Para determinar a área do triângulo formado pelos vetores \( \mathbf{u} = (1, 2, 0) \) e \( \mathbf{v} = (0, 1, 2) \), precisamos calcular o produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \) e, em seguida, encontrar o módulo desse produto. 1. Cálculo do produto vetorial: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(1) \] \[ = (4, -2, 1) \] 2. Cálculo do módulo do produto vetorial: \[ |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} \] 3. Cálculo da área do triângulo: A área do triângulo é metade da área do paralelogramo: \[ \text{Área do triângulo} = \frac{1}{2} |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = \frac{1}{2} \sqrt{21} \] Agora, precisamos verificar as opções que você mencionou, mas não foram fornecidas. Para que eu possa ajudá-lo a identificar a alternativa correta, você precisa fornecer as opções I, II, III e IV. Você tem que criar uma nova pergunta com essas informações.