CMF - EsPCEx 2013 - AULA 11

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1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 5 1
 ⋮
 
 
Números Binomiais 
Dados dois números naturais n e p , tais 
que p n≤ , chamamos número binomial de 
numerador (ordem) n e denominador 
(classe) p , todo número dado por: 
( )
!
! !
n n
p p n p
 
= 
− 
 
 
Binomiais Complementares 
Dois números binomiais n
p
 
 
 
 e n
k
 
 
 
, de 
mesmo numerador, são ditos complemen-
tares se p k n+ = . Como são 
complementares, então n n
p k
   
=   
   
. 
 
Relação de Stifel 
1
1
n n n
k k k
+     
+ =     
−     
 
 
Triângulo de Pascal 
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
 
 
 
 
  
  
  
   
   
   
    
    
    
     
     
     
⋮
 
⇒
 
 
Propriedades do Triângulo de Pascal 
1. A soma de todos os números binomiais 
de uma mesma linha é igual a uma 
potência de base 2, cujo expoente é a 
ordem da linha: 
2
0 1 2
n
n n n n
n
       
+ + + + =       
       
… 
 
2. A soma dos números binomiais de uma 
mesma coluna, desde o 1º elemento da 
coluna até um elemento qualquer dessa 
 
 
 
 
 coluna, é igual ao número binomial das 
linhas e colunas seguintes: 
1 2 1
1
p p p p k p k
p p p p p
+ + + + +         
+ + + + =         
+         
…
 
3. A soma dos números binomiais de uma 
mesma diagonal, desde a 1ª coluna até 
um elemento qualquer dessa diagonal, é 
igual ao elemento imediatamente 
abaixo, na mesma coluna: 
1 2 1
0 1 2
m m m m k m k
k k
+ + + + +         
+ + + + =         
         
…
 
Binômio de Newton 
Uma das aplicações dos números 
binomiais é o desenvolvimento de 
( )
n
x a+ . 
O termo geral desse desenvolvimento é 
dado por: 
1
n p p
p
n
T x a
p
−
+
 
= ⋅ 
 
 
Exercícios 
1. O coeficiente de 3 5
a b em ( )
8
2a b+ 
é: 
 a) 
8
5
 
 
 
 b) 5
8
2
5
 
⋅ 
 
 c) 
8
3
 
 
 
 d) 
3
8
2
3
 
⋅ 
 
 
 
2. Seja k a razão entre a soma dos 
coeficientes e o número de termos 
do desenvolvimento de ( )
15
x a+ . 
Assim podemos afirmar que o valor 
de k é: 
 a) 112 b) 132 c) 152 d) 92 
 
BINÔMIO DE NEWTON 
CMF – EsPCEx – PROF.: DIEGO PONCIANO 
 
AULA 11 
 
3. Sendo e n r inteiros positivos e 
0x ≠ , o valor de r para o qual o 
10º termo do desenvolvimento de 
1
r
n
n
x
x
 
+ 
 
seja independente de x é 
 a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 
 
4. O coeficiente do termo em 2
x de 
12
2 3
3 2
x
x
 
− 
 
 é: 
 a) 14080 d) -352 
 b) -1782 e) n.d.a. 
 c) 924 
 
5. Seja S a soma dos coeficientes do 
polinômio obtido ao se desenvolver 
a expressão 
 ( ) ( )
43 44
2 2
5 5 1 4 4 1x x x x− + ⋅ − + . Então 
 S é igual a: 
 a) 1 b) 2 c) 87 d) -1 
 
6. Se no desenvolvimento de ( )
13
2p − 
segundo as potências decrescentes 
de p, onde p é um número maior que 
2 e a soma do segundo e terceiro 
termos é zero, então p é igual a: 
 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 
 
7. O coeficiente de 9
x em 
( )
9
2
2 1x x + −
 
 é: 
 a) 0 b) 27 c) 
9
0
9
k k=
 
 
 
∑ d) n.d.a. 
 
8. O resultado de 
6
2
8
p p=
 
 
 
∑ é igual a: 
 a) 216 b) 238 c) 240 d) 247 
 
9. Desenvolvendo-se a expressão 
6
1 1
x x
x x
    
+ ⋅ −    
    
 obtém-se como 
termo independente de x o valor: 
 a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36 
 
10. A soma 
3 4 5 12
0 1 2 9
       
+ + + +       
       
… 
é igual a: 
 a) 
65
10
 
 
 
 b) 
15
9
 
 
 
 c) 
13
10
 
 
 
 
 d) 
13
9
 
 
 
 e) 
12
10
 
 
 
 
 
11. No triângulo de Pascal vale a 
seguinte propriedade: 
1 2 1
0 1 2
n n n n p n p
p p
+ + + + +         
+ + + + =         
         
…
 Usando-se essa propriedade, é possível 
calcular o valor da soma 
7 8 9 10
2 3 4 5
       
