Resistência dos Materiais

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Disciplina
Resistência dos Materiais
Unidade 1
Equilíbrio das Estruturas
Aula 1
Equilíbrio de estruturas
Introdução
Olá, estudante! Boas-vindas à disciplina de Resistência dos Materiais, cujo objetivo é apresentar-lhe os conteúdos
fundamentais de mecânica dos sólidos, para que você compreenda de que maneira as forças podem atuar em estruturas e
como elas reagem ao carregamento aplicado, veri�cando sua estabilidade estática.
Para começarmos, na aula de hoje, estudaremos os fatores que indicam a estabilidade estática de uma estrutura e quais
condições de equilíbrio devem ser avaliadas para veri�car o equilíbrio estático. Ainda, entenderemos a classi�cação das
estruturas (hipostática, isostática e hiperestática) para veri�car o grau de hiperasticidade que possuem.
Esses conceitos são fundamentais em qualquer projeto estrutural, independentemente da área de atuação para garantir a
estabilidade de uma estrutura quando submetida a esforços, atentando-se às questões de segurança.
Preparados para esse desa�o? Então, retome o equilíbrio e vamos aos conceitos!
Bons estudos!
Equilíbrio das estruturas
Disciplina
Resistência dos Materiais
Por de�nição, uma estrutura indica como algo está construído ou organizado, seja ele um corpo concreto, seja abstrato. Ou
seja, podemos dizer que uma estrutura indica como algo está construído ou organizado.
Compreender a de�nição de estrutura é importante pois ela é o objeto de estudo em Resistência dos Materiais. Quando
forças, também chamadas decarregamentos, são aplicadas em uma estrutura, torna-se necessário entender o
comportamento estrutural apresentado e em quais situações ocorre o equilíbrio estrutural.
Em física, uma estrutura pode ser classi�cada como ponto material ou corpo rígido. Essa separação se deve principalmente
ao tamanho, à forma e ao local onde as forças aplicadas são atuantes.
O equilíbrio estrutural será obtido quando a Primeira Lei de Newton for satisfeita. Essa lei é conhecida como lei do equilíbrio,
uma vez que garante que o corpo permanecerá em equilíbrio enquanto nenhuma força externa for exercida sobre ele. Assim,
para que esse equilíbrio aconteça, é necessário que a somatória de todas as forças atuantes na estrutura (força resultante)
seja igual a zero (Equação 1). 
                (1)
 
Para os corpos em repouso, com , o equilíbrio é chamado de equilíbrio estático. Já para corpos que estão em
movimento com velocidade constante ( ), o equilíbrio será dinâmico. Em ambos os casos, o sistema não apresenta
aceleração ( ). Diante disso, nosso objetivo de estudo é compreender a estabilidade de corpos que estão em repouso,
ou seja, analisar o equilíbrio estático.
Uma estrutura do tipo ponto material é aquela cujo tamanho e cuja forma não são levados em consideração durante uma
análise, já que as forças aplicadas são sempre atuantes em seu centro de massa. Estruturas que apresentam esse
comportamento podem ser denominadas partículas ou estruturas que se comportam como partículas (dependendo da
análise do problema proposto). Em todos os casos, é necessário que essa estrutura seja alocada na origem de um sistema
cartesiano para veri�car sua estabilidade através das condições de equilíbrio para o ponto material.
Como exemplo, podemos considerar que um ponto especí�co em um corpo qualquer (Figura 1a) descreve um ponto material,
já uma bola (Figura 1b) é uma estrutura que se comporta como ponto material. Para estudar a estabilidade estática, o centro
de massa de ambos deve ser alocado em um sistema cartesiano. Aqui, para facilitar a visualização, utilizaremos o plano
cartesiano (x,y).
∑F→ = FRes = 0
→
v = 0m/s
→
a = 0m/s2
→
v = cte
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Resistência dos Materiais
Figura 1 | Exemplo de estrutura do tipo ponto material (a) ou que se comporta como ponto material (b). Fonte: elaborada pela autora.
Já uma estrutura do tipo corpo rígido (também conhecida como corpo extenso) é de�nida como aquela cujo tamanho e cuja
forma não podem ser desprezados em uma análise. Isso ocorre pelo fato de que as forças atuantes nesse tipo de estrutura
podem ser aplicadas em qualquer ponto, inclusive no centro de massa, podendo provocar movimento de translação (para as
forças aplicadas no centro de massa) ou de rotação (para as forças aplicadas em qualquer outro ponto). Dessa forma, para
avaliar o equilíbrio estático de um corpo rígido, é necessário identi�car um eixo de rotação (ponto de apoio), que será o
referencial para aplicação das condições de equilíbrio.
Como exemplo, podemos considerar o movimento de uma gangorra com duas massas aplicadas, uma em cada extremidade
(Figura 2). O eixo de rotação que devemos considerar, nesse caso, é o ponto em que a gangorra está elevada do chão por um
apoio (ponto PA), e as forças atuantes, nas extremidades, correspondem ao peso de cada pessoa (P1 e P2).
Figura 2 | Exemplo de atuações de forças em um corpo rígido. Fonte: adaptada de Pixabay .
Independentemente do tipo de estrutura (ponto material ou corpo rígido), no desenvolvimento de projetos, a estabilidade
estrutural deve ser avaliada para compreender-se em quais condições de carregamento a estrutura apresenta equilíbrio
estático e atende às exigências de segurança.
Nesse sentido, compreender o tipo de estrutura é fundamental para aplicar as condições corretas de equilíbrio, visto que
cada tipo de estrutura pode apresentar movimentos diferentes quando carregamentos são aplicados. No próximo bloco,
veremos as condições de equilíbrio estático para ponto material e corpo rígido.
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Condições de equilíbrio
Uma estrutura do tipo ponto material é aquela cuja forma e cujo tamanho não são levados em consideração nas análises de
equilíbrio estático, visto que as forças atuantes são sempre localizadas no centro de massa.
Assim, para veri�car a estabilidade estática de um ponto material, devemos aplicar a Primeira Lei de Newton (Equação 2).
   (2)
Considerando o plano cartesiano, será necessário fazer o estudo da estabilidade em cada eixo. Dessa forma, as condições
de equilíbrio para o ponto material serão (Equação 3) e (Equação 4).
     (3)
     (4)
Caso o projeto necessite de análise estática espacial, ou seja, tridimensional, o equilíbrio no eixo z também deve ser
considerado (Equação 5).
     (5)
Nesse caso, é importante ressaltar que a estrutura estará em equilíbrio estático se, e somente se, satis�zer todas as
condições de equilíbrio. Por exemplo, podemos veri�car, na Figura 3, a estabilidade estática de um ponto material, no plano
cartesiano, sobre o qual são atuantes três carregamentos: ,  e .
∑
→
F = FRe s = 0
∑Fx = 0
∑Fy = 0
∑Fz = 0
→
F1
→
F2
→
F3
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Figura 3 | Carregamento em um ponto material. Fonte: elaborada pela autora.
Para realizar o estudo da estabilidade estática, devemos aplicar as condições de equilíbrio dadas por (3) e (4). Assim,
devemos garantir que todas as forças atuantes sobre o ponto material estão localizadas sobre o eixo x e/ou sobre o y. Caso
não estejam, devemos realizar a decomposição vetorial. No exemplo proposto, as forças  e   devem ser decompostas.
 
Para  teremos, no eixo x, a contribuição  e, no eixo y, a contribuição  . Já para  ,
teremos, no eixo x, a contribuição  e, no eixo y, a contribuição . Com essas informações,
podemos aplicar as condições de equilíbrio em cada eixo:
 No eixo x, o equilíbrio ocorrerá quando (Equação 6) .
No eixo y, o equilíbrio ocorrerá quando (Equação 7).
→
F1
→
F2
→
F1
F1x
= F1 cos θ1 F1y
= F1senθ1
→
F2
F2x = F2 cos θ2 F2y = F2senθ2
                 6
∑Fx = 0
F2x
− F1x
= 0
F2x
= F1x
F2 cos θ2 = F1 cos θ1
F2 = F1 cos θ1
cos θ2
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠
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      (7)
Analisando os resultados, temos que o equilíbrio estático só será possível se satis�zer as duas condições de equilíbrio
encontradas nas Equações 6 e 7.
Já as estruturas do tipo corpo rígido são de�nidas como aquelas cujas formas e cujos tamanhos são fundamentais nas
análises de equilíbrio estático, vistocondições de equilíbrio do corpo rígido ,
considerando o eixo x (horizontal), o eixo y (vertical) e o torque atuante.
Como resultado, teremos o conjunto de condições em que a estrutura apresentará equilíbrio estático. Se a estrutura for tipo
viga, o estudo �naliza aqui. Caso seja do tipo treliça, deve ser aplicado o método escolhido para encontrar o valor de força
atuante em cada barra que constitui a estrutura treliçada.
Videoaula: Revisão da unidade
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Estudante, recapitule, no vídeo de revisão da unidade, os assuntos vistos ao longo das aulas de 1 a 4. Nele serão abordadas
as de�nições e as aplicações práticas da teoria estudada. Não deixe de conferir!
Estudo de Caso
∑FH = 0 ; ∑FV = 0; ∑ τ = 0
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Resistência dos Materiais
Olá, estudante! Neste estudo de caso, imagine que você faça parte de uma grande empresa de engenharia de sua cidade que
desenvolve projetos de construções estruturais das mais diversas geometrias e aplicações. A empresa é renomada e
altamente recomendada pela qualidade dos pro�ssionais que compõem cada equipe atuante, seja na parte de engenharia,
seja na de arquitetura.
Neste momento, um novo projeto está em desenvolvimento. Ele consiste na construção de uma ponte pênsil, que liga uma
margem a outra de um rio que corta a cidade. Em reunião inicial para compreender as características almejadas, o prefeito
expressou interesse por um projeto arquitetônico, pois deseja que a ponte pênsil se torne um ponto turístico na cidade.
A equipe de arquitetura, então, desenvolveu o esboço de como será o design da ponte e entregou ao seu coordenador. Ele,
por sua vez, aprovou o projeto arquitetônico e solicitou a você que veri�casse a estabilidade da estrutura proposta. Para isso,
forneceu o esboço da estrutura com os apoios e esforços externos atuantes em escala reduzida. Na Figura 1, é apresentado
o esboço estrutural do projeto.
Figura 1 | Esboço do projeto arquitetônico. Fonte: elaborada pela autora.
Para o desenvolvimento dessa atividade, será necessário estudar o equilíbrio estático da estrutura proposta e identi�car em
que situação a estrutura estará em equilíbrio. Como podemos resolver esse problema?
______
Re�ita
No estudo de caso desta aula, estamos veri�cando a estabilidade estrutural do projeto arquitetônico de uma ponte pênsil, em
escala reduzida. Analisando o esboço estrutural proposto (Figura 1), notamos que há dois apoios estruturais (um �xo e um
móvel) e três esforços externos atuantes (um concentrado, um uniforme e outro variado).
O que mudaria se a estrutura estivesse sendo suportada por dois apoios móveis? Ela continuaria sendo uma estrutura
isostática? O que deveria ser feito para garantir a estabilidade estrutural?
Videoaula: Resolução do Estudo de Caso
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Para a resolução do problema proposto, devemos analisar o esboço estrutural apresentado, construir o diagrama do corpo
livre (DCL) e realizar o cálculo de reação a �m de identi�car as reações que os apoios oferecem para manter a estrutura em
equilíbrio.
Inicialmente, vemos que se trata de uma estrutura biapoiada, isostática, suportada por um apoio A (�xo), localizado no início
da estrutura, e um apoio B (móvel), localizado no ponto 8 m. Como o apoio �xo apresenta duas reações (uma na vertical e
outra na horizontal) e o apoio B apenas uma reação (na vertical), podemos aplicar as reações apresentadas no esboço
(Figura 2) e começar a construção do DCL.
Figura 2 | Atuação dos apoios na estrutura apresentada. Fonte: elaborada pela autora.
Com as reações dos apoios identi�cadas, o próximo passo consiste em avaliar os esforços externos atuantes. Em um
primeiro momento, observamos três esforços: um concentrado, um uniforme e um variável. Então, será necessário
desenvolver os cálculos para transformar os esforços uniformes e variáveis em concentrados e aplicá-los conforme a teoria
indica.
Dessa forma, o cálculo para obter o esforço resultante da atuação de carga uniforme de  (carregamento de geometria
retangular) é dado pela Equação 1.
Por de�nição, o carregamento concentrado resultante de um carregamento uniforme deve ser aplicado no centro da
distribuição. Nesse caso, o carregamento resultante de  será aplicado a 3 m do apoio A (início da estrutura).
Já o cálculo para obter o esforço resultante da atuação de carga variável de (carregamento de geometria triangular)
é dado pela Equação 2.
O carregamento concentrado resultante de um carregamento variável deve ser aplicado a um terço do lado maior da
distribuição. Nesse caso, o carregamento resultante de  será aplicado a 7 m do apoio A (início da estrutura). Com os
carregamentos concentrados resultantes, podemos �nalizar o DCL, expresso pela Figura 3.
90N/m
F = (90N/m)(2m) = 180N
180N
100N/m
F = ((100N/m)(3m))/2 = 150N(2)
150N
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Figura 3 | DCL da estrutura proposta. Fonte: elaborada pela autora.
Por �m, com o DCL construído, podemos aplicar as condições de equilíbrio para identi�car as reações que os apoios
oferecem. Para a análise das forças na horizontal (eixo x), o cálculo é expresso por:
Para a análise das forças na vertical (eixo y), o cálculo é expresso por:
A última condição de equilíbrio considera os torques atuantes e, para isso, precisamos escolher um ponto da estrutura como
eixo de rotação. Como a escolha de um ponto sobre um dos apoios facilita o cálculo, vamos escolher o ponto A; no entanto,
lembre-se de que qualquer ponto poderia ser escolhido, já que estamos partindo de um estrutura em equilíbrio.
Lembre-se também de que, por convenção, a rotação no sentido horário provoca torque negativo, e a rotação no sentido anti-
horário provoca um torque positivo. Assim, no caso proposto, como apenas as forças na vertical provocam rotação, o cálculo
para essa condição de equilíbrio é expresso pela Equação 5.
Como , teremos  expresso por:
Assim, para que a estrutura proposta esteja em equilíbrio, o conjunto de reações que os apoios oferecem deve ser expresso
por:
Resumo Visual
}
∑FH = 0
HA = 0
∑FV = 0
VA + VB − 80N − 180N − 150N = 0
VA + VB = 410N
⎫⎪⎬⎪⎭∑ τ = 0
(VA)(0m) + (VB)(8m) − 80N(1m) − 180N(3m) − 150N(7m) = 0
VB = 1670Nm
8m = 208,8N
⎫⎪⎬⎪⎭VA + VB = 410N VA
}
VA + 208,8N = 410N
VA = 201,2N
HA = 0
VA = 201,2N
VB = 208,8N
⎫⎪⎬⎪⎭
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Resistência dos Materiais
Passos para o cálculo de reaçãoFonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 163).
Referências
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BEER, F. P. Mecânica dos materiais. Porto Alegre: Grupo A, 2021. E-book. ISBN 9786558040095. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/. Acesso em: 25 jul. 2023.
BEER, F. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2019. E-book. ISBN 9788580556186.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/. Acesso em: 25 jul. 2023.
BEER, F. P. et al. Estática e Mecânica dos Materiais. Porto Alegre: Grupo A, 2013. E-book. ISBN 9788580551655. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551655/. Acesso em: 25 jul. 2023.
BEER, F. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. Porto Alegre: Grupo A, 2012. E-book. ISBN 9788580556209.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556209/. Acesso em: 25 jul. 2023.
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Blucher, 2013. E-book. ISBN 9788521207504. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207504/. Acesso em: 25 jul. 2023.
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 20. ed. rev.São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788536528564. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788536528564/. Acesso em: 25 jul.
2023.
PINHEIRO, Antônio Carlos da Fonseca B.; CRIVELARO, Marcos. Fundamentos de Resistência dos Materiais. Grupo GEN, 2016.
E-book. ISBN 9788521632627. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632627/. Acesso
em: 03 ago. 2023
PINHEIRO, A. C. da F. B.; CRIVELARO, M. Resistência dos Materiais. São Paulo: Grupo GEN, 2021. E-book. ISBN
9788521637783. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637783/. Acesso em: 3 ago.
2023.
,
Unidade 2
Conceitos de tensão e deformação
Aula 1
Carregamentos e tensões
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551655/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556209/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207504/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788536528564/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632627/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637783/
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Olá, estudante! Nesta aula você estudará sobre o conceito de tensão e de�nirá os diferentes tipos de tensões que podem
existir em um corpo, como a tensão axial ou normal e a tensão de cisalhamento, por exemplo. Em seguida, você aprenderá os
princípios básicos e a relação existente entre força e tensão quando aplicadas em estruturas simples.
Posteriormente, a partir de uma estrutura em equilíbrio estático, você desenvolverá estratégias de solução de problemas de
modo a identi�car e calcular as diferentes tensões que podem ocorrem em um corpo. Logo, ao �nal desta aula, aplicando os
conceitos estudados, você será capaz de resolver problemas que envolvam a determinação de tensões que atuam em um
componente estrutural.
Você aceita este desa�o? Boa aula e bons estudos! 
O que é tensão?
Após a aplicação dos conceitos de equilíbrio estático, que foram utilizados para calcular as reações e as forças resultantes
internas nas barras de uma estrutura, percebe-se que esses resultados, isoladamente, são insu�cientes para determinar
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como tais forças estão distribuídas nas peças. Com isso, neste momento, torna-se necessário avançar um pouco mais no
estudo e entender o que é tensão, quais são os tipos existentes e como elas podem in�uenciar no comportamento de uma
estrutura.
Dominar o conceito de tensões, em conjunto com o conceito de deformações, é muito importante para a resistência dos
materiais e para sua atuação como futuro pro�ssional de engenharia. Um completo entendimento do comportamento
mecânico de uma estrutura é essencial para desenvolvimento de projetos seguros para qualquer tipo de estrutura, como
galpões, prédios, carros e aviões.
Dessa forma, quando você analisa o comportamento de uma barra ou de um elemento estrutural, para saber se ele romperá
ou não sob o efeito de uma carga, além do valor da força interna aplicada, você também precisa conhecer a área da seção
transversal e o material com o qual a peça foi construída. Nesse contexto, você deve entender que o valor da força interna
corresponde à resultante das forças distribuídas por toda a área da seção transversal da peça.
Logo, a tensão média em um elemento estrutural pode ser de�nida, de forma geral, como a força por unidade de área, que
pode ser calculada utilizando a Equação 1, na qual σ é o valor da tensão média na seção transversal analisada, A é a área da
seção transversal e P é o valor da carga aplicada. Portanto, a tensão pode ser entendida como a intensidade de aplicação de
uma força interna em um ponto de um corpo.
Ressalta-se que essa equação é válida somente se a tensão estiver uniformemente distribuída sobre a seção transversal da
barra analisada. No Sistema Internacional (SI) de unidade, a força P é expressa em Newtons [N], a área A em metros
quadrados [m²] e a tensão s em [N/m²] ou Pascal [Pa]. Os principais múltiplos utilizados para essa unidade são o quilopascal
(kPa=10³ Pa), o megapascal (MPa=106Pa) e o gigapascal (GPa=109 Pa).
Para que esse conceito de tensão seja válido, algumas condições devem ser atendidas:
Os materiais utilizados são contínuos, ou seja, não possuem vazios, e a matéria é distribuída uniformemente.
Os materiais são coesos, com sua estrutura interna interligada de tal forma que não exista nenhum tipo de trinca ou
�ssuras.
A seguir, você estudará mais especi�camente sobre tensões axiais ou normais e tensões de cisalhamento, de forma a
compreender como cada uma delas atua na estrutura.
Tensão axial e tensão de cisalhamento
Para entender o que é tensão axial, você deve analisar a barra da Figura 1a. Admitindo-se que as tensões atuantes sobre a
seção transversal mn, conforme Figura 1b, estão uniformemente distribuídas sobre essa área, tem-se que a tensão axial
média é calculada conforme a Equação 1, que representa o valor médio da tensão, desde que a força P atue no centro de
aplicação de carga da peça.
σ = P
A
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Figura 1 | Tensão axial em uma barra. (a) Diagrama de corpo livre
(a) Tensão média aplicada em uma seção transversal da barra. Fonte: Gere e Goodno (2018, p. 25).
Observando-se a Figura 1, percebe-se que a tensão calculada atua perpendicularmente à superfície de corte transversal,
sendo, então, de�nida como tensão axial ou normal média, que pode ser de dois tipos:
Tração: ocorre quando a barra é esticada pela ação da força P, ou seja, a barra aumenta de tamanho.
Compressão: ocorre quando a barra sofre um encurtamento pela ação da força P, isto é, a barra diminui de tamanho.
Sobre a convenção de sinais adotada para os cálculos, a tensão é positiva quando a barra é tracionada e negativa quando a
barra é comprimida, conforme é mostrado na Figura 2, letras (a) e (b), respectivamente.
Figura 2 | Tensão de tração e de compressão. (a) Tensão de tração
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(b) Tensão de compressão. Fonte: adaptada de Pinheiro e Crivelaro (2021).
Para a validade desse cálculo, são adotadas duas hipóteses simpli�cadoras conforme a Figura 3 (a), (b) e (c):
A deformação da barra é uniforme quando submetida a um carregamento, não sendo consideradas as regiões
próximas às extremidades para o cálculo de tensões.
O material é considerado homogêneo e isotrópico (as propriedades físicas e mecânicas são iguais em todo volume e
em todas as direções).
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Figura 3 | Hipóteses simpli�cadoras. (a) Seção transversal analisada
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(b) Região de deformação uniforme.
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(c) Tensão axial ou normal média. Fonte: Hibbeler (2018, p. 19).
Com essas simpli�cações, o cálculo de tensões apresenta uma boa precisão, desde que esteja, no mínimo, tão longe das
extremidades ou dos pontos de concentração de tensões da barra, conforme a Figura 3b.
Um ponto de atenção é que uma barra pode ser submetida a diferentes cargas axiais externas ou sofrer uma mudança na
área da seção transversal ao longo de seu comprimento. Nessa situação, a tensão normal no interior da barra pode ser
diferente de uma seção para outra, sendo necessário determinar qual é a tensão axial máxima média que atua na peça, que é
determinada por meio do diagrama de corpo livre da peça.
Outro tipo de tensão é a de cisalhamento média, causada pela força cortante que atua paralelamente à superfície analisada.
Essa tensão é calculada conforme a Equação 2, sendo  a tensão de cisalhamento média, V a força cortante e A a área da
seção transversal, com as unidades iguais às apresentadas para o cálculo da tensão axial.
    (2)
Essa tensão comumente ocorre em parafusos e pinos utilizados para conectar elementos, que podem ser cisalhamento
simples ou duplo. O primeiro caso ocorre quando existeum único plano no qual a tensão de cisalhamento transfere a carga,
e a segunda situação acontece quando existem dois planos de transferência de carga. Na Figura 4, nas letras (a) e (b), são
mostradas essas situações.
τ = V
A
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Figura 4 | Cisalhamento simples e duplo. (a) Cisalhamento simples
(b) Cisalhamento duplo. Fonte: Beer (2021, p. 9-10).
Na Figura 4a, a força cortante da seção é igual à F, e a tensão de cisalhamento média é calculada por meio da Equação 2. Na
Figura 4b, para calcular a tensão de cisalhamento média, deve-se desenhar o diagrama de corpo livre do parafuso e
determinar o valor da força cortante, que será igual à F/2, para posteriormente aplicarmos a Equação 2 para o cálculo da
tensão de cisalhamento média.
Finalizando, nos elementos de conexões, além da tensão de cisalhamento, também podem ocorrer tensões localizadas ao
longo das superfícies de contato dos elementos conectados, que são conhecidas como tensões de esmagamento.
Após esse estudo, chegou a hora de praticar!
Aplicações
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Antes de iniciarmos a resolução dos problemas propostos, você, caro estudante, precisa compreender quais estratégias
serão adotadas:
1. Identi�car o que está sendo pedido para a resolução do problema, quais são os dados fornecidos e quais conceitos
serão utilizados.
2. Desenhar os croquis, quando necessário, pois eles o ajudarão quanto à compreensão do problema. Essa é uma
ferramenta muito útil para a modelagem da solução de qualquer tipo de problema de engenharia.
3. Aplicar os conceitos e veri�car se a resposta encontrada está coerente.
4. Identi�car as unidades das grandezas envolvidas na solução do problema.
Para facilitar seu entendimento das soluções, convencionou-se o eixo x positivo para a direita e o eixo y positivo para cima, e
todos os cálculos relacionados com o equilíbrio das estruturas foram desenvolvidos com base nas propriedades de operação
vetorial, por envolver cálculos com força.
Com o plano de�nido, imagine que você precisa calcular qual a tensão axial média desenvolvida nos pontos A, B e C da
estrutura de barras indicada na Figura 5. Como você resolveria esse problema? Observe que temos os dados das forças
axiais aplicadas e os diâmetros das barras.
Figura 5 | Forças aplicadas nas barras. Fonte: adaptada de Hibbeler (2018).
O primeiro passo para resolver o problema é desenhar o diagrama de corpo livre de cada uma das barras e calcular a força
axial resultante. Assim, você pode calcular a tensão axial média nos pontos solicitados. Os croquis para essa solução estão
na Figura 6, nas letras (a), (b) e (c).
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Figura 6 | Diagrama de corpo livre de cada uma das barras. (a) Barra 1 – Ponto A
(b) Barra 2 – Ponto B
(c) Barra 3 – Ponto C. Fonte: elaborada pela autora.
Calculando a resultante de forças para cada um dos pontos, tem-se:
FA = 300 N  (Tração)
FB = 900 − 300 = 600N  ou FB = 800 − 200 = 600N  (Compressão)
Fc = 200N  (Tração)
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Com isso, consegue-se calcular a tensão axial média para cada um dos pontos solicitados e resolver o problema. Dica
importante: tome cuidado com as unidades das grandezas físicas na resolução do problema. Essa informação é muito
importante e não pode faltar na sua solução.
O próximo problema a ser analisado será sobre tensão de cisalhamento e, para a solução dele, você também utilizará as
estratégias explicadas no início deste bloco. Diante disso, analise a seguinte situação: você tem duas correntes conectadas
por meio de um pino e um bracelete. O fabricante do pino informou-lhe que a tensão máxima suportada por ele é e que
a força aplicada nas correntes é igual à 20 kN, conforme a Figura 7. Com esses dados, você precisa saber qual é o menor
diâmetro possível para esse pino.
Figura 7 | Forças que agem no pino. Fonte: adaptada de Philpot (2013, p. 8).
Para a solução desse problema, você inicialmente desenhará o diagrama de corpo livre do pino, de modo a identi�car as
forças atuantes nele, conforme a Figura 8. A partir disso, calculará o valor da força desconhecida, chamada de F’.
σA = FA
AA
= 300
π(5.10−3)²
4
= 15,3. 106[ N
m ] = 15,3MPa (Tração)
σB = FB
AB
= −600
π(10.10−3)²
4
= −7,6. 106[ N
m
] =   − 7,6MPa (Compressão)
σC = FC
AC
= 200
π(5.10−3)²
4
= 10,2. 106[ N
m
] = 10,2MPa (Tração)
τmax
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 8 | Diagrama de corpo livre do pino. Fonte: elaborada pela autora.
Calculando o valor de F’, por equilíbrio de forças, tem-se:
Com o valor da tensão máxima suportada pelo pino, consegue-se calcular a área mínima e, em seguida, determinar qual o
menor do diâmetro possível para o pino.
Com isso, percebe-se que o diâmetro deve ser de, no mínimo, 12 mm. Novamente, cuidado com as unidades e as suas
respectivas transformações, a �m de que, ao �nal do problema, elas sejam determinadas de forma correta.
Agora que você aplicou os conhecimentos estudados ao longo desta aula, em duas diferentes situações, você deve ter
percebido a importância das estratégias adotadas para a solução e como elas facilitam o entendimento e a construção da
solução.
Após essa caminhada, podemos partir para a próxima etapa da aula, que é o vídeo resumo. Você está preparado?
Videoaula: Carregamentos e tensões
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo.
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∑F = 0 → 20 − 2.F ' = 0 ∴ F ' = 10kN  (considerando →  positivo) 
τ = F '
A → A = F '
τ ⇒ A = 10.10³[N ]
90.106[ N
m² ]
= 1,11. 10−4m²
A = πd²
4 → d = √ 4.A
π
dmin ≥ √ 4.(1,11.10−4)
π → dmin ≥ 11,89mm
dmin = 12mm
Disciplina
Resistência dos Materiais
Olá, estudante! Após a conclusão desta aula, você terá a oportunidade assistir ao vídeo resumo, que o ajudará a �xar os
conceitos desenvolvidos até este momento. Ele contribuirá para o fortalecimento dos principais pontos discutidos ao longo
deste texto, como a de�nição de tensão e a diferença entre os tipos de tensões. Lembre-se de que este é um dos principais
conceitos da resistência dos materiais, conhecimento muito importante para o dimensionamento de peças.
Bons estudos!
Saiba mais
Para aprofundar os conhecimentos desenvolvidos ao longo desta aula, você pode escolher uma das duas bibliogra�as
sugeridas:
1. BEER, F. P. Mecânica dos materiais. 8. ed. Porto Alegre: Grupo A, 2021.
Neste livro, a sugestão é a leitura do capítulo 1.
2. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018.
Neste livro a sugestão de leitura também é o capítulo 1.
Em cada um desses livros, além do aprofundamento na teoria já discutida, há vários exercícios resolvidos sobre o assunto.
Aproveite essa oportunidade! Ambos os livros indicados estão disponíveis na biblioteca virtual da instituição de ensino.
Referências
Disciplina
Resistência dos Materiais
BEER, F. P. Mecânica dos materiais. 8. ed. Porto Alegre: Grupo A, 2021. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/. Acesso em: 23 mar. 2023.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Tradução da 8. ed. norte-americana. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2018. E-book. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124145/. Acesso em: 23 mar. 2023.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0. Acesso em: 23 mar. 2023.
PHILPOT, T. A. Mecânica dos Materiais – Um Sistema Integrado de Ensino. 2. ed. Barueri: Grupo GEN, 2013. E-book.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2319-9/. Acesso em: 25 mar. 2023.
PINHEIRO, A. C. da F. B.; CRIVELARO, M. Resistência dos Materiais. Barueri: Grupo GEN, 2021. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637783/.Acesso em: 23 mar. 2023.
Aula 2
Tensões
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124145/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2319-9/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637783/
Disciplina
Resistência dos Materiais
Olá, estudante! Avançando no estudo de tensões, nesta aula você aprenderá quais são as considerações adotadas para a
concepção de um projeto seguro, seja ele de um edifício, seja de uma máquina, por exemplo. Para a engenharia, é
fundamental garantir que a estrutura projetada atenda aos requisitos de segurança e economia.
Com isso, você aprenderá três novos conceitos: tensão última, tensão admissível e coe�ciente de segurança e, ao �nal desta
aula, terá condições de entender o que são esses elementos, saber qual a relação existente entre eles e perceber como são
importantes para garantir a segurança estrutural.
Você aceita mais esse desa�o? Boa aula e bons estudos!
Segurança das estruturas
Disciplina
Resistência dos Materiais
Nesta aula, você avançará um pouco mais no seu conhecimento sobre tensões. Após estudar o que é tensão e quais os tipos
existentes, depois de aprender a calcular e a analisar o comportamento de uma estrutura sob a ação de uma carga
especí�ca, chegou a hora de compreender o que é uma estrutura segura.
Ao projetar uma estrutura, por mais simples que ela seja, o pro�ssional de engenharia deve se preocupar em garantir que ela
desempenhe suas funções com e�ciência e economia, e, para assegurar a e�ciência, devem ser atendidos os requisitos de
segurança, ou seja, resistência, estabilidade e durabilidade.
Logo, um dos critérios utilizados para se considerar uma estrutura segura é a sua capacidade de suportar todas as ações que
a solicitam sem sofrer nenhum tipo de ruptura. Essas ações são as causas externas que produzem esforços internos e
deformações, que podem ser permanentes, como o peso próprio do elemento estrutural, e variáveis, como vento, veículos e
efeitos da variação de temperatura.
Na prática, toda essa preocupação surge porque pode acontecer de a carga considerada no projeto ser diferente da carga
que realmente está atuando na estrutura. Isso decorre de diversos fatores, como:
Variação das propriedades mecânicas dos materiais, como o concreto e a madeira, por exemplo, que ocorre por causa
da heterogeneidade (falta de uniformidade) do processo de fabricação desses materiais.
Erros de fabricação e montagem das estruturas.
Condições ambientais adversas, que causam danos à estrutura. Nesse caso, cita-se o efeito da corrosão nas estruturas
metálicas e de concreto armado.
Analisando todo esse contexto, há três conceitos fundamentais diretamente associados à segurança das estruturas:
Tensão última: é a máxima tensão à qual um elemento estrutural pode estar sendo submetido. É igualmente conhecida
como tensão limite ou tensão máxima.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Tensão admissível: é a tensão ideal adotada nas condições de projeto existentes. Ela também é conhecida como
tensão de utilização, tensão de projeto ou tensão de trabalho.
Coe�ciente de segurança: é um fator empregado para assegurar que a tensão aplicada sobre um componente não seja
maior que a tensão que pode ser suportada por esse elemento.
Em suma, para garantir a segurança de uma estrutura, o projetista deve determinar uma tensão admissível que restrinja a
carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento pode suportar integralmente. O coe�ciente de segurança
utilizado tem o objetivo de proteger o engenheiro projetista contra as incertezas que envolvem tanto o comportamento do
material quanto a atuação das cargas sobre os elementos estruturais.
Após a compreensão dos elementos que impactam a segurança das estruturas, você aprofundará o seu conhecimento sobre
tensão última, tensão admissível e coe�ciente de segurança e entenderá como esses elementos se relacionam e qual a
importância deles para o atendimento aos requisitos de segurança de uma estrutura.
Tensão última, tensão admissível e coe�ciente de segurança
Estudante, agora você aprofundará seu conhecimento em tensão última, tensão admissível e coe�ciente de segurança O
primeiro conceito a ser explicado é o de tensão última, que é entendida com a maior tensão que um material pode resistir.
Para a determinação desse valor, são realizados ensaios em corpos de prova do material, com o propósito de conhecer o seu
comportamento em condições especí�cas e controladas. Com esses ensaios, que podem ser de tração, compressão ou
cisalhamento, por exemplo, consegue-se determinar o valor da força máxima, a partir do qual o corpo de prova rompe ou
começa a suportar menos carga. Conhecendo-se a área da seção transversal e o esforço aplicado, consegue-se calcular a
tensão última ou máxima, que pode ser uma tensão axial ou de cisalhamento, conforme as Equações 1 e 2, respectivamente.
         (1)
          (2)
Nessas equações,  representa a tensão axial máxima,  é a tensão de cisalhamento máxima, PL a força normal máxima,
VL a força cortante máxima e A a área da seção transversal.
Considerando os requisitos de segurança estrutural, conforme abordado anteriormente, a carga utilizada em projeto deve ser
menor do que a maior carga permitida, e ela pode ser de�nida como a tensão admissível do material. Na prática, isso
signi�ca que somente uma parcela da capacidade de carga total do elemento estrutural é utilizada em projeto. Logo, a
parcela da carga não utilizada é mantida como uma reserva para garantir o desempenho da estrutura.
σL = PL
A
τL = VL
A
σL τL
Disciplina
Resistência dos Materiais
Com isso, é possível de�nir o coe�ciente de segurança como a razão entre a tensão última e a tensão admissível,
determinado por meio da Equação 3, cujo resultado é um número adimensional.
                      (3)
Com essa equação, percebe-se que, para determinar a tensão admissível, é necessário conhecer o coe�ciente de segurança,
que é uma constante utilizada para reduzir o valor da tensão última. Dessa forma, observa-se como os três elementos
abordados nesta aula estão profundamente relacionados.
Analisando-se a Equação 3, observa-se que o coe�ciente de segurança deve ser sempre maior que 1,0, pois é empregado
para evitar falhas e garantir o atendimento aos requisitos de segurança das estruturas. Sua existência decorre da
necessidade de englobar os fatores externos que possam ocorrer na estrutura e que não foram considerados na elaboração
do projeto, como os erros de análise da carga atuantes, erros de execução da estrutura, variação das propriedades
mecânicas dos materiais, fatores ambientais adversos, efeitos do ambiente, como a corrosão, entre tantos outros. Portanto,
o coe�ciente de segurança considera a complexidade e as incertezas envolvidas na concepção de um projeto.
Os coe�cientes de segurança utilizados na elaboração de projetos são indicados nas normas especí�cas de
dimensionamento das estruturas, e seus valores, geralmente, variam entre 1,3 e 3,0. Um ponto de atenção é que um
coe�ciente de segurança muito baixo aumenta a probabilidade de falha de uma estrutura enquanto um coe�ciente de
segurança muito alto pode inviabilizar a execução de um projeto, seja por causa do maior peso da estrutura, seja por
questões econômicas.
Assim, com o �m dessa discussão sobre tensão última, tensão admissível e coe�ciente de segurança, o próximo passo será
entender como esses conceitos são aplicados nos problemas de engenharia. Então, chegou a hora de praticar. Você está
preparado?
Aplicações
Agora, você terá a oportunidade de ver como os três conceitos discutidos são aplicados em situações práticas. Antes, porém,
revise as estratégias para a resolução de problemas:
1. Identi�car o que está sendo pedido, os dados fornecidos e quais conceitos serão utilizados.
2. Desenhar croquis.
3. Aplicar os conceitos e veri�car se as respostasestão coerentes.
4. Identi�car as unidades das grandezas.
F .S. = tensão última
tensão admissível
Disciplina
Resistência dos Materiais
Com a estratégia revisitada, imagine que você deve determinar o valor da força admissível P, localizada no ponto A da treliça,
indicada na Figura 1. Nessa estrutura, todas as barras têm área da seção transversal igual a 500 mm², e a tensão admissível
do material à tração e à compressão é  e , respectivamente.
Figura 1 | Treliça. Fonte: adaptada de Craig Jr. (2003).
Para resolver este problema, o primeiro passo será determinar o equilíbrio da treliça, calculando as forças em cada uma das
barras em função da força desconhecida P, com as reações de apoio indicadas na Figura 2:
Figura 2 | Cálculo das reações de apoio da treliça. Fonte: adaptada de Craig Jr. (2003).
Aplicando o método dos nós, é possível calcular as forças atuantes em cada uma das barras. O equilíbrio de cada um dos
nós está representado na Figura 3, em (a), (b), (c) e (d). Na Figura 4, é mostrada a relação trigonométrica da treliça.
(σT )ADM = 300MPa (σc)ADM = 200MPa
∑Fy = 0 → Vd − P = 0 ⇒ Vd = P   ( considerando   positivo)↑⏐∑Mc = 0 → 2.P − 0,75.Hd = 0 ⇒ Hd = 2,67.P  (momento anti-horário positivo)
∑MD = 0 → 2.P − 0,75.Hc = 0 ⇒ Hc = 2,67.P  (momento anti-horário positivo)
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 3 | Equilíbrio das forças nos nós da treliça. (a) Equilíbrio do nó D
(b) Equilíbrio no nó C
Disciplina
Resistência dos Materiais
(c) Equilíbrio do nó B
(d) Equilíbrio do nó A. Fonte: elaborada pela autora.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 4 | Relações trigonométricas da treliça. Fonte: adaptada de Craig Jr. (2003).
Relações trigonométricas:
Nó D:
Nó C:
Nó B:
Nó A (conferência):
Com as forças calculadas, você determinará o valor de P que deverá ser a menor força atuante na estrutura, sendo a força P
obtida pelo cálculo da tensão em cada uma das barras:
senθ = 3
5 = 0,6  e  cosθ = 4
5 = 0,8
∑Fy = 0 → Vd − FBDsenθ = 0 (considerando positivo)↑⏐P − 0,6.FBD = 0 ⇒ FBD = 1,67.P  (Compressão)
∑Fx = 0 → −Hd+FBD. cosθ + FAD = 0 (considerando → positivo)
−2,67.P + 1,67.Pcosθ + FAD = 0
−2,67.P + 1,67.0,8.P + FAD = 0 ⇒ FAD = 1,33.P  (Compressão)
∑Fx = 0 → Hc − FBC = 0 (considerando → positivo)
2,67.P − FBC = 0 ⇒ FBC = 2,67.P  (Tração)
∑Fx = 0 → FBC − FBDcosθ − FBAcosθ = 0 (considerando positivo)↑⏐2,67.P − 1,67.Pcosθ − FBAcosθ = 0
2,67.P − 1,67.0,8.P − FBA. 0,8 = 0 ⇒ FBA = 1,67.P  (Tração)
∑Fy = 0 → −P + FBAsenθ = 0 (considerando → positivo)
FBA = P
0,6 ⇒ FBA = 1,67.P  (A estrutura está em equilíbrio)
σBD = FBD
A ⇒ FBD = σBD.A
1,67.P = 200.500 ⇒ P = 59.880N = 59,9kN
Disciplina
Resistência dos Materiais
Logo, conclui-se que .
O próximo problema a ser analisado é o seguinte: imagine que um elemento rígido BCD é preso por parafusos a um cilindro
hidráulico em C, a uma barra controladora no ponto B, e a uma base de sustentação �xa em D, e que todos os parafusos
estão sujeitos a um cisalhamento duplo, com tensão última de cisalhamento
, conforme Figura 5.
Figura 5 | Estrutura. Fonte: Beer (2021, p. 33).
Com isso, responda a seguinte pergunta: qual a maior força a ser aplicada pelo cilindro hidráulico em C, supondo que o
coe�ciente de segurança é igual 3,0? Os parafusos possuem diâmetros iguais a: dB=dD=9,5mm e dC=12,7mm; o diâmetro da
barra controladora é dA=11mm e sua tensão última à tração é
.
O primeiro passo para resolver esse problema é desenhar o diagrama de forças, identi�cando todas as forças atuantes na
estrutura, conforme a Figura 6. O segundo passo é determinar o valor de FC em função de FB e FD. Para esse cálculo, utilizam-
se as equações de equilíbrio.
σAD = FAD
A
⇒ FAD = σADA
1,33.P = 200.500 ⇒ P = 75.187N = 75,2kN
σBC = FBC
A
⇒ FBC = σBCA
2,67.P = 300.500 ⇒ P = 56.129N = 56,1kN
σBA = FBA
A
⇒ FBA = σBAA
1,67.P = 300.500 ⇒ P = 89.820N = 89,8kN
P ≤ 56,1kNP ≤ 56,1kNP ≤ 56,1kN
τADM = 275MPaτADM = 275MPaτADM = 275MPa
(σT )ADM = 414MPa(σT )ADM = 414MPa(σT )ADM = 414MPa
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 6 | Diagrama de forças. Fonte: Beer (2021, p. 33).
A tensão e a força admissível no controle, no ponto B, são iguais a, respectivamente:
Analisando-se a Figura 5, lembre-se de que a FB é a força normal atuante na barra controladora em A. Com esse dado, agora
é possível calcular o maior valor admissível para C, considerando a análise do equilíbrio da estrutura.
Após a veri�cação do equilíbrio, deve-se calcular as forças atuantes em cada um dos parafusos, para, então, você ter
condições de a�rmar qual será o valor da força que pode ser aplicado no cilindro hidráulico no ponto C. Lembre-se de que,
por ser cisalhamento duplo, o valor das forças será dividido por 2. Como os parafusos localizados em B e D são iguais, tem-
se que FB=FD.
Parafuso B:
Parafuso D:
∑MD = 0 → 350FB − 200FC = 0 ⇒ FC = 1,75FB (momento anti-horário positivo) ∑MB = 0 → −350FD
∑MD = 0 → 350FB − 200FC = 0 ⇒ FC = 1,75FB (momento anti-horário positivo) ∑MB = 0 → −350FD
∑MD = 0 → 350FB − 200FC = 0 ⇒ FC = 1,75FB (momento anti-horário positivo)
FS = σL
σADM
→ σADM = σL
FS
= 414
3 ⇒ σADM = 138MPa
σADM = FB
AA
→ FB = σADMAA
AA =
πd2
A
4 = π(11)2
4 = 95,03mm
FB = σADMAA = 138 × 95,03 ⇒ FB = 13,11kN
FC = 1,75.FB → F
C
= 1,75.13,11 ⇒ FC = 22,94kN
F .S. = τL
τADM
→ τADM = τL
FS
= 275
3 ⇒ τADM = 91,66MPa
τADM = FB
2AB
→ FB = 2. τADMAB
AB =
πd2
B
4 → AB = π(9,5)2
4 ⇒ AB = 70,88mm
FB = 2. τADMAB → FB = 2 × 91,66 × 70,88 ⇒ FB = 13,00kN
Fc = 1,75.FB → Fc = 1,75 × 13,00 ⇒ Fc = 22,74kN
Disciplina
Resistência dos Materiais
Parafuso C:
Em conclusão, tem-se que , que é o menor valor de força encontrado em todas as veri�cações.
Após a resolução desses dois exemplos, a próxima etapa da aula será assistir ao vídeo resumo. Bons estudos!
Videoaula: Tensões
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo.
Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Olá, estudante! Para fechar esta aula sobre tensões, você terá a oportunidade de assistir ao vídeo resumo que sintetizará os
conceitos que foram abordados neste texto. O vídeo contribuirá para o fortalecimento dos principais pontos discutidos ao
longo da aula, que foram a segurança das estruturas e a relação existente entre tensão última, tensão admissível e
coe�ciente de segurança.
Lembre-se de que garantir a segurança das estruturas e evitar o colapso delas são pontos muito importantes para qualquer
projeto de engenharia.
Bons estudos!
Saiba mais
Para aprofundar os conhecimentos desenvolvidos ao longo desta aula, você pode escolher uma das duas bibliogra�as
sugeridas:
FD = FB = 13,00kN
Fc = 2,33.FD → Fc = 2,33 × 13,00 ⇒ Fc = 30,29kN
F .S. = τL
τADM
→ τADM = τL
FS
= 275
3 ⇒ τADM = 91,66MPa
τADM = FC
2AC
→ FC = 2. τADMAC
AC =
πd2
C
4 → AC = π(12,7)2
4 ⇒ AB = 126,67mm
Fc = 2. τADMAc → Fc = 2 × 91,66 × 126,67 ⇒ FC = 23,22kN
Fc ≤ 22,74kN
Disciplina
Resistência dos Materiais
1. BEER, F. P. Mecânica dos materiais. 8. ed. Porto Alegre: Grupo A, 2021.
Neste livro, a sugestão é a leitura do capítulo 1.
      2. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018.
Neste livro a sugestão de leitura também é o capítulo 1.
Em cada um desses livros, além do aprofundamento na teoria discutida neste texto, há vários exercícios resolvidos sobre o
assunto. Aproveite essa oportunidade! Ambos os livros indicados estão disponíveis na biblioteca virtual da instituição de
ensino.
Referências
BEER, F. P. Mecânica dos materiais. 8. ed. Porto Alegre: Grupo A, 2021. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/. Acesso em: 5 abr. 2023.
CRAIG JR., R. R. Mecânica dos Materiais. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2003. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2674-9/. Acesso em: 5 abr. 2023.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Tradução da 8. ed.norte-americana. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2018. E-book. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124145/. Acesso em: 5 abr. 2023.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0. Acesso em: 4 abr. 2023.
PHILPOT, T. A. Mecânica dos Materiais – Um Sistema Integrado de Ensino. 2. ed. Barueri: Grupo GEN, 2013. E-book.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2319-9/. Acesso em: 4 abr. 2023.
PINHEIRO, A. C. da F. B.; CRIVELARO, M. Resistência dos Materiais. Barueri: Grupo GEN, 2021. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637783/. Acesso em: 4 abr. 2023.
Aula 3
Deformações
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2674-9/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124145/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2319-9/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637783/
Disciplina
Resistência dos Materiais
Olá, estudante! Até este momento, você estudou o que é tensão e qual sua relevância para os projetos de engenharia. Agora,
chegou a hora de você aprender sobre outra grandeza muito importante para o dimensionamento de estruturas: a
deformação.
Nesta aula, portanto, será apresentado a você o conceito de deformação e como seu efeito pode alterar o formato do corpo.
Com isso, ao �nal deste encontro, você terá condições de compreender como ocorre a deformação originada por um
carregamento e qual a importância de se conhecer essa grandeza para o desenvolvimento dos projetos de uma estrutura.
Você está preparado para essa jornada? Boa aula e bons estudos!
Deformação
Disciplina
Resistência dos Materiais
Em continuidade aos estudos sobre a resistência dos materiais, é importante que, além de saber calcular a tensão atuante
em um corpo de prova sólido, você tenha condições de determinar a deformação à qual esse elemento está sujeito, sob a
ação de esforços atuantes na estrutura. Portanto, nesta aula, você estudará deformação com o objetivo de entender a sua
importância para o desenvolvimento de projetos e a relação que essa grandeza estabelece com a tensão. Diante disso, o
primeiro conceito que você precisa aprender nesta aula é o de deformação.
Pense na seguinte situação: quando uma força é aplicada em um corpo qualquer, o que ocorre? Tanto o tamanho quanto a
forma dele são alterados. Essas mudanças que ocorrem são conhecidas como deformações. Nesse contexto, é possível
perceber que, em algumas situações, essas deformações são visíveis e, em outras, não são vistas sem o auxílio de aparelhos
especí�cos de medição. Observa-se também que essa diferença ocorre em função do material do corpo analisado.
Logo, a deformação pode ser de�nida como as alterações que ocorrem tanto no comprimento de segmentos de reta de um
corpo quanto na variação do ângulo entre eles. O aumento ou a diminuição do tamanho desses segmentos de reta por
unidade de comprimento é a deformação axial, ou normal, que é causada pela tensão axial. A alteração do ângulo, ou
distorção angular, que representa a mudança da forma de um corpo, é ocasionada pela tensão de cisalhamento. Nesta aula,
o objetivo será entender como podem ser as deformações causadas por esses dois tipos de carregamento.
Na prática, para se determinar a deformação de um corpo, são realizados ensaios especí�cos para obterem-se esses valores
e, uma vez determinados, é possível relacioná-los com a força aplicada ou com as tensões que atuam internamente no corpo
de prova ensaiado. Essa relação acontece por meio da construção do grá�co de tensão versus deformação, representadas
no eixo x (abcissa) e no eixo y (ordenada), respectivamente. Esse grá�co é único e o auxiliará na determinação das
propriedades mecânicas do material.
Com essa explicação em mente, você pode deduzir que a deformação é uma grandeza importante tanto para a determinação
das tensões aplicadas em um corpo como para se evitar a inviabilidade da execução de um projeto, devido aos elevados
valores de deformação. Por exemplo, em estruturas de concreto ou de aço, existem limites de deformação impostos pelas
normas especí�cas de projeto, a �m de garantir o conforto do usuário. Outro caso seriam as deformações excessivas em
máquinas, que podem impedir o funcionamento adequado do equipamento.
Com essas informações, a seguir, você estudará mais detalhadamente a deformação causada tanto pela carga axial quanto
pela de cisalhamento.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Você está animado para continuar o seu estudo?
Deformação axial e deformação angular
Após entender o que é deformação, você poderá aprofundar seu conhecimento sobre o tema. Para isso, analise a seguinte
situação: considere uma barra qualquer de comprimento inicial L0, conforme indicado na Figura 1.
Figura 1 | Deformação axial. Fonte: Hibbeler (2018, p. 58).
Ao aplicar uma força de tração P na extremidade dessa barra, percebe-se que ela aumenta de tamanho um valor igual a .
Consequentemente, o comprimento �nal dessa barra (L) pode ser calculado por meio da Equação 1:
              (1)
Com isso, é possível de�nir a deformação axial ou normal especí�ca e uma barra como o alongamento ou o encurtamento
de um segmento de reta por unidade de comprimento, calculada por meio da Equação 2:
              (2)
Como você deve ter percebido, a deformação axial altera as dimensões da barra, portanto, modi�ca o seu volume.
Analisando a unidade, a deformação axial especí�ca  é um valor adimensional, pois tanto a mudança de comprimento ( )
δ
L = L0 + δ
ε  
ε = δ
L0
→ ε = L−L0
L0
ε δ
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quanto o comprimento inicial da barra (L0) apresentam as mesmas unidades. Porém, esse valor costuma ser expresso em
função da unidade de comprimento como (m/m) ou (mm/mm), por exemplo. Sobre o sinal de cálculo, quando , tem-se
que a barra está submetida ao esforço normal de tração e que a barra aumenta de comprimento. Contrariamente, quando
, a barra está sob a ação de uma força de compressão, logo diminui de comprimento. Observe que os sinais adotados
seguem a mesma convenção de quando você estudou tensões.
Além da deformação normal, tem-se aquela causada pela tensão de cisalhamento. Nesse caso, ocorre uma mudança de
direção devido à mudança do ângulo entre dois segmentos de reta que são originalmente perpendiculares entre si, conforme
indicado na Figura 2. Você deve ter observado que a deformação por cisalhamento altera a forma do corpo.
Figura 2 | Deformação por cisalhamento. Fonte: Hibbeler (2018, p. 59).
Essa deformação é indicada pelo ângulo  e pode ser calculada por meio da Equação 3.
                  (3)
Sobre a análise dos sinais, caso  seja menor que , a deformação é positiva. Caso contrário, quando  for maior que ,
essa deformação é negativa. A unidade de cálculo da deformação por cisalhamento é radiano (rad).
Para que a teoria apresentada seja válida, nos projetos de engenharia, de modo geral, somente pequenas deformações são
permitidas. Portanto, alguns pontos devem ser discutidos:
1.    É considerada a hipótese de pequenas deformações normais, com , pois ela permite simpli�cações no
desenvolvimento dos cálculos e, consequentemente, aproximações nos resultados.
2.     Esse mesmo conceito é utilizado para o cálculo da deformação angular. Quando a variação do ângulo  é muito
pequena, adota-se que ,  e .
Sobre o estado de deformação geral de um ponto, este é representado por seis componentes de deformação, sendo três
normais ( ) e três de cisalhamento ( , que se baseiam na orientação original dos segmentos de
reta e da localização no corpo.
Para se obter os valores da deformação, devem ser realizados ensaios especí�cos para a medição deles; com isso, também
épossível obter a tensão atuante no corpo por meio das relações das propriedades do material. O grá�co obtido por meio
dessas relações é o de tensão versus deformação, que será discutido detalhadamente na próxima aula.
Com isso, após entender o que é deformação, os tipos existentes e como elas atuam nos corpos, chegou a hora de você
aplicar o que foi estudado nesta aula. Vamos praticar!
Bons estudos e bom trabalho!
Aplicações
ε > 0
εquais são suas principais características e, por �m,
como como os carregamentos repetidos impactam o comportamento da uma estrutura.
Você está preparado? Boa aula e bons estudos!
Diagrama tensão-deformação
Um dos aspectos mais importantes para o desenvolvimento de um projeto de estruturas relaciona-se com as deformações
geradas pela aplicação de carga em uma estrutura. Essa análise, conforme você estudou anteriormente, é importante para se
evitar que grandes deformações ocorram e, assim, impedir que a estrutura não atenda à �nalidade para a qual foi projetada.
Logo, para que isso aconteça, você deverá entender como o comportamento mecânico dos materiais utilizados no
desenvolvimento do projeto in�uencia na análise da estrutura.
As características dos materiais são determinadas por meio do diagrama de tensão-deformação, relação obtida por meio de
ensaios realizados em laboratório, que podem ser de tração ou de compressão. Em ambos os casos, são utilizados corpos
de prova padronizados, que são carregados até a ruptura, com uma velocidade de carga baixa e constante, por meio de uma
prensa com acionamento hidráulico e ligada a um computador. Durante a aplicação do carregamento, são medidos os
valores de força axial e deslocamento longitudinal em vários instantes de tempo. A Figura 1 mostra uma máquina utilizada
para o desenvolvimento do ensaio de tração, enquanto a Figura 2 mostra um corpo de prova sendo submetido ao ensaio de
tração.
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Figura 1 | Máquina universal para o ensaio de tração. Fonte: Gere e Goodno (2018, p. 50).
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Figura 2 | Corpo de prova ensaiado. Fonte: Gere e Goodno (2018, p. 51).
Para garantir que os resultados obtidos por meio desses ensaios não dependam das dimensões dos corpos de prova
ensaiados, uma tática simples é converter os resultados de força e deslocamento em tensões e deformações,
respectivamente. A tensão axial  pode ser calculada por meio da Equação 1, na qual P representa a força medida no ensaio
em determinado instante de tempo e A é a área inicial da seção transversal do corpo de prova. Essa tensão calculada é
conhecida como tensão nominal.
                               (1)
Já a deformação axial é calculada dividindo-se o alongamento ou o encurtamento  medido no ensaio, em determinado
instante de tempo, pelo comprimento inicial L0 do corpo de prova, conforme a Equação 2. Essa deformação é a deformação
nominal do material.
                              (2)
σ
σ = P
A
ε  ϑ
ε = δ
L
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Com essas duas informações então, é possível construir o diagrama tensão-deformação, que caracteriza o material testado
e que fornece informações importantes sobre as propriedades mecânicas e o comportamento do material. Na abcissa (eixo
x) desse diagrama, está localizada a deformação e, na ordenada (eixo y), é indicada a tensão. A Figura 3 mostra o formato de
um diagrama tensão-deformação típico (a) de um aço com baixo teor de carbono e (b) de uma liga de alumínio.
Figura 3 | Diagrama tensão-deformação. (a) Aço com baixo teor de carbono
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(b) Liga de alumínio. Fonte: adaptado de Beer (2021, p. 54).
Uma observação importante para a realização dos ensaios de carga para a determinação da curva tensão-deformação de um
material é que os resultados apresentados podem revelar alta variabilidade. Isso pode acontecer por diversos fatores, como
a mudança de velocidade de aplicação da carga e da temperatura, por exemplo. Porém isso não impede a utilização desse
grá�co para obter-se o comportamento característico do material.
Depois de entender como se obtém e se constrói a curva tensão-deformação de um material, você aprenderá a interpretar
esse diagrama e como obter as informações que serão utilizadas para o desenvolvimento dos projetos de estruturas.
Você está animado para esse novo desa�o?
Comportamento elástico, plástico e fadiga
Após conhecer a curva tensão-deformação, chegou a hora de interpretar o diagrama. Para isso, considere a Figura 4, que
representa um diagrama tensão-deformação típico do aço estrutural submetido à tração, onde se observam quatro diferentes
regiões, descritas no Quadro 1, conforme numeração.
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Figura 4 | Exemplo de diagrama tensão-deformação (fora de escala). Fonte: Ugural (2009, p. 79).
Quadro 1 | Descrição das regiões do diagrama tensão-deformação
 
