Grupos normais e classes laterais

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Grupos normais e classes laterais
Apresentação
Para estudar grupos normais e quociente, é importante definir classes laterais. É possível ter classes 
laterais à esquerda que não são classes laterais à direita, e vice-versa.
Tomando H menor do que G e a pertencente a G um elemento qualquer, o conjunto dos elementos 
as com x pertencente a H é chamado de uma classe lateral de H em G, e denotado por aH, ou, 
ainda, em notação aditiva, a+H. Como G não precisa ser comutativo, então aH é chamado de classe 
lateral à esquerda. Analogamente, o conjunto Ha será definido como classe lateral à direita.
De posse do conceito de classe lateral à direita e à esquerda, é possível seguir com os conceitos de 
subgrupos normais e de grupos quocientes, que são importantes para o estudo de grupos. O 
conceito de subgrupos normais está intimamente ligado ao teorema fundamental dos isomorfismos.
Um ponto importante a saber é que, para que se tenha um grupo quociente de G por H, ou G 
módulo H, a hipótese de que H é normal é fundamental, e somente com ela se pode definir o 
produto de classes laterais. Além disso, se um subgrupo H não for normal, então não é possível 
definir grupo quociente.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que conheça 
conceitos básicos de álgebra, operações, propriedades e teoremas.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você conhecerá as classes laterais, os grupos normais e o grupo 
quociente com a construção de suas tábuas. Verá que os conceitos, as definições e os teoremas 
estão interligados. Os exemplos, as indicações de leitura e as representações por meio de figuras 
que serão apresentados visam a auxiliar no entendimento dos grupos normais e das classes laterais. 
Será destacada a aplicação do conteúdo em situações de ordem prática, evidenciando que os 
conhecimentos podem ser estendidos para problemas do cotidiano e vivenciados na rotina 
acadêmica e profissional.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir classes laterais.•
Explicar as propriedades dos grupos normais.•
Construir a tábua de um grupo quociente.•
Infográfico
O núcleo de um homomorfismo pode ser definido da seguinte forma: Seja f:G→J um 
homomorfismo de grupos. Se u indica o elemento neutro de J, o seguinte subconjunto de G será 
chamado núcleo de f e denotado por N(f). Outra notação muito comum é Ker(f): N(f)={x∈G|f(x)=u}. 
Tem-se que f(e)=u, então e∈N(f); assim, pelo menos o elemento neutro de G pertence ao núcleo de 
f. Uma proposição igualmente importante ao nosso estudo é: Seja f:G→J um homomorfismo de 
grupos, então N(f) é um subgrupo de G, e f é um homomorfismo injetor se, e somente se, N(f)={e}.
Em posse dessas informações, neste Infográfico você conhecerá o teorema do homomorfismo, que 
é importante ao estudo de grupos, e sua representação por meio do diagrama de grupos e 
homomorfismos.
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Conteúdo do livro
Tomando um subgrupo H de um grupo G, o fato de que classe lateral à esquerda e à direita de H 
em G para certos elementos de G podem ser distintas leva à definição de subgrupos normais, que, 
por sua vez, possibilitam a construção dos grupos quocientes.
Pode-se ter casos em que as classes laterais à esquerda e à direita serão iguais e casos em que elas 
serão diferentes. Um importante teorema envolvendo classes laterais é o teorema de Lagrange, que 
diz o seguinte: se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, então o número de elementos de H 
é um divisor do número de elementos de G.
Em relação ao estudo dos grupos normais, conhecer suas propriedades é passo fundamental para 
obter os grupos quocientes, já que, uma vez estabelecida uma operação em um conjunto quociente, 
essa operação só estará bem definida se o subgrupo em questão for normal no grupo dado.
No capítulo Grupos normais e classes laterais, da obra Álgebra, base teórica desta Unidade de 
Aprendizagem, você vai conhecer a definição de classes laterais, as propriedades dos grupos 
normais, a definição de grupo quociente, bem como verificar como se constrói a tábua de um grupo 
quociente. Um dos motivos para o estudo de grupo quociente é a possibilidade de obter outros 
grupos a partir de um grupo dado e identificar um grupo mais simples e fácil de trabalhar com outro 
mais complexo. Você observará, ainda, que os conceitos, os teoremas e as proposições estão 
interligados.
Boa leitura.
ÁLGEBRA
Cristiane da Silva
Grupos normais e 
classes laterais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir classes laterais.
