Matematica-A13

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Instituto Universal Brasileiro * Educação de Jovens e Adultos a Distância BRASILEIRO Curso a distância de: SUPLETIVO PREPARATÓRIO ENSINO MÉDIO Série MatemáticaENSINO MÉDIO SÉRIE MATEMÁ TICA AULA 13 GEOMETRIA ESPACIAL GEOMETRIA É o ramo da Matemática que estuda as propriedades e medidas de extensão nos seus três aspectos: lipha (com uma dimensão) superfície (duas dimensões) volume (determinado por três ou mais dimensões) A palavra Geometria: Geo significa terra metria significa medida Hoje usamos a palavra Geometria para nomear a parte da Matemática que estuda medidas, tendo-se a idéia de que a primeira preocupação do homem foi medir a terra, ou seja, o solo que ocupava. Assim como a Aritmétic estuda os conjuntos numéricos, suas operações e propriedades; a Álgebra estuda as estruturas algébricas; a trata dos conjuntos de pontos que constituem as figuras geométricas, estabele- cendo relações e operações envolvendo medidas. No estudo da Geometria são considerados preliminarmente os seus elementos São eles: Ponto, reta e plano. Estes são entes geométricos que são conceitos primitivos, isto é, não possuem definição, apenas conceito. São incomensuráveis, isto é, não é possível medi-los. Apenas os representamos. I Ponto Obtém-se a representação de um ponto pressionando-se a ponta definida de um lápis sobre uma folha de papel. Nomeia-se um ponto, isto é, dá-se o "nome", usando uma letra latina maiúscula qualquer. Exemplos A B P (ponto A) (ponto B) (ponto P) II Reta É um conjunto infinito de pontos dispostos segundo uma direção constante. Com o auxílio de uma régua, por exemplo, deslizando-se a ponta de um lápis sobre uma folha de papel, obtém-se a repre- sentação de uma reta. Nomeia-se uma reta usando uma letra latina minúscula qualquer.Exemplos t S (reta r) (reta s) (reta t) III - Plano Uma superfície como a de uma mesa, de uma quadra de esportes ou de uma parede, dá a idéia de um plano. Um plano é ilimitado, pois é infinito em todas as suas direções. plano é um conjunto infinito de pontos. plano é um conjunto infinito de retas. Nomeia-se um plano usando-se uma letra grega minúscula qualquer. Exemplos a (plano alfa) (plano beta) (plano Letras latinas minúsculas: a, b, c, d... r, t... Z Letras latinas maiúsculas: A, B, C, D, E... P, Q, R...Z Letras gregas: ALFABETO GREGO Maiúsculas Minúsculas Nome A alfa B beta Y gama A 8 delta E épsilson Z E zeta H eta O U teta I 1 iota K kapa lambda M mi N V ni E ksi C pi P ró sigma T tau Y úpsilon Q fi X khi 4' psi (1) ômega Não é necessário você decorar o alfabeto grego!POSIÇÕES RELATIVAS DE UM PONTO E UMA RETA Sabemos que uma reta é um conjunto infinito de pontos. Então, ponto é elemento. reta é conjunto. A relação entre elemento e conjunto é a relação de pertinência. Dessa forma, diz-se que um ponto P pertence (E) ou não pertence a uma reta .Q N A t r P Dada uma reta qualquer, nela existem tantos pontos quantos "quisermos", bem como fora dela Como o ponto não tem dimensão, então: Entre dois pontos quaisquer de uma reta sempre existe um outro ponto. Distância entre um ponto e uma reta Dada uma reta r e um ponto P fora dela, a distância dp. r é a distância medida entre o ponto P e sua projeção normal P' sobre r. P Per dp.r>0 Observação: Se P E então dp (zero) P r Per dp.,=0 Determinação de uma reta Por um ponto P passam infinitas retas. PMas por dois pontos distintos A e B, passa uma única reta. r B A Então, Dois pontos distintos determinam uma reta. Notação: Vimos que nomeia-se uma reta com uma letra latina minúscula, por exemplo uma reta Se dois pontos distintos A e B determinam uma reta, a mesma pode ser chamada de reta AB e indica-se por AB. AB ou BA A B OM ou MO M Pontos colineares Três ou mais pontos são chamados alinhados ou colineares quando pertencem a uma mesma reta. Semi-reta Um ponto P qualquer pertencente a uma reta r, divide-a em duas semi-retas. Exemplo Consideraremos um ponto P da reta AB abaixo representada. P AB A B Dessa forma obtemos: 1) Semi-reta PA, de origem em P e que passa por A: A P 2) Semi-reta PB, de origem em P e que passa por B. P B RETAS COPLANARES E RETAS REVERSAS Duas retas são