Região Descrição
1. Região elástica
O comportamento elástico de um material ocorre quando a
tensão é proporcional à deformação, de modo que, nessa
região, o material apresenta um comportamento linear
elástico. O limite superior dessa relação é representado pelo
limite de proporcionalidade, indicado por . Essa região, no
grá�co, está representada entre os pontos OA.
2. Escoamento
Nessa região, um pequeno aumento da tensão gera um
grande aumento de deformação. Nesse caso, as tensões
não são mais proporcionais à deformação, e a partir desse
ponto é que se inicia o comportamento plástico dos
materiais. Nessa região, a deformação do corpo de prova é
permanente, e a tensão que provoca o escoamento é o
limite de escoamento ou ponto de escoamento, que, no
grá�co, está indicado por . A deformação é conhecida
como deformação plástica. Essa região está indicada no
trecho BC.
3. Endurecimento por deformação
Quando termina o escoamento do material, pode ser
aplicada uma carga adicional ao corpo de prova, que
resultará em uma curva crescente até o limite de resistência
, que é a tensão máxima aplicada no corpo de prova. O
aumento dessa curva é chamado de endurecimento por
deformação. Essa região, no diagrama, é indicada pelo
trecho CD.
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4. Estricção
Após atingir a tensão última, a área da seção transversal do
corpo de prova começa a diminuir em uma região central do
corpo de prova. Nesse caso, a curva do diagrama tensão-
deformação tende a se curvar para baixo até que ocorra a
ruptura do corpo de prova, na tensão de ruptura . Essa
região está indicada no trecho DE.
 
Fonte: elaborado pela autora.
Analisando o Quadro 1, pode-se perceber que existem dois comportamentos distintos para os materiais: o elástico e o
plástico. No primeiro caso, as tensões e as deformações são proporcionais. Com isso, é possível calcular o módulo de
elasticidade, que é representado pela inclinação da reta AO, relação válida até que se atinja a tensão de escoamento. No
regime elástico, ocorrem pequenas deformações não permanentes, ou seja, após cessar o carregamento, o corpo de prova
volta para as dimensões iniciais. No segundo caso, a tensão aplicada ao material é maior que a tensão de escoamento,
portanto as tensões e as deformações não são mais proporcionais. Um pequeno aumento da tensão gera uma grande
deformação e, a partir desse ponto, a deformação no corpo de prova é permanente.
Sobre o comportamento dos materiais, estes podem ser classi�cados em dúcteis ou frágeis, dependendo da forma do
diagrama tensão-deformação. Um material é considerado como dúctil quando apresenta elevada capacidade de deformação
antes da ruptura, sendo o aço estrutural um exemplo típico. O uso desses materiais é interessante, pois eles apresentam
grande deformação e absorvem grande quantidade de energia antes de falhar. A Figura 5 mostra um diagrama típico de
tensão-deformação de um material dúctil e a Figura 6 mostra a ruptura desse tipo de material.
Figura 5 | Diagrama tensão-deformação típico de um material dúctil. Fonte: Beer (2021, p. 54).
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Figura 6 | Modo de ruptura de um material dúctil. Fonte: Beer (2021, p. 54).
A ductilidade de um material é caracterizada pelo alongamento e pela redução da área da seção transversal onde ocorre a
ruptura, sendo possível de�nir o alongamento percentual e a redução percentual de área, calculados por meio das Equações
3 e 4, respectivamente.
                              (3)
                              (4)
Por outro lado, um materialé tido como frágil quando sua ruptura ocorre sem nenhuma mudança prévia notável na taxa de
alongamento. Diante disso, esses materiais apresentam pouco ou nenhum escoamento, além de haver diferença entre o
limite de resistência e a resistência à ruptura. Nesse caso, a deformação é muito menor do que a dos materiais dúcteis. O
vidro, a pedra e o concreto simples são exemplos de materiais que apresentam esse tipo de comportamento. A Figura 7
mostra o diagrama tensão-deformação típico para materiais frágeis, e a Figura 8 mostra como ocorre a ruptura nesta
situação.
Porcentagem de alongamento =   Lrup−L0
L0
(100%)
Porcentagem de redução de área :  
A0−Arup
A0
(100%)
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Figura 7 | Diagrama tensão-deformação típico de um material frágil. Fonte: Gere e Goodno (2018, p. 56).
Figura 8 | Modo de ruptura de um material frágil. Fonte: Beer (2021, p. 55).
Até este momento, a carga aplicada foi considerada como estática ou quase estática, com uma baixa velocidade de
aplicação do carregamento. Porém, os materiais também podem ser submetidos a reiterados ciclos de carga que, quando
repetidos milhares ou milhões de vezes, podem causar a ruptura do material com uma tensão menor do que a de resistência
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obtida estaticamente. Esse fenômeno é conhecido como fadiga, uma falha de natureza frágil mesmo para materiais
considerados como dúcteis. Sua análise é importante para estruturas que estão submetidas a ações cíclicas, como
máquinas e pás de turbina, por exemplo.
Após todas essas análises, você deve ter percebido como é importante conhecer o diagrama tensão-deformação e entender
como o material se comporta, já que essa curva é muito útil para determinar as principais propriedades mecânicas dos
materiais.
Agora chegou a hora de você aplicar o conhecimento adquirido.
Bons estudos!
Aplicações
Chegou o momento de você aplicar os conhecimentos que foram desenvolvidos nessa aula. Para �xar os pontos importantes
do diagrama tensão-deformação, o primeiro exercício será sobre a construção dessa curva por meio de dados obtidos em
ensaio. Nesse sentido, considere um corpo de prova que foi submetido ao ensaio de tração, com diâmetro inicial igual a 12,5
mm e comprimento de referência para o ensaio igual a 50 mm, e os dados de ensaio apresentados na Tabela 1. De posse
desses dados, trace o diagrama tensão-deformação e determine as tensões de escoamento, máxima e de ruptura.
Tabela 1 | Resultados do ensaio de tração
Carga (kN) Alongamento (mm)
0,0 0,0
7,0 0,0125
21,0 0,0375
36,0 0,0625
50,0 0,125
53,0 0,2
54,0 0,5
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75,0 1,0
90,0 2,5
97,0 7,0
87,8 10,0
83,3 11,5
Fonte: Hibbeler (2018, p. 87).
 
