Tema 7 - Carga Axial e Estado Plano de Tensão

Prévia do material em texto

Carga axial e estado plano de tensão
Estudo das deformações elásticas em estruturas estaticamente determinadas ou indeterminadas.
Apresentação do Estado Plano de Tensões (EPT) e duas condições particulares: o das tensões principais e
o da tensão cisalhante máxima. Descrição do método gráfico (Círculo de Mohr) no estudo das tensões.
Prof. Julio Cesar José Rodrigues Junior
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender a variação longitudinal de corpos carregados axialmente estando na condição estática
determinada ou indeterminada, como também o estado plano de tensões e suas equações para rotacionar o
ponto da estrutura em estudo, e apresentar o estudo por meio do Círculo de Mohr.
Preparação
Antes de iniciar a leitura, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de
seu smartphone/computador.
Objetivos
Descrever o princípio de Saint-Venant e a deformação elástica de elementos estaticamente
determinados
Calcular a deformação elástica de elementos estaticamente indeterminados
Descrever o estado plano de tensão e a transformação de tensão no plano
Descrever o Círculo de Mohr
Boas-vindas
Neste vídeo, conheça mais sobre o estudo do estado plano de tensão.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
• 
• 
• 
• 
Figura 1: Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
1. Princípio de Saint-Venant e deformação elástica em estruturas determinadas
Introdução
As grandezas denominadas tensões médias normal (σ) ou cisalhante (τ), assim como as grandezas
deformações médias normal (ε) e cisalhante (γ), relacionam-se matematicamente pela Lei de Hooke (σ = E.ε
ou τ= G.γ), na qual E e G são constantes características de cada material. 
 
Neste módulo, será estudado o alongamento elástico de um corpo sob carregamento axial a partir das
grandezas citadas e da Lei de Hooke. É importante ressaltar que o problema é estaticamente determinado e
que o carregamento não precisa ser único.
Princípio de Saint-Venant
Princípio em homenagem ao cientista francês
Barré de Saint-Venant (ver figura 1) que pela
primeira vez o observou na metade do século
XIX. 
 
Para o entendimento desse preceito, um
artifício didático utilizado por vários autores,
dentre eles o Hibbeler, em sua obra Resistência
dos Materiais, é supor uma barra de seção reta
retangular engastada ao chão e, na
extremidade livre, a aplicação de uma força F
no centroide da seção reta. 
 
Em termos gerais, a deformação é bem
localizada no ponto de aplicação e no engastamento, levando a deformações distintas ao longo de um plano
paralelo ao chão.
Por meio da Lei de Hooke, acontece o mesmo com as tensões. Contudo, à medida que o plano paralelo se
afasta dos dois pontos de deformações, elas vão se tornando mais constantes, ou seja, a deformação no
plano é praticamente contínua. Novamente, pelo fato de deformação e tensão serem diretamente
proporcionais (Lei de Hooke), efeito similar ocorre com a tensão. Observe a figura 2.
Figura 2 – Aplicação de uma força axial em uma barra. 
No plano 1_1’, próximo ao ponto de aplicação, as tensões distribuem-se de maneira irregular, enquanto no
plano 2_2’, afastado do ponto de aplicação, a tensão é mais uniforme e confunde-se, matematicamente, com a
tensão normal média, ou seja:
Em resumo, o princípio de Sant-Venant afirma que, à medida que o plano vai se afastando do ponto de
aplicação da força, vai ocorrendo uma atenuação na curva que descreve a tensão, até que essa função se
torna constante.
Deformação elástica de elementos estaticamente
determinados
Suponha uma barra engastada em uma das extremidades de comprimento L. Tomando-se um eixo, a partir da
extremidade engastada, como x paralelo ao eixo longitudinal da barra, a deformação sofrida por esta
dependerá da Lei de Hooke.
 
Inicialmente, será considerada a situação mais genérica possível, isto é, a área da seção reta, a força e o
módulo de elasticidade variam ao longo de x, ou seja, são funções A = A(x), F = F(x) e E = E(x).
 
0 estudo matemático se fará a partir de uma fatia infinitesimal da barra de comprimento dx. Nesse ponto, a
força atuando na área será dada por . Suponha que a elongação desse infinitésimo da barra
tenha uma variação infinitesimal de comprimento d ). A partir da Lei de Hooke ( ), da tensão
média normal:
E da deformação média normal:
E, utilizando os valores para o infinitésimo da barra, obtemos:
Substituindo as expressões de σm e εm em (*), temos:
Organizando a equação (**):
Integrando a expressão anterior, encontra-se a equação 1:
Em muitas situações, a seção reta é constante, assim A(x) = A, a força aplicada em uma das extremidades
livre é constante e o material homogêneo de tal forma que seu módulo de elasticidade ou de Young E é
constante. Sendo assim, a equação 1 pode ser simplificada, originando a equação 2 para os casos em que as
situações particulares foram descritas.
*
 
(**)
Equação 1
Exemplo 1
Considere uma barra de aço (ver figura 3) de comprimento de 4 m, seção reta 350 mm2 e módulo de
elasticidade E = 200 GPa. A barra encontra-se engastada no teto quando uma 70 kN é aplicada axialmente.
Desconsiderando o peso da barra, determine o aumento de seu comprimento.
Figura 3 - Ilustração para Barra de Aço
Resolução
Inicialmente, lembrando-se que equivale a 1 MPa e , a partir da equação 2,
substituindo os valores apresentados, temos:
É possível imaginar que uma barra seja a união de várias barras com seções retas constantes e distintas entre
si, assim como o material de cada barra apresenta um módulo de elasticidade (E) próprio. Ademais, novas
forças axiais podem ser aplicadas à barra. A equação 2 continua válida desde que aplicada para cada uma das
partes em que os valores de F, A e E sejam constantes. Assim, é necessário fazer a divisão da barra para
garantir tal condição e aplicar a equação 3.
Equação 2
Equação 3
Comentário
A convenção adotada para tensões compressivas (negativas) e tensões trativas (positivas) deve ser
utilizada, assim como para as variações no comprimento da barra. Negativo para contrações e positivo
para alongamentos. 
Para que essa aplicação fique compreendida perfeitamente, um exemplo numérico será realizado.
Exemplo 2
Suponha a figura 4, a seguir, na qual duas barras de aço (1_2 e 2_3) têm áreas da seção reta iguais a 1.200
mm2 e 1.800 mm2. O módulo de elasticidade E para esse aço é de 200 GPa e os comprimentos das barras são
1 m e 1,5 m. As forças aplicadas são mostradas no desenho. 
 
