arccos( )= +
2 2
4 16
 D f x y
x y
( ) {( , ) ; }= ∈ − ≤ + ≤2
2 2
1
4 16
1 , 
ou melhor, como − ≤ +1
4 16
2 2x y
, para todo ( , )x y ∈2
D f x y
x y
( ) {( , ) ; }= ∈ + ≤2
2 2
4 16
1
0 x
y
Figura 32 
 O domínio da função é representado pela área dentro da elipse. A área externa na elipse representa O domínio da função é representado pela área dentro da elipse. A área externa na elipse representa 
a restrição da função.a restrição da função.
1.4 Representação gráfica de uma função de duas variáveis e curvas de nível
O gráfico de uma função de duas variáveis f(x,y) é o conjunto de todos os grupos ordenados de três 
números (x,y,z), tais que o par (x,y) pertence ao domínio de f e z = f(x,y). Para visualizar o gráfico desse 
tipo, é necessário um sistema de coordenadas tridimensionais, acrescentando um terceiro eixo (o eixo z) 
perpendicular aos eixos x e y. Logo, uma função de duas variáveis sempre gera uma superfície no espaço 
R³ (tridimensional).
32
Unidade I
A seguir, mostramos quatro dessas superfícies, em que a primeira é cônica, a segunda, paraboloide, 
a terceira, elipsoide e a quarta, uma sela.
x
z
y
Superfície cônica
z x y= +2 2
Figura 33 
Esboçando gráficos de superfícies sem auxílio computacional
Exemplo 1 
Esboçando o gráfico da superfície z x y= +2 2 .
Etapas para o esboço do gráfico da superfície z x y= +2 2 , note que z > 0.
1ª etapa A: o traço no plano xy é obtido quando tomamos z = 0. Temos os valores x = 0 e y = 0, isto 
é, o ponto (0,0), de fato, pois:
0 0 0 02 2 2 2= + ⇒+ = ⇒x y x y ( , )
Logo, o ponto (0, 0, 0) faz parte do gráfico de Z.
1ª etapa B: tomando z = 1, temos: 
1 12 2 2 2 2= + ⇒ + =x y x y
A seguir, a representação gráfica dessa curva de nível:
33
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
1
1
x^2 + y^2 = 1
Figura 34 – Representação gráfica da curva em nível z = 1 de z x y= +2 2
A imagem da figura ilustra o traço dessa curva, na altura z = 1 é uma circunferência3 de centro na 
origem (0,0) e raio 1.
1ª etapa C: tomando z = 4, temos: 
4 162 2 2 2= + ⇒ + =x y x y
O traço dessa curva na altura z = 4 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 4.
A seguir, a representação gráfica dessa curva de nível:
4
4
x^2 + y^2 = 16
Figura 35 – Representação gráfica da curva em nível z = 4 de z x y= +2 2
A imagem da figura ilustra o traço dessa curva, na altura z = 4 é uma circunferência4 de centro na 
origem (0,0) e raio 4.
3 A equação geral da circunferência de centro (x0, y0) e raio (r) é: (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2.
4 A equação geral da circunferência de centro (x0, y0) e raio (r) é : (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2.
34
Unidade I
1ª etapa 
Tomando z = 5, temos: 
5 252 2 2 2= + ⇒ + =x y x y
O traço dessa curva na altura z = 5 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 5.
5
5
x^2 + y^2 = 25
Figura 36 – Representação gráfica da curva em nível z = 5 de z x y= +2 2
Quando fazemos o “fatiamento” ou cortes no eixo z, estamos olhando para a curva da superfície em 
uma determinada altura, temos consequentemente a curva de nível numa altura z = k, onde K é uma 
constante.
Ao unirmos num mesmo sistema de coordenadas essas curvas de níveis, temos o mapa de contornos 
ou as curvas de nível da função, como segue:
x
y
Figura 37 – Curvas de nível ou mapa de contorno da função z x y= +2 2
2ª etapa
 Estabelecendo y = 0, obtemos o traço no plano xz.
35
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Como segue:
z x z x z x= + ⇒ = ⇒ =2 2 20 ; logo, o traço é reta.
z
x
4
3
2
1
1 2 3 4
Figura 38 
3ª etapa 
Estabelecendo x = 0, obtemos o traço no plano yz.
Como segue:
z y z y z y= + ⇒ = ⇒ =02 2 2 ; logo, o traço é reta.
z
y
4
3
2
1
1 2 3 4
Figura 39 
Unindo os traços das três etapas, temos um esboço do gráfico da superfície cônica.
36
Unidade I
x
y
z
z x y= +2 2
Figura 40 – Esboço do gráfico da superfície z x y= +2 2
A seguir, a representação gráfica feita no Winplot:
y
x
z
Figura 41 – Gráfico da superfície z x y= +2 2 produzido no Winplot
Exemplo 2
Vamos traçar agora o gráfico do paraboloide z x y= +2 2.
Etapas para o esboço do gráfico da superfície: z x y= +2 2, note que z > 0.
1ª etapa A 
O traço no plano xy é obtido quando tomamos z = 0, temos os valores x = 0 e y = 0, isto é, o ponto 
(0,0), de fato, pois:
0 0 02 2= + ⇒x y ( , )
Logo, o ponto (0, 0, 0) faz parte do gráfico de Z.
37
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
1ª etapa B 
Tomando z = 1, temos: 
x y2 2 1+ =
1
1
x^2 + y^2 = 1
Figura 42 – Representação gráfica da curva em nível z = 1 de z x y= +2 2
O traço dessa curva na altura z = 1 é uma circunferência5 de centro na origem (0,0) e raio 1.
1ª etapa C 
Tomando z = 4, temos: 
4 22 2 2 2 2= + ⇒ + =x y x y
O traço dessa curva na altura z = 4 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 2.
2
2
x^2 + y^2 = 4
Figura 43 – representação gráfica da curva em nível z = 4 de z x y= +2 2
5 A equação geral da circunferência de centro (x0, y0) e raio (r) é: (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2.
38
Unidade I
1ª etapa D 
Tomando z = 5, temos: 
5 52 2 2 2 2= + ⇒ + =x y x y ( )
O traço dessa curva na altura z = 5 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 5 .
2
2
x^2 + y^2 = 5
Figura 44 – Representação gráfica da curva em nível z = 5 de z x y= +2 2
Quando estamos fazendo o “fatiamento” ou cortes no eixo z, estamos olhando para a curva da 
superfície em uma determinada altura, temos, consequentemente, a curva de nível numa altura z = k, 
onde K é uma constante.
Ao unirmos num mesmo sistema de coordenadas essas curvas de nível, temos o mapa de contornos 
ou as curvas de nível da função, como segue:
y
x
K=2
K=0
Figura 45 
2ª etapa 
Estabelecendo y = 0, obtemos o traço no plano xz.
39
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Como segue:
z x z x= + ⇒ =2 2 20 ; logo, o traço é uma parábola.
x
z
Figura 46 
3ª etapa 
Estabelecendo x = 0, obtemos o traço no plano yz.
Como segue:
z y z y= + ⇒ =02 2 2 ; logo, o traço é uma parábola.
y
z
Figura 47 
Unindo os traços das três etapas, temos um esboço do gráfico da superfície cônica, como ilustrado 
a seguir.
y
x
z
z x y= +2 2
Figura 48 – Esboço do gráfico da função z x y= +2 2
40
Unidade I
A seguir, a representação da função z x y= +2 2 feita no Winplot.
z
x y
Figura 49 – Gráfico de z x y= +2 2 feito no Winplot
Note que a diferença gráfica mais marcante entre z x y= +2 2 e z x y= +2 2 encontra-se nos 
cortes das superfícies, nos planos XZ e YZ. Na primeira superfície, temos retas e, na segunda, parábolas. 
A primeira superfície é um cone e a segunda, um paraboloide.
A seguir, um estudo mais aprofundado de curvas de nível de algumas funções.
1.5 Aprofundando os estudos de funções de duas variáveis e das curvas de níveis
Esboçando alguns gráficos de funções e o diagrama de contornos:
4) f x y x y( , ) = +2 29 (retirado do livro Cálculo, de James Stewart, exercício 44, p. 885).
0
1 432
y
x
x
y
z=1
z=2
z=3
z=4
z
Figura 50 
41
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
5) f x y x y( , ) = − −36 9 42 2 (retirado do livro Cálculo, de James Stewart, exercício 45, p. 885).
y
6 x
5
4 3
2
1 0
z=5
z=4
z=3
z=2
z=1
y
z
x
Figura 51 
6) Esboçar algumas curvas de nível do elipsoide f x y x y( , ) = − −4 3 22 2 ; note que z > 0.
 Lembrete
Antes, vamos lembrar a equação geral da elipse x
a
y
b
2
2
2
2 1+ = , estudo 
gráfico da elipse.
Exemplos: 
4 9 36 36
9 4
12 2
2 2
x y
x y+ = ÷ => + =( ) 5 3 15 15
3 5
12 2
2 2
x y
x y+ = ÷ => + =( )
-1
-2
-1-2-3 1 2 3
 1
 2
 y
 x
a e b= ± = ±3 2
2
 y
 x
1-1-2
-1
-2
1
2
a e b= ± = ±3 5
Interceptos ( +3, 0) e (0, +2) Interceptos ( , ) ( , )± ±3 0 0 5e
Figura 52 Figura 53 
42
Unidade I
Etapas para o esboço das curvas de nível do elipsoide
1ª etapa 
Fazemos f x y K( , ) = , temos:
K x y= − −4 3 22 2 , ajustando essa equação ao formato da equação geral da elipse. 
K = − −4 3 22 2x y
Elevando os dois membros ao 
quadrado.
K2 = − −( )4 3 22 2 2x y Simplificando a raiz com o quadrado.
K2 = 4 - 3x2 - 2y2 Isolando as constantes.
K2 - 4 = -3x2 - 2y2 Multiplicando por (-1) a linha.
3x2 + 2y2 = 4 - K2 - (÷(4 - K2)
Dividindo os dois lados por 
4 - K2.
3 3
4 3
2 2
4 2
2
2
2
2
x
k
y
k
( ) ÷
−( ) ÷ +
( ) ÷
−( ) ÷ =1
Dividindo em cima e embaixo 
as frações do primeiro termo: 
a primeira fração por 3 e a 
segunda, por 2.
x
K
y
K
2
2
2
24
3
4
2
−



+
−



 =1
Obtemos a equação na forma 
padrão da elipse.
Comparando com a forma geral da equação da elipse, temos que:
 
a
K
a
K
b
K
b
K
2
2 2
2
2 2
4
3
4
3
4
2
4
2
= − ⇒ = ± −
= − ⇒ = ± −








Note que 4 - K2 > 0; logo, 4 > K2 ⇒ -2 < K < 2.
Isso significa que a superfície tem imagem no intervalo [-2,2]. 
43
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
z
yxx
z = sqrt (4 - 3x^2 - 2y^2)
y
z
Figura 54 – gráfico da função f x y x y( , ) = − −4 3 22 2 no Winplot
De fato, avaliando o gráfico, vemos que existe uma altura máxima, e foi isso que concluímos 
algebricamente ao obter a condição K < 2.
Tomando K = 0, temos:
a a a
b b b b
= ± − ⇒ = ± ⇒ ≅ ±
= ± − ⇒ = ± ⇒ = ± ⇒ = ±




4 0
3
4
3
11547
4 0
2
4
2
2 14142
2
2
,
,




Tomando K = 1, temos:
a a
b b
= ± − ⇒ = ±
= ± − ⇒ ≅ ±








4 1
3
1
4 1
2
12247
2
2
,
44
Unidade I
A seguir, apresentamos o mapa de contornos da função f x y x y( , ) = − −4 3 22 2
Y
X
2
-2
-2
2
Figura 55 – Gráfico das curvas de nível da função f x y x y( , ) = − −4 3 22 2
7) Se V(x,y) é o potencial elétrico de um ponto(x,y) do plano xy, as curvas de nível de V são chamadas 
curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico. Encontre a equação 
geral das curvas de nível (fazendo V(x,y) = K e isolando x2 + y2). 
Obs.: Esse exercício é um caso particular do exercício nº 46 do livro Cálculo, de James Stewart, p. 887.
V x y
x y
( , ) =
− −
10
100 2 2
Figura 56 – Representação gráfica da função V x y
x y
( , ) =
− −
10
100 2 2
45
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Etapas para o esboço das curvas de nível do elipsoide 
1ª etapa 
Fazemos V(x,y) = K, temos:
K =
− −
10
100 2 2x y
Primeiro, dividimos os dois lados da 
igualdade por 10, depois elevamos os 
membros ao quadrado.
10 2
K




= − −( )100 2 2 2x y Simplificando a raiz quadrada com o quadrado no segundo membro.
= 



10 2
K
= − −100 2 2x y
Isolando as constantes e multiplicando a 
linha por (-1).
x y2 2+ = − 


100
10 2
K
Obtemos a equação de uma 
circunferência de centro (0,0) e com
R
K
2
2
100
10= − 



segue que R
K
sabemos que
R note que quando K t
: ; :
,
= − 



≥ → ∞
100
10
0
2
eemos R →10
2ª etapa
Atribuição de alguns valores de k para esboçar o mapa de contornos.
quandoK R
quandoK R
quandoK R
= => =
= => = ≅
= => = ≅
1 0
2 75 8 66025
5 96 9 7
;
, ;
, 99796
10 99 9 94987
;
, .quandoK R= => = ≅
3ª etapa 
Esboço das curvas de nível: representamos as curvas de nível da função tanto no plano XY como no 
fatiamento da própria superfície. 
46
Unidade I
y
-10
-10
10
10
Fatiamento da superfície 3D Curvas de nível no plano xy
x
z
Figura 57 – Gráficos das curvas de nível de V x y
x y
( , ) =
− −
10
100 2 2
Na representação das curvas de nível, não fica visível o que havíamos constatado numericamente 
(pela determinação de K) – que as circunferências curvas de nível ficam cada vez mais próximas de 10 
sem jamais alcançar tal valor.
Caro aluno, nem sempre conseguimos construir sem apoio computacional a representação de uma 
superfície e de suas curvas de nível. Veja os exemplos das funções (a) e (b) a seguir, cujas superfícies no 
espaço tridimensional e suas respectivas curvas de nível são mostradas na figura a seguir.
(a) f x y x y x y( , ) , ,= + − ≤ ≤ − ≤ ≤3 3 3 3 3 3
(b) f x y x seny x y( , ) cos , ,= + − ≤ ≤ − ≤ ≤2 2 π π π π
Resolução: 
(a) f x y x y x y( , ) , ,= + − ≤ ≤ − ≤ ≤3 3 3 3 3 3
47
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
z
z
x
x
y
y
(I) (II)
Representação gráfica da 
função f(x) = x3+ y3 vista de 
dois pontos de vista
Representação gráfica das 
curvas de nível da função 
f(x) = x3+ y3
Figura 58 – (I) Gráfico da função (a) e (II) suas respectivas curvas de nível
(b) f x y x seny x y( , ) cos , ,= + − ≤ ≤ − ≤ ≤2 2 π π π π
Curvas de nível na superfície 3D Curvas de nível no plano xy
(III) (IV)
y
z
x
Figura 59 – (III) Gráfico da função com algumas de suas curvas de nível (b) e (IV) algumas curvas de nível no plano
48
Unidade I
Às vezes, fica difícil traçar algumas superfícies, bem como expressar graficamente as curvas de 
nível dessas funções. Ao mapear um relevo, por exemplo, unem-se pontos de mesma elevação, o que 
resulta em um mapa topográfico com um panorama claro a partir da representação bidimensional. 
Pode-se fazer o mesmo com uma função z = f(x,y) de duas variáveis. Vale lembrar que as curvas 
resultantes chamam-se curvas de nível e são mais usualmente representadas no domínio da função. 
1.6 Visualizando gráficos construídos no Winplot
x y
z
Elipsoide
z x y= − −4 3 22 2
Figura 60 
x
y
z
Superfície de sela
z y x= −2 2
Figura 61 
49
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Outros exemplos de superfícies de funções de duas variáveis:
x
y
z
3
x
y
z
A função é f(x,y) = 3.
A superfície é um plano infinito, paralelo a x,y e passando
por z = 3.
A função x = sen(u).cos(t), 
z = cos(u) e y = sen(u) . sen(t) é a equação 
paramétrica da esfera.
Figura 62 
É muito importante você construir mentalmente a representação gráfica de modelos matemáticos. 
Neste momento, vamos apresentar visualmente a diferença entre representar um modelo matemático 
no plano e no espaço. Muitas vezes, para construirmos a representação gráfica da superfície (equação no 
espaço), precisamos “fatiar” a superfície nos planos XY, YZ, XZ. 
Gráfico no plano XY Gráfico no espaço ou superfícies
f(x) = x2
x
y
 D = R²
z = x^2 + y^2 + 1
x y
z
 D = R²
50
Unidade I
f(x) = 1/x
x
y
 D = R
 D=R²
z
x y
f(x,y) = 1/(x-y)
 
x = y2
x
y
D = R 
Obs.: x = y² com D = R não é uma função. Acima, temos a 
representação gráfica do modelo da equação.
z
y
x
 D = R²; f(x,y) = y² - x²
x = 3
x
y
x = 3 não é função
D = R
y
x
z
 
D = R²
f(x,y) = 2x + 3y-6
51
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
x
y
D = R
f x
sen x
x
( ) = 2
2
2
2
z
y
x
D = R²
f x y
sen x y
x y
( , )
( )= +
+
2 2
2 2
2 2
2 2
Figura 63 
 Observação
O programa Winplot pode ser baixado do AVA. Ele é de fácil instalação, 
e você aprenderá a representar gráficos de quaisquer funções ou equações 
no Winplot mais adiante.
1.7 Voltando às curvas de nível
Para visualizar funções de duas variáveis, pode-se também adotar um método semelhante ao de representar 
uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Suponhamos que a superfície 
z = f(x,y) seja interceptada por um plano z = k e a curva da intersecção seja projetada no plano XY. Essa curva 
tem equação z = f(x,y) = k, e é chamada de curva de nível (ou curva de contorno) da função f em k.
x y
z
Na figura ao lado, as curvas 
de nível estão em azul.
Figura 64 
52
Unidade I
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no XY de equações da forma 
f(x,y) = k. O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno. Todos os pontos (x,y) que estão 
na mesma curva de nível têm a imagem z.
No caso de f(x,y) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular importância, 
recebendo inclusive denominações específicas.
Se f(x,y) é a temperatura no ponto (x,y) de uma chapa plana, as curvas f(x,y) = k são chamadas de 
isotérmicas ou isotermas.
Se f(x,y) é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as curvas são chamadas de isobáricas 
ou isóbaras.
Se f(x,y) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano XY, então, as curvas 
f(x,y) = k são chamadas equipotenciais.
Exemplo 4.1
Seja a função dada por z x y= +2 2 .
As curvas de nível para z= 0, z = 1, z = 2 e z = 4 são:
z x y
x y
= ⇒ + =
= =( )
0 0
0
2 2
x y
z
z x y= ⇒ + =1 12 2
(circunferência de centro C(0,0) e 
raio 1)
z x y= ⇒ + =2 22 2
(circunferência de centro C(0,0) e 
raio 2 )
z x y= ⇒ + =4 42 2
(circunferência de centro C(0,0) e 
raio 2)
E assim continua.
Figura 65 – Gráfico da superfície z =x2 + y2
53
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
 Observação
As curvas de nível nunca se interceptam. As funções de três ou mais 
variáveis não podem ser representadas graficamente.
1.8 Limite e continuidade de funções de duas variáveis
Se o limite da função f(x,y), quando (x,y), tende para um valor qualquer, que chamaremos de (x0,y0), 
dizemos que a função é contínua nesse ponto. Caso contrário, será descontínua no ponto. O mesmo é 
válido para um intervalo, isto é, a função é contínua no intervalo quando o limite existe em todos os 
pontos desse intervalo. 
Para estimar o limite de uma função de duas variáveis f no ponto (x0,y0), é necessário calcular esse 
valor por todas as trajetórias que passem por (x0,y0). Se em todos os pontos o resultado for sempre o 
mesmo, por exemplo, L, diz-se que o limite existe e vale L.
x y x y
f x y L
, ,
lim ,
( )→( )
( ) =
0 0
Retomando, quando existe o limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), 
significa que a função é contínua nesse ponto. Caso contrário, será descontínua no ponto. O mesmo 
é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos 
os pontos desse intervalo.Geralmente, a verificação da continuidade da função é fácil, por simples 
inspeção dela. 
Nas funções a seguir, o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.
Exemplo 5.1: f x y x y xy,( ) = + −2 2 é contínua para todo par (x,y).
Exemplo 5.2: f x y x y xy y,( ) = − − +3 2 3 6 é contínua para ∀(x,y).
Exemplo 5.3: f x y
x y
xy
,( ) = +
−
3 2
1
 é contínua para ∀ ≠ ≠x y ou y
x
. 1
1
.
Exemplo 5.4: f x y
x y
x y
,( ) = +
−
 é contínua para ∀ ≠x y .
Exemplo 5.5: f x y x y, ln( ) = −( ) é contínua para ∀x,y, tal que x - y > 0 ou x > y.
Exemplo 5.6: f x y x y,( ) = − −1 2 2 é contínua se 1 - x² -y² > 0 ou x² + y² < 1. 
Exemplo 5.7: f x y y
x
,( ) = − 1 é contínua se y
x
y
x
− ≥ ≥1 0 1, .
54
Unidade I
Ampliando seu leque de exemplos:
Exemplo 5.8: provar que o lim ( )
x
y
x y
→
→
+ =
4
2
2 22 36
A resolução é dada pelo fato de o limite da soma (ou diferença) ser igual à soma (ou diferença) dos 
limites, ou seja, lim ( ( , ) ( , )) lim ( , ) lim ( , )
x a
y b
x a
y b
x a
y b
f x y g x y f x y g x y f
→
→
→
→
→
→
± = ± = (( , ) ( , ).a b g a b±
Para facilitar a visualização de como resolver o exercício passo a passo, deve-se separar a função em 
dois limites.
lim ( )
x
y
x y
→
→
+ =
4
2
2 22 36
Veja:
lim ( ) lim lim
lim ( ) l
x
y
x y
x
y
x y x y
x y
→
→
→ →
→
→
+ = + =
+ =
4
2
2 2
4
2
2
2
4
2
2 2
2 2 36
2 iim ( * ) lim( )
lim ( ) lim ( * ) lim
x y
x
y
x y
x y
→ →
→
→
→
+
+ = +
4
2
2
2
4
2
2 2
4
2 4 2
2 2 16
→→
→
→
+ = + =
2
4
2
2 2
4
2 32 4 36
( )
lim ( )
x
y
x y
Comprova-se que o limite da função no ponto é igual a 36.
Exemplo 5.9 
Mostrar que a função f x y x y( , ) = +2 2 2 tem continuidade no ponto (4,2).
Tendo como base o exemplo 5.8, como não há restrição para o ponto (4,2) da função dada, 
lim ( )
x
y
x y
→
→
+ =
4
2
2 22 36 , podemos resolver este exercício de outra forma que represente o mesmo resultado. 
Isso pode ser feito igualando o limite da função com a função, com os pontos dados.
lim ( ) ( , )
x
y
x y f x y x y
→
→
+ = = = +
4
2
2 2 2 22 36 2 nos pontos (4,2).
55
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Resolvendo o exercício, substituindo os pontos x = 4 e y = 2 diretamente na função. Vejamos 
a resolução: 
f x y x y( , ) = +2 2 2 , nos pontos (4,2)
Substituindo os pontos nas respectivas variáveis, temos:
f
f
( , ) *
( , ) *
4 2 2 4 2
4 2 2 16 4
2 2= +
= +
Conclui-se, portanto, que conseguimos chegar ao mesmo resultado usando o conceito de 
continuidade, e não por limites.
f(4,2) = 32 + 4
f(4,2) = 36
Vamos, agora, avaliar exatamente pontos de restrição de algumas funções.
Limites e continuidade de funções de duas ou mais variáveis.
Exemplo 1
O exemplo a seguir é adaptado do livro Cálculo, de James Stewart, 2001, p. 887-889. v. 2.
A seguir, apresentamos as análises numéricas das funções f x y
sen x y
x y
( , )
( )= +
+
2 2
2 2
2 2
2 2 na tabela 1, e 
g x y
x y
x y
( , ) = −
+
2 2
2 2
2 2
2 2
 na tabela 2.
Também nas tabelas 1 e 2, apresentaremos os valores de f(x,y) e g(x,y) com precisão de duas casas 
decimais para os pares (x,y) próximos da origem, ou seja, lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y→
+
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
 e lim
( , ) ( , )x y
x y
x y→
−
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
.
Vale notar que, para (x, y) = (0,0), o par não pertence ao domínio de nenhuma das duas equações. 
Vamos analisar f(x,y) e g(x,y), as análises serão feitas separadamente, caso A: lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y→
+
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
 