 � Explicar as propriedades dos grupos normais.
 � Construir a tábua de um grupo quociente.
Introdução
As classes laterais são importantes para definir um grupo quociente. Assim, 
é importante conhecer suas condições e compreender quando uma classe 
é lateral à direita ou à esquerda de determinado grupo em relação a um 
subgrupo, pois também interessará saber quando as duas classes serão 
iguais. O conceito de subgrupo normal foi criado pelo matemático Évariste 
Galois, que inicialmente definiu a noção de grupo e, mais tarde, avançou 
para o conceito de subgrupo normal, dadas as necessidades percebidas. 
Pela definição, um subgrupo N de um grupo G será chamado subgrupo 
normal se, para todo x ∈ G, verificar-se a igualdade xN = Nx.
O teorema de Lagrange nos ajuda a determinar os subgrupos de 
um grupo finito. Ou seja, parte-se de um subgrupo e se utiliza ele para 
determinar uma relação de equivalência. Curiosamente, embora o teo-
rema tenha recebido o nome do importante matemático Joseph-Louis 
Lagrange (1736–1813), esse teorema não foi formulado por ele — em 
sua época, o conceito geral de grupo ainda não havia sido formulado.
Neste capítulo, você vai estudar os conceitos de grupos normais e 
classes laterais, verificando as principais proposições, os teoremas e os 
processos de resolução. Você vai estudar as definições, as características, 
os pontos de atenção e as representações desses conceitos por meio de 
figuras, que vão auxiliar na compreensão do conteúdo. Você também 
vai verificar diversos exemplos e algumas notações diferentes com que 
podemos nos deparar dependendo da obra consultada.
1 Classes laterais
Para definir classes laterais, vamos iniciar tratando de um subconjunto não 
trivial H do grupo aditivo Z. O subgrupo H precisa ser cíclico — isso significa 
dizer que H possui um elemento n > 1 tal que H = [n] = {0, ± n, ±2n, …}. Sendo 
assim, quaisquer que sejam a, b ∈ Z, a ≡ b (mod n), se e somente se, a – b ∈ H. 
Isso estabelece uma correspondência entre subgrupos de Z e as relações de 
congruência, módulo n, sobre Z. Pode-se fazer uma generalização para um 
grupo arbitrário G e para um subgrupo arbitrário H de G (DOMINGUES; 
IEZZI, 2018).
Segue uma proposição apresentada por Domingues e Iezzi (2018).
1. A relação ≈ sobre um grupo G definida por “a ≈ b se, e somente se, 
a–1b ∈ H” é uma relação de equivalência.
2. Se a ∈ G, então a classe de equivalência determinada por a é o con-
junto aH = {ah|h ∈ H}. Para cada a ∈ G, a classe de equivalência aH 
definida pela relação ≈ é chamada classe lateral à direita, módulo H, 
determinada por a.
Da proposição decorre que o conjunto das classes laterais à direita, módulo 
H, determina uma partição em G, ou seja:
a) se a ∈ G, então aH ≠ ∅;
b) se a, b ∈ G, então aH = bH ou aH ∩ bH = ∅;
c) a união de todas as classes laterais é igual a G.
O conjunto quociente de G por essa relação, denotado por G/H, é o con-
junto das classes laterais aH(a ∈ G). Um dos elementos desse conjunto é o 
próprio H, pois H = eH. Analogamente, a relação ≅ definida por “a ≅ b se e 
somente se, ab–1 ∈ H” também é uma relação de equivalência sobre o grupo 
G. Nesse caso, a classe de equivalência de um elemento a ∈ G é o subconjunto 
Ha = {ha|h ∈ H}, chamado classe lateral à esquerda, módulo H, determinada 
por a. Se G forcomutativo, então aH = Ha, para qualquer a ∈ G (DOMIN-
GUES; IEZZI, 2018).
Domingues e Iezzi (2018) explicam que, na teoria que segue, não faz 
diferença usar classes laterais à esquerda ou à direita. Um dos motivos para 
isso é que os conjuntos quocientes têm a mesma cardinalidade nos dois casos. 
A correspondência aH → Hab–1 é uma bijeção. Vejamos alguns exemplos dos 
autores Domingues e Iezzi (2018).