chamadas coplanares quando elas estão contidas num mesmo plano. Observe as figuras abaixo: r r P S S figura 1 figura 2 re S são coplanares res são coplanaresVocê deve ter observado que nas duas figuras as retas r e S estão contidas num mesmo plano. Então elas são coplanares. NOTA: Dizemos que uma reta está contida em um plano (ou não está contida) conforme o caso. Sabendo-se que reta é um conjunto e plano, também é um conjunto, a relação que usamos entre eles é de inclusão. Nunca podemos então, que uma reta pertence a um plano. Vale lembrar que os símbolos da inclusão são: C está contido não está contido. Duas retas são chamados reversas, ou não coplanares, quando elas pertencem a planos diferentes e não existe nenhum plano comum que contenha simultaneamente as mesmas. Observe a figura seguinte: As faces de um cubo representam planos distintos. Observe que as retas r e S estão contidas em planos distintos. S Não é possível "fazer passar" pelas retas r e S um outro plano comum a elas, isto é, que contenha as duas retas simultaneamente. Então nesse caso, as retas r e S são reversas. RETAS PARALELAS, RETAS CONCORRENTES E RETAS ORTOGONAIS Duas retas são chamadas paralelas, quando elas estão contidas em um mesmo plano e não há pontos comuns entre elas, isto é, não se interceptam. r S Nessa figura, temos: sca lê-se: "reta r está contida no plano a." sca "reta S está contida no plano a." "a intersecção das retas r e S é igual ao conjunto vazio (significa que as retas r e S não se interceptam) " "reta r é paralela à reta s." Duas retas são chamadas concorrentes quando interceptam-se em um ponto.a r P S Nessa figura, temos: rca sca r X S = {P} lê-se: "A intersecção das igual ao ponto P." lê-se: "reta r é concorrente à reta s." Retas perpendiculares Pertencem a um caso especial de retas concorrentes. Duas retas são chamadas perpendiculares quando interceptam-se formando ângulos de 90°. r 90° 90° S 90° 90° Essas duas retas re S são perpendiculares. Observe que os ângulos entre elas medem 90°. Indica-se por r lê-se: "r é perpendicular a s". Observação: Quando duas retas concorrentes não forem perpendiculares, os ângulos entre elas têm medi- da diferente de 90°, elas são chamadas de retas Duas retas são chamadas de ortogonais quando uma paralela a uma delas for perpendicular à outra. Observe na figura: As retas r e S são ortogonais, pois e S s' rEXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Coloque (V) se a afirmação for verdadeira ou (F) se mesmo plano podem ser paralelas e aí não têm pontos for comuns, pois se r // S, então e) Duas retas coplanares são retas contidas em um a) (V) Por dois pontos distintos passa uma única reta. mesmo plano. Se tiverem um ponto em comum elas b) (F) Um plano a contém apenas duas retas distintas. são concorrentes; se não tiverem pontos comuns, c) (V) Duas retas ortogonais são reversas. são paralelas. d) (F) Duas retas r e S pertencem a um mesmo plano. Então necessariamente elas têm pontos comuns. r r S e) (V) Duas retas coplanares são paralelas ou concor- P S a rentes. r (r e S são concorrentes) r // S (r e S são paralelas) f) (V) Duas retas concorrentes são perpendiculares ou f) Duas retas concorrentes são perpendiculares quando g) (F) As retas suportes das arestas de um cubo são os ângulos formados por elas medirem 90°. Se os ângu- perpendiculares entre si. lo entre duas retas concorrentes forem diferentes de 90°, h) (V) Os vértices de um triângulo ABC são pontos de elas são um mesmo plano, isto é, são pontos coplanares. i) (F) Os vértices de um triângulo são pontos colineares. S S Comentários: a) Dados dois pontos distintos A e B, é impossível "fazer r ou passar" mais de uma reta por A e B, portanto AB (reta AB) é única. retas obliquas retas perpendiculares b) Um plano contém infinitas retas e não duas retas ape- g) Num cubo, além de existir retas suportes de arestas nas. perpendiculares, há também paralelas e ortogonais c) Duas retas ortogonais pertencem a planos distintos, h) Um triângulo é uma figura plana. É um subconjunto de portanto são reversas. As retas ortogonais pertencem a um plano. Todos os pontos de um triângulo, são então um caso especial de retas reversas. pontos de