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2º BIMESTRE | 2025 
PROFESSOR
Língua Portuguesa 
e Matemática
Revisa 2ª Série - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
32
Revisa Goiás
COMPREENDENDO O MATERIAL PEDAGÓGICO – Ensino Médio
Caro(a) professor(a), o REVISA GOIÁS 2025 continua objetivando a recomposição e desenvolvimento das 
aprendizagens essenciais previstas nas habilidades do Documento Curricular para Goiás – Etapa Ensino Médio 
(DC-GOEM). No que diz respeito ao componente Matemática no Ensino Médio, o material apresenta atividades 
organizadas obedecendo a progressão do conhecimento no sentido vertical (de um ano para outro) nas habilidades 
de recomposição e horizontal (dentro do mesmo ano que o estudante está cursando) nas habilidades previstas no 
DC-GOEM ao mesmo tempo que conversam com os descritores das avaliações externas como o Sistema de Avalia-
ção da Educação Básica (Saeb) garantindo o desenvolvimento integral dos processos cognitivos para o avanço nas 
próximas etapas.
O REVISA GOIÁS 2025 foi estruturado em três grupos de habilidades (atividades), dispostos em três cores, para 
indicar o nível de gradação entre as habilidades desenvolvidas em cada grupo. Nesse sentido, são considerados os 
conhecimentos essenciais do(a) estudante (habilidades basilares de anos anteriores), bem como as diversas estraté-
gias e ferramentas necessárias para o avanço do processo de aprendizagem de cada um. Desse modo:
• utilizou-se a cor amarela, para indicar os descritores e habilidades que opor-
tunizam o desenvolvimento das habilidades de nível “Abaixo do básico / Básico”.
• utilizou-se a cor azul para indicar as atividades que possibilitam que o(a) es-
tudante desenvolvam e aprimorem habilidades de nível “Básico / Proficiente”.
• utilizou-se a cor rosa para indicar as atividades que proporcionem o desen-
volvimento e potencialização de habilidades de nível “Proficiente / Avançado”.
GRUPO DE ATIVIDADES 1 1
GRUPO DE ATIVIDADES 2 2
GRUPO DE ATIVIDADES 3 3
Obs: Entendemos que, quando o(a) estudante desenvolve habilidades de nível avançado, ele(a) já está apto para desenvolver as habili-
dades presentes no corte temporal do ano que se encontra e que foram priorizadas na elaboração deste material.
Busca recapitular conhecimentos basilares referente as habilidades que 
estão em níveis abaixo do básico.
Busca avançar nos conhecimentos basilares que estão em nível abaixo do 
básico fazendo a transição para o nível básico.
Busca ampliar os conhecimentos que estão no nível básico fazendo a 
transição para o nível proficiente.
Busca estruturar, sistematicamente, as habilidades que foram ampliadas, 
de maneira a contemplar o nível de gradação dentro de cada grupo.
Vamos avançar?
Vamos Sistematizar?
o que precisamos 
saber?
Vamos ampliar?
Vale ressaltar que, o REVISA GOIÁS 2025, continua priorizando, em cada corte temporal, pelo menos uma unidade 
temática e, a partir dela, estruturando atividades que contribuirão para o desenvolvimento de habilidades essenciais, 
objetivando que os(as) estudantes alcancem o nível Proficiente / Avançado. Nesse sentido, dentro de cada tópico su-
pracitado, temos o momento:
Com itens estruturados, de acordo com as habilidades, de cada corte 
temporal, prescritas no DC-GOEM que se desmembram nos descritores 
da matriz SAEB a serem avaliados nesta etapa de ensino. 
Obs: Caso considere necessário, fique à vontade para inserir atividades que contribuam com a recomposição da aprendizagem do(a) 
estudante e que possibilitarão, também, seu avanço nesse processo. 
Nessa perspectiva, seguimos com esta importante ação na rede Estadual de Educação de Goiás, cientes da ne-
cessidade de um ensino Matemático que oportunize o desenvolvimento das habilidades curriculares para continuar 
avançando em proficiência, com foco no(a) estudante como sujeito desse processo. 
Desejamos a todos um excelente trabalho! 
Equipe de Matemática do Núcleo de Recursos Didáticos / NUREDI / Secretaria de Estado da Educação de Goiás (SEDUC-GO)
MATEMÁTICA
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Objetos de conhecimento do DC-GOEM
Habilidades de recomposição
1° grupo 
DCGO – 
Ampliado 
• (EF06MA16-B) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situa-
ções como a localização dos vértices de um polígono.
• (EF06MA25-A) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas e reconhecer 
os diferentes tipos de ângulos (agudo, reto e obtuso). 
• (EF06MA26-A) Reconhecer e comparar ângulos.
• (EF06MA26-B) Identificar ângulos: nulo, reto, raso (meia volta) e de uma volta.
• (EF06MA26-C) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações 
reais, como ângulo de visão.
• (EF06MA27-A) Identificar ângulos formados nas plantas baixas.
• (EF06MA27-B) Classificar ângulos (agudo, reto, obtuso).
• (EF06MA27-C) Identificar ângulos congruentes, complementares e suplementares.
• (EF06MA27-D) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais, 
associando a situações reais como ângulo de visão, dentre outras.
• (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
• (EF08MA14-A) Reconhecer os critérios de congruência de triângulos, por meio de investigações usando softwa-
res de geometria dinâmica ou materiais manipuláveis, bem como suas respectivas demonstrações.
• (EF08MA14-B) Identificar triângulos congruentes seguindo os critérios de congruência de triângulos.
• (EF07MA24-C) Verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180° e aplicar este resul-
tado para demonstrar o Teorema do Ângulo Externo.
• (EF09MA12-A) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. 
• (EF09MA12-B) Reconhecer triângulos semelhantes em situações de ampliação, congruência e redução, e as rela-
ções que existem entre seus perímetros e suas áreas.
• (EF06MA21)* Construir triângulos semelhantes em situações de ampliação e de redução, do plano cartesiano ou 
tecnologias digitais.
• (EF07MA24-B)* Reconhecer a condição de existência do triângulo. (Desigualdade triangular).
2º grupo
DCGO – 
Ampliado
• (EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma 
transversal. 
• (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizan-
do, inclusive, a semelhança de triângulos.
• (EF09MA14-A) Estabelecer o Teorema de Tales, por meio das relações de proporcionalidade envolvendo retas 
paralelas cortadas por secantes, para calcular distâncias inacessíveis e nas relações envolvendo semelhança de 
triângulos em problemas diversos.
• (EF09MA14-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das 
relações de proporcionalidade, envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
3º grupo
DCGO – 
Ampliado
• (GO-EF09MA25) Estabelecer as razões trigonométricas fundamentais (seno, cosseno e tangente) para resol-
ver problemas em diferentes contextos.
Habilidades DC-GOEM
• (GO-EMMAT404A) Compreender o conceito de função analisando situações que especifiquem a dependência entre variá-
veis para modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas. 
• (GO-EMMAT308A) Relacionar, por semelhança de triângulos ou pelo Teorema de Pitágoras, as medidas dos lados e segmen-
tos do triângulo retângulo (catetos, hipotenusa, altura relativa a hipotenusa e projeções dos catetos sobre a hipotenusa), iden-
tificando todas as medidas apresentadas no problema para compreender a origem e os processos que acarretam as relações 
métricas no triângulo retângulo.
• Ângulos;
• Lei dos Senos;
• Lei dos Cossenos;
• Teorema de Pitágoras;
• Congruência de triângulos (por transformações geométri-
cas isometrias);
• Semelhança entre triângulos (por transformaçõestrigonométrico medido a partir da 
origem e que, assim, determinará um único ponto.
Utilizando a letra x para a variável independente que 
representa o ângulo, e y, ou f(x), para as funções, define-se 
as funções seno e cosseno de um ângulo como funções re-
ais de variáveis reais que associam, a cada número real x, 
o valor real sen (x) ou de cos(x). Assim, o eixo das abscissas 
pode ser chamado de eixo dos cossenos e o eixo das orde-
nadas de eixo dos senos.
Observações: 
1º) Ambas são funções de R → R definidas por:
f(x) = sen (x) ou f(x) = cos(x)
2º) Possuem D =R e Im = [–1, 1].
3º) São funções periódicas de período 2π.
Para a construção das representações gráficas dessas 
funções, é necessária uma tabela com as razões trigono-
métricas dos principais ângulos (em graus ou radianos). 
Observe:
14. (UFPR – Adaptada) Calcule o seno do maior ângulo de 
um triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros.
Sugestão de solução: 
Pela lei dos cossenos, temos:
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-1.htm. Acesso em: 20 jun. 2023.
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▸ Função tangente 
Diferente das duas funções trigonométricas anteriores, 
a função tangente não possui valor de máximo nem valor de 
mínimo. A lei de formação da função tangente é f(x) = tg(x).
A função tangente possui restrições para o seu do-
mínio, como , então, não existem valores para 
tangente quando cos(x) = 0. 
Como cos(90°) = 0 e cos(270°) = 0, a função tangente 
não está definida para esses ângulos. Desta forma, quan-
do há ângulos maiores que uma volta completa, todos 
aqueles em que o valor de cosseno é 0 não fazem parte do 
domínio da função tangente. Assim: 
Para representar graficamente a função é necessária 
uma tabela com as razões trigonométricas dos principais 
ângulos (em graus ou radianos). Observe:
Analisando o gráfico y=tg(x), percebe-se que o perío-
do da função tangente é π. Ou seja,
tg(x) = tg(x + kx),com k ∈ Z e x ∈ D(f)
ATIVIDADES
Professor(a), na atividade 15, o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva a habilidade de construir os gráficos 
de uma função trigonométrica. Proponha que construam 
uma tabela com valores notáveis de ângulo e, a partir daí, 
marquem os pontos no plano e tracem os gráficos. Se for 
possível, utilize o software GeoGebra acessando o link: 
www.geogebra.org.
