Álgebra - Sarah Faria Mazzini Costa

Prévia do material em texto

1
ÁLGEBRA
Profª. Dra. Sarah Faria M. Mazzini Costa 
2
ÁLGEBRA
PROFª. DRA. SARAH FARIA MONTEIRO MAZZINI COSTA
3
 Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Profa Esp. Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Profa. Esp. Imperatriz da Penha Matos
 Revisão Gramatical e Ortográfica: Profª. Esp. Izabel Cristina
 Revisão técnica: Profª. Marcela Nascimento
 
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Clarice Virgilio Gomes
 Prof. Esp. Guilherme Prado
 Lorena Oliveira Silva Portugal 
 
 Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Daniel Guadalupe Reis
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Eliza P. Campos 
 Victor Lucas dos Reis Lopes 
© 2022, Faculdade Única.
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.
4
ÁLGEBRA
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2022
5
 Sarah Mazzini é Bacharela e 
Mestre em matemática pela Univer-
sidade Federal de Viçosa e Doutora 
em matemática pela Universidade 
Federal de Minas Gerais. Pesquisa-
dora na área de Geometria algébrica 
divide seu tempo entre a pesquisa e 
à docência. Atualmente é professora 
de Matemática no Centro Federal de 
Educação Tecnológica de Minas Ge-
rais, Campus Belo Horizonte.
SARAH FARIA M. MAZZINI
Para saber mais sobre a autora desta obra e suas qua-
lificações, acesse seu Curriculo Lattes pelo link :
http://lattes.cnpq.br/6968972660737701
Ou aponte uma câmera para o QRCODE ao lado.
6
LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes 
nas quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão 
do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar 
ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para 
determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, 
mostradas a seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUE ATENTO
BUSQUE POR MAIS
VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
7
UNIDADE 1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
UNIDADE 4
SUMÁRIO
1.1 Relações: Conceitos Básicos e Relação de Equivalência .....................................................................................................................................................................................10
1.2 Operações e Suas Propriedades ...........................................................................................................................................................................................................................................17
1.3 Congruências e o Conjunto Zm .............................................................................................................................................................................................................................................21
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................26
2.1 Definição e Exemplos de Grupos e Subgrupos ..........................................................................................................................................................................................................30
2.2 Classes Laterais e Teorema de Lagrange ....................................................................................................................................................................................................................35
2.3 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes ..................................................................................................................................................................................................................36
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................39
3.1 Definição e Propriedades dos Homomorfismos .......................................................................................................................................................................................................42
3.2 O Primeiro Teorema dos Isomorfismos .........................................................................................................................................................................................................................44
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................46
RELAÇÕES E OPERAÇÕES
GRUPOS
HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
4.1 Definição e Exemplos de Anéis .............................................................................................................................................................................................................................................49
4.2 Subanéis e Ideais de um Anel ...............................................................................................................................................................................................................................................51
4.3 Tipos de Anéis ..................................................................................................................................................................................................................................................................................54
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................57
ANÉIS
5.1 Definição E Exemplos De Homomorfismos ...................................................................................................................................................................................................................60
5.2 O Teorema dos Isomorfismos ..............................................................................................................................................................................................................................................62
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................64HOMOMORFISMOS DE ANÉIS
UNIDADE 5
6.1 Definição e Propriedades ..........................................................................................................................................................................................................................................................67
6.2 Algoritmo da Divisão ..................................................................................................................................................................................................................................................................69
FIXANDO O CONTEÚDO.........................................................................................................................................................................................................................................................................73
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO.....................................................................................................................................................................................................................................75
REFERÊNCIAS ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................76
O ANEL DE POLINÔMIOS EM UMA VARIÁVEL
UNIDADE 6
8
UNIDADE 1
A unidade I traz os conceitos básicos para o estudo das estruturas algébricas: O 
conceito de relação entre conjuntos, a definição e as propriedades das operações 
e aplica esses conceitos de maneira particular no conjunto dos inteiros módulo n.
UNIDADE 2
Na unidade II está definido o conceito de Grupo, a primeira estrutura algébrica a 
ser estudada neste livro. Suas principais propriedades e resultados são discutidos 
e apresentados em detalhes para que o leitor se habitue a essa nova linguagem.
UNIDADE 3
Depois do conceito de grupo ter sido definido e exemplificado, a unidade III explora 
as relações entre dois grupos, os chamados homomorfismos, que são funções que 
preservam a estrutura dos grupos.
UNIDADE 4
Definiremos nesta unidade uma estrutura com uma operação a mais que a 
estrutura de grupo, chamada anel. Serão apresentados exemplos e as principais 
propriedades desse novo objeto.
UNIDADE 5
Assim como na unidade 3, ao definirmos anéis é interessante estudar aplicações 
entre eles. Assim, nesta seção será definido o homomorfismo de anéis e demonstrado 
o Teorema dos Isomorfismos.
UNIDADE 6
Para concluir o estudo dos anéis abordaremos nesta seção o anel de polinômios 
que possui muitas propriedades e exemplos práticos.
C
O
NF
IR
A 
NO
 LI
VR
O
9
RELAÇÕES E 
OPERAÇÕES
10
1.1 RELAÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS E RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
 Toda a álgebra é construída sobre um conceito básico da matemática: O conceito 
de conjunto. Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, chamados elementos 
do conjunto. Utilizaremos letras maiúsculas para denotá-los. Como exemplo, vejamos 
alguns conjuntos numéricos: 
 N={0,1,2,3,4,5,⋯}, chamado conjunto dos números naturais.
 Z= {⋯,-3,-2-1,0,1,2,3,⋯}, chamado conjunto dos números inteiros.
 Q={
𝑎
𝑏 | a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0}, chamado conjunto dos números racionais. 
R, chamado conjunto dos números reais, dado pela união dos números racionais e 
irracionais. 
 Vejamos agora uma definição importante para entender o conceito de relação 
que veremos a seguir:
 Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, definimos o produto cartesiano 
de A por B e denotamos A×B (lê-se A cartesiano B), o conjunto formado pelos pares 
ordenados (a,b), com a∈A e b∈B. Em linguagem matemática, temos:
 Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se e somente se a=c e b=d.
 Exemplo 1.1.1: Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={6,7}. Então A×B é dado por:
 Quando estamos trabalhando com conjuntos numéricos, como o conjunto R por 
exemplo, estamos habituados a relacionar seus elementos. 
 Exemplo 1.1.2: Dados x,y∈R números reais quaisquer, alguma das seguintes 
condições é satisfeita: 
• x=y
• x>y
• y>x
 A igualdade e a desigualdade são exemplos de relações entre números reais. 
Podemos relacionar também elementos de conjuntos que não são numéricos. Veja o 
seguinte exemplo:
𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 𝑏 𝑎 ∈ 𝐴 𝑒 𝑏 ∈ 𝐵}
𝐴 × 𝐵 = { 1,6 , 1,7 , 2,6 , 2,7 , 3,6 , (3,7)}
Para se aprofundar e relembrar propriedades de conjuntos numéricos, consulte 
o livro Matemática disponível em: https://bit.ly/3tLc5Ny. Acesso em: 22 nov. 2021. 
BUSQUE POR MAIS
11
 Exemplo 1.1.3: Considere os conjuntos X={"Alice,Bianca,Carlos,Débora,Elisa}" e 
Y={Colégio 1,Colégio 2,Colégio 3,Colégio 4}. Relacionamos os elementos de X e Y da 
seguinte maneira:
• Alice estuda no Colégio 1;
• Bianca e Carlos estudam no Colégio 2;
• Débora estuda no Colégio 3;
• Elisa estuda no Colégio 4.
 A partir dos exemplos acima temos uma ideia intuitiva do que é uma relação entre 
dois conjuntos: um conjunto de partida A, um conjunto de chegada B, e uma relação R 
entre seus elementos. Quando um elemento a∈A se relacionar com um elemento b∈B, 
denotaremos por a R b. Se o elemento a∈A não está relacionado ao elemento b∈B, 
denotaremos por a ℟ b. 
 Exemplo 1.1.4: Considere uma relação R em que o tanto o conjunto de partida 
quanto o conjunto de chegada são iguais ao conjunto R, de maneira que a R b se e 
somente se 2a+b^2=0. Então temos:
• 0 R 0, pois 2⋅0+0^2=0;
• 3 ℟ 7, pois 2⋅3+7^2≠0 
• (-8)R 4, pois 2⋅(-8)+4^2=0;
• 4 ℟ (-8), pois 2⋅4+(-8)^2≠0.
 Vamos agora à definição formal de relação:
 Definição: Chamamos de relação do conjunto A no conjunto B, ou simplesmente 
relação de A em B, todo subconjunto de A×B. 
 Exemplo 1.1.5: Considere os conjuntos A={1,2,3} e B={6,7} dados no Exemplo 1.1.1. 
Vimos que A×B={(1,6),(1,7),(2,6),(2,7),(3,6),(3,7)}. Então: 
 R1={(1,6),(2,6),(3,7)} é uma relação de A em B pois R_1é um subconjunto de A×B. 
Nesse caso, temos 1 R1 6,2 R1 6 mas 2 ℟1 7, já que o par ordenado (2,7) não pertence a R1.
 R2={(2,6),(2,7),(2,8),(3,6)} não é uma relação de A em B, pois não é um subconjunto 
de A×B, já que o par ordenado (2,8) pertence a R2 mas não pertence a A×B.
 Observação: Os conjuntos de partida e chegada de uma relação R podem ser 
iguais, ou seja, podemos ter uma relação de A em A. Quando isso acontecer diremos 
apenas que R é uma relação em A.
 Definição: Seja R uma relação de A em B. Chamamos de domínio de R o subconjunto 
do conjunto de partida A formado pelos elementos x∈A para os quais existe y∈B tal que 
xRy. Denotamos esse conjunto por D(R). Em linguagem matemática, temos:
 Chamamos de imagem de R o subconjunto do conjunto de chegada B formado 
pelos elementos y∈B para os quais existe x∈A tal que xRy. Denotamos esse conjunto por 
Im(R). Em linguagem matemática,
 Exemplo 1.1.6: no exemplo 1.1.3 o domínio da relação definida é o conjunto 
D(R)={"Alice,Bianca,Carlos,Débora}" . Observe que, embora o nome “Elisa” pertença 
ao conjunto X, ele não pertence ao domínio da relação, já que não se relaciona com 
nenhum elemento do conjunto Y. O conjunto imagem é dado por Im(R)={Colégio 
𝐷 𝑅 = 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑐𝑜𝑚 𝑥𝑅𝑦}.
𝐼𝑚 𝑅 = 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑐𝑜𝑚 𝑥𝑅𝑦}.
12
1,Colégio 2,Colégio 3,Colégio 4} e coincide com o próprio conjunto Y.
 Exemplo 1.1.7: Seja a relação em R dada por R={(x,y)∈R×R ┤| y=x^2}. Nesse caso, o 
domínio de R é dado por todo o conjunto R, já que dado qualquer número real x, sempre 
podemos calcular seu quadrado. Então D(R)=R. Já o conjunto imagem de R é formado 
pelos elementos y∈R tais que y=x^2, ou seja, y é sempre um número real positivo, pois é 
o quadrado de um número real. Dessa forma, Im(R)=R+.
 Vejamos agora algumas propriedades de uma relação R sobre um conjunto A:
 Reflexividade: diremos que a relação R é reflexiva quando para todo x∈A, tivermos 
xRx, ou seja, todo elemento de A se relaciona consigo mesmo. 
 Exemplo 1.1.8: considere o conjunto A={1,2,3,4,5} eR1 uma relação sobre A dada por 
R1={(1,1),(1,4),(2,2),(3,3),(3,5),(4,4),(5,5)}. Então R_1 é uma relação reflexiva já que 1R1 1,2R1 
2,3R1 3,4R1 4 e 5R1 5. Já a relação R2 sobre A dada por R2={(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(4,2),(5,5)} 
não é uma relação reflexiva por 1℟1.
 Exemplo 1.1.9: seja X o conjunto formado por todas as retas no espaço R2. Seja a 
relação R3={(r,s)∈X×X ┤| r // s}, ou seja, duas retas r e s se relacionam se e somente 
se são retas paralelas. Então R3 é uma relação reflexiva, pois toda reta é paralela a si 
mesma, ou seja, para todo x∈X, temos xR3 x. Se consideramos a relação em X dada 
por R4={(r,s)∈X×X ┤| r⊥s}, ou seja, duas retas se relacionam se e somente se são retas 
perpendiculares, temos que R4 não é uma relação reflexiva já que nenhuma reta é 
perpendicular a si mesma, ou seja, para todo x∈X, temos x℟4 x.
 Simetria: diremos que a relação R é simétrica se dados x,y∈A tais que xRy, tem-se 
yRx. 
 Exemplo 1.1.10: Considere novamente o conjunto X formado por todas as retas no 
espaço dado no exemplo 1.1.9. A relação R_3={(r,s)∈X×X ┤| r // s} é uma relação simétrica, 
pois se uma reta r∈X é paralela a uma reta s∈X, então s é paralela a r, ou seja, se rR3 s 
então sR3 r. A relação R4={(r,s)∈X×X ┤| r⊥s} também é uma relação simétrica, pois se 
uma reta r∈X é perpendicular a uma reta s∈X então s é perpendicular a r, ou seja, se rR4 
s então sR4 r.
 Exemplo 1.1.11: considere o conjunto B={a,b,c} e a relação R em B dada por 
R={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,c)}. Então R não é uma relação simétrica 
pois bRc mas c℟b. Observe que embora aRb e bRa, aRc e cRa, o fato de bRc e c℟b faz 
com que a relação R não seja simétrica.
Quando adicionamos o sinal “+” subscritado na notação de um conjunto numérico, esta-
mos considerando apenas os números não negativos do conjunto. 
Por exemplo, Z+={0,1,2,3,4,⋯}. Se utilizamos a notação “-“, estamos considerando os números 
não negativos do conjunto. Temos então Z-={⋯,-4,-3-2,-1,0}. Se quisermos desconsiderar o 
número 0 de um conjunto, utilizamos o símbolo “*”. Então Z+
*={1,2,3,4,⋯} e Z-
*={⋯,-4,-3-2,-1}.
VAMOS PENSAR?
Para que uma relação R em um conjunto A seja simétrica é preciso que a propriedade 
FIQUE ATENTO
13
 Transitividade: a relação R é dita transitiva se dados x,y,z∈A tais que xRy e yRz 
então xRz. 
 Exemplo 1.1.12: Vejamos novamente o conjunto X do Exemplo 1.1.9. A relação R3 é 
uma relação transitiva, pois dadas três retas r,s,t∈X, se r é paralela a s e s é paralela a 
t, então r é paralela a t, ou seja, se rR3 s e sR3 t, então rR3 t. Já a relação R4 não é uma 
relação transitiva, pois se r é perpendicular a s e s é perpendicular a t, então r é paralela 
a t e não perpendicular a t. 
 Exemplo 1.1.13: Considere o conjunto Z dos números inteiros e a relação R em Z 
dada por: 
 Então R é uma relação transitiva, pois dados x,y,z∈Z, se x≤y e y≤z então x≤z ou seja, 
se xRy e yRz então xRz. Note também que R é reflexiva, pois para todo x∈Z temos x≤x, mas 
R não é simétrica, pois dados x,y∈Z, se x≤y não necessariamente temos y≤x, de fato, isso 
só acontece se x=y. Assim podemos ter xRy mas y℟x.
 Antissimetria: A relação R é dita antissimétrica se dados x,y∈A tais que xRy e yRx 
então x=y. 
 Exemplo 1.1.14: A relação R em Z dada no Exemplo 1.1.13 é uma relação antissimétrica, 
pois dados x,y∈Z, se x≤y e y≤x, então x=y, ou seja, se xRy e yRx, então x=y. 
 Exemplo 1.1.15: seja o conjunto B={1,2,3,4} e seja R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,4),(3,3),(3,4
),(4,2),(4,4)} uma relação em B. Então R não é uma relação antissimétrica pois 1R2 e 2R1 
mas 1≠2. O mesmo acontece com os elementos 2 e 4 pois 2R4 e 4R2 mas 2≠4.
 Conhecendo agora as propriedades da relação em um conjunto qualquer, vamos 
definir um tipo de relação que será muito útil nos assuntos que virão a seguir: a chamada 
relação de equivalência.
 Definição: Uma relação R sobre um conjunto X é chamada relação de equivalência 
se R for reflexiva, simétrica e transitiva. Em outras palavras, R é uma relação de 
equivalência se, e somente se, para todo x,y,z∈X:
• xRx;
• Se xRy então yRx;
• Se xRy e yRz, então xRz.
 Exemplo 1.1.16: os exemplos 1.1.9, 1.1.10 e 1.1.12 demonstram que a relação R_3={(r,s)∈X×X 
┤| r // s} definida no conjunto X das retas em R^2 é uma relação de equivalência, pois 
R_3 é reflexiva, simétrica e transitiva.
 Exemplo 1.1.17: seja A={a,b,c,d} e R a relação em A dada por 
R={(a,a),(a,b),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,c),(d,a),(d,b),(d,d)} é uma relação de equivalência. 
De fato:
• R é reflexiva, pois aRa,bRb,cRc e dRd.
• R é simétrica, pois aRb e bRa, aRd e dRa, bRd e dRb.
seja válida para todos os elementos de A. O mesmo vale para as demais propriedades de 
uma relação.
𝑥𝑅𝑦 se e somente se 𝑥 ≤ 𝑦.
14
• R é transitiva, pois 
 Exemplo 1.1.18: Dois triângulos são semelhantes se possuem os três ângulos 
correspondentes congruentes.
 Na figura acima, o ângulo  é congruente ao ângulo Â' , 𝐵� é congruente a 𝐵� 'e �̂� é 
congruente a 𝐶′� . Portanto os triângulos ABC e A'B'C'são congruentes. Seja X o conjunto 
de todos os triângulos no plano R2 e defina a relação R dada por 
 Então R é uma relação de equivalência em X. De fato:
 R é reflexiva, pois todo triângulo é semelhante a si mesmo, ou seja, dado a∈X,aRa.
 R é simétrica, pois se um triângulo a é semelhante a um triângulo b, então b é 
semelhante a a, ou seja, dados a,b∈X, se aRb então bRa.
 R é transitiva, pois dados três triângulos a,b,c∈X, se a é semelhante a b e b é 
semelhante a c, então a é semelhante a c, ou seja, se aRb e bRc, então aRc.
 Exemplo 1.1.19: seja R uma relação no conjunto N×N dada por:
 Vamos verificar se R é uma relação de equivalência.
 Dado (a,b)∈N×N, temos (a,b)R(a,b), pois a+b=a+b. Portanto R é reflexiva.
 Sejam (a,b),(c,d)∈N×N tais que (a,b)R(c,d). Então
 ou seja, (c,d)R(a,b). Portanto R é simétrica.
 Sejam (a,b),(c,d),(e,f)∈N×N tais que (a,b)R(c,d) e (c,d)R(e,f). Então 
 ou seja, (a,b)R(e,f). Portanto R é transitiva.
Como R é reflexiva, simétrica e transitiva, R é uma relação de equivalência.
Figura 1: Triângulos semelhantes
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
𝑅 = 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 × 𝑋 𝑎 é semelhante a 𝑏}
𝑎, 𝑏 𝑅 𝑐,𝑑 se e somente se 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑.
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 ⇒ 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 e 𝑐 + 𝑑 = 𝑒 + 𝑓 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 𝑒 + 𝑓
15
 As relações de equivalência são importantes, pois dividem um conjunto em classes. 
Essas classes receberão um nome especial, serão chamadas classes de equivalência.
 Definição: Seja X um conjunto e R uma relação de equivalência sobre X. Dado x∈X, 
chamaremos de classe de equivalência de x o conjunto formado por todos os elementos 
a∈X tais que xRa. Denotaremos esse conjunto por x ̅. Temos então: 
 Exemplo 1.1.20: na relação R sobre o conjunto A={a,b,c,d} dada no Exemplo 1.1.17, 
 R={(a,a),(a,b),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,c),(d,a),(d,b),(d,d)} 
Temos,
• a̅={a,b,d}, já que aRa,aRb e aRd;
• b̅={a,b,d}, já que bRa,bRb e bRd;
• c̅={c}, pois o único elemento de A que se relaciona com c é o próprio c.
• d̅={a,b,d}, pois dRa,dRb e dRd.
 Note que nesse exemplo temos duas classes de equivalência distintas: A classe 
{a,b,d} e a classe {c}. Observe também que a classe {a,b,d} é representada por a̅,b ̅ "ou" 
d̅. Dizemos então que esses elementos são representantes da classe {a,b,d}. Já a classe 
{c} é representada apenas por c̅, pois contém apenas o elemento c.
 Definição: O conjunto das classes de equivalência obtido por uma relação R em 
um conjunto X é chamado conjunto quociente de X por R e denotado por X⁄R. Também 
podemos chamar o conjunto X⁄R de conjunto das classes de equivalência de X módulo 
R.
 Exemplo 1.1.21: No Exemplo 1.1.20 determinamos todas as classes de equivalência 
do conjunto A módulo R. Utilizando a notação da definição acima, temos que o conjunto 
quociente de A por R é dado por:
�̅� = 𝑎 ∈ 𝑋 𝑥𝑅𝑎}.
Como R é uma relação de equivalência em X, R é uma relação simétrica por definição, ou 
seja, os elementos a∈X que estão na classe de equivalência de x são tais queaRx e xRa.
FIQUE ATENTO
Para mais exemplos de relações de equivalência, consulte o livro Álgebra mo-
derna disponível em: https://bit.ly/3I0gxwP. Acesso em: 22 nov. 2021. 
