5- Grupos e subgrupos 2024

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Pedro Sá 2024 
 
GRUPOS E SUBGRUPOS 
Pedro Sá 
QUESTÃO MOTIVADORA 
Dado um conjunto G não vazio munido de uma operação interna * quais são as propriedades que a operação * 
deve satisfazer para toda equação c*x= b, com c e bG, sempre possua solução em G? 
Solução 
Para resolver a equação c*x= b, com c e bG é preciso que x seja isolado no primeiro membro. 
Para tanto vamos supor que exista c`em G tal que c`*c = n e que n*x = x. 
A composição pela esquerda por c`em ambos os membros da igualdade resulta em c`*(c*x)= c`* b. 
Para c` compor com c é necessário que c`*(c*x) = c`* b 
seja equivalente a (c`*c) *x = c`* b 
que equivale a n *x = c`* b que equivale a x = c`* b. 
Logo, x = c`* b, c, bG. 
A análise do procedimento realizado permite concluir que para a equação c*x= b sempre possuir solução em 
G para todo  c, bG devem ser satisfeitas as seguintes propriedades pela operação *: 
1) associativa; 
2) possuir elemento neutro; 
3) todo elemento de G deve ser simetrizável em relação à operação *; 
4) a composição de dois elementos quaisquer de G pela operação * é um elemento de G. 
 
Definição 
Seja G um conjunto não vazio munido de uma operação  . Diz–se que o par (G, ) é um grupo quando as 
seguintes propriedades são válidas: 
1)associativa; 
2)elemento neutro 
3)todo elemento de G é simetrizável em relação à operação * 
 
 (G, *) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
O par (ℤ, + ) é um grupo, pois como já sabemos a adição usual em ℤ é associativa, possui 0 como 
elemento neutro e todo elemento de ℤ é simetrizável em relação à adição usual de números inteiros. 
Exemplo 2 
O par (ℚ, + ) é um grupo, pois como já sabemos a adição usual em ℚ, é associativa, possui 0 como 
elemento neutro e todo elemento de ℚ, é simetrizável em relação à adição usual de números racionais. 
 
