Linhas de Influência em Vigas Isostáticas

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Linhas de influência em vigas
isostáticas
Apresentação do conceito e dos métodos para determinar as linhas de influência em vigas.
Profa. Danielle Malvaris Ribeiro
1. Itens iniciais
Propósito
O estudo de linhas de influência em vigas isostáticas é de suma importância para compreensão das forças
fletoras em construção de estruturas, especialmente naquelas construídas em concreto, seja armado seja
protendido.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica.
Objetivos
Identificar cargas móveis, trem-tipo e objetivo das linhas de influência.
Aplicar os métodos para determinação das linhas de influência.
Analisar graficamente os valores obtidos nas linhas de influência.
Analisar a aplicabilidade das linhas de influência em problemas de Engenharia.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, compreenda os conceitos de linhas de influência.
Conteúdo interativo
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1. Cargas móveis, trem-tipo e objetivo das linhas de influência
Vamos começar!
Conceitos relacionados a cargas móveis e trem-tipo
Em diversas construções, existe a ação de cargas móveis. Por conta disso, é importante que você acompanhe
as considerações da professora sobre como utilizar um trem-tipo, para calcular a resistência de uma estrutura.
Vamos lá?
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Estruturas submetidas a cargas móveis
Estruturas como pontes, rodoviárias e ferroviárias e pórticos de galpões industriais que contêm ponte rolante
para transporte de materiais são solicitadas por cargas móveis.
Nas imagens, podemos observar a atuação de cargas móveis, ou seja, veículos em estruturas de pontes.
Trem se locomovendo na ponte.
Veículos se locomovendo na ponte.
As pontes rolantes são equipamentos largamente usados em diversos segmentos: metalúrgico, mecânico,
automotivo, na construção civil, entre outros. Elas auxiliam na movimentação e elevação de cargas pesadas
nos processos industriais e são constituídas basicamente por viga, carro e talha. Uma viga metálica se move
sobre trilhos apoiados em vigas de rolamento. Veja!
Exemplo de ponte rolante.
Exemplo de pista paralela de uma ponte rolante.
Esses tipos de estruturas, submetidas às cargas móveis, apresentam a variação dos esforços de acordo com a
intensidade da carga aplicada e com a posição de atuação das cargas.
Observe uma ponte com os veículos, que são as cargas móveis, percorrendo a estrutura:
Representação de ponte com veículos.
Nessas estruturas, precisamos avaliar o efeito das cargas móveis e as condições mais desfavoráveis para o
seu dimensionamento. Para tal, considera-se a carga como estática em diferentes posições por toda a
extensão da estrutura, simulando seu movimento.
Carregamentos
Cargas permanentes e acidentais
Os carregamentos que atuam na estrutura podem ser classificados como cargas permanentes e cargas
acidentais. Vamos conferi-las?
Cargas permanentes
São aquelas que atuam constantemente na estrutura, tais como seu próprio peso, peso das paredes
fixas, peso dos materiais de revestimento etc. São cargas cuja grandeza e ponto de aplicação são
conhecidos e invariáveis ao longo do tempo durante a utilização da estrutura. Os esforços seccionais
que surgem na estrutura em função da aplicação desse tipo de carregamento são calculados da
forma convencional, por meio do traçado dos diagramas de esforços.
Cargas acidentais
São aquelas que, ao longo da utilização da estrutura, podem ou não ocorrer. São provocadas por
ventos, empuxos de terra ou água, sobrecargas de utilização, veículos que percorrem a estrutura,
dentre outras.
As cargas acidentais podem ser classificadas em dois tipos:
Cargas acidentais propriamente ditas
São cargas cuja grandeza e ponto de aplicação são conhecidos e invariáveis, podendo, entretanto,
estar ou não aplicadas sobre a estrutura em diferentes momentos de sua vida útil. Os esforços
seccionais que surgem na estrutura em função da aplicação desse tipo de carregamento também são
calculados da forma convencional, por meio do traçado dos diagramas de esforços.