BUSQUE POR MAIS
𝐴
𝑅� = 𝑎 , 𝑏, 𝑐 , 𝑐 .
16
 Exemplo 1.1.22: Considere o conjunto X={x∈ Z |-5≤x≤5} e a relação R no conjunto X 
dada por: 
 Vamos mostrar primeiramente que R é uma relação de equivalência:
• R é reflexiva: Para todo x∈X, é claro que x2=x2, ou seja, xRx. 
• R é simétrica: Dados x,y∈X, se xRy, ou seja, se x2=y2, então y2=x2, ou seja, yRx.
• R é transitiva: Sejam x,y,z∈X tais que xRy e yRz, ou seja, x2=y2 e y2=z2. Então temos x2=z2, 
ou seja, xRz. 
 Portanto R é uma relação de equivalência sobre X. Vamos agora descrever o 
conjunto X⁄R. Para isso precisamos encontrar as classes de equivalência de X módulo 
R. Note que para que tenhamos x2=y2 é preciso que |x|=|y|. Portanto as classes de 
equivalência de X módulo R são dadas por {1,-1},{2,-2},{3,-3},{4,-4},{5,-5} e {0}. Observe 
que a classe de equivalência do número 0 só existe o próprio 0, já que não existe outro 
número em X que seja igual a 02. Portanto: 
 Vamos agora demonstrar de maneira formal uma propriedade das classes 
laterais definidas por uma relação R sobre um conjunto X. O que mostraremos abaixo é 
uma equivalência. Isso significa que se uma das propriedades que listaremos abaixo for 
satisfeita, as demais também serão válidas.
 Proposição 1.1.1: seja R uma relação de equivalência em um conjunto não vazio X. 
Dados a,b∈X, são equivalentes:
 aRb;
 a∈b̅;
 b∈a̅;
 a̅=b̅;
Demonstração: 1) ⇒2) Essa implicação segue da definição de classe de equivalência.
2) ⇒3) Suponha a∈b̅, ou seja, aRb. Como R é simétrica temos bRa, logo b∈a ̅. 
3) ⇒4) Para mostrar que a̅=b̅ devemos mostrar que a̅⊂b̅ e que b̅⊂a̅.
 a̅⊂b̅: Para demonstrar esse fato devemos provar que todo elemento em a ̅ pertence 
também a b̅. Seja x∈a̅, ou seja, xRa. Por hipótese temos b∈a̅, ou seja, bRa e pela simetria 
de R temos aRb. Então como xRa e aRb, pela transitividade de R concluímos que xRb, o 
que mostra que x∈b̅.
A demonstração de que b ̅⊂a̅ é feita de maneira completamente análoga apenas 
trocando a por b.
4) ⇒1) Suponha que a̅=b̅. Como a∈a ̅ e b∈b̅ temos que a ̅ e b̅ são conjuntos não-vazios, 
ou seja, existe um elemento x que pertence tanto a a̅ quanto a b̅, já que esses conjuntos 
são iguais. Portanto xRa e xRb. Como R é simétrica temos também aRx. Assim, como aRx 
 Podemos escrever o conjunto quociente utilizando representantes de cada classe, 
ou seja, 
𝑥𝑅𝑦 se e somente se 𝑥2 = 𝑦2
𝑋
𝑅⁄ = { 0 , 1,−1 , 2,−2 , 3,−3 , 4,−4 , {5,−5}}.
𝑋
𝑅⁄ = {0,� 1� , 2� , 3� , 4� , 5�}.
17
e xRb, pela transitividade de R segue que aRb. 
 As classes de equivalência de uma relação R sobre um conjunto X dividem o 
conjunto em subconjuntos disjuntos que unidos resultam no conjunto X. Esse tipo de 
divisão no conjunto X é chamada partição.
 Definição: seja X um conjunto não vazio. Uma coleção δ de subconjuntos de X é 
dita uma partição de X se:
 dois elementos de δ ou são disjuntos ou são iguais;
 a união dos elementos de δ é igual ao conjunto X. 
 Exemplo 1.1.23: considere o conjunto A={1,2,3,4,5,6}. Então δ={{1},{2,4,5}{3,6}} é uma 
partição de A. De fato, os subconjuntos {1},{2,4,5} e {3,6} são disjuntos e 
 Os objetos de estudo da álgebra são as chamadas estruturas algébricas. 
Esses objetos são conjuntos munidos de operações e dependendo das propriedades 
satisfeitas por essas operações recebem nomes distintos, como grupos, anéis e corpos. 
O objetivo desse curso é estudar duas estruturas algébricas: os grupos e os anéis. Para 
isso vamos primeiramente definir o que é uma operação sobre um conjunto e analisar 
as propriedades que ela pode satisfazer.
 Definição: seja X um conjunto não vazio. Uma operação * em X é uma aplicação 
que associa a cada par ordenado (x,y)∈X×X o elemento x*y que também pertence a X. 
O elemento x*y é chamado composto de x e y pela operação *. Os elementos x e y são 
chamados de termo da esquerda e termo da direita, respectivamente.
 Observação: podemos utilizar diferentes símbolos para denotar uma operação. 
Alguns deles já são muito utilizados e conhecidos, como os símbolos “"+\" ,\""-",\""⋅", mas 
também podemos utilizar símbolos para denotar operações genéricas, como ∆,×,⨁ e 
⨂. 
 Exemplo 1.2.1: a adição no conjunto R dos números reais é uma operação nesse 
conjunto que denotamos por "+\"". Dados (x,y)∈R×R, o composto x+y é chamado soma 
e os elementos x e y são chamados parcelas. Essa operação também está definida nos 
conjuntos N,Z, e Q.
 Exemplo 1.2.2: a multiplicação no conjunto R dos números reais também é uma 
operação nesse conjunto que denotamos por "⋅". Dado (x,y)∈R×R, o composto x⋅y é 
chamado produto e os elementos x e y são chamados fatores. Essa operação também 
está definida nos conjuntos N,Z, e Q.
 Exemplo 1.2.3: a subtração não é uma operação no conjunto N. De fato, dados 
(x,y)∈N×N, nem sempre temos x-y∈N. Por exemplo, (3,7)∈N×N, mas
 3-7=-4 ∉ N. Por outro lado, a subtração é uma operação no conjunto Z dos números 
inteiros, já que dado (x,y)∈Z×Z sempre temos x-y∈Z. Essa operação também está definida 
nos conjuntos Q e R.
 Exemplo 1.2.4: a divisão é uma operação em R^*. De fato, dado (x,y)∈R*×R* temos x/
y∈R*. Observe que tomamos R^*=R∖{0} já que não podemos fazer x/0. A divisão não é 
� 𝑎�
�
𝑎∈𝑋
= 𝑋
1.2 OPERAÇÕES E SUAS PROPRIEDADES
18
uma operação em Z* já que dado (x,y)∈Z*×Z* temos x/y∉Z*.
 Exemplo 1.2.5: considere o conjunto Mn (R) formado pelas matrizes quadradas de 
ordem n com entradas no conjunto R. Então a adição e a multiplicação de matrizes 
são operações em Mn (R), pois tanto a soma quanto a multiplicação de duas matrizes 
quadradas de ordem n são matrizes quadradas de ordem n.
 Vamos exibir agora as propriedades que podem ser satisfeitas por uma operação 
* em um conjunto X.
 Propriedade associativa: a operação * é dita associativa se dados a,b,c∈X, 
tivermos, 
 Exemplo 1.2.6: 
1. As operações de adição e multiplicação nos conjuntos numéricos são associativas.
2. Dados A,B,C três subconjuntos de um conjunto X, as operações de união e interseção 
são associativas. De fato,
 A operação de subtração em Z não é associativa. De fato, dados os números 
4,7,11∈Z, temos 
 ou seja, existem números inteiros para os quais x*(y*z)≠(x*y)*z.
 A operação de potenciação em N não é associativa. De fato, dados os números 
naturais 2,3,4, temos 
 Propriedade comutativa: a operação * é dita comutativa se dados a,b∈X, tivermos,
 Sejam f,g,h três funções de R em R. A operação de composição é associativa
Lembre-se de que para operar elementos devemos seguir algumas regras: A primeira 
operação a ser realizada é a que está entre parênteses, seguida da operação entre col-
chetes e por último a operação entre chaves, caso esses símbolos existam.
FIQUE ATENTO
𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧.
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 e 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 .
𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ.
11 − 4− 7 = 11 − −3 = 11 + 3 = 14 e 11 − 4 − 7 = 7− 7 = 0,
2 ∗ 3 ∗ 4 = 2(34) = 281 e 2 ∗ 3 ∗ 4 = 23 4 = 212.
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎.
19
 Exemplo 1.2.7 
1. Quando aprendemos a multiplicar dois números é comum ouvirmos a frase “a ordem 
dos fatores não altera o produto” e entendemos que não importa se operamos 2⋅3 
ou 3⋅2, iremos obter o mesmo resultado que é 6. Isso significa que a multiplicação 
definida nos conjuntos numéricos é uma operação comutativa. O mesmo acontece 
com a adição.
2. A adição de matrizes em Mn (R) é uma operação comutativa, pois dadas duas 
matrizes A,B∈Mn (R), temos A+B=B+A.
3. A multiplicação de matrizes em Mn (R) não é uma operação comutativa. De fato,
 considere as matrizes 𝐴 = 2 −1
3 4 e 𝐵 = 5 4
−2 3 , , temos:
 ou seja, existem matrizes A e B em Mn (R) tais que A⋅B≠B⋅A .
4. A subtração no conjunto Z dos números inteiros não é comutativa. De fato, 10-5≠5-10.
 Existência do elemento neutro: Dizemos que a operação * no conjunto X possui 
elementoneutro se existe um elemento e∈X tal que para todo x∈X, se tenha x*e=e*x=x.
 Exemplo 1.2.8
1. O elemento neutro da operação de adição nos conjuntos N,Z,Q e R é o número 0. De 
fato para todo número x temos x+0=0+x=x.
2. O elemento neutro da multiplicação nos conjuntos N,Z,Q e R é o número 1. De fato, 
para todo número x temos x⋅1=1⋅x=x.
3. O elemento neutro da composição de funções de R em R é a função identidade 
Id(x)=x. De fato, para qualquer função f: R→R temos 
4. O elemento neutro da adição de matrizes em Mn (R) é a matriz nula de ordem n.
5. O elemento neutro da multiplicação de matrizes em Mn (R) é a matriz identidade de 
ordem n.
6. A subtração no conjunto Z admite o 0 como elemento neutro à direita, pois para todo 
x∈Z temos x-0=x. Entretanto 0 não é elemento neutro à esquerda, pois 0-x=-x≠x.
𝐼𝑑 ∘ 𝑓 = 𝑓 ∘ 𝐼𝑑 = 𝑓
Dado um conjunto X e uma operação * em X, para que um elemento e∈X seja elemento 
neutro de * é necessário que x*e=e*x=x, para todo x∈X. Observe que se a operação * for 
comutativa, a igualdade x*e=e*x já é satisfeita. Portanto se já temos a certeza de que a 
operação é comutativa, para provar que e é elemento neutro de *, basta mostrar que x*e=x 
ou e*x=x.
VAMOS PENSAR?
20
 Proposição 1.2.1: seja * uma operação sobre um conjunto não vazio X. Se * possui 
um elemento neutro ele é único.
 Demonstração: suponha que existam dois elementos neutros e,e'∈X. Precisamos 
mostrar que eles são iguais. Como e é elemento neutro, temos e*x=x, para todo x∈X. 
Então essa igualdade vale, em particular, para e^'. Logo e*e'=e'. Por outro lado, e' também 
é elemento neutro, ou seja, x*e'=x, para todo x∈X e em particular para e. Então e*e'=e. 
Então o que temos é:
 Elementos simetrizáveis em uma operação: Seja X um conjunto não vazio e * uma 
operação em X que possui elemento neutro e. Um elemento x∈X é dito simetrizável se 
existir y∈X tal que 
 O elemento y é chamado simétrico de x para a operação *.
 Exemplo 1.2.9
1. Todo número x nos conjuntos Z,Q e R possui um simétrico para a operação de adição, 
pois sempre existe um número -x tal que x+(-x)=0 (Lembre-se de que o 0 é o elemento 
neutro da adição). O número -x também é chamado oposto de x.
2. Todo número não nulo y nos conjuntos Q e R possui um simétrico para a operação 
de multiplicação, pois sempre existe um número 1/x tal que x⋅1/x=1 (Lembre-se de 
que o 1 é o elemento neutro da multiplicação). O número 1/x também é chamado 
inverso de x.
3. O 0 não é um elemento simetrizável para a operação de multiplicação em Q e R, pois 
não existe um número x tal que x⋅0=0⋅x=1. 
 Diferente do que acontece com o elemento neutro, o simétrico de um elemento 
x∈X em uma operação * nem sempre é único. Para ilustrar esse fato, considere o conjunto 
A={a,b,c,d} e a operação * definida em A dada pela tabela a seguir:
 Para construir essa tabela colocamos os elementos do conjunto A de maneira 
ordenada na primeira linha e na primeira coluna, que na tabela estão em negrito. Os 
demais elementos da tabela são o resultado das operações x*y. Cada um desses 
elementos ficará no lugar da tabela que é a interseção da linha que começa com o 
elemento x com a coluna que começa com o elemento y. Por exemplo, na tabela abaixo 
temos em destaque a operação c*b=d, ou seja, d, que é o resultado da operação c*b 
está na posição da tabela dada pela interseção da linha que começa com o elemento 
c com a coluna que começa com o elemento b. 
𝑒 ∗ 𝑒′ = 𝑒 e 𝑒 ∗ 𝑒′ = 𝑒′ ⇒ 𝑒 = 𝑒′.
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝑒.
* a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d b a
d d a a b
Tabela 1: Tabela da operação 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022)
21
 Observando a tabela é possível concluir que a é o elemento neutro da operação 
*, já que a*a=a, a*b=b*a=b, a*c=c*a=c e a*d=d*a=d. Nessa operação temos um 
exemplo de que o simétrico de um elemento x nem sempre é único. De fato, temos 
b*d=d*b=a, ou seja, d é simétrico de b. Por outro lado, temos c*d=d*c=a, ou seja, c 
também é simétrico de d, logo o simétrico de d em relação à operação * não é único. 
Entretanto, se a operação for associativa, o simétrico é único. Vejamos um exemplo em 
que a operação é comutativa: 
 Como a operação é comutativa temos a*b=b*a, a*c=c*a e b*c=c*a. Portanto, 
em relação à tabela da operação, a operação é simétrica se a tábua é simétrica em 
relação à diagonal principal (esta propriedade está representada acima utilizando 
cores iguais). Observe ainda que a operação acima não possui elemento neutro.
 Proposição 1.2.2: seja X um conjunto não vazio e * uma operação associativa em 
X. Se um elemento x∈X é simetrizável, seu simétrico é único.
 Demonstração: seja e o elemento neutro de * e sejam x,y,y'∈X tais que
 x*y=y*x=e e x*y^'=y^'*x=e, ou seja, y e y' são simétricos de x. Precisamos mostrar que 
y=y'. De fato, 
 O conceito de congruência foi introduzido pelo matemático Carl Friedrich Gauss, 
em 1801, através de seu trabalho Disquisitiones Arithmeticae. Esse conceito se tornou 
uma das principais ferramentas para se estudar relações entre números e as notações 
que utilizaremos aqui foram as mesmas utilizadas por Gauss em seu trabalho. 
 Para entender a ideia de congruência entre dois números inteiros, vamos analisar 
o seguinte problema: 
 Se dia 01/01/2021 foi uma sexta-feira, em que dia da semana cairá o último dia de 
2021?
 Note que a propriedade associativa foi utilizada na igualdade em vermelho.
Tabela 2: Tabela de uma operação não associativa
Fonte: Elaborado pelo autor (2022)
Tabela 3: Tabela de uma operação comutativa
Fonte: Elaborado pelo autor (2022)
* a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d b a
d d a a b
* a b c
a b a c
b a c b
c c b a
𝑦 = 𝑒 ∗ 𝑦 = 𝑦′ ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦′ ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦′ ∗ 𝑒 = 𝑦′ ⇒ 𝑦 = 𝑦′ .
1.3 CONGRUÊNCIAS E O CONJUNTO ZM
22
 O ano de 2021 não é um ano bissexto, logo possui 365 dias. Podemos resolver esse 
problema pensando da seguinte forma: Como a semana possui 7 dias, se dia 01/01/2021 
foi uma sexta-feira, a próxima sexta-feira será no 8º dia do ano, a seguinte no 15º dia, e 
assim sucessivamente. Note que se mantivermos o raciocínio dessa forma gastaríamos 
muito tempo até chegar ao 365º dia do ano. Mas se fizermos 365 dividido por 7 teremos 
o número exato de semanas completas do ano de 2021. Temos
 ou seja, temos 52 semanas completas e sobra um dia. Dessa forma, temos 52 
semanas contadas de sexta a quinta-feira e esse único dia que sobra iniciará uma 
nova semana, ou seja, o 365º dia do ano é uma sexta-feira. 
 Esse problema pode ser resolvido de forma mais direta utilizando a aritmética dos 
restos. Antes de definir a congruência de dois números vamos relembrar o enunciado 
do Algoritmo da Divisão de Euclides:
 Definição: Seja m um número inteiro maior do que 1. Dois números inteiros a e b são 
congruentes módulo m se a e b possuem o mesmo resto na divisão por m. Denotaremos 
esse fato da seguinte forma:
 Se a e b não forem congruentes módulo m denotaremos a≢b mod m.
 Exemplo 1.3.1: 5 e 19 são congruentes módulo 7 pois os restos das divisões de 5 e 19 
por 7 são iguais a 5. Denotamos então 19≡5 mod 7.
 Exemplo 1.3.2: 32 e 26 são congruentes módulo 3 pois os restos das divisões de 32 
e 26 por três são iguais a 2. Denotamos então 32≡26 mod 3.
 Exemplo 1.3.3: 35 e 12 não são congruentes módulo 6 pois o resto da divisão de 35 
por 6 é 5 enquanto o resto da divisão de 12 por 6 é zero. Nesse caso temos 
35≢12 mod 6. Temos ainda que 35≡5 mod 6 e 12≡0 mod 6.
 Vamos ver algumas propriedades da congruência de números inteiros.
 Proposição 1.3.1: Dados a,b,m∈Z com m>1, temos a≡b mod m se e somente se m 
divide b-a.
 Demonstração: Pelo Algoritmo da Divisão de Euclides existem inteiros q1,q2,r1,r2 tais 
que 
 com 0≤r1<m e 0≤r2<m. Podemos supor, sem perda de generalidade, que
 r1≤r2. Então podemos escrever 
365 7
1 52
Dados inteiros a e b, com a>0, existe um único par de inteiros q e r tal que
b=aq+r, com 0≤r<a. 
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚.
𝑎 = 𝑚𝑞1 + 𝑟1 e 𝑏 = 𝑚𝑞2 + 𝑟2,
𝑏 − 𝑎 = 𝑚 𝑞2 − 𝑞1 + 𝑟2 − 𝑟1 ⇒ 𝑏 − 𝑎 − 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑚(𝑞2− 𝑞1)
23
 Portanto m divide b-a se e somente se m divide r2-r1. Como 0≤r2-r1<m, segue que 
m divide b-a se e somente se r2-r1=0, isto é, se e somente se r1=r2, o que significa que a≡b 
mod m.
 Proposição 1.3.2: sejam a1,a2,b1,b2,m∈Z com m>1. Se a1≡b1 mod m e a2≡b2 mod m, 
então (a1+a2)≡(b1+b2) mod m e (a1-a2)≡(b1-b2) mod m.
 Demonstração: como a1≡b1 mod m e a2≡b2 mod m, pela Proposição 1.3.1, temos 
que m divide(a1-b1) e (a2-b2 ). Portanto m divide (a1-b1)+(a2-b2)=((a1+a2 )-(b1+b2)) e m 
divide (a1-b1)-(a2-b2)=((a1-a2 )-(b1-b2)). Assim temos: 
 Proposição 1.3.3: sejam a1,a2,b1,b2,m∈Z com m>1. Se a1≡b1 mod m e a2≡b2 mod m, 
então a1⋅a2≡b1⋅b2 mod m.
 Demonstração: como a1≡b1 mod m e a2≡b2 mod m, pela Proposição 1.3.1, temos 
que m divide (a1-b1) e (a2-b2). Como: 
 Proposição 1.3.4: dado m∈Z,m>1, temos que a relação R de congruência módulo m 
sobre Z é uma relação de equivalência.
Demonstração: precisamos mostrar que a relação de congruência módulo m é reflexiva, 
simétrica e transitiva.
 Dado a∈Z, temos a≡a mod m, ou seja, aRa. Logo R é reflexiva.
 Dados a,b∈Z, se aRb, ou seja, a≡b mod m então b≡a mod m, e daí bRa. Logo R é 
simétrica.
 Dados a,c,b∈Z, se aRb e bRc, ou seja, a≡b mod m e b≡c mod m, temos que a,b 
e c deixam o mesmo resto na divisão por m, logo a≡c mod m, isto é, aRc. Portanto R é 
transitiva.
 Sendo a relação R de congruência módulo m uma relação de equivalência no 
conjunto Z, podemos considerar o quociente Z⁄R. Vamos descrevê-lo.
 Dado a∈Z, fazendo a divisão euclidiana de a por m, temos a=mq+r, com 0≤r<m. 