15. Construa o gráfico de cada função trigonométrica, a 
seguir:
a) f(x) = sen(x)
Sugestão de solução:
b) f(x) = cos(x)
Sugestão de solução
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c) f(x) = tg(x)
Sugestão de solução
vamos concluir?
SENOIDES E COSSENOIDES
Além das funções trigonométricas mostradas ante-
riormente, merecem atenção outras funções que também 
envolvem seno e cosseno e que de modo geral são escri-
tas nas formas:
em que a, b, c e d são constantes e b e c diferentes de zero. 
Exemplos:
Qual o papel das constantes a, b, c e d?
Considere o gráfico da função f(x) = sen(x) mostrado 
anteriormente.
Considere agora o gráfico da função f(x) = 1 + sen(x) 
com a constante a = 1 
Considere agora o gráfico da função f(x) = 2 ∙ sen(x) 
com a constante b = 2
Comparando o gráfico da função f(x) = 1 + sen(x) 
com o gráfico da função f(x) = sen(x), verifica-se que ele 
sofreu um deslocamento (translação) de uma unidade 
para cima, ou seja, verticalmente.
Comparando o gráfico da função f(x) = 2 ∙ sen(x) com 
o gráfico da função f(x) = sen(x), verifica-se que ele so-
freu uma dilatação vertical (esticou) duas vezes.
Comparando o gráfico da função f(x) = sen(2x) com o 
gráfico da função f(x) = sen(x), verifica-se que ele sofreu 
uma compressão horizontal (encolheu) de modo que 
seu período foi dividido por 2.
Considere agora o gráfico da função f(x) = sen(2x) com 
a constante c = 2
Comparando o gráfico da função f(x) = sen(x + π) com 
o gráfico da função f(x) = sen(x), verifica-se que ele so-
freu um deslocamento horizontal (translação) para a 
esquerda de π unidades.
A constante a translada o gráfico padrão em a, uni-
dades verticais. Se a>0 o gráfico “sobe” a unidades. Se 
a1 o gráfico dilata verticalmente. Se 
01, 
o gráfico será comprimido horizontalmente em |c| uni-
dades. Se 00, o gráfico translada unida-
des para a esquerda. Se dsendo k uma constante, e supondo-se 
que x está entre 0° e 90°.
Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual 
percentual de seu valor máximo?
(A) 33% (B) 50% (C) 57% (D) 70% (E) 86%
Gabarito: B
Sugestão de solução:
A intensidade luminosa é dada por I(x) = k ∙ sen(x)
A intensidade será máxima quando sen(x) for máximo, isso 
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19. (ENEM 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geo-
grafia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles 
que apresentam ciclos bem definidos de produção, con-
sumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano 
em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora 
é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com 
preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção má-
xima da safra.
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço 
P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal 
pode ser descrito pela função , 
onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao 
mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessi-
vamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é
(A) janeiro. (D) julho.
(B) abril. (E) outubro.
(C) junho.
Gabarito: D
Sugestão de solução: 
O enunciado informa que a produção máxima vai ocorrer 
quando os preços são mais baixos. A função dada pela 
questão é a função do preço, sempre considerando que 
x é o mês do ano.
Então, para que a produção seja máxima, tem–se que cal-
cular o menor preço possível. Para isso, é preciso trans-
formar essa função em uma fórmula que forneça o valor 
mínimo possível. Nesse caso, isso ocorrerá quando o cos-
seno for igual a –1. Isso porque –1 é o menor valor possí-
vel para o cosseno (–1 ≤ cosx ≤ 1).
Pelo círculo trigonométrico, o cosseno será máximo no 
ângulo 0 e mínimo em π (180°). Então, para encontrar o 
valor mínimo, o que está dentro dos parênteses na função 
deve valer π, ou seja:
6π = πx – π
6π + π = πx
7π = πx → x = 7
O mês 7 do calendário é julho.
20. (ENEM 2017) Um cientista, em seus estudos para mo-
delar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função 
do tipo P(t)= A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes 
reais positivas e t representa a variável tempo, medida em 
segundo. Considere que um batimento cardíaco repre-
senta o intervalo de tempo entre duas sucessivas pres-
sões máximas.
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso 
específico foi
(A) P(t) = 99 + 21 cos(3πt).
(B) P(t) = 78 + 42 cos(3πt).
(C) P(t) = 99 + 21 cos(2πt).
(D) P(t) = 99 + 21 cos(t).
(E) P(t) = 78 + 42 cos(t).
Gabarito: A
Sugestão de solução:
Sabe–se que o valor máximo de cos(θ) é igual a 1 e o valor 
mínimo é –1. Sendo assim, quando a pressão for máxima, 
é cos(kt) = 1 e quando a pressão for mínima é cos(kt) = –1. 
Pelos dados da questão, tem–se que P(t) = A + Bcos(kt). 
Sendo assim, obtém–se:
Substituindo em A + B = 120, obtém-se:
99 + B = 120
B = 120-99
B = 21
Para calcular o valor da constante k:
Um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo 
entre duas sucessivas pressões máximas. O período entre 
duas pressões máximas na função cosseno é igual a 2π.
Segundo a tabela, o número de batimentos cardíacos é de 
90 por minuto, ou seja, 90 batimentos por 60 segundos.
Para 1 batimento cardíaco:
acontece no ângulo de 90°, aproximadamente às 12:00, 
quando o sol estiver a pino. Neste caso, tem-se:
I(x)máximo = k ∙ sen(90°) = k ∙ 1 =k
E quando o ângulo for de 30º, tem-se:
I(x) = k ∙ sen(30°) = k ∙ = k ∙ 0,5 = 50% de k.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:
Assim, o intervalo para um batimento cardíaco é igual a 
de um segundo. 
Sendo assim:
Portanto, a função obtida pelo cientista ao 
analisar o caso é 
P(t) = A + Bcos(kt)
P(t) = 99 + 21∙cos(3πt)
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21. (ENEM 2024) Projetistas de uma fábrica de amorte-
cedores realizaram uma série de experimentos que pro-
duziram oscilações semelhantes ao comportamento do 
gráfico de uma senoide, para qualquer tipo de estrada. 
Cada experimento teve duração de 20 minutos, sendo os 
9 primeiros minutos em superfície que simula uma rodo-
via asfaltada, e os 11 minutos restantes em superfície que 
simula uma estrada de chão. 
Para os amortecedores serem aprovados no experimento, 
exige-se que as amplitudes das ondas oscilatórias, em cada 
tipo de superfície, sejam constantes e, ainda, que a ampli-
tude da oscilação do amortecedor no asfalto seja menor 
do que sua amplitude da oscilação na estrada de chão. 
O tipo de gráfico que descreve o comportamento oscila-
tório de um amortecedor aprovado nesse experimento é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: A
Sugestão de solução:
Quando a amplitude aumenta, no gráfico, a altura da fun-
ção também cresce, tanto para os valores positivos quan-
to para os negativos, observados no eixo y. A questão 
estabelece que a amplitude inicial, durante os primeiros 
9 minutos (no asfalto), deve ser menor que a amplitude a 
partir dos 9 minutos (na estrada de chão), com ambas as 
amplitudes permanecendo constantes em seus respecti-
vos intervalos.
Portanto, buscamos um gráfico no qual a altura no eixo 
y seja menor no início e aumente de maneira clara após 
os 9 minutos, mantendo-se constante em cada intervalo. 
O gráfico que apresenta essas características é o da al-
ternativa A, pois ele atende perfeitamente às condições 
descritas.
Secretaria de Estado
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Expediente
Governador do Estado de Goiás
Ronaldo Ramos Caiado
Vice–Governador do Estado de Goiás
Daniel Vilela
Secretária de Estado da Educação
Aparecida de Fátima Gavioli Soares Pereira
Secretária–Adjunta
Helena Da Costa Bezerra
Diretora Pedagógica
Alessandra Oliveira de Almeida
Superintendente de Educação Infantil e Ensino 
Fundamental
Fátima Garcia Santana Rossi
Superintendente de Ensino Médio
Osvany Da Costa Gundim Cardoso
Superintendente de Segurança Escolar e Colégio 
Militar
Cel Mauro Ferreira Vilela
Superintendente de Desporto Educacional, Arte 
e Educação
Elaine Machado Silveira 
Superintendente de Modalidades e Temáticas 
Especiais 
Rupert Nickerson Sobrinho
Diretor Administrativo e Financeiro
Andros Roberto Barbosa
Superintendente de Gestão Administrativa
Leonardo de Lima Santos
Superintendente de Gestão e Desenvolvimento 
de Pessoas
Hudson Amarau de Oliveira
Superintendente de Infraestrutura
Gustavo de Morais Veiga Jardim
Superintendente de Planejamento e Finanças
Taís Gomes Manvailer
Superintendente de Tecnologia
Bruno Marques Correia
Diretora de Política Educacional
Vanessa de Almeida Carvalho
Patrícia Morais Coutinho
Superintendente de Gestão Estratégica e 
Avaliação de Resultados
Márcia Maria de Carvalho Pereira
Superintendente do Programa Bolsa Educação
Márcio Roberto Ribeiro Capitelli
Superintendente de Apoio ao Desenvolvimento 
Curricular
Nayra Claudinne Guedes Menezes Colombo
Chefe do Núcleo de Recursos Didáticos
Evandro de Moura Rios
Coordenador de Recursos Didáticos para o Ensino 
Fundamental
Alexsander Costa Sampaio
Coordenadora de Recursos Didáticos para o 
Ensino Médio
Edinalva Soares de Carvalho Oliveira
Professores elaboradores de Língua Portuguesa
Edna Aparecida dos Santos
Edinalva Filha de Lima Ramos 
Katiuscia Neves Almeida
Maria Aparecida Oliveira Paula
Norma Célia Junqueira de Amorim
Professores elaboradores de Matemática
Amanda Martinhago Chavoni
Basilirio Alves da Costa Neto
Tayssa Tieni Vieira de Souza
Thiago Felipe de Rezende Moura
Tyago Cavalcante Bilio
Professores elaboradores de Ciências da Natureza
Leonora Aparecida dos Santos
Sandra Márcia de Oliveira Silva
Sílvio Coelho da Silva
Professor de Ciências Humanas e Sociais
Eila da Rocha dos Santos
Revisão
Cristiane Gonzaga Carneiro Silva
Diagramação
AdrianiGrüngeomé-
tricas homotetia);
• Trigonometria no triângulo retângulo (principais razões 
trigonométricas);
• Trigonometria no ciclo trigonométrico;
• Unidades de medidas de ângulos (radianos);
• Funções trigonométricas (função seno e função cosseno).