Grupos normais e classes laterais2
Exemplo 1: No grupo multiplicativo G = {1, –1, i, –i} das raízes quárticas 
da unidade, consideremos o subgrupo H = {1, –1}. As classes laterais neste 
caso são:
1H = {1 ∙ 1, 1 ∙ (–1)} = {1, –1},
(–1)H = {(–1) ∙ 1, (–1) ∙ (–1)} = {–1, 1},
iH = {i ∙ 1, i ∙ (–1)} = {i, –i},
(–i)H = {(–i) ∙ 1, (–i) ∙ (–1)} = {–i, i}
Portanto, G/H = {1H, iH}. É importante destacar que, se H é um subgrupo 
de um grupo aditivo G, então as classes laterais à direita, módulo H, são os 
conjuntos a + H, com a ∈ G.
Exemplo 2: Seja G o grupo aditivo Z6. Para facilitar, escreveremos os elementos 
de Z6 sem os traços. Ou seja, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Considerando o subgrupo 
H = {0,3}, temos:
0 + H = H = {0,3}, 1 + H = {1,4} e 2 + H = {2,5}
3 + H = {3,0} = H
4 + H = {4,1} = 1 + H
5 + H = {5,2} = 2 + H
Como a reunião dessas três classes é igual a G, podemos interromper nossos 
cálculos nesta altura, com a certeza de que não há mais classes distintas das 
que já foram obtidas. Portanto, G/H = {H, 1 + H, 2 + H}.
Exemplo 3: Seja R* o grupo multiplicativo dos números reais e H o subgrupo 
formado pelos números reais estritamente positivos. Ou seja, H = {x ∈ R*|x > 0}. 
Como:
aH = H, se a > 0
aH = {x ∈ R*|x < 0}, se a < 0
3Grupos normais e classes laterais
Então R*/H é formado de duas classes apenas: a dos números reais maiores 
que zero e a dos números reais menores que zero.
Sendo H um subgrupo de G, então duas classes laterais quaisquer módulos 
H são subconjuntos de G que têm a mesma cardinalidade. Em particular, 
todas as classes têm a mesma cardinalidade de H = eH, em que “e” é o ele-
mento neutro. Se G é um grupo finito, então o conjunto G/H também é finito. 
O número de elementos distintos de G/H é chamado índice de H em G e é 
denotado por (G:H). Então, no exemplo 1, (G:H) = 2, no exemplo 2, (G:H) = 3, 
e no exemplo 3, (G:H) = 2 (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Vamos conhecer agora o teorema de Lagrange: seja H um subgrupo de um 
grupo finito G, então ∘(H) = ∘(H)(G:H) e, portanto, ∘(H)|∘(G) (DOMINGUES; 
IEZZI, 2018).
Observe os corolários a seguir.
Corolário 1: Seja G um grupo finito. Então a ordem (período) de um elemento a ∈ G 
divide a ordem de G e o quociente é (G:H), em que H = [a].
Corolário 2: Se a é um elemento de um grupo finito G, então a∘(G) = e (elemento 
neutro do grupo).
Corolário 3: Seja G um grupo finito cuja ordem é um número primo. Então G é cíclico, 
e os únicos subgrupos de G são os triviais, ou seja, {e} e o próprio G.
Fonte: Domingues e Iezzi (2018, p. 196).
2 Grupos normais
Nesta seção, veremos que em um grupo existem subgrupos especiais, cha-
mados subgrupos normais, que levam à construção de grupos quociente. 
Considerando G um grupo e H um subgrupo normal de G, veremos que o 
conjunto , formado pelas classes laterais de H em G, possui uma operação 
bem definida que torna um grupo (JANESCH, 2008).
Grupos normais e classes laterais4
Janesch (2008) inicia este estudo tomando um grupo G, H ≤ G e estabele-
cendo a notação = {xH; x ∈ G}, para indicar o conjunto das classes laterais 
à esquerda de H em G. Deseja-se descobrir sob que condições, impostas a H, 
a operação entre classes:
está bem definida. Para isso, tomamos xH = x1H e yH = y1H em e queremos 
que valha xHyH = x1Hy1H — isto é, a operação não deve depender da escolha 
de classe em . Como xH = x1H e yH = y1H, e x1 = xh e y1 = yk, logo:
xHyH = x1Hy1H ↔ xyH = x1y1H
↔ x1y1 ∈ xyH
↔ xhyk ∈ xyH
↔ hyk ∈ yH
↔ ∃h1 ∈ H tal que hyk = yh1
↔∃h1 ∈ H tal que y–1hy = h1k
–1
↔ y–1hy ∈ H
Sendo x, y, x1, y1 elementos quaisquer de G, conclui-se que a operação entre 
as classes laterais à esquerda está bem definida se, e somente se,
y–1hy ∈ H, ∀y ∈ G e ∀h ∈ H
5Grupos normais e classes laterais
Essa última condição não é mais eficiente para verificar se a operação está 
bem definida, mas a partir dela obtemos outras (JANESCH, 2008). Temos 
então a seguinte proposição: seja H um subgrupo de G. São equivalentes as 
seguintes proposições:
1. A operação entre classes laterais à esquerda de H em G está bem 
definida.