Tabela 2 | Cálculo da tensão e da deformação
Carga (kN) Tensão (MPa) Alongamento (mm) Deformação (mm/mm)
(mm/mm)
0,0 0 0,0 0
0,00025
7,0 57,04 0,0125 0,00025
21,0 171,12 0,0375 0,00075
36,0 293,35 0,0625 0,00125
50,0 407,44 0,1250 0,00250
53,0 431,88 0,2000 0,00400
54,0 440,03 0,5000 0,01000
75,0 611,15 1,0000 0,02000
90,0 733,39 2,5000 0,05000
97,0 790,43 7,0000 0,14000
87,8 715,46 10,0000 0,20000
83,3 678,79 11,5000 0,23000
Fonte: elaborada pela autora.
Com essas informações, é possível construir o diagrama tensão-deformação, no qual, no eixo x, estão representadas as
deformações e, no eixo y, as tensões. A Figura 9 representa a curva construída por meio desses dados calculados.
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Figura 9 | Curva tensão deformação obtida. Fonte: elaborada pela autora.
Após construir o grá�co, você tem condições de determinar as tensões de escoamento, máxima e de ruptura. A tensão de
escoamento ( ) é igual à 407,44 MPa, pois representa o �m do trecho linear-elástico. A tensão máxima ( ) é a maior
tensão obtida durante a realização do ensaio, que foi 790,43 MPa, e a tensão de ruptura ( ) é igual a 678,89 MPa, que foi a
última tensão obtida com o ensaio e onde ocorre a diminuição do valor da tensão, na região plástica da curva obtida.
No próximo exemplo, você calculará o alongamento de um corpo de prova, portanto imagine a seguinte situação: um corpo
de prova de 50 mm de comprimento e 20 mm de diâmetro foi submetido ao ensaio de tração, e o diagrama de tensão-
deformação foi determinado, conforme indicado na Figura 10. Se P=150kN for aplicada e depois retirada, determine o
alongamento �nal desse corpo de prova.
σp σu
σr
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Figura 10 | Diagrama tensão-deformação. Fonte: Hibbeler (2018, p. 87).
Para resolver esse problema, o primeiro passo será calcular a tensão normal atuante nessa barra e identi�car qual o regime
em que seu material se encontra, se é no elástico ou no plástico:
Com esse valor de tensão, analisando o diagrama tensão-deformação, tem-se que o corpo de prova está no regime plástico,
por isso apresentará deformação permanente. Então, para determinar o alongamento permanente, você deverá calcular a
deformação total, para depois encontrar o alongamento do corpo de prova. Para tal, será utilizado o processo de interpolação
linear:
Como você pode observar, conhecer os pontos característicos do diagrama tensão-deformação e saber identi�car e
diferenciar o comportamento elástico e plástico de um material é muito importante para o desenvolvimento dos projetos de
estruturas. Logo, entender as partes dessa curva o ajudará a obter características mecânicas importantes do material, sendo
também útil na escolha do material que melhor se adequa às necessidades de projeto.
Com isso, �nalizamos esta aula. O próximo passo será assistir ao vídeo resumo para que você �xe os conhecimentos
obtidos. Você está preparado?
σ = P
A
→ σ = 150000
( π.20²
4 )
= 477,75MPa
0,03−0,00225
500−450 = ε−0,00225
477,5−450 = 0,0174903
ε = δ
L0
→ δ = ε.L0
δ = 0,00174903.50 → δ = 0,874515mm
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Videoaula: Comportamento dos materiais
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo.
Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Olá, estudante! Para �nalizar esta aula sobre o diagrama de tensão-deformação e �xar o conteúdo, você deverá assistir ao
vídeo resumo, que sintetizará os conceitos abordados ao longo do texto e fortalecerá os principais pontos que foram
discutidos nele.
Lembre-se de que este diagrama lhe indicará as propriedades mecânicas dos materiais que serão utilizados para o
desenvolvimento dos projetos das estruturas.
Bons estudos e até o próximo encontro.
Saiba mais
Para aprofundar os conhecimentos desenvolvidos ao longo desta aula, você pode ler o capítulo 3 da bibliogra�a sugerida:
1. HIBBELER, R. C. Resistência  Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0.
Acesso em: 25 abr. 2023.
Nesse livro, além do aprofundamento da teoria desenvolvida nesta aula, há vários exercícios sobre o assunto. Aproveite essa
oportunidade! O livro está disponível na biblioteca virtual para consulta.
Referências
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0
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Resistência dos Materiais
BEER, F. P. Mecânica dos materiais. 8. ed. Porto Alegre: Grupo A, 2021. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/. Acesso em: 25 abr. 2023.
CRAIG JR., R. R. Mecânica dos Materiais. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2003. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2674-9/. Acesso em: 5 abr. 2023.
Aula 5
Revisão da Unidade
Conceito de tensão e deformação
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2674-9/
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Olá, estudante! Parabéns por ter �nalizado esta unidade! Agora, chegou o momento de revisar os principais conceitos
estudados durante as últimas aulas.
Comecemos a revisão recordando o que é tensão: uma grandeza que mede a intensidadede aplicação de uma força. Para
calcular a tensão, você deve conhecer o valor da força e a área da seção transversal do elemento. Quanto à sua classi�cação,
essas tensões podem ser do tipo axial (normal) ou de cisalhamento, e a unidade de tensão, no sistema internacional, é MPa
ou N/m².
A tensão normal é aquela em que a força atua perpendicularmente à superfície de corte da seção transversal, podendo ser
tração (+) ou compressão (-); já a tensão de cisalhamento é aquela em que a força atua paralelamente à superfície analisada.
Durante as aulas, você estudou a relação da tensão com a segurança das estruturas, momento em que foram abordados três
conceitos intimamente interligados: o primeiro deles foi a tensão última, que é a maior tensão à qual um elemento estrutural
pode estar submetido, sem que entre em colapso. A tensão admissível é a tensão ideal aditada nas condições do projeto, e o
coe�ciente de segurança é um fator empregado para garantir que a tensão aplicada seja menor do que a que pode ser
suportada por um elemento.
Pelas de�nições apresentadas, o fator de segurança é um número maior que 1,0, pois é utilizado para garantir o atendimento
aos requisitos de segurança das estruturas e evitar que o elemento estrutural entre em colapso.
Após estudar a tensão e entender seus efeitos para o dimensionamento de uma estrutura, você estudou as deformações, que
são de�nidas como as mudanças que ocorrem no comprimento ou na forma de um corpo. A deformação axial ocorre pela
ação de uma tensão axial, gerando um aumento ou uma diminuição do tamanho do elemento. Nesse sentido, quando o
elemento está sendo tracionado, ele aumenta de tamanho; por outro lado, quando está sendo comprimido, diminui de
tamanho. Logo, a deformação axial gera uma alteração no volume do elemento.
Analisando a deformação devido ao cisalhamento, pode-se dizer que ela ocorre devido à mudança de direção ocasionada
pela mudança do ângulo entre dois segmentos de reta que eram, originalmente, perpendiculares entre si. Portanto, esse tipo
de deformação altera a forma do corpo.
Por �m, você estudou como a tensão e a deformação se relacionam, por meio do diagrama tensão-deformação. Entender as
fases desse diagrama é importante, pois elas descrevem o comportamento do material. Nesse grá�co, é possível identi�car
duas grandes regiões. A primeira indica o comportamento elástico do material, segundo o qual a deformação é proporcional
à tensão até o limite de escoamento do material. Após atingir esse valor, o material apresenta um comportamento plástico, a
partir do qual as deformações não são mais proporcionais às tensões.
Com a leitura desse texto, você pôde revisar os principais pontos abordados na Unidade 2. É importante perceber como os
conceitos de tensão e deformação estão interligados e como eles são relevantes para o desenvolvimento de projetos de
engenharia.
Videoaula: Revisão da Unidade
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Olá, estudante! Para consolidar esse momento de revisão do conteúdo, você deverá assistir ao vídeo resumo, que sintetizará
todos os conceitos que foram abordados ao longo desta unidade e contribuirá para o fortalecimento dos principais pontos
abordados ao longo das aulas.
Lembre-se de que entender os fundamentos de tensão e deformação, assim como interpretar corretamente o diagrama de
tensão-deformação, é muito importante para o desenvolvimento de um bom projeto estrutural, que atenda aos requisitos de
segurança e que tenha um custo adequado.
Bons estudos!
Estudo de caso
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Resistência dos Materiais
Neste momento, você está sendo convidado a analisar um problema que envolverá o conteúdo abordado na unidade. Com
isso, imagine a seguinte situação: você necessita projetar o sistema estrutural indicado na Figura 1 e quer garantir que ela
seja segura o su�ciente para não entrar em colapso. Além de garantir a capacidade de carga, você também sabe que a
estrutura deve atender aos limites de deformação para a qual foi dimensionada. Portanto, ela também não deve ter um
grande deslocamento.
Nesse cenário, você entende que, para atender a tais condições, o material de sua estrutura deve ter um comportamento
elástico; logo, você também deve analisar o diagrama tensão-deformação do material que foi utilizado na construção do
cabo de aço, pois tem medo de que ele venha a romper.
Figura 1 | Sistema estrutural a ser projetado. Fonte: Hibbeler (2018, p. 86).
Para garantir a sustentação dessa estrutura, você utilizou um cabo de aço com 10 mm de diâmetro. Ao alongá-lo, percebeu
que o comprimento dele aumentou 0,2 mm após a aplicação de uma força P. Porém, como você não sabe o valor dessa força
P, você deseja determiná-la.
Por não conhecer os limites de resistência desse material e o seu comportamento, você ensaiou, à tração, um cabo do
mesmo tipo de aço e obteve os seguintes resultados, que estão organizados na Tabela 1. O cabo de aço ensaiado teve
comprimento inicial de referência igual a 50 mm e diâmetro igual à 12,5 mm.
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Resistência dos Materiais
Carga (kN) Alongamento
0 0
11,1 0,0175
31,9 0,0600
37,8 0,1020
40,9 0,1650
43,6 0,2490
53,4 1,0160
62,3 3,0480
64,5 6,3500
62,3 8,8900
58,8 11,9380
 
 
Tabela 1 | Resultados do ensaio de tração. Fonte: Hibbeler (2010, p. 77).
Para esse material, o limite de escoamento obtido com o ensaio foi 250 MPa, e a deformação especí�ca foi 0,00125
mm/mm.
De posse dessas informações, você deseja responder às seguintes perguntas:
1. Qual deve ser o valor da força P para que se atinja o equilíbrio da estrutura?
2. Qual é a tensão à qual o cabo de aço está sendo submetido?
3. Como será o comportamento do material nessa situação?
4. Qual o coe�ciente de segurança aplicado? Neste caso, você está considerando que a tensão última é o limite de
escoamento do material?
Nessa mesma estrutura, como você também está preocupado com o pino de ligação no ponto B, deseja saber qual o
diâmetro mínimo do pino que poderá ser utilizado. Pelo detalhe da ligação, você sabe que o pino está sendo submetido a um
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Resistência dos Materiais
cisalhamento simples. Considerando que a tensão de ruptura do material utilizado na fabricação do pino é igual à 330 MPa e
que foi adotado 1,25 como coe�ciente de segurança, analise o seguinte ponto:
Qual deverá ser o diâmetro mínimo desse pino, para as condições do problema?
______
Re�ita
Analisando o estudo de caso, você deve perceber que a escolha do material in�uencia diretamente o comportamento da
estrutura, assim como as dimensões dos elementos estruturais.
Como você também sabe, um dos requisitos para o dimensionamento de uma estrutura é a garantia de seu equilíbrio e sua
estabilidade, para que ela não entre em colapso.
Diante disso, você deve analisar se o material escolhido para a construção do cabo de aço atende às condições que foram
especi�cadas. Observe que você tem os dados de deformação como a limitação de tensão tanto para o cabo de aço quanto
para o pino de ligação no ponto B da estrutura analisada.
Assim, após a resolução deste estudo de caso, pense um pouco sobre essas questões e re�ita: como as propriedades
mecânicas obtidas por meio do diagrama tensão-deformação podem afetar o comportamento da estrutura? O que pode
in�uenciar a escolha de um novo material para o cabo de aço?
Videoaula: Estudo de caso
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Para resolver este problema, você necessita calcular o valor da força P necessária para garantir o equilíbrio da estrutura.
Portanto, inicialmente, você deve determinar o comportamento do aço utilizado na fabricação do cabo. Para isso, será
necessário construir o diagrama tensão-deformação com base nos dados fornecidosque as forças atuantes podem ser aplicadas em qualquer região do corpo. Diante disso,
para veri�car a estabilidade estática de um corpo rígido, devemos aplicar a Primeira Lei de Newton considerando o
movimento de translação (Equação 8) e rotação (Equação 9). Ou seja:
 (8)
  (9)
Portanto, além de veri�car as forças atuantes, os torques ( ) também precisam ser avaliados. Assim, considerando o plano
cartesiano, as condições de equilíbrio para um corpo rígido são dadas por (Equação 10).
           (10)
 
Lembrando que torque ( ) é de�nido por uma força ( ) aplicada no material, com uma distância  em relação ao eixo de
rotação, fazendo com que o corpo gire. Matematicamente, torque é dado por , positivo para rotações anti-horárias e
negativo para rotações horárias.
Caso o projeto necessite de análise estática espacial, ou seja, tridimensional, o equilíbrio de forças no eixo z também deve
ser considerado, análogo ao ponto material (Equação 11).
              (11)
Nesse sentido, é importante ressaltar que a estrutura estará em equilíbrio estático se, e somente se, satis�zer todas as
condições de equilíbrio envolvendo as forças e os torques. Como exemplo, podemos aplicar esses conceitos ao veri�carmos
o equilíbrio estático no plano na tábua de uma gangorra (Figura 4), de massa desprezível, com um carregamento de caixas
em cada extremidade. Na situação proposta, a força  e a distância delas em relação ao eixo de rotação é  e  ,
respectivamente.
Figura 4 | Exemplo de atuações de forças em um corpo rígido. Fonte: adaptada de Pixabay.
∑Fy = 0
F1y
+ F2y
− F3 = 0
F3 = F1y + F2y
F3 = F1senθ1 + F2senθ2
∑
→
F = FRe s = 0
∑ τ = τRe s = 0
τ
∑Fx = 0
∑Fy = 0
∑ τ = 0
⎫⎪⎬⎪⎭τ F d
τ = Fd
∑Fz = 0
P1 > P2 d1 d2
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Resistência dos Materiais
Assim, aplicando as condições de equilíbrio para o corpo rígido, teremos:
        Em x, não há nenhuma força atuante. Assim, como  , a estrutura está em equilíbrio.
    Em y, temos os carregamentos ,   e  . Assim, por convenção, considerando as forças que apontam para cima
como positivas, temos (12):
        Para os torques, devemos considerar as forças perpendiculares ao eixo de rotação. Nesse caso, as forças verticais à
tabua da gangorra. Analisando o eixo de rotação situado no apoio, a força  causará um torque com sentido positivo,
 causará um torque com sentido negativo, e  não causará torque por estar sobre o eixo de rotação. Desse modo:
 
Por �m, a gangorra estará em equilíbrio se satis�zer as condições encontradas.
Aplicações e grau de hiperestaticidade
Considerando que uma estrutura esteja em equilíbrio estático, podemos aplicar as condições de equilíbrio para obter
informações de carregamentos atuantes.
Como exemplo, vamos considerar uma caixa A que possui um peso de 300N, está pendurada por duas cordas, B e C, e é
representada pela Figura 5. Podemos encontrar os valores de tração atuantes nas cordas B e C através da análise do
equilíbrio estático.
∑Fx = 0
P1 P2 PA
                     12
∑Fy = 0
−P1 − P2 + PA = 0
PA = P1 + P2
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠P1
P2 PA
              13
∑ τ = 0
(P1d1) − (P2d2) + (PA ⋅ 0m) = 0
P1d1 = P2d2
P1 = P2d2
d1
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠
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Resistência dos Materiais
Figura 5 | Corpo suspenso por duas cordas. Fonte: elaborada pela autora.
Para a resolução deste problema, precisamos, primeiramente, identi�car onde está ocorrendo o equilíbrio, pois, assim,
saberemos se se trata de um ponto material ou de um corpo rígido e poderemos aplicar as condições de equilíbrio
corretamente.
Como estamos buscando os valores das forças de tração atuantes nas cordas B e C, precisamos avaliar o conjunto de
cordas que suspendem a caixa. Assim, o equilíbrio que deve ser veri�cado está localizado no ponto de junção das cordas,
caracterizado por um ponto material. É justamente nesse ponto em que devemos colocar o plano cartesiano para análise das
condições de equilíbrio para o ponto material (Figura 6).
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Resistência dos Materiais
Figura 6 | Análise das forças atuantes no ponto material. Fonte: elaborada pela autora.
As cordas A e C estão sobre os eixos y e x, respectivamente. Contudo, a corda B não está. Nessenão está. Nesse caso, para a
corda B é necessário realizar a decomposição vetorial por associação de triângulos, expressa por (14).
Assim, aplicando as condições de equilíbrio para os eixos x e y e lembrando que a força em A é de 300N, teremos para o eixo
x (15).
Como não há valores para B e C, vamos analisar a condição de equilíbrio para o eixo y. Esse processo é expresso por (16).
 
Como a força de tração em  , podemos voltar à equação  e calcular a força de tração em C, como
podemos observar em (17).
}                (14)
Bx = B cos 30º
By = Bsen30º
                  15
∑Fx = 0
C − Bx = 0
C − B cos 30º= 0
C = B cos 30º
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠                   16
∑Fy = 0
By − A = 0
Bsen30º−300N = 0
B = 300N
sen30º = 600N
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠B = 600N C = B cos 30º
}                      (17)
C = (600N) cos 30º
C = 520N
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Resistência dos Materiais
Desse modo, partindo de um corpo em equilíbrio e aplicando os conceitos de equilíbrio estático, é possível extrair
informações sobre carregamentos aplicados tanto para ponto material quanto para corpo rígido.
E por falar em corpo rígido, eles podem ser classi�cados de acordo com os apoios que o sustentam. Nesse sentido, as
estruturas podem ser de três tipos:
Hipostáticas: quando a quantidade de apoios é insu�ciente para garantir o equilíbrio estático. Esse tipo de estrutura
normalmente não é estável (não possui equilíbrio estático), logo pode apresentar algum tipo de movimento, ou seja,
algum grau de liberdade. Contudo, uma estrutura dessa natureza pode se manter em equilíbrio estático desde que não
haja forças atuantes no sentido em que o movimento é permitido.
Isostáticas: quando a quantidade de apoios é o su�ciente para garantir o equilíbrio estático. Esse tipo de estrutura é
estável (possui equilíbrio estático), não apresentando movimento, ou seja, não apresentando grau de liberdade.
Hiperestáticas: quando há mais apoios que o necessário para garantir a estabilidade estática de uma estrutura. Elas
são estáveis, sem movimento (grau de liberdade).
Uma estrutura hiperestática pode se transformar em uma estrutura isostática, quando se eliminam os apoios em excesso.
Damos o nome de grau de hiperestaticidade ao número de apoios (ou ligações) que podem ser eliminadas, tornando a
estrutura isostática. Dessa forma, uma estrutura isostática é considerada com grau zero de hiperestaticidade, já que conta
com vínculos su�cientes para mantê-la em equilíbrio estático.
Videoaula: Equilíbrio de estruturas
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Olá, estudante. Preste bastante atenção ao vídeo resumo desta aula, pois ele abordará exercícios que o ajudarão a
compreender melhor os conceitos tratados ao longo do material teórico, principalmente quando houver uma estrutura do tipo
ponto material ou corpo rígido.
Bons estudos!
Saiba mais
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Resistência dos Materiais
Os simuladores são excelentes, não é mesmo? Nos ajudam a entender melhor os conceitos e visualizar as situações. Explore
este simulador, para compreender melhor os conceitos vistos nesta aula
Referências
DAVID, H.; RESNICK, R.; KRANE, K S. Física. 5. ed. Barueri: Grupo GEN, 2002. v. 1. E-book. ISBN 978-85-216-1945-1. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-1945-1/. Acesso em: 30 jun. 2023.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. São Paulo: Editora Blucher, 2013. E-book. ISBN 9788521207467. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207467/. Acesso em: 30 jun. 2023.
UNIVERSITY OF COLORADO. Balançando. Phet, Denver, c2023. Disponível em:
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/balancing-act. Acesso em: 17 set. 2023.
Aula 2
Treliças
Introduçãopela Tabela 1 e nas dimensões do
corpo de prova ensaiado. A Tabela 2 mostra os dados obtidos que foram utilizados para construir o diagrama tensão-
deformação.
 
Carga (kN) Tensão (MPa) Alongamento (mm) Deformação (mm/mm)
0 0,00 0,000 0,0000
11,1 90,45 0,018 0,0001
31,9 259,94 0,060 0,0002
37,8 308,02 0,102 0,0003
40,9 333,28 0,165 0,0006
43,6 355,28 0,249 0,0008
53,4 435,14 1,016 0,0034
62,3 507,67 3,048 0,0102
64,5 525,59 6,350 0,0212
62,3 507,67 8,890 0,0296
58,8 479,15 11,938 0,0398
 
Tabela 2 | Dados da curva tensão -deformação. Fonte: elaborada pela autora.
Para construir o diagrama tensão-deformação, lembre-se de que essas duas grandezas são calculadas por meio das
Equações 1 e 2, em que P é a carga obtida no ensaio, para cada instante de tempo, A é a área da seção transversal do corpo
de prova,  é o alongamento e L o comprimento inicial do corpo de prova.δ
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Resistência dos Materiais
          (1)            
           (2)
Com esses cálculos, é possível construir o diagrama tensão-deformação, que está representado na Figura 2.
Figura 2 | Diagrama tensão-deformação. Fonte: elaborada pela autora.
A partir disso, é possível analisar o comportamento do material. Agora, o próximo passo é calcular a deformação especí�ca
do cabo de aço:
Como a deformação obtida é menor do que a deformação especí�ca para o limite de escoamento, tem-se que o material
está no regime elástico; assim, é possível calcular a tensão atuante no cabo de aço. Dado que, no regime elástico, a
deformação é proporcional à tensão, tem-se:
Calculada a tensão, é possível conhecer a força atuante no cabo de aço. Por ser uma força de tração, tem-se:
E, para determinar o coe�ciente de segurança do cabo de aço, tem-se:
Conhecida a força atuante no cabo de aço, é possível determinar o valor da força P por meio do equilíbrio. Para isso, é
necessário desenhar o diagrama de forças da estrutura e calcular o momento no ponto A sendo igual a zero, conforme a
Figura 3.
σ = P
A
ε = δ
L
ε = δ
L
→ ε = 0,2
300 ∴ ε = 0,00067mm/mm
σy
εy
= σ
ε → 250
0,00125 = σ
0,000667 ∴ σ = 133,33MPade forma gradativa.
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Resistência dos Materiais
O módulo de elasticidade, dentro da Lei de Hooke, é uma relação do material que se torna constante, pois a tensão real é
diretamente proporcional à sua deformação respectiva real, conforme visto anteriormente. O módulo de elasticidade do aço à
temperatura ambiente vale numericamente entre 190 GPa e 215 GPa (gigapascal). Na Figura 4, tem-se três tipos de aços
(uma liga recozida, um aço de baixa liga e um aço carbono). Tensão = Módulo * Deformação.
Figura 4 | Diagramas tensão-deformação. Fonte: Beer (1995, p. 76).
Já o chamado coe�ciente de Poisson,  , é uma relação diretamente proporcional entre a deformação ao longo do eixo ( y
ou   z) sobre a deformação transversal, x , sendo representada na fórmula por sinal negativo, uma vez que a seção
transversal reduz de tamanho. “Normalmente o coe�ciente de Poisson está entre 0,25 e 0,333.” (Hibbeler, ano, p. 73).
A Equação 1 vem a seguir:
Quando se considera o módulo de cisalhamento, G, há um meio de relacionar os módulos E e G com o coe�ciente de
Poisson, a partir da Equação 2:
Assim, espera-se que o estudante consiga entender o comportamento do material a essas condições estabelecidas.
Princípio de Saint-Venant:
Em essência, o princípio de Saint-Venant a�rma que a tensão e a deformação produzidas em pontos de um corpo
su�cientemente distantes da região da aplicação da carga serão iguais à tensão e à deformação produzidas por
quaisquer carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam
aplicados ao corpo dentro da mesma região (Hibbeler, ano, p. 86).
Deformação elástica de um elemento submetido à carga axial
Em muitos casos, a barra terá uma área de seção transversal constante (A), e o material será homogêneo, de modo que E
(módulo de elasticidade) é constante. Além do mais, se uma força externa constante (P) for aplicada a cada extremidade
(Figura 5), então a força interna P também será constante em todo o comprimento da barra (L). O resultado é que a Equação
3 pode ser integrada e nos dará:
ν ε
ε ε
ν = − εz
εx
  = −
εy
εx
             (1)
E = 2.G. (1 +  ν)        (2)
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Resistência dos Materiais
           (3)
Onde δ é a deformação naquele trecho da barra.
Figura 5 | Barra de área constante sujeita a carregamento axial P constante. Fonte: Hibbeler (2010, p. 87).
       (4)
Para barras com diferentes áreas transversais, módulos de elasticidade diferentes, comprimentos diversos e cargas
desiguais, aplica-se a Equação 4.
Considerações sobre módulo de elasticidade, coe�ciente de Poisson e exercício sobre deformação
de barra sujeita a carregamento axial
Prezado estudante, à medida que você se depara com a terminologia da engenharia, vai tomando forma um conhecimento
mais técnico cujos parâmetros devem �car consolidados dentro da sua mente. Vale salientar que demoraram anos para que
se chegasse à atual fase de desenvolvimento do conhecimento dos materiais, pois desde a fase das primeiras ligas, das
primeiras descrições de materiais, dos primeiros ensaios mecânicos, das descobertas de melhorias de propriedade, do uso
do microscópio de varredura, foi um vasto caminho a ser percorrido ao longo da história da química e da engenharia.
O próprio aperfeiçoamento do ensaio de tração, em suas respectivas melhorias em máquinas, tornou possível, há algumas
dezenas de anos, a construção do diagrama tensão-deformação. Atualmente a harmonia com os métodos eletroeletrônicos,
      δ = (P .L)
(A.E)
δ = ∑i
Pi.Li
Ai.Ei
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como sensoriamento e leituras digitais que proporcionam mais agilidade e precisão, impulsionam para que mais
propriedades sejam, en�m, otimizadas ou descobertas.
O grá�co denominado tensão-deformação dá a ideia exata de como o material do corpo de prova se comporta frente ao
esticamento ao longo do eixo e à contração, ou seja, à diminuição da seção média do cilindro ou corpo de prova.
Nesse contexto, há de se considerar as fases elástica e plástica do material, assuntos já vistos em unidades anteriores. 
Nesse contexto, há de se considerar as fases elástica e plástica do material, assuntos já vistos em unidades anteriores. Na
fase elástica, a tensão é diretamente proporcional à sua respectiva deformação; ela é marcada, em seu �nal, pela tensão de
escoamento,   . Numericamente, a tensão de escoamento vale entre 400 e 550 Mpa (Megapascal) para o aço.
A fase plástica tem como característica o aumento de tensão até a chamada limite de resistência. Após isso, há um
movimento decrescente de tensão até chegar à ruptura do material, marcado pela tensão de ruptura,   . Essa tensão de
ruptura marca o colapso do material estudado.
A tensão máxima da fase plástica do material, no caso do nosso estudo, o aço, é marcada como limite de resistência ou tau
máximo,   .
Essas três tensões são primordiais para o traçado do diagrama tensão-deformação. Com o diagrama já realizado, pode-se
estudar o coe�ciente de Poisson, que nada mais é do que a relação entre a variação na vertical (ao longo do maior
comprimento, ou seja, do eixo) e a variação na horizontal (transversal), que é uma variação negativa, pois há uma redução de
área, conforme o fenômeno da chamada estricção.
Por �m, para fechar esse assunto, analisa-se o módulo de elasticidade ou módulo de Young para o aço, que numericamente
vale entre 190 e 215 GPa (Gigapascal). O módulo de elasticidade vem associado à Lei de Hooke, que relata que, para
materiais homogêneos e dúcteis na fase elástica, a relação é tensão = módulo * deformação para cada instante medido no
ensaio.
Exercício: deformação de barras sujeitas a carregamentos axiais
Determine a deformação da barra de aço mostrada na Figura 6, submetida às forças dadas (E = 200 GPa).
Figura 6 | Dados iniciais do exercício. Fonte: Beer et al. (2011, p. 82).
Na �gura, é possível veri�car que as duas áreas, 580 mm2 e 200 mm2, têm o mesmo E, módulo de elasticidade, que vale 200
GPa.
Dividimos a barra em três partes componentes mostradas na Figura 7 e escrevemos:
L1 = L2 = 300 mm; L3 = 400 mm
A1 = A2 = 580 mm2; A3 = 200 mm2
De acordo com a Figura 7, acha-se primeiro a carga P3 = 150 KN no trecho 3, pois é oposta à carga em D.
No trecho 2, tem-se: P2 = 150 - 200 = - 50 KN
No trecho 1, tem-se: P1= 350 - 50 = 300 KN
σe
σr
τmáx
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Figura 7 | Disposição com as forças axiais nos trechos separados 1, 2 e 3. Fonte: Beer et al. (2011, p. 82).
Lembre-se de que 1 KN = 1.103 N e E1 = E2 = E3 = 200.109 Pa
Substituindo na equação para δ t (δ total) = δ1 + δ2 + δ3, tem-se que:
          (4)
δ t = 0,776 mm - 0,129 + 1,5
δ t = 2,147 mm
Com isso, admite-se como deformação total 2,147 milímetros. Quando comparado ao comprimento total das partes AC e CD,
que é de 1000 milímetros, isso fornece uma porcentagem um pouco superior a 0,21%. Há de se notar que nem sempre o
Módulo de Elasticidade é igual para as duas partes, se forem materiais diversos o módulo será diferente.
Por dentro das aplicações na Engenharia
δ = ∑i   (Pi.Li)
 (Ei.Ai)
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Resistência dos Materiais
Caro estudante, até agora foram vistos os conceitos e as explicações de como usar os fundamentos abordados ao longo
desta aula. A partir deste momento, serão mostrados exemplos práticos de aplicação de toda essa teoria no seu cotidiano ou
em indústrias ou obras que os engenheiros estão projetando para melhoria de nossas cidades.
Um primeiro exemplo será o de uma barra submetida a forças opostas de tração, como uma máquina ferramenta da
mecânica que traz esses tipos de carregamento. A barra esticará na direção axial, ao longo do eixo, e sofrerá uma redução ao
longo da outra direção, a transversal. Haverá uma variação de comprimento (L – L0) na direção axial e uma variação negativa
de área (A – A0); nesse caso, como A0 é maior do que A, o resultado �ca negativo. Isso ocorre devido ao processo de
estricção da área, que é a redução dela. A barra sofre um esticamento do comprimento axial e vai se alongandogradativamente até que não suporte mais e se rompa no chamado processo de ruptura ou colapso.
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Resistência dos Materiais
Figura 8 | Máquina convencional da Engenharia Mecânica(torno). Fonte: Eurostec.
O segundo exemplo é o do concreto protendido, um tipo de concreto usado em construções civis, no qual a armação de �os
de aço é tracionada antes de ser embutida na matriz do concreto, processo denominado pré-tensão. Assim que esse
concreto endurece, a tensão é retirada, e o aço se recompõe devido à sua fase elástica, levando à compressão do sistema
global, o que ocasiona uma elevação da resistência mecânica desse sistema. O concreto está agora sob um esforço de
compressão.
Veja, na Figura 8, as cordoalhas engraxadas em um sistema de concreto protendido.
Figura 8 | Concreto protendido (Engenharia Civil) com as cordoalhas. Fonte: Cauduro (2005, p. 265).
Para compreender melhor o módulo de elasticidade, vamos comparar numericamente os valores de materiais diversos, no
que tange a seu módulo de elasticidade longitudinal (E).
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Resistência dos Materiais
Tabela 1| Módulos de elasticidade para alguns materiais em gigapascal. Fonte: Materiais Gelson.
Para o aço, E = 210 GPa (Gigapascal); já para o ferro, o módulo varia de 75 a 150 GPa; para o alumínio, ele vale de 90 a 130
MPa; por isso, o alumínio é mais deformável que o ferro, e o aço serve, por exemplo, para ser usado em carrocerias de
automóveis para absorver impactos de colisões. Outro exemplo do uso do alumínio é em máquinas nas quais se quer obter
um peso mais reduzido, por exemplo, em relação ao aço inox ou ao aço-liga tratado termicamente.
São várias as aplicações do assunto “comportamento dos materiais” sob a análise do diagrama tensão-deformação, por
exemplo, no caso do processo de conformação chamado de estampagem. O material em forma de chapa metálica é
deformado plasticamente e será moldado ao formato desejado da matriz do estampo, observe as peças estampadas na
�gura 10:
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Resistência dos Materiais
Figura 10| Peças estampadas. Fonte: Revista ferramental .
É importante, caro estudante, saber que, na região elástica, o material volta ao seu formato original cessada a força que age
sobre o corpo. Já na região plástica, a deformação é considerada permanente e não volta ao estado original.
Também é preciso reconhecer as consequências de se admitir as deformações como uma somatória das deformações
individuais dentro de trechos de barras com seções escalonadas, ou seja, com áreas diferentes e comprimentos diferentes.
As cargas de tração, positivas ou de compressão e negativas também devem ser colocadas nos cálculos.
Agora assista à videoaula e realize os exercícios! Mãos à obra!   
Videoaula: Tensão-deformação
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Chegamos à etapa do vídeo resumo, momento em que você, estudante, será convidado a compreender, de forma mais
elucidativa, os conceitos principais da aula, como o comportamento dos materiais de engenharia quando submetidos a
determinados ensaios, que gerarão conceitos de diagrama tensão-deformação, e o módulo de elasticidade e do coe�ciente
de Poisson, na região elástica e plástica dos materiais.
Saiba mais
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Resistência dos Materiais
Para aprofundar o conhecimento visto nesta aula sobre deformação de barra sujeita a carregamento axial, você deve se
aprofundar na obra indicada na referência bibliográ�ca, de Beer et al. (2011, p. 81-85), pois ali se encontra uma explanação
mais detalhada do assunto.
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 8. ed. Porto Alegre: Editora AMGH, 2011. 
Na obra de Sarkis Melconian, Mecânica técnica e resistência dos materiais, na página 66, é possível ler mais a respeito do
coe�ciente de Poisson para enriquecer mais seus conhecimentos sobre esse assunto.
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. São Paulo: Editora Saraiva, 2012. 
Referências
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 8. ed. Porto Alegre: Editora AMGH, 2011. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubc�/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml]!/4/2[
page_i]/2%4051:2. Acesso em: 4 maio 2023.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0. Acesso em: 23 mar. 2023.
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. São Paulo: Editora Saraiva, 2012. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788536528564/pageid/0. Acesso em: 4 maio 2023
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml]!/4/2[page_i]/2%4051:2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml]!/4/2[page_i]/2%4051:2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788536528564/pageid/0
Disciplina
Resistência dos Materiais
Aula 2
Componentes de tensões
Introdução
Caro estudante, você estudou até o momento o carregamento axial para determinado corpo sólido, e, a partir de agora, verá
conceitos como carregamento multiaxial. Tome como exemplo um corpo que sofre tensões em várias direções ao mesmo
tempo. Imagine, por exemplo, uma asa de avião que está submetida à pressão atmosférica em inúmeros eixos. Dá para se
imaginar quão aerodinâmica a forma dela deverá ser para suportar essas tensões todas, a �m de fazer o avião continuar sua
trajetória pelos ares. São anos de estudos para que se chegue a essa conclusão.
Nesta aula analisaremos como um sólido que está sob um carregamento qualquer sofre a in�uência de múltiplas tensões e
como se dá a generalização através de um método conhecido como tensões em um in�nitésimo do corpo, admitindo que o
material é homogêneo, ou seja, possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume, e isotrópico,
quando possui essas mesmas propriedades em todas as direções, x, y e z.
O in�nitésimo é uma minúscula porção do corpo que detém as mesmas propriedades do sólido e que sofrerá as mesmas
forças e deformações que o conjunto. Assim, o sólido que está sofrendo as tensões se deformará sob determinadas
direções, duas normais e uma de cisalhamento, fenômeno chamado de equação de Hooke generalizada.
Tudo isso parte de uma teoria que foi estudada e admitida como verdadeira para que se chegasse aos resultados conhecidos
hoje em dia.
Também será estudada uma análise de tensões em um plano oblíquo ao eixo, na qual as forças serão subdivididas em
normais e tangenciais à seção inclinada. Então, as forças serão dependentes de um ângulo teta, que o plano oblíquo faz com
a área perpendicular à força P’, como será visto posteriormente.
Estudante, prepare-se porque a aula está começando!
Conhecendo as componentes de tensões em um carregamento qualquer
Disciplina
Resistência dos Materiais
Vamos ao primeiro conceito da aula: os componentes de tensões. Para isso, considere a Figura 1 adiante:
Figura 1 | Tensões normais nos eixos coordenados. Fonte: Beer et al. (2011, p. 105).
Pense que há três direções nas quais as cargas atuarão em vez de uma (carregamento axial). As cargas produzem tensões
normais σx , σy e σz e não consideram tensões de cisalhamento, ao menos por enquanto.
Considere, agora, um cubo de arestas iguais a 1. Veja a Figura 2:
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Resistência dos Materiais
Figura 2 | Cubo de arestas unitárias. Fonte: Beer et al. (2011, p. 106).
“Este cubo vai sofrer deformaçõese irá se transformar em um paralelepípedo de dimensões 1+εx, 1+εy, e 1+εz, em que εx, εy
e εz são as deformações especí�cas nos três eixos” (Beer et al., 2011, p. 106).
Figura 3 | Deformações especí�cas nos eixos do cubo unitário. Fonte: Beer et al. (2011, p. 106).
Nesse caso, é possível que ocorra uma outra espécie de deformação, porém, no momento, apenas interessa a deformação
real do sólido, e não o deslocamento do corpo rígido.
Para expressarmos as deformações especí�cas em função das tensões normais dos eixos, utilizaremos um princípio
chamado de princípio da superposição, que diz basicamente:
O efeito está relacionado linearmente à força.
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Resistência dos Materiais
A deformação devido a uma força será pequena e não afetará as condições de outra força.
A partir dos resultados obtidos, tem-se a Equação 1:
                            (1)
Isso é conhecido como Lei de Hooke Generalizada (tensões em várias direções). Um valor positivo para o componente de
tensão indica tração, ao passo que um valor negativo para o mesmo componente indica uma compressão.
Acontecem casos nos quais há um estado de tensão mais geral, contendo, além das tensões normais, as de cisalhamento,
por exemplo τ xy, τ zx e τ yz.. As tensões atuantes estão mostradas na �gura 4.
Figura 4 | Tensões num sólido tridimensional. Fonte: Beer et al. (2011, p. 109).
As tensões de cisalhamento (Figura 5) tendem a deformar o cubo e transformá-lo em um paralelepípedo, conforme uma
translação dada por γ. Veja as Figuras 5 e 6:
εx = + σx
E − ν.
σy
E − ν. σz
E
εy = −ν. σx
E
+
σy
E
− ν. σz
E
εz = −ν. σx
E − ν.
σy
E + σz
E
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Resistência dos Materiais
Figura 5 | Tensões de cisalhamento τ xy no cubo. Fonte: Beer et al. (2011, p. 110).
Figura 6 | Cubo após deformação por cisalhamento. Fonte: Beer et al. (2011, p. 110).
Observa-se que o elemento se deforma transformando-se em um romboide de lados iguais a um (Fig. 2.47). Dois
dos ângulos formados pelas quatro faces sob tensão são reduzidos de π/2 para π/2 – γ xy, enquanto os outros
dois são aumentados de π/2 para π/2 + γ xy. O pequeno ângulo γ xy (expresso em radianos) de�ne a deformação
de cisalhamento correspondente às direções x e y (Beer et al. (2011, p. 110).
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Resistência dos Materiais
Pode-se construir um grá�co tensão-deformação para o cisalhamento e obter-se a Equação 2:
                                (2)
 Tem-se também a Equação 3, que relaciona o coe�ciente de Poisson com G e E:
                             (3)
Tensões em um plano oblíquo ao eixo
Quando analisamos as tensões em um parafuso, podem surgir, de modo simultâneo, tensões normais e a tensão de
cisalhamento, que tende a separar o corpo da parte superior do parafuso.
Assim, analisaremos quando o carregamento não está em um plano perpendicular ao plano de carregamento, provocado
pela inclinação dada por θ. Veja a Figura 7 a seguir.
Figura 7 | Tensões e forças num plano obliquo. Fonte: Beer et al. (2011, p. 43).
Tensões geradas por um carregamento em um plano qualquer
Estudante, considere agora um corpo sujeito a diversas cargas em várias direções, como apresentado na Figura 8.
τxy = G. γxy
G = E
2.(1+v)
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Resistência dos Materiais
Figura 8 | Sólido sofrendo ações de forças P1, P2, P3, P4. Fonte: Beer et al. (2011, p. 44).
Essas cargas gerarão inúmeras tensões no corpo. Agora, imagine o in�nitesimal de área (ΔA) desse corpo. Ele é mostrado na
Figura 9.
Figura 9 | In�nitesimal de área com delta de volume e delta de força. Fonte: Beer et al. (2011, p. 45).
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Resistência dos Materiais
O delta área (ΔA) desse corpo vai produzir um delta de força (ΔF) na direção x e um delta de volume nas direções y e z (ΔVy e
ΔVz). As variações de in�nitesimal produzirão uma tensão normal σ x e uma tensão de cisalhamento τ xy e τ xz, conforme
Figura 10:
Figura 10 | Tensão normal σx e tensões de cisalhamento τxy e τxz Fonte: Beer et al. (2011, p. 45).
Com isso, caro estudante, espera-se que você tenha conseguido compreender todos os conceitos abordados neste bloco.
Entendendo o carregamento em várias direções e suas componentes de tensão
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Resistência dos Materiais
Prezado estudante, conforme você vai avançando na matéria, os termos especí�cos da Engenharia vão se tornando cada vez
mais familiares. Você estudou anteriormente o comportamento do material dúctil quando viu o diagrama tensão-
deformação; analisou os diferentes tipos de tensões no regime elástico e no regime plástico, como a tensão última e a
tensão de escoamento; e estudou também o módulo de elasticidade, que relaciona, de um modo diretamente proporcional, a
tensão e a deformação.
Nesta aula, começamos a ver o carregamento multiaxial, por exemplo, em um avião submetido às diversas forças causadas
em suas partes, principalmente em suas duas asas, necessárias para mantê-lo em pleno voo sem perder o equilíbrio de
sustentação no ar. Anteriormente, foram estudados casos nos quais somente havia tensão normal ao eixo e tensão de
cisalhamento, como nos casos de parafusos ou rebites, elementos onde havia forças paralelas ou cortantes ao eixo.
Desse modo, foram divididas as tensões em elementos normais x, y e z e tensões de cisalhamento xy = yx, yz = zy, xz = zx, ou
seja, totalizando nove componentes no geral.
Para tensões em um plano oblíquo, ou seja, inclinado, ao eixo, temos as seguintes fórmulas, de acordo com a Figura 7 já
apresentada na seção anterior.
Corta-se a barra do material, segundo um ângulo θ medido com a reta vertical y. Agora P não é mais perpendicular à área A0,
e sua componente F forma 90 graus com a área Aθ; já a sua componente V tangencia a área Aθ, sendo paralela a ela. A �gura
11 mostra as forças atuantes e as tensões que agem no plano(σ e τ).
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Resistência dos Materiais
Figura 11 | Forças e tensões no plano oblíquo. Fonte: Beer et al. (2011, p. 43).
 