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• (GO-EMMAT308B) Relacionar, pelas Leis do Seno ou do Cosseno, as medidas dos lados de triângulos quaisquer com as me-
didas do seno ou do cosseno de seus respectivos ângulos, utilizando a tabela trigonométrica como suporte, para aplicar estas 
leis na resolução de problemas em diversos contextos (cálculo de distâncias, determinação da medida de ângulos ou relações 
trigonométricas, cálculo de perímetros, áreas, entre outros).
• (GO-EMMAT308C) Aplicar as relações métricas, as Leis do Seno e do Cosseno e as noções de congruência e semelhança em 
situações que envolvem triângulos, resolvendo problemas apresentados em contextos relacionados ao cotidiano para enten-
der, propor soluções e construir argumentação consistente.
• (GO-EMMAT306A) Registrar, em listas, tabelas e outras informações contidas em situações problemas, mídias (internet, 
livros ou revistas) que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos etc.) identifican-
do as características gráficas das funções seno e cosseno (periodicidade, domínio, imagem), para justificar os procedimentos 
utilizados nas soluções.
• (GO-EMMAT306B) Interpretar registros, dados e informações em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais, 
comparando suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de 
álgebra e geometria para resolver problemas de natureza trigonométrica.
• (GO-EMMAT306C) Resolver problemas cotidianos que envolvem fenômenos periódicos reais, utilizando procedimentos 
matemáticos diversos para construir modelos de funções senos e cossenos e representá-las no plano cartesiano.
Matriz SAEB
9° ano
• D3 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos.
• D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhan-
tes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.
• D10 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos.
3ª série
• D1 – Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade.
• D2 – Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas 
ou espaciais.
• D5 – Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente).
• D30 – Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades.
GRUPO DE ATIVIDADES 1 1
Partindo do pressuposto que alguns estudantes ainda 
não desenvolveram habilidades elementares, ou seja, 
aquelas do grupo “Abaixo do básico” presentes nos anos 
anteriores (progressão vertical), o objetivo nesse grupo 
de habilidades é que eles(as) desenvolvam essas habilida-
des, de modo que avancem para o grupo “Básico” e sigam 
ampliando cada vez mais os seus conhecimentos.
Desta maneira, estima-se que, para este primeiro grupo 
de atividades, os(as) estudantes sejam capazes de desen-
volver as seguintes habilidades:
• (EF06MA16-B) Associar pares ordenados de números 
a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situa-
ções como a localização dos vértices de um polígono.
• (EF06MA25-A) Reconhecer a abertura do ângulo como 
grandeza associada às figuras geométricas e reconhecer 
os diferentes tipos de ângulos (agudo, reto e obtuso). 
• (EF06MA26-A) Reconhecer e comparar ângulos.
• (EF06MA26-B) Identificar ângulos: nulo, reto, raso 
(meia volta) e de uma volta.
• (EF06MA26-C) Resolver problemas que envolvam a 
noção de ângulo em diferentes contextos e em situações 
reais, como ângulo de visão.
• (EF06MA27-A) Identificar ângulos formados nas plan-
tas baixas.
• (EF06MA27-B) Classificar ângulos (agudo, reto, obtuso).
• (EF06MA27-C) Identificar ângulos congruentes, com-
plementares e suplementares.
• (EF06MA27-D) Determinar medidas da abertura de 
ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digi-
tais, associando a situações reais como ângulo de visão, 
dentre outras.
• (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e 
classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
• (EF08MA14-A) Reconhecer os critérios de congruên-
cia de triângulos, por meio de investigações usando sof-
twares de geometria dinâmica ou materiais manipuláveis, 
bem como suas respectivas demonstrações.
• (EF08MA14-B) Identificar triângulos congruentes se-
guindo os critérios de congruência de triângulos.
• (EF07MA24-C) Verificar que a soma das medidas dos 
ângulos internos de um triângulo é 180° e aplicar este re-
sultado para demonstrar o Teorema do Ângulo Externo.
• (EF09MA12-A) Reconhecer as condições necessárias 
e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. 
• (EF09MA12-B) Reconhecer triângulos semelhantes em 
situações de ampliação, congruência e redução, e as rela-
ções que existem entre seus perímetros e suas áreas.
• (EF06MA21)* Construir triângulos semelhantes em si-
tuações de ampliação e de redução, do plano cartesiano 
ou tecnologias digitais.
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9° ano
D3 – Identificar propriedades de triângulos pela 
comparação de medidas de lados e ângulos.
D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura 
construída por uma transformação homotética 
são semelhantes, identificando propriedades e/
ou medidas que se modificam ou não se alteram.
E dos descritores da Matriz Saeb: 
• (EF07MA24-B)* Reconhecer a condição de existência 
do triângulo. (Desigualdade triangular).
Buscando o desenvolvimento pleno das habilidades no 2° 
corte temporal da 2ª série:
• (GO-EMMAT308A) Relacionar, por semelhança de tri-
ângulos ou pelo Teorema de Pitágoras, as medidas dos 
lados e segmentos do triângulo retângulo (catetos, hipo-
tenusa, altura relativa a hipotenusa e projeções dos cate-
tos sobre a hipotenusa), identificando todas as medidas 
apresentadas no problema para compreender a origem e 
os processos que acarretam as relações métricas no tri-
ângulo retângulo. 
o que precisamos 
saber?
ÂNGULOS
A região angular formada pelo encontro de duas se-
mirretas de mesma origem, no plano, delimitam a medida 
de um ângulo. Definimos esse encontro como vértice do 
ângulo, observe
Para representar um ângulo podemos usar três letras 
maiúsculas, por exemplo:
Ângulo (ou ) formados pelas semirretas e 
. Neste caso, a letra do meio O representa o vértice, a 
primeira letra B representa um ponto da primeira semir-
reta e a terceira letra A representa um ponto da segunda 
semirreta.
Unidade de medida de ângulos: Segundo o Sistema 
Internacional de medidas (SI), a unidade de medida de ân-
gulo é o radiano. 
Para obtermos um radiano tomamos um segmento de 
reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e aber-
tura OA traçamos um arco de circunferência AB, sendo 
que B deve pertencer ao outro lado do ângulo AÔ B. Se 
o comprimento do arco AB for igual ao comprimento do 
segmento OA, dizemos que este ângulo tem medida igual 
a 1 radiano ou 1 rad.
Desta forma, temos medidas iguais
Apesar do radiano ser a unidade de medida padrão, 
pelo SI, durante as primeiras etapas educacionais a unida-
de mais utilizada, é o grau. 
O grau é obtido pela divisão da circunferência em 360 
partes iguais, ou seja, 1 grau (denotado como 1°) corres-
ponde a de uma circunferência, tendo essa volta com-
pleta a medida de 360 graus (360°).
 Sobre a razão pela qual o círculo é di-
vidido em 360 partes, acesse o QR Code 
ao lado e assista o vídeo do Youtube: Ma-
temática: Ângulos na Circunferência. 
Tiposde Ângulos: conforme as suas medidas, os ân-
gulos são classificados em nulo, agudo, reto, obtuso, raso 
ou completo. Observe: 
Ângulo giro ou completo:
mede 360°.
Ângulo raso: mede o corres-
pondente a meia volta, ou 
seja, 180º.
Ângulo reto: mede o corres-
pondente a de uma volta, 
ou seja, 90º.
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Ângulo agudo: mede mais 
do que 0° e menos do que 
90º.
Ângulo obtuso: mede mais 
do que 90º e menos do que 
180º.
Ângulo nulo: mede 0°.
▸ Outros tipos de ângulos
Ângulos congruentes: ângulos que possuem a mesma 
medida. Observe os dois ângulos, a seguir
Na imagem, ao lado, ambos os ângu-
los possuem a mesma medida, 72°.
Além disso, nomeamos as me-
didas dos ângulos da forma: 
Ângulos Complementares e Suplementares: Como os 
ângulos possuem medidas, é possível realizar operações 
com essas medidas e, assim, diferenciá-las. Veja as duas 
figuras (1 e 2), a seguir:
Note que ao somar os ângulos 
 e da figura 1 teremos:
(um ângulo reto).
E ao somar a medida dos ângu-
los e da figura 2 temos:
(um ângulo raso).
Definimos: 
• ângulos complementares: são ângulos adjacentes, 
cuja soma é igual a 90°.
• ângulos suplementares: são ângulos adjacentes, 
cuja soma é igual a 180°. 
Ou seja, nas figuras 1 e 2, os ângulos e são com-
plementares e os ângulos e são suplementares.
Quando dois ângulos compartilham uma mesma 
semirreta são denominados adjacentes (“ângulos 
vizinhos um ao outro”).
Exemplo: 
Sabendo que as figuras representam ângulos comple-
mentares e suplementares, informe a medida de “x”, em 
graus, de cada figura.
ATIVIDADES
Professor(a), na atividade 1, o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva as habilidades de comparar e reconhe-
cer situações envolvendo a noção de ângulo em diferen-
tes contextos, dialogando diretamente com a física óptica. 