x,y,zG 
1)x*yG 
2)(x*y)*z=x*(y*z) 
3)n*x=x*n=x 
4)x*x`=x`*x=n 
 
 
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Exemplo 3 
O par (ℝ, + ) é um grupo, pois como já sabemos a adição usual em ℝ, é associativa, possui 0 como 
elemento neutro e todo elemento de ℝ, é simetrizável em relação à adição usual de números reais. 
Exemplo 4 
O par (ℂ, + ) é um grupo, pois como já sabemos a adição usual em ℂ, é associativa, possui 0 como 
elemento neutro e todo elemento de ℂ, é simetrizável em relação à adição usual de números complexos. 
 Exemplo 5 
O par (ℚ∗, •) é um grupo, pois como já sabemos o produto usual em ℚ∗, é associativo, possui 1 como 
elemento neutro e todo elemento de ℚ∗, é simetrizável em relação ao produto usual de números 
racionais. 
Exemplo 6 
O par (ℝ∗, •) é um grupo, pois como já sabemos o produto usual em ℝ∗, é associativo, possui 1 como 
elemento neutro e todo elemento de ℝ∗, é simetrizável em relação ao produto usual de números reais. 
Exemplo 7 
O par (ℳ2(ℝ), + ) é um grupo, pois como já sabemos a adição usual em ℳ2(ℝ), é associativa, possui 
a matriz nula como elemento neutro e todo elemento de ℳ2(ℝ), é simetrizável em relação à adição 
usual. 
Exemplo 8 
O par (ℤ, • ) não é um grupo, pois o único elemento simetrizável em relação ao produto usual é o 1. 
Exemplo 9 
O par (ℕ, + ) não é um grupo, pois o único elemento simetrizável em relação á adição usual é 0. 
Exemplo 10 
O par (ℳ2(ℝ), • ) não é um grupo, pois como já sabemos nem toda matriz de ℳ2(ℝ) é simetrizável 
em relação ao produto usual de matrizes. 
 Exemplo 11 (O grupo das classes residuais) 
Como vimos no estudo das operações internas é possível introduzir uma operação interna no conjunto 
ℤ𝑚 das classes. Agora mostraremos que par (ℤm, +) é um grupo. 
 Agora seja �̅�ℤ𝑚, a classe 0̅ℤ𝑚 é o elemento neutro da adição de classes residuais. 
De fato, �̅� + 0̅= 𝑥 + 0̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� e 0̅ + �̅� = 0 + 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅�, o que mostra que a classe 0̅ satisfaz a definição de 
elemento neutro. 
Seja o conjunto ℤ𝑚= {0̅,1̅,2̅,3̅,4̅, ....., 𝑚 − 1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ } com a operação adição de classes definida por 
 �̅� + �̅� = 𝑥 + 𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅. 
De fato, a adição de duas classes de ℤ𝑚 ser uma classe de ℤ𝑚. Logo a adição em ℤ𝑚 é fechada. 
Dados �̅�, �̅� e 𝑧̅ℤ𝑚 temos que 
(�̅�+�̅� )+𝑧̅ = 𝑥 + 𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅+𝑧̅ 
 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
 = �̅� + (𝑦 + 𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 = �̅�+(�̅� +𝑧̅ ) 
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Este resultado garante que a adição de classes é associativa. 
Agora seja �̅�ℤ𝑚, a classe 𝑥′̅= 𝑚 − 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ℤ𝑚 é o elemento simétrico de �̅� da adição de classes residuais. 
De fato, �̅� + 𝑥′̅ = �̅� + 𝑚 − 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑥 + 𝑚 − 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑚 + 0̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� , como a divisão de m por m deixa resto 0, 
então podemos afirmar que 
 �̅� = 0̅ . Logo �̅� + 𝑥′̅ = 0̅. 
Além disto, 𝑥′̅+�̅�= 𝑚 − 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ +�̅� = 𝑚 − 𝑥 + 𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅=�̅� = 0̅ 
Logo 𝑥′̅+�̅� = 0̅. 
O que mostra que toda classe de ℤ𝑚 tem um simétrico em relação à adição de classes. 
Com os resultados que foram demonstrados a afirmação de que o par (ℤ𝑚, +) fica devidamente 
comprovada. 
 Exemplo 12 (O grupo das permutações) 
 Como sabemos dados n elementos cada agrupamento sem repetição dos n elementos é denominado de 
permutação. 
 Poe exemplo dado o conjunto A= {a,b,c} podemos representar uma das suas permutações de seguinte 
maneira 
 (
1 2 3
2 3 1
) 
 Cada agrupamento de n elementos de um conjunto A com n elementos pode ser interpretado como 
uma função bijetora do conjunto A em A. 
 Assim para um conjunto A={1,2,3} podemos ter as seguintes permutações, ou seja, funções de 
bijetores de A em A: 
 f1= (
1 2 3
1 2 3
), f2= (
1 2 3
1 3 2
), f3=(
1 2 3
2 1 3
), f4=(
1 2 3
2 3 1
), f5= (
1 2 3
3 1 2
) e f6= (
1 2 3
3 2 1
). 
 Levando em consideração a operação de composição de função podemos operar com as permutações 
por meio da referida operação. 
 Como a função f1 não altera a disposição dos elementos do conjunto temos que f1of2=f2of1=f2, 
f1of3=f3of1=f3, f1of4=f4of1=f4, f5of1=f5of1=f5 e f1of6=f6of1=f6. 
 Para calcular f2of3 se procede da seguinte maneira: observa o valor em o primeiro elemento do conjunto 
é levado por f3 e em seguida observa a que valor o elemento determinado é levado por f2 . Assim temos que 
 f2of3= (
1 2 3
1 3 2
)º(
1 2 3
2 1 3
)=(
1 2 3
3 1 2
)= f5 e 
 f3of2=(
1 2 3
2 1 3
)º(
1 2 3
1 3 2
)= (
1 2 3
2 3 1
). 
 Da observação dos resultados de f2of3 e f3of2 podemos concluir que os mesmos são distintos o que 
implica que a função composição considerada não é comutativa. 
 Como as funções em questão são bijetoras então todas elas possuem uma inversa. Além disso, a 
composição de funções bijetoras é associativa e também é fechada. 
 Desse modo sendo S3={f: A→ A  fé bijetora} e o a operação de composição de funções podemos 
afirmar que a terna (S3,o) é um grupo finito e não comutativo. 
 De um modo geral o grupo das permutações de n elementos é também denominado de grupos de 
substituições. 
 O grupo das permutações foi estudado logo no período dos primeiros trabalhos que deram origem ao 
conceito de grupo. 
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Como veremos mais adiante foi mostrado que este grupo tem uma importância muito grande para a 
compreensão dos grupos finitos. 
 