Cargas móveis
São cargas que apresentam o ponto de aplicação variável. Um dos principais exemplos de cargas
móveis são os carregamentos introduzidos sobre a estrutura de uma ponte pelos veículos que a
percorrem. Para quantificar os esforços gerados por tais carregamentos nas diversas seções da
estrutura pelo processo tradicional do traçado de diagramas de esforços seccionais, seria necessário
calcular diagramas de esforços correspondendo a cada uma das infinitas posições passíveis de serem
assumidas pelo carregamento. Visto que tal procedimento fica inviável, recorre-se ao conceito de
linha de influência para a solução deste problema.
Trem-tipo
Em pontes rodoviárias ou ferroviárias, bem como em lajes de edifícios garagem ou outros tipos de estruturas
sobre as quais atuam cargas móveis, são inúmeras as combinações de veículos que podem representar essas
cargas em determinado momento.
As normas de projeto definem veículos ideais, denominados trens-tipo, que devemos fazer percorrer a
estrutura para efeito de determinação de esforços seccionais. Os trens-tipo são, em geral, constituídos por
cargas concentradas e/ou uniformemente distribuídas de valores conhecidos, que mantêm entre si distâncias
conhecidas e constantes.
O problema a resolver é a determinação dos esforços máximo e mínimo que ocorrerão em cada seção da
estrutura durante a passagem do trem-tipo. De posse desses valores e conhecidos os esforços devidos às
cargas permanentes e acidentais não móveis, podemos saber que valores extremos irão variar os esforços
seccionais em cada seção da estrutura, o que permite o traçado das envoltórias de esforços na estrutura.
Exemplo de trem-tipo para ponte rodoviária.
Exemplo de trem-tipo para ponte ferroviária.
Objetivo das linhas de influência
Nos casos em que há previsão da ocorrência de cargas móveis na estrutura, é necessário considerar que cada
posição desta ação irá corresponder a determinado campo de esforço, reações e deslocamentos. Sendo
assim, o estudo das linhas de influência tem como objetivo determinar qual a posição mais desfavorável da
carga móvel a ser considerada.
Define-se como função de influência de determinado efeito (E) o valor desse efeito – que pode ser um
esforço, deslocamento ou reação – em função da posição (x) de uma carga móvel unitária (P=1) percorrendo a
estrutura. Essa representação pode ser feita graficamente, sendo a abcissa representada pela posição da
carga e a ordenada, pelo valor da função de influência. A linha que representa essa função designa-se por 
linha de influência (LI).
As linhas de influência (LIs) descrevem a variação de determinado efeito – como uma reação de apoio, um
esforço cortante ou um momento fletor – em uma seção em função da posição de uma carga unitária que
percorre a estrutura.
Exemplo
A LI de um momento fletor em uma seção é a representação gráfica ou analítica do momento fletor na
seção, produzida por uma carga unitária que percorre a estrutura. A posição da carga é dada pela
distância . Sendo, assim, temos a representação pela função: . 
Por meio do traçado das linhas de influência, obtêm-se as envoltórias de limites de esforços, que são
necessárias para o dimensionamento de estruturas submetidas às cargas móveis.
Diferença entre linha de estado e linha de influência
Vamos analisar um exemplo para compreender melhor!
Imagine que uma viga biapoiada com balanço esteja submetida a um carregamento permanente de 2 kN/m:
Viga biapoiada balanceada.
Para esse carregamento permanente, é possível determinar as reações de apoio e os esforços (esforço
cortante e momento fletor). Veja os efeitos (linha de estado):
Reações de apoio
Diagrama de esforço cortante (DQ)
Diagrama de momento fletor (DMF)
Para determinar os efeitos das cargas móveis, vamos dividir a estrutura em 10 partes e aplicar uma força
unitária (P=1) em cada seção (C, S1, A, S2, S3, S4, S5,S6, B, S7, D).
Aplicação da força unitária em cada seção.
Inicialmente, veremos os efeitos sobre as reações de apoio VA e VB quando a carga unitária percorre a
estrutura. Utilizamos como convenção essa carga aplicada na direção vertical e no sentido de baixo para
cima. Percorrerá a estrutura da esquerda para a direita.