Caso seja necessário, mostre para eles(as) que o tama-
nho de uma “imagem’ e o campo de visão, do observador, 
são proporcionais ao ângulo de visão, porém, são inver-
samente proporcionais à distância em que se encontra o 
observador, ou seja, quando o objeto está mais próximo, 
tanto o ângulo de visão α quanto a imagem na retina são 
maiores do que quando o objeto está longe.
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/tamanho-imagem-campo-visao.htm#:~:text=O%20%C3%A2ngulo%20de%20
vis%C3%A3o%20%C3%A9,objeto%20usando%20um%20espelho%20plano. 
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Sugestão de solução:
Renato obteve a melhor resolução ao posicionar a câme-
ra no ângulo β, pois a distância da 1ª câmera (ângulo α) 
até o pico da árvore é maior que a distância da 2ª câmera 
(ângulo β). 
Desta forma, podemos afirmar que o ângulo α , ≤,≥).
Esse momento, também é propício para a instrumentali-
zação, caso seja possível, peça para que eles(as) constru-
am esses triângulos utilizando o passo a passo do vídeo 
dado (em QR Code), ou da seguinte maneira:
1. Considerar três segmentos de medidas quaisquer AB, 
CD e EF; 
2. Traçar uma circunferência de centro em A e raio com 
mesma medida do segmento AB. Traçar uma circunfe-
rência de centro em A e raio com mesma medida do 
segmento CD; 
3. Traçar uma circunferência de centro em B e raio com 
mesma medida do segmento EF; 
4. Determinar o ponto G, sendo a interseção das circun-
ferências de raio CD e EF construídas. O triângulo ob-
tido é formado pelos pontos A, B e G. A Figura a seguir 
ilustra os passos da construção.
Disponível em: https://www.ufsm.br/app/uploads/sites/783/2020/06/Apostila_DesenhoGeom%C3%A9trico_2020.pdf. Acesso em 03 
de abril. 2024.
4. Sabendo que, a partir de três segmentos de reta distin-
tos, é possível determinar um triângulo. 
Identifique quais das medidas a seguir formam um triân-
gulo.
a) 5 cm, 4 cm e 6 cm.
b) 3 cm, 2 cm e 6 cm.
c) 7 cm, 6 cm e 1 cm.
Sugestão de solução: 
Utilizando a desigualdade triangular, é possível verificar 
se as medidas dadas formam ou não um triângulo.
a) 5 cm, 4 cm e 6 cm
5 + 4 > 6
4 + 6 > 5
5 + 6 > 4
Forma um triângulo. 
b) 3 cm, 2 cm e 6 cm.
2 + 6 > 3
3 + 6 > 2
2 + 3 1
7 + 1 > 6
6 + 1 = 7
Não forma um triângulo. 
Sugestão de solução:
Como a base é AB , e o triângulo é isoceles, os lados AC e 
BC são congruentes. 
Podemos encontrar o valor de x:
3x - 10 = x + 4
- x + 3x = 4 + 10
2x = 14
x = 7
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Professor(a), o objetivo, na atividade 6, é que o(a) estu-
dante desenvolva as habilidades de identificar e utilizar as 
características dos triângulos em relação às medidas dos 
ângulos. É importante que ele(a) já tenha conhecimento 
de que a soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo é 180°.
6. Encontre a medida de x, y e w, na figura, a seguir:
Sugestão de solução:
Como 150° e x são suplementares, logo:
150° + x = 180°
x = 180° – 150° 
x = 30° 
De modo semelhante, 74° e y são suplementares, assim:
74° + y = 180°
y = 180° – 74° 
y = 106° 
Com x e y, encontrados, podemos usar a soma dos ângulos 
do triângulo para achar o valor de w. Dessa forma:
x + y + w = 180°
30° + 106° + w = 180°
136° + w = 180°
w = 180° – 136°
w = 44°
Vamos Sistematizar?
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando apresentam 
os ângulos correspondentes congruentes e os lados cor-
respondentes proporcionais.
Ao fazer esta comparação es-
tamos falando de um caso de 
transformação de homotetia 
(seja de ampliação ou de redu-
ção), já que modificamos o seu 
tamanho mantendo seu formato.
Observe que os ângulos internos são congruentes, ou 
seja, possuem a mesma medida. Temos assim, as seguin-
tes correspondências:
Além disso, existe uma relação de proporcionalida-
de entre os lados correspondentes (opostos aos ângulos 
congruentes), essa relação é a razão entre essas medidas, 
chamada de razão de semelhança k. Assim:
Exemplo:
Verificar se os triângulos XYZ e ABC são semelhantes.
Segundo a notação utilizada, observamos que os ân-
gulos são congruentes, sendo assim, possuem a mesma 
medida:
Agora, é preciso verificar se seus lados corresponden-
tes são proporcionais. 
Vejamos as seguintes razões:
Assim, 
Dessa forma, podemos concluir que os triângulos são 
semelhantes e a razão de semelhança (k), neste exemplo, 
é igual a 6. Portanto, podemos indicar que ∆XYZ ~ ∆ABC.
Para determinar se dois triângulos são semelhantes, 
podemos verificar alguns critérios mínimos que garan-
tam a semelhança entre triângulos, chamados de casos 
de semelhança.
1° caso: Ângulo-Ângulo (AA): quando 2 pares de ân-
gulos internos correspondentes são congruentes.
2° caso: Lado-Ângulo-Lado (LAL): quando as medidas 
de 2 pares de lados correspondentes são proporcionais e 
os ângulos internos entre esses lados são congruentes.
Como x vale 7, então para encontrar a medida de AB: 
2x + 4 → 2 ∙ 7 + 4 = 14 + 4 = 18
Portanto, a medida do lado AB é de 18 u.m..
3° caso: Lado-Lado-Lado (LLL): quando as medidas de 
seus 3 pares de lados correspondentes são proporcionais.
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ATIVIDADES
A principal característica, quando temos triângulos 
semelhantes é, que as medidas de seus lados correspon-
dentes, são proporcionais, seja em ampliação ou redu-
ção. Como consequência, a razão entre as medidas dos 
lados correspondentes (k), também é válida para a razão 
entre os perímetros dos triângulos. Já a razão entre as 
áreas dos triângulos é de k2.
7. Observe os triângulos ABC e LMN, a seguir:
O que podemos afirmar sobre estes triângulos?
(A) Eles são congruentes pelo caso LLL.
(B) Eles são semelhantes pelo caso LLL.
(C) Eles são semelhantes pelo caso LLA.
(D) Eles são congruentes pelo caso LAL.
(E) Eles são congruentes pelo caso LLA.
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Não é possível fazer alguma verificação utilizando os ân-
gulos dos triângulos, pois não há uma correspondência 
clara entre os ângulos apresentados. Por isso vamos ob-
servar as medidas dos lados, todos apresentados.
Fazendo a razão entre os lados correspondentes, do maior 
com o maior e menor com o menor, temos as relações:
8. Considere os triângulos, a seguir.
Sugestão de solução:
Como os triângulos são semelhantes, por hipótese, po-
demos dizer que isso acontece por causa do caso LLL, ou 
seja, há uma razão k, proporcional a razão entre as medi-
das dos lados correspondentes.
Agora, vamos verificar cada proporção com a razão k.
Como o perímetro é igual a 84 cm, então:
A partir de k, temos encontramos as medidas dos lados:
Assim, os valores das medidas a,b e c são 27 cm, 15 cm e 
21 cm, respectivamente.
Sabendo que eles são semelhantes, determine os valores de 
a, b e c, sabendo que o perímetro do ∆ABC é igual a 63 cm.
Como todos os lados possuem a 
mesma proporção, 2, eles são se-
melhantes pelo caso LLL.
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estu-
dantes desenvolveram as habilidades previstas no des-
critor D3 da matriz SAEB do 9º ano – Identificar pro-
priedades de triângulos pela comparação de medidas 
de lados e ângulos.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar a 
habilidade de identificar propriedades de triângulos pela 
comparação de medidas de lados e ângulos. Fique atento 
a sua resolução e marque apenas uma alternativa.
Professor (a), na atividade 7, o objetivo é que o (a) estu-
dante desenvolva a habilidade de reconhecer as condi-
ções necessárias para que dois triângulos sejam seme-
lhantes. Reforce com ela (a) que os casos de semelhança 
de triângulo são distintos dos casos de congruência, mes-
mo havendo itens parecidos.
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Item 1: (Instituto Ayrton Senna) A professora desenhou 
um triângulo no quadro
Em seguida fez a seguinte pergunta: –" Se eu ampliar 
esse triangulo 3 vezes, como ficarão as medidas de seus 
lados e de seus ângulos? "
Alguns alunos responderam:
Fernando: –"Os lados terão 3 cm a mais cada um. Já os 
ângulos serão os mesmos."
Gisele: –"Os lados e ângulos terão suas medidas mul-
tiplicadas por 3."
Marina: –" A medida dos lados eu multiplico por 3 e a 
medida dos ângulos eu mantenho as mesmas."
Roberto: –" A medida da base será a mesma 5 cm, os 
outros lados eu multiplico por 3 e mantenho a medida dos 
ângulos."
O aluno que respondeu corretamente, o(a)
(A) Fernando. (C) Marina.
(B) Gisele. (D) Roberto.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Ampliando o triângulo 3 vezes, ocorre o seguinte:
- Os ângulos permanecem os mesmos;
- Os lados terão suas medidas multiplicadas por 3;
- A base também terá sua medida multiplicada por 3;
Após ampliação teremos um triângulo semelhante.
GRUPO DE ATIVIDADES 2 2
Professor(a), para o segundo grupo de habilidades, é es-
perado que os(as) estudantes tenham desenvolvido as 
habilidades essenciais dos grupos “Abaixo do Básico” e 
“Básico”, pois o objetivo é que eles(as) progridam para o 
desenvolvimento das habilidades do grupo “Proficiente” e 
sigam ampliando cada vez mais seus conhecimentos.