2. gHg–1 ⊆ H, ∀g ∈ G.
3. gHg–1 = H, ∀g ∈ G.
4. gH = Hg, ∀g ∈ G.
Vejamos agora a definição trazida por Janesch (2008, p. 140) dos grupos 
normais: seja H um subgrupo de G. Dizemos que H é subgrupo normal de G 
quando valem as condições equivalentes da proposição anterior.
A notação H ⊲ G indica que H é subgrupo normal de G (JANESCH, 2008).
Vejamos alguns exemplos de Janesch (2008) envolvendo o subgrupo normal.
Exemplo 1: Se G é um grupo, então {e} ⊲ G e G ⊲ G. De fato, g{e} = {g} = 
{e}g e gG = G = Gg, ∀g ∈ G.
Exemplo 2: Se G é um grupo abeliano e H ≤ G, então H ⊲ G. Basta notar que 
pela comutatividade de G temos: 
gH = {gh; h ∈ H} = {hg; h ∈ H} = Hg, ∀g ∈ G.
Grupos normais e classes laterais6
Exemplo 3: Como casos particulares do exemplo anterior, temos:
(z, +) ⊲ (Q, +) ⊲ (R, +) ⊲ (C, +)
(Q*, ∙) ⊲ (R*, ∙) ⊲ (C*, ∙)
(mZ, +) ⊲ (Z, +), ∀m ∈ Z
{0,2} ⊲ Z4
{0,3} ⊲ Z6, {0, 2, 4} ⊲ Z6
Se G é grupo abeliano e x ∈ G, então 〈x〉 ⊲ G.
Exemplo 4: Seja H ≤ G. Se H ⊆ G, então H ⊲ G. Em particular, Z(G) ⊲ G. 
Como H ⊆ Z(G), temos que os elementos de H comutam com todos os ele-
mentos de G. Assim:
gH = {gh; h ∈ H} = {hg; h ∈ H} = Hg, ∀g ∈ G.
Note que, se G é grupo abeliano, então Z(G) = G.
Na próxima proposição, Janesch (2008) apresenta um resultado geral sobre 
subgrupos normais. Lembrando que (G:H) é o índice de G em H, isto é, o 
número de classes laterais.
Proposição: Se H ≤ G e (G:H) = 2, então H ⊲ G. 
Corolário: Seja G um grupo finito. Se H ≤ G e |H| = , então H ⊲ G.
Podemos pensar no subgrupo H = {e, a, a2, a3}. Por exemplo, ele é um 
subgrupo normal em D4 = {e, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b}, pois 2|H| = |G| 
(JANESCH, 2008).
Vejamos um exemplo de Domingues e Iezzi (2018). Seja H um subgrupo 
de G tal que (G:H) = 2, então H é um subgrupo normal de G. De fato, neste 
caso, as classes laterais à direita, módulo H, são duas: H e aH, em que a é um 
elemento qualquer do grupo que não pertence a H. Portanto, aH = (HC)G, pois 
as duas classes formam uma partição de G. As classes laterais à esquerda, 
módulo H, também são duas: H e Ha, em que a é um elemento qualquer do 
grupo que não pertence a H, e, portanto, Ha =(HC)G. Logo, xH = Hx, qualquer 
que seja x ∈ G.
7Grupos normais e classes laterais
3 Grupo quociente
Nesta seção, utilizando os conhecimentos de subgrupos normais, construi-
remos o grupo quociente. Como a notação pode variar conforme o autor 
estudado, apresentaremos aqui as abordagens de Domingues e Iezzi (2018) 
e de Janesch (2008). 