e caso B: lim
( , ) ( , )x y
x y
x y→
−
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
.
Avaliando o caso A 
lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y→
+
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
56
Unidade I
Tabela 2 – Aproximação numérica de lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y→
+
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
 YX -2 1,75 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
-2 -0,02 0,07 -0,01 -0,09 -0,05 0,03 0,09 0,12 0,12 0,12 0,09 0,03 -0,05 -0,09 -0,01 0,07 -0,02
-1,75 0,07 -0,03 -0,09 0,02 0,12 0,11 0,05 -0,01 -0,03 -0,01 0,05 0,11 0,12 0,02 -0,09 -0,03 0,07
-1,5 -0,01 -0,09 0,05 0,13 -0,03 -0,11 -0,19 -022 -022 -022 -0,19 -0,11 -0,03 0,13 0,05 -0,09 -0,01
-1,25 -0,09 0,02 0,13 -0,01 -018 -0,21 -0,13 -0,03 -0,01 -0,03 -0,13 -0,21 -018 -0,01 0,13 0,02 -0,09
-1 -0,05 0,12 0,03 -0,18 -0,19 0,01 0,24 0,40 0,45 0,40 0,24 0,01 -0,19 -0,18 0,03 0,12 -0,05
-0,75 0,03 0,11 -0,11 -0,21 0,01 0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35 0,01 -0,21 -0,11 0,11 0,03
-0,5 0,09 0,05 -0,19 -0,13 0,24 0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61 0,24 -0,13 -0,19 0,05 0,09
-0,25 0,12 -0,01 -0,22 -0,03 0,40 0,76 0,99 0,99 1,00 0,99 0,99 0,76 0,40 -0,03 -0,22 -0,01 0,12
0 0,12 -0,03 -022 -0,01 0,45 0,80 0,96 1,00 1,00 0,96 0,80 0,45 -0,01 -022 -0,03 0,12
0,25 0,12 -0,01 -0,22 -0,03 0,40 0,76 0,99 0,99 1,00 0,99 0,99 0,76 0,40 -0,03 -0,22 -0,01 0,12
0,5 0,09 0,05 -0,19 -0,13 0,24 0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61 0,24 -0,13 -0,19 0,05 0,09
0,75 0,03 0,11 -0,11 -0,21 0,01 0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35 0,01 -0,21 -0,11 0,11 0,03
1 -0,05 0,12 0,03 -0,18 -0,19 0,01 0,24 0,40 0,45 0,40 0,24 0,01 -0,19 -0,18 0,03 0,12 -0,05
1,25 -0,09 0,02 0,13 -0,01 -018 -0,21 -0,13 -0,03 -0,01 -0,03 -0,13 -0,21 -018 -0,01 0,13 0,02 -0,09
1,5 -0,01 -0,09 0,05 0,13 -0,03 -0,11 -0,19 -022 -022 -022 -0,19 -0,11 -0,03 0,13 0,05 -0,09 -0,01
1,75 0,07 -0,03 -0,09 0,02 0,12 0,11 0,05 -0,01 -0,03 -0,01 0,05 0,11 0,12 0,02 -0,09 -0,03 0,07
2 -0,02 0,07 -0,01 -0,09 -0,05 0,03 0,09 0,12 0,12 0,12 0,09 0,03 -0,05 -0,09 -0,01 0,07 -0,02
O entorno do ponto (0,0), o limite da região em vermelho, na tabela, aproxima-se de um mesmo 
valor, ou seja, de 1. 
Analisando a tabela, ficamos tentados a afirmar que, embora (0,0) não pertença ao domínio da 
função, lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y→
+
+
=
0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
1.
Vamos focar nosso olhar aproximando do ponto (0,0). 
Tabela 3 – Aproximação numérica do limite de f(x,y) quando tendem a (0,0)
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,80 0,96 1,00 1,00 0,96 0,80
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
C4
C1 C1
C3
C2
C2
C3
C4
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,80 0,96 1,00 1,00 0,96 0,80
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
Pela tabela anterior, podemos perceber que, qualquer que seja o percurso escolhido para caminharmos 
com f(x,y), no sentido do ponto (0,0) pelas direções C1, C2, C3 e C4 (note: cada direção nos fornece dois 
57
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
caminhos), estamos caminhando no limite para o resultado 1, isto é, lim ( , )
( , ) ( , )
f x y
x y
=
→
1
0 0
. Em outras palavras, 
podemos tomar valores de f(x,y) tão próximos quanto desejarmos de 1 que encontraremos pontos (x,y) 
suficientemente próximos de (0,0), mas ainda diferentes de (0,0).
 Observação
Não é porque alguns caminhos resultam num mesmo valor “L” que 
podemos dizer que o limite é L.
A título de referência conceitual, apresentaremos a definição de limite de uma função de duas variáveis. 
Seja f uma função de duas variáveis, na qual o domínio D contém pontos aleatoriamente próximos 
do ponto ao qual desejamos calcular o limite, digamos, (a,b). O limite de f(x,y) é L quando (x,y) tende 
a (a,b) é L ( lim ( , )
( , ) ( , )
f x y L
x y ab
=
→
), se para todo número ε > 0 existe um número correspondente δ > 0, tal que 
|f(x,y) - L < ε sempre que (x,y) ∈ D e 0 2 2< − + − <( ) ( )x a y b δ .
Teoricamente, temos que uma função descontínua num ponto (a,b) pode ter o limite definido 
naquele mesmo ponto desde que, independente do caminho que você escolher para percorrer sobre o 
domínio até o ponto (a,b), o limite de f(a,b) seja sempre o mesmo, ou seja, por diferentes caminhos (C1, 
C2, C3,..., Cn, ...) que você percorra o domínio até um ponto chegamos aproximadamentea um mesmo 
resultado L, na imagem, conforme ilustrado na figura a seguir. 
y z
x
c2 c1
c3
(a,b)
f(a,b)
L
Figura 66 
Analisando e conversando sobre a imagem anterior e a definição de limite de uma função de 
duas variáveis:
Dado um ponto (a, b), onde desejamos verificar se o limite da função existe ou não, desenhamos 
em azul uma região (chamada de bola) contendo pontos arbitrariamente próximos de (a, b). 
Dizemos que o limite de f(x,y), quando (x,y) tende a (a,b), é L, e escrevemos lim ( , )
( , ) ( , )
f x y L
x y ab
=
→
, se toda 
58
Unidade I
vez que nos aproximamos do intervalo azul na imagem que contém L (fazendo o módulo de f(x,y) – L), 
temos uma bola, de raio diferente de zero, em azul no domínio de f, que contém (x,y) – (a,b).
Para provarmos qual é o limite de uma função de duas ou mais variáveis, precisamos fazê-lo 
teoricamente por épsilons e deltas, como indicamos teoricamente antes, entretanto, esse não é nosso 
objetivo neste livro-texto. Se encontrarmos um par de caminhos aproximando de (a,b) chegando em 
dois limites diferentes, porém, podemos afirmar que o limite da função no ponto (a,b) não existe.
A seguir, o gráfico da função f x y
sen x y
x y
( , )
( )= +
+
2 2
2 2
2 2
2 2 .
z
limf(0,0)=1
(0,0)
y
x
Figura 67 – Gráfico da função f x y
sen x y
x y
( , )
( )= +
+
2 2
2 2
2 2
2 2
É de seu conhecimento que a função f(x) = senx é uma curva suave e tem imagem variando entre 
[-1,1], ou seja, é limitada. O gráfico mostra-nos que a função f x y
sen x y
x y
( , )
( )= +
+
2 2
2 2
2 2
2 2
 também é uma 
superfície com traços suaves (veja o padrão das linhas poligonais que formam a superfície – elas são 
parecidas) na região próxima da origem. Por isso, verificamos que, embora a função seja descontínua na 
origem, seu limite vale 1.
Não é mostrando que percorrendo a superfície por dois caminhos diferentes e chegando a um 
mesmo resultado que mostramos que o limite existe! 
Não se iluda com as representações gráficas, note que, além da argumentação geométrica, também 
nos apoiamos na análise do padrão numérico da superfície, visualizando numericamente vários caminhos 
em torno do provável ponto de descontinuidade.
59
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
 Observação
Vale destacar que a forma segura de verificar se o limite de uma função 
existe é fazendo o limite pela definição, ou seja, demonstrar algebricamente 
que dada qualquer bola (intervalo) diferente de zero, bem pequena na 
imagem contendo (f(x,y) – L), existe uma bola diferente de zero contendo 
((x,y) – (a,b)).
 Saiba mais
Para saber mais sobre a demonstração se um limite existe ou não por 
épsilons e delta, recomendamos o livro: 
LEITHOLD, L. Sequências e séries infinitas de termos constantes. In: 
______. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
p. 711-8. v. 2.
Avaliando o caso B lim
( , ) ( , )x y
x y
x y→
−
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
Tabela 4 – Aproximação numérica de lim
( , ) ( , )x y
x y
x y→
−
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
 YX -2 1,75 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
-2 0,00 0,13 0,28 0,44 0,60 0,75 0,88 0,97 1,00 0,97 0,88 0,75 0,60 0,44 0,28 0,13 0,00
-1,75 -0,13 0,00 0,15 0,32 0,51 0,69 0,85 0,96 1,00 0,96 0,85 0,69 0,51 0,32 0,15 0,00 -0,13
-1,5 -0,28 -0,15 0,00 0,18 0,38 0,60 0,80 0,95 1,00 0,95 0,80 0,60 0,38 0,18 0,00 -0,15 -0,28
-1,25 -0,44 -0,32 -0,18 0,00 0,22 0,47 0,72 0,92 1,00 0,92 0,72 0,47 0,22 0,00 -0,18 -0,32 -0,44
-1 -0,60 -0,51 -0,38 -0,22 0,00 0,28 0,60 0,88 1,00 0,88 0,60 0,28 0,00 -0,22 -0,38 -0,51 -0,60
-0,75 -0,75 -0,69 -0,60 -0,47 -0,28 0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00 -0,28 -0,47 -0,60 -0,69 -0,75
-0,5 -0,88 -0,85 -0,80 -0,72 -0,60 -0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38 -0,60 -0,72 -0,80 -0,85 -0,88
-0,25 -0,97 -0,96 -0,95 -0,92 -0,88 -0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80 -0,88 -0,92 -0,95 -0,96 -0,97
0 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00
0,25 -0,97 -0,96 -0,95 -0,92 -0,88 -0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80 -0,88 -0,92 -0,95 -0,96 -0,97
0,5 -0,88 -0,85 -0,80 -0,72 -0,60 -0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38 -0,60 -0,72 -0,80 -0,85 -0,88
0,75 -0,75 -0,69 -0,60 -0,47 -0,28 0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00 -0,28 -0,47 -0,60 -0,69 -0,75
1 -0,60 -0,51 -0,38 -0,22 0,00 0,28 0,60 0,88 1,00 0,88 0,60 0,28 0,00 -0,22 -0,38 -0,51 -0,60
1,25 -0,44 -0,32 -0,18 0,00 0,22 0,47 0,72 0,92 1,00 0,92 0,72 0,47 0,22 0,00 -0,18 -0,32 -0,44
1,5 -0,28 -0,15 0,00 0,18 0,38 0,60 0,80 0,95 1,00 0,95 0,80 0,60 0,38 0,18 0,00 -0,15 -0,28
1,75 -0,13 0,00 0,15 0,32 0,51 0,69 0,85 0,96 1,00 0,96 0,85 0,69 0,51 0,32 0,15 0,00 -0,13
2 0,00 0,13 0,28 0,44 0,60 0,75 0,88 0,97 1,00 0,97 0,88 0,75 0,60 0,44 0,28 0,13 0,00
60
Unidade I
Analisando a tabela anterior, sabemos que (0,0) não pertence ao domínio da função, 
lim
( , ) ( , )x y
x y
x y→
−
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
não existe; pois, conforme o par (x,y) se aproxima da origem, na região em vermelho, 
na tabela, os valores numéricos da função g(x,y) se aproximando de valores diferentes quando (x,y) 
tendem a (0,0), os valores para os quais g(x,y) tendem são -1, 0 e 1. A essa altura, você já sabe que, para 
o limite existir quando (x, y) tende a um ponto qualquer, independentemente do caminho escolhido, o 
resultado da função deve tender sempre a um mesmo valor.
Vamos ampliar a imagem para melhor visualizar a argumentação, aproximando nosso olhar do 
ponto (0,0). 
Tabela 5 – Aproximação numérica do limite de g(x,y) quando tendem a (0,0)
0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00
-0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38
-0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
-0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80
-0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38
0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00
C8 C7
C4 C2
C5
C6
C3C1 0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00
-0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38
-0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
-0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80
-0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38
0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00
Pela tabela anterior, podemos perceber que, se caminharmos por C1, C2, C3 e C4, temos g(x,y) 
resultando 0 (zero); porém, se o percurso que escolhemos para caminhar com f(x,y) no sentido do 
ponto (0,0) for C5 e C6 g(x,y), resultando a 1 (um), se caminharmos por C7 e C8 g(x,y) é -1 (menos 
um). Se o limite existe, é único; isto é, o resultado de g(x,y) está dependendo do caminho; logo, 
o limite não existe. Se acharmos um único caminho com um valor diferente para a função, isso 
garante que o limite não exista. 
Reforçando: para existir o limite de lim
( , ) ( , )x y
x y
x y→
−
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
, o resultado deveria ser único, não 
importando o caminho pelo qual se aproxime da origem. 
A seguir, duas posições diferentes de observadores para a visualização do gráfico da função 
g x y
x y
x y
( , ) = −
+
2 2
2 2
2 2
2 2 . Você percebe a descontinuidade?
61
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
z z
y
y
x
x
Figura 68 
Provavelmente, não! Mas acabamos de mostrar numericamente que a função é descontínua. Como 
você explica essa “aparente” contradição para a função g x y
x y
x y
( , ) = −
+
2 2
2 2
2 2
2 2 ?
O fato é que temos que ter consciência que construir um gráfico não consiste em montar uma 
tabela, marcar os pontos no sistema cartesiano e unir esses pontos. Só podemos uni-los quando 
sabemos qual é o padrão da curva e se ela é contínua ou não. Na representação anterior, nosso pacote 
computacional não nos apontou visualmente a descontinuidade. Por isso é importante termos bem 
claros os conceitos de domínio, limite e continuidade de uma função. Os pacotes computacionais não 
são perfeitos. Geralmente nos auxiliam na boa visualização geral da curva ou da superfície. Você precisa 
de conhecimentos sólidos e ser crítico sempre! 
 Saiba mais
Apresentamos, na unidade 5 deste livro-texto, outras ilustrações e 
argumentações sobre representação gráfica de curvas e/ou superfíciesdescontínuas. Bom estudo e desperte seu senso crítico.
2 DERIVADAS PARCIAIS
As aplicações das funções de várias variáveis procuram determinar como variações em uma das 
variáveis afetam os valores das funções. Por exemplo, um economista que deseja determinar o efeito de 
um aumento de impostos na economia pode fazer seus cálculos utilizando diferentes taxas de imposto, 
mantendo constantes outras variáveis, como o desemprego. 
Podemos adotar o mesmo raciocínio para determinar a taxa de variação de uma função f em relação 
a uma de suas variáveis independentes, isto é, encontrar derivada de f em relação a uma das variáveis 
independentes, mantendo constantes as outras variáveis. Esse processo chama-se diferenciação 
62
Unidade I
parcial, e cada derivada é uma derivada parcial. Uma função de várias variáveis tem o mesmo número 
de derivadas parciais quantas suas variáveis independentes.
Falando um pouco mais conceitualmente, sabe-se que três padrões de problemas estão relacionados 
com derivadas: 
• problemas de taxa de variação de uma função;
• problemas envolvendo coeficiente angular de reta tangente; e 
• problemas envolvendo máximos e mínimos.
 Lembrete
Em cálculo de uma variável, aprendemos que:
Se y = f(x) é uma função a uma variável, a taxa de variação instantânea 
de y em relação a x, quando x = x0, é o coeficiente angular (a) da reta 
tangente ao gráfico y = f(x) no ponto P(x0,y0), onde y0 = f(x0). 
lim lim
( ) ( )
’( ) ( )
∆ ∆
∆
∆
∆
∆x x x
y
x
f x x f x
x
f x a
→ →
= + − = =
0 0
0 0
0 0
Esse limite recebe o nome de derivada da função de uma variável.
Nesta unidade, uma função de duas variáveis independentes será representada por z = f(x,y), onde 
x e y são duas variáveis independentes, e P (x0,y0,z0) é um ponto sobre o gráfico de f, onde (x0,y0) é um 
ponto do domínio da função e z0 = f (x0,y0). Desejaremos resolver os problemas relacionados com 
derivadas: taxa de variação da função quando x = x0 e y = y0; coeficiente angular da reta tangente 
ao gráfico da função no ponto P e determinação de valores máximos e mínimos de uma função de 
duas variáveis.
Considerando f uma função a duas variáveis, surgem as questões:
• Como calcular taxa de variação da função em relação a qual direção de variação do ponto do 
domínio (x0,y0)?
• Há infinitas retas em R3 que tangenciam a superfície no ponto P. Qual a direção da reta que se 
deseja calcular o coeficiente angular?
Inicialmente vamos estudar as taxas de variação da função apenas em relação às variáveis 
independentes x e y. Essas taxas recebem a terminologia de derivadas parciais.
63
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Notações:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
f
y
z
y
f f D f D f
f
x
z
x
f f D f D f
x x
y y
, , , , ( ), ( )
, , , , ( ), ( )
1 1
2 2
O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y) é, em geral, uma superfície em R3.
2.1 Derivadas parciais
Consideremos um ponto (x0,y0) do domínio de f; se mantivermos y constante no valor y0 e variarmos 
x do valor x0 para o valor x0 + ∆x, f dependerá apenas de x.
Seja: 
∆ ∆f f x x y f x y= +( ) − ( )0 0 0 0, ,
À razão: ∆
∆
∆
∆
f
x
f x x y f x y
x
=
+( ) − ( )0 0 0 0, ,
chamamos de taxa média de variação de f em relação a x.
Observando que:
a) 
∆
∆
f
x
 depende do ponto de partida (x0,y0)
b) 
∆
∆
f
x
 depende da variação ∆x.
Ao limite (se existir e for um número real) de ∆
∆
f
x
, quando ∆x tende a zero, denominamos derivada 
parcial de f no ponto (x0,y0), em relação a x. Indicamos essa derivada parcial por um dos símbolos: 
∂
∂
( )f
x
x y0 0, ou f x yx 0 0,( ) .
Assim,
∂
∂
( ) = ( ) =
→
f
x
x y f x y
f
xx x
0 0 0 0
0
, , lim
∆
∆
∆
64
Unidade I
Analogamente,
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f
y
f x y y f x y
y
e
f
y
x y f x yy
y
=
+( ) − ( )
∂
∂
( ) = ( ) =
→
0 0 0 0
0 0 0 0
0
,
, ,
,
lim
ff
y∆
 Observação
A fim de enfatizar que apenas x pode variar, ou seja, que y deve ser 
mantido constante quando a derivada é calculada, é usual substituir o 
símbolo 
d
dx
 por 
∂
∂x
 (o símbolo ∂ é chamado de d round). 
2.2 Cálculo das derivadas parciais 
As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas que eram válidas para 
funções ordinárias. 
Não é necessária nenhuma nova regra para calcular derivadas parciais. Para calcular 
∂
∂
f
x
, basta 
derivar f em relação à variável x, tratando a variável y como constante; para calcular 
∂
∂
f
y
, deriva-se f em 
relação à variável y, tratando a variável x como constante. 
2.3 Interpretação geométrica da derivada parcial
Para y0 fixo (isso significa que geometricamente temos um plano em R
3) => que é dado um plano 
para y = y0; logo, a derivada em x pode ser interpretada à inclinação da reta tangente à superfície 
z = f(x,y), com o plano y = y0 no ponto (x0,y0).
Simbolicamente, temos: tg f x y
f
x
x yxα = =
∂
∂
( , ) ( , )0 0 0 0
65
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
z
α
β
y0
x0
y
x
Figura 69 
Analogamente, para x0 fixo (isso significa que geometricamente temos um plano em R
3) => que é 
dado um plano para x = x0; logo, a derivada em x pode ser interpretada a inclinação da reta tangente à 
superfície z = f(x,y), com o plano x = x0, no ponto (x0,y0).
Simbolicamente, temos: tg f x y
f
y
x yyβ = =
∂
∂
( , ) ( , )0 0 0 0
Em outras palavras: nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente 
à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x mede a 
inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com 
y constante, e numa seção paralela a y e com x constante. 
2.4 A técnica das derivadas parciais
Operações de derivação – definindo f e g como sendo funções de x e c, n e a como constantes, são 
válidas as seguintes operações:
dc
dx
dx
dx
d f g
dx
df
dx
dg
dx
d f g
dx
f
dg
dx
g
df
dx
ou
d u v
=
=
+( ) = +
⋅( ) = ⋅ +
⋅(
0
1
)) = +
=