Desta maneira, estima-se que, para este segundo grupo 
de atividades, os(as) estudantes sejam capazes de desen-
volver as seguintes habilidades:
• (EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os 
ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma 
transversal. 
9° ano
D10 – Utilizar relações métricas do triângulo re-
tângulo para resolver problemas significativos.
3ª 
série
D1 – Identificar figuras semelhantes mediante 
o reconhecimento de relações de proporciona-
lidade.
D2 – Reconhecer aplicações das relações mé-
tricas do triângulo retângulo em um problema 
que envolva figuras planas ou espaciais.
E dos descritores da Matriz Saeb: 
• (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângu-
lo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizan-
do, inclusive, a semelhança de triângulos.
• (EF09MA14-A) Estabelecer o Teorema de Tales, por 
meio das relações de proporcionalidade envolvendo retas 
paralelas cortadas por secantes, para calcular distâncias 
inacessíveis e nas relações envolvendo semelhança de tri-
ângulos em problemas diversos.
• (EF09MA14-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar
problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das 
relações de proporcionalidade, envolvendo retas parale-
las cortadas por secantes.
Buscando o desenvolvimento pleno das habilidades no 2° 
bimestre da 2ª série:
• (GO-EMMAT308B) Relacionar, pelas Leis do Seno ou 
do Cosseno, as medidas dos lados de triângulos quaisquer 
com as medidas do seno ou do cosseno de seus respecti-
vos ângulos, utilizando a tabela trigonométrica como su-
porte, para aplicar estas leis na resolução de problemas 
em diversos contextos (cálculo de distâncias, determina-
ção da medida de ângulos ou relações trigonométricas, 
cálculo de perímetros, áreas, entre outros).
• (GO-EMMAT308C) Aplicar as relações métricas, as 
Leis do Seno e do Cosseno e as noções de congruência e 
semelhança em situações que envolvem triângulos, resol-
vendo problemas apresentados em contextos relaciona-
dos ao cotidiano para entender, propor soluções e cons-
truir argumentação consistente.
o que precisamos 
saber?
TEOREMA DE TALES
Segundo o teorema de Tales, temos:
As intersecções de um feixe de retas paralelas por duas 
retas transversais formam segmentos proporcionais.
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- As retas r, s e t são paralelas (r//s//t);
- As retas p e q são transversais;
- As intersecções dessas retas formam os segmentos:
AB, BC, DE e EF.
Pelo Teorema de Tales, esses segmentos são propor-
cionais, ou seja, as razões entre eles são iguais.
Além disso, do Teorema de Tales decorrem as seguintes 
proporções:
Professor(a) construa com o(a) estudante, no Geogebra, a 
seguinte demonstração do Teorema de Tales.
Observe o quadro a seguir.
Deslocamento da reta transversal 𝐪
Sobreposição de seu ponto D com 
o ponto A da reta transversal p.
Sobreposição de seu ponto E com 
o ponto B da reta transversal p.
Sobreposição de seu ponto A com 
o ponto D da reta transversal q. 
Sobreposição de seu ponto B com 
o ponto E da reta transversal q. 
Deslocamento da reta transversal p
Esses quatro triângulos formados são semelhantes pelo 
caso Ângulo-Ângulo, logo os ângulos correspondentes 
são congruentes e os lados homólogos são proporcionais. 
Em consequência disso, podemos escrever o resultado do 
teorema de Tales das seguintes maneiras:
▸ Teorema de Tales aplicado no triângulo
No triângulo ABC, traçamos uma reta r paralela ao lado 
BC. Assim, a reta r intercepta os lados AB e AC nos pontos 
M e P, respectivamente.
Se traçarmos pelo vértice A uma reta s, paralela à reta 
r, obteremos três retas paralelas (BC,r e s) e duas trans-
versais (AB e AC), conforme ilustrado na imagem, a seguir.
Pelo Teorema de Tales: 
Toda reta paralela a um lado de um triângulo que en-
contra os outros dois lados em pontos distintos, determi-
na sobre esses dois lados, segmentos proporcionais.
Logo, 
Exemplo:
Na figura RS // BC. Vamos calcular o valor de x.
Observe a representação, a seguir.
Pelo Teorema de Tales no triângulo, temos:
Resolvendo pela propriedade fundamental da pro-
porção:
4x ∙ (x + 1) = x ∙ (3x + 6) x2 – 2x = 0
4x2 + 4x =3x2 + 6x x ∙ (x – 2) = 0
4x2 – 3x2 + 4x – 6x=0
Para o produto ser zero, um dos fatores da multiplica-
ção deve ser nulo. Logo,
x = 0 ou x – 2 = 0
 x = 2
Como x não pode ser nulo, por se tratar da medida de um 
dos segmentos (AR ou BR), então x é igual a 2.
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ATIVIDADES
Nas atividades 1 e 2, os objetivos são que o(a) estudante 
desenvolva a habilidade (EF09MA14-A) e calcule a medi-
da de um dos segmentos formados pelas intersecções de 
duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. 
1. Observe as retas paralelas r, s e t.
Podemos afirmar que x é, aproximadamente, igual a 
(A) 1,10. (D) 1,25.
(B) 1,18. (E) 1,27.
(C) 1,20.
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Para calcularmos o valor de x, utilizamos o Teorema de 
Tales relacionandos os lados correspondentes que nos 
fornece a proporção:
Resolvendo-a pela propriedade fundamental da propor-
ção, temos:
2. Observe o esboço dos terrenos, a seguir.
Sabendo que:
BC mede 34 metros;
EF mede 30 metros;
FG mede 20 metros;
GH mede 42 metros;
As respectivas medidas dos segmentos AB e CD, em me-
tros, são:
(A) 18 e 24,7. (D) 56 e 82.
(B) 44 e 56. (E) 57 e 71,4.
(C) 51 e 71,4.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Os segmentos que ligam as ruas A e B são paralelos, logo, 
pelo Teorema de Tales, temos:
Vamos avançar?
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
As relações métricas relacionam as medidas dos ele-
mentos de um triângulo retângulo. O triângulo retângulo 
ABC, ilustrado na imagem a seguir, apresenta um lado de-
nominado hipotenusa (maior lado do triângulo e oposto 
ao ângulo reto) e, outros dois lados chamados de catetos. 
Elementos do triângulo 
ΔABC:
a → hipotenusa;
b → cateto;
c → cateto.
A soma dos ângulos internos de um triângulo qual-
quer resulta em 180°.
Ao traçarmos a altura (AH) do triângulo ABC relativa à hi-
potenusa, o lado a será segmentado em outros dois seg-
mentos, m e n. Observe:
Elementos do ∆ABC
a é a hipotenusa;
b e c são os catetos;
h é a altura relativa à hipotenusa;
m é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa a;
n é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa a.
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A partir do ∆ABC podemos obter três triângulos re-
tângulos (ABC,HBA e HAC), como representado na ima-
gem, a seguir.
Note que os ∆ABC, ∆HBA e ∆HAC são semelhantes pelo 
caso de semelhança Ângulo-Ângulo. Assim, podemos ob-
ter as relações métricas no triângulo retângulo, utilizando 
semelhança de triângulos.
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes 
(ΔABC~ ΔHBA), temos as seguintes proporções:
Como (ΔABC ~ ΔHAC), encontramos as proporções:
Ainda da semelhança entre os triângulos HBA e HAC, 
obtemos as proporções:
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual à 
hipotenusa a, ou seja:
 
Por meio das proporções obtidas anteriormente, des-
tacamos as seguintes relações métricas no triângulo re-
tângulo:
Resolução:
Inicialmente, devemos encontrar as equações que rela-
cionam essas incógnitas aos valores numéricos das outras 
medidas fornecidas na imagem. Utilizando as relações mé-
tricas no triângulo retângulo, e relacionando-as ao triângulo 
fornecido, temos:
Primeiramente calculamos o valor da hipotenusa, que na 
figura está representado por y.
Usando a relação: 
Logo,
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação:
Substituindo, temos
Como o valor de x se refere a medida de um lado do triân-
gulo, desconsideramos o valor negativo. Portanto, temos que 
x é igual a 6.
 
Exemplo:
No triângulo retângulo, a seguir, calcule as medidas de 
seus lados representados por x e y.
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ATIVIDADES
Professor(a), na atividade 3, o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva a habilidade de identificar os elementos 
do triângulo retângulo, associando cada um à sua medida. 
3. Considere o triângulo retângulo representado a seguir.
Indique as medidas de cada elemento, a seguir.
a) Hipotenusa:
b) Cateto menor:
c) Cateto maior:
d) Altura relativa à hipotenusa:
e) Projeção do menor cateto:
f) Projeção do maior cateto:
Sugestão de Solução:
a) Hipotenusa: 5 cm
b) Cateto menor: 3 cm
c) Cateto maior: 4 cm
d) Altura relativa à hipotenusa: 2,4 cm
e) Projeção do menor cateto: 1,8 cm
f) Projeção do maior cateto: 3,2 cm
Professor(a), na atividade 4, o objetivo é que o(a) estudan-
te desenvolva a habilidade de reconhecer as relações mé-
tricas envolvendo a hipotenusa, altura, os catetos e suas 
projeções em um triângulo retângulo. Assim como, calcular 
medidas desconhecidas a partir de medidas conhecidas.
4. Verifique cada uma das relações métricas, apresenta-
das no quadro, no ∆ABC.
Sugestão de solução:
Identificando os elementos do triângulo retângulo, temos
Professor(a), nas atividades 5 e 6, o objetivo é que o(a) es-
tudante desenvolva as habilidades de reconhecer e resol-
ver problema envolvendo relações métricas no triângulo 
retângulo.
5. A medida da altura relativa à hipotenusa de um triân-
gulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. 
Calcule a medida dos catetos desse triângulo retângulo.