Domingues e Iezzi (2018) consideram N um subgrupo normal de G e as 
propriedades que envolvem a multiplicação de subconjuntos de G, restritas 
a G/N:
1. (aN)(bN) = (ab)N;
2. [(aN)(bN)](cN) = (aN)[(bN)(cN)].
Além disso, valem:
1. (aN)(eN) = (ae)N = aN = (ea)N = (eN)(aN);
2. (ii) (aN)(a–1N) = (aa–1)N = eN = (a–1a)N = (a–1N)(aN).
Então, o conjunto quociente G/N, com a multiplicação de subconjuntos 
restrita a seus elementos, é um grupo cujo elemento neutro é eN = N e no 
qual (aN)–1 = a–1N.
Por definição, sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. O grupo 
quociente de G por N é o par formado pelo conjunto quociente G/N e a res-
trição aos elementos desse conjunto da multiplicação de subconjuntos de 
G (DOMINGUES; IEZZI, 2018). Vejamos exemplos de grupos quocientes 
apresentados por Domingues e Iezzi (2018, p. 201–202).
Exemplo 1: Sejam G = {1, –1, i, –i} o grupo multiplicativo das raízes quár-
ticas da unidade e N = {1, –1}. N é um subgrupo normal de G, pelo fato 
mesmo de que G é comutativo. As classes laterais nestecaso são duas apenas: 
1N = N = {1, –1} e iN = {i, –i}. O próprio fato de a união das duas ser igual 
a G é suficiente para mostrar que não há outras. A tábua do grupo quociente 
G/N é mostrada na Figura 1.
Grupos normais e classes laterais8
Figura 1. Tábua do grupo quociente G/N.
Fonte: Domingues e Iezzi (2018, p. 201).
Exemplo 2: Sejam G = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e H = {0, 3}. As classes laterais 
neste caso são 0 + H = H, 1 + H = {1, 4} e 2 + H = {2, 5}, já que essas três 
englobam todos os elementos de Z6. A tábua do grupo quociente G/N é mos-
trada na Figura 2.
Figura 2. Tábua do grupo quociente G/N.
Fonte: Domingues e Iezzi (2018, p. 202).
Domingues e Iezzi (2018) reportam a seguinte proposição: se N é 
um subgrupo normal de G, então a aplicação μ: G → G/N, definida por 
μ(a) = aN, é um homomorfismo sobrejetor de grupos que tem como núcleo N. 
Os autores também trazem a seguinte definição: se N é um subgrupo normal de 
G, então o homomorfismo μ: G → G/N, definido por μ(a) = aN, é denominado 
homomorfismo canônico de G sobre G/N.
Janesch (2008) aborda o grupo quociente partindo dos subgrupos normais: 
sejam G um grupo e H ⊲ G, desde que gH = Hg, ∀g ∈ G, temos:
9Grupos normais e classes laterais
Assim, representa o conjunto de classes laterais à esquerda (ou à direita) 
de H em G. Sabemos que:
é uma operação bem definida em . Esta será sempre a operação consi-
derada em . O teorema diz que, se H é um subgrupo normal de G, então 
( , ∙) é grupo. Por definição, o grupo é chamado grupo quociente de G por H.
A proposição apresentada a seguir mostra que as propriedades “ser abeliano” 
e “ser cíclico” se transportam de G para (JANESCH, 2008).
Proposição: Sejam G um grupo e H ⊲ G.
1. G abeliano → abeliano;
2. G cíclico → cíclico.
Vejamos um exemplo de Janesch (2008, p. 145), em que devemos construir 
a tabela de operações do grupo quociente , para G = D3 e H = {e, a, a2}, 
considerando que {e, a, a2} ⊲ D3. Iniciamos encontrando os elementos de , 
ou seja, as classes laterais à esquerda. Sabemos que:
eH = aH = a2H = H, pois e, a, a2 ∈ H
Como:
só existe uma outra classe. Note que bH = b = {e, a, a2} = {b, ab, a2b}. Logo, 
= {H, bH}. Como = 2, sabemos que é cíclico e abeliano, apesar de G não 
ser cíclico nem abeliano. A Figura 3 apresenta a tábua do grupo quociente G/H. 
Grupos normais e classes laterais10
Figura 3. Tábua do grupo quociente G/H.
Fonte: Janesch (2008, p. 145).
Para saber mais sobre classes laterais e grupos quociente, consulte o Capítulo 2 do 
trabalho de conclusão de curso de Machado (2012), intitulado “Introdução à teoria 
de grupos”.