Portanto temos a-r=mq, e segue da Proposição 1.3.1 que 
 pois, se dois números possuem o mesmo resto módulo m eles estarão na mesma 
classe de equivalência. Note que na divisão de um número qualquer por m os possíveis 
restos dessa divisão são 0, 1, 2,⋯ ,𝑚− 1 . Portanto 𝑟 ∈ 0, 1, 2,⋯ ,𝑚 − 1 e como a ̅=r̅, 
temos 𝑎� ∈ 0� , 1, 2� ,⋯ ,𝑚 − 1 . . Basta mostrar que as classes 0� , 1, 2� ,⋯ ,𝑚 − 1 são todas 
distintas. Suponha que existam duas classes x ̅ e y̅ em 0� , 1, 2� ,⋯ ,𝑚 − 1 ,, representadas por 
inteiros x,y, com 0≤x,y<m, tais que x̅=y̅. Disso segue que x≡y mod m e daí, novamente 
pela Proposição 1.3.1, temos m|(x-y). Mas como 0 ≤ 𝑥, 𝑦 < 𝑚 , temos x-y<m, e portanto 
não é possível que m|(x-y), logo as classes x̅ e y̅ não existem. 
 Concluímos então que o conjunto 0� , 1, 2� ,⋯ ,𝑚 − 1 possui exatamente m 
 temos que m divide 𝑎1 ⋅ 𝑎2 − 𝑏1 ⋅ 𝑏2, ou seja, 𝑎1 ⋅ 𝑎2 ≡ 𝑏1 ⋅ 𝑏2 𝑚𝑜𝑑 𝑚.
(𝑎1+𝑎2) ≡ (𝑏1+𝑏2) 𝑚𝑜𝑑 𝑚 e (𝑎1−𝑎2) ≡ (𝑏1−𝑏2) 𝑚𝑜𝑑 𝑚.
𝑎1 ⋅ 𝑎2 − 𝑏1 ⋅ 𝑏2 = 𝑎1 ⋅ 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑏2 ⋅ 𝑎1 − 𝑏1 ,
𝑎 ≡ 𝑟 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ⇒ 𝑎� = �̅� 
24
elementos distintos, e portanto, temos: 
• Definição: seja m um número inteiro maior que 1. Chamaremos o conjunto 
quociente de Z módulo a relação de congruência módulo m de conjunto das classes 
de resto módulo m e o denotaremos por Zm. Temos então, 
 Vamos agora definir as operações sobre o conjunto Z_m:
• Sejam a̅ e b̅ duas classes em Zm. Chamamos de soma a̅+b̅ a classe 𝑎 + 𝑏
• Sejam a̅ e b̅ duas classes em Zm. Chamamos de produto a̅⋅b̅ a classe 𝑎 ⋅ 𝑏.
 Primeiramente precisamos verificar que as operações de soma e produto dadas 
acima estão bem definidas em Zm, ou seja, que elas independem dos representantes 
das classes. De fato, Sejam a,a',b,b'∈Z tais que a ̅=a̅' e b̅= b ̅'. Então temos a≡a' mod m 
e b≡b' mod m. Disso segue que a+b e a'+b' deixam mesmo resto na divisão por m, ou 
seja, a+b≡a'+b' mod m e a⋅b e a'⋅b' também deixam o mesmo resto na divisão por m, 
logo a⋅b≡a'⋅b' mod m. Isso significa que não importa quais representantes das classes 
escolhemos para realizar as operações de soma e de produto, os resultados dessas 
operações sempre pertencerão às mesmas classes. Portanto essas operações estão 
bem definidas em Zm.
 Exemplo 1.3.4: Considere o conjunto ℤ6 = 0� , 1� , 2� , 3� , 4� , 5� . Temos:
 Observe que de fato 7� = 1� , pois tanto 7 quanto 1 deixam resto 1 na divisão por 6. 
Outra maneira de verificar esse fato é utilizando a Proposição 1.3.1: Como 7-1=6, temos 
7≡1 mod 6, ou seja, 7� = 1� . Podemos também efetuar o produto entre elementos de Z6. 
Temos, por exemplo,
 Como 15-3=2⋅6, temos pela Proposição 1.3.1 que 15≡3 mod 6, e daí 15 = 3� .
 Vejamos agora algumas propriedades da adição em Zm. 
1. Associatividade: Sejam a̅,b̅,c̅ ∈Zm. Então:
2. Comutatividade: Sejam a̅,b̅∈Zm. Então:
3. Elemento neutro: Seja a̅ ∈Z_m. Então:
ℤ
𝑅� = 0� , 1, 2� ,⋯ ,𝑚 − 1 .
ℤ𝑚 = 0� , 1, 2� ,⋯ ,𝑚 − 1 .
3� + 4� = 3 + 4 = 7� = 1� .
5� ⋅ 3� = 5 ⋅ 3 = 15 = 3� .
𝑎� + 𝑏� + �̅� = 𝑎� + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + �̅� = 𝑎� + 𝑏� + �̅�.
𝑎� + 𝑏� = 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 = 𝑏� + 𝑎�.
𝑎� + 0� = 𝑎 + 0 = 𝑎�.
25
 Assim, 0� é o elemento neutro da adição em Zm. 
 Elementos simetrizáveis: Dado x ̅∈Z_m, vamos encontrar o elemento simétrico de 
x̅, ou seja, o elemento x̅'∈Z_m tal que x̅+x̅^'= 0� .. 
 Como devemos ter x ̅+x̅'= 0� ., isso significa que x+x'≡0 mod m, ou seja, x'≡-x mod m, 
e disso segue que �̅� ′ = 𝑚 − 𝑥 ou seja, o elemento x̅ possui um elemento simétrico e este 
é dado por 𝑚 − 𝑥..
 Exemplo 1.3.5: como a operação de soma em Z6 é associativa, todo elemento 
possui um simétrico e este é único. Vamos encontrar esses elementos. 
• O simétrico de 0� . é ele próprio, pois 0� + 0� = 0� .
• O simétrico de 1� é 5� , pois 1� + 5� = 0�. Da mesma maneira, 1� é o simétrico de 5� .
• O simétrico de 2� é 4� , pois 2� + 4� = 0� . Da mesma maneira, 2� é o simétrico de 4� .
• O simétrico de 3� é o próprio 3� , já que 3� + 3� = 0� .
 Para finalizar, vamos apresentar algumas propriedades da multiplicação em Zm:
1. Associatividade: sejam 𝑎�, 𝑏� , �̅� ∈ ℤ𝑚. Então:
2. Comutatividade: sejam 𝑎�, 𝑏� ∈ ℤ𝑚 . Então:
 Assim, 1� é o elemento neutro da multiplicação em ℤ𝑚 .
4. Elementos inversíveis: Um elemento �̅� ∈ ℤ𝑚 é inversível se e somente se mdc(x,m)=1. 
De fato, se �̅� ∈ ℤ𝑚 é inversível, existe �̅�′ ∈ ℤ𝑚 tal que �̅� ⋅ �̅� ′ = 𝑥 ⋅ 𝑥′ = 1� .. Então temos 
𝑥 ⋅ 𝑥′ ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑚 , ou seja, 𝑥 ⋅ 𝑥′ − 1 = 𝑚𝑞 , para algum q∈Z. Portanto 𝑥 ⋅ 𝑥′ − 𝑚𝑞 = 1 , e por 
propriedades de máximo divisor comum segue que mdc(x,m)=1. Reciprocamente, 
suponha que mdc(x,m)=1. Então pela mesma propriedade utilizada acima, existem 
a,b∈Z tais que 
 e disso segue que ax≡1 mod m. Daí temos 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑎� ⋅ �̅� = 1� , ou seja, a̅ é o inverso 
de x̅.
 Exemplo 1.3.6: consideremos novamente o conjunto ℤ6 = 0� , 1� , 2� , 3� , 4� , 5� .. Os únicos 
elementos que possuem inverso em Z6 são o 1�,, já que 1� ⋅ 1� = 1� e o 5� , pois o único número 
entre 2 e 5 que possui máximo divisor comum igual a 1 com 6 é o 5. Dessa forma 5� é 
inversível e seu inverso é ele mesmo, já que 5� ⋅ 5� = 25 = 1�. .
3. Elemento neutro: seja a 𝑎� ∈ ℤ𝑚 . Então:
𝑎� ⋅ 𝑏� ⋅ �̅� = 𝑎� ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ �̅� = 𝑎� ⋅ 𝑏� ⋅ �̅�. 
𝑎� ⋅ 𝑏� = 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎 = 𝑏� ⋅ 𝑎�.
𝑎� ⋅ 1� = 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎�.
𝑎𝑥 + 𝑏𝑚 = 1 ⇒ 𝑎𝑥 − 1 = 𝑚 −𝑏 ,
26
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Considere o conjunto A={a,b,c} e a relação R em A dada por 
R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}. Marque a alternativa correta.
 
a) R é reflexiva.
b) R é simétrica.
c) R é transitiva.
d) R é reflexiva e simétrica.
e) R é simétrica e transitiva.
2. Considere o conjunto X={1,2,3} e as seguintes relações em X: 
𝑅1 = 1,1 , 2,2 , 3,3 ; 𝑅2 = 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 3,3 𝑒 𝑅3 = 𝑋 × 𝑋. 
Marque a alternativa correta.
a) 𝑅1 é simétrica, transitiva, mas não é reflexiva.
b) 𝑅2 é reflexiva, simétrica e transitiva.
c) 𝑅3 é uma relação de equivalência.
d) 𝑅1 é reflexiva, simétrica, transitiva, mas não é antissimétrica.
e) 𝑅2 é reflexiva, simétrica e antissimétrica.
3. Considere o conjunto X={a,b,c,d} e a operação em X dada pela tabela 
Assinale a alternativa correta.
a) A operação * não é comutativa.
b) b é o elemento neutro da operação *.
c) O elemento c é simetrizável.
d) d é o elemento neutro da operação *.
e) O elemento a é simetrizável.4. Considere o conjunto A={x∈Z| 0 ≤x≤10} e sobre ele a relação de R de congruência 
módulo 4. Marque a alternativa correta.
a) 0� = 0,4 .
b) 1� = 0,1,5,9 .
c) 𝐴 𝑅⁄ = { 0,4,8 , 1,59 , 2,6 , {3,7}}.
* a b c d
a a a a a
b a b b b
c a b c c
d a b c d
27
d) 2� = 2,6,10 .
e) 2� = 5�.
5. Considere o conjunto 𝑋 = 𝑥 𝑦
0 0 | 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ e a operação de multiplicação em X. Assinale 
a alternativa correta.
a) 
1 0
0 0 é elemento neutro para a multiplicação à esquerda.
b) A operação de multiplicação em X é comutativa.
c) 1 0
0 0 é elemento neutro para a multiplicação à direita.
d) 
0 0
0 0 é elemento neutro para a multiplicação à esquerda.
e) 0 0
0 0 é elemento neutro para a multiplicação à direita.
6. Considere o conjunto ℤ7 = 0� , 1� , 2� , 3� , 4� , 5� , 6� com a operação de adição. Assinale a 
alternativa correta.
a) 17 ∈ 4� .
b) 2� é o simétrico de 5� .
c) 1� é o elemento neutro da adição.
d) 15 ∈ 0� .
e) 3� é o simétrico de 6�.
7. Considere o conjunto ℤ6 = 0� , 1� , 2� , 3� , 4� , 5� com a operação de multiplicação. Assinale a 
alternativa correta.
a) 5� ⋅ 4� = 3�.
b) 2� ⋅ 4� = 1�.
c) 0� é o elemento neutro da multiplicação.
d) 2� é um elemento inversível.
e) 5� é um elemento inversível e é seu próprio inverso.
8. (ENADE- 2017). Considere n≥2 um inteiro. Com relação ao máximo divisor comum 
(mdc) entre n^2-n+1 e n+1, avalie as afirmações a seguir:
I. Se n≡2(mod 3) então 𝑚𝑑𝑐 𝑛2 − 𝑛 + 1,𝑛 + 1 = 3.
II. Se n for par, então 𝑚𝑑𝑐 𝑛2 − 𝑛 + 1,𝑛 + 1 = 1.
III. O resto da divisão de 𝑛2 − 𝑛 + 1 por 𝑛 + 1 é 𝑛.
É correto o que se afirma em 
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e III, apenas.
28
d) II e III, apenas.
e) I, II e III. 
29
GRUPOS
30
 Entre 1500 e 1515, o matemático italiano Scipione del Ferro descobriu uma maneira 
de resolver a equação cúbica x3+px=q, para p,q>0, que se traduz na fórmula 
 Del Ferro mostrou com isso que é possível expressar as raízes cúbicas usando 
apenas adições, subtrações, divisões, multiplicações ou radiciações. Equações desse 
tipo são ditas solúveis por radicais. Já era sabido que equações de graus 1 e 2 eram 
solúveis por radicais. Foi posta então a seguinte pergunta: “Será que toda equação 
algébrica é solúvel por radicais?” Essa pergunta ficou sem resposta por quase 300 anos. 
Ela começou a ser esclarecida na segunda metade do século XVIII, quando Lagrange 
percebeu que a teoria de permutações era de grande importância para a resolução 
dessas equações. Em 1824, o matemático norueguês Niels Abel provou aquilo que 
Lagrage suspeitava, que não existia nenhuma fórmula geral por radicais para resolver 
equações de grau 5. Porém não ficou estabelecido quando um polinômio de grau 
maior ou igual a 5 é ou não solúvel por meio de radicais. A resposta a essa pergunta foi 
dada pelo matemático Evarist Galois, em cuja obra aparece pela primeira delineado 
o conceito de Grupo, inclusive com esse nome. A solução apresentada por Galois ao 
caracterizar os polinômios resolúveis por meio de radicais, através de propriedades do 
grupo de automorfismos de um corpo, é considerada uma das mais belas páginas da 
história da matemática. 
Para mais informações e curiosidades sobre a história da álgebra moderna, 
consulte o livro História da matemática, disponível em: https://bit.ly/3tEn0bK. 
Acesso em 23 nov. 2021.
BUSQUE POR MAIS
 Vamos iniciar essa seção definindo a estrutura algébrica que vamos estudar: o 
Grupo.
 Definição: Um conjunto G com uma operação:
 É um grupo se as seguintes condições são satisfeitas:
1. A operação é associativa, ou seja, para todo a,b,c∈G, temos 
2. Existe um elemento neutro, ou seja,
2.1 DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE GRUPOS E SUBGRUPOS
a⋅b → a⋅b
(a,b) ↦ a⋅b
𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐.
31
 Se além de satisfazer essas três propriedades a operação for também comutativa, 
ou seja, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎, , o grupo é dito abeliano ou comutativo.
 Denotaremos os grupos pelo par (𝐺,⋅) ou simplesmente por G quando não houver 
ambiguidade em relação à operação.
 Observação 2.1.1: se a,b∈G, então a equação X⋅a=b tem uma única solução 
em G, dada por b⋅a-1. De fato, seja c∈G uma solução dessa equação, ou seja, c⋅a=b. 
Multiplicando ambos os membros da igualdade por a-1 à direita, temos:
 Portanto, como o inverso a-1 de a é único, b⋅a-1 é a única solução da equação 
3. Todo elemento a∈G possui um elemento inverso, ou seja,
 Observação 2.1.2: dados a,b∈G, temos 𝑎 ⋅ 𝑏 −1 = 𝑏−1 ⋅ 𝑎−1. De fato, 𝑎 ⋅ 𝑏 −1 é o inverso 
do elemento a ⋅b, ou seja, 
 Exemplo 2.1.1: (Z,+) é um grupo abeliano infinito. De fato, a operação adição no 
conjunto Z é associativa, comutativa, seu elemento neutro é o 0 e para todo a∈Z temos 
(-a)∈Z e a+(-a)=0, ou seja, todo elemento possui inverso.
 Exemplo 2.1.2: (Zm,+) é um grupo abeliano finito com m elementos.
 Exemplo 2.1.3: (Q*,⋅ ) e (R*,⋅) são grupos abelianos multiplicativos em que 1 é o 
elemento neutro e para todo número x, seu inverso é dado por 1
𝑥..
 Exemplo 2.1.4: considere o conjunto 
 onde a notação 
123
𝑎𝑏𝑐 representa a função definida da seguinte maneira: 
𝑓 1 = 𝑎, 𝑓(2) = 𝑏 e 𝑓 3 = 𝑐. O conjunto S3 é um grupo com a operação de composição, 
∃ 𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑒 ⋅ 𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑒 = 𝑎.
∀ 𝑎 ∈ 𝐺,∃ 𝑏 ∈ 𝐺 tal que 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎 = 𝑒. 
Como mostramos na seção 1.2.1, o elemento neutro de uma operação é único. Assim, o ele-
mento neutro de um grupo é único. Nessa mesma seção foi mostrado que se a operação 
for associativa, o inverso de um elemento, caso ele exista, é único. Na definição de grupo a 
operação deve ser associativa e todo elemento possui inverso. Portanto todo elemento de 
um grupo possui um único elemento inverso.
VAMOS PENSAR?
𝑐 ⋅ 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑐 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎−1 = 𝑏 ⋅ 𝑎−1 ⇒ 𝑐 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎−1 = 𝑏 ⋅ 𝑎−1 ⇒ 𝑐 ⋅ 𝑒 = 𝑏 ⋅ 𝑎−1 ⇒ 𝑐 = 𝑏 ⋅ 𝑎−1.
𝑋 ⋅ 𝑎 = 𝑏.
𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 −1 = 𝑒 ⇒ 𝑎−1 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 −1 = 𝑎−1 ⋅ 𝑒 ⇒ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 −1 = 𝑎−1 
⇒ 𝑏−1 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 −1 = 𝑏−1 ⋅ 𝑎−1 ⇒ 𝑎 ⋅ 𝑏 −1 = 𝑏−1 ⋅ 𝑎−1.
𝑆3 = 123
123 , 123
213 , 123
321 , 123
132 , 123
231 , 123
312
32
chamado grupo simétrico de ordem 3, com elemento neutro 
123
123 . O grupo S_3 não é
abeliano. De fato, utilizando a notação 𝛼 = 123
231 e 𝛽 = 123
213 , temos
 De maneira mais explícita, temos que a imagem de 1 em β é 2 e a imagem de 2 em 
α é 3. Portanto a imagem de 1 na composição αβ é 3. A imagem de 2 em β é 1 e a imagem 
de 1 em α é 2. Portanto a imagem de 2 na composição αβ é 2. Por fim, a imagem de 3 em 
β é 3 e a imagem de 3 em α é 1. Portanto a imagem de 3 na composição αβ é 1. De maneira 
análoga, temos:
𝛼𝛽 = 123
213 123
231 = 123
321 .
𝛽𝛼 = 123
132 , ou seja, 𝛼𝛽 ≠ 𝛽𝛼.
 Note ainda que todos os elementos de S3 são obtidos por operações envolvendo 
α e β:
• 𝛼2 = 123
231 123
231 = 123
312 ,
• 𝛼3 = 123
231
123
312 = 123
123 = Id 
• 𝛽2 = 123
213
123
213 = 123
123 = 𝐼𝑑
• 𝛼𝛽 = 123
231
123
213 = 123
321
• 𝛽𝛼 = 123
213
123
231 = 123
132
• 𝛼2𝛽 = 123
312
123
213 = 123
132
 
 Portanto também podemos escrever o grupo simétrico de ordem 3 como: 
 Definição: seja (G,⋅) um grupo. Um subconjunto H de G é um subgrupo de G se H é 
um grupo com a operação de G, ou seja, 
1. h1⋅h2∈H, para todo h1,h2∈H.
2. h1⋅(h2⋅h3)=(h1⋅h2)⋅h3, para todo h1,h2,h3,∈H.
3. existe eH∈H tal que h⋅eH=eH⋅h=h, para todo h∈H.
4. para todo h∈H existe h-1∈H tal que h⋅h-1=h-1⋅h=eH.
 Utilizaremos a notação H<G para denotar que H é um subgrupo do grupo G.
 Observação 2.1.3: o elemento neutro eH de H é igual ao elemento de G. De fato, 
dado h∈H, temos h⋅eH=h. Como h também pertence a G, temos h-1⋅h=e, onde e é o 
elemento neutro de G. Multiplicando a igualdade anterior por h^(-1) à esquerda, temos 
h-1⋅h⋅eH=h-1⋅h ⇒eH=e.
𝑆3 = {𝐼𝑑,𝛼,𝛼2 ,𝛽,𝛼𝛽,𝛽𝛼}.
33
 Obse vação 2.1.4: dado h∈H, o inverso de h em H é igual ao inverso de h em G. De 
fato, seja h-1 o inverso de h em H. Então h⋅h-1=h-1⋅h=eH. Mas pela observação anterior, 
temos eH=e, logo h⋅h-1=h-1⋅h=e e h-1 é também o inverso de H em G.
 Pela definição, paramostrar que um subconjunto H de um grupo G é um subgrupo, 
precisamos mostrar quatro condições. Existe uma maneira mais rápida de demonstrar 
que H<G e por isso vamos demonstrá-la antes de apresentar exemplos de subgrupos.
 Proposição 2.1.1: seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um 
subgrupo de G se e somente se as seguintes condições são satisfeitas:
a) ℎ1 ⋅ ℎ2 ∈ 𝐻,∀ℎ1 , ℎ2 ∈ 𝐻;
b) ℎ−1 ∈ 𝐻,∀ℎ ∈ 𝐻.
 Demonstração: (⇒) Suponha que H seja um subgrupo de G. A condição a) é 
satisfeita pela definição de subgrupo. Basta provar a condição b). Seja h∈H. Então pela 
definição de subgrupo, h possui um inverso e pela Observação 2.1.4 este inverso é igual 
ao inverso de h em G, ou seja, h-1∈H.
 (⇐) Suponha agora que H satisfaça as condições a) e b) da proposição. Precisamos 
mostrar que H é um subgrupo, ou seja, que H satisfaz as quatro condições da definição 
de subgrupo. A condição 1) coincide com a condição a), logo é satisfeita. A condição 2) 
também é trivialmente satisfeita, pois ela é válida para todos os elementos de G e H⊂G. 