Sugestão de solução:
Dados do enunciado
h = 12 → n = 9
Inicialmente devemos calcular o valor da outra projeção 
usando a relação:
h2 = m ∙ n 
Assim, temos
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação:
a = m + n → a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as 
relações, ou seja,
6. Calcule as medidas das projeções de um triângulo re-
tângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 
mede 5 cm.
Sugestão de solução:
Dados do enunciado:
a = 13 b = 5
Usando as relações métricas que relacionam essas variá-
veis as projeções dos catetos, temos
Esse triângulo retângulo tem projeções de medidas 1,92 e 
11,08 centímetros, aproximadamente.
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REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estudan-
tes desenvolveram as habilidades previstas no descritor 
D10 da matriz SAEB do 9º ano – Utilizar relações mé-
tricas do triângulo retângulo para resolver problemas 
significativos.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar 
a habilidade de utilizar relações métricas do triângulo 
retângulo para resolver problemas significativos. Fique 
atento a sua resolução e marque apenas uma alternativa.
Item 1: (CAED 2023) Rafael comprou um terreno e cons-
truiu um muro para separar esse terreno de uma mata que 
tem atrás dele. Observe, na figura, um esboço do muro 
construído com algumas medidas de distância indicadas.
Qual é a medida do comprimento, em metros, do muro 
que Rafael construiu? 
(A) 12 (D) 33
(B) 20 (E) 38
(C) 28
Gabarito: B 
Sugestão de solução:
Observe que o terreno é um trapézio retângulo e pode 
ser decomposto em um triângulo retângulo e um retân-
gulo. 
Como a medida do muro é referente à hipotenusa do tri-
ângulo, chamamos essa medida de m e aplicamos uma das 
relações métricas:
Logo, a medido do comprimento do muro é de 20 metros.
Item 2: (CAED 2023) Observe, na ilustração a seguir, o 
triângulo RST que corresponde ao mapeamento de uma 
área de mata que está sendo monitorada, em que os pon-
tos R, S, T, U indicam locais onde foram instaladas câme-
ras de visão noturna, e o ponto V indica a localização de 
um posto de observação.
Certo dia, a câmera indicada pelo ponto R estragou e os 
responsáveis pela realização desse mapeamento precisa-
ram percorrer um trajeto, indicado pelo segmento traceja-
do, partindo do ponto de observação V, até chegar na loca-
lização dessa câmera para efetuar os reparos necessários. 
Quantos quilômetros, no mínimo, os responsáveis por 
esse mapeamento percorreram desde o ponto de obser-
vação até alcançar essa câmera com defeito? 
(A) 5,3 km. (D) 7,9 km.
(B) 5,8 km. (E) 8,66 km.
(C) 6,67 km. 
Gabarito: A
Sugestão de solução:
Para determinar a distância mínima percorrida pelos res-
ponsáveis pelo mapeamento, precisamos calcular a dis-
tâncias do segmento RU.
Somando essas distâncias de RU e UV, temos:
2,4 + 2,9 = 5,3
Portanto, os responsáveis pelo mapeamento percorre-
ram no mínimo 5,3 km desde o ponto de observação até a 
câmera com defeito.
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Vamos Sistematizar?
ATIVIDADES
TEOREMA DE PITÁGORAS
A mais importante das relações métricas no triângulo 
retângulo é o Teorema de Pitágoras. Podemos demons-
trar esse teorema usando a soma de duas relações encon-
tradas anteriormente.
Vamos somar as relações:
 
Assim, temos
 
Usando a relação,
E substituindo-a na expressão anterior, temos:
Assim, no triângulo retângulo, a seguir, o Teorema de 
Pitágoras pode ser enunciado como:
Exemplo:
No triângulo a seguir, determine o valor de x.
A medida da hipotenusa ao 
quadrado é igual à soma 
das medidas dos quadra-
dos dos catetos, ou seja, 
Resolução:
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
a2 = b2 + c2
x2 = 82 + 62
x2 = 64 + 36
x2 = 100
Desconsiderando o valor negativo, te-
mos que x é igual a 10 centímetros.
Professor(a), na atividade 7, o objetivo é que o(a) estudan-
te desenvolva a habilidade em reconhecer o Teorema de 
Pitágoras. A atividade foi construída de forma gradativa 
para que os(as) estudantes identifiquem as medidas de 
cada elemento (hipotenusa e catetos).
7. Considere o triângulo ABC representado, a seguir.
Em relação a esse triângulo, responda:
a) Qual lado é a hipotenusa? 
b) Qual é a medida da hipotenusa?
c) Em qual vértice está localizado o ângulo reto?
d) Quais lados são os catetos?
e) Quais as medidas dos catetos?
f) Qual é o quadrado da medida da hipotenusa?
g) Qual é a soma dos quadrados das medidas dos catetos?
h) Qual a relação entre o quadrado da medida da hipo-
tenusa e a soma dos quadrados dos catetos?
Sugestão de solução: 
a) A hipotenusa é o lado AC.
b) A hipotenusa mede 15 centímetros.
c) O ângulo reto está localizado no vértice B.
d) Os catetos são os lados AB e BC.
e) Os catetos medem 9 centímetros e 12 centímetros.
f) 152 = 225.
O quadrado da medida da hipotenusa é igual a 225 cen-
tímetros. 
g) 92 + 122 = 81 + 144 = 225.
A soma dos quadrados dos catetos é igual a 225 centíme-
tros.
h) O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados dos catetos:
152 = 92 + 122 → 225 = 81 + 144 → 225 = 225Professor(a), a atividade 8 possibilita que os(as) estudan-
tes desenvolvam a habilidade de calcular medidas desco-
nhecidas dos lados de um triângulo retângulo utilizando 
o Teorema de Pitágoras. Um erro bastante frequente, é 
confundir as medidas dos catetos com a medida da hipo-
tenusa, no momento da substituição dos valores na fór-
mula. Isso ocorre, principalmente, quando a incógnita é a 
medida de um dos catetos. O item b), a incógnita aparece 
como a medida de um dos catetos.
8. Calcule o valor de x em cada triângulo retângulo, a seguir.
a) b)
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Sugestão de solução:
Desconsiderando o valor negativo.
O valor de x é centímetros.
Desconsiderando o valor negativo.
O valor de x é centímetros.
Professor(a), na atividades 9, tem como objetivo que 
os(as) estudantes desenvolvam a habilidade de resolver 
problema envolvendo o Teorema de Pitágoras. Este mo-
mento é oportuno para generalizar as fórmulas que cal-
culam a altura e a área de um triângulo equilátero, bem 
como mostrar aos estudantes que outras fórmulas da ge-
ometria são obtidas por meio do Teorema de Pitágoras. 
Na atividade 10, relembre-os(as) que um triângulo equilá-
tero possui todos os lados de mesma medida.
9. A distância entre os muros laterais de um lote retan-
gular é exatamente 12 metros. Considere que a diagonal 
desse lote mede 20 metros. Qual é a medida do portão 
até o muro do fundo?
Sugestão de solução:
A diagonal de um retângulo sempre determina dois triân-
gulos retângulos. Portanto, os muros, frontal e lateral des-
se lote, podem ser considerados catetos e a diagonal é a 
hipotenusa. Sabendo que a medida do muro lateral de um 
lote é justamente a distância do portão até o muro do fun-
do, utilizaremos o Teorema de Pitágoras para calculá-la.
Seja o comprimento do muro lateral igual a x, pelo Teore-
ma de Pitágoras, temos
Desconsiderando o valor negativo. x = 16 
A medida do portão até o muro do fundo é 16 metros.
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estu-
dantes desenvolveram as habilidades previstas no des-
critor D10 da matriz SAEB do 9º ano – Utilizar relações 
métricas do triângulo retângulo para resolver proble-
mas significativos.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar 
a habilidade de utilizar relações métricas do triângulo 
retângulo para resolver problemas significativos. Fique 
atento a sua resolução e marque apenas uma alternativa.
Item 1: (IFG 2020 – Adaptada) O desmatamento tem 
sido uma problemática crescente no Brasil. Supondo que, 
ao efetuar o desmatamento de uma determinada área, um 
madeireiro se depara com uma árvore que já se encontra 
quebrada; parte do tronco da árvore que se manteve fixa 
ao solo mede 3 m e forma com este um ângulo de 90⁰; a 
ponta da parte quebrada que toca o solo encontra-se a 4 
m de distância da base da árvore. 
A altura da árvore antes de se quebrar é
(A) 5 m. (D) 8 m.
(B) 6 m. (E) 9 m.
(C) 7 m.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Para encontrar o valor da parte da árvore que quebrou, 
aplica-se o teorema de Pitágoras.
x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
Desconsiderando o valor negativo.
x = 5
Como ainda há 3 metros que ficaram fixos no solo, temos
5 + 3 = 8
A altura da árvore antes de se quebrar é de 8 m.
Item 2: O segmento RS, na figura, representa a sombra de 
uma árvore sobre superfície plana e horizontal.
Se os comprimentos dos segmentos RS e RT são, respecti-
vamente, iguais a 16 m e 20 m, então a altura da árvore é
(A) 9 m. (D) 14 m.
(B) 8 m. (E) 10 m. 
(C) 12 m. 
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GRUPO DE ATIVIDADES 3 3
o que precisamos 
saber?
Professor(a), para o terceiro grupo de habilidades, é espe-
rado que o(a) estudante tenha desenvolvido as habilida-
des do segundo grupo (grupo “Proficiente”), pois o objetivo 
aqui, é que ele(a) progrida para o desenvolvimento das ha-
bilidades do grupo “Avançado”. 
Desta forma, estima-se que para este terceiro grupo de 
atividades, os(as) estudantes já tenham desenvolvido as 
seguintes habilidades dos grupos “Abaixo do básico” , “Bá-
sico” e “Proficiente”. 