Linha de influência P=1 → móvel e reações de apoio (VA e VB).
A partir desses valores, podemos montar uma tabela relacionando a seção com sua devida posição, com seus
valores fixos para as linhas de estado e com seus valores correspondentes às linhas de influência, com
relação aos valores de reações VA e VB quando a carga unitária percorre as seções da viga.
Linha de estado Linha de influência
Posição da
seção
X da seção
(m)
VA 
(kN)
VB 
(kN)
Posição de
P=1
X de
P=1
LI
(VA)
LI
(VB)
C 0 0 5 C 0 1,3 -0,3
Linha de estado Linha de influência
Posição da
seção
X da seção
(m)
VA 
(kN)
VB 
(kN)
Posição de
P=1
X de
P=1
LI
(VA)
LI
(VB)
S1 0,5 5 5 S1 0,5 1,2 -0,2
A 1 5 5 A 1 1,0 0
S2 1,5 5 5 S2 1,5 0,8 0,2
S3 2 5 5 S3 2 0,7 0,3
S4 2,5 5 5 S4 2,5 0,5 0,5
S5 3 5 5 S5 3 0,3 0,7
S6 3,5 5 5 S6 3,5 0,2 0,8
B 4 5 5 B 4 0 1,0
S7 4,5 5 5 S7 4,5 0,2 0,8
D 5 5 5 D 5 -0,3 1,3
Tabela: Linha de estado e de influência. 
Danielle Malvaris Ribeiro
Agora, faremos o mesmo procedimento para o esforço cortante e momento fletor, marcando nas linhas de
estado a seção S4, localizada no meio do vão. Veja na imagem a seguir:
Linha de influência P=1 → móvel.
Considerando a seção S4 para a análise da linha de influência, temos:
Linha de influência
Posição de P=1 X de P=1 QS4 (kN) MS4 (kNm)
C 0 0,3 -0,5
S1 0,5 0,2 -0,3
A 1 0 0
S2 1,5 -0,2 0,2
S3 2 -0,3 0,5
S4 2,5 +0,5/-0,5 0,7
Linha de influência
Posição de P=1 X de P=1 QS4 (kN) MS4 (kNm)
S5 3 0,3 0,5
S6 3,5 0,2 0,2
B 4 0 0
S7 4,5 -0,2 -0,3
D 5 -0,3 -0,5
Tabela: Linha de influência 
Danielle Malvaris Ribeiro
Assim, podemos observar a variação dos esforços para uma mesma seção enquanto a carga móvel percorre a
estrutura, diferentemente das linhas de estado (diagramas de esforço cortante e momento fletor).
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Como as cargas móveis atuam na estrutura?
Conteúdo interativo
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Objetivo das linhas de influência
Conteúdo interativo
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Verificando o aprendizado
Questão 1
As cargas móveis apresentam
A
carregamentos que não variam ao longo da vida útil da estrutura.
B
carregamentos com ponto de aplicação fixo.
C
carregamentos com ponto de aplicação variável.
D
carregamento do peso próprio da estrutura.
E
carregamentos como cargas de vento, empuxo e de ocupação da estrutura.
A alternativa C está correta.
As cargas móveis são cargas variáveis que atuam nas estruturas em pontos variados, por exemplo: um
veículo percorrendo uma ponte.
Questão 2
O objetivo do traçado da linha de influência é
A
obter as envoltórias de limites de esforços que são necessárias para o dimensionamento de estruturas
submetidas às cargas permanentes.
B
obter o momento máximo que atua no meio do vão.
C
obter o valor do cortante que atua nos apoios.
D
obter as condições necessárias para dimensionar as estruturas que estão submetidas a cargas móveis.
E
obter as reações de apoio.
A alternativa D está correta.
A linha de influência é um importante recurso no qual se obtém os esforços máximos e mínimos
(envoltórias), considerando uma carga móvel percorrendo a estrutura.
2. Métodos para obtenção das linhas de influência
Vamos começar!
Como determinar as linhas de influência em uma viga?