Para demonstrar a condição 3) devemos mostrar que e∈H. Mas por b) temos que para 
todo h∈H,h-1∈H e por a),h⋅h-1=e∈H. Portanto, o elemento neutro pertence a H. Finalmente, 
a condição 4) é satisfeita, pois ela coincide com a condição b).
 Agora que conhecemos uma maneira mais simples de demonstrar que um 
subconjunto de um grupo G é um subgrupo, vamos ver alguns exemplos.
 Exemplo 2.1.5: Se G é um grupo, então {e} (conjunto formado apenas pelo elemento 
neutro) e G são subgrupos de G, chamados subgrupos triviais.
 Exemplo 2.1.6: Seja o grupo (Z,+). O subconjunto (2Z,+) desse grupo formado pelos 
números pares é um subgrupo de (Z,+). De fato, a soma de dois números pares é um 
número par e dado um número par x, temos que seu oposto -x pertence a 2Z. De maneira 
geral, para qualquer inteiro n, o subconjunto (nZ,+) é um subgrupo de (Z,+).
 Exemplo 2.1.7: Seja S_3 o grupo simétrico de ordem 3 dado no Exemplo 2.1.4. Então 
o subconjunto A={Id,α,α2 } é um subgrupo de S_3. De fato, o produto de quaisquer dois 
elementos de A pertence a A e o inverso de α é α2.
 Exemplo 2.1.8: Seja G um grupo qualquer. Considere o subconjunto 
Z(G)≔{x∈G|xg=gx,∀g∈G}. Então Z(G)<G. De fato, sejam x,y∈Z(G), temos,∀g∈G, 
 ou seja, xy∈Z(G). Além disso, dado x∈Z(G), temos:
𝑥𝑦𝑔 = 𝑥𝑔𝑦 = 𝑔𝑥𝑦,
𝑥𝑔 = 𝑔𝑥 ⇒ 𝑔 = 𝑥−1𝑔𝑥 ⇒ 𝑔𝑥−1 = 𝑥−1𝑔 ⇒ 𝑥−1 ∈ 𝑍 𝐺 .
 O subgrupo Z(G) é chamado centro de G.
 Exemplo 2.1.9: Se H e K são dois subgrupos de G, então H∩K também é um subgrupo 
de G. De fato, dados x,y∈H∩K, temos x,y∈H e x,y∈K. Como H e K são subgrupos de G, temos 
x⋅y∈H e x⋅y∈K, e portanto x⋅y∈H∩K. Além disso, dado z∈H∩K, temos z-1∈H e z-1∈K, novamente 
34
devido ao fato de H e K serem subgrupos. Daí z-1∈H∩K e portanto H∩K é subgrupo de G.
 A partir de agora, para facilitar a notação, omitiremos o símbolo da operação nos 
elementos de um grupo G. Assim, dados x,y∈G, escreveremos apenas xy no lugar de x⋅y.
Dado um subconjunto não vazio S de um grupo qualquer G, é possível gerar um subgrupo 
de G a partir de S. Vamos fixar a seguinte notação:
 em que S-1 é formado pelos inversos dos elementos ai , ou seja, S-1={ai
-1| ai∈S} 
e estamos omitindo o símbolo ⋅ da operação para facilitar a escrita. Então ⟨S⟩ é um 
subgrupo de G. De fato, pela Proposição 2.1.1, precisamos mostrar que:
 sejam 𝑎 = 𝑎1𝑎2 ⋯𝑎𝑛 e 𝑏 = 𝑏1𝑏2⋯ 𝑏𝑚 dois elementos em ⟨𝑆⟩, onde 𝑎𝑖 ∈ 𝑆 ou
 𝑎𝑖 ∈ 𝑆−1 para todo 𝑖 ∈ {1,⋯ ,𝑛} e 𝑏𝑗 ∈ 𝑆 ou 𝑏𝑗 ∈ 𝑆−1, para todo 𝑗 ∈ 1,⋯ ,𝑚 . 
Então 𝑎𝑏 = 𝑎1𝑎2 ⋯𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯ 𝑏𝑚 ∈ ⟨𝑆⟩ e pela Observação 2.1.2, 𝑎−1 = 𝑎𝑛−1𝑎𝑛−1−1 ⋯𝑎1−1 ∈ ⟨𝑆⟩,, 
ou seja, ⟨S⟩ é um subgrupo de G. Quando S for um conjunto finito, denotaremos 
⟨𝑆⟩ ≔ ⟨𝑎1 , 𝑎2,⋯ , 𝑎𝑟⟩ e se S tiver apenas um elemento g, então 𝑆 = 𝑔 = 𝑔𝑡 𝑡 ∈ ℤ}.
 Definição: seja G um grupo e S um subconjunto não vazio de G. Então o subgrupo 
⟨S⟩ é chamado subgrupo gerado por S.
 Definição: um grupo G é chamado cíclico quando existe g∈G tal que G=⟨g⟩, ou 
seja, o grupo G é gerado por apenas um elemento.
 Definição: o número de elementos de um grupo G é chamado ordem de G e 
denotado por |G|. Se a∈G, a ordem de a será a ordem do subgrupo ⟨a⟩ gerado por ele e 
será denotada O(a).
 Exemplo 2.1.10: vejamos as ordens de alguns grupos que já conhecemos:
⟨𝑆⟩ = 𝑎1𝑎2 ⋯𝑎𝑛 𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑖 ∈ 𝑆 ou 𝑎𝑖 ∈ 𝑆−1},
a) 𝑎𝑏 ∈ 𝑆,∀𝑎, 𝑏 ∈ ⟨𝑆⟩;
b) 𝑎−1 ∈ 𝑆,∀𝑎 ∈ ⟨𝑆⟩.
ℤ = ∞ , ℤ𝑚 = 𝑚 𝑒 𝑆3 = 6.
Para mais exemplos de grupos e subgrupos consulte o livro “Estruturas algébri-
cas para Licenciatura”, disponível em: https://bit.ly/3CtP85k. Acesso em: 23 nov. 
2021.
BUSQUE POR MAIS
35
 Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Como todo grupo é um conjunto, faz 
sentido definirmos uma relação no conjunto G dada por: 
 Vamos mostrar que R é uma relação de equivalência:
• R é reflexiva, pois dado x∈G, existe e∈H tal que x=ex, e daí xRx.
• R é simétrica, pois dados x,y∈G, se xRy, existe h∈H tal que 
𝑦 = 𝑥ℎ ⇒ 𝑥 = 𝑦ℎ−1, ou seja, 𝑦𝑅𝑥 pois ℎ−1 ∈ 𝐻.
• R é transitiva, pois dados x,y,z∈G, se xRy e yRz então existem h,h'∈H tais que y=hx e z=h' 
y. Então substituindo y, temos z\=h'hx, e como hh'∈H, temos xRz.
 
 Como R é uma relação de equivalência o grupo G pode ser dividido em classes de 
equivalência. A classe de equivalência que contém um elemento x∈G é dada por {y∈G| 
yRx }={xh|h∈H}. Vamos denotar essa classe de equivalência por xH e a chamaremos 
de classe lateral à esquerda de H em G, já que estamos multiplicando elementos de G 
à esquerda de elementos de H. Note que H é a classe lateral à esquerda que contém o 
elemento neutro, já que eH=H. Observe ainda que y∈xH se e somente se yH=xH, ou seja, 
x e y são representantes da mesma classe. 
 De maneira análoga, podemos definir as classes laterais à direita de H em G, 
definindo a relação de equivalência dada por: 
 Nesse caso denotaremos a classe de equivalência que contém x por Hx≔{hx| 
h∈H}. 
 Definição: a quantidade de classes laterais à esquerda ou à direita de H em G é 
chamada índice de H em G e será denotada por (G:H).
 Note que a definição de índice faz sentido já que a quantidade de classes laterais 
à direita é igual a quantidade de classes laterais à esquerda. De fato, a aplicação 
 é uma bijeção.
 Observação 2.2.1: outro fato importante é que todas as classes laterais de H em 
G têm a mesma cardinalidade de H, ou seja, o mesmo número de elementos que o 
subgrupo H. De fato, basta notar que a função abaixo é uma bijeção.
Vejamos agora um resultado importante sobre grupos finitos que fornece relações entre 
a ordem do grupo G, de um subgrupo H e o índice de H em G.
2.2 CLASSES LATERAIS E TEOREMA DE LAGRANGE
𝑥𝑅𝑦 se, e somente se,∃ℎ ∈ 𝐻 tal que 𝑦 = 𝑥ℎ.
𝑥𝑅𝑦 se, e somente se,∃ℎ ∈ 𝐻 tal que 𝑦 = ℎ𝑥.
ϕ {classes laterais à esquerda} → {classes laterais à esquerda}
xH ↦ Hx-1
H → xH
h ↦ xh
36
 Teorema de Lagrange: sejam G um grupo finito e H um subgrupo de G. Então 
|G|=|H|(G:H). Em particular, a ordem de H e o índice de H em G dividem a ordem de G.
 Demonstração: seja R a relação de equivalência à esquerda em G. Essa relação 
particiona o grupo G em classes de equivalência que, por definição, são em número 
(G:H). Pela Observação 2.2.1 temos que toda classe de equivalência de H em G tem a 
mesma cardinalidade, igual a |H|. Portanto a ordem de G é dada pelo número de classes 
de equivalência vezes a cardinalidade de cada classe de equivalência, ou seja, 
 Como consequência imediata do Teorema de Lagrange temos o seguinte 
corolário:
 Corolário 2.2.1: seja G um grupo finito e seja a∈G. Então a ordem de a divide a 
ordem de G.
 Demonstração: lembre-se de que a ordem de a é igual à ordem do subgrupo 
gerado por a, ou seja, O(a)=|⟨a⟩|. Pelo teorema de Lagrange aplicado ao subgrupo ⟨a⟩, 
temos |G|=|⟨a⟩|(G:⟨a⟩), e disso concluímos que a ordem de qualquer elemento de um 
grupo finito divide a ordem do grupo.
 Exemplo 2.1.1: considere o grupo (Z6,+). Temos ℤ6 = 0� , 1� , 2� , 3� , 4� , 5� . Considere agora 
o subgrupo𝐻 = 2� . Então 𝐻 = {0� , 2� , 4� } . A ordem de H é 3, pois H possui três elementos 
e como a ordem de Z_6 é 6, a ordem de H divide a ordem de Z_6, como garante o 
Teorema de Lagrange.
 Vejamos mais uma consequência interessante do Teorema de Lagrange:
 Corolário 2.2.2: seja G um grupo de ordem prima. Então G é um grupo cíclico.
 Demonstração: seja p um número primo tal que |G|=p e seja g∈G um elemento 
qualquer. Considere ⟨g⟩ o subgrupo gerado por g. Pelo Teorema de Lagrange, temos 
que a ordem de ⟨g⟩ divide a ordem de G. Mas como a ordem de G é p, segue que |⟨g⟩|=p, 
ou seja, ⟨g⟩=G, logo G é um grupo cíclico.
 Nessa seção veremos um tipo especial de subgrupo, os chamados subgrupos 
normais. Vimos na seção anterior que dado um subgrupo H de um grupo G, podemos 
considerar uma relação de equivalência em G de maneira que as classes de equivalência 
de G são dadas pelas classes laterais do tipo xH, com x∈G. O conjunto dessas classes é 
exatamente o conjunto quociente de G pela relação de equivalência, mas esse conjunto 
não é necessariamente um grupo. O objetivo dessa seção é mostrar que se H é um 
subgrupo normal de G então o conjunto quociente de G pela relação de equivalência é 
um grupo. 
 Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Queremos definir uma operação no 
conjunto das classes laterais à esquerda de H em G utilizando a operação já definida 
nos elementos de G. A maneira mais natural de definir essa operação é fazer:
 Precisamos verificar se essa operação está bem definida, ou seja, se ela independe 
dos representantes da classe que estamos tomando. Sejam x,y∈G e h,k∈H. Temos então 
𝐺 = |𝐻|(𝐺:𝐻)
2.3 SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPOS QUOCIENTES 
𝑥𝐻, 𝑦𝐻 ↦ 𝑥𝑦𝐻.
37
que x e xh pertencem a xH, ou seja, x e xh são representantes da mesma classe xH. 
De maneira análoga, y e yk são representantes da mesma classe yH já que ambos 
pertencem a essa classe. Para mostrar que a operação que estamos definindo nas 
classes laterais à esquerda de H em G está bem definida, devemos mostrar que 
 Multiplicando ambos os membros da equação acima por y-1 x-1 à esquerda, temos 
que essa igualdade é válida se e somente se:
 Portanto a operação nas classes laterais à esquerda de H em G está bem definida 
se e somente se:
 Proposição 2.3.1: seja G um grupo qualquer e H um subgrupo de G. As seguintes 
afirmações são equivalentes:
 a) a operação induzida pela operação de G nas classes laterais à esquerda de H 
em G é bem definida.
 b) gHg-1⊂H,∀g∈G; 
 c) gHg-1=H,∀g∈G;
 d) gH=Hg,∀ g∈G.
 Demonstração: a) ⇔ b) Essa equivalência foi mostrada nas contas feitas antes do 
enunciado da proposição.
 b) ⇔c) Se gHg-1=H é claro que gHg-1⊂H. Reciprocamente, suponha
 gHg-1⊂H para todo g∈G. Precisamos mostrar que H⊂gHg-1. Seja h∈H. Temos 
 c) ⇔d) Se gHg-1 =H, multiplicando por g à direita, temos gH=Hg. Reciprocamente, 
se gH=Hg, multiplicando por g-1 à esquerda, temos gHg-1 =H.
 Definição: um subgrupo H de um grupo G é chamado subgrupo normal de G se 
ele satisfaz as afirmações da Proposição 2.3.1. Os subgrupos normais serão denotados 
por H⊲G. 
 Exemplo 2.3.1: os subgrupos triviais {e} e G são subgrupos normais de G. De fato, 
o subgrupo {e} é normal pois satisfaz trivialmente as condições da proposição. O 
𝑥𝑦𝐻 = 𝑥ℎ𝑦𝑘𝐻 , para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 e ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 . 
𝑦−1𝑥−1𝑥𝑦𝐻 = 𝑦−1𝑥−1𝑥ℎ𝑦𝑘𝐻 ⇔ 𝐻 = 𝑦−1ℎ𝑦𝑘𝐻 ,∀𝑦 ∈ 𝐺 e ℎ ∈ 𝐻. 
𝑦−1ℎ𝑦 ∈ 𝐻,∀ 𝑦 ∈ 𝐺 e ∀ ℎ ∈ 𝐻.
ℎ = 𝑔 𝑔−1ℎ𝑔 𝑔−1 ∈ 𝑔 𝑔−1𝐻𝑔 𝑔−1 ⊂ 𝑔𝐻𝑔−1.
Observe que apesar da diferença entre as afirmações ser muito sutil, elas são muito im-
portantes pois nos dão uma equivalência, ou seja, se uma das afirmações é satisfeita, 
todas as outras também são. Além disso, a afirmação d) nos garante que as classes la-
terais à esquerda de H são iguais às classes laterais à direita de H.
FIQUE ATENTO
38
subgrupo G também é normal pois ∀g∈G temos gGg-1=G.
 Exemplo 2.3.2: o centro Z(G) de um grupo G definido no Exemplo 2.1.8 é um subgrupo 
normal de G. De fato, como os elementos x∈Z(G) satisfazem xg=gx para todo g∈G, temos 
gZ(G)=Z(G)g e Z(G)⊲G.
 Exemplo 2.3.3: seja G um grupo e H<G. Se (G:H)=2 então H⊲G.De fato, vamos mostrar 
que para todo x∈G temos xH=Hx. Se x∈H, temos xH=H=Hx. Suponha então que x∉H. Então 
xH≠H e Hx≠H. Como (G:H)=2, existem apenas duas classes laterais a esquerda, que são 
H e xH. Como as classes laterais são sempre conjuntos disjuntos e uma delas é todo H, 
temos xH=G∖H. O mesmo acontece com a classe lateral à direita Hx, ou seja, Hx=G∖H. 
Portanto xH=Hx e H⊲G.
 Exemplo 2.3.4: se G é um grupo abeliano então todo subgrupo H de G é normal em 
G. De fato, seja H um subgrupo de G. Então para todo g∈G e h∈H temos gh=hg, pois G é 
abeliano. Dessa forma, gH=Hg, para todo g∈G, ou seja, H⊲G.
 Vamos agora demonstrar o resultado que foi citado no início desta seção:
 Teorema 1: seja G um grupo e seja H um subgrupo normal de G. Então o conjunto 
das classes laterais com a operação induzida de G é um grupo.
 Demonstração: precisamos mostrar que o conjunto das classes laterais com a 
operação induzida pela operação de G satisfaz as condições para ser um grupo, ou 
seja, a operação é associativa, existe o elemento neutro e todo elemento possui inverso.
 Sejam as classes laterais xH,yH e zH. Então: 
 Portanto a operação é associativa.
• O elemento neutro é a classe H, pois para toda classe xH,x∈G, temos,
 De maneira análoga mostramos que existe o inverso de x à esquerda.
 Portanto todo elemento xH possui inverso x-1 H.
 Definição: sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. O grupo de suas 
classes laterais com a operação induzida pela operação de G é chamado grupo 
quociente de G por H. Utilizaremos a notação 𝐺
𝐻
 ou G⁄H.
• Seja a classe xH,x∈G. Então: 
𝑥𝐻 ⋅ 𝑦𝐻 ⋅ 𝑧𝐻 = 𝑥𝐻 ⋅ 𝑦𝑧𝐻 = 𝑥𝑦𝑧𝐻 = 𝑥𝑦𝐻 ⋅ 𝑧𝐻 = 𝑥𝐻 ⋅ 𝑦𝐻 ⋅ 𝑧𝐻.
𝑥𝐻 ⋅ 𝐻 = 𝐻 ⋅ 𝑥𝐻 = 𝑥𝐻 . 
𝑥𝐻 ⋅ 𝑥−1𝐻 = 𝑥𝑥−1𝐻 = 𝐻.
39
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Seja (G,⋅ ) um grupo abeliano. Marque a alternativa correta.
a) Existem dois elementos de G que são elementos neutros de G.
b) Existe g∈G tal que g não possui inverso.
c) Existem g,h∈G tais que g⋅h≠h⋅g
d) Existe um único e∈G tal que para todo g∈G, g⋅e=g.
e) A operação ⋅ não é associativa.
2. Assinale a alternativa correta.
a) Z_-é um grupo com a adição.
b) Z_+ é um grupo com a multiplicação.
c) X={x∈Z| x é par} é um grupo com a adição.
d) Y={x∈Z| x é ímpar} é um grupo com a multiplicação.
e) {-2,-1,0,1,2} é um grupo com a adição.
3. O conjunto X={e,a,b,c} com a operação em X dada pela tabela abaixo é um grupo. 
Assinale a alternativa correta.
a) e é o elemento neutro de X.
b) a é inversível e o inverso de a é o elemento b.
c) X não é um grupo abeliano.
d) b é inversível e o inverso de b é o elemento c.
e) c é inversível e o inverso de c é o elemento b.
4. (ENADE-2005). Se G é um grupo multiplicativo de ordem n e H é um subgrupo de G 
de ordem m, então:
a) mdc(m,n)=1.
b) H tem um gerador de ordem m.
c) O índice de G em H é igual a mn.
d) m é divisor de n.
e) O grupo quociente G/H é abeliano.
5. Considere o grupo G={0,1,2,3,4,5} com a operação # dada por x # y≔ resto da divisão 
de x+y por 6. Assinale a alternativa correta.
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
40
a) {0} não é um subgrupo de G.
b) {0,2,4} é um subgrupo de G.
c) {0,3,4} é um subgrupo de G.
d) {0,2,3,4,5} é um subgrupo de G.
e) {1,2,3} é um subgrupo de G.
6. Seja S_3 o grupo simétrico de ordem 3 dado por 𝑆3 = {𝐼𝑑,𝛼,𝛼2 ,𝛽,𝛼𝛽,𝛽𝛼}, , onde 
𝛼 = 123
231 e 𝛽 = 123
213 . . Assinale a alternativa correta.
a) {Id,α} é um subgrupo de S3.
b) {Id,α,β} é um subgrupo de S3.
c) {α,α2} é um subgrupo de S3.
d) {Id,β,αβ} é um subgrupo de S3.
e) {Id,β} é um subgrupo de S3.
7. (ENADE-2011). Considere os elementos 𝛼 = 1 2 3
1 3 2 e 𝛽 = 1 2 3
3 2 1 pertencentes ao 
grupo das permutações S_3. Assinale a opção que representa αβ.
a) 1 2 3
2 1 3
b) 1 2 3
2 3 1
c) 1 2 3
1 2 3
d) 1 2 3
1 3 2
e) 1 2 3
3 2 1
8. Seja G=⟨g⟩ um grupo cíclico de ordem 6 e seja H=⟨g2⟩ e K=⟨g3⟩. Assinale a alternativa 
correta.a) H não é um subgrupo de G.
b) (G:H)=2.
c) (G:K)=2.
d) A cardinalidade da classe lateral à esquerda de H em G é 2.
e) A cardinalidade da classe lateral à esquerda de K em G é 3.
41
HOMOMORFISMOS 
DE GRUPOS
42
3.1 DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DOS HOMOMORFISMOS
 Em matemática, sempre que definimos uma nova estrutura surge a pergunta: 
como relacionamos duas estruturas desse tipo? Mais especificamente, nos perguntamos 
como é possível definir correspondências entre esses objetos de maneira que sua 
estrutura seja preservada. No caso de grupos, essas correspondências são chamadas 
homomorfismos.
