LISTA02_Derivadas_2021

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FACULDADES OSWALDO CRUZ
(ESQ/FFCL)
Cálculo Diferencial e Integral I
Ciclo Básico das Engenharias, das Químicas e da Licenciatura em Química (2021)
LISTA 2: Derivadas
1 Definição
Definição 1 (Derivada num ponto) Seja f(x) uma função e x0 um ponto de seu domínio.
Define-se a derivada da função f(x) no ponto x0, e indica-se por
df
dx
(x0) (ou f ′(x0)), como sendo
o número
df
dx
(x0) = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
desde que este limite exista, e neste caso diremos que a função f(x) é derivável (ou diferenciável)
em x0.
Definição 2 (Função derivada) A derivada de uma função f(x) é a função denotada por
df
dx
(x) (ou f ′(x)) tal que seu valor para qualquer x do seu domínio é dado por
df
dx
(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
se este limite existir. Dizemos que uma função é derivável (ou diferenciável) quando existe a
derivada em todos os pontos de seu domínio.
Exemplo 1 Utilizando a definição pelo limite, calcule a derivada da função quadrática f(x) = x2.
Solução: Devemos utilizar a definição
df
dx
(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
. Sabendo que f(x) = x2 segue que
f(x+ ∆x) = (x+ ∆x)2 = x2 + 2 · x ·∆x+ ∆x2. Substituindo tais informações na definição segue que:
df
dx
(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
(x2 + 2 · x ·∆x+ ∆x2)− (x2)
∆x
= lim
∆x→0
2 · x ·∆x+ ∆x2
∆x
= lim
∆x→0
∆x · (2 · x ·+∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(2 · x ·+∆x) = 2x ∴
df
dx
(x) = 2 · x
Exemplo 2 Calcule a derivada da função recíproca f(x) =
1
x
utilizando a definição pelo limite.
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Solução: Devemos utilizar a definição
df
dx
(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
. Sabendo que f(x) =
1
x
segue que
f(x+ ∆x) =
1
x+ ∆x
. Substituindo tais informações na definição segue que:
df
dx
(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
1
x+ ∆x
− 1
x
∆x
= lim
∆x→0
x− (x+ ∆x)
(x+ ∆x) · x
∆x
= lim
∆x→0
−∆x
(x+ ∆x) · x
∆x
= lim
∆x→0
−∆x
(x+ ∆x) · x ·
1
∆x
= lim
∆x→0
−1
(x+ ∆x) · x =
−1
x2
∴
df
dx
(x) =
−1
x2
As derivadas das funções elementares encontram-se organizadas em uma tabela de derivadas:
TABELA: DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
1) y = k, (k constante) ⇒ dy
dx
= 0 8) y = cos(x) ⇒ dy
dx
= − sen(x)
2) y = xn ⇒ dy
dx
= n · xn−1 9) y = tg(x) ⇒ dy
dx
= sec2(x)
3) y = ex ⇒ dy
dx
= ex 10) y = sec(x) ⇒ dy
dx
= sec(x) · tg(x)
4) y = ax, (1 6= a > 0) ⇒ dy
dx
= ax · ln(a) 11) y = cossec(x) ⇒ dy
dx
= − cossec(x) · cotg(x)
5) y = ln(x) ⇒ dy
dx
=
1
x
12) y = arcsen(x) ⇒ dy
dx
=
1√
1− x2
6) y = loga x, (1 6= a > 0) ⇒ dy
dx
=
1
x · ln(a)
13) y = arccos(x) ⇒ dy
dx
= − 1√
1− x2
7) y = sen(x) ⇒ dy
dx
= cos(x) 14) y = arctg(x) ⇒ dy
dx
=
1
1 + x2
Exemplo 3 Aplicando a Regra da Potência ou “Regra do Tombo”, determinar a derivada das
funções abaixo:
(a) f(x) = x
f(x) = x1 ⇒ df
dx
(x) = 1 · x1−1 = 1 · x0 = 1 ⇒ df
dx
(x) = 1
(b) f(x) = x6
df
dx
(x) = 6 · x6−1 = 5 · x5 ⇒ df
dx
(x) = 6x5
(c) f(x) =
√
x
f(x) = x
1
2 ⇒ df
dx
(x) =
1
2
· x
1
2
−1 =
1
2
· x−
1
2 =
1
2
· 1
x
1
2
=
1
2
√
x
⇒ df
dx
(x) =
1
2
√
x
(d) f(x) =
1
3
√
x
f(x) =
1
x
1
3
= x−
1
3 ⇒ df
dx
(x) = −1
3
·x−
1
3
−1 = −1
3
·x−
4
3 = − 1
3x
4
3
= − 1
3
3
√
x4
⇒ df
dx
(x) = − 1
3
3
√
x4
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2 Interpretação geométrica
Considere uma função y = f(x) cujo gráfico é
apresentado na figura ao lado. Sendo x0 e x = x0 +∆x
dois pontos do domínio de f(x) com x 6= x0. Considere
uma reta r, secante à curva, determinada pelos pontos
P0 e P . O coeficiente angular mr de r é
mr = tg(β) =
∆y
∆x
=
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
Note que se ∆x tender a zero, o ponto P se aproxima
de P0 e a reta secante r tenderá à reta t, tangente ao
gráfico de f(x) no ponto P0.