=



 −



−
u v v u
d
dx
f nf
df
dx
d
dx
f
g
g
df
dx
f
dg
dx
n n
’ ’
1





= −
g
ou
d
u
v
u v v u
v
2
2
’ ’
66
Unidade I
dc
dx
dx
dx
d f g
dx
df
dx
dg
dx
d f g
dx
f
dg
dx
g
df
dx
ou
d u v
=
=
+( ) = +
⋅( ) = ⋅ +
⋅(
0
1
)) = +
=




=



 −



−
u v v u
d
dx
f nf
df
dx
d
dx
f
g
g
df
dx
f
dg
dx
n n
’ ’
1





= −
g
ou
d
u
v
u v v u
v
2
2
’ ’
Lembrando-se que f
f
x
yx =
∂
∂
→ = constante e f f
y
xy =
∂
∂
→ = constante
Exemplo 1 
Calcular as derivadas parciais f e f x y x yx ,( ) = +2 2
f
f
x
x y
x
x f
f
y
x y
y
yx y=
∂
∂
=
∂ +( )
∂
= = ∂
∂
=
∂ +( )
∂
=
2 2 2 2
2 2
Lembre-se de que, quando está derivando em relação a x, y é constante e derivada de constante é 
zero e, quando está derivando em relação a y, x é constante e derivada de constante é zero.
Exemplo 2 
Calcular as derivadas parciais f e f de f x y x yx y ,( ) = 3 3 2
f
f
x
x y
xx
= ∂
∂
=
∂( )
∂
3 3 2 Antes de derivar a função em relação a x, 
separamos 3 e y2 porque são constantes.
∂( )
∂
=
∂( )
∂
= =
3
3 3 3 9
3 2
2
3
2 2 2 2
x y
x
y
x
x
y x x y
Depois de deixar as constantes separadas, 
deriva-se a função em relação a x e, em 
seguida, agrupa-se o resultado.
f
f
y
x y
yy
= ∂
∂
=
∂( )
∂
3 3 2 Ao derivar a função em relação a y, 
separamos 3 e x3 porque são constantes.
f
f
y
x
y
y
x y x yy =
∂
∂
=
∂( )
∂
= =3 3 2 63
2
3 3
Depois de deixar as constantes separadas, 
deriva-se a função em relação a y e, em 
seguida, agrupa-se o resultado.
67
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Exemplo 3 
Calcule as derivadas parciais f e f dex y f x y x xy
y
x
,( ) = + +2 22 2
3
Para simplificar os cálculos, vamos escrever a função da seguinte forma:
f x y x xy yx,( ) = + + −2 2 12 2
3
Para calcular fx, derivamos a função termo a termo, considerando x como variável e y como 
constante.
f x y
f
x
x
x
y
x
x
y
x y
xx
,( ) = ∂
∂
=
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
−2
2
1
2
2
3
Antes de derivar a função, isolamos as 
constantes, termo a termo.
fx y x y y xx ,( ) = + ( ) + −( )−2 2 1 23 12 2
A derivação é em função da variável x, termo 
a termo. 
f x y x y
y
x
x ,( ) = + −2 2
2
3
2
2
Após a derivação, agrupa-se o resultado, 
termo a termo.
Para calcular fy, derivamos a função termo a termo, considerando y como variável e x como constante. 
Mas, antes, vamos escrever a função f x y x xy
y
x
,( ) = + +2 22 2
3
 como f(x, y) = + + −x y xy x y2 0 2 12 2
3
, pois 
y0 = 1, e não vai afetar a função.
f x y
f
y
x
y
y
x
y
y
x
y
yy
,( ) = ∂
∂
=
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
−2
0 2
12
2
3
Antes de derivar a função, isolamos 
as constantes, termo a termo.
f x y x x y xy ,( ) = ⋅ + ( ) + ⋅−2 0 2 2
2
3
11 A derivação é em função da variável 
y, termo a termo.
f x y xy
xy
,( ) = + +0 4 2
3
Após a derivação, agrupa-se o 
resultado, termo a termo.
f x y xy
xy
,( ) = +4 2
3
 Observação
Pelos exemplos, você pode perceber que as derivadas parciais podem 
ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas válidas para as funções de 
uma variável, exceto que todas as variáveis independentes, que não 
aquela em relação à qual efetuamos a derivação parcial, são tomadas 
temporariamente como constantes.
68
Unidade I
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
1) Derivada de uma constante é zero:
a f x y f
f
x
e f
f
y
b g x y z rws g
g
x
x y
x
) ( , )
) ( , , ) ,
= → = ∂
∂
= = ∂
∂
=
= = → = ∂
∂
=
2 0 0
0
2π
gg
g
y
e g
g
zy z
= ∂
∂
= = ∂
∂
=0 0
2) Derivada do produto (ou divisão) de uma constante por uma função é a constante multiplicada 
(ou dividida) pela derivada da função:
a) f x y x( , ) = π 2
Resolução:
f x y x( , ) = π 2
fx = ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
=
f
x x
x
x
x
( )
( )
.
π
π
π
2
2
2 1
fx = π2
fy = ∂
∂
= ∂
∂
=
f
y y
x
x
( )
( ) *
π
π
2
2 0
fy = 0
Desse modo, dada f x y x( , ) = π 2 , temos f x y e f x yx y( , ) ( , )= =π
2 0 .
b f x y z x y z) ( , , ) = 2
3
2
f x y x y z( , ) = 2
3
2 Função a derivar.
fx = ∂
∂
= ∂
∂
f
x x
x y z( )
2
3
2 Expressão da derivada a 
derivar.
69
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
= ∂
∂
2
3
2y z
x
x( )
Isolando as constantes 
para derivar em x.
= 2
3
2y z x* ( )
Derivada na variável x.
fx = 4
3
xy z
Resultado da derivada na 
variável x.
fy = ∂
∂
= ∂
∂
f
y y
x y z( )
2
3
2 Expressão da derivada a 
derivar.
= ∂
∂
2
3
2x z
x
y( )
Isolando as constantes 
para derivar em y.
= 2
3
2 1x z
* Derivada na variável y.
fy = 2
3
2x z
Resultado da derivada na 
variável y.
fz = ∂
∂
= ∂
∂
f
z z
x y z( )
2
3
2 Expressão da derivada a 
derivar.
= ∂
∂
2
3
2x y
z
z( )
Isolando as constantes 
para derivar em z.
= ∂
∂
2
3
2
1
2x y
z
z( )
Usando regra da 
potenciação a amn
m
n=
= 



−2
3
1
2
2
1
2x y z( )
Função derivada.
=








2
6
12
1
2
x y
z
Usando regra da 
potenciação a
a
m
m
− = 1
fz = 2
6
2x y
z
Expressão final da 
derivada.
Desse modo, dada f x y x y z( , ) = 2
3
2 , temos f x y z xy zx( , , ) =
4
3
, f x y z x zy( , , ) =
2
3
2 e 
 f x y z
x y
zz
( , , ) = 2
6
2
f x y z
x y
zz
( , , ) = 2
6
2
.
70
Unidade I
3) Se f x y x x y y( , ) = + −3 2 3 22 2 , encontre f e fx y( , ) ( , )2 1 2 1 .
Resolução: 
Para fazermos a derivada aplicada em um ponto, devemos primeiramente derivar genericamente a 
função, para depois de feita a derivada substituirmos os valores de (x0,y0) na função já derivada. Ou seja, 
em nosso exemplo, substituiremos (x,y) por (2,1) nas derivadas parciais já determinadas.
Determinando f e fx y( , ) ( , )2 1 2 1
f x y x x y y( , ) = + −3 2 3 22 2 Função a derivar.
fx = +
= +
3 2 2
3 4
2 3
2 3
x xy
x xy
. Primeiro, precisamos derivar a função na 
variável x, para depois substituir o ponto 
determinado.
fx( , )2 1 = +3 2 4 2 12 3. . . Derivada aplicada no ponto (2,1).
fx( , )2 1 = 20 Resultado da derivada no ponto.
fy = −
= −
2 3 2 2
6 4
2 2
2 2
. .x y y
x y y
Primeiro, precisamos derivar a função na 
variável y, para depois substituir o ponto 
determinado.
fy( , )2 1 = −6 2 1 4 12 2. . Derivada aplicada no ponto (2,1).
 = 24-4=20 Realizando os cálculos.
fy( , )2 1 = 20 Resultado da derivada no ponto.
Desse modo, dada f x y x x y y( , ) = + −3 2 3 22 2 , temos f e fx y( , ) ( , )2 1 20 2 1 8= = .
4) Se r sen t xy= +2 3 2( ) , determine ∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
t
r
x
e
r
y
,
Resolução: 
Determinando as derivadas parciais:
r sen t xy= +2 3 2( )
∂
∂
r
t
= +2 0cos( )t Derivando na variável t, qualquer termo que não 
possuir a variável t será tomado como constante.
∂
∂
r
t
= 2cos( )t Resultado da derivada em t.
71
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
∂
∂
r
x
= +0 3 2y Derivando na variável x, qualquer termo que não 
possuir a variável x será tomado como constante.
∂
∂
r
x
= 3 2y Resultado da derivada em x.
∂
∂
r
y
= 2 3* xy Derivando na variável y, qualquer termo que não 
possuir a variável y será tomado como constante.
∂
∂
r
y
= 6xy Resultado da derivada em y.
Desse modo, dada r sen t xy= +2 3 2( ) , temos 
∂
∂
=r
t
t2cos( ) , 
∂
∂
=r
x
y3 2 e 
∂
∂
=r
z
xy6
5) Se w x y z= 2 2 3π , determine ∂
∂
∂
∂
∂
∂
w
x
w
y
e
w
z
,
Resolução: 
Determinando as derivadas parciais
w x y z= 2 2 3π
∂
∂
w
x
= 2 2 3π y z Resultado da função w derivada em x.
∂
∂
w
y
= 2 2 3* π x y z Derivada da função w em y.
∂
∂
w
y
= 4 3π x y z Resultado da função derivada em y.
∂
∂
w
z
= 3 2 2 2* π xy z Derivada da função w em z.
∂
∂
w
z
= 6 2 2π xy z Resultado da função w em z.
Desse modo, dada w x y z= 2 2 3π , temos ∂
∂
=w
x
y z2 2 3π , ∂
∂
=w
y
x y z4 3π e ∂
∂
=w
z
xy z6 2 2π
72
Unidade I
6) Se f x y t x x t y y x( , , ) sen( ) cos( )= +2 2 , encontre f f e f1 2 3, .
f x y t x x t y y x( , , ) sen( ) cos( )= +2 2
f
f
x1
= ∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂x
xsen x t
x
y y x( ( ) ) ( cos( ) )2 2
= ∂
∂
+ ∂
∂
t
x
xsen x y y
x
x
aplicar regra
do produto
2 2( ( )) cos( ) ( )��� ��
= + +t senx x x y y2 21 1( cos ) cos( ) *
f
f
x1
= ∂
∂
= + +t senx t x x y y2 2 cos †cos( )
f
f
y2
= ∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂y
xsen x t
y
y y x( ( ) ) ( cos( ) )2 2
= + ∂
∂
0 2x
y
y y
regra do produto
( cos( ))� �� ��
= + −x y y y seny( cos ( ))2 2
f
f
y2
= ∂
∂
= −2 2xy y xy senycos
f
f
t3
= ∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂t
xsen x t
t
y y x( ( ) ) ( cos( ) )2 2
= ∂
∂
+xsen x
t
t( ) ( )2 0
= xsen x t( ) * 2
f
f
t3
= ∂
∂
= 2txsen x( )
73
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
2.5 Generalização de derivadas parciais para funções de n variáveis
Derivadas parciais de funções a n variáveis
Seja f uma função a n variáveis e (x1, x2, x3,...xn) um ponto do domínio de f; então, a derivada parcial 
de f em relação j-ésima variável xj é a função fj = (x1, x2, x3,...xn) definida por:
f x x x x
f
x
f x x x x x
j n
j x j
n( , , , ..., ) lim
( , , , ... , ...,
1 2 3
0
1 2 3= ∂
∂
= +
→∆
∆ xx f x x x x
x
n n
j
) ( , , , ... )− 1 2 3
∆
Se o limite existir.
No cálculo das derivadas parciais, todas são independentes, exceto a variável em relação à qual se 
deseja calcular a derivada parcial. A função derivada depende dos valores a ela atribuídos. Desse modo, 
a derivada parcial de uma função a n variáveis também é uma função a n variáveis.
2.6 Regra da cadeia
Seja g uma função a duas variáveis. Se w= f(v) e V = g(x,y), ou seja, w = f[g(x,y)]; então, mantendo y 
constante e utilizando a regra da cadeia, temos:
∂
∂
= ∂
∂
w
x
dw
dv
v
x
Analogamente, mantendo x constante e utilizando a regra da cadeia, temos:
∂
∂
= ∂
∂
w
y
dw
dv
v
y
Exemplo 1 
Se w x y= − −1 2 2 , encontre 
∂
∂
∂
∂
w
x
e
w
y
.
Resolução:
Façamos v = 1− −( )x y² ² , ou seja, w v= . 
v x y= − −( )1 2 2
 e w v v= =
1
2
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
w
x
w
v
v
x
*
Regra da cadeia a 
resolver.
74
Unidade I
∂
∂
w
v =
−
1
2
1
2v
= 11
2v
∂
∂
w
v
= 1
2 v
∂
∂
v
x
= ∂
∂
− −
x
x y( )1 2 2
∂
∂
v
x
= −( )2x
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
w
x
w
v
v
x
* = −
1
2
2
v
x* ( )
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
w
x
w
v
v
x
* =
−
− −
x
x y1 ² ²
Regra da cadeia a ser 
resolvida.
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
w
y
w
v
v
y
*
Regra da cadeia a 
resolver.
∂
∂
w
v =
−
1
2
1
2v
= 11
2v
∂
∂
w
v
=1
2 v
∂
∂
v
y
= ∂
∂
− −
x
x y( )1 2 2
∂
∂
v
y
= −( )2y
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
w
y
w
v
v
y
* = −1
2
2
v
y* ( )
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
w
y
w
v
v
y
* = −
− −
y
x y1 ² ²
Regra da cadeia a ser 
resolvida.
75
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Transcrevendo as regras da cadeia feitas, temos:
∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
− −( ) = −( ) = −
− −
∂
∂
=
w
x
dw
dv
v
x v x
x y
v
x
x
x y
e
w
x
dw
dv
1
2
1
1
2
2
1
2 2
2 2
∂∂
∂
= ∂
∂
− −( ) = −( ) = −
− −
v
x v y
x y
v
y
y
x y
1
2
1
1
2
2
1
2 2
2 2
Exemplo 2 
Calcule as derivadas parciais 
∂
∂
z
x
 e 
∂
∂
z
y
 da função z x xy y= + +( )2 5
Resolução:
Mantendo y constante e usando a regra da cadeia para derivar z em relação a x, temos:
∂
∂
= + +( ) ∂ + +( )∂ = + +( ) +( )
z
x
x xy y
x xy y
x
x xy y x y5 5 22
4
2
2 4
Mantendo x constante e usando a regra da cadeia para derivar z em relação a y, temos:
∂
∂
= + +( ) ∂ + +( )∂ = + +( ) +( )
z
y
x xy y
x xy y
y
x xy y x5 5 12
4
2
2 4
Exemplo 3 
Calcule as derivadas parciais fx e fy da função f x y x e
xy,( ) = −2 .
Resolução:
De acordo com a regra do produto:
f x y x ye e xy ex
xy xy xy,( ) = −( ) + = − +( )− − −2 2 12 2 2
e
f x y x xe x ey
xy xy,( ) = −( ) = −− −2 22 2 2
76
Unidade I
2.7 Diferencial total de uma função de duas ou mais variáveis
A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, 
dada a função z = f(x, y), sua diferencial total é:
d z
f
x
dx
f
y
dy= ∂
∂
+ ∂
∂
Exemplo
Diferenciar a função f(x, y) = 2 x 2 + 3 xy + 3y2.
Temos: fx(x, y) = 4x + 3y e fy(x, y) = 3x + 6y; assim, a diferencial da função é df = (4x+3y) dx + 
(3x+6y) dy. 
A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial 
de uma função F(x1,x2,...xn) de n variáveis é:
 
dF
f
x
dx
f
x
dx
f
x
dx
f
x
dx
n
n
ii
n
i=
∂
∂
+ ∂
∂
+ + ∂
∂
= ∂
∂=
∑
1
1
2
2
1
......
Exemplos de aplicaçãoExemplos de aplicação
1) Determinar as derivadas parciais das funções:
a) 
 
f x y x y
f
x
x x
f
x
x e
f
y
y y
f
( , )
*
* *
= +
∂
∂
= + = => ∂
∂
=
∂
∂
= + = => ∂
∂
3 4
3 2 0 6 6
0 4 2 8
2 2
yy
y= 8
b) f x y
y
x y
( , ) =
+
2
2 2
 Lembrete
Note que f x y
u x y
v x y
u
v
( , )
( , )
( , )
= = , se designarmos por us us a derivada de 
uma função u numa variável qualquer. Desse modo, us pode representar ux, 
ou uy, ou uz, ou ui, entre outros. Analogamente, vs pode representar vx, ou 
vy, ou vz, ou vt, entre outros. Desse modo:
se f
u
v
= , sendo u e v funções de várias variáveis, então, f
u v u v
v
s
s s= −. .2 .
77
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Vamos voltar à resolução da derivada de f x y
y
x y
( , ) =
+
2
2 2
u x
u
u
e v x y
v x
v y
x
y
x
y
= =>
=
=



= + =>
=
=



2
0
2
2
2
2 2
Vamos determinar f x y
f
x
x y e f x y
f
y
x yx y( , ) ( , ) ( , ) ( , )=
∂
∂
= ∂
∂
f x y
x y y x
x y
x y xy
x y
f x y
x
y
( , )
( ) ( )
( ) ( )
( , )
= + −
+
= + −
+
2 2 2 2 2 42 2
2 2 2
2 2
2 2 2
== + −
+
= −
+
0 2 2 42 2
2 2 2
2
2 2 2
( ) ( )
( ) ( )
x y y y
x y
y
x y
2) Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z x y xy= −20 2 3 com o plano 
y = 1 no ponto (2,1,2).
Resolução: 
Conforme estudamos, para y0 = 1, a derivada em x é ser interpretada à inclinação da reta tangente 
à superfície z=f(x,y). Logo: tg f
f
xx
α = = ∂
∂
( , ) ( , )2 1 2 1 . Assim:
f x y xy y
f
f tg
x
x
x
( , ) *
( , ) * * * ( )
( , )
= −
= −
= => = =>
20 2
2 1 20 2 2 1 1
2 1 79 79
3
3
α αα = = °arctg79 89 27,
A inclinação, portanto, será de 89,27°.
3) Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir nos pontos indicados:
a) f x y xy x( , ) = +2 3 2 , quando x y0 0 12, ( , )( ) = − .
i) fx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada f em x e considere y constante:
f x y xy x
f x y y x
f
f
x
x
x
( , )
( , )
( , ) ( ) ( )
( , )
= +
= +
− = + −
− =
2
2 2
12 2 2 2 1
12 2
3 2
3
3
.. ( )
( , )
( , )
8 2 1
12 16 2
12 14
+
− = −
− =
f
f
x
x
78
Unidade I
ii) fy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada f em y e considere x constante:
f x y xy x
f x y x y
f x y xy
f
y
y
y
( , )
( , ) * * *
( , )
( , ) * (
= +
= +
=
− = −
2
2 3 0
6
12 6 1
3 2
2
2
)) *
( , )
2
12 24
2
fy − = −
b) g x y xexy( , ) =
3
no ponto (1,0).
 Observação
Anteriormente, temos uma regra do produto e uma regra da cadeia em 
um mesmo exercício.
Antes de fazermos a derivada da regra do produto, vamos fazer a 
derivada da regra da cadeia nas duas variáveis. 
Chamaremos a função exy
3
 de t x y e e u x y xyxy( , ) ( , )= =
3 3. Desse modo:
u x y y y e u x y xy xy
t x y e t e t
x y
xy
u
u
s
( , ) ( , ) * *
( , ) ( )
= = = =
= => = =>
1 3 33 3 2 2
3
(( )u u es
u=
Logo, 
t x y y e e t x y xy ex
xy
y
xy( , ) ( , )= =3
3 2 33
Espera-se que você assimile os procedimentos descritos e, quando tiver 
com uma experiência e segurança, faça-os mentalmente.
i) gx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada g em x e considere y constante:
g x y xexy( , ) =
3
Aqui, como vamos derivar na variável x, temos uma regra do produto e uma regra da cadeia em um 
mesmo exercício, note que a variável x aparece duas vezes na função g.
79
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Vamos voltar à resolução: 
g x y xe
g x y e x y e g x y e xy e
xy
x
xy xy
x
xy xy
( , )
( , ) ( ) ( , )
=
= + => = +
3
3 3
3 3 3
3
1 1
gg e e e e
g
x
x
( , ) * *
( , )
* *1 0 1 0 0 1 0 1
1 0 1
1 03 3 1 0
3
0 0= + = + = + =
=
ii) gy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada g em y e considere x constante:
Note que aqui só temos a derivada da regra da cadeia, estamos derivando em y, ele parece só uma 
vez, não há derivada da regra do produto, uma vez que x é constante. 
g x y xe
g x y x xy e x y e
g e
xy
y
xy xy
y
( , )
( , ) *
( , ) * *
=
= =>
=
3
2 3 2 2 3
2 2 1
3 3
1 0 3 1 0 ** .0
3 00 0= =e
c) h x y senx y( , ) cos= 5 42 no ponto (0,p).
 Observação
Anteriormente, temos duas regras da cadeia em um mesmo exercício, não 
há regra do produto, uma vez que as variáveis da função produto são diferentes.
Antes de fazermos a derivada da regra do produto, vamos fazer a 
derivada da regra da cadeia nas duas variáveis. 
Chamaremos a função u x y senx e v x y y( , ) ( , ) cos= =2 4 . Desse modo:
u x y x x e u x y
v x y e v x y y
x y
x y
( , ) cos ( , )
( , ) ( , ) cos
= =
= = −
2 0
0 4 4
2
Lembre-se: deseja-se que você assimile os procedimentos descritos e, 
quando tiver com uma experiência e segurança, faça-os mentalmente.
i) hx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada h em x e considere y constante:
h x y senx y( , ) cos= 5 42
80
Unidade I
Vamos voltar à resolução:
h x y senx y
h x y x x y
h x y x x
x
x
( , ) cos
( , ) * cos cos
( , ) cos co
=
=
=
5 4
5 2 4
10
2
2
2 ss
( , ) * * cos cos
( , ) * *
4
0 10 0 0 4
0 0 1 1 0
2
y
h
h
x
x
π π
π
=
= =
Note que cos3y, nesse caso, é constante.
ii) hy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada h em y e considere x constante:
h x y senx y
h x y senx sen y
h x y senx s
y
y
( , ) cos
( , ) * *
( , )
=
= −
= −
5 4
4 5 4
20
2
2
2 een y
h sen sen
h
h
y
y
y
4
0 20 0 4
0 20 0 0
0 0
2( , )
( , ) * *
( , )
π π
π
π
= −
= −
=
Note que senx2, nesse caso, é constante.
d) t x y x y( , ) ln( )= −2 2 no ponto (1,0)
Do cálculo de uma variável, temos que, se y = lnu, sendo u = u(x), então, ′ =
′
y
u
u
. Expandindo para 
duas variáveis, temos: f x y u u u x y( , ) ln( ); ( , )= = ; então, fs u
u
s= . 
Voltemos à resolução:
t x y x y seja u x y
u x
u y ent o
t x y
x
x
y
x
( , ) ln( )
, :
( , )
= − = −
=
= −



