Estruturas Algébricas_gabarito

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A
B
C
1 Marcar para revisão
Homomorfismo de grupos é um conceito
importante e presente, por exemplo, na álgebra
linear no estudo das transformações lineares.
Sobre esse tema, Julgue as afirmativas abaixo
e marque a alternativa correta.
I - A função f:(Z,+)→(Z,+) definida por
f(x)=8x+1 é um homomorfismo.
II - A função g:(R,∙)→(R,∙) definida por g(x)=|x|
é um homomorfismo.
III - A funçãof:(R,+)→(R×R,+) definida por f(x)=
(2x,3x) não é um homomorfismo de grupo.
Apenas as afirmativas II e III estão
corretas.
Apenas a afirmativa II está correta.
Apenas as afirmativas I e III estão
corretas.
D
E
Apenas a afirmativa III está correta.
As afirmativas I, II e III estão corretas.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Apenas a afirmativa II está correta.
I - Falsa, pois para quaisquer x,y em Z,
temos:
f(x + y)= 8(x + y)+ 1 = 8x + 8y + 1 ≠ f(x)+
f(y). Logo, f não é um homomorfismo de Z
em Z.
II - Verdadeira, pois para quaisquer x,y em
R, temos: 
f(xy) = |xy| = |x||y| = f(x).f(y). Logo, f é um
homomorfismo de grupo.
III - Falsa, pois para quaisquer x,y em R,
temos: 
f(x + y) = (2(x + y),3(x + y)) = (2x + 2y,3x
+ 3y) 
Analisando o outro lado da igualdade,
temos:
f(x) + f(y) = (2x,3x) + (2y,3y) = (2x +
2y,3x + 3y). 
Portanto, f(x + y) = f(x) + f(y).
Concluímos então que f é um
homomorfismo.
A
B
C
2 Marcar para revisão
O isomorfismo de grupos desempenha um
papel importante dentro da álgebra, pois
através dele podemos comparar duas
estruturas e verificar se elas são semelhantes.
Ou seja, se elas possuem as mesmas
propriedades algébricas. O grupo  G = {e,a,b,c}
é isomorfo ao multiplicativo G = {1,i,-1,-i}.
Marque a alternativa que indica a tábua do
grupo G . 
1
2
1
D
E
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
Seja G = {e,a,b,c} e G = {1,i,-1,-i} dois
grupos isomorfos. Então os elementos
desses grupos que possuem características
comuns. Vamos verificar a bijeção entre os
elementos desses grupos. Podemos ter a
seguinte bijeção, por exemplo:
e → 1
a → i
b → -1
c → -i
Construir a tábua de G = {1,i,-1,-i}
Agora podemos construir a tábua de G de
acordo com a bijeção apresentada e a
tábua de G .
1 2
2
1
2
Note que na bijeção levamos o elemento
neutro de G no elemento neutro de G .
Logo, ee = e. A primeira linha e a primeira
coluna permanecem com os mesmo
elementos da linha e coluna fundamental.
Os demais elementos da tábua devem ser
determinados do seguinte modo:
a·a=i·i  olhar a bijeção a→i. Substituir a por
i.
Olhar na tábua de G  o resultado da
operação de i·i. 
i·i=-1 e -1 está associado a b → -1. Logo,
na tábua de G  teremos a operação a·a=b. 
Esse é o procedimento para encontrarmos
todos os compostos da tábua de G .
1 2
2
1
1
3 Marcar para revisão
Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH
diz-se a classe lateral esquerda de H em G
contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe
lateral direita de H em G contendo a. O
elemento a diz-se um representante da classe
lateral aH (ou Ha). Sejam G=(Z ,+) e H =
{0,4,8} um subgrupo de G. A tábua do grupo
quociente (G/H,+) está logo abaixo, mas falta
uma operação. Marque a alternativa que indica
o resultado dessa operação.
12
A
B
C
D
E
H
1 + H
2 + H
3 + H
9 + H
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
De acordo com o enunciado (G/H,+) é um
grupo quociente, então todas as
propriedades de grupos são válidas. Na
tábua de operação os elementos do grupo
configuram apenas uma vez na linha e
coluna da tabela. Portanto, o único
elemento que falta é a classe lateral 2 + H.
4 Marcar para revisão
Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH
diz-se a classe lateral esquerda de H em G
contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe
lateral direita de H em G contendo a. O
elemento a diz-se um representante da classe
lateral aH (ou Ha). Considere H = { 0, 3,  5 }
A
B
C
D
E
subgrupo de (Z ,+). Determine o número de
classes laterais distintas que podemos
encontrar de H.
15
1
2
3
5
10
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Veja que o grupo (Z ,+)  é abeliano.
Usando o Teorema de Lagrange
encontramos 5 classes laterais distintas.
15
|G : H| = = = 5
|G|
|H|
15
3
5 Marcar para revisão
O isomorfismo de grupos desempenha um
papel importante dentro da álgebra, pois
através dele podemos comparar duas
A
B
C
D
E
estruturas e verificar se elas são semelhantes.
Ou seja, se elas possuem as mesmas
propriedades algébricas. Dada a tábua do
grupo multiplicativo H = {e, a, b, c, d, f}
isomorfo ao grupo aditivo Z , determine x ∈ G
na equação bxc=a .
6
-1
e
a
b
c
d
Resposta correta
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alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Inicialmente devemos isolar x através das
propriedades de grupo.
bxc=a-1
A
B
b bxc=b a
exc=b a
xcc =b a c
xe=b a c
x=b a c
Agora devemos procurar na tábua o
inverso de cada elemento.
O inverso de b  é d, pois bd = db = e
O inverso de a  é f, pois af = fa = e
O inverso de c é c, pois cc = e
Temos: x= (df)c  
Na tabela df = c ⇒ x =cc
Na tabela cc = e ⇒x = e
-1 -1 -1
-1 -1
-1 -1 -1 -1
-1 -1 -1
-1 -1 -1
-1
-1
-1
6 Marcar para revisão
Seja S = {1,2,3,⋯,n} um conjunto não vazio e
denotamos por S o conjunto de todas as
funções bijetoras, onde S = {f:S→S; f bijetiva}.
Considerando uma operação "o" chamada de
composição de funções dizemos que (S ,o) é
um grupo chamado de grupo das permutações
dos n elementos do conjunto S. Dado 
 em S , determine
α .
n
n
n
α = ( 1 2 3 4 5
3 4 5 2 1
) 5
-1
( 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
)
( 1 2 3 4 5
5 4 1 2 3
)
Questão 10 de 10
Corretas (9)
Incorretas (1)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Grupos De… Sair
C
D
E
A
B
( 1 2 3 4 5
4 2 5 3 1
)
( 1 2 3 4 5
3 5 1 2 1
)
( 1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
)
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
Cálculo de α .-1
7 Marcar para revisão
Homomorfismo de grupos é um conceito
importante e presente, por exemplo, na álgebra
linear no estudo das transformações lineares. A
função  definida por
 é um homomorfismo de
grupo. Determine o núcleo da função .
f : Z × Z → Z × Z
f(x, y) = (x − y, 0)
f
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = 2y
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = −2y
C
D
E
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = y/2
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = y
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = −y
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O núcleo de uma função, no contexto de
homomorfismo de grupos, é o conjunto de
todos os elementos que são mapeados
para o elemento neutro do grupo. No caso
do grupo , o elemento neutro é
(0,0). Portanto, o núcleo da função ,
denotado por , é o conjunto de todos
os pares ordenados (x,y) tais que
.
A função é definida por
. Portanto, para que
, é necessário que
, o que implica que .
Assim, o núcleo da função é o conjunto
de todos os pares ordenados (x,y) tais que
, ou seja,
, que
corresponde à alternativa D.
Z × Z
f
N(f)
f(x, y) = (0, 0)
f
f(x, y) = (x − y, 0)
f(x, y) = (0, 0)
x − y = 0 x = y
f
x = y
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = y
8 Marcar para revisão
A
B
C
D
E
Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH
diz-se a classe lateral esquerda de H em G
contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe
lateral direita de H em G contendo a. O
elemento a diz-se um representante da classe
lateral aH (ou Ha). Dada a tábua de operação
do grupo quociente (G/H,+), onde H = {0,4,8} éum subgrupo de G=(Z ,+), determine o inverso
de 1 + H.
12
H
1 + H
2 + H
3 + H
4 + H
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para encontrar o inverso de um elemento
em um grupo, precisamos encontrar outro
elemento que, quando operado com o
primeiro, resulte no elemento neutro do
grupo. No caso do grupo quociente G/H, o
elemento neutro é H. Portanto, estamos
procurando um elemento que, quando
somado a 1 + H, resulte em H. Observando
as opções, vemos que (1 + H) + (3 + H) =
A
B
C
H. Portanto, o inverso aditivo de 1 + H é 3
+ H, que corresponde à alternativa D.
9 Marcar para revisão
Seja S = {1, 2, 3, ..., n}  um conjunto não vazio
e denotamos por S o conjunto de todas as
funções bijetoras, onde S  = {f:S→S; f bijetiva}.
Considerando uma operação "o" chamada de
composição de funções dizemos que (S ,o) é
um grupo chamado de grupo das permutações
dos n elementos do conjunto S. Considerando a
tábua de operação de S , marque a alternativa
que indica o subgrupo de .
n
n
n
3
R 2π
3