um mesmo plano, inclusive os vértices, por- tanto os vértices de um triângulo qualquer são pontos d) Duas retas podem estar contidas em um mesmo coplanares. plano. o termo "pertencem" está incorreto, uma vez que reta e plano são conjuntos e a relação entre dois conjun- i) Pontos colineares são pontos que pertencem a uma tos é de inclusão ou Mesmo que tivesse sido mesma reta, por isso dizemos que são alinhados. Os usado corretamente a relação de inclusão, a afirmação vértices de um triângulo não são pontos alinhados, por continuaria sendo falsa, pois duas retas contidas em um isso não são colineares. POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS Dados dois planos a e eles podem ser SECANTES ou PARALELOS. a) Planos Secantes Dois planos são secantes quando são distintos e interceptam-se numa reta comum a eles.Veja que os planos a e da figura são distintos e interceptam-se na reta r. Representa-se por: a e são secantes. Observação: Dois planos são distintos quando eles não são coincidentes. Dois planos são coincidentes quando têm todos pontos comuns, isto é, todo ponto de um plano é também ponto do outro. b) Planos Paralelos Dois planos distintos a e são paralelos quando não se interceptam, isto é, não tem nenhuma reta e nenhum ponto comum. a = 0 lê-se: "plano a é paralelo ao plano B" Condição para que dois planos sejam paralelos A condição necessária e suficiente para que dois planos sejam paralelos é serem distintos e um deles conter duas retas concorrentes, respectivamente, paralelas a duas retas concorrentes do outro. a q r e S são retas concorrentes contidas no plano a. q são retas concorrentes contidas ao plano então os planos a e são paralelos.EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Assinale a alternativa que contém a afirmação ver- - Se dois planos são paralelos, todo plano secante a dadeira. um deles é paralelo ao outro. III Dois planos secantes podem ser perpendiculares. a) ( ) Dois planos a e são secantes, então todas as retas contidas em a são concorrentes a pelo menos uma Assinale a alternativa correta: reta contida em b) ( ) Se dois planos são distintos, necessariamente são a) ( ) As afirmações verdadeiras são e II. secantes. b) ( ) As afirmações e III são falsas. c) (X) Dois planos secantes têm uma única reta comum, c) ( ) As afirmações I e III são falsas. onde eles interceptam-se. d) (X) A afirmação II é falsa. d) ( Se dois planos são secantes uma reta contida em Comentários: um deles nunca terá paralela contida no outro. (V) A afirmação é verdadeira, pois assim como Comentário: Dois planos secantes interceptam-se numa por um ponto passam infinitas retas, por uma reta pas- reta a eles comum, ou seja: se a e são secantes, sam infinitos planos. então Observe a figura: 2. Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira. a) ( ) Todas as retas de um plano são paralelas a qual- quer reta de outro plano paralelo. b) (X) Dados dois planos a e paralelos, uma reta r conti- da no plano tem uma única paralela contida em c) ( ) Dados dois planos secantes, a e todas retas de necessariamente são concorrentes a qualquer reta de d) ( ) Dois planos paralelos distintos têm infinitas retas (F) A afirmação é falsa pois se dois planos são comuns. paralelos, todo plano secante a um deles também será Comentário: Observe a figura: secante ao outro, e não paralelo como foi afirmado. a (V) III - A afirmação III é verdadeira, pois dois planos secantes podem ser perpendiculares. Isso acontece quando um deles contiver uma reta perpendicular ao outro. S Os planos a e são paralelos. se então S é única, isto é, S é a única reta contida em que é paralela à reta Qualquer outra reta distinta de S seria reversa em relação à reta então os planos a e são perpendiculares. 