=
2 2 2 2 2
2
2
ã
xx y
e t x y
y
x y
t t e
t
y
x x
y
2 2 2 2
2 2
2
1 0
2 1
1 0
2
1
2 1 0 2
−
= −
−
=
−
= = => =
( , )
( , )
*
( , )
(( , )
*
( , )1 0
2 0
1 0
0
1
0 1 0 02 2=−
−
= = => =tx
81
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
4) Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções:
a) f x y xy x( , ) = +2 3 2
i) fx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada f em x e considere y constante:
f x y xy x
f x y y xx
( , )
( , )
= +
= +
2
2 2
3 2
3
ii) fy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada f em y e considere x constante:
f x y xy x
f x y x y
f x y xy
y
y
( , )
( , ) * * *
( , )
= +
= +
=
2
2 3 0
6
3 2
2
2
iii) fxx: derivada parcial de segunda ordem na variável x, derivada fx em x e considere y constante:
f x y y x
f x y
f x y
x
xx
xx
( , )
( , ) *
( , )
= +
= +
=
2 2
0 2 1
2
3
iv) fxy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada fx em y e considere x constante:
f x y y x
f x y y
f x y y
x
xy
xy
( , )
( , ) * * *
( , )
= +
= +
=
2 2
2 3 2 0
6
3
2
2
v) fyx: derivada parcial de segunda ordem na variável x, derivada fy em x e considere y constante:
f x y xy
f x y y
y
yx
( , )
( , )
=
=
6
6
2
2
 Observação
Sabemos, pelo Teorema de Clairaut, que fyx = fxy. Logo, era esperado que 
o resultado do item (iv) fosse igual ao item (v), como acabamos de constatar.
82
Unidade I
vi) fyy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada fy em y e considere x constante:
f x y xy
f x y xy
f x y xy
y
yy
yy
( , )
( , ) * *
( , )
=
=
=
6
6 2
12
2
 Lembrete
Vamos recordar o que aprendemos em cálculo diferencial (uma variável):
Se y = u.v com u = u(x) e v = v(x); então, y' = u' . v + u . v'
Se y f g x ou y f u= =( ( )) ( ) , com u = u(x); então, ′ = ′ ′ ′ = ′ ′y f g x g u ou y f u u( ( ))* ( ) ( ) *
′ = ′ ′ ′ = ′ ′y f g x g u ou y f u u( ( ))* ( ) ( ) *
Vamos estender essas regras para derivadas de várias variáveis.
Designaremos de us a derivada de uma função u numa variável 
qualquer; desse modo, us pode representar ux, ou uy, ou uz, ou ui, entre 
outros. Analogamente, vs pode representar vx, ou vy, ou vz, ou vt, entre 
outros. Desse modo: se f = u.v, sendo u e v funções de várias variáveis, 
então, f u v u vs s s= +. . .
b) g x y xe
xy( , ) =
3
 no ponto (1,0).
 Observação
Acima, temos uma regra do produto e uma regra da cadeia em um 
mesmo exercício. Antes de fazermos a derivada da regra do produto, vamos 
fazer a derivada da regra da cadeia nas duas variáveis. 
Chamaremos a função exy
3
 de t x y exy( , ) =
3
 e u x y xy( , ) = 3; desse modo:
u x y y y e u x y xy xy
t x y e t e t
x y
xy
u
u
s
( , ) ( , ) * *
( , ) ( )
= = = =
= => = =>
1 3 33 3 2 2
3
(( )u u es
u=
Logo, 
t x y y e e t x y xy ex
xy
y
xy( , ) ( , )= =3
3 2 33
Espera-se que você assimile os procedimentos descritos e, quando tiver 
com experiência e segurança, faça-os mentalmente.
83
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
i) gx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada g em x e considere y constante:
g x y xexy( , ) =
3
Aqui, como vamos derivar na variável x, temos uma regra do produto e uma regra da cadeia em um 
mesmo exercício, note que a variável x aparece duas vezes na função g.
Vamos voltar à resolução:
g x y xe
g x y e x y e g x y e xy e
xy
x
xy xy
x
xy xy
( , )
( , ) ( ) ( , )
=
= + => = +
3
3 3
3 3 3
3
1 1
ii) gy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada g em y e considere x constante.
Note que aqui só temos a derivada da regra da cadeia, estamos derivando em y, ele aparece só uma 
vez, não há derivada da regra do produto, uma vez que x é constante. 
g x y xe
g x y x xy e x y e
xy
y
xy xy
( , )
( , ) *
=
= =>
3
2 3 2 2 33 3
iii) gxx: derivada parcial de segunda ordem na variável x, derivada gx em x e considere y constante:
 g x y xe
g x y e xy e
g x y y e y e x
xy
x
xy xy
xx
xy xy
( , )
( , )
( , ) .
=
= +
= + +
3
3 3
3
3 3 3
3
1 yy y e
g x y y e xy e
xy
xx
xy xy
3 3
3
3 3 6
3
2
* *
( , ) = +
iv) gxy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada gx em y e considere x constante:
g x y xe
g x y e xy e
g x y y e xy e
xy
x
xy xy
xy
xy xy
( , )
( , )
( , )
=
= +
= + +
3
3 3
3
2 3 2
3
3 3 xxy xy e
g x y y e xy e x y e g x y
xy
xy
xy xy xy
yx
3 2
3
2 3 2
3
2 5
3
3
3 3 3
* *
( , ) * ( ,= + + = ))
g x y xe
g x y e xy e
g x y y e xy e
xy
x
xy xy
xy
xy xy
( , )
( , )
( , )
=
= +
= + +
3
3 3
3
2 3 2
3
3 3 xxy xy e
g x y y e xy e x y e g x y
xy
xy
xy xy xy
yx
3 2
3
2 3 2
3
2 5
3
3
3 3 3
* *
( , ) * ( ,= + + = ))
84
Unidade I
v) gyy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada gy em y e considere x constante:
g x y xe
g x y x y e
g x y x y e x y
xy
y
xy
yy
xy
( , )
( , )
( , ) * * * * *
=
=
= +
3
2 2 3
2 3 2 2
3
3 2 3 33
6 9
2 3
2 3 3 4 3
xy e
g x y x ye x y e
xy
yy
xy xy( , ) = +
c) h x y senx y( , ) cos= 5 42
 Observação
Acima, temos duas regras da cadeia em um mesmo exercício, não há 
regra do produto, uma vez que as variáveis da função produto são diferentes.
Antes de fazermos a derivada da regra do produto, vamos fazer a 
derivada da regra da cadeia nas duas variáveis. 
Chamaremos a função u x y senx e v x y y( , ) ( , ) cos= =2 4 . Desse modo:
u x y x x e u x y
v x y e v x y sen y
x y
x y
( , ) cos ( , )
( , ) ( , )
= =
= = −
2 0
0 4 4
2
Lembre-se: deseja-se que você assimile os procedimentos descritos e, 
quando tiver com uma experiência e segurança, faça-os mentalmente.
i) hx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada h em x e considere y constante:
h x y senx y( , ) cos= 5 42
Vamos voltar à resolução:
h x y senx y
h x y x x y
h x y x x
x
x
( , ) cos
( , ) * cos cos
( , ) cos co
=
=
=
5 4
5 2 4
10
2
2
2 ss4y
85
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Note que cos4y, nesse caso, é constante.
ii) hy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada h em y e considere x constante:
h x y senx y
h x y senx sen y
h x y senx s
y
y
( , ) cos
( , ) * *
( , )
=
= −
= −
5 4
4 5 4
20
2
2
2 een y4
Note que senx2, nesse caso, é constante.
iii) hxx: derivada parcial de segunda ordem na variável x, derivada hx em x e considere y constante:
h x y senx y
h x y x x y
h x y x xsen
x
xx
( , ) cos
( , ) cos cos
( , ) *
=
=
= −
5 4
10 4
2 10
2
2
xx y
h x y x senx yxx
2
2 2
4
20 4
cos
( , ) cos= −
iv) hxy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada hx em y e considere x constante:
h x y senx y
h x y x x y
h x y x x
x
xy
( , ) cos
( , ) cos cos
( , ) * cos
=
=
= −
5 4
10 4
4 10
2
2
22
2
4
40 4
sen y
h x y x x sen yxy( , ) cos= −
Por outro lado:
h x y senx y
h x y senx sen y
h x y senx
y
y
( , ) cos
( , ) * ( )
( , )
=
= −
= −
5 4
5 4 4
20
2
2
2ssen y
h x y x x sen y
h x y x x sen y
yx
yx
4
20 2 4
40 4
2
2
( , ) * cos
( , ) cos
= −
= −
Comprovando que h x y h x yxy yx( , ) ( , )= .
86
Unidade I
v) hyy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada hy em y e considere x constante:
h x y senx y
h x y senx sen y
h x y senx
y
y
( , ) cos
( , ) * ( )
( , )
=
= −
= −
5 4
5 4 4
20
2
2
2ssen y
h x y senx y
h x y senx y
yy
yx
4
20 4 4
80 4
2
2
( , ) * cos
( , ) cos
= −
= −
d) t x y x y( , ) ln( )= +2 2
Do cálculo de uma variável, temos que, se y = lnu, sendo u = u(x), então, ′ =
′
y
u
u
. Expandindo para 
duas variáveis, temos f x y u u u x y( , ) ln( ); ( , )= = ; então,
fs
u
u
s= . Voltemos à resolução:
t x y x y se u x y
u x
u y
ent o temos
x
y
( , ) ln( ), := + = +
=
=



2 2 2 2 2
2
ã
i) t x y
x
x y
x( , ) = +
2
2 2
ii) txx = ?
 
 
t x y
x
x y
t
u
v
t
u v uv
v
t
x y x x
x
x x xx
x x
xx
( , )
( ) ( )
(
=
+
=> = => = −
= + −
2
2 2 2
2 2 2
2 2
22 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 4 2 2
2 2
+
= + −
+
= −
+
= −
+
y
x y x
x y
y x
x y
t
y x
x
xx
) ( ) ( )
( yy2 2)
iii) txy = ? 
t x y
x
x y
t
u
v
t
u v uv
v
t
x y x y
x x xy
y y
xy
( , )
* ( ) ( )
(
=
+=> = => =
−
= + −
2
0 2 2
2 2 2
2 2
xx y
xy
x y
xy
x y
t
xy
x y
txy yx
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
0 4 4
4
+
= −
+
= −
+
= −
+
=
) ( ) ( )
( )
87
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
iv) tyy = ? 
t x y
y
x y
t
u
v
t
u v uv
v
t
x y y y
y y yy
y y
yy
( , )
* * ( ) (
=
+
=> = => =
−
= + −
2
2 1 2 2
2 2 2
2 2 ))
( ) ( )
( )
x y
x y y
x y
t
x y
x y
yy
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 4
2 2
+
= + −
+
= −
+
3 APLICAÇÕES DE DERIVADAS PARCIAIS
3.1 Primeiros exemplos de aplicações 
A pressão P(kPa), o volume V(l) e a temperatura T (kelvins) de 1 mol de gás ideal estão relacionados 
por meio da equação: P*V = 8,31*T. Com base nessas informações, determine:
a) a taxa de variação da pressão em relação à temperatura quando o volume do gás for de 300 litros 
e a temperatura 800 k.
Resolução: 
Desejamos determinar a taxa de variação da pressão em relação à temperatura, ou seja, a derivada 
parcial da pressão; para isso, primeiro vamos isolar P na equação fornecida em nosso enunciado geral, 
depois vamos determinar a derivada parcial. 
P
T
V
P T V
T
V
P
T
P T V
T
V V
P
T
P
= => =
∂
∂
= =
∂
∂
8 31 8 31
8 31 1 8 31
80
0
,
( , )
,
( , )
, * * ,
( 00 300
8 31
800 300
8 31
300
0 02777 2 777 10 2
, )
,
( , )
,
, , * /
=
= = = °−
V
P kPa k
Interpretação do resultado 
Quando o volume do gás for de 300 litros e a temperatura aumentar de 1°K, a pressão aumentará 
de 0,0277 kPa.
88
Unidade I
b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume quando o volume do gás for de 
300 litros e a temperatura 800 k. Temos que:
P
T
V
P T V T V
P
V
T V
T
V
P
= => =
∂
∂
= − = −
∂
∂
−
−
8 31
8 31
1 8 31
8 31
1
2
2
,
( , ) , *
( ) * , * *
,
VV
( , )
, *
800 300
8 31 800
3002
= − ≈ − =0,07387 -7,4*10-2
Interpretação do resultado
Quando a temperatura do gás for de 800°k, a pressão diminui 0,074 Pa (ou 7 4 10 2, * − kPa) para 
cada litro. 
c) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão quando a temperatura for de 800°k, 
sujeita à pressão de 200k Pa. 
Resolução:
Sabemos que P*V = 8,31*T:
V
T
P
V T P T P
V
P
T P
T
P
P
= => =
∂
∂
= − = −
∂
−
−
8 31
8 31
1 8 31
8 31
1
2
2
,
( , ) , * *
( ) * , * *
,
∂∂
= − ≈ − =
V
( , )
, *
800 200
8 31 800
2002
0,1662 -1,662*10-1
Interpretação do resultado
O volume de um gás, a 800°k, sujeito a uma pressão de 200 kPa, diminui de 0,1662 litros para cada 
1 kPa de pressão.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
As latas de refrigerantes antigas eram feitas de aço e possuíam a forma de um cilindro circular 
reto, com altura de 12,5 cm, diâmetro interno de 6 cm e espessura de 0,1 cm. Se o custo do 
material era de 0,02 unidade monetária da época por cm3, determine por diferenciação o custo 
aproximado do aço que era usado na fabricação da lata. 
89
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Resolução:
O volume de um cilindro circular reto, de volume V(cm3), raio r (cm) e altura h(cm), é V = pr2h. O 
volume exato de aço na lata é a diferença entre o volume de dois cilindros circulares retos, para os quais 
r = 3,1, h = 12,7 e r = 3, h = 12,5, respectivamente. ∆V é o volume exato de metal; mas, como queremos 
apenas um valor aproximado, devemos determinar dV.
Figura 70 
Sabemos que o volume depende do raio e da altura.
 Do conceito de diferencial total, temos que: dV
V
r
dr
V
h
dh= ∂
∂
+ ∂
∂
Logo, ∂ = ∂
∂
= ∂ = ∂
∂
=V V
r
rh e V
V
h
r2 2π π
Substituindo ∂ = +V rh dr r dh2 2π π , temos:
R = 3, h =12,5, dr = 0,1, dh = 0,2.
∂ = +
∂ = + = ≈
V
V cm
2 3 12 5 0 1 3 0 2
7 5 18 9 3 29 22
2
3
π π
π π π
* , * , ,
, , , ,
Logo, há aproximadamente Logo, há aproximadamente 9 3 29 223 3, ,π cm ou cm de aço. Como o custo do metal é de 2 centavos de aço. Como o custo do metal é de 2 centavos 
por cmpor cm33, temos que o custo é de aproximadamente 0,02*29,22 = 0,5844 centavos, ou seja, por volta de , temos que o custo é de aproximadamente 0,02*29,22 = 0,5844 centavos, ou seja, por volta de 
0,59 unidade monetária da época.0,59 unidade monetária da época.
90
Unidade I
 Saiba mais
Para saber mais sobre diferencial de função de duas variáveis, consulte 
o capítulo 5 do link a seguir:
LIMA, P. C. Diferenciabilidade de funções de duas variáveis. In: ______. 
Cálculo diferencial e integral III: EAD. Belo Horizonte: UFMG, [s. d.]. p. 47-52. 
Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~lima/apostilas/eadfinal2.pdf>. 
Acesso em: 2 set. 2013. 
3.2 Plano tangente 
Sabemos que equações do tipo y = a x + b definem retas em R2; por analogia, você pode concluir, 
caso não saiba, que z = m x + n y + c define planos em R3. 
Definição:
Se f : A ⊂ R2 → R, sendo a função diferenciável no ponto (a, b) ∈ A, e A é um subconjunto aberto 
de R2, dizemos que o plano pode ser definido pela equação:
f x y f a b
f a b
x
x a
f a b
y
y b( , ) ( , )
( , )
( )
( , )
( )= + ∂
∂
− + ∂
∂
− ou
f x y f a b f a b x a f a b y bx y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )= + − + −
Trata-se do plano tangente ao gráfico da função f no ponto (a, b), ou, ainda:
z z
f x y
x
x x
f x y
y
y y− = ∂
∂
− + ∂
∂
−0 0 0 0 0 0 0
( , )
( )
( , )
( )
é o plano tangente ao gráfico da função f, no ponto (x0,y0). Lembre-se de que z0 = f(x0,y0) ou 
z0 = f(a,b).
Plano tangente
Superfície
Figura 71 – Plano tangente à superfície em um ponto
91
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Exemplo
Vamos calcular a equação do plano tangente à superfície de f x y x xy y( , ) = − −2 23 no ponto (1, 1). 
Primeiro, calculamos as derivadas parciais: 
∂
∂
= − ∂
∂
= − −f x y
x
x y e
f x y
y
x y
( , ) ( , )
2 3 3 2 e substituímos (x, y) por (1, 1). 
Obtemos:
∂
∂
= − => ∂
∂
= − = − = −
∂
∂
= − −
f x y
x
x y
f
x
e
f x y
y
x y
( , ) ( , )
* *
( , )
2 3
11
2 1 3 1 2 3 1
3 2 ==> ∂
∂
= − − = − − = −f
y
( , )
* *
11
3 1 2 1 3 2 5
Por outro lado, sabemos que f x x x xy y( , ) = − −2 23 . Logo:
f( , ) * *11 1 3 1 1 1 1 3 1 32 2= − − = − − = −
A equação do plano tangente é dada por:
z z
f x y
x
x x
f x y
y
y y− = ∂
∂
− + ∂
∂
−0 0 0 0 0 0 0
( , )
( )
( , )
( )
Assim, a equação procurada é resultante de:
z f x
f
x
f
y
y = + −( ) ( ) +∂
∂
∂
∂
−1 1 111 11 1, ( , ) ( , ) ( )
z = 3+ (-1)*(x − 1) − 5(y − 1) 
z = 3 – x +1 – 5y +5
z = – x − 5y + 9.
Logo, a equação do plano tangente à superfície no ponto (1,1) é z = – x − 5y + 9.
Exemplo
Determine a equação do plano tangente à superfície de f x y x x y y( , ) = + −2 33 2 3 3 no ponto (2, -1,5).
Resolução:
Sabemos que ( , ) ( , ) ( , )x y a b0 0 2 1= = − e que
92
Unidade I
f x y f x y f a b x a f a b y bx y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )− = − + −0 0 é a equação do plano tangente a uma superfície 
no ponto ( , , )x y z0 0 0 . 
f(2,-1) = 5 é dado, mas também pode ser calculado substituindo x = 2 e y = –1 em f(x,y).
Calculando as derivadas parciais, temos: 
f x xy e f x y yx y= + = −6 6 9 3
2 3 2 2 2 .
Determinando os valores das derivadas parciais no ponto (2,–1), obtemos:
f
f
f
f
x
x
x
x
( , ) * * * ( )
( , ) * * ( )
( , )
2 1 6 2 6 2 1
2 1 6 4 6 2
2 1 24 12
2 3− = + −
− = + −
− = −
(( , )2 1 12− = e 
f
f
f
f
y
y
y
y
( . ) * ( ) * ( ) * ( )
( . ) *
( . )
2 1 9 2 1 3 1
2 1 9 4 3
2 1 36 3
2 2 2− = − − −
− = −
− = −
(( . )2 1 33− =
A equação do plano é:
f x y f x y f x y x a f x y y b
f x y x
x y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )
( , ) (
= + − + −
= +
0 0 0 0 0 0
5 12 −− + +
= + − + +
= + +
2 33 1
5 12 24 33 33
12 33 14
) ( )
( , )
( , )
y
f x y x y
f x y x y
3.3 Derivadas de funções compostas
3.3.1 Primeira regra da cadeia
Considere a função z = f(x, y), onde x = x(t) e y = y(t), isto é, tanto x quanto y são funções de t. 
A derivada dessa função em relação a “t” é:
Representação gráfica da regra da cadeia:
z
x
t
y
t
∂
∂
z
x
∂
∂
z
y
∂
∂
x
t
∂
∂
y
t
Z depende de x e y (tanto x quanto y também são funções); 
fazemos essa primeira associação gráfica colocando z um nível 
acima de x e y, isto é, vamos derivar z em função de xe também 
vamos derivar z em função de y. Em nosso modelo teórico, as 
funções x e y dependem de t. Logo, x e y estão um nível acima de t. 
Desejamos derivar z em função de t; há dois percursos para fazê-lo, 
um passando por x e chegando a t (isto é, derivando x em função de 
t), ou passando por y (isto é, derivando y em função de t).
93
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Algebricamente, temos:
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
Exemplo 1
Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 +3y -5, onde x(t) = et e y(t) = t3.
Resolução:
Há duas formas de calcular as derivadas parciais:
1° modo 
A função pode ser reescrita em função de t, substituindo x e y pelas expressões das funções em 
relação a t.
F(x,y) = x2 +3y -5; x(t) = et e y(t) = t3 => F(t) = e2t + 3t3 -5
Desse modo, temos F escrita em função de apenas uma variável t, derivando, temos:
dF/dt = 2 e2t + 9t2
 Observação
Em muitos casos, ao fazermos a substituição, chegamos a expressões 
muito complexas, o que não foi o caso anterior. A seguir, vamos resolver o 
mesmo exemplo, de modo que não fazemos a substituição para resolver. 
Saiba que é comum, dada uma função complexa, quebrá-la em outras 
funções para facilitar a resolução. Vale lembrar que, para resolver problemas 
envolvendo taxa de variação, precisamos fazê-lo por derivadas. Para esses 
dois casos, na resolução usamos os procedimentos ilustrados nos exemplos 
a seguir.
94
Unidade I
2° modo
Retomamos as funções e calculamos as derivadas parciais necessárias para obter dF/dt:
z
x
t
y
t
∂
∂
z
x
∂
∂
z
y
∂
∂
x
t
∂
∂
y
t
F(x,y) = x2 + 3y -5
x(t) = e1 e y(t) = t3
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * , temos que:
∂
∂
= ∂
∂
= = =f
x
x
f
y
dx
dt
e
dy
dt
tt2 3 3 2; ; ;
Cálculos feitos, substituímos em dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * , e temos que:
 