Para tensões em um plano oblíquo, ou seja, inclinado, ao eixo, temos as seguintes fórmulas, de acordo com a Figura 7 já
apresentada na seção anterior.
A força P se decompõe em suas componentes vertical F e tangencial V. F é força de P com o cosseno, e V é a força de P com
o seno.
                 (5.a)
                  (5.b)
           (5.c)
Aθ é a área de A0 dividida pelo cosseno de θ. Isso se explica por A0 ser a área original perperdicular a P’ e Aθ ser a área
perpendicular à componente vertical F.
σ é a tensão normal, perpendicular a área Aθ.
Τ é a tensão de cisalhamento que tangencia o plano de Aθ.
F   =  P .   cos θ                (4. a)V   =  P .   sin θ                 (4. b)
σ  =   F
Aθ
τ   =   V
Aθ
Aθ  =   A0
c osθ
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Resistência dos Materiais
     (6.a)
     (6.b)
Substituindo-se os valores da Equação 4a na Equação 5a e da 4b na 5b, chega-se às Equações expressas em 6a e 6b.
Explicando a Equação 6: para a tensão normal, a força P dividida pela área A0 é multiplicada pelo cosseno ao quadrado de θ.
Para a tensão de cisalhamento, a força P dividida pela área A0 é multiplicada pelo seno de θ vezes o cosseno de θ.
Essas fórmulas serão aplicadas nos exercícios desta unidade para solucionar-se os problemas.
Para tensões em um carregamento multiaxial, como o mostrado na Figura 10, temos a generalização dos teoremas aqui já
vistos, lembrando que extraímos do corpo uma pequena parte dele, chamada de in�nitésimo do corpo. Na Figura 12, são
mostradas as tensões em um carregamento genérico ou qualquer, com uma tensão normal σx e duas tensões de
cisalhamento τxy e τxz.
Figura 12 | Tensões num carregamento qualquer. Fonte: Beer et al. (2011, p. 45).
Fazemos um corte no corpo e aplicamos uma tensão normal x (σ x). O in�nitésimo vai representar o sólido de um modo mais
geral; σx representa a tensão normal τ xy; a tensão de cisalhamento é referente ao plano xy e τ xz; e a componente de
cisalhamento é referente à tensão xz. Tudo isso em relação ao in�nitésimo Q. É como se o in�nitésimo representasse o
corpo como um todo, ou seja, é como se ele possuísse as mesmas características,tensões e forças que o corpo tem.
Aplicando o que foi aprendido sobre tensões em plano oblíquo
σ = P
A0 . cos2 θ   
τ = P
A0 . sin θ.   cos θ
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Resistência dos Materiais
Estimado estudante, você viu até aqui os conceitos e as explicações de como usar os fundamentos aprendidos nesta aula.
Agora, serão mostrados a você exemplos práticos de como toda essa teoria pode ser usada em casos de indústrias ou de
obras projetadas pelos engenheiros para melhoria de nossas cidades.
Um primeiro exemplo será o de um submarino movimentando-se dentro do mar. As paredes espessas desse submarino são
submetidas a rigorosos cálculos de dimensionamento por engenheiros navais que deverão incluir todas as tensões
presentes diante desse movimento dentro da água. Nesse caso, haverá as tensões normais e as tensões de cisalhamento
nas paredes das embarcações. Para reduzir as tensões, o casco do submarino é feito inclinado em relação à direção do
movimento na água, cujo intuito é o de diminuir as forças e tensões de resistência contra o �uxo de água. Observe a �gura 13
na qual é mostrada o casco de um submarino.
Figura 13| Submarino SBR-1 Riachuelo. Fonte: Tecnodefesa.
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Resistência dos Materiais
Outro exemplo na mesma linha de raciocínio são os navios de carga ou de passageiros. Parte do casco deles �ca à nossa
vista, mas parte dele �ca submersa na água dos mares. Nessa situação, haverá o cálculo para resistir ao impacto de objetos
marinhos, como calotas de gelo, algas ou animais (peixes, tubarões, pinguins), e à força das marés em situações de mar
bravio, por exemplo. Da mesma forma que o submarino, os cascos dessas embarcações devem apresentar angulações
diferentes de noventa graus. Assim, consegue-se uma melhor performance em relação ao desempenho do navio. Aumenta-
se também a velocidade de navegação e os atritos diminuem.
Analise, agora, o caso de um nadador pro�ssional que compete em piscinas olímpicas, sempre em busca de reduzir seu
tempo para conseguir melhores colocações em sua categoria. A modalidade de nado peito (breaststroke, em inglês) mostra
bem que a inclinação do tórax do atleta em relação à água tende a diminuir os esforços veri�cados e pode reduzir suas
tensões quando analisadas em um conjunto. A maior parte de todo esse esforço junto com o treinador é a de analisar as
possíveis melhorias de posição das braçadas e as melhores técnicas para o momento das viradas a cada 50 metros, quando
se chega ao �m da piscina e o atleta deve refazer o caminho até completar, por exemplo, 200 metros ou 100 metros. O
movimento da braçada do nadador precisa ser analisado em detalhes pois, no momento em que ele atira a água para trás, é
impulsionado para a frente, seguindo as leis de Newton da Física Geral.  Veja a �gura 14 que ilustra este tipo de modalidade
da natação, o nado peito.
Figura 14| Nado peito (modalidade). Fonte: Swimming.
Um último exemplo são os carros esportivos que tanto os jovens sonham em pilotar. Eles têm o design arrojado para facilitar
a aerodinâmica em relação ao solo e fazê-los �car mais rentes ao chão, diminuindo as forças contrárias, como a força dos
ventos. Observe como a frente desses carros é inclinada em relação à direção do movimento. Com esse formato, os veículos
atingem velocidades de 0 a 100 km/h, em um tempo bem mais reduzido que os normais. Além, é claro, de outros motivos,
como motorização, materiais de fabricação, freios, aerofólios, etc.  
Videoaula: Componentes de tensões
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Nesta videoaula, você verá um resumo sobre tensões em um plano oblíquo e componentes de tensões. Serão abordadas as
formulações dos assuntos e explicados os termos referentes a cada uma delas, segundo os símbolos que as compõem de
modo único.
No vídeo também será mostrado o corte de um plano inclinado em um sólido (paralelepípedo), o que gera uma área, antes,
perpendicular à força e agora oblíqua, provocando tensões normais e de cisalhamento.
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Resistência dos Materiais
Por �m, será feita uma análise de carregamento qualquer de um corpo sob a ação de inúmeras tensões que estão agindo
sobre ele. Então, mãos à obra e vamos juntos nesse aprendizado de Resistência dos Materiais.
Saiba mais
Para aprofundar o conhecimento adquirido nesta aula sobre a Lei de Hooke Generalizada, você, caro estudante, deve
consultar a obra indicada nas referência bibliográ�cas: Mecânica dos materiais, de Ferdinand Beer et al. (2011, p. 105-107),
pois ela explica com maiores detalhes a Lei Generalizada de Hooke. Con�ra!
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 8. ed. Porto Alegre: Editora AMGH, 2011. 
Referências
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 8. ed. Porto Alegre: Editora AMGH, 2011. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubc�/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml]!/4/2[
page_i]/2%4051:2. Acesso em: 4 maio 2023.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml]!/4/2[page_i]/2%4051:2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
Disciplina
Resistência dos Materiais
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0. Acesso em: 23 mar. 2023.
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. São Paulo: Editora Saraiva, 2012. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788536528564/pageid/0. Acesso em: 4 maio 2023.
Aula 3
Estado plano de tensões
Introdução
Caro estudante,
Mas, então, qual seria a função do EPT se 99% dos problemas são multiaxiais?
A resposta está na própria simpli�cação dos cálculos, que reduziria de forma signi�cativa todas as componentes de tensões.
Imagine, por exemplo, uma asa de avião que está submetida à pressão atmosférica em inúmeros eixos. É possível imaginar
quantas forças e quantas tensões agem sobre a asa, então, se conseguirmos estabelecer um estado plano no qual sejam
veri�cadas as condições, teremos uma particularização desse caso. Foram muitas as observações dos engenheiros para que
chegassem a essas conclusões e simpli�cações. Ao longo do tempo, isso se veri�cou também com o avanço da tecnologia e
com a evolução dos maquinários e da computação.
Nesta aula, serão analisadas também as tensões principais, que são a tensão principal máxima e a tensão principal mínima,
as quais são calculadas em função da tensão normal média. Deve-se saber em que rotação do plano se dá a tensão principal
máxima e, por consequência, a mínima, pois assim a tensão de cisalhamento é zero e ocorre a falha do material quando se
tem a tensão principal máxima.
Outro assunto a ser estudado é o das tensões de cisalhamento máximo. O material também pode falhar quando a tensão de
cisalhamento for máxima, e, nesse caso, as tensões atuantes normais são iguais à tensão normal média.
Serão de�nidas, ainda, as convenções de sinais para as tensões. Assim, quando um sólido sofre uma rotação sob
determinado ângulo, as tensões normais e de cisalhamento variam, porém podem ser encontradas sob fórmulas que serão
devidamente estudadas e explicadas termo a termo.
Que comece a nossa aula!
Como estabelecer o estado plano de tensões e sua simpli�cação
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788536528564/pageid/0
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Resistência dos Materiais
Caríssimo estudante, iniciaremos nossa aula com o conceito de estado plano de tensões.
Na aula anterior, vimos que o estado geral de tensãoem um ponto é caracterizado por seis componentes da tensão normal e
do cisalhamento, que são independentes e que agem nas faces de um ponto. “Porém esse estado não é comum na prática
do dia a dia. Por isso, fazemos simpli�cações das cargas sobre um corpo de modo que a tensão produzida seja analisada
em um único plano” (Hibbeler, 2010, p. 321).
A partir disso, pode-se concluir que o material está sujeito a tensões no plano.
O estado geral de tensões no plano é formado por duas componentes de tensão normal, σx e σy, e uma componente de
tensão de cisalhamento, τxy.
Caso esse estado de tensões sofra uma rotação ao redor de um ponto O, dada por θ, isso gera os eixos x’, y’ e z’ e tem-se
que:
Figura 1 | Estado de tensões no plano (a); rotação em torno de um ponto O (b). Fonte: Beer et al. (2011, p. 443).
O estudo discorrerá sobre o estado plano de tensões, isto é, de uma situação na qual duas das faces do elemento de volume
estão livres de qualquer tensão. Se se escolher o eixo z como perpendicular a essas faces, σz = τ zx = τ zy = 0, e as únicas
componentes de tensão serão σx, σy e τxy. Observe a Figura 2.
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Resistência dos Materiais
Figura 2 | Tensões no plano. Fonte: Beer et al. (2011, p. 443).
Veja a situação da Figura 3, na qual está representada a con�guração de tensões no plano médio da espessura de uma placa
(3a). Note que somente há tensões na face escolhida. A mesma con�guração ocorre na Figura 3b, na qual há tensões na
superfície livre da estrutura.
Figura 3 | Tensões no plano médio da espessura de uma placa e tensões na superfície livre de uma estrutura ou componente de máquina. Fonte: Beer et al. (2011,
p. 443).
Transformação do estado plano de tensão
No início, tem-se as tensões normais sigma x, σx, e sigma y, σy, e a tensão de cisalhamento τxy (σz = τzx = τzy = 0). Deve-se
determinar as componentes de tensão σx’, σy’ e τx’y’, associadas ao elemento após ele rotacionar um ângulo θ.
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Figura 4 | Estado plano de tensões para o elemento antes e depois de sofrer a rotação θ em torno do eixo z. Fonte: Beer et al. (2011, p. 446).
A próxima etapa é encontrar os valores da tensão normal σx’ e da tensão de cisalhamento τx’y’ que atua na face perpendicular
ao eixo x’. Considere-se um elemento prismático conforme observado na Figura 5a.
Na Figura 5b, mostram-se as forças resultantes que atuam nas três faces. Perceba que não há força aplicada nas faces
triangulares do elemento.
Figura 5 | Determinação de σ x’ e de τ x’y’. Fonte: Beer et al. (2011, p. 446).
Conclui-se que, após manipular as áreas e todas as forças atuantes (não é objetivo desta aula demonstrar as fórmulas),
chega-se às Equações 1 e 2:
                 (1)
                           (2)
Compreendendo o estado plano de tensões e as tensões principais
σx′ =
σx+σy
2 +
σx−σy
2 . cos2θ + τxy .  sin2θ
τx′y′ = (
σx−σy
2 ). sin 2θ + τxy .   cos 2θ
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Resistência dos Materiais
Prezado estudante, os tópicos vão fazendo mais sentido conforme você vai avançando na matéria da aula, que, neste caso,
trata de uma interpretação de grá�cos e de formulações, além de considerar simpli�cações no estado plano de tensões.
Quando os valores de tensões são iguais às tensões principais, o valor da tensão de cisalhamento é igual a zero. Assim, ao
fazermos substituições na equação, os valores θp podem ser obtidos fazendo-se τx’y’ = 0 na Equação 2. Veja:
     (3)
A Equação 3 de�ne dois valores de 2θp, 2θp1 e 2θp2 que estão defasados em 180°, o que quer dizer que dois valores de θp
estão defasados em 90°. Qualquer um desses valores pode ser utilizado para determinar a orientação do elemento
correspondente (Figura 6). Os planos que contêm as faces do elemento obtido dessa maneira são chamados de planos
principais de tensão no ponto Q.
Figura 6 | Tensões máxima e mínima, angulação θp. Fonte: Beer et al. (2011, p. 449).
Os valores σmáx e σmín das tensões normais que atuam nesses planos são chamados de tensões principais em Q, que estão
descritos na Equação 4:
   (4)
A menos que seja possível dizer qual dos dois planos principais está submetido a σmáx e qual está submetido a σmín, é
necessário substituir um dos valores de θp na Equação 1 para determinar qual dos dois planos corresponde ao valor máximo
da tensão normal.
Para θc, a angulação do elemento correspondente à tensão de cisalhamento máxima é dada por:
  (5)
“Essa equação (5) de�ne dois valores 2θc defasados em 180º, ou seja, dois valores θc defasados em 90º. Qualquer um
desses valores pode ser usado para determinar a orientação do elemento que condiz com ” Beer et al. (2011, p. 450).
Dessa forma, a tensão de cisalhamento máxima é escrita da seguinte maneira:
 (6)
tg2θp =
2τxy
σx−σy
σmáx, mín =
σx+σy
2 ± (√
σx−σy
2 )
2
+ τxy
tg2θc = −
σx−σy
2.τxy
τmáx = √( σx−σy
2 )
2
+ τxy2
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Resistência dos Materiais
Quando ocorre a tensão de cisalhamento máxima, a tensão normal se torna igual à tensão média:
                (7)
Vamos à análise de um exemplo de aplicação de tensões principais no EPT: determine as componentes de tensão que agem
no elemento mostrado na Figura 7. Use as Equações 1, 2 e 3 deste material (Hibbeler, 2018).
Figura 7 | Figura do Exercício 9.7 de Hibbeler (2018, p. 322). Fonte: Hibbeler (2018, p. 332).
σx vale 5 MPa e é positiva, pois é de tração (sai do eixo das abcissas). σy vale 3 MPa e é positiva, pois é de tração (sai do eixo
das ordenadas). Τxy vale 8 MPa e é positiva, pois, quando à direita do elemento, tem o sentido para cima. Se tivesse o sentido
para baixo, à direita do elemento, seria negativa.
      (1)
Use, na Equação 1, os seguintes valores:
Com isso, a tensão normal vale 4,05 MPa (megapascal). O sinal negativo indica que é uma tensão de compressão.
Já para a tensão de cisalhamento, usamos a Equação 2:
       (2)
σ' = σméd =
σx+σy
2
σx = 5Mpa;σy = 3Mpa; τxy = 8Mpa;ϕ = 40°
θ = ϕ + 90°= 130°
2θ  =  260º
σx′ =
σx+σy
2 +
σx−σy
2 . cos2θ + τxy .  sin2θ
2θ = 260°
σx = 5MPa;σy = 3MPa;
σx' = −4,05MPa
τx′y′ = (
σx−σy
2 ). sin 2θ + τxy .   cos 2θ
τx′y′ = −0,404MPa
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Resistência dos Materiais
A tensão de cisalhamento vale 0,404 MPa (megapascal). O sinal negativo indica que a tensão está no sentido contrário ao
eixo y’, ou seja, perpendicular ao segmento AB.
Exempli�cando as tensões principais e o estado plano de tensão
A maioria dos exemplos adotados nesta aula e nos livros de Engenharia utilizam o estado plano de tensões, porque ele reduz
para três o número de tensões em um plano: duas normais e uma de cisalhamento. Isso facilita os cálculos dos engenheiros,
que podem projetar, por exemplo, cálculos em placas e chapas �nas, estruturas que não estejam sob a ação de forças
externas no estado plano isolado.
É importante frisar que, no estado plano, quando se parte um sólido posicionado sobre os três eixos (x, y e z) em um dado
ponto Q, ele sofre uma rotação sobre o eixo z, de ângulo θ, modi�cando-se para os eixos x’ e y’.
No âmbito das tensões principais e da tensão de cisalhamento máxima, esses cálculos são imprescindíveis, porque
fornecem um parâmetro para o calculista conhecer como a máquina, ou parte dela, tem o seu nível de tensões e
deformações.
Por exemplo, em uma simulação de comportamento de tensões, encontram-se valores abaixo das tensões admissíveis, o
que será uma excelente veri�cação. Porém, se uma tensão for superior à tensão admissível, é necessário rever por que
aquela tensão está fornecendo esse número e reconsiderá-la no projeto, modi�cando-o até que �que menor que a tensão
admissível. Imagine, caro estudante, os cálculos de uma estrutura automotiva na chaparia do veículo. Toda a estrutura do
carro deverá ser pensada para receber as forças próprias, os pesos dos componentes já instalados, como painéis, espumas,
isolantes, cintos, além das forças dos ocupantes, segundo a categoria do carro, que é de, normalmente, cinco pessoas. Há
também as estruturas mais pesadas, como o motor, a transmissão, o sistema de arrefecimento, o sistemade frenagem, os
airbags, entre outros, que também impactarão o peso próprio. Somando-se tudo isso, veja a complexidade do cálculo! Daí
surge o estado plano de tensões em uma coluna do carro, por exemplo, de acordo com a qual se considera a tensão em dois
eixos ortogonais e uma tensão de cisalhamento, faz-se a rotação necessária e obtém-se os novos valores.
Lembre-se do caso do submarino submetido à elevada pressão da água dos mares. Ele também possui o peso de suas
próprias peças e partes, como motores elétricos, dínamos ou, no caso de submarinos nucleares, reatores nucleares, turbinas
movidas a vapor, entre outras. Soma-se a isso os integrantes da tripulação de bordo e seus mantimentos; não se esqueça
também das armas carregadas pelo submarino caso ele seja de guerra. Nesse cenário, seria complicado elaborar os cálculos
de tensões se não fosse o estado plano, no qual se utilizam somente duas tensões no plano, ortogonais entre si, e a tensão
de cisalhamento pertencente a esse plano. Usa-se o estado plano também para se obter as tensões normais máxima e
mínima do casco do submarino, por exemplo.
Por �m, é relevante reforçar que, quando se calcula a tensão de cisalhamento máxima, a tensão normal é equivalente à
tensão normal média entre x e y.
Agora assista à videoaula e faça os exercícios. Bons estudos!
Videoaula: Estado plano de tensões
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Nesta videoaula, você terá acesso a uma análise compacta dos assuntos: estado plano de tensões, tensões principais e
tensão de cisalhamento máxima. Diante disso, serão explanadas algumas fórmulas e casos particulares de resolução. Será
também explicada a aplicação dessas formulações e o porquê de adotarmos o estado plano de tensões dentro de um
contexto.
Vamos adiante nesse aprendizado da disciplina de Resistência dos Materiais.
Saiba mais
Para aprofundar o conhecimento adquirido nesta aula sobre tensão de cisalhamento máxima, consulte a obra de Beer et al.
(2011, p. 448-450), pois nela há maiores detalhes sobre essa parte da aula, que é muito importante para seu processo de
aprendizagem. Bons estudos!
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 8. ed. Porto Alegre: Editora AMGH, 2011.
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml]!/4/2[page_i]/2%4051:2
Disciplina
Resistência dos Materiais
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 8. ed. Porto Alegre: Editora AMGH, 2011. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubc�/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml]!/4/2[
page_i]/2%4051:2. Acesso em: 4 maio 2023.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0. Acesso em: 23 mar. 2023.
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. São Paulo: Editora Saraiva, 2012. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788536528564/pageid/0. Acesso em: 4 maio 2023.
Aula 4
Círculo de Mohr
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788536528564/pageid/0
Disciplina
Resistência dos Materiais
Caro aluno, bem-vindo! Nesta aula, você conhecerá o círculo de Mohr, a direção dos planos principais e as tensões máximas.
Mas qual será a função de se desenhar gra�camente os resultados, como ocorre com o método do círculo de Mohr?
A solução a essa pergunta está na própria organização e visualização do problema. Imagine, por exemplo, uma equipe de
engenheiros que estão calculando determinada peça de uma aeronave que está submetida a tensões normais e cisalhantes
devido às forças do ar. Para que tudo �que mais organizado e nítido e para que haja a diminuição da probabilidade de erros
nos cálculos e na colocação de variáveis, por exemplo, os ângulos das direções principais, o método do círculo de Mohr é de
grande auxílio.
Até aqui, você já estudou o estado plano de tensões, no qual há somente duas tensões normais e uma tensão de
cisalhamento, sendo as demais (uma normal e duas de cisalhamento) zeradas. A partir de agora será visto o método grá�co
chamado de círculo de Mohr. O círculo reduz o uso de fórmulas porque usa a geometria plana e, por consequência, diminui
os erros de cálculos matemáticos, além de otimizar o projeto.
O método de Mohr gera uma visualização das tensões principais σp1 e σp2, além dos ângulos respectivos, 2θp1 e 2θp2, que
são as orientações dos planos principais, assim como 2θc1 e 2θc2, orientações das tensões cisalhantes. A intenção, com
isso, é descobrir o centro do círculo e o raio dele.
Deve-se adotar como eixo x as tensões normais (positivo para a direita) e como eixo y as tensões cisalhantes (positivo para
baixo). Precisa-se também achar uma linha de referência que saia do centro C do círculo e vá até um ponto de referência X.
Será realizado também, nesta aula, um Roteiro de Aula Prática (RAP) usando o software MD Solids.
Vamos ver como ele funciona na prática através do seu traçado. Bons estudos!
Tensões principais e tensões de cisalhamento máxima
Caríssimo estudante, vamos iniciar esta aula com o conceito de orientação das tensões principais. Segundo Hibbeler (2010),
“na prática da engenharia, muitas vezes é importante determinar a orientação dos planos que fazem com que a tensão
normal seja máxima e mínima e a orientação dos planos que fazem com que a tensão de cisalhamento seja máxima”.
Diante disso, será importante relembrarmos a Equação 1 da aula passada
        (1)
Derivando em relação a teta e igualando a zero, tem-se que:
           (2)
σx' =
σx+σy
2 +
σx−σy
2 . cos 2θ + τxy. sin 2θ
tg2θp =
2τxy
σx−σy
Disciplina
Resistência dos Materiais
A solução tem duas raízes: θp1 e θp2. Os valores θp1 e θp2 estão defasados de 90º e devem ser substituídos na Equação 1 se
quisermos obter as tensões normais exigidas.
Podemos obter os necessários seno e cosseno de 2θp1 e 2θp2 pelos triângulos sombreados mostrados na Figura 1.
Figura 1 | Tensões normais e ângulos 2θp1 e 2θp2. Fonte: Hibbeler (2010, p. 327).
Se substituirmos por θp1, na Equação 1, sen2θp1 e cos2θp1, e por θp2, na Equação 1, sen2θp2 e cos2θp2, chega-se à equação
          (3)
De acordo com o sinal escolhido, esse resultado vai fornecer a tensão normal máxima ou mínima no plano, onde σ1 ≥ σ2.
Essas são as tensões principais no plano, e os planos correspondentes sobre os quais agem são denominados planos
principais de tensão (Figura 2).
Figura 2 | Tensões principais σ1 e σ2. Fonte: Hibbeler (2010, p. 328).
Além do mais, se as relações trigonométricas para θp1 e θp2 forem substituídas na Equação 4, podemos ver que τx’y’ = 0, isto
é, nenhuma tensão de cisalhamento age nos planos principais.
              (4)
σmáx,mín =
σx+σy
2 ±√(
σx−σy
2 )
2
+ τxy2
τx′y′= −(
σx−σy
2 ). sin2θ + τxy. cos2θ
Disciplina
Resistência dos Materiais
Tensão de cisalhamento máxima
                         (5)
As duas raízes da Equação 5, θc1 (ou θs1, do inglês shear, cisalhamento) e θc2 (ou θs2), podem ser determinadas por
trigonometria de acordo com a Figura 3.
Figura 3 | Raízes da Equação 5, θc1 e θc2. Fonte: Hibbeler (2010, p. 328).
As raízes θs e θp estão a 45º uma da outra, pois 2θs1 + 2θp1 = 90º. Assim, chega-se à Equação 6 da tensão de cisalhamento
máxima:
               (6)
Para a tensão de cisalhamento máxima, corresponde uma tensão normal principal equivalente à tensão média:(7)
Círculo de Mohr
Primeiramente será visto como se calcular a orientação do plano principal, como se chegar aos ângulos θp1 e θp2, através do
círculo de Mohr. Então, primeiro calcula-se a tensão normal média (σ média), depois acham-se as coordenadas x e y do
centro do círculo, C (x = σ média, y = 0), e procura-se, em seguida, por um ponto X, com coordenadas (σx, τxy). A seguir, é
mostrada a Figura 4, na qual se encontram-se os pontos C e X, e as tensões atuantes.
tg2θc = −
σx −σy 
2τxy
τmáx = √(
σx−σy
2 )
2
+ τxy2
σ′= σmédio = σx+σy
2
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 4 | Círculo de Mohr. Fonte: Hibbeler (2010, p. 339).
Para construir o círculo, deve-se adotar como eixo das abcissas os valores das tensões normais, positivo para a direita, e
como eixo das ordenadas os valores das tensões de cisalhamento, positivo para baixo.
Após isso, desenha-se o centro do círculo, acha-se nele o ponto X e depois calcula-se o raio por cálculo de geometria ou
através de fórmulas vistas na aula passada. Nesse momento é necessário traçar o círculo. Depois de traçado, calculam-se as
tensões σ1 e σ2, que são os pontos onde o círculo corta o eixo das abcissas.
Outra observação é que o raio do círculo coincide com a tensão de cisalhamento máxima, ou seja, quando o ângulo de
orientação for de 270º. Na Figura 5, CA será paralela ao eixo vertical que contém τ.
Figura 5 | Encontrando os pontos do círculo de Mohr e os ângulos. Fonte: Hibbeler (2010, p. 339).
A linha de�nida pelos pontos C e X, CX, será a linha de referência em relação à θp1, θp2 e θs. Por exemplo, se em relação à
linha que contém σp1, a linha de referência tiver que rotacionar no sentido anti-horário, então o ângulo será positivo; caso
contrário, será negativo (rotacionar no sentido horário da linha de referência até a linha que contêm σp1).
Desse ponto, parte-se para o passo �nal, que é calcular o θp1 e θp2. 2θp1 é o arco-tangente encontrado da distância vertical
(delta y) sobre a distância horizontal (delta x).
Disciplina
Resistência dos Materiais
Compreendendo o estado plano de tensões e as tensões principais
Nesta parte da aula, vamos estudar dois exercícios: o primeiro envolvendo os assuntos tensão normal média e tensão de
cisalhamento máxima; o segundo, o círculo de Mohr.
Exercício 1: tensão normal média e tensão cisalhante máxima
Há um estado plano de tensão sobre um corpo, mostrado na Figura 6. Represente esse estado de tensão como a tensão de
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média.
Figura 6 | Estado de tensões no plano. Fonte: Hibbeler (2010, p. 331).
em-se que: σx = - 20 MPa; σy = 90 MPa; τxy = 60 MPa
Note que σx é negativa porque é de compressão.
Então, aplicando a Equação 5 para calcular a orientação de elemento, temos:
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Resistência dos Materiais
           (5)
2θc1 = 42,51º
2θc2 = 180º + 42,51º = 222,51º
Portanto, θc1 = 21,3º
θc2 = 111,3º
Para calcular τmáxima no plano, tem-se que:
        (6)
Τmáx = 81,4 MPa
A direção adequada de τmáx pode ser determinada considerando θ = θc1 = 21,3º e aplicando a Equação 4:
      (4)
τx’y’ = 81,4 MPa
O sinal positivo indica que a tensão cisalhante age no sentido do eixo y’.
Agora falta a tensão normal média (Equação 7):
             (7)
σ’ = 35 MPa
O sinal positivo indica uma tensão de tração.
Figura 7 | Tensão cisalhante máxima e tensão normal média, além da orientação de elemento (21,3º). Fonte: Hibbeler (2010, p. 332).
Exercício 2: círculo de Mohr
O elemento no ponto A sobre o cilindro maciço na Figura 8 está sujeito ao estado de tensão. Calcule as tensões principais
que agem no ponto A usando o círculo de Mohr.
tg2θc = −
σx−σy
2τxy
τmax = √(
σx−σy
2 )
2
+ τxy2
τx'y' = −(
σx−σy
2 ). sin 2θ + τxy. cos 2θ
σ' = σmédio =
σx+σy
2
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Resistência dos Materiais
Figura 8 | Tensões agindo no ponto A do elemento. Fonte: Hibbeler (2010, p. 343).
A partir daí, tem-se:
σx = - 12 MPa
σy = 0
τxy = - 6 MPa
Calcula-se, então, a tensão média:
              (7)
σ’ = - 6 MPa
Tem-se o ponto inicial A (σx, τxy) = A (- 12, - 6).
Tem-se também o centro C (σ’, 0) = C (- 6, 0).
σ' = σmédio = σx+σy
2
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Resistência dos Materiais
Figura 9 | Círculo de Mohr e tensões cisalhantes e principais. Fonte: Hibbeler (2010, p. 343).
Observe a Figura 9 para calcular o raio do círculo:
Tensões principais dadas por B e D:
σ1 > σ2
σ2 = - 6 + 8,49 = 2,49 MPa
σ1 = - 6 - 8,49 = - 14,49 MPa
A orientação do elemento é calculada com o ângulo em sentido anti-horário 2θp2, na Figura 9, que de�ne a direção de θp2 de
σ2.
Logo, tem-se:
R = √(12 − 6)2 + 62 = 8. 49
2θp2 = tg−1( 6
12−6 ) = 45∘
θp2 = 22.5∘
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Resistência dos Materiais
Figura 10 | Orientação de σ2 em sentido anti-horário em relação ao eixo x. Fonte: Hibbeler (2010, p. 343).
Os usos do Círculo de Mohr para se determinar as tensões principais e máximas
O círculo de Mohr é muito utilizado para se determinar as tensões principais e as máximas de estudos de caso especí�cos
na Engenharia.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Imagine o caso de estruturas com n graus de liberdade, ou seja, vários eixos envolvidos. A simpli�cação para o caso de
estado plano de tensão e a aplicação dessa particularidade nos evidencia a importância desse método para que o círculo de
Mohr possa ser empregado. Dessa forma, aplicando-se o conhecimento de geometria plana, de cálculos e de traçados,
chega-se às tensões principais, à tensão cisalhante máxima e às orientações que vão nortear todo esse conjunto de
informações de tensões.
Parece complicado ver esse rol de informações em um primeiro momento, mas tudo parte de uma lógica de cálculos de
matemática. Conhecendo-se as tensões normais em x e y e a tensão de cisalhamento, podemos calcular o centro C e o ponto
inicial A com coordenadas (σx, τxy). É a partir daí que começam os cálculos para encontrar as tensões principais e os
ângulos ou orientações principais e de cisalhamento. Todos esses cálculos usando uma calculadora que permita achar o
arco tangente.
Mas qual a função das tensões principais e da tensão cisalhante máxima expressas em um grá�co como o círculo de Mohr?
É a chamada gestão visual, que permite ao leitor uma ágil e acurada busca de informações que estão dispostas em uma
inteligente disposição. Isso é fundamental em projetos com inúmeras etapas de cálculos e que precisam ser organizados e
sistematizados em sequência.
Repare que são técnicas que vêm agregar conhecimento à engenharia e ao mesmo proporcionar agilidade e precisão. Note o
emprego delas na indústria automotiva, em que são usadas para calcular tensões em estruturas dos automóveis, como no
chassi, no porta malas e no capô, por exemplo. O círculo de Mohr é usado como no roteiro da aula prática do Software MD
Solids, em que o usuário entra com alguns dados e tem como saída os grá�cos já dispostos, tendo as tensões principais σ1 e
σ2, τmáxima, e os ângulos θp e θc.
Agora assista à videoaula e faça os exercícios!
Videoaula: Círculo de Mohr (prático)
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo.
Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Neste vídeo, você terá acesso a uma análise compacta sobre círculo de Mohr, na qual será mostrada a resolução de um
exercício para ajudá-lo a entender como se constrói o círculo.
Serão mostrados os passos principais de elaboração da geometria e os ângulos principais das tensões principais σ1 e σ2,
além da tensão cisalhante máxima τxy e a tensão normal média associada.
Ao �nal, haverá a representação das tensões e a rotação do elemento de acordo com os ângulos θp1 e θp2.
Vamos adiante com o empolgante vídeo do círculo de Mohr!
Saiba mais
Disciplina
Resistência dos Materiais
Para buscar um conhecimento mais amplo que o visto nesta aula sobre direções dos planos principais, você, caro estudante,
deve se aprofundar na obra de Hibbeler (2018, p. 327-329), pois nela haverá uma explicação com maiores detalhessobre
essa parte da aula.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018. E-book. 
Referências
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Porto Alegre: Editora AMGH, 2011. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubc�/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml]!/4/2[
page_i]/2%4051:2. Acesso em: 6 maio 2023.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0. Acesso em: 23 mar. 2023.
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. São Paulo: Editora Saraiva, 2012. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788536528564/pageid/0. Acesso em: 6 maio 2023.
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788536528564/pageid/0
Disciplina
Resistência dos Materiais
Aula 5
Revisão da unidade
Conhecendo as tensões principais e as tensões cisalhantes máximas usando o estado plano de
tensões ou o círculo de Mohr
Prezado estudante, nesta aula você verá como é fundamental e importante conhecer o estado plano de tensões, cuja
utilização promove a redução de um problema com estado multiaxial de tensões – a maior parte das situações encontradas
no dia a dia – para um no qual haverá duas componentes de tensão normal e uma componente de tensão cisalhante,
facilitando muito a vida dos engenheiros com os cálculos.
As tensões principais a serem estudadas são a tensão principal máxima e a tensão principal mínima, calculadas em função
da tensão normal média.
Deve ser conhecida a rotação do plano em que se dá a tensão principal máxima e, por consequência, a tensão principal
mínima, caso em que a tensão de cisalhamento é igual a zero. Ocorre a falha do material quando se tem a tensão principal
máxima.
Outra abordagem a ser estudada é a das tensões de cisalhamento máximo. O material também pode romper ou falhar
quando a tensão de cisalhamento for máxima, e nesse caso as tensões atuantes normais têm valor igual à tensão normal
média. Aqui deve ser calculada também a rotação do plano em que se dá a tensão cisalhante máxima.
Já na parte em que se usa o círculo de Mohr, deve-se partir da especi�cação do centro do círculo de Mohr, com suas
respectivas coordenadas, e do traçado de uma linha de referência que vai conter a tensão normal em x e a de cisalhamento
xy.
Para a construção do círculo, deve-se adotar como eixo das abcissas os valores das tensões normais, positivo para a direita,
e como eixo das ordenadas os valores das tensões de cisalhamento, positivo para baixo.
O próximo passo é desenhar o centro C do círculo, achar nele um ponto de referência A e depois calcular o raio R por cálculo
de geometria plana. É necessário traçar o círculo com centro em C e raio R.
Depois de traçado o círculo, calculam-se as tensões principais máxima e mínima, que são os pontos geométricos onde o
círculo intercepta o eixo das abcissas.
Outra observação é que o raio do círculo R coincide com a tensão de cisalhamento máxima, ou seja, quando o ângulo de
orientação for de 270º.
O segmento de reta de�nido pelos pontos C e A, CA, será o de referência em relação à orientação dos planos principais e dos
planos de tensão cisalhantes máximos. Por exemplo, como observado na Figura 1, se em relação à linha que contém a
tensão principal máxima, o segmento de referência tem que rotacionar no sentido anti-horário, então o ângulo é positivo;
Disciplina
Resistência dos Materiais
caso contrário, ele será negativo (rotacionar no sentido horário da linha de referência até a linha que contém a tensão
principal máxima).
Figura 1 | Os pontos e as orientações do círculo de Mohr. Fonte: Hibbeler (2010, p. 339).
Videoaula: Revisão da unidade
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo.
Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Neste vídeo, você verá como o círculo de Mohr ajuda a identi�car as coordenadas dos pontos para a traçagem do círculo, e a
descobrir o seu raio (R). Assim, �ca bem mais simples obter-se as tensões principais máxima e mínima do elemento, a partir
das quais ocorre a falha do material. Há o estudo do problema em que a tensão cisalhante é máxima e ocorre a ruptura do
material.
Estudo de caso
Disciplina
Resistência dos Materiais
Caro estudante, neste estudo de caso, você deve imaginar-se como sendo um dos engenheiros responsáveis por analisar as
tensões normais e de cisalhamento dos componentes de uma aeronave. Para isso, você deve ter em mente alguns pré-
requisitos, como conhecer a Lei de Hooke, ter estudado os componentes de tensões para carregamentos multiaxiais, ter
visto o estado plano de tensões, reconhecer as tensões principais e saber traçar o círculo de Mohr para encontrar as tensões
principais normais máxima e mínima. Veja o exemplo da �gura 2 que descreve um ensaio sobre as tensões atuantes num
avião.
Figura 2 | Ensaios para determinar as tensões que agem na asa da aeronave. Fonte: Beer et al. (2011, p. 442).
Comecemos pela Lei de Hooke.
A Figura 3 mostra que na fase elástica o comportamento do aço com baixo teor de carbono é praticamente linear. A tensão
varia numa relação proporcional à sua deformação.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 3 | Diagrama tensão-deformação para aço. Fonte: Beer et al. (2011, p. 72).
Na Lei de Hooke, a tensão varia em uma relação diretamente proporcional à sua deformação na fase elástica. Nesse sentido,
calcula-se o módulo de elasticidade do material E.
Para uma deformação de 0,008, tem-se uma tensão de 180 MPa. Calcule E.
         (1)
Depois, segundo a fórmula
             (2)
E dado que ν = 0,29, calcule G.
O próximo passo é conhecer os componentes de tensões para um estado plano de tensão (EPT).
O estado geral de tensões no plano é formado por duas componentes de tensão normal, σx e σy, e uma componente de
tensão de cisalhamento, τxy.
Caso esse estado de tensões sofra uma rotação ao redor de um ponto O, dada por θ, isso gerará os eixos x’, y’ e z’.
Se o eixo z for escolhido como perpendicular a essas faces, σz = τzx = τzy = 0, e as únicas componentes de tensão serão σx,
σy e τxy. Deve-se determinar as componentes de tensão σx’, σy’ e τx’y’ associadas ao elemento, como mostrado na Figura 4.
σ = E. ε
G = E
2.(1+ν)
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Resistência dos Materiais
Figura 4 | Estado plano de tensões para o elemento antes e depois de sofrer a rotação θ em torno do eixo z. Fonte: Beer et al. (2011, p. 446).
A próxima etapa é encontrar os valores da tensão normal σx’ e da tensão de cisalhamento τx’y’ que atua na face perpendicular
ao eixo x’; considere-se um elemento prismático.
Na Figura 5b, mostram-se as forças resultantes que atuam nas três faces. Perceba que não há força aplicada nas faces
triangulares do elemento.
Figura 5 | Determinação de σx’ e de τx’y’. Fonte: Beer et al. (2011, p. 446).
Conclui-se que, após manipular as áreas e todas as forças atuantes (lembre-se de que não é objetivo desta aula demonstrar
as fórmulas), chega-se às Equações 3 e 4:
   (3)
     (4)
Calcule agora as tensões normais principais, a tensão cisalhante máxima e a orientação do plano principal pelas fórmulas e
pelo círculo de Mohr, dado o estado de tensões do elemento como segue na �gura 6, que descreve as tensões no elemento.
σx' =
σx+σy
2 +
σx−σy
2 . cos 2θ + τxy. sin 2θ
τx'y' = −(
σx−σy
2 ). sin 2θ + τxy. cos 2θ
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 6 | Tensões normaise tensão cisalhante do elemento. Fonte: elaborada pelo autor.
_______
Re�ita
O estudo de caso proposto aqui é uma aplicação real de como essa parte teórica in�ui no dimensionamento de estruturas do
dia a dia.
Deve-se ir avançando nas unidades, tendo uma base do conhecimento para que se chegue à resolução de situações de
engenharia.
O mais importante para você, estudante, é que esse passo a passo de como se resolver um caso como este serve como
alicerce para a vida pro�ssional que certamente você encontrará pela frente.
Para uma análise de grá�cos é importante saber manipular informações numéricas dentro de um contexto; saber identi�car
as unidades corretas de tensões, por exemplo, se está em gigapascal, megapascal ou ksi; saber identi�car as convenções de
sinais das tensões do elemento (normais e cisalhante), entre outras habilidades. Porém, trabalhar com os parâmetros de
fórmulas talvez seja a mais importante das habilidades.
Videoaula: Resolução do estudo de caso
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo.
Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Para uma deformação de 0,008, tem-se uma tensão de 180 MPa. Calcule E.
    (1)
Se é dado que ν = 0,29, calcule G.
σ = E. ε 
E = σ
ε = 180.106
0,008 = 22,5.109
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Resistência dos Materiais
                            (2)
Dado o estado de tensões do elemento como mostrado na Figura 6, chegamos a:
σx = 7 MPa
σy = 5 MPa
τxy = 9 MPa
2θ = 30º + 180º = 210º
Cos 210º = - 0,8660
Sin 210º = - 0,5
 