+ + +       
       
. Esse valor é: 
 a) 455 d) 584 
 b) 46... e) 64... 
 c) 575 
12. Se 
0
3 256
m
p
p
m
p=
 
⋅ = 
 
∑ então o valor 
de m é: 
 a) 2 d) 8 
 b) 4 e) 10 
 c) 6 
 
13. No desenvolvimento de 
6
21
2x
x
 
+ 
 
, o 
termo independente de x é: 
a) 20 
 b) 32 
 c) 60 
 d) 64 
 e) 172 
 
14. Sabendo que Sabendo que é de 1024 a 
soma dos coeficientes do polinômio em 
x e y, obtido pelo desenvolvimento do 
binômio (x + y)
m
, o valor de 2
2
m 
 
 
 é: 
a) 80 
b) 90 
c) 70 
d) 100 
e) 60 
 
15. Seja 
com x real e não nulo. Então K é igual 
a: 
a) 
600
x
 
b) 
3
320
x
 
c) 
6
185
x
 
d) 820x 
e) 720 
 
 
16. A soma 
5 6 7 20
3 3 3 3
       
+ + + +       
       
… 
é igual a: 
a) 4840 
b) 4854 
c) 5980 
d) 5985 
e) 6640 
 
17. O termo independente de 
10
1
x
x
 
+ 
 
 é: 
a) 252 
b) 262 
c) 272 
d) 282 
e) 292 
 
18. Se o quinto termo da seqüência 
1 2 3 1
, , , ,
0 1 2 1
n n n n
n
+ + + +       
       
+       
… é 
igual a 126, então o numero n é: 
a) ímpar 
b) menor que 6 
c) um cubo perfeito 
d) divisível por 5 
e) múltiplo de 3 
 
19. No desenvolvimento do binômio (x + 
y)
n
, segundo as potências decrescentes 
do número natural x, os coeficientes 
dos 4° e 8° termos são iguais. Nessas 
condições, o valor de n é: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
 
20. A soma alternada 
10 10 10 10
0 1 2 10
       
− + − +       
       
… de 
coeficientes binomiais é igual a: 
a) 0 
b) 20 
c) 10 
d) 10! 
e) 2
10
 
 
21. O valor que deve ser atribuído a k de 
modo que o termo independente de x, 
no desenvolvimento de 
6
k
x
x
 
+ 
 
, seja 
igual a 160, é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
5
2 15 10 5
2 5 10
2 240 32
3 243 810 1080K x x x x
x x x
   
= + − + + + +   
   
22. O valor do terceiro termo do 
desenvolvimento de (x + 2)
n
, segundo 
as potências decrescentes de x, é igual a 
60. Nessas condições, o valor de n 
pertence ao conjunto: 
a) {3, 4} 
b) {5, 6} 
c) {7, 8} 
d) {9, 10} 
e) {11, 12} 
 
23. Somando-se todos os termos do 
desenvolvimento do binômio (x + 1)
5
, 
obtem-se: 
a) 32 
b) 24 
c) 16 
d) 8 
e) 0 
 
24. No desenvolvimento de ( )
4
3 k
x x+ , 
existe um termo independente de x. 
Então k pode ser: 
a) 3 
b) 1 
c) 2 
d) -3 
e) -1 
 
25. O coeficiente de a
13
 no binômio 
(a + 2)
15
 é: 
a) 105 
b) 210 
c) 360 
d) 420 
e) 480 
 
26. O termo médio ou termo central do 
desenvolvimento do binômio 
8
2
2
x
x
 
+ 
 
 é igual a: 
a) 42 
b) 56 
c) 70 
d) 82 
e) 96 
 
27. O teorema binomial permite-nos 
desenvolver potências do tipo ( )
n
x a+ , 
com n natural e a e x números reais, por 
meio da igualdade 
( )
0
n
n p n p
p
n
x a a x
p
−
=
 
+ = ⋅ 
 
∑ . Com base 
nesses dados, pode-se afirmar que o 
valor da expressão 
15
0
15
7
p
p
y
p=
 
=  
 
∑ 
equivale a: 
a) 120 
b) 6
15 
c) 2
15
 
d) 512
5 
e) 
45
4!
3
 
 
 
 
 
28. Se o terceiro termo do desenvolvimento 
do binômio (a + b)
n
 é 21a
5
b
2
, então o 
sexto termo é: 
a) 35a
4
b
3 
b) 21a
3
b
4
 
c) 21a
2
b
5
 
d) 7ab
7
 
e) 7a
2
b
5
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 
B A C D A C A B 
9 10 11 12 13 14 15 16 
D D A B C B E C 
17 18 19 20 21 22 23 24 
A C C A B B A D 
25 26 27 28 29 30 31 32 
D CB C