Determine o deslocamento do ponto superior 1, em relação ao chão.
Figura 4 - Ilustração para deslocamento de barras de aço.
Resolução
Inicialmente, para o equilíbrio, age uma força vertical para cima de 360 kN na base da coluna (600 – 240).
Efetuando-se cortes na barra 1_2 e na barra 2_3 e desenhando seus DCLs, temos:
Figura 5 - Ilustração para deslocamento de barras de aço.
Aplicando a equação 3 e a convenção de sinais ( - 600 kN e - 360 kN), obtemos:
Substituindo os valores:
Perceba que o sinal negativo da variação no comprimento revela que houve uma compressão e, então, 1 se
aproxima do chão em 4 mm.
Mão na massa
Questão 1
(FCC - 2018 - DPE-AM - Analista em Gestão Especializado de Defensoria - Engenharia Civil)
Uma barra de treliça em aço de perfil duplo T, com 1 m de comprimento e 5 cm2 de área de
seção transversal está submetida à força de tração de 20 kN. Considerando que o módulo de
elasticidade do aço é de 200 GPa, o alongamento da barra é, em milímetros, de:
A 0,50
B 0,36
C 0,40
D 0,48
E 0,20
A alternativa E está correta.
Inicialmente serão adequadas as unidades: 20 kN = 20.000 N, 5 cm2 = 500 mm2 e 200 GPa = 200.000 MPa.
Para se determinar o alongamento (a barra está sob tração) será utilizada a equação 2, isto é:
Questão 2
(FCC - 2012 - TCE-AM - Analista de Controle Externo - Auditoria de Obras Públicas) Após a
aplicação de uma carga axial de tração de 60 kN em uma barra de aço, com módulo de
elasticidade longitudinal de 200 GPa, comprimento de 1,0 m e área da seção transversal de 10
cm2,o alongamento produzido na barra, em mm, é:
A 0,003
B 0,030
C 0,300
D 3,000
E 30,00
A alternativa C está correta.
Inicialmente, transformando a área A = 10 cm2 = 1.000 mm2, a carga de 60 kN para 60.000 N e E = 200 GPa
= 200.000 MPa. A partir da equação 2, será possível determinar o alongamento na barra. (lembrar que 
 )
Questão 3
(AOCP - 2012 - TCE-PA - Analista de Controle Externo - Engenharia Civil) Considere uma
barra prismática com comprimento de 500 mm, seção transversal quadrada com lado de 10
mm, feita de material cujo módulo de elasticidade longitudinal é de 200 GPa, que está
engastada em uma das extremidades. Determine a variação de comprimento que esta barra
poder sofrer se ela for tracionada na extremidade livre por uma carga axial com intensidade
de 20 kN.
A 0,2 mm
B 0,005 mm
C 1,0 mm
D 5,0 mm
E 0,5 mm
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 4
Considere uma barra de comprimento 2 m que se encontra engastada no chão e posicionada verticalmente. O
material que constitui a barra tem módulo de elasticidade E = 180 GPa. A seção reta é um círculo de diâmetro
60 mm. Existem duas forças de módulos 70 kN e 30 kN atuantes na extremidade livre sobre o centroide. 
A respeito da deformação longitudinal dessa barra é correto afirmar que:
A Alongamento de 0,16 mm
B Contração de 0,16 mm
C Alongamento de 0,28 mm
D Contração de 0,28 mm
E Contração de 0,12 mm
A alternativa A está correta.
A resultante das forças é de 70 kN – 30 kN = 40 kN = 40.000 N (tração). Logo, haverá um alongamento
determinado a partir da equação 2. A área do círculo é dada por:
Lembrando que e que , temos:
Questão 5
(CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Técnico de Suprimentos de Bens e Serviços Júnior -
Mecânica-2012) Uma barra de 15 cm de comprimento apresenta uma deformação axial de 0,1
mm quando solicitada por uma força axial de 1.000 N. Considerando o material da barra como
elástico e linear, ao ser solicitada por uma carga de 1.500 N, a deformação específica da barra
(em μ) será de:
A 100
B 150
C 750
D 1.000
E 1.500
A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 6
Considere um sistema em que um cabo de aço de comprimento 90 cm e diâmetro 6 mm
ancora uma peça, também de aço, AOB em forma de L de uma estrutura, conforme a figura. A
peça encontra-se em equilíbrio e vinculada num apoio de 2º gênero.
Considere que as medidas AO e OB valem, respectivamente, 4 m e 3 m. Dado que o módulo
de elasticidade do aço (E) é de 200 GPa, determine o alongamento do cabo de aço. Utilize π =
3.
A 2,0 mm
B 2,5 mm
C 3,0 cm
D 3,5 mm
E 4,0 mm
A alternativa B está correta.
Inicialmente, será desenhado o DCL para a peça e aplicada a equação do equilíbrio rotacional a fim de se
determinar o valor da força que atua no cabo de aço.
Equilíbrio dos momentos em relação ao ponto 0 (sentido anti-horário, positivo): - (20) . . .
Assim, , logo .
Agora, as unidades serão ajustadas: , a área do círculo . , logo 
. O comprimento da barra é de 900 mm e o coeficiente de elasticidade 
. A partir da equação 2, será possível determinar o alongamento na barra.
(lembrar que )
Teoria na prática
Um engenheiro deverá apoiar uma viga horizontal de 6 m de comprimento com peso distribuído
uniformemente de 20 kN/m, conforme a figura. Suponha que as barras sejam verticais e de mesmo
comprimento L = 1,5 m. O material de cada barra tem módulo de elasticidade E = 80 GPa e seção reta
quadrangular de 5 cm x 5 cm. Por questões de projeto, as barras devem ter uma diminuição de comprimento
máxima de 1,0 mm. 
 
A pergunta que o engenheiro necessita responder é se nas condições descritas a condição do projeto é
satisfeita.
Resolução
Neste vídeo, conheça mais sobre deformação elástica como limite para um projeto.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Verificando o aprendizado
Questão 1
(IBFC - 2017 - EMBASA - Técnico em Eletromecânica - adaptada) Analise as afirmações a
seguir:
I. Isotropia: O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as
direções.
II. Saint-Venant: Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em
pontos suficientemente afastados da região de aplicação das cargas.
III. Lei de Hooke: A força aplicada é proporcional ao dobro da força axial aplicada ao bloco.
Considerando as hipóteses básicas da Resistência dos Materiais, está correto o que se afirma
em:
A Apenas I e III
B Apenas I e II
C Apenas II e III
D Apenas a II
E I, II e III
A alternativa B está correta.
Materiais isotrópicos apresentam propriedades mecânicas independentemente de direção, enquanto os
anisotrópicos apresentam comportamentos distintos em função da direção. O princípio de Sant-Venant
afirma que afastando-se do ponto de aplicação da força, deformações e tensões tornam-se
aproximadamente constante. Ademais, a mesma situação se mantém caso o sistema seja substituído por
um equivalente. A Lei de Hooke relaciona tensão e deformação diretamente. A tensão média, por sua vez, é
diretamente proporcional à força.
Questão 2
Uma barra de seção reta quadrangular tem lado l = 10 mm e comprimento 1,5 m. O material é
um aço cujo módulo de Young (E) vale 200 GPa. A barra encontra-se presa (“engastada”) em
uma parede e na extremidade livre é aplicada uma força trativa que provoca uma deformação
média normal de 0,002 mm/mm. Qual o valor da força aplicada, considerando que atua no
centroide da seção reta?
A 20 KN
B 30 KN
C 40 KN
D 50 KN
E 60 KN
A alternativa C está correta.
A partir da deformação normal média, é possível descobrir o alongamento da barra, ou seja:
A partir da equação 2, temos:
2. Deformação elástica de elementos estaticamente indeterminados
Introdução
Na Engenharia, dois tipos de estruturas são muito comuns: a isostática e a hiperestática. Em linhas gerais, nas
estruturas isostáticas, o número de incógnitas é igual ao número de equações do equilíbrio. Por exemplo, para
carregamentos no plano, três são as equações do equilíbrio: duas para translação (∑Fx=0 e ∑Fy=0) e uma para
rotação (∑Mz=0. Dessa forma, três incógnitas surgem nas estruturas isostáticas. Porém, nas estruturas
hiperestáticas, o número de incógnitas é maior que as três equações do equilíbrio equilíbrio (ver figura 6). 
 
Assim, uma ou mais equações deverão ser adicionadas para solucionar o problema, como as leis de
compatibilidade geométrica, equações constitutivas etc.
Na figura 7, há exemplos de vigas isostática e hiperestática. 
Figura 7 - Vigas isostática e hiperestática
Perceba que na primeira barra existem apoios de primeiro e segundo gênero, ou seja, três incógnitas.
Utilizando-se as três equações do equilíbrio, o problema pode ser resolvido. É uma estrutura isostática. 
 
Na segunda barra da figura, são dois apoios de segundo gênero, isto é, quatro forças (incógnitas). Com
apenas as três equações do equilíbrio não é possível resolver o problema. Trata-se, portanto, de uma viga
biapoiada hiperestática.
 
Neste módulo, a partir da deformação elástica estudada no módulo 1, mais uma equação poderá ser escrita e,
assim, o problema resolvido.
Estudo de estruturas planas hiperestáticas
Será feito um breve estudo, por meio de um exemplo, apresentando uma estrutura simples, a fim de que a
metodologia de resolução para estruturas hiperestáticas seja compreendida. 
 
Suponha uma barra AB de comprimento 4 m engastada em duas paredes de peso desprezível. Uma força F de
40 kN passa a atuar no ponto C, tal que AC = 1 m, determine as reações nas paredes. Observe a figura 8 a
seguir.
Figura 8 - Ilustração para reação nas paredes.
Desenhando o DCL da barra AB (ver figura 9), temos:
Figura 9 - Ilustração para reação nas paredes.
Equilíbrio na horizontal:
Há a necessidade de mais uma equação para resolver o problema que possui uma equação e duas incógnitas 
 e .
 
