Prévia do material em texto

Disciplina: Física Geral Data: 06/08/2025 
Professor: Roger Müller Saraiva de Sousa 
Aula: Razão e proporção, regra de três e porcentagem. 
 
➢ Razão 
Em nossa vida diária, estamos sempre fazendo comparações, e quando 
fazemos comparações, estamos relacionando dois números. Na linguagem 
matemática, todas essas comparações são expressas por um quociente chamado 
razão. A palavra razão vem do latim “ratio”, e significa divisão. Temos, então: 
Uma razão é uma divisão entre dois números. 
São exemplos de razões: 
5
10
, 
100
10000
, 
1
4
,
2
5
,
3
8
 ou 5:10, 100:10000, 1:4, 2:5, 3:8. 
Praticando: 
Comparação Razão 
De cada 100 habitantes 20 são analfabetos; 
Quatro dias de chuva para cada oitenta dias de sol; 
De cada 50 alunos, 2 gostam de matemática. 
 
Usa-se uma razão quando queremos comparar unidades, entre si. Numa razão, 
os termos (números) têm um nome próprio, tendo em conta o lugar onde se escrevem. 
Por exemplo: 
Na razão 
3
5
 ou 3:5 o número 3 chama-se antecedente ou numerador e o 
número 5 chama-se consequente ou denominador. 
Observação!: Se as grandezas são da mesma espécie (comprimento e largura, 
ou área e área), suas medidas devem ser expressas na mesma unidade e nesse caso, 
a razão é um número puro. 
Ex.: Se temos que determinar a razão entre as áreas das superfícies das 
quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 180 
m2 e a de basquete possui uma área de 240 m2, vamos escrever: 
Razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete = 
180𝑚2
240𝑚2 = 
3
4
 
 
 
Caso as grandezas não sejam da mesma espécie (quilômetros percorridos e o 
tempo transcorrido), a razão é um número cuja unidade depende das unidades das 
grandezas a partir das quais se determina a razão. 
Ex.: Para irmos de Balsas a Uruçuí, percorremos 240 km aproximadamente. Se 
fizermos este percurso em 3 horas, a razão entre a distância percorrida e o tempo 
gasto em percorrê-la é igual à divisão entre as medidas das duas grandezas. 
 
➢ Proporção 
Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas razões. Uma propriedade 
fundamental das proporções é a seguinte: em toda proporção, o produto dos meios é 
igual ao produto dos extremos. 
Ex.: Em uma pesquisa curta, foi obtido o seguinte resultado: de 30 alunos 
entrevistados na Faculdade Pitágoras, 10 gostam de Matemática, portanto também 
poderíamos supor que, se forem entrevistados 120 alunos da mesma faculdade, 40 
deverão gostar de Matemática. Na verdade, ao falar de 40 alunos dos 120 alunos 
estamos afirmando que 10 estão representando em 30 o mesmo que 40 em 120. 
Escrevemos então ➔ 
10
30
 = 
40
120
. 
Numa proporção, os números (termos) que lá aparecem têm um determinado 
nome de acordo com o lugar onde se encontram escritos. Assim sendo, meios e 
extremos. 
 
➢ Divisão proporcional 
➢ Divisão em partes diretamente proporcionais 
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números 
dados significam encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais 
aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número. 
Ex.: Emanuel e Victor resolveram trabalhar juntos para resolverem um 
problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como 
Emanuel trabalhou durante 6 horas e Victor durante 5 horas, como eles deverão dividir 
com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa? 
 
Ex.:Três sócios, André, Beatriz e Camilo resolvem abrir uma pizzaria. O 
primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 
 
 
ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for 
distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional 
ao valor investido, determine quanto cada um recebeu. 
 
➢ Divisão em partes inversamente proporcionais 
Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números 
dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos 
inversos desses números dados. 
Ex.: João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período de tempo para fabricar 
e vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se João chegou atrasado por 3 dias e Pedro 
5 dias, como efetuar essa divisão com justiça? 
 