Questão motivadora 
 Dado um conjunto G não vazio munido de uma operação interna * quais são as propriedades que a 
operação * deve satisfazer para que as equações c*x=b e x*c=b, com c e bG, sempre possuam solução em G? 
Como já vimos a solução da equação c*x= b é x = c`*b. 
A equação x*c= b tem como solução x = b*c`. 
Desse modo, as soluções serão iguais quando c`*b = b*c`, ou seja, quando a operação * for comutativa. 
Definição 
Se (G,  ) é um grupo e a operação  é comutativa, então diz–seque o par ( G,  ) é um grupo comutativo ou 
grupo abeliano. 
Exemplo 13 
O par (ℤ, + ) é um grupo abeliano, pois como já sabemos o par (ℤ, + ) é um grupo e a adição usual em 
ℤ é comutativa. 
Exemplo 14 
O par (ℚ∗, •) é um grupo abeliano, pois como já sabemos o par (ℚ∗, •) é um grupo e o produto usual 
em ℚ∗é comutativo. 
Os grupos comutativos tiveram uma das suas primeiras sistematizações por meio do trabalho de 
Frobenius e Stickelberger intitulado On groups of communting elements publicado em 1879 ( KLEINER, 
2007). 
Os grupos comutativos são denominados de Grupos Abelianos em homenagem ao matemática 
norueguês Nels Abel. 
Questões 
1- Verifique se o par (3ℤ , +) considerando + como a adição usual de inteiros é um grupo. 
2- Verifique se o par (4ℤ , +) considerando + como a adição usual de inteiros é um grupo. 
Solução 
Para que um conjunto não vazio munido de uma operação seja um grupo é necessário que a operação: a) seja 
fechada no conjunto, b)seja associativa, c) possua elemento neutro e d) todo elemento do conjunto seja 
simetrizável em relação à operação considerada. 
Desse modo para verificar se o par (4 ℤ , +) onde + é a adição usual de inteiros é um grupo devemos verificar 
se as condições apresentadas são satisfeitas. 
Como o conjunto 4ℤ que é formado pelos múltiplos inteiros de 4 então podemos afirmar que ele não é vazio 
devido possuir infinitos múltiplos de 4. 
Para garantir que a operação é fechada em 4ℤ devemos considerar dois elementos genéricos do conjunto e 
mostrar que a adição usual dos elementos resulta num elemento do conjunto 4ℤ. 
Sejam x e y pertencentes ao conjunto 4ℤ, então x= 4p e y=4w , como p e w números inteiros. 
A adição de x com y resulta em x+y= 4p+4w= 4(p+w). Devido p e w serem números inteiros então podemos 
afirmar que o número p+w é um número inteiro. 
Desse modo, x+y= 4(p+w) é um múltiplo de 4 e logo pertence ao conjunto 4ℤ 
Portanto, a adição usual de números inteiros é fechada no conjunto 4ℤ. 
Para verificar se a operação usual de inteiros é associativa em 4ℤ devemos operar com três elementos genéricos 
x, y e z do referido conjunto, para verificar se (x + y) + z= x + (y + z), para todo x, y e z do conjunto 4ℤ. 
Sejam x, y e z pertencentes a4ℤ então x=4p, y=4w e z=4q, com p. w e q números inteiros. 
Assim, ( x + y ) + z = (4p+4w)+ 4q= 4p+4w+4q e x + ( y + z)= 4p+(4w+4q)= 4p+4w+4q. 
A comparação das expressões resultantes de (x+y) +z e x+(y+z) nos permite concluir que (x+y) +z = x+(y+z). 
Como x,y e z são elementos genéricos do conjunto 4ℤ, podemos garantir que a operação de adição usual de 
inteiros é associativa no conjunto dado. 
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Para garantir a existência do elemento neutro n da operação devemos exibir qual elemento quando, no caso, for 
adicionado com outro elemento genérico do conjunto pela direita ou pela esquerda resulta no próprio elemento, 
ou seja, temos que mostrar que n + x = x e x + n = x para todo x do conjunto 4ℤ. 
Como sabemos que adição usual de inteiros é comutativa então bastará verificar uma das igualdades. 
Seja x= 4p tal que x+n= x então 4p+n=4p, logo n= 0. 
Como 0 é um múltiplo inteiro de 4 então n=0 é o elemento neutro da adição usual em 4ℤ. 
Para mostrar que todo elemento de 4ℤ é simetrizável em relação à adição usual dos números inteiros precisamos 
mostrar que para todo x do conjunto existe, no mesmo conjunto, um elemento x’ tal que x+x’= 0, porque nesta 
operação o elemento neutro é zero, e x’+x=0. 
Devido a comutatividade da adição de inteiros podemos verificar apenas uma das igualdades, 
Seja x pertencente ao conjunto 4ℤ ,então x=4p. tal que x+x’= 0; 
A igualdade x+x’= 0 equivale a igualdade 4p+x’= 0. Logo, x’=-4p = -x. 
Portanto, todo elemento do conjunto possui um simétrico no conjunto, devido não haver restrição para 
determinação do simétrico de qualquer elemento de 4ℤ. 
Assim, devido a verificação condições da definição de grupo, podemos afirmar que o par (4ℤ , +) é um grupo. 
 
3- Seja G= {5k k  ℤ} verifique se (G, •) onde • é o produto usual de inteiros é um grupo 
4- Verifique se o par ( ℝ – {1},  ) onde  é definida por xy = x + y - xy é um grupo abeliano. 
5- Verifique se o par ( ℝ x ℝ*,  ) é um grupo abeliano, sendo a operação  definida por 
(a,b) (c,d) = (a + c, bd). 
6- Verifique se o par ( ℝ ,  ) onde  é definida por xy = x + y - 7 é um grupo abeliano. 
 
7- Seja G= {x  ℝ-1do processo de operar 
em ambos os lados da equação com o simétrico do elemento que seja deseja eliminar de um dos membros da 
equação. Deixamos aqui a reflexão. 
 