dz
dt
x e tt= +2 3 3 2* *
dz
dt
xe tt= +2 9 ² , mas x = et
Logo,
dz
dt
e e t e tt t t= + = +2 9 2 92² ²
Exemplo 2
Se z x y= +2 2 , com x =3t + 3 e y = t2, determine: ∂
∂
z
t
Note que z x y e x t e y t= +( ) = + =2 2
1
2 23 3
Resolução: 
z
x
t
y
t
∂
∂
z
x
∂
∂
z
y
dx
dt
dy
dt
Vamos, inicialmente, fazer a representação gráfica do que 
desejamos determinar:
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
Temos que determinar cada derivada parcial para depois 
substituir na equação anterior. Vamos aos cálculos:
95
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
∂
∂
=
∂ +( )
∂
= +( ) ( ) =
+( )
=
+
∂
∂
=
∂
−Z
x
x y
x
x y x
x
x y
x
x y
Z
y
2 2
1
2
2 2
1
2
2 2
1
2
2 2
1
2
2
xx y
z
x y y
y
x y
y
x y
x
t
t
2 2
1
2
2 2
1
2
2 2
1
2
2 2
1
2
2
3 3
+( )
∂
= +( ) ( ) =
+( )
=
+
∂
∂
= ∂ +
−
( )) ( )
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
=
t
e
y
t
t
t
t3 2
2
Cálculos feitos, substituímos em 
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * , e temos 
dz
dt
x
x y
y
x y
t=
+
+
+
+
2 2 2 2
3 2* * , mas x = 3t + 3 e y = t2; logo:
dz
dt
t
t t
t
t t
t
dz
dt
t
= +
+ +
+
+ +
= +
( )
( ) ( )
*
( ) ( )
*
( )
(
3 3
3 3
3
3 3
2
9 1
3
2 2 2
2
2 2 2
tt t
t
t t+ +
+
+ +3
2
3 32 4
3
2 4) ( )
Exemplo 3
A pressão P (kPa), o volume V (l) e a temperatura T (°k) de 1 mol de gás ideal estão relacionados por 
meio da equação PV = 8,31 T. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo; quando a 
temperatura é de 800 k está aumentando numa taxa de 0,2 grau kelvin por segundo, e o volume, de 
200 l, está aumentando numa taxa de 0,4 litro por segundo. 
Resolução:
P
V
t
T
t
∂
∂
P
V
∂
∂
P
T
dV
dt
dT
dt
dP
dt
P
V
V
t
P
T
T
t
P
T
V
P T V
T
V
T V
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
= => = =
∂
−
* *
,
( , )
,
, *
8 31 8 31
8 31 1
PP
V
T V
V
T V
T
V
P
T
T V
T
∂
= ∂
∂
= − = −
∂
∂
= ∂
∂
−
−
−
( , * )
, *
,
( , * )
8 31
8 31
8 31
8 31
1
2
2
1
== =−1 8 31 8 310 1* , * ,T V
V
96
Unidade I
Sabemos, pelo enunciado, que:
∂
∂
= ∂
∂
= °V
t
s e
T
t
k s0 4 0 2, / , /
Cálculos feitos, substituindo em dP
dt
P
V
V
t
P
T
T
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * , temos:
dP
dt
V T
T
V V
dP
dt
( , )
,
* ,
,
* ,
( , )
, *
= − +
= −
8 31
0 4
8 31
0 2
800 200
8 31 200
800
2
22 0 4
8 31
800
0 2
800 200
8 31 80
800 800
8 31
400
0
* ,
,
* ,
( , )
, *
*
,
* ,
+
= − +dP
dt
11
800 200 0 001030875 0 0020775
800 200 0 0010
dP
dt
dP
dt
( , ) , ,
( , ) ,
= − +
= 446625 1 046625 10 3= −, * /kPa s
Interpretação do resultado
 A pressão cresce aproximadamente a 0,001 kPa a cada 1 segundo.
Exemplo 4
A tensão média V (volts), ou voltagem, de um circuito elétrico diminui com o tempo (segundos) 
numa taxa de 0,2 v/s, devido ao desgaste da bateria. A resistência R (ohms Ω) aumenta numa 
taxa de 0,6 Ω/s, devido ao aquecimento do resistor. Use a Lei de Ohm V = IR para encontrar a 
taxa de variação da corrente / (amperes) em relação ao tempo, no instante em que R = 300Ω e 
I = 0,1 A.
Resolução:
/
V
t
R
t
∂/
∂V
dV
dt
∂/
∂R
dR
dt
I V R
V
R
Logo I V R
V
R
V R
dI
dt
I
V
V
t
I
R
R
t
( , )
, ( , ) *
* *
=
= =
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
−1
97
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
∂
∂
=
∂


∂
= =
∂
∂
= ∂
∂
= − = −
−
−
I
V
V
R
V
V
R R
I
R
VR
R
V R
V
R
1 1
1
0
1
2
2
*
;
( )
( ) * *
Sabemos, pelo enunciado, que:
∂
∂
=− ∂
∂
=V
t
v s e
R
t
s0 2 0 6, / , /W
Cálculos feitos, substituindo em 
dI
dt
I
V
V
t
I
R
R
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * , temos:
dI
dt R
V
R
= − + −



1
0 2 0 62* ( , ) * ,
Note que, quando I = 0,1A e R = 300Ω,
como V = I *R => V = 0,1*300 => V = 30 volts. 
dI
dt
dI
dt
= − + −



= − + −

1
300
0 2
30
300
0 6
0 2
300
18
90000
2* ( , ) * ,
, 

= −dI
dt
I s0 00087, /
Interpretação do resultado 
A corrente decai de aproximadamente 0,00087 ampere a cada segundo, quando a corrente é de 0,1ª 
e a resistência é de 300Ω.
Generalização da primeira regra da cadeia 
Seja w uma função de n variáveis, ou seja, w f x x xn= ( , , ... , )1 2 , e cada uma dessas n variáveis é 
função de t; então, w = F(t) e 
dw
dt
w
x
x
t
w
x
x
t
w
x
x
tn
n= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂1
1
2
2* * ... *
A seguir, apresentaremos a segunda regra da cadeia.
98
Unidade I
3.3.2 Segunda regra da cadeia
Representação gráfica da regra da cadeia:
z
z y
s st t
∂z
∂x
∂x
∂s
∂x
∂t
∂y
∂s
∂z
∂y
∂y
∂t
Considere a função z = f(x,y), onde x = g(s,t) e y = h(s,t). 
Então, z = F(s,t); pois z = f(g(s,t), h(s,t)) = F(s,t). Desse modo, z 
possui derivadas parciais em relação a s e em relação a t, dada 
por:
dz
ds
z
x
x
s
z
y
y
s
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * e 
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
Z depende de x e y (tanto x quanto y também são funções); fazemos essa primeira associação 
gráfica colocando z um nível acima de x e y, isto é, vamos derivar z em função de x e também z em 
função de y. Em nosso modelo teórico, as funções x e y, ambas dependem de s e t. Logo, x e y estão 
um nível acima de s e de t. Desejamos derivar z em função de t e z em função de s. Inicialmente, há 
dois caminhos para sair de a e chegar até x e y; continuando o percurso para chegar até s e t, existem 
quatro caminhos possíveis. 
Vamos descrever os caminhos possíveis para derivarmos z em relação a s. Primeiro, derivamos z 
em x 
∂
∂




z
x
, depois x em s
∂
∂




x
s
; na sequência, derivamos z em função de y ∂
∂




z
y
 e depois y em s
∂
∂




y
s
. Analogamente, descrevemos os caminhos possíveis para derivarmos z em relação a t. Primeiro, 
derivamos z em x 
∂
∂




z
x
, depois x em t ∂
∂




x
t
; na sequência, derivamos z em função de y
∂
∂




z
y
 e depois 
y em t
∂
∂




y
t
.
Algebricamente, temos: 
dz
ds
z
x
x
s
z
y
y
s
e
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * * *
Generalização da primeira regra da cadeia
Seja w uma função de n variáveis, ou seja, w f x x xn= ( , , ... , )1 2 , e cada uma dessas n variáveis é 
função a n outrasvariáveis; então, x g t t tj m= ( , , ...., ).1 2 
w F t t tm= ( , , ..., )1 2 e 
dw
dt
w
x
x
t
w
x
x
t
w
x
x
ti i i n
n
i
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂1
1
2
2* * ... * , para todo i = 1, 2, ..., m.
99
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Se z
x
y
com x r e e y ret t= = = +−
2
2 4 2; , determine:
a) ∂
∂
z
r
b) ∂
∂
z
t
Resolução:
z
x y
r rt t
∂z
∂x
∂x
∂r
∂x
∂t
∂y
∂r
∂z
∂y
∂y
∂t
Algebricamente, temos: 
dz
dr
z
x
x
r
z
y
y
r
e
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
* *
a) dz
dr
z
x
x
r
z
y
y
r
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
∂
∂
=
∂




∂
=
∂
∂
=
∂( )
∂
= − = −
∂
∂
−
−
z
x
x
y
x
x
y
z
y
x y
y
x y
x
y
x
2
2 1
2 2
2
2
2
1
*
( ) * *
rr
r e
r
re e
y
r
re
r
e
t
t
t
t
= ∂
∂
=
∂
∂
= ∂ +
∂
=
−
−( )
( )
2
2
4 2
2
Contas feitas, substituímos em: 
dz
dr
x
y
re
x
y
et t= + −−2 2 2
2
2* * , substituindo x r e e y re
t t= = +−2 4 2 , temos:
100
Unidade I
dz
dr
r e
re
re
r e
re
e
dz
dr
r e
t
t
t
t
t
t
t
=
+
+ −
+
=
−
−
−
−
2
4 2
2
4 2
2
2
2 2 2
2
2
*
( )
( )
* ,
**
( )
( ) *
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
4 2
2 2
3 2 4
re
re
r e e
re
dz
dr
r e
re
r
t
t
t t
t
t
t
− −
−
+
−
+
=
+
− ee
re
t
t
−
+2 2 2( )
b) 
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
 
∂
∂
=
∂




∂
=
∂
∂
=
∂( )
∂
= − = −
∂
∂
−
−
z
x
x
y
x
x
y
z
y
x y
y
x y
x
y
x
2
2 1
2 2
2
2
2
1
*
( ) * *
tt
r e
t
r e r e e
y
t
re
t
re
t
t t
t
t
= ∂
∂
= − = −
∂
∂
= ∂ +
∂
=
−
− −( ) *
( )
2
2 21
4 2
2
Contas feitas, substituímos em dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
dz
dt
x
y
r e
x
y
ret t= − + −−2 22
2
2* ( ) * , substituindo x r e e y re
t t= = +−2 4 2 , temos
dz
dt
r e
re
re
r e
re
re
dz
dt
r
t
t
t
t
t
t=
+
− + −
+
=
−
−
−2
4 2 4 2
2
2
2 2 2
2
2
* ( )
( )
( )
* ,
ee r e
re
r e re
re
dz
dt
r e
t t
t
t t
t
t
− − −
−
−
+
−
+
= −
* ( )
( )
( ) *
( ( ))
2 4 2
2
4 2
2 2
2
2 2
22 2 2
5
2+
−
+
−
re
r e
ret
t
t( )
101
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
3.4 Derivada de uma função implícita de duas ou mais variáveis
Uma função encontra-se na forma implícita quando não está resolvida para uma variável específica. 
As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Exemplo: y = f(x), z = f(x,y). Na 
forma implícita, seria f(x,y) = 0, f(x,y,z) = 0 etc.
A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y) = 0 em relação a x é
∂
∂
+ ∂
∂
= → ∂
∂
+ ∂
∂
= = −
∂
∂
∂
∂
= −f
x
dx
dx
f
y
dy
dx
f
x
f
y
dy
dx
ou
dy
dx
f
x
f
y
fx
fy
0 0
Exemplo 1
Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 = 0 
Resolução:
Sabemos que 
dy
dx
f
x
f
y
fx
fy
= −
∂
∂
∂
∂
= − . Logo:
dy
dx
f
x
f
y
x
y
= −
∂
∂
∂
∂
= − 4
15 2
Para mais de duas variáveis, F(x,y,z) = 0. Fazendo u = f (x,y,z) e diferenciando, após algumas 
considerações, teremos:
∂
∂
= − ∂ ∂
∂ ∂
= − ∂
∂
= − ∂ ∂
∂ ∂
= −z
x
f x
f z
f
f
e
z
y
f y
f z
f
f
x
z
x
z
/
/
/
/
Exemplo 2
Determinar as derivadas parciais 
∂
∂
∂
∂
+ − =z
x
e
z
x
para x y z2 3 0
∂
∂
= − ∂ ∂
∂ ∂
= −
−
=
∂
∂
= − ∂ ∂
∂ ∂
= −
−
=
z
x
f x
f z
x
x
z
y
f y
f z
y
y
/
/
/
/
2
1
2
3
1
3
2
2
102
Unidade I
 Saiba mais
Para saber mais sobre funções implícitas, consulte:
ANDRADE, D. O teorema da função inversa e da função implícita. 
Maringá, [s. d.]. Disponível em: <http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/
arquivos_pdf/inversa.pdf>. Acesso em: 2 set. 2013. 
BALBO, A. R. Derivada implícita e diferenciais. Bauru, 2007. Disponível em: 
<http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadaimplicitaediferenciais.
pdf>. Acesso em: 2 set. 2013. 
3.5 Derivadas de ordem superior
Derivadas parciais de ordem superior são obtidas da mesma forma que as derivadas parciais de primeira 
ordem. No entanto, deve-se observar que, para uma função de duas variáveis, existirão duas derivadas de 
segunda ordem para cada derivada parcial, ou seja, as derivadas de segunda ordem de f são dadas por:
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂




2
2
f
x x
f
x
ou
f fxx x x= ( )
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂




2
2
f
y y
f
y
ou
f fyy y y= ( )
∂
∂ ∂
= ∂
∂
∂
∂




2f
y x y
f
x
ou
f fxy x y= ( )
∂
∂ ∂
= ∂
∂
∂
∂




2f
x y x
f
y
ou
f fyx y x= ( )
Derivando duas 
vezes em relação a x.
Derivando duas 
vezes em relação a y.
Derivando primeiro em 
relação a x e depois em 
relação a y.
Derivando primeiro 
em relação a y e 
depois em relação a x.
Derivadas puras Derivadas mistas
Atenção à notação!
Note que 
∂
∂
∂
∂




= ( )
y
f
x
fx y , isto é, 
∂
∂ ∂
=
2f
y x
fxy .
Exemplo 6.1
Calcule as quatro derivadas parciais de segunda ordem da função f x y xy xy x,( ) = + + +3 25 2 1
Resolução:
Mantendo y constante, vamos derivar duas vezes em relação a x.
f
f
x
y
x
x
y
x
x
x
x
y yx =
∂
∂
=
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+ = + +3 2 3 25 2 0 5 2
103
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Como vemos, o resultado da primeira derivada em relação a x está em função de y, que é constante. 
Portanto, ao derivar pela segunda vez:
f
z
x
xx =
∂
∂
=
2
2 0
Mantendo x constante, vamos derivar duas vezes em relação a y.
f
f
y
x
y
y
x
y
y
x
y y
xy xy
y y
y =
∂
∂
=
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
= +
3 2
2
0 0
5 2 1 3 10
Como vemos, o resultado da primeira derivada em relação a y está em função de x, que é constante. 
Portanto, ao derivar pela segunda vez:
f xy xyy = +6 10
Analogamente, ao derivar fx em função de y, temos:
f y yxy = +3 10
2
E, ao derivar fy em função de x, temos:
f y yyx = +3 10
2
Nota
As derivadas parciais de segunda ordem fxy e fyx são chamadas de derivadas parciais mistas de f. 
Observe que as derivadas parciais mistas calculadas no exemplo anterior são iguais. Quando a função e 
suas derivadas são contínuas, as derivadas parciais mistas de uma função f(x,y) são iguais.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
1) Encontre as equações das retas tangentes às curvas de interseção entre a superfície 
z x y= − −16 4 2 2 e os planos y = 2 e x = 1 no ponto (1,2,8).
a) Interseção entre a superfície z x y= − −16 4 2 2 e o plano y = 2
A equação da curva formada pela interseção do plano y = 2 com a superfície é:
z x z x= − − → = −16 4 2 12 42 2 2
A curva de interseção é uma parábola no plano xz. A reta tangente a essa parábola no ponto 
P x y z P( , , ) ( , , )0 0 0 12 8= está, então, contida no plano xy e sua equação é dada na forma:
z z m x x e y y= + − =0 1 0 0( )
104
Unidade I
O coeficiente angular (m1) da reta tangente é o valor de 
∂
∂
z
x
, quando x = 1 e y = 2.
∂
∂
= − → ∂
∂
= = − = −
= + − = + − −
z
x
x y x
z
x
m
z z m x x x
( , ) ( , ) .
( ) ( )(
8 12 8 1 8
8 8 1
1
0 1 0 )) = − + = − +8 8 8 8 16x x
Equação da reta: z x e y= − + =8 16 2
b) Interseção entre a superfície z x y= − −16 4 2 2 e o plano x = 1
A curva formada pela interseção do plano x =1 com a superfície é a parábola z = 12 -y2 no plano yz. 
O coeficiente angular (m2) da reta tangente a essa parábola no ponto (1,2,8) é o valor de 
∂
∂
z
y
, quando 
x=1 e y = 2.
∂
∂
= − → ∂
∂
= = − = −z
y
x y y
z
y
m( , ) ( , ) .2 12 2 2 42
A reta tangente está contida no plano yz e sua equação é da forma 
z z m y y y y y= + − = + − − = − + = − +0 0 8 4 2 8 4 8 4 16( ) ( )( ) .
Equação da reta: z y e x= − + =4 16 1
2) Encontre a equação da reta contida no plano y = 2 e tangente à curva obtida pela interseção do 
gráfico de z = x2 + y2 com o plano y = 2 no ponto (2,2,8).
Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano y = 2
m
z
x
x
z
x1
2 2 8 2 2 4= ∂
∂
= → ∂
∂
= =( , ) .
Equação da reta:
z z m x x x x x
z x e y
= + − = + − = + − =
= =
0 0 8 4 2 8 4 8 4
4 2
( ) ( )
Encontre a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico 2 4 6 02 2x y z+ − = , no ponto 
P = (5, 1, 9).
Resolução:
Para resolver essa questão, usaremos a equação doplano tangente, vista a seguir: 
z z f x y x x f x y y yx y− = − + −0 0 0 0 0 0 0( , ) * ( ) ( , ) * ( )
105
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Primeiro, definiremos nos pontos os valores para x y z x y z0 0 0 0 0 0, , , ,( ) .
Sabemos que o ponto x y z
x
y
z
0 0 0
0
0
0
5 19
5
1
9
, , ( , , )( ) = =>
=
=
=





Agora, devemos isolar z na equação. Logo:
2 4 6 0
2 4 6
2 4
6
3
2
3
2 2
2 2
2 2
2 2
x y z
x y z
z
x y
z
x y
+ − =
+ =
= +
= +
Isolamos o z. Portanto, continuaremos a resolver o exercício.
O próximo passo é definir quem são os termos na equação do plano tangente. Para que possamos 
organizar o passo a passo de resolução do exercício, devemos determinar as derivadas parciais nos 
pontos (5,1,9), isto é,
f x y f i
f x y f ii
f
x y
f
x x
y y
x
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( )
0 0
0 0
2 2
5 1
5 1
3
2
3
=
=