➢ Grandezas proporcionais 
A proporcionalidade entre grandezas pode ser direta ou inversa. 
Esquematicamente, se duas grandezas são diretamente proporcionais podemos 
representá-las como: 
x ↑ y ↑ ou x ↓ y ↓ 
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando 
ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa 
mesma razão. 
Ex.: Quando vais ao mercado comprar uma mercadoria, se uma embalagem custa um 
real, duas embalagens, sem nenhuma negociação comercial, custarão dois reais e 
daí sucessivamente. Quando isso ocorre dizemos que essas grandezas são 
diretamente proporcionais. Logo, duas grandezas são diretamente proporcionais se: 
para x = 0, y = 0; para x ≠ 0 e y ≠ 0, o quociente entre dois valores quaisquer 
correspondentes é um número constante (k). 
Portanto, duas grandezas são diretamente proporcionais, quando ao 
aumentar uma, a outra também aumenta na mesma proporção. 
Se duas grandezas forem inversamente proporcionais podemos representá-las 
como: 
x ↑ y ↓ ou x ↓ y ↑ 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou 
diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na 
mesma razão. 
 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais, quando ao aumentar uma, a 
outra diminui na mesma proporção, e vice-versa. 
 
➢ Regra de três 
Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que 
é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. 
Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas 
grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas. 
 
o Regra de três simples 
Neste caso, a regra de três simples permite encontrar um quarto valor que não 
conhecemos em um problema, dos quais conhecemos apenas três deles. Assim, 
encontraremos o valor desconhecido a partir dos três já conhecidos. 
Observação: 
• Por serem conhecidos, ordinariamente, três elementos é que 
designamos pelo nome de regra de três. 
• É importante observar que as quantidades correspondentes a uma 
mesma grandeza devem ser expressas na mesma unidade de medida. 
• Quando as grandezas que figuram no problema são diretamente 
proporcionais, dizemos que a regra de três é direta. 
• Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente 
proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa. 
• Convém observar que, nos problemas de Matemática, geralmente são 
consideradas condições iguais. 
Exemplos: 
1. Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse 
comprado 8 m? 
 
2. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 
operários fariam a mesma obra? 
 
o Regra de três composta 
 
 
Na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadas 
entre si. Neste caso, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma 
delas, da qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma 
das outras grandezas. 
Exemplos: 
1. Se para imprimir 87.500 exemplares 5 impressoras gastam 56 minutos, 
em que tempo 7 impressoras, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 
desses exemplares? 
 
2. Quinze operários, trabalhando 9 horas por dia, construíram 36 metros 
de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 metros do 
mesmo muro, trabalhando 8 horas por dia? 
 
➢ Percentagem 
Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como estas: 
“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.” 
“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.” 
“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.” 
“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em dezembro.” 
Todas estas expressõesenvolvem uma razão especial chamada 
percentagem. 
 
o Taxa percentual 
Suponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 12 das 15 questões 
apresentadas. 
A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões 
é: 
12
15
 = 
4
5
 = 0,8 = 
8
10
 = 
80
100
 
Quando uma razão é apresentada com o consequente 100 (neste caso, 
80
100
), 
ela é chamada razão centesimal. 
Outra forma de representarmos as razões centesimais, muito usadas 
principalmente no universo econômico-financeiro, é substituir o consequente 100 pelo 
símbolo % (que lemos: por cento). Assim: 
 
 
80
100
 = 80% (lemos: oitenta por cento) 
Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual ou centesimal. 
Exemplo: 
1. Escreva a razão 
3
4
 em forma de taxa percentual. 
o Elementos do cálculo percentual 
Vimos que: 
12
15
 = 
80
100
 
Neste exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, 
temos: 
𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚
𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
 = 
𝑡𝑎𝑥𝑎
100
 
Daí, obtemos as seguintes definições: 
Taxa, é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. 
Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, 
proporcionalmente a uma taxa. 
Principal ou Capital é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem. 
O principal, a percentagem e a taxa são os elementos do calculo percentual. 
Observação: 
Na pratica, é muito comum: 
− Empregarmos as palavras desconto, comissão, multa, parte, quota, 
abatimento, prejuízo, lucro etc. em lugar de percentagem; 
− Designamos a taxa percentual simplesmente por percentagem. Assim, tanto 
faz dizermos, em uma situação qualquer, que o lucro foi de R$ 80,00 ou de 
20%. 
 
o Problemas de percentagem 
Representando: 
• O principal por P; 
• A percentagem por p; 
• A taxa por i; 
Temos, genericamente: 
𝑝
𝑃
 = 
𝑖
100
 
 
 
Dados, então, dois quaisquer dos três elementos, podemos calcular o terceiro fazendo 
uso da proporção. 
 
o Taxa unitária 
Vimos que a taxa percentual se refere a 100, isto é: 
25
100
 = 25% 
Porém, na resolução de muitas questões, é mais prático (e, algumas vezes, 
necessário) tomarmos como valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de 
taxa unitária (simbolizada por i). Assim: 
25
100
 = 
𝑖
1
 ➔ 𝑖 = 
25
100
 = 0,25 
Temos, então: 
𝑖 = 0,25 = 
25
100
 = 25% 
 
Exercícios 
I. Calcule: 
a) 
5
5+x
=
10
53 −x
 
b) x:y = 3:4 e x + y = 21 
II. Um comerciante vende um produto por R$ 15.000,00 e sabe-se que a razão do 
lucro para o preço de venda é 2/3. Calcule o custo deste produto. 
III. Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e o 
número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante 
uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo 
que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de 
pessoas que tomarão café puro será: 
(A) 72. (B) 86. (C) 94. (D) 105. (E) 112. 
 