12- Seja (G, ) um grupo resolva as equações abaixo, considerando a, b e c elementos do conjunto G e n o elemento 
neutro do grupo. 
a) axb= c b) xcba`= b` c) a`bxc`b =a d) a`b` c`x b`c` a` = n. 
13- Verifique se ℝ munido da operação  dada por x y = x + y -3 é um grupo abeliano. 
14- Seja ℚ[√2]= { a + b 2 a,b  ℚ } munido a operação usual de adição de números racionais. Verifique se o 
par (ℚ[√2], +) é um grupo abeliano. 
15- Seja ℚ[√2]= { a + b 2 a,b  ℚ }. Quais as condições sobre a e b devem ser satisfeitas para que o par (ℚ[√2], 
•) seja um grupo. 
16- Verifique se ℝ munido da operação  dada por x y= √𝑥3 + 𝑦33
 é um grupo abeliano. 
17- Seja A um conjunto não vazio e ℝ𝐴 o conjunto das funções de A em ℝ . A adição de funções em ℝ𝐴 é definida 
por (f+g)(x) = f(x) + g(x),  xA. Verifique se o par (ℝ𝐴. +) é um grupo abeliano. 
18- Seja A um conjunto não vazio e ℝ𝐴 o conjunto das funções de A em ℝ. A multiplicação de funções em ℝ𝐴 é 
definida por (f•g)(x) = f(x)•g(x),  xA. Verifique se o par (ℝ𝐴. •) é um grupo . 
19- Seja G= { f: ℝ→ℝ f(x)= ax + b, com a  0}. Verifique se o par ( G, 𝜊), onde 𝜊 é a composição de funções, é 
um grupo. 
20- Sejam (G, *) e (H, ) dois grupos quaisquer. Verifique se o par (GxH, ) é um grupo, sendo 
 (a,b) ( x,y) = ( a*x, by). 
21- Seja ( G, * ) um grupo abeliano mostre que (a*b)n = an 
* bn, a,bG, nℤ. 
22- Seja ( G, * ) um grupo qualquer mostre que (a`)` = a , aG. 
23- Verifique se o par (ℤ6, •) é um grupo abeliano com o produto usual de classes residuais. 
24- Verifique se o par (ℤ7, •) é um grupo abeliano com o produto usual de classes residuais. 
25- Seja (G, * ) um grupo qualquer mostre que (a*b)`= b`*a`, a,bG. 
 
26- Seja (G, *) um grupo tal que para um dado x G, x*x = x. Mostre que x é o elemento neutro. 
27- Seja (G, *) um grupo tal que x * x = n, xG . Mostre que (G, *) é um grupo abeliano. 
 
Demonstração 
Seja (G, *) um grupo tal que x * x = n, xG . 
Compondo com x` em ambos os membros da igualdade x * x = n pela esquerda obtemos x= x`,xG. 
Agora consideremos (x*y)*(x*y). Pela propriedade x * x = n para todo elemento do grupo em questão podemos 
concluir que (x*y)*(x*y)=n. 
Pela composição com x`pela esquerda da igualdade (x*y)*(x*y)=n em ambos os membros obtemos y*(x*y)=x`. 
Com a composição y` pela esquerda da igualdade y*(x*y)=x` em ambos os membros obtemos x*y= y`*x`. 
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Como já sabemos x= x`,xG, então substituindo x`por e y`por y na igualdade x*y= y`*x` temos que x*y= y*x, 
x,yG. 
Portanto, podemos afirmar que um grupo (G, *) um grupo em que x * x = n, xG é abeliano. 
 
28- Seja o par (G, *) um grupo e a função fk: G→G dada por fk(x)= k*x. O par (T(G), o), sendo T(G)={fk: G→G/ 
fk(x)= k*x} e o a operação de composição de funções, é um grupo? 
 
Resolução 
Para que o par (T(G), o) dado seja um grupo é preciso que os elementos de T(G), que são as funções fx satisfaçam 
as seguintes condições: 
i) a composição de dois elementos de T(G) é um elemento de T(G); 
ii) a operação o é associativa, 
iii) a operação o possui elemento neutro e 
iv) todo elemento de T(G) seja simetrizável em relação à operação o. 
A condição i) é equivalente a afirmar que o conjunto T(G) é fechado para operação de composição de funções. 
Desse modo sejam fk e fp T(G), então, pela definição de T(G) fk(x)= k*x e fp(x)= p*x. 
Logo fkofp(x)=fk(fp(x))= fk(p*x)=k*(p*x) = (k*p)*x= fk*p(x). Portanto, a composição de duas funções de T(G) é 
uma função de T(G), ou seja, o conjunto T(G) é fechado para a operação de composição de funções. Assim 
temos a condição i) satisfeita. 
Para que a propriedade associativa seja satisfeita pela composição de funções de T(G) temos que verificar se 
(fkofp) ofq = fko(fp ofq). 
Como [(fkofp) ofq](x)= fkofp(fq(x))= fkofp (q*x)= k*p*q*x e [fko(fp ofq)](x)= fko(fp (fq(x))= fko(fp (q*x))= fk(p*q*x)= 
k*p*q*x. Logo (fkofp) ofq = fko(fp ofq). Desse modo fica garantida a associatividade da operação em questão. 
Pela definição de T(G) somos levados a intuir que se n for o elemento neutro da operação * em G, a função fn 
será o elemento neutro da operação entre os elementos do conjunto investigado. 
De fato, (fnofp)(x)= fn(fp(x)) = fn(p*x) = n*p*x= p*x = fp(x), ou seja, fnofp= fp. 
Por outro lado (fpofn)(x)= fp(fn(x)) = fp(n*x) = fp(x), ou seja, fpofn= fp. 
Como fnofp= fp e fpofn= fp ,fpT(G) então fn é o elemento neutro da operação em T(G). 
Como todo elemento de T(G) é uma função bijetora então podemos concluir que fpT(G) existe uma função 
fp
-1 tal que fpo fp
-1= fn e fp
-1o fp= fn. Logo todo elemento de T(G) é simetrizável em relação a composição de 
funções do referido conjunto. 
Assim todas as condições para que T(G) seja um grupo estão satisfeitas. 
Portanto, o par (T(G), o) é um grupo. 
 