3. Considere as afirmações: Conclusão: A alternativa correta é a alternativa d, pois a Por uma reta passam infinitos planos. afirmação é a única falsa.POSTULADOS E TEOREMAS Postulados são afirmações que não necessitam de demonstrações, isto é são afirmações verdadeiras por si Teoremas são afirmações que necessitam de demonstrações para provar que as mesmas são verdadeiras. Eis alguns postulados da geometria espacial: POSTULADOS ILUSTRAÇÕES r P1 Dois pontos distintos B A determinam uma única r=AB A B P2 - Três pontos não-colineares C determinam uma único plano. r P3 - Uma reta, que possui dois A B pontos distintos num plano, está contida nesse plano. A E a r = AB C a P P4 - Uma reta e um ponto exterior r a ela determinam um plano. a P5 - Duas retas distintas, que têm um ponto comum, deter- P S minam um plano. P6 - Por duas retas paralelas r r S passa um só plano Eis alguns Teoremas da geometria espacial: (Embora sejam demonstráveis, vamos apenas enunciar alguns teoremas).T.1: Se dois planos são distintos e têm um ponto comum, então a intersecção destes planos é uma reta que pertence a estes dois planos e passa por este ponto. P r T.2: Se três planos são distintos e dois a dois secantes segundo três retas distintas, então, ou essas retas se interceptam num só ponto, ou elas são paralelas duas a duas. T.3: Uma reta não contida num plano será paralela a esse plano, se for paralela a uma reta desse plano. T.4: Se dois planos são secantes e uma reta de um deles é paralela ao outro (plano), então essa reta é paralela à intersecção de ambos. T.5: Dadas duas retas distintas e paralelas entre si, se um plano paralelo à primeira contiver um ponto da segunda, então esse plano conterá a segunda. T.6: Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à intersecção desses planos. T.7: Se dois planos distintos são paralelos entre si e uma reta é concorrente com um deles, então esta reta é concorrente com o outro. T.8: Se dois planos distintos são paralelos entre si, e um plano é secante a um deles, então esse plano é também secante ao outro. T.9: Se dois planos distintos, paralelos entre si, são interceptados por um terceiro, então as interseções são paralelas entre si. T.10: Por um ponto não pertencente a um plano, passa um único plano paralelo a esse plano. T.11: Se dois planos são distintos e ambos paralelos a um terceiro, então eles são paralelos entre si. EXERCÍCIOS PARA VOCÊ RESOLVER 1. Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira. a) ( ) Existem duas retas reversas coincidentes. b) ( ) Se duas retas não têm pontos em comum são a) ( ) Duas retas reversas são coplanares. paralelas. b) ( ) Duas retas são paralelas quando são reversas. c) ( Se duas retas não têm pontos em comum são re- c) ( ) Se duas retas são paralelas e cada uma está conti- versas. da em planos distintos, estes necessariamente são planos d) ( ) Se duas retas têm um ponto em comum são con- paralelos. correntes. d) ( ) Retas concorrentes são coplanares. e) ( ) Duas retas não coplanares são reversas. f) ( ) Duas retas perpendiculares são concorrentes. 2. Nas afirmações seguintes, coloque corretamente, (V) g) ( ) Duas retas concorrentes podem ser perpendicu- se for verdadeira e (F) se for falsa. lares.3. Na figura abaixo, onde todos os ângulos medem 90°, e) ) AB CE {B}. há várias retas. Considerando as retas suporte das arestas, localize o que se pede: 6. Coloque (V) se a frase for verdadeira e (F) se for falsa. F E a) Se uma reta r é paralela ao plano então ela é D C Modelo/Exemplo: paralela a todas as retas do plano H G duas retas paralelas. b) ( ) Se uma reta e um plano são concorrentes, então Resposta: retas ela é concorrente com qualquer reta do plano. AB e DC c) ( ) Se e S são retas reversas, todo plano que con- A B tém r é interceptado por S. d) ( ) Por um ponto P fora do plano existe somente a) Duas retas ortogonais. um plano paralelo à b) Duas retas concorrentes perpendiculares. c) Duas retas concorrentes oblíquas. 7. Existe um teorema do paralelismo entre reta e plano que diz a seguinte proposição: "Se uma reta não está 4. Classifique as frases seguintes em verdadeiras (V) ou contida num plano e é paralela a uma reta do plano falsas (F): então ela é paralela ao plano". A figura abaixo ilustra este teorema: a) ( Numa reta existem dois pontos distintos. r b) ( ) Fora de uma reta existe um único ponto. c) ( ) Três pontos quaisquer são sempre colineares. d) ( ) Dois pontos quaisquer são sempre colineares. S e) ( ) Três pontos quaisquer sempre determinam uma reta. f) ( Por um ponto passam duas retas. Se e r então r g) ( ) Por três pontos não colineares passa um único plano. h) Por três pontos não colineares passam três retas Considerando o teorema visto no exercício, assinale cada sentença com (V) se ela for verdadeira ou (F) se distintas. ela for falsa. 