A utilização de vigas na engenharia civil é de suma importância. Por conta disso, é interessante que você
acompanhe as considerações da professora sobre como determinar as linhas de influência em vigas. Vamos
lá?
Conteúdo interativo
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Obtendo as linhas de influência
Uma linha de influência mostra como determinado esforço em uma seção varia quando uma carga
concentrada se move sobre a estrutura. As linhas de influência de estruturas isostáticas podem ser calculadas
por meio do método analítico e método gráfico.
O método analítico baseia-se na determinação das funções que expressam as linhas de influência. Para isso,
devemos observar se a carga (P) que percorre a estrutura está antes ou depois da seção (S) considerada para
o traçado da linha de influência (LI).
Veja o exemplo na imagem a seguir:
Exemplo de força aplicada na viga.
Chamaremos de z a distância da aplicação da carga (P) e x a distância da seção (S) que será considerada
para a linha de influência. As distâncias seguem, como convenção, sempre da esquerda para a direita. L
representa o comprimento total da viga.
Linhas de influência para vigas biapoiadas
Considere o seguinte esquema para as vigas biapoiadas, em que temos os apoios A e B:
Esquema de vigas apoiadas.
Para o cálculo das linhas de influência, temos:
Reações de apoio: LIVA
Sendo:
Representada pela seguinte imagem:
Reações de apoio: LIVB
Sendo:
Representada pela seguinte imagem:
Momento fletor: LIMS
Sendo:
Representada pela seguinte imagem:
Esforço cortante: LIQS
Sendo:
A está correta.
Temos:
Questão 6
Para uma viga biapoiada, o valor máximo da linha de influência de momento numa seção S (LIMs) é
A
0.
B
0,4.
C
0,7.
D
0,8.
E
1.
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
Para a viga biapoiada com balanços, determine as linhas de influência para a seção S2, a 1 m de distância do
apoio A.
Chave de resposta
Confira agora a resolução da questão.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Em uma viga biapoiada o valor da linha de influência da reação A (LIVA) no apoio A é igual a
A
0.
B
1.
C
0,5.
D
1,5.
E
2.
A alternativa B está correta.
Temos:
Verificando a representação da LIVA no apoio A, tem-se que é igual a 1.
Questão 2
Na viga engastada de 4 metros, a carga móvel (P=1) encontra-se a 1 metro do engaste. Sendo assim, para a
linha de influência de momento fletor na seção S (Ms), temos o valor no trecho I igual a
A
0.
B
1.
C
3.
D
4.
E
2.
A alternativa A está correta.
Temos:
Para , sendo a posição da aplicação da carga .
3. Traçado das linhas de influência
Vamos começar!
Como representar as linhas de influência?
Entenda agora como realizar a representação das linhas de influência e qual a sua relevância para a
Engenharia. Vamos lá?
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Representação das linhas de influência
As linhas de influência (LI) de um efeito elástico representam graficamente em dada seção (S):
Os efeitos (E).
As ações: momento fletor, esforço cortante, esforço normal, momento torsor ou reações (M, Q, N, T ou
R).
Deslocamentos lineares (D) ou angulares (θ).
Isso se dá devido a uma carga unitária (P=1) percorrendo a estrutura. A ordenada (y) da linha de influência, em
cada ponto da viga, é numericamente igual ao efeito (E) observado na seção (S), quando a carga unitária está
aplicada sobre o referido ponto.
Não deve ser confundido o conceito nem o traçado de linhas de estado com linhas de influência. Entenda a
diferença:
Uma linha de influência mostra como determinado esforço em uma seção varia quando uma carga
concentrada se move sobre a estrutura. Construídas sobre o eixo da estrutura, as abscissas representam as
posições da carga móvel e as ordenadas representam os respectivos valores do esforço considerado.
Demonstração
Veja a viga isostática biapoiada de 5 metros com uma carga distribuída de 1kN/m, devido ao seu peso próprio
(carga permanente):
• 
• 
• 
Linhas de estado (diagramas de esforços) 
Esforços em todas as seções para carga
aplicada em uma posição definida. 
Linhas de influência 
Esforços em uma seção para carga
aplicada em diversas posições. 