Ao serem substituídos os valores na Equação 3, tem-se que σx’ = 0,634
E, na Equação 4, tem-se que τx’y’ = - 7,294
Na Equação 5, acha-se θp:
               (5)
 
Na Equação 6, tem-se a tensão normal máxima e a tensão normal mínima:
          (6)
Caso se opte pelo círculo de Mohr, usando o software MD Solids, em vez das Equações 3, 4, 5 e 6, tem-se:
G = E
2.(1+ν)  G = 22,5.109
2.(1+0.29) = 8,72.109
σx' =
σx+σy
2 +
σx−σy
2 . cos 2θ + τxy. sin 2θ
τx'y' = −( σx−σy
2 ). sin 2θ + τxy. cos 2θ
tg2θp =
2.τxy
σx−σy
= 2.9
7−5   =  9
2θp = 83.659∘
θp = 41.83∘
σmáx,mín = σx+σy
2 ± √( σx−σy
2 )
2
+ τxy2
σmáx,mín = 6 ± √12 + 92 = 15,055
ou − 3,055
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 7 | Tensões do elemento. Fonte: captura de tela do MD Solids elaborada pelo autor.
Figura 8 | Círculo de Mohr. Fonte: captura de tela do MD Solids adaptada pelo autor.
Figura 9 | Orientações dos planos. Fonte: captura de tela do MD Solids adaptada pelo autor.
Principal Stress Orientation = Orientação do plano principal = 41,83º
Isso con�rma que o círculo de Mohr coincide com os cálculos por fórmulas conforme esperado.
Resumo visual
Disciplina
Resistência dos Materiais
Como alcançar as tensões principais normais e de cisalhamento. Fonte: elaborada pelo autor.
Referências
Disciplina
Resistência dos Materiais
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Porto Alegre: Editora AMGH, 2011. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubc�/6/2[%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml]!/4/2[
page_i]/2%4051:2. Acesso em: 6 maio 2023.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2018. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0. Acesso em: 23 mar. 2023.
,
Unidade 4
Características geométricas
Aula 1
Diagramas de esforços internos
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786558040095/epubcfi/6/2%5b%3Bvnd.vst.idref%3Dcover.xhtml%5d!/4/2%5bpage_i%5d/2%4051:2
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0
Disciplina
Resistência dos Materiais
Estudante, boas-vindas a esta nova unidade! Nela será abordado um tema de extrema importância para dar início ao
processo de dimensionamento de um elemento estrutural. Trata-se dos diagramas de esforços internos que nada mais são
que uma forma grá�ca de representar como um elemento estrutural reage internamente quando é submetido a qualquer
esforço externo, seja uma força concentrada, seja uma força distribuída, seja um momento. Cada esforço interno está
associado a um determinado tipo de esforço externo, isto é, a uma força externa axial que causa um esforço interno normal;
a uma força externa transversal que causa um esforço interno cortante; a um momento externo que, dependendo do eixo de
aplicação, pode causar um esforço interno de momento torçor ou momento �etor. A determinação de como esses esforços
internos variam ao longo de um elemento estrutural indicará a região que estará sob maior solicitação e deverá ser
considerada para o dimensionamento desse elemento.
Esforços internos
Disciplina
Resistência dos Materiais
Entender o signi�cado físico dos esforços internos é essencial para a etapa de construção dos diagramas dos esforços
internos. De forma bem direta, os esforços internos são reações que surgem no elemento estrutural devido à aplicação de
um esforço externo.
A aplicação de uma força externa axial F em um elemento estrutural (Figura 1a) induz uma deformação longitudinal L (Figura
1b). Como resultado dessa deformação, o elemento estrutural produz um esforço interno normal N (Figura 1c).
Figura 1 | Esforço axial. Fonte: elaborada pelo autor.
A aplicação de uma força externa transversal F em um elemento estrutural (Figura 2a) induz uma deformação cisalhante, ou
de escorregamento (Figura 2b). Como resultado dessa deformação, o elemento estrutural produz um esforço interno
cortante V (Figura 2c).
Figura 2 | Esforço cortante. Fonte: elaborada pelo autor.
A aplicação de uma força externa F ou de um momento externo Me em um elemento estrutural (Figuras 3a e 4ª) induzem
uma deformação por �exão (Figuras 3b e 4b). Como resultado dessa deformação, o elemento estrutural produz um momento
�etor interno M (Figura 3c e 4c).
Figura 3 | Momento Fletor causado por uma força externa.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 4 | Momento �etor causado por um momento externo. Fonte: elaborada pelo autor.
Além de compreender o signi�cado físico dos esforços internos em um elemento estrutural, é imprescindível conhecer a
convenção de sinais adotada para representar esses esforços internos, isto é, qual o sentido positivo e qual o sentido
negativo de tais esforços. Nas Figuras 5, 6 e 7 são apresentadas as convenções de sinais.
Figura 5 | Convenção de sinais para o esforço normal N.
Figura 6 | Convenção de sinais para o esforço cortante V. Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 7 | Convenção de sinais para o momento �etor M. Fonte: elaborada pelo autor.
Conhecendo os efeitos dos esforços externos em um elemento estrutural, pode-se aplicar as equações de equilíbrio para
calcular os esforços internos. Lembre-se sempre de adotar a convenção de sinais positivos para realizar esses cálculos.
Recorde também que as equações de equilíbrio para um elemento estrutural bidimensional são: equilíbrio da direção x,
equilíbrio na direção y e equilíbrio de momentos. Pode-se determinar os esforços internos em qualquer ponto do elemento
estrutural partindo dessas equações conforme apresentado a seguir.
Considere um elemento estrutural qualquer sujeito aos diversos carregamentos externos conforme apresentado na Figura 8.
Diante disso, deseja-se saber qual o valor dos esforços internos no ponto P indicado.
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Resistência dos Materiais
Figura 8 | Elemento estrutural sujeito a diversos carregamentos externos.
Analisando o ponto P do elemento estrutural, observa-se que o conjunto de esforços externos aplicados produz os esforços
internos resultantes naquele ponto. Lembre-se de sempre representar os esforços internos utilizando a convenção positiva
de sinais. A Figura 9a apresenta os esforços internos na face direita do ponto P, já a Figura 9b, apresenta os esforçoshttps://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/balancing-act
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Resistência dos Materiais
Olá, estudante! Nesta aula, você entenderá a de�nição de treliça e compreenderá que ela é um tipo de estrutura muito
utilizada devido a sua aplicabilidade, versatilidade e resistência. Além disso, conhecerá os tipos de treliças existentes e a
avaliação da estabilidade e da estaticidade interna e global delas.
As vantagens da utilização desse tipo de estrutura são inúmeras. Contudo, as mais importantes e visadas estão relacionadas
ao custo-benefício, ao fator de segurança e ao tempo de montagem.
Além das aplicabilidades comuns, esse tipo de estrutura vem sendo utilizado também como elemento de decoração nas
construções e nos projetos de design de interiores, pois sua versatilidade permite que seja aproveitado de várias formas,
como em varandas, telhados rústicos, jardins, paredes, entre outros.
Vamos, então, estudar os conceitos relacionados a essa estrutura tão importante utilizada nas áreas de engenharia,
arquitetura, urbanismo e design de interiores? Bons estudos!
Treliças
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Resistência dos Materiais
Uma estrutura é denominada treliça quando é formada por barras lineares – também conhecidas como barras esbeltas –
interligadas entre si pelas extremidades, formando geometria triangular ao longo de seu comprimento longitudinal. É
utilizada principalmente em situações em que há um grande vão a ser vencido, suportando elevadas cargas. Os pontos em
que as barras são unidas são chamados de nós, local de atuação tanto das forças externas quanto da reação dos apoios que
a sustentam.
Os esforços normais são os principais aplicados nos elementos (barras) de uma estrutura treliçada tanto de tração quanto
de compressão atuantes no eixo longitudinal das barras, aumentando ou diminuindo seu comprimento, respectivamente,
para garantir o equilíbrio estático estrutural.
Na Figura 1 é apresentado um exemplo de treliça que pode ser utilizada como cobertura de um galpão (Figura 1a), pois
suporta o próprio peso e distribui os esforços até os apoios que a sustentam (A e E). Para analisar a treliça e sua
estabilidade, é necessário construir um Diagrama do Corpo Livre (DCL), indicado pela Figura 1b, em que os esforços externos
e as reações dos apoios são considerados evidenciando o local da aplicação do esforço.
Figura 1 | Treliça (a) e seu diagrama do corpo livre (b). Fonte: Hibbeler (2011, p. 195).
Analisando a Figura 1, conseguimos identi�car os elementos da treliça (as barras) e os nós (pontos em que as barras são
unidas) formando triângulos ao longo de seu comprimento longitudinal. Observe que cada nó recebe uma indicação que será
utilizada para análise do equilíbrio estrutural.
O grande interesse em treliças para estruturas está relacionado com a geometria triangular que ela apresenta, ou seja, com a
formação de triângulos ao longo de sua constituição. O triângulo é o tipo de geometria mais resistente a esforços
mecânicos, visto que, com a aplicação de um esforço em quaisquer um dos nós, todos os elementos da estrutura trabalham
para manter o equilíbrio.
Quanto à formação, uma treliça pode ser:
Simples: é formada a partir de um único triângulo base, com cada novo nó agregado por meio da alocação de duas
novas barras em seu interior, as quais são, com relação aos apoios que as sustentam, interiormente isostáticas. A
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Resistência dos Materiais
Figura 2a apresenta um exemplo de treliça simples. Note que o triângulo base é aquele que engloba toda estrutura.
Esse tipo de treliça pode ser usado na cobertura de um quiosque ou no telhado de uma área.
Composta (Figura 2b): é resultado da associação de duas treliças simples por meio de três barras em um ponto
(esboço 1) ou pela associação de um nó e uma barra (esboço 2). Como exemplo desse tipo de treliça, podemos citar os
postes de alta tensão.
Figura 2 | Treliças quanto à formação: simples (a) e compostas (b). Fonte: elaborada pela autora.
Além das treliças simples e compostas, existem as complexas, que também são isostáticas em seu interior. Devido a sua
formação, que conta com uma disposição complexa das barras, não podem ser consideradas nem simples nem compostas,
sendo denominadas, portanto, treliças complexas. Na Figura 3 há um exemplo de treliça complexa.
Figura 3 | Exemplo de treliça complexa. Fonte: elaborada pela autora.
Por �m, uma treliça pode ser avaliada com relação à dimensão escolhida, podendo ser: plana (em que as barras e os nós
estão alocados em um plano cartesiano) e espacial (estruturas que apresentam um arranjo em múltiplas direções e em que
os membros e os nós estão dispostos no espaço cartesiano, ou seja, nas três direções).
Estabilidade e estaticidade de uma treliça
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Resistência dos Materiais
Além da formação e do número de dimensões escolhidas para análise de uma treliça, ela também pode ser classi�cada
considerando-se a estabilidade e a estaticidade que possui.
Por de�nição, uma estrutura é estável quando apresenta equilíbrio estável, ou seja, é estaticamente determinada. Por essa
razão, é importante identi�car o grau de indeterminação de uma treliça e veri�car sua classi�cação em hipostática, isostática
e hiperestática.
Dessa forma, com relação ao grau de indeterminação de uma treliça, ela pode ser do tipo estaticamente determinada ou
indeterminada. Essa de�nição se dará pela aplicação das condições de equilíbrio e  . Ou pela
simpli�cação que leva em consideração o número de incógnitas – barras (b) + reações (r) – e o número de equações em
cada nó (j). Diante disso, teremos uma treliça:
        Isostática (estaticamente determinada) se  .
        Hiperestática (estaticamente indeterminada) se  .
        Hipoestática (instável) se  .
Essa análise da estabilidade pode ser realizada considerando os membros internos de uma treliça (estabilidade interna) ou
todos os membros que a constituem (estabilidade global). Na Figura 4, é apresentado um exemplo para situações de
instabilidade global (Figura 4a) e estabilidade interna (b).
Figura 4 | Treliça de instabilidade global (a) e treliça de estabilidade interna (b). Fonte: elaborada pela autora.
Assim, podemos dizer que:
  representa uma treliça instável.
∑Fx = 0 ∑Fy = 0
b + r = 2j
b + r > 2j
b + rinternos na face esquerda do ponto P. Ao aplicar as equações de equilíbrio, é indiferente analisar a face direita ou a face
esquerda, pois o resultado será exatamente o mesmo.
Figura 9 | Esforços internos nas duas faces do ponto P. Fonte: elaborada pelo autor.
Veri�que que, ao analisar os sentidos dos esforços internos em uma das faces do ponto P, observa-se que seu respectivo na
outra face possui sentido oposto, o que já era de se esperar, já que o ponto P está em equilíbrio estático, assim como todo o
restante do elemento estrutural.
Método das seções
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Resistência dos Materiais
O método das seções será utilizado para determinar os esforços internos em um ponto qualquer ao longo do elemento
estrutural. Esse método consiste em uma sequência de etapas que será apresentada a seguir.
Considere o elemento estrutural de comprimento L, que está apoiado �xamente no ponto A e simplesmente apoiado no
ponto B, sujeito às forças externas F1 e F2, aplicadas a uma distância d1 do ponto A, e sujeito ao momento externo M2
aplicado a uma distância d2 do ponto A, conforme mostrado na Figura 10. Diante disso, deseja-se calcular os esforços
internos no ponto P indicado.
Para obter o valor dos esforços internos, serão apresentadas as etapas do método das seções.
Figura 10 | Elemento estrutural para aplicação do método das seções. Fonte: elaborada pelo autor.
Etapa 1 – De�nir um sistema de referência coerente para as forças e momentos externos. Esse sistema de referência está
indicado no canto superior direito da Figura 10.
Etapa 2 – Substituir os apoios A e B pelas respectivas reações de apoio nesses pontos para a construção do diagrama de
corpo livre do elemento estrutural (Figura 11).
Como o ponto A está �xamente apoiado, há duas reações de apoio nele: RAx e RAy. Já o ponto B está simplesmente apoiado,
havendo apenas uma reação de apoio RBy.
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Resistência dos Materiais
Figura 11 | Diagrama de corpo livre para o elemento estrutural analisado.
Etapa 3 – Aplicar as equações de equilíbrio para o elemento estrutural completo com o objetivo de encontrar as reações nos
apoios A e B.
Equação 1: equilíbrio da direção x:
Equação 2: equilíbrio da direção y:
Equação 3: equilíbrio de momentos:
Observa-se que há três incógnitas no problema, RAx, RAy e RBy, e há três equações de equilíbrio. Isso torna o sistema
possível e determinado, já que o número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio.
Ao resolver o sistema de equação anterior, obtêm-se as reações de apoio RAx, RAy e RBy.
Etapa 4 – Seccionar o elemento estrutural no ponto P e indicar os esforços internos nesse ponto, de acordo com a
convenção positiva de sinais (Figura 12).
Figura 12 | Esforços internos na seção do ponto P. Fonte: elaborada pelo autor.
Para garantir que o ponto P esteja em equilíbrio estático assim como todos os demais pontos do elemento estrutural, é
necessário que as equações de equilíbrio sejam satisfeitas para o ponto P. Assim, aplicam-se novamente as equações
especi�camente para o ponto P.
Equação 1 para o ponto P: equilíbrio da direção x:
Equação 2 para o ponto P: equilíbrio da direção y:
Equação 3 para o ponto P: equilíbrio de momentos:
Aqui há novamente três equações de equilíbrio e três incógnitas, sendo elas os esforços internos no ponto P: esforço normal
N, esforço cortante V e momento �etor M. Esse sistema também é um sistema possível e determinado. Logo, resolvendo o
sistema de equações resultante, pode-se encontrar os esforços  internos no ponto P ou em qualquer outro ponto do elemento
estrutural.
∑Fx = 0
∑Fy = 0
∑Mp = 0
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O método das seções, representado pela sequência de quatro etapas, pode ser aplicado a qualquer elemento estrutural,
desde os mais simples até os mais complexos, sujeitos a qualquer tipo de carregamento concentrado ou distribuído. A única
restrição desse método está no fato de poder ser aplicado apenas às estruturas estaticamente determinadas, ou seja,
àquelas estruturas que possuem três reações de apoio determinadas pelo tipo de apoio ao qual o elemento está sujeito.
Diagramas de esforços internos
Os diagramas de esforços internos são uma representação grá�ca de como os esforços internos, o esforço normal, a força
cortante e o momento �etor variam ao longo de todo o elemento estrutural. São representados por grá�cos cartesiano em
que a abcissa (eixo x) representa a distância a partir de um ponto de referência adotado arbitrariamente e em que a
coordenada (eixo y) representa o valor do esforço interno.
Geralmente são construídos três grá�cos independentes, um para cada esforço interno. Para isso, utiliza-se o método das
seções já apresentado anteriormente.
Considere a situação apresentada na Figura 13, adotando como ponto de referência o ponto A e assumindo os seguintes
valores para as forças, momentos e distâncias apresentados na Tabela 1.
 
Tabela 1 | Dados numéricos do elemento estrutural para construção dos diagramas de esforços
Bloco 1
F1 F2 M3 d1
100 [N] 400 [N] 300 [N.m] 1 [m]
Bloco 2
d2 L
2 [m] 4 [m][1] 
 
Fonte: elaborada pelo autor.
file:///C:/Users/jussa/Downloads/rev_U04A13_DIAGRAMAS_Validado_d%C3%BAvidas.docx#_msocom_1
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Figura 13 | Elemento estrutural para construção dos diagramas de esforços.
Inicialmente, seleciona-se um ponto genérico P, localizado a uma distância x do ponto A, sendo que x deve obedecer à
restrição . No ponto P, realiza-se uma seção ou corte, surgindo assim os esforços internos: esforço normal, força
cortante e momento �etor, de acordo com a Figura 13.
Aqui surge uma questão importante: quantas seções ou cortes serão necessários para traçar adequadamente os diagramas
de esforços internos? A resposta vai depender do número de descontinuidades presentes no modelo, isto é, quantas forças
ou momentos estão atuando no elemento estrutural. Identi�cado essas descontinuidades, aplica-se uma seção ou corte
entre cada descontinuidade, conforme apresentado na  14.
Figura 14 | Indicação do número de seções necessárias
Matematicamente, pode-se escrever as restrições de cada seções quanto aos esforços atuantes, conforme mostrado a
seguir:
0 ≤ x ≤ L
Seção 1:  (entre o ponto A e o ponto de aplicação de F1 e F2).
Seção 2:   (entre o ponto de aplicação de F1 e F2 e o ponto de aplicação de M3).
Seção 3:  (entre o ponto de aplicação de M3 e o ponto B).
0≤x≤d1
d1≤x≤d2
d2 ≤ x ≤ L 
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Nesse ponto, é possível aplicar o método das seções apresentado anteriormente. Note que a Etapa 1 (de�nir um sistema de
coordenadas coerente) e Etapa 2 (representar o diagrama de corpo livre) já estão indicadas na Figura 13.
Avançando para a Etapa 3, aplicam-se as equações de equilíbrio para obter as reações de apoio:
Equação 1.0:
Equação 2.0:
Equação 3.0:
Substituindo os valores numéricos dos parâmetros conhecidos, obtém-se:
Equação 1.0:
Equação 2.0: 
Equação 3.0: 
Resolvendo a Equação 1.0, obtém-se o valor de: 
Resolvendo a Equação 3.0, obtém-se o valor de  
Substituindo o valor de RBy na Equação 2.0, obtém-se o valor de 
Na Etapa 4, aplicam-se as equações de equilíbrio a cada uma das seções de�nidas anteriormente e indicadas na Fig[1] [2] ura
14.
A Figura 15 indica a seção 1: 
Figura 15 | Seção 1. Fonte: elaborada pelo autor.
Equação 1.1: 
Equação 2.1:
Equação 3.1: 
Resolvendo a Equação 1.1, obtém-se:
Resolvendo a Equação 2.1, obtém-se:
Resolvendo a Equação 3.1, obtém-se:
A Figura 16 indica a seção 2:
 
∑Fx = 0 → RAx + F2 = 0
∑Fy = 0 → RAy − F1 + RBy = 0
∑MA = 0 → −F1 ⋅ d1 + M3 + RBy ⋅ L = 0
∑Fx = 0 → RAx + 400 = 0
∑Fy = 0 → RAy − 100 + RBy = 0
∑MA = 0 → −100 ⋅ 1 + 300 + RBy ⋅ 4 = 0
RAx = −400[N ]
RBy = −50 [N ]
0 ≤ x ≤ d1 → 0[m] ≤ x ≤ 1[m]
∑Fx = 0 → RAx + N1 = 0
∑Fy = 0 → RAy − V1 = 0
∑Mcorte = 0 → M1 − RAy ⋅ x = 0
∑Fx = 0 → RAx + N1 = 0 → −400 + N1 = 0 → N1 = 400 [N ]
∑Fy = 0 → RAy − V 1 = 0 → 150 − V 1 = 0 → V 1 = 150 [N ]
∑Mcorte = 0 → M1 − RAy ∙ x = 0 → M1 − 150 ∙ x = 0 → M1 = 150 ∙ x [N .m]
d1 ≤ x ≤ d2→ 1[m] ≤ x ≤ 2[m]
file:///C:/Users/jussa/Downloads/rev_U04A13_DIAGRAMAS_Validado_d%C3%BAvidas.docx#_msocom_1
file:///C:/Users/jussa/Downloads/rev_U04A13_DIAGRAMAS_Validado_d%C3%BAvidas.docx#_msocom_2
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Resistência dos Materiais
Figura 16 | Seção 2. Fonte: elaborada pelo autor.
Equação 1.2:
Equação 2.2: 
Equação 3.2:
Resolvendo a Equação 1.2, obtém-se:
Resolvendo a Equação 2.2, obtém-se:
Resolvendo a Equação 3.2, obtém-se:
 
A Figura 17 indica a seção 3:
 
Figura 17 | Seção 3. Fonte: elaborada pelo autor.
Equação 1.3:
∑Fx = 0 → RAx + F2 + N2 = 0
∑Fy = 0 → RAy − F1 − V2 = 0
∑Mcorte = 0 → M2 + F1 ⋅ (x − d1) − RAy ⋅ x = 0
∑Fx = 0 → RAx + F2 + N2 = 0 → −400 + 400 + N2 = 0 → N2 = 0 [N ]
∑Fy = 0 → RAy − F1 − V 2 = 0 → 150 − 100 − V 2 = 0 → V 2 = 50 [N ]
∑Mcorte = 0 → M2 + 100 ∙ (x − 1) − 150 ∙ x = 0
M2 − 50 ∙ x − 100 = 0 → M2 = 50 ∙ x + 100 [N .m]
d2 ≤ x ≤ L → 2[m] ≤ x ≤ 4[m]
∑Fx = 0 → RAx + F2 + N4 = 0
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Equação 2.3: 
Equação 3.3: 
Resolvendo a Equação 1.2, obtém-se:
 
Resolvendo a Equação 2.2, obtém-se:
 