DOMINGUES, H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. 5. ed. São Paulo: Atual, 2018.
JANESCH, O. R. Álgebra II. Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2008.
MACHADO, A. F. Introdução à teoria de grupos. 2012. Trabalho de Conclusão de Curso 
(Graduação)- Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2012. 
11Grupos normais e classes laterais
Dica do professor
Denomina-se um subgrupo de G um subconjunto H de um grupo G que atende às seguintes 
condições: a) 1 pertence a H; b) se h pertence a H então h-1 pertence a H; c) se h1, h2 pertence a 
H então h1h2 pertence a H. Se H é um subgrupo de G, escreve-se H menor ou igual a G. Isso 
significa dizer que um subconjunto H é um subgrupo se é um grupo com a mesma operação de G e 
o mesmo elemento neutro 1. Dito isso, é possível definir classes laterais que são importantes para o 
entendimento do teorema de Lagrange e o estudo de grupos normais e quociente.
Nesta Dica do Professor, você verá os subgrupos e retomará definições importantes relativas ao 
estudo de grupos normais e classes laterais, seguidas de exemplos de subgrupos, classe lateral à 
esquerda, classe lateral à direita e de subgrupo normal. 
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Exercícios
1) Uma importante proposição das classes laterais afirma que: sejam G um grupo e x,y∈G. Seja 
H um subgrupo de G. Diz-se que x≡y (mod H)↔xy-1∈H. Então ≡(mod H) é uma relação de 
equivalência no conjunto G. Considerando um elemento qualquer x∈G, sua classe de 
equivalência é definida como Hx=y∈G:y≡x (mod H). Assim, y∈Hx↔y≡x(mod H)↔yx-1 
 =h∈H, para algum h∈H↔y=hx para algum h∈H. Logo, Hx={hx:h∈H}=Hx e a chamamos 
classe lateral à direita de H em G determinada por x. Também pode-se definir a relação de 
equivalência x≡y (mod H)↔x-1 y∈H. Nesse caso, xH={xh:h∈H} é chamada classe lateral à 
esquerda de H em G determinada por x. Nesse contexto, no grupo multiplicativo G={1,-1,i,-i} 
das raízes quárticas da unidade, considera-se o subgrupo H={1,-1}. 
As classes laterais à esquerda e à direita, nesse caso, são:
A) -H=0,1=-H;iH=i,i=H.
B) 1H={1,-1}=H1; iH={i,-i}=Hi.
C) 2H={2,-2}=H2;iH={-i,i}=-H.
D) H={1,1}=H1;-iH={-i,-i}=-Hi.
E) 2H= {2,-2} =H2; H= {1,-1} =H1.
2) O estudo das classes laterais nos permite avançar para os grupos normais e quociente, 
porque os conceitos, teoremas, definições e proposições estão interligados. Esse campo da 
álgebra é muito importante e contribui significativamente para o entendimento da teoria dos 
números. A seguir, algumas afirmações relativas aos grupos normais e às classes laterais são 
apresentadas para que você avalie sua veracidade ou falsidade:
I - As classes laterais à direita e as classes laterais à esquerda sempre serão iguais.
II - Se um grupo é abeliano, para quaisquer elementos do grupo, suas classes laterais à 
esquerda e à direita coincidem, independentemente do subgrupo envolvido.
III - O teorema de Lagrange afirma que, se G é um grupo infinito e H é um subgrupo de G, 
então o número de elementos de H é divisor do número de elementos de G.
IV - Sejam G um grupo e H um subgrupo de G, então existe uma bijeção entre o conjunto de 
classes laterais à direita e o conjunto de classes laterais à esquerda.
A) Apenas II e IV estão corretas.
B) Apenas III está correta.
C) Apenas I e IV estão corretas.
D) Apenas I e III estão corretas.
E) Apenas IV está correta.
3) Um subgrupo normal é aquele em que, qualquer que seja o elemento x do grupo, os 
conjuntos xN e Nx coincidem. Se considerar H um subgrupo normal de G, então tem-se que 
o quociente G/H admite uma estrutura de grupo, que se denomina grupo quociente. Nesse 
contexto, avalie as afirmações a seguir, assinalando a alternativa correta:
I - Sendo e o elemento neutro do grupo G, então {e} e G são subgrupos normais de G.
II - A interseção de subgrupos normais pode gerar um subgrupo normal ou não.