O grupo (T(G), o) é muitas vezes denominado de grupo das substituições ou permutações dos elementos de G 
e exerce um papel de relevância na teoria de grupos como veremos mais a seguir. 
 
29- Escreva uma redação sobre grupos destacando o conceito, exemplos, contra-exemplos e propriedades. 
 
Reflexão pedagógica 
 A resolução de equações num grupo nos mostrou que o procedimento básico para a resolução é a 
composição em ambos os membros da igualdade do elemento inverso do elemento que se deseja excluir 
de um dos membros da equação. Esse procedimento pode ser reproduzido para as equações do primeiro 
grau que é ensinado na educação básica. 
 O ensino da resolução de equação do primeiro grau na educação básica apresenta dificuldades com 
relação ao isolar a incógnita. Esta dificuldade é fruto da metodologia que muito é utilizada para tal 
ensino que é baseada na regra do “passa para o outro lado com o sinal trocado”, que normalmente é 
simplificada em “passa com o sinal trocado”, que traz muitas dificuldades ao iniciante do estudo das 
equações. 
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 A dificuldade oriunda da aplicação de tal regra é devido, entre outros fatores, ao fato de que a 
não é o sinal que deve ser trocado e sim a operação realizada que é invertida. Assim a regra seria melhor 
enunciada como “passa para o outro lado com a operação trocada”. 
 A regra do “passa com o sinal trocado” também traz o legitimo questionamento: Por que passa 
para o outro lado com o sinal trocado? Muitas respostas surgem para tal questão, mas quase sempre 
essas respostas deixam a desejar. 
 A dificuldade de justificar a referida regra ocorre devido a mesma ser fruto da aplicação de 
princípios da igualdade que quando aplicados devidamente permitem isolar a incógnita num dos 
membros da equação. Os princípios são os seguintes: 
 1) Se uma igualdade é verdadeira ao se adicionar quantidades iguais em ambos os membros da 
igualdade a mesma permanece verdadeira; 
 2) Se uma igualdade é verdadeira ao se subtrair quantidades iguais em ambos os membros da 
igualdade a mesma permanece verdadeira; 
 3) Se uma igualdade é verdadeira ao se multiplicar por uma quantidade igual ambos os membros 
da igualdade, a mesma permanece verdadeira; 
 4) Se uma igualdade é verdadeira ao se dividir por uma quantidade igual diferente de zero ambos 
os membros da igualdade, a mesma permanece verdadeira. 
 Esses princípios são denominados de princípios operatórios da igualdade. 
 Desse modo se os estudantes antes de estudar a resolução de equações do primeiro grau tivessem 
acesso aos princípios da igualdade seria mais fácil leva-los a perceber que como resultado de aplicação 
do mesmos para isolar a incógnita de uma equação nos permite perceber que uma simplificação do 
processo se dá quando percebemos que após a aplicação do principio para um dado valornumérico, 
este valor deixa de participar do membro que está inicialmente e passar a participar do outro membro 
com a operação invertida. Assim a regra do “passa para o outro lado com o sinal trocado” poderia ser 
substituída, com muito mais adequação pela seguinte regra “passa para o outro lado o outro com a 
operação trocada” e o estudante que possa vim a ter dificuldade de aplicar a regra diretamente poderá 
realizar a aplicação direta dos princípios da igualdade para resolver a equação. 
 A literatura de Educação Matemática sobre o ensino de equações do primeiro grau possui muitos 
trabalhos interessantes sobre como realizar este ensino. 
 Para finalizar esta reflexão fica a sugestão de que para ensinar de forma compreensiva, que é 
fundamental, a resolução de equação do primeiro grau devemos levar em consideração a utilização 
inicial dos princípios da igualdade para posteriormente utilizar a simplificação do processo que resulta 
na famosa regra do “passa com o sinal trocado”. 
 
 Questão motivadora 
Seja (G, *) um grupo e H  G diferente do vazio. Quais são as condições mínimas que a operação * deve satisfazer 
em H para que o par (H, *) seja também um grupo? 
 
O subconjunto munido da operação que satisfaz a condição acima é denominado subgrupo, que tem a seguinte 
definição. 
 