Confira os diagramas de esforços para carga estática da viga:
Quando a estrutura é submetida às cargas estáticas, cada seção sempre apresentará o mesmo valor dos
esforços.
Já quando falamos em linha de influência, à medida que a carga móvel percorre a estrutura, temos valores
diferentes para o cortante e momento fletor numa mesma seção (S1).
Na próxima imagem, veja como se comportam as linhas de influência do cortante e momento fletor, a 1 metro
do apoio A (S1).
Carga unitária (P=1) X Esforço cortante.
Agora veja como ocorre no momento fletor:
Carga unitária (P=1) X Momento fletor.
Veja o quadro que demonstra os dados coletados nos gráficos anteriores, em que as cargas e momentos
estão sendo obtidos por meio da análise do posicionamento da carga unitária P = 1.
Linha de influência – Seção S1
Posição de P=1 X de P=1 Q S1 (kN) M S1 (kNm)
A 0 0 0
S1 1 -0,2/0,8 0,8
S2 2 0,6 0,6
S3 3 0,4 0,4
S4 4 0,2 0,2
B 5 0 0
Tabela: Linha de influência – Seção S1. Danielle Malvaris Ribeiro
Agora, observe o traçado da LIQS1 e da LIMS1.
Traçado da LIQS1
Traçado da LIMS1
Após tal demonstração, podemos verificar que o traçado através das funções coincide com seus valores caso
retire os esforços dos diagramas (Cortante e momento fletor) da carga unitária percorrendo a viga a cada
seção.
Mão na massa
Questão 1
Marque o traçado da linha de influência que possui , em uma seção .
A
Lorem Ipsum
B
Lorem Ipsum
C
Lorem Ipsum
D
Lorem Ipsum
E
Lorem Ipsum
A alternativa B está correta.
No traçado da LIQs, temos um valor em módulo de 1 para a vertical na seção solicitada, o que não acontece
na letra B.
Questão 2
Para a linha de influência do momento em uma seção S (LIMs) em uma viga biapoiada com balanço, podemos
afirmar que, no balanço, devemos
A
prolongar o traçado da LIMS da parte interna entre os apoios.
B
zerar os resultados nos balanços.
C
repetir o último valor interno nas extremidades dos balanços.
D
espelhar os valores internos com relação a vertical.
E
espelhar os valores internos com relação a horizontal.
A alternativa A está correta.
Temos:
Como pode ser visto na LIMs devemos prolongar o traçado da região entre os apoios para obter os apoios.
Questão 3
Numa viga biapoiada, para uma linha de influência de cortante em dada seção S (LIQs), ao escolher a seção S
como a seção do apoio A, teremos o traçado correto:
A
Lorem Ipsum
B
Lorem Ipsum
C
Lorem Ipsum
D
Lorem Ipsum
E
Lorem Ipsum
A alternativa A está correta.
Apoio A: +1.
Que pode ser representado acima ou abaixo da viga.
Questão 4
Considere o traçado da LIMs abaixo. A seção solicitada para o traçado da LIMs é a
A
S1.
B
S2.
C
S3.
D
S4.
E
S5.
A alternativa D está correta.
A seção solicitada é a S4, em que há a inversão dos valores e os momentos decrescem.
Questão 5
Numa viga biapoiada sem balanço, para uma LIMs (linha de influência de momento), é correto afirmar que o
valor do momento será sempre máximo
A
no apoio da direita.
B
no apoio da esquerda.
C
no meio do vão.
D
na seção mais próxima do meio do vão.
E
na seção solicitada.
A alternativa E está correta.
Conforme a imagem, o momento máximo encontra-se sempre na seção solicitada (S).
Questão 6
Dados os valores da tabela abaixo e a viga biapoiada com balanço, selecione a opção que corresponde a
LIQS2 :
Seção X(m) QS2(kN)
S1 0 0,2
VA 1 0
S2 3,5 1
S3 5 0,2
VB 6 0
S4 7 -0,2
S5 8 -0,4
Tabela: Danielle Malvaris Ribeiro
A
Lorem Ipsum
B
Lorem Ipsum
C
Lorem Ipsum
D
Lorem Ipsum
E
Lorem Ipsum
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
Determine o traçado das linhas de influência da viga biapoiada com balanço abaixo.