 Definição: sejam (G,*) e (G,×) dois grupos. Uma função ψ: G→G é um homomorfismo 
se ela é compatível com as estruturas dos grupos, ou seja, se para todo a,b∈G tivermos, 
 Exemplo 3.1.1: a função ψ:(G,*)→(G,×) tal que ψ(g)=e_G é um homomorfismo 
chamado homomorfismo trivial. Note que ψ é de fato um homomorfismo pois dados 
a,b∈G, temos ψ(a*b)=e_G=e_G×e_G= ψ(a)×ψ(b).
 Exemplo 3.1.2: a função Id:(G,⋅)→(G,⋅), Id(g)=g, é um homomorfismo. De fato, sejam 
a,b∈G. Então Id(a⋅b)=a⋅b=Id(a)⋅Id(b). Esse homomorfismo é chamado identidade.
 Exemplo 3.1.3: seja H um subgrupo normal de G. Então ψ:G→G/H , ψ(g)=gH é um 
homomorfismo, chamado projeção canônica. De fato, dados a,b∈G, temos 
 Exemplo 3.1.4: seja n∈Z. Então ψ:(Z,+)→(Z,+),ψ(x)=nx é um homomorfismo. De fato, 
dados a,b∈Z, temos ψ(a+b)=n(a+b)=na+nb=ψ(a)+ψ(b).
 Vejamos agora algumas propriedades dos homomorfismos de grupos. Seja 
ψ: (G,*)→(G,×) um homomorfismo de grupos.
 Propriedade 1: ψ(eG)=eG
 De fato, temos ψ(eG)=ψ(eG*eG)=ψ(eG)×ψ(eG) ⇒ψ(eG)=eG.
 Propriedade 2: para todo g∈G,ψ(g-1)=ψ(g)-1.
 De fato, utilizando a Propriedade 1, temos: 
 Propriedade 3: o conjunto ker ψ≔{g∈G| ψ(g)=eG} é um subgrupo normal de G 
chamado núcleo de ψ. De fato, vamos mostrar primeiramente que Ker ψ<G. Dados 
a,b∈Ker ψ, temos: 
𝜓 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝜓 𝑎 ×𝜓(𝑏).
𝜓 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏𝐻 = 𝑎𝐻 ⋅ 𝑏𝐻 = 𝜓 𝑎 ⋅ 𝜓(𝑏).
Nos cálculos da Propriedade 1, chegamos em 
ψ(eG)=ψ(eG)×ψ(eG). O único elemento x de um grupo que satisfaz x⋅x=x é o elemento neu-
tro. Por isso concluímos que ψ(eG)=eG.
FIQUE ATENTO
𝑒𝒢 = 𝜓 𝑒𝐺 = 𝜓 𝑔 ∗ 𝑔−1 = 𝜓 𝑔 ×𝜓 𝑔−1 ⇒ 𝜓 𝑔 −1 = 𝜓 𝑔−1 .
a) 𝜓 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝜓 𝑎 ×𝜓 𝑏 = 𝑒𝒢 × 𝑒𝒢 = 𝑒𝒢 ⇒ 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝜓.
b) 𝜓 𝑎−1 = 𝜓 𝑎 −1 = 𝑒𝒢−1 = 𝑒𝒢 ⇒ 𝑎−1 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝜓.
43
 Portanto Ker ψ é um subgrupo de G. Precisamos mostrar agora que Ker ψ é um 
subgrupo normal de G. Para isso precisamos mostrar que para todo g∈G e para todo 
h∈Ker ψ, temos g*h*g-1∈Ker ψ. De fato,
 Propriedade 4: o conjunto Im ψ≔{y∈G| y=ψ(g) "para algum" g∈G} é um subgrupo 
de G chamado imagem de ψ. De fato, sejam a,b∈Im ψ. Então existem g,h∈G tais que 
a=ψ(g) e b=ψ(h). Temos:
 Portanto Im ψ é um subgrupo de G.
 Propriedade 5: Ker ψ={eG} se e somente se ψ é injetora. 
 De fato, suponha que Ker ψ={eG}. Sejam a,b∈G. Para mostrar que ψ é injetora, 
devemos provar que se ψ(a)=ψ(b), então a=b. Se ψ(a)=ψ(b), multiplicando ambos os 
lados da igualdade por ψ(b)^(-1), temos 
 Então a*b-1 ∈ Ker ψ. Mas por hipótese temos Ker ψ={eG }, logo
 a*b-1=eG⇒a=b. Portanto, ψ é injetora. Reciprocamente, suponha ψ injetora. Precisamos 
mostrar que Ker ψ={eG}. Pela Propriedade 1 temos ψ(eG )=eG, ou seja, eG∈Ker ψ. Como ψ 
é injetora nenhum elemento de G diferente de e_G pode ter imagem igual a eG, ou seja, 
Ker ψ={eG}.
 Propriedade 6: seja ϕ:(G,×)→(J,∆) um homomorfismo de grupos. Então a 
composição ϕ∘ψ:(G,*)→(J,∆) é um homomorfismo. 
 De fato, sejam a,b∈G. Então, 
 Definição: Um homomorfismo ψ: (G,*)→(G,×) é um isomorfismo se existe um 
homomorfismo σ:(G,×)→(G,*) tal que ψ∘σ=IdG e σ∘ψ=IdG. Nesse caso, os subgrupos G e G 
são isomorfos e utilizamos a notação G≃G.
 Encontrar o homomorfismo inverso, ou seja, o homomorfismo σ tal que ψ∘σ=IdG 
e σ∘ψ=IdG, nem sempre é uma tarefa fácil. Vamos demonstrar uma proposição que 
permite provar de maneira mais simples o isomorfismo entre dois grupos.
 Proposição 3.1.1 seja ψ: (G,*)→(G,×) um homomorfismo de grupos. Então ψ é um 
isomorfismo se e somente se é um homomorfismo bijetor.
 Demonstração: Se ψ é um isomorfismo então ele é um homomorfismo bijetor 
pois ele possui um homomorfismo inverso. Reciprocamente, suponha que ψ seja 
um homomorfismo bijetor. Então existe ψ-1. Precisamos mostrar apenas que ψ-1 é um 
homomorfismo de grupos. De fato, sejam a\,b∈G, x=ψ-1 (a) e y=ψ-1 (b). Então 
𝜓 𝑔 ∗ ℎ ∗ 𝑔−1 = 𝜓 𝑔 × 𝜓 ℎ × 𝜓 𝑔−1 = 𝜓 𝑔 × 𝑒𝒢 × 𝜓 𝑔 −1 =
= 𝜓 𝑔 × 𝜓 𝑔 −1 = 𝑒𝒢 ⇒ 𝑔 ∗ ℎ ∗ 𝑔−1 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝜓.
𝑎 × 𝑏 = 𝜓 𝑔 × 𝜓 ℎ = 𝜓 𝑔 ∗ ℎ ⇒ 𝑎 × 𝑏 ∈ 𝐼𝑚 𝜓.
𝑎−1 = 𝜓 𝑔 −1 = 𝜓 𝑔−1 ⇒ 𝑎−1 ∈ 𝐼𝑚 𝜓.
𝜓 𝑎 × 𝜓 𝑏 −1 = 𝑒𝒢 ⇒ 𝜓 𝑎 ×𝜓 𝑏−1 = 𝑒𝒢 ⇒ 𝜓 𝑎 ∗ 𝑏−1 = 𝑒𝒢
𝜙 ∘ 𝜓 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝜙 𝜓 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝜙 𝜓 𝑎 ×𝜓 𝑏 = 𝜙 𝜓 𝑎 ∆ 𝜙 𝜓 𝑏 =
= 𝜙 ∘ 𝜓 𝑎 ∆ (𝜙 ∘ 𝜓(𝑏)). 
44
𝜓−1 𝑎 × 𝑏 = 𝜓−1 𝜓 𝑥 × 𝜓 𝑦 = 𝜓−1 𝜓 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝜓−1 𝑎 ∗ 𝜓−1(𝑏�
 Exemplo 3.1.5: seja G=⟨g⟩={⋯,g-1,e,g,g2,⋯} um grupo cíclico de ordem infinita. Então 
f:(Z,+)→(G,⋅),f(n)=gn é um isomorfismo.
 Vamos mostrar primeiramente que f é um homomorfismo de grupos. De fato, 
dados n1,n2∈Z, temos:
 Vamos mostrar que f é bijetora. f é injetora, pois ker𝑓 = 𝑛 ∈ ℤ 𝑔𝑛 = 𝑒} = {0}. . Além 
disso, f é sobrejetora, pois dado gn∈ ⟨g⟩, temos gn=f(n). Portanto f é um isomorfismo. 
𝑓 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑔𝑛1+𝑛2 = 𝑔𝑛1 ⋅ 𝑔𝑛2 = 𝑓 𝑛1 ⋅ 𝑓 𝑛2 .
Para mais exemplos de homomorfismos de grupos consulte o livro “Estruturas 
algébricas para Licenciatura”, disponível em: https://bit.ly/3vWBE0z. Acesso em: 
23 nov. 2021.
BUSQUE POR MAIS
3.2 O PRIMEIRO TEOREMA DOS ISOMORFISMOS
 Nessa seção vamos demonstrar um dos teoremas mais importantes da teoria de 
grupos: O Teorema do isomorfismo. Segundo esse teorema, dado um isomorfismo ψ, o 
domínio de ψ quocientado por seu núcleo é isomorfo ao seu conjunto imagem.
 Primeiro Teorema do isomorfismo: seja ψ: (G,*)→(G,×) um homomorfismo de 
grupos. Então a função induzida:
 Demonstração: vamos mostrar primeiramente que ψ̅ está bem definida, ou seja, 
que a imagem de uma classe de equivalência de G⁄(Ker ψ) independe do representante. 
 é um isomorfismo de grupos.
𝜓�: 𝐺
𝑘𝑒𝑟 𝜓 
→ Im ψ
g ker ψ ↦ ψ(g)
Pela Propriedade 3 da seção 3.1, temos que o núcleo de um homomorfismo ψ: (G,*)→(G,×) 
é um subgrupo normal do grupo G. Portanto o quociente G⁄(Ker ψ) é um grupo. Além disso, 
pela Propriedade 4, temos que Im ψ é um subgrupo de G. Portanto o isomorfismo G⁄(Ker 
ψ)≃Im ψ faz sentido.
VAMOS PENSAR?
45
Sejam gker ψ=g' ker ψ. Então, pela definição de classe lateral, existe h∈ker ψ tal que 
g=g'*h. Precisamos mostrar que ψ(g)=ψ(g'). Então
 Portanto, ψ̅ está bem definida. Vamos mostrar agora que ψ̅ é um homomorfismo. 
Sejam gker ψ,g' ker ψ∈G⁄(Ker ψ) . Então, 
 Falta mostrar apenas que ψ̅ é uma bijeção. Note que como o contradomínio de ψ̅ 
coincide com a imagem de ψ, temos que ψ̅ é claramente sobrejetora. Temos ainda que: 
 Portanto, ker ψ̅={eG⁄(Ker ψ)} que nesse caso é o elemento neutro de G⁄(Ker ψ), ou 
seja, ψ̅ é injetora. Com isso mostramos que ψ̅ é um isomorfismo.
 Exemplo 3.2.1: no exemplo 3.1.5 mostramos que se G=⟨g⟩ é um grupo cíclico então 
tomando o homomorfismo f:(Z,+)→(G,⋅ ),f(n)=an foi possível mostrar que 
Z≃G. Também é possível mostrar esse fato utilizando o Primeiro Teorema do Isomorfismo. 
De fato, temos ker f={0} e Im f=G. Portanto, 
𝜓 𝑔 = 𝜓 𝑔′ ∗ ℎ = 𝜓 𝑔′ ×𝜓 ℎ = 𝜓 𝑔′ × 𝑒𝒢 = 𝜓 𝑔′ .
𝜓� 𝑔𝑘𝑒𝑟 𝜓 ∗ 𝑔′ 𝑘𝑒𝑟 𝜓 = 𝜓� 𝑔𝑔′𝑘𝑒𝑟 𝜓 = 𝜓 𝑔 ∗ 𝑔′ = 𝜓 𝑔 × 𝜓 𝑔′ =
= 𝜓� 𝑔𝑘𝑒𝑟 𝜓) ×𝜓�(𝑔′ 𝑘𝑒𝑟 𝜓 .
𝑘𝑒𝑟 𝜓� = 𝑔𝑘𝑒𝑟 𝜓 𝜓 𝑔 = 𝑒𝒢} = 𝑔𝑘𝑒𝑟 𝜓 𝑔 ∈ 𝑘𝑒𝑟 𝜓} = 𝑘𝑒𝑟 𝜓 
ℤ
0 ≃ 𝐺 ⇒ ℤ ≃ 𝐺
46
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Assinale a alternativa correta.
a) Seja o grupo aditivo Z e k um inteiro qualquer. Então f:Z→Z dada por f(x)=kx não é um 
homomorfismo de grupos.
b) Seja o grupo multiplicativo R*. Então f:R*→R* dada por f(x)=|x| é um homomorfismo de 
grupos.
c) Sejam os grupos aditivos Z e Z×Z. Então f:Z→Z×Z dada por f(x)=(x,0) não é um 
homomorfismo de grupos.
d) Sejao grupo aditivo R. Então f:R→R dada por f(x)=x+1 é um homomorfismo de grupos.
e) Sejam o grupo multiplicativo R+
* e o grupo aditivo Z. Então f:Z→ R+
* dada por f(x)=2x 
não é um homomorfismo de grupos.
2. Sejam o grupo aditivo Z, n um inteiro qualquer e f:Z→Z dada por f(x)=nx um 
homomorfismo de grupos. Assinale a alternativa correta.
a) f é um homomorfismo sobrejetor.
b) f não é um homomorfismo injetor.
c) f é um isomorfismo.
d) Se n≠0 então ker f={0}. 
e) Se n=0 então ker f={0}.
 
3. Sejam (G,*) e (G,×) dois grupos e f: (G,*)→ (G,×) um homomorfismo. Assinale a 
alternativa correta.
a) ker f é um subgrupo de G.
b) ker f é um subgrupo de G.
c) Im f é um subgrupo de G.
d) Dados a,b∈G, f(a*b)=f(a)*f(b).
e) f(eG )≠eG.
4. Sejam (G,*) e (G,×) dois grupos e f: (G,*)→ (G,×) um isomorfismo. Assinale a alternativa 
correta.
a) f não é bijetora.
b) f não possui inversa.
c) O núcleo de f contém apenas o elemento neutro de G.
d) O núcleo de f contém apenas o elemento neutro de G.
e) Dados a,b∈G, f(a*b)=f(a)*f(b).
5. Seja f:R→R+
* dada por f(x)=ax, com 0<a≠1. Assinale a alternativa correta.
a) f não é um homomorfismo de grupos.
47
b) f não é um isomorfismo.
c) f é um isomorfismo e 𝑓−1 𝑥 =
1
𝑎 .
d) f é um isomorfismo e 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥 .
e) O núcleo de f não é trivial. 
6. Seja f: Z×Z →Z×Z dada por f(x,y)=(x-y,0). Assinale a alternativa correta.
a) f é um isomorfismo.
b) f é injetora.
c) f é sobrejetora.
d) ker f={(0,0)}. 
e) ker f={(x,y)∈Z×Z | x=y}.
7. O Primeiro Teorema do Isomorfismo é um dos principais teoremas da teoria de grupos. 
Sejam (G,*) e (G,×) dois grupos e f: (G,*)→ (G,×). Assinale a alternativa que corresponde 
à informação correta fornecida por esse teorema:
a) Se f é injetora então Im f=G.
b) G⁄(Ker f)≃Im f
c) Se H é um subgrupo de G, então G⁄H≃Im f
d) G⁄(Ker f)≃G
e) G⁄(Im f)≃Ker f
8. Sejam (G,*) e (G,×) dois grupos e f: (G,*)→ (G,×) um homomorfismo. Dados a,b∈G, 
assinale a alternativa correta.
a) f(a*b)=f(a)*f(b)
b) f(a*b-1)=f(a)×f(b)-1
c) f(a*b-1)=f(a)-1×f(b)
d) f(a*b)=f(b)×f(a)
e) f(eG*a)=f(eG )×f(a)
48
ANÉIS
49
 Neste capítulo vamos começar a estudar uma nova estrutura algébrica: o anel. 
Veremos que para que um conjunto seja um anel é necessário que ele satisfaça mais 
condições que um grupo. O conceito de anel surgiu no século XIX, época em que os 
matemáticos estavam empenhados em descobrir novas estruturas algébricas.
 Definição: Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações: a operação de 
adição, denotada por + e a operação de multiplicação, denotada por ⋅ , que satisfazem 
as seguintes condições:
1. A adição é associativa, ou seja, 
 Um anel A munido das operações + e ⋅ será denotado por (A,+,⋅ ). Quando não 
houver dúvida quanto a operação, dados a,b∈A, escreveremos ab para denotar o 
produto a⋅b.
 Se existir o elemento neutro da multiplicação, ou seja, se ∃ 1∈A tal que x⋅1=1⋅x=x,∀ 
x∈A, o anel é dito com unidade. Se a operação de multiplicação for comutativa, ou seja, 
se x⋅y=y⋅x,∀ x,y∈A, o anel é dito comutativo. 
2. Existe o elemento neutro da adição, ou seja,
3. Todo elemento possui inverso em relação à operação de adição, ou seja,
4. A operação de adição é comutativa, ou seja,
5. A operação de multiplicação é associativa, ou seja, 
6. A adição é distributiva em relação à multiplicação, ou seja,
4.1 POLUIÇÃO ATMOSFÉRICA
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ,∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴
∃ 0 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 0,∀ 𝑥 ∈ 𝐴.
∃(−𝑥) ∈ 𝐴 tal que 𝑥 + −𝑥 = −𝑥 + 𝑥 = 0,∀ 𝑥 ∈ 𝐴.
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥,∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴
𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧 ,∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴
𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑧,∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴
Observe que as quatro primeiras condições da definição de anel são relativas à opera-
ção de adição, a quinta condição de refere à operação de multiplicação e a sexta faz 
referências às duas operações. As condições para que um anel seja comutativo e tenha 
FIQUE ATENTO
50
unidade fazem referência à operação de multiplicação, mas não são necessárias para 
que um conjunto seja um anel.
As quatro primeiras condições para que um conjunto seja um anel são referentes à ope-
ração de adição. São elas: associatividade, existência de elemento neutro, inverso e comu-
tatividade. Vimos no Capítulo 2 que um conjunto munido de uma operação que satisfaça 
essas quatro condições é um grupo abeliano e por isso dizemos que um anel é um grupo 
abeliano com a operação de adição.
VAMOS PENSAR?
 Seja (A,+,⋅ ) um anel. Vejamos algumas propriedades que seguem de maneira 
imediata:
• O elemento neutro da adição é único e será denotado por 0 (já demonstramos isso 
no Capítulo 2).
• O oposto -a de um elemento a∈A é único (isso também já foi demonstrado no 
capítulo 2).
• Se 𝑎1 , 𝑎2,⋯ , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴, então − 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 é o oposto do elemento 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 , 
ou seja, 
 Observe que na seta indicada em vermelho foi aplicada a Lei do cancelamento da 
adição nos termos que estão indicados pelas chaves. De maneira análoga mostramos 
que 0⋅a=0.
• Se a,b∈A, então (-a)b=a(-b)=-(ab). De fato,
 Utilizando a lei do cancelamento nós temos entre chaves, temos -(ab)=(-a)b. De 
maneira análoga mostramos que -(ab)=a(-b).
• Se a,b∈A, então (-a)(-b)=ab. De fato, utilizando a propriedade anterior, temos (-a)
(-b)=-a(-b)=-(-(ab))=ab. 
 Observação 4.1.1: para facilitar a notação, dado um anel (A,+,⋅) e a,b∈A, 
escreveremos a-b para denotar a adição a+(-b).
 Vejamos agora alguns exemplos de anéis.
 Exemplo 4.1.1: o conjunto (Z,+,⋅) dos números inteiros munido da adição e da 
multiplicação é um anel. De fato, no Exemplo 2.1.1 vimos que (Z,+) é um grupo abeliano e 
• A Lei do Cancelamento da adição é válida, ou seja, dados a,b,x∈A, 
𝑎 + 𝑥 = 𝑏 + 𝑥 ⇒ 𝑎 + 𝑥 + −𝑥 = 𝑏 + 𝑥 + −𝑥 ⇒ 𝑎 = 𝑏.
• Se a∈A, então a⋅0=0⋅a=0. De fato,
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 − 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 = 0 ⇒ (𝑎1 − 𝑎1) + ⋯+ (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛) = 0 
⇒ − 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 = −𝑎1 + −𝑎2 + ⋯+ −𝑎𝑛 .
0 + 𝑎 ⋅ 0 = 𝑎 ⋅ 0 = 𝑎 ⋅ 0 + 0 = 𝑎 ⋅ 0 + 𝑎 ⋅ 0 ⇒ 𝑎 ⋅ 0 = 0.
𝑎𝑏 + − 𝑎𝑏 = 0 = 0 ⋅ 𝑏 = 𝑎 + −𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 + −𝑎 𝑏.
51
portanto o conjunto Z com a operação de adição satisfaz as quatro primeiras condições 
da definição de anel. Dados x,y,z∈Z, temos 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧 , , ou seja, a operação de 
multiplicação é associativa, e 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑧 , portanto a adição é distributiva 
em relação à soma e (Z,+,⋅) é um anel. Além disso temos que 1 é o elemento neutro 
da multiplicação, pois para todo x∈Z temos x⋅1=1⋅x=x e para todo x,y∈Z,x⋅y=y⋅x, ou seja, 
a operação de multiplicação é comutativa. Dessa forma temos que (Z,+,⋅) é um anel 
comutativo com unidade.