Resolvendo a Equação 3.3, obtém-se:
Finalizada a Etapa 4, pode-se traçar o diagrama de esforços internos utilizando as equações obtidas ao longo da aplicação
do método das seções às três seções do elemento estrutural utilizando qualquer software grá�co, ou mesmo pode-se traçá-
lo à mão. A Tabela 2 sintetiza todos esses resultados.
 Tabela 2 | Síntese dos resultados obtidos pelo método das seções
 
  Esforço
normal
Força
cortante Momento �etor
Seção 1: 
Seção 2: 
Seção 3: 
Fonte: elaborada pelo autor.
A Figura 18 representa o diagrama de esforços normais para o elemento estrutural. Veri�ca-se que, no trecho entre 0 m e 1 m,
o esforço normal possui um valor máximo de 400 N, sendo nulo em todo o restante do comprimento do elemento estrutural.
∑Fy = 0 → RAy − F1 − V4 = 0
∑Mcorte = 0 → M4 + M3 + F1 ⋅ (x − d1) − RAy ⋅ x = 0
∑Fx = 0 → RAx + F2 + N4 = 0 → −400 + 400 + N4 = 0 → N4 = 0[N ]
∑Fy = 0 → RAy − F1 − V4 = 0 → 150 − 100 − V4 = 0 → V4 = 50[N ]
∑Fy = 0 → RAy − F1 − V4 = 0 → 150 − 100 − V4 = 0 → V4 = 50[N ]
M4 + 300 + 100 ⋅ (x − 1) − 150 ⋅ x = 0 → M4 = 50 ⋅ x − 200[N .m]
0m ≤ x ≤ 1m
N1 = 400N V 1 = 150NM1 = 150 ⋅ xNm
1m ≤ x ≤ 2m
N2 = 0N V 2 = 50N M2 = +50 ⋅ x + 100Nm
2m ≤ x ≤ 4m
N4 = 0N V 4 = 50N M4 = +50 ⋅ x − 200Nm
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Resistência dos Materiais
Figura 18 | Diagrama de esforços normais. Fonte: elaborada pelo autor.
A Figura 19 representa o diagrama de esforços cortantes para o elemento estrutural. Veri�ca-se que, no trecho entre 0 m e 1
m, o esforço cortante possui um valor máximo e constante de 150 N e, no restante do comprimento do elemento estrutural, o
valor do esforço cortante é mínimo e também permanece constante, mas igual a 50 N.
Figura 19 | Diagrama de esforços cortantes. Fonte: elaborada pelo autor.
A Figura 20 representa o diagrama de momentos �etores para o elemento estrutural. Veri�ca-se que, no trecho entre 0 m e 1
m, o momento �etor aumenta linearmente até o valor de 150 N.m; no trecho seguinte, entre 1 m e 2 m, o  momento �etor
aumenta linearmente de 150 N.m até o valor máximo de 200 N.m; no ponto 2 m, o momento �etor sofre um salto negativo,
diminuindo para -100 N.m e, em seguida, volta a diminuir linearmente até o valor de 0 N.m no ponto 4 m.
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Figura 20 | Diagrama de momento �etor. Fonte: elaborada pelo autor.
Neste último diagrama, vale destacar um detalhe muito importante: a convenção adotada para o sentido do eixo positivo dos
momentos �etores é para baixo, contrária à convenção adotada para construção dos diagramas de esforços normais e
forças cortantes. Dessa forma, ao construir o diagrama de momentos �etores, tenha em mente que o eixo positivo desses
esforços deve ter sentido para baixo.
Videoaula: Diagramas de esforços internos
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Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Olá, estudante! Neste vídeo, você entenderá a origem dos esforços internos, o esforço normal, a força cortante e o momento
�etor, que surgem em elementos estruturais ao serem submetidos a esforços externos. Você também conhecerá o método
das seções para o cálculo desses esforços internos e entenderá como aplicá-lo para obter os diagramas deles, que são uma
forma grá�ca de visualizar como os esforços internos variam ao longo do elemento estrutural.
Saiba mais
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Resistência dos Materiais
Uma ferramenta muito interessante para elaborar os diagramas de esforços internos é o FTOLL, um software muito simples,
mas de grande aplicação e utilidade. Vale a pena dar uma olhada no site e baixar uma versão para estudantes.
Referências
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/225. Acesso em: 29 abr. 2023.
PUC-RIO. Ftool, Rio de Janeiro, c2023. Disponível em: https://www.ftool.com.br. Acesso em: 23 set. 2023.
Aula 2
Momento de inércia
Introdução
https://www.ftool.com.br/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/225
https://www.ftool.com.br/
Disciplina
Resistência dos Materiais
Estudante, boas-vindas a esta nova aula! Nela será abordada uma propriedade geométrica de �guras planas, ou seções
transversais de elementos estruturais, conhecida como momento de inércia de área. Essa propriedade pode ser calculada em
relação a um determinado eixo ou em relação a um ponto. Quando calculada em relação a um eixo, é conhecida como
momento de inércia axial; quando calculada em relação a um ponto, é conhecida como momento de inércia polar ou radial.
Fisicamente, o momento de inércia axial está associado às tensões de deformação que surgem durante a �exão de um
elemento estrutural e representa a rigidez à �exão que a seção possui, isto é, a resistência que a seção transversal possui
para girar em torno de determinado eixo. Já o momento de inércia polar ou radial está associado às tensões de deformação
que surgem durante a torção de um elemento estrutural e representa a rigidez à torção que a seção possui, isto é, a
resistência que a seção transversal possui em girar em torno de um ponto. Conhecendo essas propriedades, é possível
calcular o módulo de resistência à �exão e à torção de uma seção transversal e, assim, determinar as tensões normais no
caso da �exão e de cisalhamento no caso da torção.
Momento de inércia de área e módulo de resistência
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Resistência dos Materiais
Todo elemento estrutural tem uma seção transversal com propriedades geométricas bem conhecidas, como área e
perímetro, mas também conta com outras propriedades, como os momentos de inércia de área. Tal propriedade está
associada à resistência que a seção transversal possui a uma rotação, seja em torno de um eixo, seja em torno de um ponto.
O momento de inércia é calculado em relação a um determinado eixo quando se estuda o problema de �exão de um
elemento estrutural. Nesse problema, temos uma seção transversal sofrendo rotação em torno do eixo que passa pelo
centroide da seção, o que provoca o surgimento das tensões normais da �exão. Nas Figuras 1a e 1b, pode-se veri�car um
elemento estrutural antes da deformação por �exão e o mesmo elemento deformado. É possível veri�car também as seções
sofrendo rotação em torno do eixo que passa pelo centroide da seção. O que determina a resistência que essa seção possui
à rotação em torno desse eixo é o momento de inércia axial: quanto maior o valor dessa propriedade, maior será a resistência
da seção à rotação.
Figura 1 | Elemento estrutural antes e depois da deformação por �exão. Fonte: Hibbeler (2010, p. 210).
Calcula-se o momento de inércia em torno de um ponto quando se estuda o problema da torção de elementos estruturais. No
problema em questão, temos uma seção transversal sofrendo rotação em torno de um ponto que é exatamente o centroideda seção, o que provoca o surgimento das tensões de cisalhamento da torção. Nas Figuras 2a e 2b, pode-se veri�car um
elemento estrutural antes da deformação por torção e, em seguida, o mesmo elemento deformado, de modo que é possível
veri�car as seções sofrendo rotação em torno do centroide. O que determina a resistência que a seção possui à rotação em
torno desse ponto é o momento de inércia radial: quanto maior o valor dessa propriedade, maior será a resistência da seção
que sofre rotação.
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Resistência dos Materiais
Figura 2 | Elemento estrutural antes e após a deformação por torção. Fonte: Hibbeler (2010, p. 125).
Já o módulo de resistência à �exão e o módulo de resistência à torção são também propriedades geométricas da seção
transversal do elemento estrutural, sendo o módulo de resistência à �exão uma propriedade que mede a resistência que a
seção possui à deformação por �exão, e o módulo de resistência à torção aquela que mede a resistência que a seção possui
à deformação por cisalhamento. Em ambos os casos, essa propriedade depende do momento de inércia axial e radial,
respectivamente, e da maior distância entre o centroide da seção transversal e a �bra mais externa.
De�nição de momento de inércia e módulo de resistência
Será apresentada, neste bloco, a formulação matemática dos conceitos de momento de inércia axial, momento de inércia
radial e módulo de resistência. Para isso, será necessário introduzir, antes, a formulação matemática do cálculo do centroide,
ou do centro de gravidade de �guras planas, um ponto especial que apresenta uma distribuição homogênea de área em torno
de si.
Considere a Figura 3 uma �gura plana genérica na qual estão indicados os eixos de referência (x, y), os eixos que passam
pelo centroide (xc, yc) e a posição de um elemento in�nitesimal de área dA (xi, yi).
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Resistência dos Materiais
Figura 3 | Figura plana genérica para cálculo do centroide. Fonte: elaborada pelo autor.
A determinação do ponto (xc, yc), que localiza o centroide ou centro de gravidade da Figura 3, é dada pelas Equações 1 e 2:
   
Conhecendo a posição (xc, yc) do centroide, é possível calcular o valor dos momentos de inércia axial e polar.
Agora, considere a Figura 4, que indica os eixos (xc, yc) que passam pelo centroide da �gura plana, e a posição de um
elemento in�nitesimal de área dA (xi, yi).
Figura 4 | Figura plana genérica para cálculo dos momentos de inércia axiais. Fonte: elaborada pelo autor.
xc = ∫ xi∙dA
∫ dA
    (1)yc = ∫ yi∙dA
∫ dA
     (2)
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Resistência dos Materiais
O momento de inércia axial em relação ao eixo xc, representado por Ixx, é dado pela Equação 3, enquanto o momento de
inércia axial em relação ao eixo yc, representado por Iyy, é dado pela Equação 4.
Já o momento polar de inércia é calculado em relação ao ponto (xc, yc) e não em relação a um eixo. Dessa forma, é de�nida
uma distância ri do ponto (xc, yc) até o elemento de área dA, sendo   conforme indicado na Figura 5.
Figura 5 | Figura plana genérica para cálculo do momento polar de inércia. Fonte: elaborada pelo autor.
Na Equação 5, é apresentado o cálculo do momento inércia polar J e, na Equação 6, é apresentada a relação entre os
momentos de inércia axiais, Ixx e Iyy, e o momento de inércia polar, J.
         (5)
Sabe-se que  , então, substituindo essa relação na Equação 5, obtém-se:
 
Conhecendo os momentos de inércia axial e polar, é possível determinar o módulo de resistência à �exão e à torção de uma
superfície plana. Considere as Figuras 6a e 6b, em que é possível veri�car o ponto mais afastado na direção y entre o eixo
que passa pelo centroide e a extremidade da �gura e o ponto mais afastado na direção x entre o eixo que passa pelo
centroide e a exterminada da �gura.
Ixx = ∫ yi
2 ∙ dA            (3)Iyy = ∫ xi
2 ∙ dA            (4)
r2
i = x2
i + y2
i
J = ∫ ri
2 ∙ dA
J = ∫ ri
2 ∙ dA = J = ∫ (xi
2 + yi
2) ∙ dA = ∫ xi
2 ∙ dA + ∫ yi
2 ∙ dA = Ixx + Iyy        (6)
J = Ixx + Iyy
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Figura 6 | Máxima distância vertical e horizontal. Fonte: elaborada pelo autor.
O módulo de resistência pode ser calculado para �exão em torno do eixo xc (seção transversal sofre rotação em torno do
eixo xc) pela Equação 7, ou para �exão em torno do eixo yc (seção transversal sofre rotação em torno do eixo yc) pela
Equação 8.
     (7)
     (8)
Já o módulo de resistência à torção é calculado através do conhecimento da maior distância radial entre o ponto (xc, yc) e a
extremidade da �gura, conforme mostrado na Figura 7 e calculado na Equação 9.
Figura 7 | Máxima distância radial. Fonte: elaborada pelo autor.
                          (9)
Cálculo momentos de Inércia
Wx = Ixx
ymax
Wy =
Iyy
xmax
Wr = J
rmax
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Agora, serão apresentadas as metodologias para o cálculo do centroide, do momento de inércia axial, do momento de inércia
polar, do módulo de resistência à �exão e do módulo de resistência à torção.
Considere um retângulo de base (b) e altura (h). Inicialmente deseja-se determinar a posição do centroide da �gura em
relação ao eixo x e, em seguida, em relação ao eixo y. Para tais cálculos, é necessário seguir as etapas apresentadas a seguir.
Etapa 1 – De�nir a posição dos eixos de referência (x, y), Figura 8a e 8b.
Etapa 2 – De�nir os elementos in�nitesimais de área dA em relação aos eixos (x, y), Figura 8a e 8b.
Figura 8 | Elemento de área em relação ao eixo x e ao eixo y. Fonte: elaborada pelo autor.
Etapa 3 – Resolver as Equações 1 e 2:
Com o resultado obtido para um simples retângulo, é possível extrapolar para qualquer �gura geométrica plana que possua
simetria em relação a um ou mais eixos: a posição do centroide sempre estará sobre o eixo ou os eixos de simetria da seção
transversal, conforme Figura 9.
xc =
∫ xi∙dA
∫ dA
,  dA = h ∙ dx → xc =
∫ xi∙h∙dx
∫ h∙dx
= h∙x2/2
h∙x = x
2 → xc = b
2∣b0yc = ∫ yi∙dA
∫ dA
,  dA = b ∙ dy → yc = ∫ yi∙b∙dy
∫ b∙dy
= b∙y2/2
b∙y = y
2 → yc = h
2∣h0
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Figura 9 | Exemplo de uma �gura simétrica em relação a um eixo vertical e horizontal. Fonte: elaborada pelo autor.
Para a próxima situação, considere o mesmo retângulo, cujo centroide já foi determinado (xc = b/2 e yc = h/2). Agora, serão
apresentadas as etapas para o cálculo do momento de inércia axial em torno do eixo xc e em torno do eixo yc:
Etapa 1 – De�nir a posição dos eixos que passam pelo centroide (xc, yc), Figura 10a e 10b.
Etapa 2 – De�nir os elementos in�nitesimais de área dA em relação aos eixos (xc, yc), Figura 10a e 10b.
Figura 10 | Elemento de área em relação ao eixo xc e em relação ao eixo yc. Fonte: elaborada pelo autor.
Etapa 3 – Resolver as Equações 3 e 4.
Aqui é possível veri�car que a unidade de momento de inércia é uma unidade de comprimento à quarta potência, isto é, pode
ser dada por [mm4], [cm4] ou [m4].
Ixx = ∫ yi
2 ∙ dA,  dA = b ∙ dy → Ixx = ∫ yi
2 ∙ b ∙ dy = b ∙ yi
3
3 ∣+h/2
−h/2
Ixx =
b∙(h/2)3
3 −
b∙(−h/2)3
3 → Ixx = b∙h3
12
Iyy = ∫ yi
2 ∙ dA,  dA = b ∙ dy → Ixx = ∫ yi
2 ∙ b ∙ dy = b ∙ yi
3
3 ∣+h/2
−h/2
Ixx =
b∙(h/2)3
3 −
b∙(−h/2)3
3 → Ixx = b∙h3
12
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Resistência dos Materiais
Conhecendo os valores dos momentos de inércia axiais em relação aos eixos xc e yc, é possível utilizar a Equação 6 para
obter o momento polar de inércia em relação ao ponto (xc, yc).
Agora que já foram calculados os momentos de inércia  axiais em torno dos eixos xc e yc e o momento polar de inércia em
torno do ponto (xc, yc), é possível determinar os módulos de resistência à �exão e à torção de acordo com as Equações 7, 8 e
9.
A unidade de medida dos módulos de resistência é dada por uma unidade de comprimento à terceira potência, isto é, pode
ser [mm3], [cm3] ou [m3].
Videoaula: Momento de inércia
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo aplicativo.
Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.Olá, estudante! Neste vídeo você entenderá o signi�cado físico de algumas propriedades geométricas de �guras planas,
como centroide, momento de inércia axial e polar e módulo de resistência. Será apresentado a você também a formulação
matemática para o cálculo de cada uma dessas propriedades e como elas podem in�uenciar nos diversos tipos de esforços
a que um elemento estrutural pode ser submetido. Bons estudos!
Saiba mais
J = Ixx + Iyy,     Ixx = b∙h3
12  e Iyy = h∙b3
12
J = b∙h3
12 + h∙b3
12 =
h∙b∙(b2+h2)
12
Wx = Ixx
ymax
;  Ixx = b∙h3
12  e ymax = h
2
Wx =
b∙h3
12
h
2
→ Wx = b∙h2
6
Wy = Iyy
xmax
;  Iyy = h∙b3
12  e xmax = b
2
Wy =
h∙b3
12
b
2
→ Wx = h∙b2
6
Wr = J
rmax
;  J =
h∙b∙(b2+h2)
12  e rmax = 1
2
√b2 + h2
Wr =
h∙b∙(b2+h2)
12
1
2
√b2+h2
→ Wr =
h∙b∙(b2+h2)
6∙√b2+h2
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Resistência dos Materiais
Uma ferramenta muito interessante para determinar o momento de inércia, o centroide e outras propriedades geométricas
importantes para uma variedade de formas, incluindo retângulos, círculos, seções ocas e triângulos, é o SkyCiv Moment of
Inertia and Centroid Calculadora, que pode ser cessado no site.
Referências
HIBBELER, R. C. Estática. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2612/pdf/409. Acesso em: 16 maio 2023.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/225. Acesso em: 16 maio 2023.
SKYCIV. SkyCiv, [S. l.], c2023. Disponível em: https://skyciv.com/pt/free-moment-of-inertia-calculator/. Acesso em: 24 set.
2023.
https://skyciv.com/pt/free-moment-of-inertia-calculator/
https://skyciv.com/pt/free-moment-of-inertia-calculator/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2612/pdf/409
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/225
https://skyciv.com/pt/free-moment-of-inertia-calculator/
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Resistência dos Materiais
Aula 3
Flambagem de barras
Introdução
Estudante, boas-vindas a mais uma aula desta unidade. Nela você estudará o efeito de uma carga axial de compressão em
elementos estruturais esbeltos, isto é, em elementos nos quais a área da seção transversal é muito pequena quando
comparada a seu comprimento. Nesse tipo de elemento estrutural, o efeito da carga axial de compressão é aquele que já foi
estudado nas aulas anteriores: efeito de compressão axial se a carga axial for menor que um determinado valor crítico.
Agora, se a carga for maior que esse valor crítico, o elemento estrutural sofrerá um efeito de �exão conhecido como
�ambagem.
A �ambagem é considerada uma perda de estabilidade elástica, pois o elemento estrutural perde sua estabilidade antes de
as tensões atingirem o limite de escoamento, permanecendo, assim, na região elástica. Esse colapso da estabilidade do
elemento estrutural sempre ocorrerá na direção do eixo que tem o menor momento de inércia transversal. A tensão crítica de
�ambagem não depende do limite de escoamento do material, mas apenas de seu módulo de elasticidade.
Estabilidade elástica
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Resistência dos Materiais
Considere um elemento estrutural de diâmetro d fabricado com um material de módulo de elasticidade E, submetido a uma
força axial de compressão F. Se esse elemento estrutural tiver um comprimento l, sendo l muito próximo a o valor de d, é
possível desconsiderar questões de estabilidade, e uma força considerável pode ser suportada por esse elemento, como
mostrado na Figura 1a. Entretanto, se o elemento estrutural possuir comprimento igual a várias vezes o diâmetro d, quando
submetido à mesma força F, pode tornar-se lateralmente instável e entrar em colapso, isto é, pode mudar sua con�guração
linear para uma outra con�guração não linear e romper por �exão, conforme apresentado na Figura 1b. 
Figura 1 | Estabilidade lateral de um elemento estrutural. Fonte: elaborada pelo autor.
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Resistência dos Materiais
De�ne-se estabilidade como sendo a propriedade que um elemento estrutural tem de manter o seu estado inicial de equilíbrio
nas condições de aplicação de ações externas. Se um elemento estrutural não possui essa propriedade, sua condição é
de�nida como instável. Nas Figuras 2a, 2b e 2c, é possível observar os três estados de equilíbrio que um elemento estrutural
pode experimentar. Eles são descritos por meio de uma analogia com uma esfera em uma superfície de determinada
geometria. 
Figura 2 | Classi�cação dos estados de equilíbrio. Fonte: elaborada pelo autor.
Equilíbrio estável (Figura 2a): indica um sistema que, ao sofrer uma pequena perturbação e depois de eliminar as
causas dessa perturbação, volta ao seu estado inicial de equilíbrio.
Equilíbrio indiferente (Figura 2b): indica um sistema que, ao sofrer uma pequena perturbação e depois de eliminar as
causas dessa perturbação, alcança outro ponto de equilíbrio, diferente do inicial.
Equilíbrio instável (Figura 2c): indica um sistema que, ao sofrer uma pequena perturbação e depois de eliminar as
causas dessa perturbação, não volta ao seu estado inicial de equilíbrio.
Considere, agora, um elemento estrutural com comprimento muito maior que seu diâmetro ou sua dimensão lateral.
Elementos com essa geometria são classi�cados como esbeltos e a eles aplica-se uma força de compressão F, conforme
mostrado na Figura 3a. Inicialmente esse elemento encontra-se em uma posição de equilíbrio estável, mas, ao retirar-se a
força F, retorna a sua posição de equilíbrio conforme a Figura 3a. Aumentando gradativamente o valor da força F, observa-se
que esse fenômeno se repete até que o valor da força F alcance um valor crítico (Figura 3b). Para valores da força F
superiores a esse valor crítico, a condição de equilíbrio do elemento estrutural é alterada para uma condição de equilíbrio
instável, de modo que ele sofre uma deformação por �exão, conhecida como �ambagem (Figura 3c).
Essa carga crítica é conhecida como carga de �ambagem ou carga de Euler e indica o máximo valor da força de compressão
F que pode ser aplicada a um elemento estrutural sem que sua condição de equilíbrio estável seja alterada para uma
condição de equilíbrio instável.   
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Resistência dos Materiais
Figura 1 | Estabilidade lateral de um elemento estrutural. Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
É conveniente ressaltar que o fenômeno da �ambagem não é um problema de resistência ou rigidez do elemento estrutural,
mas de estabilidade. Se o material que compõe a estrutura seguisse inde�nidamente a Lei de Hooke, a carga aplicada
poderia crescer sensivelmente acima da carga crítica sem que o equilíbrio perdesse seu caráter estável, o que não é
veri�cado na prática.
Carga crítica de �ambagem
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Considere um elemento estrutural ideal de comprimento L, área de seção transversal A e momentos de inércia Ixx e Iyy,
suportado por dois pinos, um em cada extremidade, que se encontra perfeitamente reto antes da aplicação de uma carga de
compressão F, que é feito de um material homogêneo e que se comporta de maneira elástica linear com módulo de
elasticidade E. Diante disso, imagine que a carga F é aplicada no centroide da seção transversal desse elemento.
É possível demonstrar que a carga crítica de �ambagem ou carga de Euler, isto é, o menor valor do esforço de compressão
Pcr que modi�ca a condição de equilíbrio estável do elemento estrutural, é dada pela Equação 1.
                      (1)
Um ponto de atenção que deve ser reforçado é a utilização do menor momento de inércia, na Equação 1, entre os dois
possíveis valores existentes, Ixx e Iyy, pois o elemento estrutural sofrerá �ambagem em torno do eixo que possui menor
resistência à �exão, conforme mostrado na Figura 4.
Figura 4 | Eixos de �ambagem. Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
Pcrit = π2∙E∙I
L2
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Para �ns de projeto, é de�nida uma propriedade conhecida como raio de giração, r, que é dada pela Equação 2. Novamente,aqui, deve-se selecionar o menor raio de giração associado também ao menor momento de inércia.
           (2)
Assim, substituindo a Equação 2 na 1, é possível determinar a tensão crítica de �ambagem  :
A tensão crítica de �ambagem é uma tensão média no elemento estrutural imediatamente antes de ele sofrer �ambagem, é
mostrada na Equação 3.
                      (3)
Aqui é possível de�nir outra propriedade geométrica do elemento estrutural associada a sua �exibilidade, chamada de índice
de esbeltez, i, que é dado pela Equação 4.
          (4)
Substituindo a Equação 4 na 3, obtém-se a tensão crítica em função do índice de esbeltez dado pela Equação 5, também
conhecida como equação de Euler.
  (5)
A Equação 5 somente tem validade se a tensão crítica no elemento estrutural for menor que o limite de escoamento do
material, já que este deve se comportar elasticamente durante a �ambagem. Assim, conhecendo os valores dos seus limites
de escoamento e do módulo de elasticidade, é possível determinar os menores índice de esbeltez, por exemplo, para um
determinado aço (σE = 250 [MPa] e E = 200 [GPa]) e para o alumínio (σE = 190 [MPa] e E = 70 [GPa]).
Ao igualar-se o limite de escoamento dos dois materiais com sua respectiva tensão crítica de �ambagem, dada pela Equação
5, são obtidos os menores índices de esbeltez aceitáveis para que o elemento estrutural ainda sofra �ambagem
elasticamente. Nesse caso, são dados para os materiais citados anteriormente os índices de esbeltez aceitáveis iguais a  e .
Esses valores indicam os limites de validade da Equação 5. Índices de esbeltez menores que os valores indicados por ela não
têm validade, de modo que passa ser necessário aplicar outra teoria.
A Equação 5 foi deduzida para uma condição especí�ca: quando o elemento estrutural está apoiado por pinos em suas
extremidades. Na prática, há outros tipos de apoios, como engastes, apoios �xos, apoios simples e até mesmo extremidade
livre. Nesse caso, é de�nido um comprimento efetivo de �ambagem, incluindo um parâmetro K conforme indicado na
Equação 6.
           (6)
O parâmetro K pode ser obtido pelas Figuras 5a, 5b, 5c e 5d, nas quais são indicados os tipos de apoio mais comuns
utilizados na prática.
I = A ⋅ r2
σcr
Pcrit = π2∙E∙Imin
L2 ;  Imin = A ⋅ rmin
2
Pcrit = π2∙E∙A⋅rmin
2
L2 → Pcrit
A = π2∙E∙rmin
2
L2 = σcrit
σcrit = π2∙E∙rmin
2
L2
i = L
rmin
σcrit = π2∙E∙rmin
2
L2 ;  i = L
rmin
       
σcrit = π2∙E
(L/rmin)2 → σcrit = π2∙E
i2
Lef = K ∙ L
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Figura 5 | Tipos de apoios e seu respectivo parâmetro K. Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
Com base na generalidade dos tipos de apoio, é possível reescrever a Equação 5 incluindo o parâmetro K, de acordo com a
Equação 7.
                 (7)
Cálculo da carga crítica de tensão crítica de �ambagem
Considere que você, como engenheiro, foi consultado para resolver a seguinte situação-problema: é necessário projetar um
elemento estrutural, na forma de uma coluna de L = 10 m de altura, e, para isso, precisa-se também determinar qual a
σcrit = π2∙E
(K.i)2
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geometria da seção transversal, qual o material selecionado e qual tipo de �xação do elemento estrutural resultará na maior
carga crítica suportável por esse elemento.
Geometria da seção transversal disponível:
Uma seção quadrada com lado l = 100 [mm].
Uma seção circular de diâmetro D = 200 [mm].
Materiais disponíveis:
Aço 1060 (limite de escamento [MPa] e módulo de elasticidade E = 200 [GPa]).
Aço 4340 (limite de escamento [MPa] e módulo de elasticidade E = 200 [GPa]).
Tipo de �xação disponível:
Base engastada e topo articulado: K = 0,7.
Para a solução deste problema, é necessário seguir as etapas indicadas adiante:
Etapa 1 – Determinar a área de cada uma das seções.
Seção quadrada de lado l = 100 [mm] ou l = 0,1 [m]
Seção circular de lado D = 200 [mm] ou D = 0,2 [m]
Etapa 2 – Determinar o momento de inércia de cada uma das seções.
Seção quadrada de lado l = 100 [mm] ou l = 0,1 [m]
Seção circular de lado D = 200 [mm] ou D = 0,2  [m]
Como as duas seções são simétricas em relação a qualquer eixo de �ambagem, os momentos de inércia são iguais em
relação a esses eixos, sendo mínimo em torno de qualquer eixo.
Etapa 3 – Determinar o raio de giração de cada uma das seções.
Seção quadrada de lado l = 100 [mm] ou l = 0,1 [m]
Seção circular de lado D = 200 [mm] ou D = 0,2 [m]
Etapa 4 – Determinar o índice de esbeltez de cada uma das seções.
Seção quadrada de lado l = 100 [mm] ou l = 0,1 [m]
Seção circular de lado D = 200 [mm] ou D = 0,2 [m]
Aquadrado = l2 → Aquadrado = (0,1)2 → Aquadrado = 0,010[m2]
Acirculo = π⋅D2
4 → Acirculo = π⋅(0,2)2
4 → Acirculo = 0,031[m2]
Iquadrado = l4
12 → Iquadrado = (0,1)4
12 → Iquadrado = 8,34 ⋅ 10−6[m4]
Icirculo = π⋅D4
64 → Icirculo = π⋅(0,2)4
64 → Icirculo = 78,54 ⋅ 10−6[m4]
rquadrado = √ Iquadrado
Aquadradao
→ rquadrado = √ 8,34⋅10−6
0,010 → rquadrado = 2,88 ⋅ 10−2[m]
rcirculo = √ Icirculo
Acirculo
→ rcirculo = √ 78,54⋅10−6
0,031 → rcirculo = 5,03 ⋅ 10−2[m]
iquadrado = K⋅L
rquadrado
→ iquadrado = 0,7⋅10
2,88⋅10−2 → iquadrado = 243
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Resistência dos Materiais
Etapa 5 – Veri�car se os índices de esbeltez estão dentro da região de elasticidade dos materiais utilizando a Equação 7,
isolando o termo do índice de esbeltez e fazendo 
·      Aço 1060 (limite de escamento [MPa] e módulo de elasticidade E = 200 [GPa])
 
·      Aço 4340 (limite de escamento [MPa] e módulo de elasticidade E = 200 [GPa])
 
