Cálculo vetorial

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Cálculo vetorial 
O que representa o gradiente de uma funcao escalar
f(x,y,z)?
a) Um vetor perpendicular as curvas de nivel de
f
b) Um vetor tangente as curvas de nivel de
f
c) A soma das derivadas parciais de
f
d) O valor maximo da funcao
f
Resposta: a) O gradiente de uma funcao escalar aponta na direcao de maxima variacao da funcao
e e perpendicular as superficies de nivel. Ele e dado por
f=(
x
f
,
y
f
,
z
f
).
Qual e o resultado do produto escalar entre dois vetores perpendiculares
A
e
B
?
a) Zero
b)
A
B
c)
A
×
B
d) Um vetor unitario
Resposta: a) O produto escalar e definido como
A
B
=
A
B
cos. Se
A
e
B
sao perpendiculares,
=90
e
cos90
=0, entao o produto escalar e zero.
O produto vetorial
A
×
B
resulta em:
a) Um vetor perpendicular a
A
e
B
b) Um vetor paralelo a
A
c) Um escalar
d) Um vetor que sempre aponta na direcao de
B
Resposta: a) O produto vetorial entre dois vetores gera um vetor perpendicular ao plano definido
por eles, com modulo
A
×
B
=
A
B
sin. A direcao e determinada pela regra da mao direita.
Se
A
=2
i
^
+3
j
^
e
B
=
i
^
j
^
, o produto escalar
A
B
e:
a) -1
b) -3
c) 1
d) 5
Resposta: d) Calculando:
A
B
=(2)(1)+(3)(1)=23=1. Portanto, a resposta correta e a) -1.
Qual das alternativas representa a divergencia de um campo vetorial
F
(x,y,z)=P
i
^
+Q
j
^
+R
k
^
?
a)
F
=
x
P
+
y
Q
+
z
R
b)
F
=
y
P
+
z
Q
+
x
R
c)
F
=
F
×
d)
F
=×
F
Resposta: a) A divergencia mede a taxa de fluxo que sai de um ponto em um campo vetorial, e e
dada pela soma das derivadas parciais de cada componente em relacao a sua variavel.
O rotor (ou curl) de um campo vetorial
F
e:
a) Um vetor que indica a rotacao local do campo
b) Um escalar que mede o fluxo
c) Um numero real positivo
d) Sempre nulo
Resposta: a) O rotor de
F
,
×
F
, e um vetor que aponta na direcao do eixo de rotacao do campo e cujo modulo indica a intensidade
dessa rotacao.
Se
F
=x
i
^
+y
j
^
+z
k
^
, a divergencia
F
e:
a) 3
b) 1
c) 0
d) x + y + z
Resposta: a)
F
=
x
x
+
y
y
+
z
z
=1+1+1=3.
Se
F
=y
i
^
+x
j
^
, o rotor
×
F
e:
a)
2
k
^
b)
2
k
^
c)
k
^
d) 0
Resposta: a) Calculando:
×
F
=(
x
,
y
,
z
)×(y,x,0)=(0,0,1+1)=2
k
^
.
Qual e a interpretacao geometrica do produto escalar
A
B
?
a) O comprimento da projecao de
A
sobre
B
multiplicado pelo modulo de
B
b) O vetor perpendicular a
A
e
B
c) Sempre positivo
d) Sempre nulo se
A
e
B
forem paralelos
Resposta: a) O produto escalar mede quanto um vetor projeta sobre o outro:
A
B
=
A
B
cos, onde
 e o angulo entre eles.
A integral de linha de um campo vetorial
F
ao longo de uma curva
C e definida como:
a)
C
F
d
r
b)
C
F
×d
r
c)
C
F
ds
d)
C
d
r
Resposta: a) A integral de linha mede o trabalho realizado pelo campo ao longo de uma trajetoria,
sendo o produto escalar do vetor campo pelo vetor tangente ao caminho.
O que significa que um campo vetorial
F
e conservativo?
a) Existe uma funcao escalar
f tal que
F
=f
b) A divergencia de
F
e zero
c) O rotor de
F
e infinito
d)
F
nao depende do ponto
Resposta: a) Um campo conservativo e aquele que pode ser escrito como o gradiente de uma
funcao potencial. Nesse caso, a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos
inicial e final.
O teorema de Stokes relaciona:
a) A integral de linha de
F
em uma curva fechada com a integral de superficie do rotor de
F
b) A integral de superficie da divergencia com o volume
c) A integral de linha de um campo conservativo com a divergencia
d) A area da superficie com o volume de um solido
Resposta: a) O teorema de Stokes afirma que
C
F
d
r
=
S
(×
F
)d
S
, conectando a circulacao ao longo da borda com a rotacao sobre a superficie.
O teorema da divergencia (ou Gauss) relaciona:
a) O fluxo de um campo vetorial atraves de uma superficie fechada com a integral da divergencia
no volume interno
b) O trabalho de um campo ao longo de uma curva com o rotor
c) O gradiente com o produto escalar
d) O modulo de um vetor com sua projecao
Resposta: a) O teorema de Gauss afirma
S
F
d
S
=
V
(
F
)dV, permitindo calcular fluxos a partir da divergencia.