 Exemplo 4.1.2: Da mesma maneira que mostramos que (Z,+,⋅) é um anel comutativo 
com unidade, é possível mostrar que (Q,+,⋅) e (R,+,⋅) também são anéis comutativos 
com unidade.
 Exemplo 4.1.3: O conjunto Zm, para m>1, munido das operações de adição e 
multiplicação definidas por 
 é um anel comutativo com unidade. De fato, Z_m é um grupo abeliano com a 
adição. É claro que a operação de multiplicação é associativa, que vale a distributividade 
da adição e que a multiplicação é comutativa. Além disso, 1� ∈ ℤ𝑚 é o elemento neutro 
da multiplicação. 
 Exemplo 4.1.4: considere o conjunto 𝑀2 ℝ = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 ; 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 ∈ ℝ das matrizes quadradas 
de ordem 2. Então 𝑀2(ℝ) é um grupo abeliano com a operação de adição em que 
o elemento neutro é a matriz nula 0 0
0 0 . Além disso é fácil ver que a operação de 
multiplicação de matrizes é associativa, vale a distributividade em relação à adição
e que o elemento neutro da multiplicação é a matriz identidade de ordem 2, 1 0
0 1 .
Portanto (𝑀2 ℝ , +,⋅ ) é um anel com unidade, mas não é um anel comutativo, já que não 
vale a comutatividade da multiplicação. De fato, sejam as matrizes 2 1
0 3 , −1 4
5 2 ∈ 𝑀2(ℝ). 
Então:
𝑎� + 𝑏� = 𝑎 + 𝑏 e 𝑎� ⋅ 𝑏� = 𝑎 ⋅ 𝑏.
2 1
0 3 ⋅ −1 4
5 2 = 3 10
15 6 e −1 4
5 2 ⋅ 2 1
0 3 = −2 11
10 11
Lembre-se de que para mostrar que uma propriedade de uma operação não é válida 
basta que ela nãoseja válida para um exemplo. Foi o que fizemos acima para mostrar 
que a multiplicação de matrizes não é comutativa.
FIQUE ATENTO
 Assim como acontece no caso dos grupos, se um subconjunto não vazio de 
um anel (A,+,⋅ ) for fechado para as operações, ou seja, for também um anel, ele será 
chamado subanel.
 Definição: Seja (A,+,⋅ ) um anel e sejam B um subconjunto não vazio de A. Se B 
4.2 SUBANÉIS E IDEAIS DE UM ANEL
52
também é um anel com as operações de A, então B é dito um subanel do anel A.
Para verificar se um subconjunto B de um anel (A,+,⋅) é um subanel de A é necessário 
demonstrar que (B,+,⋅) satisfaz todas as propriedades da definição de anel. Vamos 
mostrar agora um critério que faz com que essa verificação seja mais simples.
 Proposição 4.2.1: seja (A,+,⋅ ) um anel e seja B um subconjunto não vazio de A. 
Então B é um subanel de A se e somente se as seguintes condições são satisfeitas:
1. 0∈B;
2. Se x,y∈B então x-y∈B;
3. Se x,y∈B então x⋅y∈B.
 Demonstração:(⇒) Se B é um subanel de A então é claro que as propriedades 2) e 
3) são satisfeitas apenas pela definição de subanel. Além disso, o elemento neutro 0_B 
de B é igual ao de A. De fato, temos 0𝐵 = 𝑏 + −𝑏 = 0 ⇒ 0𝐵 = 0.
 (⇐) Suponha agora que B é um subconjunto não vazio de A que satisfaz as 
condições 1),2) e 3). Seja x∈B. Pelas condições 1) e 2), temos -x=0-x pertence a B. Assim, 
dados x,y∈B, temos x+y=x-(-y)∈B e portanto B é fechado para a adição. Pela condição 
3) temos que B é fechado para a multiplicação. Como as propriedades associativas, 
comutativas e distributivas são válidas para todos os elementos do anel A e B⊂A, essas 
propriedades também são válidas para os elementos de B. Portanto B é um subanel de 
A.
 Exemplo 4.2.1: considere os anéis (Z,+,⋅ ),(Q,+,⋅ ) e (R,+,⋅ ). Então (Z,+,⋅ ) é subanel dos 
anéis (Q,+,⋅ ) e (R,+,⋅ ) e (Q,+,⋅ ) é subanel de (R,+,⋅ ).
 Exemplo 4.2.2: considere o conjunto ℤ 2� ≔ 𝑎 + 𝑏 2� 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} . Então ℤ[ 2� � é um 
subanel de R. De fato, temos ℤ 2� ⊂ ℝ. Vamos verificar as três condições da Proposição 
4.2.1. Sejam 𝑎 + 𝑏 2� , 𝑐 + 𝑑 2� ∈ ℤ[ 2� ], , com a,b,c,d∈R. Então: 
1. 0 ∈ ℤ 2� , pois 0 = 0 + 0 ⋅ 2� ..
2. 𝑎 + 𝑏 2� − 𝑐 + 𝑑 2� = 𝑎 + 𝑏 2� − 𝑐 − 𝑑 2� = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 2� ∈ ℤ 2� .
3. 𝑎 + 𝑏 2� ⋅ 𝑐 + 𝑑 2� = 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 2� ∈ ℤ 2� . 
Para mais exemplos de anéis e subanéis consulte o livro “Estruturas algébricas 
para Licenciatura”, disponível em https://bit.ly/3vW5Glb. Acesso em: 20 jan. 2022. 
BUSQUE POR MAIS
 Vamos definir agora uma classe muito importante de subanéis: Os ideais de um 
anel. Eles serão necessários para definir o anel quociente, um conceito análogo ao de 
grupo quociente estudado no capítulo 2. 
 Definição: seja (A,+,⋅ ) um anel e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que I é 
um ideal a esquerda de A se
1. x-y ∈ I, ∀ x,y,∈I
2. a⋅x∈I,∀ a∈A,∀ x∈I.
 De maneira análoga, dizemos que I é um ideal a direita de A se 
1. x-y ∈ I, ∀ x,y,∈ I
2. x⋅a ∈ I,∀ a ∈ A,∀ x ∈ I.
 Se I é um ideal a direita e a esquerda de A dizemos que I é um ideal bilateral ou 
53
 Como a⋅v∈A e I é um ideal, temos a=(a⋅v)⋅u∈I, ou seja, todo elemento de A pertence 
simplesmente um ideal de A.
 Observe primeiramente que se (A,+,⋅ ) é um anel comutativo, então todo ideal a 
esquerda é também um ideal a direita, pois a⋅x=x⋅a para todo a∈A e x∈I. Observe ainda 
que todo ideal de A é um subanel de A. Para demonstrar isso, vamos verificar as três 
condições da Proposição 4.2.1. Faremos para os ideais a esquerda, mas a demonstração 
para os ideais a direita é completamente análoga. Como o produto a⋅x pertence a I 
para todo a∈A e x∈I e 0∈A, temos 0⋅x=0∈I. Sejam x,y∈I. Então pela definição de ideal x-y 
pertence a I e x⋅y∈I pois, em particular, x pertence a A. Portanto I é um subanel de A. A 
recíproca desse resultado não é verdadeira, ou seja, nem todo subanel de A é um ideal 
de A. De fato, vimos no Exemplo 4.2.1 que Z com as operações de adição e multiplicação 
é um subanel de Q. Entretanto, quando tomamos, por exemplo, 1
3 ∈ ℚ,, temos 1
3 ⋅ 𝑥 ∉ ℤ
para todo x∈Z que não é múltiplo de 3. Portanto, apesar de Z ser um subanel de Q, Z não 
é um ideal de Q.
 Vejamos agora alguns exemplos de ideais de um anel A.
 Exemplo 4.2.3: O subanel {0} (que contém apenas o elemento neutro da adição) 
e todo o anel A são ideais de A chamados ideais triviais.
 Exemplo 4.2.4: Seja n≥0 um número inteiro. O subconjunto nZ≔{nz ┤| z∈Z} é um 
ideal de Z. De fato, dados nz_1,nz_2∈nZ, e x∈Z, temos:
1. 𝑛𝑧1 − 𝑛𝑧2 = 𝑛 𝑧1 − 𝑧2 ∈ 𝑛ℤ
2. 𝑥 𝑛𝑧1 = 𝑛𝑥𝑧1 = 𝑛 𝑥𝑧1 ∈ 𝑛ℤ, já que 𝑥𝑧1 ∈ ℤ.
 Exemplo 4.2.5: seja (A,+,⋅ ) um anel e sejam x_1,x_2,⋯,x_n elementos de A. Então 
o conjunto 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑎1, 𝑎2 ,⋯ , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴},, é claramente um ideal a esquerda 
de A. Esse conjunto é chamado ideal a esquerda gerado pelos elementos 𝑥1 , 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 
e denotado por 𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 Se o anel A for comutativo ele será também um ideal 
a direita. Com esse exemplo notamos que quaisquer elementos de um anel A podem 
gerar um ideal de A. Quando um ideal I for gerado por apenas um elemento, ou seja, for 
do tipo 𝐼 = 𝑥1 = 𝐴 ⋅ 𝑥1 , com x_1∈A, esse ideal é chamado ideal principal a esquerda. Se 
for do tipo I=(x_1 )=x_1⋅A, com x_1∈A, o ideal é chamado ideal principal a direita. Se ele 
for um ideal a direita e a esquerda ele é chamado apenas de ideal principal. 
 Proposição 4.1.2: seja (A,+,⋅ ) um anel comutativo e seja I um ideal de A. 
 Se a∈I, então -a∈I.
 Se a,b∈I, então a+b∈I.
 Se o anel A é um anel com unidade e algum elemento inversível de A pertence a 
I, então I=A.
 Demonstração: 1) Mostramos no parágrafo que sucede a definição de ideal que 
todo ideal de um anel A é um subanel de A. Portanto, pela definição de subanel, 0∈I. Se 
a∈I, então pela primeira condição da definição de ideal, 0-a=-a∈I.
2) Sejam a,b∈I. Por 1) temos que -b pertence a I. Então pela definição de ideal, a-(-
b)=a+b∈I.
 3) Como I é um ideal de A, temos I⊂A. Para mostrar que I=A basta verificar que A⊂I. 
Seja 1 a unidade de A, ou seja, 1 é o elemento neutro da multiplicação. Então, para todo 
a∈A temos a⋅1=a. Seja u um elemento inversível de A tal que u∈I. Então, pela definição de 
elemento inversível, existe v∈A tal que u⋅v=1. Assim, temos:
𝑎 = 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎 ⋅ 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑎 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝑢 = 𝑎 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝑢 ⇒ 𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝑢
54
a I, logo A⊂I e com isso concluímos que A=I.
 Seja A um anel comutativo e I um ideal de A. Vamos definir a seguinte relação em 
A: Dados x,y∈A,
 No início deste livro estávamos utilizando a notação R para definir uma relação 
em um conjunto. Aqui modificamos apenas a notação. No lugar de escrevermos xRy 
escrevemos x≡y (mod I), mas o significado dessas duas notações é o mesmo. Vamos 
mostrar que ≡(mod I) é uma relação de equivalência. De fato, sejam x,y,z∈A. Temos:
 Reflexividade: x≡x (mod I) pois x-x=0∈I.
 Simetria: Se x≡y (mod I) então x-y∈I. Mas pelo item 1) da Proposição 4.1.2, temos 
-(x-y)=y-x∈I e portanto y≡x (mod I).
 Transitividade: Suponha x≡y (mod I) e y≡z (mod I). Então x-y∈I e
 y-z∈I. Temos x-z=(x-y)+(y-z)∈I e portanto x≡z (mod I) 
 Portanto ≡(mod I) é uma relação de equivalência e divide o anel A em classes de 
equivalência. Denotaremos a classe do elemento a∈A por
 Denotaremos por A⁄I o conjunto das classes de equivalência de A módulo I. Vamos 
definir em A/I as operações ⊕ e ⊙ da seguinte forma: Dados x̅,y̅∈A⁄I, definimos
 Essas operações estão bem definidas (verifique!). Vamos mostrar que (A⁄I,⊕,⊙ ) 
é um anel comutativo com unidade. De fato, dados x̅,y̅,z̅∈A⁄I, temos 
 Com a verificação de todas essas propriedades mostramos que (A⁄I,⊕,⊙) é um 
anel comutativo com unidade, chamado anel quociente de A módulo I.
𝑥 ≡ 𝑦 𝑚𝑜𝑑 𝐼 ⇔ 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐼 
𝑎� = 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝐼)}.
�̅� ⊕ 𝑦� ≔ 𝑥 + 𝑦 e �̅� ⊙ 𝑦�: = 𝑥 ⋅ 𝑦
1. �̅� ⊕ 𝑦� ⊕ 𝑧̅ = 𝑥 + 𝑦 ⊕ 𝑧̅ = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = �̅� ⊕ 𝑦 + 𝑧 = �̅� ⊕ 𝑦� ⊕ 𝑧̅
2. Seja 0� ∈ 𝐴 𝐼⁄ . Então 0� ⊕ �̅� = 0 + 𝑥 = 𝑥 + 0 = �̅�.
3. 𝑥 ⊕ −𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0�, portanto, todo elemento possui inverso para a operação⊕.
4. �̅� ⊕ 𝑦� = 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 = 𝑦� ⊕ �̅�.
5. �̅� ⊙ 𝑦� ⊙ 𝑧̅ = 𝑥 ⋅ 𝑦 ⊙ 𝑧̅ = 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧 = �̅� ⊙ 𝑦 ⋅ 𝑧 = �̅� ⊙ (𝑦� ⊙ 𝑧̅)
6. �̅� ⊙ 𝑦� ⊕ 𝑧̅ = �̅� ⊙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑧 = 𝑥 ⋅ 𝑦 ⊕ 𝑥 ⋅ 𝑧 =
�̅� ⊙ 𝑦� ⊕ �̅� ⊙ 𝑧̅ .
7. Como o anel 𝐴 tem unidade, existe 1� ∈ 𝐴 𝐼⁄ tal que 1� ⊙ �̅� = 1 ⋅ 𝑥 = 𝑥 ⋅ 1 = �̅�.
8. �̅� ⊙ 𝑦� = 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑦 ⋅ 𝑥 = 𝑦� ⊙ �̅�
 Nesta seção veremos anéis que satisfazem algumas propriedades adicionais e 
que devido a esse fato recebem nomes especiais. 
 Para ilustrar o primeiro anel que vamos definir, considere a equação 𝑥2 − 3𝑥 = 0 
4.3 TIPOS DE ANÉIS
55
onde x∈R (lembre-se de que o conjunto dos números reais é um anel comutativo com 
unidade com as operações de adição e multiplicação). Para resolver essa equação 
do segundo grau evidenciamos x e temos x(x-3)=0. Depois disso concluímos que x=0 
ou x=3. Para chegar a essa conclusão utilizamos o fato de que se o produto de dois 
números reais é zero então pelo menos um deles deve ser igual a zero. Essa é uma 
propriedade importante e quando um anel possui essa propriedade ele é chamado 
anel de integridade, domínio de integridade ou simplesmente domínio. 
 Definição: seja A um anel comutativo com unidade. Se dados dois elementos não 
nulos x,y∈A tivermos x⋅y≠0, então A é chamado domínio de integridade.
 Exemplo 4.3.1: os anéis (Z,+,⋅),(Q,+,⋅) e (R,+,⋅) são domínios, pois já verificamos que 
eles são anéis comutativos com unidade e o produto de dois elementos não nulos de 
qualquer um desses anéis é um elemento não nulo.
 Exemplo 4.3.2: o anel Z[√2]≔{a+b√2 | a,b∈R} é um domínio. Ele é um anel comutativo 
e sua unidade é 1∈Z. Sejam a+b√2, c+d√2∈Z[√2] não nulos. Note que para que a+b√2 
seja não nulo devemos ter a≠0 ou b≠0. De maneira análoga, para que c+d√2 seja não 
nulo devemos ter c≠0 ou d≠0. Então:
 pelas condições de a,b,c,d analisadas acima.
 Exemplo 4.3.3: seja A um domínio. Sejam x,y,z∈A com x≠0. Então:
 De fato, se x⋅y=x⋅z então x⋅y-x⋅z=0⇒x⋅(y-z)=0. Como A é domínio temos x=0, o que 
contraria a hipótese, logo y-z=0⇒y=z.
 Vejamos agora um outro caso especial de anel.
 Definição: seja (A,+,⋅ ) um anel comutativo com unidade. Se todo elemento não 
nulo de A possui um inverso multiplicativo, ou seja, 
 A é chamado corpo. Denotaremos o inverso multiplicativo de x por x^(-1).
 Exemplo 4.3.4: o anel (Z,+,⋅ ) não é um corpo já que seus elementos não possuem 
inverso multiplicativo. Por exemplo, dado 2∈Z, não existe x∈Z tal que 2⋅x=1 (para que isso 
acontecesse, x deveria ser igual a 1/2, mas 1/2∉Z).
 Exemplo 4.3.5: os anéis (Q,+,⋅ ) e (R,+,⋅ ) são corpos pois são anéis comutativos 
Observe que no exemplo feito no início da seção analisamos o caso em que se o produto 
de dois elementos de um anel é zero (elemento neutro da adição) então pelo menos um 
desses elementos deve ser igual a zero e na definição fizemos o contrário, partimos da hi-
pótese de que se dois números são não nulos então o produto desses dois números deve 
ser diferente de zero. Essas duas condições são equivalentes já que uma é a contrapositiva 
da outra. Portanto, para verificar se um anel é um domínio, é possível escolher qualquer 
uma das duas maneiras.
VAMOS PENSAR?
𝑎 + 𝑏 2� ⋅ 𝑐 + 𝑑 2� = 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 2� + 𝑏𝑐 2� ≠ 0
𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑥 ⋅ 𝑧 ⇒ 𝑦 = 𝑧
∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∖ 0 , ∃ 𝑥−1 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 ⋅ 𝑥−1 = 1
56
com unidade e todo elemento desses anéis possui inverso multiplicativo. 
 Seja (A,+,⋅ ) um anel comutativo com unidade. Da mesma forma que acontece 
com o inverso de um elemento de A em relação à adição, o inverso multiplicativo de 
um elemento de A também é único. De fato, seja x∈A e suponha que y,y'∈A sejam dois 
inversos multiplicativos de x, ou seja, x⋅y=1 e x⋅y'=1. Vamos mostrar que y=y'. De fato,
 Proposição 4.3.1: Todo corpo é um domínio.
 Demonstração: Seja A um corpo e sejam x,y∈A tais que x⋅y=0. Como A é corpo 
existe x^(-1)∈A tal que x⋅x^(-1)=1. Então
𝑥 ⋅ 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥−1 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑥−1 ⋅ 0 ⇒ 𝑥−1 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0 ⇒ 1 ⋅ 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = 0.
 
 Com isso, mostramos que se o produto de dois elementos de A é zero (elemento 
neutro da adição) então um deles deve ser nulo, ou seja, A é um domínio.
 A recíproca da Proposição acima não é verdadeira. De fato, vimos que (Z,+,⋅) é 
um domínio mas não é um corpo. Portanto nem todo domínio é um corpo. Entretanto se 
adicionamos a hipótese de que o número de elementos de um domínio é finito ele é um 
corpo.
 Proposição 4.3.2: todo domínio A com um número finito de elementos é um corpo.
 Demonstração: seja x∈A com x≠0 e considere o conjunto {xn| n∈N}, ou seja, 
o conjunto dos produtos {x; x⋅x; x⋅x⋅x; ⋯} e note que como A é um anel ele é fechado 
para a multiplicação e, portanto, todos esses produtos pertencem a A. Como A é finito 
existem dois números naturais 𝑛1 < 𝑛2 tais que 𝑥𝑛1 = 𝑥𝑛2 , ou seja, 𝑥𝑛2−𝑛1 = 1. Portanto, 
𝑥 ⋅ 𝑥𝑛2−𝑛1−1 = 𝑥𝑛2−𝑛1 = 1 , ou seja, todo elemento x tem inverso multiplicativo e, portanto, 
A é um corpo.
𝑦 = 𝑦 ⋅ 1 = 𝑦 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑦′ = 𝑦 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑦′ = 1 ⋅ 𝑦′ = 𝑦′
57
1. Seja (A,+,⋅) um anel. Marque a alternativa correta.
a) A é um grupo não abeliano com a operação +.
b) Se A é comutativo em relação a operação + então é um anel comutativo.
c) Vale a distributividade da adição em relação à multiplicação.
d) A necessariamente possui unidade.
e) A é um grupo abeliano com a operação ⋅ .
2. Assinale a alternativa correta.
a) Todo corpo é um anel de integridade.
b) Todo anel de integridade é um corpo.
c) Z é um corpo.
d) Z_m não é um anel com as operações + e ⋅ .
e) Num anel de integridade existem elementos a e b não nulos tais que a⋅b=0.
3. (ENADE- 2008). No anel Z12 dos inteiros módulo 12,
a) não há divisores de zero.
b) todo elemento não nulo é inversível.
c) o subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de Z12.
d) a multiplicação não é comutativa.
e) há exatamente 4 elementos inversíveis.
4. Considere o conjunto Z×Z munido das operações + e × definidas por:
Assinale a alternativa correta.
a) Z×Z não é um anel com as operações + e ×.
b) Z×Z é um anel comutativo com unidade com as operações + e ×.
c) Z×Z é um anel não comutativo com as operações + e ×.
d) Z×Z é um anel com as operações + e × que não possui unidade.
e) Z×Z não é um grupo abeliano com a operação +.
5. Assinale a alternativa correta.
a) Z não é um subanel de Q.
b) Q não é um corpo.
c) Todos os elementos de Z possuem inverso multiplicativo.
d) Q é um subanel de R.