Definição 
Dado um grupo (G, *) e H um subconjunto de G diferente do vazio, dizemos que (H, *) é um subgrupo de (G, *) se e 
somente se o par (H, *) seja é um grupo. 
Voltemos agora à nossa questão inicial. 
Solução: 
Com base na definição de grupo para verificarmos se (H, *) é um grupo é preciso verificar se a operação * é: 
1) fechada em H, 
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2) associativa, 
3) possui elemento neutro, 
4) todo elemento de H é simetrizável em relação à operação *. 
Como a operação é associativa em G e H é um subconjunto de G então a operação é associativa em H, logo 
quanto à associatividade não temos com que nos preocupar. 
 Devido à existência do simétrico de um elemento só ser possível quando existe elemento neutro da operação, 
então podemos substituir as condições 3) e 4) por:xH , x`H. 
 Desse modo, podemos afirmar para que o par (H,*) seja também um grupo é preciso que : 
1) x,yH, x* y H. 
2) xH, x`H. 
Geometricamente temos 
 (H, *) é um subgrupo do grupo (G,*) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este resultado é expresso por meio da seguinte proposição. 
 
Proposição 
Dado um grupo (G,*) e H um subconjunto de G diferente do vazio, dizemos que (H,*) é um subgrupo de (G,*) se e 
somente se são válidas as seguintes condições: 
 1) a*bH ,a,bH; 
 2) a`H, aH. 
 
Demonstração: 
)Sejam um grupo (G,*) e H um subconjunto de G diferente do vazio, tais que (H,*) é um subgrupo de (G,*). 
De definição de subgrupo temos que a operação * é fechada em H o que implica em x*yH,x,yH. Ainda da definição 
de subgrupo temos que o elemento simétrico x`, que é único para a operação *, de qualquer elemento xH pertence 
também ao conjunto H. 
) Sejam um grupo (G,*) e H um subconjunto de G diferente do vazio, tais que são válidas as seguintes condições1) 
x*yH ,x,yH;e 2) x`H, xH. 
Por hipótese H é um conjunto diferente do vazio. 
A condição 1) garante o fechamento da operação * em H. 
Como a operação * é associativa em G e H G então a operação é associativa em H. 
Das condições 1) e 2) temos que x*x`= nH, onde n é o elemento neutro da operação *. 
A condição 2) garante que todo elemento de H é inversível e seu inverso pertence a H. 
Desse modo, fica demonstrado que se (G,*) é grupo e H um subconjunto de G diferente do vazio, tais que são válidas as 
seguintes condições1) x*yH ,x,yH; e 2) x`H, xH então o par (H,*) é um subgrupo de (G,*). 
 Como a proposição anterior garante uma condição suficiente para existência de um subgrupo podemos propor a 
seguinte definição. 
G 
 
 
 
(H, *) 
x,y,zH 
x*yH, 
(x*y)*z=x*(y*z) 
n*x=x*n=x 
x*x`=x`*x=n 
 
 
n*x=x*n=x 
 x*x`=x`*x=n 
 
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Definição 
Dado um grupo (G,*) e H um subconjunto de G diferente do vazio, dizemos que (H,*) é um subgrupo de (G,*) se e 
somente se: 
 1) a*bH ,a,bH; 
 2) a`H, aH. 
Agora que já temos uma redução do número de condições iniciais para um subconjunto ser um subgrupo. Questionamos 
é possível reduzir mais ainda as condições? 
A resposta é afirmativa e vem por meio da seguinte proposição. 
Proposição 
Dado um grupo (G,*) e H um subconjunto de G diferente do vazio, dizemos que (H,*) é um subgrupo de (G,*) se e 
somente se a,bH, a*b`H. 
 
Demonstração: 
)Sejam um grupo (G,*) e H um subconjunto de G diferente do vazio, tais que o par (H,*) é um subgrupo de (G,*), 
então x,yH, temos que y`H,logo x,yH, x*y`H. 
) Sejam um grupo (G,*) e H um subconjunto de G diferente do vazio, tais que x,yH, x*y`H. 
Como H não é vazio então existe um elemento x em H, logo pela condição dada x`H e x*x`=nH, onde n é o elemento 
neutro da operação *. 
Como nH, então xH temos que n*x`= x`H. Assim temos a condição 2) da proposição anterior satisfeita. 
Agora x, yH temos que x, y`H e que x*(y`)`H o que equivale a x* yH o que garante a validade da condição 1) 
da proposição anterior. 
Como as condições da proposição anterior estão satisfeitas então o par (H,*) é um subgrupo de (G,*). 
 Devido a proposição anterior garantir uma condição suficiente para existência de um subgrupo podemos propor a 
seguinte definição. 
Definição 
Dado um grupo (G,*) e H um subconjunto de G diferente do vazio, dizemos que (H,*) é um subgrupo de (G,*) se e 
somente se a,bH a*b`H . 
Agora vejamos outro resultado relacionado com subgrupos de um grupo. 
Proposição 
A interseção de dois subgrupos de um mesmo grupo é um subgrupo do grupo. 
 
