Programação e Cálculo Numérico - MAPA

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MAPA - PROGRAMAÇÃO E CÁLCULO NUMÉRICO
1 – A importância de se utilizar métodos numéricos em aplicações científicas e técnicas dentro da engenharia se da devido à muitos problemas do mundo real não possuírem soluções analíticas exatas ou são extremamente complexos para serem resolvidos manualmente. Então, existem métodos que nos permite aproximar soluções com precisões controladas, utilizando algoritmos computacionais para simular, analisar e otimizar sistemas físicos e matemáticos. 
Exemplo 1: Otimização de processos que dependem de algoritmos numéricos ajudam a encontrar os mínimos e máximos de funções que são essenciais em projetos de controle e eficiência energética, como os ajustes de parâmetros em plantas industriais para maximizar produção e minimizar custos. 
Exemplo 2: Análises de dados e aprendizados das máquinas que são necessárias técnicas como regressão linear, interpolação e mínimos quadrados pois são baseados em métodos numéricos, como a previsão de demanda de energia em rede elétrica que depende de dados históricos. 
Exemplo 3: Controle de erros e precisão que tem como métodos iterativos ou diretos para controlar a exatidão dos resultados, crucial em projetos onde as falhas são inaceitáveis, como a trajetória de foguetes quando são lançados, onde pequenos erros podem levar a desvios catastróficos. 
2a – O Método da Bisseção é um algoritmo numérico usado para encontrar raízes de equações lineares em um intervalo definido. Baseia-se no Teorema do Valor Intermediário e é especialmente útil quando não é possível resolver equações analiticamente. Seu principio matemático se fundamenta em uma função contínua que f (x) muda de sinal em um intervalo [a,b], ou seja, f (a) . f (b) ∈ e k 0, o método falha, mesmo que exista raiz. 
Fonte: O próprio
3a – O método de Newton para encontrar raízes de equações não lineares tem como objetivo encontrar uma raiz de uma equação não linear f (x) = 0 e resolve problemas do tipo: Equações algébricas não lineares (x³ - 2x – 5 = 0), sistemas de equações (extensão para múltiplas variáveis) e aplicações em otimização (encontrar mínimos / máximos via derivada).
Em contrapartida, a interpolação de Newton que é utilizada para construir polinômios interpolares tem como objetivo encontrar um polinômio P (x) que passe exatamente por um conjunto de pontos (xi, yi) e resolve problemas do tipo: aproximar funções desconhecidas a partir de dados discretos e estimar valores intermediários (preenchimento de lacunas em dados experimentais).
Fonte: O próprio
O Método de Newton é iterativo e é usado para resolver equações. A interpolação de Newton é direta e é usada para ajustar polinômios a dados.
3b – A base matemática do Método de Newton baseia-se no Teorema de Taylor e na convergência quadrática. 
O Teorema de Taylor que é a aproximação linear lineariza f (x) em torno de xn: f (x) ~ f (xn) + f’ (xn) (x – xn). Ao igualar a zero para encontrar a raiz: xn + 1 = xn – f (xn) / f’ (xn).
A convergência quadrática explica que se f’ (x*) ≠ 0 e x0 é suficientemente próximo da raiz x*, o erro decai rapidamente: |xn+1 – x*| ~ C |xn – x*|².
A base matemática da Interpolação de Newton baseia-se nas diferenças divididas e na forma do polinômio.
Nas diferenças divididas calcula-se o coeficiente ck usando tabela de diferenças: f [x0] = f (x0), onde: f [x0,x1] = f (x1) – f (x0) / x1 - x0.
Na forma do polinômio: P(x) = f [x0] + f [x0,x1] (x - x0) + f [x0, x1, x2] (x – x0) (x – x1)
O conceito do Método de Newton é aplicado para encontrar soluções numéricas de equações não lineares, onde um valor exato não pode ser facilmente determinado analiticamente. Assim como o conceito da Interpolação de Newton é aplicado quando temos um conjunto discreto de pontos de dados e precisamos construir uma função que passe exatamente por todos eles, criando assim um modelo contínuo que pode ser usado para prever valores em pontos não medidos. 
3c – O Método de Newton é utilizado para encontrar raízes de equações não lineares (f(x) = 0). Suas condições são: função contínua e diferenciável, chute inicial adequado (x0), derivada não nula da raiz e convergência garantida apenas localmente. 
A Interpolação de Newton constrói um polinômio que passa por pontos dados ((xi,yi)). Suas condições são: pontos distintos (xi), número finito de pontos, ordem irrelevante dos pontos porém afeta a estabilidade numérica e a ausência de restrições sobre yi. 
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