Chave de resposta
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Para o traçado da linha de influência, deve-se adotar
A
o mesmo critério utilizado para o traçado das linhas de estado.
B
no eixo X os valores dos momentos fletores, e no eixo Y o valor dos esforços cortantes.
C
no eixo X os valores dos esforços cortantes, e no eixo Y o valor dos momentos fletores.
D
no eixo Y a posição da carga unitária, e no eixo X o valor do esforço na seção solicitada.
E
no eixo X a posição da carga unitária, e no eixo Y o valor do esforço na seção solicitada.
A alternativa E está correta.
No eixo X colocamos a posição da carga unitária (z) onde estamos determinando os esforços para a seção
solicitada. No eixo Y inserimos os valores dos esforços: para LIMs (momentos fletores) e LIQs(esforços
cortantes).
Questão 2
No traçado da linha de influência do esforço cortante (LIQs), a soma dos valores em módulo na seção
solicitada é igual a
A
0.
B
0,5.
C
1.
D
1,5.
E
2.
A alternativa C está correta.
No traçado da LIQs temos um valor em módulo de 1 para a vertical na seção solicitada.
4. Uso das linhas de influência
Vamos começar!
As linhas de influência aplicadas a projetos de Engenharia
Confira agora a importância da utilização das linhas deinfluência na Engenharia. Vamos lá?
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Aplicação do conceito de linha de influência
Aplicação de LIs
Diferentes tipos de estruturas estão submetidos às cargas móveis, como estruturas de pontes, viadutos,
passarelas, pontes rolantes de indústrias, dentre outros.
Ao desenvolver um projeto de uma estrutura com cargas móveis, precisamos determinar valores extremos de
efeitos elásticos, como deslocamentos, reações e esforços solicitantes nas seções das barras da estrutura.
Tais valores podem ser determinados por meio da aplicação do conceito de linha de influência e trem-tipo.
Esse efeito em uma seção, calculado por meio da linha de influência, determinado graficamente ou
analiticamente, é definido quando uma força unitária de direção e sentido constante percorre a estrutura.
O trem-tipo é o conjunto de cargas móveis a ser aplicado na estrutura em sua posição mais desfavorável para
cada seção de cálculo e combinação de carregamento. Normalmente são definidos por meio de códigos
normativos de projeto, representando a posição de um veículo em uma ponte, seja ela rodoviária ou
ferroviária.
Saiba mais
A norma que regulamenta os trens-tipos é a NBR 7188:2013 – Carga móvel rodoviária e de pedestres em
pontes, viadutos, passarelas e outras estruturas. 
Demonstração de aplicação
Para ilustrar a aplicabilidade das cargas móveis em um projeto de estruturas, vamos analisar um exemplo
clássico de vigas biapoiadas utilizadas em pontes, em que são determinadas as envoltórias de esforços
internos.
Veja a seguir uma viga biapoiada de 12 metros de vão, com dois balanços de 3 metros em cada lado. Vamos
considerar a carga permanente e a carga móvel:
Viga biapoiada com balanços, carga permanente e carga móvel.
Inicialmente, são calculados os esforços internos relativos à carga permanente (esforço cortante e momento
fletor). Veja:
Esforços internos da carga permanente.
Agora, é considerada uma carga móvel como um trem-tipo e determinada a linha de influência de cortante:
Determinação dos esforços cortantes mínimos e máximos da carga móvel.
A seguir, veremos como serão feitos os cálculos:
Cálculo de 
Veja:
Cálculo de 
Observe:
Cálculo de 
Acompanhe:
Cálculo de 
Veja: 
Cálculo de 
Acompanhe: 
Cálculo de 
Observe:
Veja agora a tabela que apresenta as envoltórias, ou seja, valores mínimos e máximos de esforços cortantes,
que foram obtidos com os cálculos anteriores.