Equação da compatibilidadegeométrica: a barra não sofre deformação total, ou seja, a seção A não se
desloca em relação à seção B, isto é, .
 
Agora, cada parte da barra será seccionada (à direita e à esquerda da força F). Observe as figuras abaixo.
Do equilíbrio de cada DCL, temos que a soma algébrica das forças na horizontal é nula, isto é:
(*)
Cada parte da barra, à esquerda e à direita do ponto C de aplicação de F, terá uma variação no comprimento
tal que o comprimento total da barra seja nulo. Pelos sentidos arbitrados, uma das partes terá um aumento no
comprimento (tração) e a outra parte uma contração (compressão) de valores, em módulos iguais.
 
Para a parte AC:
Para a parte BC:
Da compatibilidade geométrica,
Substituindo (**) e (***) em (****), temos:
Em (*****), substituindo os valores de AC e BC, temos:
Na equação (*), temos:
Logo: 
(**)
(***)
(****)
(*****)
Conhecendo a área A da seção reta da barra e o módulo de elasticidade E do material, as equações (**) e
(***) determinam as deformações em cada parte da barra. 
 
Cabe ressaltar que, na equação (*****), a simplificação foi possível por considerar a barra constituída de um
mesmo material (E) e a seção reta (A) ser constante.
Estudo da deformação elástica de estruturas planas
hiperestáticas
No item anterior, foi possível determinar para uma estrutura hiperestática as forças de reação a partir das
equações do equilíbrio (duas estavam satisfeitas e uma envolvia duas incógnitas), pois pudemos escrever uma
equação de compatibilidade para o problema proposto. Com as duas equações foi possível determinar as
reações.
Comentário
Caso mais dados fossem apresentados no problema, como, por exemplo, a seção reta A e o coeficiente
de elasticidade do material E, as deformações sofridas por partes da barra poderiam ser determinadas. 
Neste item, o procedimento é análogo, exceto pelo fato de também determinarmos as deformações em cada
parte da barra.
 
No exemplo do item Estudo de estruturas planas hiperestáticas, suponha que a área da seção reta seja 20
mm2 constante e que o módulo de elasticidade do material seja igual a 200 GPa. Determine a variação no
comprimento de cada parta da barra, ou seja, AC e BC. 
 
A partir das equações (**) e (***) já descritas e os valores encontrados para as reações, temos:
 
Para a parte AC:
Para a parte BC:
Note que a deformação total da barra é nula.
Mão na massa
Questão 1
Considere uma coluna AB de 3 m engastada em suas extremidades. Se uma carga de 120 kN
é aplicada no ponto médio da viga (C), a respeito do cálculo das reações nos engastes A e B
são feitas as seguintes afirmativas:
I – A estrutura é hipostática, pois são duas as reações e três as equações de equilíbrio no
plano.
II – A estrutura é hiperestática e, para resolvê-la, há necessidade de uma equação extra
oriunda da deformação da viga.
III – É possível determinar as reações utilizando apenas as equações do equilíbrio de um
corpo.
É correto afirmar que:
A Apenas a afirmativa I é verdadeira
B Apenas a afirmativa II é verdadeira
C Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras
D Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras
E Apenas a afirmativa III é verdadeira
A alternativa B está correta.
A estrutura apresentada é hiperestática. As condições de equilíbrio translacional horizontal e de rotação já
são previamente satisfeitas. Dessa forma, utilizando a equação da não translação vertical, duas incógnitas
surgirão. Há a necessidade de uma outra equação a partir da deformação da barra.
Questão 2
Suponha uma barra AB de 1,6 m de comprimento perfeitamente ajustada entre dois pontos, tal
que AB fique na vertical. Despreze o peso da barra. Uma força de 100 kN é aplicada sobre ela
no ponto C, tal que AC = 400 mm e CB = 1200 mm. A seção reta da barra apresenta 500 mm2
e o material que a constitui apresenta módulo de elasticidade E = 210 GPa. Veja a figura a
seguir.
Sobre as deformações de AC (δAC) e CB (δCB), em módulo, é correto afirmar que:
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Ao se desenhar o DCL da barra AB, duas forças de reações surgirão: RA e RB. Duas das equações do
equilíbrio estático já estão satisfeitas. Aplicando-se a equação do equilíbrio translacional em y, temos:
Trata-se de um corpo estaticamente indeterminado. Desse modo, será necessária uma equação auxiliar:
equação da compatibilidade geométrica. Assim:
Na qual 
Substituindo-se os valores, é possivel determinar e assim como as deformações. Mas da
equação (*), é possivel inferir que, em módulo, .
Questão 3
Observe a figura a seguir:
Suponha uma barra AB de comprimento 4 m engastada em duas paredes de peso desprezível.
Quando uma força F de 80 kN passa a atuar no ponto , tal que , determine os
módulos das reações nas paredes.
(*)
A RA = 40 kN e RB = 40 kN
B RA = 80/3 kN e RB = 160/3 kN
C RA = 160/3 kN e RB = 80/3 kN
D RA = 20 kN e RB = 60 kN
E RA = 60 kN e RB = 20 kN
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 4
(CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior - Terminais e Dutos)
Observe a figura a seguir:
A viga plana sob flexão, mostrada na figura acima, é estaticamente indeterminada, porque o
número de equações de equilíbrio da estática e o número de incógnitas são, respectivamente:
A 2 e 3
B 2 e 4
C 3 e 4
D 3 e 5
E 4 e 5
A alternativa D está correta.
Inicialmente, são 3 as equações do equilíbrio (translacional e rotacional) no plano: , 
. A barra está apoiada em dois vínculos, sendo 1 de segundo gênero e o outro de
terceiro gênero. Assim, são 2 e 3 reações, ou ainda incógnitas. Como o número de equações (3)
é menor que o número de reações (5), a estrutura é hiperestática.
Questão 5
Para os casos de estruturas estaticamente indeterminadas, as equações de equilíbrio não são
suficientes para determinar as ações e as reações na estrutura, a menos que as deformações
sejam levadas em consideração. Nesse contexto, considere a figura a seguir, que mostra uma
barra constituída de dois trechos (OM e MN) e rigidamente presa nas extremidades. 
 
O módulo de elasticidade do material da viga é 21.000 kN/cm², a área da seção transversal do
trecho OM é 5 cm², a área da seção transversal do trecho MN é 7,5 cm² e a força P indicada é
igual a 60 kN.
Tendo como referência a figura e as informações apresentadas, além de considerar que o
sistema esteja em equilíbrio e haja compatibilidade das deformações nos trechos, as
reações R1 e R2 são iguais, respectivamente, a:
A 15 kN e 45 kN
B 50 kN e 10 kN
C 35 kN e 25 kN
D 30 kN e 30 kN
E 20 kN e 40 kN
A alternativa E está correta.
A partir do DCL da figura, temos:
Equação da compatibilidade geométrica: a barra não sofre deformação total, ou seja, a seção superior não
se desloca em relação à seção inferior, isto é, δO/N=0, ou ainda, os módulos das deformações das duas
barras são iguais.
Substituindo (**) em (*), temos:
Desse modo,
(*)
 
Questão 6
(SUGEP - UFRPE - 2016 - UFRPE - Engenheiro Civil) Uma barra cilíndrica de aço está sujeita a um
carregamento como mostra a figura seguinte. 
Sabendo que o Eaço = 200 GPa e a área da seção é 200 mm2, a reação em A, a reação em B e
o deslocamento da barra são, respectivamente:
A 400 KN, zero e 2 mm
B 400 KN, zero e 3 mm
C 355 KN, 45 KN e 3 mm
D 360 KN, 40 KN e 3 mm
E 365 KN, 35 KN e 3 mm
A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Teoria na prática
Uma barra metálica horizontal com peso desprezível é perfeitamente encaixada entre duas estruturas quando
sobre ela não atua nenhum carregamento. A barra AB tem 4 m de comprimento. Duas cargas horizontais de
80 kN e 60 kN nos pontos C e D, tais que AC = BD = 1 m. Por questões de projeto, as estruturas não podem
estar submetidas a esforços maiores que certos valores definidos. 
 