Demonstração: 
Sejam (G,*) um grupo, (H,*) e (W,*) subgrupos de (G,*). Como (H,*) e (W,*) são subgrupos de (G,*) então HW 
≠  pois o elemento neutro pertence a H e a W. 
Agora sejam x,y HW, então x,y H e x,yW. Como (H,*) e (W,*) são subgrupos de (G,*), por hipótese, 
então x*y` H e x*y`W. Logo, x*y`HW. Portanto, o par (HW, *) é um subgrupo de (G,*), o que prova que a 
interseção de dois subgrupos de um mesmo grupo também é um subgrupo. 
Acabamos de concluir que a interseção de dois subgrupos é um subgrupo, será que vale o mesmo para a união 
de subgrupos? 
A resposta a esta questão é negativa e vem por meio da seguinte proposição. 
Proposição 
A união de dois subgrupos de um mesmo grupo é um subgrupo se e somente se um dos subgrupos estiver contido 
no outro. 
 
Demonstração: 
) Sejam (G,*) um grupo, (H,*) e (W,*) subgrupos de (G,*) tais que o par 
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Pedro Sá 2024 
 
(H W, *) é um subgrupo de (G,*), então x,y H W implica que x * y`H W . Logo, x * y`H ou 
x * y`W. 
Suponhamos que x * y`H, com x H e y`W, então x * y`= cH . Como x, c H, então x`H pois, (H, *) é 
subgrupo. Logo, y`= x`*cH, pois a operação * é fechada em H. Devido (H, *) ser subgrupo e y`H, então y 
H. Portanto, W está contido em H. 
Suponhamos que x*y`W, com xH e y`W, então x*y`=cW. Logo, x=c* yW, pois a operação * é fechada 
em W. Portanto, H está contido em W. 
Portanto, fica demonstrado que se (G,*) um grupo, (H,*) e (W,*) subgrupos de (G,*) tais que o par 
(H W, *) é um subgrupo de (G,*), então H  W ou W  H. 
 ) Sejam (G,*) um grupo, (H,*) e (W,*) subgrupos de (G,*) tais que HW ou W  H. 
Agora sejam x, yH W, então x, yH, x, yW, xH e yW ou yH e xW. 
Se x, yH, como o par (H,*) é subgrupo de (G,*), então x*y`H o que implica em x*y` H W. 
Se x, yW, como o par (W,*) é subgrupo de (G,*), então x*y`W o que implica em x*y`H W. 
Suponhamos que HW, xH e yW, temos que xW e yW o que implica em x*y`W. Logo, x*y`HW. 
Suponhamos que WH, xH e yW, temos que xH e yH oque implica em x*y`W. Logo, x*y`HW. 
Suponhamos que HW e yH e xW, temos que xW e yW o que implica em x*y`W. Logo, x*y`HW. 
Suponhamos que WH e yH e xW, temos que xH e yH o que implica em x*y`H. Logo, x*y`HW. 
Desse modo fica demonstrado que se (H,*) e (W,*) são subgrupos de (G,*) tais que HW ou W  H então x,y 
HW, x*y`HW. Logo, se (H,*) e (W,*) são subgrupos de (G,*) tais que HW ou W  H então o par (HW, 
*) é um subgrupo (G, *). 
Questões 
1- Será o par (12ℤ, +) é um subgrupo de (3ℤ, +)? 
 
2- Será o par (15ℤ, +) é um subgrupo de (3ℤ, +)? 
Resolução 
Para verificar se um subconjunto não vazio de um grupo é também um grupo com a mesma operação do grupo, 
ou seja, se é um subgrupo, não precisamos verificar todas as condições da definição de grupo. 
Pelas proposições anteriormente demonstradas é suficiente tomar dois elementos genéricos x e y do conjunto 
analisado e mostrar que a composição do primeiro como o simétrico do segundo é um elemento do conjunto 
(x*y’) em análise. 
 Desse modo para verificar se o par (15ℤ, +) é um subgrupo do grupo (3ℤ, +) devemos verificar se quando x e 
y pertencem ao conjunto 15ℤ então x-y também pertence ao conjunto 15ℤ. 
O conjunto 15ℤ é um subconjunto do conjunto 3ℤ pois, se x pertence a 15ℤ então x= 15q, sendo q um número 
inteiro. 
Como x=15q pode ser reescrito como x=15q= 3.5q= 3(5q), 5 e q são números inteiros então 5.q também é um 
inteiro, devido o produto de números inteiros ser um número inteiro. 
Desse modo, podemos afirmar que x=15q= 3.5q= 3(5q) é um elemento do conjunto 3ℤ devido x ser um múltiplo 
inteiro de 3. 
Logo, podemos concluir que se x pertence a 15ℤ então podemos garantir que x pertence ao conjunto 3ℤ . 
Portanto, o conjunto 15ℤ é um subconjunto não vazio do conjunto 3ℤ. 
Agora, sejam x e y pertencentes a 15ℤ então x= 15m e y= 15p, sendo m e p números inteiros, e y’ neste caso 
será dado por y’ = -15p. 
Assim, x+ y’= 15m +(-15p) = 15m-15p= 15(m-p). 
Devido m e p serem números inteiros então m-p também é um número inteiro, então podemos afirmar que 
x+ y’= 15(m-p) é um elemento do conjunto 15ℤ. 
Portanto, podemos concluir que o par (15ℤ, +) é um subgrupo de (3ℤ, +) 
 