FIXANDO O CONTEÚDO
𝑎, 𝑏 + 𝑐,𝑑 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) e 𝑎, 𝑏 × 𝑐,𝑑 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐).
58
e) R não é um corpo.
6. Assinale a alternativa correta.
a) O conjunto dos elementos inversíveis de Z é {-1,1}.
b) O conjunto dos elementos inversíveis de Q é {-1,1}.
c) Q possui elementos não nulos que não são inversíveis.
d) Um corpo é um anel que não precisa ter unidade.
e) R possui elementos não nulos que não são inversíveis.
7. Sabemos que ℤ5 = {0� , 1� , 2� , 3� , 4�}. O elemento de Z5 que satisfaz a equação 
3�𝑥 + 1� = 2� é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
8. (ENADE- 2014). O conjunto M2 (Z) é formado pelas matrizes quadradas de ordem 
2 com entradas inteiras. Esse conjunto é fechado sob as operações usuais de soma 
e multiplicação de matrizes, uma vez que as entradas das matrizes resultantes da 
soma e da multiplicação são números inteiros. Com relação à estrutura algébrica 
desse conjunto com as operações descritas, avalie as seguintes asserções e a relação 
proposta entre elas.
I. O conjunto M2 (Z), munido das operações usuais de soma e multiplicação, forma 
uma anel 
PORQUE
II. O conjunto M2 (Z), munido com a operação usual de soma de matrizes, forma um 
grupo e existe o elemento unidade dado pela matriz identidade de ordem 2.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
a)As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
b) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposiçãofalsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são proposições falsas.
0�
1�
2�
3�
4�
59
HOMOMORFISMOS 
DE ANÉIS
60
 Assim como fizemos no caso de grupos, quando definimos uma nova estrutura 
nos perguntamos como funcionam as aplicações entre essas estruturas. Vamos definir 
agora um homomorfismo de anéis.
 Definição: sejam (A,+,⋅ ) e (B,⊕,⊙) dois anéis comutativos com unidade. Uma 
aplicação f:A→B é chamada homomorfismo se ela é compatível com a estrutura dos 
anéis, ou seja, se dados x,y∈A, tivermos
1. f(x+y)=f(x)⊕f(y)
2. f(x⋅y)=f(x)⊙f(y)
 Vejamos alguns exemplos de homomorfismos de anéis.
 Exemplo 5.1.1: a aplicação Id:(A,+,⋅ )→(A,+,⋅ ) dada por Id(a)=a,∀ a∈A, é um 
homomorfismo chamado identidade. De fato, dados a,b∈A, temos
1. Id(a+b)=a+b=Id(a)+Id(b)
2. Id(a⋅b)=a⋅b=Id(a)⋅Id(b)
 Exemplo 5.1.2: considere os anéis (Z×Z,⊕ ,⊙) e (Z,+,.) com as operações definidas 
da seguinte forma: Dados (a1,b1 ),(a2,b2 )∈Z×Z,
• (a1,b1)⊕(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2)
• (a1,b1)⊙(a2,b2 )=(a1⋅a2,b1⋅b2)
 A aplicação f:Z→Z×Z definida por f(n)=(n,0) é um homomorfismo. De fato, sejam 
a,b∈Z. Então
1. f(a+b)=(a+b,0)=(a,0)⊕(b,0)=f(a)⊕f(b)
2. f(a⋅b)=(a⋅b,0)=(a,0)⊙(b,0)=f(a)⊙f(b)
 Exemplo 5.1.3: seja (A,+,⋅ ) um anel e I um ideal de A. Então a aplicação
 ϕ:(A,+,⋅ )→(A⁄I,⊕,⊙) entre A e o anel quociente A⁄I definida por
 ϕ(a)=a+I,∀ a∈A, é um homomorfismo. De fato, sejam a,b∈A. Então,
1. ϕ(a+b)=(a+b)+I=(a+I)⊕(b+I)=ϕ(a)⊕ϕ(b)
2. ϕ(a⋅b)=(a⋅b)+I=(a+I)⊙(b+I)=ϕ(a)⊙ϕ(b)
 Exemplo 5.1.4: sejam os anéis comutativos com unidade (A,+,⋅) e (B,∆,# ). A 
aplicação f(a)=0B, é um homomorfismo chamado homomorfismo nulo. Dados x,y∈A, 
temos:
1. f(x+y)=0B=0B ∆ 0B=f(x) ∆ f(y)
2. f(x⋅y)=0B=0B # 0B=f(x) # f(y)
 Sejam (A,+,⋅) e (B,⊕,⊙) dois anéis comutativos com unidade e f:A→B um 
homomorfismo. Temos as seguintes propriedades:
5.1 DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE HOMOMORFISMOS
Quando definimos o homomorfismo de grupos tínhamos apenas uma condição sobre uma 
aplicação f para que ela fosse um homomorfismo. Já para os homomorfismos de anéis a 
aplicação deve satisfazer duas condições, como pode ser observado acima. Isso acontece 
porque um grupo é um conjunto munido de apenas uma operação enquanto um anel é 
um grupo munido de duas operações.
VAMOS PENSAR?
61
1. Se f é sobrejetor então f(1A )=1B. 
 De fato, seja y∈B. Como f é sobrejetora, existe x∈A tal que f(x)=y. Então
2. Se a∈A é um elemento inversível então [f(a)]-1=f(a-1). Temos 
3. Seja 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = 𝑎 ∈ 𝐴 𝑓 𝑎 = 0}. Então Ker f é um ideal de A chamado núcleo de f. 
 Vamos mostrar que Ker f é um ideal de A. Sejam x,y∈Ker f e a∈A. Então 
 Podemos calcular o núcleo do homomorfismo f:Z→Z×Z definida por f(n)=(n,0) do 
Exemplo 5.1.2. Temos:
 Como f(n)=(n,0) teremos (n,0)=(0,0) se e somente se n=0, ou seja, Ker f={0}.
4. O conjunto Im f={f(a)| a∈A} é um anel com as operações de (B,⊕,⊙) chamado 
imagem de f. 
 Vamos mostrar que (Im f,⊕,⊙) é um anel. Sejam f(a),f(b),f(c)∈Im f. No Capítulo 2 
mostramos que a imagem de um homomorfismo é um subgrupo de B com a operação 
⊕. Basta mostrarmos então as propriedades referentes à operação ⊙. Temos:
 f é um homomorfismo injetor se e somente se Ker f={0}.
5. A demonstração desse fato segue de maneira análoga a feita no Capítulo 2.
𝑦⊙ 𝑓 1𝐴 = 𝑓 𝑥 ⊙ 𝑓 1𝐴 = 𝑓 𝑥 ⋅ 1𝐴 = 𝑓 𝑥 = 𝑦 ⇒ 𝑓 1𝐴 = 1𝐵.
𝑓 𝑎 ⊙ 𝑓 𝑎−1 = 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑎−1 = 𝑓 1𝐴 = 1𝐵 ⇒ 𝑓 𝑎−1 = 𝑓 𝑎 −1.
Na Propriedade 2 obtivemos que 𝑓 𝑎 ⊙ 𝑓 𝑎−1 = 1𝐵 e concluímos a partir disso que 
𝑓 𝑎−1 = 𝑓 𝑎 −1.. Isso decorre da definição de inverso multiplicativo pois o inverso de f(a) é 
𝑓(𝑎−1),, ou seja, 𝑓 𝑎 −1 = 𝑓(𝑎−1)..
FIQUE ATENTO
• 𝑓 𝑥 − 𝑦 = 𝑓 𝑥 ⊕ 𝑓 −𝑦 = 0 ⊕ 0 = 0 e, portanto, 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝑓.
• 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑓 𝑎 ⊙ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 ⊙ 0 = 0 e portanto 𝑎 ⋅ 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝑓.
𝐾𝑒𝑟 𝑓 = 𝑛 ∈ ℤ 𝑓 𝑛 = (0,0)}
• 𝑓 𝑎 ⊙ 𝑓 𝑏 ⊙ 𝑓 𝑐 = 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑏 ⊙ 𝑓 𝑐 = 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑓 𝑎 ⊙ 𝑓 𝑏 ⋅ 𝑐 =
𝑓 𝑎 ⊙ [𝑓 𝑏 ⊙ 𝑓 𝑐 ]
• 𝑓 𝑎 ⊙ 𝑓 𝑏 ⊕ 𝑓 𝑐 = 𝑓 𝑎 ⊙ 𝑓 𝑏 + 𝑐 = 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑐 = 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐 =
𝑓 𝑎 ⋅ 𝑏 ⊕ 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑓 𝑎 ⊙ 𝑓 𝑏 ⊕ [𝑓(𝑎) ⊙𝑓(𝑐)]
• 𝑓 𝑎 ⊙ 𝑓 𝑏 = 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑓 𝑏 ⋅ 𝑎 = 𝑓(𝑏) ⊙𝑓(𝑎)
• 1𝐵 ⊙ 𝑓 𝑎 = 𝑓 1𝐴 ⊙ 𝑓 𝑎 = 𝑓 1𝐴 ⋅ 𝑎 = 𝑓(𝑎)
62
 Tudo o que vimos para o caso em que um conjunto é um grupo possui uma 
ideia análoga na teoria de anéis. Seguindo essa linha, temos também o Teorema dos 
isomorfismos de anéis.
 Definição 5.2.1: sejam (A,+,⋅) e (B,⊕,⊙ ) dois anéis. Um homomorfismo f:A→B é um 
isomorfismo se ele é injetor e sobrejetor. Quando existe um isomorfismo entre dois anéis 
A e B dizemos que eles são isomorfos e denotamos A≃B.
 Exemplo 5.2.2: considere os anéis ℤ6 ,ℤ2 e ℤ3 e a aplicação 𝑓:ℤ6 → ℤ2 × ℤ3 definida 
por 𝑓 �̅� = (𝑥, �⃛�), , onde �̅� representa a classe de x em ℤ6, 𝑥 � representa a classe de x 
em Z2 e x ⃛ representa a classe de x em Z3 (Cuidado para não confundir as notações!). 
Mostremos primeiramente que f está bem definida. De fato, sejam x,y∈Z tais que �̅� = 𝑦�
. Então temos que (x-y) é um múltiplo de 6 e isso só acontece se 2|(x-y) e 3| (x-y) o que 
implica que x e y pertencem a mesma classe tanto em Z_2 quanto em Z_3, ou seja, 
�̿� = 𝑦� e 𝑥 = 𝑦.. Assim 𝑥, 𝑥 = (𝑦, 𝑦) e a operação está bem definida. 
• f é injetora. De fato, sejam x,y∈Z tais que 𝑥, 𝑥 = (𝑦, 𝑦), ou seja, �̿� = 𝑦� e 𝑥 = 𝑦.. Isso 
significa que 2 | (x-y) e 3 | (x-y) e portanto 6 | (x-y). Logo x e y pertencem a mesma 
classe em Z_6, ou seja, x ̅=y ̅.
• Temos ℤ6 = {0� , 1� , 2� , 3� , 4� , 5�} e ℤ2 × ℤ3 = { 0,� 0⃛ , 0,� 1⃛ , 0,� 2⃛ , 1,� 0⃛ , 1,� 1⃛ , (1,� 2⃛)}. Como f é injetora e 
tanto Z6 quanto Z2×Z3 possuem 6 elementos, f é sobrejetora.
• f é um homomorfismo de anéis. De fato, 
1. 𝑓 �̅� + 𝑦� = 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦⃛ = �̿� + 𝑦�, 𝑥 + 𝑦 = �̿�, 𝑥 + 𝑦�, 𝑦 = 𝑓 �̅� + 𝑓(𝑦��
2. 𝑓 �̅� ⋅ 𝑦� = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑥 ⋅ 𝑦, 𝑥 ⋅ 𝑦⃛ = �̿� ⋅ 𝑦�, 𝑥 ⋅ 𝑦 = �̿�, 𝑥 ⋅ 𝑦�, 𝑦 = 𝑓 �̅� ⋅ 𝑓(𝑦�).
 
 Vimos na seção anterior que se f:A→B é um homomorfismo de anéis então Ker f 
é um ideal de A e podemos considerar o anel quociente A⁄(Ker f). Vamos denotar por 
+ ̃ e ⋅ ̃ as operações em A⁄(Ker f) induzidas pelas operações de A. Vamos finalizar esse 
capítulo enunciando e demonstrando o Teorema dos Isomorfismos para anéis.
 Teorema 5.2.1 (Teorema dos isomorfismos): Sejam (A,+,⋅ ) e (B,⊕,⊙) dois anéis e 
f:A→B um homomorfismo. Então a aplicação 
5.2 O TEOREMA DOS ISOMORFISMOS
𝑓:� 𝐴 𝐾𝑒𝑟 𝑓, ⁄ +� ,⋅̃ → 𝐼𝑚 𝑓, +,⋅
𝑎� ↦ 𝑓(𝑎)
 é um isomorfismo de anéis.
 Demonstração: Vamos verificar primeiramente que a aplicação 𝑓̅ está bem 
definida. Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 tais que �̅� = 𝑦� . Isso significa que (x-y) pertence a Ker f, ou seja, 
f(x-y)=0. Como f é um homomorfismo, temos:
 e portanto 𝑓̅ está bem definida. Precisamos mostrar agora que 𝑓̅ é um 
homomorfismo bijetor. Vamos mostrar primeiro de 𝑓̅ é um homomorfismo de anéis. 
𝑓 𝑥 − 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 = 0 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑦)
63
Sejam x,y∈A. Temos:
1. 𝑓̅ �̅� +� 𝑦� = 𝑓̅ 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 ⊕ 𝑓 𝑦 = 𝑓̅ �̅� ⊕ 𝑓̅ 𝑦�
2. 𝑓̅ �̅� ⋅̃ 𝑦� = 𝑓̅ 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑓 𝑥 ⊙ 𝑓 𝑦 = 𝑓̅ �̅� ⊙ 𝑓̅ 𝑦�
 𝑓̅ é sobrejetora pois seu contradomínio é exatamente o conjunto Im f. Temos 
ainda 𝐾𝑒𝑟 𝑓̅ = {�̅� ∈ 𝐴 𝐾𝑒𝑟 𝑓 𝑓 𝑥 = 0 = �̅� ∈ 𝐴 𝐾𝑒𝑟 𝑓 | 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝑓⁄⁄ = {0�}. Portanto 𝑓̅ é injetora. 
Com isso mostramos que 𝑓̅ é um isomorfismo.
Para mais exemplos de homomorfismos e isomorfismos de anéis, consulte o 
livro Álgebra moderna disponível em: https://bit.ly/3pVS7hP. Acesso em: 20 jan. 
2022. 
BUSQUE POR MAIS
64
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Assinale a alternativa correta.
a) 𝑓:ℤ → ℤ, 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 é um homomorfismo de anéis.
b) 𝑓:ℤ → ℤ, 𝑓 𝑥 = 2𝑥 é um homomorfismo de anéis.
c) 𝑓:ℤ → ℤ, 𝑓 𝑥 = 3𝑥 é um homomorfismo de anéis.
d) 𝑓:ℤ → ℤ × ℤ, 𝑓 𝑥 = (0, 𝑥) é um homomorfismo de anéis.
e) 𝑓:ℤ → ℤ, 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 é um homomorfismo de anéis.
2. Considere o conjunto Z×Z munido das operações de adição e multiplicação definidas 
por 
Assinale a alternativacorreta.
a) (ℤ × ℤ , +,⋅ ) não é um anel.
b) (ℤ × ℤ , +,⋅ )é um anel não comutativo.
c) A aplicação 𝑓:ℤ × ℤ → ℤ definida por 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑎 é um homomorfismo sobrejetor.
d) A aplicação 𝑓:ℤ × ℤ → ℤ definida por f(a,b)=a é um homomorfismo injetor.
e) A aplicação 𝑓:ℤ × ℤ → ℤ definida por f(a,b)=a é um isomorfismo.
3. Sejam (A,+,⋅) e (B,⊕,#) dois anéis e f:A→B um homomorfismo. Assinale a alternativa 
correta.
a) Dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑓 𝑎 + 𝑏 = 𝑓 𝑎 #𝑓(𝑏) .
b) Dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑓 𝑎 ⊕ 𝑓(𝑏).
c) Dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑓 𝑎 + 𝑏 = 𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏).
d) Dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑓(𝑏).
e) Dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑓 𝑎 + 𝑏 = 𝑓 𝑎 ⊕ 𝑓(𝑏).
4. Sejam (A,+,⋅ ) e (B,⊕,#) dois anéis e f:A→B um homomorfismo. Assinale a alternativa 
correta.
a) Se f é injetor então 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = {0𝐴}.
b) Se f é injetor então 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = {0𝐵}.
c) Se f é sobrejetor então 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = {0𝐴}.
d) Se f é sobrejetor então 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = {0𝐵}.
e) Se f é injetor então f é um isomorfismo.
5. Sejam (A,+,⋅ ) e (B,⊕,#) dois anéis e f:A→B um homomorfismo. Assinale a alternativa 
correta.
𝑎, 𝑏 + 𝑐,𝑑 = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑
𝑎, 𝑏 ⋅ 𝑐,𝑑 = (𝑎𝑐, 0)
65
a) O conjunto Im f é um subanel de A.
b) O conjunto Ker f é um ideal de B.
c) O conjunto Im f é um ideal de B.
d) O conjunto Im f é um subanel de B.
e) Se f é injetor então Ker f≠{0}.
6. Seja f:Z×Z→Z×Z uma aplicação dada por f(x,y)=(mx+ny,px+qy), com m,n,p,q∈Z. Assinale 
a alternativa correta.
a) Se m=n=p=q=1 então f é um homomorfismo.
b) Se m=n=p=q=2 então f é um homomorfismo.
c) Se m=0 e n=p=q=1 então f é um homomorfismo.
d) Se m=n=p=0 e q=1 então f é um homomorfismo.
e) Se m=n=p=q=3 então f é um homomorfismo
7. Seja f:Z→Z×Z uma aplicação. Assinale a alternativa correta.
a) Se f é dado por f(x)=(0,0) então f não é um homomorfismo.
b) Se f é dado por f(x)=(x,0) então f não é um homomorfismo.
c) Se f é dado por f(x)=(0,x) então f não é um homomorfismo.
d) Se f é dado por f(x)=(x,x) então f não é um homomorfismo.
e) Se f é dado por f(x)=(x^2,x^2) então f não é um homomorfismo.
8. Sejam (A,+,⋅ ) e (B,⊕,#) dois anéis e f:A→B um homomorfismo. Assinale a alternativa 
correta.
a) Se f é sobrejetor, Im f=A.
b) Se f é injetor, A≃Im f.
c) Se f é injetor, A≃Ker f.
d) Se f é sobrejetor, A≃Im f.
e) Se f é injetor, B=Im f.
66
O ANEL DE POLINÔMIOS 
EM UMA VARIÁVEL
67
 Neste capítulo veremos a definição e as propriedades de um anel muito 
importante, o anel de polinômios em uma variável. Ele pode ser estendido a um anel de 
várias variáveis, mas isso está além dos objetivos desse curso. A noção de polinômio 
já é conhecida da matemática do Ensino Médio e aqui complementaremos com 
propriedades importantes.
 Definição: seja (K,+,⋅ ) um corpo. Chamamos de polinômio sobre K na variável x a 
expressão 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ , onde n∈N e os coeficientes ai∈K para todo 
i∈N e apenas um número finito de coeficientes é diferente de zero.
 Vejamos algumas observações importantes sobre os polinômios:
• Dois polinômios 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ e 𝑞 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑚𝑥𝑚+⋯ , são 
iguais se e somente se ai=bi para todo i≥0.
• Um polinômio p(x) é chamado polinômio identicamente nulo se todos os seus 
coeficientes são iguais a zero, ou seja, p(x)=0. Isso significa que um polinômio
𝑞 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ é identicamente nulo se e somente se todos os 
seus coeficientes ai são nulos. 
• Se o polinômio p(x) for do tipo p(x)=a, com a∈K, chamamos p(x) de polinômio 
constante. Por exemplo, os polinômios p(x)=3 e 𝑞 𝑥 = 
3
5 s6ão polinômios constantes. 
• Seja 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ tal que 𝑎𝑛 ≠ 0 e 𝑎𝑗 = 0 ∀ 𝑗 > 𝑛, ou seja, todos os 
coeficientes de índice maior que n são nulos. Nesse caso escreveremos esse polinômio 
como 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 e definimos o grau de p(x) como a maior potência 
da variável x em p(x), ou seja, o grau de p(x) é n. Denotamos o grau de um polinômio 
pelo símbolo ∂ e escrevemos ∂ 𝑝 𝑥 = 𝑛 . Se p(x) é um polinômio constante então 
seu grau é zero, já que pode ser escrito como p(x)=ax0, já que x0=1. O coeficiente 
que acompanha o termo de maior grau de p(x) é chamado coeficiente líder do 
polinômio p(x). Por exemplo, para o polinômio p(x)=5x4+2x2-7x+1 temos ∂(p(x))=4 e 
seu coeficiente líder é 5.
 Vamos denotar por K[x] o conjunto de todos os polinômios na variável x com 
coeficientes no corpo K. Vejamos alguns exemplos:
 Exemplo 6.1.1: considere o polinômio 𝑝 𝑥 = −6𝑥7 + 4
9 𝑥
4 − 2𝑥 + 18 ∈ ℚ 𝑥 ,, ou seja, p(x) 
é um polinômio na variável x com coeficientes no corpo Q dos números racionais. O 
coeficiente líder de p(x) é -6 e ∂(p(x))=7.
 Exemplo 6.1.2: considere o polinômio ℎ 𝑥 = 3𝑥10 + 5𝑥2 − 9𝑥 + 7 ∈ ℚ[𝑥]. Seu 
coeficiente líder é 3 e ∂(h(x))=10. 