Um estagiário recebeu a incumbência de determinar as reações nas estruturas, quando a barra está
carregada, e procurou maisinformações a respeito da barra, descobrindo que sua área da seção reta é 200
cm2 e o módulo de elasticidade do material igual a 180 GPa. 
 
Observe a figura abaixo, quando a barra se encontra carregada:
Resolução
Neste vídeo, assista ao cálculo das reações a partir das deformações. 
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Verificando o aprendizado
Questão 1
(CESGRANRIO - 2011 - PETROQUÍMICA SUAPE - Engenheiro de Manutenção Pleno - Mecânica) Em uma viga
estaticamente indeterminada, as reações de apoio são determinadas:
A Apenas pelas condições de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de
contorno.
B Apenas pelas condições de equilíbrio estático.
C Apenas pelas condições de contorno.
D Pelas condições de equilíbrio estático e de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas
condições de contorno.
E Pelas condições de contorno e pela Lei de Hooke.
A alternativa D está correta.
Inicialmente, deve-se lembrar que são 3 as equações do equilíbrio (translacional e rotacional) no plano:
∑Fx=0, ∑Fy=0 e ∑M=0. 
Uma viga hiperestática apresentará mais de 3 incógnitas. Sendo assim, será necessária a utilização de
outras equações (compatibilidade).
Questão 2
(CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Naval) Uma viga de aço é composta
de duas seções circulares com áreas transversais de 250 mm² e 500 mm², com 450 mm e
300 mm de comprimento, respectivamente. Esta barra é engastada em suas extremidades, e
uma força de 40 N é aplicada no ressalto entre as seções desta viga.
Após a análise desses dados, conclui-se que os valores absolutos das reações nas
extremidades (Ra e Rb) são, respectivamente, em N:
A 10 e 30
B 15 e 25
C 20 e 20
D 25 e 15
E 30 e 10
A alternativa A está correta.
A partir do DCL da figura, temos:
O problema é estaticamente indeterminado, portanto há necessidade da equação da compatibilidade
geométrica: a barra não sofre deformação total, ou seja, a seção à esquerda não se desloca em relação à
seção à direita, isto é, a deformação total é nula.
Substituindo os valores apresentados no problema em (**)
*
(**)
Simplificando:
Substituindo (***) em (*), temos:
Logo,
(***)
3. Estado e transformação de tensão no plano
Introdução
Suponha um corpo em equilíbrio e o estudo das tensões (normal e cisalhante) em algum ponto deste. A partir
de um volume infinitesimal (dV) de arestas e e, partindo do princípio de que a parte do todo
também se encontra em equilíbrio, um modelo físico genérico é criado com todas as tensões atuantes nas seis
faces do volume dV. 
 
Dessa forma, são aplicadas as tensões normais ( e ) e as tensões cisalhantes ( 
 e ). Esse é o denominado estado geral de tensões. A figura 11 representa a
descrição do estado geral de tensões.
Figura 11 – Estado geral de tensões.
Observe que no elemento infinitesimal escolhido para o estudo, as tensões atuam nas suas seis faces, aos
pares, em faces opostas e com sentidos opostos. Atente para os eixos x, y e z destacados.
Estado plano de tensões
No item anterior, foi feita a descrição de um estado genérico para as tensões atuantes num elemento de um
corpo (o estado geral de tensões). Na Engenharia, em muitas situações é possível fazer uma modelagem física
mais simples. 
 
A partir deste item, será apresentado um caso particular do estado geral, o denominado Estado Plano de
Tensões (EPT). Como afirma Hibbeler em sua obra Resistência dos Materiais, é frequente que os engenheiros
façam simplificações no carregamento sobre uma estrutura, a fim de que a análise de tensões seja feita em
um único plano.
Atenção
Na figura 11, suponha um carregamento sobre o corpo, tal que torne nulas algumas tensões,
permanecendo diferentes de zero apenas as tensões pertencentes a um plano paralelo ao referente a xy.
Nesse caso, dizemos que o estado de tensões é plano. 
A figura 12 mostra esquematicamente o mesmo volume infinitesimal de estudo neste estado. Perceba que
este estado é caracterizado por dois pares de tensões normais e quatro componentes de tensões cisalhantes
com mesmo módulo. Na representação, as tensões normais são e e a tensão cisalhante . 
 
Para outros planos, por exemplo, paralelo a , as tensões normais serão & e a cisalhante .
Ademais, é possível fazer a análise a partir de uma visão bidimensional, que torna mais simples sua
representação no plano.
Figura 12 – Estado plano de tensões (EPT). 
Observe que na figura anterior, todas as tensões atuantes no volume infinitesimal pertencem a um mesmo
plano paralelo à base desse elemento, ou seja, paralelo ao plano xy. Como já foi descrito para o estado geral
de tensões, no estado plano, as tensões agem aos pares, em sentidos opostos. Nessa situação, em apenas
quatro das seis faces do elemento infinitesimal de estudo. Em termos prático, muitas vezes o estado plano é
descrito pelas tensões normais σx e σy e a tensão cisalhante τ = τxy= τyx. 
 
Observe na figura 13, o mesmo estado plano de tensões da sob uma óptica a partir da face superior do
elemento infinitesimal.
Figura 13 – Vista superior do estado plano de tensões.
Convenção de sinais para as tensões
A figura 13 mostra o estado plano de tensões em que todas as tensões são positivas. Note que as tensões
normais serão positivas quando estiverem “saindo” da superfície (trativas) e, negativas, quando estiverem
“entrando” na superfície, ou seja, compressivas. Em relação às tensões cisalhantes, as faces à direita e
superior serão tomadas como referências. 
 
Observando a figura, a tensão cisalhante atuante na face à direita encontra-se para cima, ou seja, acompanha
o sentido do eixo y. É convencionada como positiva. A tensão que atua na face superior atua para a direita,
isto é, acompanhando o sentido de x. Ambas são positivas. As demais tensões cisalhantes atuam no sentido
de preservar o equilíbrio do elemento em estudo, ocorrendo aos pares: a da face esquerda “atua para baixo” e
a da face inferior “atua para a esquerda”. Essas duas últimas são nos sentidos opostos dos eixos. Qualquer
situação distinta, leva a valores negativos para as tensões.
Transformação de tensão no plano
A ideia básica deste item é que um mesmo elemento de estudo adotado no estado plano de tensões ( 
e ), tendo como par de eixos , sofrerá uma rotação de um ângulo e o par de referência
também. Nessa nova posição, os eixos serão denominados e . 
 
Quando se iniciou o estudo do corpo, ele estava sob determinado carregamento e equilíbrio. O primeiro
elemento de estudo também se apresentava equilibrado estaticamente. Após a rotação, o elemento encontra-
se em equilíbrio e sob o mesmo estado de tensão ( e ). 
 
A figura 14, mostra a descrição anterior da rotação do elemento (plano ) de um ângulo plano ( ).
Figura 14 – Rotação do elemento de estudo.
Note que para o novo par x’y’ a face A’B’ continua à direita do elemento de estudo, estando x’ perpendicular e
y’ ao longo (tangente) dessa mesma face. 
 
Após a percepção geométrica da rotação do elemento de estudo de um ângulo θ, é necessário conhecer as
expressões matemáticas que determinam as novas tensões (σx’ , σy’ e τx’y’). Assim, a partir do conhecimento
dos valores de σx , σy , τxy e θ, é possível, matematicamente, chegar-se aos valores de σx’ , σy’ e τx’y’. 
 
As equações 4, 5 e 6 mostram como determinar as tensões no elemento de estudo rotacionados a partir dos
valores conhecidos para o primeiro elemento de estudo.
Com a intenção de auxiliar no entendimento das equações 4, 5 e 6 para a transformação do estado plano de
tensões, será realizado um exemplo numérico. 
 