3- Verifique se ({6n n ℤ}, •) é um subgrupo de (ℚ*+,•). 
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4- Seja (ℝ*xℝ, *) um grupo com (a,b)*(c,d) = (ac, ad+b). Verifique se ({(a,c)a ℝ*}, *) ou ({(1,b)b ℝ}, *) é 
um subgrupo de (ℝ*xℝ, *). 
5- Verifique se (H ={
1+2𝑚
1+2𝑛
, m, n ℤ}, •) é um subgrupo de ( ℚ*, •). 
6- Verifique se ({z  ℂ z= 1}, •) é um subgrupo de (ℂ*, •). 
7- Seja G um grupo multiplicativo e seja m um elemento fixo de G. Verifique se N(m) = {xG mx = xm} é um 
subgrupo de G. 
Resolução 
Seja G um grupo multiplicativo e seja m um elemento fixo de G. 
Seja o conjunto N(m) = {xG m.x = xm}. 
Para N(m) seja um subgrupo do grupo multiplicativo (G, •) é necessário e suficiente que se x,y N(m) 
então x•y`N(m). 
Sejam x,y N(m) então pela definição do conjunto N(m) temos que m.x= x.m e m.y=y.m. 
Das igualdades m.x= x.m e m.y=y.m temos que x= m`xm e y= m`ym, respectivamente. 
Da igualdade y= m`ym temos que y`= (m`ym)`= m`y`m. 
Agora consideremos a composição x.y`= (m`xm).( m`y`m)= (m`x)(m m`)(y`m)= m`x .y`m. 
Devido a igualdade x.y`= m`x .y`m ser equivalente a m.x.y`= x.y`.m então podemos concluir que 
x.y`N(m). 
Desse modo fica demonstrado que o conjunto N(m) é um subgrupo do grupo (G, •). 
8- Verifique se A= {a + b 2 a,b ℚ) é um subgrupo de (ℝ*,•). 
9- Verifique se A= {a + b
3 2 a,b ℚ) é um subgrupo de (ℚ*,•). 
10- O par (ℝn, +) é um grupo com a adição de n-uplas. Verifique quais dos conjuntos são abaixo são subgrupos de 
(ℝn, +): 
a) H= {(a1, a2, a3, ..., an)  ℝn a1 + a2 + a 3+ ...+ an = 0}; 
b) W = {(a1, a2, a3, ..., an)  ℝn a1  ℤ} 
c) P= {(a1, a2, a3, ..., an)  ℝn  a1  a2  a 3  ...  an} 
10)Verifique se B = {x ℚ  x  0} é um subgrupo de ( ℚ*, • ). 
11)Sejam (H, *) e (K, *), dois subgrupos o grupo abeliano (G, *) e J= {x*y | xH e y K}. Verifique se o par (J, *) é 
um subgrupo de (G, *). 
12)Sejam (G, *) um grupo abeliano, k um inteiro fixo e H= {bk| b G}. Mostrar que o par (H, *) é um subgrupo de 
(G, *). 
13) Sejam (G, *) um grupo abeliano com elemento neutro n e H = {xG| x2= n}. Verifique se o par (H, *) é um 
subgrupo de (G, *). 
14)Sejam (G, *) um grupo, (H, *) um subgrupo de (G, *), b um elemento de G e H= {b * h * b`|bH}. Verifique se 
o par (H, *) é um subgrupo de (G, *). 
15)Sejam (G, *) um grupo e H= {xG| x2 H}. Verifique se o par (H, *) é um subgrupo de (G, *). 
16)Sejam (G, *) um grupo, (H, *) um subgrupo de (G, *) e K= {x G| x * b * x`H, bH}. 
a) verifique se o par (K, *) é um subgrupo de (G, *). 
b) verifique se o par (H, *) é um subgrupo de (K, *). 
17)Seja G= {Aℳ2(ℝ)| A= [
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎
] , 𝑎, 𝑏 ℝ}. Verifique se o par (G, •), onde • é o produto usual de ℳ2(ℝ), é 
um subgrupo das matrizes invisíveis de 2ª ordem. 
18)Seja G= {Aℳ2(ℝ)| A= [
𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑎
−𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑎
] , 𝑎 ℝ}. Verifique se o par (G, •), onde • é o produto usual de ℳ2(ℝ), 
é um subgrupo das matrizes invisíveis de 2ª ordem. 
19) Seja H={[
1 𝑥
0 1
] , 𝑥 R} verifique se o par (H, •) é um subgrupo do grupo multiplicativo das matrizes inversíveis 
de segunda ordem. 
20)Demonstre que se (H, *) é um subgrupo de (G, *) então o elemento neutro de (H, *) é o mesmo de (G, *) 
21) Escreva uma redação sobre grupos destacando a ideia, o conceito, exemplos, contraexemplos e propriedades. 
22)Escreva uma redação sobre subgrupos destacando a ideia, o conceito, exemplos, contraexemplos e propriedades.