A partir dos resultados da Etapa 5, veri�ca-se que, para ambas as geometrias, os índices de esbeltez são maiores que os
valores mínimos para cada material. Dessa forma, ambas as geometrias permitem que o elemento estrutural sofra
�ambagem na região elástica.
Etapa 6 – Calcular a tensão crítica para cada uma das geometrias.
Seção quadrada de lado l = 100 [mm] ou l = 0,1 [m]
Seção circular de lado D = 200 [mm] ou D = 0,2 [m]
Etapa 7 – Calcular a carga crítica para cada uma das geometrias:
Seção quadrada de lado l = 100 [mm] ou l = 0,1 [m]
Seção circular de lado D = 200 [mm] ou D = 0,2 [m]
Com o resultado obtido na Etapa 6, conclui-se que a coluna com seção transversal circular pode suportar uma carga crítica
maior que a coluna com seção quadrada, sendo esta a geometria que deve ser selecionada. Já em relação ao material, como
ambos os aços possuem o mesmo módulo de elasticidade E, a escolha seria indiferente se for considerado apenas o efeito
de �ambagem.
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Olá, estudante! Neste vídeo, você estudará os conceitos de equilíbrio de elementos estruturais, além do signi�cado físico da
�ambagem desses elementos e de quais parâmetros geométricos e de quais propriedades do material in�uenciam esse
icirculo = K⋅L
rcirculo
→ icirculo = 0,7⋅10
5,03⋅10−2 → icirculo = 139
σcr = σE :
i1060 = √ E⋅π2
σE⋅K 2 → i1060 = √ 200⋅109⋅π2
420⋅106⋅(0,7)2 → i1060 = 97,9
i4340 = √ E⋅π2
σE⋅K 2 → i4340 = √ 200⋅109⋅π2
860⋅106⋅(0,7)2 → i4340 = 68,4
σcr_quadrado = π2.E
(iquadrado)
2 → σcr_quadrado = π2.200⋅109
(243)2 → σcr_quadrado = 33,43[MPa]
σcr_circulo = π2.E
(icirculo)
2 → σcr_circulo = π2.200⋅109
(139)2 → σcr_circulo = 102,16[MPa]
Pcr_quadrado = Aquadrado ⋅ σcr_quadrado → Pcr_quadrado = 0,01 ⋅ 33, 43 ⋅ 106 → Pcr_quadrado = 333,4[KN]
Pcrcirculo = Acirculo ⋅ σcrcirculo → Pcrcirculo = 0,031 ⋅ 102,16 ⋅ 106 → Pcrcirculo = 3167,1[KN ]
Disciplina
Resistência dos Materiais
fenômeno. Entenderá também o conceito de carga crítica e tensão crítica de �ambagem e como determiná-las. Por �m será
apresentada a você a aplicação de todos esses conceitos na solução de um problema aplicado.
Saiba mais
Para aprofundar seu estudo sobre �ambagem, leia o capítulo 13, Flambagem de colunas, do livro Resistência dos materiais.
Nessecapítulo, você poderá encontrar relações para determinar a carga crítica de �ambagem quando a fórmula de Euler não
é válida, situação muito comum na prática.
HIBBELER, R. C. Flambagem de colunas. In: HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2010. cap. 13.
Referências
HIBBELER, R. C. Estática. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2612/pdf/409. Acesso em: 12 maio 2023.
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2612/pdf/409.
Disciplina
Resistência dos Materiais
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/225. Acesso em: 12 maio 2023.
Aula 4
Rotação de eixos
Introdução
Estudante, boas-vindas à última aula da unidade. Nela, você revisará o conceito de momento de inércia de área e será
apresentado ao conceito de produto de inércia de área.
A maioria das aplicações práticas necessitam do conhecimento dos momentos e dos produtos de inércia em relação aos
eixos perpendiculares que passam pelo centroide da seção transversal, mas não é incomum ser necessário o cálculo dos
momentos e dos produtos de inércia em relação a eixos que estão transladados, ou mesmo rotacionados, em relação ao
centroide, sendo necessário utilizar ferramentas como o teorema dos eixos paralelos ou teorema de Steiner e o círculo de
Mohr, respectivamente, para determinar essas propriedades.
Mudança de eixos
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/225
Disciplina
Resistência dos Materiais
Nas aulas anteriores, você estudou os conceitos de momento de inércia axial e momento de inércia polar, propriedades que
foram inicialmente calculadas em relação a um ponto muito especial, o centroide da seção transversal.
Agora, considere a Figura 1, que mostra uma seção transversal genérica com os seguintes eixos, que passam pelo seu
centroide (xc, yc).
Figura 1 | Centroide de uma seção genérica. Fonte: elaborada pelo autor.
Já lhe foi apresentado anteriormente como determinar os momentos de inércia axial (Equações 1 e 2) e polar (Equação 3)
em relação ao centroide dessa seção transversal.
           (1)
            (2)
             (3)
Muitos projetos mecânicos e estruturais necessitam conhecer quais os eixos que fornecem os momentos de inércia máximo
e mínimo, mas, para isso, é necessário introduzir o conceito de produto de inércia, que é mostrado na Equação 4.
Ixcxc
= ∫ yi
2 ∙ dA
Iycyc = ∫ xi
2 ∙ dA
Jc = Ixcxc
+ Iycyc
Disciplina
Resistência dos Materiais
         (4)
Em algumas aplicações de engenharia, é necessário calcular o momento e o produto de inércia em relação a eixos que estão
transladados ou rotacionados em relação ao centroide da seção transversal, como pode ser visto nas Figuras 2 e 3.
Figura 2 | Translação de eixos em relação ao centroide. Fonte: elaborada pelo autor.
A Figura 2 mostra um novo sistema de coordenadas (x, y), em que o eixo x está deslocado de uma distância dy em relação ao
eixo xc, que passa pelo centroide da seção, e o eixo y, que está deslocado a uma distância dx do eixo yc, que passa pelo
centroide da seção. Como, após os deslocamentos dx e dy, os novos eixos (x, y) permanecem paralelos aos eixos que
passam pelo centroide (xc, yc), para o cálculo dos momentos e dos produtos de inércia em relação a esses novos eixos,
utiliza-se um teorema conhecido como teorema dos eixos paralelos, ou teorema de Steiner.
O teorema dos eixos paralelos pode ser utilizado também para a determinação de momentos e produtos de inércia de �guras
complexas que podem ser decompostas em �guras mais simples, como retângulos, quadrados, círculos, etc. Além disso,
pode ser utilizado para o cálculo do momento de inércia em relação à linha neutra em problemas de �exão de vigas
compostas de dois ou mais materiais em que a linha neutra não coincide com a posição do centroide da seção transversal
da viga.
Figura 3 | Rotação de eixos em relação ao centroide. Fonte: elaborada pelo autor.
Ixcyc = ∫ xi ∙ yi∙dA
Disciplina
Resistência dos Materiais
A Figura 3 mostra um novo sistema de coordenadas (x, y), com eixos rotacionados de um ângulo θ no sentido anti-horário em
relação ao sistema de coordenadas (xc, yc), que passa pelo centroide da seção. Como, após a rotação os novos eixos (x, y),
permanecem com a mesma origem que a dos eixos que passam pelo centroide (xc, yc), para o cálculo dos momentos e dos
produtos de inércia em relação a esses novos eixos, utiliza-se o conceito de círculo de Mohr.
O conceito de círculo de Mohr é utilizado para análise do estado plano de tensões, mas também pode ser utilizado para
determinar os eixos principais de inércia, que possuem os valores máximos e mínimos para os momentos de inércia axial e
possuem produtos de inércia nulos, pois são eixos de simetria, para os quais o produto de inércia é sempre nulo. 
Teorema de Steiner e círculo de Mohr
O teorema dos eixos paralelos, ou teorema de Steiner, estabelece uma relação que determina os momentos e os produtos de
inércia em relação a qualquer eixo que sofreu translação em relação ao centroide da seção transversal e permanece paralelo
aos eixos originais pelo centroide.
Analisando novamente a Figura 2 e utilizando esse teorema, pode-se escrever as seguintes relações para os momentos e os
produtos de inércia em relação ao eixo (x, y) se os valores dos momentos e dos produtos de inércia em relação ao eixo pelo
centroide (xc, yc) e as distâncias horizontais e verticais de translação dos eixos forem conhecidos:
           (5)
            (6)
          (7)
Nas Equações 5 e 6, é possível observar os momentos axiais de inércia em relação ao eixo x e y respectivamente. Na
Equação 7, observa-se o produto de inércia em relação aos eixos x e y.
A representação dos momentos e dos produtos de inércia utilizando o círculo de Mohr é uma maneira grá�ca e prática de
compreender como esses valores variam enquanto se rotacionam os eixos em relação a um determinado ponto, geralmente
o centroide da seção transversal, como mostrado na Figura 3.
A seguir é apresentado um procedimento para construção do círculo de Mohr e para determinação dos eixos principais de
inércia, isto é, do ângulo θp, que deve rotacionar os eixos, conforme a Figura 4, para que os valores dos momentos de inércia
assumam os maiores e menores valores possíveis e os produtos de inércia assumam valores nulos. 
Ixx = Ixcxc
+ A ∙ (dy)2
Iyy = Iycyc + A ∙ (dx)2
Ixy = Ixcyc + A ∙ dx ∙ dy
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 4 | Eixos principais de inércia. Fonte: elaborada pelo autor.
Etapa 1 – Determinar os momentos e os produtos de inércia em relação ao eixo que passa pelo centroide (xc,yc).
Etapa 2 – Determinar um sistema de coordenada retangular, sendo que o eixo das abscissas representa os momentos de
inércia axial e   e o eixo das ordenadas representa o produto de inércia  . 
Etapa 3 – Determinar o ponto que representa o centro do círculo de Mohr utilizando a Equação 9.
                (9)
Etapa 4 – Determinar o raio do círculo de Mohr utilizando a Equação 10.
           (10)
Etapa 5 – Localizar, no círculo, a posição do ponto C, representado pelas coordenadas: 
Etapa 6 – Calcular, usando trigonometria, o valor do ângulo 2θp medido entre o raio CO e o eixo positivo das abscissas
(Equação 11).
               (11)
A rotação de um ângulo 2θp no círculo de Mohr corresponde a uma rotação de apenas θp na área, que está sempre no
mesmo sentido da rotação que foi observada no círculo de Mohr. Levando em consideração que a solução da Equação 11
fornece sempre dois valores para 2θp, lembre-se de que um corresponde ao valor máximo para o momento de inércia e o
outro para o valor mínimo.
Etapa 7 – Calcular os valores dos momentos de inércia máxima e mínima utilizando as Equações 12 e 13.
           (12)
            (13)
Ixcxc
Iycyc Ixcyc
O =
Ixcxc+Iycyc
2
R = √(
Ixcxc−Iycyc
2 )
2
+ (Ixcyc)
2Ixcxc ; Iycyc
tg(2θp) =
−Ixcyc
Ixcxc−Iycyc
2
Imax =
Ixcxc+Iycyc
2 +√(
Ixcxc−Iycyc
2 )
2
+ (Ixcyc)
2
Imin =
Ixcxc+Iycyc
2 −√(
Ixcxc−Iycyc
2 )
2
+ (Ixcyc)
2
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 5 | Construção do círculo de Mohr. Fonte: elaborada pelo autor.
A Figura 5 apresenta todas as etapas da construção do círculo de Mohr e os principais parâmetros que podem ser
observados gra�camente. 
Cálculo dos eixos principais de inércia
Disciplina
Resistência dos Materiais
Considere um elemento estrutural que possui a seção transversal mostrada na Figura 6, na qual são apresentadas todas as
dimensões da seção transversal, assim como a posição do seu centroide, indicado pela posição dos eixos coordenados xc e
yc. A partir disso, determine os momentos de inércia , e o produto de inércia   da seção utilizando o teorema
dos eixos paralelos e, em seguida, determine os eixos principais de inércia assim como seus valores utilizando o círculo de
Mohr.
Ixcxc
Iycyc Ixcyc
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 6 | Dimensões seção transversal. Fonte: elaborada pelo autor.
Etapa 1 – Localizar a posição dos centroides de cada um dos retângulos individuais que compõem a seção transversal,
conforme apresentado na Figura 7.
Figura 7 | Localização dos centroides de cada retângulo. Fonte: elaborada pelo autor.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Etapa 2 – Calcular os momentos e produtos de inércia de cada retângulo em relação a seu próprio centroide:
Retângulo A:
Retângulo B:
Retângulo C:
Etapa 3 – Calcular os momentos e produtos de inércia de cada retângulo em relação aos eixos xc e yc aplicando o teorema
dos eixos paralelos.
Retângulo A:
Retângulo B:
Retângulo C:
−
IAxx = 100∙(300)3
12 = 225 ∙ 106[mm4]
−
IAyy = 300∙(100)3
12 = 25 ∙ 106[mm4]
−
IAxy = 0[mm4]
−
IBxx = 600∙(100)3
12 = 50 ∙ 106[mm4]
−
IByy = 100∙(600)3
12 = 1800 ∙ 106[mm4]
−
IBxy = 0[mm4]
−
ICxx =
100∙(300)3
12 = 2250 ∙ 106[mm4]
−
ICyy = 300∙(100)3
12 = 25 ∙ 106[mm4]
−
ICxy = 0[mm4]
−
IAxCxC
=
−
IAxx + AA ∙ (dy)2 = 225 ∙ 106 + 100 ∙ 300∙(200)2 = 1,425 ∙ 109[mm4]
−
IAyCyC =
−
IAyy + AA ∙ (dx)2 = 25 ∙ 106 + 100 ∙ 300∙(250)2 = 1,900 ∙ 109[mm4]
−
IAxCyC =
−
IAxy + AA ∙ dy ∙ dx = 0 + 100 ∙ 300 ∙ (−250 ∙ 200) = −1,500 ∙ 109[mm4]
−
IBxCxC
=
−
IBxx + AB ∙ (dy)2 = 50 ∙ 106 + 100 ∙ 300∙(0)2 = 50 ∙ 106[mm4]
−
IByCyC =
−
IByy + AB ∙ (dx)2 = 1800 ∙ 106 + 100 ∙ 300∙(0)2 = 1800 ∙ 106[mm4]
−
IBxCyC =
−
IBxy + AB ∙ dy ∙ dx = 0 + 100 ∙ 300 ∙ (0 ∙ 0) = 0[mm4]
−
ICxCxC
=
−
ICxx + AA ∙ (dy)2 = 225 ∙ 106 + 100 ∙ 300∙(200)2 = 1,425 ∙ 109[mm4]
−
ICyCyC =
−
ICyy + AA ∙ (dx)2 = 25 ∙ 106 + 100 ∙ 300∙(250)2 = 1,900 ∙ 109[mm4]
Disciplina
Resistência dos Materiais
Etapa 4 – Calcular os momentos e produtos de inércia da seção como um todo em relação ao seu centroide, fazendo o
somatório dos valores das propriedades de cada retângulo obtidos na etapa anterior.
Etapa 5 – Construir o círculo de Mohr localizando seu centro, utilizando a Equação 9 e calculando seu raio, e utilizar a
Equação 10 para determinar os valores dos momentos de inércia principal .
Centro do círculo de Mohr:
 
Raio do círculo de Mohr:
Momentos de inércia mínimo e máximo:
A Figura 8 mostra a construção do círculo de Mohr para a situação descrita anteriormente.
Figura 8 | Representação do círculo de Mohr para a seção transversal
Etapa 6 – Localizar o ponto que representa a seção transversal da situação no círculo de Mohr da Figura 8, conforme
indicado na Figura 9.
−
ICxCyC =
−
ICxy + AA ∙ dy ∙ dx = 0 + 100 ∙ 300 ∙ (−250 ∙ 200) = −1,500 ∙ 109[mm4]
Ixx =
−
IAxCxC
+
−
IBxCxC
+
−
ICxCxC
= 1,425 ∙ 109 + 50 ∙ 106 + 1,425 ∙ 109 = 2,900 ∙ 109[mm4]
Iyy =
−
IAyCyC +
−
IByCyC +
−
ICyCyC = 1,900 ∙ 109 + 1800 ∙ 106 + 1,900 ∙ 109 = 5,600 ∙ 109[mm4]
Ixy =
−
IAxCyC +
−
IBxCyC +
−
ICxCyC = −1,500 ∙ 109 + 0 − 1,500 ∙ 109 = −3,000 ∙ 109[mm4]
O =
Ixx+Iyy
2 = 2,900∙109+5,600∙109
2 = 4,250 ∙ 109[mm4]
R = √( Ixx−Iyy
2 )
2
+ (Ixy)
2 = √( 2,900∙109−5,600∙109
2 )
2
+ (−3,000 ∙ 109)
2
= 3,289. 109[mm4]
Imin = 4,250 ∙ 109 − 3,289109 = 0,961. 109[mm4]
Imax = 4,250 ∙ 109 + 3,289109 = 7,639. 109[mm4]
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 9 | Localização do ponto P no círculo de Mohr.
Etapa 7 – Calcular o valor do ângulo θ, que representa o ângulo em que devemos rotacionar os eixos xc e yc, para que se
tornem eixos principais de inércia. Utilizando trigonometria e a Equação 11, é possível determinar o valor de 2θ.
Uma rotação de um ângulo 2θ no sentido anti-horário, no círculo de Mohr, corresponde a uma rotação de um ângulo θ
também no sentido anti-horário, na seção transversal. Dessa forma:
Uma rotação de θ = 57,113° obtemos o eixo principal de inércia, que fornece o momento de inércia máximo dado por:
A Figura 10 mostra a rotação dos eixos xc e yc que deve ser realizada na seção transversal para que eles se tornem eixos
principais de inércia.
2θ = 1800 − tg−1( −Ixcyc
(Ixcxc−Iycyc)/2 ) = 1800 − tg−1(
−(−3,000∙109)
(5,600∙109−2,900∙109)/2
)
2θ = 1800 − tg−1( 3
1,35 ) = 1800 − 65,7720 → 2θ = 114,2270
2θ = 114,2270 → θ = 57,1130
Imin = 0,961. 109[mm4]
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 10 | Rotação dos eixos na seção transversal. Fonte: elaborada pelo autor.
Videoaula: Rotação de eixos
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Olá, estudante! Neste vídeo você entenderá o conceito de produto de inércia e será apresentado ao teorema dos eixos
paralelos, um método para calcular momentos e produtos de inércia em relação a eixos que não passam pelo centroide da
�gura, isto é, quando os eixos sofrem translação em relação ao centroide. Além disso, você verá o conceito de círculo de
Mohr, um método grá�co para se calcular os eixos principais de inércia, ou seja, quando os eixos pelo centroide sofrem
rotação até os valores dos momentos de inércia atingirem um valor máximo e mínimo.
Saiba mais
Para aprofundar seu estudo sobre o assunto de �ambagem, leia o Apêndice A – Propriedades geométricas de uma área do
livro Resistência dos materiais. Nesse capítulo, você poderá encontrar exemplos resolvidos e exercícios para aplicação do
teorema dos eixos paralelos e construção do círculo de Mohr.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. E-book. 
Referências
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/0
Disciplina
Resistência dos Materiais
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/0. Acesso em: 2 maio 2023.
Aula 5
Revisão da unidade
Estabilidade e solicitações
Olá, estudante! Nesta unidade lhe será apresentada uma situação-problema em que você deve se imaginar como um
engenheiro estrutural recém-contratado que precisa responder alguns questionamentos levantados pela equipe de projeto
relativos a uma obra que está paralisada. Para conseguir respondê-los, você deverá colocar em prática todo seu
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/0
Disciplina
Resistência dos Materiais
conhecimento sobre equilíbrio de estruturas; tipos de apoio e cálculo de suas reações; de�nição do número de seções
necessárias para a aplicação correta do método das seções para o cálculo dos esforços internos; e sobre diagramas de
esforços internos. Por meio desses diagramas, é possível ter uma visão grá�ca que facilita a leitura de como os esforços
internos variam ao longo do elemento estrutural, qual a região mais solicitada, isto é, qual é a que possui os maiores esforços
internos e os valores que serão utilizados para o dimensionamento correto do elemento estrutural.
Também, será necessário colocar em prática todo seu conhecimento sobre estabilidade de estruturas, assunto relacionado à
�ambagem de colunas. Será necessário veri�car as condiçõesde estabilidade das colunas da situação-problema, para isso
veri�ca-se se a �ambagem da coluna ocorrerá em regime elástico , isto é, a tensão crítica de �ambagem é menor que o limite
de escoamento do material ou em regime plástico, isto é, a tensão crítica de �ambagem é maior que o limite de escoamento
do material Para essa análise, é necessário calcular algumas propriedades geométricas da seção transversal da coluna,
como a área da seção transversal, o momento de inércia em torno do eixo de �ambagem, o raio de giração e o índice de
esbeltez da coluna. Conhecendo essas propriedades, é possível determinar a carga crítica de �ambagem, ou carga de Euler, e
veri�car se a carga de compressão à qual a coluna está submetida é maior ou menor que a carga crítica, e posteriormente
veri�car se a tensão de �ambagem resultado desta carga de compressão é maior ou menor que o limite de escoamento do
material como foi explicado anteriormente. Caso a tensão seja maior que o limite do escoamento a carga crítica deve ser
calculada utilizando o limitante do limite de escoamento do material.
Videoaula: Revisão da unidade
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Olá, estudante! Neste vídeo será apresentado os conceitos e premissas para elaboração dos diagramas de esforços internos,
bem como características geométricas importantes, como por exemplo, centroide de �guras planas, momento de inércia
axial de �guras planas e momento de inércia polar de �guras planas. Além disso, outros aspectos importantes serão
abordados no vídeo, como carga crítica de �ambagem e o teorema dos eixos paralelos.
Então vamos começar?
Olá, estudante!
Clique Aqui! E acesse o roteiro de aula prática.
Estudo de caso
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/AMPLI/RAP/RESISTENCIA_DOS_MATERIAIS/RAP.pdf
Disciplina
Resistência dos Materiais
Para contextualizar sua aprendizagem, imagine que você foi contratado para substituir um engenheiro que projetou a
cobertura externa da área de lazer de um clube, conforme apresentado na Figura 1.
Figura 1 | Cobertura externa da área de lazer. Fonte: Hibbeler (2010, p. 158).
A obra está paralisada, pois surgiram diversas dúvidas que não foram respondidas pelo antigo engenheiro responsável, e a
documentação sobre o projeto não foi encontrada pela equipe, que tem apenas um modelo estrutural da cobertura com
algumas informações indicadas, o qual foi apresentado a você (Figura 2).
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 2 | Modelo estrutural da cobertura externa da área de lazer. Fonte: elaborada pelo autor.
Informações conhecidas:
Diâmetro coluna BD: DDB=150 [mm];
Diâmetro coluna CE: DCE=250 [mm];
Comprimento coluna BD: LDB=3,5 [m];
Comprimento coluna CE: LCE=3,5 [m];
Módulo de Elasticidade coluna BD: EDB=200 [GPa]
Módulo de Elasticidade coluna CE: ECE=200 [GPa]
Limite de escoamento coluna BD: σDB=270 [Mpa]
Limite de escoamento coluna CE: σVE=270 [Mpa]
Condição de apoio ponto A: extremidade libre
Condição de apoio ponto B:extremidade articulada (apoio simples)
Condição de apoio ponto C: extremidade articulada (apoio �xo)
Condição de apoio ponto D: extremidade engastada
Condição de apoio ponto E: extremidade engastada
Com base nesse modelo, você deve responder todas as dúvidas levantadas pela equipe de projeto para que possam dar
continuidade à obra sem nenhuma possibilidade de acidente:
1. Qual o valor e a região onde ocorre a maior força cortante na viga AC? Necessário traçar o diagrama de esforços
cortantes utilizando o método das seções.
2. Qual o valor e a região onde ocorre o maior momento �etor na viga AC? Necessário traçar o diagrama de esforços
cortantes utilizando o método das seções.
3. A coluna BD encontra-se na região de equilíbrio estável elástico, isto é, a carga de compressão eu a coluna está
submetida devido ao carregamento da cobertura é menor que a carga crítica de �ambagem e a tensão resultante desta
carga de compressão é menor que o limite de escoamento do material de fabricação da coluna?
A coluna CE encontra-se na região de equilíbrio estável elástico, isto é, a carga de compressão eu a coluna está submetida
devido ao carregamento da cobertura é menor que a carga crítica de �ambagem e a tensão resultante desta carga de
compressão é menor que o limite de escoamento do material de fabricação da coluna?
________
Re�ita
Caro estudante, esta é uma situação que exigirá de você uma autoanálise, cujo objetivo é veri�car se todos os conceitos
abordados nas aulas anteriores estão claros para serem aplicados. Pense com calma em quais conceitos deverão ser
utilizados para responder cada questionamento, separando as ferramentas teóricas necessárias a serem aplicadas na
solução da situação-problema.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Para que seja possível responder a todos os questionamentos levantados, é necessário analisar o problema em dois passos:
no primeiro, será examinada a viga ABC e serão traçados os diagramas de esforços internos; no segundo, será veri�cada a
condição de estabilidade das duas colunas BD e CE.
Passo 1 – Traçar os diagramas de esforços internos para a viga ABC
De acordo com as informações da Figura 2, sabe-se que o ponto B está apoiado na coluna BD por um apoio simples,
enquanto o ponto C está apoiado na coluna CE por um apoio �xo. Assim, é possível analisar a viga ABC separadamente das
colunas CD e CE utilizando o modelo mostrado na Figura 3.
Figura 3 | Modelo estrutural da viga ABC. Fonte: elaborada pelo autor.
Para a construção dos diagramas de esforços internos, basta seguir o passo a passo que foi apresentado na Aula 13:
Etapa 1 – De�nir um sistema de referência coerente e construir o diagrama de corpo livre (DCL) para a viga ABC, conforme
Figura 4. Lembre-se de que, para a construção de um DCL, você deve substituir todos os apoios pelas reações equivalentes, a
�m de visualizar todas as formas e momentos que estão atuando no elemento estrutural.
Figura 4 | Diagrama de corpo livre para a viga ABC. Fonte: elaborada pelo autor.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Etapa 2 – Aplicar as equações de equilíbrio para determinar as reações nos apoios: RBy, RCx e RCy. Lembre-se de que, para
aplicar as equações de equilíbrio, é necessário veri�car se o problema é estaticamente determinado, isto é, se o número de
incógnitas do problema (RBy, RCx e RCy) é igual ao número de equações de equilíbrio, (
).
Nesse caso, o problema possui três incógnitas e, como são três as equações de equilíbrio, o problema é estaticamente
determinado.
Substituindo a Equação 3 na 2, obtém-se:
      (4)
Etapa 3 – Determinar o número de seções necessárias para aplicar o método das seções. Lembre-se de que é necessário
realizar uma seção sempre que houver duas descontinuidades de força, conforme mostrado na Figura 5.
Figura 5 | Indicação das seções necessárias para aplicação do método. Fonte: elaborada pelo autor.
Seção 1: 
Seção 2: 
Seção 3: 
Seção 4:  
Etapa 4 – Aplicar as equações de equilíbrio separadamente para as quatro seções. Lembre-se de que, ao analisar uma seção,
você deve representar os esforços internos sempre utilizando a convenção positiva de sinais, conforme mostrado a seguir:
Seção 1:
∑Fx = 0,   ∑Fy = 0 e  ∑M = 0
∑Fx = 0 → RCx = 0 [KN ]    (1) ∑Fy = −100 − 100 − 100 + RBy − 100 + RCy − 500 = 0 → RBy + RCy
RBy + RCy = 900 sendo RBy = 500 [KN ],  então 500 + RCy = 900 → RCy = 400 [KN ]
0 [m] ≤ x(7)
Seção 2:  
∑F x = N1 = 0 → N1 = 0
∑F y = −100 − V1 = 0 → V1 = −100
∑M corte = M1 + 100 ∙ x = 0 → M1 = −100x
0,5 [m] ≤ xde 400 [KN] é menor que o valor da carga crítica de �ambagem 63139 [KN] indicando que a coluna está em uma
condição de equilíbrio estável. Adicionalmente a tensão de �ambagem que surge na coluna devido à carga de 400 [KN]
é 8,16 [MPa] valor muito inferior ao limite de escoamento do material de fabricação da coluna 270 [MPa], o que indica
que a coluna encontra-se na região elástica do material.
Resumo visual
Disciplina
Resistência dos Materiais
Estabilidade de colunas. Fonte: elaborada pelo autor.
Referências
Disciplina
Resistência dos Materiais
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. E-book. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/0. Acesso em: 2 maio 2023. 
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/2779/pdf/0a estabilidade estrutural, indicando que a treliça seja interiormente
hiperestática e, por isso, estaticamente indeterminada. Assim, o grau de hiperasticidade interior (hi) pode ser dado por
. Por �m, se  , há menos barras que o necessário, logo uma treliça interiormente hipoestática.
Na estaticidade exterior, o cálculo é realizado a partir dos vínculos externos (apoios) que sustentam a estrutura. Os apoios
restringem o grau de liberdade da estrutura, e o número de incógnitas para o desenvolvimento dos cálculos (dado por a) é
obtido a partir das condições de equilíbrio estático. Dessa forma, se os apoios que sustentam a estrutura estiverem
dispostos para impedirem quaisquer movimentos que a estrutura possa apresentar, o grau de hiperestaticidade exterior (he)
é dado por   . Assim, para cada classi�cação, teremos:
        Sistema hipoestático: .
        Sistema isostático:    .
        Sistema hiperestático: .
Por �m, podemos calcular a estaticidade global (hg), que é dada pela soma das estaticidades interior (hi) e exterior (he).
Considerando cada uma delas, temos:
           (1)
Levando em conta a estaticidade global, tanto em treliças como em outros sistemas, há a possibilidade de que a
hiperasticidade exterior seja compensada pela interior, apresentando como resultado um sistema global estável e isostático.
Apoios estruturais e aplicações de treliças
b + r ≥ 2j
b = 2n − 3 b > 2n − 3
hi = b– (2n − 3) b 3
hg  =  hi  +  he 
hg  =   (b – 2n  +  3)  +   (a – 3) 
hg  =  b  +  a – 2n
⎫⎪⎬⎪⎭
Disciplina
Resistência dos Materiais
Para avaliar a estabilidade e a estaticidade de uma estrutura, seja ela treliçada ou não, precisamos compreender quais os
tipos de vinculações estruturais que a sustentam e quais contribuições fornecem para manter a estabilidade.
Essas vinculações são denominadas apoios e são de�nidas por três tipos diferentes, dependendo das reações que oferecem
à estrutura. Nesse caso, é importante ressaltar que a reação que o apoio oferece proporciona imobilidade estrutural na
direção aplicada.
Dentre os tipos de apoio existentes, temos o apoio móvel, o �xo e o rolete. Vamos compreender melhor cada um deles
separadamente.
O apoio móvel (também chamado de apoio rolete) é simples e apresenta apenas uma reação: perpendicular à superfície.
Esse tipo de apoio impede o movimento na direção perpendicular à superfície, mas permite o movimento na direção paralela
à superfície e de rotação sob o vínculo. A Figura 5 apresenta algumas formas de representação desse tipo de apoio
considerando a direção da reação atuante (Figura 5b e 5c).
Figura 5 | Representações do apoio móvel com uma reação perpendicular à superfície. Fonte: adaptada de Beer et al. (2019).
Outro tipo de apoio é conhecido como �xo ou pino. Esse tipo de apoio apresenta duas reações, impedindo o movimento
paralelo e perpendicular à superfície, mas permitindo o movimento de rotação sob o vínculo. A Figura 6 apresenta algumas
formas de representação desse tipo de apoio considerando as direções das reações atuantes (Figura 6b e 6c).
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 6 | Representações do apoio �xo com duas reações: paralelo e perpendicular à superfície. Fonte: adaptada de Beer et al. (2019).
Por �m, temos o apoio de engaste, que oferece imobilidade total, reagindo tanto em relação às direções paralela e
perpendicular à superfície, quanto em relação às de rotação. Para essa condição de engastamento, podemos aplicar alguns
sinônimos, como chumbada, concretada e/ou soldada. A Figura 7 apresenta algumas formas de representação desse tipo de
apoio considerando as reações atuantes (Figura 7b e 7c).
Figura 7 | Representações do apoio de engaste com três reações. Fonte: adaptada de Beer et al. (2019).
Dessa forma, para veri�car a estabilidade e a estaticidade de uma estrutura, precisamos identi�car os apoios que a
sustentam e suas reações em conjunto com as forças externas atuantes.
Por �m, a utilização de estrutura treliçada em projetos apresenta muitas e diversas aplicações, desde coberturas, pontes,
mezaninos, fachadas, torres de energia e telhados até objetos decorativos e design diversos.
Dentre os tipos de treliça mais utilizados, temos:
Treliça triangular (Fink): muito utilizada em telhados e indicada para situações de pequenos vãos.
Treliça banzo paralelo (Warren): usada quando os elementos superiores e inferiores da treliça são paralelos. Esse tipo
de treliça é indicado para situações em que o vão livre seja de 20 a 100 metros.
Treliça trapezoidal: apresentando leve inclinação nos elementos superiores, é indicada para coberturas.
Treliça tipo Pratt: seus elementos na diagonal apontam para o centro do vão. Ela também é indicada para vãos de 20 a
100m.
Com relação aos materiais de que são constituídas, é comum que sejam de ferro, aço ou madeira. De maneira geral, as
estruturas metálicas são amplamente utilizadas na construção civil devido à necessidade de alta resistência mecânica,
enquanto as estruturas de madeira são utilizadas em obras, coberturas de casas, pequenas estruturas e em outras
aplicações, como jardins verticais e divisória de ambientes.
Você pode estar se perguntando: são só essas as aplicações desse tipo de estrutura? Não! Elas são apenas algumas formas
de utilização de uma estrutura treliçada. Atualmente, esse tipo de estrutura vem sendo procurado também por outras áreas
além da construção civil devido à facilidade de utilização, à segurança no projeto e ao melhor custo-benefício. Por isso, é
possível a�rmar que sempre há uma nova forma de aplicação das treliças, seja para uma estrutura, seja para um design
estrutural.
Videoaula: Treliças
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Resistência dos Materiais
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Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Olá, estudante!
A estrutura treliçada é amplamente utilizada em várias áreas da engenharia, bem como em outros ramos. Acesse o vídeo
desta aula para compreender com mais profundidade os conceitos relacionados a esse tipo de estrutura e como podemos
avaliar a estabilidade e a estaticidade dela. Além disso, nesta videoaula você verá como abordar as principais aplicações e
utilizações dessa estrutura. Bons estudos!
Saiba mais
As treliças podem ser avaliadas tanto através de cálculos teóricos, quanto com o auxílio de softwares. Por meio deles, é
possível veri�car os componentes estruturais, veri�car algumas propriedades e realizar cálculos especí�cos de estabilidade.
Dentre os softwares existentes, dois são bem conhecidos e de fácil utilização para ingressarmos na análise de treliças. São
eles:
Ftool (gratuito para utilização). 
MDSolids (gratuito por 30 dias para teste). 
Desbrave cada software para melhor compreender os conceitos vistos nesta aula! Bons estudos!
Referências
https://www.ftool.com.br/Ftool/
https://web.mst.edu/~mdsolids/
Disciplina
Resistência dos Materiais
BEER, F. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. Porto Alegre: Grupo A, 2019. E-book. ISBN 9788580556209.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556209/. Acesso em: 13 jul. 2023.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/391/pdf/0. Acesso em 13 jul. 2023.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/314/pdf/0. Acesso em: 13 jul. 2023.
PHILPOT, T. A. MDSolids, [S. l.], c2014. Disponível em: https://web.mst.edu/~mdsolids/. Acesso em: 13 jul. 2023.
PUC-RIO. Ftool, Rio de Janeiro, [s. d.]. Disponível em: https://www.ftool.com.br/Ftool/. Acesso em: 13 jul. 2023.
Aula 3
Métodos de cálculo para determinação de esforços em treliças
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556209/https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/391/pdf/0
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/314/pdf/0
https://web.mst.edu/~mdsolids/
https://www.ftool.com.br/Ftool/
Disciplina
Resistência dos Materiais
Olá, estudante! Nesta aula, nosso objetivo é conhecer os principais métodos de cálculo para determinação de esforços nos
elementos que constituem as treliças e abordar os conceitos necessários para análise e aplicação no estudo do equilíbrio
das estruturas.
Dentre os métodos existentes, os principais são: método dos nós e método das seções, cuja aplicação na análise de
equilíbrio de uma treliça é importante para identi�car a quanto de esforço cada elemento da estrutura está submetido, bem
como para saber quais são os valores das reações que os apoios oferecem para manter a estrutura equilibrada. Informações
fundamentais para veri�car, além da estabilidade estrutural, é se o layout e o material escolhido suportam o peso aplicado.
Vamos juntos estudar os conceitos necessários para análise e métodos de resolução de estruturas do tipo treliça? Bons
estudos!
Cálculo de reação nos apoios
Por de�nição, treliça é uma estrutura composta por barras esbeltas, que, unidas em suas extremidades pelos nós, formam
geometrias triangulares. Essa estrutura é amplamente aplicada pelo fato de ser mecanicamente resistente, de fácil
montagem e locomoção. Os tipos e as quantidades de suportes (apoios) que a sustentam dependem do local de instalação e
do layout utilizado, podendo ser de três tipos (móvel, �xo e de engaste), cada um reagindo conforme sua especi�cação.
Os membros (barras) que constituem a treliça estão submetidos a esforços normais, dissipando o carregamento aplicado
até os apoios, garantindo a estabilidade estrutural da treliça. Os esforços normais são esforços atuantes no eixo longitudinal
da barra, podendo provocar alongamento ou compressão no elemento estrutural.
Os esforços que provocam alongamento são conhecidos como esforços de tração (Figura 1a), em que o comprimento �nal
do elemento estrutural é maior que o inicial. Já os esforços de compressão são conhecidos por provocarem encurtamento
no material (Figura 1b), de maneira que o comprimento �nal do elemento estrutural é menor que o inicial.
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Resistência dos Materiais
Figura 1 | Forças normais atuantes nas barras de uma treliça: tração (a) e compressão (b). Fonte: Beer et al. (2012, p. 290).
Para calcular as forças internas atuantes nos elementos que compõem uma treliça, podem ser utilizados dois métodos: o
dos nós e o das seções. Pela facilidade de análise e aplicação, o método dos nós é o mais utilizado. Esse método consiste
em calcular os carregamentos (de tração ou compressão) em cada uma das barras que compõe a treliça através da análise
dos nós. Para isso, é considerado que, se a treliça está em equilíbrio estático, o nó também está. Para aplicá-lo, as reações
dos apoios que sustentam a estrutura devem ser conhecidas. Elas são obtidas através do cálculo de reação, que é de�nido
pela análise do equilíbrio de um corpo rígido e pode ser aplicado em qualquer tipo e forma de estrutura, não apenas em
treliças. Para melhor visualização do cálculo, vejamos um exemplo em uma viga.
Na Figura 2, é apresentada uma viga biapoiada, com comprimento de 6 m, sustentada pelo apoio A (�xo) e pelo B (móvel).
Sobre ela, é aplicado um carregamento concentrado de 100N, a 2 m do início da viga.
Figura 2 | Viga biapoiada com um carregamento concentrado aplicado. Fonte: elaborada pela autora.
Para calcular as reações que os apoios oferecem, é necessário construir o diagrama do corpo livre (DCL) com todas as
forças e reações atuantes. Para isso, devemos lembrar que o apoio móvel é assim de�nido por apresentar uma reação
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(perpendicular à superfície), e o apoio �xo é de�nido por apresentar duas reações (uma perpendicular e outra paralela à
superfície). Às reações perpendiculares à superfície daremos o nome de reações verticais ( ) e às paralelas de reações
horizontais ( ). O DCL da estrutura, representado pela Figura 2, é mostrado na Figura 3.
Figura 3 | DCL da estrutura em estudo. Fonte: elaborada pela autora.
 