6.1 DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES
Note que os coeficientes do polinômio h(x) definido acima pertencem ao conjunto Z dos 
números inteiros. Entretanto, como Z não é um corpo, não definimos o conjunto Z[x] e por 
isso consideramos h(x) como um polinômio com coeficientes em Q, já que Z⊂Q.
FIQUE ATENTO
 Exemplo 6.1.3: considere o polinômio 𝑞 𝑥 = 𝑥9 − 𝜋𝑥8 + 3𝑥5 ∈ ℝ 𝑥 . O coeficiente líder 
de q(x) é 1 e ∂(q(x))=9.
 Definição: Quando um polinômio em K[x] possui coeficiente líder igual a 1 o 
68
chamamos de polinômio mônico. 
O polinômio do Exemplo 6.1.1 tem coeficientes em Q e como
 Q⊂R, podemos considerá-lo também como um polinômio em R[x]. Já o polinômio do 
Exemplo 6.1.3 que pertence a R[x] não pertence a Q[x] já que um dos coeficientes desse 
polinômio é π e π∉Q.
VAMOS PENSAR?
 Exemplo 6.1.4: 𝑝 𝑥 = 4𝑥5 + 2𝑥−1 + 3 não é um polinômio pois existe uma potência 
negativa da variável x e isso não é permitido na definição de um polinômio, pois todos 
os expoentes da variável devem ser números naturais.
 De acordo com o título deste capítulo, o conjunto K[x] dos polinômios na variável 
x com coeficientes em K é um anel. Para mostrarmos que ele é realmente um anel 
precisamos primeiramente definir as operações de adição e multiplicação nesse 
conjunto. Sejam 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 e 𝑞 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑚𝑥𝑚 dois polinômios 
em K[x]. Definimos: 
• 𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + ⋯+ 𝑐𝑘𝑥𝑘, é dado por 𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 .
• 𝑝 𝑥 ⋅ 𝑞 𝑥 = 𝑑0 + 𝑑1𝑥 + ⋯+ 𝑑ℓ𝑥ℓ, onde 𝑑0 = 𝑎0𝑏0, 𝑑1 = 𝑎0𝑏1 + 𝑎1𝑏0 e assim sucessivamente. 
De maneira mais clara, a multiplicação é definida utilizando a distributividade da 
soma e a propriedade de potenciação 𝑥𝑛 ⋅ 𝑥𝑚 = 𝑥𝑚+𝑛.
 É fácil verificar (apesar de ser fácil, verifique!) que K[x] com as operações + e 
⋅ definidas acima é um anel comutativo onde o polinômio identicamente nulo é o 
elemento neutro da adição e o polinômio constante igual a 1 é a unidade do anel. ^
 Exemplo 6.1.5: considere os polinômios 𝑝 𝑥 = 5𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥 + 4 e 𝑞 𝑥 = 2𝑥3 + 5𝑥. 
Temos: 
 Definidas as operações no anel K[x] vamos ver agora algumas propriedades 
do grau de um polinômio. O grau de um polinômio pode ser visto como uma função 
cujo domínio é o conjunto K[x] e o contradomínio é o conjunto dos números naturais. 
Como não existe nenhum número natural n tal que xn=0 o grau não está definido para 
o polinômio identicamente nulo. Definimos então a função grau:
 Sejam dois polinômios f(x),g(x)∈K[x]. Temos: 
1. 𝝏 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 ≤ 𝐦𝐚𝐱 {𝝏𝒇 𝒙 ,𝝏𝒈 𝒙 }. De fato, se 𝜕(𝑓 𝑥 ) < 𝜕(𝑔 𝑥 ), ou seja, 
𝜕 𝑔 𝑥 = max {𝜕𝑓 𝑥 , 𝜕𝑔 𝑥 }, então 𝜕 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝜕𝑔(𝑥). Vamos ilustrar esse fato com 
• 𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = 5𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥 + 4 + 2𝑥3 + 5𝑥 =
= 5𝑥4 + 2 + 3 𝑥3 + −2 + 5 𝑥 + 4 = 5𝑥4 + 5𝑥3 + 3𝑥 + 4
• 𝑝 𝑥 ⋅ 𝑞 𝑥 = 5𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥 + 4 ⋅ 2𝑥3 + 5𝑥 = 5𝑥4 ⋅ 2𝑥3 + 5𝑥4 ⋅ 5𝑥 +
3𝑥3 ⋅ 2𝑥3 + 3𝑥3 ⋅ 5𝑥 + −2𝑥 ⋅ 2𝑥3 + −2𝑥 ⋅ 5𝑥 + 4 ⋅ 2𝑥3 + 4 ⋅ 5𝑥 =
10𝑥7 + 25𝑥5 + 6𝑥6 + 15𝑥4 − 4𝑥4 − 10𝑥2 + 8𝑥3 + 10𝑥 =
= 10𝑥7 + 6𝑥6 + 25𝑥5 + 11𝑥4 + 8𝑥3 − 10𝑥2 + 10𝑥.
∂: K[x]∖{0} → N
p(x) ↦ ∂(p(x))
69
 Dados dois polinômios f(x),g(x)∈K[x] já definimos sua soma f(x)+g(x) e seu produto 
f(x)⋅g(x).Vejamos agora como funciona a divisão entre dois polinômios. Para mostrar 
que essa divisão existe e que está bem definida em K[x] vamos enunciar a demonstrar 
o Algoritmo da divisão de Euclides.
 Teorema 6.2.1 (Algoritmo da divisão de Euclides): Sejam f(x),g(x)∈K[x] com g(x)≠0. 
Então existem únicos q(x),r(x)∈K[x] tais que 
 com 𝑟 𝑥 = 0 ou 𝜕 𝑟 𝑥 < 𝜕(𝑔(𝑥)).
 Demonstração: Note que nessa demonstração precisamos mostrar duas 
coisas. A primeira delas é que os polinômios q(x) e r(x) que satisfazem a igualdade 
𝑓 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟(𝑥) existem. A outra coisa que devemos fazer é mostrar que eles 
são únicos. Então dividiremos nossa demonstração em dois passos: A existência e 
a unicidade. Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 e 𝑔 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑚𝑥𝑚, com 
um exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 3𝑥4 + 2𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥5 − 2𝑥 + 8. Então 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥5 + 3𝑥4 + 8 e 
𝜕 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝜕(𝑔(𝑥)). Entretanto, se 𝜕 𝑓 𝑥 = 𝜕(𝑔(𝑥)) e o coeficiente líder de f(x) for o oposto 
do coeficiente líder de g(x) teremos um caso em que 𝜕 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 < max {𝜕𝑓 𝑥 , 𝜕𝑔 𝑥 }. 
De fato, se consideramos 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 7 e 𝑔 𝑥 = −3𝑥2 + 5𝑥 + 3 temos 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 5𝑥 − 4 
e daí 𝜕 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 < max {𝜕𝑓 𝑥 , 𝜕𝑔 𝑥 }.
2. 𝝏 𝒇 𝒙 ⋅ 𝒈 𝒙 = 𝝏𝒇 𝒙 + 𝝏𝒈(𝒙). De fato, sejam 𝑎𝑛𝑥𝑛 e 𝑏𝑚𝑥𝑚 termos de f(x) e g(x), 
respectivamente, tais que n e m são seus graus, ou seja, a_n e b_msão seus coeficientes 
líderes. Pela definição de multiplicação de dois polinômios, o termo de maior potência 
de ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥) será dado pelo produto 𝑎𝑛𝑥𝑛 ⋅ 𝑏𝑚𝑥𝑚 = 𝑎𝑛𝑏𝑚𝑥𝑚+𝑛. Portanto 
𝜕 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝜕𝑓 𝑥 + 𝜕𝑔(𝑥).
 Proposição 6.1.1: os únicos elementos inversíveis de K[x] são os polinômios 
constantes.
 Demonstração: Seja p(x)∈K[x] um polinômio qualquer e suponha que p(x) 
possua inverso multiplicativo, ou seja, existe q(x)∈K[x] tal que p(x)⋅q(x)=1. Aplicando a 
função grau em ambos os lados dessa igualdade, temos ∂(p(x)⋅q(x))=∂(1) e ∂(1)=0. 
Pela propriedade 2) acima, temos ∂(p(x))=0, ou seja, p(x) é um polinômio constante. 
Portanto os únicos polinômios inversíveis de K[x] são os polinômios constantes.
 Observação 6.1.1: note que, pela definição da multiplicação de dois polinômios, o 
produto de dois polinômios só será o polinômio nulo se um dos dois for o polinômio nulo. 
Portanto, como K[x] já é um anel comutativo com unidade, essa propriedade faz com 
que K[x] seja também um anel de integridade.
Para mais exemplos de polinômios consulte o livro “Pré-cálculo” disponível em 
https://bit.ly/3sX4axp. Acesso em: 20 jan. 2022. 
BUSQUE POR MAIS
6.2 ALGORITMO DA DIVISÃO
𝑓 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟(𝑥)
70
𝜕 𝑓 𝑥 = 𝑛 e 𝜕 𝑔 𝑥 = 𝑚.
 Existência: Se f(x)=0 então basta tomar q(x)=r(x)=0. Suponha então f(x)≠0. Se 
n<m basta tomar q(x)=0 e r(x)=f(x). Assumamos então que n≥m. Defina o polinômio h1 
(x) tal que 
 Observe que como K é um corpo faz sentido considerarmos 𝑏𝑚−1 que é o 
inverso multiplicativo do coeficiente bm. Note ainda que 𝜕 ℎ1 𝑥 < 𝜕(𝑓 𝑥 ). Façamos a 
demonstração por indução sobre n, que é o grau de f(x). 
1. Se n=0, como n≥m, temos m=0. Então 𝑓 𝑥 = 𝑎0 e 𝑔 𝑥 = 𝑏0. . Assim, 𝑓 𝑥 = 𝑎0𝑏0−1𝑔(𝑥) e então 
basta tomar 𝑞 𝑥 = 𝑎0𝑏0−1 e 𝑟 𝑥 = 0.
2. Suponha que a hipótese de indução seja válida para todo k<n. Isolando h1 (x) na 
equação (♦), temos:
 Como ∂(h1 (x))<∂(f(x)) e hipótese de indução é válida para h1 (x), ou seja, existem 
q1 (x),r1 (x) tais que 
 Tomando 𝑞 𝑥 = 𝑎𝑛𝑏𝑚−1 ⋅ 𝑥𝑛−𝑚 + 𝑞1 𝑥 e 𝑟 𝑥 = 𝑟1(𝑥) temos a existência dos polinômios 
que estávamos procurando.
 Unicidade: sejam 𝑞1 𝑥 , 𝑞2 𝑥 ,𝑟1 𝑥 , 𝑟2 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] polinômios tais que 
 com 𝑟1 𝑥 = 0 ou 𝜕 𝑟1 𝑥 < 𝜕(𝑔(𝑥)) e 𝑟2 𝑥 = 0 ou 𝜕 𝑟2 𝑥 < 𝜕(𝑔(𝑥)). Precisamos mostrar 
que 𝑟1 𝑥 = 𝑟2(𝑥) e que 𝑞1 𝑥 = 𝑞2(𝑥). De fato, temos 
 Se tivéssemos 𝑞1 𝑥 ≠ 𝑞2(𝑥) o grau de 𝑞1 𝑥 − 𝑞2 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 seria maior que o grau 
de g(x), já que teríamos 𝑞1 𝑥 − 𝑞2 𝑥 ≠ 0. Mas daí o grau de 𝑟1 𝑥 − 𝑟2(𝑥) também seria 
maior que o grau de g(x), o que é uma contradição pois 𝜕 𝑟1 𝑥 < 𝜕(𝑔(𝑥)) e 𝜕 𝑟2 𝑥 < 𝜕(𝑔(𝑥)).
Portanto 𝑞1 𝑥 = 𝑞2(𝑥) e consequentemente 𝑟1 𝑥 = 𝑟2 𝑥 .
 Exemplo 6.2.1: considere os polinômios 𝑓 𝑥 = 4𝑥3 + 2𝑥2 + 6𝑥 + 5 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1
pertencentes a R[x]. Pelo Algoritmo da divisão de Euclides existem únicos 𝑞 𝑥 , 𝑟 𝑥 ∈ ℝ[𝑥] 
tais que 𝑓 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟(𝑥). Vamos encontrar os polinômios q(x) e r(x):
 com 𝑟1 𝑥 = 0 ou 𝜕 𝑟1 𝑥 < 𝜕𝑔(𝑥). Então temos: 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑏𝑚−1 ⋅ 𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑔 𝑥 + ℎ1(𝑥)
ℎ1 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑛𝑏𝑚−1 ⋅ 𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑔 𝑥
ℎ1 𝑥 = 𝑞1 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟1 𝑥 ,
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑏𝑚−1 ⋅ 𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑔 𝑥 + ℎ1 𝑥 = 𝑎𝑛𝑏𝑚−1 ⋅ 𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑞1 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟1 𝑥
= 𝑎𝑛𝑏𝑚−1 ⋅ 𝑥𝑛−𝑚 + 𝑞1 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟1 𝑥 .
𝑓 𝑥 = 𝑞1 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟1 𝑥 e 𝑓 𝑥 = 𝑞2 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟2 𝑥
𝑞1 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟1 𝑥 = 𝑞2 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑟2 𝑥 ⇒ 𝑞1 𝑥 − 𝑞2 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑟1 𝑥 − 𝑟2(𝑥�
71
 O algoritmo da divisão de polinômios funciona como o algoritmo da divisão de 
números inteiros. Os números de mesma cor no algoritmo acima são somados. Nesse 
caso o quociente é q(x)=4x+2 e o resto é r(x)=2x+3. Observe que o grau do resto é 1 
enquanto o grau do divisor 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1 é 2 . O algoritmo deve ser aplicado até que isso 
aconteça, ou seja, até que o grau do resto seja estritamente menor que o grau do divisor. 
 Definição: sejam f(x),g(x)∈K[x] com g(x)≠0. Dizemos que o polinômio f(x) é divisível 
pelo polinômio g(x) se o resto da divisão é zero.
 Exemplo 6.2.1: o polinômio 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 é divisível pelo polinômio g(x)=x^2-1, 
pois 
 Ou seja, o resto é igual a zero.
 Definição: seja 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 ∈ 𝐾[𝑥] um polinômio não nulo. Um 
elemento β ∈ K é uma raiz do polinômio f se 𝑓 𝛽 = 𝑎0 + 𝑎1𝛽 + ⋯+ 𝑎𝑛𝛽𝑛 = 0.
 Exemplo 6.2.2: considere o polinômio 𝑝 𝑥 = 3𝑥3 + 6𝑥2 − 3𝑥 − 6 ∈ ℝ[𝑥]. Então 1 é raiz 
de p(x) pois 𝑝 1 = 3 ⋅ 13 + 6 ⋅ 12 − 3 ⋅ 1 − 6 = 3 + 6− 3− 6 = 0. Além disso, -1 e -2 também são 
raízes de p(x). De fato, 
 Para o polinômio acima apresentamos 3 raízes. Existem outras? Uma pergunta 
que surge naturalmente é quantas raízes um polinômio possui. Essa pergunta será 
respondida pela proposição abaixo:
 Proposição 6.2.2: seja K um corpo e e 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 ∈ 𝐾[𝑥] um polinômio não 
nulo de grau n. Então o número de raízes de f(x) em K é no máximo n.
 Demonstração: se o polinômio f(x) não possui nenhuma raiz em K não há o 
que mostrar. Suponha então que β ∈ K seja uma raiz de f(x). Considere g(x)=x-β. Pelo 
algoritmo da divisão existem q(x),r(x)∈K[x] tais que
 com r(x)=0 ou ∂(r(x))<1=∂(g(x)). Então se r(x)≠0 temos ∂(r(x))=0 e portanto r(x)=b0 
é um polinômio constante. Assim
𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 = (𝑥2 + 1)(𝑥 + 2)
𝑝 −1 = 3 ⋅ −1 3 + 6 ⋅ −1 2 − 3 ⋅ −1 − 6 = −3 + 6 + 3 − 6 = 0
𝑝 −2 = 3 ⋅ −2 3 + 6 ⋅ −2 2 − 3 ⋅ −2 − 6 = −24 + 24 + 6− 6 = 0
𝑓 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ (𝑥 − 𝛽) + 𝑟(𝑥),
72
𝑓 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ (𝑥 − 𝛽) + 𝑏0
 e como β é raiz de f, temos 0 = 𝑓 𝛽 = 𝑞 𝛽 ⋅ 𝛽 − 𝛽 + 𝑏0 ⇒ 𝑏0 = 0, donde segue
 e ∂(q(x))=n-1. Se α ∈ K é outra raiz de f(x), então f(α)=q(α)⋅(α-β)=0 e disso segue 
que α=β ou α é uma raiz de q(x). Portanto as raízes de f são β e as raízes de q(x). Vamos 
concluir o resultado fazendo indução sobre n, onde n=∂(f(x)). Se n=0 já comentamos 
acima que não há o que demonstrar. Suponha que a hipótese seja válida para todo k<n. 
Como ∂(q(x))<∂(f(n))=n, segue pela hipótese de indução que q(x) possui no máximo 
n-1 raízes e portanto f(x) possui no máximo n raízes em K.
 Com esse resultado concluímos que o polinômio do exemplo 6.2.2 possui apenas 
as três raízes que foram exibidas no exemplo já que seu grau é 3.
 Que não possui raiz real. Se consideramos o conjunto C dos números complexos 
a equação acima possui raízes iguais a ±i. O conjunto dos números complexos possui 
uma propriedade interessante: Todo polinômio de grau n em C[x] possui exatamente n 
raízes em C. Devido a essapropriedade o conjunto C é dito algebricamente fechado.
𝑓 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ (𝑥 − 𝛽)
Existem polinômios em K[x] que não possuem nenhuma raiz no corpo K. Por exemplo, con-
sidere o polinômio f(x)=x2+1∈R[x]. f não possui raízes em R. De fato, para que x seja uma raiz 
de f devemos ter x2+1=0⇒ x2=-1
VAMOS PENSAR?
Para mais exemplos de polinômios consulte o livro “Álgebra” disponível em ht-
tps://bit.ly/3hUiKzc. Acesso em: 20 jan. 2022. 
BUSQUE POR MAIS
73
1. Considere o polinômio 𝑝 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 − 5 𝑥2 + 𝑎 + 𝑐 𝑥 + (𝑏 + 𝑐 − 7). Os valores de a,b e c 
para que p(x) seja identicamente nulo são, respectivamente:
a) -1,6,1.
b) 2,3,-2.
c) 4,1,-4.
d) -2,7,2.
e) 1,2,3.
2. Considere os polinômios 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 + 2𝑥 − 6 . Os valores de a e b 
para que f(x) seja divisível por g(x) são, respectivamente:
a) 1,2.
b) -4,3.
c) 2,4.
d) -5,3.
e) -1,-1.
3. Dividindo o polinômio 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 3 por um polinômio g(x) obtemos 
quociente q(x)=x-7 e resto r(x)=26x-3. Assinale a alternativa correta.
a) g(x)=3x+4
b) g(x)=x+1
c) g(x)=2x+5
d) g(x)=x-7
e) g(x)=-x+2
4. Sejam os polinômios 𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥2 + 1 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1. Assinale a alternativa correta.
a) O quociente da divisão de f(x) por g(x) é x+2
b) O resto da divisão de f(x) por g(x) é 2
c) O quociente da divisão de f(x) por g(x) é x^2+1
d) O quociente da divisão de f(x) por g(x) é x+2
e) O quociente da divisão de f(x) por g(x) é x^2+2
5. Considere o polinômio f(x)=ax3+bx2+cx+d∈K[x], com a,b,c,d ∈ K. Assinale a alternativa 
correta.
a) Se a=0 então o grau de f(x) é 3.
b) f(x) possui no máximo 2 raízes.
c) Se a=b=c=0 então f(x) é um polinômio identicamente nulo.
d) Se a=b=c=0 então f(x) é um polinômio constante.
FIXANDO O CONTEÚDO
74
e) Se d=0 o grau de f(x) é 2.
6. (ENADE- 2008). Para que valores de k e m o polinômio 𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑘𝑥 + 𝑚 é 
múltiplo de Q(x)=x2-4 ?
a) k=-4 e m=12
b) k=-3 e m=-4
c) k=-3 e m=-12
d) k=-4 e m=-3
e) k=-2 e m=2
7. Dividindo um polinômio f por x^2-3x+6 obtemos quociente x2+1 e resto 3x-6. Então o 
polinômio f é:
a) x4-3x3+6x2
b) x5+3x2+4
c) x4+2x3-5x2+7x
d) 3x3+2x+9
e) 5x4+9x-3
8. Sejam f(x) e g(x) dois polinômios e q(x) e r(x) o quociente e o resto da divisão de f(x) 
por q(x). Então o quociente e o resto da divisão de f(x) por 2g(x) são, respectivamente:
a) q(x) e 2r(x)
b) 𝑞(𝑥)
2 e 𝑟(𝑥)
c) 2q(x) e r(x)
d) 2q(x) e 2r(x)
e) 𝑞(𝑥)
2 e 2𝑟(𝑥)
75
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 B
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 E
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 B
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 E
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 B
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 B
QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 B
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 B
76
BOYER, C.B.; MERZBACH, U.C, História da matemática, 3 ed. Blucher, 2012.
DOMINGUES, H.; IEZZI, G. Álgebra moderna, 4 ed. São Paulo: Atual, 2003.
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra,6 ed, Rio de Janeiro: IMPA, 2013.
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra, 3 ed, Rio de Janeiro: IMPA, 1995.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
77
graduacaoead.faculdadeunica.com.br