5. Observe a figura abaixo e classifique as frases em a) Se r e S são retas paralelas distintas e r intercepta verdadeiras (V) ou falsas (F). o plano então S também intercepta b) ) Se r é uma reta não contida no plano e S é uma reta de que é paralela a r, então r e são paralelos. E D 8. Considerando as posições relativas de dois planos, B assinale (X) na alternativa verdadeira: C A a) ) Se dois planos um único ponto em a comum eles são concorrentes. b) ) Dois que têm a intersecção vazia são pa- a) os pontos A, B, e E são colineares. ralelos. b) ) os pontos A, B e C são coplanares. c) Dois planos que têm como intersecção uma reta c) ( ) os pontos A, B e C determinam o plano são coincidentes. d) ( ) AB d) ( ) Dois planos secantes são perpendiculares.9. Observe a figura e classifique os planos como secan- c) o plano a (C F G B) e o plano (B G são tes, paralelos ou coincidentes. E F 10. Assinale (X) na alternativa verdadeira. D C G a) Uma reta não contida num plano será paralela a H esse plano, se for paralela a todas as retas desse plano. b) ) Dados dois planos secantes, toda reta de um é concorrente a qualquer reta do outro. A B c) ( Se dois planos distintos são paralelos entre si, e a) o plano a (A B C D) e o plano (ABGH) são um plano é secante a um deles, então esse plano é secante ao outro. b) o plano a (A B G H) e o plano d) ( ) Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é concorrente à intersecção desses planos. CHAVE DE RESPOSTAS 1. Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira. estejam contidas em dois planos distintos, existe sempre um terceiro plano comum às retas. a) Duas retas reversas são coplanares. b) ( Duas reta são paralelas quando são reversas. 2. c) ( ) Se duas retas são paralelas e cada uma está conti- a) (F) Existem duas retas reversas coincidentes. da em planos distintos, estes necessariamente são planos Comentário: Retas reversas estão em planos diferen- paralelos. tes, portanto, não podem ser coincidentes d) (X) Retas concorrentes são coplanares. Comentários: r A alternativa a é falsa, pois retas reversas estão conti- a das em planos distintos, por isso não são coplanares. A alternativa b é falsa, pois duas retas paralelas são coplanares e não reversas. A alternativa é falsa pois dois planos não precisam S ser necessariamente paralelos para conter retas parale- las, veja a figura onde os planos não são paralelos. b) (F) Se duas retas não têm pontos em comum são paralelas. Comentário: Não só as retas paralelas não têm pontos em comum, as retas reversas também não os têm. c) (F) Se duas retas não têm pontos em comum são reversas. A única alternativa correta é a alternativa d pois: Comentário: Não só as retas reversas não têm pontos Retas concorrentes são coplanares, pois estão conti- em comum, as retas paralelas também não os das em um mesmo plano; d) (V) Se duas retas têm um ponto em comum são con- r correntes. S e) (V) Duas retas não coplanares são reversas. Comentário: Todas as outras posições (concorrentes e Observação: Mesmo que as retas concorrentes r e S paralelas) determinam um plano.f) ( Dua retas perpendiculares são concorrentes. formado por elas mede 90°, sendo as retas concorrentes todas perpendiculares. 4. Classifique as frases seguintes em verdadeiras (V) ou S falsas (F). a) (V) Numa reta existem dois pontos distintos. Comentário: r e S são retas concorrentes perpendicu- Comentário: Como na reta existem infinitos pontos dis- lares. tintos, existem dois pontos distintos. Por exemplo: g) Duas retas concorrentes podem ser perpendicu- lares. r A B Comentário: Verdade, pois as retas concorrentes po- dem ser perpendiculares ou oblíquas. b) (F) Fora de uma reta existe um único ponto. Comentário: Existem infinitos pontos. 