Somando-se as equações 4 e 5, temos:
Equação 4
Equação 5
Equação 6
Considere um elemento infinitesimal no estado plano de tensões com as tensões, conforme a figura 15.
Determine o estado plano de tensões quando o elemento infinitesimal é rotacionado de 600 no sentido anti-
horário.
Figura 15 – Ilustração para exemplo de plano de tensões.
É preciso perceber, pela convenção adotada, que todas as tensões são positivas.Rotacionando o elemento de
estudo de 600 no sentido anti-horário, temos a ilustração da figura 16.
Figura 16 – Ilustração para exemplo de plano de tensões.
Note que o ângulo também θ = 600 também é positivo. Substituindo os valores de σx , σy , τxy e θ aplicando as
equações 4, 5 e 6, temos:
Tensões normais principais e tensão de cisalhamento
máxima no estado plano de tensões
Vimos a rotação de um ponto de estudo e a determinação das tensões nesse estado plano de tensões. Existe
um ângulo θP em que as tensões normais são extremas (máxima e mínima). Nessa situação, essas tensões são
ditas principais e a tensão de cisalhamento é nula. 
 
A partir da equação 4, derivando-a em relação à variável θ e igualando-se a zero, determina-se o ângulo θP,
cuja expressão é apresentada na equação 7.
Da trigonometria, no intervalo , a equação 7 terá duas raízes, ou seja, dois valores para cuja
diferença é igual a .
 
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Equação 7
Uma vez que p é conhecido, fazendo a substituição nas equações 4 e 5 , temos a equação 8 para a
determinação das tensões principais.
No exemplo do item anterior, determinar as tensões principais (ver figura 17).
Figura 17 – Ilustração para exemplo de plano de tensões.
É preciso perceber, pela convenção adotada, que todas as tensões são positivas. O próximo passo é
determinar o ângulo θP a partir da equação 7.
Substituindo os valores das tensões na equação 8, temos:
Equação 8
A tensão cisalhante máxima é determinada de maneira análoga à metodologia para a determinação das
tensões principais. Inicialmente, determina-se a inclinação em que essa situação ocorre e, após, substitui o
valor do ângulo na equação 6.
 
Derivando-se a equação 6 em relação à variável θ e igualando-se a zero, temos a equação que determina a
inclinação θs para a tensão cisalhante máxima.
Uma vez que θs é conhecido, fazendo a substituição na equação 6, temos a equação 9 para a determinação
da tensão cisalhante máxima.
Comentário
Quando o estado plano de tensão é tal que a tensão de cisalhamento é máxima, também ocorre tensão
normal no elemento em estudo de valor dado por . 
Mão na massa
Questão 1
(FCC - 2015 - TRT - 3ª Região (MG) - Analista Judiciário - Engenharia Mecânica) Em um ponto
de uma estrutura, existem as tensões indicadas no elemento conforme abaixo:
A máxima tensão de cisalhamento que ocorre no ponto, em MPa é:
Equação 9
A 80
B 100
C 120
D 144
E 200
A alternativa B está correta.
Perceba que as tensões apresentadas têm valores positivos, de acordo com a convenção. Substituindo na
equação 9 temos:
Questão 2
No estado plano de tensão, quando as tensões normais principais valem 20 MPa e 80MPa, a
tensão de cisalhamento atuante é:
A 0
B 50 MPa
C 30 MPa
D 100 MPa
E 60 MPa
A alternativa A está correta.
No estado plano de tensão em que as tensões são extremas (máxima e mínima) ou principais, a tensão de
cisalhamento é nula, conforme descrito no último item.
Questão 3
(CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior – Mecânica -2012) As
tensões principais referentes ao estado plano de tensões, ocorrente em um ponto de uma
peça, são as indicadas na figura.
A tensão cisalhante máxima atuante nesse ponto da peça é:
A 
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 4
(CONSULPAM - 2014 - SURG - Engenheiro Civil – adaptada) No estado plano de tensões em determinado
ponto de uma chapa de aço, a figura a seguir está mostrando as tensões normais σ e as tensões de
cisalhamento τ:
As tensões principais valem:
A 80 MPa e 50 MPa
B 120 MPa e 50 MPa
C 130 MPa e 60 MPa
D 130 MPa e 30 MPa
E 130 MPa e 50 MPa
A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 5
(AOCP - 2012 - TCE-PA - Analista de Controle Externo - Engenharia Civil - adaptada) Em um
ponto na superfície de uma estrutura, o material está submetido ao estado plano de tensões
mostrado na figura.
Analise as tensões neste ponto e determine: as tensões principais (σmáx e σmín) e a tensão de
cisalhamento máxima (τmáx).
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
A partir do elemento em estudo, as tensões normais têm valores positivos, de acordo com a convenção e a
tensão de cisalhamento é nula. Sendo assim, as tensões normais são as principais, ou seja: σmáx=90 MPa e
σmín=20 MPa. 
Para a determinação da tensão máxima cisalhante, utiliza-se a equação 9.
Questão 6
(CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Naval – adaptada) Na figura, a seguir,
são apresentadas as tensões normais e de cisalhamento nos planos horizontal e vertical que
passam por um ponto de um elemento estrutural sujeito ao estado plano de tensões.
Para essa situação, os valores das tensões principais (σP1 e σP2), no ponto, em MPa, são,
respectivamente:
A 44 e 13
B 44 e 18
C 22 e 13
D 22 e 18
E 22 e 44
A alternativa B está correta.
Olhando o elemento em estudo, todas as tensões apresentam valores positivos, de acordo com a
convenção adotada. Para a determinação das tensões normais máxima e mínima (principais) utiliza-se a
equação 8:
Substituindo os valores, temos:
Teoria na prática
Um projeto apresenta uma das vigas como principal elemento estrutural. Sob dado carregamento, um ponto
na superfície dessa viga encontra-se no estado plano de tensões. O ponto em questão é apresentado na
figura a seguir:
Para fazer a análise nessa viga, é preciso descobrir o estado plano de tensões principais desse ponto.
Resolução
Neste vídeo, assista ao cálculo das tensões principais no estado plano de tensões.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Verificando o aprendizado
Questão 1
(IBFC - 2013 - PC-RJ - Perito Criminal - Engenharia Civil) Após o ensaio em laboratório de uma
peça que estava em ruína, obteve-se o estado plano de tensões esquematizado na figura a
seguir:
 
Os valores das tensões principais máxima (σmáx) e mínima (σmin) para este estado plano de
tensões são respectivamente:
A e 
B e 
C e 
D e 
E e 
A alternativa E está correta.
Observando a figura, a única tensão negativa é a de compressão (- 10 MPa). Para a determinação das
tensões normais máxima e mínima (principais) utiliza-se a equação 8:
Substituindo os valores, temos:
Questão 2
No estudo das tensões que agem num corpo sob determinado carregamento, o estado plano
de tensões é muito frequente de ocorrer. A respeito desse estado, são feitas as seguintes
afirmativas:
I – No elemento infinitesimal de estudo, todas as faces apresentam tensões normais.
II – Quando não existem tensões cisalhantes nas faces do elemento de estudo, dizemos que
as tensões normais são as principais.
III – As tensões cisalhantes que agem nas quatro faces do elemento infinitesimal apresentam o
mesmo módulo.
São corretas:
A Apenas a afirmativa I
B Apenas as afirmativas I e II
C Apenas as afirmativas II e III
D Apenas a afirmativa I e III
E Apenas a afirmativa II
A alternativa C está correta.
O estado plano de tensões é caracterizado por dois pares de tensões normais e quatro tensões cisalhantes
de mesmo módulo, porém existem situações em que a tensão normal é nula, como no carregamento
uniaxial. No estado plano de tensões em que a tensão de cisalhamento é nula, as tensões normais são as
principais (mínima e máxima).
Figura 18 - Christian Otto Mohr.
4. Círculo de Mohr
Introdução
No módulo anterior, foi iniciado o estudo de
tensões para um ponto genericamente. Por
questões práticas, optou-se pelo estudo plano
de tensões, com grande aplicação na
Engenharia. A partir de um viés analítico, foram
desenvolvidas várias expressões que permitem
determinar as tensões principais, a tensão
cisalhante máxima e as tensões em
determinada orientação.
 
