ava1 docx

Prévia do material em texto

1 
 
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
 
 
 
Sistemas de Informação EaD 
Cálculo numérico 
 
 
 
Julio Cesar Teixeira de Andrade 
 
 
 
 
 
AVA1 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES COM MÉTODO GAUSS-JACOBI E O 
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
 
 
 
 RIO DE JANEIRO 
2025 
2 
 
Saber resolver sistemas lineares é de fundamental importância nos dias atuais. 
Sistemas Lineares são responsáveis por problemas como otimização de sistemas de 
transportes, logística, circuito elétrico, dentre outras aplicações. 
Mas nem sempre é possível resolver um sistema linear de forma rápida, por 
isso, desenvolver sistemas utilizando uma linguagem de programação, ou utilizar 
ferramentas, é de grande utilidade nas atividades que envolvem o Cálculo Numérico. 
Isso acelera a resolução do problema a ser estudado e, as soluções são mais 
rapidamente implementadas, diminuindo, assim, o seu custo e o tempo de 
implementação. 
 
Situação problema: 
Analise o sistema linear abaixo: o discente, deverá resolver utilizando os 
seguintes métodos: Método de Gauss - Jacobi e o Método de Gauss – Seidel. 
{
3𝑥1 − 0.1𝑥2 − 0.2𝑥3 = 7.85
0.1𝑥1 + 7𝑥2 − 0.3𝑥3 = 19.3
0.3𝑥1 − 0.2𝑥2 + 10𝑥3 = 71.4
 
Resolva o sistema linear utilizando os seguintes métodos: Método de Gauss - 
Jacobi e o Método de Gauss – Seidel. Para ambos os métodos, os valores iniciais 
são: x(0) = (0,0,0) e o erro ε ≤ 0.001. Os resultados devem ter no máximo 3 casas 
decimais. 
Em ambos os Métodos, considerar os seguintes passos: 
1. Verificar o Critério de Convergência (Critério de Linhas). 
2. Isolar as variáveis 
3. Verificar o Critério de Parada (Cálculo do Erro). 
 
 
Critério de convergência 
3 ≥ -0,1 +(-0 2) 
7 ≥ 0,1+ (-0,3) 
10 ≥ 0,3+ (-0,2) 
Todos estão dentro do critério 
 
Resolução 1 (método de Gauss Jacob) 
𝑥1
1 =
7,85+0,1𝑥2
0+0,2𝑥3
0
3
= 
7,85+ 0,1(0)+0,2(0)
3
 𝑥1
1 = 2,617 
 
𝑥2
1 =
−19,3−0,1𝑥1
0 + 0,3𝑥3
0
7
= 
−19,3−0,1(0) + 0,3(0)
7
 𝑥2
1 = 2,757 
3 
 
 
𝑥3
1 =
71,4−0,3𝑥1
0 + 0,2𝑥2
0
10
= 
71,4−0,3(0)+ 0,2(0)
10
 𝑥3
1 = 7,14 
 
Para verificarmos o critério de parada é necessário fazer interações até que: 
 
|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1| ≤ 
 
2ª interação 
 
𝑥1
2 =
7,85+0,1(−2,757)+0,2(7,14)
3
 𝑥1
2 = 3,005 
 
𝑥2
2 =
−19,3−0,1(2,617) + 0,3(7,14)
7
 𝑥2
2 = 2,488 
 
𝑥3
2 =
71,4−0,3(2,617) + 0,2(2,757)
10
 𝑥3
2 = 7,006 
Como o critério de parada ainda não foi satisfeito, outra interação se faz 
necessária. 
 
3ª interação: 
𝑥1
3 =
7,85+0,1(−2,488)+0,2(7,006)
3
 𝑥1
3 = 3 
 
𝑥2
3 =
−19,3−0,1(3,005) + 0,3(7,006)
7
 𝑥2
3 = 2,5 
 
𝑥3
3 =
71,4−0,3(3,005) + 0,2(−2,488)
10
 𝑥3
3 = 7 
 
4ª interação: 
𝑥1
4 =
7,85+0,1(−2,5)+0,2(7)
3
 𝑥1
4 = 3 
 
𝑥2
4 =
−19,3−0,1(3) + 0,3(7)
7
 𝑥2
4 = 2,5 
 
4 
 
𝑥3
4 =
71,4−0,3(3) + 0,2(−2,5)
10
 𝑥3
4 = 7 
 
Critério de parada 
|3 − 3| = 0 
|2,5 + 2,5| = 0 
|7 − 7| = 0 
 
Todos satisfazem o critério de parada. 
 
Resolução 2(método de Gauss-Seidel) 
 
𝑥1
1 =
7,85+0,1𝑥2
0+0,2𝑥3
0
3
= 
7,85+ 0,1(0)+0,2(0)
3
 𝑥1
1 = 2,617 
 
𝑥2
1 =
−19,3−0,1𝑥1
1 + 0,3𝑥3
0
7
= 
−19,3−0,1(2,617) + 0,3(0)
7
 𝑥2
1 = 2,794 
 
𝑥3
1 =
71,4−0,3𝑥1
1 + 0,2𝑥2
1
10
= 
71,4−0,3(2,617)+ 0,2(−2,794)
10
 𝑥3
1 = 7,005 
 
 2ª interação 
 
𝑥1
2 =
7,85+0,1(−2,794)+0,2(7,005)
3
 𝑥1
2 = 2,991 
 
𝑥2
2 =
−19,3−0,1(2,991) + 0,3(7,005)
7
 𝑥2
2 = 2,5 
 
𝑥3
2 =
71,4−0,3(2,991)+ 0,2(2,5)
10
 𝑥3
2 = 7 
 
Como o critério de parada ainda não foi satisfeito, outra interação se faz 
necessária. 
 
3ª interação: 
 
5 
 
𝑥1
3 =
7,85+0,1(−2,5)+0,2(7)
3
 𝑥1
3 = 3 
 
𝑥2
3 =
−19,3−0,1(3) + 0,3(7)
7
 𝑥2
3 = 2,5 
 
𝑥3
3 =
71,4−0,3(3) + 0,2(−2,5)
10
 𝑥3
3 = 7 
 
4ª interação: 
 
𝑥1
4 =
7,85+0,1(−2,5)+0,2(7)
3
 𝑥1
4 = 3 
 
𝑥2
4 =
−19,3−0,1(3) + 0,3(7)
7
 𝑥2
4 = 2,5 
 
𝑥3
4 =
71,4−0,3(3) + 0,2(−2,5)
10
 𝑥3
4 = 7 
 
DE LÉO, Stefano. Notas de aula da disciplina MA327 – Álgebra Linear. 
Campinas: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, 
2017. Disponível em: https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MA327/ld2.pdf. Acesso em: 
30 de mai. 2025. 
RUGGIERO, Marco Antonio; LOPES, José R. R. Cálculo numérico: aspectos 
teóricos e computacionais. 2. ed. Uberlândia: EDUFU, 2001. Disponível em: 
https://repositorio.ufu.br/bitstream/123456789/25218/1/Calculo%20Numerico.pdf. 
Acesso em: 30 de mai. 2025. 
https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MA327/ld2.pdf
https://repositorio.ufu.br/bitstream/123456789/25218/1/Calculo%20Numerico.pdf