Se a reta r tende à reta t, então β tende a α e, como consequência, o coeficiente angular mr da
reta secante tende ao coeficiente angular mt da reta tangente:
mt = lim
∆x→0
mr = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
=
df
dx
(x0)
Logo, concluímos que:
mt =
df
dx
(x0)
df
dx
(x0) é o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f(x) no
ponto P0(x0, f(x0)). A equação da reta tangente é dada por
y − f(x0) =
df
dx
(x0) · (x− x0)
Exemplo 4 Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = ex no ponto de
abscissa x = 0.
Solução: Sendo f(x) = ex, temos f(0) = 1. Logo,
o ponto de tangência tem coordenadas P0(0, 1). O
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em
P0(0, 1) é calculado por
df
dx
= ex ⇒ mt =
df
dx
(0) = e0 = 1
Assim, a equação da reta tangente ao ponto P0(0, 1)
é dada por:
y − f(0) =
df
dx
(0) · (x− 0)⇒ y − 1 = 1 · (x− 0)
ou ainda
y = x+ 1
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3 Regras de Derivação
As funções mais gerais (por mais complicadas que possam parecer) são obtidas a partir das funções
elementares e, desse modo, o conhecimento das derivadas elementares juntamente com as regras
de derivação que apresentamos abaixo nos permite determinar a derivada de qualquer função f(x)
sem a necessidade de recorrer à definição pelo limite.
Regras de Derivação
1) Soma/Diferença de funções: f(x) = u(x)± v(x)
df
dx
(x) =
du
dx
(x)± dv
dx
(x)
2) Produto de uma constante real por uma função: f(x) = k · u(x) com k ∈ R
df
dx
(x) = k · du
dx
(x)
3) Produto de funções: f(x) = u(x) · v(x)
df
dx
(x) =
du
dx
(x) · v(x) + u(x) · dv
dx
(x)
4) Quociente (ou Divisão) de funções: f(x) =
u(x)
v(x)
com v(x) 6= 0
df
dx
(x) =
du
dx
(x) · v(x)− u(x) · dv
dx
(x)
(v(x))2
Exemplo 5
(a) f(x) = 9x2 + x+ 4
df
dx
(x) = 9 · 2x+ 1 + 0 = 18x+ 1 ⇒ df
dx
(x) = 18x+ 1
(b) f(x) = sen(x)− ln(x)
df
dx
(x) = cos(x)− 1
x
Exemplo 6 Aplicar a Regra do Produto:
(a) f(x) = x2 · sen(x)
f(x) = x2︸︷︷︸
u(x)
· sen(x)︸ ︷︷ ︸
v(x)
⇒ df
dx
(x) = 2x︸︷︷︸
u′(x)
· sen(x)︸ ︷︷ ︸
v(x)
+ x2︸︷︷︸
u(x)
· cos(x)︸ ︷︷ ︸
v′(x)
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(b) f(x) = x5 · ln(x)
f(x) = x5︸︷︷︸
u(x)
· ln(x)︸ ︷︷ ︸
v(x)
⇒ df
dx
(x) = 5x4︸︷︷︸
u′(x)
· ln(x)︸ ︷︷ ︸
v(x)
+ x5︸︷︷︸
u(x)
· 1
x︸︷︷︸
v′(x)
= 5x4 · ln(x) + x4
(c) f(x) = 2x · sec(x)
f(x) = 2x︸︷︷︸
u(x)
· sec(x)︸ ︷︷ ︸
v(x)
⇒ df
dx
(x) = 2x ln(2)︸ ︷︷ ︸
u′(x)
· sec(x)︸ ︷︷ ︸
v(x)
+ 2x︸︷︷︸
u(x)
· sec(x) tg(x)︸ ︷︷ ︸
v′(x)