Neste módulo, o estudo plano de tensões será
abordado a partir de uma óptica geométrica,
isto é, será apresentada uma forma gráfica para
resolver as mesmas situações (tensõesprincipais, tensão de cisalhamento máxima e
tensões em dada rotação do elemento infinitesimal). Trata-se do denominado Círculo de Mohr, em
homenagem ao seu idealizador, o engenheiro civil alemão Christian Otto Mohr, nascido no século XIX.
Equação da circunferência
Antes de fazer o estudo gráfico do estado plano de tensões por meio do Círculo de Mohr, é importante
relembrar alguns aspectos matemáticos que servirão de subsídios para o entendimento da construção deste
círculo. Geometricamente, a circunferência é o lugar geométrico (LG) dos pontos equidistantes de um ponto
fixo denominado centro. Essa distância dos pontos ao ponto fixo é o raio da circunferência. Suponha uma
circunferência com centro de coordenadas (xc, yc) e raio R conhecidos. 
 
Observe a figura 19 seguinte:
Figura 19 – Circunferência de centro (a, b) e raio R.
Veja que a circunferência tem raio R e centro com coordenadas (xc, yc). Suponha um ponto P (x, y) genérico
da circunferência. A distância entre o ponto P e o centro da circunferência equivale a R. A equação 10
determina a distância entre dois pontos do plano A (xA, yA) e B (xB, yB) quaisquer:
Substituindo na equação 10 as coordenadas genéricas do ponto P, as coordenadas conhecidas do centro e o
valor do raio R, também conhecido, é possível chegar à equação 11.
Elevando-se ao quadrado ambos os lados da igualdade da equação 11, temos a equação 12 da circunferência
de centro (xc, yc) e raio R.
Assim, por exemplo, uma circunferência de centro C (1,2) e raio 4 tem equação dada por:
Equação 10
Equação 11
Equação 12
Círculo de Mohr
Como dito, aqui será estudado um método gráfico para o estado plano de tensões. Em linhas gerais, uma
circunferência é representada em um par de eixos σ e τ. Ao percorrer a circunferência, o elemento infinitesimal
está ocupando uma nova posição (rotacionando) e é possível descobrir as novas tensões do estado plano de
tensões. Além disso, é possível determinar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima. 
 
No módulo anterior, foram escritas as equações 4 e 6. A partir dessas equações, serão feitas manipulações
algébricas convenientes. Observe os passos a seguir:
Elevando-se ao quadrado ambos os lados da igualdade, temos:
A partir da equação 6, elevando-se ao quadrado, temos:
Desenvolvendo os lados à direita das igualdades das equações (*) e (**) e fazendo a adição destas, temos a
equação 13:
Lembrando que, no estudo feito no módulo 3 , os valores e eram conhecidos e e as
variáveis e comparando com a equação generalizada para a circunferência (equação 12) com a equação 13 , é
possível concluir que a equação 13 representa um circunferência de centro:
(*)
(**)
Equação 13
E raio:
Quando se adota um par de eixos (fazendo às vezes de ) e (fazendo às vezes de y). Essa é a
equação do Círculo de Mohr representado na figura 20.
Figura 20 – Círculo de Mohr.
Um estado plano de tensão é conhecido, ou seja, os valores de e . A partir desses valores e da
equação 13, é possível desenhar o Círculo de Mohr.
 
Inicialmente, desenham-se os eixos (na horizontal) e (na vertical). Feito isso, será determinado o
centro:
E raio:
Com esses valores é possivel desenhar o Círculo de Mohr. Observe na figura 20 os pontos 1 e 2. Como o
centro está na abscissa , para determinar o ponto 2, basta somar a esse valor o valor do raio R e, para o
ponto 1, basta subtrair. São as tensões principais. Um exemplo será realizado para que o entendimento da
descrição da construção do Círculo de Mohr seja facilitada.
Exemplo 3
(CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Engenheiro Júnior - adaptada) Na figura a seguir, são apresentadas as
tensões normais e de cisalhamento nos planos horizontal e vertical que passam por um ponto de um elemento
estrutural sujeito ao estado plano de tensões.
Desenhe o Círculo de Mohr.
Resolução
Olhando o elemento em estudo, todas as tensões apresentam valores positivos de acordo com a convenção
adotada.
 
Determinação do centro:
Determinação do raio:
Pontos extremos do diâmetro (pontos 1 e 2): 31 - 13 = 18 e 31 + 13 = 44.
 
Construindo o gráfico:
A partir do exemplo, é possível chegar a conclusões importantes:
 
Os extremos dos diâmetros representam as tensões principais e são determinadas somando-se /
subtraindo-se o valor do raio à abscissa do centro.
A tensão de cisalhamento máxima equivale ao valor do raio.
 
Após a fase de construção do Círculo de Mohr, algumas informações podem ser extraídas a partir da simples
observação do desenho (tensões principais e tensão de cisalhamento máxima). Porém, existem outras
situações. Suponha que um ponto esteja sob determinado estado plano de tensão (σx, σy e τxy) e deseja-se,
utilizando o Círculo de Mohr, descobrir qual a orientação, por exemplo, do estado plano de tensões principais.
 
Aproveitando o exemplo anterior, será trabalhado a rotação do elemento infinitesimal de estudo para se
determinar as tensões principais. Será utilizada a face superior para determinar as tensões como coordenadas
(ponto A na figura anterior).
 
Na figura anterior, o triângulo retângulo tem um ângulo agudo feito com a base, cuja tangente pode ser
determinada por:
• 
• 
Perceba que para chegar ao extremo esquerdo do diâmetro (tensão principal), a rotação foi anti-horária. No
círculo, um valor igual a e, no elemento infinitesimal, um valor , no mesmo sentido.
Mão na massa
Questão 1
(IF-MT - 2014 - IF-MT - Professor - Engenharia Mecânica – adaptada) Observe o Círculo de
Mohr abaixo.
Considerando o estado plano de tensões, assinale a alternativa que apresenta as tensões
principais, σmáx e σmín, respectivamente.
A 50 MPa e - 20 MPa
B 40 MPa e - 50 MPa
C 70 MPa e - 30 MPa
D 10 MPa e - 40 MPa
E 30 MPa e – 10 MPa
A alternativa C está correta.
Considere o invariante:
Perceba que as tensões normais nos pontos X e Y são 50 MPa e – 10 MPa, logo, a soma vale 40 MPa. A
única opção com soma 40 MPa é a letra C.
Questão 2
Considere o estado plano de tensões em que as tensões normais são iguais a 30 MPa e 50
MPa. Construindo o Círculo de Mohr em que os eixos são a tensão normal (eixo horizontal) e
tensão cisalhante (eixo vertical), quais as coordenadas do centro desse círculo.
A (0, 80)
B (80, 0)
C (0, 40)
D (40, 0)
E (20, 0)
A alternativa D está correta.
Determinação do centro:
Questão 3
(FGV - 2016 - CODEBA - Analista Portuário - Engenheiro Mecânico) A figura, a seguir, apresenta o estado de
tensões em uma porção infinitesimal de uma peça mecânica.
Sabendo que σθ = 100MPa, σ'θ = 100MPa e τθ = 40MPa, a máxima tensão cisalhante nesse
elemento vale:
A
B
C 40 MPa
D
E
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 4
(CESGRANRIO - 2018 - Petrobras - Engenheiro Naval Júnior) A figura abaixo representa o estado plano de
tensões de um elemento quadrado e o seu respectivo Círculo de Mohr.
Se o elemento for submetido à condição de carregamento axial de tração na direção do eixo x, a tensão de
cisalhamento máxima será igual a:
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Carregamento uniaxial na direção x, σy=0 e τxy=0. Utilizando-se a fórmula para a tensão cisalhante máxima,
temos:
Questão 5
(CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro Civil Júnior-2012) Considere o estado de
tensão, representado no elemento, assim como os eixos e os dados para responder à questão
que se refere ao estudo do plano de tensões e à construção do Círculo de Mohr.
Dados : e .
O valor do raio do Círculo de Mohr, em kgf/mm², é de:
A 1,41
B 1,73
C 2,82
D 3,46
E 4,48
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 6
(IBFC - 2017 - POLÍCIA CIENTÍFICA-PR - Perito Criminal - Área 5) Em relação à deformação de
tensão no plano, analise as afirmativas.
I. Quando o estado de tensão é representado pelas tensões principais, nenhuma tensão de
cisalhamento age sobre o elemento.
II. O estado de tensão no ponto também podeser representado como tensão de cisalhamento
máxima no plano. Nesse caso, uma tensão normal média também age no elemento.
III. O elemento que representa a tensão de cisalhamento máxima no plano com as tensões
normais médias associadas está orientado a 45º em relação ao elemento que representa as
tensões principais.
Assinale a alternativa correta.
A Nenhuma das afirmativas está correta
B Estão corretas apenas as afirmativas I e II
C Estão corretas apenas as afirmativas II e III
D Estão corretas apenas as afirmativas I e III
E Estão corretas todas as afirmativas
A alternativa E está correta.
No estado plano de tensões principais, a tensão de cisalhamento é nula. Já no estado plano de tensões em
que a tensão de cisalhamento é máxima, as tensões normais têm valor igual à média aritmética das tensões
normais em x e y (invariante). 
Para as condições de tensões principais e tensão cisalhante máxima, as orientações são dadas por 
 e . Da Matemática, as tangentes representam o coeficiente angular.
Multiplicando as tangentes, temos: , ou seja, os ângulos estão defasados de 
, ou ainda, e estão defasados de .
Teoria na prática
Um Engenheiro está supervisionando um projeto de uma estrutura metálica, e em certo ponto superficial de
uma coluna, um ponto apresenta o estado plano de tensões apresentado na figura a seguir.
Seu objetivo era estudar o estado plano de tensões para diversas orientações e determinar as tensões
principais e a tensão de cisalhamento máxima.
Resolução
Neste vídeo, assista à aplicação da construção do Círculo de Mohr.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Verificando o aprendizado
Questão 1
(CESPE - 2016 - POLÍCIA CIENTÍFICA - PE - Perito Criminal - Engenharia Mecânica) A figura
ilustra o Círculo de tensões de Mohr, em que a ordenada de um ponto sobre o círculo
representa a tensão de cisalhamento (τ) e a abcissa representa a tensão normal (σ).
Considerando a imagem, assinale a opção correta:
A A maior tensão normal é igual ao raio do círculo.
B Uma tensão normal igual a σm atua em cada um dos planos de tensões de cisalhamento máxima e
mínima.
C Se σX + σY = 0, então o centro do Círculo de Mohr coincide com a origem do plano σ × τ e não se
desenvolvem tensões de cisalhamento nesse plano.
D Se σ1 = σ2, então o centro do Círculo de Mohr coincide com a origem do plano σ × τ e verifica-se o
estado de cisalhamento puro.
E Nos planos σ1 (maior tensão normal possível) e σ2 (menor tensão normal possível), o valor das tensões
de cisalhamento é, em módulo, igual ao raio do círculo.
A alternativa B está correta.
Quando o estado de tensão plana é tal que a tensão de cisalhamento é máxima, as tensões normais
equivalem à média aritmética entre as tensões normais. No Círculo de Mohr, é possível visualizar essa
situação, que para a tensão de cisalhamento máxima, a abscissa equivale a .
Questão 2
Considere que as tensões principais de um estado plano de tensões valham 20 MPa e 100
MPa. A partir dessas informações, é desenhado o Círculo de Mohr. 
 