Seção Carga Permanente 
Carga Móvel Envoltórias 
mínimo máximo mínimo máximo 
A 0 -20.00^(**) 0 -20.00 0 
B esq -60 -60.00 0 -120.00 -60.00 
B dir +120 -8.75 +91.25 +111.25 +211.25 
Seção Carga Permanente 
Carga Móvel Envoltórias 
mínimo máximo mínimo máximo 
C +60 -12.50 +57.50 +47.50 +117.50 
D 0 -31.25 +31.25 -31.25 +31.25 
E -60 -57.50 +12.50 -117.50 -47.50 
F esq -120 -91.25 +8.75 -211.25 -111.25 
F dir +60 0 +60.00 +60.00 +120.00 
G 0 0 +20.00** 0 +20.00 
Tabela: Envoltórias de esforços cortantes [kN] Martha, 2010, p. 310
*O esforço cortante devido à carga móvel na extremidade livre do balanço corresponde à carga de 20kN
posicionada sobre esta seção.
Os valores reunidos na tabela anterior podem ser observados na imagem a seguir, indicando as linhas de
esforço.
Linhas de esforço das envoltórias de esforços cortantes [kNm]
Agora, faremos os mesmos cálculos, porém calculando os momentos fletores.
Determinação dos momentos fletores mínimos e máximos da carga móvel.
A seguir, veremos como serão feitos os cálculos:
LIMC
LIMD
LIME
LIMF
E assim determinado o quadro de envoltórias, ou seja, valores máximos e mínimos de momentos fletores,
como fizemos anteriormente, podemos plotar o gráfico de momento fletor, que se encontra logo abaixo da
tabela.
Seção Carga Permanente 
Carga Móvel Envoltórias 
mínimo máximo mínimo máximo 
A 0 0 0 0 0 
B -90 -105 0 -195 -90 
C +180 -90 +195 +90 +375 
D +270 -75 +255 +195 +525 
E +180 -90 +195 +90 +375 
F -90 -105 0 -195 -90 
G 0 0 0 0 0 
Tabela: Envoltórias de momento fletor [kNm] Martha, 2010, p. 312
A representação se encontra na imagem a seguir:
Envoltórias de momento fletor [kNm].
Com esses dados, já é possível o dimensionamento da estrutura, considerando as solicitações máximas que
atuam sobre ela, tanto com relação às cargas permanentes quanto com relação às cargas móveis.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Como aplicar LIs em projetos de pontes?
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Determinando as envoltórias das LIs
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Verificando o aprendizado
Questão 1
As linhas de influência são de suma importância para projetar vigas isostáticas. Sobre essas linhas, analise as
asserções abaixo:
I - Os projetos de vigas isostáticas necessitam da determinação dos valores extremos dos efeitos elásticos na
estrutura.
PORQUE
II - É necessário fazer a previsão dos deslocamentos, das reações e dos esforços solicitantes que atuam na
barra da estrutura.
Sobre tais asserções, assinale a opção que apresenta a correta razão entre elas:
A
As asserções I e II estão corretas, e a asserção II é uma correta explicação para a asserção I.
B
As asserções I e II estão corretas, e a asserção II é uma incorreta explicação para a asserção I.
C
A asserção I está correta e a asserção II está incorreta.
D
A asserção I está incorreta e a asserção II está correta.
E
As asserções I e II estão incorretas.
A alternativa A está correta.
Para se projetar uma viga isostática as linhas de influência devem ser determinadas, para que sejam
previstos deslocamentos indesejados, reações nos pontos de apoio e também esforços cortantes, bem
como seus módulos. A determinação dessa linha, deixa o projeto mais seguro e confiável.
Questão 2
As envoltórias dos esforços, que podem ser encontradas na análise das linhas de influência, determinadas
para o dimensionamento das vigas, resumidamente, podem ser definidas como:
A
Esforços máximos atuantes.
B
Esforços mínimos atuantes.
C
Valores mínimos e máximos de esforços.
D
Média dos esforços que atuam na viga.
E
Combinação dos esforços cortantes com os momentos fletores.
A alternativa C está correta.