• (GO-EF09MA25) Estabelecer as razões trigonométri-
cas fundamentais (seno, cosseno e tangente) para resol-
ver problemas em diferentes contextos.
Buscando o desenvolvimento pleno das habilidades no 2° 
corte temporal da 2ª série:
• (GO-EMMAT404A) Compreender o conceito de função 
analisando situações que especifiquem a dependência en-
tre variáveis para modelar e resolver problemas que en-
volvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas.
• (GO-EMMAT306A) Registrar, em listas, tabelas e ou-
tras informações contidas em situações problemas, mídias 
(internet, livros ou revistas) que envolvem fenômenos pe-
riódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos 
cíclicos etc.) identificando as características gráficas das 
funções seno e cosseno (periodicidade, domínio, imagem), 
para justificar os procedimentos utilizados nas soluções.
• (GO-EMMAT306B) Interpretar registros, dados e in-
formações em contextos que envolvem fenômenos pe-
riódicos reais, comparando suas representações com as 
funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem 
apoio de aplicativos de álgebra e geometria para resolver 
problemas de natureza trigonométrica.
• (GO-EMMAT306C) Resolver problemas cotidianos 
que envolvem fenômenos periódicos reais, utilizando 
procedimentos matemáticos diversos para construir mo-
delos de funções senos e cossenos e representá-las no 
plano cartesiano.
E dos descritores da Matriz Saeb: 
3ª 
série
D5 – Resolver problema que envolva razões 
trigonométricas no triângulo retângulo (seno, 
cosseno, tangente).
D30 – Identificar gráficos de funções trigono-
métricas (seno, cosseno, tangente) reconhe-
cendo suas propriedades.
TRIGONOMETRIA
Trigonometria é parte da geometria plana que estuda 
a relação entre a medida dos lados e dos ângulos de um 
triângulo, seja ele retângulo, ou um triângulo qualquer. 
A trigonometria é comumente usada para encontrar me-
didas desconhecidas de um triângulo, sendo aplicável em 
problemas no cotidiano. 
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos
Desconsiderando o valor negativo.
x = 12
Assim, a altura da árvore é 12 m.
Dado o triângulo ABC, a seguir, destacam-se os se-
guintes elementos: 
Além das relações métricas (relações entre as medi-
das dos lados) no triângulo retângulo, existem relações 
entre as medidas dos ângulos e lados de um triângulo. 
Sabe-se que, em um triângulo retângulo, o maior lado é 
chamado de hipotenusa e, os outros lados, de catetos. 
Usando como referência um dos ângulos agudos do tri-
ângulo, podem-se denominar esses catetos como cateto 
oposto e cateto adjacente. Observe:
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Em relação ao ângulo α:
O lado AC, de medida , é denominada cateto oposto.
O lado AB, de medida , é denominada cateto adjacente.
Em relação ao ângulo β:
O lado AC, de medida b, é denominada cateto oposto.
O lado AB, de medida c, é denominada cateto adjacente.
▸ Trigonometria no triângulo retângulo
Seno de um ângulo agudo: em um triângulo retângu-
lo, denomina-se seno de um ângulo agudo θ, indicado por 
sen(θ), a razão entre a medida do cateto oposto a esse ân-
gulo e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo.
Cosseno de um ângulo agudo: em um triângulo retân-
gulo, denomina-se cosseno de um ângulo agudo θ, indicado 
por cos(θ), a razão entre a medida do cateto adjacente a esse 
ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo.
Tangente de um ângulo agudo: em um triângulo re-
tângulo, denomina-se tangente de um ângulo agudo θ, in-
dicada por tg(θ), a razão entre a medida do cateto oposto 
e a medida do cateto adjacentea esse ângulo.
Seno, cosseno e tangente de alguns ângulos notáveis:
Alguns ângulos aparecem com maior frequência, sen-
do assim chamados de ângulos notáveis. Para esses ângu-
los, os valores das razões trigonométricas relacionadas a 
eles merecem destaque:
Sobre ângulos notáveis, acesse o 
QR Code ao lado e assista o vídeo do 
Youtube: ARCOS NOTÁVEIS - Trigono-
metria no Triângulo Retângulo / Equa-
ciona Com Paulo Pereira
Relações entre as razões trigonométricas
Das razões trigonométricas já conhecidas e do teore-
ma de Pitágoras, podem-se estabelecer as seguintes rela-
ções que serão úteis em algumas situações: 
ATIVIDADES
Professor(a), as atividades 1 e 2 têm o objetivo de con-
tribuir para que o estudante desenvolva a habilidade de 
identificar as razões trigonométricas no triângulo retân-
gulo (seno, cosseno e tangente) a partir das medidas dos 
catetos e da hipotenusa. Se considerar necessário, de-
monstre pelo menos uma das razões por meio da cons-
tante de proporcionalidade que se observa em triângu-
los retângulos semelhantes. A atividade 2 possibilita ao 
estudante desenvolver a habilidade de calcular o seno, o 
cosseno e a tangente dos ângulos agudos de um triângulo 
retângulo. Assim como as relações métricas no triângulo 
retângulo, as razões trigonométricas também foram estu-
dadas no 9º ano por meio da habilidade (GO-EF09MA25): 
Estabelecer as razões trigonométricas fundamentais, 
seno, cosseno e tangente, para resolver problemas em 
diferentes contextos. Por ser também uma habilidade bá-
sica para o estudo das funções trigonométricas, essa ha-
bilidade faz parte dessa recomposição de aprendizagem. 
Aproveite estas duas atividades para mostrar que se α + β 
= 90°, então sen(α) = cos(β), sen(β) = cos(α) e tg(α) = 
1. Considere o triângulo retângulo a seguir e calcule as ra-
zões trigonométricas solicitadas.
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Sugestão de solução:
Professor(a), a atividade 2 tem o objetivo de retomar o 
estudo das relações básicas entre as razões trigonométri-
cas. Aproveite a atividade e demonstre essas relações por 
meio do teorema de Pitágoras e das definições de seno, 
cosseno e tangente. 
Sugestão de solução:
Professor(a), as atividades 3 e 4 são questões do ENEM 
que exigem o estudo da trigonometria no triângulo retân-
gulo, objeto de conhecimento trabalhado nesta semana. 
Por se tratar de questões do ENEM, é importante analisar 
cada uma das opções de resposta além do gabarito. Essas 
opções, conhecidas como distratores, possibilitam identi-
ficar os possíveis erros e a partir daí retomar cada ponto 
do conteúdo necessário de ser revisado.
A prova de Matemática do ENEM não testa somente co-
nhecimentos matemáticos. O estudante precisa estar 
atento aos conhecimentos gerais. Além disso, será neces-
sário realizar uma excelente interpretação de texto. As-
sim, sugira que seu estudante destaque a pergunta feita 
na questão. Após o desenvolvimento, o oriente a voltar à 
pergunta destacada e avaliar se o resultado encontrado 
realmente responde ao comando da questão.
Assim como nos outros materiais de apoio, enviamos su-
gestões de resoluções. Incentive os estudantes a tenta-
rem outros modos de resolução, pois assim, coletivamen-
te, aumentam seu repertório e desenvolvem a capacidade 
de escolher caminhos mais práticos.
2. Sabendo que, em um triângulo retângulo, x é um ângulo 
agudo e que , calcule sen(x) e tg(x).
3. (ENEM 2018) Para decorar um cilindro circular reto 
será usada uma faixa retangular de papel transparente, 
na qual está desenhada em negrito uma diagonal que for-
ma 30° com a borda inferior. O raio da base do cilindro 
mede 6/π cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em 
formato de hélice, como na figura.
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é
Gabarito: B
Sugestão de solução:
O comprimento C da circunferência da base do cilindro é 
tal que:
De acordo com a figura dada no enunciado, a faixa de pa-
pel dá 6 voltas completas no cilindro ao ser enrolada. As-
sim, o comprimento da faixa é igual a 6 ∙ 12 = 72 cm
Então, tem-se a figura, em que h é a medida da altura do 
cilindro, em centímetros:
Portanto, a altura do cilindro mede cm.
4. (ENEM 2020) Pergolado é o nome que se dá a um tipo 
de cobertura projetada por arquitetos, comumente em 
praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas 
ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, 
dependendo da posição do sol. É feito como um estrado 
de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, 
como ilustra a figura.
Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm 
de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício 
de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada 
num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol 
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Gabarito: C
Sugestão de solução:
Quando o sol está a pino, ou seja, quando forma 90º, te-
mos 30 cm de luz entre cada viga. 
Quando os raios do sol formam um ângulo de 30º com 
os raios do sol a pino, queremos ter metade dessa luz, ou 
seja, 15 cm de luz e 15 cm de sombra.
Desta forma, a altura h de cada viga pode ser obtida por 
meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo 
ABC, onde a tangente de 60º é igual à divisão do cateto 
oposto (h) pelo cateto adjacente (15 cm).
Vamos avançar?
ARCOS E ÂNGULOS
Arco geométrico é um elemento da circunferência de-
limitado por dois pontos, incluindo esses pontos. Se esses 
dois pontos são coincidentes, tem-se um arco nulo ou arco 
de uma volta ou arco de n voltas completas. Todo arco de 
circunferência tem um ângulo central que o subtende.
da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com 
a posição a pino, gere a metade da luz que passa no per-
golado ao meio-dia.
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo ar-
quiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de 
maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima 
possível de
(A) 9. (D) 52.
(B) 15. (E) 60
(C) 26.
▸ Comprimento e medida do arco
A medida de um arco é a medida do ângulo central que 
o subtende, seja qual for a medida do raio da circunferên-
cia que o contém. As unidades geralmente utilizadas para 
medir os arcos são o grau (°) e o radiano (rad). 
• Grau (°): um arco de 1° equivale a de uma cir-
cunferência.
• Radiano (rad): um arco de um radiano é um arco cujo 
comprimento retificado é igual ao raio da circunferência.