O valor do raio e suas coordenadas são, respectivamente iguais a:
A 60 e (60,0)
B 40 e (60, 0)
C 60 e (0,60)
D 40 e (0, 60)
E 60 e (60, 40)
A alternativa B está correta.
Na situação de tensões principais, a tensão de cisalhamento é nula. O centro do Círculo de Mohr é dado
pela seguinte relação:
O centro é dado por:
5. Conclusão
Considerações finais
Tendo como base a Lei de Hooke (σ = E.ε), apresentamos a variação longitudinal elástica de um corpo sob
carregamento axial. Nesse primeiro momento, o problema era estaticamente determinado e o carregamento
axial não precisava ser único. 
 
No segundo módulo, identificamos as estruturas hiperestáticas, em contraste às isostáticas. Nas estruturas
hiperestáticas, não é possível resolvê-las apenas com as três equações do equilíbrio. Por isso, uma ou mais
equações foram adicionadas para auxiliar a solução (as equações de compatibilidade geométrica). 
 
Em seguida, analisamos as tensões em um ponto infinitesimal do corpo, em particular o estado plano de
tensões. Vimos as equações para determinação das tensões principais, tensão cisalhante máxima e tensões
para dada rotação do elemento de estudo. Por fim, conhecemos o método gráfico denominado Círculo de
Mohr.
Podcast
Para encerrar, ouça sobre Carga axial e estado plano de tensão.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para ouvir o áudio.
Explore+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia: 
 