Exemplo 7 Aplicar a Regra do Quociente (ou Divisão):
(a) f(x) =
x2
1 + 3x
f(x) =
u(x)︷︸︸︷
x2
1 + 3x︸ ︷︷ ︸
v(x)
⇒ df
dx
(x) =
u′(x)︷︸︸︷
2x ·
v(x)︷ ︸︸ ︷
(1 + 3x)−
u(x)︷︸︸︷
x2 ·
v′(x)︷︸︸︷
3
(1 + 3x)2︸ ︷︷ ︸
v2(x)
(b) f(x) =
1 + sen(x)
3 + ln(x)
f(x) =
u(x)︷ ︸︸ ︷
1 + sen(x)
3 + ln(x)︸ ︷︷ ︸
v(x)
⇒ df
dx
(x) =
u′(x)︷ ︸︸ ︷
cos(x) ·
v(x)︷ ︸︸ ︷
(3 + ln(x))−
u(x)︷ ︸︸ ︷
(1 + sen(x)) ·
v′(x)︷︸︸︷
1
x
(3 + ln(x))2︸ ︷︷ ︸
v2(x)
(c) f(x) =
7
x2 + 1
f(x) =
u(x)︷︸︸︷
7
x2 + 1︸ ︷︷ ︸
v(x)
⇒ df
dx
(x) =
u′(x)︷︸︸︷
0 ·
v(x)︷ ︸︸ ︷
(x2 + 1)−
u(x)︷︸︸︷
7 ·
v′(x)︷︸︸︷
2x
(x2 + 1)2︸ ︷︷ ︸
v2(x)
=
−14x
(x2 + 1)2
Regra da Cadeia (Derivada de funções compostas):
Se g(x) é derivável em x, f(x) é derivável em g(x) e a função composta y = f(g(x)) está definida,
então vale a regra
dy
dx
=
d
dx
f(g(x)) = f ′(g(x)) · g′(x)
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Em palavras, a Regra da Cadeia diz que devemos derivar a função f de fora [na função de
dentro g(x)] e, então, multiplicar pela derivada da função de dentro.
Exemplo 8 Aplicar a Regra da Cadeia:
(a) y = ln(x2 + 1)
y =
f(g(x))︷ ︸︸ ︷
ln(x2 + 1︸ ︷︷ ︸
g(x)
) ⇒ dy
dx
=
1
x2 + 1︸ ︷︷ ︸
f ′(g(x))
· 2x︸︷︷︸
g′(x)
⇒ dy
dx
=
2x
x2 + 1
(b) y = sen(3x+ 1)
y =
f(g(x))︷ ︸︸ ︷
sen(3x+ 1︸ ︷︷ ︸
g(x)
) ⇒ dy
dx
= cos(3x+ 1)︸ ︷︷ ︸
f ′(g(x))
· 3︸︷︷︸
g′(x)
⇒ dy
dx
= 3 · cos(3x+ 1)
(c) y = (x2 + 2x+ 10)10
y =
f(g(x))︷ ︸︸ ︷
(x2 + 2x+ 10︸ ︷︷ ︸
g(x)
)10 ⇒ dy
dx
= 10 · (x2 + 2x+ 10)9︸ ︷︷ ︸
f ′(g(x))
· (2x+ 2)︸ ︷︷ ︸
g′(x)
⇒ dy
dx
= 10·(x2+2x+10)9·(2x+2)
EXERCÍCIOS
1. Calcular a derivada das seguintes funções:
(a) f(x) = 10
(b) g(t) = −3t
(c) h(u) = 3u2 − 5
(d) R(q) = −2q
2
5 + 3q
(e) f(x) = x−3 − 5
√
x3
(f) f(x) =
1
x5
− 7
√
x2
(g) f(x) =
1
x
+ ln(x)
(h) f(x) =
1
x5
+
x
10
−2 ln(x)
(i) f(t) = 5 ln(t) + 3
√
t+ 8
(j) f(x) =
ln(x)
5
+
5
√
x2
Resp: (a) f ′(x) = 0; (b) g′(t) = −3; (c)h′(u) = 6u; (d) R′(q) = −4
5
q−3/5 + 3; (e) f ′(x) = −3x−4 − 3
5
x−2/5;
(f) f ′(x) = −5x−6 − 2
7
x−5/7; (g) f ′(x) = −x−2 +
1
x
; (h) f ′(x) = −5x−6 +
1
10
− 2
x
; (i) f ′(t) =
5
t
+
1
3
t−2/3; (j)
f ′(x) =
1
5x
+
2
5
x−3/5
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2. Calcular a derivada das seguintes funções:
(a) y(t) = t3 · et
(b) p(q) = ln(q) · eq
(c) y(t) = t−3 · sen(t)
(d) g(t) = cos(t) · sen(t)
(e) g(x) = x · log6(x)
(f) S(t) = 3t2 · arctg(t)
(g) T (x) = tg(x) · 3x
(h) y(u) = (u3 + 2u) · eu
(i) f(x) = ln(x) · (2x− x4)
(j) f(x) = (ln(x) + ex) · sen(x)
(k) y(t) = (t2 + 2t− 2) ·
(
2t3 − 5
t
)
Resp: (a) y′(t) = 3t2 · et + t3 · et; (b) p′(q) =
