equação diferencial de segunda ordem

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Equações Diferenciais De Segunda Ordem
08/05/25, 06:57 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/681c7cc3a863e464b0cd640f/gabarito/
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Seja a equação diferencial . Sabe-se que as funções 
e são soluções da equação dada. Determine uma solução que
atenda a condição inicial de e .
y ′′ + 4y = 0 y = cos(2x)
y = 3sen(2x)
y(0) = 1 y ′(0) = 4
cos(2x) + 2sen(2x)
cos(x) − 2sen(2x)
−cos(2x) + 3sen(2x)
cos(2x) + 2sen(x)
cosx + sen(x)
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação homogênea de segunda ordem.
As soluções para este tipo de equação são combinações lineares das
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A
B
C
D
E
funções solução. Neste caso, as funções solução são e
. Para encontrar a solução que atende às condições iniciais
dadas, precisamos encontrar os coeficientes apropriados para estas
funções. Ao aplicar as condições iniciais, encontramos que a solução que
atende a essas condições é 
y = cos(2x)
y = 3sen(2x)
cos(2x) + 2sen(2x)
2 Marcar para revisão
Determine a solução geral da equação diferencial .y ′′ + 4y = 10ex
y = acos(2x) + bsen(2x) + 2ex
y = aexcos(2x) + bexsen(2x) + 2ex
y = aex + bxe2x + 2cos(2x)
y = acos(2x) + bxsen(2x) + 2x
y = acos(2x) + bsen(2x) + x2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de
segunda ordem. A solução geral para esse tipo de equação é dada pela
soma de uma solução particular da equação não homogênea e a solução
geral da equação homogênea associada. Nesse caso, a solução geral da
equação homogênea é dada por , onde 'a' e 'b'
são constantes arbitrárias. A solução particular da equação não
homogênea é dada por . Portanto, a solução geral da equação
diferencial é
y = acos(2x) + bsen(2x)
2ex
y acos(2x) + bsen(2x) + 2ex
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A
B
C
D
E
diferencial é , y = acos(2x) + bsen(2x) + 2ex
3 Marcar para revisão
Resolva a equação diferencial  com  e
.
y ′′ − 2y ′ = sen(4x) y(0) = 1
40
y ′(0) = 9
5
y = e2x − 1 + cos4x − sen(4x)1
40
1
20
y = 1 − e2x − cos4x − sen(4x)1
40
1
20
y = 1 + e2x − cos4x + sen(4x)1
40
1
20
y = e2x − 1 + cos4x − sen(4x)1
20
1
40
y = 1 + e2x + cos4x − sen(4x)1
20
1
20
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A solução da equação diferencial dada é encontrada ao resolver a equação
homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea. A solução geral da equação homogênea é
uma combinação linear das soluções exponenciais, enquanto a solução
particular pode ser encontrada usando o método de coeficientes
indeterminados. Ao aplicar as condições iniciais dadas, obtemos a solução
específica .y = e2x − 1 + cos4x − sen(4x)1
40
1
20
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A
B
C
D
E
4 Marcar para revisão
Determine a solução geral da equação diferencial .− 3 + 2u = 8d2u
dv
du
dv
u = aev + bve−2v − 2, a e b reais.
u = avev + be2v − 2, a e b reais.
u = ae−v + be−2v − 2, a e b reais.
u = aev + be2v + 2, a e b reais.
u = aev + be2v − 2, a e b reais.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação diferencial de segunda ordem
homogênea com coeficientes constantes. Para resolver essa equação,
precisamos encontrar as raízes da equação característica associada, que é
. As raízes dessa equação são e . Portanto, a
solução geral da equação diferencial é dada por , onde 'a'
e 'b' são constantes reais. No entanto, a equação diferencial original tem
um termo constante no lado direito, que é 8. Para compensar isso,
precisamos adicionar uma constante à nossa solução geral. Portanto, a
solução geral correta da equação diferencial é
.
r2 − 3r + 2 = 0 r = 1 r = 2
u = aev + be2v
u = aev + be2v + 2, a e b reais.
5 Marcar para revisão
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A
B
C
D
E
A
Determine a solução particular da equação diferencial  que
atenda à condição inicial e .
s′′ − 6s′ + 9s = 0
s(0) = 2 s′(0) = 8
2e3x(1 + x)
4e3x − 2
2cos(3x) + 2sen(3x)
2e3x + 2ex
xe3x(2 + x)
Resposta correta
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comentado!
Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de
segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação,
precisamos encontrar a solução geral e, em seguida, aplicar as condições
iniciais para encontrar a solução particular. A solução geral dessa equação
é da forma , onde A e B são constantes a serem
determinadas. Aplicando as condições iniciais  e  ,
encontramos que A = 2 e B = 2. Portanto, a solução particular que atende
às condições iniciais é 
s(x) = e3x(Ax + B)
s(0) = 2 s′(0) = 8
2e3x(1 + x)
6 Marcar para revisão
Determine a solução geral da equação diferencial .2y ′′ − 12y ′ + 20y = 0
aexcos(3x) + bexsen(3x),  a e b reais.
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B
C
D
E
A
B
( ) ( ),
ae−3xcos(x) + be−3xsen(x),  a e b reais.
ae3xcos(x) + be3xsen(x),  a e b reais.
axe3xcos(x) + bxe3xsen(x),  a e b reais.
axexcos(x) + bxexsen(x),  a e b reais.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de
segunda ordem. Para resolver essa equação, precisamos encontrar as
raízes da equação característica associada, que é  .
As raízes dessa equação são complexas e dadas por . Portanto,
a solução geral da equação diferencial é dada por 
 onde é a parte real das raízes e  e 
são constantes reais. Substituindo , obtemos a solução geral como
2m2 − 12m + 20 = 0
m = 3 ± i
y(x) = emx(acos(x) + bsen(x) m a b
m = 3
ae3xcos(x) + be3xsen(x),  a e b reais.
7 Marcar para revisão
Resolva o problema de contorno que atenda à equação  e
 e .
16x′′ + x = 0
x(0) = 4 x(2π) = 3
3e + 2e−
x
3
x
3
4cos( ) + 3sen( )x
4
x
4
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C
D
E
A
B
C
( ) ( )
4 4
4excos( ) + 3exsen( )x
4
x
4
4e + 3xe
x
4
x
4
2cos( ) − 4sen( )x
4
x
4
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação homogênea de segunda ordem.
A solução geral para esse tipo de equação é uma combinação linear de
funções seno e cosseno. A alternativa correta, , é
a única que atende a essa forma e também satisfaz as condições de
contorno dadas, e .
4cos( ) + 3sen( )x
4
x
4
x(0) = 4 x(2π) = 3
8 Marcar para revisão
Resolva a equação diferencial.y ′′ + 4y ′ + 13y = 0
ae−3x + be−2x,  a e b reais.
acos(3x) + bsen(3x),  a e b reais.
ae−2xcos(3x) + be−2xsen(3x),  a e b reais.
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D
E
A
B
C
D
ae−2x + bxe−2x,  a e b reais.
acos(2x) + bsen(2x),  a e b reais.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de
segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para esse
tipo de equação é dada por , onde  é uma raiz da equação
característica associada. Neste caso, a equação característica é
, cujas raízes são complexas e dadas por
. Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por
, onde  e  são constantes reais.
A resposta correta é: 
y(x) = emx m
m2 + 4m + 13 = 0
m = −2 ± 3i
y(x) = e−2x(a cos(3x) + bsen(3x) a b
ae−2xcos(3x) + be−2xsen(3x),  a e b reais.
9 Marcar para revisão
Determine a solução da equação diferencial  para
.
2x2y ′′ + 6xy ′ + 2y = 0
x > 0
y = aex + bxex,  a e b reais.
y = aln(x2) + ,  a e b reais.b
x
y = ax + ,  a e b reais.b
x
y = − lnx,  a e b reais.2a
x
1
x
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E
A
B
C
D
y = + lnx,  a e b reais.a
x
b
x
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação de Euler, que tem soluções da
forma  , onde   é uma contatante.
Substituindo essa forma na equação diferencial, obtemos uma equação
quadrática para  , cujas soluções são   e  .
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por  ,
onde   e   são constantes arbitrárias.
No entanto, como  , podemos escrever   como   e a solução geral
se torna 
A alternativa   é uma extensão dessa solução
geral, onde o termo    é adicionado para satisfazer a condição de que 
y = xm m
m m = −1 m = 0
y = ax−1 + b
a b
x > 0 x−1 1
x
y = + ba
x
y = + lnx,  a e b reais.a
x
b
x
lnxb
x
x > 0
10 Marcar para revisão
Determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação
diferencial  tenha solução única para um problema de
valor inicial.
y ′′ + 4x2y ′ + 4y = cosx
x > 0
x