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Cálculo com Curvas Parametrizadas
Unifesp - Diadema
(Notas de aula baseadas no livro e nos materiais de referência!)
Cálculo com Curvas Parametrizadas
Suponha que f e g sejam funções deriváveis.
Para encontrar a reta tangente a um ponto na curva
x = f (t) e y = g(t)
onde y também é uma função derivável de x , usa-se a Regra da
Cadeia.
De fato, se localmente é possível escrever uma função
y = F (x),
substituindo x = f (t) e y = g(t) se obtêm g(t) = F (f (t)). Pela
Regra da Cadeia
g ′(t) = F ′(f (t))f ′(t).
Daí que, pela notação de Leibniz,
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
Se dx
dt ̸= 0, então pode-se escrever
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
O valor dy/dx é a inclinação da tangente da curva paramétrica, o
qual pode ser calculado sem eliminar o parâmetro t.
A curva tem uma tangente horizontal quando dy/dt = 0 (desde
que dx/dt ̸= 0).
E tem uma tangente vertical quando dx/dt = 0 (desde que
dy/dt ̸= 0).
Em particular,
d2y
dx2 =
d
dx
(
dy
dx
) =
d
dt (
dy
dx )
dx
dt
Essa expressão é útil na determinação das concavidades.
Exemplo
Uma curva C é definida pelas equações paramétricas dadas.
x = t2 e y = t3 − 3t
(a) Mostre que C tem duas
tangentes no ponto (3, 0) e
encontre suas equações.
(b) Encontre os pontos em C
onde a tangente é horizontal ou
vertical.
(c) Determine onde a curva sobe
e desce e onde sua concavidade
é para cima ou para baixo.
(d) Esboce a curva.
Solução
a) Note que
y = t3 − 3t = t(t2 − 3) = 0
quando t = 0 ou t = ±
√
3. Isso indica que C intercepta a si
própria em (3, 0).
Uma vez
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
=
3t2 − 3
2t
=
3
2
(
t − 1
t
)
,
a inclinação da tangente quando t = ±
√
3 é
dy/dx = ±6/(2
√
3) = ±
√
3;
assim as equações das tangentes em (3, 0) são
y =
√
3(x − 3) e y = −
√
3(x − 3)
b) A curva C tem uma tangente horizontal quando dy/dx = 0, isto
é, quando dy/dt = 0 e dx/dt ̸= 0.
Uma vez que dy/dt = 3t2 − 3, isso ocorre quando t = ±1 e ocorre
nos pontos (1,−2) e (1, 2) (note que dx/dt ̸= 0 ali).
A curva C tem uma tangente vertical quando dx/dt = 2t = 0, ie,
quando t = 0 e ocorre no ponto (0, 0) (note que dy/dt ̸= 0 ali).
c) Para determinar a concavidade, calculamos a segunda derivada:
d2y
dx2 =
d
dt
(
dy
dx
)
dx
dt
=
3
2
(
1 + 1
t2
)
2t
=
3(t2 + 1)
4t3
Então a concavidade da curva é para cima quando t > 0 e para
baixo quando t 0, isso significa que a linha é percorrida uma
única vez da esquerda para a direita, quando t aumenta de α para
β e suponha que f (α) = a e f (β) = b.
Então
L =
∫ b
a
√
1 +
(dy/dt
dx/dt
)2
dx
=
∫ β
α
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
Mesmo que C não possa ser expressa globalmente na forma
y = F (x), a formula é válida!
O comprimento L de C é o
limite dos comprimentos dessas
poligonais aproximadoras
quando n → ∞:
L = limn→∞
n∑
i=1
|Pi−1Pi |
Mais geralmente...
Se uma curva C é descrita por equações paramétricas
x = f (t) e y = g(t) , α ≤ t ≤ β,
onde f ′ e g ′ são contínuas em [α, β] e C é percorrida exatamente
uma vez quando t aumenta de α até β, então o comprimento de C
é
L =
∫ β
α
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
Exemplos
Mostre que o comprimento de um arco do círculo x = cos(t) e
y = sen(t) no intervalo 0 ≤ t ≤ 2π é 2π.
De fato,
L =
∫ 2π
0
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
=
∫ 2π
0
√(
− sen(t)
)2
+
(
cos(t)
)2
dt
=
∫ 2π
0
1dt
= 2π
Exercícios
1. Mostre que o comprimento de um arco do círculo x = r cos(t) e
y = r sen(t) no intervalo 0 ≤ t ≤ 2π é 2πr .
2. Mostre que o comprimento de um arco de uma cicloide
x = r(θ − senθ) e y = r(1 − cosθ) no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π é 8r .