eq
q
+ ln(q) · eq; (c) y′(t) = −3t−4 · sen(t) + t−3 · cos(t);
(d) g′(t) = − sen2(t) + cos2(t); (e) g′(x) = log6(x) +
1
ln(6)
; (f) S′(t) = 6t · arctg(t) +
3t2
1 + t2
; (g) T ′(x) =
sec2(x) ·3x + tg(x) ·3x ln(3); (h) y′(u) = (3u2 +2) ·eu +(u3 +2u) ·eu; (i) f ′(x) =
1
x
·(2x−x4)+ln(x) ·(2−4x3);
(j) f ′(x) =
(
1
x
+ ex
)
· sen(x) + (ln(x) + ex) · cos(x); (k) y′(t) = (2t+ 2) ·
(
2t3 − 5
t
)
+ (t2 + 2t−2) · (6t+ 5t−2)
3. Calcular a derivada das seguintes funções:
(a) f(t) =
2t− 1
t2 + 5
(b) f(x) =
1− x3
x2 + x
(c) f(x) =
2
x3 + 2
(d) f(x) =
cos(x)
ex
(e) g(u) =
tg(u)
3u+ 1
(f) g(ω) =
ln(ω)
ω
(g) T (x) =
1 + cos(x)
sen(x)
Resp: (a) f ′(t) =
2 · (t2 + 5)− (2t− 1) · 2t
(t2 + 5)2
=
−2t2 + 2t+ 10
(t2 + 5)2
;
(b) f ′(x) =
−3x2 · (x2 + x)− (1− x3) · (2x+ 1)
(x2 + x)2
=
−x4 − 2x3 − 2x− 1
(x2 + x)2
; (c) f ′(x) =
−6x2
(x3 + 2)2
; (d) f ′(x) =
− sen(x) · ex − cos(x) · ex
(ex)2
= − ( sen(x) + cos(x))
ex
; (e) g′(u) =
sec2(u) · (3u+ 1)− tg(u) · 3
(3u+ 1)2
; (f) g′(ω) =
1− ln(ω)
ω2
; (g) T ′(x) =
− sen2(x)− (1 + cos(x)) · cos(x)
sen2(x)
=
−1− cos(x)
sen2(x)
4. Derivar as seguintes funções:
(a) y(x) = sen(3x)
(b) g(u) = ln(u3 − 2u)
(c) y(x) = e sen(x)
(d) f(t) = tg(sec(t))
(e) n(x) = arcsen(x3 − 1)
(f) F (u) = arctg( sen(u))
(g) y(x) = 6
√
5x
(h) R(s) = −20 · log7(s2 − s+ 2)
(i) f(t) = sen5(t)
(j) L(p) =
√
ln(p)
(k) p(q) = ln(eq + 3
√
q)
Resp: (a) y′(x) = cos(3x) · 3; (b) g′(u) =
3u2 − 2
u3 − 2u
; (c) y′(x) = e sen(x) · cos(x); (d) f ′(t) = sec2(sec(t)) ·
sec(t) tg(t); (e) n′(x) =
3x2√
1− (x3 − 1)2
; (f) F ′(u) =
cos(u)
1 + sen2(u)
; (g) y′(x) =
5x/6 ln(5)
6
; (h) R′(s) =
−20 · (2s− 1)
(s2 − s+ 2) · ln(7)
; (i) f ′(t) = 5 sen4(t) · cos(t); (j) L′(p) =
1
2
√
ln(p)
· 1
p
; (k) p′(q) =
eq +
1
3
q−2/3
eq + 3
√
q
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5. Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de abscissa x0, nos casos
abaixo:
(a) f(x) = −x2 − 3 em x0 = −2
(b) f(x) = 2x− sen(x) em x0 = π
(c) f(x) = 2 ln(x)− 3 em x0 = 1
(d) f(x) =
2
x
+ x2 em x0 = −1
(e) f(x) = ex − 2 arctg(x) em x0 = 0
Resp: (a) y = 4x+ 1; (b) y = 3x− π; (c) y = 2x− 5; (d) y = −4x− 5; (e) y = −x+ 1
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
6. Da Cinemática, sabemos que a posição de um ponto material em movimento sobre uma
trajetória conhecida pode ser determinada em cada instante t através de sua abscissa s medida
sobre a trajetória. A expressão s = s(t) é chamada de equação horária do ponto material.