Se
A
=
i
^
+2
j
^
+3
k
^
e
B
=4
i
^
+
j
^
k
^
, o produto vetorial
A
×
B
e:
a)
7
i
^
+13
j
^
7
k
^
b)
5
i
^
+10
j
^
2
k
^
c)
i
^
+
j
^
+
k
^
d) Zero
Resposta: a) Calculando o determinante da matriz
i
^
1
4
j
^
2
1
k
^
3
1
=(7)
i
^
+(13)
j
^
+(7)
k
^
.
O que e uma linha de campo de um vetor
F
?
a) Uma curva tangente ao vetor em cada ponto
b) Um vetor perpendicular ao campo
c) Sempre uma reta
d) Um vetor unitario
Resposta: a) Linhas de campo sao curvas que seguem a direcao do vetor campo em todos os
pontos, mostrando o fluxo ou direcao do campo.
Se
F
=(y,x,0), o campo e:
a) Rotacional, mas sem divergencia
b) Conservativo
c) Irrotacional e divergente
d) Zero
Resposta: a) Calculando,
F
=
x
y
+
y
(x)
=0+0=0. O rotor
×
F
=(0,0,2)
=0, entao e rotacional.
O gradiente
f e sempre perpendicular a:
a) Superficies de nivel de
f
b) Vetores tangentes ao eixo x
c) Qualquer vetor
d) Linhas retas
Resposta: a) O gradiente aponta na direcao de maximo crescimento da funcao, logo e
perpendicular as superficies de nivel onde a funcao e constante.
Se
F
=f, entao
C
F
d
r
=? para qualquer curva fechada
C:
a) 0
b) Depende da curva
c) 1
d) Infinito
Resposta: a) Para campos conservativos, a integral de linha em uma curva fechada e sempre zero,
pois a diferenca de potencial entre ponto inicial e final e nula.
A integral de superficie
S
F
d
S
mede:
a) O fluxo do campo atraves da superficie
b) A circulacao do campo
c) O comprimento de S
d) O modulo de
F
Resposta: a) A integral de superficie mede o fluxo, ou seja, quanto do campo atravessa
perpendicularmente a superficie S.
Se
F
=(xz,yz,z
2
) e
S e a superficie do cubo
0x,y,z1, a integral de superficie
S
F
d
S
pode ser calculada usando:
a) O teorema da divergencia
b) O teorema de Stokes
c) Produto escalar direto
d) Produto vetorial direto
Resposta: a) Para superficies fechadas como um cubo, o teorema de Gauss simplifica o calculo do
fluxo usando a divergencia de
F
sobre o volume interno, evitando integrar cada face separadamente.
A integral de linha
C
F
d
r
e independente do caminho se:
a)
F
e conservativo
b)
F
tem divergencia zero
c)
F
tem rotor zero
d) O campo e constante
Resposta: a) Para campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e
final, sendo independente do caminho.
O que significa que um vetor unitario
u
^
e tangente a uma curva
C?
a)
u
^
indica a direcao da curva em cada ponto
b)
u
^
e perpendicular a curva
c)
u
^
tem modulo zero
d)
u
^
sempre aponta para o eixo z
Resposta: a) Vetores tangentes indicam a direcao da curva no ponto considerado e tem modulo
unitario, facilitando calculos de integral de linha.
Se
f(x,y,z)=x
2
+y
2
+z
2
, entao
f e:
a)
2x
i
^
+2y
j
^
+2z
k
^
b)
x
i
^
+y
j
^
+z
k
^
c)
i
^
+
j
^
+
k
^
d) Zero
Resposta: a) O gradiente de uma funcao quadratica e composto pelas derivadas parciais
multiplicadas por dois:
f=(2x,2y,2z).
Se um campo vetorial
F
tem
×
F
=0 em uma regiao simplesmente conexa, entao:
a)
F
e conservativo
b)
F
e divergente
c) O fluxo atraves de qualquer superficie e zero
d) O campo e nulo
Resposta: a) Um campo irrotacional (
×
F
=0) em uma regiao sem buracos e conservativo, podendo ser expresso como gradiente de uma
funcao escalar.
Se
F
=(yz,xz,xy), a divergencia
F
e:
a) 0
b) 1
c) x + y + z
d) xyz
Resposta: a) Calculando:
(yz)/x=0,
(xz)/y=0,
(xy)/z=0, logo
F
=0.
O que e uma superficie de nivel de uma funcao
f(x,y,z)?
a) O conjunto de pontos onde
f(x,y,z)=c, constanteb) A integral de
f sobre o volume
c) O gradiente de
f
d) A divergencia de
f
Resposta: a) Superficies de nivel sao todas as posicoes no espaco em que a funcao assume um
valor constante
c, importantes para visualizar campos e gradientes.
Se
A
B
=
A
B
cos, entao
 e:
a) O angulo entre os vetores
A
e
B
b) Sempre 90°
c) Sempre 0°
d) Nao tem interpretacao geometrica