AULA-08-CÁLCULO-DIFERENCIAL-E-INTEGRAL-II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL II 
 
 
Prezado Aluno, 
 
Nesta aula, vamos avançar nos estudos sobre o cálculo diferencial e 
integral. Primeiramente, você vai aprender as integrais múltiplas, que são uma 
extensão das integrais simples, adaptadas para funções de várias variáveis. 
Uma das aplicações das integrais múltiplas é o cálculo de áreas de 
regiões planas e sólidos geométricos em regiões de três dimensões. As 
integrais simples permitem determinar o valor de áreas e volumes, e, agora, 
você conhecerá novas maneiras de executar esses cálculos, podendo 
escolher a ferramenta que determine com maior rapidez de computação e 
maior precisão os resultados que você precisa. 
Outro tema abordado é o teorema de Fubini, que versa sobre a 
possibilidade de inversão da ordem de integração das integrais múltiplas, 
permitindo que você encontre soluções para integrais difíceis. 
 
 
Bons estudos! 
AULA 8 – CÁLCULO 
DAS INTEGRAIS 
MÚLTIPLAS 
8 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
Conforme mencionado nas primeiras aulas, o estudo das integrais surgiu 
historicamente a partir do desafio de calcular áreas de figuras irregulares, 
possibilitando a medição dessas formas geométricas complexas. As ideias para 
resolver esse problema foram desenvolvidas no método da exaustão, que serviu como 
inspiração e base para os matemáticos que formularam os princípios fundamentais do 
cálculo integral. 
Através do cálculo integral, é possível encontrar as chamadas funções 
primitivas, que são aquelas que existiam antes de passarem pelo processo de 
derivação. As regras utilizadas nesse contexto são, essencialmente, as mesmas já 
estabelecidas anteriormente. 
8.1 Integral dupla 
A definição matemática para integrais de duas variáveis difere do caso de 
integrais simples no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Enquanto no 
caso de uma integral simples ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 o domínio é um intervalo [𝑎, 𝑏], para as 
integrais de duas variáveis, o domínio é uma região 𝐷 no plano que pode apresentar 
uma curva de fronteira mais geral (ROGAWSKI, 2009). 
Para resolver essa integral, primeiro é necessário fixar uma variável e integrar 
em relação à outra. Vejamos o exemplo: 
∫ ∫ (40 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
4
2
3
1
 
Para resolver a integral dupla, é importante começar pela integral "interna" 
(neste caso, integrar em relação a 𝑦) e, em seguida, realizar a integração em relação 
à outra variável (𝑥). 
∫ ∫ (40 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
4
2
3
1
 
 Agora, chegamos a: 
∫ [∫ (40 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦] 𝑑𝑥 =
4
2
3
1
 
∫ [40𝑦 −
2𝑥𝑦2
2
]
2
43
1
𝑑𝑥 = 
∫ [40𝑦 − 𝑥𝑦2]2 
4 𝑑𝑥 =
3
1
 
∫[40 ⋅ 4 − 𝑥 ⋅ 42]
3
1
− [40 ⋅ 2 − 𝑥 ⋅ 22] 𝑑𝑥 = 
∫[160 − 16𝑥]
3
1
− [80 − 4𝑥] 𝑑𝑥 = 
∫(80 − 12𝑥)
3
1
 𝑑𝑥 
Restou apenas a integral "externa", que é uma integral simples, então basta 
integrar em relação a 𝑥: 
∫(80 − 12𝑥)
3
1
 𝑑𝑥 = 
[80𝑥 −
12 ⋅ 𝑥2
2
]
1
3
= 
[80𝑥 − 6𝑥2]1
3 = 
[80 ⋅ 3 − 6 ⋅ 32] − [80 ⋅ 1 − 6 ⋅ 12] = 
[240 − 6 ⋅ 9] − [80 − 6] = 
186 − 74 = 112 
8.2 Integral tripla 
O limite ∭ 𝑓
𝐺
 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗𝑛
𝑘=1 , 𝑦
𝑘
∗ , 𝑧𝑘
∗) ∆𝑉𝑘 é nomeada integral tripla 
de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) na região 𝐺. É definida quando a função 𝑓 for contínua em 𝐺 (ANTON; 
BIVENS; DAVIS; 2007). O método utilizado é semelhante ao da integral dupla, porém 
adaptado para lidar com três variáveis, como ilustrado no exemplo a seguir: 
∫ ∫ ∫ 12𝑥𝑦2
2
0
3
0
2
−1
𝑧3 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
Mais uma vez, é necessário iniciar pela integral "interna" ou "do miolo": 
∫ ∫ ∫ 12𝑥𝑦2
2
0
3
0
2
−1
𝑧3 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
∫ ∫ [
12𝑥𝑦2𝑧4
4
]
0
23
0
2
−1
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 
∫ ∫[3𝑥𝑦2𝑧4]0
2
3
0
2
−1
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 
∫ ∫[3𝑥𝑦2 ⋅ 24]
3
0
2
−1
− [3 ⋅ 𝑥𝑦2 ⋅ 04] 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 
∫ ∫[48𝑥𝑦2]
3
0
2
−1
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 Em seguida, é necessário integrar a integral "do meio": 
∫ ∫[48𝑥𝑦2]
3
0
2
−1
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
então: 
∫ [
48𝑥𝑦3
3
]
0
32
−1
𝑑𝑥 = 
∫ [16𝑥𝑦3]0
3
2
−1
𝑑𝑥 = 
∫ [16𝑥 ⋅ 33]
2
−1
− [16 ⋅ 03]𝑑𝑥 
Agora, a solução final foi simplificada para uma integral simples: 
∫ 432 𝑥
2
−1
 𝑑𝑥 = 
[
432𝑥2
2
]
−1
2
= 
[216 ⋅ 22] − [216 ⋅ (−1)2] = 
864 − 216 = 648 
8.3 Integrais múltiplas, áreas e volumes 
As integrais múltiplas evoluíram a partir da busca por soluções para determinar 
o volume de sólidos. Durante o estudo desses sólidos, tornou-se evidente que é 
possível construir diversos deles através da revolução de figuras planas, um 
procedimento trivial bem conhecido pelos estudiosos do cálculo. 
Considere o exemplo do cone, que é formado no espaço 3D pela rotação de 
um triângulo retângulo com raio 𝑟 e altura ℎ. É importante destacar a relação entre a 
altura, o raio, a área e o volume do cone. A geometria espacial fornece as fórmulas 
que resolvem as questões relacionadas à área do cone, conforme mostrado na Figura 
1. 
Figura 1. Fórmulas da área e do volume do cone 
 