= + => xx x x
y y
x
f f i
e
f
x y
f
y
= => = => =
= + => = =>
2
3
5 1
2 5
3
5 1
10
3
3
2
3
4
3
2 2
( , )
*
( , ) ( )
ff f iiy y( , )
*
( , ) ( )5 1
4 1
3
5 1
4
3
= => =
Vamos substituir (i) e (ii) na equação do plano tangente.
z z f x y x x f x y y y
z x y
x y− = − + −
− = − + −
0 0 0 0 0 0 0
9
10
3
5
4
3
( , ) * ( ) ( , ) * ( )
* ( ) * ( 11
10
3
50
3
4
3
4
3
9
10
3
4
3
9
)
z
x y
z
x y
= − + − +
= + −
106
Unidade I
O valor -9 é resultado da soma de frações − − + = − = −
50
3
4
3
9
1
27
3
9
Logo, a equação do plano tangente é: z
x y= + −10
3
4
3
9
A seguir, apresentamos a representação gráfica do plano tangente ao paraboloide elíptico 
2 4 6 02 2x y z+ − = , no ponto P = (5, 1, 9). 
z = xx/3+2yy/3
z = 10x/3
(x,y,z) = (5,1,9)
x
y
z
Figura 72 
Dada a função 2 2 22 2x y z+ = , determinar a equação do plano tangente em P = (1, -2, 5) e 
representá-la graficamente. 
Resolução:
A equação no plano tangente é dada por:
z z fx x y x x fy x y y y− = − + −0 0 0 0 0 0 0( , ) * ( ) ( , ) * ( )
O primeiro passo é isolar o z: 
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
x y z
x y
z
+ =
+ =
Simplificando:
x y z2 2+ =
107
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
O segundo passo é determinar as derivadas parciais em x e em y.
x y z f x y x y
f x y x f f ex x x
2 2 2 2
2 1 2 2 1 1 2 2
+ = => = +
= => − = => − =
( , )
( , ) ( , ) * ( , )
ff x y y f fy y y( , ) ( , ) * ( ) ( , )= => − = − => − = −2 1 2 2 2 1 2 4
Devemos, agora, substituir as informações desenvolvidas até aqui na equação do plano tangente: 
z z f x y x x f x y y y
z x y
x y− = − + −
− = − + − −
0 0 0 0 0 0 0
5 2 1 4
( , ) * ( ) ( , ) * ( )
* ( ) ( ) * ( (( ))
( ) * ( )
−
− = − + − +
− = − − −
− = − −
= − −
2
5 2 2 4 2
5 2 2 4 8
5 2 10 4
2 4
z x y
z x y
z x y
z x y 110 5
2 4 5
+
= − −z x y
Veja a representação gráfica da superfície com seu plano tangente em P = (1, - 2, 5).
z = x^2+y^2
z = 2x-4y-5
(x,y,z) = (1,-2,5)
x
y
z
Figura 73 
A construção de gráficos usando recurso computacional de plano tangente será demonstrada 
mais adiante.
108
Unidade I
3.6 Derivada direcional e vetor gradiente
3.6.1 Vetor gradiente 
Se f for uma função de duas variáveis x e y e se as derivadas parciais fx e fy existirem, então, o 
gradiente de f, denotado por ∇f (∇f: leia “del de f” e o símbolo ∇) é o operador nabla.
Definição: 
∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) 
Interpretação
O vetor gradiente é o vetor que tem como coordenadas as derivadas parciais da função em estudo.
Exemplo
Se f(x, y) = 2x2 +3xy + 3y2, então, para calcularmos o gradiente de f no ponto (2, 1), isto é, ∇f(2, 1), 
primeiro calculamos as derivadas parciais fx e fy.
Lembre-se: para determinar fx, derivo f considerando x variável e y constante. E, para determinar 
fy, derivo f considerando x constante e y variável. 
Vamos calcular as derivadas parciais:
em x: fx(x, y) = 4x + 3y;
em y: fy(x, y) = 3x + 6y.
Aplicando as derivadas no ponto (2,1):
fx(2, 1) = 8 + 3 = 11 e fy(2, 1) = 6 + 6 = 12 
Logo:
∇f(2, 1) = (fx(2, 1), fy(2, 1)) = (11, 12)
3.6.2 Interpretação geométrica do vetor gradiente
Dada uma superfície em R3, formada pelos pontos (x, y, f(x, y)), considerando uma curva de nível 
genérica dessa superfície (tal curva estará no domínio da função f), o vetor gradiente será perpendicular 
a tal curva de nível, estará contido no plano xy e apontará no sentido e na direção em que a função tem 
a taxa máxima de variação. 
109
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Em síntese, o vetor gradiente é sempre perpendicular a uma curva de nível (as curvas de nível estão 
plano xy) e indicará a direção e o sentido em que a função tem taxa máxima de variação.
Expansão do conceito:
Se f for uma função de três variáveis x, y, z e se as derivadas parciais fx, fy, fz existirem, então, o 
gradiente de f, denotado por ∇f, é definido por:
∇f(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z))
Exemplo
O gradiente de f(x, y, z) = 5xyz + 2x2y2 + 3z-1 é:
∇f(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) = 
= (5yz + 4xy2, 5xz + 4x2y, 5xy - 3z-2)
3.6.3 Derivada direcional Duf (x,y) 
A derivada direcional permite determinar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis 
em qualquer direção.
Se f é uma função diferenciável em x e y, então f tem derivada direcional na direção e no sentido de 
qualquer versor u:
Duf x y f x y u ou Duf x y f x y f x yx y
  
( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0= ∇ ⋅ = ⋅

u
Para determinarmos a derivada direcional, precisamos:
1) calcular o vetor gradiente da função em ( , )x y0 0 ;
2) encontrar o versor u;
3) determinar o produto escalar (ou interno) entre o gradiente e o versor. 
Atenção:
1) Se o versor u faz um ângulo θ com o eixo x, então podemos escrever
u = (cosθ, senθ), assim:
Duf x y f x y f x y sen f x y fx y x y( , ) ( , ), ( , ) . cos , ( , ).cos0 0 0 0 0 0 0 0= = +θ θ θ (( , ).x y sen0 0 θ
110
Unidade I
2) Se o versor u = (a, b), então:
Duf x y f x y f x y a b f x y a f x y bx y x y( , ) ( , ), ( , ) . , ( , ). ( , ).0 0 0 0 0 0 0 0 0 0= = +
3) Se u não é versor, então, temos que determinar o versor de u. Consideramos que w seja o versor 
de u, logo:
w
u
u
onde u x y= = +, 2 2
3.6.4 Maximização da derivada direcional
Caso você precise saber em qual das direções f varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de 
variação, o que fazer? A resposta será dada por um teorema.
Seja f uma função de duas variáveis diferenciáveis no ponto P.
1) O máximo da derivada direcional em um ponto é dado pelo módulo do vetor gradiente em P, ou 
seja: ∇f x y( , )0 0 .
2) O máximo da taxa de crescimento de f em P ocorre na direção do ∇f.
 Lembrete
1) Devemos observar que î e ĵ são representações dos vetores i e j
→ →
. 
Desse modo, o ∇ = ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂
f x y
f
x
f
y
f
x
f
y
j( , ) ( , ) î ^ .
Devemos nos habituar a diferentes formas de representação matemática.
2) Revisitando conceitos de vetores, versores e módulo de um vetor:
Se 

u é versor de 

v , então, 

u = 1, ou seja, seu comprimento mede uma 
unidade.
Lembrando que o versor de um vetor é sempre unitário.
Como determinar o versor 

u de um vetor:



u
v
v
= , vale lembrar que v x y= +2 2 ; isso se � �v ∈ 2.
Se 

v R∈ ³ , então: v x y z= + +² ² ² .
111
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
1) Determine o vetor gradiente (∇f) da função f x y x y sen x y( , ) ln( ) ( )= + +3 .
Resolução:
Temos que ^∇ = ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂
f x y
f
x
f
y
f x y
x
f x y
y
j( , ) ( , )
( , ) ( , )
î
A resolução é decorrente da determinação das derivadas parciais da função.
∂
∂
= + +
∂
∂
= + +
∂
∂
= +
f
x
x y x y
f
x
x y x y
e
f
y
x
y
3 1
3
1
2
2
3
* ln cos( ) *
ln cos( )
* cos(( ) *
cos( )
x y
f
y
x
y
x y
+
∂
∂
= + +
1
3
Contas feitas, devemos substituir na expressão do gradiente:
^∇ = ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂
∇ = +
f x y
f
x
f
y
f x y
x
f x y
y
j
f x y x y
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( ln
î
3 2 ccos( )) ( cos( ))x y i
x
y
x y j+ + + +
→ →3
2) Dada a função: f x y x xy y( , ) = − +2 2 4 , no ponto(2,3), com direção v = ( , )2
2
1
2
.
Resolução: 
Precisamos determinar Duf fx fy u
 
( , ) ( , ); ( , ) *2 2 2 2 2 2− =< − − >
É dada a função f x y x xy y( , ) = − +2 2 4 , um ponto (2, -2) e a direção na qual desejamos calcular a 
derivada direcional, na direção do vetor v = ( , )2
2
1
2
.
Na prática, precisamos primeiro determinar as derivadas parciais no ponto (2, 2), isto é, fx(2,-2) e 
fy(2,-2).
112
Unidade I
f x y x xy y
f x y
f
f
f x
f
x
x
xp
y
y
( , )
( , ) * *
.
(
= − +
= −
− = − −
=
= − +
2 2 4
2 2
2 2 2 2 2 2
8
2 4
22 2 2 2 4
0
, ) *− = − +
=fyp
Agora, você já sabe que a derivada direcional deve ser calculada na direção de um versor, um vetor 
de tamanho um. Logo, precisamos verificar o tamanho do vetor 

v . Se o módulo do vetor 

v for 1, 
significa que 

v já é um versor; se isso ocorrer, fazemos 
 
v u= . 
Caso contrário, isto é, o módulo de 

v seja diferente de 1, precisamos determinar o versor 

u , que é 
obtido pela conta 



u
v
v
= .




v
v
v
v
= +
= +
=
= ≠
( ) ( )
2
2
1
2
1
2
1
4
3
4
3
2
1
2 2
Como o módulo do vetor não é unitário, temos que determinar o versor.





u
v
v
u
u
=
=
=
( ; )
( ; ) *
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
2
3
113
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Multiplicando os valores e racionalizando, temos o versor que iremos usar na equação da 
derivada direcional.

u = ( ; )6
3
3
3
Já temos os valores das derivadas em relação às variáveis e também o valor do versor. Podemos, 
então, calcular a derivada direcional para este exercício.
Duf fx fy u
 
( , ) ( , ); ( , ) *2 2 2 2 2 2− =< − − >
Substituindo o que temos de informações na equação anterior:
Duf
Duf
Duf



( , ) ; * ;
( , )
( , )
2 2 8 0
6
3
3
3
2 2
8 6
3
0
2 2
8 6
3
− =< > < >
− = +
− =
3) A função dada é f x y x xy y( , ) = − +2 6 83 2 , a direção θ π=
4
 e o ponto p = (1,2). 
Resolução:
(x,y) = cosθ, senθ)
y
xθ
Figura 74 
Sabemos que um ângulo pode fornecer uma direção, tornando fácil escrever um versor dado certo 
ângulo, pois 

u sen= (cos , )θ θ .
Queremos determinar a derivada direcional no ponto (1,2), isto é,
Duf x y fx x y fy x y sen
D f f u
D
u
u




( , ) ( , ) * cos ( , ) *
( , ) ( , ) *
= +
= ∇
θ θ
12 12
ff f f senx y( , ) ( ( , ), ( , )) * (cos , )12 12 12 4 4
= π π
114
Unidade I
Vamos às contas: derivando a função nas variáveis x e y.
Dada f x y x xy y( , ) = − +2 6 83 2
f x y f x y
f f
f f
x y
xp yp
xp yp
= − = − +
= − = − +
= − = −
6 6 6 16
6 1 6 2 6 1 16 2
6 12 6
2
2* * * *
++
= − =
32
6 26f fxp yp
O próximo passo é substituir os dados que calculamos, em:
D f f f sen
Duf x y fx x y
u x y


( , ) ( ( , ), ( , )) * (cos , )
( , ) ( , )
12 12 12
4 4
=
=
π π
** cos ( , ) *
( , ) ( , ) * cos ( , ) *
θ θ
π π
+
= +
fy x y sen
Duf fx fy sen
D


12 12
4
12
4
uuf sen
Duf
Du
( , ) ( * cos ) ( * )
( , ) ( * ) ( * )
12 6
4
26
4
12 6
2
2
26
2
2
= − +
= − +
π π


ff
Duf
( , ) ( ) ( )
( , )
12 3 2 13 2
12 10 2
= − +
=

O resultado da derivada direcional na direção θ π=
4
, no ponto P = (1,2), é, portanto,Duf

( , ) .12 10 2=
4) Dada a função f x y x y y( , ) = −3 42 3 2 , o ponto p = (2,1) e o vetor 

v i j= +2 3 .
Resolução:
Vamos derivar a função em relação às variáveis x e y, já aplicando no ponto p. 
f x y x y y
f x y f x y y
f f
x y
xp yp
( , )
* *
* * * * *
= −
= = −
= =
3 4
6 3 2 8
6 2 1 3 2 2 1
2 2 2
2 2
2 2 −−
= =
8 1
12 16
*
f fxp yp
115
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Verificar se o vetor 

v é unitário, lembrando que o vetor 

v i j= +2 3 . Determinando o módulo do 
vetor:



v
v
v
= +
= +
=
2 3
4 9
13
2 2
Como 

v não é versor, vamos determinar o versor 

u do vetor 

v , pois a derivada direcional é obtida 
pelo gradiente de uma função num ponto com o produto interno de um versor. 





u
v
v
u
i j
u
=
= +
= < >
2 3
13
2
13
3
13
, .
Agora que temos o versor, podemos determinar a derivada direcional Duf x y

( , ) .
Duf x y f x y fy x y ux
 
( , ) ( , ); ( , ) *= < >
Substituindo as informações de fx, fy e o versor 

u:
Duf fx fy u
Duf
D
 

( , ) ( , ); ( , ) *
( , ) ; * ;
2 1 2 1 2 1
2 1 12 16
2
13
3
13
= < >
= < > < >


uf
Duf
( , )
( , )
2 1
24
13
48
13
2 1
72
13
= +
=
Racionalizando o resultado da derivada direcional, temos:
Duf
 = =72
13
13
13
72 13
13
*
116
Unidade I
O resultado final, portanto, é:
Duf
Duf


( , )
( , )
2 1
24 13
13
48 13
13
2 1
72 13
13
= +
=
5) Determinar o vetor gradiente ∇f, a partir da função f x y x xy( , ) = −2 22 , e esboce-o num gráfico.
a) No ponto p(1,2)
Resolução:
Devemos determinar as derivadas parciais da função em x e em y. 
Representamos a derivada parcial em x na direção i e a derivada parcial em y na direção j.
∇ = − −f x y i x j( ) ( )4 2 2
Aplicando o ponto p(1, 2), temos: 
∇ = − −
∇ = − −
∇ = −
∇
f i j
f i j
f i j
f
( , ) ( * * ) ( * )
( , ) ( )
( , )
(
12 4 1 2 2 2 1
12 4 4 2
12 0 2
112 2, ) = − j
x
y
1
1 2 3
2
∇f(1,2)
P(1,2)
Q(2,4)
3
4
PQ v
� �� �=
Figura 75 – Representação gráfica do vetor e do gradiente da função em (1,2)
b) Determinar a derivada direcional da função em P(1,2), na direção do vetor PQ
� ��
 para Q(2,4), dados 
dois pontos.
117
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Resolução:
Para representar o vetor PQ
� ��
, devemos fazer uma subtração do (Q – P), veja como:
� � ��
�
�
�
�
v PQ
v Q P
v
v
v i j
=
= −
= −
= − −
= +
( , ) ( , )
( , )
2 4 12
2 14 2
1 2
Para determinar a derivada direcional, necessitamos do verso de 

v .
O vetor unitário com a direção de 

v será:
u
v
v
=


u
i j
u
i j
u i j
= +
+
= +
= +
2
1 2
2
5
1
5
2
5
2 2
Após encontrarmos o versor e o vetor gradiente, podemos determinar a derivada direcional.
Duf f u
Duf j i j


( , ) ( , ) *
( , ) ( ) * ( )
12 12
12 2
1
5
2
5
= ∇
= − +
Devemos lembrar que o vetor gradiente resultou em 0 2i j− . Portanto,
Duf i j i j
Duf
Duf



( , ) ( ) * ( )
( , )
( , )
12 0 2
1
5
2
5
12 0
4
5
12
4
5
= − +
= −
= −
118
Unidade I
Exemplo de maximização da derivada direcional
Vale lembrar que: Duf x y f

( , )max = ∇ .
A função dada é f x y x y( , ) = + +2 2 22 2 .
a) Encontrar a direção segundo a qual f(x,y) cresce no ponto P(1,2) e determinar a taxa máxima de 
crescimento de f em P.
Para resolver esta parte do exercício, devemos encontrar o vetor gradiente.
∇ = +f x y xi yj( , ) 4 4
Aplicando o ponto P(1,2):
∇ = +
∇ = +
f
f i j
( , ) * *
( , )
12 4 1 4 2
12 4 8
P(1,2)
∇f(1,2)
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
y
x
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura 76 – Representação do gradiente de f x y x y( , ) = + +2 2 22 2 no ponto
A taxa máxima de aumento de f no ponto P(1,2)
Para definir qual a maximização da função no ponto, devemos calcular o módulo do gradiente da 
função. Veja:
∇ = +f i j( , )12 4 8
119
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
∇ = +
∇ = +
∇ = = =
∇ =
f
f
f
f
( , )
( , )
( , ) * * * *
( , ) *
12 4 8
12 16 64
12 80 4 4 5 4 4 5
12 2
2 2
22 5
12 4 5
*
( , )∇ =f
Logo, a taxa máxima de aumento de f no ponto P(1,2) será 4 5
b) A figura a seguir representa a superfície f x y x y( , ) = + +2 2 22 2 , ou seja, um paraboloide circular, 
o ponto P(1,2) e o vetor ∇ = +f i j( , ) .12 4 8
Sendo que o ponto P(1,2) e o vetor ∇ = +f i j( , )12 4 8 estão representados no plano x, y; já o ponto 
Q estará representado na superfície. 
Desenvolvimento:
O ponto Q na superfície é correspondente a P, e será obtido por Q f z= ( , , )12 0 . 
Calculando z0.
z f ou seja
z
z
0
0
2 2
0
12
2 2 1 2 2
2 2 8 12
=
= + +
= + + =
( , ), ,
* ( ) * ( )
Logo, Q = (1,2,12).
Se movermos um ponto no plano Se movermos um ponto no plano xyxy passando por P na direçãodo ponto passando por P na direção do ponto ∇∇f(1,2), o ponto Q f(1,2), o ponto Q 
correspondente ao gráfico descreve uma curva C de máximo aclive no paraboloide.correspondente ao gráfico descreve uma curva C de máximo aclive no paraboloide.
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
4.1 Conceituando pontos de máximo, de mínimo e de sela
Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais é encontrar seu ponto de máximo ou de 
mínimo. Por exemplo: encontrar a máxima produção de uma firma com um dado orçamento ou entre 
as possíveis combinações de consumos encontrar aquela que permite obter certo nível de produção com 
o menor custo.
120
Unidade I
 Lembrete
Vale lembrar que, para determinar os pontos críticos de função de 
uma variável, devemos realizar a derivada primeira e igualar a função 
a zero. Ao resolver a equação resultante, você terá os candidatos a 
pontos críticos.
Seja f uma função de duas variáveis definida em uma região que contém (x0,y0). O número f (x0,y0) 
é um máximo relativo de f se existe uma região circular R centrada em (x0,y0), tal que f(x,y) < f(x0,y0), 
f(x0,y0) é um máximo relativo para todo par (x,y) em R. 
 E o número f(x0,y0) é um mínimo relativo de f se existe uma região circular R centrada em (x0,y0), tal 
que f(x,y) > f(x0,y0), para todo par (x,y) em R.
P
Q
S
T
L
F(x,y)
Os pontos P e Q são pontos de 
máximo, porque qualquer deslocamento 
em sua vizinhança irá descer.
O ponto S é uma sela porque nos 
sentidos SP e SQ sobe, mas no sentido 
SL ou ST desce.
Figura 77 
Descobrir um ponto de máximo ou de mínimo pode exigir o conhecimento do gráfico de f e, para 
isso, existem teoremas que nos auxiliam nesse sentido.
Teorema 5.1 
“Seja f uma função a duas variáveis x e y, e seja (x0,y0) um ponto interior ao domínio de f. Se (x0,y0) 
for um ponto de máximo ou de mínimo e se existirem fx e fy, então fx(x0,y0) = 0, e fy(x0,y0) = 0.” Portanto, 
os pontos que anulam simultaneamente as derivadas fx e fy são chamados pontos críticos de f.
4.2 Determinando pontos de máximo, de mínimo e de sela
Exemplo 1 
Seja f(x,y) = x2 +y2 -2x+1. Os possíveis pontos de máximo ou de mínimo são aqueles para os quais 
fx = 0 ou fy = 0. Então,
fx = 2x -2 fy = 2y
121
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Resolução:
Fazendo 2x - 2 = 0 e 2y = 0, temos x = 1 e y = 0, que é o ponto (1,0). O teorema 3.1 assegura-nos 
que, se f tiver um ponto de mínimo ou de máximo, este só poderá ser o ponto (1,0).
Exemplo 2 
Seja f(x,y) = x2 + y2 - 2x - 2y + xy. Os possíveis pontos de máximo ou de mínimo são aqueles para 
os quais fx = 0 e fy = 0. Então, fx = 2x - 2 + y e fy = 2y - 2 + x. Igualando a zero essas derivadas parciais, 
temos:
2 2 0
2 2 0
x y
y x
− + =
− + =



cuja solução é o ponto 
2
3
2
3
,



.
Vamos à resolução:
Primeiro, isolaremos y na primeira equação do sistema. 
2x - 2 + y = 0 => y = 2 - 2x, vamos substituir essa expressão encontrada para y na segunda equação 
do sistema, ou seja, em 2y - 2 + x = 0. Logo, temos:
2 2 2 2 0 4 4 2 0 3 2
2
3
* ( )− − + = => − − + = => − = − => =x x x x x x
Vamos substituir o valor de x em y = 2 - 2x, 
temos y y= − => = − =2 2 2
3
6 4
3
2
3
 
Conforme anunciamos, 
2
3
2
3
,



 é ponto crítico de f x y x y x y xy,( ) = + − − +2 2 2 2 .
O teorema 2 assegura-nos que, se f tiver um ponto de mínimo ou de máximo, este só poderá ser o 
ponto 
2
3
2
3
,



, uma vez que foi o único ponto crítico encontrado.
A seguir, apresentamos uma tabela pela qual você pode avaliar numericamente e indicar o fato que 
2
3
2
3
,



 é pelo menos um mínimo relativo da função.
122
Unidade I
Tabela 6 
 YX 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
0,50 -1,2500 -1,2725 -1,2900 -1,3025 -1,3100 -1,3125 -1,3100
0,55 -1,2795 -1,2925 -1,3075 -1,3175 -1,3225 -1,3225 -1,3175
0,60 -1,2900 -1,3075 -1,3200 -1,3375 -1,3300 -1,3275 -1,3200
0,65 -1,3025 -1,3175 -1,3275 -1,3325 -1,3325 -1,3275 -1,3175
0,70 -1,3100 -1,3225 -1,3300 -1,3225 -1,3300 -1,3225 -1,3100
0,75 -1,3125 -1,3225 -1,3275 -1,3275 -1,3225 -1,3125 -1,2975
0,80 -1,3100 -1,3175 -1,3200 -1,3175 -1,3100 -1,2975 -1,2800
0,85 -1,3025 -1,3075 -1,3075 -1,3025 -1,2925 -1,2775 -1,2575
0,90 -1,2900 -1,2925 -1,2900 -1,2825 -1,2700 -1,2525 -1,2300
0,95 -1,2795 -1,2725 -1,2675 -1,2575 -1,2425 -1,2225 -1,1975
1,00 -1,2500 -1,2475 -1,2400 -1,2275 -1,2100 -1,1875 -1,1600
O interior da tabela fornece-nos os valores de f x y( , )0 0 . Quando ( , ) ( , )x y0 0
2
3
2
3
→ , selecionamos em 
azul os valores mínimos da tabela, esses valores são mínimos locais da função. A seguir, mostraremos 
graficamente que a função tem apenas um valor mínimo. Logo, esse mínimo é global.
x
y
z
Figura 78 – Representação gráfica de f x y x y x y xy,( ) = + − − +2 2 2 2
Mais adiante, aprenderemos a classificar algebricamente se o ponto crítico encontrado, no caso 
deste exemplo 
2
3
2
3
,