Sobre deformações elásticas em corpos estaticamente determinados e indeterminados. HIBBELER,
R.C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010. (capítulo 4: pág 85-106). 
Sobre estado plano de tensões. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo, SP:
Pearson, 2010. (capítulo 9: pág 321-345).
Referências
BEER, F.P., JOHNSTON, E.R.J., Resistência dos Materiais. 3 ed. São Paulo, SP: Pearson, 1995. 
 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010.
• 
• 
	Carga axial e estado plano de tensão
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Boas-vindas
	Conteúdo interativo
	1. Princípio de Saint-Venant e deformação elástica em estruturas determinadas
	Introdução
	Princípio de Saint-Venant
	Deformação elástica de elementos estaticamente determinados
	Exemplo 1
	Resolução
	Comentário
	Exemplo 2
	Resolução
	Mão na massa
	(FCC - 2018 - DPE-AM - Analista em Gestão Especializado de Defensoria - Engenharia Civil) Uma barra de treliça em aço de perfil duplo T, com 1 m de comprimento e 5 cm2 de área de seção transversal está submetida à força de tração de 20 kN. Considerando que o módulo de elasticidade do aço é de 200 GPa, o alongamento da barra é, em milímetros, de:
	(FCC - 2012 - TCE-AM - Analista de Controle Externo - Auditoria de Obras Públicas) Após a aplicação de uma carga axial de tração de 60 kN em uma barra de aço, com módulo de elasticidade longitudinal de 200 GPa, comprimento de 1,0 m e área da seção transversal de 10 cm2, o alongamento produzido na barra, em mm, é:
	(AOCP - 2012 - TCE-PA - Analista de Controle Externo - Engenharia Civil) Considere uma barra prismática com comprimento de 500 mm, seção transversal quadrada com lado de 10 mm, feita de material cujo módulo de elasticidade longitudinal é de 200 GPa, que está engastada em uma das extremidades. Determine a variação de comprimento que esta barra poder sofrer se ela for tracionada na extremidade livre por uma carga axial com intensidade de 20 kN.
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	(CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Técnico de Suprimentos de Bens e Serviços Júnior - Mecânica-2012) Uma barra de 15 cm de comprimento apresenta uma deformação axial de 0,1 mm quando solicitada por uma força axial de 1.000 N. Considerando o material da barra como elástico e linear, ao ser solicitada por uma carga de 1.500 N, a deformação específica da barra (em μ) será de:
	Conteúdo interativo
	Questão 6
	Considere um sistema em que um cabo de aço de comprimento 90 cm e diâmetro 6 mm ancora uma peça, também de aço, AOB em forma de L de uma estrutura, conforme a figura. A peça encontra-se em equilíbrio e vinculada num apoio de 2º gênero.
	Considere que as medidas AO e OB valem, respectivamente, 4 m e 3 m. Dado que o módulo de elasticidade do aço (E) é de 200 GPa, determine o alongamento do cabo de aço. Utilize π = 3.
	Teoria na prática
	Resolução
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	(IBFC - 2017 - EMBASA - Técnico em Eletromecânica - adaptada) Analise as afirmações a seguir:I. Isotropia: O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as direções.II. Saint-Venant: Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em pontos suficientemente afastados da região de aplicação das cargas.III. Lei de Hooke: A força aplicada é proporcional ao dobro da força axial aplicada ao bloco.Considerando as hipóteses básicas da Resistência dos Materiais, está correto o que se afirma em:
	Uma barra de seção reta quadrangulartem lado l = 10 mm e comprimento 1,5 m. O material é um aço cujo módulo de Young (E) vale 200 GPa. A barra encontra-se presa (“engastada”) em uma parede e na extremidade livre é aplicada uma força trativa que provoca uma deformação média normal de 0,002 mm/mm. Qual o valor da força aplicada, considerando que atua no centroide da seção reta?
	2. Deformação elástica de elementos estaticamente indeterminados
	Introdução
	Estudo de estruturas planas hiperestáticas
	Estudo da deformação elástica de estruturas planas hiperestáticas
	Comentário
	Mão na massa
	Considere uma coluna AB de 3 m engastada em suas extremidades. Se uma carga de 120 kN é aplicada no ponto médio da viga (C), a respeito do cálculo das reações nos engastes A e B são feitas as seguintes afirmativas:I – A estrutura é hipostática, pois são duas as reações e três as equações de equilíbrio no plano.II – A estrutura é hiperestática e, para resolvê-la, há necessidade de uma equação extra oriunda da deformação da viga.III – É possível determinar as reações utilizando apenas as equações do equilíbrio de um corpo.É correto afirmar que:
	Questão 2
	Suponha uma barra AB de 1,6 m de comprimento perfeitamente ajustada entre dois pontos, tal que AB fique na vertical. Despreze o peso da barra. Uma força de 100 kN é aplicada sobre ela no ponto C, tal que AC = 400 mm e CB = 1200 mm. A seção reta da barra apresenta 500 mm2 e o material que a constitui apresenta módulo de elasticidade E = 210 GPa. Veja a figura a seguir.
	Sobre as deformações de AC (δAC) e CB (δCB), em módulo, é correto afirmar que:
	Questão 3
	Observe a figura a seguir:
	Suponha uma barra AB de comprimento 4 m engastada em duas paredes de peso desprezível. Quando uma força F de 80 kN passa a atuar no ponto , tal que , determine os módulos das reações nas paredes.
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	(CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior - Terminais e Dutos) Observe a figura a seguir:
	A viga plana sob flexão, mostrada na figura acima, é estaticamente indeterminada, porque o número de equações de equilíbrio da estática e o número de incógnitas são, respectivamente:
	Questão 5
	Para os casos de estruturas estaticamente indeterminadas, as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as ações e as reações na estrutura, a menos que as deformações sejam levadas em consideração. Nesse contexto, considere a figura a seguir, que mostra uma barra constituída de dois trechos (OM e MN) e rigidamente presa nas extremidades.
	O módulo de elasticidade do material da viga é 21.000 kN/cm², a área da seção transversal do trecho OM é 5 cm², a área da seção transversal do trecho MN é 7,5 cm² e a força P indicada é igual a 60 kN.
	Tendo como referência a figura e as informações apresentadas, além de considerar que o sistema esteja em equilíbrio e haja compatibilidade das deformações nos trechos, as reações R1 e R2 são iguais, respectivamente, a:
	Questão 6
	Sabendo que o Eaço = 200 GPa e a área da seção é 200 mm2, a reação em A, a reação em B e o deslocamento da barra são, respectivamente:
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Resolução
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 2
	(CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Naval) Uma viga de aço é composta de duas seções circulares com áreas transversais de 250 mm² e 500 mm², com 450 mm e 300 mm de comprimento, respectivamente. Esta barra é engastada em suas extremidades, e uma força de 40 N é aplicada no ressalto entre as seções desta viga.
	Após a análise desses dados, conclui-se que os valores absolutos das reações nas extremidades (Ra e Rb) são, respectivamente, em N:
	3. Estado e transformação de tensão no plano
	Introdução
	Estado plano de tensões
	Atenção
	Convenção de sinais para as tensões
	Transformação de tensão no plano
	Tensões normais principais e tensão de cisalhamento máxima no estado plano de tensões
	Comentário
	Mão na massa
	Questão 1
	(FCC - 2015 - TRT - 3ª Região (MG) - Analista Judiciário - Engenharia Mecânica) Em um ponto de uma estrutura, existem as tensões indicadas no elemento conforme abaixo:
	A máxima tensão de cisalhamento que ocorre no ponto, em MPa é:
	No estado plano de tensão, quando as tensões normais principais valem 20 MPa e 80MPa, a tensão de cisalhamento atuante é:
	Questão 3
	(CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior – Mecânica -2012) As tensões principais referentes ao estado plano de tensões, ocorrente em um ponto de uma peça, são as indicadas na figura.
	A tensão cisalhante máxima atuante nesse ponto da peça é:
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	As tensões principais valem:
	Conteúdo interativo
	Questão 5
	(AOCP - 2012 - TCE-PA - Analista de Controle Externo - Engenharia Civil - adaptada) Em um ponto na superfície de uma estrutura, o material está submetido ao estado plano de tensões mostrado na figura.
	Analise as tensões neste ponto e determine: as tensões principais (σmáx e σmín) e a tensão de cisalhamento máxima (τmáx).
	Questão 6
	(CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Naval – adaptada) Na figura, a seguir, são apresentadas as tensões normais e de cisalhamento nos planos horizontal e vertical que passam por um ponto de um elemento estrutural sujeito ao estado plano de tensões.
	Para essa situação, os valores das tensões principais (σP1 e σP2), no ponto, em MPa, são, respectivamente:
	Teoria na prática
	Resolução
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	(IBFC - 2013 - PC-RJ - Perito Criminal - Engenharia Civil) Após o ensaio em laboratório de uma peça que estava em ruína, obteve-se o estado plano de tensões esquematizado na figura a seguir:
	Os valores das tensões principais máxima (σmáx) e mínima (σmin) para este estado plano de tensões são respectivamente:
	No estudo das tensões que agem num corpo sob determinado carregamento, o estado plano de tensões é muito frequente de ocorrer. A respeito desse estado, são feitas as seguintes afirmativas:I – No elemento infinitesimal de estudo, todas as faces apresentam tensões normais.II – Quando não existem tensões cisalhantes nas faces do elemento de estudo, dizemos que as tensões normais são as principais.III – As tensões cisalhantes que agem nas quatro faces do elemento infinitesimal apresentam o mesmo módulo.São corretas:
	4. Círculo de Mohr
	Introdução
	Equação da circunferência
	Círculo de Mohr
	Exemplo 3
	Resolução
	Mão na massa
	Questão 1
	(IF-MT - 2014 - IF-MT - Professor - Engenharia Mecânica – adaptada) Observe o Círculo de Mohr abaixo.
	Considerando o estado plano de tensões, assinale a alternativa que apresenta as tensões principais, σmáx e σmín, respectivamente.
	Considere o estado plano de tensões em que as tensões normais são iguais a 30 MPa e 50 MPa. Construindo o Círculo de Mohr em que os eixos são a tensão normal (eixo horizontal) e tensão cisalhante (eixo vertical), quais as coordenadas do centro desse círculo.
	Questão 3
	Sabendo que σθ = 100MPa, σ'θ = 100MPa e τθ = 40MPa, a máxima tensão cisalhante nesse elemento vale:
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Questão 5
	(CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro Civil Júnior-2012) Considere o estado de tensão, representado no elemento, assim como os eixos e os dados para responder à questão que se refere ao estudo do plano de tensões e à construção do Círculo de Mohr.
	Conteúdo interativo
	(IBFC - 2017 - POLÍCIA CIENTÍFICA-PR - Perito Criminal - Área 5) Em relação à deformação de tensão no plano, analise as afirmativas.I. Quando o estado de tensão é representado pelas tensões principais, nenhuma tensão de cisalhamento age sobre o elemento.II. O estado de tensão no ponto também pode ser representado como tensão de cisalhamento máxima no plano. Nesse caso, uma tensão normal média também age no elemento.III. O elemento que representa a tensão de cisalhamento máxima no plano com as tensões normais médias associadas está orientado a 45º em relação ao elemento que representa as tensões principais.Assinale a alternativa correta.
	Teoria na prática
	Resolução
	Conteúdointerativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	(CESPE - 2016 - POLÍCIA CIENTÍFICA - PE - Perito Criminal - Engenharia Mecânica) A figura ilustra o Círculo de tensões de Mohr, em que a ordenada de um ponto sobre o círculo representa a tensão de cisalhamento (τ) e a abcissa representa a tensão normal (σ).
	Considerando a imagem, assinale a opção correta:
	Considere que as tensões principais de um estado plano de tensões valham 20 MPa e 100 MPa. A partir dessas informações, é desenhado o Círculo de Mohr.
	O valor do raio e suas coordenadas são, respectivamente iguais a:
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referências