Com todos os esforços atuantes considerados, podemos aplicar as condições de equilíbrio. Nesse momento, é importante
ressaltar que não conhecemos os valores e sentidos dos esforços ,  e ; contudo, vamos considerá-los positivos
para realização dos cálculos e, ao �nal, teremos os valores e sentidos de cada um.
Aplicando as condições de equilíbrio para o corpo rígido, teremos:
        No eixo x (direção horizontal – H), apenas a reação do apoio  atuante expressa por pela Equação 1.
 
 
        No eixo y (direção vertical – V), os esforços  ,  e de  atuantes. Logo, a análise do equilíbrio nessa direção
é expressa pela Equação 2.
 
 
Por �m, como não conhecemos as reações  e , vamos aplicar a última condição de equilíbrio  – lembrando
que o torque é dado pela força multiplicada pelo deslocamento até o eixo de rotação ( ). Nesse exemplo, os esforços
que provocam rotação são atuantes na vertical. Lembre-se também de que o sentido de rotação que a força provoca é
positivo para rotação anti-horária e negativo para rotação horária. Contudo, precisamos escolher um ponto (eixo) de rotação
para análise do movimento. Como a estrutura está em equilíbrio, podemos considerar qualquer um. Para facilitar os cálculos,
o ponto A é escolhido. Dessa forma, essa condição de equilíbrio é expressa por:
Como  , encontramos  através da Equação 4.
Como , encontramos  através da Equação 4.
V
H
HA VA VB
HA
∑FH = 0 → HA = 0
VA VB 100N
         2
∑FV = 0
VA + VB − 100N = 0
VA + VB = 100N
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠VA VB ∑T = 0
T = Fd
           3
∑T = 0
(VA)(0m) + (VB)(6m) − (100N)(2m) = 0
VB = (100N)(2m)
(6m) = 33,3N
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠VA + VB = 100N VA
}           (4)
VA + 33,3N = 100N
VA = 100N − 33,3N = 66,7N
VA + VB = 100N VA
}                        (4)
VA + 33,3N = 100N
VA = 100N − 33,3N = 66,7N
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Assim, ao �nal da análise do cálculo de reação, o conjunto de reações para o equilíbrio estrutural é dado por: 
Com os valores que os apoios oferecem, é possível analisar os elementos estruturais que compõem qualquer estrutura,
inclusive uma treliça.
Métodos de análise de treliças: dos nós e das seções
A análise do carregamento normal atuante nos membros de uma treliça pode ser realizada por meio de dois métodos: dos
nós ou das seções. Por ser mais fácil, o método dos nós (também conhecido como método de Cremona) é o mais utilizado e
consiste em calcular o carregamento em cada uma das barras que compõe a treliça através da análise dos nós. Para que
isso seja possível, é considerado que, se a treliça está em equilíbrio estático, o nó também estará.
O primeiro passo para aplicar o método dos nós consiste em construir o DCL da treliça que será estudada (Figura 4a),
considerando as reações que os apoios oferecem (Figura 4b). Depois, deve-se avaliar cada nó da treliça separadamente,
considerando se os carregamentos aplicados esticam (tracionam) ou apertam (comprimem) o nó (Figura 4c). Por �m, é
preciso aplicar as condições de equilíbrio para o ponto material em cada nó (Figura 4d), para encontrar os valores dos
carregamentos em cada elemento estrutural.
                 5
HA = 0
VA = 66,7N
VB = 33,3N
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠
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Figura 4 | Método dos nós. Fonte: adaptada de Beer et al. (2012).
Com o DCL construído, a análise e a aplicação das condições de equilíbrio para o ponto material deve ser iniciada pelo nó
que tem menos esforços desconhecidos atuantes ou aquele de mais fácil análise. Olhando a treliça do exemplo da Figura 4a,
o nó que apresenta menos esforços atuantes é o B. Então, comecemos por ele. O nó B (Figura 5) tem três esforços atuantes:
a reação  e os esforços que as barras  e   realizam.VB FBC FBD
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Resistência dos Materiais
Figura 5 | Análise dos esforços atuantes no nó B. Fonte: adaptada deBeer et al. (2012).
É necessário avaliar como cada força atua no nó pensando no equilíbrio do ponto. Assim, como a reação  comprime o nó,
para obter o equilíbrio, podemos considerar que a força  também comprime o nó (para que ocorra equilíbrio na vertical)
e que a força  estica o nó (para que ocorra equilíbrio na horizontal). Caso essas suposições não estejam corretas, ao
�nal do cálculo, os sinais serão contrários aos preestabelecidos; assim, teremos apenas que acertar os sentidos das forças,
mas os valores dos carregamentos estarão corretos. Importante ressaltar que a força que está na barra é a mesma atuante
no nó. Logo, se a força comprime o nó, ela será de compressão na barra e, se estica o nó, será de tração. Assim, aplicando as
condições de equilíbrio e considerando as componentes do carregamento em cada eixo, teremos a relação dos esforços
para o eixo x (horizontal – H) expressas pela Equação 6.
E para o eixo y (vertical – V) expressa pela Equação 7.
Agora, com os valores para e  , outro nó deve ser avaliado para se obter os valores dos carregamentos. Esse
processo deve ser repetido até que todos os nós sejam veri�cados e/ou até que todos os carregamentos sejam encontrados.
Além do método dos nós para análise da treliça, há o método de Ritter, também conhecido como método das seções, que
consiste em cortar a treliça em uma seção que contemple, pelo menos, três barras sem que elas sejam paralelas ou
concorrentes em um ponto. Como a treliça está em equilíbrio, é considerado que qualquer membro que a constitui esteja em
equilíbrio, inclusive as partes envolvidas no corte da seção avaliada.
Ou seja, o método das seções consiste em cortar a treliça na direção que contempla as barras cujo esforço atuante se deseja
calcular (Figura 6a). Após o corte, a treliça é dividida em duas partes (Figura 6b), e um dos lados é escolhido para a
realização do DCL.
Figura 6 | Método das seções. Fonte: adaptada de Hibbeler (2011).
O cálculo dos carregamentos atuantes nas barras pode ser realizado em qualquer um dos lados da seção realizada,
aplicando as condições de equilíbrio para o corpo rígido ( ). Normalmente, o lado
escolhido é aquele em que não há apoio atuante, evitando os cálculos de reação de apoios. Essa é a principal vantagem da
utilização desse método para análise de treliça. Contudo, em alguns casos, ela pode ser bem complicada, por isso o método
dos nós é o mais utilizado.
Membros de força zero e análise de uma treliça pelo método dos nós
VB
FBC
FBD
                        6
∑FH = 0
FBC cos θ − FBD = 0
FBD = FBC cos θ
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠                      7
∑FV = 0
VB − FBCsenθ = 0
VB = FBCsenθ
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠FBC FBD
∑FH = 0; ∑FV = 0; ∑T = 0
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Resistência dos Materiais
Os métodos dos nós e das seções são métodos de análise dos carregamentos atuantes em cada membro que compõe a
treliça. Uma forma de simpli�car o processo de análise dos membros, pela aplicação de qualquer um dos dois métodos
estudados, consiste em avaliar a treliça e identi�car as barras que não possuem esforços atuantes. Essas barras são
denominadas de barras de esforço nulo ou membros de força zero. No entanto, por mais que elas não participem na
distribuição do carregamento estrutural, são importantes para situações de travamentos estruturais e suporte para outras
barras. Elas são facilmente identi�cadas, basta analisar os nós mais simples do DCL da treliça que será estudada, buscando
as barras em que não há carregamento. Vejamos, como exemplo, a treliça apresentada na Figura 7.
Figura 7 | Treliça para identi�cação do membro de força zero. Fonte: Plesha, Gray e Constanzo (2014, p. 344).
Observe, na treliça apresentada pela Figura 7, os nós C e D. Aplicando as condições de equilíbrio para o ponto material
nesses nós, observamos que não há possibilidade de equilíbrio nas barras verticais deles. Logo, como as barras BC e DE não
possuem forças para equilibrá-las, são consideradas como membro de esforço nulo. Assim, podemos partir delas para
análise dos esforços atuantes nas demais barras.
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Vejamos um exemplo numérico de análise do carregamento das barras de uma treliça, através do método dos nós. Para isso,
consideremos a treliça apresentada na Figura 8, em que está atuante um carregamento de no ponto P, com  e
uma barra 3 de tamanho .
Figura 8 | Treliça para análise. Fonte: elaborada pela autora.
O primeiro passo consiste em construir o DCL e realizar o cálculo de reações para obter os valores das reações que os
apoios A e B oferecem para manter a estrutura em equilíbrio. Como o apoio A é do tipo �xo e o B do tipo móvel, a Figura 9
apresenta DCL com esforços atuantes.
Figura 9 | DCL da treliça estudada. Fonte: elaborada pela autora.
40 kN a = 2m
1,9m
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Para o cálculo de reação, devemos aplicar as condições de equilíbrio do corpo rígido. Nesse caso, pela atuação das forças, o
corpo rígido analisado será a base da estrutura treliçada. Assim, teremos, para o eixo x (horizontal – H), a condição de
equilíbrio expressa por pela Equação 8.
Para o eixo y (vertical – V), a condição de equilíbrio expressa por:
 
 
Finalmente, como não conhecemos as reações  e , aplicaremos a última condição de equilíbrio considerando os
torques aplicados. Para isso, escolheremos o ponto A como eixo de rotação e a condição de equilíbrio expressada pela
Equação 10.
 
Como  , a reação vertical em A é obtida por:
Na Figura 10, é apresentado o DCL com os valores das reações calculadas de cada apoio.
Figura 10 | DCL com os valores das reações dos apoios. Fonte: elaborada pela autora.
Para o cálculo dos esforços atuantes em cada barra, pelo método dos nós, precisamos encontrar o valor do ângulo  , que
será usado para decomposição vetorial das forças compostas. Como a treliça é simétrica, aplicando trigonometria, podemos
∑FH = 0 → HA = 0 (8)
                                9
∑FV = 0
VA + VB − P = 0
VA + VB = P
VA + VB = 40 kN
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠VA VB
                          10
∑T = 0
(VA)(0m) + (VB)(4m) − (40 kN)(2m) = 0
VB = (40 kN)(2m)
(4m) = 20 kN
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠VA + VB = 40 kN
}                 (11)
VA + 20 kN = 40 kN
VA = 20 kN
θ
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avaliar um dos triângulos retângulos presentes para o cálculo de  . Assim, observamos, na Figura 11, a geometria utilizada
para o cálculo do ângulo destacada em vermelho.
Figura 11 | Região para cálculo do ângulo. Fonte: elaborada pela autora.
Aplicando trigonometria, o ângulo  pode ser calculado pela tangente, como expresso em:
Analisando as barras e os nós que compõem a treliça, podemos dizer que as barras 1 e 3 comprimem os nós pelo fato de
equilibrarem as reações de apoio. Já a barra 3 está tracionada, pois equilibra a reação da força P no nó D. Por �m, as barras 2
e 4 estão tracionadas pelo fato de equilibrarem as componentes horizontais no nó D. Comecemos a análise das forças em
cada barra pelo nó A (Figura 12).
θ
θ
tg θ = co
ca
= 1,9m
2m = 0,95 → θ = 43,5º                            (12)
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Resistência dos Materiais
Figura 12 | Nó A. Fonte: elaborada pela autora.
Aplicando as condições de equilíbrio para o ponto material, para o eixo y (vertical – V), teremos o cálculo apresentado pela
Equação 13.
E para o eixo x (horizontal – H), o cálculo expresso por:
Aplicando as condições de simetria, o valor para os carregamentos é expresso pela Equação 15.
 
Falta agora encontrar o carregamento na barra 3. Para isso, vamos avaliar o nó D (Figura 13).
                    13
∑FV = 0
20 kN − F1senθ = 0
F1 = 20 kN
sen(43,5º) = 29 kN
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠                           14
∑FH = 0
F2 − F1 cos θ = 0
F2 = F1 cos 43,5º= 229 kN(cos 43,5º) = 21 kN
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠}                                  (15)
F1 = F5 = 29 kN
F2 = F4 = 21 kN
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Figura 13 | Nó D. Fonte: elaborada pela autora.
Aplicando as condições de equilíbrio para o ponto material (Equação 16), para o eixo y (vertical – V), encontraremoso
carregamento na barra 3.
Na treliça do exemplo estudado, não houve barras de esforços nulos, mas, se houvesse, o procedimento para análise dos
cálculos de reação e dos esforços atuantes em cada barra seriam os mesmos.
Videoaula: Métodos de cálculo para determinação de esforços em treliças
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                         16
∑FV = 0
F3 − 40 kN = 0
F3 = 40 kN
⎫⎪⎬⎪⎭ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠
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Olá, estudante! Compreender os métodos para análise de uma treliça é fundamental para veri�car seu equilíbrio estrutural e
possíveis situações de fragilidade estrutural. Assista ao vídeo desta aula para discutirmos os assuntos referentes aos
métodos de análise de treliça. Até lá!
Saiba mais
Você pode utilizar alguns softwares para o desenvolvimento de projetos de treliça como apoio e veri�cação de resultados.
Alguns já estão disponíveis para uso em smartphones.
Em seu app de busca de aplicativos, pesquise SW Truss. É um aplicativo simples e de fácil utilização por meio do qual você
poderá calcular treliças.
Bons estudos!
Referências
Disciplina
Resistência dos Materiais
BEER, F. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. Porto Alegre: Grupo A, 2019. E-book. ISBN 9788580556209.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556209/. Acesso em: 13 jul. 2023.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/391/pdf/0. Acesso em 13 jul. 2023.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/314/pdf/0. Acesso em: 13 jul. 2023.
PLESHA, M. E.; GRAY, G. L.; COSTANZO, F. Mecânica para engenharia. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN
9788565837309. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788565837309/. Acesso em: 18 jul.
2023.
Aula 4
Barras
Introdução
Olá, estudante! Nesta aula estudaremos a atuação dos esforços (externos e internos) em uma estrutura para determinar sua
estabilidade através do cálculo de reação. Para isso, precisamos de�nir os tipos de esforços externos e internos existentes e
como eles atuam na estrutura e veri�car tanto as condições de equilíbrio da estrutura quanto as regiões de maior atuação de
carga.
Avaliar as regiões de maior carregamento em uma estrutura é importante para veri�car se a estrutura comportará o
carregamento no ponto indicado ou se ações deverão ser tomadas para reforço estrutural, visando as condições de
segurança impostas no projeto inicial.
Todos esses conceitos e análises serão aplicados em estruturas do tipo barra para facilitar a visualização dos
carregamentos aplicados e sua atuação; contudo, poderão ser aplicados em qualquer tipo de estrutura, atentando-se apenas
para a geometria estrutural utilizada e as características geométricas que apresentam.
Bons estudos!
Esforços externos em barras
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556209/
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/391/pdf/0
https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/314/pdf/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788565837309/
Disciplina
Resistência dos Materiais
No dimensionamento de uma estrutura, de uma peça ou de qualquer elemento estrutural, é importante avaliar as
características geométricas que a seção transversal (ST) apresenta, bem como os tipos de carregamentos – chamados
esforços externos –, que são três: concentrado, distribuído ou variável. Estudaremos aqui a de�nição de cada um deles e,
para melhor visualização, trabalharemos com um elemento estrutural conhecido como barra.
As barras, também chamadas de vigas, são denominadas assim por apresentarem duas dimensões (largura e espessura)
muito menores que a terceira (comprimento); são retas, com seção transversal (ST) constante e nomeadas de acordo com
os apoios que a sustentam. No geral, elas podem ser do tipo: biapoiada (Figura 1a), biengastada (Figura b), engastada-
apoiada (Figura 1c) e em balanço (Figura 1d).
Figura 1 | Nomeação das vigas em relação aos apoios que a sustentam. Fonte: elaborada pela autora.
Além disso, as vigas podem ser classi�cadas considerando o número de reações que apresentam, podendo ser: hipostática,
isostática e hiperestática. As do tipo hipostáticas (Figura 2a) são assim classi�cadas por possuírem vínculos estruturais
insu�cientes para sua estabilidade. Já as do tipo isostáticas (Figura 2b) são aquelas em que os vínculos estruturais são
su�cientes e necessários para sua estabilidade. Por �m, as do tipo hiperestáticas (Figura 2c) apresentam vínculos estruturais
além dos necessários para garantir a estabilidade estrutural. O foco de estudo desta aula será a análise dos esforços
atuantes em vigas do tipo isostáticas.
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 2 | Classi�cação das vigas com relação aos vínculos estruturais. Fonte: elaborada pela autora.
Tendo esclarecido a nomeação e a classi�cação das vigas, podemos conceituar os tipos de carregamentos externos que
podem ser aplicados no elemento estrutural. Como vimos, eles podem ser de três tipos e são classi�cados a partir de sua
aplicação. Entretanto, para análise do equilíbrio estrutural, através da aplicação do cálculo de reação, o esforço considerado
deve sempre ser do tipo concentrado, sendo necessárias ações para tornar os esforços do tipo distribuído e variável em
esforços do tipo concentrado.
O carregamento concentrado, ou carga concentrada, descreve a carga atuante em apenas um ponto da estrutura (Figura 3).
Nesse caso, apenas o ponto de aplicação de força sente o carregamento e reage a ele.
Figura 3 | Exemplo de esforço concentrado (carga concentrada). Fonte: elaborada pela autora.
O carregamento uniforme, ou carga uniforme, é de�nido por um carregamento de mesmo valor (uniforme) aplicado ao longo
de determinado comprimento do elemento estrutural, formando uma geometria retangular (Figura 4) em que a altura do
retângulo indica o valor do carregamento que está sendo aplicado (em Newton por metro – N/m) ao longo de seu
comprimento (em metros – m).
Figura 4 | Exemplo de carregamento uniforme. Fonte: elaborada pela autora.
Um carregamento uniforme produz uma carga (força) resultante concentrada, aplicada no centro da distribuição, cujo valor é
obtido pelo cálculo da área do retângulo formado, ou seja, multiplicando o valor da carga pelo comprimento de distribuição.
Tomando a viga mostrada na Figura 4 como exemplo, a carga resultante será aplicada no centro da distribuição dos 3 metros
(Figura 5) e terá valor expresso pela Equação 1.    
}
FT = Fd
FR = (100N/m)(3m) = 300N
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 5 | Local de aplicação da força resultante. Fonte: elaborada pela autora.
Sendo assim, podemos dizer que um carregamento uniforme aplicado em um elemento estrutural tem o mesmo efeito da
força resultante que ele provoca ao ser aplicado no centro da distribuição.
Outro tipo de carregamento externo é o chamado variável, que é caracterizado por uma carga variável aplicada em um
comprimento do elemento estrutural, formando uma geometria triangular, cuja base é o tamanho da distribuição do
carregamento e cuja altura é o valor máximo da força atuante. Para calcular o carregamento resultante, ou seja, a carga
concentrada, basta encontrar a área do triângulo e aplicar a carga resultante a um terço do lado de maior força. Observe, na
Figura 6, um carregamento variável (Figura 6a) e sua respectiva força resultante (Figura 6b).
Figura 6 | Carregamento variável (a) e sua respectiva força resultante (b). Fonte: elaborada pela autora.
Dessa forma, para o cálculo de reação em estruturas e análise estrutural, é necessário compreender o tipo de carregamento
externoatuante e, para carregamentos do tipo uniforme ou variável, aplicar os conceitos necessários a �m de torná-los
concentrados.
Cálculo de reação em barras
Disciplina
Resistência dos Materiais
Para veri�car a estabilidade de uma estrutura, ou seja, avaliar seu equilíbrio estático, é necessário identi�car os
carregamentos externos atuantes e os tipos de apoio que a sustentam. Com essas informações, o diagrama do corpo livre
(DCL) pode ser construído e o cálculo de reação pode ser realizado a partir da aplicação das condições de equilíbrio, de
modo a serem obtidos os valores das reações que os apoios oferecem para manter a estrutura equilibrada. Esse
procedimento é aplicado em qualquer tipo de estrutura, até mesmo em barras (vigas). Inclusive, o cálculo de reação em vigas
é o mais simples considerando outros tipos de estruturas. Vamos entender melhor como obter as reações que os apoios
oferecem para alguns exemplos de estruturas do tipo viga, levando em consideração os tipos de carregamentos externos
atuantes.
No primeiro caso, consideremos uma viga biapoiada, de comprimento l, suportada pelos apoios A e B, sujeita a um
carregamento concentrado P, como mostrado na Figura 7, já com as reações que os apoios oferecem: apoio A �xo com duas
reações (horizontal e vertical) e apoio B móvel com uma reação (vertical).
Figura 7 | Viga biapoiada com um carregamento concentrado atuante. Fonte: elaborada pela autora.
Aplicando as condições de equilíbrio, iniciando pelo eixo x (horizontal), teremos que a . Logo, como o único esforço
atuante na horizontal é , a estrutura só estará em equilíbrio se . Para o eixo y (vertical), o cálculo é expresso pela
Equação 2.
∑FH = 0
HA HA = 0
Disciplina
Resistência dos Materiais
            (2)
Por �m, considerando o movimento de rotação (torque) e escolhendo o ponto A como eixo de rotação, teremos:
             (3)
Como , a reação vertical em B pode ser escrita pela Equação 4:
    (4)
Com o valor de ,  é calculado da seguinte maneira:
     (5)
Podemos utilizar essas equações em todos os casos em que uma viga biapoiada com um carregamento concentrado for
avaliada. E se uma viga em balanço, com uma de suas extremidades engastadas, estiver sujeita a um carregamento
concentrado, como mostrado na Figura 8? Em casos assim, o procedimento é o mesmo: inicia-se pela análise do DCL e
aplicam-se as condições de equilíbrio.
Figura 8 | Viga em balanço. Fonte: elaborada pela autora.
Aplicando-se as condições de equilíbrio, iniciando pelo eixo x (horizontal), teremos que a . Logo, como o único
esforço atuante na horizontal é , a estrutura só estará em equilíbrio se . Para o eixo y (vertical), teremos o cálculo
expresso pela Equação 6:
      (6)
Por �m, considerando o movimento de rotação (torque) e escolhendo o ponto A como eixo de rotação, teremos:
           (7)
∑FV = 0
VA + VB − P = 0
VA + VB = P
⎫⎪⎬⎪⎭∑ τ = 0
(VA)(0) + (VB)(a + b) − P(a) = 0
VB = P a
a+b
⎫⎪⎬⎪⎭a + b = l
VB = P a
l
VB VA
VA + P a
l = P
VA = P − P a
l
VA = P b
l
⎫⎪⎬⎪⎭ ∑FH = 0
HA HA = 0
∑FV = 0
VA − P = 0
VA = P
⎫⎪⎬⎪⎭∑ τ = 0
(VA)(0) − (MA) − P(a) = 0
MA = −P a
⎫⎪⎬⎪⎭
Disciplina
Resistência dos Materiais
Vamos, agora, analisar a situação de uma viga biapoiada, com múltiplos carregamentos concentrados aplicados, como
mostrado na Figura 9. Para calcular as reações que os apoios A e B oferecem, podemos partir do caso de uma viga biapoiada
com um carregamento concentrado aplicado somado ao princípio da superposição de efeitos.
Figura 9 | Viga biapoiada como múltiplos carregamentos concentrados aplicados. Fonte: elaborada pela autora.
Aplicando-se o princípio da superposição, é possível calcular a reação em cada apoio levando em consideração a parcela de
cada carregamento concentrado atuante. Assim, as reações são dadas pela Equação 8:
       (8)
Para o cálculo de reação de uma viga sujeita a um carregamento distribuído, seja ele uniforme, seja variável, é necessário,
primeiramente, calcular a carga equivalente ( ), ou seja, o carregamento resultante da força distribuída atuante. A carga
equivalente é calculada pela área da geometria formada entre o carregamento atuante e o comprimento de atuação do
elemento estrutural, apresentado pela Equação 9.
 
Em um carregamento uniforme, a geometria para o cálculo da área é o retângulo, e a carga equivalente será aplicada no
centro da distribuição. Em um carregamento variável, a geometria para o cálculo da área é o triângulo, com a carga
equivalente aplicada a um terço do lado maior da distribuição. Para um caso geral, com geometria desconhecida, podemos
calcular a carga equivalente pela integral sob a curva descrita pelo carregamento aplicado, considerando o elemento
in�nitesimal da carga ( ). Assim, teremos a carga equivalente dada por , e o local de aplicação deve ser
calculado considerando a média ponderada do carregamento em relação aos apoios. Com a carga equivalente, o DCL pode
ser construído e o cálculo de reação pode ser realizado aplicando-se os conceitos para o carregamento concentrado vistos
anteriormente.
Esforços internos em barras
HA = 0
VA = P1 b1
l
+ P2 b2
l
+ ... + Pn bn
l
VB = P1 a1
l
+ P2 a2
l
+ ... + Pn an
l
⎫⎪⎬⎪⎭qeq
qeq = áreadageometriadocarregamento(9)
dq qeq = ∫ dq
Disciplina
Resistência dos Materiais
Os carregamentos externos atuantes sobre os elementos estruturais provocam ações no interior da estrutura, dissipando o
carregamento aplicado e mantendo-a unida e em equilíbrio. Essas ações são denominadas carregamentos internos ou
esforços solicitantes, constituídos pela força normal (de tração e/ou compressão), esforço cortante (força de cisalhamento),
momento torçor (torque) e momento �etor.
Partindo de uma estrutura em equilíbrio estático, podemos encontrar quais esforços solicitantes estão atuando na estrutura,
ou elemento estrutural, auxiliando no equilíbrio obtido. Ainda, através dessa análise, é possível compreender qual região
apresenta maior esforço interno estrutural e se o projeto, visando às condições de segurança, suportará o carregamento
atuante.
Para compreender melhor esse assunto, vamos analisar a viga apresentada na Figura 10. Ela está suportada por dois apoios
genéricos, A e B, sujeita a um conjunto genérico de carregamentos externos: uma carga distribuída  e uma carga
concentrada . Olhando as extremidades A e B, nota-se que há a atuação das forças ( ,  e ) e dos momentos torçor (
) e �etor ( ), que podem ser forças externas ou reações que os apoios oferecem, caso esteja atuante um apoio de
engaste.
q
P RA RB F
Mt Mf
Disciplina
Resistência dos Materiais
Figura 10 | Viga sob carregamento externo para análise dos esforços solicitantes. Fonte: elaborada pela autora.
Se realizarmos um corte em um ponto C qualquer ao longo do eixo longitudinal da estrutura, no plano  teremos duas partes
da viga e poderemos avaliar os esforços solicitantes atuantes aplicando as condições de equilíbrio. Para facilitar a
visualização dos esforços internos, vamos analisar primeiro os esforços horizontais em conjunto com o memento torçor,
depois os esforços verticais em conjunto com o momento �etor.
Observe a Figura 11: nela estão representadas as duas partes da viga, seccionadas no ponto C, com as forças horizontais e o
momento �etor atuante. Partindo do pressuposto de que a estrutura está em equilíbrio estático e que há simetria, para que o
trecho AC continue em equilíbrio, é necessário que, no ponto C, esteja atuante uma força normal  e um momento torçor
, de modo que, ao aplicar as condições de equilíbrio, a somatória das forças horizontais e dos momentos seja igual a
zero.
Figura 11 | Análise dos esforços solicitantes normais e momento torçor. Fonte: elaborada pela autora.
Se realizarmos um corte em outros pontos do elemento estrutural e se aplicarmos as condições de equilíbrio, teremos os
valores para os esforços normais e os momentos torçores atuantes em toda extensão da estrutura. Com esses valores,
podemos construir, respectivamente, o diagrama para esforço normal e o diagramapara momento torçor, ambos em função
do comprimento da viga. Ao analisarmos esses diagramas, compreenderemos como esses esforços se comportam para
manter a estrutura em equilíbrio e quais regiões atuam com maior valor.
π
FC
M(tC)
Disciplina
Resistência dos Materiais
Na Figura 12, também são mostradas as duas partes da viga, mas nela estão evidentes as forças verticais ( , ,  e ) e
o momento �etor ( ). Assim, partindo de uma estrutura em equilíbrio e realizando o corte no ponto C, contido no plano ,
para que o trecho AC continue em equilíbrio, será necessária a atuação de um esforço cortante  e um momento �etor
, de modo que, ao aplicarem-se as condições de equilíbrio, a somatória das forças verticais e dos momentos seja
igual a zero.
Figura 12 | Análise dos esforços solicitantes cortantes e momento �etor. Fonte: elaborada pela autora.
Se realizarmos um corte em outros pontos do elemento estrutural e aplicarmos as condições de equilíbrio, teremos os
valores para os esforços cortantes e para os momentos �etores atuantes em toda extensão da estrutura. Com esses valores,
podemos construir, respectivamente, o diagrama para esforço cortante (DEC) e o diagrama para momento �etor (DMF),
ambos em função do comprimento da viga. Analisando esses diagramas, compreenderemos como esses esforços se
comportam para manter a estrutura em equilíbrio e quais regiões atuam com maior valor.
Videoaula: Barras
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Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem conexão à internet.
Olá, estudante!
Estudar o equilíbrio estrutural em barras é fundamental para compreender as condições em que esse elemento pode ser
utilizado e quais os esforços externos e internos são atuantes. Por isso, não deixe de assistir ao vídeo desta aula, no qual
este assunto será abordado a partir de aplicações práticas. Até lá!
Saiba mais
q P RA RB
Mf π
VC
M(fC)
Disciplina
Resistência dos Materiais
Realizar o cálculo de reação em estruturas para veri�car sua estabilidade não é uma tarefa simples, pois muitos pontos
devem ser levados em consideração, como forças externas e tipos de apoios atuantes.
Existem alguns softwares que auxiliam a veri�cação desses cálculos. Dentre eles, temos o Viga on-line, gratuito para
utilização. Através dele é possível construir uma estrutura do tipo viga e avaliar as reações que os apoios oferecem, bem
como os diagramas de esforço cortante e momento �etor. 
Existe também o software gratuito FTool, no qual é possível a construção e a análise de qualquer tipo de estrutura, incluindo
cálculos de reação, DEC e DMF. 
Aprofunde seu conhecimento com as ferramentas que estão disponíveis! Bons estudos!
Referências
BEER, F. P. Mecânica dos materiais. Porto Alegre: Grupo A, 2021. E-book. ISBN 9786558040095. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/. Acesso em: 25 jul. 2023.
BEER, F. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. Porto Alegre: Grupo A, 2019. E-book. ISBN 9788580556186.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/. Acesso em: 25 jul. 2023.
BEER, F. P. et al. Estática e Mecânica dos Materiais. Porto Alegre: Grupo A, 2013. E-book. ISBN 9788580551655. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551655/. Acesso em: 25 jul. 2023.
https://www.aprenderengenharia.com.br/
https://www.ftool.com.br/Ftool
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786558040095/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556186/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580551655/
Disciplina
Resistência dos Materiais
BEER, F. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. Porto Alegre: Grupo A, 2012. E-book. ISBN 9788580556209.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556209/. Acesso em: 25 jul. 2023.
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Editora Blucher, 2013. E-book. ISBN 9788521207504. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207504/. Acesso em: 25 jul. 2023.
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 20. ed. rev. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788536528564. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788536528564/. Acesso em: 25 jul.
2023.
MEUGURU. VIGA Online, [S. l.], c2023. Disponível em: https://www.aprenderengenharia.com.br/. Acesso em: 26 jul. 2023.
PUC-RIO. FTool, Rio de Janeiro, c2023. Disponível em: https://www.ftool.com.br/Ftool/. Acesso em: 26 jul. 2023.
Aula 5
Revisão da unidade
Recapitulando conteúdos
Olá, estudante! O objetivo desta unidade era o de apresentar-lhe os conceitos necessários para que você pudesse veri�car o
equilíbrio estático de uma estrutura isostática, independentemente da geometria apresentada pela estrutura ou pelo
elemento estrutural.
Por de�nição, diz-se que um material/estrutura está em equilíbrio estático quando atende à Primeira Lei de Newton –
conhecida como Lei da Inércia –, o que acontece quando sua velocidade é nula. É importante conhecer o tipo de material em
que o equilíbrio está sendo avaliado para aplicarem-se corretamente as condições de equilíbrio:
        Se se trata de ponto material, as condições de equilíbrio são dadas por: ;  e .
        Se se trata de corpo rígido, as condições de equilíbrio são dadas por: ; ;  e .
Estruturas do tipo corpo rígido também podem ser classi�cadas de acordo com os apoios que as sustentam, podendo ser:
hipostáticas, isostáticas ou hiperestáticas.
Dentre as formas de estruturas existentes, a treliça é a mais utilizada devido a sua geometria, a sua resistência e à facilidade
de transporte e montagem. Uma estrutura é denominada treliça quando formada por barras lineares, ligadas entre si pelas
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Fz = 0
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Fz = 0 ∑ τ = 0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580556209/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207504/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788536528564/
https://www.aprenderengenharia.com.br/
https://www.ftool.com.br/Ftool/
Disciplina
Resistência dos Materiais
extremidades, formando geometria triangular ao longo de seu comprimento longitudinal. Os pontos em que as barras são
unidas são chamados de nós, local de atuação tanto das forças externas quanto da reação dos apoios que a sustentam.
Existem dois métodos de análises de treliça: o dos nós e o das seções. O método dos nós é o mais utilizado em virtude da
facilidade de análise e aplicação. Ele consiste em calcular o carregamento em cada um dos elementos que constituem a
treliça através da análise dos nós; nesse caso, considera-se que, se a treliça está em equilíbrio estático, o nó também estará.
Já o método das seções consiste em cortar a treliça em uma seção que contemple, pelo menos, três barras, sem que elas
sejam paralelas ou concorrentes em um ponto; nessa situação, como a treliça está em equilíbrio, é considerado que qualquer
membro que a constitui está em equilíbrio, inclusive as partes envolvidas no corte da seção avaliada.
Para veri�car o equilíbrio estático de uma estrutura, independentemente do tipo, é necessário realizar o cálculo de reação,
que é simples, mas trabalhoso, aplicando as condições de equilíbrio. Para ter sucesso nos resultados, alguns passos devem
ser seguidos:
1. Certi�que-se de que a estrutura em estudo seja um corpo rígido.
2. Analise os esforços externos atuantes e garanta que todos sejam do tipo concentrados. Caso sejam uniformes ou
variados, devem ser convertidos em concentrados e aplicados no local correto, conforme a teoria apresentada.
3. Observe os apoios e identi�que cada um (móvel, �xo ou de engaste), descrevendo as reações que oferecem.
4. Com essas informações, construa o diagrama do corpo livre (DCL).
5. Escolha um ponto que será considerado como eixo de rotação para o cálculo dos torques.
6.    Partindo do plano cartesiano, aplique as