Avaliação II - Individual GAEAV

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:890602)
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Prova 70278412
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 8/2
Nota 8,00
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) 
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em 
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo 
menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
A {(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}.
B {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
C {(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}.
D {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se 
relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito 
são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 2.
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - F - F - F.
C V - F - V - V.
D F - F - V - V.
Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços 
vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Sobre o exposto, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
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A+ Alterar modo de visualização
1
2
3
( ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais.
( ) Um plano é um subespaço de R²
( ) Um ponto é um subespaço de R.
( ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F.
B V - F - F - V.
C F - F - V - V.
D F - V - V - F.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço 
vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. 
Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre 
perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = 
(1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = (0,-4,3).
( ) u x v = (-8,-1,2).
( ) u x v = (8,1,-2).
( ) u x v = (0,4,3).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - V - F - F.
C V - F - F - F.
D F - F - F - V.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do 
problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão da Imagem deste operador:
A 1.
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B 0.
C 3.
D 2.
Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem 
de uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio 
formado pelos vetores que são levados ao vetor nulo do contradomínio. Por sua vez, a imagem é o 
conjunto de vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na 
transformação. Baseado nisso, assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a 
seguir:
A O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.
B O vetor (2,2) possui imagem (0,0).
C O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.
D A transformação a seguir não é um operador linear.
A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação 
Linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2:
A Os autovalores associados são 5 e 3.
B Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
C Os autovalores associados são 1 e -1.
D Os autovalores associados são 0 e 2.
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços 
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma 
transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das 
transformações lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y).
III- T (x,y) = (2x + y, x - y).
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IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I e II estão corretas.
B Somente a opção IV está correta.
C As opções II e III estão corretas.
D As opções III e IV estão corretas.
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por 
exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo 
(ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir 
este resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a 
área do triângulo formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção IV está correta.
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços 
vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se 
ela preserva as operações de soma, e multiplicação por um escalar. Considerando a imagem do 
vetor (1, -2, 4) quando aplicado na transformação a seguir, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas:
A F - F - F - V.
B F - V - F - F.
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C F - F - V - F.
D V - F - F - F.
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