Sendo dado um instante t e um instante t + ∆t, a velocidade instantânea v(t) do ponto
material é obtida tomando o limite ∆t→ 0 para a razão
∆s
∆t
=
s(t+ ∆t)− s(t)
∆t
, ou seja,
v(t) = lim
∆t→0
∆s
∆t
= lim
∆t→0
s(t+ ∆t)− s(t)
∆t
⇒ v(t) =
ds
dt
(t).
A velocidade instantânea v(t) exprime a taxa de variação instantânea da posição espacial
s em relação ao tempo em cada instante de tempo t. Para cada equação horária abaixo,
determine a velocidade do ponto material no instante t dado (unidades SI: t em segundos e s
em metros):
(a) s(t) = t2 +
√
t em t = 1 s
(b) s(t) = ln(t) + t3 em t = 2 s
(c) s(t) = −3 cos(t) em t =
π
6
s
Resp: (a) v(1) =
5
2
m/s; (b) v(2) = 12, 5 m/s; (c) v
(π
6
)
=
3
2
m/s
7. Uma carga elétrica transmitida através de um circuito varia com o tempo de acordo com a
função Q(t) =
t4
4
− t3
6
. Determinar a corrente elétrica instantânea
i(t) =
dQ
dt
(t)
no instante t = 1 s (unidades SI: t em segundos e Q em coulombs).
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Resp: i(1) =
1
2
C/s
8. Se um gás de Van der Waals for mantido em um cilindro a uma
temperatura constante T , a pressão p estará relacionada com o volume
V de acordo com a equação de estado
p(V ) =
nRT
V − nb
− an2
V 2
em que a e b são constantes empíricas e variam para cada tipo de gás,
R é a constante universal dos gases e n é o número de mols. Calcule
a derivada termodinâmica
dp
dV
(V ).
Resp:
dp
dV
(V ) = − nRT
(V − nb)2
+
2an2
V 3
9. As funções hiperbólicas são formadas a partir de combinações de duas funções exponenciais
ex e e−x. As duas principais funções hiperbólicas são o cosseno hiperbólico (cosh) e seno
hiperbólico (senh), definidas, respectivamente, como
cosh(x) ≡ ex + e−x
2
e senh(x) ≡ ex − e−x
2
Tais funções apresentam uma série de similaridades com as funções trigonométricas e a partir
delas pode-se definir a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante hiperbólicas. Essas
funções são importantes e aparecem em diversas aplicações práticas como no cálculo da tensão
em um cabo suspenso pelas extremidades (por exemplo, uma linha de transmissão elétrica)
e na determinação de soluções de equações diferenciais que descrevem sistemas dinâmicos de
interesse da Engenharia. Utilizando as definições acima, mostre que
d
dx
(cosh(x)) = senh(x)
e
d
dx
( senh(x)) = cosh(x).
10. Sendo y = ln(sec(x) + tg(x)) mostre que
dy
dx
= sec(x).
11. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de abscissa x0, nos casos
abaixo:
(a) f(x) = 1− 4
√
x em x0 = 1
(b) f(x) = 2x− ex em x0 = 0
Resp: (a) y = −2x− 1; (b) y = x− 1