O comprimento do arco é a medida linear do arco, 
sendo utilizadas as medidas de comprimento: metros, cen-
tímetro, milímetro etc. Como o comprimento da circunfe-
rência é calculado pela fórmula C = 2 ∙ π ∙ r, pode-se calcular 
o comprimento do arco (l) utilizando a seguinte relação:
, onde α é a medida, em graus, do arco.
▸ Relação entre unidades para medir arcos
Se cada arco de comprimento l = r tem medida de 1 
rad, então o arco correspondente a uma circunferência, 
cujo comprimento é 2 ∙ π ∙ r, tem medida 2π radianos.
Exemplos:
É possível realizar 
a conversão entre 
unidades de medi-
da angular
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
(CICLO TRIGONOMÉTRICO)
É uma circunferência de raio é unitário, centrada no 
ponto (0, 0) do plano cartesiano. Possui um ponto consi-
derado como origem e, o sentido considerado como posi-
tivo é o sentido anti-horário.
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Disponível em: https://eadcampus.spo.ifsp.edu.br/pluginfile.php/23216/mod_resource/content/1/Trigonometria_no_ciclo.pdf. Acesso 
em: 20 jun. 2023.
Observe que: 
• O sen(α) é a ordenada de P(x,y), ou seja, sen(α)=y.
• O cos(α) é a abscissa de P(x,y), ou seja, cos(α)=x.
Dessa forma, define-se: 
Se o ângulo estiver no 1º 
quadrante, tanto o seu seno 
como o cosseno serão posi-
tivos: 
Se o ângulo estiver no 2º 
quadrante, o seuseno con-
tinuará positivo, mas o cos-
seno será negativo: 
Se o ângulo estiver no 3º 
quadrante, tanto o seu 
seno como o cosseno serão 
negativos: 
Se o ângulo estiver no 3º 
quadrante, tanto o seu 
seno como o cosseno serão 
negativos: 
Ao analisar os quadrantes, tem–se que, se (α) está no 
1º quadrante, então o ângulo (π–α) está no 2º quadrante, 
o ângulo (π+α) estará no 3º quadrante e o ângulo (2π–α) 
ou (–α) estará no 4º quadrante. Observe: 
Pode-se relacionar vários valores tabelados para seno 
e cosseno referentes ao 1° quadrante com os demais qua-
drantes. Observe as seguintes relações:
ATIVIDADES
Professor(a), nas atividades 5 a 7, o objetivo é que o(a) 
estudante diferencie a medida de um arco da medida do 
comprimento de um arco e calcule cada uma dessas gran-
dezas com as unidades de medida mais utilizadas: grau e 
radiano. Dessa forma, procura-se também relacionar es-
sas duas medidas por meio de conversões propostas nas 
atividades 7 e 8. 
5. Qual é a medida, em graus, do arco, cujo ângulo central 
que o subtende mede o correspondente a três quartos de 
uma volta?
Sugestão de resolução: 
A medida de um arco é a medida do ângulo central que 
o subtende. Como três quartos de uma volta mede 270°, 
então a medida desse arco é igual a 270°.
6. Qual é o comprimento de um arco correspondente a 
um ângulo central de 45° contido em uma circunferência 
de raio 4 cm? (Considere π = 3,1)
Sugestão de resolução:
Assim, o comprimento desse arco é 3,1 cm.
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7. Expresse as seguintes medidas em radianos:
a) 120°. b) 300°.
Sugestão de resolução:
Sugestão de resolução:
8. Expresse as seguintes medidas em graus:
Professor(a), na atividade 9, o objetivo é que o(a) estudante 
desenvolva a habilidade de reconhecer os quadrantes do 
ciclo trigonométrico e os ângulos (ou arcos) pertencentes 
a cada um. Para essa atividade, utilizamos algumas razões 
trigonométricas de alguns ângulos notáveis a fim de ajudar 
a memorizar esses valores, necessários para o desenvolvi-
mento das habilidades propostas nessa semana.
9. Determine em qual quadrante se encontra o arco θ em 
cada caso:
Sugestão de solução:
a) 3º ou 4º quadrante.
b) 2º ou 3º quadrante.
c) 2º ou 4º quadrante.
Professor(a), o objetivo, da atividade 10, é que o(a) estu-
dante desenvolva a habilidade de identificar arcos côn-
gruos (ou congruentes) e, assim, possa determinar as 
razões trigonométricas de cada um. Se considerar neces-
sário, proponha o cálculo de outros valores que se redu-
zem a ângulos notáveis no primeiro quadrante.
10. Determine o valor de cada razão trigonométrica utili-
zando arcos congruentes:
Sugestão de resolução:
11. Resolva as equações no intervalo [0, 2𝜋].
Sugestão de solução:
a) sen(x) = 1, se, e somente se, o lado terminal do ângulo no 
círculo trigonométrico estiver sobre o semieixo positivo 
dos y. 
Logo, 
b) sen(x) = 0, se, e somente se, o lado terminal do ângulo x
estiver sobre o eixo ox. Logo, S = {0; π; 2π}.
c) Marcando no eixo 0x do círculo trigonométrico 
 , observamos que há dois ângulos em [0,2π], 
onde 
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estu-
dantes desenvolveram as habilidades previstas no des-
critor D5 da matriz SAEB da 3ª série – Resolver pro-
blema que envolva razões trigonométricas no triângulo 
retângulo (seno, cosseno, tangente).
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar 
a habilidade de resolver problema que envolva razões 
trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, 
tangente). Fique atento a sua resolução e marque ape-
nas uma alternativa.
Item 1: (CAED 2023) Rogério é marceneiro e irá fazer 
uma mesa para um cliente. A pedido desse cliente, a altu-
ra do chão à base do tampo dessa mesa deverá ter 0,90 
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metro, e os pés dela deverão ser fixados nessa base con-
forme está representado na figura a seguir:
De acordo com essa representação, quantos metros de 
comprimento deverá ter o pé dessa mesa? 
(A) 0,33 m. (D) 1,00 m.
(B) 0,81 m. (E) 3,00 m.
(C) 0,90 m. 
Gabarito: D
Sugestão de Solução:
Neste caso, a imagem forma um triângulo retângulo, em que 
o comprimento da perna da mesa corresponde à hipotenusa. 
A altura corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 70°.
Assim, utilizaremos a razão trigonométrica seno para de-
terminar a medida da perna da mesa:
De acordo com essa representação, o pé dessa mesa de-
verá ter 1 metro de comprimento.
Vamos ampliar?
Já conseguimos encontrar medidas desconhecidas 
em triângulos retângulos. Mas o que fazer quando um 
triângulo é acutângulo ou obtusângulo? 
LEIS DOS SENOS E COSSENOS
As Leis dos Senos e dos Cossenos são teoremas im-
portantes da trigonometria. Com o uso dessas leis é pos-
sível estabelecer relações que auxiliam no cálculo dos 
ângulos e das medidas dos lados dos triângulos.
A aplicação dessas leis é específica para os triângulos 
acutângulos e obtusos.
As relações trigonométricas do seno, 
cosseno e tangente não se aplicam aos 
triângulos acutângulo e obtuso. A reso-
lução desses triângulos se dá por meio da Lei dos 
Senos e dos Cossenos.
▸ Lei dos Senos
A lei dos senos é uma relação de proporção em qual-
quer triângulo inscrito em uma circunferência de raio r. 
Disponível em: https://www.infoescola.com/trigonometria/lei-dos-senos-e-dos-cossenos/. Acesso em 08 de abril.2024.
A Lei dos senos ou Teorema dos senos indica que: 
 “A relação entre a medida do lado de um triângu-
lo e o seno do ângulo oposto a esse lado será sempre 
constante”. 
Essa lei é representada pela seguinte fórmula:
Exemplo: 
Determine x na figura, a seguir.
Resolução:
Pela lei dos senos, temos a igualdade:
Como os lados c e a são conhecidos e o ângulo igual 
a 30°, temos:
Assim:
Desta forma, a medida aproximada de x é 173,2 metros. 
▸ Lei dos Cossenos
É usada para realizar o cálculo das medidas dos lados 
e dos ângulos do triângulo, conhecido, pelo menos um va-
lor. Essa lei pode ser enunciada por:
“O quadrado de um dos lados do triângulo é igual à 
soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o do-
bro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo 
formado entre eles”.
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Exemplo:
Determine x na figura, a seguir, usando cos(56°) ≅ 0,55.
Resolução:
Temos, pela lei dos cossenos que:
Desta forma, a medida aproximada de x é 7,52 metros. 
ATIVIDADES
12. No triângulo, a seguir, qual é a medida do segmento 
AC, destacada pela letra x, sabendo que essas medidas 
estão em centímetros?
Sugestão de solução: 
Observe que x é oposto ao ângulo B. Assim, para desco-
brir sua medida, fazemos:
Sendo assim, dado um triângulo ABC, temos:
Usando a lei dos cossenos, para descobrir o valor de x:
Como sen 135° = sen 45°, temos: 
Assim, a medida do segmento AC é 2 cm.
13. (UF-Viçosa – Adaptada) Dois lados de um terreno de 
forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângu-
lo de 60°, conforme a figura
O comprimento do muro necessário para cercar o terre-
no, em metros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: E
Sugestão de solução: 
O comprimento do muro necessário para cercar o terre-
no é igual ao seu perímetro. Para esse cálculo, basta so-
mar os comprimentos do lado do triângulo. 
10 + 15 + x 
O valor de x pode ser encontrado por meio da lei dos cos-
senos: 
Logo, a soma que representa o perímetro desse triângulo é
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Lembrando que, sen²β + cos²β = 1, obtemos
(desconsiderando o valor negativo)
Vamos Sistematizar?
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
▸ Função seno e Função cosseno
Seja x um número real que representa a medida de um 
ângulo central no ciclo