, é máximo, mínimo, sela ou se nada podemos afirmar a respeito dele.
Exemplo 3 
Seja f(x,y) = 2x + 3y - 5. Temos fx = 2 e fy = 3. Como fx e fy nunca se anulam, f não terá ponto de 
máximo nem de mínimo.
123
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Veja a seguir a representação gráfica dessa função:
x
y
z
Figura 79 – Representação gráfica de f x y x y,( ) = + −2 3 5
O teorema 3.1 só garante possíveis pontos de máximo ou de mínimo. Pode ocorrer que fx(x0,y0) = 0 
e fy(x0,y0) = 0 sem que (x0,y0) sejam ponto de máximo ou de mínimo. É o que ocorre com a função 
f(x,y) = xy. Temos: fx = y e fy = x; portanto, o ponto crítico é (0,0).
y
z
x
Figura 80 – Representação gráfica de f(x,y) = xy
Verifica-se que o gráfico da função f(x,y) = xy tem o aspecto de uma “sela de cavalo” e o ponto (0,0) 
é chamado ponto de sela.
124
Unidade I
4.3 Critérios para caracterização de um ponto de máximo ou de mínimo
Se f tem derivadas parciais de primeira e de segunda ordem contínuas em uma região aberta, e se 
existir um ponto (x0,y0) na região, tal que fx(x0,y0) = 0 e fy(x0,y0) = 0, então, podemos utilizar 
∆ = ( )⋅ ( ) − ( ) f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 0 0 0
2
, , , .
Fazendo f x y A f x y B e f x y Cxx yy xy0 0 0 0 0 0, , , ,( ) = ( ) = ( ) = , temos ∆ = A . B - C2.
Então:
3.2.1 - f(x0,y0) é um ponto de mínimo se ∆ > 0 e A > 0.
3.2.2 - f(x0,y0) é um ponto de máximo se ∆ > 0 e A < 0.
3.2.3 - f(x0,y0) é um ponto de sela se ∆ < 0.
3.2.3 - Se ∆ = 0, o teste nada permite concluir.
Exemplo 3.2.1 
Encontre os extremos relativos e os pontos de sela de f x y xy x y,( ) = − −1
4
1
4
4 4
Resolução:
Inicialmente, determinamos os pontos críticos de f derivando a função em relação a x e a y.
Como f x y y xx ,( ) = − 3 e f x y x yy ,( ) = − 3 são definidas para todos os pontos do plano xy, os 
únicos pontos críticos são aqueles em que ambas as derivadas anulam-se. Temos, então: 
y x
x y
− =
− =




3
3
0
0
 
e, resolvendo simultaneamente o sistema de equações, determinamos os pontos críticos (1,1), 
(-1,-1) e (0,0). Além disso, como f x y xxx ,( ) = −3 2 , f x y yyy ,( ) = −3 2 e f x yxy ,( ) = 1, podemos utilizar 
∆ = ( )⋅ ( ) − ( ) f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 0 0 0
2
, , , para classificar os pontos críticos. Segue a tabela:
125
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Tabela 7 – Classificação dos pontos críticos de f x y xy x y,( ) = − −1
4
1
4
4 4
Ponto crítico (1,1) (0,0) (-1,-1)
A = fxx(x0,y0) -3.(1)
2= -3 -3.(0)2= 0 -3.(-1)2= -3
B = fyy(x0,y0) -3.(1)
2= -3 -3.(0)2= 0 -3.(-1)2= -3
C = fxy(x0,y0) 1 1 1
∆ = a. B - C 8 -1 8
Critério A < 0 e ∆ > 0 A = 0 e ∆ < 0 A < 0 e ∆ > 0
Conclusão Máximo relativo Ponto de sela Máximo relativo
A seguir, a representação gráfica da função que confirma nossa constatação feita na tabela anterior. 
Ou seja, que a função possui dois pontos de máximo relativos, que não possui valor mínimo e que possui 
um ponto de sela.
máximo relativo máximo relativo
sela
y
z
x
Figura 81 – Representação gráfica da função f x y xy x y,( ) = − −1
4
1
4
4 4
Note que, com a representação gráficada função feita computacionalmente, conseguimos ver 
os máximos relativos e a sela; mas não conseguimos determinar quais são esses valores. A seguir, 
apresentaremos um quadro com a representação numérica dos valores da função contendo as 
regiões dos pontos críticos, para confirmar os valores de máximos relativos indicados. 
126
Unidade I
Tabela 8 – Representação numérica de f x y xy x y,( ) = − −1
4
1
4
4 4 no intervalo [-2,3]X[-2,2]
y
x -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00
-2,00 -4,000 -2,266 -2,250 -3,016 -4,000 -5,016 -6,250 -8,266 -12,000
-1,50 -2,266 -0,281 -0,016 -0,531 -1,266 -2,031 -3,016 -4,781 -8,266
-1,00 -2,250 -0,016 0,500 0,234 -0,250 -0,766 -1,500 -3,016 -6,250
-0,50 -3,016 -0,531 0,234 0,219 -0,016 -0,281 -0,766 -2,031 -5,016
0,00 -4,000 -1,266 -0,250 -0,016 0,000 -0,016 -0,250 -1,266 -4,000
0,50 -5,016 -2,031 -0,766 -0,281 -0,016 0,219 0,234 -0,531 -3,016
1,00 -6,250 -3,016 -1,500 -0,766 -0,250 0,234 0,500 -0,016 -2,250
1,50 -8,266 -4,781 -3,016 -2,031 -1,266 -0,531 -0,016 -0,281 -2,266
2,00 -12,000 -8,266 -6,250 -5,016 -4,000 -3,016 -2,250 -2,266 -4,000
2,50 -18,766 -14,781 -12,516 -11,031 -9,766 -8,531 -7,516 -7,281 -8,766
3,00 -30,250 -26,016 -23,500 -21,766 -20,250 -18,766 -17,500 -17,016 -18,250
Na tabela anterior, os valores máximos estão em azul e o valor de cela encontra-se em amarelo. 
A seguir, analisaremos esses três pontos críticos.
Vamos analisar o ponto (-1,-1 ∈ D), que tem como imagem 0,5, isto é, f(-1,-1) = 5.
Tabela 9 
y
x -1,50 -1,00 -0,50 
-1,50 -0,281 -0,016 -0,531
-1,00 -0,016 -0,500 -0,234
-0,50 -0,531 -0,234 0,219
Avalie os valores da região em 
branco ao entorno de f(-1,-1) = 0,5, 
em azul... E aí, percebeu que todos 
os resultados são menores que 0,5?
Logo, 0,5 é um máximo local. 
Vamos analisar o ponto (1,1) ∈ D), que tem como imagem 0,5, isto é, f(1,1) = 0,5. 
Tabela 10 
y
x 0,50 1,00 1,50
0,50 0,219 0,234 -0,531
1,00 0,234 -0,500 -0,016
1,50 -0,531 -0,016 -0,281
Avalie os valores da região em 
branco ao entorno de f(1,1) = 0,5, 
em azul... E aí, percebeu que todos 
os resultados são menores que 0,5?
Logo, 0,5 é um máximo local.
127
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Vamos analisar o ponto (0,0) ∈ D, que tem como imagem 0, isto é, f(0,0) = 0.
Tabela 11 
y
x 0,50 1,00 1,50
-0,50 0,219 -0,016 -0,281
1,00 -0,016 -0,000 -0,016
0,50 -0,281 -0,016 0,219
y
x 0,50 1,00 1,50
-0,50 0,219 -0,016 -0,281
1,00 -0,016 -0,000 -0,016
0,50 -0,281 -0,016 0,219
C1
C2C3
Avalie os caminhos C1, C2 e C3 em torno de 
f(0,0) = 0, em amarelo... E aí, o que você pôde 
perceber? 
Avaliação em separado dos caminhos: 
Por C1: parte de -0,016, sobe para 0 e desce 
para -0,016. Se fosse olhar só esse caminho, seria 
máximo.
Por C2: parte de 0,219, desce para 0 e sobe 
para 0,219. Se fosse olhar só esse caminho, seria 
mínimo.
Por C3: parte de -0,016, sobe para 0 e desce 
para -0,016. Se fosse olhar só esse caminho, seria 
máximo.
Ao avaliarmos simultaneamente os caminhos, 
temos que f(0,0) = 0 caracteriza-se como ponto 
de sela.
Vale destacar que, usualmente, para levantar e classificar os pontos críticos de uma função, fazemos 
apenas a avaliação usando a aplicação de derivadas. 
Exemplo 8:
Um painel plano tem a temperatura (T) dada em graus Celsius e modelada pela seguinte expressão: 
T(x,y) = 32x2 + 48x + 80y2. Determine os pontos de temperaturas máximas e mínimas do painel.
Resolução: 
Para buscarmos valores máximos e mínimos, devemos derivar a função e igualar a derivada a zero. 
Logo, precisamos fazer Tx = 0 e Ty = 0.
T x y x x y
T x e T y
x y
x
x y
( , ) = + +
= + = = =
= − =
= − =
32 48 80
64 48 0 80 0
64 48 0
48
64
2 2
−−
= −
3
4
3
4
00 0segue que x y nosso ponto cr tico( , ) ( , ) .é í
Determinando:
T T T e Txx xy yx yy= = = =64 0 80;
128
Unidade I
Aplicando as derivadas de segunda ordem no ponto ( , )− 3
4
0 = P, temos:
T T T e Txx xy yx yy( , ) ; ( , ) ( , ) ( , )− = − = = − − =
3
4
0 64
3
4
0 0
3
4
0
3
4
0 80
 Lembrete
Para levantar e classificar os pontos críticos de uma função, fazemos 
apenas a avaliação usando a aplicação de derivadas. 
Tabela 12 
Ponto crítico “P” A = Txx(P) B = Tyy(P) C = Txy(P) D = A.B-C
2 Critério Avaliação
P = ( , )− 3
4
0 64 80 0 64.80-0 > 0 A > 0 e D > 0 Mínimo
Como esse ponto é mínimo, qualquer outro ponto na região de ( , )− 3
4
0 terá temperatura maior que 
nesse ponto. Dessa forma, a menor temperatura do painel será:
T( , , ) ( , ) ( , ) ( )− = − + − + = −0 75 0 32 0 75 48 0 75 80 0 182 2
A título de conferência, apresentamos a tabela com as temperaturas na região do ponto crítico 
levantado, confirmando que a temperatura mínima é de menos 18 graus (-18°) e ocorre no ponto 
( , )− 3
4
0 .
Tabela 13 
y
x -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50
-1,50 80,0000 45,0000 20,0000 5,0000 0.0000 5,0000 20,0000
-1125 70,0000 35,0000 10,0000 -5,0000 -10,0000 -5,0000 10,0000
-1,20 68,4800 33,4800 8,4800 -6,5200 -11,5200 -6.5200 8,4800
-1,15 67,1200 32,1200 7,1200 -7,8800 -12.8800 -7,8800 7,1200
-110 65,9200 30,9200 5,9200 -9,0800 -14,0800 -9,0800 5,9200
-1,05 64,8800 29,8800 4,8800 -10,1200 -15,1200 -10,1200 4,8800
-1,00 64,0000 29,0000 4,0000 -11,0000 -16.0000 -11,0000 4,0000
-0,95 632800 282800 3,2800 -11,7200 -16,7200 -11,7200 32800
-0,90 62,7200 27,7200 2,7200 -12.2800 -17.2800 -12,2800 2,7200
-0,85 62,3200 27,3200 2,3200 -12.6800 -17,6800 -12,6800 2,3200
129
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
y
x -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50
-0,80 62,0800 27,0800 2,0800 -12,9200 -17.9200 -12,9200 2,0800
-0,75 62,0000 27,0000 2,0000 -13,0000 -18;0000 -13,0000 2,0000
-0,70 62,0800 27,0800 2,0800 -12.9200 -17.9200 -12,9200 2,0800
-0,65 62,3200 27,3200 2,3200 -116800 -17,6800 -12,6800 2,3200
-0,60 62,7200 27,7200 2,7200 -12,2800 -17,2800 -12,2800 2,7200
-0,55 63,2800 28,2800 3,2800 -11,7200 -16.7200 -11,7200 3,2800
-0,50 64,0000 29,0000 4,0000 -11,0000 -16,0000 -11,0000 4,0000
-0,45 64,8800 29,8800 4,8800 -10.1200 -15,1200 -10,1200 4,8800
-0,40 65,9200 30,9200 5,9200 -9.0800 -14,0800 -9,0800 5,9200
Exemplo 9 
Uma caixa retangular, sem tampa, deve ter 32 m3. Quais devem ser suas dimensões para que sua 
superfície total seja mínima?
z
x
y
Figura 82 
Resolução: seja x, y e z as arestas dessa caixa. Segue que o volume
V = xyz = 32 => z = 32/xy (i)
Área da superfície A = xy + 2zy + 2zx (ii) 
Substituindo (i) em (ii), derivando e igualando as derivadas parciais a zero, temos:
A xy y
xy
x
xy
A xy
y x
A xy y x iii
Ax
= + + => = + + => = + +− −2 32 2 32 64 64 64 641 1* ( )
(( , ) ( , ) ( )
( ,
x y y x A x y y
x
y
x
yx iv
A x y
x
y
= − => = − = => = => =−64 64 0 64 642 2 2
2
)) ( , ) ( )= − => = − = => = => =−x y A x y x
y
x
y
xy vy64
64
0
64
642 2 2
2
Igualando (iv) a (v), temos yx xy
x
x
y
y
x y vi2 2
2 2
= => = => = ( )
130
Unidade I
Substituindo (vi) em (iv), temos xx x x x2 3 3 364 64 4 4= => = => = => =
Segue que x = 4, y = 4 e z = 32/(4*4) => z = 32/16=> z = 2
Segue que x = y = 4 e z = 2 são os candidatos a pontos críticos.
Faremos agora as derivadas de segunda ordem e determinaremos o delta:
A x y y
x
A x y y x A x y xx x xs( , ) ( , ) ( , ) * ( ) *= − => = − => = − − =
− −64 64 0 2 64
12
2
2 3 88
64 64 0 2 64
3
2 2
x
A x y x y A x y x y A x y yy y yy( , ) ( , ) ( , ) * ( ) *= − => = − => = − −
− − −− =
= =
3
3
128
1
y
A x y A x yyx xy( , ) ( , )
Avaliação do ponto
Tabela 14 
Ponto crítico (4,4)
A A x yxx= ( , )0 0
128
4
128
64
23 = =
B A x yyy= ( , )0 0
128
4
128
64
23 = =
C A x yxy= ( , )0 0 1
∆ = ⋅ −A B C2 2 2 1 32* − =
Critério ∆ > 0 e ∆ > 0
Conclusão Mínimo relativo
Exemplo 10 
Uma empresa precisa fazer um projeto de uma calha de chapa de aço galvanizado de 24 cm de 
largura, na qual se deseja fazer as dobras (nas duas laterais), de modo que a calha tenha formato 
trapezoidal, conforme figura a seguir. Determine cada lateral x e o ângulo θ, de forma que a área da 
seção da calha seja a máxima possível. 
x
24 - 2x
x
θ
Figura 83131
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
 Observação
Para resolver esse exercício, você vai usar as seguintes relações:
sen sen e2 2 2 2 12θ θ θ θ θ= = −cos * cos cos
Resolução:
Analisando a figura anterior, construímos a seguinte relação:
x
24 - 2x
xsenθ xcosθ
x
θ
Figura 84 
Note que a área da seção da calha pode ser escrita como sendo área do retângulo da base 24-2x e 
altura xsenθ mais a área dos dois triângulos de base xcoxθ e altura xsenθ. Desse modo, a função da área 
da seção da calha pode ser escrita da seguinte forma:
A x f x x xsen x xsen
A x xsen
( , ) ( , ) ( ) * cos *
( , )
θ θ θ θ θ
θ θ
= = − +
= −
24 2 2
1
2
24 2xx sen x sen2 2θ θ θ+ * cos *
Se buscamos máximo ou mínimos, precisamos derivar em cada variável e igualar a zero, e é esse 
procedimento que começamos a fazer agora.
Fazendo A
A x sen xsen xsen
Colocando sen em ev
x
x( , ) cosθ θ θ θ θ
θ
= − +24 4 2
iid ncia temos
A x sen x x
sen ou
x
ê , :
( , ) ( cos )θ θ θ
θ θ
= − + = =>
= => =
24 4 2 0
0 0 θθ π
θ
θ
=
− + =



( )
cos
cos
n o conv m
x x
Isolando na equa o acima
ã é
çã
24 4 2 0
,, :
cos cos cos ( )
temos
x x
x
x x
i2 4 24
4 24
2
2
12θ θ θ= − => = − => = −
132
Unidade I
A x xsen x sen x sen
Vamos fazer sen
( , ) * cos * ,
* cos
θ θ θ θ θ
θ θ
= − +
=
24 2
1
2
2 2
ssen da observa o segue que
A x xsen x sen x se
2
24 2
1
2
2 2
θ
θ θ θ
çã , :
( , ) *= − + nn
Fazendo A temos
A x x x
A x
2
24 2 2
1
2
2
24
2 2
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
, :
cos cos * * * cos= − +
= ccos cos * cos
cos ( cos cos ) ,
θ θ θ
θ θ θθ
− +
= + − + =
2 2
24 2 2 0
2 2
2
x x
A x x vamos diividir a linha por x
x
Vamos substituir
24 2 2 0cos ( cos cos ) ,
c
θ θ θ+ − + =
oos cos , :
cos ( cos cos )
2 2 1
24 2 2 1 0
2
2
θ θ
θ θ θ
por da observação
x
V
−
+ − + − =
aamos substituir por
x
de i
x
x
cos ( )
(
θ 2 12
24 2
12
2 2
−



−



+ − − 112 2 2 12 1 02
x x




+ −



− =) ,
48
288
4
24
2 4
48 144
1 0
48
288
2−




+ − +



+ − +



− =
−
x
x
x x x
( )
xx
x x
x
x
x x x
x
+ − +( )+ − +


− =
+ − + − − +
4 24 8 96
288
0
48 24 96 8 4
288
( ) ( ) ( −− =
− =
=
=
288
0
3 24 0
3 24
8
x
x
x
x
)
Substituindo o valor de x em (i), ou seja, em cosθ = −2 12
x
, temos:
cos cos cos cosθ θ θ θ= − => = − => = => =2 12
8
16 12
8
4
8
1
2
Logo, θ = 60º
Desse modo, podemos dizer que se deve dobrar a chapa com um ângulo de 60° e que x = 8 cm.
133
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
 Saiba mais
Para saber mais sobre extremos de funções de duas ou mais variáveis, 
consulte: 
LIMA, J. D. Máximos e mínimos de funções de várias variáveis. Pato 
Branco, [s. d.]. Disponível em: <http://www.pb.utfpr.edu.br/daysebatistus/
maximos_minimos_donizetti.pdf>. Acesso em: 2 set. 2013. 
4.4 Máximos e mínimos com restrições; Multiplicadores de Lagrange
Os multiplicadores de Lagrange são um método usado para maximizar ou minimizar uma função 
z = f(x,y), sujeita a um vínculo (condição dada no padrão g(x,y) = 0). Esse método geralmente é mais 
simples do que visto anteriormente. Vamos estudar os procedimentos para aplicar o método dos 
multiplicadores de Lagrange para determinar os máximos e mínimos de uma função.
1) A função lagrangiana F será: F x y c f x y c g x y( , , ) ( , ) * ( , )= + , onde c é uma constante (c ∈ R), o valor 
de c deverá ser determinado. Chamaremos c de multiplicador de Lagrange.
2) Buscaremos a solução para o sistema:
S
F x y c
F x y c
F x y c
x
y
c
1
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
=
=
=





A solução do sistema S1 nos fornecerá os valores máximos e mínimos relativos da função F.
 Observação
Esse método pode ser aplicado para funções com mais de duas variáveis!
Exemplo 1 
Calcular o valor máximo para o produto de dois números cuja soma seja 26.
Resolução:
Sejam x e y os dois números procurados, temos que o produto será f(x,y) = x.y e desejamos que esse 
resultado seja o máximo possível.
Restrição: x + y = 26, sabemos da teoria que g(x,y) deve ser igual a zero; logo, g(x,y) = x + y - 26.
134
Unidade I
1° passo 
Definindo a função lagrangiana F(x,y,c), temos:
F x y c f x y c g x y
F x y c xy c x y
( , , ) ( , ) * ( , )
( , , ) * ( )
= +
= + + − 26
2° passo 
Construindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y c
F x y c
F x y c
x
y
c
1
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
=
=
=





Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F, depois substituir os resultados no sistema S1. 
F x y c xy c x y
F x y c y c F x y c yx x
( , , ) * ( )
( , , ) * * ( ) ( , , )
= + + −
= + + − => =
26
1 1 0 0 ++
= + + − => = +
= + +
c
F x y c x c y F x y c x c
F x y c x
y Y
c
( , , ) * * ( ) ( , , )
( , , ) * (
1 0 0
0 1 yy F x y c x yc− => = + −26 26) ( , , )
Acima, quando derivamos na variável x, y e c foram consideradas constantes; quando derivamos na 
variável y, x e c foram consideradas constantes e, por fim, quando derivamos na variável c, x e y foram 
consideradas constantes. Desse modo, temos: 
S
F x y c
F x y c
F x y c
S
y c y cx
y
c
1 1
0
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
:
(=
=
=





=>
+ = => = − ii
x c x c ii
x y x y iii
)
( )
( )
+ = => = −
+ − = => + =




0
26 0 26
Substituindo (i) e (ii) em (iii), temos:
x y c c c c+ = => − + − = => − = => = −26 26 2 26 13( )
Substituindo o valor de c em (i) e (ii), temos que x = - (-13) => x = 13 e que y = 13.
Logo, o produto máximo para f(x,y) com a restrição dada será 13*13 = 169.
135
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Exemplo 2
Maximize o produto de três números sabendo que a soma deles deve ser 27.
Resolução:
Sejam x, y e z os três números procurados, temos que o produto será f(x,y,z) = x . y . e desejamos que 
esse resultado seja o máximo possível.
Restrição: x + y + z = 27. Sabemos da teoria que g(x,y) deve ser igual a zero; logo, g(x,y) = x + y + z - 27.
1° passo
Definindo a função lagrangiana F(x,y,z,c), temos:
F x y z c f x y z c g x y z
F x y z c xyz c x y z
( , , , ) ( , , ) * ( , , )
( , , , ) * ( )
= +
= + + + − 27
2° passo 
Construindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y z c
F x y z c
F x y z c
F x y z c
x
y
z
c
1
0
0
0
0
:
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
=
=
=
=







Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F e depois substituir os resultados no sistema S1. 
F x y z c x y z c x y z
F x y z c y z cx
( , , , ) . . * ( )
( , , , ) . . * ( )
= + + + −
= + + + −
27
1 1 0 0 0 ==> = +
= + + + − =>
F x y z c yz c
F x y z c x z c F x y z
x
y y
( , , , )
( , , , ) . . * ( ) ( , ,1 0 1 0 0 ,, )
( , , , ) . . * ( ) ( , , , )
c xz c
F x y z c x y c F x y z c xy c
F
z z
c
= +
= + + + − => = +1 0 0 1 0
(( , , ) * ( ) ( , , )x y c x y z F x y c x y zc= + + + − => = + + −0 1 27 27
Substituindo as derivadas parciais no sistema S1, temos:
S
F x y z c
F x y z c
F x y z c
F x y z c
x
y
z
c
1
0
0
0
0
:
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
=
=
=
=