3. Na figura abaixo, onde todos os ângulos medem 90°, A B C há várias retas. Considerando as retas suporte das D E F arestas, localize o que se pede: r a) Duas retas ortogonais. c) (F) Três pontos quaisquer são sempre colineares. Comentário: Podem existir 3 pontos não colineares, por F exemplo A, B e C. E B A C D C G Lembrando que pontos colineares são pontos perten- centes a uma mesma reta. A B d) (V) Dois pontos quaisquer são sempre colineares. Comentário: Há vários pares de retas ortogonais na fi- Comentário: Dois pontos distintos quaisquer determi- nam uma reta, portanto são colineares. gura. Entre elas, localizamos as retas ED e BC. e) (F) Três pontos quaisquer, sempre determinam uma b) Duas retas concorrentes perpendiculares. reta. F E Comentário: Observe os três pontos não colineares A, B e C, estes não determinam uma reta. D C B A G C f) (V) Por um ponto passam duas retas. Comentário: É verdade afirmar, pois por um ponto A B passam infinitas retas, por isso podemos afirmar que passam duas retas. Comentário: Há vários pares de retas perpendiculares (concorrentes obviamente). Entre elas localizamos as retas AB e AD, onde AB AD e AB NAD {A}. P c) Duas retas concorrentes oblíquas. Comentário: Não há retas concorrentes oblíquas, con- S siderando as retas suporte das arestas, pois cada ângulog) (V) Por três pontos não colineares passa um único a) (F) Se uma reta r é paralela ao plano a, então ela é plano. paralela a todas as retas do plano a. Comentário: É verdade veja o Postulado 2. Comentário: Ela pode ser reversa a algumas retas do plano Observe a figura. A B C r' e S são reversas a S h) (V) Por três pontos não colineares passam três retas distintas. b) (F) Se uma reta e um plano são concorrentes, então Comentário: É verdade obseve as três retas: ela é concorrente com qualquer reta do plano. A B AB Comentário: Ela pode ser reversa a algumas retas do plano Observe a figura: BC C AC D r e S são reversas 5. Observe a figura e classifique as frases verdadeiras (V) ou falsas (F). c) (F) Se r e S são retas reversas, todo plano que con- E tém r é interceptado por S. D Comentário: Não é verdade, pois os planos podem ser paralelos. B C A S a a all a) (F) A, B e E são colineares. Comentário: É falso porque A, B e E não estão na mesma linha. b) (V) A, B e C são coplanares. Comentário: Sim, é verdadeiro pois, A, B e C pertencem ao mesmo plano a d) (V) Por um ponto P fora do plano existe somente um plano paralelo à c) (V) A, B e C determinam o plano Comentário: Sim, pois os três pontos A, B e C não são colineares e três pontos não colineares determi- nam um plano. P d) (V) ) AB Comentário: Sim, a reta AB está contida no plano e) (V) AB = {B}. Comentário: Sim, pois a reta AB intercepta a reta CE no ponto B. 6. Coloque (V) se a frase for verdadeira e (F) se for falsa.7. como secantes, paralelos ou coincidentes. a) (V) Se r e S são retas paralelas distintas e r intercep- E F ta o plano então S também intercepta a D C G H S A B a) o plano (A B C D) e o plano são secantes são concorrentes, S e também serão con- correntes. b) o plano ABGH) e o plano (CDEF) são b) (V) Se r é uma reta não contida no plano a e S é uma paralelos reta de que é paralela a então r e a são paralelos. c) o plano (C F G B) e o plano são coincidentes Comentário: Essa é afirmação do próprio teorema dado no exercício e está perfeitamente ilustrado pela figura 10. Considerando o teorema: dada. Assinale (X) na alternativa verdadeira. 8. Considerando a posição relativa de dois planos, as- c) (X) Se dois planos distintos são paralelos entre si e sinale (X) na alternativa verdadeira. um plano é secante a um deles, então esse plano é secante ao outro. a) ( ) Se dois planos possuirem um único ponto em Comentário: A alternativa é a verdadeira. o seu comum eles são concorrentes. conteúdo é o enunciado do Teorema 9, dado nesta b) (X) Dois planos que têm a intersecção vazia são pa- aula. ralelos. c) ( ) Dois planos que têm como intersecção uma reta são coincidentes. d) ( ) Dois planos secantes são perpendiculares. Comentários: a) Dois planos nunca terão um único ponto em comum, S ou terão todos ou terão uma reta em comum. b) Somente planos paralelos tem intersecção vazia, isto se e são dois planos e então a Portanto a alternativa b é a verdadeira. Observe que: d) Dois planos secantes, nem sempre são perpendicu- lares; podem ser e são secantes. 9. Observe a figura no exercício e classifique os planos Então e também são secantes.