As envoltórias dos esforços cortantes e momentos fletores determinam os valores máximos e mínimos para
uso no dimensionamento de uma viga.
5. Conclusão
Considerações finais
Difundimos os conceitos básicos das linhas de influência, para em seguida explorarmos o traçado das linhas
de influência. No decorrer do estudo, foram vistos exemplos e comparações por diversos métodos chegando
ao mesmo resultado para o melhor entendimento sobre o assunto. O traçado das linhas de influência é o
objetivo principal, porém toda parte conceitual deve ser entendida.
Apresentamos uma aplicabilidade expondo um exemplo prático para o cálculo das envoltórias para
dimensionamento de uma viga de uma ponte. Nesse exemplo, calculamos os esforços, as reações e os valores
máximos e mínimos dos esforços e das linhas fletoras para então podermos afirmar como ficaria a execução
do projeto.
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Ouça agora um breve resumo dos pontos críticos abordados no conteúdo e explanação de onde as
linhas de influência são de fato utilizadas.
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Leia o artigo Comparação entre os veículos de carga atuais e o trem-tipo recomendado pela NBR 7188, de
Anderson Gobbi Drun e Rafael Alves de Souza, apresentado no X Congresso Brasileiro de Pontes e Estruturas.
Referências
HIBBELER, R. C. Análise das Estruturas. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
MARTHA, L. F. Conceitos e Métodos Básicos de Análise de Estruturas. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
SORIANO, H. L; LIMA, S. Análise de estruturas: método das forças e método dos deslocamentos. 2. ed. atual.
Rio de Janeiro: Ciência Moderna,2006.
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. Porto Alegre: Globo, 1994.
	Linhas de influência em vigas isostáticas
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Cargas móveis, trem-tipo e objetivo das linhas de influência
	Vamos começar!
	Conceitos relacionados a cargas móveis e trem-tipo
	Conteúdo interativo
	Estruturas submetidas a cargas móveis
	Carregamentos
	Cargas permanentes e acidentais
	Cargas permanentes
	Cargas acidentais
	Cargas acidentais propriamente ditas
	Cargas móveis
	Trem-tipo
	Objetivo das linhas de influência
	Exemplo
	Diferença entre linha de estado e linha de influência
	Reações de apoio
	Diagrama de esforço cortante (DQ)
	Diagrama de momento fletor (DMF)
	Vem que eu te explico!
	Como as cargas móveis atuam na estrutura?
	Conteúdo interativo
	Objetivo das linhas de influência
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Métodos para obtenção das linhas de influência
	Vamos começar!
	Como determinar as linhas de influência em uma viga?
	Conteúdo interativo
	Obtendo as linhas de influência
	Linhas de influência para vigas biapoiadas
	Reações de apoio: LIVA
	Reações de apoio: LIVB
	Momento fletor: LIMS
	Esforço cortante: LIQS
	Linhas de influência para viga engastada e livre
	Reações de apoio: LIVA
	Reações de apoio: LIMA
	Momento fletor: LIMS
	Esforço cortante: LIQS
	Linhas de influência para vigas biapoiadas com balanço
	Reações de apoio: LIVA
	Reações de apoio: LIVA
	Momento fletor: LIMS
	Esforço cortante: LIQS
	Mão na massa
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 2
	3. Traçado das linhas de influência
	Vamos começar!
	Como representar as linhas de influência?
	Conteúdo interativo
	Representação das linhas de influência
	Demonstração
	Traçado da LIQS1
	Traçado da LIMS1
	Mão na massa
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	4. Uso das linhas de influência
	Vamos começar!
	As linhas de influência aplicadas a projetos de Engenharia
	Conteúdo interativo
	Aplicação do conceito de linha de influência
	Aplicação de LIs
	Saiba mais
	Demonstração de aplicação
	Cálculo de
	Cálculo de
	Cálculo de
	Cálculo de
	Cálculo de
	Cálculo de
	LIMC
	LIMD
	LIME
	LIMF
	Vem que eu te explico!
	Como aplicar LIs em projetos de pontes?
	Conteúdo interativo
	Determinando as envoltórias das LIs
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referências