=>
+ = => = −
+ = => = −
+ = => = −
S
yz c yz c i
xz c xz c ii
xy c xy c i1
0
0
0
:
( )
( )
( iii
x y z x y z iv
)
( )+ + − = => + + =





 27 0 27
136
Unidade I
Comparando (i), (ii) e (iii), temos que:
- c = yz = xz = xy 
Comparando os termos dois a dois, temos:
por um lado, que yz = xz => y = x
por outro, xz = xy => z = y
Juntando as duas informações, temos que x = y = z.
Substituindo na equação (iv), temos:
x + y + z = 27=> x + x + x = 27 => 3x = 27 => x = 9
Como x = y = z, temos que y = 9 e z = 9. Logo, o produto máximo, considerando a restrição dada, 
será f( , , ) . . *9 9 9 9 9 9 81 9 729= = =
Exemplo 3
Entre todos os retângulos que estão inscritos em um círculo de raio r, determinar aquele que tem a 
área máxima.
(x,y)
yy
y
x x
x
r
Figura 85 – Retângulo inscrito em um círculo de raio
A área do retângulo é f x y A x y xy( , ) *= = =2 2 4 (i).
Restrição: avaliando o triângulo retângulode lados x, y e r, por Pitágoras, temos que r x y2 2 2= + (ii).
O retângulo tem que estar inscrito na circunferência; logo, o ponto (x, y) pertence à circunferência, 
isto é, r x y x y r2 2 2 2 2 2 0= + + − ==>
137
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
1° passo 
Definindo a função lagrangiana F(x,y,z,c), temos:
F x y z c f x y c g x y
F x y c xy c x y r
( , , , ) ( , ) * ( , )
( , , ) * ( )
= +
= + + −4 2 2 2
2° passo 
Construindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y c
F x y c
F x y c
x
y
c
1
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
=
=
=





Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F, depois substituir os resultados no sistema S1. 
F x y c xy c x y r
F x y c y c x F x y cx x
( , , ) * ( )
( , , ) * ( ) ( , ,
= + + −
= + + − =>
4
4 2 0 0
2 2 2
))
( , , ) * ( ) ( , , )
( , ,
= +
= + + − => = +
4 2
4 0 2 0 4 2
y cx
F x y c x c y F x y c x cy
F x y c
y Y
c )) * ( ) ( , , )= + + − => = + −0 1
2 2 2 2 2 2x y r F x y c x y rc
Substituindo as derivadas parciais no sistema S1, temos:
S
F x y c
F x y c
F x y c
S
y cx y
x
y
c
1 1
0
0
0
4 2 0 4
:
( , , )
( , , )
( , , )
:
=
=
=





=>
+ = => == − => = − => = −
+ = => = − => = −
2
2
4 2
4 2 0 4 2
2
c x y
cx
y
cx
iii
x yc x yc x
cy
iv
x
( )
( )
22 2 2 2 2 20+ − = => + =









y r x y r v( )
Substituindo (i), (ii) em (iii), temos:
r x y r
cy cx
r
c y c x2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 4 4
= + => = −



+ −



=> =




+




=> = +
+ =
r
c
y x
c
y x r vi
2
2
2 2
2
2 2 2
4
4
( )
( ) ( )
Sabemos que r x y2 2 2= + 
138
Unidade I
Substituindo em (vi), temos:
c
y x r
c
r r
c r
r
r
c
c
c c
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
4 4 4
0
4
1 4
4
( ) ,+ = => = => = ≠ => = => =
= ± => = ±±2
Se c = -2, temos
y
x
y x
x
y
x y
= − − => =
= − − => =






2
2
2
2
Por outro lado, 
se c = 2, temos
y
x
y x
x
y
x y
= − => = −
= − − => = −






2
2
2
2
o que é impossível, pois x e y são lados do retângulo. Logo, c = - 2.
Isso nos dá que a forma do maior retângulo inscrito é um quadrado, pois x = y. 
Para obtermos as dimensões reais desse retângulo máximo, basta fazer x = y em r x y2 2 2= + . Segue 
que temos: r x x r x r x x
r2 2 2 2 22 2
2
= + => = => = => =*
x
r
x r= => =
2
2
2
1
2
2 *
Como x = y, temos que x y r= = 1
2
2 * . Desse modo, os lados do retângulo são:
 
2 2
1
2
2 2 2
2 2
1
2
2 2 2
4 2 2
x r x r
y r y r
A xy A x y
= => =
= => =






=> = => = =
* *
* *
. >> = =A r r r2 2 2 2*
139
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Exemplo 4 
Determinar os extremos da função z = 6 - 4x - 3y, com a condição de que as variáveis satisfaçam a 
equação x y2 2 1+ = , e interpretar geometricamente.
Resolução: 
Geometricamente, o problema reduz-se a encontrar o valor máximo e mínimo da cota z do plano 
z = 6 - 4x - 3y para seus pontos de interseção com o cilindro x y2 2 1+ = .
Desse modo, temos f(x,y) = 6 - 4x - 3y
Restrição: g(x,y)= 0 => g x y x y( , ) = + −2 2 1
1° passo 
A função de Lagrange será: 
F x y f x y c g x y
F x y x y c x y
( , ) ( , ) * ( , )
( , ) * ( )
= +
= − − + + −6 4 3 12 2
2° passo 
Construindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y c
F x y c
F x y c
x
y
c
1
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
=
=
=





Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F, depois substituir os resultados no sistema S1. 
F x y x y c x y
F x y c c x F x yx x
( , ) * ( )
( , , ) * ( ) ( , ,
= − − + + −
= − + + − =>
6 4 3 1
4 2 0 0
2 2
cc xc
F x y c c y F x y c yc
F x y
y Y
c
)
( , , ) * ( ) ( , , )
( , ,
= − +
= − + + − => = − +
4 2
3 0 2 0 3 2
cc x y F x y c x yc) * ( ) ( , , )= + + − => = + −0 1 1 1
2 2 2 2
Substituindo as derivadas parciais em S1: 
S
F x y c
F x y c
F x y c
S
xc x
x
y
c
1 1
0
0
0
4 2 0 2
:
( , , )
( , , )
( , , )
:
=
=
=





=>
− + = => cc x
c
i
yc yc y
c
ii
x y x y
= => =
− + = => = => =
+ − = => + =
4
2
3 2 0 2 3
3
2
1 0 12 2 2 2
( )
( )
(iiii)









140
Unidade I
Substituindo (i) e (ii) em (iii), temos:
x y
c c c c c
2 2
2 2
2 2 21
2 3
2
1
4 9
4
1
4 4 9 1
4
1
1
+ = => 



+ 



= => + = => + =* *
66 9 1 4 4 25
25
4
5
2
2 2 2+ = => = => = => = ±* c c c c
Para c = 5
2
, temos: 
x x x
y y y
= ÷ => = => =
= ÷ => = => =






2
5
2
2
2
5
4
5
3
2
5
2
3
2
2
5
3
5
*
*
E, para c = − 5
2
, temos: x e y= − = −4
5
3
5
Para saber qual o valor máximo e qual o mínimo, devemos substituir os valores encontrados para x 
e y em f(x,y) = 6 - 4x - 3y. O maior valor será o máximo e o menor valor será o mínimo.
Logo, segue que:
a) x e y f f
f
= = => = − − => = − − =>4
5
3
5
4
5
3
5
6 4
4
5
3
3
5
4
5
3
5
6
16
5
9
5
4
5
3
5
( , ) * ( , )
( , )) ( , ) ( , )= − => = − => =6 25
5
4
5
3
5
6 5
4
5
3
5
1f f
b) x e y
f f
= − = −
=> − − = − − − − => − − = +
4
5
3
5
4
5
3
5
6 4
4
5
3
3
5
4
5
3
5
6
16
5
( , ) *
( ) ( )
( , ) ++ =>
− − = + => − − =
9
5
4
5
3
5
6
25
5
4
5
3
5
11f f( , ) ( , )
Como o resultado do item a foi maior que o do item b, concluímos que zmin = 1 e zm xá = 11.
Exemplo 5 
Determine os pontos sobre a esfera x y z2 2 2 54+ + = que estão mais próximos e mais afastados 
do ponto (1, 1, 2). 
141
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
Resolução: 
Sabemos que d x x y y z z= − + − + −( ) ( ) ( )0
2
0
2
0
2 . Podemos evitar trabalhar com radicais ou 
potências de números não inteiros se optarmos por determinar inicialmente d2, ao invés de d. 
Desse modo:
d x x y y z z d x x y y z z2 0
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
2= − + − + −( ) => = − + − + −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) em nosso exemplo 
d x y z f x y z2 2 2 21 1 2= − + − + − =( ) ( ) ( ) ( , , ) 
Restrição: x y z g x y z x y z2 2 2 2 2 254 54+ + = => = + + −( , , )
1° passo
Definindo a função lagrangiana F(x,y,c), temos:
F x y z c f x y z c g x y z
F x y z c x y z
( , , , ) ( , , ) * ( , , )
( , , , ) ( ) ( ) (
= +
= − + − + −1 12 2 22 542 2 2 2) * ( )+ + + −c x y z
2° passo 
Construindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y z c
F x y z c
F x y z c
F x y z c
x
y
z
c
1
0
0
0
0
:
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
=
=
=
=







Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F, depois substituir os resultados no sistema S1. 
F x y z c x y z c x y z( , , , ) ( ) ( ) ( ) * ( ),= − + − + − + + + −1 1 2 542 2 2 2 2 2
Note que faremos derivadas parciais de funções compostas; você tem que saber aplicar a regra 
da cadeia. 
F x y z c x y z c x y z
F x y z cx
( , , , ) ( ) ( ) ( ) * ( )
( , , , )
= − + − + − + + + −1 1 2 542 2 2 2 2 2
== − + + + − => = − +−2 1 1 2 0 0 0 2 2 22 1( ) * * ( ) ( , , , )
( , , ,
x c x F x y z c x xc
F x y z c
x
y )) ( ) * * ( ) ( , , , )
( , , ,
= − + + + − => = − +−2 1 1 2 0 0 0 2 2 22 1y c y F x y z c y yc
F x y z
y
z cc z c z Fz x y z c z zc
F x y cc
) ( ) * * ( ) ( , , , )
( , ,
= − + + + − => = − +−2 2 1 2 0 0 0 2 4 22 1
)) * ( ) ( , , )= + + + − => = + + −0 1 54 542 2 2 2 2 2x y z F x y c x y zc
142
Unidade I
Substituindo as derivadas parciais no sistema S1, temos:
S
F x y z c
F x y z c
F x y z c
F x y z c
x
y
z
c
1
0
0
0
0
:
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
=
=
=
=







=>
− + = => = − => = − => = −
− +
S
x xc xc x c
x
x
c
x
x
i
y y
1
2 2 2 0 2 2 2
2 2
2
1
2 2 2
:
( )
cc yc y c
y
y
c
y
y
ii
z zc zc z
= => = − => = − => = −
− + = => = −
0 2 2 2
2 1
2
1
2 4 2 0 2 4 2
( )
( )
==> = − => = −
+ + − = => + + =


c
z
z
c
z
z
iii
x y z x y z iv
2 2
2
2
54 0 542 2 2 2 2 2
( )
( )
( )








De (i) e (ii), temos:
1 1
1 1
− = − => − = − => − = − => =x
x
y
y
y x x y y xy x xy y x v( ) ( ) ( )
De (i) e (iii), temos:
1 2
1 2 2 2
− = − => − = − => − = − => =x
x
z
z
z x x z z xz x xz z x vi( ) ( ) ( )
Substituindo (v) e (vi) em (iv), temos:
x y z x x x x x
x x x
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
54 2 546 54
54
6
54
6
9
+ + = => + + = => = => =
= => = =>
( )
== ±3
a) Para x = 3, y = 3 e z = 6, temos:
d x y z f x y z2 2 2 21 1 2= − + − + − =( ) ( ) ( ) ( , , )
 Logo:
d f
d
d d
2 2 2 2
2 2 2 2
2
3 3 6 3 1 3 1 6 2
2 2 4
8 16 24
= = − + − + −
= + +
= + => =
( , , ) ( ) ( ) ( )
b) Para x = -3, y = -3 e z= - 6, temos:
d x y z f x y z2 2 2 21 1 2= − + − + − =( ) ( ) ( ) ( , , ) , logo
143
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
d f
d
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 6 3 1 3 1 6 2
4 4 8
= − − − = − − + − − + − −
= − + − + −
( , , ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dd d2 16 16 64 96= + + => =
Avaliando os resultados dos itens a) e b), concluímos que (3,36) é o ponto mais próximo e (-3,-3,-6)
é o mais distante.
 Saiba mais
Para saber mais sobre máximos e mínimos com multiplicadores de 
Lagrange, consulte:
FIGUEIREDO, V. L. X. (Coord.). Multiplicadores de Lagrange e óptica 
geométrica. Campinas, 2000. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.
br/~calculo/ambientedeensino/modulos/lagrange/lagrange.html>. Acesso 
em: 2 set. 2013.
OLIVEIRA, O. R. B. Máximos e mínimos condicionados e multiplicadores 
de Lagrange. São Paulo, 2012. Disponível em: <http://www.ime.usp.
br/~oliveira/MAT211LAGRANGE.pdf>. Acesso em: 2 set. 2013.
 Resumo
Nesta unidade, definimos uma função de duas variáveis como sendo:
f : → D → R, tal que z = f(x,y)
(x,y) → z = (x,y)
Para calcular f(a,b), devemos substituir a no lugar de x e b no lugar de 
y, na expressão que representa f(x,y).
O domínio de uma função só existe:
a) se você não correr o risco de dividir por zero;
b) se você não correr o risco de extrair raiz de índice par de valor negativo;
c) em expressões envolvendo logb
a , você tem de, obrigatoriamente, 
trabalhar com valores que resultem em a > 0, b > 0 e b ≠ 1.
144
Unidade I
Não se esqueça de que o domínio de uma função é representado 
graficamente no R².
Para representar graficamente uma superfície, você deve saber que:
1) f(x,y) = ax + by + c ou z = ax + by + c representa um plano.
2) a) 
x
a
y
b
2
2
2
2 1− = e b) 
y
a
x
b
2
2
2
2 1− = representam hipérboles: 
3) Uma circunferência pode ser representada por:
a) circunferência de centro (0,0) e raio r => r x y2 2 2= + ; ou por
b) circunferência de centro ( , )x y0 0 e raio r => r y y x x
2
0
2
0
2= − + −( ) ( )
4) Uma esfera pode ser representada por r x y z2 2 2 2= + + se possuir 
centro (0,0,0) e raio r.
5) Um elipsoide é representado por: 
x
a
y
b
z
c
²
²
²
²
²
²
+ + = 1
6) Um paraboloide pode ser representado por:
paraboloide elíptico: z ax by= +² ²
Não se esqueça de que toda superfície é representada graficamente no R³.
Você também aprendeu que elaborar as curvas de nível de uma 
função é fazer o “fatiamento da superfície”, e algebricamente devemos 
determinar um nível genérico z = k para manipular a equação resultante, 
isolando x e y, caso existam as curvas de nível, elas delimitarão alturas 
de “fatiamento” da superfície para cada valor k, que representa uma 
altura constante. Aprendeu também que a representação de uma curva 
de nível é feita no R² e que existem funções descontínuas cujo limite 
pode ou não existir.
Vimos que, para determinar uma derivada parcial de uma função de 
duas variáveis, consideramos uma variável constante e derivamos em 
relação a outra variável.
A interpretação geométrica da derivada parcial em x é dada 
simbolicamente por: tg f x y
f
x
x yxα = =
∂
∂
( , ) ( , )0 0 0 0 .
145
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
A regra da cadeia é representada por 
∂
∂
= ∂
∂
w
x
dw
dv
v
x
Vimos também que a diferencial total de uma função de duas variáveis 
é dada por dz
f
x
dx
f
y
dy= ∂
∂
+ ∂
∂
Você aprendeu que a equação do plano tangente é dada por:
f x y f a b f a b x a f a b y bx y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )= + − + −
A primeira regra da cadeia é dada por: dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
A segunda regra da cadeia é dada por:
dz
ds
z
x
x
s
z
y
y
s
e
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * * *
A derivada de uma função implícita é dada por: dy
dx
f
x
f
x
f
f
x
y
= −
∂
∂
∂
∂
= −
Uma derivada de ordem superior nada mais é do que fazer a derivada 
da derivada.
O vetor gradiente nada mais é do que um vetor que tem como primeira 
componente a derivada da função em x, e como segunda componente a 
derivada da função em y, isto é, ∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)). 
O resultado da derivada direcional é um número dado por: 
Duf x y f x y u
 
( , ) ( , ).0 0 0 0= ∇
A maximização da derivada direcional é dada pelo módulo do vetor 
gradiente em P, ou seja: ∇f x y( , )0 0 .
Nesta unidade, também vimos que, para determinar um candidato a 
ponto crítico, precisamos derivar uma função e igualá-la a zero.
Vimos que f tem derivadas parciais de primeira e de segunda ordem 
contínuas, e se existir um ponto (x0,y0) na região, tal que fx(x0,y0) = 0 e 
fy(x0,y0) = 0, então, podemos utilizar o seguinte critério: 
∆ = ( )⋅ ( ) − ( ) f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 0 0 0
2
, , ,
146
Unidade I
Fazendo f x y Axx 0 0,( ) = , f x y Byy 0 0,( ) = e f x y Cxy 0 0,( ) = , temos 
∆ = ⋅ −A B C2
Então:
3.2.1 - f (x0,y0) é um ponto de mínimo se ∆ > 0 e A > 0.
3.2.2 - f (x0,y0) é um ponto de máximo se ∆ > 0 e A < 0.
3.2.3 - f (x0,y0) é um ponto de sela se ∆ < 0.
3.2.3 - Se ∆ = 0, o teste nada permite concluir.
Vimos também que, para determinar máximos e mínimos com restrições, 
definimos uma função lagrangiana: 
F: F x y c f x y c g x y( , , ) ( , ) * ( , )= + ; sendo c o multiplicador de Lagrange. 
Para tanto, devemos buscar a solução para o sistema:
S
F x y c
F x y c
F x y c
x
y
c
1
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
=
=
=





A solução do sistema S1 nos fornecerá os valores máximos e mínimos 
relativos da função F.
 Exercícios
Questão 1 (Enade, 2008). Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor propôs a 
seguinte questão: para que valores não nulos de k e m a função f(x) = mekx é uma função crescente? 
Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à questão proposta, é adequado e 
suficiente o professor sugerir que os alunos: 
A) Considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica para calcular valores da função f em 
muitos pontos e comparem os valores obtidos. 
B) Considerem m = 1 e k = 1, m = -1 e k = 1, esbocem os gráficos da função f e, em seguida, 
comparem esses dois gráficos. 
C) Formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve esboçar o gráfico de uma das funções 
y = mex, para m = 1, 2, 3, 4 ou 5, e comparem, em seguida, os gráficos encontrados. 
147
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
D) Esbocem os gráficos das funções y = ex e y = e-x e analisem o que acontece com esses gráficos 
quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes positivas ou negativas. 
E) Construam uma tabela com os valores de f para x número inteiro variando de -5 a 5, fixando 
m = 1 e k = 1 e, em seguida, comparem os valores encontrados. 
Resposta correta: alternativa D.
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: para analisar se a função exponencial é crescente ou decrescente, não basta utilizar 
uma planilha eletrônica para calcular valores da função f em muitos pontos e compará-los. O importante 
é variar os valores de m e k na função exponencial do tipo y = f(x) = m×akx e, ainda, usar valores de a 
nos intervalos a > 1 e 0 < a < 1.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: para analisar se a função exponencial é crescente ou decrescente, não basta considerar 
os valores de m e k como somente m = 1 e k = 1 e m = -1 e k = 1 em uma função exponencial do tipo 
y = f(x) = m . akx. O importante é verificar o comportamento da função quando m e k têm sinais 
contrários e quando m e k têm mesmo sinais.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: não adianta os alunos variarem o valor de m utilizando somente números positivos. 
Eles têm de variar os valores de m e k da função exponencial do tipo y = f(x) =m . akx utilizando valores 
positivos e negativos.
D) Alternativa correta.
Justificativa: os alunos devem esboçar os gráficos das funções y = f(x) = ex e y = f(x) = e-x e analisar 
o que acontece com esses gráficos quando a variável x e a função forem multiplicadas por constantes 
positivas ou negativas, ou seja, multiplicadas, respectivamente, por k e m, considerando-se a função 
exponencial na forma y = f(x) = m . akx.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: os alunos devem verificar o comportamento da função exponencial de forma geral 
y = f(x) = m . akx utilizando valores positivos e negativos para m e k, e não fixando m e k. Fixando m e k 
em 1, temos uma função crescente.
148
Unidade I
Questão 2 (UEA, 2007). Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força 
eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 V/min, enquanto r é de 40 ohms 
e decresce à razão de 2 ohms/min. Usando a Lei de Ohm, I
V
R
= , determinar a taxa à qual a corrente I 
(em ampères) varia.
A) 
dI
dt
 0,20Amp/min
B) 
dI
dt
 0,225Amp/min
C) 
dI
dt
 0,50Amp/min
D)
dI
dt
 0,525Amp/min
E)
dI
dt
 0,60Amp/min
Resposta correta: alternativa B.
Análise da questão
No circuito elétrico simples, temos os seguintes dados:
·	 V = 80 volts (força eletromotriz),
·	 dV 5
dt
= V/min (taxa de acréscimo da força eletromotriz), 
·	 R = 40 W (resistência), 
·	 dR 2
dt
= W/min (taxa de decréscimo da resistência), obtemos:
Para determinar a taxa à qual a corrente varia devemos usar a lei de Ohm 
V
I
R
= . Esta expressão deve 
ser derivada porque pede-se para determinar a taxa da corrente. A regra da cadeia será usada porque é 
uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções, que no caso são 
dV
dt
 e 
dR
dt
.
Determinando dI
dt
, usaremos 
V
I
R
= e a regra da cadeia:
149
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA
2
dI I dV I dR
dt V dt R dt
dI 1 dV V dR
dt R dt dtR
∂ ∂   = +      ∂ ∂
   = + −      
Substituir os valores dados no enunciado: 
dI 1 80
5 ( 2)
dt 40 1600
dI 9
dt 40
dI
0,225 Amp / min
dt
   = + − −      
=
=
Então a corrente terá uma variação de 0,225 Amperes por minuto.