III - Os grupos quocientes independem dos grupos normais.
IV - Se H é um subgrupo normal em G, pode-se introduzir uma operação no conjunto das 
classes G/H de modo que G/H seja um grupo com essa operação. Esse grupo será 
denominado grupo quociente de G por H.
A) Apenas III e IV estão corretas.
B) Apenas III está correta.
C) Apenas II e III estão corretas.
D) Apenas I e IV estão corretas.
E) Apenas II está correta.
4) Tomando H≤D3, em que D3={e, a, a2, b,ab,a2b}, sendo H cíclico e sabendo que 
(a)=(a2)={e,a,a2}, (b)={e,b}, (ab)={e,ab} e (a2b)={e,a2b} os subgrupos de D3 são H1={e}, 
H2={e,a,a2},H3={e,b},H4={e,ab},H5={e,a2b} e H6=D3. Por definição, seja G um grupo, diz-se 
que um subgrupo H de G é normal em G se gH=Hg,∀g⊂G. 
Nesse contexto, encontre o(s) subgrupo(s) normal(is) de D3, assinalando a alternativa 
correta:
A) Os subgrupos normais de D3 são {e,ab}, {e,a2b} e D3.
B) O subgrupo normal de D3 é {e,a2}.
C) Os subgrupos normais de D3 são {e}, {e,a,a2} e D3.
D) O subgrupo normal de D3 é {e,b}.
E) Os subgrupos normais de D3 são {e}, {e,ab}.
5) Por definição, o grupo G/H é chamado de grupo quociente de G por H. De forma 
complementar, se H é um subgrupo normal em G, pode-se introduzir de modo natural uma 
operação no conjunto das classes G/H de modo que G/H seja um grupo com essa operação. 
Nesse contexto, considere G=Z4 e H={0,2} e construa a tabela de operações de G/H, 
assinalando a alternativa correta:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Na práticaUm grande desafio no estudo de álgebra, bem como em outras áreas da Matemática, é conseguir 
estabelecer uma abordagem da disciplina com o uso de algum recurso computacional. Cada vez 
mais as tecnologias digitais estão presentes no ambiente educacional, mas nem sempre se 
dominam todas as possibilidades. Existem programas computacionais de fácil utilização, com 
linguagem simples e direta, que podem ser levados para a sala de aula.
Em álgebra, muitas vezes conceitos como anéis e grupos podem ser difíceis para os estudantes em 
virtude da necessidade de abstração e das representações exigidas para o entendimento de 
estruturas matemáticas. Portanto, o uso de uma ferramenta que auxilie na compreensão desses 
conceitos e resultados que constituem a teoria dos grupos é uma alternativa que merece atenção.
Neste Na Prática, você verá como o software Maple pode ser usado em situações que envolvem 
grupos. 
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Classes laterais – introdução às estruturas algébricas
Neste vídeo, o professor explica classes laterais para viabilizar a definição de grupo quociente. 
Inicia-se definindo classes laterais à esquerda e à direita e explicando por que ela é uma classe 
lateral à esquerda ou à direita. Também se verifica quando essas classes são iguais por meio de um 
exemplo. No exemplo seguinte, considerando um grupo de permutações e um subgrupo dado, 
verifica-se outra vez a igualdade entre as classes à direita e à esquerda.
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Subgrupos normais – introdução às estruturas algébricas
Neste vídeo, o professor explica o que é necessário para que um subgrupo seja normal. Você verá 
que as classes laterais precisam ser iguais para viabilizar um subgrupo normal, o que permitirá 
chegar a um grupo quociente. Além disso, você verá como verificar se um subgrupo de um grupo é 
normal. A explicação dos conceitos e definições se dá por meio de diversos exemplos resolvidos 
detalhadamente e com pontos de atenção elencados pelo professor.
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Grupo quociente – introdução às estruturas algébricas
Neste vídeo, o professor inicia retomando brevemente as classes laterais. De modo geral, as classes 
laterais são distintas, mas, neste vídeo, analisa-se o caso em que elas são iguais de modo que possa 
ser definido o grupo quociente. A explicação se dá por meio de exemplos que servem como 
suporte para definir os conceitos e também mostrar como resolver as operações entre grupos e 
subgrupos.
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Lista de exercícios
Para aprender grupos normais e classes laterais, é importante que você treine fazendo diversos 
exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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