IV. Em um encontro de trabalhadores da área de transporte, a razão entre o 
número de motoristas e o número de fiscais que compareceram foi de 7 para 
3. Se nesse encontro compareceram 24 fiscais, o número total de 
trabalhadores (motoristas e fiscais) que participaram foi: 
(A) 177. (B) 80. (C) 56. (D) 46. (E) 8 
 
V. Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil 
reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de 
funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for 
 
 
distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente 
proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu. 
 
VI. João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período de tempo para fabricar e 
vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se João chegou atrasado por 3 dias e 
Pedro 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça? 
Exercícios complementares: 
Agora é a sua vez! 
Vamos lá! 
1) Comemos 2/5 da pizza que compramos. Qual fração corresponde ao que 
sobrou da pizza? 
a) 5/2; 
b) 3/5; 
c) 1/5; 
d) 1/3; 
e) 2/3. 
 
2) Duda está lendo um livro que possui 600 páginas. Em 2 horas ele leu 120 
páginas do livro. Mantendo esse ritmo, ele terminará de ler o livro em: 
a) 7 horas; 
b) 8 horas; 
c) 10 horas; 
d) 12 horas; 
e) 15 horas. 
 
3) Na compra de uma sala de jantar qual o desconto oferecido pelo lojista onde o 
produto comprado ficou com 6/8 do preço original. 
a) 30%; 
b) 25%; 
c) 20%; 
d) 15%; 
e) 10%. 
 
 
 
4) A razão entre os números 25 e 5, na ordem apresentada é: 
a) 5/1; 
b) 1/5; 
c) 25/5; 
d) ½; 
e) 2/5. 
5) Durante uma viagem de São Paulo até o Rio de Janeiro, o motorista fez os 
cálculos que o seu carro consegue percorrer 08 horas sem abastecer e 
percorre 300km. Se o percurso escolhido é de 1.800 km, quantas vezes ele vai 
ter que abastecer o seu carro? 
a) 3 vezes; 
b) 6 vezes; 
c) 7 vezes; 
d) 8 vezes; 
e) 5 vezes. 
 
6) Em uma prova de avaliação do Vestibular, Carla resolveu 20 exercícios e 
acertou 18, Maria resolveu 30 e acertou 24 e Janaína resolveu 25 e acertou 15. 
Quem apresentou o melhor desempenho? 
a) Janaína. 
b) Carla. 
c) Maria. 
d) As três tiveram o mesmo desempenho; 
e) Não tiveram desempenho algum. 
 
7) Em uma classe de um curso da Unibalsas, a razão entre o número de Homens 
e o de Mulheres é de 2 para 3, e a razão entre o número de Mulheres e o de 
professoras é de 7 para 1. Se a classe tem 3 professoras, então o número total 
de alunos dessa classe é igual a? 
a) 34; 
b) 35; 
c) 38; 
d) 40; 
e) 41. 
 
 
8) Durante 7 dias uma livraria vendeu uma média de 88 livros por dia, 
considerando apenas livros das áreas de exatas ou humanas. Se nesse 
período a média de livros vendidos da área de humanas foi de 62 livros por dia, 
o número de livros da área de exatas vendidos foi? 
a) 174; 
b) 182; 
c) 190; 
d) 198; 
e) 206. 
 
9) Em uma loja que está em liquidação. Uma camisa do Flamengo que antes 
custava R$ 198,00 agora custa R$ 174,24. Qual foi a porcentagem de desconto 
que obteve essa camisa? 
a) 8%; 
b) 17%; 
c) 12%; 
d) 21%; 
e) 11%. 
 
10) Em um processo seletivo, uma prova foi aplicada para um grupo de n 
candidatos, dos quais 10 obtiveram nota máxima. Desse grupo, sabe-se que 
20 candidatos são homens, que 20% dos homens obtiveram nota máxima e 
que 80% das mulheres não obtiveram nota máxima. Desse modo, é correto 
afirmar que n é igual a? 
a) 30; 
b) 34; 
c) 40; 
d) 46; 
e) 50.