Resumo de Cálculo

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RELATÓRIO RESUMIDO: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
1. O que é Cálculo Diferencial e Integral?
O Cálculo é uma área da matemática que estuda variações e acumulações.
Divide-se em:
- Cálculo Diferencial: estuda taxas de variação e derivadas.
- Cálculo Integral: estuda acumulações (áreas, volumes, somas contínuas) por meio de integrais.
2. Conceitos básicos
2.1 Funções e limites
- Função: relação que associa a cada valor de entrada x um valor de saída f(x).
- Limite: descreve o comportamento de f(x) quando x se aproxima de um certo valor.
3. Cálculo Diferencial (Derivadas)
A derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função ou a inclinação da reta tangente ao gráfico em um ponto.
Definição intuitiva da derivada:
f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h
Regras básicas:
- Derivada de constante: d/dx (c) = 0
- Potência: d/dx (x^n) = n x^(n-1)
- Soma: d/dx (f + g) = f' + g'
- Produto: d/dx (fg) = f'g + fg'
- Quociente: d/dx (f/g) = (f'g - fg') / g^2
Aplicações das derivadas:
- Cálculo de velocidades e acelerações;
- Estudo de máximos e mínimos de funções (otimização);
- Análise de crescimento e decrescimento de funções;
- Aproximações lineares e estudo de gráficos.
4. Cálculo Integral (Integrais)
A integral está relacionada a somar infinitas partes muito pequenas. A interpretação mais comum é a de área sob a curva.
Tipos de integrais:
- Integral indefinida: ∫ f(x) dx, conjunto das antiderivadas de f(x).
- Integral definida: ∫[a,b] f(x) dx, número real que representa a área (com sinal) sob o gráfico de f(x) entre a e b.
Regras básicas de integração:
- Potência (n ≠ -1): ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
- Soma: ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
- Constante: ∫ c dx = cx + C
Aplicações das integrais:
- Cálculo de áreas de regiões planas;
- Cálculo de volumes de sólidos de revolução;
- Trabalho em Física (força × deslocamento);
- Comprimento de curvas e médias de funções.
5. Ligação entre Derivadas e Integrais
O Teorema Fundamental do Cálculo conecta derivadas e integrais:
Se F'(x) = f(x), então:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Isso significa que, para calcular uma integral definida, basta encontrar uma antiderivada de f(x).
Em resumo:
- Derivar mede como algo muda.
- Integrar mede quanto algo se acumula.
6. Conclusão
O Cálculo Diferencial e Integral é essencial na matemática, física, engenharia, economia e computação.
Ele permite descrever movimentos e mudanças (derivadas) e medir acúmulos, áreas e volumes (integrais),
unificados pelo Teorema Fundamental do Cálculo.