[R ] = {Iid,R }2π
3
4π
3


[R ] = {Iid,R ,R }2π
3
2π
3
4π
3


[R ] = {Iid,R ,F2}2π
3
2π
3
D
E


[R ] = {F1,R ,R }2π
3
2π
3
4π
3


[R ] = {Iid,F1,F2,F3}2π
3
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
De acordo com a tábua o elemento neutro
é  (identidade). Vamos determinar as
potências de  e devemos parar quando
encontramos a identidade.
Iid
R 2π
3
10 Marcar para revisão
Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH
diz-se a classe lateral esquerda de H em G
contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe
lateral direita de H em G contendo a. O
elemento a diz-se um representante da classe
lateral aH (ou Ha). Seja o grupo (Z ,+) e o4
A
B
C
D
E
subgrupo H = {0,2}. Determine o grupo
quociente Z /H.4
Z /H= {H,1+H}4
Z /H= {H,2+H}4
Z /H= {3+H}4
Z /H= {1+H}4
Z /H= {1+H,3+H}4
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra
A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O grupo (Z ,+) é abeliano, o que significa
que as classes laterais esquerda e à direita
de H são iguais. Portanto, só precisamos
verificar uma delas. Além disso, H é um
subgrupo normal a G.
As classes laterais à esquerda de H são
apresentadas na imagem abaixo:
Existem duas classes laterais distintas.
Portanto, o grupo quociente Z /𝐻= {𝐻,1+𝐻}
é a resposta correta para a questão, como
indicado na alternativa A.
4
4