Fonte: Shutterstock.com. 
O cálculo do volume do cone é fundamental para fabricantes de sorvete, pois 
eles precisam saber a quantidade que pode ser colocada em uma casquinha em 
formato de cone. Além disso, essa informação é ainda mais importante para crianças 
de todas as idades, que desejam aproveitar ao máximo sua guloseima nas tardes 
ensolaradas de domingo (Figura 2). 
No entanto, nem sempre os problemas são tão simples a ponto de podermos 
aplicar diretamente as fórmulas da geometria espacial, que solucionam muitas 
demandas de forma direta. Às vezes, nos deparamos com elementos expressos no 
plano cartesiano, representados por funções matemáticas, e nesses casos, não é 
possível resolver utilizando apenas fórmulas geométricas. É quando precisamos 
recorrer ao cálculo para nos auxiliar. 
Por exemplo, há situações em que é necessário calcular a área entre duas 
curvas, definidas por expressões matemáticas, e essa necessidade exige a aplicação 
do cálculo para obter a solução adequada. 
Exemplo 1 - Considere uma região delimitada pela parábola 𝑦 =
𝑥2
2
 e a reta 
𝑦 = 2𝑥. É possível calcular a área dessa região utilizando integrais duplas. Para 
começar, devemos determinar os pontos de interseção das duas funções, o que é 
feito igualando as duas expressões. 
𝑥2
2
= 2𝑥 → 𝑥2 = 2 ⋅ 2𝑥 → 𝑥2 = 4𝑥 → 𝑥2 − 4𝑥 = 0 
Ao resolver a equação: 
𝑥(𝑥 − 4) = 0 ∴ 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 4 
E para calcular a área, o intervalo é delimitado por 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, o que será o 
parâmetro de integração em relação a 𝑥. Já para integrar em relação a 𝑦, utilizamos 
os dados do enunciado,𝑦 =
𝑥2
2
 e 𝑦 = 2𝑥. É importante construir um esboço da 
função para visualizar qual curva está por baixo, pois isso definirá o valor mínimo da 
integral em relação a 𝑦 (Figura 3). Uma sugestão é utilizar o Graphmática para auxiliar 
nessa visualização. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Gráfico da área compreendida entre 𝑦 =
𝑥2
2
 e y = 2x. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
A análise do gráfico da Figura 3 revela que a reta 𝑦 = 2𝑥 está acima da 
parábola definida pela equação 𝑦 =
𝑥2
2
 definindo assim os limites de integração. 
Agora, podemos escrever a integral com base nos cálculos realizados: 
∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2𝑥
𝑥2
2
4
0
 
A partir desse ponto, basta resolver a integral, obtendo assim: 
∫[𝑦]𝑥2
2
2𝑥
4
0
 𝑑𝑥 = 
∫ 2𝑥 −
𝑥2
2
4
0
𝑑𝑥 = 
[2
𝑥2
2
−
𝑥3
2 ⋅ 3
]
0
4
= 
[𝑥2 −
𝑥3
6
]
0
4
= 
[42 −
43
6
] − [02 −
03
6
] = 
16 −
64
6
= 16 −
32
3
=
48 − 32
3
=
16
3
 
8.4 Teorema de Fubini 
Conforme mencionado por Rogawski (2009), o teorema de Fubini afirma que: 
∫ (
𝐴
∫ 𝑓(
𝐵
𝑥, 𝑦)𝑑𝑦)𝑑𝑥 = ∫ (
𝐵
∫ 𝑓(
𝐴
𝑥, 𝑦)𝑑𝑥)𝑑𝑦. 
 Isso significa que, na prática, podemos inverter a ordem de integração sem que 
o resultado seja alterado. Vamos utilizar a integral que resolvemos na primeira parte 
como exemplo para ilustrar esse conceito. 
 Exemplo 2 – Seja a integral ∫ ∫ (40 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
4
2
3
1
. Invertendo sua ordem, 
termos:∫ ∫(40 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
3
1
4
2
 
∫ (40𝑥 −
2𝑥2𝑦
3
)
1
34
2
𝑑𝑦 = 
∫(40𝑥 − 𝑥2𝑦)1
3
4
2
𝑑𝑦 = 
∫(40 ⋅ 3 − 32 ⋅ 𝑦)
4
2
− (40 ⋅ 1 − 1 ⋅ 𝑦) 𝑑𝑦 
∫(120 − 9𝑦 − 40 + 𝑦)
4
2
𝑑𝑦 = 
∫ 80 − 8𝑦
4
2
𝑑𝑦 = 
[80𝑦 −
8𝑦2
2
]
2
4
= 
[80𝑦 − 4𝑦2]2
4 = 
[80 ⋅ 4 − 4 ⋅ 42] − [80 ⋅ 2 − 4 ⋅ 22] = 
[320 − 64] − [160 − 16] = 
256 − 144 = 112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2005. 
ROGAWSKI, J. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2009.